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Cours et applications

Farouk HémiciMira Bounab

3 e é d i t i o n

M A N A G E M E N T S U P

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Table des matières

Introduction 1

Les techniques de prévision : ajustements linéaires1 3

1Section L’ajustement par la méthode des points extrêmes 42Section L’ajustement par la méthode des points moyens 63Section L’ajustement par la méthode des moindres carrés 114Section Les moyennes mobiles 165Section La corrélation 206Section Exercices de synthèse 23

Les autres techniques de prévision2 27

1Section Ajustement par une fonction exponentielle : y = BAx 282Section Ajustement par une fonction puissance : y = Bxa 313 Section Les séries chronologiques 354Section Le lissage exponentiel 375Section Exercices de synthèse 38

TECHNIQUES DE GESTION

VI

Les approvisionnements et la gestion des stocks3 49

1Section Le modèle Wilson 502Section La méthode 20 / 80 623Section La méthode ABC 644Section Le modèle de gestion des stocks avec tarifs dégressifs 725Section La gestion des stocks en avenir incertain 796Section Le modèle de gestion des stocks avec pénurie 827Section Exercice de synthèse 83

Les techniques d’ordonnancment4 87

1Section Principes de notation 882Section Mise en œuvre de la méthode MPM 893Section Approche probabiliste de la méthode MPM 944Section Exercices de synthèse 97

La programmation linéaire5 111

1Section Formalisation du programme linéaire 1122Section Résolution graphique et algébrique 1143Section Cas particuliers 1194Section Le programme dual 1215Section La méthode du simplexe 1236Section Exercices de synthèse 131

Les techniques de calcul des coûts6 153

1Section Définition 1542Section Le coût d’achat 1543Section Le coût de production 1554Section Le coût de revient 1575Section Le résultat analytique 1586Section Exercices de synthèse 159

Table des matières

VII

Le coût variable et le seuil de rentabilité7 169

1Section Typologie des charges 1702Section Calcul du résultat : le tableau différentiel 1723Section Le seuil de rentabilité et autres indicateurs de gestion 1744Section Les éléments de remise en cause des hypothèses

sous-jacentes au modèle du seuil de rentabilité 1825Section Le seuil de rentabilité probabilisé 1856Section Exercices de synthèse 187

Les techniques de choix des investissements8 197

1Section Les principaux paramètres 1982Section Les méthodes d’évaluation des projets d’investissements 2023Section Les critères de décision en avenir incertain 2114Section Exercices de synthèse 215

La technique budgétaire9 221

1Section Caractéristiques et mise en œuvre 2222Section Les budgets par la pratique 2273Section Exercices de synthèse 235

Le tableau de bord10 251

1Section Définition et caractéristiques 2522Section Les indicateurs du tableau de bord 2533Section Le tableau de bord : mise en place 2564Section Tableau de bord équilibré (balanced scorecard) 2595Section Exercices de synthése 262

Bibliographie 277

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Introduction

a gestion de l’entreprise a beaucoup évolué dans la pratique, sous la pressionde l’évolution des marchés. Les clients, les consommateurs sont devenus deplus en plus exigeants en matière de qualité, de disponibilité des produits,

d’information sur les méthodes et les composants utilisés dans la production.

Par ailleurs, la technologie dans les différents domaines, information et télécom-munication, informatique, logistique, transport…, ne cesse de progresser. Ces progrèssont à l’origine d’une « proximité » plus grande des marchés, et de ce fait rendent laconcurrence de plus en plus rude, l’environnement de plus en plus turbulent et diffi-cile à prévoir dans son évolution.

L’objectif de cet ouvrage est d’introduire aux principales techniques de gestiondont la mobilisation et l’utilisation sont devenus indispensables au gestionnaired’aujourd’hui. Elles seront développées dans le cadre des principales fonctions del’entreprise (par exemple les ventes, l’approvisionnement, la production…).

Avertissement au lecteur :

Nous avons utilisé et privilégié des exemples simples afin de bien expliquer lesprincipes.

Le choix délibéré a été de traiter de manière claire et pédagogique des caractéristi-ques essentielles de quelques techniques.

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2

En effet, chacun des thèmes évoqués fait l’objet d’ouvrages spécifiques qui luisont consacrés et qui rendraient irréaliste toute recherche d’exhaustivité. Toutefois,le lecteur trouvera en fin de chapitre quelques ouvrages de référence lui permettantd’approfondir les thèmes traités ainsi que des cas de synthèses lui permettant des’entraîner.

Cette nouvelle édition est enrichie d’un chapitre synthétique sur le pilotage del’activité et le tableau de bord.

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Chapitre

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Les techniques de prévision : ajustements linéaires

a gestion de l’entreprise exige un minimum d’organisation et donc des prévi-sions. En effet, quel que soit le secteur, il convient de prévoir l’activité à venir

et pour laquelle il est nécessaire de réunir des moyens humains et techniques (appro-visionnement, production, distribution,…).

Or, les productions à planifier pour les périodes à venir – et donc les effectifs néces-saires, les approvisionnements en matières, les investissements éventuels, sont fonc-tion de ce que l’entreprise anticipe comme état de la demande future (et donc dumarché futur).

Aucune entreprise, quel que soit son secteur d’activité, ne peut travailler sans évaluerles ventes futures, lesquelles constituent le point d’appui de toutes les autres prévisions.

Pour analyser les tendances de marché et élaborer ces prévisions de ventes nousétudierons plusieurs techniques.

Section 1 L’ajustement par la méthode des points extrêmesSection 2 L’ajustement par la méthode des points moyensSection 3 L’ajustement par la méthode des moindres carrésSection 4 Les moyennes mobilesSection 5 La corrélationSection 6 Exercises de synthèse

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1



4

L’AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES POINTS EXTRÊMES

La méthode des points extrêmes est une méthode d’ajustement linéaire d’équationy = ax + b déterminée à partir des coordonnées des deux points extrêmes d’une séried’observations sur la période analysée.

Graphiquement :

Soit A et B, les points situés aux extrémités du nuage de points et la droite d’ajus-tement déterminée à partir de l’équation de la forme y = ax + b. Celle-ci doit passerpar ces deux points.

Soient les deux points extrêmes de coordonnées : A(XA, YA); B(XB, YB). Il convientde procéder selon les étapes suivantes :

1. formuler le système des deux équations à partir des deux points extrêmes de coor-données A(XA, YA) et B(XB, YB) :

(1) YA = aXA + b(2) YB = aXB + bet résoudre le système de deux équations YA et YB ;

2. formuler l’équation de la droite d’ajustement;3. utiliser cette équation de tendance pour effectuer les prévisions pour les périodes

futures.

ExempleSoit la série statistique suivante :

Rang (xi) 1 2 3 4 5 6 7

Ventes (milliers d’€) (yi) 120 155 125 202 180 235 240

Section 1

Y = ax + b

0

A

B

x

y

Figure 1.1


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Travail à faire1. Représenter graphiquement la série par un nuage de points.

2. Déterminer l’équation de la droite de tendance.

3. Représenter cette équation sur le même graphique.

4. Déterminer la prévision pour le rang 8.

Solution1. Représentation graphique :

2. Détermination de a et de b :

La droite de tendance est calculée à partir des deux points extrêmes :

Point A (XA = 1; YA = 120) correspondant à la 1re observation.

Point B (XB = 7; YB = 240) correspondant à la 7e observation.

Formulation du système des deux équations :

Cela donne le système d’équation suivant :

(1) YA = aXA + b 120 = a + b (1)

(2) YB = aXB + b 240 = 7a + b (2)

Résolution du système des deux équations :À partir de ces deux équations, on détermine les paramètres a et b par résolution dusystème d’équations :

(1) 120 = a + b

(2) 240 = 7a + b

En faisant (2) – (1), on obtient : 120 = 6a ce qui donne a = 120 / 6 = 20.

En remplaçant la valeur de a dans l’équation (1), on détermine la valeur de b = 100.

D’où l’équation de la droite d’ajustement y = 20x + 100.

Évolution du chiffre d’affaires

Rang

0

100

200

300

yi

xi

0 2 4

y = 20x + 100

6 8

CA (milliers d’€)



6

3. Représentation de la droite de tendance (voir graphique de la question 1).

4. Prévisions : Une fois la droite d’ajustement identifiée, elle est utilisée pour les prévi-sions futures.

Ainsi, s’il s’agit de prévoir les ventes pour le rang 8, il convient de remplacer x par le rangde cette période (c’est-à-dire x = 8) dans l’équation de la droite d’ajustement,soit : y8 = (20 × 8) + 100 = 260 €.

Selon cette méthode, les ventes de la 8e année sont estimées à 260 €.

L’AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES POINTS MOYENS

La méthode des points moyens, appelée aussi méthode Mayer, retient les coordon-nées des points moyens de la série d’observations.

Pour mettre en œuvre cette méthode, il convient de procéder selon les étapessuivantes :

– diviser la série d’observation en deux groupes G1, G2 d’égale importance;– déterminer les coordonnées du point moyen de chaque groupe et

et formuler le système d’équations

– résoudre le système d’équations pour déterminer la valeur de a et b;

– utiliser cette droite de tendance pour la prévision des ventes des périodes à venir.

On relie les deux points ainsi calculés pour obtenir la droite d’ajustement.

Section 2

G x y1 1 1( , )G x y2 2 2( , ) y x y x1 1 2 2a b et a b ;

G1

y1

y

x1 0

Ensemble des points observésappartenant au groupe G2

Droite de MayerEnsemble des points observésappartenant au groupe G1

x x xx xxx

xx

x

x xx x

G2

xx2

y2

Figure 1.2

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ExempleReprenons le tableau de données précédent :

Travail à faire1. Représenter la série.2. Déterminer la droite d’ajustement selon la méthode des moyennes doubles (Mayer).3. Représenter la droite de tendance sur le même graphique.4. Déterminer la prévision pour le rang 8.

Solution1. Représentation de la série :

2. Détermination des points moyens :Les coordonnées du premier point moyen G1 sont :

Les coordonnées du second point moyen G2 :

Rang (xi) 1 2 3 4 5 6 7

Ventes (yi) 120 155 125 202 180 235 240

050

100150200250300

0 1 2 3 4 5 6 7 8Rang

CA

(€

)

yi

xi

11 2 3 4 10

2,54 4

x+ + += = =

1120 155 182 202 659

164, 754 4

y+ + += = =

25 6 7 18

63 3

x+ += = =

218 235 240 655

218,333 3

y+ += = =

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8

3. Graphiquement, on obtient :

La droite d’équation y = ax + b passant par G1 et G2, vérifie donc le système suivant :y1 = ax1 + b 164,75 = 2,5a + b (1)

y2 = ax2 + b 218,33 = 6a + b (2)

Il s’agit maintenant de résoudre le système composé des deux équations suivantes :164,75 = 2,5a + b (1)218,33 = 6a + b (2)

La résolution des deux équations (1) et (2) donne, par substitution, les valeurs suivantes :a = 15,30; b = 126,50

L’équation de la droite d’ajustement par la méthode Mayer sera : y = 15,3x + 126,5.

4. Prévisions pour le rang 8 :Il convient de remplacer x par le rang de la période concernée, soit x = 8.Cela donne : y8 = 15,30 × 8 + 126,50 = 248,90 €.

Exercice d’application 1.1

Soit la série de données suivante :

Années Xi Yi

N – 5 1 1 300

N – 4 2 1 700

N – 3 3 2 300

N – 2 4 2 100

N – 1 5 2 400

N 6 2 900

G1 y1 = 164,75

y2 = 218,33

y = 15,3 x + 126,5y

x1 = 2,5 0

G2

xx2 = 6


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Travail à faire1. Représenter la série de données.2. Déterminer les coordonnées des deux séries.3. Déterminer la droite de tendance selon la méthode Mayer et les ventes prévues en année 7.

Solution1. Représentation graphique :

2. Calcul des coordonnées des points moyens :

Soient A et B les deux points moyens de coordonnées A(–x1, –y1) et B(–x2, –y2).

Il convient de séparer les deux séries d’observation A et B.

Donc, les points moyens des deux séries A et B.

3. Détermination de la droite de tendance.On aura à résoudre les deux systèmes suivants : 1 766,6 = 2a + b (1)

2 466,6 = 5a + b (2)

Série A Série B

X1 Y1 X2 Y2

1 1 300 4 2 100

2 1 700 5 2 400

3 2 300 6 2 900

Total 6 5 300 15 7 400

1 0001 2001 4001 6001 8002 0002 2002 4002 6002 8003 000

0 1 2 3 4 5 6 7

Années

CA

(€

)

yi

xi

x y16

22

5 300

31= = = =;

766,6

x y2 24 5 6

35

7 400

32= + + = = =;

466,6



10

Par différence (2) – (1), on obtient : 700 = 3a a = 700 / 3 = 233,33On détermine la valeur de b en remplaçant a dans (1) :

b = 1 766,6 – 2 (233,33) = 1 299,94L’équation de la droite de tendance s’écrira donc : y = 233,33x + 1 299,94.La prévision des ventes pour la période 7 sera obtenue en remplaçant x par 7. Cela donne :

Y7 = 233,33 × 7 + 1 299,94 = 2 933,25 €

Exercice d’application 1.2Le montant total des exportations de l’industrie textile pour les années N – 9 à N en millionsétait comme suit :

Travail à faire1. Analyser la tendance générale des données par la méthode Mayer.2. Déterminer la prévision pour l’année N + 1.

Solution1. Détermination des deux nuages de points moyens :

Années Rang Xi Montant exportations Yi

N – 9 1 99,6

N – 8 2 114,0

N – 7 3 131,5

N – 6 4 159,7

N – 5 5 220,2

N – 4 6 223,3

N – 3 7 266,2

N – 2 8 311,5

N – 1 9 344,6

N 10 416,9

Série A Série B

X1 Y1 X2 Y2

1 99,6 6 223,3

2 114,0 7 266,2

3 131,5 8 311,5

4 159,7 9 344,6

5 220,2 10 416,9

Total ∑X1 = 15 ∑Y1 = 725 ∑X2 = 40 ∑Y2 = 1 562,5


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Premier nuage de points G1 : (1; 99,6); (2; 114,0); (3; 131,5); (4; 159,7); (5; 220,2).Ce premier nuage de points G1 a pour coordonnées les deux points moyens et ledeuxième nuage de points G2 .Calcul des coordonnées :

Ce qui donne : G1(3; 145).Les coordonnées du point moyen du deuxième nuage sont les suivantes :Ce deuxième nuage de points G2 a pour coordonnées :

;

Le système d’équation s’écrira :

En remplaçant les coordonnées par leurs valeurs respectives, le système devient :

La résolution du système donne :

La droite de Mayer s’écrira :

2. La prévision pour l’année N + 1.L’année N + 1 correspond au rang 11, et en remplaçant x par 11, nous obtenons : y11 = 33,5 × 11 + 44,5 = 413 millions d’euros.

RemarqueIl est important de noter que la méthode des points extrêmes, ainsi que celle desmoyennes doubles, sont peu précises et ne sont pertinentes qu’en présence d’une trèsgrande stabilité des observations.

L’AJUSTEMENT PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS

La méthode des moindres carrés a pour objectif d’ajuster les données statistiquespar une droite de la forme y = ax + b.

G X Y1 1 1,

+ + + + + + + += = = =1 11 2 3 4 5 9 9,6 1 1 4 , 0 1 3 1,5 1 5 9, 7 2 2 0 ,23 ; 1 4 5

5 5X Y

= +

= +1 1

2 2

a ba b

y xy x

= +

= +

1 4 5 3a b3 1 2,5 8a b

y = 33,5x + 44,5

Section 3



12

Graphiquement, la droite d’ajustement des moindres carrés cherche à minimiser lasomme des carrés des distances entre la valeur observée et la valeur ajustée :

, c’est-à-dire ∑(MiM′i)2.

Il s’agit de déterminer les paramètres a et b de la droite d’ajustement qui est de laforme y = ax + b.

Le coefficient directeur de la droite des moindres carrés a est obtenu ainsi :

– Première formule :

– Deuxième formule :

avec :

– Troisième formule, en retenant pour le calcul :

;

avec

Connaissant la valeur du coefficient directeur a et sachant que la droite d’ajuste-ment passe par les points moyens et on détermine la valeur du paramètre b telque .

2( a b )i iy x i− −∑

yi

axi + b

y

xi

Mi

Mi'

0 x

xx

x

x

Figure 1.3

−=

−∑∑ 2 2

a i i

i

x y nxy

x nx

acov( , )x y

V( )x

− −= ∑ ( )( )

cov( , ) i ix x y yx y

n2 2( ) iV x x nx= −∑

= =∑ ∑eti iX Yx y

n n

2a i i

i

X Y

X= ∑∑ i i

i i

X x x

Y y y

= −= −

x y,b y ax


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ExempleL’entreprise CAROT vous fournit les informations suivantes relatives à ses ventes aucours des périodes 1 à 7.

Travail à faire

1. Déterminer la droite de tendance de cette série.

2. Prévoir les ventes pour la période 8.

Solution

1. Calcul des paramètres a et b de l’équation d’ajustement par la méthode des moindrescarrés.

Calcul de et de = 28 / 7 = 4

= 1 354 / 7 = 193,42

Si nous voulons calculer a à partir de la première formule, les éléments peuvent êtredéterminés dans le tableau suivant :

xi yi

1 120

2 155

3 182

4 202

5 220

6 235

7 240

∑xi = 28 ∑yi = 1 354

xi yi Xi = xi – –x Yi = yi – –y XiYi Xi2

1 120 – 3 – 73,42 220,26 9

2 155 – 2 – 38,42 76,84 4

3 182 – 1 – 11,42 11,42 1

4 202 0 8,58 0 0

5 220 1 26,58 26,58 1

6 235 2 41,58 83,16 4

7 240 3 46,58 139,74 9

∑xi = 28 ∑yi = 1 354 0 0,06 ∑XiYi = 558 ∑Xi2 = 28

x yxy



14

D’oùa = 19,93

Etb = 193,42 – 19,93(4) = 113,71

Soit une droite d’ajustement :y = 19,93x + 113,71

2. La prévision pour la période 8 est :y8 = 19,93(8) + 113,71 = 273,15

ConclusionLa méthode des moindres carrés est considérée comme étant la plus fiable car elle mini-mise la somme des carrés des distances entre la valeur observée et la valeur ajustée.

Exercice d’application 1.3

Au cours des années précédentes, l’entreprise Gamma a vendu le nombre de machinessuivantes :

L’entreprise souhaite connaître son chiffre d’affaires prévisionnel pour l’année N + 3.

Travail à faire1. Représenter graphiquement la série de données.2. Rechercher l’équation de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés.3. Déterminer les ventes prévisionnelles pour N + 3.

Années Rang xiNombre

de machines vendues yi

N – 8 1 80

N – 7 2 120

N – 6 2 130

N – 5 4 170

N – 4 5 180

N – 3 6 230

N – 2 7 260

N – 1 8 300

N 9 330


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Solution1. Représentation graphique.

2. Équation de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés.Il s’agit de calculer les paramètres a et b.

x– = ∑ xi / n = 45 / 9 = 5

y– = ∑ yi / n = 1 800 / 9 = 200

b = 200 – (31 × 5) = 45, ce qui nous permet d’écrire l’équation de la droite d’ajustement :y = 31x + 45

3. Ventes prévisionnelles pour N + 3.y12= (31 × 12) + 45 = 417 machines

xi (Rang)yi (Nombre

de machines vendues)

xiyi xi²

1 80 80 1

2 120 240 4

3 130 390 9

4 170 680 16

5 180 900 25

6 230 1 380 36

7 260 1 820 49

8 300 2 400 64

9 330 2 970 81

∑xi = 45 ∑yi = 1 800 ∑xi yi = 10 860 ∑xi² = 285

0

100

200

300

400

yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Rang

xi

2 2a i i

i

x y nxyx nx

−=

−∑∑


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