cours de mathématiques sur les indices statistiques 2010 2011

7/25/2019 Cours de mathmatiques sur les Indices Statistiques 2010 2011

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Indices statistiques Page 1 sur 7

INDICES STATISTIQUES

Pour plus dinformations sur les indices, consulter le site de lInsee : http://www.insee.fr

INDICE SIMPLE (OU ELEMENTAIRE)

- Un indice simple permet de mesurer la variation dune grandeurentre 2 dates (ou entre 2 lieux).

- On sait dj quune telle mesure est ralise par un taux de variation. On va voir quun indicesimple est en fait une autre faon de calculer et de prsenter un taux de variation.

- Prenons par exemple le prix unitaire P dun produit et supposons que P0 = 250 soit ce prix unedate 0 et P1= 285 une date 1.

Le taux de variation en pourcentage entre les dates 0 et 1 est, cest bien connu :

t% = (285 - 250) / 250 x 100 = 35 / 250 x 100 = 0,14 x 100 = 14%

Une autre faon de mener ce calcul est :

t% = (285 - 250) / 250 x 100 = (285 / 250 250 / 250) x 100 =(285 / 250 - 1) x 100 = 285 / 250 x 100 1 x 100 = 1,14 x 100 100 = 114 100 = 14%

Cela permet de remarquer que le rsultat 14% est entirement dtermin par lexpression285 / 250 x 100, qui vaut 114. Cest pour cette raison quon peut remplacer le calcul du taux devariation par le calcul de la quantit : 285 / 250 x 100 = 114.

Cette quantit est appele lindice simple du prix P la date 1, base 100 la date 0et est note

I1/0 (P).

On a ainsi : I 1/0 (P) = (P1/P0) x 100.

Cette dfinition se gnralise toute grandeur G variabledans le temps ou dans lespace et est

note I 1/0 (G) = (G1/G0) x 100et appele lindice simple de G la date 1, base 100 la date 0.

- Lexemple ci-dessus montre une relation entre lind ice simple base 100 et le taux enpourcentage:

t% = I 1/0 (G) - 100 ou encoreI 1/0 (G) = 100 + t%

- On a : I 0/0 (G) = (G0 / G0) x 100 = 1x100 = 100, ce qui justifie lexpression base 100 la date 0

- Remarquons que des critres connus pour un taux de variation se traduisent ainsi en termesdindice simple :

G augmente (t% > 0) signifie I 0/1 (G) > 100

G diminue (t% < 0) signifie I 0/1 (G) < 100

- Lindice simple base 100 possde plusieurs proprits intressantesque ne possde pas le tauxde variation, ce qui justifie son utilisation courante pour des calculs rptitifs en statistiques, au lieu dutaux de variation :

- Rversibilit: I 1/0 (G)/100 x I 0/1 (G)/100 = 1 ou encore I 0/1 (G) = 10000/ I 1/0 (G)

Cette proprit permet de comparer rapidement G0 G1ayant dj compar G1 G0. Dans lexemple

ci-dessus, on avait calcul I 1/0 (P) = 114, ce qui permet alors de calculer I 0/1 (P) ainsi :

114 / 100 x I 0/1 (P) / 100 = 1, soit I 0/1 (P) = 10000 / 114 = 87,72


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soit un taux de variation de 87,72 100 = - 12,28%. Cela signifie que : P1est suprieur P0de 14%revient dire que P0est infrieur P1de 12,28%. Ou encore que : P1reprsente 114% de P0revient dire que P0reprsente 87,72% de P1.

- Circularit : I 2/0 (G)/100 = I 2/1 (G)/100 x I1/0(G)/100 ou I 2/1 (G)/100 = (I 2/0 (G)/100) / (I1/0(G)/100)

Cette proprit fait intervenir 3 dates : les dates 0, 1 et 2.Cette proprit permet, la date 2, de passer rapidement de la date de base 0 la date de base 1.La circularit se gnralise plusieurs dates, par exemple pour les dates 0, 1, 2, 3, 4 et 5 :

I 5/0 (G)/100 = I 5/4 (G)/100 x I4/3(G)/100 x I 3/2 (G)/100 x I2/1(G)/100 x I1/0(G)/100

On dit que les indices simples sont enchanables.

- Produit: Pour deux grandeurs A et B : I 1/0 (A x B) = [I 1/0 (A) x I 1/0 (B)] / 100

Cette proprit est utile, lorsquon a dj calcul lindice relatif deux grandeurs, pour ensuite calculerlindice relatif la grandeur produit.

- Quotient : Pour deux grandeurs A et B : I 1/0 (A / B) = [I 1/0 (A) / I 1/0 (B)] x 100

Cette proprit est utile, lorsquon a dj calcul lindice relatif deux grandeurs, pour ensuite calculerlindice relatif la grandeur quotient.

- En partant dun taux de variation pour 1000, pour 10, pour 1, etc., on pourrait dfinir des indicessimples base 1000, base 10, base 1, etc.qui auraient des proprits analogues celles de lindicesimple base 100. Par exemple, lindice simple base 1000 est : I 1/0(G) = (G1/ G0) x 1000. Parexemple, lindice simple base 1 est tout simplement le rapport : I 1/0(G) = G1/ G0

ENONCE 1 (tir de Statist ique descript ive par Etienne Bressoud et Jean-Claude Kahan)

Le tableau suivant prsente lvolution du revenu moyen disponible par mnage et celle du nombre demnages en France. Par ailleurs, on dfinit le revenu disponible des Franais par la multiplication durevenu moyen disponible par mnage avec le nombre de mnages.

Anne Revenu moyen disponible par mnage () Nombre de mnages (mil liers)

1985 23 016 17 745

2000 26 529 21 542

2009 26 612 23 808

1) Calculer les indices relatifs au revenu moyen disponible par mnage, nots IRM, et interprteren termes de taux de variation :a) IRM09/00b) IRM00/85c) IRM09/85 laide de la circularitd) IRM85/09 laide de la rversibilit

2) Calculer les indices relatifs au nombre de mnages, nots INM, et interprter en termes detaux de variation :

a) INM09/00b) INM00/85c) INM09/85 laide de la circularitd) INM85/09 laide de la rversibilit

3) En utilisant la proprit lie la multiplication, calculer les indices relatifs au revenu disponiblede Franais, nots IRF, et interprter en termes de taux de variation :a) IRF09/00b) IRF00/85c) IRF09/85d) IRF85/09

ENONCE 2

Le prix de vente unitaire moyen dun certain produit (en par tonne) est consign dans le tableausuivant pour les annes 2002 2009 :


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anne 02 03 04 05 06 07 08 09

prix 144,82 136,75 129,89 144,37 160,07 180,96 209,62 234,77

1) Pour chacune des annes du tableau, calculer les indices chanes, cest--dire lindice dechaque anne par rapport lanne prcdente.

2) Pour chacune des annes du tableau, calculer lindice simple de prix, base 100 en 2002.

Pour cela, on pourra appliquer aux indices chanes la proprit de circularit gnralise.3) Recalculer ces indices simples, mais avec une base 100 en 2007. Pour cela, on pourra

utiliser la proprit de circularit pour dduire ces indices de ceux calculs la questionprcdente.

INDICE SYNTHETIQUE

- Un indice simple, on vient de le voir, permet de mesurer la variation dune seule grandeur, tandisquun indice synthtique, va permettre de mesurer la variation globale de plusieurs grandeurs la fois. Un exemple bien connu est lindice CAC40 qui mesure la variation globale du cours de 40titres cots la Bourse de Paris.

- Prenons lexemple du tableau suivant o lon donne le prix unitaire de 3 produits une date 0 et

une date 1, ainsi que les quantits utilises pour ces 3 produits :

ProduitsPrix unitaires en / tonne

Q = Quantits utilises en tonnesPrix unitaires P0la date 0

Prix unitaires P1la date 1

A 50 38 60

B 20 30 80

C 15 25 10

On peut calculer lindice synthtique des prix la date 1, base 100 la date 0, de la manire suivanteet en 3 tapes :

- tape 1 : on fait la synthse des prix unitaires la date 1 en calculant la moyennearithmtique de ces prix unitaires, pondre par les quantits utilises :

(60 x 38 + 80 x 30 + 10 x 25) / (60 + 80 + 10) = 4930 / 150 = 32,87

- tape 2 : on fait la synthse des prix unitaires la date 0 en calculant la moyennearithmtique de ces prix unitaires, pondre par les quantits utilises :

(60 x 50 + 80 x 20 + 10 x 15) / (60 + 80 + 10) = 4750 / 150 = 31,67

- tape 3 : on calcule enfin lindice simple base 100 pour les moyennes arithmtiquesprcdentes :

(32,87 / 31,67) x 100 = 103,79

On peut alors dire que le prix unitaire de ces 3 produits a globalement augment de 103,79 100 =

3,79% de la date 0 la date 1.

Si on fait le calcul prcdent dune seule traite et en simplifiant par les dnominateurs (60+80+10),cela scrit :

(60 x 38 + 80 x 30 + 10 x 25) / (60 x 50 + 80 x 20 + 10 x 15) x 100 = 103,79

- Gnralisons la ligne de calcul prcdente en donnant la dfinition suivante : lindice synthtique

des prix la date 1, base 100 la date 0 , est :

I 1/0(P) =

100)( 0

1x

QP

QP


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Cet indice synthtique des prix est dit calcul par la mthode de lindice simple des moyennesarithmtiques pondres. Il sinterprte comme un indice simple de prix, en ce sens quil fournit untaux de variation (global) des prix.

- En gnral, les quantits varient galement lorsquon passe de la date 0 la date 1. Dans la formuleprcdente, on peut donc choisir les quantits Q la date 0 ou la date 1, ou encore toute autre

date.

- Si lon fixe les quantits la date de base 0, on obtient lindice des prix de Laspeyres, qui mesurela variation globale des prix quantits constantes :

Laspeyres 1/0(P) =

100)( 00

10x

PQ

PQ

- Si lon fixe les quantits la date courante 1, on obtient lindice des prix de Paasche, qui mesurela variation globale des prix quantits courantes :

Paasche 1/0(P) = 100)( 0111 xPQPQ

- Enfin, on peut galement calculer un indice synthtique des quantits en pondrant par les prixunitaires. On obtient ainsi les 3 formules suivantes, obtenues des 3 formules prcdentes enchangeant les rles des lettres P et Q :

Indice synthtique des quantits

I 1/0(Q) =

100)( 0

1x

PQ

PQ

Indice des quantits de Laspeyres (variation globale des quantits prix constants )

Laspeyres 1/0(Q) =

100)( 00

10x

QP

QP

Indice des quantits de Paasche (variation globale des quantits prix courants )

Paasche 1/0(Q) =

100)( 01

11x

QP

QP

- Comparaison entre indices de Laspeyres et Paasche: lindice de Laspeyres est le plus

couramment utilis, car il permet de conserver la mme pondration pour toutes les dates o il estcalcul : celle de la date de base. Cet avantage devient vite un inconvnient, car cette date de basetend sloigner dans le pass et ne reprsentera plus la ralit actuelle. Pour un indice des prix parexemple, lindice de Laspeyres se base sur les habitudes de consommation du pass, tandis quelindice de Paasche se base sur les habitudes de consommation du prsent. Voil pourquoi lIPC(Indice des Prix la Consommation) en France, qui est un indice de Laspeyres pour des raisons quonne va pas voquer, voit sa base actualise tous les ans.

- Mentionnons galement lutilisation de lindice de Fisher, qui est la moyenne gomtrique (racinecarre du produit) des indices de Laspeyres et de Paasche.

- Terminons en disant que les indices synthtiques ne possdent pas les propritsde circularit,de rversibilit, de produit et de quotient des indices simples.


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ENONCE 3

Dans une entreprise, le personnel se rpartit d'aprs les pourcentages suivants et on vous donne larmunration annuelle par catgorie salariale en 2005 et en 2009 :

catgorie % 2005 2009agents d'excution 23 12 940 15 520

agents de matrise 56 16 420 18 880

cadres moyens 19 24 900 25 540

cadres suprieurs 2 36 260 38 160

1) Calculer l'indice synthtique des rmunrations annuelles en 2009, base 100 en 2005.2) Calculer l'indice synthtique des rmunrations annuelles en 2005, base 100 en 2009.

ENONCE 4 (tir de Statist ique descript ive par Etienne Bressoud et Jean-Claude Kahan)

Le tableau suivant donne les prix moyens des chambres dhtel en 2008 et 2009, selon leur catgorie

et le nombre de nuites annuelles.

Catgorie Prix 2008 () Prix 2009 () Nuites 2008 (milliers) Nuites 2009 (milliers)

0 et 1 toile 33 35 1 676 0 909

2 toiles 57 59 3 631 3 813

3 toiles 86 88 3 475 3 850

4 toiles et luxe 175 187 2 371 2 229

1) Calculer lindice des prix de Laspeyres en 2009, base 100 en 2008. Interprter.2) A prix constants, ceux de 2008, quelle est laugmentation des nuites entre 2008 et 2009 ?

Quel indice avez-vous ainsi calcul ?3) Calculer lindice des quantits de Paasche en 2009, base 100 en 2008. Interprter.

4) A nuites courantes, celles de 2009, quelle est laugmentation du prix des chambres entre 2008et 2009 ? Quel indice avez-vous ainsi calcul ?

ENONCE 5

Dans un pays donn, on a observ en 2008 et 2009 les dpenses en nergie rparties entre ptrole,nuclaire et renouvelable :

2008 2009

Cot unitaire(en )

Part de la dpense(en %)

Cot unitaire(en )

Part de la dpense(en %)

Ptrole 50 38 60 35

Nuclaire 20 60 20 60Renouvelable 100 2 90 5

1) Calculer lindice de Paasche du cot de lnergie en 2009, base 100 en 2008. Interprter cetindice.

2) Calculer lindice de Laspeyres du cot de lnergie en 2008, base 100 en 2009. Interprter cetindice.


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PETIT APERCU SUR LES INDICES BOURSIERS

Un indice permet d'valuer l'tat du march grce un chantillon de valeurs reprsentatives. Il constituegalement un outil efficace de comparaison pour valuer les performances de son propre portefeuille. Chaqueplace boursire a ses indices. Le plus clbre d'entre eux est le CAC40 : on y trouve, entre autres, Accor, LVMH,France Telecom ou encore Alcatel.

Un indice peut contenir un nombre plus ou moins grand de valeurs. Pour complter l'indice CAC40, dautresindices ont t crs, comme le SBF120 et le SBF250. Leur fonctionnement peut sassimiler des poupesrusses : plus le nombre est important, plus l'indice est reprsentatif de la performance du march dans sonensemble. Ainsi, le SBF120 est plus large et plus diversifi que le CAC40.

Le CAC40Le CAC40est lindice de rfrence de la Bourse de Paris. Sa base a t fixe 1.000 le 31 dcembre 1987. Ilest calcul en continu toutes le 30 secondes partir d'un panier de 40 actions inscrites au Premier March etchoisies pour leur reprsentativit et leur importance dans les portefeuilles institutionnels et particuliers. Le poidsde chaque valeur dans l'indice est pondr en fonction de l'importance de sa capitalisation. Cet indice reprsente75% des transactions de la Bourse de Paris. Plus la taille de la socit est importante, plus son volution a uneinfluence sur l'indice. Le CAC40 constitue donc un bon baromtre de l'volution des actions franaises.

Le SBF120

Le SBF120, cre le 8 dcembre 1993, est compos des 120 valeurs les plus actives de la cote (les 40 valeurs del'indice CAC40 auxquelles s'ajoutent les 80 valeurs parmi les plus liquides du march). Il est diffus et calcul encontinu depuis le 18 avril 1994 et reprsente 90% des transactions de Paris. Quatre critres sont pris en comptepour intgrer le SBF120 : le montant des capitaux changs, le nombre de transactions quotidiennes, le taux derotation quotidien, et l'cart entre les meilleures offres et les meilleures demandes de la fourchette moyenne dengociation.

Le SBF80Le SBF 80a t lanc fin 1997 la Bourse de Paris. Cet indice reprend les valeurs de l'indice SBF120 exceptcelles du CAC40, avec une base 1000 au 31 dcembre 1990. Il recouvre donc de grandes valeurs de la cotecotes en continu, mais d'une taille plus modeste que celles du CAC40. La particularit de lindice SBF80 est depermettre d'isoler la performance des valeurs de second rang alors que la proportion relative aux valeurs du CAC40 peut sembler crasante dans le SBF120.

Le SBF250Le SBF250est lindice reprsentant l'volution de l'ensemble du march de Paris. Aprs l'limination des valeurstrs peu liquides prsentant moins de 5 % de rotation annuelle, les 250 premires valeurs en excluant lesholdings sont slectionnes pour composer cet indice SBF 250. Il s'appuie sur une nomenclature conomiquesectorielle (valeurs industrielles, services, socits financires). Concrtement, il complte la gamme des indicesd'Euronext Paris. Par ailleurs, le SBF 250 est calcul deux fois par jour : l'ouverture et la clture de la sance.

Le CAC Next20Le CAC Next20a t lanc le 31 dcembre 2002. Il comprend les 20 valeurs les plus reprsentatives en termesde capitalisation flottante et de liquidit aprs les 40 valeurs de l'indice CAC40. Les valeurs composant le CACNext 20 sont donc des prtendantes l'entre au sein du CAC40. Elles sont slectionnes parmi les 60premires valeurs d'Euronext Paris classes selon la capitalisation du flottant et les capitaux changs. Commele CAC40, ce nouvel indice est calcul en continu toutes les 30 secondes. Le CAC Next20est pondr par lacapitalisation boursire des valeurs le composant en appliquant un plafond de 15 %.

Les indices CAC ITLindice CAC ITest un indice reprsentant les valeurs technologiques appartenant l'indice SBF 250.

Lindice CAC IT20regroupe un nombre plus restreint de valeurs que le CAC IT. Il constitue ce que le CAC 40reprsente pour l'ensemble du march.

Les autres indices

L'indice CAC Mid100est compos des 100 premires capitalisations qui suivent les 60 valeurs les plusimportantes composant les indices CAC 40 et CAC Next20. Ces valeurs doivent avoir une rotation annuelle ducapital d'au moins 5%. Cet indice est inclus dans l'indice SBF 250.L'indice CAC Small90est compos des 90 valeurs affichant les capitalisations les plus faibles du SBF250. Cesvaleurs suivent donc immdiatement celles composant le CAC Mid100.

L'indice CAC Midet Small190est la runion des indices CAC Mid100 et CAC Small90.


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L'indice CAC All Sharesest compos de toutes les valeurs cotes sur Euronext Paris ayant au moins 5 % derotation annuelle du capital. Il ne tient donc pas compte de la capitalisation boursire.

Les principaux indices trangers

Parmi les principaux indices trangers, on trouve :

Le DOW JONESCest certainement le plus connu de tous les indices boursiers mondiaux. Cest l'indice de rfrence du premiermarch financier mondial : la Bourse de New-York. Il se compose des 30 plus grosses capitalisationsamricaines (les blue chips). Son calcul est trs simple et radicalement diffrent de celui du CAC 40. Il n'y a pasde pondration et chaque valeur composant cet indice a la mme reprsentativit l'intrieur du Dow Jones. Ilreflte essentiellement le secteur des valeurs industrielles. Lvolution du Dow Jones est observe par tous lesinvestisseurs car son importance est telle dans l'conomie internationale qu'il donne souvent le ton aux autresplaces financires.

Le Dow Jones STOXXCest lindice de rfrence global des marchs europens. 660 valeurs sont slectionnes parmi 16 pays delUnion Europenne ainsi que le Royaume Uni, le Danemark, la Suisse, la Norvge et la Sude.

Le Dow Jones Euro STOXXCest lindice de rfrence global de la zone Euro. 360 valeurs sont slectionnes parmi les pays appartenant lazone Euro.

Le Dow Jones STOXX50Cest lindice de rfrence homogne des grandes valeurs europennes. 50 valeurs sont slectionnes parmi 16pays de lUE.

Le S&P500(Standard & Poors) cet indice est plus large que le Dow Jones et reprsente, avec 500 valeurs slectionnes, unautre indice de rfrence Wall Street.

Le NIKKEI 225Cest lindice de rfrence de la Bourse de Tokyo. Cet indice est trs large dans sa composition puisquil contient

225 valeurs. Son calcul est identique celui de l'indice amricain. Aucune pondration des valeurs n'est ralise.Son tude est presque aussi dcisive que celle du Dow Jones car il est reprsentatif de toute la zoneconomique de l'Asie.

Le FTSE 100Cest lindice de rfrence de la Bourse de Londres. Il est surnomm "Footsie". Il est compos des 100 premirescapitalisations anglaises. Son mode de calcul est identique celui du CAC 40 : chaque valeur est pondre parsa capitalisation. Comme la Bourse de Paris, la majorit des changes d'actions est ralis sur les valeurs decet indice. A Londres, le Footsie concentre 80 % des transactions opres. Londres est, par ailleurs, la premireplace financire en Europe.

Le DAXCest l'indice de rfrence de la principale place financire allemande, Francfort. Il est compos des 30 premirescapitalisations du pays, et son calcul est soumis une pondration.

Le NASDAQ Composi teCest un indice trs volatil, reprsentatif des valeurs technologiques amricaines (informatique, Internet,biotechnologies,). Le Nasdaq Composite est calcul partir de plusieurs milliers de valeurs.

Le NASDAQ100Cest lindice reprsentatif des 100 plus grosses valeurs technologiques amricaines.

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