Cours et Exercicesde Physique Atomique

Cours et exercices sans solutions.Destiné aux étudiants de

Licence en physiqueà la faculté des sciences

Eljadida

SMP

S6

K. LaghdasFac. des SciencesUniv. Chouaib DoukkaliEl-JadidaMaroc

Année Universitaire 2019-20

Table des matières

1 Introduction 3

2 Aspect corpusculaire de la lumière 72.1 Rayonnement thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Dispositif de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Limites de l’interprétation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Rendement quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.5 Photoionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Collision élastique avec des photons : Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Etude Théorique de l’effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Electron Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Spectres optiques 233.1 Spectre de raies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Principe de combinaison et loi de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Causes d’élargissement des raies spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Largeur naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Largeur collisionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Elargissement par effet Stark. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Elargissement par effet Zeeman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.5 Elargissement Doppler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Structure de l’atome 294.1 Modèles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1 Modèle statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Modèle planétaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3 Modèle de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.4 Généralisation du modèle de Bohr : Modèle de Sommerfeld . . . . . . . . . 32

4.2 Spectre de rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1 Spectre d’absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Spectres de vitesses des électrons : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Spectre d’émission des rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.4 Loi de Moseley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Expérience de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.1 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2 Quantification du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.3 Magnéton de Bohr et facteur de Landé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1

2

Chapitre 1

Introduction

Ce cours est adréssé aux étudiants du deuxième cycle universitaire. En réalité ce cours n’estqu’une introduction à la physique atomique. Il reprend les grandes expériences qui ont conduit àl’élaboration du concept moderne de l’atome et la compréhension des procéssus d’émission et d’ab-sorption de la lumière par la matière. Le premier chapitre traitera le rayonnement électromagnétiqueet mettera en évidence l’incapacité du concept ondulatoire d’interpréter les résultats d’expériencestelles que le rayonnement du corps noir, l’effet photoélectrique ou encore l’effet Compton. A chaquefois nous verrons qu’il est indispensable d’attribuer une description à la lumière en tant que cor-puscul non-matériel : Le photon. Dans le second et le troisième chapitre on abordera l’étude de lastructure de l’atome. Pour ce faire nous exposerons les spectres d’émission et d’absorption de l’hy-drogène et le modèle de Bohr qui montre clairement les insuffisances de la mécanique Newtonienne.La physique atomique ne s’est développée véritablement qu’après la naissance et le développementde la mécanique quantique. Cependant un cours de mécanique quantique peut faire place suffisanteau cours de physique atomique. Mais pour faciliter l’assimilation à des esprits neufs, on enseigneséparément les deux cours.

Quels sont les grandes étapes de développement de la science qui ont conduit àl’élaboration du concept de l’atome ?

D’abord en chimie avec l’hypothèse moléculaire.— Aucours du 19eme siècle Dalton à eu l’intuition que les espèces chimiques sont constituées par

une seule unité de base, la molécule, qui elle même constituée de particules “indestructibles” ;les atomes.

— En 1811 Avogadro précisa ce point en énonçant que des volumes égaux de gaz contiennentdes nombres égaux de molécules.

Apartir de ces deux propositions, la chimie ainsi que la physique ont connue un grand développement.On cite à titre d’exemple la naissance de la théorie cinétique des gaz et la première évaluation dunombre d’Avogadro vers 1875

NA = 6.022× 1026kmol−1

1- Découverte de l’électron

— D’abord par Faraday dans les expériences d’électrolyse— Puis par J. J. Thomson (1887) : Etude des rayons cathodiques, ce qui a permit une mesure

de la charge spécifique e/m.— Enfin, Millikan(1909) a effectué une mesure directe de la charge de l’électron.

3

4

1.1 Expériences d’électrolyseLes expériences d’électrolyse ont amené faraday à découvrir la nature discontinue des charges

électriques.Soit Q la quantité de charge

Figure 1.1 – Expérience d’électrolyse

transportée dans chacun des électrolytes.La quantité de substance libéréedans les solutions d’ions monova-lents (par exemple Na+ et Cl− ;voir figure 1.1) sera proportion-nelle au poids atomique des ions.

mCl = nMCl (1.1)

mNa = nMNa (1.2)

où n est le nombre de molesde la substance.

Le nombre d’ions qui ont trans-porté la chargeQ est le même dans

les deux électrolytes. SoitN = nNA (1.3)

avec NA le nombre d’Avogadro. Si dans l’expérience on dispose d’un atome-gramme de substancedonc

N = NAet

Q = F

qui est la quantité de charge véhiculée par un atome-gramme d’ions monovalents et porte le nomde celui qui l’a découvert : Faraday.

F = 96491C.

Avec l’hypothèse que tous les ions portent la même charge en valeur absolue, la charge Q doit êtreéquirépartie sur les NA ions positifs ou négatifs. Par conséquent Chaque ion porte une charge

± FNA

= ±e

Dans le cas d’une solution bivalente ou trivalente, la charge portée par un ion peut atteindre ledouble ou le triple de cette même valeur ± FNA . Le seul moyen qui nous permet de donner uneinterprétation correcte des résultats de cette expérience est de supposer l’existance, au sein del’atome, de particules chargées négativement qui peuvent s’échanger entre les atomes. Les atomesdonneurs sont chargés positivement et les atomes receveurs sont chargés négativement.

Suite à ces résultats et aux résultats d’autres expériences similaires, particulièrement en Chimie,les scientifiques ont assimilé, pendant longtemps, l’atome à une matrice chargée positivement danslaquelle baigne des particules chargées négativement (électrons de charge −e = −1.602× 10−19C).Au sein d’un atome neutre il y a autant de charges positive que négative, de telle sorte que le bilanest nul.

5

1.2 expérience de MillikanElle consiste en la mesure de la charge électrique de petites gouttelettes d’huile.L’air régnant entre les plaques a une densité ρa.

E

P

FF

ar

Figure 1.2 – Schèma de l’expérience de Millikan

Sur une bille sphérique de rayon a et de densité ρ,donc de poids

mg =4

3πa3ρg (1.4)

agit selon le principe d’Archimède une force dir-rigée vers le haut

Fa =4

3πa3ρag (1.5)

Puisque le mouvement d’une fine goutteletted’huile est uniforme, le poids est donc équilibré parla résistance de l’air et la poussée d’Archimède,soit :

4

3πa3(ρ− ρa)g = Fr. (1.6)

D’après la loi de stokes, si une particule de forme sphérique se déplace dans un fluide de viscositéη, alors celle-ci est soumise à une force de résistance au mouvement

Fr = 6πηavg, (1.7)

ce qui donne

a =3√2

√ηvg

(ρ− ρa)g. (1.8)

Nous avons ainsi établi une relation entre la vitesse de la chute et le rayon de la gouttelette.Si on applique maintenant un champ électrique ~E entre les armatures, de telle sorte que la

gouttelette monte vers le haut avec une vitesse ve, on obtient

qE =4

3πa3(ρ− ρa)g + 6πηave. (1.9)

En remplaçant dans cette équation le terme 43πa3(ρ−ρa)g par 6πηavg conformément aux équations

(1.6) et (1.7) on obtientqE = 6πηa(vg + ve). (1.10)

Plus haut nous avons pu exprimer le rayon de la gouttelette d’huile en fonction de sa vitesse dechute vg, par conséquent

q = 9√

2π

Eη3/2

√vg

(ρ− ρa)g(vg + ve). (1.11)

Nous pouvons modifier la charge de la gouttelette en ionisant l’air entre les plateaux à l’aidedes rayons X. Pour le même champ électrique ~E, la vitesse de montée devient alors v′e. Notons parq1 la nouvelle valeur de la charge de la gouttelette :

q1 = 9√

2π

Eη3/2

√vg

(ρ− ρa)g(vg + v

′e). (1.12)

Avec la même gouttelette nous pouvons effectuer plusieurs mesures en profitant d’une suite demouvement de chute et de montée selon que le champ électrique est appliqué ou non, mais àchaque fois la gouttelette porte une charge différente sous l’effet des rayons X. Avec un petitnombre de mesures de charges qi nous pouvons obtenir un assez grand nombre de valeurs ∆qijexprimant la différence entre deux valeurs quelconques qi et qj :

∆qij = qi − qj = 9√

2π

Eη3/2

√vg

(ρ− ρa)g(v′ei − v′ej). (1.13)

6

On montre à l’aide de cette série de mesures que tous les ∆qij sont des multiples entiersd’une certaine quantité “e = 1.602 × 10−19C” appelée atome de charge électrique ou électron.L’expérience de J. J. Thomson (Rayonx cathodiques) ont permis la mesure de la charge spécifiqueem et la déduction de la masse de l’électron

me = 9.109× 10−31kg

2- Découverte du noyau

L’atome étant électriquement neutre, il doit contenir autant de charges positives que négatives.La question est de savoir maintenant comment ces charges sont-ils distribuées au sein de l’atome.

En 1911, Rutherford a prouvé expérimentalement que la totalité de la charge positive est conte-nue dans un volume très petit par rapport à celui de l’atome et situé au centre. Ce volume est lenoyau de l’atome. Le proton et le neutron, les deux éléments constitutifs du noyau, ont été découvertultérieurement en 1919 et 1932 respectivement. Ces découvertes vont donner un nouveau souffleau le développement de la physique atomique.

3- Electromagnétisme

La théorie d’électromagnétisme est étroitement liée à la physique atomique. Elle étudie lesinteractions entre les particules chargées et champs électromagnétiques.

Le rayonnement électromagnétique d’une particule chargée accélérée ou freinée est une desconséquences les plus importantes de cette partie de la physique. Cette théorie à eu un grandsuccès, c’est pourquoi certaines théories modernes du rayonnement utilisent encore pour point dedépart de nombreux résultats de cette théorie classique de l’électromagnétisme.

La théorie classique du rayonnement a eu comme même quelques difficultés parfois très graves :— Incapable d’expliquer le rayonnement thermique du corps noir.— Incapable d’expliquer l’effet photoélectrique et la photoionisation.— Incapable d’expliquer les spectres de raies d’émission ou d’absorption de la lumière par les

atomes.— ...

Chapitre 2

Aspect corpusculaire de la lumière

Emission de lumière en physique classiqueAprès la découverte des électrons, on a interprété

−e

+e

Centreimmobile

émission

r

1

Figure 2.1 – La charge +e étant lourde est sup-posée comme centre de masse. L’électron effectue des

oscillations autour de sa position d’équilibre. Le mo-

ment dipolaire à tout instant est ~p(t) = e~r(t).

l’émission de la lumière par un atome comme résultatd’oscillation des électrons autour de la positiond’équilibre.

Le moment dipolaire ~P = e~r est un vecteurdirigé de la charge −e vers la charge +e.

Ce schèma reflète exactement l’idée de basedu modèle statique de l’atome qui considère quecelui-ci est une matrice de charge positives conte-nant des électrons qui baignent dans cette dernièreformant ainsi, en première approximation, un en-semble de dipôles électriques.

La particule chargée positivement, étant trèslourde, est considérée comme centre de masse im-mobile et c’est l’électron qui effectue des oscilla-tions autour de sa position d’équilibre. Cette os-cillation du dipôle électrique entrainera l’émission d’une onde électromagnétique.

Regardons à présent le schéma de la figure (2.3)

+ ++

+

+

+

+

++

+

+

++

+

+

− −−

−

−−

−

−−

−

− −

−

−

−

Figure 2.2 – Schèma du modèle sta-tique de l’atome.

On considère que la charge +e comme origine de notreréférentiel O. Le vecteur ~P est représenté à partir de cetteorigine.

Considérons un point M quelconque distant de R parrapport à O. Posons

ˆ(~P , ~R) = θ (2.1)

L’électromagnétisme stipule que les champs électrique Eet magnétique H au point M sont orthogonaux et égaux enmodule

|~E| = | ~H| =P̈ (t− Rc )c2R

sin θ. (2.2)

La densité u d’énergie du champs électromagnétique

u =1

8π(E2 +H2)

=1

4πE2 (2.3)

Dans ce qui précède on utilise le système d’unité C.G.S.Le champ électromagnétique se propage à la vitesse de la lumière dans le vide c, donc en une

seconde s’écoule une quantité d’énergie à travers une surface unitaire de 1cm2

7

8

φu = u.c =c

4πE2 (2.4)

Cette quantité représente également le flux d’énergie en M . En y portant la valuer de E donnéepar (2.2) on obtient

φu =e2r̈2

4πc3R2sin2 θ. (2.5)

On constate que l’intensité du rayonnement est pro- +

M

s

H

ε

R

P0

θ

Figure 2.3 – Champs électromagnétique enun point M quelconque.

portionnelle au carré de l’accélération et inversement pro-portionnelle au carré du rayon de la sphère de centre Oet de rayon R, donc à sa surface. De plus elle dépendde l’angle θ et on voit clairement que le flux est maxi-mum sur la direction perpendiculaire comme schématiséci-dessous.

Energie moyenne émise par un dipôle en oscil-lation.

La quantité totale d’énergie émise par oscillateur parunité de temps est :

Wu =

∫S

φuds (2.6)

où S, comme indiqué sur la figure ci-dessous, désigne lasurface d’une sphère de centre O de rayon R.

En coordonnées sphériques ds s’écrit :

P

θ

Figure 2.4 – Représentation graphique duflux d’énergie sur un diagramme polaire.

ds = R2 sin θdθdϕ. (2.7)

Nous pouvons calculer sans peine l’intégrale précédente :

Wu =2p̈2

3c3(2.8)

Si le moment dipolaire varie comme les oscillateurs har-

moniques, c’est à dire

p = p0 cosωt (2.9)

alors

p̈ = −ω2p0 cosωt (2.10)

ou encore

p̈ = −4π2ν2p0 cos(2πνt) (2.11)

Dans la pratique, un expérimentateur ne prélève que les valeurs moyenne d’une grandeur etnon les valeurs instantannées ; c’est pourquoi il est utile d’établir la valeur moyenne sur le tempsde Wu :

Wu =2ω4

3c3p20cos

2 ωt (2.12)

or cos2ωt = 1/2 ce qui implique que

Wu =ω4p203c3

(2.13)

et si l’oscillation de l’électron se fait suivant une seule direction, x par exemple,

x = a cosωt (2.14)

9

alors

Wu =ω4e2a2

3c3. (2.15)

Perte d’énergie par l’oscillateur.Jusqu’ici on n’a pas pris en considération la perte d’énergie de l’oscillateur alors qu’en réalité

celle-ci diminue suite au processus d’émission du rayonnement par le dipôle.L’énergie moyenne perdue par le dipôle par unité de

+

Ωd

ds

P

R

o

S

Figure 2.5 – S est la surface de la sphère decentre o et de rayon R. Un élément de surface

“ds” de cette sphère s’écrit en coordonnées

sphériques polaires R2 sin θdθdϕ.

temps

Wu =ω4e2a2

3c3= −dW

dt(2.16)

le signe moins est introduit pour tenir compte du fait quedW < 0. L’énergie totale de l’oscillateur harmonique est

W =1

2ma2ω2. (2.17)

où m est la masse de l’électron oscillant. A l’aide deséquations (2.16) et (2.17) on peut déduire le rapport

dW

W= −2ω

2e2

3mc3dt (2.18)

soit, en posant γ = 2ω2e2/3mc3 :

W = W0e−γt (2.19)

Posons maintenant γ = 1/τ puisque γ est exprimé ens−1. Or l’énergie du dipôle diminue suivant une loi expo-nentielle et en t = τ l’énergie qu’emmagasine ce derniern’est plus que de

W (τ) =W0e

(2.20)

où e ≈ 2.74. En qualité d’expérience, le temps τ est très important et est appelé temps de relaxation.

2.1 Rayonnement thermique

Lorsqu’on chauffe un objet matériel, celui-ci emet des ondes électromagnétiques. Ces ondespassent de l’infra-rouge au rouge foncé, rouge claire, puis un peu jaunâtre et finalement blanc.

Après le jaune il émet le bleu et puis le vert ce qui fait qu’à une certaine température l’objetémet toutes les couleurs et la résultante est blanche.

exempleLe fil de tungstène à 30000C èmet une lumière qui n’est pas assez blanche que le soleil qui a

une température de 6000 0C et le soleil à son tour est moins blanc que l’étoile Vega qui a unetempérature de 14000 0C.

Ces sources de lumières possèdent un spectre continu c.à.d une suite continue de toutes leslongueures d’onde.

Le rayonnement du corps noir est un des phénomènes ne pouvant s’expliquer qu’en supposantl’aspect corpusculaire de la lumière.

2.1.1 Corps noir

Supposons une enceinte close à parois portés à une température T . Les parois de l’enceinteémetteront des ondes electromagnétiques et absorberont les ondes provenant de l’intérieur.

A l’équilibre entre les processus d’émission et d’absorption, et comme le rayonnement se propageà vitesse finie c, il s’établira à l’intérieur de l’enceinte un champs E.M de densité d’énergie constante

u =1

8π(E2 +H2). (2.21)

10

La luminance surfacique I est définie comme le flux énergétique dΦ traversant en l’unité de tempsl’aire unitaire dS et se propageant à l’intérieur de l’angle solide unitaire dΩ dans la direction θ parrapport à la normale de cette aire.

dΦ = IdS cos θdΩ, (2.22)

le flux total est

Φ = dS

∫ 2π0

dϕ

∫ π/20

I sin θ cos θdθ (2.23)

Si le rayonnement est isotrope, càd I est indépendant de l’angle alors

Φ = πIdS. (2.24)

La luminance surfacique est liée à la densité volumique du rayonnement. Dans le cas d’un rayon-nement polarisé linéaire

u =4π

cI. (2.25)

Sur un intervalle de fréquence dν, la densité volumique du spectre duν est proportionnelle à dν

duν = ρνdν, (2.26)

le coefficient ρν est la densité volumique spectrale de rayonnement.

u =

∫ ∞0

duν =

∫ ∞0

ρνdν. (2.27)

Par analogie à ρν , on peut introduire la luminance spectrale surfacique de rayonnement Iν comme :

ρν =4π

cIν Rayonnement polarisé linéaire

ρν =8π

cIν Rayonnement isotrope non polarisé

Loi de Kirchhoff

Kirchhoff a montré que la densité spectrale de rayonnement ρν est indépendante de la naturedes corps se trouvant à l’intérieur de l’enceinte. Il a trouvé ensuite une relation entre les pouvoirsémissif et absorbant du corps de fréquence considérée d’une part et la luminance spectrale Iνd’autre part.

Le pouvoir émissif Eν est l’énergie émise par unité de surface du corps en une seconde.Le pouvoir absorbant rν(0 ≤ rν ≤ 1) est un nombre sans dimension, il exprime le rapport

entre l’énergie rayonnante absorbée par le corps sur l’énergie incidente, dans la bande de fréquence(ν, ν + dν).

La relation établie par Kirchhoff est

Eνrν

= Iν =c

8πρν . (2.28)

Du fait que ρν (ou Iν) est indépendant de la nature du corps, il est évident que le rapportEν/rν l’est aussi.

La densité spectrale du rayonnement est une fonction universelle dépendant uniquement de latempérature et de la fréquence.

Le corps noir est celui qui possède la valeur maximale de Eν ; soit encore celui dont le pouvoirabsorbant est de 100% (càd absorbe toute la radiation incidente), ce qui signifie, en d’autres termesque le pouvoir émissif du corps noir est une fonction universelle.

C’est pour cette raison que si on trouve théoriquement une expression de ρ(ν, T ) (qui doit êtreégalement confirmée par l’expérience), on peut calculer la distribution de l’énergie dans le spectrede n’importe quel corps puisqu’on peut connâıtre son pouvoir absorbant.

11

Réalisation pratique du corps noir

A l’aide de la loi de Kirchhoff nous pouvons concevoir la construction artificielle du corps noir.On réalise une enceinte creuse à parois uniformément chauffées. Si un rayon lumineux est

produit à l’intérieur de l’enceinte, celui-ci finit par être entièrement absorbé par les parois internesaprès un certain nombre de réflexions. La taille de l’orifice étant très petite empêche la lumièrede s’en échaper. Le pouvoir absorbant est donc de cent 100%. Il s’établit un état d’équilibrethemodynamique où la quantité d’énergie émise par les parois équivaut celle absorbée.

Le rayonnement d’équilibre aura une distri-

Figure 2.6 – Un rayon lumineux finit par êtreentièrement absorbé après une infinité de reflexions à

l’intérieur de l’enceinte.

bution spectrale de l’énergie identique à celledu corps noir théorique.

A l’aide de cette technique, nous pouvonsmesurer expérimentalement la densité spectralede l’énergie émise par le corps noir porté à unetempérature T .

En plaçant un bolomètre devant l’orifice,nous pouvons prélever la densité spectral durayonnement émergeant de cet orifice.

Lois de rayonnement du corps noir théorique

Wien a montré que la loi de Kirchhoff

I

λ

λ

1250°Κ

1000°Κ

1500°Κ

1

Figure 2.7 – Densité spectral de rayonnement en fonctionde la longueur d’onde.

peut se mettre sous la forme suivante :

ρνdν = ν3F( νT

)dν (2.29)

où F(νT

)est une fonction universelle dépendant

d’une seule variable νT au lieu de deux va-riables ν et T . Ceci permet de déduire la dis-tribution spectrale de l’énergie pour toutevaleur de la température à partir de la donnée de cette distribution pour une valeur particulièrede la température. En effet, si on se donne une fonction ρ(ν, T ), nous pouvons calculer ρ(ν1, T1) àcondition que

ν1T1

=ν

Tcàd ν1 = T1

ν

T(2.30)

ce qui conduit à

ρ(ν1, T1) = ν31F

(ν1T1

)(2.31)

=

(T1T

)3ν3F

( νT

)(2.32)

=

(T1T

)3ρ(ν, T ). (2.33)

12

Les points forts de la formule de Wien sont les suivants : D’abord elle nous permet de retrouver laloi de Stefan-Boltzmann de façon simple en calculant la densité intégrale de rayonnement u :

u =

∫ ∞0

ρνdν =

∫ ∞0

ν3F( νT

)dν. (2.34)

Posons ξ = νT il vient

u = T 4∫ ∞

0

ξ3F (ξ)dξ. (2.35)

soit en notant∫∞

0ξ3F (ξ)dξ = σ

u = σT 4, (2.36)

de plus la formule de Wien nous permet d’établir la loi bien connue du déplacement de Wien. Pource faire utilisons la distribution d’énergie en longueurs d’ondes au lieu des fréquences ;

ρνdν = ρλdλ avec ν =c

λ, |dν| = c

λ2dλ (2.37)

il vient

ρλdλ =c4

λ5F( cλT

)dλ. (2.38)

Le maximum est atteint lorsque dρλdλ = 0, soit encore

c4

λ6

( cλT

)F ′( cλT

)+ 5

c4

λ6F( cλT

)= 0. (2.39)

Posons ζ = cλTζF ′(ζ) + 5F (ζ) = 0. (2.40)

Admettons que ζ = ζ0 est solution de cette équation, ceci conduit à

c

λmaxT= ζ0 ou λmaxT = constante = b (2.41)

c’est la loi de déplacement de Wien.Formule de Rayleigh-Jeans

Les parois de l’enceinte à toute température émettent des ondes électromagnétiques sous formede lumière, il s’établit donc à l’intérieur de l’enceinte un champ électromagnétique. Ce champ peutêtre divisé en des systèmes d’ondes stationnaires de fréquence et de direction différentes. D’aprèsle théorème d’équipartition d’énergie, à chaque onde stationnaire doit correspondre une énergiemoyenne égale à kT . C’est pourquoi le calcul de l’énergie du champs dans l’intervalle de fréquenceconsidéré (ν, ν + dν) se réduit à la recherche du nombre d’ondes stationnaires élémentaires, càd dunombre de vibrations propres du volume V rempli d’un milieu continu, appartenant à l’intervallede fréquences considéré. L’énergie totale du champ dans le volume V égale à V ρνdν étant connue,on peut trouver la densité d’énergie ρνdν.

Pour simplifier, supposons que l’enceinte dans laquelle s’établit le champ d’ondes stationnairesest un cube d’arrête a. Soit une onde stationnaire dont la normale fait avec les axes de coordonnéesles angles α, β et γ respectivement. La condition d’existence de ces ondes stationnaires exige queles distances entre les nodales mesurés suivant les axes x,y et z satisfassent les relations suivantesrespectivement

2a cosα

λ= n1,

2a cosβ

λ= n2 et

2a cos γ

λ= n3. (2.42)

où n1, n2 et n3 sont des entiers positifs. Elevant au carré et sommant les trois égalités on obtient

n21 + n22 + n

23 =

(2a

λ

)2=

(2aν

c

)2. (2.43)

Cette équation repésente l’équation d’une sphère de rayon

R =2a

λ. (2.44)

13

Il en découle qu’à chaque groupe de trois nombres entiers correspond une fréquence déterminée

ν =c

2a

√n21 + n

22 + n

23 (2.45)

il est évident que tout groupe d’entier n1, n2 et n3 possèdant la même somme des carrés mène àla même fréquence mais ne représente pas la même vibration propre.

Calculons à présent le nombre total de fréquences propres de valeurs comprises entre 0 et ν.Construisons pour cela un réseau de points ayant pour coordonnées les valeurs possibles de n1,n2 et n3. La maille élémentaire de ce réseau est un cube de volume égale à l’unité. Tout commedans le cas le cas d’un réseau cubique ionique, à chaque maille correspond une fréquence propre.Les entiers n1, n2 et n3 étant tous positifs, par conséquent, le volume du réseau entier n’est quele huitième du volume de la sphère de rayon R. Ainsi donc, le nombre de fréquences propres estnumériquement égale au volume de l’octant, soit

N =1

8× 4

3π

(2aν

c

)3=

4

3π(aνc

)3=

4

3πa3ν3

c3. (2.46)

Le nombre d’ondes stationnaires de fréquences comprises entre ν et ν + dν est

dN =4πν2

c3a3dν. (2.47)

On doit avoir en vue qu’à chaque fréquence ν correspond deux ondes aux plans de polarisationmutuellement perpendiculaires. En désignant le volume de l’enceinte a3 par V on obtient

dN =8πν2

c3V dν. (2.48)

D’après le théorème d’équipartition de l’énergie, on attribue à chaque onde une énergie kT .L’énergie totale du volume V est donc

8πν2

c3V kTdν. (2.49)

Quant à la densité d’énergie, elle est obtenue en divisant par le volume V

ρνdν =8πν2

c3kTdν. (2.50)

Catastrophe ultraviolette

Quoique la formule de Rayleigh-Jeans ne peut être appliquée à tout le spectre, elle joua un rôleimportant dans le développement de la physique moderne toute entière, car elle montre clairementles insuffisances de principes de la physique classique. En effet en calculant la densité intégrale derayonnement

u =

∫ ∞0

ρνdν =

∫ ∞0

(8πkT

c3

)ν2dν =∞! (2.51)

ce qui est manifestement absurde.

Formule de Planck

A la fin du XIXe siècle il existait deux formules dont chacune correspondait aux donnéesexpérimentales dans un secteur limité du spectre mais aucune d’elles ne pouvait décrire en entier lacourbe obtenue expérimentalement. Vers 1900 Planck à proposé une formule purement empiriquequi se conformait assez bien aux données de l’expérience :

Iλ = c1λ−5 × 1

ec2/λT − 1. (2.52)

Cette formule est en réalité une interpolation des formules de Rayleigh-Jeans et de Wien.

14

Afin de déduire sa formule, Planck a schématisé les atomes des parois du corps noir en lesassimilant à des oscillateurs linéaires harmoniques. Les charges électriques qu’ils portent leur per-met d’effectuer des échanges d’énergie avec le champ électromagnétique environnant. L’hypothèseintroduite par Planck se base sur un concept qui contredit radicalement le système de conceptionsde la physique classique :

Les oscillateurs ne peuvent se trouver que dans des états bien définis pour lesquels leur énergieest un multiple entier de la plus petite quantité d’énergie ε0 :

ε0, 2ε0, ..., nε0, ... ; (2.53)

à l’émission ou à l’absorption les oscillateurs “ sautent” d’un état à l’autre en passant les étatsintermédiaires.

Sur base de cette hypothèse, la densité spectrale volumique de rayonnement ρν s’écrit

ρν =8πν2

c3× ε0eε0/kT − 1

. (2.54)

Afin de satisfaire à la loi thermodynamique de Wien il faut poser ε = hν où ν est la fréquencedes vibrations de l’oscillateur et h = 6.626× 10−34Js ; une constante universelle appelée quantumd’action de Planck (action ; car la grandeur mécanique ayant pour dimension [énergie × temps]s’appelle action)

La formule de Planck habituellement uti-

I

λ

λExpérience

Planck

Rayleigh−Jeans

Figure 2.8 – Comparaison entre l’expérience,la théorieclassique et la théorie quantique.

lisée en physique théorique est

ρν =8πν2

c3× hνehν/kT − 1

. (2.55)

Comme 8πν2/c3 représente le nombrede degrés de liberté de rayonnement auxfréquences variant de ν à ν + dν, il résulteque l’énergie moyenne correspondant à chaquedegré de liberté est

ε̄ =hν

ehν/kT − 1(2.56)

on voit ainsi que ε̄ décroit rapidement avecl’augmentation de ν, c’est bien ce qui ex-plique la convergence de l’intégrale

∫∞0ρνdν

et la levée de la “catastrophe ultraviolette”.

2.2 Effet photoélectrique

une autre fois nous allons prouver la nature corpusculaire(photon) de la lumière.

C’est seulement en adoptant cette conception qu’on peut expliquer l’éjection des électrons dessurfaces métalliques lorsque celles-ci sont irradiées par une lumière de fréquence supérieure à lafréquence seuil, caractéristique du métal en question.

15

2.2.1 Dispositif de l’expérience

Il s’agit d’étudier dans cette expérience l’interaction entre la lumière et la matière. Ici la matièreest un métal ou plutôt la surface d’un métal.

Le dispositif expérimental de la figure électron

RhéostatG

masse

v

C A

V

Cel

lule

pho

toél

ectr

ique

lum

ière

mon

ochr

omat

ique

Figure 2.9 – Dispositif expérimental.

(2.9) est constitué d’une source intense delumière blanche, d’une surface métallique etd’un filament qui peut jouer le rôle d’un col-lecteur des électrons arrachés de la plaquesous l’effet de la lumière qu’elle reçoit. Nousutilisons des filtres optiques afin de pouvoirétudier l’effet de la fréquence lumineuse surle phénomène d’arrachement des électronsde la plaque.

Nous pouvons effectuer une étude quan-

0

Bande de conduction

E

__mvmax21

2

électron libre

Ws

Ene

rgie

Figure 2.10 – Diagramme de l’énergie.

titative en réalisant le montage de la figure(2.9) ; ainsi on sera capable de mesurer lephotocourant en fonction de la fréquence dela lumière ou en fonction de la tension entrela plaque métallique et le filament (en formed’anneau).

Rappelons d’abord certains caractéristiquesd’un métal.

Un métal est un conducteur contenantdes électrons “libres” mais piègés dans lemétal. En terme d’énergie, ces électrons “libres”occupent une bande de conduction située endessous de zéro (négative).

L’une des caractéristiques importantesdes métaux est le travail d’extraction (oude sortie) Ws.

Si un électron de la surface reçoit uneénergie Ws, au minimum, il peut être éjectévers l’extérieur. Si l’apport en énergie n’at-teind pas cette valeur, l’électron “libre” yreste.

On distingue deux sources d’énergie d’ex-traction :

— thermique (vibration des atomes), dans ce cas on parle d’effet thermoélectrique.— radiation, c’est l’effet photoélectrique.

L’expérience montre que le courant électriquedépend de trois paramètres

— Puissance de la radiation (intensité de la lumière)

— Différence de potentiel(ddp) entre la cathode et l’anode

— Fréquence de la lumière.

16

2.2.2 Observations

1) L’effet est instantané

Ph

oto

cou

ran

t I

puissance de radiation P

Figure 2.11 – Courant en fonctionde la puissance de radiation.

2) L’effet n’a lieu que lorsque la fréquencede radiation dépasse un certain seuil νs

3) Avec une fréquence ν ≥ νs et une ddpfixe, on mesure le courant I en fonction dela puissance de radiation P .

On constate que le courant est proportion-nel au taux d’énergie reçue par la cathode.

4) On mesure I en fonction de V pour unelumière monochromatique de fréquence ν etpour différentes valeurs de la puissance deradiation, P1 < P2 < P3

Lorsque V > 0 tous les électrons ex-

P

P

P1

2

3

−V0 0 V

I

Figure 2.12 – Photocourant en fonction de la ddp entre lesbornes de la cellule photoélectrique. Les mesures sont prises

pour trois valeurs de puissance lumineuse P3 > P2 > P1. La

fréquence étant fixe.

traits sont collectés par l’anode, on atteintalors un courant de saturation qui augmenteavec la puissance de la radiation.

Lorsque V < 0, il y a répulsion entre l’anodeet les photoélectrons, ces derniers seront doncfreinés. Il arrive un certain moment où tousles électrons rebroussent leur chemin et lephotocourant devient nul. La tension quiannule ce courant est appellée la contre ten-sion ou le potentiel d’arrêt.

Si le photocourant s’annule cela veut dire que même les électrons les plus énergétiques sontfreinés avant d’atteindre l’anode :

1

2mv2max = eV0 (2.57)

Le potentiel d’arrêt est indépendant de la puissance de radiation.

5) Regardons si ce potentiel change avec la fréquence. On mesure donc I en fonction de V pourdifférentes fréquences ;

ν1 > ν2 > ν3

l’énergie cinétique maximale augmente avec la fréquence de radiation.

17

6) Quelle relation y a t-il entre V0 et ν ? Pour ceci mesurons le potentiel d’arrêt en fonction deν.

La courbe est une droite, ceci nous per-

I

V

P

0

3

−V −V −V01 02 03

Figure 2.13 – Photocourant en fonction de la ddp entreles bornes de la cellule photoélectrique. Les mesures sont

prélevées pour trois fréquences différentes ν1 > ν2 > ν3, mais

pour une même puissance de radiation.

met d’écrire

eV0 = h(ν − νs) =1

2mv2max (2.58)

ou encore d’une manière plus générale

hν = Ws +1

2mv2 (2.59)

cette équation est connue sous le nom del’équation d’Einstein 1. La pente de la droiteeV0 = f(ν) est indépendante de la nature dela surface. La valeur de cette pente cöıncideavec la constante de Planck.

2.2.3 Limites de l’interprétation classique

En physique classique la lumière est une onde électromagnétique qui transporte de l’énergie.Les électrons se mettent à vibrer, en présence d’un champ électromagnétique de plus en plusvigoureusement jusqu’au moment où ils ont acquis assez d’énergie pour s’échapper.

— selon la théorie d’électromagnétisme, l’énergie cinétique maximale des photoélectrons devraitaugmenter avec l’intensité de la lumière incidente.

— la fréquence ne doit pas affecter l’énergie cinétique maximale des photoélectrons— l’effet photoélectrique se produit quelque soit la fréquence de la lumière incidente, ça ne

devrait être qu’une question de temps avant que l’émission photoélectrique ait lieu.Ces trois points représentent les principales contradictions de l’expérience avec les prédictions

classiques.La proposition d’Einstein ( qui a d’ailleur mérité le prix Nobel) basée sur l’hypothèse de Planck,

a résolue de manière élégante et tellement simple tous les problèmes d’interprétation de l’effetphotoélectrique : La lumière se présente sous forme de paquets d’énergie(photons) quise déplacent à la vitesse de la lumière c. L’énergie du photon est liée à la fréquencede l’onde associée par la relation E = hν

Comme conséquence à ce théorème, si on a un faisceau polychromatique, l’énergie des photonsn’est pas la même. Ainsi l’intensité de ce faisceau est liée au nombre de photons qui tombent surla surface par unité de temps et non pas à l’énergie hν d’un photon.

Les photons se déplacent à la vitesse de la lumière c et d’après la théorie de la relativité restreintela masse du photon devera être nulle.

2.2.4 Rendement quantique

On a vu que le courant I est proportionnel à la puissance de radiation P , en particulier lecourant de saturation Isaturation :

Isaturation ∼ P (2.60)Si on suppose que chaque photon extrait un électron et s’il y’a N photons, qui atteignent la

surface, par seconde :P = Nhν (2.61)

et le courant maximal s’écrit :IM = Ne (2.62)

1. C’est cette belle interprétation qui a valu le prix Nobel au grand physicien A. Einstein en 1921

18

ce qui conduit àIMP

=e

hν=

e

hcλ (2.63)

ce rapport représente la sensibilité théorique de la cellule photoélectrique.

Dans une cellule photoélectrique réelle la sensibi-

C

Puissance de radiation P

IM

Figure 2.14 – Courant de saturation en fonc-tion de la puissance de radiation.

lité est bien inférieure à la sensibilité théorique. Lamajorité des photons sont soit diffusés par le métalsoit absorbés et transformés en énergie d’agitationthermique ( chaleur ) dans la plaque. On définie lerendement quantique d’une cellule photoélectrique commele rapport du nombre de photoélectrons sur le nombrede photons

η =n

N(2.64)

ainsiIMP

=ne

Nhν= η

e

hcλ. (2.65)

En général1

500≤ η ≤ 1

5. (2.66)

2.2.5 Photoionisation

C’est un phénomène semblable à l’effet photoélectrique. Il se produit lorsqu’on irradie unevapeur monoatomique (différence essentielle avec l’effet photoélectrique qui se réalise avec uneplaque métallique) à l’aide d’une radiation de fréquence suffisamment grande.

Si on utilise une lumière de fréquence assez élevée (U.V), on peut observer l’apparition simul-tanée des ions positifs et des photoélectrons. Chaque vapeur monoatomique peut être caractériséepar une fréquence seuil νi, et un photon ne peut ioniser un atome de la vapeur que si sa fréquenceest supérieure à νi :

hν ≥ hνi (2.67)

avechνi = Wi l’énergie d’ionisation. (2.68)

19

2.3 Collision élastique avec des photons : Effet Compton

On va étudier à présent une expérience qui montre que le photon possède une quantité de mou-vement suite à quoi l’interaction entre le rayonnement et les électrons peut être considérée commedes collisions entre photons et électrons.

L’expérience qui permet l’étude de l’effet Compton est représentée schématiquement commesuit.

Cette expérience a été effectuée en 1909

��������������������

������������������

������������������

���������������

���������������

Source de

rayons X

Bloquediffuseur

Cristal

Détecteur

Collimateuren plomb

θ

Figure 2.15 – Représentation schématique de l’expériencede Barkla.

par Barkla. Elle étudie la diffusion des rayons-X sur un bloc diffuseur (le bloc diffuseur estconstitué du graphite, par exemple). L’in-tensité spectrale du faisceau incident desR-X est une gaussienne dont le maximumse trouve en λ0. Le faisceau diffusé dansune direction θ par rapport à l’incidence(voir schéma), n’a pas exactement le mêmeprofil (l’intensité baisse bien évidemment etla forme du profil gaussien autour de λ0,change. A défaut d’instruments de mesure 2

assez précis, cette légère déformation (ap-pelée encore “Anomalie”) a été attribuée àdes facteurs secondaires.

A l’époque on interprétait le phénomènede la manière suivante : Les électrons se mettent à vibrer et émettent une lumière de même fréquenceque celle de vibration.

En 1912, Compton refait

λ λ

λλ

λ

λ

λ

λ

θ

θθ = π

= π

= π

λ λ λ

λ λ λ λ

δλ

= 0

/2

/4θ

I

I

I

I

o o

oo

Figure 2.16 – Intensité spectrale des rayons-X diffusés par un blocde graphite.

l’expérience de Barkla profitant d’ap-pareils précis de mesures et commerésultats il obtient les profils ci-contresur la figure (2.16) en mesurant l’in-tensité spectrale, Iλ, de la radiation-X diffusée sur le bloc de graphite enfonction de la longueur d’onde, λ, decette radiation et ce pour différentesvaleurs d’angle de diffusion θ.

On tire alors les conclusions sui-vantes :

a- L’existance de deux composantes(pic) : Thomson + Compton.

b- L’écart δλ entre les deux picsdépend de l’angle de détection θ

c- Quand θ augmente le pic Thom-son diminu par contre le pic Comp-ton augmente.

Ces résultats sont obtenus en gardant toujours le même bloc diffuseur. Si on regarde ce qui seproduit lorsqu’on change la nature du bloc, on constate que :

d- δλ ( pour θ fixé) est indépendante de la nature du bloc diffuseur.e- Quand le numéro atomique, Z, augmente, l’intensité du pic Compton diminue.Tout modèle théorique proposé, ne peut être retenu que s’il apporte des interprétation satisfai-

santes des résultats de l’expérience. La seule diffusion de thomson ne peut pas expliquer l’apparitiond’un nouveau pic, en λ 6= λ0, qui peut devenir de plus en plus important quand θ augmente.

Le concept de Photon va s’avérer efficace, encore une fois, notamment lorsqu’on remarque(selon cette théorie) qu’il y’a apparition de photons d’énergie h cλ à partir de photons incidents

2. Au début du XXiem siècle on se basait sur le pouvoir de pénétration d’une radiation X pour déduire salongueur d’onde. Cette méthode est considérée aujourd’hui comme très peu précise.

20

d’énergie h cλ0 plus grande. Ceci nous rappelle le choc élastique où l’on assiste à un simple échanged’énergie avec conservation de l’impulsion totale.

Une collision élastique entre un photon(particule immatérielle) et un cristal (électronsdu cristal) est elle envisageable ?

2.3.1 Etude Théorique de l’effet Compton

Pour expliquer cet effet il faut considérer la nature corpusculaire de la lumière (RX) et laquantité de mouvement que peut avoir une radiation, en bref, le photon est considéré comme unevéritable bille en mouvement (mais sans masse).

La collision se produit entre une lumière très énergétique (RX) et les électrons périfériques desatomes (faiblement liés) qui, par comparaison avec l’énergie des RX, peuvent être considérés enpremière approximation comme des électrons “libre” sans mouvement (au repos).

Enfin, le système { RX + électron } constitu un système isolé pendant la durée de collision.Nous pouvons donc utiliser les lois de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement.

Quantité de mouvement du photon

Calculons la quantité de mouve-

z

xPhoton incident

Photon

diffusé

Electron après

collision

λ λθ

φ

/

p

h h/o

Figure 2.17 – Schèma des impulsions avant et après collision.Onsuppose que la diffusion se fait dans le plan (xoz).

ment du photon en utilisant les loisde la relativité.

Les théorèmes généraux de conser-vation de l’énergie et de la quantitéde mouvement s’étendent aux par-ticules relativistes à condition de définir

leur énergie :

W = mc2, (2.69)

leur quantité de mouvement :

~p = m~v. (2.70)

En posant m = m0/(1−v2/c2)1/2et à partir des équations (2.69) et (2.70) on peut écrire :

~p =W

c2~v. (2.71)

On sait aussi que les composantes de ~p et W forment les quatre composantes d’un quadrivecteurde l’univers de Minkowski. Le module de ce quadrivecteur 4[impulsion-énergie] est invariant parchangement de référentiel :

W 2 − p2c2 = m20c2 = cte. (2.72)Le photon est une simple quantité d’énergie, mais le photon admet aussi une quantité de

mouvement comme n’importe quelle particule ; c’est pourquoi nous cherchons à faire entrer lephoton dans le cadre des particules relativistes.

Le photon se déplace à la vitesse de la lumière, donc si la masse du photon est non nulle,l’énergie sera infinie, ce qui est absurde. La seule façon de concilier la vitesse du photon égale à cest de poser m0 = 0, ce qui nous permet d’écrire :

W 2 − p2c2 = 0ce qui mène à

p = |~p| = Wc. (2.73)

21

En définitif, le photon est traité comme une particule relativiste à part entière d’énergie W = hνet d’impulsion ~p = hνc ~u (~u donne la direction et le sens de propagation)

Revenons à présent à l’interprétation moderne de l’effet Compton. Pour cela regardons le schèmade la figure (2.17) et écrivons les lois de conservation de l’énergie et de l’impulsion du système :

— Conservation de l’énergie

hν0 +mc2 = hν +

√p2c2 +m2c4 (2.74)

— conservation de l’impulsion :( Projection sur les axes Ox et Oz )

sur Ox −→ hν0c

= hν

ccos θ + p cosϕ (2.75)

sur Oz −→ 0 = hνc

sin θ + p sinϕ. (2.76)

Nous avons établis trois équations, mais nous avons quatres inconnues. Il faut donc choisir unparamètre. D’après l’expérience ce paramètre est l’angle θ

En combinant les équations (2.75) et (2.76) nousobtenons :

p2 =h2

c2(ν20 + ν

2 − 2νν0 cos θ) (2.77)

l’équation (2.74) peut s’écrire aussi sous la forme suivante :

p2c2 = [h(ν0 − ν) +mc2]2 −m2c4 (2.78)

Si on compare maintenant les équations (2.77) et (2.78) nous pouvons écrire :

h2(ν20 − ν2 − 2νν0 cos θ) = [h(ν0 − ν) +mc2]2 −m2c4 (2.79)

ou

ν0 − ν =h

mc2(1− cos θ)ν0ν (2.80)

ou encore1

ν− 1ν0

=h

mc2(1− cos θ) (2.81)

λ− λ0 = δλ =h

mc(1− cos θ) (2.82)

= 2h

mcsin2

θ

2(2.83)

δλ croit avec θ entre 0 et π. La quantité hmc est appelée la longueur d’onde Compton et notée Λ.L’équation (2.83) devient :

δλ = 2Λ sin2θ

2(2.84)

avec Λ = hmc = 0.02426A est la longueur d’onde Compton. La quantitéhcΛ = mc

2 = 0.511MeV estl’équivalent en énergie de la masse d’un électron.

2.3.2 Electron Compton

L’énergie cinétique de l’électron Compton est

W −mc2 = h(ν0 − ν) =hν0

1 + mc2

hν0(1−cos θ)(2.85)

22

l’angle de diffusion est

tgϕ = − ν sin θν0 − ν cos θ

= − sin θν0ν − cos θ

(2.86)

= − sin θ(1− cos θ)(1 + hν0mc2 )

= −cotg θ2

1 + hν0mc2(2.87)

Quand θ crôıt de 0 à π, ϕ décrôıt de π/2 à 0 ; l’électron est toujours renvoyé vers l’avant.

Chapitre 3

Spectres optiques

Les résultats de l’analyse spectroscopique de la lumière émise par les gazes ont ouvert une voietrès prométeuse en physique atomique. C’est grâce à ces travaux qu’il a été possible de batir unnouveau concept de l’édifice atomique.

En général tout matériau suffisamment chauffé peut devenir source de lumière. Citons à titred’exemple une résistance électrique sous l’effet de Joule ou un morceau de charbon dans un four ;c’est la source de radiation thermique. Ces sources possèdent un spectre continu ; c’est à dire que lerayonnement émis est réparti de façon continue sur toutes les fréquences. Ce type de rayonnementa déja été étudié dans le chapitre 1.

Nous pouvons rencontrer un autre type de source de lumière différente, de point de vu spectral,du précédent. Ce type est connu sous le nom de source à décharge. Les éclaires qui précèdent unorage en sont l’exemple le plus populaire.

La lumière émise par ce type de source ne contient pas toutes les fréquences. L’analyse spec-troscopique de ce rayonnement montre qu’il s’agit en réalité d’un spectre discontinu (ou discret ouencore de raies).

3.1 Spectre de raies.

3.1.1 Principe de combinaison et loi de Bohr

Série de Balmer

H H HH β γ δαν

I ν

Figure 3.1 – Raies visibles de l’hydrogène

Le spectre de raies de l’atome d’hy-drogène montre une régularité fortsimple. Cette régularité a permit àBalmer(1885) d’établir une représen-tation très précise en utilisant la for-mule empirique :

λ = λ0n2

n2 − 4(3.1)

avec λ0 = 3646Å et n = 3, 4, 5, 6.pour la partie visible.

En plus des 4 raies visibles, ona enregistré à cette époque d’autresraies appartenant à l’ultra-violet (UV)et en portant dans la formule les valeurs de n = 7, 8, 9... on a constaté une imprécision entre leslongueurs d’ondes calculées et mesurées.

23

24

La formule de Balmer a été transformée par Rydberg(1889)

1

λ=

4

λ0

(1

22− 1n2

)= R

(1

4− 1n2

)(3.2)

où R est la constante de Rydberg et n = 3, 4, 5...De cette formule on voit que lorsque n croit les raies se resserent et tendent vers une position

1

λ=R

4(3.3)

Figure 3.2 – Spectre de l’hydrogène.

Autres séries de spectre de l’hydrogèneSérie de Lyman : Lyman a découvert dans l’UV une série décrite par

1

λ= R

(1

12− 1n2

)(3.4)

où n = 2, 3, 4...Série de Paschen dans l’infra-rouge(IR) :

1

λ= R

(1

32− 1n2

)(3.5)

où n = 4, 5, 6...Série de Brackett :

1

λ= R

(1

42− 1n2

)(3.6)

où n = 5, 6, 7...Série de Pfund :

1

λ= R

(1

52− 1n2

)(3.7)

25

où n = 6, 7, 8...Il en résulte que le spectre de l’hydrogène est décrit dans l’ensemble par la formule empirique

généralisée de Balmer1

λ= R

(1

m2− 1n2

)(3.8)

où m et n sont deux entiers positifs telque n > m.

Termes spectraux et principe de combinaison.

Toute raie spectral du spectre de l’hydrogène peut être représentée comme une différence entredeux termes de type R/n2.

1

λnm= Tn − Tm (3.9)

avec Tn = R/n2, et Tm = R/m

2.C’est le principe de combinaison de Ritz. Les termes Tn sont appelés des termes spectraux.Si on utilise le concept de photon comme l’a fait Bohr (1913), on se permet d’écrire

hc

λnm= hνnm = hc(Tn − Tm). (3.10)

Loi de Bohr

Le principe de combinaison de Ritz

E

ET

T

h

m

n

Energie

spectralTerme

m

n

ν

Figure 3.3 – Schématisation de la loi de Bohr.

qui s’applique aux nombres d’ondess’applique bien pour l’énergie hν desphotons émis.

Bohr a reformulé ce principe enfaisant correspondre au terme spec-tral l’énergie interne emmagasinée parl’atome. La lois de Bohr s’écrit donc :

hνnm = Em − En (3.11)

avec Ei = −hcTi. En et Em sont lesvaleurs de l’énergie emmagasinée parl’atome avant et après émission.

L’atome émet un photon d’énergiehνnm lorsqu’il passe d’un état initiald’énergie Em = −hcTm à un état fi-nal d’énergie En = −hcTn inférieurà Em.

26

3.2 Causes d’élargissement des raies spectrales

Les raies spectrales ne sont pas infiniment fines. Chaque raie est constituée d’un très grandnombre de fréquences voisines. Le profile de l’intensité émise en fonction de la fréquence est unegaussienne.

3.2.1 Largeur naturelle

La largeur naturelle est liée à la

∆ν

ν 0ν

Pν

Figure 3.4 – Largeur à mi-hauteur d’une raie.

durée de vie τ de l’état excité concernépar la transition. Ceci est une conséquencedirecte du quatrième principe d’indéterminationd’Heisemberg qui exprime l’impossi-bilité de connaitre avec exactitude l’énergied’un état excité à cause de l’intervalledu temps fini durant lequel cet étatpeut persister.

∆E × τ ≥ h̄ (3.12)

∆ν × τ ≥ 12π

(3.13)

∆ν ≥ 12πτ

(3.14)

3.2.2 Largeur collisionnelle.

Lorsqu’un atome excité subit une collision il peut perdre son énergie. En terme statistique,dans un gaz de particules (atomes ou molécules), lorsqu’on augmente la pression, on augmente lenombre de collisions qui peuvent se produire par unité de temps ; ce qui cause la réduction de ladurée de vie de l’état excité. Conformément au quatrième principe d’Heisemberg on assiste alors àun élargissement supplémentaire de la raie, appelé élargissement collisionnel.

3.2.3 Elargissement par effet Stark.

Lorsqu’un atome est soumis à un champs électrique, les niveaux d’énergie de cet atome sontsouvent remplacés par plusieurs sous-niveaux très proches. Les raies (larges au moins naturellement)qui en proviennent peuvent se recouvrir et la résultante parâıt comme une seule raie très large.

3.2.4 Elargissement par effet Zeeman.

L’effet Zeeman (prix Nobel en 1902) apparait lorsqu’un atome émetteur est soumit à un champsmagnétique extérieur. Comme dans le cas de l’effet Stark, Chaque niveau d’énergie peut subir unesubdivision en plusieurs sous niveaux voisin très serrés. Le chevauchement de cette multitude deraies voisines constitue une cause importante d’élargissement des spectres atomiques.

27

3.2.5 Elargissement Doppler.

Si l’atome radiateur est en mouvement relatif par rapport à l’instrument de mesure(l’observateur),

la fréquence mesuré est différente

Détecteur

Gaz d’émetteurs à température T

u

v

direction d’observation

θ

Figure 3.5 – Elargissement des raies causé par le mouvement désordonédes atomes émetteurs par rapport à l’observateur.

de la fréquence réellement émisepar l’atome émetteur.

Si on considère un atomeanimé d’une vitesse ~v faisantun angle θ avec la direction d’ob-servation Ox et si on désignepar ν0 la fréquence réelementémise et par ν la fréquence me-surée ; l’expression classique del’effet Doppler(qui n’est appli-cable que lorsque |~v| est faibledevant la célérité de la lumière) :

δν

ν0=ν − ν0ν0

=v cos θ

c=vxc

(3.15)où vx est la composante de ~vsur la direction d’observation.

Si nous disposons d’un gaz d’atomes (ou molécules) émetteurs, de température T homogène ;la distribution des vitesses est donnée par la loi de distribution de Maxwell. Soit N le nombred’atomes par unité de volume. Le nombre dN d’atomes par unité de volume ayant la composantevx est

dN = Nf(vx)dvx (3.16)

avec f(vx) la densité de probabilité

∆ν

ν 0ν

Pν

max

____

2

max

Figure 3.6 – Largeur Doppler.

de trouver une particule dont la compo-sante selon Ox de sa vitesse est vx. Cettefonction est donnée par la statistique deMaxwell :

f(vx) =

√M

2πRTexp− M

2RTv2x (3.17)

R est la constante des gaz parfaits, Mla masse de la particule émettrice et Tla température absolue du gaz.

Soit Pνdν la puissance émise dansla bande de fréquence (ν, ν + dν) voi-sine de ν0. Celle-ci est proportionnelleau nombre d’atomes émettant dans cettebande, càd ayant une composante de vi-tesse comprise entre vx et vx + dvx. Oron sait que

vx = cν − ν0ν0

. (3.18)

28

En différenciant cette expression par rapport à ν on obtient

dvx =c

ν0dν. (3.19)

Appelons K, K ′ et K ′′ des coefficients de proportionnalité. La Puissance Pνdν peuts’écrire sous forme

Pνdν = KNf(cν − ν0ν0

)cdν

ν0(3.20)

soit en intégrant

Pν = K′f(c

ν − ν0ν0

) (3.21)

= K ′′ exp

{− M

2RT× c

2(ν − ν0)2

ν20

}.

La largeur à mi-hauteur est obtenue en écrivant :

exp

{− M

2RT× c

2(δν)2

ν20

}=

1

2(3.22)

ce qui donne

δν =ν0c

√2RT

Mlog 2 (3.23)

∆νD = 2δν =2ν0c

√2RT

Mlog 2 (3.24)

En définitif la largeur Doppler est proportionnelle à T 1/2 et inversement proportionnelle à M1/2.

Chapitre 4

Structure de l’atome

4.1 Modèles classiques

4.1.1 Modèle statique

Les scientifiques ont adopté ce modèle jusqu’à la fin du XIXieme sciècle. A ce stade dedéveloppement de la physique, l’atome était considéré comme une matrice de charges positivesréparties de manière uniforme sur une sphère de rayon celui de l’atome tout entier. Quant auxélectrons, on prétendait qu’ils évoluent dans cette matrice de charges positives.

L’émission de la lumière par l’atome était expliquée comme la conséquence des oscillations desélectrons autour de leurs positions d’equilibre.

Ce modèle ne nous permet pas d’expliquer la nature discrète du spectre d’émission des atomes.

4.1.2 Modèle planétaire.

En 1911, Rutherford découvra l’existance du noyau de l’atome grâce à l’expérience de diffusiondes particules α (noyau d’He) à travers une mince feuille métallique (Voir cours de PhysiqueNucléaire).

Il a montré que l’ensemble des charges

2a

Figure 4.1 – Trajectoires de l’électron correspondants à lamême énergie.

positives est contenu dans le noyau considérécomme ponctuel par rapport à la dimensionde l’atome. Cette importante découverte estconsidérée comme une étape historique dela physique atomique.

Dans ce modèle, le problème est poséde manière similaire au problème de Ke-pler relatif aux orbites des planètes de notresystème solaire. Les trajectoires de l’électronsont donc des ellipses, (Voir TD) et sonénergie s’écrit :

E = −kZe2

2a(4.1)

où Z est le numéro atomique et a le demi-grand axe de l’ellipse.

L’électron effectue un mouvement cur-viligne, par conséquent, le vecteur accélération~γ est non nul. La théorie d’électromagnétisme prévoit dans ce cas une émission de la radiation parl’électron. L’énergie perdue par l’électron entrainera automatiquement une diminution du demi-grand axe a. Or on montre que (voir TD) : a3/T 2 = cte où T est la période du mouvement, cequi signifie que T diminue à son tours quand a diminue et donc la fréquence du rayonnement émisaugmente de façon continue. Ceci est en parfait désaccord avec la fixité des fréquences spectralesexpérimentalement mesurées.

29

30

4.1.3 Modèle de Bohr

Ce modèle n’est valable que pour l’hydrogène ou un ion hydrogénöıde.Postulats de Bohr— Les trajectoires de l’électron dans l’atome sont celles dont le moment cinétique angulaire

est un multiple entier de h̄ = h/2π. Ces trajectoires sont appelées des orbites stationnaires.— l’émission ou l’absorption d’une radiation s’effectue simultanément avec un changement

d’état stationnaire appelé transition ; et la transtion d’un état d’énergie En vers un étatd’énergie Ep met en jeu une radiation de fréquence νnp tel que hνnp = |En − Ep|.

Les longueurs d’onde λnp du spectre de l’hydrogène sont retrouvées de manière empirique grâce àla relation de Balmer-Rydberg :

1

λnp= R

(1

n2− 1p2

)(4.2)

Bohr s’est limité aux orbitales circulaires de l’atome. Ainsi l’énergie potentielle de l’électronautour du noyau d’un hydrogénöıde de charge +Ze :

V (r) = − 14πε0

Ze2

r(4.3)

=C

ravec C < 0. (4.4)

Or la force que ressent l’électron est obtenue en écrivant

f = −dVdr

=C

r2(4.5)

grâce à la relation fondamentale de la dynamique nous pouvons écrire

f = −mv2

r(4.6)

d’oùC

r2= −mv

2

r. (4.7)

En introduisant le moment cinétique orbitale de l’électron

|~L| = L = m|~r ∧ ~v| = mvr. (4.8)

Sachant que dans un mouvement circulaire le vecteur vitesse est constament normal au vecteurposition,

L = mvr

on déduit donc que :C

r2= −v ×mvr

r2(4.9)

ou encoreC = −vL (4.10)

ce qui conduit à

v = −CL

(4.11)

ceci nous permet d’écrire l’énergie cinétique sous la forme

Ec =1

2mv2 = − C

2r= −1

2V (r) (4.12)

et l’énergie totale de l’électron devient

E = Ec + V (r) =1

2V (r) =

C

2r= −1

2mv2 (4.13)

31

soit

E = −mC2

2L2. (4.14)

Pour une transition mettant en jeu deux états atomiques n et p

Ep − En = −mC2

2

(1

L2p− 1L2n

)= hνnp = h

c

λnp(4.15)

or d’après la formule de Balmer-Rydberg

hc

λnp= hcR

(1

n2− 1p2

)(4.16)

ce qui conduit à

hcR

(1

n2− 1p2

)=mC2

2

(1

L2n− 1L2p

). (4.17)

Cette égalité est toujours valable quelque soit la transition dans un hydrogénöıde, ce qui impliqueque Ln doit être multiple d’une certaine constante ; cette constante n’est autre que h/2π = h̄,obtenue à l’aide de mesures expérimentales

L = nh̄. (4.18)

Nous pouvons maintenant exprimer la constante de Rydberg en faisant appel aux deux dernièreséquations

2πh̄cR

(1

n2− 1p2

)=mC2

2h̄2

(1

n2− 1p2

)(4.19)

R =mC2

4πch̄3=

mZ2e4

(4πε0)24πch̄3 . (4.20)

Pour l’atome d’hydrogène (Z = 1), elle s’écrit :

R =me4

(4πε0)24πch̄3 (4.21)

soit numériquement une valeur théorique

R = 109737, 3cm−1 (4.22)

qui est en très bon accord avec la valeur expérimantale

Rexp = 109677, 7cm−1 (4.23)

l’énergie totale de l’électron est quantifée et prend les valeurs

En = −mC2

2L2n= − mC

2

2n2h̄2= −Rhc

n2n→∞−→ 0. (4.24)

E1 correspond à l’état le plus stable ; c’est l’état fondamental ou normal

E1 = −Rhc. (4.25)

Dans ce qui précède nous avons considéré que le noyau est infiniment lourd. Mais en réalité il fauttenir compte de la masse réelle M du noyau de l’hydrogénöıde. Les résultats trouvés s’appliquentau mouvement réduit d’une particule, de masse réduite µ = mM/(m + M), autour du centre demasse. Soit R∞ la constante de Rydberg obtenue à l’aide de l’approximation du noyau infinimentlourd (ANIL) utilisée ci dessus. et RH celle calculée avec la masse réduite. Dans les deux cas lesrapports R∞/m et RH/µ sont les mêmes ;

R∞m

=RHµ

(4.26)

ce qui mène à

RH =R∞

1 + mM. (4.27)

32

4.1.4 Généralisation du modèle de Bohr : Modèle de Sommerfeld

Sommerfeld a généralisé le modèle de Bohr en s’inspirant des résultats issus du problème deKepler incluant les orbites elliptiques.

Comme dans le cas des planètes, l’électron peut lui aussi se déplacer sur des orbites elliptiquesautour du noyau.

Au mouvement de l’électron on attribue deux degrés de liberté : r et ϕ. Les deux variables sontindépendantes ; ce qui fait qu’il faut faire appel à deux conditions de quantification :∮

Prdr = nrh et

∮Pϕdϕ = nϕh (4.28)

où Pr (Pϕ) est l’impulsion généralisée relative à la variable r (ϕ)

Pr = mdr

dtet Pϕ = mr

2 dϕ

dt. (4.29)

Le système étant supposé isolé d’où il y a conservation du moment cinétique ;

L ≡ Pϕ = cte (4.30)

ce qui implique que

Pϕ

∫ 2π0

dϕ = nϕh, (4.31)

soitPϕ = nϕh̄ (4.32)

nϕ est un nombre entier appelé le nombre quantique orbital et noté `.La deuxième condition de quantification

∮Prdr = nrh concerne la variable radiale et le nombre

entier nr et appelé le nombre quantique radial : nr = 0, 1, 2, ...On montre, pour une trajectoire elliptique d’excentricité ε, que :

1− ε2 = `2

(nr + `)2=`2

n2(4.33)

n est appelé le nombre quantique principal. De plus on montre (voir TD) que

E = −mZ2e4(1− ε2)

2P 2ϕ(4.34)

= −Ze2

2a(4.35)

avec a le demi-grand axe. Ceci nous permet d’écrire

En = −mZ2e4

2n2h̄2(4.36)

par conséquent

a = n2h̄2

mZe2= n2

a1Z

(4.37)

où a1 est le rayon de la première orbite de Bohr. Ce résultat montre que chaque niveau En estdégénéré, car il peut lui correspondre plusieurs trajectoires elliptiques.

Regardons de près cette dégénérescence : A l’aide des considérations géométriques de l’ellipseon montre que

b

a=√

1− ε2 (4.38)

où b est le demi-petit axe

b = n2a1Z× `n

= n`a1Z

(4.39)

33

` est un entier inférieur à n. La valeur ` = 0 doit être exclue car dans ce cas b = 0 et l’électron doitpouvoir traverser le noyau ce qui parait un peu difficile à admettre.

` = 1, 2, 3, ...n (4.40)

Tous ceci semble sans intérêt si Sommerfeld n’avait pas approfondis les calculs et tenir compte dela relativité, négligée jusqu’ici. La trajectoire étant elliptique, par conséquent la vitesse de l’électronn’est pas constante et la masse relativiste change aussi

mv =m√

1−(vc

)2 (4.41)Il montre en effet que

noyau

l=1

l=2

l=3 n=3

Figure 4.2 – Dégérescence du niveau En, avec n = 3.

En` = −RhcZ2

n2

[1 + α2

Z2

n2

(n

`− 3

4

)+ {termes α4}

](4.42)

avec

α =e2

4πε0h̄c' 1

137.04(4.43)

appellée la constante de la structure fine.Ainsi chaque niveau est scindé en plusieurssous-niveaux très voisins qu’on peut obser-ver à l’aide de spectromètre de haute résolution.

34

4.2 Spectre de rayons X

Le modèle de Bohr-Sommerfeld traite uniquement les atomes hydrogénöıdes, mais dans le casdes atomes polyélectroniques, les spectres optiques sont assez complexes et difficile à interpréter àcause du potentiel répulsif e− − e− qui s’ajoute dans le problème.

Les rayons X ont une longueur d’onde de l’ordre de l’angström et mettent en jeu des ni-veaux profonds de l’atome. L’interaction entre le noyau et un électron d’une couche profonde estprépondérante ; d’où la simplicité de l’interprétation des spectres des rayons X.

A l’aide du modèle de Bohr on peut donner une interprétation correcte aux résultats del’expérience sur les rayons-X, ce qui représente un point fort du modèle.

4.2.1 Spectre d’absorption

Si on envoie un faisceau de radiation X

���������������������

���������������������

absorbant

monochromateur

milieu

rayons X

compteur

I(z)

0 z z+dz

dz

Figure 4.3 – Schèma du dispositif expérimental qui permetd’étudier l’absorption des rayons-X.

sur un milieu, le flux émergeant sera at-tenué. Il est d’autant plus atteinué si l’épaisseurdu milieu est plus grande.

La diminution de l’intensité par rapportà la profondeur du milieu absorbant est pro-portionnelle à l’intensité initiale.

dI

dZ= −kI (4.44)

où k est un coefficient qui ne dépend pasde l’épaisseur du milieu, mais dépend forte-ment de la nature du milieu.

dI

I= −kdZ (4.45)

I(Z) = I0 exp−kZ (4.46)Le coefficient d’absorption k montre une dépendance nette en fonction de l’énergie des photons Xutilisés càd en fonction de la fréquence ν de la radiation X. Nous pouvons faire varier la fréquencede la radiation à l’aide d’un spectromètre à cristal et par suite mesurer le coefficient d’absorptionen fonction de la fréquence.

On observe une discontinuité K, trois

K

{M}

{L}3 pics

5 pics

1 pic

{ν } {ν } νM L Kν

k

Figure 4.4 – Coefficient d’absorption en fonction de lafréquence des rayons-X incidents. Dans le cadre intérieur

nous avons délimité la zone qui nous servira de base pour

l’interprétation du phénomène.

discontinuités L, cinq discontinuités M ...Le nombre de discontinuité élevé n’est ob-servé que dans le cas des atomes lourds.Afin de comprendre l’origine de la disconti-nuité, prenons par exemple la discontinuitéK. En dessous d’une certaine valeur νK , lecoefficient d’absorption diminue régulière-ment en fonction de la fréquence. Ceci estexpliqué par le fait que les photons X lesplus énergétiques ont un pouvoir de pénetra-tion plus grand et donc le milieu les absorbemoins. Lorsqu’on atteind la valeur νK , c’està dire lorsque

hν ≥ hνK , (4.47)

il y’a apparition d’un nouveau processus sui-vant lequel l’atome parvient à annihiler les

photons incidents, ceci est une caractéristique essentielle de l’effet photoélectrique

hν ≥Ws = hνs (4.48)

35

on se permet donc d’interpréter chaque discontinuité comme le seuil d’un effet photoélectrique.Pour s’en assurer, nous analyserons dans la suite les électrons émis par la cible.

4.2.2 Spectres de vitesses des électrons :

Expérience de Debroglie (1922)

Dans une chambre de Wilson, nous pou-

e−plaque sensible

rayons−X

fil métallique

Chambre de Wilson

B

vide poussé

v

Figure 4.5 – Schéma de l’appareil d’analyse desphotoélectrons-X.

vons analyser et étudier les particules émisesaprès interaction des photons X avec le mi-lieu absorbant.

Sur un fil métallique on envoie une ra-diation X de fréquence ν. La mesure de lacharge spécifique des particules émises parle fil montre qu’il s’agit des électrons.

Ces électrons sont produit soit par ef-fet potoélectrique soit par effet Compton.Nous allons nous intéresser uniquement auxphotoélectrons.

Les photoélectrons sont envoyés dans ladirection perpendiculaire à la direction depropagation de la radiation X (‖ ~E) (lesélectrons Compton sont diffusés essentielle-ment dans la même direction de propaga-tion des rayons X). Nous pouvons mesurer l’énergie cinétique de ces photoélectrons en les soumet-tant à l’action d’un champs magnétique et en mesurant le rayon de courbure de la trajectoire de cesélectrons. En effet en égalant la force de Laplace e~v ∧ ~B à la composante normale de l’accélérationmv2/R où R est le rayon de courbure de la trajectoire des photoélectrons, nous pouvons déduirela vitesse en mesurant le rayon de courbure de la trajectoire des photoélectrons.

Ceci est rendu possible grâce à l’introduction d’une plaque sensible dans la chambre de Wilson.Après l’expérience on retire la plaque sensible, sur laquelle on observe une série de raies pa-

rallèles : c’est le spectre des vitesses. Ce spectre étant discret montre que l’énergie de ces électronsest discrète elle aussi.

K −→ hν = hνK +1

2mv2K , (4.49)

L −→ hν = hνLI +1

2mv2LI , (4.50)

−→ hν = hνLII +1

2mv2LII , (4.51)

−→ hν = hνLIII +1

2mv2LIII . (4.52)

Il en est de même pour les discontinuités M , N etc.Cette vérification confirme l’existence, dans l’atome, d’électrons dont l’énergie de liaison est

EK = −hνK , EL = −hνL etc.

36

4.2.3 Spectre d’émission des rayons X

Soit un tube à rayons X. Dans

e

R−X

AC

filament

chauffé

tube de Rayons−X

~50kV

Figure 4.6 – Tube de rayons-X.

ce tube on produit la radiation X enbombardant un bloc métallique pardes électrons fortement accélérés. Latension d’accélération des électronspeut atteindre 50 kilo− V olts. Aveccette énergie il est possible de pro-duire une ionisation des atomes quicomposent le bloc métallique.

L’étude spectroscopique de la radiation

spectre

de raies

fond continu

I

ν

ν

Figure 4.7 – Spectre d’émission des rayons-X.

émise est résumée sur la figure (4.7).Sur ce spectre on peut constater qu’il

existe une superposition d’un spectre de raieset d’un spectre continu. Afin de bien com-prendre chacune des deux composantes, ilfaut analyser les résulats de l’expériences

en faisant varier certains paramètres de l’expérience à savoir la tension d’accélération des électronsou le métal constituant le bloc.

Spectre continu

I

ν

ν

ΖΖ2Ζ3

1

Ζ

37

Si l’on représente la tension d’accélération V en fonction de νmax on obtient les résultats de lafigure (4.11).

La courbe est une droite dont la

−e

+Z

Rayons−X

v

e

Figure 4.10 – Rayonnement de freinage “Bremstrahlung”.

pente est(he

), ce qui nous permet

d’écrire

eV = hνmax, (4.53)

où h est la constante de Planck, dontla première mesure date des travauxde Max Planck sur le rayonnementthermique et e la charge élémentaire.

Selon l’électromagnétisme classique,lors de la collision entre l’électron et le noyau, l’électron est dévié de sa trajectoire rectiligne. Satrajectoire devient donc curviligne et l’électron est accéléré. Il doit perdre alors une partie de sonénergie donnant naissance à un photon.

Ainsi, chaque photon est émis par

ν max

V

pente

= h/e

Figure 4.11 – Courbe V en fonction de la fréquence maximaleémise.

un seul électron et l’énergie maximaledu photon est atteinte lorsque l’électronperd d’un seul coup la totalité de sonénergie cinétique .

hνmax = eV =1

2mv2 (4.54)

Ce phénomène est connu sous le nom“Bremstrahlung” ou “rayonnement defreinage”.

Spectre de raies

Contrairement au spectre continu, le spectre de raies (ou spectre discret) dépend uniquement dela nature des atomes constituants le matériau. Il ne dépend absolument pas de l’énergie cinétiquedes électrons qui sont à la base de la production des rayons X.

Le spectre de raies peut également être observé dans une expérience de fluorescence où lesatomes deviennent à leur tours des radiateurs après avoir absorbé eux-même une portion de radia-tion incidente. Dans ce cas le spectre continu sous-jacent est inexistant.

Le spectre de raies obtenu est identique à celui qu’on obtient en bombardant ces même atomespar des électrons si l’on écarte les raies correspondant au rayonnement diffusé : (pic Thomson +pic Compton).

Nous avons parfaitement le droit de penser que le spectre de raies d’émission met en jeu lesniveaux d’énergie préétablis EK , EL, EM , etc. Mais quelle relation y a t-il entre le spectre d’ab-sorption et celui d’émission ?

L’usage du principe de combinaison de Ritz nous facilitera l’établissement de cette relation. Eneffet en interpétant le spectre de raies d’émission comme résultat de transitions entre différents

38

niveaux d’énergies, nous pouvons écrire

νnp = c(Tp − Tn) =c

λnp. (4.55)

Les termes spectraux Tn se confondent avec les nombres d’ondes 1/λK , 1/λL, 1/λM etc correspon-dants aux discontinuités d’absorption ; ainsi nous écrivons sans crainte :

hνKα = EL − EK (4.56)hνKβ = EM − EK (4.57)hνKγ = EN − EK (4.58)

Une série de raies soit qu’elle ap-

{ν } {ν } νM L Kν

k

ν K

Iν

1

Figure 4.13 – Comparaison des spectres d’émission etd’absorption. La partie discontinue de la courbe Iν = f(ν),

montre l’apparition de la série K au complet lorsque ν > νK .

parait au complet soit qu’elle dispa-rait complètement. Par exemple ; Lasérie K, comme schématisée sur lafigure (4.13), apparait au complet quandla tension accélératrice est suffisam-ment élevée pour que νmax ≥ νK , ouencore :

1

2mv2 = eV = hνmax ≥ hνK = WK

(4.59)où WK est l’énergie nécessaire pouréjecter en dehors de l’atome un électronde la couche profondeK. En définitif,la série K n’aparait que si l’on peutioniser un atome en lui arrachant unélectron de la couche K. Or les étatsles plus stable sont ceux d’énergie mi-nimale, c’est ainsi que l’un des électronsdes couches supérieures peut descendredans l’échelle d’énergie et remplir lacoucheK en libérant de l’énergie sousforme d’un photon.

Cette énergie peut également êtreutilisée à l’intérieur de l’atome et pro-

duire des électrons Auger (Auger 1925).

1

2mv2 = (EL − EK)−WL (4.60)

l’énergie libérée lors de la transition L −→ K est absorbée par un autre électron dont l’énergied’extraction WL est inférieure à la quantité hνLK .

39

4.2.4 Loi de Moseley

L’étude expérimentale des spectres de raies d’émission a amené Moseley à établir une relationentre les fréquences émises et la charge nucléaire (ou le numéro atomique W ).

La variation de ν en fonction de Z suit une loi parabolique. Pour s’assurer de cette loi, il a fallutracer

√ν en fonction de Z, et vérifier qu’il s’agit belle et bien de droites

Regardons cela sous un autre angle

ν

Z

i K L M

Figure 4.14 – Fréquences des discontinuités K, L et Men fonction du numéro atomique.

en faisant intervenir les discontinuitésdu spectre d’absorption plutôt quele spectre d’émission. Nous avons vuque l’énergie du niveau le plus pro-fond a pour valeur absolue |EK | =hνK . Celle-ci doit crôıtre égalementen fonction de Z suivant une loi pa-rabolique en Z2. Pour les hydrogénöıdeset selon le modèle de Bohr ;

EK = RhcZ2

12= RhcZ2 (4.61)

ce qui donne

νK = RcZ2 (4.62)

Nous avons déterminé la pente de ladroite

√νK = f(Z).

En traçant maintenent √νK/Rc = f(Z),

nous obtenons le diagramme de Bohr-CosterCes courbes sont en première ap-

ν

Z

i

L MK

Figure 4.15 – Diagramme de Bohr-Coster.

proximation des lignes droites ne pas-sant pas par l’origine et on a :

K −→√

νKRc = Z − σK ,

avec

1 ≤ σK ≤ 2.

L −→√

νLRc =

12 (Z − σL),

avec

σL ≈ 10.

M −→√

νMRc =

13 (Z − σM ),

avec

σM ≈ 20

ce qui nous permet d’écrire, en première approximation, pour les niveaux profonds de différentsatomes que

En = −Rhc(Z − σn)2

n2, avec n ≡ K, L ouM (4.63)

et nous pouvons ainsi conclure que les niveaux d’énergies profonds des atomes sont déterminésessentiellement par le nombre quantique n.

Nous pouvons interpréter également le coefficient σ comme la charge écran entre le noyau etl’électron considéré, c’est pourquoi σ est appelé coefficient d’écran. La quantité Z − σ = Zeff estappelée charge effective.

40

De façon similaire à ce qui précède nous pouvons écrire la loi de Moseley relative aux fréquencesdes raies d’émission pour les couches profondes d’un atome comme suit :

νnm = Rc(Z − σn)2(

1

n2− 1m2

)avec n < m. (4.64)

41

4.3 Expérience de Stern-Gerlach

Cette expérience à été conçue au départ pour la mesure du moment magnétique d’un atome. Lesrésultats de mesures ont montré de façon claire les limites des théories classiques. L’expérience deStern-Gerlach est considérée actuellement comme un des fondements sûrs de la physique quantique.

Soit un atome ayant un moment magnétique ~µ plongé dans un champ magnétique ~B. Cet atomesubit un moment résultant des forces extérieures

~Γ = ~µ ∧ ~B. (4.65)

celui-ci induit un mouvement de rotation de ~µ autour de ~B. Si le champ magnétique ~B est uniformela résultante du couple des forces extétrieurs appliquées aux extrémités du dipôle est nulle et l’atomene subit aucune déviation de sa trajectoire initiale. Par contre si le champ magnétique possède ungradient non-nul ; les extrémités de ce dipôle ne sont plus soumit à des forces égales et opposées,ce qui entraine une déviation de l’atome. La résultante des forces appliquées au dipôle est :

~F = (~µ~∇) ~B. (4.66)

Or ~B est parallel à l’axe ~oz ; par conséquent la composante Fz de la résultante s’écrit :

Fz = µx∂Bz∂x

+ µy∂Bz∂y

+ µz∂Bz∂z

. (4.67)

La valeur qui peut être mesurée expérimentalement est une valeur moyenne

F̄z = µ̄x

(∂B̄z∂x

)+ µ̄y

(∂B̄z∂y

)+ µ̄z

(∂B̄z∂z

). (4.68)

Etant donné que le moment magnétique précessionne autour de ~B (‖ ~oz) alors les valeursmoyennes de µx et µy sont nulles ce qui donne immédiatement :

F̄z = µ̄z¯(∂Bz∂z

)(4.69)

c’est donc seulement l’observation de déplacement de l’atome sous l’action d’un champ magnétique~B non-homogène qui peut nous fournir une mesure de la composante µz du moment magnétique(composante longitudinale). Cette idée a été le point de départ de cette expérience.

4.3