cours fl call
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régulation floueTRANSCRIPT
1
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes
5 année - Systèmes Mécatroniques5 année - Systèmes Mécatroniques
Régulation FloueRégulation Floue
Version 2004 - Pascale ChironVersion 2004 - Pascale Chiron
2
Introduction (1)Introduction (1)
Un peu d’histoire– 1965 L. A. Zadeh «Fuzzy sets»– 1975 E. H. Mandani Expérimentation d’un régulateur flou– 1985 M. Sugeno Applications industrielles possibles– 1995 J. S. R. Jang Logique floue élargie aux systèmes à réseaux
de neurones et à l’ Intelligence Artificielle.
Les ensembles flous : extension des ensembles «classiques» (crisp set)
3
Introduction (2)Introduction (2)
Structure classique d’un régulateur flou
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous Défuzzificateur
Variablesde sortie
e1e2
em
u1u2
un
.. ..
Régulateur flou+
-
c e uSystème
y
4
Introduction (3)Introduction (3)
Exemple : déplacement du robot le long du mur
– Si la distance est petite, tourner à gauche (angle négatif)– Si la distance est autour de 10 cm, garder la direction actuelle– Si la distance est grande, tourner à droite (angle positif)
d
-14 : angle de rotationDistance : 5 cm
5
Introduction (4)Introduction (4)
Des exemples d’applications dans le domaine industriel– 1979 Cimenterie au Danemark– 1987 Métro de Sendai (Hitachi) – 1990 Conduite de hauts-fourneaux Dunkerque– 1992 Usine de papier au Portugal– Produits de consommation courante
Autocuiseurs de riz, aspirateurs, machines à laver, système de climatisation… Appareils photos : autofocus, autoexposition, autozoom (Canon, Minolta). Caméras : autofocus, autoexposition, stabilisateur d’image (Sanyo, Canon,
Matsushita). Photocopieurs : qualité d’image, distribution d’encre (Sanyo, Canon, Ricoh).
– Industrie automobile régulation du moteur, système de transmission, système de suspension, ABS,
climatisation.
– Ascenseur : temps d’attente réduit, ascension et arrêt plus régulier (Hitachi)– ...
6
Introduction (5)Introduction (5)
Quand utiliser un régulateur flou ?– Difficulté (ou incapacité) de modéliser le processus : processus complexes,
processus non linéaires.– Coût de la modélisation en terme de temps, moyens… trop élevé.– Amélioration des performances de régulateurs «linéaires».
Points forts– Structure simple, coût de la synthèse et de l’implémentation «faible».– Proche du langage courant, facilité de modification.
Idées fausses– Permet de réguler un processus sans aucune notion de régulation.
Il faut des bases ...
– Permet de traiter de connaissances imprécises régulateur déterministe, exprime une relation déterministe entre ses entrées et ses
sorties, fonction non linéaire définie de façon intuitive, intelligible, ayant une signification
précise.
7
Ensembles flous (1) - IntroductionEnsembles flous (1) - Introduction
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous Défuzzificateur
Variablesde sortie
e1e2
em
u1u2
un
.. ..
Ensemblesflous
Fuzzification
8
Définitions– Un ensemble flou A est défini sur un univers de discours U (ensemble
d’éléments discrets ou continus) par sa fonction d’appartenance A. La grandeur A(x) définit le degré d’appartenance de l’élément x à l ’ensemble A.
– L’ensemble flou vide est noté U, il est défini par :
– Le plus grand ensemble flou sur U est noté 1U , il est défini par :
Les ensembles flous (2) - DéfinitionsLes ensembles flous (2) - Définitions
1
0
,
1,0:
xUxAnoy
xUxAsupp
UxxxA
xx
U
A
A
A
A
A
noyau = noy(A)
frontièrefrontière
support : supp(A)
1
0
A(x)
x
UxxU
,0
UxxU
,11
9
– Pour un univers U comportant un nombre fini d’éléments, on peut
utiliser la notation suivante.
– Pour une variable x0 exacte, l’ensemble flou correspondant, noté x0 ,
doit être représenté par un fait précis. On utilise un singleton. Sa
fonction d’appartenance x0 est définie par :
Les ensembles flous (6) - DéfinitionsLes ensembles flous (6) - Définitions
0
0
0
1
1,0:
0
0
xxsi
xxsixx
U
x
x
x0
1
0
X0(x)
x
n
i i
i
n
n
i
xxxxx
nixU
11
1
1,01:
x3
0
(x)
xx4
x5
x1
x2
1
4
2
3
5
10
– Les fonctions d’appartenance peuvent avoir diverses formes selon leur définition :
triangulaire, trapézoïdale,
Gaussienne,
Sigmoïdes...
Les ensembles flous (3) - DéfinitionsLes ensembles flous (3) - Définitions
11
– Exemples :
Les ensembles flous (4) - DéfinitionsLes ensembles flous (4) - Définitions
350
352015
20
201
1,0100,0:
xsix
xsix
x
xsix
x
jeune
jeune
jeune
jeune
755520
5555351
352015
2075200
1,0100,0:
xsix
x
xsix
xsix
x
xouxsix
x
mûr
mûr
mûr
mûr
mûr
750
755520
55
550
1,0100,0:
xsix
xsix
x
xsix
x
vieux
vieux
vieux
vieux
12
– Exemples :
Les ensembles flous (5) - DéfinitionsLes ensembles flous (5) - Définitions
2
152
1
1,0100,0:
x
jeune
jeune
exx
2
12
45
2
1
1,0100,0:
x
mûr
mûr
exx
2
20
100
2
1
1,0100,0:
x
vieux
vieux
exx
13
Les ensembles flous (7) - OpérationsLes ensembles flous (7) - Opérations
Opérations sur les ensembles flous– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les opérations logiques
d’union (ou), d’intersection (et) et de complémentation (non) peuvent être appliquées aux ensembles flous. Leur définition ne sont pas uniques.
– Les définitions les plus souvent rencontrées sont : le max et le min (Mandani), la somme moins le produit et le produit (Sugeno)
– Exemple dans le cas Mandani
Uxpour
xxcasdeuxlesDans
xxxetxxxxxSugeno
xxxetxxxMandani
AA
BABABABABA
BABABABA
1:
:
),min(),max(:
1
0x
A(x) B(x) 1
0x
A(x)1
0x
A(x)A (x)(x)1
0x
A(x) B(x)
AB(x)
14
L’union d’un ensemble flou et de son complément ne donne pas l’univers du discours
Propriétés des ensembles flous– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les ensembles flous
possèdent certaines propriétés.
– Les deux propriétés suivantes ne sont pas «classiques» L’intersection d’un ensemble flou et de son complément n’est pas vide
Les ensembles flous (8) - PropriétésLes ensembles flous (8) - Propriétés
AAAAAAIdentité
AAAAAAeIdempotenc
CABACBACABACBAvitéDistributi
CBACBACBACBAitéAssociativ
ABBAABBAitéCommutativ
UUU
1,,11,:
,:
,:
,:
,:
AAioncontradictdeLoi :1
0x
UAAmiddleexcludedduLoi 1:"" 1
0x
A (x)
A (x)
15
Les relations floues (1) - IntroductionLes relations floues (1) - Introduction
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous Défuzzificateur
Variablesde sortie
e1e2
em
u1u2
un
.. ..
Opérateurs delogique floue
Raisonnementflou
16
Définitons– Se sont des structures qui représentent l’absence ou la présence d’une
corrélation ou d’une interaction entre les éléments de divers ensembles.
– Les degrés de relation entre des éléments de deux ou plusieurs ensembles flous peuvent prendre un nombre infini de valeurs entre les deux extrêmes «reliés totalement» et «non reliés».
– Relation binaire sur un ensemble classique : Soient X1 et X2 deux ensembles, R X1 X2 est appelée relation binaire. C’est
un ensemble.
Si X1 = X2 = R, alors la fonction caractéristique de R est définie par :
Exemple :
Les relations floues (2) - DéfinitionsLes relations floues (2) - Définitions
autrement
RvusivuR 0
,1,
autrement
cbavusivu
cvetbauRvu
R 0
,0,,1,
,0,),(
c
0xa
R(x)
b
17
– Relation floue : Une relation floue sur deux univers U et V est un ensemble flou :
On ne parle plus de fonction caractéristique mais de fonction d’appartenance.
est interprété comme le degré d’appartenance de la paire
ordonnée (u,v) de R.
Exemple :
– Soit l’univers U = { 1, 2, 3 }, la relation R « est approximativement égal à » peut-être définie par : Notation matricielle :
Les relations floues (3) - DéfinitionsLes relations floues (3) - Définitions
vuvu
VUR
R ,,
1,0:
23,0
18,0
1
,,
1,03,2,13,2,1:
vusi
vusi
vusi
vuvu
R
R
18.03.03
8.018.02
3.08.011
321
vuR ,
18
Opérations sur les relations floues
– On définit l’union et l’intersection de deux relations floues par :
Les relations floues (4) - OpérationsLes relations floues (4) - Opérations
vuvu
VUSet
vuvu
VURSoient
SR ,,
1,0:
,,
1,0:
),,,min(,
),,,max(,
)(
vuvuvuet
vuvuvu
:maxMandanisensauAlors
SRSR
SRSR
vuvuvuet
vuvuvuvuvu
prodSugenosensauAlors
SRSR
SRSRSR
,,,
,,,,,
:)(
19
Les relations floues (5) - OpérationsLes relations floues (5) - Opérations
Exemple (cas Mandani) :
– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « x est très proche de y »
– R S = « x est beaucoup plus grand que y » ou « x est très proche de y »
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0,
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
yxR
5.08.003.0
7.05.04.09.0
6.09.004.0,
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
yxS
5.08.003.0
7.05.04.09.0
6.09.004.0,
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0max,
3
2
1
4321
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
x
x
x
yyyy
yxSR
8.08.019.0
7.05.08.09.0
7.09.01.08.0
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
5.07.003.0
004.00
6.01.004.0
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
– R S = « x est beaucoup plus grand que y » et « x est très proche de y »
5.08.003.0
7.05.04.09.0
6.09.004.0,
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0min,
3
2
1
4321
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
x
x
x
yyyy
yxSR
20
– Soit une relation floue sur U V, la projection de R sur U (U) et la
projection de R sur V (V) sont définies par :
Exemple :
Les relations floues (6) - OpérationsLes relations floues (6) - Opérations
UuvuvetVvvuuAlors RR VU ,sup,sup
vuvu
VURSoit
R ,,
1,0:
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0,
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
yxR
321
18.08.0
xxx
Yy
x
x
.x
yyyy
xalorsX
8.07.019.0
008.00
7.01.01.080sup
3
2
1
4321
4321
8.07.019.0
yyyy
Xx
x
x
x
yyyy
yetY
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0sup
3
2
1
4321
21
– On définit le produit cartésien de deux ensembles flous A et B par (Mandani) :
Le produit cartésien de deux ensembles flous est une relation floue.
– La composition de deux relations floues est définie par (Mandani) :
Les relations floues (7) - OpérationsLes relations floues (7) - Opérations
vv
VBet
uu
UASoient
BA
1,0:1,0:
),min(, vuvuAlors BABA
wvwv
WVSet
vuvu
VURSoient
SR ,,
1,0:
,,
1,0:
wvvuwuAlors SRVv
SR ,,,minsup,
22
Exemple (au sens Mandani)
– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « y est très proche de z »
Les relations floues (8) - OpérationsLes relations floues (8) - Opérations
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0,
3
2
1
4321
x
x
x
yyyy
yxR
5.07.06.0
8.05.09.0
04.00
3.09.04.0
,
4
3
2
1
321
y
y
y
y
zzz
zyS
– alors leur composition est R º S.
6.0,1.0,0,4.0sup 0,0,4.0,0sup 0,0,0,0sup
5.07.06.0
8.05.09.0
04.00
3.09.040
8.07.019.0
008.00
7.01.01.08.0,
4
3
2
1
321
3
2
1
4321
y
y
y
.y
zzz
x
x
x
yyyy
zxSR
7.09.07.0
04.00
5.08.06.0
3
2
1
321
x
x
x
zzz
23
Le raisonnement flou (1) - IntroductionLe raisonnement flou (1) - Introduction
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous Défuzzificateur
Variablesde sortie
e1e2
em
u1u2
un
.. ..Raisonnementflou
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
24
Implication
– Logique classique : p q équivaut à p q on obtient la table de vérité suivante : (si p est vrai alors q est vrai
donc p q est faux quand p vrai et q vrai)
– Logique floue : Il n’y a pas une seule définition !
L’extension de la définition précédente est appelée l’implication de Kleene-Dienes :
– A B équivaut à
On utilise couramment l’implication de Mandani :
Le raisonnement flou (2) - Implication Le raisonnement flou (2) - Implication
vuvu BABA ,1max,
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
qpqp
vuvu BABA ,min,
25
Le raisonnement approximatif
– Théorie du raisonnement approximatif introduite par Zadeh en 1979.
– Concept de base : représentation de propositions par des formules
affectant des ensembles flous comme valeurs aux variables.
– Soient deux variables x X et y Y, et une relation de cause à effet entre
x et y, parfaitement connue : y = f ( x ). Alors on peut effectuer
l’inférence :
prémisse : y = f ( x )
Fait : x = x ’
Conséquence : y’ = f ( x ’ )
Le raisonnement flou (3) - Le raisonnement Le raisonnement flou (3) - Le raisonnement approximatif approximatif
26
– La plupart du temps, on ne connaît le lien de cause à effet f entre x et y qu’en certaines valeurs x particulières. On a une base de règles :
1 : si x = x1 alors y = y1
2 : si x = x2 alors y = y2
n : si x = xn alors y = yn
Il faut alors, connaissant x’ X, trouver y’ Y correspondant à x’ conformément à la base de règles.
– Le problème de base du raisonnement approximatif est de trouver la fonction d’appartenance de la conséquence C d’une base de règles { 1, …, n } et d’un fait x est
A.
1 : si x est A1 alors y est C1
2 : si x est A2 alors y est C2
n : si x est An alors y est Cn
Fait : x est A
Conséquence : y est C
Le raisonnement flou (4) - Le raisonnement Le raisonnement flou (4) - Le raisonnement approximatif approximatif
27
– Zadeh a introduit un certain nombre de «règles de traduction» pour représenter des affirmations linguistiques.
«inclusion»x est A Marie est très jeuneA B très jeune jeunex est B Marie est jeune
etx est A La pression n’ est pas très hautex est B La pression n’ est pas très bassex est A B La pression n’ est pas très haute et pas très basse
projection
( x, y) sont en relation R ( x, y ) sont proche de ( 2, 3 )
x est X( R ) x est proche de 2
( x, y) sont en relation R ( x, y ) sont proche de ( 2, 3 )
y est Y( R ) y est proche de 3
négation
non ( x est A ) non ( x est grand )
x est A x est non grand
Le raisonnement flou (5) - Le raisonnement Le raisonnement flou (5) - Le raisonnement approximatif approximatif
28
– La règle de raisonnement la plus importante est celle du modus podens généralisé.
Modus podens :
implication : si x est A alors z est Cfait : x est Aconséquence : z est C
Modus podens généralisé
implication : si x est A alors z est Cfait : x est A’conséquence : z est C ’
où la conséquence C ’ est déterminée par la composition du fait et de l’implication :
Au sens de Mandani, la fonction d’appartenance de la conséquence C ’ est définie
par :
Le raisonnement flou (6) - Le raisonnement Le raisonnement flou (6) - Le raisonnement approximatif approximatif
ZzzxxzsoitCAAC CAAXx
C
,,,minsup'' ''
Zzzxxzsoit
zxzxetCAAC
CAAXx
C
CACA
,,min,minsup
,min,''
''
29
Le raisonnement flou (7) - Inférences flouesLe raisonnement flou (7) - Inférences floues
Application du raisonnement approximatif : l’inférence floue
– Règle d’inférence (au sens Mandani):1 : si x est A1 alors z est C1
fait : x est x0
conséquence : z est C1 où la conséquence C1 est déterminée
par :
Zzzxxz CAxXx
C
,,min,minsup
1101
1
0x
(x)
1
0z
CC(z)
C1(z)
C1
x0
Zzzxzsoit CAC ,,min
111 0
Zzzxxzdoncxxxor CAxCx ,,min,min,0110
10
000
Zzzx CA ,,min,1min11 0
30
– Agrégation des règles (au sens Mandani):1 : si x est A1 alors z est C1
2 : si x est A2 alors z est C2 où la conséquence C est
déterminée par :n : si x est An alors z est Cn
Fait : x est x0
Conséquence : z est C
Le raisonnement flou (8) - Inférences flouesLe raisonnement flou (8) - Inférences floues
Zzzz iCni
C
,max,1
1
0x
(x)
1
0z
CC(z)
C1(z)
C1
x0
Zzzxzsoitii CA
niC
,,minmax 0
,1
x0
1
0x
(x)
1
0z
C1(z)
C1
z
1
0
CC(z)
C2(z)C2
C2(z) C2
C(z)
C
31
– Prémisses composées : Si les prémisses sont composées, on utilise l’union pour le ou et l’intersection pour
le et afin de déterminer la fonction d’appartenance de la condition. Exemple :
1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1
2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2
Fait : x est x0 et y est y0
Conséquence : z est C
où la conséquence C est déterminée par (Mandani) :
Le raisonnement flou (9) - Inférences flouesLe raisonnement flou (9) - Inférences floues
ZzzzzCCC ,,max 21
Zzzyxzyxzsoit CBACBAC ,,,min,,,minmax222111 0000
zyxzyxz
Zzpourencoresoit
CBACBAC 222111,,maxmin,,,minminmax 0000
32
Le raisonnement flou (10) - Inférences flouesLe raisonnement flou (10) - Inférences floues
C1(z)
C1
x0
x0
C2(z) C2
1
0x
(x)
1
0z
CC(z)
1
0y
(y)
y0
1
0x
(x)
z
1
0
CC(z)
1
0y
(y)
y0
1
0z
C1(z)
C1
C(z)
C
ET = min
OU = max C2(z)C2
1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1
2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2
Fait : x est x0 et y est y0
Conséquence : z est C
33
La défuzzification (1) - IntroductionLa défuzzification (1) - Introduction
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous Défuzzificateur
Variablesde sortie
e1e2
em
u1u2
un
.. ..
Défuzzificateur
Défuzzification
34
Définition
– L’objectif de la défuzzifcation est de transformer un ensemble flou en en une valeur de commande. Soit C un ensemble flou, et defuzz l’opérateur de défuzzification :
zu = defuzz(C), est une valeur précise.
– Les opérateurs de défuzzification sont nombreux, citons par exemple : Le centre de gravité (très souvent employée)
La moyenne des maximums
La défuzzification (2) - Définition La défuzzification (2) - Définition
ZiC
ZiCi
u
ZC
ZC
u w
ww
zoudww
dwww
z
jCZz
iCi
N
iiu
CZz
C
G
Gu
zzetZzoùzN
z
ouzgZgGoùdw
dww
z
j
max,1
,max,
1
1
0z
C(z) C
zu
35
Variablesd’entrée
Fuzzification Raisonnementflou
Défuzzification
Base de règlesfloues
Méthoded’inférence
floue
Opérateurs delogique floue
Ensemblesflous
DéfuzzificateurVariablesde sortie
e1e2
em
...
u1u2
un
...Post-traitementPré-traitement
Régulation Floue (1) - IntroductionRégulation Floue (1) - Introduction
Rappelons la structure classique d’un régulateur flou
Régulateur flou+
-
c e uSystème
y
Pré-traitement Post-traitementFuzzification
Base de règlesfloues
Défuzzification
36
Pré-traitement
– Les mesures en entrée doivent être conditionnées : Quantification, échantillonnage … ; Normalisation, mise à l’échelle ; Filtrage ; Moyennage pour obtenir des tendances ; combinaison pour obtenir des indicateurs ; différentiation, intégration ou leurs équivalents discrets.
– Univers du discours :
Il contient tous les éléments qui seront pris en considération.
Il est continu ou discret.
Univers standard : utilisation de la mise à l ’échelle, d’une limitation
(éventuellement).
Régulation Floue (2) - Pré-traitement Régulation Floue (2) - Pré-traitement
37
Fuzzification
– Conversion des données en entrée en degré d’appartenance par l’intermédiaire de fonctions d’appartenance.
– Permet de déterminer le degré de confiance de chacune des conditions des règles pour la valeur de l’entrée (instance).
– Il y a un degré d’appartenance par terme linguistique s’appliquant à l ’entrée.
Régulation Floue (3) - Fuzzification Régulation Floue (3) - Fuzzification
38
– Fonctions d’appartenance Comment doit-on déterminer la forme des ensembles ? Combien d’ensembles sont nécessaires et suffisants ?
Un terme doit être suffisamment «large» pour autoriser du bruit de mesure Un certain degré de recouvrement est nécessaire pour éviter des états mal définis
conduisant à des sorties mal définies.
Commencer par des ensembles triangulaires symétriques et trois ensembles pour chaque variable. Plus de sept ensembles n’apporte aucune amélioration.
Pour les variables d’entrée :– Choisir les largeurs de façon à ce que chaque valeur de l’univers appartienne à deux
ensembles au moins ; excepté pour les extrémités.– S’il y a un « trou » entre deux ensembles, aucune règle ne se trouve activée pour ces
valeurs, la fonction de régulation n’est pas définie. Pour la variable de sortie :
– Les «trous» sont souhaitables.– Si la fonction est définie sous forme de singletons, alors le calcul est plus simple, on peut
utiliser les commandes maximales (obtention d’un phénomène transitoire rapide en cas de grandes variations), l’écriture des règles est plus intuitive.
Régulation Floue (4) - Fuzzification Régulation Floue (4) - Fuzzification
39
Base de règles
– Les règles peuvent mettre en jeu plusieurs variables dans leurs conditions et leurs conclusions.
– Le contrôleur nécessite, en général, en entrée l’erreur et la dérivée de l’erreur :
Représentation sous forme de règles :si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est très négative
si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est négative
si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est nulle
si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est négative
si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est nulle
si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est positive
si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est nulle
si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est positive
si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est très positive
Régulation Floue (5) - Base de règles Régulation Floue (5) - Base de règles
40
Représentation sous forme de relations :
erreur dérivée de l’erreur sortie
négative négative très négative
négative nulle négative
négative positive nulle
nulle négative négative
nulle nulle nulle
nulle positive positive
positive négative nulle
positive nulle positive
positive positive très positive
Représentation sous forme de table :
dérivée de l’erreur
négative nulle positive
négative très négative négative nulle
erreur nulle négative nulle positive
positive nulle positive très positive
– Dans le cas ou une case est vide, cela signifie qu’il manque une règle.
Régulation Floue (6) - Base de règles Régulation Floue (6) - Base de règles
41
– Connexions :
les connexions et et ou sont en général définies par :
– A et B : min ( A , B ) A ou B : max ( A , B )
ou
– A et B : A * B A ou B : A + B - A * B
– Inférence :
détermination du degré d’appartenance de chacune des conditions des règles ,
activation de la règle, détermination de la conséquence (min)
agrégation des règles (max)
La méthode choisie à peu d’influence sur le résultat.
Régulation Floue (7) - Bases de règlesRégulation Floue (7) - Bases de règles
42
Défuzzification
– Utilisation de différentes méthodes :
centre de gravité, centre de gravité pour les singletons,
bissectrice
moyenne des minimums …
calcul facilité lorsque les fonctions d’appartenance de la variable de sortie sont
disjointes.
Post-traitement
– la mise à l ’échelle de la sortie doit être effectuée pour que la valeur de sortie
définie sur un univers de discours soit transformée en valeur de commande
physique.
Régulation Floue (8) - Défuzzification - Post-Régulation Floue (8) - Défuzzification - Post-traitementtraitement
43
Régulation Floue (9) - Influence des fonctions Régulation Floue (9) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Influence des fonctions d’appartenance
– Variables : erreur [-100, 100 ] en entrée et u [-100, 100 ] en sortie
– Base de règles : si l’erreur est négative alors la sortie est négative si l’erreur est nulle alors la sortie est nulle si l’erreur est positive alors la sortie est positive
– Méthodes d’inférence : activation - min ; agrégation - max
– Défuzzification : centre de gravité
– On considère le régulateur comme une fonction f telle que : y=f(u)
44
– Ensembles triangulaires en entrée et en sortie
Contrairement au régulateur linéaire (en jaune), le gain du régulateur flou varie.
Ce régulateur n’utilise pas la dynamique complète de la sortie. On ne peut pas
conduire la sortie à 100%.
Le gain est toujours égal ou inférieur à celui du régulateur linéaire.
Régulation Floue (10) - Influence des fonctions Régulation Floue (10) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Sortie en fonction de l’entrée
45
– Ensembles triangulaires en entrée , singletons en sortie
Les singletons en sortie éliminent le problème de dynamique en sortie.
La relation entrée sortie est linéaire.
Régulation Floue (11) - Influence des fonctions Régulation Floue (11) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Sortie en fonction de l’entrée
46
– Ensembles trapézoïdaux en entrée , singletons
en sortie
Les plateaux en entrée produisent des plateaux en sortie ainsi que des grand gains loins de la référence. C’est similaire à des zones mortes avec saturation.
Régulation Floue (12) - Influence des fonctions Régulation Floue (12) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Augmenter la largeur du terme milieu conduit à un plateau plus large autour de la référence.
Des recouvrements plus faibles dans les ensembles voisins conduisent à des pentes plus raides.
Sortie en fonction de l’entrée
47
– Ensembles Gaussiens en entrée , singletons en sortie
La relation entrée sortie est plus lisse.
Régulation Floue (13) - Influence des fonctions Régulation Floue (13) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Sortie en fonction de l’entrée
48
– Augmentation du nombre d’ensembles
La relation entrée sortie est plus « chahutée ».
Régulation Floue (14) - Influence des fonctions Régulation Floue (14) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Sortie en fonction de l’entrée
49
– Augmentation du nombre d’ensembles
On peut «contraindre» le plateau de référence
Régulation Floue (15) - Influence des fonctions Régulation Floue (15) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
Sortie en fonction de l’entrée
50
– Conclusion
On peut dans une certaine mesure agir sur le gain.
L’utilisation de singletons en sortie facilite le réglage du contrôleur.
Les facteurs d’échelle ont une importance non négligeable.
– En dehors du domaine de variation autorisé (saturation), le régulateur applique une
action maximale, alors qu’à l’intérieur du domaine, l’action est «dosée».
– Si on agrandit le domaine de variation, on sature moins vite lorsque l’erreur est
importante mais on a moins de finesse de régulation lorsque l’erreur est faible.
Régulation Floue (16) - Influence des fonctions Régulation Floue (16) - Influence des fonctions d’appartenanced’appartenance
51
Analyse de stabilité
– Question ouverte : aspect «recherche»
– Un régulateur par logique floue possède une caractéristique non linéaire.
– Utilisation des méthodes suivantes pour l’analyse de stabilité : Méthode directe de Lyapounov,
– relations compliquées, méthode restrictive.
Théorie de l’hyperstabilité,
– Relations plus simples que celles de la méthode de Lyapounov, méthode restrictive.
Méthode de l’espace d’état,
– Systèmes du 2ième ordre, pas de conclusion générale.
Critère de Popov,
– Méthode rigoureuse.
Méthode du premier harmonique.
– Méthode approximative.
Régulation Floue (17) - Analyse de stabilitéRégulation Floue (17) - Analyse de stabilité
52
Etude d’un système du deuxième ordre :
– choix 1 : n = 10 ; z=0.5
– choix 2 : n = 10 ; z=0.2
Régulation Floue (18) - ApplicationRégulation Floue (18) - Application
22
2
2 nn
n
pzp
k
53
Régulateur flou étude avec erreur en entrée :
– Fonction de sortie : 3 singletons - vneg -1, zéro 0; vpos 1
– Règles :
– Schéma Simulink
Régulation Floue (18) - ApplicationRégulation Floue (18) - Application
54
Régulation Floue (19) - ApplicationRégulation Floue (19) - Application
Influence des fonctions
d’appartenance en entrée :
55
Régulation Floue (20) - ApplicationRégulation Floue (20) - Application
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
56
Régulation Floue (21) - ApplicationRégulation Floue (21) - Application
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
57
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (22) - ApplicationRégulation Floue (22) - Application
58
Régulateur flou étude avec erreur en entrée :
– Fonction de sortie : 3 singletons - vneg -1, zéro 0; vpos 1
– Règles :
– Schéma Simulink
Régulation Floue (23) - ApplicationRégulation Floue (23) - Application
59
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (24) - ApplicationRégulation Floue (24) - Application
60
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (25) - ApplicationRégulation Floue (25) - Application
61
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (26) - ApplicationRégulation Floue (26) - Application
62
Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :
– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1
– Règles (dérivée non utilisée) :
– Schéma Simulink
Régulation Floue (27) - ApplicationRégulation Floue (27) - Application
63
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (28) - ApplicationRégulation Floue (28) - Application
64
Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :
– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1
– Règles (dérivée utilisée autour de zéro) :
– Schéma Simulink
Régulation Floue (29) - ApplicationRégulation Floue (29) - Application
65
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (30) - ApplicationRégulation Floue (30) - Application
66
Régulateur flou étude avec erreur et dérivée de l’erreur en entrée :
– Fonction de sortie : 5 singletons - vneg -1, neg -0.7; zéro 0; pos 0.7; vpos 1
– Règles (complètes) :
– Schéma Simulink
Régulation Floue (31) - ApplicationRégulation Floue (31) - Application
67
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (32) - ApplicationRégulation Floue (32) - Application
68
Influence des fonctions d’appartenance en entrée :
Régulation Floue (33) - ApplicationRégulation Floue (33) - Application
69
Influence du gain :
– Gain 1 :
– Gain 10 :
Régulation Floue (34) - ApplicationRégulation Floue (34) - Application
70
Etude de la bille sur un chariot.
– Balle : angle et vitesse
– Chariot : position, vitesse
– Action : force horizontale permettant de déplacer le chariot.
– Objectif : mettre la balle en haut de l’arc (angle de la balle 0) et position du
chariot 0.
– Le régulateur est composé de deux parties, une pour la balle et une pour le
chariot, elles sont «indépendantes».
– Voir les documents joints : «Cart-Ball User’s Guide» et «Analysis Of A
Pendulum Problem».
Régulation Floue (35) - ApplicationRégulation Floue (35) - Application
71
Bibliographie (1)Bibliographie (1)
Livres– P. Borne, J. Rozinoer, J.Y. Dieulot, L. Dubois
Introduction à la commande floueEditions Technip, Colllection sciences et technologies 1998
– H. BülerRéglage par logique flouePresses polytechniques et universitaires romandes, Colllection électricité 1994
– J. M. FlausLa régulation industrielleHermes, Traité des nouvelles technologies, série automatique 1994
– L. GacôgneEléments de logique floueHermes 1997
– J. GodjevacIdées nettes sur la logique flouePresses polytechniques et universitaires romandes, Colllection informatique 1999
– M. Mokhtari, M. MarieApplications de Matlab 5 et Simulink 2Springer 2000
72
Bibliographie (2)Bibliographie (2)
Livres (suite)– M. Rivoire, J. L. Ferrier
Matlab, Simulink, StateflowTechnips, Collection informatique 2001
– M. Rivoire, J. L. FerrierCours d ’automatique ; Tome 3 : Commande par calculateur, identificatiionEyrolles 1997
– H. ScholtenLogique floue et régulation PIDPublitronic 1995
– A. Zilouchian, M. JamshidiIntelligent control systems using soft computing methodologiesCRC Press 2001
– K. Passino, S. YurkovichFuzzy controlAddison-Wesley 1998
– C. W. de SilvaIntelligent control Fuzzy Logic ApplicationsCRC Press 1995
73
Bibliographie (3)Bibliographie (3)
Autres– Fuzzy Logic Toolbox for use with Matlab
User ’s Guide, Version 2, The Math Works Inc.
2000
Articles– S. Galichet, M. Dussud, L. Foulloy
Contrôleurs flous : équivalences et études comparativesLes applications des ensembles flous, Nimes 2-3 nov. 1992, pp. 229-236
– K. PassinoIntelligent control for autonomous systemsIEEE spectrum, june 1995, pp. 55-62
– A. F. Da Rocha, C. K. Morooka, L. AlegreSmart oil recoveryIEEE spectrum, july 1996, pp. 48-51
– P. Vieira, F. GomideComputer-aided train dispatchIEEE spectrum, july 1996, pp. 51-53
– H. YingFuzzy systems technology : a brief overviewIEEE Circuit and Systems Newletter, vol. 11, nb 3, Third quarter 2000, pp. 28-37ISSN 1049-3654
74
Bibliographie (4)Bibliographie (4)
Articles (suite)– Articles dans la revue Mesure des mois suivants
10/1990 ; 4,6,11/1991 ; 5/1992 ; 1,15/1993 ; 10/1994 ; 1/1995 ; 11/1996 ; 2,5/1997– Articles dans la revue Industries et Techniques des mois suivants
7/1990 ; 11/1991 ; 2,5,11/1992 ; 6,9/1993 ; 5/1994
Logiciel mis à disposition– Pendulum simulation, J. Jantzen
User Manual :
http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/usrguide.pdf
http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/usrguide.ps
Analysis Of a Pendulum Problem :
http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/cartball.pdf http://www.iau.dtu.dk/~jj/pubs/cartball.ps
Installation logiciel :
Version 3. 1. Utilisée en cours :
http://fuzzy.iau.dtu.dk/tedlib.nsf/htmlmedia/library.html
Sélectionner Software, puis cliquer sur pendul31 The cart-Ball Simulator
Version régulation floue seule : http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/install.htm
Aide : http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/help.htm
75
Bibliographie (5)Bibliographie (5)
Internet– http://www.abo.fi/~rfuller/nfs.html
Cours « Neural fuzzy systems », Robert Fullér– http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/index.htm
Fuzzy control of a pendulum problem , J. Jantzenliens sur différents cours.
– http://fuzzy.iau.dtu.dk/The TEDServer
– http://ceaspub.eas.asu.edu/PowerZone/fuzzylogic/index.htmCours «Fuzzy Logic in Decision Making and Signal Processing », Sujit Nath Pant et Keith E.
Holbert– http://gala.univ-perp.fr/~polit/chap0.html
Cours « Introduction au contrôle des procédés », M. Polit
– http://www.cs.nthu.edu.tw/~jang/mlbook/demo/#nfscMatlab Demos, J. R. Jang
– http://eewww.eng.ohio-state.edu/~passino/ICbook/ic_code.htmlMatlab Code for Biomimicry for Optimization, Control, and Automation, K. Passino
76
Bibliographie (6)Bibliographie (6)
Internet (suite)
– http://membres.lycos.fr/ymorere/article.php3?id_article=21Article : « Modèle T-S, PDC, LMIs et Réseaux de Neurones » , Y. Momère
– http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/nefcon/nef_mat.htmlArticle : « Neuro-Fuzzy Control Based on the NEFCON-Model Under MATLAB / SIMULINK » ,
A. Nürnberger, D. Nauck, R. Kruse– http://pws.prserv.net/Electron.libre/Electron.libre/dossiers/la_logique_floue.htm
Article : « la logique floue » , L. Doris
– http://www.cs.berkeley.edu/~zadeh/Page personnelle de L. Zadeh
– http://www.iau.dtu.dk/~jj/address.htmlPage personnelle de J. Jantzen
– http://ist.psu.edu/yen/Page personnelle de J. Yen
– http://ymorere.multimania.com/Page personnelle de Y. Morère
77
Sommaire (1)Sommaire (1)
Introduction 2 Les ensembles flous 7
– Définitions 8– Opérations 13– Propriétés 14
Les relations floues 15– Définitions 16– Opérations 18
Le raisonnement flou 23– Implication 24– Raisonnement approximatif 25– Inférence floue 29
La défuzzification 33– Définition 34
Régulation floue 35– Pré-traitement 36– Fuzzification 37– Base de règles 39– Défuzzification - Post-traitement 42– Influence des fonctions d‘appartenance 43– Stabilité 51– Application 52
Bibliographie 71
Merci à Jean-Yves Fourquet et à Jan Jantzen