Chapitre 3: Choix des investissements en avenir incertainEnseignant:amn 3end lah1.IntroductionDaprs le chapitre prcdent, ltude financire des projets dinvestissement consiste analyser leur rentabilit en supposantque les flux montaires sont connus avec certitude, mais cette hypothse nest pas une description exacte de la ralit. En effet les flux montaires utiliss ne sont que des prvisions qui sont susceptibles de varier substantiellement dans le temps. Dans ces conditions, lanalyse de la rentabilit dun projet dinvestissement devra incorporer le facteur risque.2.Les mthodes approximatives pour tenir compte du risque dun projet:Ces mthodes consistent ajuster la valeur actuelle nette VAN du projet pour tenir compte de son risque.Lajustement de la VAN seffectue en modifiant lun des paramtres suivants: La dure du projet, Les flux montaires, Le taux dactualisation,Les corrections apportes ces paramtres sont dans laplupart des cas, purement subjectives et dpendent du degr daversion des gestionnaires envers le risque.2.1.Rduction de la dure du projetEn se basant sur le fait que les flux montaires les plus loigns dans le temps sont les plus risqus, certains praticiens considrent quun raccourcissement de la dure de vie permet ds lors dannuler le risque attach au projet. Ainsi, plus un projet sera jug risqu par les gestionnaires,plus grand sera le nombre dannes qui sera retranch de sa dure de vie initialementprvue.Le calcul de la VAN seffectue alors comme suit:

O n= dure de vie initialement prvue pour le projet.x= nombre dannes retranchs pour tenir compte du risqueduprojet.E(CFNt) = cash-flow net espr pour la priode t .Io: investissement initial.i :taux dactualisation appropri pour les flux montaires.Remarque: le taux dactualisation utilis est le taux sans risque tant donn que lon tient compte du risque en rduisant un certain nombre dannes de la dure de vie initiale du projet.Exemple 1

Une entreprise a la possibilit dinvestir dansprojet dont les caractristiques sont les suivantes:Investissement =100000 TNDTaux sans risque = 10 %Dure de vie = 15 ansCash-flow net annuel = 15000 TNDCompte tenu du risque du projet lun des dirigeants dsire retrancher les quatre dernires annes de la dure de vie normale du projet alors quun autre dirigeant estime quune pnalit de trois ans serait suffisante.Dterminer la VAN du projet selon chacune de ces deux hypothses.

Solution- Pnalit de 4 ans:- Pnalit de 3 ans:

A travers cet exemple nous remarquons que dans un cas le projet est non rentable, alors que dans lautre nous pouvons laccepter. Cette dmarche est trs arbitraire puisque la pnalit attribue au projet est purement intuitive et dpend de lattitude de lanalyste envers le risque.

Cette approche est trs arbitraire et a tendance pnaliser les projets dont les flux montaires les plus importants se situent au niveau des dernires annes. Sur le plan thorique, il est difficile de recommander lutilisation de cette mthode pour tenir compte du risque.2.2.Mthodes base sur lajustement des flux montairesCette approche, connue galement sous le nom de la mthode de lquivalent certain, consiste pnaliser la VAN en transformant les cash-flows nets esprs du projet en montants certains par le biais dune srie de coefficients dajustement ().Ces coefficients ont des valeurs comprises entre 0 et 1 et varient de faon inverse avec le degr de risque des cash-flows.Pour calculer la VAN nous employons la formule suivante:

Avec: coefficient dajustement du cash-flow pour la priode t.i: taux dactualisation sans risque (Voir remarque du paragraphe prcdent).Exemple 2

Soit un projet dune dure de vie gale 2 ans etncessitant un investissement de 1000 TND. Le cash-flow espr de la premire anne est 400 TND alors que celui de la deuxime anne est de 1100 TND.On suppose que le taux des bons de trsor pour une chance de 2 ans est de 10% et que le gestionnaire du projet attribue aux diffrents flux montaires les coefficients dajustement suivant:;1/ Doit-on accepter ce projet?2/ Calculer la pnalit attribue ce projet pour tenir compte du risque.

Solution1/La VAN est suprieure 0, donc le projet est accepter.2/VAN= VAN du projet en ignorant le facteur risque

La diffrence entre les deux VAN obtenues gale 272,727 54,545 = 218,182 TND reprsente la pnalit attribue au projet pour tenir compte du fait que le flux montaires sont risqus.

Il reste signaler que les applications pratiques de cette mthode sont limites compte tenu de la difficult dterminer les valeurs attribuer aux coefficients dajustement.2.3.La mthode du taux dactualisation ajustSe basant sur le fait que le rendement exig sur un investissement doit tre li au niveau de risque encouru, certains considrent que la pnalisation de la VAN pour tenir compte du risque peut se faire en ajustant le taux dactualisation en fonction du degr de risque du projet. Ainsi pour dterminer le taux utiliser pour actualiser les flux montaires incertains, on ajoutera au taux sans risque une certaine prime qui tient compte du risque.Ainsi le taux dactualisations ajust k se calcule de la faon suivante:k= taux sans risque + prime pour le risque.k=i+O k = taux dactualisationajust.i= taux sans risque= prime pour le risque normal de lentreprise et pour le risque spcifique li au projet.Ainsi3.Les mthodes demesure du risque dun projetIl sagit des mthodes qui utilisent les distributions de probabilit des flux montaires pour valuer le risque spcifique dun projet. La mesure utilise est lcart type qui reprsente la dispersion des VAN possibles par rapport la VAN espre ou moyenne. En dautres termes il reprsente la volatilit de la VAN.3.1. Cas des projets dune seule priodeLa valeur actuelle nette dun projet se calcule ainsi:n: nombre dvnements possibles associs au projetPj: probabilit de ralisation dujimevnementVANj: Valeur actuelle nette du projet si lejimevnement se produit.Alors que la variance de la VAN se calcule laide de lexpression:Quant lcart type qui caractrise le risque inhrent un projet est gale :Plus lcart type est lev, plus les VAN possibles ont tendance diffrer de la VAN espre donc plus le risque du projet, est grand.Lorsque nous comparons plusieurs projets de VAN espres diffrentes mais de risques gaux nous retiendrons le projet ayant la VAN espre la plus leve. Mais lorsque nous comparons plusieurs projets de VAN espresgaleset de risques diffrents nous choisirons le projet ayant le risque ((VAN)) le plus faible. Enfin si nous comparons des projets de VAN espres diffrentes et de risques diffrents, la solution retenir dpendra du degr daversion du gestionnaire envers le risque. Cependant, pour faciliter la prise de dcision, certains analystes calcule le degr de risque par unit de rendement espr du projet reprsent lquation suivante connue sous le nom du coefficient de variation:Exemple 3

Considrons deux projets mutuellement exclusifs X et Y. Chacun des deux projets a une dure de vie dun an et permet la ralisation des cash-flows suivants:Projet X: Investissement 50000 TNDProbabilitCFN de la 1reAnne

0,350000

0,260000

0,262500

0,370000

Projet Y:Investissement 30000 TNDProbabilitCFN de la 1reAnne

0,320000

0,440000

0,360000

Le taux sans risque est de 10%A/ Calculer pour chacun des projets la VAN espre et son risqueB/ Quel projet la firme devrait-elle retenir si son objectif est de minimiser le coefficient de variation.

SolutionProjet X1-Calcule de la VAN espreCFNCFN actualis

5000045454,545-4545,4550,3-1363,636

6000054545,4554545,4550,2909,091

6250056818,1826818,1820,21363,636

7000063636,36413636,3640,34090,909

E()5000

2-Calcul du risque() =0,3(-4545,455-5000)+ 0,2(4545,4555000)+ 0,2(6818,182 5000) + 0,3 (13636,3645000)() =50413223do() =7100,227Projet Y1-Calcul de la VANespreCFNCFN actualis

2000018181,818-11818,1820,3-3545,455

4000036363,6366363,6360,42545,455

6000054545,45524545,4550,37363,636

E()6363,636

2 Calcul de risque()=0,3(-11818,1826363,636)+0,4(6363,6366363,636)+0,3(24545,4556363,636)() =198347107do() =14083,576Calcul des coefficients de variation== 1,42== 2,213Compte tenu de son objectif, lentreprise devrait retenir le projet X puisquil offre le plus faible risque relatif.

3.2.Projet dont les flux montaires stalent sur plusieurs priodesLorsque la dure des projets couvre plusieurs priodes, il est ncessaire, en premier lieu, didentifier la nature de la dpendance existant entre les flux montaires successifs. La relation entre ces derniers peut tre de trois types: indpendance totale, dpendance totale ou dpendance partielle.3.2.1.Indpendance des flux montaires dans le tempsIl y a indpendance entre les flux montaires dun projet si les flux montaires dune priode quelconque ne sont aucunement affects par ceux des priodes prcdentes et naffectent pas ceux des priodes subsquentes.Dans ce contexte dindpendance, la VAN espre dun projet se calcul de la manire suivante:E(VAN) =Pour le calcul du risque, la formule utiliser estla suivante:(VAN)=Exemple 4

Soit un projet dune dure de vie de 2 ans, ncessitant un investissement de 50000 TND et dont la distribution de probabilit relative aux flux montaires a la configuration suivante:Anne1Anne 2

ProbabilitsCFNProbabilitsCFN

0,2250000,220000

0,5300000,325000

0,2350000,330000

0,1400000,235000

On suppose que les flux sont compltement indpendants entre eux et que letaux sans risque est de 10%.A/ Calculer la valeur actuelle nette espre du projet et le risque de ce dernier.B/ Ce projet devrait-il tre accept?

SolutionE() = 31000E() = 27500E(VAN) = 909,091() =19000000() =26250000=33631582=5799,274Le choix ou le rejet du projet dpend du degr daversion du gestionnaire envers le risque.Pour faciliter la prise dcision, il peut tre utile de calculer la probabilit que la VAN du projet soit ngative, et ce en supposant une distribution normale et en ayant recours la table de la loi normale.

==== 1-=0Comme la possibilit davoir une VAN ngative est nulle le projet sera fort probable accept.Remarque: le problme peut galement tre rsolu en utilisant larbre de dcision que nous prsenterons dans le paragraphe 3.2.3.

3.2.2.Dpendance totale des flux montaires dans le temps.Dans le contexte de dpendance totale des flux montaires dans le temps, les flux montaires de la priode t dpendent entirement des rsultats obtenus au cours des priodes prcdentes. Dans une telle situation,la formule donnant la VAN espre du projet nest pas affecte par cette modification dhypothse.

Alors que le risque du projet svalue ainsi:

Exemple 5

Reprenons lexemple prcdent mais en supposant que les flux montaires sont totalement dpendants entre eux.

Solution

on remarque que le risque du projet est plus lev lorsque les flux montaires sont parfaitement et positivement corrls que dans une situation ou ils sont indpendants

3.2.3Dpendance partielles des flux montaires dans le temps.Dans la plupart des situations rencontres en pratique, les flux montaires dun projet sont dun point de vue statistique positivement mais imparfaitement corrls. Pour aborder ce problme, il faut introduire une srie de distribution de probabilits conditionnelles.Exemple 6

Soit un projet ncessitant un investissement de 50000 TND et dont la dure est de deux ans. Le taux sans risque est de 10% et les flux montaires ont la configuration suivante:1ere Anne2eAnne

ProbabilitProbabilit

0,3200000,520000

0,325000

0,230000

0,4400000,420000

0,630000

0,3600000,525000

0,420000

0,115000

1/ Dterminer la VAN espre etle risque du projet2/ Les dirigeants de lentreprise ont dcid de naccepter que les projets ayant uncoefficient de variation infrieur o gal 0,9

Solution1remthode:

2emthode:I0

0, 520000-152890,15-2293

16529

0,3200000,325000-111570,09-1004

1818220661

0,230000-70250,06-421

24793

0,42000028930,16463

-250000,44000016529

363640,630000111570,242678

24793

0,525000252070,153781

20661

0,3600000,420000210740,122529

5454516529

0,115000169420,03508

123976240

En se basant sur la rgle de dcision tablie par les gestionnaires, ce projet ne devrait pas tre retenu.

4.Lvaluation du risque dun projet en contexte de portefeuilleLes diffrentes mthodes examines jusqu maintenant ont permis de porter un jugement sur la rentabilit et le risque dun projet pris isolement. Toutefois, tant donn que lobjectif des gestionnaires est la maximisation de la valeur de lentreprise,et sachant que cette dernire est fonction de la valeur des projets dinvestissement de lentreprise considrs dans leur ensemble, il apparat plus judicieux dvaluer le risque global de lentreprise en considrant limpact du risque relatif au nouveau projet. Ds lors, il convient de remarquer quentre deux projets, le meilleur projet, pris isolement, nest pas ncessairement le meilleur si lon prend en considration tous les projets de lentreprise (nouveaux et anciens). La dmarche suivre ce niveau est inspire de la thorie de portefeuille.Considrons un portefeuille p constitu de projets dinvestissement, la valeur actuelle nette de ce portefeuille (p) est gale la somme des valeurs actuelles nettes de chacun des projets (1,2,,n)constituant le portefeuille:E(VANp)= E(VAN1) + E(VAN2) +.+E(VANn).Alors que la variance du portefeuille est obtenue en additionnant la variance de chacun des n projets et les variances de chaque paire de projets. Algbriquement nous avons:

Puisquelexpression scrit galement:

Le degr de dpendance linaire existant entre la VAN de deux projets se mesure au moyen du coefficient de corrlation qui se calcul ainsi:

Ce coefficient de corrlation peut varierentre 1 et 1:Si: les projets voluent exactement dans la mme direction. On dit quils sont positivement et parfaitement corrls.Si:les projets voluent exactement en directions opposes. On dit quils sont ngativement et parfaitement corrls.SiLes projets voluent indpendamment les des autres.Remarque: Gnralement, en pratique, la plupart des projets retenus par une entreprise sont corrls positivement, maisimparfaitement.Il faut galement remarquer que lorsque la covariance entre les VAN des projets nest pas connue directement, on peut lvaluer en utilisant lgalit suivante:o:probabilitde ralisation de la conjoncture k.: VAN du projet i tant donn la conjoncture k.:VAN du projet j tant donn la conjoncture.Exemple 7

Lentreprise AZF tudie la possibilit dentreprendre lun des deux projets mutuellement exclusifs X et Y dont les caractristiques figurent dans le tableau suivant:Nouveaux projets ltude: X et YEtat de lconomieProbabilit associe chaque tatValeur actuelle nette

Projet XProjet Y

Priode de prosprit0,450006000

Priode de rcession0,680005000

Les projets actuellement en cours dans lentreprise ont les caractristiques suivantes:Projets actuellement en cours dans lentrepriseEtat de lconomieProbabilit associe chaque tatValeur actuelle nette

Priode de prosprit0,430000

Priode de rcession0,620000

Quel projet AZF a intrt de choisir?

SolutionConsidrant dabord chacun des projets isolment:* Projet X

* Projet Y

Rsum:Projet XProjet Y

68005400

1470490

CV0,2160,091

Dans un contexte o lon se base uniquement sur les rsultats individuels des projets, et si lobjectif est de minimiser le coefficientde variation, on devrait opter pour le projet Y. Cependant on nest pas certain que cette dcision soit optimal, puisque limpact du projet Y sur le risque global de lentreprise na pas t pris en considration.Voyons maintenant limpact de chacun des projets sur le risque global de lentreprise.* Projets actuellement en cours dans lentreprise

* Premire combinaison E+X:

* Deuxime combinaison E+Y:

Rsum:Projets actuels et projet XProjets actuels et projet Y

3080029400

34295389

0,1110,183

Les rsultats obtenus indiquent que lentreprise devrait choisir le projet X et non pas le projet Y. En effet le projet X est celui qui combin avec les autres projets de lentreprise, maximise la VAN totale espre de lentreprise, tout en minimisant le risque globale decette dernire.

5.Lanalyse des projets dinvestissement et le CAPM ou le MEDAFLanalyse des projets dinvestissement, en utilisant le MEDAF, permet de dterminer le taux dactualisation appropri pour un projet dinvestissement cest--dire le taux de rendement minimal exiger sur un projet dinvestissement.En effet, du point de vue dun investisseur dtenant un portefeuille de titres largement diversifi, le rendement minimal exiger sur un projet dinvestissement devrait tre li son risque systmatique de la faon suivante:OK: taux de rendement minimal acceptable sur le projetdinvestissement.r: taux de rendement lactif sans risquetauxde rendement espre du marchcoefficientbta du projet = risque systmatique=

Pour dterminer si un projet donn doit tre accept ou non, il convient de comparer le taux de rendement minimal (K) quexigerait le march sur ce projet compte tenu de son risque avec le taux de rendement interne espr du projet. Si le taux de rendement interne espr du projet excde le taux de rendement exig par le march, le projet devrait tre accept, si non il devrait tre rejet.Remarque:* Ce modle ne devrait tre utilis que pour des projets dont la dure de vie est dune seule priode car lune des hypothses de base du MEDAF est que lhorizon de planification est dune priode.* En outre, lquation ne devrait tre utilise pour dterminer le taux de rendement minimal exiger sur un projet dinvestissement que dans les deux cas suivants:1- lentreprise est finance 100% par des fonds propres ou2- la structure de capital na aucune influence sur le cot du capital.Si cette ces conditions ne sont pas vrifier il convient dajuster le taux de rendement minimal pour tenir compte de limpact du financement par dette.