Cours de Beton ArmeIUP GCI3 option OS Annee 2004/05Olivier GagliardiniIUP Genie Civil et Infrastructures, UJF-Grenoble I

Table des mati`eresListe des Figures71Avant-propos111.1Notations (Annexe C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.1.1Majuscules Romaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.1.2Minuscules Romaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.1.3Minuscules Grecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2Unites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.3Conventions de signes en BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.4Domaine dapplication du BAEL . . . . . . . . . . . . . . . . .142Caracteristiques des materiaux152.1Le beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.1.1Comportement experimental . . . . . . . . . . . . . . .152.1.2Modelisation - Calculs reglementaires. . . . . . . . . .172.2Les aciers darmature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.1De quel type ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.2Sous quelle forme ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.2.3Modelisation du comportement . . . . . . . . . . . . . .22

2.2.4Faconnage des aciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2.3Ladherence acier-beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252.3.1Aspect experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262.3.2Approche theorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.3.3Ancrage rectiligne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.3.4Ancrage courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

2.3.5Poussee au vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

3Dispositions constructives diverses333.1Protection des armatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333.2Possibilites de betonnage correct . . . . . . . . . . . . . . . . .333.2.1Diam`etre maximal des aciers . . . . . . . . . . . . . . .33

3.2.2Espacement minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

4Dimensionnement des sections en flexion simple354.1Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354.1.1Domaine dapplication. . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.1.2Portees des poutres . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.2Flexion simple `a lELU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354.2.1Hypoth`eses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.2.2Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

4.2.3Droites de deformation - Pivots . . . . . . . . . . . . . .37

4.2.4Equations de lequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4.2.5Compatibilite des deformations . . . . . . . . . . . . . .38

4.2.6Adimensionnement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

4.2.7Calcul des sections dacier. . . . . . . . . . . . . . . .38

4.2.8Pre-dimensionnement . . .. . . . . . . . . . . . . . . .39

4.3Flexion simple `a lELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39OG 20044.3.1Hypoth`eses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

4.3.2Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

4.3.3Equations de lequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . .404.3.4Compatibilite des deformations . . . . . . . . . . . . . .414.3.5Contraintes limites dans les materiaux . . . . . . . . . .41

4.3.6Dimensionnement et verification . . . . . . . . . . . . .41

4.4Section en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414.4.1Pourquoi des sections en T ? . . . . . . . . . . . . . . .414.4.2Fonctionnement des sections en T . . . . . . . . . . . .42

4.4.3Calcul des vrais sections en T . . . . . . . . . . . . . . .45

4.5Condition de non fragilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.6Choix du dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475Sollicitation deffort tranchant485.1Dimensionnement des sections sous sollicitation deffort tran-chant (A.5.1,2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485.1.1Contrainte tangente conventionnelle (A.5.1,1) . . . . . .48

5.1.2ELU des armatures dame (A.5.1,23) . . . . . . . . . . .48

5.1.3ELU du beton de lame (A.5.1,21) . . . . . . . . . . . .48

5.1.4Dispositions constructives . . . . . . . . . . . . . . . . .49

5.1.5Justification des sections dappuis (A.5.1,3) . . . . . . .49

5.1.6Repartition des armatures transversales. . . . . . . . .505.2Verifications diverses liees `a lexistence de leffort tranchant . . .515.2.1Entranement des armatures (A.6.1,3) . . . . . . . . . .515.2.2Decalage de la courbe du moment flechissant (A.4.1,5) .525.3R`egles des coutures generalisees (A.5.3 ) . . . . . . . . . . . . .535.3.1R`egle generalisee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535.3.2Section dacier de couture. . . . . . . . . . . . . . . .53

5.3.3Liaison hourdis/ame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

5.3.4Liaison talon/ame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

6Dalles sur appuis continus (A.8.2 ; B.7 ; E.3)576.1Definitions et Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .576.2Domaine dapplication (A.8.2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6.3Dalle articulee sur ces contours . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6.3.1Cas des charges reparties . . . . . . . . . . . . . . . . .57

6.3.2Autres types de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

6.4Prise en compte de la continuite . . . . . . . . . . . . . . . . .586.5Ferraillage des dalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .616.5.1Sections dacier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6.5.2Arret de barres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6.6Sollicitation deffort tranchant. . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6.7Ouvertures et tremies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.8Etat limite de deformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

7Poutres et Planchers continus647.1Particularites liees au Beton Arme . . . . . . . . . . . . . . . .647.1.1Rappel de Resistance des Materiaux . . . . . . . . . . .64

7.1.2Adaptation du Beton Arme . . . . . . . . . . . . . . . .65

7.1.3Phenom`ene damortissement . . . . . . . . . . . . . . .67

7.2Domaines dapplication des methodes propres aux BA . . . . . .677.3Methode forfaitaire (Annexe E.1 ). . . . . . . . . . . . . . . .697.3.1Domaine dapplication B.6.210 . . . . . . . . . . . . . .69

7.3.2Application de la methode . . . . . . . . . . . . . . . .69

7.3.3Armatures longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.3.4Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

7.4Methode de Caquot (Annexe E.2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .717.4.1Domaine dapplication B.6.220 . . . . . . . . . . . . . .71

7.4.2Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

7.4.3Evaluation des moments sur appui . . . . . . . . . . . .71

7.4.4Moments en travee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

7.4.5Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

7.4.6Trace des Moments flechissants . . . . . . . . . . . . . .74

7.4.7Trace de lepure darret de barres . . . . . . . . . . . . .75

7.5Deformation des poutres (BAEL B.6.5,1 ). . . . . . . . . . . .788Deformation des elements flechis818.1Valeurs limites des fl`eches (B.6.5,3). . . . . . . . . . . . . . .81

8.2Evaluations des fl`eches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

8.2.1Influence de la fissuration . . . . . . . . . . . . . . . . .818.2.2Influence de la duree dapplication des charges . . . . . .81

8.2.3Fl`eches pour la section fissuree . . . . . . . . . . . . . .82

8.2.4Calcul des fl`eches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

8.2.5Fl`eche nuisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

9Poteaux en compression simple849.1Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849.2Elancement dun poteau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849.3Justification des poteaux (B.8.4) . . . . . . . . . . . . . . . . .859.3.1Effort normal resistant theorique . . . . . . . . . . . . .85

9.3.2Effort normal resistant ultime . . . . . . . . . . . . . . .86

9.4Dispositions constructives et recommandations diverses . . . . .869.4.1Evaluation des charges verticales (B.8.1,1) . . . . . . . .86

9.4.2Coffrage minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

9.4.3Section dacier de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . .87

9.4.4Ferraillage minimal . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .88

9.4.5Armatures transversales A.8.1,3. . . . . . . . . . . . .8810 Fondations superficielles8910.1Generalites et definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

10.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

10.1.2 Profondeur hors-gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8910.1.3 Dimensions minimales-maximales . . . . . . . . . . . . .89OG 2004

10.1.4 Solutions en fonction du type de porteurs . . . . . . . .8910.2 Condition de portance du sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9010.3 Semelle sous mur non-armee transversallement . . . . . . . . . .9110.4 Semelle en beton arme, continue sous mur . . . . . . . . . . . .9110.4.1 Domaine dapplication de la methode des bielles : . . . .9110.4.2 Principe de la methode des bielles :. . . . . . . . . . .9210.5 Semelle isolee sous poteau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9310.6 Semelles equilibrant un effort normal et un moment flechissant .9410.7 Semelles excentrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9411 Elements soumis `a de la flexion composee96

11.1 Notations et donnees du probl`eme . . . .. .. .. .. .. .. .96

11.2 Section enti`erement tendue . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .97

11.3 Section partiellement comprimee (tendue) . . . . . . . . . . . .9811.4 Section enti`erement comprimee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.5 Diagrammes dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112 Ouvrages de reference104

Liste des figures1Definition des conventions de signe et notations (cas plan). . . .13

2Courbe contrainte-deformation dun essai de compression. . . . .16

3Essai Bresilien sur eprouvette cylindrique.. . . . . . . . . . . .164Contrainte appliquee et deformation engendree en fonction du

temps pour un essai de fluage deprouvette de beton. . . . . . .17

5Evolution de la resistance fcj en fonction de lage du beton. . .18

6Evolution de la resistance `a la traction ftj en fonction de celle `a

la compression fcj .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197Evolution du module de Young differe Evj en fonction de laresistance caracteristique `a la compression du beton fcj .. . . .208Definition du diagramme contrainte-deformation de calcul `a lELU. 219Diagrammes contrainte-deformation dessais de traction sur les differents types dacier darmature. . . . . . . . . . . . . . . . .2210Section en cm2 de 1 `a 20 armatures de diam`etre en mm.. .23

11Treillis Soudes standards distribues par lADETS. . . . . . .. .24

12Diagramme contrainte-deformation de calcul de lacier `a lELU. .25

13Longueur developpee des cadres, etriers et epingles. . . . . . . .25

14Principe du dispositif experimental pour realiser un essai darra-

chement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

15Courbes caracteristiques obtenues pour des essais darrachement

sur un acier HA et un rond lisse. . . . . . . . . . . . . . . . . .26

16Modelisation dun essai darrachement : la barre dans le beton, la

barre isolee avec les contraintes resultantes de laction du beton,

leffort dans la barre.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2717Evolution de la longueur de scellement droit en fonction de fcj .28

18Definition dun ancrage courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

19Equilibre dun troncon elementaire dun ancrage courbe.. . . .3020Definition de lancrage normal (A.6.1,253).. . . . . . . . . . .3121Dispositions constructives `a mettre en uvre pour se premunir

des desordres dus `a la poussee au vide. . . . . . . . . . . . . . .32

22Protection des armatures et conditions de betonnage correct. . .33

23Nombre de barres en fonction de la largeur de beton. . . . . . .34

24Definition de la portee dune poutre selon quelle repose sur des

appareils dappuis, des elements en maconnerie ou en beton arme. 3625Definition des diagrammes contrainte-deformation parabole-rectangle Figure (8) et rectangulaire simplifie dans la section de beton comprime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3626Notations utilisees pour les calculs de flexion simple `a lELU. . .3727Definitions des differentes droites de deformation possibles en

flexion simple `a lELU et des Pivots. . . . . . . . . . . . . . . .37

28Valeurs de u, du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus

st en fonction de la valeur du moment ultime reduit u. . . . .39

29Notations utilisees pour les calculs en flexion simple `a lELS. . .40

30Etapes du dimensionnement des sections dacier et de la verificationdes contraintes en flexion simple `a lELS. . . . . . . . . . . . . .42OG 2004

31Abaques de Dimensionnement et de verification en flexion simple`a lELS.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4332Dimensions des debords `a prendre en compte pour le calcul dune

poutre en T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

33Notations utilisees pour le calcul dune poutre en T. . . . . . . .44

34Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a

lELU : le moment ultime est repris dune part par les debords

de la table et dautre part par la partie de lame au dessus de

laxe neutre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

35Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a

lELS : la resultante des contraintes de compression est calculee

comme la difference des contraintes sappliquant sur une surface

b y1 en 2y1/3 et celles sappliquant sur une surface (b b0)

(y1 h1) en 2(y1 h1)/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

36Choix de letat limite dimensionnant. . . . . . . . . . . . . . . .47

37Definition de la largeur a de la bielle de compression au niveau

dun appui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

38Exemple de trace de la repartition des cadres dans une poutre

en fonction de la courbe enveloppe de leffort tranchant. . . . .51

39Definition du perim`etre utile dun paquet de barres. . . . . . . .52

40Fonctionnement de la section de beton arme selon un treillis de

Ritter-Morsch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

41Equilibre dune surface elementaire du plan [P ]. . . . . . . . . .53

42Notations et equilibre dun demi-hourdis dune poutre en T.. .5543Notations pour le calcul des aciers de couture `a la liaison ta- lon/ame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5644Abaques de Mougin pour le calcul des moments dans une dalle de dimensions lx/ly = 0.5 supportant une charge uniforme surun rectangle de dimensions a b. Voir le texte pour lutilisation.5945Exemple de valeurs pour les moments en travee et sur appuis. .6046Exemple de calepinage des TS de la nappe inferieure dune dalle. 6247a : notations utilisees pour letude dune poutre continue. b : definition de la travee isostatique de reference. c decomposition du chargement sur la travee isostatique de reference en troischargements simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6448a : Definition des trois poutres de portee l, de meme section de beton et armee chacune par une section dacier A0. b : Allure dela fissuration dans les trois poutres pour en debut chargement.c Allure de la fissuration `a la rupture.. . . . . . . . . . . . . .6649Forme du ferraillage a adopter dans une poutre continue . . . .6750Comparaison du moment flechissant obtenu dans une poutre continue par application dune force ponctuelle sur la travee de rive, dans le cas de la theorie de la RdM et dans le cas du betonarme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6751Conditions donnees par la methode forfaitaire `a verifier par les moments sur appui et en travee pour des poutres `a deux traveeset plus de deux travees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6952Arret des barres forfaitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

53Valeur forfaitaire de leffort tranchant dans des poutres continues`a deux travees et plus de deux travees. . . . . . . . . . . . . . .7054Notations pour le calcul des moments sur appui par la methodede Caquot dans le cas de charges reparties.. . . . . . . . . . .7255Notations pour le calcul des moments sur appui par la methodede Caquot dans le cas de charges ponctuelles. . . . . . . . . . .7256Definition des trois cas de charge `a prendre en compte. Chacun de ces trois cas correspond `a une valeur extreme des moments de la deuxi`eme travee et des appuis 2 et 3.A lELU C =1.35g + 1.5q et D = 1.35g et `a lELS C = g + q et D = g. . . .7357Cas de charge conduisant `a la valeur maximale de leffort tran-chant sur lappui i.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7458Forme du tableau `a remplir pour appliquer la methode de Caquot 7459Trace des moments flechissants des trois cas de charge et de lacourbe enveloppe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7560Methode graphique pour tracer une parabole et trouver la valeur maximale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7661Methode pour tracer une parabole sous AutoCAD.. . . . . . .7762Definition de la valeur du moment resistant en fonction de larretdes barres du ferraillage longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . .7763Definition de lordre darret des barres en fonction de leur posi-tion dans le section. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7864Epure darret des barres.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7965Epure darret de barres de lexemple traite. . . . . . . . . . . . .8066Courbes enveloppes de la fl`eche reelle dun element soumis `a dela flexion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8267Definition de la longueur de flambement pour differentes condi-tions de liaison du poteau.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8468Valeurs des longueurs de flambement des poteaux dun batiment. 8569Variation du coefficient en fonction de lelancement . . . .8670Effort normal `a prendre en compte dans les poteaux supportantune poutre continue.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8771Acier `a prendre en compte pour le calcul de Nu. . . . . . . . . .8772Espacement maximal des armatures longitudinales dun poteau.88

73Notations pour les fondations superficielles. . . . . . . . . . . .89

74Dimensions minimales dune fondation superficielle. . . . . . . .90

75Definitions dune semelle filante et dune semelle isolee. . . . . .90

76Valeur de la contrainte `a prendre en compte pour verifier la

condition de portance du sol, en fonction de la repartition des

contraintes sous la semelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

77Semelle filante en gros beton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

78Definition des excentricites es et ep et des notations definissant

la geometrie de la fondation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91

79Transmission de leffort normal selon des bielles de beton com-

primees. Equilibre dun troncon elementaire darmature. . . . . .92

80Arret forfaitaire des barres lorsque ls b0/8. . . . . . . . . . . .93

81Evolution de leffort normal dans les aciers F (x) et de leffort

normal resistant NRs des barres en fonction du rapport ls/b0 . . .93

OG 2004

82Fonctionnement dune semelle excentree avec longrine. . . . . .9483Chargement `a prendre en compte pour le calcul dune poutre de redressement (longrine) et allure du ferraillage `a mettre en place. 9584Notations utilisees pour definir la geometrie de la section enflexion composee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9685Droites de deformation en flexion composee dans le cas ou` lasection est enti`erement tendue. . . . . . . . . . . . . . . . . . .9786Droites de deformation en flexion composee dans le cas ou` lasection est partiellement tendue/comprimee. . . . . . . . . . . .9887Droites de deformation en flexion composee dans le cas ou` lasection est enti`erement comprimee. . . . . . . . . . . . . . . . . 10188Droites de deformation limites qui correspondent au passage du comportement elastique au comportement plastique des acierstendus ou comprime.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10289Exemple de diagramme dinteraction. . . . . . . . . . . . . . . . 1031.1Notations (Annexe C)111Avant-propos1.1Notations (Annexe C)1.1.1Majuscules RomainesA (ou As ou Al ): Aire dune section dacier (longitudinal)

At: Somme des aires des sections droites duncours

darmatures transversalesB: Aire dune section de betonEs: Module de Young de lacierEij: Module de Young instantane `a lage de j joursEvj: Module de Young differe `a lage de j joursF: Force ou action en general

I1: Moment dinertie de la section homogeneiseepar

rapport au beton (ELS)Mser: Moment flechissant de calcul de serviceMu: Moment flechissant de calcul ultimeNser: Effort normal de calcul de serviceNu: Effort normal de calcul ultimeP: Action permanenteQ: Action dexploitationSn: Resultante des charges de neigeVu: Effort tranchant de calcul ultimeW: Resultante des actions du vent1.1.2Minuscules Romainesa: Largeur dun poteaua0 (et b0 ): Dimension dune fondationb: Largeur dune poutre (table), dun poteaub0: Largeur de lame dune poutred (et d0 ): Position des armatures tendues (et comprimees) par rapport `a la fibre la plus comprimee de la section de betone: Excentricite de leffort normal, Epaisseur dune dallefe: Limite delasticite de lacierfcj: Resistance caracteristique `a la compression du betonage de j joursftj: Resistance caracteristique `a la traction du beton agede j joursg: Charge permanente unitaireh: Hauteur dune poutre, dune fondationh0: Hauteur du talon dune poutreh1: Hauteur du hourdis dune poutrei: Rayon de giration dune sectionj: Nombre de jours de maturite du betonOG 200412Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/05l: Portee dune poutre ou dune dalle, hauteur dunpoteauls: Longueur de scellement droitelf: Longueur de flambementn: Coefficient dequivalence acier-betonq: Charge permanente unitairest: Espacement des armatures transversalesu: Perim`etrex: Abscissey: Ordonneey1: Profondeur de laxe neutre calculee `a lELSyu: Profondeur de laxe neutre calculee `a lELUz (ou zb): Bras de levier du couple de flexion1.1.3Minuscules Grecs: Angle dune armature avec la fibre moyenne, coef- ficient sans dimension en general (tr`es utilise!) (al- pha)u: Profondeur de laxe neutre adimensionnee `a lELUs: Coefficient partiel de securite sur lacier (gamma)b: Coefficient partiel de securite sur le betonbcmax: Deformation maximale du beton comprime (epsilon)st: Deformation des armatures tenduessc: Deformation des armatures comprimees: Coefficient de fissuration relatif `a une armature(eta): Elancement mecanique dune pi`ece comprimee(lambda)ser: Moment ultime reduit `a lELS (mu)u: Moment ultime reduit `a lELU: Coefficient de poisson (nu): Rapport de la section dacier sur celle du beton (rho): Contrainte normale (sigma)bcmax: Contrainte maximale du beton comprimest: Contrainte dans les aciers tendussc: Contrainte dans les aciers comprimes: Contrainte tangente (tau)u: Contrainte tangente conventionnelles: Contrainte dadherencese: Contrainte dadherence dentranement: Coefficient de fluage (phi )l: Diam`etre dune armature longitudinalet: Diam`etre dune armature transversales: Coefficient de scellement relatif `a une armature(psi )1.2Unites131.2UnitesLes unites utilisees en beton arme sont celles du syst`eme international (USI) et leurs multiples :m, (cm, mm): Longueur, dimension, porteecm2: Section dacierm2: SectionkN , (N , M N ): Charge ponctuellekN m1, (N m1,M N m1): Charge lineiquekN m2, (N m2, M N m2): Charge surfacique kN m3, (N m3, M N m3): Charge volumique kN m, (N m, M N m): MomentM P a, (P a, kP a): ContrainteUne conversion bien utile : 1 M P a = 1 M N m2 = 1 N mm2 = 106 P a.On rencontre encore parfois le bar comme unite de contrainte : 1 bar =1 kgcm2 et 10 bar 1 M P a.1.3Conventions de signes en BAPar convention, les sollicitations sont egales aux efforts et moments `a droitede la section (selon x+). Dans le cas particulier dun chargement plan, ces conventions de signe et notations sont presentees sur la Figure 1, ou`- Nx est leffort normal,- Vy leffort tranchant,- Mz le moment flechissant. Avec cette convention, on a :Fig. 1: Definition des conventions de signe et notations (cas plan).Vy (x) =

d Mz (x).d xOn remarquera que contrairement aux conventions RdM classiques, un effortnormal positif correspond `a une compression. De meme, on adopte une conven- tion particuli`ere pour les contraintes : les contraintes de compression sont po- sitives.On pourra retenir quune valeur positive du moment flechissant (Mz > 0)OG 200414Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/05implique que les fibres inferieures (du cote de y) sont tendues (deformationpositive et contrainte negative).Avec ces conventions, la contrainte normale dans la section droite est donnee par :xx(x, y) =

Mz (x)Ny +.IzzSou` Izz est le moment quadratique de la section par rapport `a Gz et S sa surface.1.4Domaine dapplication du BAELLes r`egles BAEL91 modifiees 99 sont applicables `a tous les ouvrages en beton arme, dont le beton est constitue de granulats naturels normaux, avec un dosageen ciment au moins egal `a 300 kg/m3 de beton mis en uvre (A.1.1).On distingue :- les constructions courantes ayant une charge dexploitation Q moderee Q 2G ou Q > 5 kN m2.- les constructions speciales pour lesquelles certaines parties sont assimilees`a des elements de construction courante, dautres `a des elements de construc- tion industrielle et dautres rel`event de lapplication des r`egles generales (par exemple un parking de voitures couvert par un plancher sous chaussee).Les constructions suivantes restent en dehors du domaine dapplication :- les constructions en beton non arme,- les constructions en beton leger,- les constructions mixtes acier-beton,- les constructions en beton de resistance caracteristique superieure `a 80 M P a (pour les resistances de 60 `a 80 M P a se reporter `a lAnnexe F des r`egles mo- difiees en 99),- les elements soumis `a des temperatures secartant de celles qui resultent des seules influences climatiques.152Caracteristiques des materiauxLobjectif de cette partie est de presenter les principales caracteristiques des materiaux utilises en Beton Arme, puis les mod`eles adoptes pour conduire les calculs reglementaires.Concept du Beton ArmeLe beton de ciment presente des resistances `a la compression assez elevees, de lordre de 25 `a 40 M P a, mais sa resistance `a la traction est faible, de lordre de 1/10 de sa resistance en compression. De plus,le beton de ciment a un comportement fragile.Lacier presente une tr`es bonne resistance `a la traction (et aussi `a la compression pour des elancements faibles), de lordre de 500 M P a, mais si aucun traitement nest realise, il subit les effets de la corrosion. De plus, son comportement est ductile, avec des deformations tr`es importantes avant rupture (de lordre de la dizaine de %).Pour pallier `a la faible resistance du beton en traction et `a sa fragilite, on lui associe des armatures en acier : cest le beton arme.2.1Le betonOn se limitera ici aux aspects relatifs au comportement mecanique du beton. Pour les aspects relatifs `a sa composition et `a sa mise en uvre, on se refereraau cours sur les betons.2.1.1Comportement experimentalEssais de compressionLe beton presente une relative bonne resistance `a la compression. Les resistances obtenues dependent de la composition. En general, les essais sont realises sur des eprouvettes normalisees, appelees 1632, de formecylindrique de hauteur 32 cm et de diam`etre 16 cm (Aire de 200 cm2).A partir dune courbe contrainte-deformation dun essai de compression (Fi- gure 2), on peut tirer les grandeurs suivantes :- le module de Young instantane Eij 30 000 M P a,- la contrainte maximale max 20 40 M P a,- la deformation maximale `a la rupture 2 /= 2 103.Essais de tractionIl est beaucoup plus difficile de faire des essais en traction. On distingue :- Les essais de traction directe avec des eprouvettes collees,- Les essais de traction indirecte tels que lessai Bresilien ou lessai en flexion quatre points.Pour les essais en traction indirecte, la deduction du comportement en traction necessite une interpretation de lessai via un mod`ele. Par exemple, pour lessai Bresilien qui consiste `a fendre une eprouvette cylindrique comme indique sur la Figure 3, la resistance `a la traction est donnee par :2FRt =

D hOG 2004

Fig. 2: Courbe contrainte-deformation dun essai de compression.ou` F est leffort `a la rupture.Fig. 3: Essai Bresilien sur eprouvette cylindrique.On retiendra que la resistance `a la traction du beton est beaucoup plus faible que celle `a la compression :RcRt 10Fluage du betonSous chargement constant, la deformation du beton aug-mente continuellement avec le temps (voir Figure 4). Pour le beton, les deformationsde fluage sont loin detre negligeables puisquelles peuvent representer jusqu`a deux fois les deformations instantanees : v = 3i.Phenom`ene de retraitApr`es coulage, une pi`ece de beton conservee `a lair

tend `a se raccourcir.Ceci est du

`a levaporation de leau non-liee avec leciment et peut entraner des deformations de lordre de 1.5 104 `a 5 104 selon lhumidite de lenvironnement. On notera que des pi`eces de beton conservees dans leau subissent, au contraire, un gonflement. Le retrait commence d`es le premier jour de vie de la pi`ece en beton et on observe que 80% du retrait est atteint au bout de deux ans. La principale consequence du retrait est lapparition

de contraintes internes de traction, contraintes dont la valeur peut facilement depasser la limite de fissuration.

Fig. 4 : Contrainte appliquee et deformation engendree en fonction du tempspour un essai de fluage deprouvette de beton.Pour se proteger des desordres lies au retrait, on adoptera les dispositifs construc- tifs suivants :- utiliser des betons `a faible chaleur dhydratation,- maintenir les parements en ambiance humide apr`es coulage,- disposer des armatures de peaux de faible espacement pour bien repartir les fissures de retrait,- eviter de raccorder des pi`eces de tailles tr`es differentes,- utiliser des adjuvants limitant les effets du retrait.Dilatation thermiqueLe coefficient de dilatation du beton vaut de 9 `a 12106, et on adoptera une valeur forfaitaire de 105 pour le beton arme. On no- tera que la valeur du coefficient de dilatation de lacier (11 106) est tr`es prochede celle du beton. Une variation de temperature de 10C induit une deformationde 104, cest `a dire quun element de 10 m de long verra son extremite librese deplacer de 1 mm. Dans la pratique, les elements ne sont pas libres, et les variations de temperature entranent des contraintes internes de traction. Poureviter des desordres, on placera reguli`erement sur les elements (dalle, voile defacade) ou batiments de grandes dimensions des joints de dilatation espaces de25 `a 50 m`etres selon la region (B.5.1). Notons que ces joints de dilatation sont aussi un moyen de lutter contre les desordres dus au retrait.2.1.2Modelisation - Calculs reglementairesResistance caracteristique `a la compression (A.2.1,11)La resistance ca- racteristique `a la compression du beton fcj `a j jours dage est determinee `a partir dessais sur des eprouvettes 16 32. Elle est definie comme la valeur dela resistance en dessous de laquelle on peut sattendre `a rencontrer 5% au plusde lensemble des ruptures des essais de compression. En pratique, comme le nombre dessais realises ne permet pas un traitement statistique suffisant, on adopte la relation simplifiee suivante :jfcj = 1.15 ,ou` j est la valeur moyenne des resistances obtenues sur lensemble des essais realises.OG 2004

On utilise le plus souvent la valeur `a 28 jours de maturite : fc28 . Pour descalculs en phase de realisation, on adoptera les valeurs `a j jours, definies `apartir de fc28 , par :X Pour des resistances fc28 40 M P a :jfcj = 4.76 + 0.83j fc28si j < 60 joursfcj = 1.1fc28si j > 60 joursX Pour des resistances fc28 > 40 M P a :jfcj = 1.40 + 0.95j fc28si j < 28 joursfcj = fc28si j > 28 joursLa Figure 5 donne lallure de la variation de la resistance fcj en fonction delage du beton pour les deux types de beton.Attention, ces courbes sontadimensionnees par rapport `a fc28 , et sur un dessin `a lechelle, il est evident que la courbe de resistance dun beton tel que fc28 > 40 M P a serait au dessusde celle dun beton de resistance fc28 < 40 M P a. Sur cette figure, on observe

Fig. 5: Evolution de la resistance fcj en fonction de lage du beton.que la montee en resistance des betons `a performances elevees est plus rapide que pour les betons classiques. Cette propriete rend les betons `a performanceselevees tr`es interessants en phase de construction.Resistance caracteristique `a la tractionLa resistance caracteristique `a la traction du beton `a j jours, notee ftj , est conventionnellement definie par les relations :(ftccj = 0.6 + 0.06f jsi f 28 60 M P a (A.2.1,12)ftj = 0.275fcjsi fc28 > 60 M P a (Annexe F)La Figure 6 presente levolution de la resistance caracteristique `a la traction ftjen fonction de celle `a la compression fcj .

Fig. 6 : Evolution de la resistance `a la traction ftj en fonction de celle `a lacompression fcj .Dans la plupart des calculs reglementaires des pi`eces soumises `a des contraintes normales, la resistance mecanique du beton tendu sera negligee. Pour les calculs relatifs aux contraintes de cisaillement et `a ladherence, on adoptera les valeurs donnees ci-dessus.Modules de deformation longitudinaleOn distingue les module de Young instantane Eij et differe Evj . Le module instantane est utilise pour les cal- culs sous chargement instantane de duree inferieure `a 24 heures. Pour des chargements de longue duree (cas courant), on utilisera le module differe, qui prend en compte artificiellement les deformations de fluage du beton. Celles-ci representant approximativement deux fois les deformations instantanees, le module differe est pris egal `a trois fois le module instantane.Eij = 3Evj .Il est evident que cette approche est simplificatrice et que le fluage dun materiaune verifie pas la loi de Hooke dun materiau elastique (la loi de fluage est une relation entre les contraintes et les vitesses de deformation). Neanmoins, cette approche permet destimer les deformations cumulees dues `a la deformation instantanee elastique et au fluage `a un temps infini.Le module de Young differe du beton depend de la resistance caracteristique `ala compression du beton :Evj = 3 700f 1/3si f 60 M P a (A.2.1,2)Evj = 4 400f 1/3

si f

c28

> 60 M P a, sans fumee de silice (annexe F)Evj = 6 100fcj

si fc28

> 60 M P a, avec fumee de silice (annexe F)Pour les betons `a performances elevees, la part des deformations de fluage est plus faible, de 1.5 `a 0.8 fois les deformations instantanees pour des betons sansou avec fumee de silice, respectivement. La Figure 7 presente levolution de Evjen fonction de la resistance caracteristique `a la compression du beton.OG 2004

Fig. 7 : Evolution du module de Young differe Evj en fonction de la resistancecaracteristique `a la compression du beton fcj .Coefficients de poissonLe coefficient de poisson sera pris egal `a = 0 pourun calcul de sollicitations `a lELU et `a = 0.2 pour un calcul de deformations`a lELS (A.2.1,3).Mod`ele de calcul `a lELSLes deformations necessaires pour atteindre lELSsont relativement faibles et on suppose donc que le beton reste dans le domaineelastique. On adopte donc la loi de Hooke de lelasticite pour decrire le com- portement du beton `a lELS, avec pour des charges de longue duree Eb = Evjet = 0.2. La resistance mecanique du beton tendu est neglige (A.4.5,1). Deplus, on adopte en general une valeur forfaitaire pour le module de Young du beton egale `a 1/15 de celle de lacier (Eb 13 333 M P a)Mod`ele de calcul `a lELUPour les calculs `a lELU, le comportement reel du beton est modelise par la loi parabole-rectangle sur un diagramme contraintes- deformations donne sur la Figure 8, avec sur cette figure- bc1 = 2 /- bc1 =

(3.5 /

si fcj

40 M P a (A.4.3,41)(4.5 0.025fcj ) /si fcj > 40 M P a (A.4.3,41)- la valeur de calcul de la resistance en compression du beton fbu est donneepar :ou`

fbu =

0.85fcj ,b- le coefficient de securite partiel b vaut 1.5 pour les combinaisons fondamen- tales et 1.15 pour les combinaisons accidentelles,- est un coefficient qui tient compte de la duree dapplication des charges : = 1 si la duree est superieure `a 24h, = 0.9 si la duree est comprise entre1h et 24h et = 0.85 sinon.

Fig. 8: Definition du diagramme contrainte-deformation de calcul `a lELU.2.2Les aciers darmature2.2.1De quel type ?On distingue quatre types dacier pour armature (voir Figure 9), du moins au plus ecroui :1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caracteristiquede la limite elastique garantie de 125 ou 235 M P a. Ce sont les ronds lisses(note ), qui ne sont plus utilises que pour faire des crochets de levageen raison de leur tr`es grande deformation `a la rupture (allongement de22%).2. Les aciers lamines `a chaud, naturellement durs, dit aciers `a haute adherencede type I. Ce type dacier a une limite delasticite garantie de 400 M P aet un allongement `a la rupture de 14%.3. Les aciers lamines `a chaud et ecrouis avec faible reduction de section (par traction-torsion), dits aciers `a haute adherence de type II. Ce type dacier a une limite delasticite garantie de 500 M P a et un allongement`a la rupture de 12%.4. Les aciers lamines `a chaud par trefilage (forte reduction de section), for- tement ecrouis, utilises pour fabriquer les treillis soudes et fils sur bobines. Ce type dacier a une limite delasticite garantie de 500 M P a et un allon- gement `a la rupture de 8%.On pourra retenir que laction de lecrouissage est daugmenter la limite delasticiteen faisant disparatre le palier de plasticite, et de diminuer lallongement `ala rupture (plus fragile).Les quatre types dacier ont le meme comporte- ment elastique, donc un meme module de Young de Es = 210 000 M P a. La deformation `a la limite elastique est voisine de 0.2%, en fonction de la valeurde la limite delasticite.OG 2004

Fig. 9 :Diagrammes contrainte-deformation dessais de traction sur lesdifferents types dacier darmature.2.2.2Sous quelle forme ?Les barresOn trouve des barres de longueur variant de 6.00 m `a 12.00 m, lisses ou `a haute adherence, pour les diam`etres normalises suivants (en mm) :5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 20 - 25 - 32 - 40Le tableau de la Figure 10 aide `a choisir le diam`etre et le nombre de barres `a mettre en place pour une largeur de section de beton donnee.Les filsLes armatures sous forme de fils sont stockees sur des bobines. Les fils servent principalement `a la realisation de treillis soudes, de cadres, depingleset detriers en usine de faconnage darmatures, ou pour le ferraillage delements prefabriques tels que les predalles BA ou BP. On trouve des diam`etres de 5 `a12 mm et se sont generalement des aciers `a haute adherence.Les treillis soudesLes TS sont utilises pour ferrailler rapidement des elements plans, tels que les voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleauxou en panneaux et sont composes daciers `a haute adherence. Lassociation technique pour le developpement et lemploi du TS (ADETS) propose 5 treillis antifissuration et 11 treillis de structure standards (voir Figure 11). On peut imaginer de faire fabriquer un TS special si aucun des TS standards proposes par lADETS ne correspond (reserve `a des gros chantiers pour de grandes quantites).2.2.3Modelisation du comportementOn notera quun seul mod`ele est utilise pour decrire le comportement des quatre types dacier, ce mod`ele etant fonction de la limite delasticite garantie fe.

Fig. 10: Section en cm2 de 1 `a 20 armatures de diam`etre en mm.Mod`ele de calcul `a lELSComme le beton, `a lELS on suppose que les aciers travaillent dans le domaine elastique. On utilise donc la loi de Hookede lelasticite. On adopte une valeur du module de Young forfaitaire Es =200 000 M P a.Mod`ele de calcul `a lELULe comportement des aciers pour les calculs `a lELU verifie une loi de type elasto-plastique parfait, comme decrit sur le dia- gramme contrainte-deformation de la Figure 12 (A.4.3,2), ou` la valeur de calculde la limite delasticite garantie fsu est definie par :fefsu =.set s est un coefficient de securite partiel qui vaut 1.15 sauf pour les combinai-sons accidentelles ou` il vaut 1.2.2.4Faconnage des aciersAfin de ne pas trop plastifier les aciers, il convient dadopter des mandrins defaconnage dont les diam`etres ne soient pas trop petits. On admet quun cadre,un etrier ou une epingle soit plus plastifie au niveau des coudes que les ancrages dune barre longitudinale.Les ancrages courbesLes rayons de courbure R des ancrages courbes de barres longitudinales doivent verifier :(R 3pour un rond lisse de diam`etre R 5.5pour un HA de diam`etre OG 2004

Fig. 11: Treillis Soudes standards distribues par lADETS.

Fig. 12: Diagramme contrainte-deformation de calcul de lacier `a lELU.Le rayon de courbure etant defini sur la fibre moyenne de la barre, le diam`etre du mandrin `a utiliser est D = 2R .Les cadres, epingles et etriersPour les cadres, etriers et epingles, les rayons de courbures r sont :(r 2pour un rond lisse de diam`etre r 3pour un HA de diam`etre La Figure 13 permet de calculer les longueurs developpees des cadres, etriers etepingles en acier `a haute adherence, definis `a partir de leurs cotes dencombre- ment a et b.

Fig. 13: Longueur developpee des cadres, etriers et epingles.2.3Ladherence acier-betonComme nous venons de le voir, le comportement de lacier est tr`es bien connuet celui du beton est bien connu. Le beton arme etant une structure composite- beton et acier - il est necessaire de bien connatre aussi le comportement deOG 2004

linterface entre les deux materiaux. Lobjectif de letude est :- de bien connatre les differents param`etres qui influencent le comportement de linterface (fc28 , HA, rond lisse, ?),- de justifier une des hypoth`eses importantes des calculs en beton arme, `a savoirquil ny a pas de glissement des barres dacier (b = s).2.3.1Aspect experimentalLadherence de lacier et du beton peut etre mesuree sur un essai darrachement, dont le principe est presente sur la Figure 14.

Fig. 14 : Principe du dispositif experimental pour realiser un essai darrache- ment.A partir de ces essais, on obtient des courbes reliant le deplacement sdu bout de lacier `a leffort de traction applique F . La Figure 15 donne un exemple de courbes obtenues, pour un HA et un rond lisse de meme diam`etre = 14 mm.

Fig. 15 : Courbes caracteristiques obtenues pour des essais darrachement sur un acier HA et un rond lisse.Ces essais permettent de mettre en evidence linfluence :- de la longueur ancree,

- du type dacier (HA et rond lisse, comme on le voit clairement dapr`es lescourbes de lessai ci-dessus),- de la qualite du beton,et ainsi de determiner la valeur de la contrainte dadherence en fonction des conditions de lessai.On observe plusieurs types de rupture :- rupture par traction de lacier (ancrage parfait),- glissement de la barre dans le beton,- destruction du beton par arrachement dun cone de beton.On definit un bon ancrage comme un ancrage ou` lorsque la barre commence `a glisser celle-ci vient datteindre la limite delasticite (s e ou F /As fe)2.3.2Approche theorique

Laction du beton sur la barre peut-etre remplacee par une contrainte normale (serrage) et une contrainte tangentielle (adherence). Si par ailleurs on suppose que cette contrainte dadherence s est constante le long de la barre, on ob- tient la modelisation presentee sur la Figure 16. Si il ny a pas de glissement,

Fig. 16 : Modelisation dun essai darrachement : la barre dans le beton, labarre isolee avec les contraintes resultantes de laction du beton, leffort dansla barre.lequilibre selon x conduit `a lequation :Z xBFext =

s u dx = s u lAB ,xAou` u est le perim`etre utile de la barre et lAB la longueur de lancrage.2.3.3Ancrage rectiligneOn definit la longueur de scellement droit ls comme la longueur `a mettre en uvre pour avoir un bon ancrage droit. Le bon ancrage etant un ancrage pourOG 2004

Fig. 17: Evolution de la longueur de scellement droit en fonction de fcj .lequel le glissement a lieu au moment ou` le comportement de la barre entre dansle domaine plastique, on a : Fext = As fe au moment ou` la barre commence `a glisser. En notant que lAB = ls, u = et As = 2/4, on obtient :ls =

fe .4sDans la pratique les calculs dancrage sont realises `a lELU et la valeur de lacontrainte dadherence est donnee de facon forfaitaire (A.6.1,21) par :su = 0.62ft ,s jou` le coefficient de scellement s vaut 1 pour des ronds lisses et 1.5 pour desaciers HA. On retiendra que la longueur de scellement droit ls depend du type dacier (via fe et s) et de la qualite du beton (via ftj ).Le BAEL propose dadopter les valeurs forfaitaires suivantes (A.6.1,22, deconseille) :(40pour un HA feE400ls =

50pour un HA feE500 ou un rond lissePour des aciers HA, on utilisera le tableau ci-dessous pour calculer la longueurde scellement droit ls ou la Figure 17.fcj [M P a]202530354045505560

fe E 400ls/l =413531272522211918

fe E 500ls/l =514439343128262422

Chaque barre dun paquet de barres sera ancree individuellement. Pour ancrerles barres dun paquet de deux barres il faudra prevoir 2 ls et pour un paquetde trois barres (2 + 1.5) ls, puisque la troisi`eme barre a un perim`etre utile de seulement 2/3.

2.3.4Ancrage courbePar manque de place, comme aux appuis de rives par exemple, on est oblige davoir recourt `a des ancrages courbes afin de diminuer la longueur dencom- brement de lancrage. On pourrait aussi penser au gain dacier, mais celui-ci est plus faible que le cout de la main duvre necessaire au faconnage de lancrage. Donc, quand il ny a pas de probl`eme pour placer un ancrage droit, cest cette solution quil faut adopter.Un ancrage courbe est compose de deux parties droites AB et C D de lon- gueurs et , respectivement, et dune partie courbe BC de rayon de courbureR et dangle (voir Figure 18).Fig. 18: Definition dun ancrage courbe.Efforts repris par les parties droitesPar analogie `a la partie precedente, onen deduit que FA FB = su et FC FD = FC = su. FD = 0 carau bout le lancrage leffort est nul.Effort repris par la partie courbeOn sinteresse ici `a leffort repris par la partie courbe. Pour cela, isolons un troncon elementaire dancrage d, comme indique sur la Figure 19.On distingue :- F leffort axial dans larmature au point N ,- F + dF leffort axial au point M ,- dT et dN les efforts de contact entre larmature et le beton, tels que dT = dN , ou` est le coefficient de frottement acier-beton ( 0.4),- dA laction due `a ladherence le long de ds = R d , soit dA = suR d en supposant que la contrainte dadherence est constante le long de lancrage.Lequilibre du troncon elementaire conduit aux deux equations suivantes enOG 2004

Fig. 19: Equilibre dun troncon elementaire dun ancrage courbe.projection sur les axes x et y :dA + dN + F cosd

d 2 (F + dF ) cosd

d 2 = 0sur xdN F sin

2 (F + dF ) sin

= 0sur y2Comme d est tr`es petit, on en deduit que cos(d /2) 1, sin(d /2) d /2et dF d 0. Les equations de lequilibre se reduisent `a :(suR d + dN = dFsur xdN = F d sur yOn en deduit une equation differentielle (du premier ordre avec second membre)verifiee par F :d Fd F = suREn integrant cette equation entre les points B et C , nous obtenons :FB = FC + suRou`

= exp et =

exp 1qui permet de calculer leffort repris pas la partie courbe de lancrage de rayonde courbure R et dangle .

Effort total de lancrage courbeLeffort total repris par lancrage courbevaut donc :F = FA = su + suR + su.Si cet ancrage est un bon ancrage, on doit avoir F = FA = 2fe/4, dou` la formule permettant de calculer les dimensions dun ancrage courbes , , R et : + R + =

fe4su

= ls,ou` ls est la longueur de scellement droit de lancrage droit equivalent. On ne confondra pas ls `a la longueur developpee de lancrage courbe ld donnee par :( + + 5.5pour un HAld = + + R =

+ + 3pour un rond lisseLe BAEL propose dadopter le crochet normal `a 180 (A.6.1,253) de longueurdencombrement de lancrage la = 0.4ls pour des aciers HA (voir Figure 20).

Fig. 20: Definition de lancrage normal (A.6.1,253).Pour un HA feE500 et un Beton B20, la longueur dancrage droit equivalent pour ce crochet est la = 56, ce qui est leg`erement superieure `a ls = 51 pour une longueur developpee de seulement ld = 34.2.3.5Poussee au videIl convient dadopter un mode constructif qui permette deviter tout desordre engendre par la poussee au vide des armatures (A.7.4). On adoptera les dispo- sitions presentees sur la Figure 21.OG 2004

Fig. 21 : Dispositions constructives `a mettre en uvre pour se premunir desdesordres dus `a la poussee au vide.

3Dispositions constructives diverses3.1Protection des armaturesAfin deviter les probl`emes de corrosion des aciers, il convient de les enrober par une epaisseur de beton suffisante. Cette epaisseur, lenrobage, depend des conditions dexposition de louvrage. On adoptera les valeurs suivantes (A.7.1) :- 5 cm : pour les ouvrages exposes `a la mer, aux embruns ou aux atmosph`eres tr`es agressives (industries chimiques),- 3 cm : pour les parois soumises `a des actions agressives ou `a des intemperies ou des condensations,- 1 cm : pour des parois situees dans un local couvert et clos et qui ne seraient pas exposees aux condensations.En outre, lenrobage de chaque armature est au moins egale `a son diam`etre si elle est isolee ou `a la largeur du paquet dont elle fait partie (A.7.2,4), comme indique sur la Figure 22.Afin de permettre le passage de laiguille vibrante, il convient de laisser des espacements dau moins 5 cm (A.7.2,8).

Fig. 22: Protection des armatures et conditions de betonnage correct.3.2Possibilites de betonnage correct3.2.1Diam`etre maximal des aciersAciers longitudinauxPour les dalles et voiles depaisseur h, afin dameliorer ladherence acier-beton, on limite le diam`etre des aciers longitudinaux `a :hl 10 .Aciers transversauxPour les poutres de hauteur h on limite le diam`etre des aciers transversaux `a :hb0t Min( 35 , l , 10 ),ou` b0 est la largeur de lame.OG 2004

3.2.2Espacement minimumLa Figure 23 permet de determiner le nombre maximum de fils darmatures dun diam`etre donne en fonction de la largeur de la poutre.

Fig. 23: Nombre de barres en fonction de la largeur de beton.

4Dimensionnement des sections en flexion simple4.1Generalites4.1.1Domaine dapplicationUn element est soumis `a de la flexion simple si les sollicitations se reduisent`a un moment flechissant Mz et un effort tranchant Vy . Si leffort normal Nx nest pas nul, alors on parle de flexion composee (voir la partie 11). En beton arme on distingue laction du moment flechissant qui conduit au dimensionne- ment des aciers longitudinaux de laction de leffort tranchant qui concerne le dimensionnement des aciers transversaux (cadres, epingles ou etriers). Ces deux calculs sont menes separement, et dans cette partie on se limitera aux calculs relatifs au moment flechissant. La partie 5 traitera des calculs relatifs `a leffort tranchant.Les elements dune structure soumis `a de la flexion simple sont principalement les poutres, quelles soient isostatiques ou continues. Pour une poutre iso- statique, le calcul des sollicitations Mz et Vy est simple et il est conduit en utilisant les methodes de la resistance de materiaux (RdM). Pour une poutre continue, lhyperstaticite rend les calculs plus compliques et le BAEL propose deux methodes qui permettent devaluer les sollicitations dans les poutres conti- nues en beton arme. Ces deux methodes sont presentees dans la partie 7 ainsi que la construction de lepure darret de barres `a partir de la connaissance dela courbe enveloppe du moment flechissant.Ce qui suit est limite au calcul des sections rectangulaires et en T sans acier comprime. Pour ce qui est des sections en T on se reportera au paragraphe 4.4. Sil apparat necessaire de placer des aciers comprimes dans une section de beton, cest que son coffrage est mal dimensionne et il est preferable pour des raisons economiques, mais aussi de fonctionnement, de le modifier.4.1.2Portees des poutres

En beton arme, la portee des poutres `a prendre en compte est (voir Figure 24) :- la portee entraxe dappuis lorsquil y a des appareils dappui ou que la poutre repose sur des voiles en maconnerie,- la portee entre nus dappuis lorsque les appuis sont en beton arme (poutre principale, poteau ou voile).4.2Flexion simple `a lELU4.2.1Hypoth`esesLes principales hypoth`eses du calcul des sections en BA soumises `a de la flexion simple aux ELU sont les suivantes :X les sections planes restent planes,X il ny a pas de glissement `a linterface beton-armatures,X le beton tendu est neglige,X laire des aciers nest pas deduite de celle du beton,X laire des aciers est concentree en son centre de gravite,X le comportement de lacier est defini par le diagramme contrainte-deformationOG 2004

Fig. 24 : Definition de la portee dune poutre selon quelle repose sur desappareils dappuis, des elements en maconnerie ou en beton arme.de calcul de la Figure 12.X pour le comportement du beton, on adoptera le diagramme rectangulaire sim- plifie (car la section nest que partiellement comprimee) , defini sur la Figure 25,ou` la contrainte de calcul `a lELU du beton est donnee par :avec

fbu =

0.85fcj,b- fcj la resistance caracteristique requise en compression `a j jours du beton,- un coefficient qui tient compte de la duree dapplication des charges.- b = 1.5 dans les cas courants.

Fig. 25 : Definition des diagrammes contrainte-deformation parabole-rectangleFigure (8) et rectangulaire simplifie dans la section de beton comprime4.2.2NotationsPour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la Figure 26, ou`:X b et h sont la largeur et la hauteur de la section de beton.X As est la section dacier, dont le centre de gravite est positionne `a d de la4.2Flexion simple `a lELU37fibre la plus comprimee du coffrage.X yu est la position de laxe neutre par rapport `a la fibre la plus comprimee du coffrage.X st est la valeur de la contrainte de calcul des aciers, limitee `a fsu.

Fig. 26: Notations utilisees pour les calculs de flexion simple `a lELU.4.2.3Droites de deformation - PivotsPour les calculs `a lELU, on suppose quun point de la droite de deformation dans la section est fixe. Ce point sappelle le pivot. Soit il correspond `a la deformation limite de traction dans les aciers st = 10 / : cest le Pivot A, soitil correspond `a la deformation limite en compression du beton bcmax = 3.5 / :cest le Pivot B. Toutes les droites de deformation comprises entre la droite(Pivot A, bcmax = 0) et (st = 0 / , Pivot B) sont possibles, comme le montre la Figure 27. Le bon fonctionnement de la section de Beton Arme se situe aux alentours de la droite AB, car les deux materiaux - acier et beton - travaillent au mieux.Fig. 27 : Definitions des differentes droites de deformation possibles en flexionsimple `a lELU et des Pivots.OG 200438Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/054.2.4Equations de lequilibreLequilibre de la section vis `a vis de leffort normal et du moment flechissant conduit aux deux equations suivantes :selon N :Nu = 0.8byufbu Asst = 0selon M :Mu = 0.8byufbu(d 0.4yu)en y = (d yu)

= Asst(d 0.4yu)en y = 0.6yu

= 0.8byufbu0.6yu + Asst(d yu)en y = 04.2.5Compatibilite des deformationsLhypoth`ese de continuite des deformations dans la section (pas de glissement des armatures par rapport au beton) conduit `a lequation suivante :bcmaxyu

st=,d yudou` si la droite de deformation passe par le pivot A, la deformation maximaledu beton comprime vaut :Pivot A:bcmax =

yud yu

10 /,et si la droite de deformation passe par le pivot B, la deformation des aciersvaut :Pivot B:st =

d yuyu

3.5 /.4.2.6Adimensionnement :On definit les quantites adimensionnees suivantes : u =Mu

yu la hauteur reduitedet u = bd2f

le moment ultime reduit.Il vient dapr`es les equations de lequilibre :u = 0.8u(1 0.4u).La hauteur reduite est solution de lequation du second degres precedente :u = 1.25(1 p1 2u).4.2.7Calcul des sections dacierDans la phase de calcul des aciers, les inconnues sont : As, st, d et yu.Afin deliminer une inconnue, on fait lhypoth`ese complementaire d 0.9h.On calcule le moment ultime reduit u, puis u. Le Pivot et la contrainte dansles aciers st sont determines a partir de labaque de la Figure 28, en fonctionde la valeur de u.4.3Flexion simple `a lELS39Fig. 28 : Valeurs de u, du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus sten fonction de la valeur du moment ultime reduit u.La section dacier est ensuite obtenue par :As =

Mu.std(1 0.4u)Apr`es ce calcul, il est bon de calculer la valeur exacte de d en fonction duferraillage mis en place et de verifier quelle est superieure `a 0.9h, ce qui va dans le sens de la securite. On peut eventuellement iterer afin doptimiser le ferraillage.4.2.8Pre-dimensionnementPour un pre-dimensionnement rapide de la hauteur du coffrage, on se place surla droite de deformation AB (u 0.2), dou`avec d 0.9h et b 0.3h.

bd2 Mu ,0.2fbu4.3Flexion simple `a lELSCe qui suit est limite au calcul des sections rectangulaires sans acier comprime. LELS est dimensionnant par rapport `a lELU lorsque la fissuration est consideree comme tr`es prejudiciable `a la tenue de louvrage dans le temps (FTP) et parfois lorsquelle est prejudiciable (FP). Dans ce dernier cas, on dimensionnera `a lELUet on verifiera que la section dacier est suffisante pour lELS. En FTP, il faut faire le calcul de la section dacier directement `a lELS.4.3.1Hypoth`esesLes principales hypoth`eses du calcul des sections en BA soumises `a de la flexion simple aux ELS sont les suivantes :X les sections planes restent planes,X il ny a pas de glissement `a linterface beton-armatures,X le beton et lacier sont consideres comme des materiaux elastiques,X le beton tendu est neglige,X laire des aciers nest pas deduite de celle du beton,OG 2004

X laire des aciers est concentree en son centre de gravite,X le coefficient dequivalence n = Es/Ej est fixe forfaitairement `a n = 15.4.3.2NotationsPour les calculs aux ELS, on utilise les notations definies sur la Figure 29, ou`:X b et h sont la largeur et la hauteur de la section de beton.X As est la section dacier, dont le centre de gravite est positionne `a d de la fibre la plus comprimee du coffrage.X y1 est la position de laxe neutre par rapport `a la fibre la plus comprimee du coffrage.X st = Esst est la contrainte de calcul des aciers, definie `a partir du module dYoung de lacier Es et de la deformation dans les aciers st.X bcmax = Ebbcmax est la contrainte de calcul du beton comprime, definie `a partir du module dYoung du beton Eb et de la deformation maximale du beton comprime bcmax .

Fig. 29: Notations utilisees pour les calculs en flexion simple `a lELS.4.3.3Equations de lequilibreLequilibre de la section vis `a vis de leffort normal et du moment flechissant conduit aux deux equations suivantes :selon N :Nser =

12 by1bcmax Asst = 01y1selon M :Mser =

2 by1bcmax (d y1

3 )en y = (d y1)2= Asst(d 1

)en y =y133=by2bc3

max

+ Asst(d y1)en y = 0Notons que les trois expressions du moment flechissant en trois points differentsde la section sont rigoureusement identiques puisque leffort normal est nul(sollicitation de flexion simple).

4.3.4Compatibilite des deformationsLhypoth`ese de continuite des deformations dans la section (pas de glissement des armatures par rapport au beton) conduit `a lequation suivante entre les deformations :bcmaxy1

st=d y1Lacier et le beton ayant un comportement elastique, on en deduit une relation entre les contraintes :bcmaxy1

st=n(d y1)4.3.5Contraintes limites dans les materiauxLELS consiste `a verifier que les contraintes maximales dans la section la plus sollicitee restent inferieures `a des valeurs limites fixees reglementairement. On distingue :X lELS de compression du beton :bcmax bc = 0.6fcjX lELS douverture de fissures :st stou`st = fe si la fissuration est consideree peu prejudiciable (FPP) `a la tenue de louvrage dans le temps,st = Min{2fe/3; Max{0.5fe; 110pftj }} si la fissuration est prejudiciable(FP),st = 0.8 Min{2fe/3; Max{0.5fe; 110pftj }} si la fissuration est tr`es prejudiciable(FTP).Dans ces formules est un coefficient qui depend du type dacier : = 1.6pour des HA > 6 mm, = 1.0 pour des ronds lisses et = 1.3 pour des HA< 6 mm.4.3.6Dimensionnement et verificationPour le calcul de la section dacier (dimensionnement) ou de calcul des contraintes maximales (verification), on adoptera la demarche presentee dans le tableau dela Figure 30. Pour un calcul rapide, on pourra utiliser labaques de la Figure 31.4.4Section en T4.4.1Pourquoi des sections en T ?Les poutres en beton arme dun batiment supportent souvent des dalles. Il est alors loisible de considerer que la dalle supportee par la poutre reprend une partie des contraintes de compression induites par la flexion de la poutre. Attention, ceci nest vrai que si la dalle est comprimee, cest-`a-dire si la poutre subit unOG 2004

ser

21lim bc

1lim1ser31st1Fig. 30 : Etapes du dimensionnement des sections dacier et de la verificationdes contraintes en flexion simple `a lELS.moment positif. Donc, pour une poutre continue, seule la partie en travee est concernee et sur appui il faudra considerer une poutre rectangulaire de largeurla largeur de lame.Le BAEL (A.4.1,3) definit la largeur du debord `a prendre en compte de facon forfaitaire (voir la Figure 32), comme au plus egale `a :- le dixi`eme de la portee de la poutre,- les deux tiers de la distance de la section consideree `a laxe de lappui le plus proche,- la moitie de la distance entre deux poutres supportant la meme dalle.On peut aussi rencontrer des poutres en beton arme de sections en T (ou enI) sur des charpentes industrielles. Dans ce cas, la largeur du debord est donne par la geometrie de la section de beton.4.4.2Fonctionnement des sections en TOn utilise les notations definies sur la Figure 33. Que lon soit `a lELU ou `a lELS,la facon de traiter le calcul est identique (en gardant bien sur les hypoth`eses de letat limite considere). On traitera donc ici les deux etats limites en parall`ele.

Fig. 31 : Abaques de Dimensionnement et de verification en flexion simple `alELS.OG 2004

Fig. 32 : Dimensions des debords `a prendre en compte pour le calcul dunepoutre en T.On distinguera deux cas, selon que laxe neutre est compris dans la table de compression ou non :X Laxe neutre est dans la table de compression. On a donc yu h1 (ouy1 h1 `a lELS). Le beton tendu etant neglige, la poutre en T se calcule exactement comme une poutre rectangulaire de largeur b, `a lELU ou `a lELS.X Laxe neutre est sous la table de compression. On a donc yu > h1 (ouy1 > h1 `a lELS). Une partie de la contrainte normale est reprise par la tablede compression de largeur b, lautre par une partie de lame de largeur b0 et de hauteur 0.8yu h1 `a lELU (y1 h1 `a lELS).

Fig. 33: Notations utilisees pour le calcul dune poutre en T.Determination a posterioriCest le calcul recommande. En effet dans 99% des cas, une poutre en T se calcule comme une poutre rectangulaire. On fera donc le calcul de la poutre en T comme si cetait une poutre rectangulaire de

largeur b. On verifiera a posteriori que yu h1 (ou y1 h1 `a lELS). Si cettecondition nest pas verifiee, il faut refaire le calcul avec les hypoth`eses dune poutre en T (voir plus loin).Determination a prioriCe nest pas le calcul recommande, pour les raisons donnees plus haut. On calculera en preambule le moment resistant de la table defini comme le moment que peut reprendre la table si elle est enti`erement comprimee (0.8yu = h1 `a lELU ou y1 = h1 `a lELS). Ce moment vaut :M= bh f

(d

h1 )`a lELUtu

1 bu2h1Mtser = b 2 bc(d

h1 )`a lELS34.4.3Calcul des vrais sections en TAvant dentamer ce calcul on regardera sil nest pas possible de modifier le coffrage de la poutre (h et/ou h1) de telle sorte que laxe neutre se retrouve dans la table de compression. Cest de loin la meilleure solution, car si laxe neutre est en dessous de la table, cela veut dire que la poutre risque de ne pas verifier les conditions de fl`eches maximales.A lELULes calculs `a lELU sont conduits en soustrayant au moment flechissant`a reprendre Mu le moment flechissant repris par les debords du hourdis Mutable, comme indique sur la Figure 34. On se ram`ene donc au calcul de deux sections rectangulaires, lune de largeur b b0 et lautre de largeur b0.Fig. 34 : Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a lELU :le moment ultime est repris dune part par les debords de la table et dautre part par la partie de lame au dessus de laxe neutre.Les etapes du calcul sont les suivantes :1. calcul de la part de moment repris par les debords de la table :Mutable = (b b0)h1fbu(d h1/2).2. calcul de la part de moment que doit reprendre lame :Muame = Mu Mutable.3. calcul classique de la section dacier `a prevoir pour reprendre Muame (cal- cul du moment ultime reduit u, de u et de st).OG 2004

4. calcul de la section dacier `a mettre en place As = Aame + Atable, avecAtable =

Mutablest(d h1/2)

etAame =

Mu Mutablestd(1 0.4u)A lELSA lELS le probl`eme est un peu plus complexe puisque les contraintesdans le beton varient lineairement. Ainsi, on ne peut pas connatre a priorila valeur de la resultante du beton comprime qui depend de la position de laxe neutre y1. Pour resoudre ce probl`eme, on decompose la resultante des contraintes de compression du beton en deux resultantes fictives : Nbc1 et Nbc2 comme indique sur la Figure 35. Nbc1 est la resultante de la poutre fictive rectangulaire equivalente et Nbc2 est la partie reprise par le beton fictif sous la table de compression. En notant K la pente de la droite des contraintes dansla section (y) = K y, on a :N

bc1 =

1 K by221

sappliquant en2

23 y12Nbc2 = 2 K (b b0)(y1 h1)

sappliquant en(y1 h1)Les equations de lequilibre secrivent alors :Nbc1 Nbc2 Asst = 0selon N223 y1Nbc1 3 (y1 h1)Nbc2 + (d y1)Asst = Mserselon M sur lANDe plus, comme pour le calcul dun section rectangulaire, on adoptera st = stpour minimiser la section dacier.Comme pour les sections rectangulaires, lequation de compatibilite des deformations fournit une equation supplementaire reliant les contrainte via la pente K de la droite des contraintes st = nK (dy1)et bcmax = K y1.On a donc trois inconnues y1, bcmax et As pour troisequations, et on peut resoudre ce syst`eme. On prendra garde de verifier en finde calcul que bcmax bc = 0.6fcj .

Fig. 35 : Principe du calcul de la section dacier pour une poutre en T `a lELS :la resultante des contraintes de compression est calculee comme la difference des contraintes sappliquant sur une surface b y1 en 2y1/3 et celles sappliquant sur une surface (b b0) (y1 h1) en 2(y1 h1)/3.4.5Condition de non fragilite474.5Condition de non fragiliteLa condition de non fragilite conduit `a placer une section minimum darmatures tendues pour une dimension de coffrage donnee. Une section de beton arme est consideree comme non fragile si le moment flechissant entranant la fissurationde la section de beton conduit `a une contrainte dans les aciers au plus egale `a leur limite delasticite garantie (A.4.2). On evalue la sollicitation de fissurationen considerant la section de beton seul soumise `a une contrainte normal variantde facon lineaire sur toute la section et en limitant les contraintes de traction`a ftj .En flexion simple, pour une poutre rectangulaire de dimension bh, la contrainte maximale de traction vaut :hMf iss hbtmax = b( 2 ) = I

= ftj ,ou` Ib = bh3/12 est le moment quadratique de la section de beton non armenon fissure. On en deduit :Mf iss =

ftj bh2.6La condition de non fragilite suppose que lorsque la section de beton arme estsoumise `a Mf iss, alors la contrainte dans les aciers vaut au plus fe, soit commele moment dans la section est egale `a :M = Asfezb,on obtient la relation suivante donnant la section minimale dacier verifiant la condition de non fragilite :ftj bh26

= Aminfezb.Si, de plus, on suppose que zb 0.9d 0.92h, la condition de non fragilitesecrit (A.4.2,2) :Amin = 0.23 ftj .bdfe4.6Choix du dimensionnement

Le choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section dacier depend du type de fissuration, comme indique sur la Figure 36.Type de fissurationFissuration PeuPrejudiciableFissurationPrejudiciableFissuration Tr`esPrejudiciable

DimensionnementELUELU (ou ELS)ELS

VerificationELSELS (ou ELU)inutile

Fig. 36: Choix de letat limite dimensionnant.OG 200448Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/055Sollicitation deffort tranchant5.1Dimensionnement des sections sous sollicitation deffort tran- chant (A.5.1,2)Tous les calculs sont menes `a lELU.5.1.1Contrainte tangente conventionnelle (A.5.1,1)La contrainte tangente conventionnelle utilisee pour les calculs relatifs `a leffort tranchant est definie par :u =

Vu ,b0dou` Vu est leffort tranchant `a lELU dans la section, b0 la largeur de lame etd 0.9h la position des aciers tendus.5.1.2ELU des armatures dame (A.5.1,23)Le rapport de la section At sur lespacement st des armatures transversales doit verifier linegalite suivante:Ats(u 0.3ftj k) ,ou`

b0st 0.9fe(cos + sin )X b0 est la largeur de lame,X fe est la limite delasticite garantie des armatures transversales,X s le coefficient de securite partiel sur les armatures (en general s = 1.15),X est langle dinclinaison des armatures transversales ( = 90 si elles sontdroites),X ftj est la resistance caracteristique du beton `a la traction `a j jours,X k est un coefficient qui vaut: - k = 1 en flexion simple,- k = 1 + 3cm/fcj en flexion composee avec compression (cm contrainte moyenne),- k = 110tm/fcj en flexion composee avec traction (tm contrainte moyenne),- k = 0 si la fissuration est consideree tr`es prejudiciable ou si il y a une reprise de betonnage non traites,- k 1 si la reprise de betonnage est munie dindentations dont la saillie atteint

au moins 5 mm.En flexion simple, on utilise souvent la formule simplifiee (armatures droites, participation du beton en traction negligee) :AtVU

= VU,st 0.9dfsu

zbfsu5.1.3ELU du beton de lame (A.5.1,21)La contrainte tangente conventionnelle u doit verifier :- dans le cas ou` les armatures sont droites :5.1Dimensionnement des sections sous sollicitation deffort tranchant(A.5.1,2 )49en FPP : u Min{

0.2fcjb

; 5 M P a}0.15fcjen FP et FTP : u Min{b

; 4 M P a}- dans le cas ou` les armatures sont inclinees `a 45 :0.27fcju Min{b

; 7 M P a}Si les armatures sont disposees de facon intermediaire (45 < < 90), il estloisible de proceder `a une interpolation lineaire pour fixer la valeur de u.5.1.4Dispositions constructives

Pourcentage minimal darmatures transversales (A.5.1,22)AtfeIl faut verifier : st Min{0.9d; 40 cm} et

b0st

0.4 M P a.Diam`etre des aciers transversaux (A.7.2,2)hb0Il faut verifier : t Min{l ; 35 ; 10 }.5.1.5Justification des sections dappuis (A.5.1,3) Appui de rive

Effort de traction dans larmature inferieure :On doit prolonger les armatures inferieures au del`a du bord de lappui et y ancrer une sections darmatures longitudinales suffisantes pour equilibrer leffort tranchant sur lappui Vu0, soit :Ast ancree Vu0/fsuAncrage des armatures inferieures :On doit determiner le type dancrage des armatures inferieures (droit ou par crochet). Pour cela, on calcule la longueur de lancrage droit necessairel = Vu0/(nssu)ou` ns est le nombre de barres ancrees. Si l a alors un ancrage droit est suffi- sant, sinon il faut prevoir des crochets (voir la Figure 37 pour la definition de a).Dimension de lappui :La contrainte de compression dans la bielle doit verifier :bc =

2Vu0ab0

0.8

fcj ,bou` la grandeur a est definie sur la Figure ??.Appui intermediaireAncrage et bielle dappui :MuIl convient dancrer une section Ast (Vu + 0.9d )/fsu (`a verifier de chaquecote de lappui ; Mu en valeur algebrique)OG 200450Beton Arme IUP GCI3 - Option OS - 2004/05

Fig. 37 : Definition de la largeur a de la bielle de compression au niveau dunappui.Pour la contrainte de compression, il faut effectuer la meme verification que pour un appui simple mais de chaque cote de lappui (Vu `a gauche et `a droitede lappui).Surface de lappui :Si Ru est la reaction totale dappui, il faut verifier :Rusection dappui

1.3fcj.b5.1.6Repartition des armatures transversalesPour determiner la section dacier transversale et lespacement des cadres, il faut proceder de la mani`ere suivante (voir Figure 38) : Pour des raisons de mise en uvre, les espacements st sont choisis dansla suite de Caquot (non obligatoire, conseille) :7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 16 - 20 - 25 - 35 - 40 On se fixe la valeur de la section darmature transversale At, ce qui revient dans les faits `a choisir le diam`etre des armatures transversales (avec t l /3 < Min{h/35, b0/10, l }). Pour des facilites de mise en uvre, on placera des cadres identiques sur toute la travee. On determine lespacement st0 = zbfsuAt/Vu sur lappui, et le premier cadre est place `a st0 /2 du nu de lappui. On determine la repartition des armatures transversales suivantes de facon`a avoir un effort tranchant resistant VuR(x) qui enveloppe la courbe de leffort tranchant `a reprendre Vu(x). Pour cela, on peut proceder graphi- quement sur le diagramme de leffort tranchant en reportant les valeurs des efforts tranchants resistants VuRi = zbfsuAt/sti pour les differents espacements sti de la suite de Caquot superieurs `a st0 . On rep`ete autantde fois que necessaire lespacement sti , jusqu`a pouvoir adopter lespa-cement suivant sti+1 dans la suite de Caquot (voir exemple ci-dessous).On doit par ailleurs verifie que lespacement maximal reste inferieur `aMin{0.9d; 40cm; Atfe/(0.4b0)}.5.2Verifications diverses liees `a lexistence de leffort tranchant51Fig. 38 : Exemple de trace de la repartition des cadres dans une poutre enfonction de la courbe enveloppe de leffort tranchant. Pour une travee, la cotation de lespacement des cadres se fait `a partir des deux nus dappui, ce qui permet de ne pas cote lespacement central qui, a priori, peut ne pas comporter un nombre entier de centim`etres.5.2Verifications diverses liees `a lexistence de leffort tranchant5.2.1Entranement des armatures (A.6.1,3)La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au niveaude larmature tendue peut conduire `a un glissement de la barre par rapportau beton.Il convient donc de sassurer que leffort tranchant resultant Vu est equilibre par ladherence se developpant au contact acier-beton pour les differentes armatures isolees ou paquets darmatures.Chaque armature isolee (ou paquet darmatures) daire Asi et de perim`etre utile ui reprend une fraction Asi/As de leffort tranchant, avec As la section totale des aciers longitudinaux tendus. Leffort normal dans larmature i vaut donc :Nsti =

AsiAs

Vu.Cet effort de traction Nsti doit etre equilibre par la contrainte dadherencedentranement se entre larmature et le beton sur une longueur zb (hypoth`eseOG 2004

du fonctionnement selon un treillis de Ritter-Morsch), soit :sezbui =

AsiAs

Vu,ou` le perim`etre utile ui est defini sur la Figure 39.

Fig. 39: Definition du perim`etre utile dun paquet de barres.Il faut verifier pour chaque paquet de barres que la contrainte dadherence sereste inferieure `a la valeur limite ultime se,u (A.6.1,3):VuAsi

- s = 1 pour les ronds lisses,se = 0.9du A

se,u = sftj ,avec

- s

= 1.5 pour les aciers HA.5.2.2Decalage de la courbe du moment flechissant (A.4.1,5)La r`egle du decalage tient compte de linclinaison `a 45 des bielles de beton comprimee : leffort de traction Ns dans les aciers est constant sur une longueurzb (fonctionnement simplifie selon un treillis de Ritter-Morsch comme decrit surla Figure 40). Par consequent, leffort agissant dans larmature doit etre evalueen prenant en compte le moment flechissant agissant `a une distance zb de la section consideree.

Fig. 40 : Fonctionnement de la section de beton arme selon un treillis deRitter-Morsch.Pour tenir compte de ce decalage, le BAEL propose de decaler horizontalementde 0.8h (zb 0.9d et d 0.9h) dans le sens defavorable la courbe des mo- ments flechissants, ce qui revient `a rallonger de 0.8h les deux cotes des aciers longitudinaux.

5.3R`egles des coutures generalisees (A.5.3)5.3.1R`egle generaliseeTout plan soumis `a un effort de cisaillement doit etre traverse par des armatures de couture totalement ancrees de part et dautre de ce plan, faisant un angle dau moins 45 avec lui et inclinees en sens inverse de la direction probable des fissures du beton. Si les actions tangentes sont susceptibles de changer de sens,les armatures de couture doivent etre normales au plan sur lequel sexercent les actions.5.3.2Section dacier de coutureConsiderons un element daire dP = p.dx du plan [P ], de largeur dx et de pro- fondeur p, situe entre deux fissures et traverse par une armature de couture. Le plan [P ] est suppose soumis `a un effort de cisaillement g par unite de longueuret `a une contrainte uniforme de compression (ou traction) u perpendiculaire- ment `a [P ] (voir Figure 41).Lelement daire dP est donc soumis aux efforts suivants :- un effort de cisaillement g.dx contenu dans [P ],- un effort de compression p.dx.u normal `a[P ],- un effort de compression dFbc incline de par rapport `a [P ] provenant des bielles de beton comprime,- un effort de traction dFst incline de par rapport `a [P ] provenant des arma- tures de couture.

Fig. 41: Equilibre dune surface elementaire du plan [P ].La projection de ces efforts sur [P ] et perpendiculairement `a [P ] conduit aux deux equations suivantes :(dFst sin( + ) = g. d x. sin p.u. d x. cos dFbc sin( + ) = g. d x. sin + p.u. d x. cos Les armatures de couture doivent equilibrer par m`etre de longueur du plan [P ]un effort :d Fstd x

= Atst

st =

At fe.st sOG 2004

Compte tenu du fait que g = u.p, la resolution du syst`eme dequations (5.3.2)conduit `a :At fep st s

sin sin + cos cos cos

= u tan uPour = 45, on obtient la meme formule que celle proposee par le BAEL enA.5.3,12. Dans les cas habituellement rencontres en BA, on a aussi = 90 (armatures de couture perpendiculaires au plan [P ]), ce qui conduit `a la formule simplifiee (commentaire du A.5.3,12 ) :At fep st s

= u

uConnaissant la contrainte de cisaillement u, il est donc possible den deduire lasection At et lespacement st des aciers de couture. La valeur de u depend du type de plan [P ] que lon consid`ere (plan de lame, liaison hourdis/ame, liaison talon/ame, . . . ).5.3.3Liaison hourdis/ameConsiderons une poutre en T , dont la table de compression de largeur b est sup- posee symetrique. Il se produit dans cette table des contraintes de cisaillement parall`element et perpendiculairement aux faces verticales de lame. Il y a doncun risque de separation entre la table de compression et lame de la poutre. Les armatures de coutures (droites) doivent reprendre leffort de cisaillement (u = 0) :ou` h1 est lepaisseur du hourdis.

At feh1 st s

= u,Hypoth`ese : Les calculs suivants sont menes en supposant que les materiauxtravaillent dans le domaine elastique (hypoth`ese des calculs aux ELS), puis transposes aux ELU sans modifications.Isolons un demi-hourdis. Comme indique sur la Figure 42, ce demi-hourdis est en equilibre sous :- des contraintes normales sur ses faces M N P Q et M 0 N 0 P 0 Q0- des contraintes de cisaillement sur sa face M N M 0 N 0Les contraintes normales en x sur M N P Q ont pour resultante :Z b/2 Z h1

bc(y). d y d z =

Mser Z b/2 Z h1

y d y d z =

Mser0Gb0 /2

y1 h1

I1b0 /2

y1 h1I1ou` m0

est le moment statique de la section M N P Q par rapport `a laxe neutre.Son expression est :

= b b0 h (yG211

h1 )2

Fig. 42: Notations et equilibre dun demi-hourdis dune poutre en T.Dans la section situee en x+d x, de facon identique la resultante des contraintes normales sur M 0 N 0 P 0 Q0 vaut :Mser + d Mser0I1GEn faisant lhypoth`ese complementaire que les contraintes de cisaillementsont uniformes sur le plan M N M 0 N 0 , lequilibre du demi-hourdis conduit `a :Mser + d Mser0I1G

Mser0I1G

+ h1

d x = 0Hors, d Mser / d x = V , et lexpression precedente se simplifie :V0I1G

= h1Dans le cas particulier ou` y1 = h1 (Hypoth`ese daxe neutre confondu avec le nu inferieur du hourdis), la definition du bras de levier zb peut secrire zb = I1/m0 ,ou` m0

est le moment statique du hourdis (m0

= bh1(y1 h1/2)) et il vient (enremplacant

par u et V par Vu) :u =

Vu m0G =

Vu m0 m0=

Vu b b0 1h1 I1

h1 m0 I1

h12bzbqui correspond `a la formule du BAEL (commentaire de larticle A.5.3,2 ). Onobtient alors la section dacier de couture `a mettre en place :Vu b b0 stAt b

2bfsuComme pour tous les calculs `a leffort tranchant, on adopte comme bras de levierzb = 0.9d. Lespacement st des aciers de couture est generalement identique `a celui des cadres de lame.OG 2004

Fig. 43: Notations pour le calcul des aciers de couture `a la liaison talon/ame.5.3.4Liaison talon/ameLes notations utilisees sont definies sur la Figure 43. Le calcul est mene defacon identique `a celui du hourdis, mais ici, comme le beton tendu est neglige, les moments statiques se reduisent `a :G = Al1(d y1) pour un demi-talon contenant une section daciers longitu- dinaux Al1,1 = Al (d y1) pour le talon entier contenant la section daciers longitudinauxAl .En notant h0 lepaisseur du talon, lequation (5.3.3) conduit `a :Vu m0 m0

Vu Al1 1u = G 1 =h0 m0 I1

h0 Al zbCette formule est celle donnee dans le commentaire de larticle A.5.3,2 du BAEL.La section dacier de couture `a mettre en place pour la liaison talon/ame est donnee par :Vu Al1 stAt b

Al fsu576Dalles sur appuis continus (A.8.2 ; B.7 ; E.3)6.1Definitions et NotationsUne dalle est un element horizontal, generalement de forme rectangulaire, dont une des dimensions (lepaisseur h) est petite par rapport aux deux autres (les portees lx et ly ). On designe par lx la plus petite des portees. On sinteresseau rapport des portees lx/ly 1. Dans le cas courant ou` il ny a pas dappareildappuis, les portees sont definies entre nus interieurs des poutres ou des voiles porteurs.6.2Domaine dapplication (A.8.2)On designe par dalles sur appuis continus, les dalles dont le rapport des porteeslx/ly est superieur `a 0.4 (on a 0.4 lx/ly 1). Lorsque le rapport des portees est inferieur `a 0.4, la dalle est calculee comme une poutre-dalle de largeur unitaire, soit isostatique soit continue (dans ce cas, on appliquera la methode forfaitaire ou la methode de Caquot pour determiner les moments de continuite).6.3Dalle articulee sur ces contours6.3.1Cas des charges repartiesLa theorie des plaques minces fournie les equations (differentielles) qui per- mettent de determiner les moments flechissants dans une plaque mince. La fl`eche u(x, y) dune plaque supportant une charge repartie p est solution de lequation:4ux4

4u+ 2x2y2

4u+y4