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Cours GMP35aCours GMP35aSystèmes MécaniquesSystèmes Mécaniques
Cours GMP35aCours GMP35aSystèmes MécaniquesSystèmes Mécaniques
1
Thierry ALONSO – Septembre 2011 ver 1.0
1- Introduction
2- Modélisation et Analyse de Mécanisme: 2-1 Liaisons et Schéma cinématique 2-2 Analyse mobilités et hyperstatismes de structure 2-3 Rendre une structure isostatique 2-4 Hyperstatisme de liaison
3- Dynamique-Cinétique- Energétique3-1 Résultante et moment Dynamique
3-2 Principe Fondamental de la Dynamique
3-3 Résultante et Moment Cinétique
3-4 Relation entre Résultante Cinétique/Dynamique et Moment Cinétique/Dynamique
3-5 Energie Cinétique
3-6 Système Equivalent
3-7 Théorème de l'énergie
2
1- Introduction
L'objectif de l'UE GMP35a est de vous donner les outils pour analyser un mécanisme au niveau de :1- sa structure (liaison, mobilité, hyperstatisme,…)2- son comportement dynamique
9 Heures de cours/TD16 Heures de TP : Logiciel CAO et Calculs Mécanique (Solidworks+Meca3D)
Déroulement :
CC1 coeff 0,25 + CC2 coef 0,25Examen (durée 2h) coeff 0,5
Evaluation :
Les équations seront présentées sous leur forme générale, mais rapidement simplifiées pour pouvoir les utiliser dans des cas simples de systèmes de solides en translation ou en rotation autour d'un axe fixe. Les cas plus complexes seront traités en TP à l'aide d'un logiciel de simulation mécanique.
31-2 Thème support : Ascenseur de radiologie
-Translation / y de la table d'examen / bâti Ty (course: 2500 mm.)- Rotation / y du bras / bâti Ry (débattement 360°)- Rotation / z de l'arceau / bras Rz (débattement 150°)- Translation / x du récepteur d'images / arceau Tx (course: 450 mm.)
Zone d'étude
5
2- Modélisation :2-1 Schéma cinématique minimal
3- Dynamique-Energétique
Bâti
Arbre moteur
Vis
Chariot
Pivot
Hélicoïdale
Piv
ot
courro
ie
Glis
sièr
eM
oteu
r
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
(0)
(1)
(2)
(3)
(2)
(1)
(3)
7
2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Mobilité (utile) : mu=1
Nb de pièces sans le bâti : Ns = 2
Inconnues Statiques de liaison : Is = 15 inc
2x6 équations = 12 équations
1 équation du PFS non exploitables11 équations exploitables !!!
Glissière : 5 incGlissière Hélicoïdale 5 incPivot : 5 inc
Degré d'hyperstatisme : 15 eq -11inc = 4
Par une analyse statique globale
Mot
eur
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
(2)
(1)
(3)
Bâti
Arbre moteur
Vis
Chariot
Pivot
Hélicoïdale
Piv
ot
courro
ie
Glis
sièr
e (0)
(1)
(2)
(3)
9
2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Par une analyse cinématique détaillée
Mot
eur
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
(2)
(1)
(3)
Bâti
Arbre moteur
Vis
Chariot
Pivot
Hélicoïdale
Piv
ot
courro
ie
Glis
sièr
e (0)
(1)
(2)
(3){1/0}M+ {2/1}M {0/2}M= {0} Bouclage cinématique :
A choisir judicieusement
pt idem
,,,10
0/10/1 00v
000
)0/1,(
zyxC
C xCV
Apt au idem
,,,21
211/21/2 00v
00
)1/2,( zyxBB x
x
BV
Bpt au idem
,,,
022/02/0 000
00
)2/0,( zyxAA
x
AV
11
2- Modélisation :2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Par une analyse cinématique détaillée
Mot
eur
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
(2)
(1)
(3)
{1/0}A+ {2/1}A {0/2}A= {0} Bouclage cinématique :
Résultante :
0000 /
0000 /
0xx0 / 0221
z
y
x
Moment en A :
0000 /
0000 /
0xx0 / 0221
z
y
VVx
Hyperstatisme en "rotation" autour de y
Hyperstatisme en "rotation" autour de z
Hyperstatisme en "translation" autour de z
Hyperstatisme en "rotation" autour de z
Hyperstatisme en "translation" autour de y
Dh = 4
132- Modélisation :2-3 Rendre isostatique une structure
Modifier une liaison, en ajoutant des mobilités
Solution N°1 : en ajoutant une linéaire annulaire
Bâti(0)
Arbre moteur(3)
Vis(2)
Chariot(1)
Pivot
Hélicoïdale
Piv
ot
courro
ie
Glissiè
re
Ecrou(4)
LinéaireAnnulaire
{1/0}B + {4/1}B + {2/4}B + {0/2}B= {0}
Bouclage cinématique :
pt idem
,,,100/1 00v
000
zyxC
C x
zyxBBDBDBDBD
B xyyxzxyzy
zyx
,,,4141414141
4141411/4 v
Apt au idem
,,,24
244/2 00v
00
zyxBB x
x
zyxD
D y
zyx
,,,41
4141411/4 0v0
Mot
eur
+ A
+ BC +
D+
Mot
eur
+ A
+ BC +
D+
Bpt au idem
,,,
022/0 000
00
zyxAA
x
0
0
0
0
0
0
4141
4141
411024
41
41
202441
xyyx
zxvy
zyvxvx
z
y
xxx
BDBD
BD
BD
Si pas de défauts géométriques : 041414141 vyzyx
152- Modélisation :2-3 Rendre isostatique une structure Solution N°2 : en ajoutant 2 pivot glissant d'axe y et z
+ A
+ B
C ++
DE +
xyz
+ A
+ B
C ++
DE +
xyz
xyz
Bâti(0)
Arbre moteur(3)
Vis(2)
Chariot(1)
Pivot
Hélicoïdale
Piv
ot
courro
ie
Glissiè
re
Ecrou(4)
Croisillon(5)
Pivot glissant Ey
Pivot glissant Dz
{1/0}B + {5/1}B + {4/5}B + {2/4}B+ {0/2}B= {0} Bouclage cinématique :
pt idem
,,,100/1 00v
000
zyxC
C x
Apt au idem
,,,24
244/2 00v
00
zyxBB x
x
Bpt au
,,,41
511/5 0v0
00
idem
zyxEE y
y
Bpt au idem
,,,
022/0 000
00
zyxAA
x
Bpt au
,,,45
455/4 v00
00
idem
zyxDD z
z
0
0
0
0
0
0
45
41
1024
45
51
2024
vz
vy
vxvx
z
y
xx
172- Modélisation :2-4 Hyperstatisme de liaison
Mot
eur
Mot
eur
Etude statique globale :Nb de pièces = 5 30 équations statiquesNb de mobilité : utile = 1 ; interne = 4 (sans RSG)Nb d'inconnues de liaison : 8 ponctuelle + 5 pivot = 33 incHyperstatisme = 7 réglage des galets !!!
Cas de la liaison glissière chariot/Bâti
192- Modélisation :2-4 Hyperstatisme de liaison
Cas de la liaison pivot vis/Bâti
Mot
eur
Mot
eur
5 inc
2 inc
Dh = 2
3- Dynamique-Cinétique-Energétique :
Torseur dynamique :
)/,(
)/(RSQM
RRST
dyn
dyn
Qdyn
)( )/,( )/,( PdmRSPQPRSQMS
dyn
Sextdyn RR
Résultante Dynamique : )/,(.)( )/,( RSGMPdmRSPRS
dyn
R lréférentieau rapport par S solidedu G gravité de centredu on Accélérati :)/,(
solides) de systèmes(ou solidedu Masse:
RSG
M
Moment Dynamique : Difficile à calculer !!!
Principe Fondamental de la dynamique : QstatQdyn SextTRST )()/(
Théorème de la résultante :
Théorème du moment : ),()/,( SextQMRSQM dyn
Le référentiel R doit être Galiléen !!!
3-1 Dynamique :
21
3-2 Principe Fondamental de la Dynamique :
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
Torseur cinétique :
)/,(
)/(RSQM
RRST
cinétique
cinétique
QCinétique
RScinétique SQIRSQVQGMRSQM /).,()/,(.)/,(
0
),(
BIzzIzyIzx
IyzIyyIyx
IxzIxyIxx
SQI
Résultante Cinétique : )/,(.)( )/,( RSGVMPdmRSPVRS
cinétique
R lréférentieau rapport par S solidedu G gravité de centredu Vitesse :)/,(
solides) de systèmes(ou solidedu Masse:
RSGV
M
Moment Cinétique :
3-3 Cinétique :
Cas 1 : Q=G (centre de gravité)
RScinétique SGIRSGM /).,()/,(
Cas 2 : Q=point fixe
RScinétique SQIRSQM /).,()/,(
23
z
y
x
B
RS
0
/
Avec : Qpoint au exprimé S solidedu inertied' Matrice :),( SQI
Facile à calculer pour des géométries simples, sinon à l'aide du modeleur d'une CAO
R lréférentieau rapport par S solidedu rotation de itesse vecteur v:/RS
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
dynamiquecinétique RRSGMRdt
d )/,(.
)/,()/,()/,(.)/,( RSQMRSQVRSGVMRSQMdt
ddyncinétique
Résultante Dynamique/Cinétique :
3-4 Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique
Cas 1 : Q=G (centre de gravité) RSdyncinétique SGIdt
dRSGMRSGM
dt
d/).,()/,()/,(
Cas 2 : Q=point fixe
Moment Dynamique/Cinétique :
25
RSdyncinétique SQIdt
dRSGMRSQM
dt
d/).,()/,()/,(
"Facile" à calculer, de manière génrale, on utilisera donc ces 2 cas pour déterminer le moment dynamique
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
Energie cinétique d'un solide en translation :
)/,(.2
1 2 RSGVMEc
Energie cinétique d'un solide en rotation :
RSRS SGIEc // ).,(.2
1
27
3-5 Energie cinétique
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
Système équivalent sur l'arbre moteur :
)0/1,(2
1)1( 1
2 GMVEc
29
3-6 Système dynamiquement équivalent
Mot
eur
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
(2)
(1)
(3)
R
R
R
RRRR
RR xxI
zxI
yxI
xxI
zzIzyIzxI
yzIyyIyxI
xzIxyIxxI
GIEc /22
2
/22
/22
/22/2/2
222
222
222/2
/22/2 .2
1
.
.
.
.
0
02
1
0
0..
0
02
1).2,(.
2
1)2(
RxxIEc /32
3 .2
1)3(
)3()2()1()321( EcEcEcEc
RR r
r/3
2
3/2 .
RR r
rppGV /3
2
3/21 .
22)0/1,(
r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis
rxxIr
rxxI
r
rpMEc /3
23
2
2
32
2
2
3 .
équivalent I3
.2
.2
1)321(
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
Système équivalent sur l'arbre moteur :
31
3-6 Système dynamiquement équivalent M
oteu
r
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
RR r
r/3
2
3/2 .
RR r
rppGV /3
2
3/21 .
22)0/1,(
r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis
rxxIr
rxxI
r
rpMEc /3
23
2
2
32
2
2
3 .
équivalent I3
.2
.2
1)321(
Principe Fondamental de la Dynamique :
CrestCmotEquI 2
..
3 .M
oteu
rI 3
Equ
Cmoteur
Cresistant
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
Système équivalent sur le coulisseau 2 :
33
3-6 Système dynamiquement équivalent
Mot
eur
+ A
Mot
eur
+ A
+ B
Mot
eur
+ A
C +
RR r
r/3
2
3/2 .
RR r
rppGV /3
2
3/21 .
22)0/1,(
r2=rayon poulie 2r3=rayon poulie 3p=pas de la vis)/,(.
équivalent M
.2
..2
.2
1)321( 2
2
3
23
2
2 RSGVr
r
pxxI
pxxIMEc
Principe Fondamental de la Dynamique :
Mequi
Fm
otF
resi
st
FresistFmotxM equi ..
.
3- Dynamique/cinétique/énergétique :35
3-7 Théorème de l'énergie cinétique
Puissance d'une action mécanique sur un solide :
)/2()/2()/2( RSSPRSSPRSSP
RSVTRSSP SS /(.)/2( 2
Puissance des actions mutuelles entre 2 systèmes
Théorème énergie cinétique :
)/()/( RSSPRSEcdt
d
n
jiji RSSPRSSPRSEc
dt
d
1
)/()/()/(
Pour un solide :
Pour un ensemble de solides :