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Chapitre :

Fonctions plusieurs variables - Caclul différentiel et dérivées partielles.

Leçon 1

1. Dérivées partielles

1.1. Cas des fonctions numériques.

Soit et et

Définition 1 (dérivée partielle).

On dira que admet en une dérivée partielle par rapport à pour un certain si et seulement si la ième application partielle associée à au point est dérivable en (au sens classique dans ) :

Est dérivable en i.e. :

l

Cette limite quand elle existe est notée :

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Définition 2 (dérivée directionnelle).

Soit un vecteur normé de et soit la droite avec .

Pour assez petit on définit ; . Pour fixé :

est la dérivée « directionnelle » au point dans la direction

Définition 3 (dérivée directionnelle).

Soit alors la dérivée partielle par rapport à la coordonnée de au

point quand elle existe est égale à la dérivée selon la direction :

l

Définition 4 (fonction de classe ).

Pourvu que admette des dérivées partielles premières et en tout point de , sera dite , si

existent et sont continues.

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Exemples : 1.

l

2.

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3.

4. ;

5. est une forme quadratique définie par :