cours gestion-actifs-r1-part-2b

Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)

Methodes avancees en gestion d’actifs Partie 2

Le modele de Black-Litterman

Arthur Charpentier

http ://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/

blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/

Master 1, Universite Rennes 1

1


Plan du cours

• Mesurer les risques Les hypotheses classiques Au dela du modele Gaussien, introduction aux copules• Le modele de Black & Litterman• Rappels sur les resultats de Markowitz• Estimation des parametres, introduction a l’approche bayesienne• Le modele de Black & Litterman• Portefeuille optimal pour d’autres criteres de risque Calcul de la VaR et de la TVaR pour un portefeuille Optimisation sous contrainte de VaR ou de TVaR

2


Les approches traditionnelles en gestion d’actifs

Les methodes de base de la gestion d’actifs reposent sur l’optimisation lineaire etoptimisation quadratique.

3


Pourquoi une approche moyenne variance ?

Une premiere reponse est que l’optimisation moyenne variance correspond a unprobleme d’optimisatin d’esperance d’utilite dans le cas ou le fonction d’utiliteest quadratique u(x) = x− γx2. Dans ce cas,

E(u(X)) = E(X)− γ[E (X)2 + V ar(X)

]Markowitz evoque cette construction, malgre ses (nombreux) defauts : l’utiliten’est pas croissante, en particulier pour les grandes valeurs, et de plus lademande d’actif sans risque croıt necessairement avec la richesse.

Une seconde reponse est la suivante : lorsque le coefficient d’aversion absolue estconstant, alors u(x) = −e−γx. En effet

coeff. Arrow Pratt = − u′′(x)u′(x)

= −−γ2e−γx

γe−γx= γ.

Dans ce cas, si la distribution de la X est normale, alors maximiser l’esperanced’utilite revient a maximiser E (x)− γ

2V ar(X). Un rapide calcul d’integral

4


montre en effet que

E(u(X)) = − exp(γ[E (x)− γ

2V ar(X)

]).

Une troisieme reponse a ete apporter par Ingersoll (1987).

Si la distribution de X est normale, et donc characterisee par sa moyenne et savariance, alors necessairement, on peut definir des courbes d’indifference dansl’espace moyenne-variance, et compte tenu des proprietes de fonctions d’utilites,ces courbes d’indifference seront croissantes et concaves.

Une quatrieme reponse est apportee par la formule de Taylor, a condition que lerisque soit ”petit”. En effet, notons que

u (x0 + h) ≈ u (x0) + u′(x0)h+12u′′(x0)h2

= u (x0) + u′(x0)[h+

12u′′(x0)u′(x0)

h2

]ou on retrouve le coefficient d’aversion pour le risque d’Arrow Pratt, note A.

5


Alors

E (u (x0 +X)) ≈ u (x0) + u′(x0)[E(X)− 1

2AE(X2)]

= u (x0) + u′(x0)[E(X)− A

2E (X)2 − A

2V ar(X)

]

6


Diversification et taille du portefeuille

La variance du portefeuille sur n titres est de la forme suivante

V ar(α′X) =n∑i=1

α2iσ

2i︸︷︷︸

risque propre

+ 2∑i>j

αiαjρijσiσj︸︷︷︸risque systematique

.

Pour simplifier, si on suppose le portefeuille equipondere, i.e. αi = 1/n, alors

risque propre ≤max

σ2i

n

→ 0 lorsque n→∞,

si l’on suppose les variances uniformement bornees. De plus,

risque systematique =n2 − nn2

σn

ou σn est la covariance moyenne des n actifs. Aussi, risque systematique → σ.

La diversification (au sens d’une augmentation de la taille du portefeuille) faitalors converger la variance du portefeuille vers un niveau plancher.

7


Diversification et corrlation

Supposons que l’on dispose de deux actifs, notes 1 et 2, tels que les rendementsde ces deux titres verifient X1

X2

∼ N µ1

µ2

,

σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

Un portefeuille est alors constitue avec les deux titres, avec pour poidsω = (ω1, ω2). Les deux premiers moments sont alors

E(ω1X1 + ω2X2) = ω1µ1 + ω2µ2

V ar(ω1X1 + ω2X2) = ω21σ

21 + 2ω1ω2ρσ1σ2 + ω2

2σ22 .

Si l’on se fixe le rendement espere et un prix pour ce portefeuille (equivalent asupposer que ω soit un vecteur de poids), la variance du portefeuille en decouleaussitot.

Le graphique suivant montrer l’evolution de la variance du portefeuille en

8


fonction du choix du rendement espere pour le portefeuille, avec ou sanscontrainte d’interdiction de vente a decouvert.

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

Fig. 1 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.5.

9


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

Fig. 2 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.

10


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

Fig. 3 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.9.

11


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

Fig. 4 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.5.

12


0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.02

50.

030

0.03

50.

040

0.04

50.

050

0.05

5

Fig. 5 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.9.

Le graphique ci-dessous montre l’evolution de la variance en fonction de lacorrelation et de la moyenne esperee. Les courbes bleues correspondent au cas ou

13


la rentabilite esperee est soit µ1, soit µ2. Les courbes rouges correspondent au casou la rentabilite esperee est comprise entre µ1 et µ2. Les courbes vertescorrespondent au cas ou la rentabilite esperee est inferieure a infµ1, µ2 ousuperieure a supµ1, µ2 .

Correlation

−1.0−0.5

0.00.5

1.0 Ren

dem

ent m

oyen

0.02

0.03

0.04

0.050.06

Ecart−type 0.1

0.2

0.3

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Correlation

Ren

dem

ent m

oyen

0.05

0.05

0.1

0.1

0.1

0.15

0.15

0.2

0.2

0.25

0.25 0.3

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Correlation

Eca

rt−

type

Fig. 6 – Moyenne, ecart-type et correlation, deux titres.

14


Pratique de la gestion d’actifs

En pratique, les programmes peuvent etre un peu plus complexes afin de tenircompte des realites, en particulier• limites sur la vente a decouvert (limitee ou non autorisee)• limites sur la concentration sur certains titres• limites sur la concentration par secteurs industriels ou par pays• prise en compte de couts de transationsLe cadre general est le suivant

minωω′Σ + γ′ω s.c.

c− ≤ Aω ≤ c+

b− ≤ ω ≤ b+

Par exemple, pour une optimisation de portefeuille sans vente a decouvert,

A = (1, 1, · · · , 1), c− = c+ = 1, b− = (0, 0, · · · , 0)′ et b+ = (1, 1, · · · , 1).

15


Pour une optimisation de portefeuille sans vente a decouvert, avec un rendementespere cible, µ?,

A =

µ1, µ2, · · · , µk1, 1, · · · , 1

, c− = (µ?, 1)′, c+ = (∞, 1)′,

b− = (0, 0, · · · , 0)′ et b+ = (1, 1, · · · , 1).

16


Exemple pratique sur quelques actifs

Il existe plusieurs packages de gestion d’actifs sous R, dont library(fPortfolio) etlibrary(portfolio).

Considerons les series suivants, i.e. monthly data set of US smallcap equities

> Data = as.timeSeries(data(smallcap.ts))

> Data = Data[, c("BKE", "GG", "GYMB", "KRON")]

> (MU=apply(Data,2,mean))

BKE GG GYMB KRON

0.02749712 0.02198486 0.01204526 0.03570639

> (SIGMA=apply(Data,2,sd))

BKE GG GYMB KRON

0.1500879 0.1899235 0.2226543 0.1674082

> portfolioData(Data,spec=portfolioSpec())

On ne retient que 4 titres.

La fonction portfolioFrontier(Data) calcule la frontiere d’efficience desportefeuilles construits a partir de ces 4 titres. Le trace de la frontiere d’efficiencese fait alors simplement

17


> Frontier = portfolioFrontier(Data)

> frontierPlot(Frontier)

Il s’agit simplement de la resolution du programme de Markowitz, i.e.

minω′Σω sous la contrainte ω′µ ≥ µ0.

Par des arguments de convexite, les deux programmes suivants sont equivaments

ω∗ = argmaxE(ω′R) sous la contrainte V ar(ω′R) ≤ ν.

ω∗ = argminV ar(ω′R) sous la contrainte E(ω′R) ≥ ε.

L’ensemble des couples moyenne-ecart-type atteignables est note

E =(√

ω′Σω,ω′µ)

, ω vecteur de proportions, i.e. ω ∈ S

ou S est le simplexe en dimension n, i.e.

S =

ω ∈ Rn avec

n∑i=1

ωi = 1

.

18


La frontiere de E est alors une parabole, appelee frontiere d’efficience.

La forme parabolique de la frontiere d’efficience se traduit par plusieurs points

– il existe un portefeuille efficicace qui minimise le risque, appele portefeuille devariance minimale

– la partie superieure de la frontiere est croissance, i.e. on peut augmenter(indefiniment) le rendement esperes des portefeuilles efficients, mais le risqueaugmentera

– enfin la courbe d’efficience est concave, i.e. l’augmentation de la variance estplus forte que le gain un esperance. Fisher Black avvait traduit la concavite dela maniere suivante “pour obtenir des gains attendus”

Definition 1. Une allocation ω est dite efficiente s’il n’est pas possible detrouver une allocation proposant le meme rentabilite moyen, pour une variancestrictement plus faible, ou de maniere duale, de trouver une allocation proposantla meme variance, pour un rentabilite espere strictement plus eleve.

19


On s’interesse au programme d’optimisation

ω∗ = argminV ar(ω′R) sous les contraintes E(ω′R) ≥ ε, et ω′I = 1

Rappelons que de maniere generale, pour resoudre un programme d’optimisationde la forme

ω∗ = argminf(ω) sous les contraintes g1(ω) = ... = gp(ω) = 0,

ou g1, ..., gp sont p fonctions continument derivables, une condition necessairepour que ω∗ soit une solution est qu’il existe une solution (ω∗, λ) aux n+ p

equations

∂

∂αi(f(ω) + λ1g1(ω) + ...+ λpgp(ω)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,

et∂

∂λj(f(ω) + λ1g1(ω) + ...+ λpgp(ω)) = 0 pour j = 1, 2, ..., p.

Les constantes λ = (λ1, ..., λp) sont appelees multiplicateurs de Lagrange, et lafonction α 7→ (α) + λ1g1(α) + ...+ λpgp(α) est appelee le Lagrangien associe au

20


probleme d’optimisation.

Dans le probleme qui nous interesse, on cherche a minimiser V ar(ω′R), soitω′Σω, sous deux contraintes. On cherche alors a resoudre

∂

∂αi(ω′Σω + λ1(ω′I− 1) + λ2(ω′µ− ε)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,

et∂

∂λj(ω′Σω + λ1(ω′I− 1) + λ2(ω′µ− ε)) = 0 pour j = 1, 2.

En notant que∂

∂ωω′Σω = 2Σω et

∂

∂ωR′ω = R,

on en deduit que α∗ doit necessairement etre de la forme

ω∗ = λ1Σ−1I + λ2Σ−1R,

21


ou les multiplicateurs de Lagrange sont donnees par le systeme λ1I′Σ−1R+ λ2I′Σ−1I = 1

λ1R′Σ−1µ+ λ2R

′Σ−1I = ε,

En posant a = I′Σ−1R, b = R′Σ−1R et c = I′Σ−1I, on peut reecrire le derniersysteme sous la forme λ1a+ λ2c = 1

λ1c+ λ2a = ε,

En notant d = bc− a2, on en deduit que

λ1 =cε− ad

et λ2 =b− aεd

.

De cette expression des multiplicateurs de Lagrange, on peut en deduire, a l’aidede la condition de premier ordre Σα = λ1R+ λ2I que la variance du portefeuilleoptimale s’ecrit

σ2∗ = ω′Σω = λ1ε+ λ2,

22


soit encore, par substitution

σ2∗ =

cε2 − 2aε+ b

d

Proposition 2. S’il n’y a pas d’actif sans risque, la frontiere d’efficience dansun cadre moyenne-variance est une parabole d’equation

σ2∗ =

cε2 − 2aε+ b

d,

ou ε designe le rentabilite espere du portefeuille.

De plus, on peut obtenir les ponderations optimales

ω∗ = Σ−1 (λ1R+ λ2I) ,

qui peut se reecrire sous forme d’une combinaison lineaire.

23


Proposition 3. Les portefeuilles optimaux s’ecrivent comme des combinaisonslineaires par rapport au rentabilite exige, i.e.

ω = p+ εq,

ou p et q ne dependent que de la matrice de variance-covariance des rentabilites

p =1d

(bΣ−1I− aΣ−1R) et q =1d

(cΣ−1R− aΣ−1I).

p est une allocation de portefeuille au sens ou p′I = 1, alors que q indique lafaon dont le portefeuille initial p doit etre modifie (q′I = 0).

p est alors le portefeuille dont le rentabilite espere est nul, et p+ q est leportefeuille de rentabilite unitaire (Merton (1972)). Notons qu’on peut aussiecrire

ω = (1− ε)p+ ε(p+ q).

24


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

00

.25

Frontière moyenne−variance, portefeuilles admissibles

Ecart−type

Esp

éra

nce

Portefeuille efficient

Portefeuilles admissibles

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200

.00

0.0

50

.10

0.1

50

.20

0.2

5

Frontière moyenne−variance, portefeuille conservateur

Ecart−type

Esp

éra

nce

Portefeuille conservateur

Fig. 7 – Allocations efficace et admissibles, et approche conservatrice.25


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

MV

| so

lveR

quad

prog

Efficient Frontier

Target Risk[Cov]

Tar

get R

etur

n[m

ean]

BKE

GG

GYMB

KRON

Fig. 8 – Frontiere d”efficience, sans contrainte. 26


On peut aussi traver la frontiere d’efficience avec contrainte, par exemple pas devente a decouvert,

> Frontier = portfolioFrontier(Data,constraints = "Short")

> frontierPlot(Frontier)

Il s’agit simplement de la resolution du programme de Markowitz, i.e.

minω′Σωs.c.ω′µ ≥ µ0.

27


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

MV

| so

lveR

quad

prog

Efficient Frontier

Target Risk[Cov]

Tar

get R

etur

n[m

ean]

BKE

GG

GYMB

KRON

Fig. 9 – Frontiere d”efficience, sans contrainte. 28


On peut aussi construire le portefeuille de variance minimale, tangeant, ouequireparti

> minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "purple")

> tangencyPoints(Frontier, pch = 19, col = "blue")

> tangencyLines(Frontier, col = "blue")

> equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red")

29


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

MV

| so

lveR

quad

prog

Efficient Frontier

Target Risk[Cov]

Tar

get R

etur

n[m

ean]

BKE

GG

GYMB

KRON

30


Pour le portefeuille tangeant, on a l’allocation suivante entre les 4 actifs

> Porf.T=tangencyPortfolio(Data)

> weightsPie(Porf.T)

On peut d’ailleurs utiliser weightsSlider(Frontier) pour des graphiques interractifsde composition des portefeuille.

31


0.10 0.15 0.20

0.005

0.015

0.025

0.035

MV | s

olveR

quad

prog

Target Risk

Targe

t Retu

rnEfficient Frontier

BKE +

GG +

GYMB +KRON +

Weights

MV | s

olveR

quad

prog

BKEGGGYMBKRON

+29.5 %+33.2 %+9.3 %+28 %

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

0789

Weights

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

1

Weights

32


0.10 0.15 0.20

0.005

0.015

0.025

0.035

MV | s

olveR

quad

prog

Target Risk

Targe

t Retu


BKE +

GG +

GYMB +

Weights

MV | s

olveR

quad

prog

BKEGGGYMB

+11.5 %+40.4 %+48.1 %

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

0789

Weights

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

1

Weights

33


0.10 0.15 0.20

0.005

0.015

0.025

0.035

MV | s

olveR

quad

prog

Target Risk

Targe

t Retu


BKE +

GG +

GYMB +

KRON +

Weights

MV | s

olveR

quad

prog

BKEGGGYMBKRON

+27 %+36.6 %+24.5 %+11.9 %

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

0789

Weights

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

1

Weights

34


0.10 0.15 0.20

0.005

0.015

0.025

0.035

MV | s

olveR

quad

prog

Target Risk

Targe

t Retu


BKE +

GG +

KRON +

Weights

MV | s

olveR

quad

prog

BKEGGKRON

+16.6 %+18.2 %+65.2 %

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

0789

Weights

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

1

Weights

35


0.10 0.15 0.20

0.005

0.015

0.025

0.035

MV | s

olveR

quad

prog

Target Risk

Targe

t Retu


BKE +

GG +

KRON +

Weights

MV | s

olveR

quad

prog

BKEGGKRON

+4.8 %+7.7 %+87.5 %

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.00.2

0.40.6

0.81.0

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

0789

Weights

0.00.2

0.40.6

0.81.0 BKE

GGGYMBKRON

0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16

0.012 0.0178 0.0265 0.0352

Target Risk

Target Return

Weig

ht

MV | s

olveR

quad

prog |

minR

isk =

0.093

1

Weights

36


On peut aussi construire tous les portefeuilles ne comportant que 2 actifs (sur les4)

> twoAssetsLines(Frontier, lty = 3, col = "grey")

37


0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

MV

| so

lveR

quad

prog

Efficient Frontier

Target Risk[Cov]

Tar

get R

etur

n[m

ean]

BKE

GG

GYMB

KRON

38


Considerons le cas ou trois actifs sont consideres,

µ =

0.05

0.15

0.10

et Σ =

0.12 0.2 · 0.1 · 0.4 0.5 · 0.1 · 0.2

0.42 −0.4 · 0.4 · 0.20.22

.La premiere contrainte du programme est que la somme des ponderations (αi)vale 1, et la second est que l’esperance de rentabilite du portefeuille soit egale a ε.Aussi α1 + α2 + α3 = 1

0.05α1 + 0.15α2 + 0.1α3 = ε

On peut reecrire ces contraintes sous la forme

α1 = α ∈ R, α3 =0.15− 0.1α− ε

0.05et α2 = 1− α− α3

On cherche alors a minimiser la variance, sous cette contrainte : il suffit deparcourir R. Sur la Figure 11, a gauche sont representes les cas ou la correlationentre les titres 1 et 3 change, et a droite, le cas d’actifs equicorreles, avec une

39


correlation allant de −0.4 et 0.5. La courbe en trait plus epais correspondant aucas d’acifs independants (au sens L2).

40


−4 −2 0 2 4 6

05

10

15

20

25

Variance d’un portefeuille de trois titres

Pondération du premier titre

Va

ria

nce

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

.00

0.0

50

.10

0.1

50

.20

Portefeuilles de trois−titres (r=0.2,0.5,−0.4)

Ecart−type

Esp

éra

nce

Fig. 10 – Variance du portefeuille pour ε = 5%, 10% et 15%, et representation dela frontiere d’efficience. 41


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

0Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience

Ecart−type

Esp

éra

nce

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0

00

.05

0.1

00

.15

0.2

0

Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience

Ecart−type

Esp

éra

nce

Fig. 11 – Influence de la matrice de correlation entre les rentabilites.

42


0 5 10 15

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ecart−type

Rend

emen

t moy

en

0 5 10 15

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Ecart−type

Espé

ranc

e

Fig. 12 – Representation moyenne v.s ecart-type des 150 titres.

43


0 5 #0 #5

!#.0

!0.5

0.0

0.5

#.0

#.5

%.0

%.5

&ca)t!type

&sp/)ance

0 " #0 #"!

#.0

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."0

.00

."#

.0#

."2

.02

."

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Re

nd

e1

en

t 1

oye

n

Fig. 13 – Frontiere d’efficience, portefeuilles de 5 titres.44


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0.0

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2.0

2."

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.50

.00

.5#

.0#

.5%

.0%

.5

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Re

nd

e1

en

t 1

o+e

n



Le probleme des couts de transaction

the more assets, the less risky the portfolio (in terms of variance). But it mightbe more expensive to invest in 200 assets (sometimes more), and one might beinterest to find 10 assets such that the associated efficient frontier is close to theone with much more assets.

47


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Fig. 16 – Random subportfolios.

Considering all possible combinaisons of 5 assets among 35 is time consuming,

since(

535

)portfolio should be considered, i.e. more than 375, 000. From a

48


computational point of view, if the set of assets was larger, e.g. 100 or 200, therewould be not technique.

Analogousely, one might find natural to see if it could be possible to define 10clusters of assets, and then to pick up one asset in each cluster.

49


A02

A34

A16

A19

A18

A08

A30 A07

A14 A

01A

20A

33A

12A

27A

25A

32A

09A

15A

13A

21A

17A

11A

31 A10

A03

A05

A06 A04

A24

A22

A29

A23

A28

A26

A35

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Cluster Dendrogram (Ward) distance, 35 assets

hclust (*, "ward")

Hei

ght

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Fig. 17 – Finding clusters to define classes.

Normalized principal component analysis can be interesting. But principal axisare defined as a linear combination of all assets, so the idea will be to find for

50


each axis one asset with coordinate being either 1 or −1 : the projection will bestrong on this axis, and null on the others.

A01

A02

A03 A04

A05

A06

A07 A08

A09

A10

A11

A12

A13

A14

A15

A16

A17

A18

A19

A20 A21

A22

A23

A24

A25

A26

A27

A28

A29 A30

A31

A32 A33

A34

A35

Fig. 18 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA

51


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Fig. 19 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA

52


0 5 10 15 20 25 30 35

05

1015

2025

3035

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Fig. 20 – Correlation between assets (the darker, the larger).

53


Le probleme de l’estimation des parametres

Rappelons que et sont ici supposes connues, mais en realite, il faut les estimer.

Plusieurs techniques ont ete proposees,• dans le cas du modele Gaussien, par des methodes de type maximum de

vraisemblance ou methode des moments• dans le cas du modele Gaussien, par des methodes bayesiennesLe plus simple est de supposer des log-rendements Xi,t Gaussiens, N (µi, σ2

i ).

54


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

−0.

015

−0.

010

−0.

005

0.00

00.

005

0.01

0

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Period Sept 2002−July 2004

Period Feb 2001−Aug 2002

Fig. 21 – Efficient frontier on two periods.

55


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

40.

006

Standard deviation

Exp

ecte

d va

lue

Fig. 22 – Distribution of (σi, µi).

56


Estimation des parametres

Considerons le cas ou on dispose d’un echantillon X = (X1, ...Xn), suppose i.i.d.de loi N (µ, σ2). On cherchera a estimer le parametre (vectoriel) θ = (µ, σ2).

Un estimateur θ est une fonction des observations, i.e. θ (X) .

Pour mesurer la dispersion de θ (en temps que variable aleatoire) par rapport ala vraie valeur θ (inconnue), on se donne une distance, notee ‖·‖. On definie alors

– une fonction de perte, qui est la variable aleatoire∥∥∥θ − θ∥∥∥2

– le biais qui est la valeur∥∥∥E(θ)− θ

∥∥∥– l’inefficience qui est la valeur

√E(∥∥∥θ − E(θ)

∥∥∥2

)

Notons qu’alors

E(fonction de perte) = biais2 + inefficience2

Parmi les techniques classiques d’estimation, la plus classique est la methode du

57


maximum de vraisemblance. On cherche alors

θ = arg max L ou arg max logL

ou L (θ;X) =n∏i=1

fθ (Xi).

Dans le cas Gaussien rappelons que

θ =(µ, σ2

)=

1n

n∑i=1

Xi,1n

n∑i=1

(Xi −

1n

n∑i=1

Xi

)2

On peut montrer que E (µ) = µ et E(σ2)

= n−1n σ2.

On peut montrer que l’estimateur ainsi construit est asymptotiquement Gaussien,et que la matrice de variance covariance est donnee par l’information de Fisher.

58


Une introduction a l’estimation Bayesienne

Tout d’abord, si l’on suppose que θ soit aleatoire, nous devons noter que

X|θ suit une loi normale N (µ, σ2) ou θ = (µ, σ2),

i.e. conditionnellement a θ qui est inconnu (et suppose aleaoire) les Xi suiventdes lois normales independantes.

L’idee est ici d’utiliser la formule de Bayes pour trouver la loi de θ (pris commevariable aleatoire) en fonction des Xi. En particulier

fθ|x (θ) =fθ (θ)fx (x)

fx|θ (x) ∝ fθ (θ) fx|θ (x)

ou

– fθ (θ) est appelee loi a priori du parametre θ– fx|θ (x) est la loi de l’echantillon, correspondant a la vraisemblance,

conditionnellement a θ

Parmi les choix possible pour la loi a priori, on peut utiliser deux techniques

59


– une loi non-informative,– une loi qui permet d’avoir des calculs simples : on utilise alors une loi dite

conjuguee si la loi des Xi est dans la famille des lois exponentielles.

En statistique classique, θ est un parametre inconnu, de l’on cherche a estimer al’aide d’un echantillon x1, · · · , xn, en supposant que les xi sont des realisationsindependants de variables Xi, dont la loi est Fθ.

Supposons que les Xi ∼ N (θ, σ2). Un estimateur naturel de θ, a partir del’echantillon est

θ = x =x1 + · · ·+ xn

n.

En statistique bayesienne, Θ est un parametre aleatoire. On se donne a prioriune loi pour Θ, et on etudie la loi a posteriori, conditionnellement aX = (X1, · · · , Xn).

Dans l’exemple precedant, on suppose - par exemple - que Θ suit a priori une loi

60


normale N (0, 1). On a ainsi X|Θ ∼ N (Θ, σ2I)

Θ ∼ N (α, β), loi a priori

A l’aide de la famille de Bayes, on peut en d’eduire la loi (non-conditionnelle) deX mais surtout la loi conditionnelle de Θ sachant X, appelee loi a posteriori.Ici

f(θ|X = x) =f(θ,x)f(x)

=f(θ)f(x)

f(x|Θ = θ).

Afin de pouvoir mener les calculs en entiers, on peut reecrire cette expression

f(θ|X = x) =f(θ)∫

f(x|θ)f(θ)dθf(x|Θ = θ).

En poursuivant les calculs, on peut alors obtenir simplement que

θ|X = x ∼ N(

(α

β2+∑ni=1 xiσ2

)/(1β2

+n

σ2), (

1β2

+n

σ2)−1

).

61


Distribution conditionnelle, estimation bayesienne

−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 23 – Distribution a priori de Θ, i.e. N (0, 1)

62



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 24 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1

63



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 25 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2

64



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 26 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3

65



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 27 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4

66



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


67



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


68



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


69



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


70



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 32 – Distribution a priori de Θ, i.e. N (1.5, 0.5)

71



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 33 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1

72



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 34 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2

73



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Fig. 35 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3

74



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


75



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


76



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


77



−1 0 1 2

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0


78


Plus generalement, dans le cas Gaussien, on peut supposer

µ|σ2 ∼ N(µ0,

σ2

λ0

)et

1σ2∼ G

(ν0,

1σ2

0

)i.e. on parlera de modele normal-inverse Gamma. Alors la distribution aposteriori de des parametres, conditionnellement aux Xi suit une loi de la memefamille, mais avec des parametres mis a jour. En particulier

µ|σ2, X ∼ N(λ0µ0 +

∑Xi

λ0 + n,

σ2

λ0 + n

)et

1σ2|X ∼ G

ν0 + n,1

σ20 + λ0µ2

0 +∑Xi − (λ0µ0+

∑Xi)

2

λ0+n

(qui peut etre generalise dans le cadre des vecteurs Gaussiens).

Un fois determinee la loi dite a posteriori, il convient de proposer un estimateur,appelee estimateur bayesien, pour θ. Une idee naturelle est de poser

θ = E (θ|X1, ..., Xn)

79


Estimation et portefeuilles optimaux

En pratique, l’approche de Markowitz marche mal (on parle du paradoxe deMarkowitz) : en pratique, des portefeuilles equiponderes sont meilleurs que desportefeuilles optimises.

L’optimisation basee sur les moyennes et variances estimees conduit a introduireexcessivement les outilers (qui ne sont des anormalites statistiques).

La formule synthetique est que l’optimisation au sens de Markowitz correspond aune maximisation des erreurs.

L’idee des modeles bayesiens et de l’approche de Black et Littermann est derobustifier l’estimation

80


Approche classique et portefeuilles optimaux

Naturellement, on ecrit le programme d’optimisation sur les grandeurs estimees

arg minα∈R

α′Σα s.c. α′µ ≥ η

devientarg minα′Σα s.c. α′µ ≥ η

On obtient alors un estimateur optimal sur les estimations, note α∗. On peutlegitimement se demander si l’optimun d’une d’estimation est l’estimation d’unoptimum, i.e.

α∗?= α∗

Plus generalement, supposons que l’on s’interesse a mminimiser une fonction plusgenerale que la variance du portefeuille, i.e.

arg minR(α) ou plutot arg minR(α)

arg maxS(α) ou plutot arg maxS(α)

81


ou R est appelee mesure de risque, et S est une mesure de satisfaction.

Parmi les propritetes classiques de S, on peut supposer une propriteted’invariance d’echelle, S(λα) = λS(α) pour tout λ > 0 (homogene de degre 1) ouau contraire d’homogeneite S(λα) = S(α) pour tout λ > 0 (homogene de degre0).

Il y a aussi une propritete de sous-addivite (ou de sur-addivite), i.e.

S(α+ β) ≤ S(α) + S(β) ou S(α+ β) ≥ S(α) + S(β)

Un propriete un peu plus technique est une propritete de convexite (ou deconcavite), i.e.

S(λα+ (1− λ)β) ≤ λS(α) + (1− λ)S(β)

ou

S(λα+ (1− λ)β) ≥ λS(α) + (1− λ)S(β).

Parmi les fonctions classiques S,

82


celles qui decoulent de l’approche par esperance d’utilite, de von Neumann &Morgenstein, S(α) = E(u(α′X)), e.g. une utilite logarithmique u (x) = log(x),une fonction d’utilite puissance u(x) = x1−1/γ , une fonction exponentielleu(x) = exp (−x/α).

celles qui decoulent d’une propriete d’indifference d’utilite, i.e.S(α) = u−1(E(u(α′X))).

celles qui decoulent de l’approche duale, de Yaari, S(α) =, e.g. une fonctionquantile, ou une mesure de risque coherence, e.g. une TV aR. On peut aussiconsiderer une mesure de risque spectrale

Dans le premier cas, si on considere une utilite exponentielle avec des risquesGaussiens, on retrouve par exemple

S(α) = α′µ− α′Σα2

Dans le cas de la V aR, on peut utiliser l’approximation dite de Cornish-Fisher.

83


Approche bayesienne et portefeuilles optimaux

Le modele le plus simple a considerer pour µ sachant Σ,

µ|Σ ∼ N(µ0,

ΣT0

)Pour la loi de Σ, il est naturel de supposer une loi de Wishart,

Σ−1 ∼ W(ν0,

Σ−10

ν0

)ou Σ0 une matrice symmetrique positive, et ν0 est une constante positive.

On en deduit alors la loi non-conditionnelle µ,

µ ∼ St(ν0, µ0,

Σ0

T0

)de telle sorte que E(µ) = µ0 et cov(µ) =

ν0

ν0 − 2ΣT0

. De plus E(Σ−1) = Σ−10 .

L’incertitude associee a la matrice de variance-covariance est plus complique a

84


ecrire,

cov(vec(Σ−1)) =1ν0

(In2 +Knn)(Σ−1

0 ⊗ Σ−10

)ou vec est la fonction qui met les colonnes de la matrice Σ−1 dans une matricediagonale, K estest une matrice de commutation, et ⊗ designe le produit deKronecker.

Considerons desormais la distribution a posteriori base sur T observations.Posons alors

T1 = T0 + T , µ1 =1T1

(T0µ0 + T µ)

ν1 = ν0 + T et Σ1 =1ν1

(ν0Σ0 + T Σ +

(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1

T0

)de telle sorte que

µ|Σ ∼ N(µ1,

ΣT1

)et Σ−1 ∼ W

(ν0,

Σ−11

ν1

)

85


ce qui donne la loi (non-conditionnelle)

µ ∼ St(ν1, µ1,

Σ1

T1

)on en deduit alors les proprietes suivantes sur la loi a posteriori de µ

E (µ) =T0

T0 + Tµ0 +

T

T0 + Tµ

etV ar (µ) =

1T1

ν1

ν1 − 2Σ1

De meme, on peut obtenir des proprietes sur la loi a posteriori de Σ

E (Σ) =1

ν0 + T + n+ 1

(ν0Σ0 + T Σ +

(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1

T0

)et

cov(vec(Σ)) =2ν2

1

(ν1 + n+ 1)3

(D′n(Σ−1

1 ⊗ Σ−11

)Dn

)−1

Rappelons que l’on cherche a resoudre - de maniere tres generale - un probleme

86


de la formeα∗ = arg maxS(α)

Par exemple

α∗ = arg maxα′µ− 1

2γα′Σα

Dans le cadre d’une approche par indifference d’utilite

S(α) = u−1(E(u(α′X))) que l’on notera Sθ(α)

ou X suit une loi de parametre θ.

Dans l’approche classique, on pose

α∗ = arg maxSθ(α).

Dans le cadre bayesien, nous avons note

µ =T0

T0 + Tµ0 +

T

T0 + Tµ

87


et

Σ =1

ν0 + T + n+ 1

(ν0Σ0 + T Σ +

(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1

T0

)

88


Le modele de Black & Litterman avec R

La library(BLCOP) permet de mettre en oeuvre l’approche de Black & Litterman.

L’equation centrale du programme de Black & Litterman est la suivante

µ =[(τΣ)−1 + P ′Ω−1P

]−1 [(τΣ)−1Π + P ′Ω−1Q

]ou• Π est le vecteur de taille n des rendements (dits de long terme)• Σ est une matrice n× n de covariance des actifs, i.e. Σ,• δ est un parametre d’aversion au risque• τ mesure l’incertitude de la variance a l’equilibrecorrespondant aux information de long terme, et• P est la matrice identite n× n• Q est le vecteur de taille n donnant l’excdent de rendement sur chacun des

actifs• Ω est la matrice diagonale de la variance des perceptionsL’equation de Black & Litterman est parfois presentee commme une correction

89


des rendements Π,

µ = Π + τΣP ′ (PτΣP ′ + Ω)−1 [Q− PΠ]

Le facteur τ sera plus ou moins faible en fonction de la crdiliibte donnee aumarche.

90


La resolution d’un probleme d’allocation d’actifs necessite deux grandeurs,

– un estimateur de la moyenne des rendements µ– un estimateur de la matrice de variance-covariance des rendements Σ

Pour estimer la moyenne, on peut prendre la moyenne arithmetique desrendements historiques, ou des anticipations de rendements.

Pour estimer la variance, on utilise les donnees historiques, via une moyennearithmetique, ou un estimateur EWMA (qui correspond a un modeleGARCH(1, 1) dans le cas univarie. Ici, on suppose que

covt(Xi, Xj) = ω + αui,t−1vi,t−1 + βcovt−1(Xi, Xj)

en generalisant l’ecriture que nous avions en dimension 1, d’un GARCH(1, 1), i.e.

V art(Xi) = σ2i,t = ω + αε2

i,t−1 + βσ2i,t−1

Le portefeuille initial est un portefeuille d’equilibre predefini, de poids ω∗, etd’evoluer autour de se portefeuille avec plus ou moins d’ecart, selon le degre deconfiance dans les scenarios. On cherche a resoudre, par exemple, un programme

91


de la forme suivante

minω

(ω − ω∗)′Σ(ω − ω∗) s.c.

ω′µ = η

0 ≤ ωi ≤ 1∑ωi = 1

L’approche de Black & Litterman propose de definir une allocation d’actifs enreference a un portefeuille initial a partir de ”vues” sur un sous-ensemble, ou surla totalite, des actifs.

On se donne alors des vecteurs de rendements a l’equilibre Π = λΣω∗.

Pour aller au dela de ce portefeuille de base, on integre des ”vues” avec un degrede confiance sur tout ou partie des actifs. On considere alors un portefeuille quisera la moyenne entre le portefeuille d’equilibre et les vues. Ceci peut etre justifiepar un modele bayesien, on l’on cherche le vecteur des rendements esperes aposteriori, apres integration des vues. Aussi,

µ =(

(τΣ)−1 + P ′Ω−1P)−1 (

(τΣ)−1 Π + P ′Ω−1V)

92


Idzorek (2002) propose de calibrer le modele de telle sorte que le degre deconfiance apparaisse comme une variable distribuee sur [0, 1] centre autour de1/2, et que les deviations des poids soient doublees si on passe de 1/2 a 1, ettendent vers 0 si le degre de confiance tend vers 0.

Formellement on cherche Σ telle que Σi,i =12ω

1CDi

, ou ω est la somme des

elements de P ′ΣP , et CDi est le degre de confiance dans la vue i.

Parallelement, τ est tel que τ =2k

k∑i=1

CDi.

Notons que l’on suppose ici que Ω, la matrice de variance attendue des erreurs,est une matrice diagonale. Cette hypothese est (trop) forte d’un point de vue dela finance comportementale.

Black & Litterman propose de n’integrer que des vues sur la moyenne desrendements.

Qian & Gorman ont propose un modele integrant des vues sur la moyenne et la

93


variance des rendements, avec µ = Π + (ΣP ′)Ω−1 (V − PΠ)

Σ = Σ + (ΣP ′)[Ω−1ΣvΩ−1 − Ω−1

](PΣ)

ou naturellement Σv designe la matrice de variance anticipee.

Considerons le portefeuille suivant

P = ω′X =12X1 +

32X2 −X3

Notre croyance a priori est que P ∼ N (0.05; 0.1). Supposons que l’on ait a notredisposition d’un autre actif X4.> Matrice=matrix(c(.5,1.5,-1,0),nrow=1,ncol=4)

> vue=BLViews(P=Matrice,q=.06,confidences = 100,

+ assetNames = colnames(Data))

Il faut ensuite donner les moyennes et variance a priori. Le plus simple est desupposer les moyennes nulles, et d’utiliser la variance historique,> library(corpcor)

94


> moy.prior=rep(0,4)

> var.prior=unclass(cov.shrink(Data))

Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1

Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002

L’interet de cette methode est de pouvoir en deduire unes estimation duparametre λ

On peut alors en deduire la distribution a posteriori, melant la loi a priori et lesvues.

> posteriorEst(views=vue,sigma=var.prior,alpha=moy.prior,tau=.5)

Prior means:

BKE GG GYMB KRON

0 0 0 0

Posterior means:

BKE GG GYMB KRON

0.002346602 0.022983752 -0.014915312 -0.004058411

Posterior covariance:

BKE GG GYMB KRON

BKE 0.047975085 -0.005078094 0.011005451 0.010793786

GG -0.005078094 0.038741658 0.003026534 -0.005623743

95


GYMB 0.011005451 0.003026534 0.044142855 0.006239874

KRON 0.010793786 -0.005623743 0.006239874 0.047781422

attr(,"lambda")

[1] 0.3001854

attr(,"lambda.estimated")

[1] TRUE

attr(,"lambda.var")

[1] 1

attr(,"lambda.var.estimated")

[1] TRUE

Pour etudier la robustesse, on peut utiliser d’autres vues, par exemple, supposerqu’un portefeuille compose de la moyenne des trois derniers titres suit une loiN (0.07; 0.15),> Matrice <- matrix(ncol = 3, nrow = 1, dimnames = list(NULL, colnames(Data)[2:4]))

> Matrice[,1:3] <- rep(1/3,3)

> Matrice

GG GYMB KRON

[1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333

> vue2=addBLViews(Matrice,.07,90,vue)

> vue2

96


1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 100

2 : 0.333333333333333*GG+0.333333333333333*GYMB+0.333333333333333*KRON=0.07 . Confidence: 90

On peut alors lancer la phase d’optimisation de portefeuille,

> marche=as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("market")]

> taux =as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("t90")]

> posterior=BLPosterior(as.matrix(Data),vue2,tau=.5,marketIndex = as.matrix(marche))

Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1

Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002

> posterior

Prior means:

BKE GG GYMB KRON

0.01986394 0.01445708 0.01317127 0.02922796

Posterior means:

BKE GG GYMB KRON

0.02712333 0.04168138 0.02192929 0.04325334

Posterior covariance:

BKE GG GYMB KRON

BKE 0.047770391 -0.005488871 0.010311980 0.010182121

GG -0.005488871 0.037917318 0.001634891 -0.006851220

97


GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.004167658

KRON 0.010182121 -0.006851220 0.004167658 0.045953656

attr(,"lambda")

[1] 0.3001854

attr(,"lambda.estimated")

[1] TRUE

attr(,"lambda.var")

[1] 1

attr(,"lambda.var.estimated")

[1] TRUE

> opt=optimalPortfolios(posterior,doPlot=TRUE)

> opt

$priorPfolioWeights

BKE GG GYMB KRON

0.1871428 0.2311983 0.0000000 0.5816589

$postPfolioWeights

BKE GG GYMB KRON

0.002424798 0.524147656 0.000000000 0.473427546

98


BKE GG KRON

PriorPosterior

Optimal weights

Wei

ghts

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Si l’on s’interesse a un programme d’optimisation avec contrainte, il suffit derajouter les contraintes dans l’optimisation. Par exemple, si les positions courtessont interdites

99


> contraintes = list()

> contraintes$bvec=1

> contraintes$meq=1

> contraintes$Amat=matrix(rep(1,5),5,1)

> contraintes

$bvec

[1] 1

$meq

[1] 1

$Amat

[,1]

[1,] 1

[2,] 1

[3,] 1

[4,] 1

> opt=optimalPortfolios(posterior,contraints=contraintes)

On peut d’ailleurs obtenir plus generalement le degre confiance de l’allocationoptimale dans un des titres. Par exemple, pour le premier actif,

100


> densityPlots(posterior,assetsSel="KRON")

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

GG

Den

sity

PriorPosterior

−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

KROND

ensi

ty

PriorPosterior

Mais plus generallement, aussi lieu de supposer un modele Gaussien mis a jour, ilest possible de supposer des distributions jointes plus complexes. De meme pourles vues, on l’on n’est plus oblige de supposer un modele Gaussien.

101


Notons que l’on peut s’affranchir de l’hypothese de normalite : pour une loi deStudent multivariee, de matrice de dispersion Σ, a ν = 5 degres de liberte,

> md=mvdistribution("mt",mean=mu,S=sigma,df=nu)

102

cours gestion-actifs-r1-part-2b

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