cours champs de scalaires et de...
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CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS
1. LES SYSTÈMES DE COORDONNÉES
1.1 Coordonnées cartésiennes
y
x
z
M
m
Ox
y
z
dy
dz
dx
xe
yeze
M ′
Dans le repère orthonormé direct ),,,( zyx eeeO
rrr, le vecteur position s’écrit :
========→→→→
OMrr
zyx ezeyexrrr
++++++++ , où x (abscisse), y (ordonnée) et z (cote) sont les coordonnées
cartésiennes du point M.
Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :
• si x varie de dx, le point matériel se déplace de dx selon le vecteur xer
;
• si y varie de dy, le point matériel se déplace de dy selon le vecteur yer
:
• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur zer
.
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dx, dy, dz de ses coordonnées x, y, z, le vecteur position varie de zyx ezeyexr
rrrrdddd ++++++++====
Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
volume en coordonnées cartésiennes : zyx dddd3 ====VVVV . Le volume d’un domaine compact (D)
de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∈∈∈∈∈∈∈∈
========)()(
3 ddddDPDP
zyxVV
On balaie l’espace entier en prenant 3R),,( ∈zyx
1.2 Coordonnées cylindriques
θ reθe
y
x
z
M
m
O
zdz
dr
ze
M ′θd
θdr
θdr
On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe ( rer
, θer
, zer
)
attachée au point M, définie de la manière suivante :
Si m est le projeté orthogonal de M sur le plan xOy, rer
(vecteur radial)r
Om→
= avec →
= Omr .
θ est l’angle orienté ( xer
, rer
) dans le plan xOy, θer
(vecteur orthoradial) se déduit alors de rer
d’une rotation de 2π+ autour de Oz. ze
r complète le trièdre direct.
r (rayon polaire), θ (angle polaire) et z (cote) sont les coordonnées dans la base ( rer
, θer
, zer
) du
point M.
Le vecteur position s’écrit donc zr ezerOMrrrr
++++========→→→→
(attention : r n’est pas ici la norme du
vecteur position).
Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :
• si r varie de dr, le point matériel se déplace de dr selon le vecteur rer
;
• si θ varie de dθ, le point matériel se déplace de rdθ selon le vecteur θer
;
• si z varie de dz, le point matériel se déplace de dz selon le vecteur zer
.
remarque : dθ étant infiniment petit, l’arc de cercle de longueur rdθ se confond en fait avec un segment rectiligne.
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, dθ, dz de ses coordonnées r, θ, z, le vecteur position varie de zr ezererr
rrrrddθdd ++++++++==== θθθθ
Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
volume en coordonnées cylindriques : zrr dddd3 θθθθ====V . Le volume d’un domaine compact (D)
de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∈∈
==)()(
3 ddθddDPDP
zrrVV
On balaie l’espace entier en prenant [ [ [ ] R,2,0,,0 ∈π∈θ+∞∈ zr
1.3 Coordonnées sphériques
θ
er
eθ
eϕ
y
x
z
M
mO
r
H
r
eθ
re
eϕ
θ
m
MH
O
λ
z
méridien
parallèle
On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe ( rer
, θer
, ϕer
)
attachée au point M, définie de la manière suivante :
rer
(vecteur radial)r
OM→
= avec rOMrr
==→
.
θ est l’angle orienté ( zer
, rer
) dans le plan (O, zer
, rer
), θer
(vecteur orthoradial) est alors un
vecteur du plan vectoriel ( zer
, rer
) se déduisant de rer
d’une rotation de 2π+ .
ϕer
complète le trièdre direct. C’est un vecteur du plan vectoriel ( xer
, yer
) car il est orthogonal à
zer
.
r (rayon), θ (colatitude) et ϕ (azimut) sont les coordonnées dans la base ( rer
, θer
, zer
) du point
M.
Pour visualiser les directions de θer
et ϕer
, on peut tracer la sphère de centre O et de rayon r.
θer
est alors porté par un méridien et reϕ par un parallèle. Ces références au repérage d’un
point à la surface de la Terre sont précisément à l’origine du nom colatitude porté par l’angle θ
(la latitude λ est l’angle (→
Om , rer
), on a donc λ+π=θ2
, comme on peut le voir sur la figure
représentant le plan méridien.
Le vecteur position s’écrit donc rerOMrrr
========→→→→
(r est bien ici la norme du vecteur position).
Déplacement élémentaire du point passant de M à M′ infiniment voisin :
θ
re
θe
z
m
O
r
y
x
M ′Mϕd
θdr
ϕθdsinr
θd
θsinr
dr
ϕe
ϕe
• si r varie de dr, le point matériel se déplace de dr selon le vecteur rer
;
• si θ varie de dθ, le point matériel se déplace de rdθ selon le vecteur θer
;
• si ϕ varie de ϕd , le point matériel se déplace de rsinθdϕ selon le vecteur ϕer
.
Sous l’effet d’une variation infinitésimale dr, dθ, dϕ de ses coordonnées r, θ, ϕ, le vecteur position varie de ϕϕϕϕθθθθ ϕϕϕϕ++++++++==== erererr r
rrrrdθsindθdd
Le parallélépipède représenté sur la figure ci-dessus permet de calculer l’élément différentiel de
volume en coordonnées sphériques : ϕϕϕϕθθθθθθθθ==== dddsind 23 rrV . Le volume d’un domaine
compact (D) de l’espace est donc : ∫∫∫∫∫∫∈∈
ϕθ==)(
2
)(
3 ddθdsindDPDP
rrVV
V3d étant positif, on balaie l’espace entier en prenant [ [ [ ] [ ]π∈ϕπ∈θ+∞∈ 2,0,,0,,0r
2. DÉFINITIONS DES CHAMPS ET OPÉRATIONS
2.1 Définitions
Un champ de scalaires (par exemple un champ de températures) est défini en un point M et à un instant donné t par :
),(),(
RR4
tMVtM
V
a
→ , soit, en coordonnées cartésiennes : ),,,(),,,(
RR4
tzyxVtzyx
V
a
→
Un champ de vecteurs (par exemple un champ de forces) est défini par :
),(),(
RR 34
tMAtM
A
ra
r
→ , soit, en coordonnées cartésiennes : ),,,(),,,(
RR 34
tzyxAtzyx
A
ra
r
→
Ces champs peuvent n’être définis que dans un domaine restreint de l’espace.
Un champ est uniforme s’il est indépendant du point M, ce que l’on peut noter selon le type de
champs 0=∂∂MV
ou 0r
r
=∂∂MA
. Par exemple en coordonnées cartésiennes, on a pour un champ
uniforme 0=∂∂=
∂∂=
∂∂
zV
yV
xV
ou 0r
rrr
=∂∂=
∂∂=
∂∂
zA
yA
xA
avec
∂∂∂
∂∂
∂
=∂∂
xAx
Ax
A
xA
z
y
x
r
On peut représenter en quelques points un champ vectoriel uniforme à deux instants différents :
1t 2t
Un champ est stationnaire (ou permanent ) s’il garde la même valeur en un point M donné au
cours du temps, soit 0====∂∂∂∂∂∂∂∂
tV
ou 0r
r
====∂∂∂∂∂∂∂∂
tA
avec en coordonnées cartésiennes
∂∂∂
∂∂
∂
=∂∂
tAt
At
A
tA
z
y
x
r
On peut représenter en quelques points un champ vectoriel stationnaire à deux instants différents :
1t 2t
2.2 Lignes, tubes et cartes de champ pour un champ de vecteurs
À un instant t fixé, une ligne de champ relie les points M tels que le champ ),( tMAr
soit
tangent à la ligne. On l’oriente dans le sens du champ.
ligne de champà t),( 1 tMA
),( 2 tMA
1M
2M
Si on note →
OMd un déplacement élémentaire le long d’une ligne de champ, →
OMd est
colinéaire au M à ),( tMAr
, soit 0),(drr
====∧∧∧∧→→→→
tMAOM , ce qui fournit un système d’équations différentielles permettant de trouver l’équation d’une ligne de champ.
ligne de champà t
M),( tMA→
OMd
Par exemple pour un champ à deux dimensions en coordonnées cartésiennes :
),,(d
),,(d
0
0
0
0
),,(
),,(
0
d
d
tyxAy
tyxAx
tyxA
tyxA
y
x
yxy
x
=⇔
=
∧
Un ensemble de lignes de champ passant par un réseau de points donnés constitue une carte de champ .
carte de champ à t
L’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé γ constitue un tube de champ (c’est donc une surface).
tube de champ à t
2.3 Opérations sur les vecteurs
Produit scalaire dans une base orthonormée ),,( 321 eeerrr
:
332211),cos( BABABABABABAV ++++++++========⋅⋅⋅⋅====rrrrrr
Produit vectoriel dans une base orthonormée directe ),,( 321 eeerrr
, où 3er
est orientée dans le
sens de déplacement d’un tire-bouchon quand on tourne de 1er
vers 2er
:
−−−−−−−−−−−−
====
∧∧∧∧
====∧∧∧∧====
1221
3113
2332
3
2
1
3
2
1
BABA
BABA
BABA
B
B
B
A
A
A
BACrrr
Cr
est orthogonal à Ar
et à Br
, tel que ( Ar
,Br
,Cr
) soit direct et
θ⋅⋅=⋅⋅= sin),sin( BABABACrrrrrrr
θ+
+
A
B
C θ
A
B h S
S
Or l’aire S du parallélogramme formé par Ar
et Br
vaut hA ⋅=r
S (base × hauteur), soit :
θ⋅⋅= sinBArr
S , donc la norme du produit vectoriel BArr
∧∧∧∧ est l’aire du parallélogramme
formé par Ar
et Br
.
Double produit vectoriel : )( CBArrr
∧∧ est orthogonal à CBrr
∧ . Il est donc dans le plan
vectoriel généré par Br
et Cr
, soit CBCBArrrrr
γ+β=∧∧ )( . On retient alors facilement la formule :
)()()( BACCABCBArrrrrrrrr
⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====∧∧∧∧∧∧∧∧
Un produit mixte CBACBArrrrrr
⋅⋅⋅⋅∧∧∧∧==== )(),,(déf
est invariant par permutation circulaire :
ACBBACCBACBArrrrrrrrrrrr
⋅∧=⋅∧=⋅∧= )()()(),,(
2.4 Circulation d’un champ de vecteurs
On définit la circulation d’un champ de vecteur à un instant t si le champ n’est pas stationnaire. On omettra le temps t dans ),( tMA
r pour ne pas alourdir les notations.
Considérons un déplacement élémentaire →
OMd à partir du point M. Par définition, la circulation élémentaire du champ de vecteurs )(MA
r le long de
ce déplacement élémentaire est →→→→
⋅⋅⋅⋅====δδδδ OMMA d)(r
CCCC
Attention ! ce n’est pas a priori une différentielle, c’est-à-dire la variation élémentaire d’une
fonction de l’espace f(M) : )()(d MfMff −′=≠δC avec →→
=′ OMMM d
Exemple : le travail élémentaire d’une force )(MFr
s’exerçant sur un point matériel qui se
déplace de →
OMd est une circulation : →
⋅=δ OMMFW d)(r
.
Circulation d’un champ de vecteurs le long d’un con tour orienté γγγγ :
∫∫∫∫→→→→γγγγ
→→→→ ⋅⋅⋅⋅====2
1
21d)(
M
MMM OMMA
rCCCC , qui dépend a priori du chemin γ choisi pour aller de 1M à 2M .
M
→OMd
)(MA
1M2M
On a en conséquence γ→
γ→ −=
1221 MMMM CC
Si le contour γ est fermé, on note ∫γ
→γ ⋅= OMMA d)(
rC , circulation a priori 0≠
M
→OMd
)(MA
M′
2.5 Flux d’un champ de vecteurs
On définit le flux d’un champ de vecteur à un instant t si le champ n’est pas stationnaire. On omettra le temps t dans ),( tMA
r pour ne pas alourdir les notations.
Considérons une surface élémentaire S2d autour d’un point M.
Cette surface est limitée par un contour élémentaire fermé γ dont l’orientation détermine grâce à la règle du tire-bouchon celle du
vecteur surface Sr
2d (de norme S2d , orthogonal à l’élément de
surface).
Le flux élémentaire du champ )(MAr
à travers S2d est la
grandeur orientée SSSS
rr22 d)(d ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ MA
Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface f inie.
• Si la surface s’appuie sur un contour fermé γ orienté, on a par définition :
∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ
⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ)(
2d)(SSSS
SSSS SSSS
rrMA , qui dépend a priori de la surface S choisie s’appuyant sur γ. Comme la
figure ci-dessous le montre, les vecteurs surface élémentaires sont orientés dès que le contour γ l’est.
S2d
)(γS
+
+M
+)(MA
• Si la surface S est fermée, tous les vecteurs surface élémentaires sont orientés par
convention de l’intérieur vers l’extérieur , et on note ∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦSSSS
SSSS SSSS
rr2d)(MA .
S
S2d+
+
S2d
fermée
M
S2d
S2d
)(MA
3. LES OPÉRATEURS LINÉAIRES
3.1 Gradient
Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de scalaires V(M). Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes :
VV→
→
→
grad
RR 3grad
a
avec
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
====→→→→
zV
yVxV
Vgrad sur la base ),,( zyx eeerrr
.
Remarque : on introduit parfois l’opérateur « nabla » noté ∇∇∇∇r
dont l’expression en coordonnées
cartésiennes est
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
====∇∇∇∇
z
y
xr
si bien que VV ∇=→ r
grad .
Lorsque l’on passe du point M(x,y,z) au point )d,d,d( zzyyxxM +++′ infiniment voisin, la
fonction V varie de →→
⋅=∂∂+
∂∂+
∂∂= OMVz
zV
yyV
xxV
V dgraddddd .
Cette relation fournit la définition intrinsèque (indépendante du système de coordonnées
choisi) de l’opérateur V→
grad : lors d’un déplacement élémentaire →
OMd , V varie de dV, avec :
→→→→→→→→⋅⋅⋅⋅==== OMVV dgradd
Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :
puisque zr ezererrrr
ddθdOMd ++= θ
→, on a :
→→⋅=
∂∂+θ
θ∂∂+
∂∂=
∂∂+θ
θ∂∂+
∂∂= OMVz
zV
rV
rr
rV
zzVV
rrV
V dgraddd1
ddddd , d’où :
∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
====→→→→
zV
Vr
rV
V1
grad sur la base ),,( zr eeerrr
θ .
Expression dans un système de coordonnées sphérique s :
puisque =→
OMd ϕθ ϕ++ ererer rrrr
dθsindθd , on a :
→→⋅=ϕθ
ϕ∂∂
θ+θ
θ∂∂+
∂∂=ϕ
ϕ∂∂+θ
θ∂∂+
∂∂= OMVr
Vr
rV
rr
rVVV
rrV
V dgraddsinsin1
d1
ddddd , d’où :
ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
====→→→→
Vr
Vr
rV
V
sin1
1grad sur la base ),,( ϕθ eeer
rrr.
Interprétation physique de l’opérateur →→→→
grad :
V→
grad « mesure » les variations spatiales locales de V : plus V varie fortement au voisinage
de M, plus V→
grad est grand.
Le vecteur V→
grad indique dans quelles direction et sens varie localement V.
3.2 Rotationnel
Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de vecteurs )(MAr
. Donnons d’abord son
expression en coordonnées cartésiennes :
AAr
ar →
→
→
rot
RR 3rot
3 avec
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
−−−−∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∧∧∧∧
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
====→→→→
yA
x
AxA
zA
z
A
yA
A
A
A
z
y
x
A
xy
zx
yz
z
y
x
rrot sur la base ),,( zyx eee
rrr.
Remarque : AArrr
∧∇=→rot
Pour donner une définition intrinsèque de Ar→
rot , on calcule la circulation élémentaire de Ar
le long d’un contour fermé. Ce contour étant élémentaire, peu importe sa forme : on choisit un rectangle de côtés dx et dy.
y
x
z
M
m
Ox
y
z
dydx
xe
yeze
2M1M
3M
zeyxddd2 =S
→→→→⋅+⋅+⋅+⋅=δ MMMAMMMAMMMAMMMA 333222111
2 )()()()(rrrr
C or →→
⋅=⋅ 111 )()( MMMAMMMArr
puisque xexMMr
d1 =→
est déjà d’ordre 1 en dx. De même →→
⋅=⋅ 212211 )()( MMMAMMMArr
. On a
donc [ ] [ ] yx eyMAMAexMAMArrrrrr
d)()(d)()( 32212 ⋅−+⋅−=δ C
yxyA
x
Ayx
x
Axy
yA xyyx dddddd2
∂∂−
∂∂
=
∂∂
+
∂∂−=δ C
Finalement SCrrrrrr
22 drotddrotddrot ⋅=⋅=
⋅
=δ
→→→AeyxAyxeA zz
Cette relation fournit la définition intrinsèque de l’opérateur →→→→rot : soit le champ vectoriel A
r
quelconque : )(
RR 33
MAM
A
ra
r
→ . On considère un contour élémentaire orienté γ , au
voisinage du point M, et Sr
2d le vecteur surface élémentaire d’une surface
quelconque s’appuyant sur le contour. Soit C2δ la circulation de A
r sur ce
contour. On a alors : SSSSCCCC
rr22 drot ⋅⋅⋅⋅====δδδδ
→→→→A .
Théorème de Stokes
On obtient la forme intégrale de cette relation, appelée théorème de Stokes, en découpant une surface quelconque S s’appuyant sur un contour fermé γ en surfaces élémentaires. On considère deux de ces surfaces élémentaires voisines (elles possèdent un bout de contour commun) autour de 1M et 2M .
M
S2d
S2d
)(γS
1M 2M
C2δ
12Cδ
22Cδ
circulation totale nulle
surfaceque l’on découpe en surfaces élémentaires
Les contours élémentaires sur lesquels elles s’appuient sont orientés dans le même sens que γ, si bien que la circulation sur le segment commun est comptée avec des signes opposés dans
le calcul des circulations élémentaires 1 2Cδ et 2
2Cδ . La circulation C
2δ sur le contour qui
entoure les deux surfaces élémentaires vaut donc :
2 2
21 2
12 2
1 22 d))(rot(d))(rot( SSCCC
rrrrMAMA
→→+=δ+δ=δ .
En sommant les circulations sur tous les contours élémentaires, on obtient le théorème de Stokes :
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ
→→→→
γγγγ
→→→→⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
)(
2drotdSSSS
Srrr
AOMA
la circulation du champ Ar
sur un contour fermé γ est
égale au flux de Ar→
rot sur une surface quelconque )(γS s’appuyant sur γ.
Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur rotationnel, on trouve après calculs les
expressions de Ar→
rot dans d’autres systèmes de coordonnées.
Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :
[[[[ ]]]]
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
====
θθθθ
θθθθ
→→→→
r
zr
z
ArA
rr
rA
zA
zAA
r
A
1
1
rotr
sur la base ),,( zr eeerrr
θ .
Expression dans un système de coordonnées sphérique s :
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−
ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ
ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−θθθθ
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ
====
θθθθ
ϕϕϕϕ
θθθθϕϕϕϕ
→→→→
r
r
ArA
rr
rArr
Ar
AA
r
A
1
1sin1
sinsin1
rotr
sur la base ),,( ϕθ eeerrrr
.
M
S2d
)(γS
Interprétation physique de l’opérateur →→→→rot :
De SCrr
22 drot ⋅=δ→
A , on déduit que Ar→
rot permet de quantifier le caractère tourbillonnaire d’un champ au voisinage d’un point M.
Prenons l’exemple d’un champ localement radial,
0rot02rr
=⇒=δ→
AC , alors que pour un champ
orthoradial 0rotrr
≠→
A
3.3 Divergence
Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de vecteurs )(MAr
. Donnons d’abord son
expression en coordonnées cartésiennes :
AAr
ar
div
RRdiv
3 → avec z
Ay
A
xA
A
A
A
z
y
x
A zyx
z
y
x
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
++++∂∂∂∂
∂∂∂∂====
⋅⋅⋅⋅
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
====r
div
Remarque : AArrr
⋅∇=div
Pour donner une définition intrinsèque de Ar
div , on calcule le flux de Ar
à travers une surface
fermée élémentaire entourant un volume V3d . Ce volume étant élémentaire, peu importe sa
forme : on choisit un parallélépipède de côtés dx, dy et dz. On a donc zyx dddd3 =V
y
x
z
Ox
dy
dz
dx
xeye
ze
zeyxdd
zeyxdd−
yezxdd− yezxdd
xezydd
xezydd−
[ ] [ ] [ ] zyx eyxzAzzAezxyAyyAezyxAxxArrrrrrrrr
dd)()d(dd)()d(dd)()d(d3 ⋅−++⋅−++⋅−+=Φ soit :
zyxz
Ay
A
xA
yxzz
Azxy
y
Azyx
xA zyxzyx ddddddddddddd3
∂∂+
∂∂
+∂
∂=⋅
∂∂+⋅
∂∂
+⋅
∂∂=Φ
MM
0)(rotrr
=
→MA 0)(rot
rr≠
→MA
Finalement V33 ddivd A
r=Φ
Cette relation fournit la définition intrinsèque de l’opérateur div : soit le champ vectoriel Ar
quelconque : )(
RR 33
MAM
A
ra
r
→ . On considère une surface élémentaire fermée entourant le point M.
On note V3d le volume élémentaire à l’intérieur de cette surface. Soit Φ3d la flux de A
r à
travers cette surface. On a alors : VVVV33 ddivd A
r====ΦΦΦΦ .
Théorème de Green-Ostrogradski
On obtient la forme intégrale de cette relation, appelée théorème de Green-Ostrogradski, en découpant un volume V à l’intérieur d’une surface fermée S en volumes élémentaires.
)(SV
S
flux total nul
volumeque l’on découpe en volumes élémentaires
1M 2M+ +
13d Φ
23d Φ
Φ3d
On considère deux de ces volumes élémentaires voisins (ils possèdent une surface commune) autour de 1M et 2M . Les surfaces élémentaires entourant ces volumes sont orientées de
l’intérieur vers l’extérieur, si bien que le flux à travers la surface commune est compté avec des
signes opposés dans le calcul des flux élémentaires 13d Φ et 2
3d Φ . Le flux Φ3d à travers la
surface qui entoure les deux volumes élémentaires vaut donc :
2 3
21 3
123
133 )d)((div)d)((divddd VV MAMA
rr+=Φ+Φ=Φ
En sommant les flux à travers toutes les surfaces élémentaires, on obtient le théorème de Green-Ostrogradski :
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ====⋅⋅⋅⋅)(
32 ddivdSSSSVVVVSSSS
VVVVSSSS AArrr
le flux du champ Ar
à travers une surface fermée S est égal à l’intégrale de A
rdiv sur le volume )(SV à l’intérieur
de S .
M)(SV
S
V3d
Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur divergence, on trouve après calculs les expressions de A
rdiv dans d’autres systèmes de coordonnées.
Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :
[[[[ ]]]]z
AAr
rArr
A zr ∂∂∂∂
∂∂∂∂++++θθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂==== θθθθ11
divr
Expression dans un système de coordonnées sphérique s :
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]ϕϕϕϕ∂∂∂∂
∂∂∂∂θθθθ
++++θθθθθθθθ∂∂∂∂
∂∂∂∂θθθθ
++++∂∂∂∂∂∂∂∂==== ϕϕϕϕ
θθθθA
rA
rAr
rrA r sin
1sin
sin11
div 22
r
Interprétation physique de l’opérateur div :
De V33 ddivd A
r=Φ , on déduit que A
rdiv permet de quantifier le caractère divergent d’un
champ au voisinage d’un point M.
Prenons l’exemple d’un champ localement radial et divergent, 0div0d3 >⇒>Φ Ar
, alors que
pour un champ localement radial et convergent 0div <Ar
et que pour un champ localement
uniforme 0div =Ar
M
S
M
S
0))((div >MA 0))((div <MA 0))((div =MA
M
S
3.4 Laplacien
Cet opérateur linéaire s’applique à un champ de scalaires V(M) ou à un champ de vecteurs )(MA
r.
• Appliqué à un champ scalaire : VV ∆∆∆∆
→→→→∆∆∆∆
a
RR
Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes : 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆
Remarque : )( VV ∇⋅∇=∆rr
On a donc
====∆∆∆∆
→→→→VV graddiv , ce qui constitue la définition intrinsèque du laplacien de V.
Grâce à la définition intrinsèque de l’opérateur laplacien scalaire, on trouve les expressions de V∆ dans d’autres systèmes de coordonnées.
Expression dans un système de coordonnées cylindriq ues :
2
2
2
2
211
z
VV
rrV
rrr
V∂∂∂∂∂∂∂∂++++
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆ ou 2
2
2
2
22
2 11
z
VV
rr
VrV
rV
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆
Expression dans un système de coordonnées sphérique s :
2
2
2222
2 sin
1sin
sin
11
ϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ++++
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂θθθθ
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂====∆∆∆∆ V
r
V
rrV
rrr
V .
On peut utiliser [[[[ ]]]]rVrrr
VrV
rrV
rrr 2
2
2
22
2121
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
• Appliqué à un champ vectoriel : AAr
ar
∆∆∆∆
→→→→∆∆∆∆
33 RR
Donnons d’abord son expression en coordonnées cartésiennes :
∆∆∆∆
∆∆∆∆∆∆∆∆
====∆∆∆∆
z
y
x
A
A
A
Ar
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
====
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
A
y
A
x
A
z
A
y
A
x
A
z
A
y
A
x
A
zzz
yyy
xxx
sur la base ),,( zyx eeerrr
.
Remarque, on peut trouver également la notation Arr
∆
On en déduit après calcul la définition intrinsèque : [ ]
−=∆
→→→AAArrr
rotrotdivgrad , qui permet
de trouver l’expression de Ar
∆ dans d’autres systèmes de coordonnées.
Expression dans un système de coordonnées cylindriques et sphériques :
Attention !
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
≠≠≠≠∆∆∆∆ θθθθ
z
r
A
A
A
Ar
sur la base ),,( zr eeerrr
θ et
∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆
≠≠≠≠∆∆∆∆
ϕϕϕϕ
θθθθ
A
A
A
Arr
sur la base ),,( ϕθ eeerrrr
.
L’expression la plus générale est lourde et très rarement utilisée. En revanche on calcule plus facilement A
r∆ dans des cas particuliers. Par exemple en coordonnées sphériques, si
ϕϕ θ= erAArr
),( :
[ ]
−=∆
→→→AAArrr
rotrotdivgrad avec 0div =Ar
et
[ ][ ]
=θθ
==
∂∂−
θθ∂
∂θ
=
ϕ
θϕ
ϕ
→
0
),(
),(
0
1
sinsin1
rot
a
ra
ra
arArr
Ar
Ar
rr.
Alors
[ ] [ ] [ ]
θθ∂
∂θθ∂
∂−∂∂−
=
θ∂∂−
∂∂
ϕ∂∂
θ
ϕ∂∂−
θ
=
ϕϕθ
θ
→
sinsin111
0
0
1
sin1
sin1
rot
2
2A
rrrA
rr
ara
rr
ar
ar
a
r
rr.
Finalement, dans ce cas, on a [ ] [ ] ϕϕϕ
θθ∂
∂θθ∂
∂+∂∂=∆ eA
rrA
rrA
rrsin
sin111
22
2
3.5 Formules utiles
Les formules intrinsèques suivantes peuvent être par exemple démontrées en coordonnées cartésiennes.
• 0gradrotr
====
→→→→→→→→V
• 0rotdiv ====
→→→→Ar
• AVAVAVrrr
⋅⋅⋅⋅++++====→→→→
graddiv)div(
• AVAVAVrrr
∧∧∧∧++++====→→→→→→→→→→→→
gradrot)(rot
• BAABBArrrrrr →→→→→→→→
⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====∧∧∧∧ rotrot)(div
• [[[[ ]]]] AAArrr
∆∆∆∆−−−−====
→→→→→→→→→→→→divgradrotrot (définition intrinsèque du Laplacien vectoriel)
Deux théorèmes intégraux dérivés respectivement des théorèmes de Stokes et de Green-Ostrogradski peuvent être démontrés en utilisant les formules ci-dessus :
• ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫γγγγ
→→→→
γγγγ
→→→→∧∧∧∧====⋅⋅⋅⋅
)(
2 gradddSSSS
SSSS VOMVr
• ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫→→→→
====⋅⋅⋅⋅)(
32 dgraddSSSSVVVVSSSS
VVVVSSSS VVr
3.6 Théorème de Helmholtz
Ce théorème assure l’unicité d’un champ de vecteurs dont on connaît le rotationnel et la divergence en tout point M d’un volume V contenu dans une surface fermée S , à condition que l’on connaisse les conditions aux limites : NPA
rr⋅)( en tout point de S , où N
r est la
normale extérieure à S en P.
Pour un champ scalaire , le théorème de Helmholtz assure l’unicité de V(M) dont on connaît le laplacien en tout point M de V à condition que l’on connaisse les conditions aux limites V(P)
ou NVr
⋅→
grad en tout point de S .
Ces théorèmes d’unicité fonctionnent également quand le volume V est infini, à condition de connaître les conditions aux limites en l’infini.
En revanche, il n’y pas unicité quand les conditions aux limites portent sur un domaine doublement connexe (comme un tore, ou un cylindre infini).
M
)(SV
S
PN
)(PA