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COURS DE FATIGUE

ET DE

MECANIQUE DE LA RUPTURE

E X E R C I C E S ______

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I - GENERALITES SUR LA MECANIQUE DE LA RUPTURE I.1 - Quelle est la résistance résiduelle d'un panneau contenant une fissure centrale telle que : 2a = 100 mm K1c = 44 MPa m W = 760 mm Re = 550 MPa

____________ I.2 - Une plaque chargée uniformément est calculée avec un coefficient de sécurité égal à 2. Quelle est la longueur de défaut admissible ? W = 500 mm K1c = 33 MPa m Re = 480 MPa

____________ I.3 - Détermination des contraintes principales à la pointe d'une fissure. La distribution des contraintes à la pointe d'une fissure en mode I est donnée par la relation suivante :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Π=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Π=

23cos

2sin

2cos

2

23sin

2sin1

2cos

2

23sin

2sin1

2cos

2

1

1

1

θθθσ

θθθσ

θθθσ

rK

rK

rK

xy

xx

yy

Calculer les contraintes principales σ1, σ2 et σ3 pour 4 directions (θ = 0°, 30°, 45°, 90°) à la fois en contraintes planes et en déformations planes.

____________

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I.4 - La ténacité K1C d'un acier à haute résistance (Acier Maraging) décroit lorsque la limite d'élasticité

augmente suivant : K1C = 360 - 0,15 Rp où K1C et Rp sont exprimés, respectivement en MPa m et en MPa. On considère une plaque mince d'épaisseur 2,5 cm utilisée pour une application dans laquelle aucune forme de propagation n'est tolérée. On prend un coefficient de sécurité de 0,75 de telle sorte que la contrainte de travail σ

w peut être égale à 0,75 Rp. Les techniques de contrôle

non destructif permettent de déceler des défauts de surface de 5 ± 2,5 mm. Deux types de défauts (I et II) (voir figure) sont considérés comme possibles.

On demande de déterminer le matériau qui aura la plus grande résistance mécanique et de trouver ainsi le traitement thermique le mieux approprié. Pour le défaut I, on prendra Kl = 2σ a ; pour le défaut II, on utilisera Kl = σ π a

____________ I.5 - Une application particulière exige la conception sûre d'un réservoir cylindrique destiné à contenir

un gaz sous haute pression. On dispose des informations suivantes : - le poids et le prix de revient ne sont pas des paramètres pour le projet - la longueur du cylindre est fixée à 6 m, mais le rayon peut varier

- la contrainte tangentielle σ σθ θ( )=pRt

ne peut excéder 80 % de la limite d'élasticité Re du

matériau, avec p = pression du gaz R = rayon du réservoir t = épaisseur de la paroi - on sait que des fissures de surface, semi-circulaires de profondeur a et de longueur à la surface 2c = 2a existent après fabrication. Le facteur K pour ces fissures est K = 2σ a - une fuite avant la rupture brutale est exigée (on prendra KC = K1C). 1°) Pour une application particulière, le réalisateur calcule les variables p et R. Donner une expression pour la pression maximale de travail sous des contraintes tangentielles σθ égales à 0,8 Re, en fonction de K1C et Re pour un réservoir donné de rayon R. 2°) Lequel (s'il y en a un) des aciers suivants pourra être accepté dans votre projet si p = 21 MPa et R = 900 mm

Acier Re (MPa) K1C (MPa m ) A 1000 280 B 700 180 C 1250 180

____________

I

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I.6 - On désire construire un réservoir cylindrique de stockage de gaz dont les dimensions sont fixées : hauteur = 6 mètres, rayon = 0,90 m. La pression de stockage est fixée à 10 MPa (100 bars). Pour construire cette capacité, on dispose de trois matériaux dont les caractéristiques figurent dans le tableau ci-dessous.

Matériau Rp (MPa) K1C(MPa m ) A B C

1 000 700

1250

180 100 100

On recherche l'épaisseur optimale à donner sachant que : - Les codes de calcul permettent d'imposer des contraintes égales à 0,75 Rp - On admet l'existence de défauts pour lesquels on supposera simplement que K = 2σ a (voir figure).

Compte tenu de l'utilisation visée, la sûreté veut que la profondeur critique de défaut soit au moins égale à l'épaisseur de l'enceinte. En effet, sinon il n'y aura pas de fuite avant rupture, ce qui est extrêmement dangereux, compte tenu de l'énergie stockée dans une enceinte pressurisée, surtout quand elle renferme un gaz. Des trois matériaux proposés, dire le (s)quel(s) conviennent.

_____________

I.7 - You are asked to design a cylindrical pressure vessel to withstand 5000 psi of internal pressure. The diameter of the vessel is 30" and the wall thickness t must be equal to or greater than 0.5". You want to prevent failure caused by a surface flaw of depth. 5" and a/2c = .25.

Calculate the wall thickness you have to use to prevent catastrophic failure. Consider three (3) steels.

Yield strenght (ksi) K1C (ksi in )

A

260 80

B 180 140

E 140 250

Give the design stress you are using for each steel and the vessel wall thickness

____________

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I.8 - Un réservoir sous pression cylindrique de diamètres intérieur et extérieur 40 et 48 cm est réalisé en alliage d'aluminium ayant les propriétés suivantes :

Re = 385 MPa K1C= 44 MPa m Le réservoir doit être soumis à une pression interne p = 70 MPa. Les techniques d'inspection ne permettent pas de déceler en service des fissures débouchant sur la face interne de moins de 0,5 cm de profondeur et de 3 cm de longueur. Le réservoir est -il sûr ? Que peut-on préconiser pour le rendre sûr ? Rappel : le facteur d'intensité de contrainte peut-être calculé de la façon suivante ;

07,112,11

aK Π= σ

____________ I.9 - On considère deux matériaux, dont les caractéristiques mécaniques sont les suivantes : - un alliage d'aluminium 2024-T3 : de limite d'élasticité Re = 490 MPa et de ténacité K1C = 110 Mnm-3/2 - un acier de limite d'élasticité Re = 1700 MPa et de ténacité K1C= 60 MNm-3/2 On veut tester deux éprouvettes constituées respectivement de chacun de ces matériaux ; on utilise des plaques à entaille centrale, contenant une fissure de longueur initiale 2a = 2 mm. La valeur du facteur d'intensité de contrainte peut être calculée par la formule suivante : K = σ π a 1°) Déterminer la contrainte critique conduisant à la rupture brutale pour ces matériaux. 2°) Commentez les résultats obtenus : selon vous, quel type de rupture obtiendra-t-on pour chacun des matériaux ? Quel matériau suggéreriez-vous d'utiliser et pourquoi ?

____________ I.10 - On considère un matériau dont les caractéristiques sont les suivantes :

- ténacité K1C = 80 MPa m - limite d'élasticité : Re = 520 MPa. On réalise des essais de rupture sur deux plaques de ce matériau contenant une fissure centrale : - la première de largeur W = 500mm contient une fissure de longueur 2a = 75mm - la seconde de largeur W = 50mm contient une fissure de longueur 2a = 25mm. Pour chacune des plaques : 1) Calculer la contrainte critique qui conduirait à la rupture brutale 2) Déterminer la contrainte qui conduirait à une plastification généralisée de la section contenant la fissure 3) En déduire comment se produira la rupture dans chacun des cas et pour quelle contrainte. On rappelle KI = βσ πa avec

β π= sec a

W β = + − +1 0 256 1152 12 2002 3. ( ) . ( ) . ( )a

WaW

aW

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I.11 - Un réservoir en titane doit être soumis aux cycles de charge suivants : - un cycle d’épreuve à un niveau de contrainte égal à asserv (sserv étant la contrainte de service et a le facteur d’épreuve ) - 500 cycles de fatigue sous une charge égale à sserv

- 20 heures de charge statique en atmosphère agressive sous sserv

Des essais de laboratoires indépendants sont menés par ailleurs pour caractériser le matériau. Ils montrent que durant un essai de fatigue mené dans les mêmes conditions, compte tenu de la progression de la fissure aj, la valeur du facteur d’intensité de contrainte maximum admissible varie suivant la loi suivante :

KK

N1j

1C

= −1 0 01 2, (ln ) avec 1≤ N ≤ 1000 cycles

De même, pour le chargement statique, supposant qu’une fissure de longueur ai se développe, cette valeur varie suivant la loi :

KK

1i

1C

= −1 0 1, (ln )t avec 1 ≤ t ≤ 100 heures

1°) Dans le cas du réservoir, donner l’expression permettant de calculer la longueur critique du défaut ac. 2°) Etablir l’expression reliant la longueur de fissure de fatigue aj aux paramètres ac , K1j et K1c dans le

cas des essais de fatigue ; représenter sur un schéma l’évolution du rapport aa

j

c

en fonction de N.

Dans le cas des essais statiques, donner l’expression de ai en fonction de ac , K1i, et de K1c ;

représenter sur un schéma l’évolution du rapport aa

i

c

en fonction du temps t.

3°) En déduire la valeur minimale du facteur d’épreuve α qui peut être employée pour garantir que le réservoir remplisse sa mission. On supposera qu’un seul cycle d’épreuve a une influence négligeable sur la propagation des fissures et que la valeur du facteur d’intensité de contrainte s’écrit sous la forme : K = βσ πa

____________

I.12 - Un cylindre de diamètre extérieur 254 mm et d’épaisseur B = 12,7 mm est soumis à une pression p variant de 0 à 34,45 MPa. Il y a une fissure interne longitudinale telle que a/2c = 0,5. Sachant que la ténacité est égale à 33 MPa√m et que la limite d’élasticité du matériau est de 516 MPa, indiquer si le cylindre va fuir ou rompre brutalement durant le cyclage.

Remarques

1°) Dans le cas d’une fissure semi-elliptique non traversante, le facteur d’intensité de contrainte peut s’écrire de la manière suivante :

K 1,12 M p 1 RBK= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟Φ

πa

MK représente le facteur d’amplification d’intensité de contrainte ; sa valeur peut être obtenue à l’aide de l’abaque donnée ci-dessous.

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Φ est une intégrale elliptique de seconde espèce ; sa valeur peut être approximée à l’aide du polynôme suivant :

Φ = +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

π8

32

2ac

2°) Dans le cas d’une fissure débouchante de longueur 2c, la valeur du facteur d’intensité de contrainte s’exprime alors de la manière suivante :

K M cF H= σ π

MF est un facteur d’amplification qui s’exprime par :

M cRBF = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 1 61

2 1 2

,/

σH est la contrainte circonférentielle induite par la pression interne

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II - DETERMINATION DE LA TENACITE

II.1 - On désire déterminer la ténacité de 2 matériaux. On utilise pour cela des éprouvettes CT dont

les dimensions sont indiquées sur la figure II.1. - Donner la définition de K1C. - En vous aidant des graphes (figure II.1), calculer la valeur de la ténacité pour chacun des 2 matériaux. Chacun des deux essais est-il valide ? Justifier votre réponse.

_________________ II.2 - On souhaite déterminer la ténacité d'un acier à rotor sur une éprouvette CT. Pour cela, on

enregistre la courbe charge - déplacement jusqu'à la charge de rupture (figure II.2). Vérifier les conditions de validité de l'essai et calculer la ténacité de cet acier. Données : profondeur de fissure a = 25 mm Epaisseur B = 30 mm Largeur W = 50 mm limite d'élasticité Re = 950 MPa

_____________________

II.3 - La figure II.3 représente la courbe charge-déplacement obtenue lors d'un essai effectué sur éprouvette compacte de traction d'épaisseur 6,3 mm et de largeur 63 mm réalisée en alliage d'aluminium de limite d'élasticité Re = 550 MPa.

Cet essai permet-il de déterminer la valeur de la ténacité ? Si oui, calculer sa valeur. On rappelle que pour l'éprouvette CT, on peut calculer le facteur d'intensité de contrainte à l'aide de la formule suivante :

K PB w

aw

aw

aw

aw

aw

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

29 6 185 5 655 7 1017 638 91 2 3 2 5 2 7 2 3 2

, , , ,/ / / / /

______________ II.4 - Lors d’un essai de détermination de la ténacité, on trouve KQ = 55 MP√m. La limite d’élasticité du matériau étant égale à 690 MPa et l’épaisseur de l’éprouvette étant de 12,7 mm, indiquer si l’essai est valide. Donner la valeur maximum de la ténacité qui peut être mesurée avec une telle éprouvette.

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FIGURE II.2

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II.5 - On souhaite déterminer la ténacité d'un acier 40 NDCV 19 à partir d’une éprouvette de traction à entaille latérale d’épaisseur t = 7,5 mm et de limite d’élasticité 1600 MPa. Pour cela, on enregistre la courbe charge - déplacement jusqu'à la charge de rupture ( voir enregistrement ci - joint ) Vérifier les conditions de validité de l'essai et calculer la ténacité de cet acier. Données : longueur de fissure a = 10,44 mm largeur de l’éprouvette W = 30 mm Dans le cas d’une telle éprouvette, le facteur d’intensité de contrainte s’écrit :

K Pt W

aW

aW

aW

aW

aW1C = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 99 0 41 18 70 38 48 53 851 2 3 2 5 2 7 2 9 2

, , , , ,/ / / / /

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II.6 - Calculer la ténacité d’un matériau pour lequel on effectue un essai sur une plaque de largeur W = 500 mm, d’épaisseur B = 19 mm, contenant une fissure centrale de longueur 2a = 50 mm. Est-on en état de déformation plane ? Quel est le type de rupture observé ? rupture brutale, plastification généralisée ? Quelle est la dimension de la zone plastifiée au moment de la rupture ? AN : charge à rupture 1360 kN limite d’élasticité : 480 MPa K = βσ πa avec

β = 1 0 256 1152 12 22 3

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

, , ,aW

aW

aW

_________________

II.7 - La figure ci-dessus représente la courbe charge déplacement obtenue lors d'un essai effectué sur éprouvette compacte de traction d'épaisseur 10mm et de largeur 70mm (a=38,6mm) réalisée en alliage d'aluminium de limite d'élasticité Re=520MPa. Cet essai permet-il de déterminer la valeur de la ténacité ? Si oui, calculer sa valeur.

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II.8 Quelle est la valeur maximale de la ténacité qui peut être mesurée à l’aide d’une éprouvette d’épaisseur 25 mm pour un matériau dont la limite d’élasticité est égale à 550 MPa.

_________________ II.9 - Les résultats d’un essai de ténacité sur une éprouvette CT sont les suivants : - charge de rupture : P = 27 200 N - diagramme charge-déplacement linéaire - limite d’élasticité du matériau : Re = 690 MPa - longueur de fissure : a = 25 mm - dimensions de l’éprouvette : largeur W = 50 mm ; épaisseur B = 25 mm 1°) L’essai est-il valide ? Si oui, donner la valeur de la ténacité 2°) Quelle est la dimension de la zone plastifiée à rupture ?

_________________ II.10 – On veut déterminer la ténacité d’un acier Marval 18 de limite d’élasticité Re = 1640 MPa. L’essai a été réalisé sur une éprouvette de flexion trois points d’épaissseur B = 10 mm, de largeur W = 20 mm et de longueur initiale d’entaille égale à 5mm. Une fissure de fatigue a été produite jusqu’à atteindre la valeur a = 7,24 mm. 1°) La figure II.10 représente la courbe charge-déplacement obtenue lors de l’essai. Cet essai permet-il de déterminer la valeur de la tenacité ? 2°) Si oui, calculer sa valeur. On rappelle que pour l’éprouvette de flexion 3 points, on peut calculer le facteur d’intensité de contrainte à l’aide de la formule suivante :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2/92/72/52/32/1

80,15466,15018,8742,1858,11Wa

Wa

Wa

Wa

Wa

WBPK

B=10

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III - ZONES PLASTIFIEES III.1 - Une plaque d'acier très large, contenant une fissure de longueur 16mm est soumise à une

contrainte uniforme et perpendiculaire au plan de fissure d'intensité 350 MPa. La limite d'élasticité de l'acier étant égale à 1400 MPa, est-il nécessaire de tenir compte de la taille de la zone plastifiée lors de l'évaluation du facteur d'intensité de contrainte KI ? Justifiez votre réponse. On prendra K1 = σ π a .

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IV - METHODES ENERGETIQUES

IV.1 - La résistance à la rupture du tungstène à 228° K est de 280 MPa lorsqu'il existe des fissures de

longueur 5 cm. La limite d'écoulement à cette température est de 700 MPa. 1) En déduire les valeurs de G1C et de K1C à cette température. On suppose que G1C diminue linéairement lorsque la température décroit linéairement, la diminution étant de 0,06 J.cm-2 par 5°C. 2) Quelle est la contrainte de travail maximale admissible à 200°K si la dimension minimale d'une fissure détectable dans une structure soudée est de 2,5 cm et s'il existe des contraintes de tension résiduelles de 70 MPa sur une distance de 1,25 cm à partir des soudures. On peut supposer que les contraintes résiduelles sont parallèles à l'axe de traction. Données : E = 420 000 MPa ; ν = 0,3 On suppose que pour la géométrie envisagée K = σ πa et que l'on est en état de déformation plane.

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V - VITESSES DE FISSURATION V.1 - Des essais ont été effectués sur des plaques à entaille latérale (180 x 50 x 3 mm3). Les essais

ont été réalisés à amplitude de charge constante (ΔP = Pmax - Pmin = 5740 N) pour différentes valeurs de la charge moyenne R = Pmin / Pmax = 0 ; 0,2 ; 0,4 et 0,6.

Les figures V.1.1 et V.1.2 représentent respectivement la variation de la longueur de fissure en fonction du nombre de cycles et la variation de la vitesse de fissuration en fonction de ΔK . 1° Commentez les résultats de la figure V.1.1 en quelques mots. 2° Considérant la courbe obtenue pour R = O, déterminer les coefficients de la loi de Paris (vous ne tiendrez compte que de la partie linéaire de la courbe). 3° Un tel alliage est utilisé pour la réalisation d'un châssis de camion. La contrainte de service maximum estimée est de 120 MPa. Au cours d'une procédure d'inspection, un défaut de dimension a = 0,8 mm est détecté. Déterminer la durée de vie de la structure. Données : Limite d'élasticité Re = 200 MPa Ténacité K1C = 40 MPa m on prendra K = σ πa

____________

V.2 - Des essais de fissuration ont été effectués sur un alliage d'aluminium 7175 ( figure V.2 ).

Déterminer les coeffcients de la loi de Paris pour R = 0,1 et R = 0,7. Commenter les résultats obtenus.

Un tel alliage est utilisé dans une structure aéronautique. La contrainte de service est estimée à 200 MPa. Au cours d'une procédure d'inspection, un défaut de dimension a = 0,5 mm est détecté ; déterminer la durée de vie de la structure (pour le calcul, on prendra m = 4). Commenter vos résultats. Données : - limite d'élasticité : 417 MPa - contrainte à rupture : 500 MPa - ténacité : K1C = 35 MPa m on prendra K = σ Πa

__________________

V.3 - Un essai de fissuration a été conduit sur un acier E 550 ( figure V.3 ). Des mesures du point d'ouverture de fissure ont été effectuées durant l'essai à l'aide d'un capteur à gauges.

1°) Déterminer les coefficients de la loi de Paris ainsi que ceux de la loi d'Elber ; qu'en déduisez-vous ? Un second essai a été mené sur le même matériau dans les conditions suivantes : - essai à ΔK constant (Kmax = 33 MPa m , R = 0,1) - application d'une surcharge (Rpic = 2) - reprise de l'essai à ΔK = constant 2°) Déterminer la vitesse de fissuration - avant l'application de la surcharge - après l'application de la surcharge en appliquant un modèle de votre choix

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FIGURE V.1.1

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FIGURE V.1.2

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FIGURE V.2

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V.4 - On considère une plaque de largeur W = 500 mm contenant une entaille centrale de longueur 2a. Des essais de fissuration à amplitude constante ont été conduits. Ils donnent les résultats suivants :

a mm N cycles pour Δσ = 110 MPa, R = 0

N cycles pour Δσ = 70 MPa, R = 0,5

2,54 0 0 2,66 1 100 2 000

. . .

. . . 38,1 I k 39,4 i + 100 k + 170

1) Pour les 2 cas de chargement : construire la loi de fissuration en utilisant 2 points (on suppo-

sera que ces lois sont linéaires). En déduire les coefficients de la loi de Paris. 2) En supposant que Kc = 90 MPa m ; déterminer les coefficients de la loi de Forman. Pour cela,

on représentera les résultats sous la forme ( ) /1− −R Kc K da dNΔ en fonction de ΔK .Commenter les résultats.

3) Une structure constituée du même matériau contient une fissure de longueur initiale ao =

2,5 mm. Les conditions géométriques imposent β = 3. Cette structure est soumise à un chargement à amplitude constante (R=0 ; smax = 80 MPa). Supposant qu'un cycle de surcharge lui est imposé (Rpic = σpic /σmax = 1,5), calculer la vitesse de fissuration qui suivra l'application immédiate de la surcharge, puis celle que l'on aurait après un incrément de fissure de 0,1 mm. Pour cela, on considérera deux cas :

- utilisation d'une loi de fissuration à amplitude constante - utilisation du modèle de Wheeler Comparer et commenter les résultats obtenus. On supposera : - état de déformation plane - limite d'élasticité du matériau Re = 500 MPa - coefficient du modèle de Wheeler m' = 1,2

_________________________ V.5 - On souhaite déterminer les coefficients de la loi de Paris dans la zone affectée thermiquement

d'un cordon de soudure. La géométrie de la pièce est donnée dans la figure V.5.1. Les mesures du nombre de cycles en fonction de la longueur de fissure sont reportées sur la figure V.5.2.

1) Commenter les résultats présentés. 2) Sur une échelle bilogarithmique (figure V.5.3), on trace d(2a)/dN en fonction de DKI. Déterminer la valeur des coefficients c et m.

_____________________

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FIGURE V.3

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FIGURE V.5.1

FIGURE V.5.2

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FIGURE V.5.3

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V.6 - .On considère une plaque de grande dimension, contenant une fissure centrale, soumise à un chargement cyclique à amplitude constante (R = 0 ; Ds = 100 MPa). Pour une longueur de fissure 2a = 50 mm, une surcharge égale à 170 MPa se produit accidentellement au cours du cyclage.

1°) Quelle est la valeur de la vitesse de fissuration avant l’apparition de la surcharge

2°) Quelle est la valeur de la vitesse de fissuration qui suit immédiatement l’application de la surcharge ; calculer sa valeur pour une croissance de fissure de 0,25 mm, 0,75 mm et 1 mm.

3°) Représenter sur un schéma l’évolution présumée de la vitesse de fissuration en fonction de la longueur de fissure pour 48 mm ≤ 2a ≤ 60 mm. Donner vos commentaires.

Applications numériques :

- Etat plan de déformation

- b = 1

- coefficient du modèle de Wheeler : 1,5

- Re = 410 MPa

- da/dN = 7,25 10-13 4KΔ

la vitesse de fissuration est exprimée en m/cycle, KΔ en MPa√m _____________________

V.7 - Le facteur d'intensité de contrainte K peut être considéré comme une mesure des effets de la charge appliquée à une pièce et de la géométrie de cette pièce sur l'intensité des contraintes au voisinage d'une fissure. Lorsque la charge varie ainsi que la géométrie du fait de l'extension de la fissure, la valeur du facteur K à chaque instant permet de décrire les effets de ces variations au voisinage de la fissure. Les contraintes au voisinage d'une fissure, au cours d'un cycle de fatigue, sont connues dès lors que l'on connaît les valeurs minimale Kmin et maximale Kmax du facteur K au cours de ce cycle ; on peut en conclure que tout phénomène se produisant dans cette région est contrôlé par ces deux paramètres, en particulier la vitesse de fissuration da/dN ( a étant la longueur de la fissure et N le nombre de cycles), et on doit avoir :

( )dadN

f K K= min max, (1)

Remarquons que si l'on pose : ΔK K K

RKK

= −

=

max min

min

max

, la relation (1) peut s'écrire dadN

f K R= ( , )Δ

En fait, pour une valeur donnée de R on obtient une loi de la forme :

( )dadN

C K m= Δ (2)

L'expression de ΔK est donnée par une formule du type : ΔΔ

KP Y a

WB W

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

avec : ΔP amplitude de la variation au cours d'un cycle de la charge appliquée à l'éprouvette (ΔP - Pmax - Pmin)

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Y aW

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

fonction de la variable aW

pour un type d'éprouvette donné

B épaisseur de l'éprouvette W largeur de l'éprouvette a longueur totale de la fissure A l'aide d'une loupe binoculaire, on mesure la progression de la fissure à partir de l'entaille mécanique de faible rayon d'une éprouvette préconisée par l'ASTM et montée sur un pulsateur. Les différentes observations faites au cours du processus de fissuration permettent d'obtenir un certain nombre de couples :a (longueur de la fissure) ; N (nombre de cycles pour cette longueur). Le dépouillement des mesures ainsi que le tracé en coordonnées logarithmiques de la vitesse de fissuration da/dN en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte ΔK, permettent de déterminer les valeurs de C et de m. En effet, en coordonnées logarithmiques, la relation (2) peut s'écrire sous la forme d'une relation linéaire :

log log logdadN

C m K= + Δ

La valeur de log C est donc l'ordonnée à l'origine de la droite moyenne, passant par les

couples de points log dadN

- log ΔK, et la valeur de m est la pente de cette droite. En fait, il est

intéressant de mesurer l'abscisse log ΔKo du point correspondant à 10-4 mm/cycle, qui est située dans

le domaine de vitesse de fissuration étudié. L'expression (2) peut s'écrire alors : dadN

KK o

m

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−10 4 Δ

Δ

Des essais ont été réalisés sur une éprouvette CT(B=15mm, W= 30mm , a0=10mm). La progression de la fissure en fonction du nombre de cycles a été mesurée par une méthode optique (voir tableau de résultats). La charge appliquée est telle que ΔP = 450daN et R = 0,1.

f(mm)

2,0

2,5

2,8

3,6

4,4

5,2

nombre de cycles N

96400

120000

131800

163900

188300

207600

f(mm)

6,0

6,8

7,6

8,4

9,2

9,6

nombre de cycles N

222200

233700

242000

248300

253100

254700

1°/ Dépouiller les mesures et calculer les couples de points log logdadN

K− Δ

2°/ Tracer la courbe ( )log logdadN

f K= Δ et déterminer les paramètres m, C et log ΔKo.

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V.8 – Un essai de fatigue est réalisé sur une plaue à entaille centrale de largeur W = 150 mm et d’épaisseur B = 2,5 mm. Les résultats obtenus sont les suivants :

Longueur de fissure a (mm) Nombre total de cycles appliqués

1,27 0

5,08 24 000

10,16 54 000

17,78 68 000

25,40 74 000

50,80 77 000 Un chargement à amplitude constante ( 1,0;90 ==Δ RMPaσ ) est appliqué pour effectuer cet essai. Les caractéristiques du matériau sont les suivantes : limite d’élasticité Re = 330 Mpa Ténacité : ICK = 90 MPa m Tracer les courbes ( )Nfa = et ( )KfdNda Δ=/ . En déduire les coefficients de la loi de Paris.

_____________________ V.9 – Lors d’une expertise, on effectue un examen au microscope électronique à balayage de la surface de rupture d’une pièce rompue. Celle-ci est formée de stries dont l’espacement varie en fonction de la longueur de la fissure. Pour un grossissement de 8000, on note que l’interstrie est respectivement égal à 0,8 ; 2 et 3,8 mm pour des longueurs de fissure de 2,5 ; 5 et 7,5 mm. Pour un grossissement égal à 2000, l’interstrie est de 1,5 et 2,3 mm pour des longueurs de fissure de 10 et 12,5 mm. 1°) Donner une estimation de la vitesse de fissuration pour chaque point de mesure 2°) En déduire l’allure de la courbe de progression de la fissure a = f(N), a représentant la longueur de la fissure et N le nombre de cycles

_____________________ V.10 – On considère un composant de structure en alliage d’aluminium dans lequel se propage une fissure de fatigue. La limite d’élasticité Re de ce matériau est égale à 300 MPa. Le chargement appliqué est tel que l’amplitude du facteur d’intensité de contrainte ΔK reste constante et égale à 6 MPa m durant le cyclage ; le rapport de charge est égal à 0. Un mauvais fonctionnement conduit à l’application d’une surcharge dont la valeur est Kpic = 1,5 Kmax, Kmax représentant la valeur maximale du chargement à amplitude constante. Après la surcharge, le composant retrouve son fonctionnement normal. 1°) Si le modèle de Wheeler est utilisé et si le coefficient m de ce modèle prend pour valeur 1, sachant que les conditions de chargement qui prévalent sont des conditions de contrainte plane, de combien différera la vitesse de fissuration suivant immédiatement la surcharge de celle précédant la surcharge ? 2°) Déterminer la distance dont la fissure doit progresser après l’application de la surcharge pour retrouver la vitesse précédant la surcharge 3°) Calculer la valeur du coefficient de retard Φ pour une progression de fissure de 25 μm suivant l’application de la surcharge 4°) Discuter les limites d’une telle approche

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On rappelle :

dadN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

après surchage = dadN

amplitude constanteφ

avec φ =+ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

ra

pi

o r apo i

m

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VI - PREDICTION DE LA DUREE DE VIE

VI.1 - Un arbre cylindrique contient en surface une fissure semi-elliptique de dimensions a = c = 3

mm. La contrainte en service est égale à 300 MPa et s'exerce perpendiculairement au plan de la fissure. A chaque arrêt et démarrage de l'installation, on considère qu'il se produit deux cycles.

Les caractéristiques du matériau sont les suivantes : - limite d'élasticité, Re = 670 MPa - ténacité, K1C = 34 MNm-3/2 - loi de vitesse de fissuration, da/dN = 10-12 ΔK4 en m/cycle Pour une telle géométrie, la valeur du facteur d'intensité de contrainte est calculée de la manière suivante :

K1 2

2

1 03

2 47 0 188=

−

,

, ,

σ

σ

Πa

Re

1) Déterminer la longueur critique de fissure ac, pour laquelle se produira la rupture catastrophique. 2° Calculer le nombre de cycles conduisant à cette rupture. En déduire le nombre d'années d'utilisation prévisible de l'arbre. On supposera que la structure fonctionne 52 semaines par an et qu'il se produit un arrêt et un démarrage par semaine.

_____________ VI.2 - On considère une structure pouvant contenir des défauts dont la loi de propagation en fatigue

est la suivante ( R = 0) : da/dN = CK4 On admet que pour les défauts existants, le facteur d'intensité de contrainte se détermine de la manière suivante : K = σ πw a - σw: contrainte de service - a longueur du défaut. Avant sa mise en service, la structure est soumise à une contrainte d'épreuve σp = ασw 1) Déterminer la longueur de défaut initiale ao, tolérable après l'essai d'épreuve. 2) Calculer la taille de défaut critique en service. 3) Etablir une expression pour la durée de vie en service NR, fonction des caractéristiques du matériau, et des conditions de chargement (α, σw). En déduire qu'une sécurité plus grande peut êtreassurée dans une structure épaisse construite à l'aide d'un matériau de plus basse ténacité si les coefficients C, σw et α restent les mêmes. Justifier votre réponse. 4) Sachant que pour α = 1,5 et K1C = 80 MPa m , 1000 cycles de fatigue sont permis, déterminer la valeur de α que l'on devra choisir pour obtenir la même durée devie lorsque K1C = 100 MPa m si la contrainte de service σw reste la même.

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VI.3 - Soit à réaliser un réservoir sous pression susceptible de présenter sur sa face interne des fissures semi-circulaires de profondeur ao. L'utilisation de moyens de contrôle ordinaires permet de déceler ces fissures si ao > 0,50 mm. La mise en oeuvre de procédures plus précises, mais nettement plus onéreuses abaisse la limite de détection jusqu’à ao > 0,25 mm. On a le choix entre un acier 0,45 C-Ni-Cr-Mo recuit à 200°C et le même acier recuit à 400°C. Sachant que la contrainte de service est égale à 75 % de la limite d'élasticité, quel acier faut-il choisir ? Discuter et justifier votre choix. Plusieurs choix sont possibles.

Données :

Propriétés Acier A Acier B température de recuit 200 400 résistance à la traction (MPa) 2068 1634 Limite d'élasticité (MPa) 1634 1462 K1C (MPa m ) 41 62 loi de Paris : c 3,5 10-14 6,3 10-14 (m/cycle) : m 4 4 On rappelle que le facteur d'intensité de contrainte pour une fissure semi-circulaire dans une plaque infiniment grande en traction est :

KI= 1 03

18,

,σ πa

______________________

VI.4 - On considère une structure pouvant contenir des défauts dont la loi de propagation en fatigue

est la suivante : da/dN = 10-12ΔK4. On admet que pour les défauts existants, le facteur d'intensité de contrainte se détermine de la manière suivante : K = σ√πa, σ représentant la contrainte appliquée et a la longueur du défaut. Soumise à réglementation, cette structure doit subir, avant sa mise en service, une contrainte d'épreuve statique telle que σp = ασs 1°) déterminer la longueur de défaut initiale ao tolérable après l'essai d'épreuve 2°) calculer la taille de défaut critique en service 3°) calculer la durée de vie (nombre de cycles conduisant à la rupture brutale de la structure) Données : contrainte de service σ s = 200 MPa coefficient α = 1 5, ténacité K1C = 30 MPa m

_____________

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VI.5 - Pour réaliser une structure mécano-soudée, on désire utiliser un acier à moyenne résistance qui

possède les caractéristiques suivantes : Rp = 690 MPa K1C = 165 MPa m da/dN = 1.710-10 (ΔKI)

2.25

(m/cycle) (MPa m) Cette structure est sollicitée en fatigue, de telle sorte que que σmax = 310 MPa et σmin = 172 MPa. 1. Calculer la taille de défaut critique. 2. Si on admet que, dès le début de la durée de vie, il existe une taille de défaut initial (ao), déterminer le nombre de cycles N que peut subir la structure. Faire le calcul numérique avec ao = 7,6 mm. 3. Si on désire que la durée de vie soit au moins égale à 105 cycles, compte tenu du calcul fait précédemment, parmi les solutions suivantes, lesquelles vous paraissent les plus appropriées ? - Changer de matériau, en utilisant un acier qui a sensiblement la même loi de propagation, mais possède une ténacité plus élevée. - Réduire la taille initiale du défaut, ao, en demandant qu'un contrôle de fabrication plus sévère soit réalisé. N.B. Pour le défaut considéré, on prendra KI = 1,12 σ a

______________ VI.6 - Un cylindre à parois minces, réalisé en alliage d'aluminium (K1C = 24 MPa m ) a les dimensions

suivantes : - diamètre extérieur 90 mm - diamètre intérieur 70 mm Un piston réalise dans le cylindre une pression variant de 0 à 55 MPa au cours de chaque cycle. Une fissure semi-circulaire débouchante est découverte à l'intérieur du cylindre, orientée parallèlement à l'axe de ce dernier, de profondeur a = 1,5 mm. Sachant que la loi de Paris s'applique à la fissuration

par fatigue de cet alliage [ ]da dN m cycle K MPa mm/ ( / ) ( )= −510 15Δ , combien de cycles sera-t-il

capable de supporter avant d'être hors d'usage.

On admettra que pour une fissure semi-circulaire débouchante K1 = 2,24σaπ

_________________

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VI.7 - On considère un panneau nervuré (figure VI.7.1) soumis à un chargement périodique en mode I

(figure VI.7.2).

σ

σω= +m t

21( sin )

On suppose qu'il existe une fissure centrale et que celle-ci se propage dans la direction x1. La longueur initiale de cette fissure est de ao=20mm. Un calcul par éléments finis a été conduit pour déterminer la valeur de KI en fonction de la moitié de la

longueur de fissure, et ce pour une contrainte appliquée unitaire ( )K KI = σ 1 . On suppose que la

valeur de K1 peut être approximée linéairement par morceaux (figure VI.7.3). Le comportement à la fissuration du matériau est caractérisé par : K daN mmC1

3 2200= / / da dN C K avecCm/ ( ) , .= = −Δ 1

100 610 m = 4 da/dN exprimé en mm/cycle ; DK exprimé en daNmm-3/2 1) Calculer l'évolution de la contrainte critique de rupture en fonction de la longueur de fissure. Représenter cette évolution sur un schéma. 2) On suppose que le panneau est soumis à une variation de contraintes appliquées Ds = 14 daN/mm2. Calculer la durée de vie de la structure. En déduire une représentation de la longueur de fissure en fonction du nombre de cycles.

________________________ VI.8 - On considère la structure représentée sur la figure VI.8.1 ; elle est constituée d'une poutre AB et

de deux tendeurs AC et BD. A, B, C et D sont des articulations. La poutre AB est soumise à un chargement répété F en 2 points de la structure situés à 1/4 des articulations A et B. On suppose que les efforts dans chacune des sections de la poutre et des 2 tendeurs peuvent être déterminés par la théorie des poutres. Le matériau constituant tous les éléments de la structure est linéaire élastique.

Des fissures se sont amorcées au milieu de la poutre et des tendeurs (figure VI.8.2). On appelle at la longueur des fissures dans les tendeurs, ap celle dans la poutre. 1) Calculer les efforts dans les tendeurs ainsi que le monment de flexion dans la poutre. En vous aidant des indications portées dans l'annexe 1, en déduire les valeurs des facteurs d'intensité de contrainte dans les tendeurs et dans la poutre pour des longueurs de fissure at = ap =1mm. 2) Déterminer les longueurs de fissure critique dans la poutre (apc) et dans les tendeurs (atc) sachant que K1C= 80 MPa√m 3) Supposons que les longueurs de fissure initiales dans les tendeurs et la poutre sont telles que ato= apo= 1mm, déterminer le nombre de cycles à rupture de la structure. Pour cela, on considère que les fissures se propagent selon la loi de Paris : da/dN = C(DK)m, avec C = 10-12, m = 3, (unités : daN, mm).

34/45

FIGURE VI.8.1 FIGURE VI ;8.2

FIGURE VI .8.3

35/45

FIGURE VI.7.1 FIGURE VI.7.2

FIGURE VI.7.3

36/45

37/45

38/45

39/45

VI.9 - On considère une plaque infinie, contenant une fissure centrale de longueur 2a0, et soumise à une contrainte de fatigue s (Figure 1).

Le matériau de la plaque est élastique linéaire. Le facteur d’intensité de contrainte critique K1c est connu. La vitesse de fissuration obéit à la loi de Paris. 1°) Déterminer l’expression donnant la longueur de fissure critique ac en fonction de la contrainte maximale appliquée smax. 2°) La plaque est soumise à un chargement de fatigue à variation de contrainte Ds donnée. Pour une valeur quelconque de Ds, donner l’expression permettant de calculer la longueur de fissure a en fonction du nombre de cycles appliqués N. 3°) Le chargement 1, représenté dans la figure 2, est appliqué à la plaque. Déterminer les longueurs de fissures a1(1) er a2(1) correspondant aux nombres de cycles (n1) et (n1+n2). Lorsque le nombre de cycles (n1+n2) conduit à la rupture, déterminer les valeurs de n2, a1(1), et a2(1).

Figure 2

A.N. K1c = 40 MPa√m ; a0 = 1 mm ; n1 =106 cycles ; 501 =Δσ MPa ; 1002 =Δσ MPa coefficients de la loi de Paris : m = 4 C = 10-12 KΔ est exprimé en MPa√m ; la vitesse de fissuration en m/cycle 4°) Le chargement 2 (figure 2) est appliqué à une plaque identique. De la même façon, déterminer les longueurs de fissures a1(2) et a2(2). Considérant que le nombre de cycles (n2+n1) conduit à la rupture, déterminer les valeurs de n2, a1(2), et a2(2) en utilisant les mêmes applications numériques que précédemment. Commenter les résultats obtenus.

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VII - ENDURANCE

VII.1 - On considère le cas d'une structure contenant un joint tubulaire soudé. Le facteur de

concentration de contrainte à la jonction entretoise - membrure est égal à 1,73. Le tableau ci-dessous donne les valeurs de contraintes nominales sG dans l'entretoise à la jonction. Le nombre total de cycles correspond à une année. En appliquant la règle de Miner, déterminer la durée de vie de la structure.

DsG (N/mm2)

Nbre de cycles par an Ni

302,75 1 24 978 285,45 1 31 793 268,15 2 41 082 250,8 3 54 001 233,6 6 72 384 216,2 13 994 427 199,0 27 139 685 181,6 62 202 831 164,3 144 305 734 147,0 347 482 385 129,8 878 805 860 112,4 2 359 1 448 993 95,10 6 776 2 874 246 77,80 20 775 6 543 945 60,50 70 040 1,83x107 43,25 265 565 7,28x107 25,90 1 202 496 5,92x108 8,60 2 068 979 5,35x1010

____________________ VII.2 - Des essais de fatigue oligocyclique ont été réalisés sur des joints soudés en croix réalisés en acier E 36 dont les caractéristiques sont les suivantes : 50 Base de mesure

E = 195000 MPa Re = 420 MPa Rm = 570 MPa Les essais ont été réalisés sous amplitude de déformation imposée

largeur éprouv. : 60

12

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Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous. L'essai a été arrêté lorsqu'une chute de charge de 50 % a été décelée. 1°/ Déterminer les courbes de Manson Coffin 2°/ Tracer la courbe d'écrouissage cyclique.

Δε t

2%

Δεe

2%

Δε p

2%

Δσ2

MPa N

0,151 0,216 0,245 0,246 0,255 0,260 0,402 0,570 0,565 0,570 0,586 0,628 0,739 0,861 0,995 1,001 1,016 1,013 1,601 1,626 1,627 1,641

0,116 0,131 0,137 0,140 0,140 0,140 0,147 0,180 0,186 0,179 0,172 0,185 0,190 0,216 0,203 0,208 0,203 0,207 0,220 0,229 0,233 0,226

0,035 0,085 0,108 0,106 0,115 0,120 0,255 0,390 0,379 0,391 0,414 0,443 0,549 0,645 0,792 0,793 0,813 0,806 1,381 1,397 1,394 1,415

225 255 267 273 272 273 285 349 362 349 335 360 370 420 394 404 394 403 428 446 454 439

46520 17000 13150 9316 7911 10570 4460 1379 1315 1789 1751 820 563 388 452 503 592 465 99 110 165 108

____________________

VII.3 - On considère un acier 25CD4 pour lequel on souhaite déterminer la limite d’endurance. Pour ce faire, on dispose de 45 éprouvettes que l’on sollicite en flexion rotative. Une première estimation de la limite d’endurance la situe à 340 MPa environ. La méthode de l’escalier est utilisée.

1) Donnez vos commentaires sur cette méthode de détermination.

Le tableau ci-dessous récapitule les résultats des essais en donnant dans l’ordre des essais réalisés la contrainte appliquée ainsi que le résultat obtenu : rupture (R) ou non rupture (NR).

2) Déterminer la valeur de la limite d’endurance.

Ordre des

essais

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Contrainte

340 360 340 320 340 360 340 360 340 320 340 320 340 320 340

NR R R NR NR R NR R R NR R NR R NR NR

42/45

Ordre 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Contrainte

360 340 360 340 360 340 360 340 320 340 360 340 320 340 360

R NR R NR R NR R R NR NR R R NR NR R

Ordre 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Contrainte

340 360 340 320 340 320 300

320 340 320 340 320 340 320 340

NR R R NR R R NR NR R NR R NR R NR R

Les contraintes sont exprimées en MPa.

____________________ VII.4 - On souhaite déterminer l’influence d’un traitement thermique sur les propriétés mécaniques d’un acier type 35NiCrMo16. On considère deux traitements thermiques différents, notés A et B et définis comme suit :

- austénitisation à 875°C pendant ½ heure dans les 2 cas, - puis pour A : refroidissement air + trempeà -196°C + revenu 200°C 2 heures pour B : refroidissement air.

I - Des essais de traction monotone et de fatigue oligocyclique sont effectués. Les résultats obtenus, représentés dans les courbes 1 et 2, permettent de tracer les courbes d’écrouissage cyclique et monotone. Quel est votre commentaire ; déterminer les valeurs des limites d’élasticité monotones et cycliques pour chacun des états. II - Les résultats des essais de fatigue oligocyclique obtenus pour l’état A à amplitude de déformation imposée sont données dans le tableau ci-dessous. Les valeurs des amplitudes de déformation élastique et plastique ont été déterminées au 50ième cycle pour chaque niveau de déformation

Δεt/2 (%) Δεp/2 (%) Δεe/2 (%) Nf 1,7 0,76 0,94 117

1,61 0,66 0,95 154 1,31 0,43 0,88 258 1,09 0,25 0,84 599 0,84 0,11 0,73 1320 0,69 0,04 0,65 2295 0,66 0,03 0,63 2528 0,57 0,01 0,56 9094 0,46 0,46 35000 0,40 0,40 420000

Tracer les courbes d’amplitude de déformation totale, plastique et élastique en fonction de la durée de vie Montrer que la durée de vie est liée aux amplitudes de déformation par une loi de la forme

bR

fe NE

)2(2

σε=

Δ et c

Rf N )2('2

εε ρ =

Δ

Déterminer les valeurs des coefficients et des exposants

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III - Le diagramme de Goodman de l’acier 35NiCrMo16 traité à 1300 MPa est donné dans la figure 3. Déterminer la limite de fatigue pour une contrainte moyenne nulle et pour une contrainte moyenne de 1000 MPa.

Figure 1 Figure 2

Figure 3

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VII.5 - Des essais ont été effectués sur une plaque soudée afin de déterminer la courbe de Wöhler ; pour une probabilité de rupture égale à 50% et pour un rapport de contrainte R égal à 0 (R = Pmin/Pmax), les résultats suivants ont été obtenus :

σmax (MPa) 189 182 161 131 107 Nf (cycles) 1.104 3.104 1.105 3.105 1.106

1) Tracer un diagramme σmax /log N et utiliser une régression linéaire (vous pouvez aussi tracer

cette droite à la main). Déterminer les coefficients de la loi correspondante. 2) En utilisant une loi d’endommagement linéaire (loi de Miner), déterminer le nombre de

séquences de chargement que la plaque pourra supporter avant de rompre sachant qu’une séquence de chargement contient les niveaux de chargement suivants avec le nombre de cycles indiqué :

σmax (MPa) 120 150 180 160 140 n (cycles) 100 50 20 40 60

Commentez les résultats obtenus et discutez de leur fiabilité