sciences sup

AnAlyse et trAitement des signAux

mthodes et applications au son et limage

2e dition

tienne TisserandJean-Franois Pautex

Patrick Schweitzer

L3 Master coles dingnieurs

Cours et exercices corrigs

NordCompoPice jointe9782100539840.jpg

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ANALYSE ET TRAITEMENTDES SIGNAUX

Mthodes et applicationsau son et limage

ANALYSE ET TRAITEMENTDES SIGNAUX

Mthodes et applicationsau son et limage

Cours et exercices corrigs

tienne TisserandMatre de confrences et directeur d'un atelier d'lectronique

et d'automatique lUniversit Henri Poincar de Nancy

Jean-Franois PautexAssistant-Ingnieur lUniversit Henri Poincar de Nancy

Patrick SchweitzerMatre de confrences l'IUT de Nancy-Brabois

Illustration de couverture : Fotolia - Abstract Art Sean Gladwell

Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053984-0

Table des matires

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 PROPRITS ET ACQUISITION DES SIGNAUX SONORES 5

1.1 Les sons et laudition 5

1.1.1 Nature physique dune onde sonore 51.1.2 Caractristiques principales de laudition humaine 7

1.2 Les sons musicaux 101.2.1 Bruit et musique 101.2.2 Allure temporelle dune note 101.2.3 Hauteur et timbre 111.2.4 Autres aspects frquentiels 131.2.5 Battement, consonance et dissonance 15

1.3 Effets Doppler sonores 171.3.1 Source sonore fixe Auditeurs mobiles 171.3.2 Source sonore mobile Auditeurs fixes 171.3.3 Source sonore fixe Obstacle rflecteur mobile 18

1.4 Microphones 201.4.1 Proprits gnrales 201.4.2 Grands types de microphones 211.4.3 Sonomtre simple 23

EXERCICES 24

CHAPITRE 2 ACQUISITION ET REPRSENTATION DES IMAGES 27

2.1 Obtention des images relles 282.1.1 Formation optique des images 282.1.2 Rglages de loptique 28

2.2 Vision et reprsentation des images couleurs 312.2.1 Colorimtrie 312.2.2 Reprsentation psychovisuelle des couleurs 34

2.3 Modlisation matricielle 362.3.1 Transformations lmentaires dun repre 3D 362.3.2 Modles de projection perspective 392.3.3 Matrices de transformation perspective 402.3.4 Cas gnral 412.3.5 Remarques 42

2.4 Calibration dun systme de prise de vue 432.4.1 Estimation de la matrice [C] 432.4.2 Exemple dapplication 43

EXERCICES 46

CHAPITRE 3 CHANTILLONNAGE, QUANTIFICATION ET RESTITUTION DES SIGNAUX 49

3.1 chantillonnage des signaux analogiques 503.1.1 chantillonnage idal 503.1.2 chantillonnage-blocage 53

3.2 Quantification des signaux 563.2.1 Dfinition de la quantification uniforme et du bruit de quantification 563.2.2 Caractristiques du bruit de quantification 573.2.3 Rapport signal sur bruit de quantification 583.2.4 Quantification aprs compression de dynamique 59

3.3 Aspects particuliers des oprations dchantillonnage et de quantification 593.3.1 Choix de quelques frquences dchantillonnage

et formats de quantification 593.3.2 Techniques du surchantillonnage la numrisation du signal 593.3.3 Introduction au convertisseur analogique numrique sigma-delta 623.3.4 Dithering 663.3.5 Conversion du taux dchantillonnage sans transposition de hauteur 67

3.4 Interpolation la restitution du signal 673.4.1 Principe 673.4.2 Fonction dinterpolation 683.4.3 Interpolation linaire 683.4.4 Polynme dinterpolation 693.4.5 Dtermination du polynme dinterpolation par la mthode de Lagrange 693.4.6 Interpolation de Lagrange dun signal chantillonn 713.4.7 Interpolation par la mthode de Newton 72

3.5 Gnration de signaux numriques usuels 743.5.1 Prambule 743.5.2 Gnration par lecture cyclique dune table dchantillons mmoriss 753.5.3 Synthse numrique directe 753.5.4 Gnration par algorithme rcurrent 77

EXERCICES 80

CHAPITRE 4 ANALYSE CORRLATIVE DES SIGNAUX 85

4.1 Relations statistiques entre plusieurs variables 864.1.1 Notation Abrviations 864.1.2 Relations statistiques entre deux variables x1 et x2 864.1.3 Cas multivariable 884.1.4 Analyse en composantes principales 89

VI Table des matires

4.2 Fonctions de corrlation monodimensionnelles de signaux analogiques et numriques 914.2.1 Dfinition mathmatique 924.2.2 Calcul des fonctions de corrlation 924.2.3 Quelques proprits 934.2.4 Thorme de Wiener-Khinchine 934.2.5 Autocorrlation de signaux priodiques 934.2.6 Remarques 944.2.7 Intercorrlation de signaux priodiques de mme priode 944.2.8 Corrlation de signaux alatoires 94

4.3 Dtection de signaux priodiques 954.3.1 Dtection par autocorrlation dun signal priodique noy

dans du bruit 964.3.2 Dtection par intercorrlation dun signal priodique noy

dans du bruit 98

4.4 Identification de la RI dun systme par intercorrlation entre-sortie 984.4.1 Rappel 984.4.2 Mthode didentification dune rponse impulsionnelle

par intercorrlation 99

4.5 Mesure de retard entre signaux alatoires par corrlation 994.5.1 Principe gnral 994.5.2 Application la localisation dune source de bruit 100

4.6 Application la comparaison et la reconnaissance de signaux 1024.6.1 Corrlation dimages numriques 1024.6.2 Reconnaissance des sons voiss par autocorrlation court terme 105

EXERCICES 106

CHAPITRE 5 DCOMPOSITION ET ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX 109

5.1 Analyse de Fourier 1105.1.1 Joseph Fourier 1105.1.2 Exprience de J. Fourier sur la propagation de la chaleur 1105.1.3 Dveloppement en sries de Fourier 1125.1.4 Transformation de Fourier 113

5.2 Analyse spectrale des signaux analogiques 1175.2.1 Analyse par banc de filtre passe-bande 1175.2.2 Analyse par balayage frquentiel 1185.2.3 Analyseur htrodyne compression de balayage 120

5.3 Analyse spectrale des signaux numriques 1215.3.1 Transformation de Fourier numrique 1215.3.2 Transformation de Fourier discrte 1225.3.3 Mthode danalyse 1245.3.4 Application : analyse spectrale laide dun oscilloscope numrique 127

5.4 Mthodes destimation de la densit spectrale de puissance dun signal numrique 1295.4.1 Mthode du priodogramme moyenn 1295.4.2 Mthode du corrlogramme 130

Table des matires VII

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5.5 Dveloppement dun signal en srie de fonctions quelconques 1305.5.1 Notions vectorielles tendues aux signaux analogiques 1305.5.2 Extension aux signaux numriques 1315.5.3 Approximation dun signal pour une srie de fonctions 1315.5.4 Cas dune famille de fonctions orthogonales 1345.5.5 Applications lanalyse et la synthse dun signal 137

EXERCICES 138

CHAPITRE 6 FILTRAGE DES SIGNAUX ANALOGIQUES 143

6.1 Gnralits 1446.1.1 Filtres idaux 1446.1.2 Filtres rels 1446.1.3 Fonction de transfert des filtres lmentaires 147

6.2 Filtres passifs en lectroacoustique 1496.2.1 Constitution et comportement dun haut-parleur lectrodynamique 1496.2.2 Filtres pour haut-parleur 150

6.3 Structures de filtrage actives 1546.3.1 Cellules actives usuelles 1546.3.2 Cellules actives du second ordre performances amliores 1566.3.3 Structure de filtrage variable dtat 159

6.4 Filtres actifs programmables 1606.4.1 Contrle des caractristiques dune structure variable dtat 1616.4.2 Filtres capacits commutes 164

6.5 Synthse de filtres actifs sur cahier des charges 1676.5.1 Gabarit de filtrage 1676.5.2 Paramtres caractristiques des gabarits de filtrage 1686.5.3 Transposition des fonctions de transfert et des gabarits 1706.5.4 Filtres polynomiaux et elliptiques 1706.5.5 Approximations mathmatiques de la fonction de transfert

dun filtre PB polynomial 1726.5.6 Exemples traits 174

EXERCICES 178

CHAPITRE 7 FILTRES NUMRIQUES RPONSE IMPULSIONNELLE FINIE 185

7.1 Aspects gnraux des filtres numriques linaires 1867.1.1 Caractrisations dun systme numrique coefficients constants 1867.1.2 Reprsentation dune fonction de transfert H(z) par ses ples et ses zros 189

7.2 Structures usuelles des filtres numriques mono-dimensionnels 1927.2.1 Structures transversale et rcursive 1927.2.2 Synthse dun filtre par une structure en cascade 1937.2.3 Synthse dun filtre numrique par une structure en parallle 194

VIII Table des matires

7.3 Filtres numriques rponse impulsionnelle finie Gnralits 1957.3.1 Proprits gnrales 1957.3.2 Obtention dun filtre RIF phase linaire 196

7.4 Synthse de filtres RIF phase linaire par dveloppement en sries de Fourier 1977.4.1 Rappel 1977.4.2 Application une rponse impulsionnelle quelconque 1987.4.3 Troncature dune RII par fentrage temporel 1987.4.4 Effet du fentrage rectangulaire 1987.4.5 Diminution des ondulations par fentrage progressif 1997.4.6 Application au calcul de filtres RIF lmentaires 2007.4.7 Filtre RIF demi-bande 203

7.5 Synthse des filtres RIF par transformation de Fourier discrte 205

7.5.1 TFD et TFD1 2057.5.2 Exemple de synthse dun filtre RIF 2057.5.3 Exemple dapplication : correction spectrale pour prothse auditive 206

7.6 Synthse rcursive des filtres RIF 2077.6.1 Mthodologie 2077.6.2 Exemple 209

7.7 Transformation de Hilbert et signaux analytiques 2117.7.1 Transformation de Hilbert 2117.7.2 Signaux analytiques 212

EXERCICES 212

CHAPITRE 8 FILTRES NUMRIQUES RPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE 223

8.1 Mthode de synthse des filtres RII 2248.1.1 Synthse par chantillonnage dune rponse impulsionnelle analogique 2248.1.2 Synthse des filtres RII par quivalence de la drivation 2258.1.3 Synthse des filtres RII par la transformation bilinaire 226

8.2 Filtres rcursifs gnriques du second ordre 2308.2.1 Dtermination de H(z) 2308.2.2 Exemple de synthse dun filtre RII rjecteur de bande 2318.2.3 Dtermination rapide des filtres PBde et CB bande troite 231

8.3 Filtres dphaseurs 2328.3.1 Dphaseur pur lmentaire 2328.3.2 En pratique 233

8.4 Applications spcifiques aux signaux audionumriques 2338.4.1 cho et rverbration numriques 2338.4.2 tude dun galiseur de spectre audionumrique 235

8.5 Filtrage numrique du bruit 2408.5.1 Puissance de bruit en sortie dun filtre 2408.5.2 Estimation rcursive de la moyenne dun signal bruit 240

8.6 Algorithme de Goertzel 242

EXERCICES 243

Table des matires IX

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CHAPITRE 9 PRDICTION LINAIRE ET FILTRAGE ADAPTATIF DES SIGNAUX 251

9.1 Complments sur la quantification des signaux 2529.1.1 Codage PCM 2529.1.2 Codage et dcodage DPCM 253

9.2 Prdiction linaire dun signal numrique 2549.2.1 Schma de principe et objectif 2549.2.2 Systme rsoudre pour M observations 2559.2.3 Solution matricielle 2559.2.4 Exemples de calcul 2569.2.5 Application la prdiction dun signal vocal utilise en tlphonie

pour lencodage DPCM 2589.2.6 Application lanalyse et la synthse vocale 2589.2.7 Mots cls pour en savoir plus sur la prdiction des signaux 259

9.3 Filtrage numrique adaptatif 2609.3.1 Modlisation dun systme par un filtre RIF 2609.3.2 Modlisation adaptative 2619.3.3 Filtre RIF adapt par lalgorithme du gradient 2639.3.4 Filtre RII adaptatif 2659.3.5 Quelques exemples dapplication des filtres adaptatifs 266

EXERCICES 269

CHAPITRE 10 TRAITEMENTS DES IMAGES NUMRIQUES 273

10.1 Traitement ponctuel des images numriques 27310.1.1 Image numrique monochrome 27310.1.2 Histogramme dune image 27310.1.3 Correction ponctuelle dune image 27410.1.4 Recadrage de dynamique 27510.1.5 galisation de lhistogramme 27510.1.6 Binarisation 27610.1.7 Reprsentation dune image monochrome en fausses couleurs 277

10.2 Filtrage des images numriques 27810.2.1 Convolution numrique bidimensionnelle 27810.2.2 Lissage dune image ou filtrage passe-bas 27910.2.3 Accentuation des contours des objets dune image 28010.2.4 Gradients dimage monochrome 28110.2.5 Filtrage non linaire du bruit dune image 283

10.3 Analyse de la nettet dune image numrique 28510.3.1 Prambule 28510.3.2 Exemples de critres de nettet 28510.3.3 Test des critres sur un exemple 28610.3.4 Rsultats des tests 28610.3.5 Remarques gnrales 287

10.4 Transformation de Hough dune image 28710.4.1 Objectif 287

X Table des matires

10.4.2 Principe de la mthode pour la recherche de ligne droite 28710.4.3 Problme pour la recherche de ligne verticale Reprsentation

normale dune droite 28810.4.4 Transformation de Hough pout la dtection de droites

dans une image binaire 28810.4.5 Charge de calcul 28910.4.6 Exemples 290

EXERCICES 292

ANNEXE A DVELOPPEMENT EN SRIES DE FOURIER DE QUELQUES SIGNAUX COURANTS 295

ANNEXE B TRANSFORMATION EN Z 297

ANNEXE C SYSTME PRODUIT DE CONVOLUTION 301

ANNEXE D SIGNAUX ALATOIRES 303

ANNEXE E ESTIMATION DES PARAMTRES DUN MODLE PAR LA MTHODE DES MOINDRES CARRS 307

BIBLIOGRAPHIE 311

INDEX 313

Tables des matires XI

Introduction

PRAMBULE

Les signaux, les sons, les images sont les manifestations tangibles des choses et destres qui nous entourent. Ils sont galement les principaux vecteurs de la communica-tion entre les hommes.

Donner une dfinition simple et brve du concept de signal nest pas chose aise tantcette notion procde dune diversit de phnomnes. En sen tenant son sens pure-ment tymologique, signal provient des mots latins signum (marque, empreinte,signe...) et signatio (dsignation). Au mot signal, on peut galement rattacher les ter-mes signature et signification.

Bien quassez vague, cette dfinition rappelle quun signal est porteur dinforma-tions. Il faut cependant se garder de confondre signal et information. Une mme infor-mation peut en effet tre porte par une infinit de signaux forts diffrents. Le message Aujourdhui il pleut peut tre prononc ou crit en toute langue, traduit en braille,en morse, en binaire, crypt selon diffrents codages et que dire quand ces signaux enmodulent dautres...

Les mthodes et techniques de traitement des signaux ont connu un essor sans pr-cdent au cours des trente dernires annes. Tous les domaines sappuyant sur lindus-trie lectronique en profitent.

Au dbut des annes 1980, le Compact Disc a rvolutionn la haute fidlit et toutelindustrie phonographique en relguant le microsillon au muse. Ce support, qui per-met de stocker la musique avec une qualit ingale jusqualors, est une applicationdirecte de la thorie de lchantillonnage et de la quantification des signaux. Sa des-cendance actuelle (SACD, DVD audio...) a encore amlior la qualit en offrant lau-diteur une dynamique, une finesse de timbres et une spatialisation sonore accrues.

Les tlcommunications font face un accroissement incessant des besoins dchanges entre les hommes en exploitant des mthodes sophistiques de codage dessons et des images.

Les mondes du multimdia et de lInternet utilisent, quelques fois avec prcipitation,les mthodes les plus rcentes de compression audio et vido-numrique pour rduireles temps de transfert.

Les techniques instrumentales ralisent des mesures prcises sur des signaux enta-chs de bruit ou perturbs par des grandeurs dinfluence inconnues, en utilisant desmthodes corrlatives ou dconvolutives.

Les dpartements de recherche des armes ont toujours t lavant garde enmatire de traitement des signaux et de linformation. La radiotlphonie portative,lenregistrement magntique, le cryptage des signaux, la reconnaissance automatiquede formes, le radar, la surveillance satellitaire par analyse dimage... ont t, lorigine,dvelopps des fins militaires.

Le secteur de la sant nest pas en reste. Les prothses auditives, le monitoring mdi-cal font appel au filtrage numrique adaptatif des sons et des signaux. Limagerie parrsonance magntique (IRM), largement utilise pour visualiser les structures anato-miques, sappuie sur lanalyse de Fourier.

Enfin tous les secteurs de la recherche scientifique (physique, biologie, astronomie,automatique...) exploitent lanalyse et le traitement du signal pour extraire linforma-tion utile.

On devra garder lesprit quun signal conserve une grande part dhritage de lasource qui le produit. La connaissance de cette dernire permet de choisir les mtho-des danalyse et de traitement les mieux appropries.

ORIENTATION DE LOUVRAGE

Cet ouvrage prsente les mthodes danalyse et de traitement des signaux les plus cou-rantes.

Nous souhaitons relier le plus possible les concepts thoriques aux applications pra-tiques. Afin de faciliter la comprhension de lexpos, nous avons choisi dillustrernotre propos par des exemples tirs le plus souvent des domaines du son et de limage.Les raisons ce choix sont doubles : dune part, ces domaines intressent directement ou indirectement de nombreux sec-

teurs dactivits ; dautre part, la reprsentation mentale des signaux sonores et des images nous sem-

ble plus naturelle que le concept thorique de signal.Des exercices traits, issus de notes dapplication, compltent les chapitres les plus

thoriques.Nous proposons galement au lecteur de raliser quelques expriences simples qui

devraient faciliter lassimilation des aspects les plus abstraits.

2 Introduction

PUBLIC VIS ET PRREQUIS

Louvrage est destin aux tudiants, techniciens ou ingnieurs dsireux dappliquer cesmthodes dans leurs projets scientifiques et techniques.

Son contenu correspond un programme dispens en Sciences pour lIngnieur,notamment dans les formations de lautomatique, linformatique, llectronique, laphysique et les mathmatiques appliques. Il correspond un niveau dtudes deLicence/Master dans le schma europen actuel des tudes suprieures.

Pour suivre sans difficult cet ouvrage, il est souhaitable que le lecteur possde lesnotions de systme, de produit de convolution et quil soit un peu familiaris avec lal-gbre des transformations (Laplace, Fourier, en z) et le calcul matriciel. Si besoin est,le lecteur pourra consulter les fiches en annexe, qui rsument les principales propritsde ces outils mathmatiques.

La bonne comprhension du chapitre consacr au filtrage analogique ncessite laconnaissance des montages classiques base damplificateurs oprationnels.

OBJECTIFS PDAGOGIQUES ET CONTENU DE LA DEUXIMEDITION

Cette deuxime dition, entirement corrige, comporte plusieurs complments tho-riques et mthodologiques importants, des exercices supplmentaires et quelques all-gements.

Apporter une approche scientifique des signaux sonores et des images

Les chapitres 1 et 2 rappellent la nature et les proprits physiques des phnomnessonores ainsi que la formation et la reprsentation des images.

Le premier chapitre, Proprits et acquisition des signaux sonores est compltpar des exercices sur la mesure par voie ultrasonore (vlocimtrie doppler et tlmtrie).

Dans le chapitre 2, Acquisition et reprsentation des images , nous avons sup-prim la partie consacre lacquisition du signal vido que nous jugeons trop dpen-dante de lvolution des technologies. En remplacement, il nous a sembl intressantde prsenter la modlisation matricielle de la formation optique dune image. Cettemthode simple et trs utilise permet de modliser la transformation dune scne 3Den une image 2D. Elle est complte par la calibration dun systme de prise de vue,tape indispensable lorsque lon veut exploiter limage dans un but mtrologique.

Comprendre les mthodes dchantillonnage, de quantification et de restitutiondes signaux

lorigine, la plupart des signaux possdent une volution continue, incompatible avecles processeurs actuels de traitement qui exigent des signaux chantillonns et numri-ss. Le troisime chapitre expose les proprits, avantages et limitations des mthodesdchantillonnage et de quantification. Il sachve par des techniques de restitution,dinterpolation et de gnration des signaux.

Introduction 3

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Analyser les composantes dun signal

Le chapitre 4 est consacr lanalyse corrlative qui mesure linterdpendance entredonnes. Elle permet dapprcier le degr de ressemblance entre des signaux, dex-traire une volution dterministe noye dans du bruit ou de dtecter des priodicitscaches dans un signal complexe.

Un signal ne sarrte pas la seule perception globale que lon en a. Il procde dunemultitude de composantes qui peuvent tre isoles grce aux techniques de dcompo-sition et danalyse spectrale (chapitre 5). En fin de ce chapitre, la dcomposition dunsignal est tendue au dveloppement en srie de fonctions quelconques. Le cas parti-culier important des fonctions de Walsh est prsent.

Matriser et appliquer les mthodes de filtrage

Le filtrage passif et actif des signaux analogiques fait lobjet du chapitre 6.Dans les chapitres 7 et 8, nous exposons en dtail les proprits et la synthse des

filtres numriques RIF et RII. La transformation de Hilbert, la notion de signal analy-tique et lalgorithme de Goertzel font galement lobjet dune prsentation.

Le chapitre 9 traite de techniques de filtrage avances telles que la prdiction et lefiltrage adaptatif.

Le traitement bas niveau et le filtrage convolutif des images numriques sont dve-lopps dans le dernier chapitre.

REMERCIEMENTS

Les auteurs remercient sincrement M. Sbastien Louvard pour sa relecture attentivedes nouveauts apportes cette deuxime dition.

4 Introduction

Chapitre 1

Proprits et acquisition des signaux sonores

Les signaux sonores et les images servent dillustration frquente aux mthodes expo-ses dans cet ouvrage. Il nous a sembl opportun de le dbuter par une prsentation duconcept de son et dimage avant daborder des aspects plus thoriques du traitementdes signaux. Les deux premiers chapitres ont t rdigs cette fin.

Ce premier chapitre aborde des gnralits relatives au signal sonore. Les propritsdes sons et les caractristiques de laudition sont prsentes dans le premier paragra-phe. Par le biais des sons musicaux, la deuxime partie aborde les aspects temporels etfrquentiels dun signal. Les effets Doppler sonores et leurs applications font lobjet dutroisime paragraphe. Ce chapitre sachve sur les techniques dacquisition des sons.

1.1 LES SONS ET LAUDITION

1.1.1 Nature physique dune onde sonore

a) Phnomne acoustique

Un son est un branlement lastique de lair, dun fluide ou dun solide qui se mani-feste par des variations de pression autour de la pression moyenne du milieu. Lorsquele milieu est homogne, londe sonore se propage vitesse constante c appele clrit(tableau 1.1). Le vecteur des surpressions acoustiques est dans le mme sens que celuide la propagation : les ondes sonores sont dites longitudinales comme lillustre lafigure 1.1 dans le cas dun son purement sinusodal mis par un haut-parleur.

On note f la frquence de londe sonore et sa longueur donde : = cf

b) Niveau physique dun son

La pression acoustique dtermine le niveau L du son produit par une source.Le niveau, exprim en dB SL, est reli la pression acoustique par la relation sui-

vante :

L = 20 log PP0

(dB SL)

P est la pression acoustique exprime en N/m2 ou Pascal (Pa) P0, fixe 2 105 Pa, est la pression de rfrence du 0 dB SL.

Une pression acoustique de 1 Pa produit un son dun niveau de 94 dB SL.Le tableau 1.2 donne la pression acoustique et le niveau de quelques exemples sono-

res.Le niveau sonore chute de 6 dB lorsque lon double la distance sparant la source et

le sonomtre condition toutefois que le son se propage librement et sans rflexion.Lutilisation dune chelle logarithmique pour la mesure du niveau acoustique sim-pose pour les raisons suivantes :

la gamme de variations des sons audibles est trs tendue. Le rapport de puissanceentre le son le plus fort et le son le plus faible pouvant tre couts sans dtriora-tion de lappareil auditif, est denviron 1012. Une telle dynamique est incompatibleavec une chelle de reprsentation linaire ;

la sensation psychoacoustique du niveau dun son suit, comme lont montr les tra-vaux de Fletcher, une loi tendance logarithmique. Le doublement de la puissancedun son ne produit pas le doublement de la sensation perue mais une augmenta-tion de 3 dB de celle ci.

6 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

TABLEAU 1.1 CLRIT DU SON DANS QUELQUES MILIEUX.

Matriau Clrit c (m/s)

Air sec 20 C 344

Eau 20 C 1 500

Acier 5 000

Diamant 18 000

Figure 1.1 Description dune onde longitudinale.

1.1.2 Caractristiques principales de laudition humaine

a) Spectre sonore audible

La gamme des frquences audibles stend approximativement de 20 Hz 20 kHz pourun individu loue trs fine. Il est dusage de reprsenter laxe des frquences laidedune chelle logarithmique. Lensemble du spectre audible est divis en 10 octaves.Une octave correspond lintervalle compris entre une frquence f1 et sa valeur dou-ble f2 = 2 f1. Dans une chelle logarithmique la valeur centrale dune octave estf0 =

f1 f2 . On en dduit que f1 = f0

2et f2 = f0

2. Les frquences centrales nor-

malises des 10 octaves du spectre audible sont :

31,5 ; 63 ; 125 ; 250 ; 500 ; 1k ; 2k ; 4k ; 8k ; 16k

Ce qui couvre une tendue de frquence comprise entre 22 Hz et 22 kHz.

b) Niveau sonore physiologique

La sensation de niveau sonore, ou sonie, dpend de la frquence du son. Ce phnomneest dcrit par les courbes isosoniques donnes en figure 1.2. Ces courbes indiquent leniveau physique quil faut donner un son en fonction de sa frquence pour obtenir lamme sensation de volume. Ces courbes sont celles dune personne loue fine.

1.1 Les sons et laudition 7

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TABLEAU 1.2 QUELQUES EXEMPLES DE NIVEAUX SONORES.

Pression Intensit L (dB SL) Sensation Exemples acoustique sonore auditive de situation

(Pa) (W/m2)

200 100 140 Seuil de douleur Racteur davionDgt irrversible

20 1 120 Insupportable Atelier de chaudronnerie

2 102 100 Niveau trs fort Marteau piqueur

2 101 104 80 Niveau fort Moteur dautomobile

2 102 106 60 Niveau moyen Ambiance de magasin

2 103 108 40 Niveau faible Intrieur dune maison en ville

2 104 1010 20 Niveau trs faible Studio, brise, chuchotement

2 105 1012 0 Seuil daudition Niveau non rencontr

c) Courbes de pondration sonomtriques

Les courbes de la figure 1.2 ne sont pas parallles. Elles montrent que la sensation devolume sonore est dautant plus dpendante de la frquence que le niveau du son estfaible.

Pour rendre compte de cet effet et mesurer limpact physiologique dun bruit, lessonomtres sont dots dun module de pondration spectrale qui corrige les mesures deniveau physique. Les lois de type A, B, C sont utilises respectivement pour la mesurede bruits de faible, moyenne et forte intensits ; les mesures sont alors exprimes endBA, dBB ou dBC. Le tableau 1.3 donne les valeurs des coefficients de correction endB appliquer aux frquences normalises, ici en tiers doctave dans le spectre audi-ble.

d) Effet de masque

Leffet de masque est un phnomne de laudition difficilement pris en compte ensonomtrie. Si lon coute simultanment deux sources sonores, on peut constater que : frquence proche, le son faible est couvert (masqu) par le son fort ; un son grave intense peut masquer un son aigu plus faible ; un son aigu mme intense ne peut masquer un son grave.

8 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

k k20

Figure 1.2 Courbes daudition isosonique.

1.1 Les sons et laudition 9

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TABLEAU 1.3 PONDRATIONS A, B, C EN dB APPLIQUES AUX FRQUENCES NORMALISES EN TIERS DOCTAVE.

Frq Pondration Pondration Pondration Frq Pondration Pondration Pondration (Hz) A B C (Hz) A B C

12.5 63.4 33.2 11.2 500 3.2 0.3 0

16 56.7 28.5 8.5 630 1.9 0.1 0

20 50.5 24.2 6.2 800 0.8 0 0

25 44.7 20.4 4.4 1 000 0 0 0

31.5 39.4 17.1 3 1 250 0.6 0 0

40 34.6 14.2 2 1 600 1 0 0.1

50 30.2 11.6 1.3 2 000 1.2 0.1 0.2

63 26.2 9.3 0.8 2 500 1.3 0.2 0.3

80 22.5 7.4 0.5 3 150 1.2 0.4 0.5

100 19.1 5.6 0.3 4 000 1 0.7 0.8

125 16.1 4.2 0.2 5 000 0.5 1.2 1.3

160 13.4 3 0.1 6 300 0.1 1.9 2

200 10.9 2 0 8 000 1.1 2.9 3

250 8.6 1.3 0 10 000 2.5 4.3 4.4

315 6.6 0.8 0 12 500 4.3 6.1 6.2

400 4.8 0.5 0 16 000 6.6 8.4 8.5

Figure 1.3 Effet masquant dun son 400 Hz et dun son 3 500 Hz (niveau 80 dB).

Tout se passe comme si le son masquant levait le seuil daudibilit de lauditeur. Lafigure 1.3 montre llvation du seuil daudibilit produit par deux sons masquant de80 dB, lun 400 Hz, lautre 3 500 Hz.

Remarque. Leffet masquant explique partiellement la perte de relief sonore quelon ressent lcoute dun systme strophonique lorsque lon se rapproche delun des deux haut-parleurs : laccroissement du volume relatif rsultant masquela perception des signaux, notamment aigus, mis par le second haut-parleur. cet effet sajoute limpression de disparition de la source loigne lie auretard relatif de propagation (effet Haas).Le phnomne de masquage sonore est exploit dans certaines techniques decompression de signaux sonores qui permettent de rduire la taille des fichiersaudionumriques sans trop nuire leur qualit.

1.2 LES SONS MUSICAUX

1.2.1 Bruit et musique

Au sens large, un bruit est un ensemble de sons caractre alatoire qui ne renseignelauditeur que sur la nature de la source qui la produit. loppos, le langage parl etles sons musicaux forment les lments dune phrase verbale ou musicale qui prsen-tent un sens pour lauditeur. Des informations sont ainsi vhicules par voie acous-tique. Les phonmes et les notes de musique constituent lalphabet de ces langages.

1.2.2 Allure temporelle dune note

En reliant un microphone un oscilloscope, il est possible de visualiser lvolutiontemporelle de la pression acoustique engendre lorsquune note est joue sur un instru-ment. De faon gnrale, lallure temporelle peut tre dcompose en 4 phases succes-sives : la phase dattaque (attack) ; le dclin (decay) ; la phase de maintien (sustain) ; la chute (release).

La forme globale est appele enveloppe de la note. Un exemple est donn en figure1.4.

Durant la phase de maintien, dont la dure est contrle par linstrumentiste, lesignal est quasi priodique mais sa forme sur une priode est une caractristique pro-pre linstrument. titre dexemple, la figure 1.5 dcrit les formes dondes sonoresmises par deux instruments.

10 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

1.2.3 Hauteur et timbre

a) Dfinition

La hauteur dune note de musique correspond la frquence fondamentale de la formedonde dans la phase de maintien. Il sagit du nombre de vibrations acoustiques pro-duites par linstrument pendant une seconde. Le timbre est directement li la formedu signal durant une priode.

b) Exemple de la corde vibrante

titre dexemple, tudions le son mis par une corde vibrante. Lorsque le guitaristepince une corde, celle-ci, carte de sa position de repos, entre en vibration. La vibra-tion est due la propagation dans les deux sens dun branlement transversal le long

de la corde. La vitesse de propagation est donne par v =

F

. F(N ) est la tension de

la corde au repos et (kg/m) est la masse linique de la corde.

1.2 Les sons musicaux 11

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Figure 1.4 volution temporelle de lenveloppe dune note musicale.

Figure 1.5 Allure temporelle des ondes de pression sonores mise par une clarinette et un piano.

Durant leur propagation, les bran-lements sont rflchis par les extrmi-ts fixes. Aprs un aller-retour de lon-gueur 2L , la corde retrouve sa positionde dpart. La superposition des diff-rents tats de la corde au cours dutemps fait apparatre un rgime defuseau prsentant deux nuds auxextrmits et un ventre au centre

(figure 1.6). La dure T0 = 2Lv

est la

priode du mode de vibration fonda-

mental de la corde. La frquence fondamentale du son mis vaut ainsi f0 = 12L

F

.

Une corde en vibration peut galement avoir plusieurs modes de rsonance caractri-ss par le nombre k de ventres entre les deux extrmits (figure 1.6).

Chaque mode vibratoire produit un son partiel dont la frquence est un multiple, defacteur k, de la frquence fondamentale. Ces frquences sont appeles harmoniques. Sila corde ne prsente quun seul mode de vibration, le son produit est purement sinuso-dal. La prsence des composantes harmoniques modifie la forme priodique de londede pression sonore. Lamplitude relative des harmoniques prsents dans le signal carac-trise le timbre de la note joue. Cela explique pourquoi un la3 jou au piano diffremusicalement du la3 produit par un violoncelle. Pour une corde vibrante, la compositionharmonique dpend de la manire et de lendroit dexcitation de la corde : le timbredune corde frappe est diffrent de celui dune corde frotte ou pince...

c) Octave de la gamme tempre

12 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.6 Modes de vibration dune corde.

Figure 1.7 Rpartition des notes de la gamme tempre.

La gamme tempre, utilise couramment en musique, comporte 7 notes dont les fr-quences fondamentales sont rparties dans une octave divise en 12 demi-tons. Lafigure 1.7 donne cette rpartition. De cette manire, les composantes harmoniquesdune note ne peuvent pas tre confondues avec la frquence fondamentale des six autres notes de la mme octave.

d) La frquence du diapason

La frquence dune seule note permet daccorder toute la gamme dun instrument demusique. Pour cela le concertiste utilise un diapason, (fourche mtallique rsonante ouoscillateur lectronique), qui restitue la note la3 de rfrence.

Le choix de la hauteur du diapason a souvent t sujet discussion dans les cerclesde musiciens et sa valeur fut plusieurs fois modifie au cours des sicles : 415 Hzdurant la priode baroque, 435 Hz pour le diapason dit normal institu en 1859. La frquence du la3 a finalement t fixe 440 Hz lors dune confrence internatio-nale en 1939.

Bien quil sagisse dune rfrence, cette valeur ne doit pas tre considre commeabsolue. En effet la temprature modifie quelque peu la frquence des instruments,notamment ceux qualifis de traditionnels. Des mesures de frquence ralises en 1965lors dune reprsentation de lOpra de Paris ont montr des dispersions de 4 Hz dela frquence du la3 restitue par les instruments au cours de la soire.

e) tendue spectrale de quelques instruments de musique

Les frquences fondamentales utilises en musique schelonnent entre 32 Hz et 4 096 Hz environ. cela sajoutent les harmoniques des notes joues qui augmententltendue spectrale des sons produits. Le tableau 1.4 donne ltendue spectrale dequelques instruments et voix courants.

1.2 Les sons musicaux 13

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TABLEAU 1.4 TENDUE SPECTRALE DE QUELQUES INSTRUMENTS DE MUSIQUE.

Instruments tendue spectrale Instruments tendue spectrale (Hz) et voix (Hz)

Contrebasse 30-10 000 Saxophone basse 50-14 000

Violoncelle 60-13 000 Clarinette 140-17 000

Violon 200-17 000 Hautbois 150-19 000

Grosse caisse 45-7 000 Voix masculine 80-8 000

Tambour 50-15 000 Voix fminine 150-10 000

1.2.4 Autres aspects frquentiels

a) Analyse et synthse harmonique

Mathmatiquement on analyse le contenu harmonique dun signal priodique quel-conque en utilisant le dveloppement en sries de Fourier. Cette analyse est prsenteen dtail dans le cinquime chapitre.

Rciproquement, il est possible de synthtiser des formes dondes sonores com-plexes en ajoutant diffrentes composantes sinusodales en rapport harmonique. Le sonobtenu peut tre cout en excitant un haut parleur avec le signal de synthse. La figure1.8 dcrit la forme donde rsultante de la somme de 3 sinus.

Du point de vue musical, un son purement sinusodal prsente peu dintrt. Un sontrop riche en harmoniques est, quant lui, souvent dsagrable couter.

14 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.8 Exemple de synthse harmonique dun signal.

b) Composantes frquentielles des phases dattaque et de chute

Durant les phases dattaque et de chute, lenveloppe du signal nest pas constante. Lesvariations damplitude modifient le contenu spectral du son, notamment si ces varia-tions sont brusques. Pour tudier ce phnomne, coutons attentivement un son sinu-sodal pur : dans sa phase de maintien, on peroit une frquence fixe et prcise ; cest toujours le cas si les phases dattaque et de chute sont douces ; on peroit en

pratique une frquence unique qui apparat puis svanouit ; si lattaque et/ou la chute sont trs brutales, il est possible de percevoir un claque-

ment . Celui-ci est d llargissement spectral provoqu par la coupure temporelledu signal. La figure 1.9 illustre ce phnomne.Les aspects mathmatiques et techniques lis lanalyse frquentielle des signaux

transitoires sont prsents dans le chapitre consacr lanalyse spectrale.

Figure 1.9 largissement spectral dun signal tronqu.

c) Distorsion harmonique des systmes audio

Aucun systme dacquisition, damplification ou de reproduction de signaux sonoresnest parfait. Le signal restitu diffre plus ou moins du signal initial. De faon gn-

rale on appelle distorsions, les dformations du signal apportes par le systme. Dansle cas dun amplificateur, une distorsion apparat lorsque le gain de lamplificateurdpend de lamplitude du signal dentre. Cela se traduit par une loi sortie = fonc-tion(entre) qui nest pas parfaitement linaire (figure 1.10).

Pour un signal dentre purement sinusodal, les dformations font apparatre en sor-tie des composantes harmoniques non prsentes au dpart. Ce type de distorsion estappel distorsion harmonique. Le moyen simple den valuer le taux est de mesurer lavaleur efficace de lensemble des frquences harmoniques.

Mathmatiquement le taux de distorsion harmonique totale (DHT) est dfini par :

DH T (%) = 100 Valeur efficace de lensemble des harmoniquesValeur efficace du fondamental

1.2 Les sons musicaux 15

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Figure 1.10 Amplificateurs linaire et non linaire.

Remarque. Le guitariste Jimmy Hendrix fut lun des champions de lutilisationdamplificateurs saturs pour produire volontairement des sons fortement dis-tordus. La saturation de lampli est obtenue notamment par leffet larsen rsul-tant du couplage acoustique arien entre les cordes de la guitare et le son produitpar les hauts parleurs.

1.2.5 Battement, consonance et dissonance

Le battement sonore est un phnomne acoustique plutt dsagrable couter. Il seproduit lorsque deux sons de frquences voisines interfrent. Pour analyser ce phno-mne, considrons deux ondes x1(t) et x2(t) purement sinusodales, lune de fr-quence f1 et la seconde de frquence f2. Leurs expressions mathmatiques respectivesscrivent :

x1(t) = sin(2 f1t) et x2(t) = sin(2 f2t)Compte tenu des proprits des fonctions trigonomtriques, la somme de ces deuxsignaux devient :

y(t) = 2 sin[

2f1 + f2

2t

]cos

[2

f1 f22

t

]

Si les frquences f1 et f2 sont trs proches, y(t) est quasiment sinusodal, de mme fr-

quence mais son amplitude varie lentement avec un rythme de frquence f1 f2

2appe-

le frquence de battement. La figure 1.11 traduit graphiquement le battement obtenu. noter que le battement est mis profit par les accordeurs de piano : lharmonique

2 dune note doit possder la mme frquence que celle du fondamental de la mmenote de loctave suprieure. Si aucun battement napparat lorsque les deux notes sontjoues simultanment cest quelles sont bien accordes lune avec lautre.

Dans la musique polyphonique, on excute plusieurs tonalits simultanment. Ilconvient que les accords de notes soient agrables lcoute. On qualifie de dissonants,deux sons qui provoquent une sensation de duret et de dsquilibre et de consonantsceux qui procurent une sensation douce et quilibre. En sparant progressivement lesfrquences de deux tonalits joues simultanment, les sensations auditives suivantessont perues successivement (figure 1.12) : battements (lents puis rapides) ; accords durs ; accords doux.

16 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.11 Battement acoustique rsultant de laddition de deux sons de frquences voisines.

Figure 1.12 Dissonance et consonance de deux tonalits dcart frquentiel f .

1.3 EFFETS DOPPLER SONORES

Les effets Doppler sont les modifications de la perception de la frquence dune ondesonore lorsque la source du son et lauditeur sont en mouvement lun par rapport lau-tre. Plusieurs cas de figure engendrent de tels phnomnes.

1.3.1 Source sonore fixe Auditeurs mobiles

Considrons le cas dcrit en figure 1.13 dans lequel deux auditeurs, se dplaant lavitesse v, coutent une source sonore fixe. Lun se rapproche de la source, le secondsen loigne.

1.3 Effets Doppler sonores 17

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Figure 1.13 Auditeurs mobiles - Source sonore fixe.

Rappelons que la longueur donde propre 0 du son mis est la distance parcourue

par celui-ci pendant une priode T0 do 0 = cT0 = cf0

.

En vertu du rapprochement vers la source, la vitesse relative entre lauditeur 1 etlonde sonore est gale c + v.

La dure quil peroit entre deux crtes successives est gale T1 = 0c + v .

Nous en dduisons la frquence perue par lauditeur 1 :

f1 = f0(

1 + vc

)

Pour lauditeur 2, le mme raisonnement conduit :

f2 = f0(

1 vc

)pour v < c.

1.3.2 Source sonore mobile - Auditeurs fixes

Considrons un son mis par une source sonore mobile et peru par un auditeur sta-tionnaire. La frquence entendue dpend de la direction et de la vitesse du dplacementde la source. Examinons le schma de la figure 1.14 : en avant de la source, la longueur

donde sparant deux crtes successives est diminue de la longueur parcourue par lasource durant une priode T0 du son. La longueur donde reue par lauditeur 1 scrit :

1 = 0 vT0 soit 1 = c vf0

La frquence f1 perue est donc : f1 = c1

= f01 v

c

. Elle est plus leve que la fr-

quence du son mis par une source fixe.De mme pour lauditeur 2, la longueur donde est augmente de la quantit vT0.

La frquence perue est donc : f2 = c2

= f01 + v

c

. Elle est plus faible que f0.

18 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.14 Source mobile - auditeurs fixes.

1.3.3 Source sonore fixe Obstacle rflecteur mobile

a) Frquence Doppler rflchie

Un dernier cas deffet Doppler est illustr enfigure 1.15. Il sagit de la modification de fr-quence du son rflchi par un obstacle mobile.

Considrons linstant t = 0, deux crtessuccessives de londe sonore. La premire est surle point dtre rflchie par lobstacle (figure1.16). Les deux crtes sont alors spares de lalongueur 0. un instant particulier tx laseconde crte est rflchie par lobstacle.Compte tenu dune vitesse relative c + v entrecrte et obstacle, nous avons

tx = 0c + v =

c

c + v T0 . Entre 0 et tx, lobstaclesest rapproch dune distance vtx.

Aprs une priode T0, les deux crtes ont parcouru chacune la distance 0. Elles sont prsent distantes de la longueur r. En considrant la seconde crte, nous avons :

Figure 1.15 Source et auditeur fixes Obstacle rflecteur mobile.

0 = r + 2vtx. En remplaant tx par son expression, nous obtenons :

r =(

c 2 vcc + v

)T0 = c

f0

(1 2 v

c + v)

La frquence fr de londe rflchie estsuprieure celle de londe incidente :

fr = f01 2 v

c + v

b) Application la vlocimtrie ultrasonore

Cet effet Doppler est exploit dans les vlocimtres ultrasons. Dans lindustrie, onutilise ce type de capteur pour mesurer la vitesse dun liquide, charg de matires ensuspension, qui scoule dans une canalisation. Dans le domaine mdical, ils permet-tent une mesure non traumatisante de la vitesse dcoulement du sang dans un vaisseau.Le principe dun vlocimtre ultrasons obit au schma de la figure 1.17.

1.3 Effets Doppler sonores 19

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Figure 1.16 Longueur donde aprs rflexion sur un obstacle mobile.

Figure 1.17 Schma de principe dun radar vlocimtrique ultrasons.

Gnralement la vitesse v du mobile est faible devant la clrit c du son si bien

quune approximation de la frquence rflchie est : fr = f0(

1 + 2 vc

). Cette dernire

tant assez proche de f0, on peut utiliser un ensemble metteur-rcepteur ultrasonorede mme frquence de rsonance f0. Le mlangeur ralise le produit entre la tensiondexcitation de lmetteur et celle fournie par le rcepteur. Il dlivre une composantebasse frquence fr f0 et une composante haute frquence fr + f0. La composante

basse frquence est isole par le filtre passe-bas. Sa valeur est gale 2 f0c

v . Un

convertisseur frquence-tension permet une mesure directe de la vitesse v.

1.4 MICROPHONES

1.4.1 Proprits gnrales

a) Introduction

Le microphone est le dispositif indispensable pour raliser une prise de son. Plac enamont de la chane lectroacoustique, il conditionne la qualit et la fidlit de linfor-mation sonore recueillie. Il joue le rle de capteur acoustique et convertit en un signallectrique analogique, la pression acoustique que sa membrane dtecte.

b) Sensibilit S dun microphone

La sensibilit exprime la capacit dun microphone dtecter des sons de faible niveau.Elle est dfinie par lexpression suivante :

S = UP A

(V/Pa)

avec U (V) : amplitude de la tension dlivre vide par le microphone ; P A (Pa) :la pression acoustique.

Il est plus commode dexprimer la sensibilit relative en dB par rapport une sensi-bilit de rfrence fixe Sref. Dans ce cas :

S = 20 log SSref

Lorsque Sref est fixe 1 V/Pa, lunit de S est le dBV.On trouve souvent dans les notices techniques une sensibilit exprime en dBm.

Dans ce cas, la sensibilit de rfrence est gale 0,775V/Pa.

c) Directivit dun microphone

La directivit D() est une mesure des variations de S en fonction de langle dinci-dence de londe sonore par rapport laxe du microphone.

Le diagramme de directivit exprime le rapport D() = S()S(0)

dans lequel S(0) est

la sensibilit du microphone sous incidence normale.Il existe diffrents types de directivit. Parmi les plus courantes, nous trouvons :

le type omnidirectionnel : D() = 1 ; le type bidirectionnel dordre n : D() = [cos()]n ; les types unidirectionnels dordre n :

20 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

cardiode : D() = 0,5[1 + cos()][cos()]n1 ; hypercardiode : D() = [0,75 + 0,25 cos()][cos()]n1 ; supercardiode : D() = [0,33 + 0,67 cos()][cos()]n1 .

La figure 1.18 donne quelques diagrammes de directivit typiques.

Remarque. La connaissance du diagramme de directivit est essentielle pourobtenir une bonne prise de son notamment dans le cas denregistrements stro-phoniques.Dans le cas dune prise de son sur scne, le microphone adapt est de type uni-directionnel afin de capter trs faiblement les bruits devant la scne.

1.4 Microphones 21

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Figure 1.18 Diagrammes de directivit typiques.

1.4.2 Grands types de microphones

a) Type lectrodynamique bobine mobile

Principe

Le principe de ce microphone repose sur la loi de Lentz selon laquelle un bobinagemobile, situ dans le champ dun aimant permanent, est le sige dune force lectro-

a) b)

c) d)

Bidirectionnel dordre 1 Cardiode dordre 1

Hypercardiode dordre 1 Supercardiode dordre 1

motrice dinduction. La tension induite est proportionnelle la vitesse de la bobine,comme lexprime la relation suivante :

u = B l vavec u (V) : tension induite ; B (T) : induction magntique ; l (m) : longueur du bobi-nage ; v (m/s) : vitesse de la bobine.

Mise en uvre

Un microphone est ralis en rendant la bobinemobile solidaire dune membrane qui effectuela conversion acoustique/mcanique. La figure1.19 dcrit la structure simplifie dun micro-phone lectrodynamique.

Performances

La courbe de rponse en frquence de ce typede microphone est satisfaisante entre 60 Hz et 10 kHz.

La sensibilit, faible moyenne, stend de80 60 dBm.

b) Type lectrostatique

Principe

La membrane dun microphone lectrostatique peut tre considre comme lune desarmatures dun condensateur. En vibrant sous leffet des ondes acoustiques, la mem-brane entrane une modification dpaisseur qui se traduit par une variation de capacitcomme le rappelle lexpression suivante :

C = Se

(F)

avec S (m2) : surface en regard des armatures ; e (m) : paisseur entre armatures ; (F/m) : permittivit du dilectrique sparant les armatures.

Afin de recueillir un signal lectrique, lecondensateur est polaris sous une tension fixe.Les variations capacitives se traduisent par unevariation de charge qui engendre la circulationdun courant i suivant lquation :

i(t) = dqdt

= U dCdt

Le courant est converti en tension en interca-lant une rsistance de R dans le circuit de pola-risation (figure 1.20).

22 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.19 Structure simplifie dun microphone lectrodynamique.

Figure 1.20 Circuit de polarisation dun microphone lectrostatique.

Mise en uvre

Afin dobtenir une bande passante tendue, la membrane est trs lgre. Elle possdepar consquent une surface trs faible. Afin dobtenir une sensibilit suffisante, unmicrophone lectrostatique prsente les particularits suivantes :

une tension de polarisation U importante ;

une rsistance de charge R leve : de 1 10 M .

Le conditionnement du signal dlivr est ralis par un pramplificateur caractrispar :

un gain en tension lev ;

une impdance dentre suprieure R ;

un trs faible bruit de fond.

Utilisant gnralement des transistors effet de champ, le pramplificateur est situ proximit du transducteur afin dviter une liaison sous haute impdance.

Performances

Ce type de microphone possde des caractristiques excellentes qui le destinent auxprises de sons professionnelles (studio denregistrement, sonomtrie). La bande pas-sante est rgulire et peut stendre de 30 20 kHz. La rponse impulsionnelle estrapide.

c) Type lectret

Le microphone lectret est un microphone lectrostatique particulier. Llectret est llectrostatique ce que laimant permanent reprsente au magntisme : un matriau quipossde en permanence deux ples de charges opposes.

La fabrication de llectret consiste placer un polymre haute rsistivit dans unchamp lectrique intense et le soumettre de fortes tempratures (180 250 C).Aprs retour la temprature ambiante et suppression du champ extrieur, on constateque le matriau conserve en permanence une charge lectrique.

1.4.3 Sonomtre simple

La ralisation dun sonomtre simple est la porte de tout lectronicien amateur.Pour mesurer le niveau sonore sur lensemble du spectre audible, il faut :

un microphone large bande rponse plate. Un modle de type lectret est parfaite-ment adapt ;

une chane damplification 2 ou 3 calibres de gain permettant de conditionner unelarge dynamique de signaux ;

un dtecteur RMS permettant dextraire la valeur efficace du signal dtect ;

un convertisseur logarithmique ralisant la transformation en dB ;

un module de rglage du 0 et de la pente permettant ltalonnage du sonomtre ;

enfin un voltmtre numrique 2 ou 3 digits pour laffichage de la mesure.

1.4 Microphones 23

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On rappelle que la valeur efficace, sur une dure D, dun signal analogique x(t) estdfinie mathmatiquement par :

xeff =

1

D

D0

x2(t) dt

Le schma de principe du sonomtre est donn en figure 1.21.

24 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

Figure 1.21 Schma de principe dun sonomtre simple.

Remarques. Les fonctions Dtecteur RMS et Convertisseur log sontdisponibles sur le march sous forme de circuit intgr comme par exemple lemodle AD536 chez Analog Devices.Lobtention dune mesure en dBA exige linsertion, aprs lamplification, dunfiltre synthtisant la courbe de pondration A.

EXERCICES

Exercice 1.1 (Radar vlocimtrique transducteur ultrasonore)

On considre le schma du vlocimtre ultrasons donn en figure 1.17. Lavitesse du son dans lair vaut environ c = 340 m/s. La frquence dmissionultrasonore est gale f0 = 40 kHz. On considre que lobstacle se rappro-che de la source ultrasonore la vitesse constante v.Sachant que lon veut raliser des mesures de vitesse v dans la gamme 0 10 m/s, dterminer la frquence de coupure minimale fc min donner au fil-tre passe-bas.

On sait que la frquence de londe rflchie est donne par fr = cr

= f01 2 v

c + vou encore

fr = f0 c + vc v .

Comme la vitesse v du mobile est trs faible devant la clrit c du son, le terme v

c + v est trsinfrieur lunit. Nous pouvons donc approcher la frquence rflchie par :

fr f0(

1 + 2 vc + v

) f0

(1 + 2v

c

).

Le mlangeur dlivre une composante BF de frquence fr f0 et une composante HF de fr-quence fr + f0 . La composante BF est isole par le filtre passe bas. Sa valeur est gale

2 f0c

v.

Le filtre passe-bas doit possder une frquence de coupure suprieure cette valeur. Soit pourla vitesse v maximale nous obtenons :

fc min = 2 f0c

v = 80 10340

= 2,35 kHz

Exercice 1.2 (Tlmtrie ultrasons)

On considre un tlmtre ultrason dont la configuration est dcrite enfigure 1.22. Lmetteur est excit en rgime sinusodal permanent de fr-quence f0.

Exercices 25

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Vr

(f0d

Obstacle fixemetteur et rcepteurultrasonores

VeE

R)

Figure 1.22 Configuration de lmission-rception ultrasonore.

1. Exprimer le dphasage entre les signaux Vr et Ve en fonction de d, f0et co c est la vitesse du son et d la distance entre lobstacle et le tlmtre.

2. On mesure une distance dmes.

Dterminer la distance relle en fonction de dmes et de la longueur donde du signal ultrasonore.Lexcitation est prsent ralise avec un signal sinusodal wobul dont lafrquence fe(t) varie sous forme de rampes linaires rptitives comme ledcrit la figure 1.23.

3. Dessiner les volutions temporelles respectives de la frquence fe(t), de lafrquence fr (t) du signal reu et de la diffrence f = | fe fr | .4. Pour un intervalle temporel que lon dfinira, exprimer la distance d enfonction de c, TR, f et F.

1. Ve = sin(2 f0t) et Vr = sin(2 f0(t )] = sin(2 f0t )Le dphasage entre les signaux Ve et Vr scrit :

= 2 f0 = 2 f0 2dc

= 2

2d avec = cf0

2. De la relation prcdente nous dduisons dmes = 4.Le dphasage est connu k2 prs. Par consquent il y a ambigut sur la distance relle que

lon peut crire sous la forme : drelle = dmes + k 2 .3. Le signal reu Vr (t) est en retard de sur Ve(t) ce qui explique le dcalage des volutionstemporelles des frquences fe(t) et fr (t) dcrites en figure 1.24.

26 1 Proprits et acquisition des signaux sonores

t

fe(t)

f0

TR

Figure 1.23 Variations linaires de la frquence dexcitation.

t

f(t)

f0

TR

fe fr

0 t

f

f ff

Figure 1.24 volutions temporelles des frquences mise et reue.

4. Pour des instants appartenant lintervalle [ ; TR] modulo TR on a :

f = TR

F = 2dTRc

F d = TRc2F

f

Chapitre 2

Acquisition et reprsentation des images

Mathmatiquement une image est une fonction f (x,y) des deux coordonnes dun plandtendue limite. Gnralement lamplitude de f (x,y) est transcrite par un niveaudune chelle lumineuse (image monochrome) ou par la couleur dune palette chroma-tique (image couleur). Nous pouvons ainsi distinguer :

les images naturelles dune scne relle 3D claire, obtenues laide dun disposi-tif optique (il, objectif photo...) ;

les images imaginaires conues selon lart pictural ou par synthse assiste parordinateur ;

les images obtenues selon la technique Raster qui consiste reprsenter un ensem-ble de donnes sous la forme de points colors ordonns dans un plan.

Ce chapitre est consacr lobtention et la reprsentation de limage dune scne3D. Laccent est mis sur la modlisation de la formation optique de limage et sonexploitation des fins de mesure.

Le premier paragraphe rappelle les lois de la formation optique des images et lesrglages ncessaires lobtention dune image nette.

La vision et la reprsentation des images couleur font lobjet du deuxime paragra-phe.

Le troisime paragraphe dcrit sous forme matricielle les diffrentes tapes qui per-mettent de calculer la position dun point image partir des coordonnes tridimen-sionnelles du point scne correspondant.

La calibration dun systme de prise de vue est prsente dans le dernier paragraphe.Elle est illustre par un exemple pratique.

Enfin la mtrologie par limage est aborde sous la forme de deux exercices dap-plication.

2.1 OBTENTION DES IMAGES RELLES

2.1.1 Formation optique des images

La formation dimages rellesdune scne est obtenue laidedun systme optique convergentdont nous rappelons les rgles l-mentaires. Considrons les points-objet et les points-image forms parune lentille mince convergente (figure 2.1).

Posons en valeurs absolues :

d(O A) = p, d(O A) = p, d(F A) = , d(F A) = , d(O F) = d(O F ) = fo f est appele focale de la lentille.

Nous dfinissons le grandissement du systme par : = A

B

AB

= p

p

La condition pour obtenir une image nette est :1

p+ 1

p= 1

f.

Si p f alors p f et fp

.

2.1.2 Rglages de loptique

a) Adaptation de loptique la scne observer

Le format du capteur dimage (rtine) et les dimensions de la scne filmer sont sup-poss connus. Le grandissement ncessaire pour observer la scne est par consquentgalement connu. Notons L la distance objet-capteur.

Dtermination de p en fonction de et f

1

f= 1

p+ 1

psoit p = f

[1 + 1

]

Dtermination de p en fonction de et f

1

f= 1

p+

psoit p = f [1 + ]

Dtermination de f en fonction de et L

L = p + p = f[

2 + + 1

]soit f = L

2 + + 1

28 2 Acquisition et reprsentation des images

A

B

F

O F' A'

B'

Figure 2.1 Formation dune image par une lentille mince convergente.

b) clairement et ouverture

Lclairement Ec dune scne de surface S par un flux lumineux est dfini par :

Ec = ddSSi est en W alors Ec est en W/m2 ; si est en lumen alors Ec est en lux. Le tableau2.1 fournit quelques niveaux dclairement rencontrs dans des situations courantes.

2.1 Obtention des images relles 29

Dun

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e e

st u

n d

lit

.

TABLEAU 2.1 QUELQUES NIVEAUX DCLAIREMENT COURANTS.

Nature de lclairage Taux dclairement (lux)

Solaire, ciel dgag midi 100 000

Solaire, ciel dgag 10 h 65 000

Solaire, ciel nuageux midi 32 000

Solaire, ciel nuageux 10 h 25 000

Solaire, ciel clair, 1h avant le lever 1 000

Artificiel : clairage urbain 40(lampe vapeur de sodium)

Le nombre douverture N dun objectif diaphragm est dfini par : N = fD

o D est

le diamtre actif de lobjectif. On montre que lclairement reu par le capteur de limage est proportionnel :

EcN 2

Remarque. Dans les camras vido, un contrle automatique dexposition per-met dadapter le temps dintgration des lments CCD ainsi que louverture dudiaphragme la dynamique de lclairement de la scne filme.

c) valuation de la profondeur de champ

La profondeur de champ est la profondeur de scne pour laquelle limage de chaquepoint est caractrise par une tache, ou cercle de confusion, ne dpassant pas un dia-mtre tolr e (figure 2.2).

En vido, il est dusage de considrer comme diamtre de confusion, la distanceinter-pixels de la matrice CCD (figure 2.3).

La profondeur de champ dpend de louverture N , de e, de la focale f et de la dis-tance p sur laquelle est effectue la mise au point. La profondeur de champ peut tredtermine thoriquement comme suit :

Dans un premier temps, on dtermine lhyperfocale de lobjectif par : = f2

Ne.

Puis on value la profondeur, par rapport lobjectif, des plans particuliers de lascne laide des relations suivantes :

P N I = p p = P N I P P N = p(p f ) + p f

p2

+ p si f p

P P N = p + p f p

+ = D P N P N I = p(p f ) p + f

p2

p si f p

D P N = p p + f

Deux cas de figure peuvent tre examins :

A fixe

Calculons p et p+ en fonction de diffrentes valeurs de p (tableau 2.2)

30 2 Acquisition et reprsentation des images

Cercle de confusion

Profondeur de champ

DPN PPN

PNIPlan image

Figure 2.2 Dfinition graphique de la profondeur de champ.PPN : premier plan net ; DPN : dernier plan net ; PNI : plan net idal (mise au point pour p).

e

Figure 2.3 Distance inter-lment dun capteur dimage CCD.

p

2 2 ...

p

6

2

4

3...

p+

2infini infini infini

TABLEAU 2.2 PROFONDEUR DE CHAMP FIXE.

Une mise au point sur offre la plus large profondeur de champ.

Remarque. Cette proprit est mise profit dans les appareils photographiquesbon march de type focus fixe qui possdent un objectif dont la mise au pointunique est ralise sur .

A p fixe

Pour une mise au point sur une distance p fixe, plus est leve et plus la profondeurde champ est limite. Par consquent la profondeur de champ est dautant meilleureque N est lev, e lev et f faible.

Exemple. Dans le cas dune camra miniature prsentant les caractristiques suivan-tes :

f = 4,3 mm ; N = 1,8 ; e = 20 m, nous obtenons = 557 mm.

2.2 VISION ET REPRSENTATION DES IMAGES COULEURS

2.2.1 Colorimtrie

a) Perception des couleurs

La perception visuelle dun stimuli lumineux peut tre dcompose en deux sensa-tions : une sensation lumineuse lie lintensit du stimuli observ ; une sensation colore ou chromatique dpendant du spectre lumineux du stimuli.

Ces sensations sont transcrites au cerveau par les deux types de rcepteurs visuelsque comporte la rtine : les btonnets adapts la vision des formes et du mouvement. Ils sont actifs dans

des conditions de faibles clairements (vision scotopique) ; les cnes adapts la vision des couleurs et des dtails dans des conditions dclai-

rements moyens levs (vision photopique ou en lumire du jour).

En consquence, seuls les cnes sont responsables de la sensation colore. La den-sit des cnes est particulirement leve dans la zone centrale de la rtine appelefova dont le diamtre moyen est approximativement de 0,4 mm. En sloignant de lafova, la proportion de btonnets augmente au dtriment de celle des cnes qui sontpratiquement inexistants la priphrie de la rtine. La bande spectrale de lumire,visible par lil humain, stend en longueur donde entre 380 nm et 780 nm. Pour ana-lyser cette bande, 3 types de cnes de sensibilit spectrale spcifique sont actifs.

b) galisation additive des couleurs Lois de Grassmann

Lexprience de base de la colorimtrie consiste raliser lgalisation des sensationsfournies par lobservation simultane de deux plans colors. Le premier est clair par

2.2 Vision et reprsentation des images couleurs 31

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.

un flux lumineux de couleur X quelconque et dintensit x . Le second clair par unmlange de 3 flux de couleur A, B, C dont on peut rgler les intensits respectives a,b et c.

32 2 Acquisition et reprsentation des images

Figure 2.4 Expriences dgalisation chromatique1.

De cette exprience sont dduites les lois de Grassman sur la colorimtrie trichro-matique : toute couleur peut tre galise par la somme de quantit positive ou ngative de

3 couleurs primaires (figure 2.4a) : x X = a A + bB + cC ; laddition dune quantit y dune couleur Y chacun des deux plans conserve

lgalisation : x X + yY = a A + bB + cC + yY ; lgalisation est associative : si x X = a A + bB + cC et x X = d D + eE alors

a A + bB + cC = d D + eE ; un mme facteur multiplicatif appliqu aux intensits des flux ne modifie pas lga-

lisation.

Remarque. Un flux lumineux tant par nature dintensit positive ou nulle, unegalisation mettant en uvre un coefficient dintensit ngatif, ne peut pas treralise en pratique. Dans un tel cas lgalisation sera obtenue sur un mlangeentre la couleur X et le flux soustraire (figure 2.4b) : x X + a A = bB + cC.

c) Synthse tri-chromatique des couleurs

La premire loi de Grassman montre quune couleur quelconque peut tre reprsentedans une base forme par trois couleurs primaires. Bien que pouvant tre arbitraire, lechoix de ces primaires est primordial si lon veut obtenir une grande tendue dgali-sation. En pratique les primaires sont monochromatiques et loignes les unes des aut-res. Le trio optimal, qui assure lgalisation dun maximum de couleurs visibles, est :

(a) (b)

1. Les figures 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.9a de cet ouvrage peuvent tre consultes en couleur sur le site www.dunod.com (pagecatalogue de louvrage).

http://www.dunod.com

R = 700 nm, V = 546 nm et B = 436 nm (figure 2.5c). La figure 2.5a dcrit les cou-leurs obtenues par synthse additive proportion gale des flux mis par 3 projecteursde couleurs R, V , B.

Inversement partir dun projecteur de lumire blanche et de 3 filtres CYAN,MAGENTA et JAUNE placs en srie, il est possible dobtenir une couleur quelconquepar synthse soustractive (figure 2.5b).

d) Les fonctions colorimtriques

Une couleur monochromatiquedintensit unitaire (x = 1)peut tre galise selon la rela-tion : X = r R + vV + bBavec la somme r + v + b = 1.Les proportions des couleursprimaires ncessaires pour ga-liser chaque couleur mono-chromatique correspondentrespectivement aux fonctionscolorimtriques r(), v() etb() dcrites en figure 2.6.

e) galisation de la couleur dune source non monochromatique

Considrons la couleur X dune source lumineuse de spectre (). La dterminationdes coefficients dgalisation r , v, b est obtenue par le produit scalaire de () avecchacune des fonctions colorimtriques.

r =

()r()d , v =

()v()d , b =

()b()d

En pratique une estimation numrique de ces intgrales par la mthode des rectanglesavec un pas de 5 nm est suffisante.

2.2 Vision et reprsentation des images couleurs 33

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.

(a) Synthse additive (b) Synthse soustractive (c) Espace colorimtrique RVB

Figure 2.5 Synthse trichromatique des couleurs.

Figure 2.6 Les fonctions colorimtriques.

2.2.2 Reprsentation psychovisuelle des couleurs

a) Attributs de perception des couleurs

Lespace chromatique RVB est le systme colorimtrique standard utilis dans la plu-part des systmes vido pour coder une couleur. Cette dcomposition vectorielle estcependant assez loigne de la reprsentation dite psychovisuelle qui dcrit une cou-leur selon les trois attributs : luminosit, teinte et saturation.

La luminosit (ou luminance) traduit le niveau nergtique de lobservation.La teinte indique une position dans la palette des couleurs visibles. Elle correspond

la longueur donde dun rayonnement monochromatique provoquant une sensationdans le mme ton color.

La saturation traduit le degr de puret de la teinte. Le rayonnement observ peuten effet tre considr comme un mlange de lumire blanche et de lumire de teintepure. La saturation est le rapport de la luminance de teinte pure sur celle du rayonne-ment total.

On notera que la reprsentation psychovisuelle est applique en art pictural et endcoration. La figure 2.7 donne des exemples de variations de luminosit, teinte et satu-ration.

34 2 Acquisition et reprsentation des images

0 1 0 1

(a) Luminosit (b) Teinte (c) Saturation

Figure 2.7 Variations de luminosit, teinte et saturation.

b) Espace colorimtrique TSL

Il sagit dune reprsentation des couleurs dans un espacede coordonnes cylindriques correspondant aux trois attri-buts dfinis prcdemment. Cette reprsentation a t pro-pose par MUNSELL en 1905. La luminance correspond laxe du cylindre, teinte et saturation sont respectivementles coordonnes angulaire et radiale (figure 2.8).

Le passage des coordonnes R, V , B aux coordonnes T,S , L est donn par les quations suivantes :

T = arctg

3(R V )2B R V , L =

R + V + B3

, S = 1 Min(R,V,B)L

La position T = 0 correspond laxe des bleus.

T

L

S

10

1

Figure 2.8 Coordonnescylindriques de lespace

colorimtrique TSL.

c) Comparaison entre les reprsentations RVB et TSL

La srie de vignettes de la figure 2.9 reprsente la dcomposition de limage dun dah-lia en ses attributs colorimtriques TSL dune part, et RVB dautre part. La dynamiquede chaque coordonne est recadre entre 0 et 255 pour permettre une visualisation cor-recte et conforme en niveaux de gris.

Les corrlations entre composantes sont rsumes dans le tableau 2.3.Lanalyse de ces corrlations montre ce que visuellement on peut constater : les

composantes TSL sont plus indpendantes entre elles que les composantes RVB. Deplus les composantes RVB sont corrles avec la luminance (tableau 2.4) ce quiexplique que limage reste parfaitement reconnaissable dans chacun des plans RVB.

Ce dfaut explique galement la difficult de raliser une segmentation chromatiquesatisfaisante (sparation des diffrentes zones colores de limage) dans lespace RVB.

2.2 Vision et reprsentation des images couleurs 35

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.

Figure 2.9 Dcomposition TSL et RVB dune image relle.

image originale

teinte saturation luminosit

bleurouge vert

36 2 Acquisition et reprsentation des images

TABLEAU 2.3 CORRLATIONS ENTRE LES COMPOSANTES CHROMATIQUES DE LIMAGE PRCDENTE. T : TEINTE, S : SATURATION, L : LUMINOSIT, R : ROUGE, V : VERT, B : BLEU.

R V B

R 1 0,365 0,428

V 0,365 1 0,907

B 0,428 0,907 1

T S L

T 1 0,455 0,162

S 0,455 1 0,23

L 0,162 0,23 1

TABLEAU 2.4 CORRLATIONS ENTRE LUMINOSIT ET COMPOSANTES RVB.

R V B

L 0,769 0,862 0,889

2.3 MODLISATION MATRICIELLE

Limage cre par un systme optique de qualit peut tre utilise des fins de mesu-res dimensionnelles. Pour cela, la condition ncessaire est de possder un modle pr-cis reliant les coordonnes tridimensionnelles des points de la scne filme la posi-tion des pixels correspondants dans limage. Ce paragraphe prsente une approchematricielle modlisant cette transformation 3D2D.

2.3.1 Transformations lmentaires dun repre 3D

a) Reprsentation homogne dun vecteur

Soit V un vecteur dans un espace N dimensions

V =[

V1. . .VN

]; VH =

kV1. . .

kVNk

avec k =/ 0

Sa reprsentation homogne dans un espace N + 1 dimensions est VH .On retrouve le vecteur original partir de sa reprsentation homogne, en divisant

les N premires coordonnes de VH par la dernire.

b) Translation dun repre 3D

Nous considrons en figure 2.10 un repre 3D (O XY Z) et sa version translate quenous notons (oxyz). Nous notons :

O M =

X

Y

Z

; oM =

x

y

z

; Oo =

Xo

Yo

Zo

Selon la relation de Chasles nous avons

oM = O M Oo

do x = X Xo ; y = Y Yo ; z = Z Zo

Soit en notation matricielle :

x

y

z

1

=

1 0 0 Xo0 1 0 Yo0 0 1 Zo0 0 0 1

X

Y

Z

1

;

Notons [T ] =

1 0 0 Xo0 1 0 Yo0 0 1 Zo0 0 0 1

et [T ]1 =

1 0 0 Xo

0 1 0 Yo

0 0 1 Zo

0 0 0 1

[T ] et [T ]1 sont les matrices de translation directe et inverse

c) Changement dchelle

Le changement dchelle consiste appliquer les facteurs K X , KY et KZ respective-ment aux axes X, Y et Z. Sous forme matricielle cette transformation scrit :

x

y

z

1

=

KX 0 0 0

0 KY 0 0

0 0 K Z 0

0 0 0 1

X

Y

Z

1

2.3 Modlisation matricielle 37

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lit

.

Z

O

X

Y

yo

z

xYo

Zo

Xo

Figure 2.10 Translation dun repre 3D.

x

y

z

1

=

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 00 0 0 1

X

Y

Z

1

;

x

y

z

1

=

cos 0 sin 0

0 1 0 0

sin 0 cos 00 0 0 1

X

Y

Z

1

[R] [R]

[R] , [R] et [R] sont les 3 matrices de rotations planes

d) Rotations lmentaires dun repre 3D

Les trois rotations planes lmentaires dun repre 3D sont reprsentes en figure 2.12.Nous pouvons les crire sous les formes matricielles suivantes :

x

y

z

1

=

cos sin 0 0

sin cos 0 00 0 1 0

0 0 1 0

X

Y

Z

1

[R]

38 2 Acquisition et reprsentation des images

Z

O

X

Y

y

z

x

o

Figure 2.11 Changements dchelle dans un repre 3D.

Z

O

X

Y

Figure 2.12 Rotations planes dun repre.

2.3 Modlisation matricielle 39

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.

e) Concatnation doprations

On effectue un produit matriciel dans lordre des oprations lmentaires reproduirepour obtenir la transformation souhaite. On ne doit pas oublier que le produit matri-ciel nest pas commutatif.

2.3.2 Modles de projection perspective

a) Notation

(O XY Z) est le repre objet appel galement repre scne ; (oxyz) le repre li au systme de prise de vue appel galement repre camra ; (oxy) le repre 2D de limage

Nous notons Q :

X

Y

Z

le point objet et Q H :

X

Y

Z

1

sa reprsentation homogne.

De mme I :

[x

y

]le point image et IH :

uv

w

sa reprsentation homogne.

b) Modle classique

Le modle classique de formation optique des images est une projection perspectivedcrite en figure 2.13.

z,ZZ f

x,Xy,Y

Plan imageO,oi

f

i(x,y)

Q(X,Y,Z)

Figure 2.13 Schma classique de formation des images.

c) Modle pin hole

Ce modle, reprsent en figure 2.14, nglige la distance f devant la profondeur Z etlimine le renversement gomtrique de limage.

On notera que dans les configurations dcrites ici les repres objet et camra con-cident.

2.3.3 Matrices de transformation perspective

Les quations de transformation perspective sont donnes dans le tableau 1. Non linai-res, elles font apparatre au dnominateur le paramtre 2.5 reprsentant la profondeurdans scne.

40 2 Acquisition et reprsentation des images

z,ZZ

x,Xy,Y

Plan image f

O,oi

i(x,y) Q(X,Y,Z)

Figure 2.14 Schma pin hole de formation des images.

TABLEAU 2.5 QUATIONS DE TRANSFORMATION PERSPECTIVE.

Modle classique Modle pin hole

x

f= X

Z f x =f X

f Z x =f X

Z

y

f= Y

Z f y =f Y

f Z y =f Y

Z

En utilisant la reprsentation homogne des vecteurs, nous pouvons formuler cesquations sous les formes matricielles donnes dans le tableau 2.6.

TABLEAU 2.6 MATRICES DE TRANSFORMATION PERSPECTIVE.

Modle classique Modle pin hole

u

v

w

=

f 0 0 0

0 f 0 0

0 0 1 f

X

Y

Z

1

u

v

w

=

f 0 0 0

0 f 0 0

0 0 1 0

X

Y

Z

1

IH = [P] QH IH = [P] QH

On retrouve alors les coordonnes du point image I par les divisions finales x = uw

et y = vw

.

2.3.4 Cas gnral

Dans le cas o les repres scne et camra ne concident pas, il convient de suivre lestrois tapes de la procdure qui suit.

a) Ramener les coordonnes du point QH dans le repre image

Cela se traduit par une matrice [B] de dimension 4 4 forme par la concatnation desoprations lmentaires ncessaires au changement de repre.

b) Appliquer la transformation perspective

IH = [P][B]QH = [C]QH avec [C] =

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

On peut ajouter la contrainte c34 = 1 (en divisant tous les coefficients ci j par c34) sansmodifier les rsultats sur la dtermination des coordonnes x et y du point image.

c) Dterminer les coordonnes du point image

x = uw

= c11 X + c12Y + c13 Z + c14c31 X + c32Y + c33 Z + 1 et y =

v

w= c21 X + c22Y + c23 Z + c24

c31 X + c32Y + c33 Z + 1

Exemple

Dans cet exemple la configuration de prise de vue est analogue celle dcrite enfigure 2.15.

2.3 Modlisation matricielle 41

Dun

od. L

a ph

otoc

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e e

st u

n d

lit

.

Y

ZO

xy

z

o

X

: angle d'inclinaison verticale de la camra : L'angle d'orientation de la camraf (mm) La distance focale de l'objectif = 45; = 10 ; Xo = 1 m ; Yo = 2m ; Zo = 0Rtine CCD : 4,8 x 4,8 mm ; rsolution : 256x256 pixels

Figure 2.15 Configuration de prise de vue.

Les repres scne et camra ntant pas aligns, nous sommes dans le cas gnral etdevons ramener les coordonnes du point objet QH dans le repre camra avant dap-pliquer la matrice de transformation perspective.

En rsum nous appliquons aux coordonnes homognes de QH la suite ordonnedes oprations lmentaires suivantes :

IH = [P] [R] [R [T ] QH = [C] QHavec

[T ] =

1 0 0 Xo0 1 0 Yo0 0 1 Yo0 0 0 1

, [R] =

1 0 0 0

0 cos() sin() 0

0 sin() cos() 00 0 0 1

[R] =

cos() 0 sin() 0

0 1 0 0

sin() 0 cos() 00 0 0 1

et [P] =

f 0 0 0

0 f 0 0

0 0 1 0

Pour la matrice [P], il est souvent plus pratique dexprimer la distance focale de lob-jectif en unit-pixel ce qui permet dobtenir les coordonnes (x,y) du point image enunit-pixel galement. Lorigine est au centre de limage.

Ici 256 pixels correspondent une longueur de 4,8 mm ; la distance focale est ainsiquivalente 267 unit-pixel.

Aprs calculs, nous obtenons : [C] =

263 0 46 26332,8 188,8 186 344,80,123 0,707 0,7 1,54

La dernire tape conduit aux coordonnes x et y du point image :

x = 263X + 46Z 2630,123X 0,707Y + 0,7Z + 1,54 et y =32,8X + 188,8Y + 186Z 344,80,123X 0,707Y + 0,7Z + 1,54

2.3.5 Remarques

On utilise cette mthode pour visualiser limage dun objet 3D sous diffrentes confi-gurations de prise de vue. Elle est notamment utilise dans les animations des jeuxvido 3D et dans les logiciels de conception graphique.

Dans le but deffectuer des mesures dimensionnelles, la connaissance de la matricede transfert [C] et dune des composantes X, Y ou Z ou dune combinaison linaire decelles-ci, permet de dterminer compltement la position 3D du point objet partir desmesures de x et y.

42 2 Acquisition et reprsentation des images

2.4 CALIBRATION DUN SYSTME DE PRISE DE VUE

2.4.1 Estimation de la matrice [C]

Il est possible de dterminer les coefficients de la matrice [C] lorsque lon connat avecprcision les diffrents paramtres de prise de vue (angles, translation, distancefocale...). En pratique il est souvent difficile dobtenir une mesure prcise de ces para-mtres. Dans ce cas il est possible dvaluer les 11 paramtres ci j de [C] avec lacontrainte c34 = 1 partir de N couples de points objet et image de coordonnesconnues. La valeur de N est choisie de manire avoir un systme surabondant en qua-tions. Les paramtres ci j sont alors obtenus par une estimation aux moindres carrsdont la mthode est prsente en annexe E.

En considrant le couple de points objet image dindice n et partir des 2 quationsdonnant x et y nous pouvons crire :

xn = c11 Xn + c12Yn + c13 Zn + c14 c31 Xnxn c32Ynxn c33 Znxnyn = c21 Xn + c22Yn + c23 Zn + c24 c31 Xn yn c32Yn yn c33 Zn yn

Pour lensemble des N couples de point, nous pouvons dresser le systme surabondantsuivant :

x1

x2

. . .

y1

y2

=

X1 Y1 Z1 1 0 0 0 0 X1x1 Y1x1 Z1x1X2 Y2 Z2 1 0 0 0 0 X2x2 Y2x2 Z2x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 0 X1 Y1 Z1 1 X1 y1 Y1 y1 Z1 y10 0 0 0 X2 Y2 Z2 1 X2 y2 Y2 y2 Z2 y2

c11

c12

c13

c14

c21

c22

c23

c24

c31

c32

c33

que lon note sous forme abrge : B2N1

= [A]2N11

C111

Les coefficients optimaux au sens des moindres carrs sont dtermins par la rela-

tion C = (AT A)1 AT B

2.4.2 Exemple dapplication

a) Conditions exprimentales

Nous dsirons effectuer des mesures dimensionnelles dans le plan de la mire reprsenteen figure 2.16. Afin de procder la calibration de la prise de vue nous avons ralis laphotographie reprsente en figure 2.17 dans des conditions strictement identiques.

2.4 Calibration dun systme de prise de vue 43

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

.

Les carrs du damier ont tous 5 cm darte et le cube a 10 cm de cot.

b) Calibration

La calibration est ralise partir des 12 points de la scne dont les coordonnes sontles suivantes.

44 2 Acquisition et reprsentation des images

Figure 2.16 Image dune mire.

Figure 2.17 Image dun cube.

X 0 10 10 5 5 5 5 15 15 15 0 15

Y 0 0 0 10 10 10 10 0 0 0 0 0

Z 15 10 10 10 10 0 0 10 10 15 15 15

On relve alors les coordonnes (x,y) en unit pixel des points correspondant danslimage du cube.

x 1392 276 2540 756 2047 854 1976 114 2748 185 1438 2683

y 2115 1646 1683 856 862 108 102 300 331 47 59 90

On peut alors dterminer les coefficients ci j selon la mthode prsente en 2.5.1.Les calculs effectus sur cet exemple donne :

[C] =

98,7 17,1 18,7 14191,32 80,8 55,1 904

0 0,012 0,0123 1

c) Notes si lon utilise le logiciel Matlab

La fonction ginput(12) permet de slectionner avec le pointeur de la souris successive-ment 12 points particuliers sur limage. En fin de pointage les coordonnes des pointssont consignes dans les vecteurs colonne x et y.

Pour la dtermination des valeurs ci j on pourra sinspirer du programme suivant :

A1 = [X Y Z ones(12,1)zeros(12,4) x X x Y x Z ],A2 = [zeros(12,4)X Y Z ones(12,1) y X y Y y Z ],A = [A1,A2], B = [x,y], C = inv(A A) AB

d) Transformation de perspective inverse

On peut utiliser les rsultats de calibration pour redresser le plan de la mire (Y = 0)dans lequel on souhaite effectuer des mesures dimensionnelles.

On dfinit dans un premier temps la surface X Z dont on veut reconstruire limageselon une rsolution choisir.

Pour chaque point (Xi ,Zj ) de cette zone on calcule son homologue dans limage dela mire. Ce calcul est effectu comme suit en utilisant les valeurs de la matrice [X]obtenue par la calibration.

u

v

w

=

98,7 17,1 18,7 14191,32 80,8 55,1 904

0 0,012 0,0123 1

X

0

Z

1

puis x = uw et y = vw

On affecte alors au point (Xi ,Zj ) lintensit du pixel de coordonnes (x,y) trouves.Nous avons choisi dans cet exemple la zone dfinie par : 10 < X < 10 et

10 < Z < 10 avec une rsolution arbitraire de 1 pixel par mm. Limage reconstruitede cette zone est reprsente en figure 2.18.

2.4 Calibration dun systme de prise de vue 45

Dun

od. L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e e

st u

n d

lit

. 20

20

40

40

60

60

80

80

100

100

120

120

140

140

160

160

180

180

200

200

X'

Y'O'

Figure 2.18 Image reconstruite.

Exercice 2.1 (Mesure par camra vido)

Un pendule oscille dans un plan perpendiculaire laxe optique dune camrasitue une distance Z = 2 m (figure 2.19a). Lacquisition de 2 images suc-cessives spares de Ti = 40 ms permet de mesurer un dplacement hori-zontal du point M de 10 pixels (figure 2.19b). La distance inter-lment de lamatrice CCD est e = 10 m (figure 2.19c). La camra est munie dun objec-tif dont la focale vaut : f = 10 mm. valuer la vitesse v en m/s du point Mdu pendule.

46 2 Acquisition et reprsentation des images

Figure 2.19 Image reconstruite.

Le grandissement du systme optique vaut : = fz

= 50 103. Lcartement du point M danslimage vaut d = 10e = 0,1 mm. Nous en dduisons lcartement rel du point M dans la scneentre deux images : x = d

= 20 mm. Nous pouvons estimer la vitesse du point M :

v = xTi

= 0,5 m/s.

Exercice 2.2 (Surveillance vido)

Un dispositif vido surveille le va et vient de vhicules sur une chausse sup-pose rectiligne (figure 2.20).

O

x

yz

x

z

M C B A

2H

f

Chausse

p

Figure 2.20 Configuration de prise de vue.

La camra est lhorizontale et son axe optique fait un angle = 45 avecla normale la route. On ne considre, dans ce qui suit, que les points de lascne appartenant au plan horizontal (xz) de laxe optique.La camra est munie dune rtine CCD rectangulaire (format2H2V = 6,4 mm*4,8 mm) et dun objectif de focale f = 8,8 mm. Elledlivre 25 images/seconde avec une rsolution de 256*256 pixels.On note e : la distance horizontale inter-pixel et Ti : la priode image.On donne p = O B = 28,28 m1. Dterminer la valeur numrique du demi angle de vise horizontale

2. Dterminer les distances AB et BC en fonction de p, et . Calculer cesdistances.

3. Un mobile se dplace vitesse constante v de A vers C. En quel endroitdu trajet AC sa vitesse apparente dans la squence dimages est la plus fai-ble ?

4. Dterminer la vitesse vmin (m/s) du mobile telle que son dplacement appa-rent, entre deux images successives, soit toujours dau moins 1 pixel.On donnera lexpression littrale de vmin en fonction de e, f, p, , et Ti .Calculer la valeur numrique de vmin.

Rappel : d[tg(x)] = [1 + tg2(x)] dx et d[arctg(x)] = 11 + x2 dx

1. = arctg(

H

f

)A.N. = arctg

(3,2

8,8

) 20

2. cos() = O Mp

O M = p cos() ; A.N. O M 20 m

tg( ) = MCO M