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V. Chollet - Magnetisme-a trous.doc - 25/08/2008 sur 62

COURS ELECTROMAGNETISME

Semestre 1


Chapitre 1 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS LE VIDE

I – HISTORIQUE La pierre d’aimant découverte dans l’antiquité dans une région d’Asie Mineure appelée Magnésie a la propriété naturelle d’attirer le fer. Ce minerais de fer Fe2O3 s’est ainsi appelé Magnétite et ses propriétés physiques sont le magnétisme. Au XIème siècle les marins chinois utilisaient les premières boussoles (des aimants flottants) pour s’orienter. La première étude sur les aimants date de 1269. Elle est due à Pierre de Maricourt qui utilisa une aiguille magnétisée pour tracer les lignes de forces autour d’une pierre aimantée sphérique. S’apercevant que ces lignes se refermaient sur deux régions privilégiées de chaque côté de la sphère, il nomma ces deux régions les pôles par analogie avec les lignes de longitude de la terre. En 1600 William Gilbert émet l’idée que la terre est un gigantesque aimant. En 1820, Le danois Hans Christian OERSTED découvre qu’un courant produit un effet magnétique.

II – SPECTRE MAGNETIQUE D’UN AIMANT 1°/ EXPERIENCE 2°/ LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE La notion de Champ s’impose alors. En tout point, on peut définir une direction, un sens et une intensité à ce champ magnétique.


On remarque ainsi que le pôle Nord géographique de la terre est en fait actuellement un pôle Sud magnétique. Notons que le champ magnétique terrestre varie dans le temps (de la minute à plusieurs millions d’années selon les causes) et s’inverse. 3°/ LIGNES DE CHAMP Sous l’action du champ d’induction magnétique les grains de limaille se transforment en petites boussoles qui s’orientent parallèlement à B. S’alignant les uns derrière les autres, ils matérialisent les lignes de champ magnétique :

4°/ LES POLES 2 régions privilégiées d’où partent et arrivent les lignes de champ apparaissent sur le spectre. Ce sont les pôles. Les pôles ne sont pas des points précis, ces régions mal définies sont proches des extrémités du barreau aimanté. Un aimant brisé donne naissance à deux aimants et donc à 4 pôles. Le monopôle magnétique n’existe pas.

N

B

B

M

dM

Produit vectoriel :


III – CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE PRODUIT PAR DES CHARGES EN MOUVEMENT Au printemps 1820, Oersted découvre en plaçant une boussole sous un fil de cuivre parcouru par un courant qu’un courant électrique produit un effet magnétique. 1°/ CHAMP MAGNETIQUE PRODUIT PAR UN FIL RECTILIGNE INFINI Son expression est : 2°/ LOI DE BIOT ET SAVART Cette loi donne l’expression générale du champ magnétique dB créé par un fil élémentaire de longueur dl parcouru par un courant I. On a Cette loi permet par intégration de calculer le champ d’induction magnétique créé par n’importe quelle forme de conducteur parcouru par un courant.

I

B M

B champ d’induction magnétique en Tesla

créé par un fil rectiligne infini en un point

M

µ0 perméabilité du vide = 4π 10 –9

SI

I courant traversant le circuit en A

r distance du point considéré au centre O

dB

M

Idl r

θ

R dB doit être en 1/r2 puisque l’intégration ramène au cas du fil infini dont l’expression de B est en 1/R.

dB champ d’induction magnétique en

Tesla créé par un fil élémentaire en un

point M

µ0 perméabilité du vide = 4π 10 –9

I courant traversant le circuit en A

r distance du point considéré au fil

élémentaire


3°/ BOBINE CIRCULAIRE PLATE

Les sens des vecteur B dessinés sur les lignes de champ sont donnés par la règle du tire bouchon. Au centre de la bobine on a :

B = µ0 I / (2R)

Pour une bobine comportant N spires, on a 4°/ SOLENOIDE

a) Spectre du solénoïde

Les lignes de champ sont parallèles à l’axe du solénoïde. Elles s’orientent selon la règle du tire bouchon Le champ peut être considéré comme uniforme à l’intérieur du solénoïde

b) Force magnétomotrice

N nombre de spires

R rayon de la bobine

I


c) Faces de l’électroaimant

d) Champ magnétique sur l’axe du solénoïde Ainsi à l’extrémité d’un très long solénoïde :

Ainsi au centre d’un très long solénoïde :

En tout point à l’intérieur d’un solénoïde infiniment long :

I

B

I

α1 α2 M

B : Champ magn en M (Tesla) N : Nombre de spires L : longueur du solénoïde en m


Chapitre 2 – LE CHAMP D’INDUCTION MAGNETIQUE DANS UN MILIEU FERROMAGNETIQUE

I – AIMANTATION INDUITE 1°/ 1ère expérience

2°/ 2ème expérience Les matériaux ayant de telles propriétés sont dits ferromagnétiques : alliages à base de fer, cobalt, nickel. Les matériaux ferromagnétiques perdent leurs propriétés à température élevée.

I = 0 I ≅ 0 I ≅ 0


II – COURBE DE PREMIERE AIMANTATION

III – EXCITATION MAGNETIQUE

Pour la zone linéaire, on peut écrire : B = µr µ0 NI / l Cette relation correspond au cas du solénoïde. On généralise cette relation entre B et ce qui créé le champ magnétique en introduisant le vecteur excitation magnétique H. Ainsi on a :

On relève la courbe B en fonction de

NI / l (noté H)

B

NI / l

B = µr µ0 H

µr : perméabilité relative du milieu fer doux : µr = 1600 Acier au silicium : µr = 20000 => obtention de champ magn intense à partir d’une excitation faible B en Tesla (T) et H en A m

-1


IV – HYSTERESIS MAGNETIQUE On reprend le dispositif du § II : Après avoir dans un premier temps augmenté I, on le diminue dans un second temps. On constate alors que la courbe d’aimantation se dédouble : Lorsque i varie entre –Imax et + Imax, on voit apparaître une courbe fermée appelée cycle d’hystérésis. Lorsque l’amplitude Imax des variations de I varie, le sommet du cycle se déplace sur la courbe de 1ère aimantation. Un milieu ferromagnétique subissant des cycles répétés s’échauffe. L’énergie calorifique dégagée est proportionnelle à l’aire du cycle, à la fréquence et au volume du matériaux. Ce phénomène engendre des pertes de puissance appelées pertes par hystérésis. La puissance perdue par hystérésis par unité de volume est ph = k f Bmax

2 Ainsi à 50 Hz, pour un acier doux dont la constante k = 100, la puissance perdue par hystérésis dans un champ magnétique variable d’amplitude 1 Tesla sera de 5000 W/m3. Les matériaux ferromagnétiques à cycle étroit sont ferromagnétiquement doux. Ceux à cycle large (forte aimantation rémanente) sont ferromagnétiquement durs.

Champ magnétique rémanent qui subsiste alors que I = 0

Excitation coercitive : celle qu’il faut appliquer pour annuler B

B

H

B

H


V- THEOREME D’AMPERE 1°/ CIRCULATION D’UN VECTEUR

a) Sur un élément dl de longueur d’un contour

On considère un vecteur A. L’élément de longueur considéré étant petit, on considère que ce vecteur est constant (direction, sens et intensité). Par définition la circulation élémentaire dC du vecteur A sur l’élément de longueur dl est : On a donc dC =

b) Sur un arc A n’est pas constant le long de l’arc MN. On calcule donc la circulation élémentaire et on fait

la somme intégrale.

Remarque : Si le contour est fermé, l’intégrale est notée :

Rappel de Maths : Produit scalaire .

θ

A cos θ

A

A M

N

dl

C = dC = A . dl

M

N

M

N

dC = A

dl


2°/ COURANTS ENLACES PAR UN CONTOUR On considère un certain nombre de conducteurs parcourus par des courants

3°/ THEOREME D’AMPERE 4°/ EXEMPLE Cas d’un conducteur rectiligne infini parcouru par I placé dans le vide. Le contour doit être judicieusement choisi : forme symétrique simple.

On entoure ces conducteurs par un contour fermé orienté s’appuyant sur une surface hachurée. Le vecteur unitaire n perpendiculaire à la surface est orienté selon la règle du tire bouchon.

I1 I2 I3

n

H . dl = Σ I

On a d’après le théorème d’Ampère :

=

Or H est constant le long du contour, d’où :

D’où le champ d’induction magnétique :

B = µ0 H =

I

r

H dl


Chapitre 3 : ACTION D’UN CHAMP MAGNETIQUE SUR DES PARTICULES CHARGEES EN MOUVEMENT

I – FORCE DE LORENTZ 1°/ MISE EN EVIDENCE

On considère un canon à électron. Le faisceau d’électrons est accéléré et atteint la vitesse v. On applique un champ magnétique uniforme à l’aide d’électro-aimants dans la zône délimitée. Quand B=0, l’écran fluorescent montre le spot (pont d’impact des e-) en O. Quand B non nul, le pont d’impact se déplace en O’. 2°/ INTERPRETATION Les électrons sont déviés par l’action du champ magnétique. Les électrons sont soumis à une force appelée force de Lorentz. 3°/ FORCE DE LORENTZ Force subie par une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B : Cette force est perpendiculaire à v et B Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :

pouce : qv index : B majeur : F

Son intensité est :

F = |q| v B sin(q v, B)

F = q v B

B

v Trajectoire de l’e- si B = 0

Trajectoire de l’e- si B non nul

qv B

F

Comme sin(-x) = sin(x), on peut écrire sin(v,B) dans la formule.


II – FORCE DE LAPLACE

Considérons un petit morceau de conducteur de longueur dl parcouru par un courant électrique I. Ce conducteur est placé dans un champ magnétique uniforme. Chaque électron en mouvement dans le conducteur subit une force de Lorentz :

dFe- = qe v B Si n est le nombre d’électrons par unité de volume, la force totale agissant sur l’élément de conducteur de section S est :

dF = n S dl qe v B

Si l’électron se déplace sur la longueur dl pendant une durée dt, on a v = dl/dt

dF = n S dl qe (dl / dt) B

= dq / dt dl B d’où l’expression de la force de Laplace élémentaire : Cette force est perpendiculaire à la direction du conducteur et au champ magnétique Son sens suit la règle des 3 doigts de la main droite :

pouce : dl index : B majeur : F

Son intensité est :

dF = i dl B

dl B

F

v

B

e-

i

dFe

S

dF = i dl B sin(dl, B)


III – CADRE MOBILE

1°/ FORCES DE LAPLACE

2°/ MOMENT DU COUPLE Vue de dessus : Le moment du couple est :

Forces de Laplace :

Avec N spires : 3°/ MOMENT MAGNETIQUE Le moment magnétique est définit par : On peut donc écrire :

Un cadre rectangulaire mobile autour d’un axe de rotation est parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique.

I

I

B

B

F1

F2

I

I

B

B

F1

F2

O M

M’

n

θ

I

I

I

I

B

B

B

B

F1

F2

F3

F4

l2

l1

θ

θ

Surface du cadre : S = l1 l2

M = N I S n

C = M B

M en A m2 C en N m B en T


IV – FLUX MAGNETIQUE

Dans un champ magnétique uniforme, le flux du champ magnétique à travers une surface dépend de la projection de la surface perpendiculairement aux lignes de champ.

La surface apparente est définie par : dS cos θ Le vecteur surface est : dS = dS n

Le flux élémentaire à travers une surface élémentaire est définit par :

Propriété du Flux magnétique :

dS dS

dS n

n n

Flux maximum Flux plus petit Flux nul

θθθθ

B en T

dS en m2

dϕ en Weber Wb

Le flux magnétique est conservatif : il garde la même valeur à travers toutes les sections d’un même circuit magnétique. Si S diminue, B augmente


Chapitre 4 : INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE

I – LES PHENOMENES

Attention : une force électromotrice n’est pas une force mécanique en Newton, mais une tension en Volts. II – LA LOI DE FARADAY Selon les cas nous avons :

- une variation de champ d’induction magnétique - un balayage de surface donc un flux coupé - une variation de surface du conducteur

Fem induite : e = - d ΦΦΦΦ / dt

Variation de flux : ( Φ = B . S )

N

S

fem

B B

fem

fem

B

fem ROTATION TRANSLATION


III – LOI DE LENZ 1°/ ENONCE

2°/ EXEMPLES

3°/ POURQUOI ? Si la loi de Lenz était contraire, - Bi renforcerait B => augmentation du flux => e augmente => Bi augmente etc …

- La force de Laplace induite renforce l’action extérieure => accélération

augmentation énergie cinétique

Ce serait incompatible avec le principe de conservation de l’énergie.

B

N

S

fem

Bi

i

B

fem fem

B B

fem


IV – APPLICATIONS 1°/ MACHINE A COURANT CONTINU 2°/ MACHINE A COURANT ALTERNATIF

3°/ TRANSFORMATEUR

Fonctionnement en moteur : Une spire mobile autour d’un axe, parcourue par un courant est placée dans un champ magnétique. Il apparaît un couple de forces de Laplace provoquant la rotation de la spire (a). Il est nécessaire que le courant s’inverse dans les conducteurs après passage de l’axe de symétrie pour que le sens de rotation ne s’inverse pas ! Le flux à travers la spire varie donc il apparaît à ses bornes un fem induite qui s’oppose à la circulation du courant I (force contre électromotrice).

Fonctionnement en génératrice : On fait tourner une spire autour d’un axe dans un champ magnétique. Le flux à travers cette spire variant, il apparaît à ses bornes une fem induite (engendrant la circulation d’un courantinduit lorsque le circuit est fermé). La fem s’oppose à la variation de flux : le courant induit provoque l’apparition d’un couple de forces de Laplace résistant.

Génératrice : Alternateur Un électroaimant tourne à l’intérieur d’une spire. La spire est donc soumise à un champ magnétique variable de façon quasi sinusoïdal. Elle subit donc une variation de flux engendrant une fem induite également quasi sinusoïdale.

Le champ magnétique variable de façon sinusoïdal créé par le bobinage primaire est canalisé par le circuit magnétique. La bobine secondaire est soumise à un champ magnétique variable et subit donc une variation de flux également sinusoïdale. Il apparaît donc à ses bornes une fem induite sinusoïdale.


4°/ COURANTS DE FOUCAULT

Un volume métallique V est soit : - mobile dans un champ magnétique

constant - fixe dans un champ magnétique variable.

Le volume peut être considéré comme constitué d’un grand nombre de petites boucles de courant C. Ces boucles sont soumises à des variations de flux et donc sont parcourues par des courant induits dits courants de Foucault.

Freinage par

courant de

Foucault

Principe du moteur

asynchrone

Une portion d’un disque en rotation est plongée dans un champ magnétique. Le segment PQ de la boucle de courant coupe le flux donc est le siège d’une fem induite s’opposant à la rotation : le courant induit de Foucault crée une force de Laplace résistante. Le disque freine.

Un aimant tourne devant un disque. Les courants de Foucault induits tendent à créer des forces de Laplace s’opposant à la variation de flux : le disque va suivre la rotation de l’aimant avec un certain décalage angulaire (glissement).

Les courants de Foucault provoquent par effet joule un échauffement des pièces métallique dans lesquelles ils circulent, engendrant ainsi des pertes de puissance (pertes fer). Pour limiter l’intensité de ces courant, on augmente la résistance électrique des pièces métalliques en les feuilletant (tôles vernies empilées) et en utilisant de l’acier au Silicium dont la résistivité est plus élevée.

Plaque de cuisson à induction : La plaque crée un champ magnétique variable. Les courant de Foucault circulant dans le fond de la casserole provoquent l’échauffement de celle-ci. La casserole doit évidemment être métallique et de faible résistivité.


Chapitre 5 – PHENOMENE D’AUTOINDUCTION

I – FLUX PROPRE Soit un circuit électrique constitué d’une boucle parcourue par un courant i. Il en résulte un champ magnétique B créé par cette spire.

II – AUTOINDUCTION 1°/ RAPPEL DU PHENOMENE D’INDUCTION ELECTROMAGNETIQUE On a vu au chapitre précédent que le phénomène d’induction électromagnétique est : L’apparition d’une fem induite aux bornes d’un circuit subissant une variation de flux à travers sa surface. Cette fem s’oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. 2°/ AUTOINDUCTION

Lignes de champ créé

par la spire i B

B Surface s’appuyant sur le

contour de la spire

Définition du flux propre :

B extérieur

variable

fem induite

B

Créé par le

circuit

considéré Source de tension

extérieure

i

Induction électromagnétique Auto-induction : si i varie !!!


3°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, établissement du courant Comment se manifeste ce phénomène ? Remarque :

Initialement, K est ouvert, donc i = 0 . Quand on ferme l’interrupteur K :

e < 0

On retient que dans un circuit inductif, le courant s’établit progressivement

i(t)

t

e(t)

t

Etablissement du courant dans un circuit inductif

+ - K

B


4°/ EXEMPLE : CAS DU SOLENOIDE, rupture du courant Comment se manifeste ce phénomène ?

Initialement, K est fermé, donc i = Imax . Quand on ouvre l’interrupteur K :

On retient qu’il ne faut jamais couper brutalement le courant dans un circuit inductif

Etablissement et rupture du courant dans un circuit inductif

i(t)

t

e(t)

t

Danger !!

e >> 0 +

- K

B


Le remède : La diode de roue libre On place une diode en parallèle et dans le bon sens pour court-circuiter cette fem induite lors de la coupure du courant :

III – INDUCTANCE PROPRE D’UNE BOBINE 1°/ DEFINITION Soit une bobine sans noyau, de longueur llll de section S comprenant N spires.

Flux propre à travers une spire : ϕs = B est créé par i : B =

Flux propre à travers une spire : ϕs =

Flux propre à travers l’ensemble de la bobine : ϕ =

Le coefficient de proportionnalité entre ϕ et i est appelé inductance propre de la bobine. Noté L, il s’exprime en Henry (H) et 2°/ INDUCTANCE PROPRE ET FEM AUTO-INDUITE

Fem induite aux bornes d’une spire : e = - dϕs /dt 3°/ MODELE EQUIVALENT D’UNE BOBINE

+ - K

B

Fem totale induite aux bornes de la bobine :

r e = - L di/dt

i

uL

i

uL

L = µ0N2 S/ l


IV – BOBINE EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ FEM INDUITE, FORMULE DE BOUCHEROT La fem induite autoinduite est donc :

e = - N dφ/dt =

La fem autoinduite est sinusoïdale et déphasée de -π/2 par rapport au flux. La valeur efficace de le fem autoinduite est : Formule de Boucherot : 2°/ MODELE EQUIVALENT EN REGIME SINUSOIDAL

a) Modèle série

~

Une bobine (N spires, section S) est reliée à un générateur de tension sinusoïdal. Le courant et donc le flux magnétique sont donc sinusoïdaux :

I = Im sin ωt et φ = φm sin ωt

φφφφ B

E

r

e = - L di/dt

r

jLω

Régime

quelconque

Régime

Sinusoïdal

i i I

u u U

Modèle Série

« Bonne » bobine :

r faible par rapport à Lω donc Q >> 1


b) Modèle parallèle

c) Relations entre les deux modèles (voir TD électricité)

Il s’agit d’une seule et même bobine représentée différemment. On a donc nécessairement égalité des admittances (ou des impédances) des deux modèles.

1 / ( r + jLωωωω ) = [ 1/rp + 1 / jLp ωωωω ]

En identifiant les parties réelles et parties imaginaires des deux membres de cette équation, on obtient les relations entre les deux modèles :

Modèle Parallèle

Régime Sinusoïdal

i

u

r

jLω

I

U

Modèle Série

rp jLpω

I

U

Q = rp / Lp ω facteur

de qualité (modèle //)

C’est la même « Bonne

bobine » donc Q >> 1

Donc rp >> Lpω et rp >> r

rp = r ( 1 + Q2 )

Lp = L ( 1 + (1/Q2) )

Q = Lω / r = rp / (Lpω)

Si Q >> 1 « bonne bobine »

Lp = L

rp = Q2 r


V – ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE 1°/ Puissance instantanée On sait que : u = ri + L di/dt La puissance instantanée est :

p(t) = u(t) i(t) = r i2 + L i di/dt

2°/ Energie mise en jeux pendant dt

dW = r i2 dt + L i (di/dt) dt = r i2 dt + L i di

3°/ Energie totale pour une variation du courant de 0 à I We = L i di Quand I augmente :

Cette énergie est dépensée par le générateur (fournie à la bobine) pour vaincre l’opposition de la fem autoinduite (Loi de Lenz). Cette énergie est nécessaire pour créer le champ magnétique de la bobine. D’où son nom d’énergie électromagnétique localisée dans tout l’espace où existe le champ magnétique.

Quand I diminue :

Cette énergie est restituée au reste du circuit :

- étincelle lors d’une coupure brutale - échauffement de la résistance lors d’une coupure moins

brusque

dWe : énergie électromagnétique

0

I


Chapitre 6 – COURANTS MONOPHASES

I – RAPPELS Soit un dipôle alimenté par un générateur de tension sinusoïdal.

1°/ Caractéristiques des signaux

Expressions instantanées : i(t) = Im sin (ωt + ϕ1) u(t) = Um sin (ωt + ϕ2)

Valeurs maximales ou amplitudes : Um et Im

Valeurs efficaces (valable que pour des signaux sinusoïdaux) :

U = Um / 2 et I = Im / 2 (Quand ambiguïté on note Ueff et Ieff )

Phases à l’origine : ϕ1 pour i(t) et ϕ2 pour u(t)

Déphasage de u par rapport à i : ϕu/i = ϕ2 - ϕ1

Pulsation : ω (en rad.s-1)

Fréquence (en Hz): f = ω / 2π Période (en s) : T = 1/f

2°/ Représentation de Fresnell et représentation complexe

Prenons l’exemple de u(t) = Um sin (ωt + ϕ2) Pour une fréquence donnée, deux grandeurs caractérisent le signal : Um et

ϕ2. On peut ainsi représenter ce signal à l’aide d’un vecteur : le vecteur de Fresnell.

On peut aussi associer un nombre complexe au signal et au vecteur de Fresnell : Le nombre complexe est noté U

Sous sa forme trigonométrique :

U = ( Val efficace ; Phase à l’origine )

U = (Ueff ; ϕ2 )

ϕ2

Ueff

Référence de phase

Z U I


3°/ Loi d’Ohm En régime sinusoïdal, on peut utiliser la représentation complexe. La relation entre U et I pour le dipôle s’écrit :

Z est l’impédance complexe : Z = U / I

4°/ Résistance Réactance Z peut se mettre sous la forme algébrique : Z = R + j X

Ré(Z) est une résistance (en Ω) et Im(Z) est une réactance (en Ω)

Y = 1/Z est l’admittance. 1/R est une conductance (Siemens ou Ω-1).

1/X est une suceptance (Siemens ou Ω-1 )

5°/ Exemples de Dipôles

Résistance pure : |Z| = R ϕu/i = 0 => Z = R purement réelle

Inductance parfaite : |Z| = Lω ϕu/i = π/2 => Z = jLω purement imaginaire

Condensateur parfait : |Z| = 1/Cω ϕu/i = -π/2 => Z = -j/Cω = 1/jCω Im pur

Dipôle Inductif : Z = R + jX avec X = L ω > 0

|Z| = √(R2 + X2 )

ϕu/i = tan-1(X/R) > 0

Dipôle Capacitif : Z = R + jX avec X = -1/ Cω < 0

|Z| = √(R2 + X2 )

ϕu/i = tan-1(X/R) < 0

I U

I U

I

U

U XI

RI I

ϕu/i

U

XI

RI I

ϕu/i

U = Z I Module : | Z | = Ueff / Ieff

Argument : arg(Z) = ϕu/I


II – PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL 1°/ PUISSANCE INSTANTANEE

Par définition : avec i(t) = Im sin ωt u(t) = Um sin (ωt + ϕu/i)

Représentation graphique : Simulation pour Um = 2V et Im = 1,5 A

Résistif

ϕ = 0°

PUISSANCE INSTANTANEE

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i

u

p

P


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i

u

p

P

Bobine

ϕ = 90°


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i

u

p

P

Inductif

ϕ = 60°

p(t) > 0

Dipôle consommateur d’énergie

p(t) < 0

Dipôle « restitueur » d’énergie


2°/ PUISSANCE MOYENNE OU PUISSANCE ACTIVE

Bobine parfaite : P = 0 Inductif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Résistif : P > 0 Capacitif : P > 0 => Puissance consommée par la partie résistive du dipôle. Condensateur : P = 0 En conclusion : Puissance active consommée par un dipôle Z = R + j X :

Un dipôle passif ne peut pas présenter une puissance active P < 0 car il est

forcément en moyenne consommateur d’énergie. Une puissance P<0 signifie que le dipôle fournit de l’énergie au reste du

circuit, il est ou se comporte comme un générateur. C’est par exemple le cas des

dipôles actifs (transistor, ampli op) qui peuvent fonctionner en générateur.


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i

u

p

P

Capacitif

ϕ = -60°


-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

t(s)

i

u

p

P

Condensateur

ϕ = -90°

P = (2/T) ∫ 0T/2 p(t) dt = S’exprime en

Watt


III – LE WATTMETRE Le wattmètre sert à mesurer la puissance active consommée par un récepteur. 1°/ LE SYMBOLE 2°/ CONSTITUTION

Le wattmètre comporte deux circuits distincts : Un circuit « gros fil » parcouru par le courant, branché en série avec le récepteur, comme un ampèremètre. Un circuit « fil fin », circuit tension, branché en parallèle sur le récepteur, comme un voltmètre. Chacun de ces circuits est protégé par un fusible.

3°/ MESURE On dispose à la fois de calibres tension et de calibres intensité.

L’appareil mesurant la puissance active P = Ueff Ieff cosφ, pour Ueff et Ieff donnés, la

déviation de l’aiguille dépend de cosφ. L’aiguille dévie à pleine échelle quand : Ueff mesurée = Ucal la tension du calibre Ieff mesurée = Ical le courant du calibre

et cosφ = 1 Cela correspond à une puissance active de UcalIcal

i

W

u

Calibres d’intensité

Calibres tension


Montage longue dérivation

W

Si l’aiguille dévie de N graduations, sur un appareil de Ntot graduations au total, la mesure réalisée est : P mesuré = N Ucal Ical / Ntot

Exemple : Calibres 240 V et 5 A soit 240*5 = 1200 W pleine échelle

Le nombre total de graduations est de 120. Soit 1200/120 = 10 W / graduation

L’aiguille dévie de 40 graduations, donc : P mesurée = 40 * 240*5 / 120 = 400 W

III – BRANCHEMENT DU WATTMETRE

Montage courte dérivation

Attention : Même si Ueff et Ieff sont proches des valeurs des calibres

sélectionnés, la déviation de l’aiguille reste faible si cosφ est faible. On ne peut cependant pas utiliser des calibres inférieurs …

… cela détériore l’appareil !

Montage courte dérivation

i

W

i


Procédure de mesure :

- Placer un ampèremètre en série avec le circuit « gros fil » - Placer un voltmètre en parallèle sur le circuit fil fin - Régler chaque appareil sur les calibres les plus élevés Attention, le fusible du circuit tension du wattmètre

coûte environ 10 euros pièce

- Adapter les calibres des différents appareils selon les valeurs mesurées.

Si l’aiguille dévie du mauvais côté, inverser le sens de

branchement du circuit fil fin.

IV – PUISSANCES APPARENTE ET REACTIVE 1°/ PUISSANCE APPARENTE Définition Ce n’est pas une puissance reçue par le dipôle, c’est pourquoi on ne l’exprime pas en Watt.

On remarque que P = S cos ϕu/i S est donc la puissance active maximale

que pourrait consommer le dipôle si le déphasage ϕu/i était nul. La puissance des transformateurs ou alternateurs est souvent donnée en VA en faisant le produit des valeurs nominales : valeurs optimales pour lesquelles est fabriquée la machine.

Par exemple : Transfo de 250 kVA. C’est une caractéristique de construction, la puissance débitée par le transfo dépendra du circuit qu’il alimente !

2°/ PUISSANCE REACTIVE Définition

On a ainsi : S = (P2 + Q2) tan ϕu/i = Q/P cos ϕu/i = P/S

Bobine parfaite : Q > 0

Inductif : Q > 0 => Puissance consommée par la partie réactive du dipôle. Résistif : Q = 0 Capacitif : Q < 0 => Puissance restituée par la partie réactive du dipôle. Condensateur : Q < 0 En conclusion :


Puissance réactive pour un dipôle Z = R + j X :

Une puissance Q>0 signifie que le dipôle consomme est inductif, il consomme

de la puissance réactive destinée à créer le champ magnétique dans l’inductance. Une puissance Q<0 signifie que le dipôle est capacitif, il restitue de la

puissance réactive.

V – THEOREME DE BOUCHEROT

VI – FACTEUR DE PUISSANCE 1°/ DEFINITION

cos ϕu/i est appelé facteur de puissance du récepteur.

On remarque que cos ϕu/i diminue quand ϕu/i augmente, c’est à dire quand la réactance augmente par rapport à la résistance.

2°/ IMPORTANCE DU FACTEUR DE PUISSANCE

Les installations industrielles sont souvent inductives à cause des bobinages

des moteurs des machines. La puissance réactive consommée augmente et cosϕu/i diminue.

Cela coûte cher à la société de distribution de l’électricité qui ne facture à priori que la puissance active consommée.

Z U I

Z = R + jX


Le remède est de redresser le facteur de puissance en plaçant en parallèle sur l’installation des condensateurs qui redonnent de la puissance réactive au réseau

et permettent d’augmenter le cosϕu/i.

3°/ CALCUL DE LA CAPACITE

Un récepteur inductif alimenté sous U consomme une puissance active P. L’intensité du courant qu’il absorbe est I.

On place un condensateur en parallèle sur le récepteur afin d’augmenter le

facteur de puissance. Soit cos ϕ’ le nouveau facteur de puissance désiré et I’ le nouveau courant absorbé qui en découle.

On peut alors faire le bilan des puissances et appliquer le théorème de Boucherot :

Puissances réactives Puissances actives Charge R, L Q = UI sin ϕ = P tanϕ P

C seul Qc = - U2 Cω Pc = 0

Charge R, L + C en // Q’ = UI’sinϕ’ P’ = UI’cosϕ’

On a : U I’ sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2

et : UI’cosϕ’ = UIcosϕ => I’ = I cosϕ/cosϕ’

donc : U(I cosϕ/cosϕ’) sinϕ’ = P tanϕ - Cω U2

P tanϕ’ = P tanϕ - Cω U2

Z récepteur inductif U I

Pertes joules en ligne : Elles

augmentent quand cosϕu/i diminue.

C = P (tanϕ - tanϕ’) / ( ω U2)


Chapitre 7 – INDUCTANCE MUTUELLE

I - DEFINITION Considérons deux circuits filiformes indéformables :

M est l’inductance mutuelle des deux circuits. Contrairement à l’inductance propre, M dépend de l’orientation :

II - FLUX

Pour chaque circuit, on a ϕ = ϕp + ϕext

Donc : ϕ1 = ϕp1 + ϕ2->1 et ϕ2 = ϕp2 + ϕ1->2 = L1 i1 + M i2 = L2 i2 + M i1

III - FEM INDUITES e1 = - L1 di1/dt - M di2/ dt e2 = - L2 di2/dt - M di1/ dt

IV - LOI D’OHM GENERALISEE

1 2

1 2

1 2

Couplage magnétique


Chapitre 9 – LE TRANSFORMATEUR

I – INTRODUCTION 1°/ ROLE DU TRANSFORMATEUR 2°/ CONSTITUTION

Ceci est un schéma de principe. En réalité les deux enroulements sont imbriqués pour un meilleur couplage magnétique et une réduction des fuites magnétiques. Le circuit magnétique est constitué d’un empilement de tôles isolées entre elles (feuilletage) afin de réduire les pertes magnétiques dues aux courants de Foucault. Le dispositif est placé dans l’air ou dans un bain d’huile pour en assurer le refroidissement. 3°/ SYMBOLE

Récepteur Générateur


4°/ PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT

5°/ BORNES HOMOLOGUES

I1 donne l’orientation de ϕ.

ϕ donne l’orientation de I2. La borne du secondaire homologue à la borne primaire est celle par laquelle entre le courant

II – MODELISATION DU TRANSFORMATEUR

1°/ LE SCHEMA EQUIVALENT

Tension

primaire U1

sinusoïdale

U1

I1

U2

I2

U1

I1

U2

I2

L1p e1

r2 l2

e2

l1 r1

Rf U1 U2

I1 I2 Tranfo parfait

Propriété : Tout courant entrant par deux bornes homologues tendent à produire des flux de même sens.


2°/ SIGNIFICATION DES ELEMENTS

a) Résistances

R1 et r2 sont les résistances des enroulements primaires et secondaires. Elles provoquent l’échauffement des bobinages et donc des pertes par effet joule : pj = r1 I1

2 + r2 I22

b) Répartition des flux

Flux résultants en charge :

I1

U1

ϕ1

ϕf1

ϕ’1

Bobinage primaire seul :

La fmm N1 i1 crée un flux ϕ’1 qui

se divise en ϕf1 et ϕ1

ϕ’1 =

U2

I2

ϕ2

ϕ’2

ϕf2

Bobinage secondaire seul :

La fmm N2 i2 crée un flux ϕ’2 qui

se divise en ϕf2 et ϕ2

ϕ’2 =

Ce flux …………. au flux ϕ1 car il est créé par le courant induit i2

I1

U1 U2

I2

ϕ

ϕf1

ϕr1 ϕr2

ϕf2

Avec les deux bobinages :

ϕ =

ϕ r1 =

ϕ r2 =

Ce qui donne :

ϕ r1 =

ϕ r2 =


c) Inductances de fuites Au flux de fuites, on associe des inductances de fuites :

l1 = N1 ϕf1 / I1 l2 = N2 ϕf2 / I2

d) Inductance principale

Elle est associée au flux canalisé par le circuit magnétique. Elle est définie par : L1p = N1

ϕ / I1

e) Modélisation des pertes fer

Les pertes fer sont modélisées par la résistance Rf. A cause d’elles, le courant I1 n’est pas déphasé de 90 ° par rapport à la fem induite dans l’enroulement primaire.

Rf ainsi déterminée est valable pour ω donnée car les pertes fer dépendent de la pulsation de la tension primaire, généralement fixe (f = 50 Hz).

Cette détermination dépend également de la valeur efficace de U1 . En effet la

courbe ϕ (i) n’est pas linéaire à cause de la saturation du circuit magnétique. 3°/ EQUATIONS ELECTRIQUES Grandeurs instantanées Notation efficace complexe

Fem induites : e1 =

e2 =

Rapport de transformation : m = e2 / e1 =

E1

I1

I1a

I1r

I1 = I 1a + I 1r

Courant actif

Courant réacitf magnétisant

Pertes fer : E1 I1a = Rf I1a 2 => Rf = E1 / I1a


III – TRANSFORMATEUR A VIDE 1°/ EQUATIONS ELECTRIQUES A VIDE On a alors I2 = 0. Les équations électriques deviennent : Puissance absorbée : P1v très petite . En conséquence, le courant absorbé au primaire est faible. On le notera I1v .

I1v << I1 n nominal : utilisation normale.

On a alors U1 ≅ E1v (en valeur efficace)

2°/ RAPPORT DE TRANSFORMATION Par suite le rapport de transformation devient :

Cette approximation est pratique expérimentalement car on ne peut ne peut acceder aux fem induites. 3°/ PUISSANCES MISES EN JEU A VIDE

P1V = U1 I1v cos ϕϕϕϕ1v = +

pertes joules a vide + pertes fer

Q1V = U1 I1v sin ϕϕϕϕ1v =

+

pertes magnétiques (fuites) + puissance magnétisante

Approximation : P1v ≅ pertes fer et Q1v ≅ puissance magnétisante.

IV – COMPARAISON DES FLUX EN CHARGE ET A VIDE 1°/ FLUX RESULTANT A VIDE ET EN EN CHARGE

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû uniquement à la fmm

A vide I2= 0 ϕv =

En charge :

I2 ≅ 0

Le flux canalisé par le circuit magnétique est dû aux fmm

ϕ = avec ϕ2 qui

s’oppose à ϕ1


On peut écrire les lois d’Hopkinson en faisant apparaître la réluctance R du circuit magnétique :

N1 i1v = R ϕ1v

N1 i1 + N2 i2 = R ϕ Le flux en charge est légèrement plus faible qu’à vide, mais on néglige cette petite différence :

N1 i1 + N2 i2 = R ϕ Ζ R ϕ1v = N1 i1v Ainsi on peut écrire : En notation complexe :

V – HYPOTHESE DE KAPP 1°/ HYPOTHESE DE KAPP On néglige le courant primaire à vide : I1v << I1 => On néglige les pertes fer. 2°/ EQUATION DES AMPERES TOURS En notation complexe : N1 I1 + N2 I2 = 0

3°/ SCHEMA EQUIVALENT

Equations électriques :

m = N2 / N1 ≅ - U2v / U1 = - I1 / I 2

e1

r2 l2

e2

l1 r1

U1 U2

I1 I2 Tranfo parfait

N1 i1 + N2 i2 = N1 i1v

N1 I1 + N2 I2 = N1 I1v

C’est l’équation des

ampères-tours


4°/ EQUATIONS RAMENEES AU SECONDAIRE

D’où :

L ‘Equation électrique s ‘écrit finalement :

Avec : Rs = r2 + m2 r1 et Xs = ( l2 + m

2 l1 ) ω

Le schéma équivalent ramené au secondaire devient : Chute de tension en charge :

I 1 = - m I2 ; U 2v = - m U1 et E 2 = m E1

- E2 = - U2 - r2 I2 - j l2 ωωωω I2

U1

I1

E1

Rs Xs

U2v U2

I2

I2

U2 RsI2

XsI2 U2v

ϕ2

I2

U2

A

B

U2v

K H

ϕ2

ϕ2

On a vu que :


U1cc réduite

I1cc

E1

Rs Xs

U2v = - mU1cc U2 = 0

I2cc

5°/ DETERMINATION EXPERIMENTALE DES ELEMENTS DU MODELE EQUIVALENT

a) Détermination de m par essai à vide

La puissance consommée par le transformateur correspond alors au pertes fer : P1v = p fer

b) Détermination de Rs et Xs par essai en court circuit La puissance absorbée par le transformateur est alors : P1cc = R1 I1cc

2 + p fer cc + R2 I2cc2 = R1 (mI2cc)

2 + R2 I2cc2 = (m2 R1 + R2 ) I2cc

2 = Rs I2cc

2 Ainsi, on déduit Rs de la mesure de la puissance absorbée lors d’un essai en court-circuit sous tension réduite : L’équation électrique du secondaire donne :

On peut donc déduire Xs :

Pythagore donne : Xs =

c) Rendement

Le rendement du transformateur peut alors être calculé pour un

fonctionnement normal : η = U2 I2 cos ϕ2 / ( U2 I2 cos ϕ2 + pertes fer + Rs I22 )

Rs I2cc

Xs I2cc - mU1cc

Attention : cet essai est réalisé sous tension primaire réduite !!! sinon I2CC >> I2nominal => le tranfo fume

Négligeable car sous tension

primaire réduite

Il suffit de mesurer à l’aide d’un voltmètre en AC la valeur efficace de la tension secondaire à vide et celle de la tension primaire, puis de calculer le rapport des deux.

m Ζ U2v / U1

(val eff)


Chapitre 10 – LE TRIPHASE

I – TENSIONS SIMPLES

Cela permet de définir trois tensions appelées tensions simples (notées V1 , V2

et V3 entre chaque phase et la masse. Les chronogrammes de ces trois tensions simples sont les suivants :

On constate que chaque tension simple est en retard de 2π/3 par rapport à la précédente.

Ce qui permet de tracer le diagramme de Fresnell :

Le tableau d’arrivée d’une alimentation triphasée comporte 4 bornes : 1,2,3 et N. Les bornes 1,2 et 3 sont reliées aux fils de phase. La borne N est reliée au fil neutre.


On peut écrire les relations instantanées suivantes :

On constate qu’à chaque instant : v1 + v2 + v3 = 0 : le système triphasé est dit équilibré.

II – TENSIONS COMPOSEES Ce sont les tensions entre deux fils de phase. Ainsi, à chaque instant : u12 = v1 – v2

Le diagramme de Fresnell complet a l’allure suivante :

On remarque que le système des tensions composées constituent également un système triphasé équilibré : à chaque instant leur somme est nulle. Réseau EDF :

V = 220 V entre phase et neutre (installation domestique)

U = 220.√3 = 380 V entre phases (installations industrielles).

D’ou la relation

On peut écrire les expressions instantanées suivantes :

u12 = Um sin (ωt + π/6)

u23 = Um sin (ωt - π/2)

u31 = Um sin (ωt - 7π/6)


III – COUPLAGE ETOILE 1°/ Récepteur symétrique

Le diagramme de Fresnell présente l’allure suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Le système d’alimentation est triphasé équilibré.

Si les trois phases du récepteurs sont différentes, il est dit dissymétrique.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique. Le système des courants est alors un système triphasé équilibré et :

i1 + i2 + i3 = iN = 0

Chaque tension simple est déphasée de ϕpar rapport au courant dans la phase considérée. Ce déphasage est apporté par l’impédance Z de la phase.

i1 = Im sin (ωt - ϕ)

i2 = Im sin (ωt -2π/3 - ϕ)

i3 = Im sin (ωt -4π/3 - ϕ)

Les déphasages tension-courant pour chaque phase et les valeurs efficaces des courants sont différents. Le système triphasé de courant n’est plus équilibré.

On a alors :

i1 + i2 + i3 = iN ≅≅≅≅ 0


IV – COUPLAGE TRIANGLE 1°/ Récepteur symétrique

Chaque courant de ligne i peut être exprimé en fonction des courant circulant dans les phases du récepteur. On peut écrire : i 1 = j 12 – j 31 i 2 = j 23 – j 12 i 3 = j 31 – j 23

D’où la représentation de Fresnell suivante :

2°/ Récepteur dissymétrique Les trois phases du récepteur sont différentes. Il faut à partir des tensions composées, déterminer les courants dans les phases du récepteur et en déduire les courant dans les lignes.

Chaque phase du récepteur est soumise à une tension simple. Le système d’alimentation est triphasé équilibré. Si les trois phases du récepteurs sont identiques, il est dit symétrique.

Les courants de ligne i1, i2, i3 constituent un système triphasé équilibré. Les valeurs efficaces des courants dans les lignes et dans les phases du récepteur sont reliées par la relation :

I = J √3


Q = √3 UI sin ϕ

Q = √3 UI sin ϕ

V – PUISSANCES EN TRIPHASE

1°/ Récepteur en étoile

On a : P = 3 P1 = 3 VI cos ϕ = 3 (U/√3) I cos ϕ =>

De même :

2°/ Récepteur en triangle

On a : P = 3 P1 = 3 UJ cos ϕ = 3 U (I/√3) cos ϕ =>

De même :

3°/ En conclusion Dans tous les cas :

Avec : U tension entre phase de la ligne I courant dans la ligne

ϕ déphasage apporté par une phase du récepteur

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

P = √3 UI cosϕ

=> S = √3 UI

Q = √3 UI sin ϕ


IUT BELFORT MONTBELIARD Dpt Mesures Physiques

TD ELECTROTECHNIQUE n° 1 Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 1 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application. Exercice 1 – Champ magnétique créé par un fil rectiligne parcouru par un courant I.

En utilisant la loi de Biot et Savart, on souhaite exprimer le champ magnétique créé au point M situé à la distance R du fil.

1°/ Exprimer le champ magnétique dB créé par un

élément de longueur dl en fonction de dl et θ.

2°/ La position de dl étant repérée par l’abscisse –x,

exprimer dl en fonction de θ.

3°/ En déduire dB en fonction de la seule variable θ. (I et R interviennent comme constantes du problème).

4°/ En déduire l’expression de B en fonction de θ1 et θ2 . Exercice 2 – Spire circulaire parcourue par un courant I

1°/ Sur la figure ci-dessus, représenter les vecteurs dB et dB’ créés par les éléments de longuer dl et dl’ du fil. 2°/ Que peut-on dire du vecteur champ magnétique dB quand l’élément de longueur décrit la spire ? En déduire la direction du champ magnétique résultant.

M

R

I

θ1 θ2

θ

r

M

dl

R

-x

O

M α

R

I

dl

dl’


3°/ Exprimer le champ magnétique élémentaire dB créé par dl et sa projection sur l’axe de la spire. 4°/ En déduire l’expression du champ magnétique total au point M. 5°/ Exprimer le champ magnétique au centre de la boucle. Exercice 3 – Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde de rayon R, comportant N spires uniformément réparties sur une longueur L. 1°/ Exprimer le nombre de spires dN que comporte un élément de longueur dx du solénoïde. 2°/ Exprimer le champ magnétique dB créé au point P par les dN spires.

3°/ En déduire l’expression du champ magnétique au point P en fonction de α1 et de

α2 .

dx

α

x 0

R P

P

α1 α2



TD ELECTROTECHNIQUE n° 2

Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 2 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application. Exercice 1 – Fil conducteur rectiligne infini Utiliser le théorème d’Ampère pour exprimer le champ magnétique créé par un conducteur rectiligne infini en un point M situé à une distance R du fil. Exercice 2 – Bobine torique On considère un tore en matériaux ferromagnétique sur lequel est enroulé un bobinage constitué de N spires. Soit R le rayon moyen du tore. Exprimer le champ magnétique à l’intérieur du tore en appliquant le théorème d’Ampère. Exercice 3 – Solénoïde infini On considère un solénoïde sans noyau, comportant n spires par unité de longueur. En utilisant le théorème d’Ampère, exprimer le champ magnétique à l’intérieur du solénoïde. IUT BELFORT MONTBELIARD Dpt Mesures Physiques



Exercice 1 – Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique On considère une particule de charge q et de masse m est placée dans un champ magnétique B uniforme et animée d’une vitesse initiale v0. 1°/ Déterminer les caractéristiques de la force agissant sur cette particule. 2°/ Justifier le type de trajectoire suivie par la particule, on négligera l’action de la pesanteur. Préciser les caractéristiques de son accélération. 3°/ Exprimer le rayon R de la trajectoire en fonction de m, v, B et q. 4°/ Exprimer la période et la fréquence du mouvement. 5°/ Application numérique : La particule est un proton de vitesse v = 3.107 m/s, B = 0,05 T, m = 1,6.10-27 kg, q = 1,6.10-19 C Principe spectrographie de masse Exercice 2 – Effet Hall Un morceau parallélépipédique de matière conductrice ou semi-conductrice est parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique B perpendiculaire à la vitesse des électrons (voir figure). 1°/ Dessiner puis déterminer les caractéristiques de la force agissant sur les électrons.

B

v0

q


2°/ La déviation des électrons sous l’action des forces de Lorentz, fait apparaître une accumulation de charges sur les faces supérieures et inférieures du parallélépipède. Dessiner le vecteur champ électrique qui apparaît et la force électrostatique agissant sur l’électron. 3°/ Expliquer pourquoi en régime permanent, la force résultante est nulle. En déduire l’expression de la différence de potentiels U apparaissant entre les deux faces en régime permanent. 4°/ Exprimer le courant électrique I en fonction de la densité volumique n de charges. 5°/ En déduire l’expression de |U| en fonction de I, B, q, n et l. Exercice 3 – Effet Hall Une plaquette de cuivre d’épaisseur 3 mm est parcourue par un courant de 12 A et est placée perpendiculairement à un champ magnétique B. La tension de Hall mesurée est de 1,5 µV. Sachant que la densité volumique d’électrons est n = 8,5. 1028 e-/m3, déterminer le module du champ magnétique. Exercice 4 – Galvanomètre Un galvanomètre est un appareil permettant de mesurer des courants électriques de très faible intensité. Il est constitué d’un cadre bobiné, mobile autour d’un axe, parcouru par le courant électrique à mesurer et placé dans un champ magnétique extérieur. Un système de ressort engendre un couple de torsion dont le moment est

proportionnel à l’angle de rotation du cadre : C = kα

B

v B

I

L

l


Montrer que quand le cadre est en position d’équilibre, l’angle α dont il a tourné est proportionnel au courant mesuré I.

αααα




Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitre 4 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application. Exercice 1 – Flux magnétique Calculer la valeur du flux magnétique traversant une surface plane de surface S = 30 cm2 placée dans un champ magnétique uniforme B = 0,2 T. 1°/ Quand cette surface est perpendiculaire aux lignes de champ. 2°/ Quand la perpendiculaire à cette surface fait un angle de 30° avec les lignes de champ. Exercice 2 – Cadre mobile Un cadre carré de 4 cm de côté comporte 125 spires, est placé parallèlement aux lignes de champ magnétique uniforme B = 0,3 T dans lequel il est plongé. Il est suspendu à un fil de constante de torsion C. Parcouru par un courant de 3 A, le cadre tourne de 35°, et est alors en équilibre. 1°/ Calculer le moment du couple électromagnétique 2°/ Calculer la constante de torsion C du fil. Exercice 3 – Moteur linéaire Une barre de cuivre est posée perpendiculairement à deux rails horizontaux conducteurs et parallèles, distants de 5 cm et reliés à un générateur. L’ensemble est placé dans un champ magnétique uniforme B = 25 mT, dont la direction est perpendiculaire aux rails et à la barre.

1°/ Dessiner sur le schéma le sens du courant I pour que la barre dévie sur la droite. 2°/ Calculer l’intensité de la force agissant sur la barre, sachant que I = 1 A.

3°/ On remplace le générateur par une résistance de 10 Ω, et l’expérimentateur déplace la barre sur la droite parallèlement à elle même à vitesse v constante : 10 cm en 0,25 s.

a) Calculer la fem induite b) Préciser le sens du courant induit (justifier) c) Calculer l’intensité du courant induit. d) Déterminer la puissance mécanique fournie par l’opérateur pour déplacer

la barre.

G B


t

i

5 A

-5 A

Exercice 4 – Solénoïde Un solénoïde de 50 cm de longueur comportant 500 spires est parcouru par un courant i variable. On place une petite spire plate de 2,5 cm2 de surface à l’intérieur du solénoïde perpendiculairement à l’axe du solénoïde. Le courant i a l’allure suivante : 1°/ Expliquer la cause de l’apparition d’une fem aux bornes de la spire 2°/ Dessiner le chronogramme de cette fem, et calculer les valeurs qu’elle prend. Exercice 5 – Alternateur basique

Une bobine plate de 250 spires, de surface 30 cm2 et de résistance 1,2 Ω, tourne dans un champ magnétique uniforme B = 0,3 T perpendiculaire à l’axe de rotation, à

une vitesse angulaire ω = 12 rad/s. On négligera le champ magnétique créé par la bobine. 1°/ Exprimer la fem induite et calculer son amplitude. 2°/ Déterminer le moment qu’il faut appliquer sur l ‘axe pour entretenir la rotation de la bobine. Exercice 6 – circuit triangulaire Un circuit triangulaire se déplace à une vitesse v constante et entre progressivement dans une zone de champ magnétique uniforme. Exprimer la fem induite en fonction du temps pendant la phase d’entrée dans la zone de champ magnétique. L’origine des temps t = 0 est l’instant ou le circuit entre juste dans la zone.

B

θ

10 µs


I

N spires r

µ r1

µ r2



Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels des chapitres 5 et 6 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application. Exercice 1 – Circuit magnétique avec entrefer

1°/ Dessiner et justifier le sens de la fmm crée par la bobine 2°/ On sait que I = 5 A, N = 50, µr = 1500, S = 10 cm2 et r =

40 cm. Calculer le flux φ à travers une section d’une circuit magnétique.

3°/ Un entrefer d’épaisseur 2 mm a été réalisé dans le

circuit magnétique. Calculer le flux φ’ à travers une section du circuit magnétique. 4°/ Calculer le flux à travers une section de l’entrefer. 5°/ Mêmes questions avec e = 1 cm.

Exercice 2 – Association de fmm

1°/ Dessiner le sens des fmm 2°/ Calculer le flux magnétique sachant que : µr = 1500, S = 10 cm2 et r = 40 cm.

N1 = 50 I1 = 1 A N2 = 20 I2 = 5 A N3 = 15 I3 = 6 A

Exercice 3 – Circuit magnétique hétérogène

Exercice 4 – Dérivation sur un circuit magnétique

I

N spires e

I

N spires r

I1

N1 spires

I2

N2 spires

N3 spires

I3

r

l1 et l2 sont les longueurs moyennes des deux portions magnétiques constituées de matériaux différents.

Exprimer φ sachant que S = 10 cm2, l1 = 40 cm et l2 = 20 cm. µr1 = 10000 et µr2 = 1000, I = 5 A, N = 50 spires.


Exercice 5 – Circuit magnétiques en parallèles

Exprimer R en fonction de R1 et R2 .

Les deux branches en dérivation ont même section mais sont constituées de matériaux différents. µr1 = 10000 et µr2 = 1 Comparer les réluctances des deux circuits magnétiques en dérivation. Conclusion.

µ r1

µ r2

R

R1 R2 N spires

I




Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitres 7 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application.

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4


Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7




Avec l’aide du cours, faire une fiche faisant apparaître les points essentiels du chapitres 8 et les formules accompagnées de leurs conditions d’application. Dans les exercices qui suivent, la ligne triphasée d’alimentation est un système triphasé de tension triphasé équilibré : Exercice 1 La ligne alimente un récepteur triphasé symétrique dont les phases couplées

en étoile ont pour impédance complexe : Z = [ 100 Ω ; 20° ] 1°/ Calculer la valeur efficace du courant dans chaque phase et dans le fil neutre. 2°/ La phase 2 est coupée accidentellement.

a) Reprendre la question 1°/ en supposant que le centre de l’étoile est relié au fil neutre.

b) Le neutre est maintenant supprimé. Calculer les valeur efficaces des courants dans chaque phase, le potentiel V0 au centre de l’étoile et la tension V10 aux bornes de la phase n°1.

3°/ Conclusion.

Exercice 2 La ligne triphasée alimente un atelier comportant

- 180 lampes de 100 W entre phase et neutre constituant un système équilibré

- 1 moteur triphasé M1 fournissant un couple utile de 150 Nm avec un

rendement de 0,9 à une vitesse de 14501 tr/min avec un cosϕ = 0,85. - Un moteur triphasé M2 de puissance mécanique 20 kW de rendement 0,85

et de facteur de puissance cosϕ2 = 0,8. 1°/ Calculer le courant dans la ligne et le facteur de puissance de l’atelier

(méthode de Boucherot). 2°/ On monte en triangle entre fils de phase trois condensateurs C. Calculer la valeur de C pour que le facteur de puissance soit de 0,95. Quel est alors le nouveau courant dans la ligne ?

v1 (t) = Vm sin ωt

v2 (t) = Vm sin (ωt - 2π/3)

v3 (t) = Vm sin (ωt + 2π/3)

cours electromagnetisme semestre 1 - …mpeea.free.fr/data/trotech/cours-trotech-trous-08.pdf · v....

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