cours fl call

77
1 Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes 5 année - Systèmes Mécatroniques 5 année - Systèmes Mécatroniques Régulation Floue Régulation Floue Version 2004 - Pascale Chiron Version 2004 - Pascale Chiron

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régulation floue

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Page 1: Cours Fl Call

1

Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes

5 année - Systèmes Mécatroniques5 année - Systèmes Mécatroniques

Régulation FloueRégulation Floue

Version 2004 - Pascale ChironVersion 2004 - Pascale Chiron

Page 2: Cours Fl Call

2

Introduction (1)Introduction (1)

Un peu d’histoire– 1965 L. A. Zadeh «Fuzzy sets»– 1975 E. H. Mandani Expérimentation d’un régulateur flou– 1985 M. Sugeno Applications industrielles possibles– 1995 J. S. R. Jang Logique floue élargie aux systèmes à réseaux

de neurones et à l’ Intelligence Artificielle.

Les ensembles flous : extension des ensembles «classiques» (crisp set)

Page 3: Cours Fl Call

3

Introduction (2)Introduction (2)

Structure classique d’un régulateur flou

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Régulateur flou+

-

c e uSystème

y

Page 4: Cours Fl Call

4

Introduction (3)Introduction (3)

Exemple : déplacement du robot le long du mur

– Si la distance est petite, tourner à gauche (angle négatif)– Si la distance est autour de 10 cm, garder la direction actuelle– Si la distance est grande, tourner à droite (angle positif)

d

-14 : angle de rotationDistance : 5 cm

Page 5: Cours Fl Call

5

Introduction (4)Introduction (4)

Des exemples d’applications dans le domaine industriel– 1979 Cimenterie au Danemark– 1987 Métro de Sendai (Hitachi) – 1990 Conduite de hauts-fourneaux Dunkerque– 1992 Usine de papier au Portugal– Produits de consommation courante

Autocuiseurs de riz, aspirateurs, machines à laver, système de climatisation… Appareils photos : autofocus, autoexposition, autozoom (Canon, Minolta). Caméras : autofocus, autoexposition, stabilisateur d’image (Sanyo, Canon,

Matsushita). Photocopieurs : qualité d’image, distribution d’encre (Sanyo, Canon, Ricoh).

– Industrie automobile régulation du moteur, système de transmission, système de suspension, ABS,

climatisation.

– Ascenseur : temps d’attente réduit, ascension et arrêt plus régulier (Hitachi)– ...

Page 6: Cours Fl Call

6

Introduction (5)Introduction (5)

Quand utiliser un régulateur flou ?– Difficulté (ou incapacité) de modéliser le processus : processus complexes,

processus non linéaires.– Coût de la modélisation en terme de temps, moyens… trop élevé.– Amélioration des performances de régulateurs «linéaires».

Points forts– Structure simple, coût de la synthèse et de l’implémentation «faible».– Proche du langage courant, facilité de modification.

Idées fausses– Permet de réguler un processus sans aucune notion de régulation.

Il faut des bases ...

– Permet de traiter de connaissances imprécises régulateur déterministe, exprime une relation déterministe entre ses entrées et ses

sorties, fonction non linéaire définie de façon intuitive, intelligible, ayant une signification

précise.

Page 7: Cours Fl Call

7

Ensembles flous (1) - IntroductionEnsembles flous (1) - Introduction

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Ensemblesflous

Fuzzification

Page 8: Cours Fl Call

8

Définitions– Un ensemble flou A est défini sur un univers de discours U (ensemble

d’éléments discrets ou continus) par sa fonction d’appartenance A. La grandeur A(x) définit le degré d’appartenance de l’élément x à l ’ensemble A.

– L’ensemble flou vide est noté U, il est défini par :

– Le plus grand ensemble flou sur U est noté 1U , il est défini par :

Les ensembles flous (2) - DéfinitionsLes ensembles flous (2) - Définitions

1

0

,

1,0:

xUxAnoy

xUxAsupp

UxxxA

xx

U

A

A

A

A

A

noyau = noy(A)

frontièrefrontière

support : supp(A)

1

0

A(x)

x

UxxU

,0

UxxU

,11

Page 9: Cours Fl Call

9

– Pour un univers U comportant un nombre fini d’éléments, on peut

utiliser la notation suivante.

– Pour une variable x0 exacte, l’ensemble flou correspondant, noté x0 ,

doit être représenté par un fait précis. On utilise un singleton. Sa

fonction d’appartenance x0 est définie par :

Les ensembles flous (6) - DéfinitionsLes ensembles flous (6) - Définitions

0

0

0

1

1,0:

0

0

xxsi

xxsixx

U

x

x

x0

1

0

X0(x)

x

n

i i

i

n

n

i

xxxxx

nixU

11

1

1,01:

x3

0

(x)

xx4

x5

x1

x2

1

4

2

3

5

Page 10: Cours Fl Call

10

– Les fonctions d’appartenance peuvent avoir diverses formes selon leur définition :

triangulaire, trapézoïdale,

Gaussienne,

Sigmoïdes...

Les ensembles flous (3) - DéfinitionsLes ensembles flous (3) - Définitions

Page 11: Cours Fl Call

11

– Exemples :

Les ensembles flous (4) - DéfinitionsLes ensembles flous (4) - Définitions

350

352015

20

201

1,0100,0:

xsix

xsix

x

xsix

x

jeune

jeune

jeune

jeune

755520

5555351

352015

2075200

1,0100,0:

xsix

x

xsix

xsix

x

xouxsix

x

mûr

mûr

mûr

mûr

mûr

750

755520

55

550

1,0100,0:

xsix

xsix

x

xsix

x

vieux

vieux

vieux

vieux

Page 12: Cours Fl Call

12

– Exemples :

Les ensembles flous (5) - DéfinitionsLes ensembles flous (5) - Définitions

2

152

1

1,0100,0:

x

jeune

jeune

exx

2

12

45

2

1

1,0100,0:

x

mûr

mûr

exx

2

20

100

2

1

1,0100,0:

x

vieux

vieux

exx

Page 13: Cours Fl Call

13

Les ensembles flous (7) - OpérationsLes ensembles flous (7) - Opérations

Opérations sur les ensembles flous– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les opérations logiques

d’union (ou), d’intersection (et) et de complémentation (non) peuvent être appliquées aux ensembles flous. Leur définition ne sont pas uniques.

– Les définitions les plus souvent rencontrées sont : le max et le min (Mandani), la somme moins le produit et le produit (Sugeno)

– Exemple dans le cas Mandani

Uxpour

xxcasdeuxlesDans

xxxetxxxxxSugeno

xxxetxxxMandani

AA

BABABABABA

BABABABA

1:

:

),min(),max(:

1

0x

A(x) B(x) 1

0x

A(x)1

0x

A(x)A (x)(x)1

0x

A(x) B(x)

AB(x)

Page 14: Cours Fl Call

14

L’union d’un ensemble flou et de son complément ne donne pas l’univers du discours

Propriétés des ensembles flous– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les ensembles flous

possèdent certaines propriétés.

– Les deux propriétés suivantes ne sont pas «classiques» L’intersection d’un ensemble flou et de son complément n’est pas vide

Les ensembles flous (8) - PropriétésLes ensembles flous (8) - Propriétés

AAAAAAIdentité

AAAAAAeIdempotenc

CABACBACABACBAvitéDistributi

CBACBACBACBAitéAssociativ

ABBAABBAitéCommutativ

UUU

1,,11,:

,:

,:

,:

,:

AAioncontradictdeLoi :1

0x

UAAmiddleexcludedduLoi 1:"" 1

0x

A (x)

A (x)

Page 15: Cours Fl Call

15

Les relations floues (1) - IntroductionLes relations floues (1) - Introduction

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Opérateurs delogique floue

Raisonnementflou

Page 16: Cours Fl Call

16

Définitons– Se sont des structures qui représentent l’absence ou la présence d’une

corrélation ou d’une interaction entre les éléments de divers ensembles.

– Les degrés de relation entre des éléments de deux ou plusieurs ensembles flous peuvent prendre un nombre infini de valeurs entre les deux extrêmes «reliés totalement» et «non reliés».

– Relation binaire sur un ensemble classique : Soient X1 et X2 deux ensembles, R X1 X2 est appelée relation binaire. C’est

un ensemble.

Si X1 = X2 = R, alors la fonction caractéristique de R est définie par :

Exemple :

Les relations floues (2) - DéfinitionsLes relations floues (2) - Définitions

autrement

RvusivuR 0

,1,

autrement

cbavusivu

cvetbauRvu

R 0

,0,,1,

,0,),(

c

0xa

R(x)

b

Page 17: Cours Fl Call

17

– Relation floue : Une relation floue sur deux univers U et V est un ensemble flou :

On ne parle plus de fonction caractéristique mais de fonction d’appartenance.

est interprété comme le degré d’appartenance de la paire

ordonnée (u,v) de R.

Exemple :

– Soit l’univers U = { 1, 2, 3 }, la relation R « est approximativement égal à » peut-être définie par : Notation matricielle :

Les relations floues (3) - DéfinitionsLes relations floues (3) - Définitions

vuvu

VUR

R ,,

1,0:

23,0

18,0

1

,,

1,03,2,13,2,1:

vusi

vusi

vusi

vuvu

R

R

18.03.03

8.018.02

3.08.011

321

vuR ,

Page 18: Cours Fl Call

18

Opérations sur les relations floues

– On définit l’union et l’intersection de deux relations floues par :

Les relations floues (4) - OpérationsLes relations floues (4) - Opérations

vuvu

VUSet

vuvu

VURSoient

SR ,,

1,0:

,,

1,0:

),,,min(,

),,,max(,

)(

vuvuvuet

vuvuvu

:maxMandanisensauAlors

SRSR

SRSR

vuvuvuet

vuvuvuvuvu

prodSugenosensauAlors

SRSR

SRSRSR

,,,

,,,,,

:)(

Page 19: Cours Fl Call

19

Les relations floues (5) - OpérationsLes relations floues (5) - Opérations

Exemple (cas Mandani) :

– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « x est très proche de y »

– R S = « x est beaucoup plus grand que y » ou « x est très proche de y »

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxR

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxS

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0max,

3

2

1

4321

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

yxSR

8.08.019.0

7.05.08.09.0

7.09.01.08.0

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

5.07.003.0

004.00

6.01.004.0

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

– R S = « x est beaucoup plus grand que y » et « x est très proche de y »

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0min,

3

2

1

4321

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

yxSR

Page 20: Cours Fl Call

20

– Soit une relation floue sur U V, la projection de R sur U (U) et la

projection de R sur V (V) sont définies par :

Exemple :

Les relations floues (6) - OpérationsLes relations floues (6) - Opérations

UuvuvetVvvuuAlors RR VU ,sup,sup

vuvu

VURSoit

R ,,

1,0:

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxR

321

18.08.0

xxx

Yy

x

x

.x

yyyy

xalorsX

8.07.019.0

008.00

7.01.01.080sup

3

2

1

4321

4321

8.07.019.0

yyyy

Xx

x

x

x

yyyy

yetY

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0sup

3

2

1

4321

Page 21: Cours Fl Call

21

– On définit le produit cartésien de deux ensembles flous A et B par (Mandani) :

Le produit cartésien de deux ensembles flous est une relation floue.

– La composition de deux relations floues est définie par (Mandani) :

Les relations floues (7) - OpérationsLes relations floues (7) - Opérations

vv

VBet

uu

UASoient

BA

1,0:1,0:

),min(, vuvuAlors BABA

wvwv

WVSet

vuvu

VURSoient

SR ,,

1,0:

,,

1,0:

wvvuwuAlors SRVv

SR ,,,minsup,

Page 22: Cours Fl Call

22

Exemple (au sens Mandani)

– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « y est très proche de z »

Les relations floues (8) - OpérationsLes relations floues (8) - Opérations

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxR

5.07.06.0

8.05.09.0

04.00

3.09.04.0

,

4

3

2

1

321

y

y

y

y

zzz

zyS

– alors leur composition est R º S.

6.0,1.0,0,4.0sup 0,0,4.0,0sup 0,0,0,0sup

5.07.06.0

8.05.09.0

04.00

3.09.040

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

4

3

2

1

321

3

2

1

4321

y

y

y

.y

zzz

x

x

x

yyyy

zxSR

7.09.07.0

04.00

5.08.06.0

3

2

1

321

x

x

x

zzz

Page 23: Cours Fl Call

23

Le raisonnement flou (1) - IntroductionLe raisonnement flou (1) - Introduction

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..Raisonnementflou

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Page 24: Cours Fl Call

24

Implication

– Logique classique : p q équivaut à p q on obtient la table de vérité suivante : (si p est vrai alors q est vrai

donc p q est faux quand p vrai et q vrai)

– Logique floue : Il n’y a pas une seule définition !

L’extension de la définition précédente est appelée l’implication de Kleene-Dienes :

– A B équivaut à

On utilise couramment l’implication de Mandani :

Le raisonnement flou (2) - Implication Le raisonnement flou (2) - Implication

vuvu BABA ,1max,

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

qpqp

vuvu BABA ,min,

Page 25: Cours Fl Call

25

Le raisonnement approximatif

– Théorie du raisonnement approximatif introduite par Zadeh en 1979.

– Concept de base : représentation de propositions par des formules

affectant des ensembles flous comme valeurs aux variables.

– Soient deux variables x X et y Y, et une relation de cause à effet entre

x et y, parfaitement connue : y = f ( x ). Alors on peut effectuer

l’inférence :

prémisse : y = f ( x )

Fait : x = x ’

Conséquence : y’ = f ( x ’ )

Le raisonnement flou (3) - Le raisonnement Le raisonnement flou (3) - Le raisonnement approximatif approximatif

Page 26: Cours Fl Call

26

– La plupart du temps, on ne connaît le lien de cause à effet f entre x et y qu’en certaines valeurs x particulières. On a une base de règles :

1 : si x = x1 alors y = y1

2 : si x = x2 alors y = y2

n : si x = xn alors y = yn

Il faut alors, connaissant x’ X, trouver y’ Y correspondant à x’ conformément à la base de règles.

– Le problème de base du raisonnement approximatif est de trouver la fonction d’appartenance de la conséquence C d’une base de règles { 1, …, n } et d’un fait x est

A.

1 : si x est A1 alors y est C1

2 : si x est A2 alors y est C2

n : si x est An alors y est Cn

Fait : x est A

Conséquence : y est C

Le raisonnement flou (4) - Le raisonnement Le raisonnement flou (4) - Le raisonnement approximatif approximatif

Page 27: Cours Fl Call

27

– Zadeh a introduit un certain nombre de «règles de traduction» pour représenter des affirmations linguistiques.

«inclusion»x est A Marie est très jeuneA B très jeune jeunex est B Marie est jeune

etx est A La pression n’ est pas très hautex est B La pression n’ est pas très bassex est A B La pression n’ est pas très haute et pas très basse

projection

( x, y) sont en relation R ( x, y ) sont proche de ( 2, 3 )

x est X( R ) x est proche de 2

( x, y) sont en relation R ( x, y ) sont proche de ( 2, 3 )

y est Y( R ) y est proche de 3

négation

non ( x est A ) non ( x est grand )

x est A x est non grand

Le raisonnement flou (5) - Le raisonnement Le raisonnement flou (5) - Le raisonnement approximatif approximatif

Page 28: Cours Fl Call

28

– La règle de raisonnement la plus importante est celle du modus podens généralisé.

Modus podens :

implication : si x est A alors z est Cfait : x est Aconséquence : z est C

Modus podens généralisé

implication : si x est A alors z est Cfait : x est A’conséquence : z est C ’

où la conséquence C ’ est déterminée par la composition du fait et de l’implication :

Au sens de Mandani, la fonction d’appartenance de la conséquence C ’ est définie

par :

Le raisonnement flou (6) - Le raisonnement Le raisonnement flou (6) - Le raisonnement approximatif approximatif

ZzzxxzsoitCAAC CAAXx

C

,,,minsup'' ''

Zzzxxzsoit

zxzxetCAAC

CAAXx

C

CACA

,,min,minsup

,min,''

''

Page 29: Cours Fl Call

29

Le raisonnement flou (7) - Inférences flouesLe raisonnement flou (7) - Inférences floues

Application du raisonnement approximatif : l’inférence floue

– Règle d’inférence (au sens Mandani):1 : si x est A1 alors z est C1

fait : x est x0

conséquence : z est C1 où la conséquence C1 est déterminée

par :

Zzzxxz CAxXx

C

,,min,minsup

1101

1

0x

(x)

1

0z

CC(z)

C1(z)

C1

x0

Zzzxzsoit CAC ,,min

111 0

Zzzxxzdoncxxxor CAxCx ,,min,min,0110

10

000

Zzzx CA ,,min,1min11 0

Page 30: Cours Fl Call

30

– Agrégation des règles (au sens Mandani):1 : si x est A1 alors z est C1

2 : si x est A2 alors z est C2 où la conséquence C est

déterminée par :n : si x est An alors z est Cn

Fait : x est x0

Conséquence : z est C

Le raisonnement flou (8) - Inférences flouesLe raisonnement flou (8) - Inférences floues

Zzzz iCni

C

,max,1

1

0x

(x)

1

0z

CC(z)

C1(z)

C1

x0

Zzzxzsoitii CA

niC

,,minmax 0

,1

x0

1

0x

(x)

1

0z

C1(z)

C1

z

1

0

CC(z)

C2(z)C2

C2(z) C2

C(z)

C

Page 31: Cours Fl Call

31

– Prémisses composées : Si les prémisses sont composées, on utilise l’union pour le ou et l’intersection pour

le et afin de déterminer la fonction d’appartenance de la condition. Exemple :

1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1

2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2

Fait : x est x0 et y est y0

Conséquence : z est C

où la conséquence C est déterminée par (Mandani) :

Le raisonnement flou (9) - Inférences flouesLe raisonnement flou (9) - Inférences floues

ZzzzzCCC ,,max 21

Zzzyxzyxzsoit CBACBAC ,,,min,,,minmax222111 0000

zyxzyxz

Zzpourencoresoit

CBACBAC 222111,,maxmin,,,minminmax 0000

Page 32: Cours Fl Call

32

Le raisonnement flou (10) - Inférences flouesLe raisonnement flou (10) - Inférences floues

C1(z)

C1

x0

x0

C2(z) C2

1

0x

(x)

1

0z

CC(z)

1

0y

(y)

y0

1

0x

(x)

z

1

0

CC(z)

1

0y

(y)

y0

1

0z

C1(z)

C1

C(z)

C

ET = min

OU = max C2(z)C2

1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1

2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2

Fait : x est x0 et y est y0

Conséquence : z est C

Page 33: Cours Fl Call

33

La défuzzification (1) - IntroductionLa défuzzification (1) - Introduction

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Défuzzificateur

Défuzzification

Page 34: Cours Fl Call

34

Définition

– L’objectif de la défuzzifcation est de transformer un ensemble flou en en une valeur de commande. Soit C un ensemble flou, et defuzz l’opérateur de défuzzification :

zu = defuzz(C), est une valeur précise.

– Les opérateurs de défuzzification sont nombreux, citons par exemple : Le centre de gravité (très souvent employée)

La moyenne des maximums

La défuzzification (2) - Définition La défuzzification (2) - Définition

ZiC

ZiCi

u

ZC

ZC

u w

ww

zoudww

dwww

z

jCZz

iCi

N

iiu

CZz

C

G

Gu

zzetZzoùzN

z

ouzgZgGoùdw

dww

z

j

max,1

,max,

1

1

0z

C(z) C

zu

Page 35: Cours Fl Call

35

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous

DéfuzzificateurVariablesde sortie

e1e2

em

...

u1u2

un

...Post-traitementPré-traitement

Régulation Floue (1) - IntroductionRégulation Floue (1) - Introduction

Rappelons la structure classique d’un régulateur flou

Régulateur flou+

-

c e uSystème

y

Pré-traitement Post-traitementFuzzification

Base de règlesfloues

Défuzzification

Page 36: Cours Fl Call

36

Pré-traitement

– Les mesures en entrée doivent être conditionnées : Quantification, échantillonnage … ; Normalisation, mise à l’échelle ; Filtrage ; Moyennage pour obtenir des tendances ; combinaison pour obtenir des indicateurs ; différentiation, intégration ou leurs équivalents discrets.

– Univers du discours :

Il contient tous les éléments qui seront pris en considération.

Il est continu ou discret.

Univers standard : utilisation de la mise à l ’échelle, d’une limitation

(éventuellement).

Régulation Floue (2) - Pré-traitement Régulation Floue (2) - Pré-traitement

Page 37: Cours Fl Call

37

Fuzzification

– Conversion des données en entrée en degré d’appartenance par l’intermédiaire de fonctions d’appartenance.

– Permet de déterminer le degré de confiance de chacune des conditions des règles pour la valeur de l’entrée (instance).

– Il y a un degré d’appartenance par terme linguistique s’appliquant à l ’entrée.

Régulation Floue (3) - Fuzzification Régulation Floue (3) - Fuzzification

Page 38: Cours Fl Call

38

– Fonctions d’appartenance Comment doit-on déterminer la forme des ensembles ? Combien d’ensembles sont nécessaires et suffisants ?

Un terme doit être suffisamment «large» pour autoriser du bruit de mesure Un certain degré de recouvrement est nécessaire pour éviter des états mal définis

conduisant à des sorties mal définies.

Commencer par des ensembles triangulaires symétriques et trois ensembles pour chaque variable. Plus de sept ensembles n’apporte aucune amélioration.

Pour les variables d’entrée :– Choisir les largeurs de façon à ce que chaque valeur de l’univers appartienne à deux

ensembles au moins ; excepté pour les extrémités.– S’il y a un « trou » entre deux ensembles, aucune règle ne se trouve activée pour ces

valeurs, la fonction de régulation n’est pas définie. Pour la variable de sortie :

– Les «trous» sont souhaitables.– Si la fonction est définie sous forme de singletons, alors le calcul est plus simple, on peut

utiliser les commandes maximales (obtention d’un phénomène transitoire rapide en cas de grandes variations), l’écriture des règles est plus intuitive.

Régulation Floue (4) - Fuzzification Régulation Floue (4) - Fuzzification

Page 39: Cours Fl Call

39

Base de règles

– Les règles peuvent mettre en jeu plusieurs variables dans leurs conditions et leurs conclusions.

– Le contrôleur nécessite, en général, en entrée l’erreur et la dérivée de l’erreur :

Représentation sous forme de règles :si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est très négative

si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est négative

si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est nulle

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est négative

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est nulle

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est positive

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est nulle

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est positive

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est très positive

Régulation Floue (5) - Base de règles Régulation Floue (5) - Base de règles

Page 40: Cours Fl Call

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Représentation sous forme de relations :

erreur dérivée de l’erreur sortie

négative négative très négative

négative nulle négative

négative positive nulle

nulle négative négative

nulle nulle nulle

nulle positive positive

positive négative nulle

positive nulle positive

positive positive très positive

Représentation sous forme de table :

dérivée de l’erreur

négative nulle positive

négative très négative négative nulle

erreur nulle négative nulle positive

positive nulle positive très positive

– Dans le cas ou une case est vide, cela signifie qu’il manque une règle.

Régulation Floue (6) - Base de règles Régulation Floue (6) - Base de règles

Page 41: Cours Fl Call

41

– Connexions :

les connexions et et ou sont en général définies par :

– A et B : min ( A , B ) A ou B : max ( A , B )

ou

– A et B : A * B A ou B : A + B - A * B

– Inférence :

détermination du degré d’appartenance de chacune des conditions des règles ,

activation de la règle, détermination de la conséquence (min)

agrégation des règles (max)

La méthode choisie à peu d’influence sur le résultat.

Régulation Floue (7) - Bases de règlesRégulation Floue (7) - Bases de règles

Page 42: Cours Fl Call

42

Défuzzification

– Utilisation de différentes méthodes :

centre de gravité, centre de gravité pour les singletons,

bissectrice

moyenne des minimums …

calcul facilité lorsque les fonctions d’appartenance de la variable de sortie sont

disjointes.

Post-traitement

– la mise à l ’échelle de la sortie doit être effectuée pour que la valeur de sortie

définie sur un univers de discours soit transformée en valeur de commande

physique.

Régulation Floue (8) - Défuzzification - Post-Régulation Floue (8) - Défuzzification - Post-traitementtraitement

Page 43: Cours Fl Call

43

Régulation Floue (9) - Influence des fonctions Régulation Floue (9) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Influence des fonctions d’appartenance

– Variables : erreur [-100, 100 ] en entrée et u [-100, 100 ] en sortie

– Base de règles : si l’erreur est négative alors la sortie est négative si l’erreur est nulle alors la sortie est nulle si l’erreur est positive alors la sortie est positive

– Méthodes d’inférence : activation - min ; agrégation - max

– Défuzzification : centre de gravité

– On considère le régulateur comme une fonction f telle que : y=f(u)

Page 44: Cours Fl Call

44

– Ensembles triangulaires en entrée et en sortie

Contrairement au régulateur linéaire (en jaune), le gain du régulateur flou varie.

Ce régulateur n’utilise pas la dynamique complète de la sortie. On ne peut pas

conduire la sortie à 100%.

Le gain est toujours égal ou inférieur à celui du régulateur linéaire.

Régulation Floue (10) - Influence des fonctions Régulation Floue (10) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Sortie en fonction de l’entrée

Page 45: Cours Fl Call

45

– Ensembles triangulaires en entrée , singletons en sortie

Les singletons en sortie éliminent le problème de dynamique en sortie.

La relation entrée sortie est linéaire.

Régulation Floue (11) - Influence des fonctions Régulation Floue (11) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Sortie en fonction de l’entrée

Page 46: Cours Fl Call

46

– Ensembles trapézoïdaux en entrée , singletons

en sortie

Les plateaux en entrée produisent des plateaux en sortie ainsi que des grand gains loins de la référence. C’est similaire à des zones mortes avec saturation.

Régulation Floue (12) - Influence des fonctions Régulation Floue (12) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Augmenter la largeur du terme milieu conduit à un plateau plus large autour de la référence.

Des recouvrements plus faibles dans les ensembles voisins conduisent à des pentes plus raides.

Sortie en fonction de l’entrée

Page 47: Cours Fl Call

47

– Ensembles Gaussiens en entrée , singletons en sortie

La relation entrée sortie est plus lisse.

Régulation Floue (13) - Influence des fonctions Régulation Floue (13) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Sortie en fonction de l’entrée

Page 48: Cours Fl Call

48

– Augmentation du nombre d’ensembles

La relation entrée sortie est plus « chahutée ».

Régulation Floue (14) - Influence des fonctions Régulation Floue (14) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Sortie en fonction de l’entrée

Page 49: Cours Fl Call

49

– Augmentation du nombre d’ensembles

On peut «contraindre» le plateau de référence

Régulation Floue (15) - Influence des fonctions Régulation Floue (15) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Sortie en fonction de l’entrée

Page 50: Cours Fl Call

50

– Conclusion

On peut dans une certaine mesure agir sur le gain.

L’utilisation de singletons en sortie facilite le réglage du contrôleur.

Les facteurs d’échelle ont une importance non négligeable.

– En dehors du domaine de variation autorisé (saturation), le régulateur applique une

action maximale, alors qu’à l’intérieur du domaine, l’action est «dosée».

– Si on agrandit le domaine de variation, on sature moins vite lorsque l’erreur est

importante mais on a moins de finesse de régulation lorsque l’erreur est faible.

Régulation Floue (16) - Influence des fonctions Régulation Floue (16) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance

Page 51: Cours Fl Call

51

Analyse de stabilité

– Question ouverte : aspect «recherche»

– Un régulateur par logique floue possède une caractéristique non linéaire.

– Utilisation des méthodes suivantes pour l’analyse de stabilité : Méthode directe de Lyapounov,

– relations compliquées, méthode restrictive.

Théorie de l’hyperstabilité,

– Relations plus simples que celles de la méthode de Lyapounov, méthode restrictive.

Méthode de l’espace d’état,

– Systèmes du 2ième ordre, pas de conclusion générale.

Critère de Popov,

– Méthode rigoureuse.

Méthode du premier harmonique.

– Méthode approximative.

Régulation Floue (17) - Analyse de stabilitéRégulation Floue (17) - Analyse de stabilité

Page 52: Cours Fl Call

52

Etude d’un système du deuxième ordre :

– choix 1 : n = 10 ; z=0.5

– choix 2 : n = 10 ; z=0.2

Régulation Floue (18) - ApplicationRégulation Floue (18) - Application

22

2

2 nn

n

pzp

k

Page 53: Cours Fl Call

53

Régulateur flou étude avec erreur en entrée :

– Fonction de sortie : 3 singletons - vneg -1, zéro 0; vpos 1

– Règles :

– Schéma Simulink

Régulation Floue (18) - ApplicationRégulation Floue (18) - Application

Page 54: Cours Fl Call

54

Régulation Floue (19) - ApplicationRégulation Floue (19) - Application

Influence des fonctions

d’appartenance en entrée :

Page 55: Cours Fl Call

55

Régulation Floue (20) - ApplicationRégulation Floue (20) - Application

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Page 56: Cours Fl Call

56

Régulation Floue (21) - ApplicationRégulation Floue (21) - Application

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Page 57: Cours Fl Call

57

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (22) - ApplicationRégulation Floue (22) - Application

Page 58: Cours Fl Call

58

Régulateur flou étude avec erreur en entrée :

– Fonction de sortie : 3 singletons - vneg -1, zéro 0; vpos 1

– Règles :

– Schéma Simulink

Régulation Floue (23) - ApplicationRégulation Floue (23) - Application

Page 59: Cours Fl Call

59

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (24) - ApplicationRégulation Floue (24) - Application

Page 60: Cours Fl Call

60

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (25) - ApplicationRégulation Floue (25) - Application

Page 61: Cours Fl Call

61

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (26) - ApplicationRégulation Floue (26) - Application

Page 62: Cours Fl Call

62

Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :

– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1

– Règles (dérivée non utilisée) :

– Schéma Simulink

Régulation Floue (27) - ApplicationRégulation Floue (27) - Application

Page 63: Cours Fl Call

63

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (28) - ApplicationRégulation Floue (28) - Application

Page 64: Cours Fl Call

64

Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :

– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1

– Règles (dérivée utilisée autour de zéro) :

– Schéma Simulink

Régulation Floue (29) - ApplicationRégulation Floue (29) - Application

Page 65: Cours Fl Call

65

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (30) - ApplicationRégulation Floue (30) - Application

Page 66: Cours Fl Call

66

Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :

– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1

– Règles (complètes) :

– Schéma Simulink

Régulation Floue (31) - ApplicationRégulation Floue (31) - Application

Page 67: Cours Fl Call

67

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (32) - ApplicationRégulation Floue (32) - Application

Page 68: Cours Fl Call

68

Influence des fonctions d’appartenance en entrée :

Régulation Floue (33) - ApplicationRégulation Floue (33) - Application

Page 69: Cours Fl Call

69

Influence du gain :

– Gain 1 :

– Gain 10 :

Régulation Floue (34) - ApplicationRégulation Floue (34) - Application

Page 70: Cours Fl Call

70

Etude de la bille sur un chariot.

– Balle : angle et vitesse

– Chariot : position, vitesse

– Action : force horizontale permettant de déplacer le chariot.

– Objectif : mettre la balle en haut de l’arc (angle de la balle 0) et position du

chariot 0.

– Le régulateur est composé de deux parties, une pour la balle et une pour le

chariot, elles sont «indépendantes».

– Voir les documents joints : «Cart-Ball User’s Guide» et «Analysis Of A

Pendulum Problem».

Régulation Floue (35) - ApplicationRégulation Floue (35) - Application

Page 71: Cours Fl Call

71

Bibliographie (1)Bibliographie (1)

Livres– P. Borne, J. Rozinoer, J.Y. Dieulot, L. Dubois

Introduction à la commande floueEditions Technip, Colllection sciences et technologies 1998

– H. BülerRéglage par logique flouePresses polytechniques et universitaires romandes, Colllection électricité 1994

– J. M. FlausLa régulation industrielleHermes, Traité des nouvelles technologies, série automatique 1994

– L. GacôgneEléments de logique floueHermes 1997

– J. GodjevacIdées nettes sur la logique flouePresses polytechniques et universitaires romandes, Colllection informatique 1999

– M. Mokhtari, M. MarieApplications de Matlab 5 et Simulink 2Springer 2000

Page 72: Cours Fl Call

72

Bibliographie (2)Bibliographie (2)

Livres (suite)– M. Rivoire, J. L. Ferrier

Matlab, Simulink, StateflowTechnips, Collection informatique 2001

– M. Rivoire, J. L. FerrierCours d ’automatique ; Tome 3 : Commande par calculateur, identificatiionEyrolles 1997

– H. ScholtenLogique floue et régulation PIDPublitronic 1995

– A. Zilouchian, M. JamshidiIntelligent control systems using soft computing methodologiesCRC Press 2001

– K. Passino, S. YurkovichFuzzy controlAddison-Wesley 1998

– C. W. de SilvaIntelligent control Fuzzy Logic ApplicationsCRC Press 1995

Page 73: Cours Fl Call

73

Bibliographie (3)Bibliographie (3)

Autres– Fuzzy Logic Toolbox for use with Matlab

User ’s Guide, Version 2, The Math Works Inc.

2000

Articles– S. Galichet, M. Dussud, L. Foulloy

Contrôleurs flous : équivalences et études comparativesLes applications des ensembles flous, Nimes 2-3 nov. 1992, pp. 229-236

– K. PassinoIntelligent control for autonomous systemsIEEE spectrum, june 1995, pp. 55-62

– A. F. Da Rocha, C. K. Morooka, L. AlegreSmart oil recoveryIEEE spectrum, july 1996, pp. 48-51

– P. Vieira, F. GomideComputer-aided train dispatchIEEE spectrum, july 1996, pp. 51-53

– H. YingFuzzy systems technology : a brief overviewIEEE Circuit and Systems Newletter, vol. 11, nb 3, Third quarter 2000, pp. 28-37ISSN 1049-3654

Page 74: Cours Fl Call

74

Bibliographie (4)Bibliographie (4)

Articles (suite)– Articles dans la revue Mesure des mois suivants

10/1990 ; 4,6,11/1991 ; 5/1992 ; 1,15/1993 ; 10/1994 ; 1/1995 ; 11/1996 ; 2,5/1997– Articles dans la revue Industries et Techniques des mois suivants

7/1990 ; 11/1991 ; 2,5,11/1992 ; 6,9/1993 ; 5/1994

Logiciel mis à disposition– Pendulum simulation, J. Jantzen

User Manual :

http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/usrguide.pdf

http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/usrguide.ps

Analysis Of a Pendulum Problem :

http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/cartball.pdf http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/cartball.ps

Installation logiciel :

Version 3. 1. Utilisée en cours :

http://fuzzy.iau.dtu.dk/tedlib.nsf/htmlmedia/library.html

Sélectionner Software, puis cliquer sur pendul31 The cart-Ball Simulator

Version régulation floue seule : http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/install.htm

Aide : http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/help.htm

Page 75: Cours Fl Call

75

Bibliographie (5)Bibliographie (5)

Internet– http://www.abo.fi/~rfuller/nfs.html

Cours « Neural fuzzy systems », Robert Fullér– http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/index.htm

Fuzzy control of a pendulum problem , J. Jantzenliens sur différents cours.

– http://fuzzy.iau.dtu.dk/The TEDServer

– http://ceaspub.eas.asu.edu/PowerZone/fuzzylogic/index.htmCours «Fuzzy Logic in Decision Making and Signal Processing  », Sujit Nath Pant et Keith E.

Holbert– http://gala.univ-perp.fr/~polit/chap0.html

Cours « Introduction au contrôle des procédés », M. Polit

– http://www.cs.nthu.edu.tw/~jang/mlbook/demo/#nfscMatlab Demos, J. R. Jang

– http://eewww.eng.ohio-state.edu/~passino/ICbook/ic_code.htmlMatlab Code for Biomimicry for Optimization, Control, and Automation, K. Passino

Page 76: Cours Fl Call

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Bibliographie (6)Bibliographie (6)

Internet (suite)

– http://membres.lycos.fr/ymorere/article.php3?id_article=21Article : « Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones » , Y. Momère

– http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/nefcon/nef_mat.htmlArticle : « Neuro-Fuzzy Control Based on the NEFCON-Model Under MATLAB / SIMULINK » ,

A. Nürnberger, D. Nauck, R. Kruse– http://pws.prserv.net/Electron.libre/Electron.libre/dossiers/la_logique_floue.htm

Article : « la logique floue » , L. Doris

– http://www.cs.berkeley.edu/~zadeh/Page personnelle de L. Zadeh

– http://www.iau.dtu.dk/~jj/address.htmlPage personnelle de J. Jantzen

– http://ist.psu.edu/yen/Page personnelle de J. Yen

– http://ymorere.multimania.com/Page personnelle de Y. Morère

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Sommaire (1)Sommaire (1)

Introduction 2 Les ensembles flous 7

– Définitions 8– Opérations 13– Propriétés 14

Les relations floues 15– Définitions 16– Opérations 18

Le raisonnement flou 23– Implication 24– Raisonnement approximatif 25– Inférence floue 29

La défuzzification 33– Définition 34

Régulation floue 35– Pré-traitement 36– Fuzzification 37– Base de règles 39– Défuzzification - Post-traitement 42– Influence des fonctions d‘appartenance 43– Stabilité 51– Application 52

Bibliographie 71

Merci à Jean-Yves Fourquet et à Jan Jantzen