cours automatique regulation

7/22/2019 Cours Automatique Regulation

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Cours, Travaux dirigs et Travaux pratiques

AA a iqu uuttoommattiqueettrr uullaattiioon


Maher CHAABENE (Matre assistant GEII)

Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

k

at1K

)ap(

1e

)!1K(

tLP

=

Maher CHAABENE (Matre assistant GEII)

Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

I n s t i t u t Supr ieu r de s tu de s t ec hn o l o g i q ue s de S f a x

x.bdt

dx

bdt

dx

b...dt

dx

by.adt

dy

adt

dy

a...dt

dy

a 012

2

2m

m

m012

2

2n

n

n ++++=++++

)t(e.K)t(sdt

)t(ds=+

p.1

K

)p(E

)p(S)p(H

+==

)t(ue1K)t(s

t

=

).t(u.t

exp.)t(.Ka)t(y

+=

( ) ( )

=

+=

++

+=

w

K)H(jw)(Im

w1K

)H(jw)(Re

.w1

jK

.w1K

H(j.w)

+1

1pww 0

2

z.2p

K

wp.w.z.2p

w.K

)p(E

)p(S)p(H

0

222

20 =

++==

00 ++ ( )

2

.t.z1wsin.e.z1

11K)t(s

0

tzw

2

0

+

= Pour le technicien suprieu


10-3

10-2

10-1

100

101

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Pulsation W

G dB

-3 dB

f1 10 f1

4 0 d B /d c

wo

20.logK

e

z=21z=

z=0.7

z=0.5

z=0.1

10-3

10-2

10-1

100

101

-200

-150

-100

-50

0Pulsation WDephasage

-90

-180

wo

z=2

z=1 z=0.7

z=0.5z=0.1

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Step R sponse

Time (sec)

Amplitude

e

z=0.1

z=0.3

z=0.5

z =0.7

z=1

z=2AAuuttoommaattiiqquu et rgu ationet rgulationl


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Plan du coursNomenclature

Chapitre 1 : Notion de systmeslineaires asservis

1. Notion de systmes................................................................................................................. 21.1. Dfinition...........................................................................................................................2

1.2. Classification des systmes.............................................................................................. 21.2.1. Les systmes linaires ..............................................................................................21.2.2. Les systmes invariants ............................................................................................31.2.3. Les systmes modle dterministe ........................................................................ 31.2.4. Les systmes asservis ..............................................................................................3

1.3. Performances des systmes asservis.............................................................................. 51.3.1. Notion de stabilit......................................................................................................51.3.2. Notion de rapidit ......................................................................................................51.3.3. Notion de prcision................................................................................................... 6

2. Notion de signal....................................................................................................................... 62.1. Dfinition...........................................................................................................................6

2.2. Signaux canoniques......................................................................................................... 6

3. Rponses particul ires dun systme scalaire ..................................................................... 73.1. Rponse impulsionnelle.................................................................................................... 73.2. Rponse indicielle............................................................................................................. 7

4. Rponse un signal quelconque........................................................................................... 7

Chapitre 2 : Les systmes linaires cont inus

1. Prsentation........................................................................................................................... 101.1. Dfinition.........................................................................................................................10

1.2. Principe de proportionnalit............................................................................................ 101.3. Principe d'additivit ou de superposition......................................................................... 11

2. Mise en quation dun systme linaire .............................................................................. 11

3. Transforme de Laplace ....................................................................................................... 123.1. Formulation mathmatique............................................................................................. 133.2. Proprits et thormes................................................................................................. 133.3. Table des transformes de Laplace................................................................................ 143.4. Exemple.......................................................................................................................... 17

4. Srie de TD N1...................................................................................................................... 19

Cours dautomatique et rgulation - I -


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Chapitre 3 : Reprsentation graphique des systmes linaires continus

1. Fonction de transfert............................................................................................................. 21

2. Diagramme fonctionnel......................................................................................................... 222.1. Dfinition.........................................................................................................................222.2. Exemple de schma bloc dun systme en boucle ferme............................................. 222.3. Rgles de simplification.................................................................................................. 22

2.3.1. Mise en srie...........................................................................................................222.3.2. Mise en parallle .....................................................................................................232.3.3. Structure en boucle ferme .....................................................................................232.3.4. Dplacement des nuds dinformations ................................................................. 242.3.5. Permutation de deux nuds successifs.................................................................. 242.3.6. Dplacement de sommateurs ................................................................................. 24

2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs ......................................................... 252.4. Principales transmittances lectriques et mcaniques ................................................... 252.5. Applications....................................................................................................................26

2.5.1. Systme lectronique..............................................................................................262.5.2. Moteur courant continu.........................................................................................28

3. Lieux de transfert................................................................................................................... 293.1. Introduction.....................................................................................................................293.2. Interprtation dans le plan complexe.............................................................................. 293.3. Les lieux de transfert ......................................................................................................30

3.3.1. Lieu de Bode ...........................................................................................................303.3.2. Lieu de Nyquist .......................................................................................................303.3.3. Lieu de Black...........................................................................................................313.3.4. Abaque de Black .....................................................................................................31

4. Srie de TD N2...................................................................................................................... 32

Chapitre 4 : Etudes des systmes lmentaires

1. Etude d 'un sys tme de premier ord re.................................................................................. 351.1. Etude temporelle............................................................................................................. 35

1.1.1. Dfinition .................................................................................................................351.1.2. Rponse impulsionnelle ..........................................................................................35

1.1.3. Rponse indicielle ...................................................................................................361.1.4. Application...............................................................................................................361.1.5. Relation tempsfrquence ......................................................................................37

1.2. Etude harmonique.......................................................................................................... 371.2.1. Reprsentation de Bode..........................................................................................381.2.2. Reprsentation deNyquist .......................................................................................391.2.3. Reprsentation de Black .........................................................................................40

2. Etude d 'un systme de second ordre .................................................................................. 412.1. Dfinition.........................................................................................................................412.2. Etude temporelle............................................................................................................. 42

2.2.1. Rponse impulsionnelle ..........................................................................................422.2.2. Rponse indicielle ...................................................................................................43

Cours dautomatique et rgulation - II -


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2.3. Etude harmonique.......................................................................................................... 47

2.3.1. Diagrammes de Bode..............................................................................................472.3.2. Reprsentation dans le plan de Nyquist .................................................................. 502.3.3. Reprsentation dans le plan de Black ..................................................................... 50

2.3.4. Exemple ..................................................................................................................513. Srie de TD N2...................................................................................................................... 52

Chapitre 5 : Performances des systmes linaires asservis

1. Introduction............................................................................................................................ 58

2. Stabilit................................................................................................................................... 582.1. Dfinition.........................................................................................................................582.2. Condition de stabilit ......................................................................................................58

2.2.1. Critre de Routh......................................................................................................59

2.2.2. Applications.............................................................................................................592.3. Critre deNyquist...........................................................................................................60

2.3.1. Critre de Nyquist simplifi......................................................................................602.3.2. Marge de gain .........................................................................................................612.3.3. Marge de phase ......................................................................................................61

2.4. Critre deBlack ..............................................................................................................622.4.1. Critre de Black.......................................................................................................622.4.2. Abaque de BlackNichols.......................................................................................63

2.5. Critre de Bode.............................................................................................................642.5.1. Critre de Rivers .....................................................................................................642.5.2. Critre de Bode .......................................................................................................64

3. Prcision ................................................................................................................................ 643.1. Dfinition.........................................................................................................................643.2. Classe dun systme....................................................................................................... 65

4. Rapidit .................................................................................................................................. 664.1. Rappel et dfinition......................................................................................................... 664.2. Critre deNaslin .............................................................................................................66

5. Srie de TD N3...................................................................................................................... 68

6. Srie de TD N4...................................................................................................................... 69

Chapitre 6 : Les rgulateurs

1. Gnrali ts ............................................................................................................................. 721.1. Tches du rgulateur...................................................................................................... 721.2. Inventaire........................................................................................................................72

2. Rles des rgulateurs ou cor recteurs ................................................................................. 73

3. Rglage proportionnel .......................................................................................................... 733.1. Principe...........................................................................................................................733.2. Statisme.......................................................................................................................... 733.3. Correcteur action Proportionnelle................................................................................ 74

3.4. Correcteur actionDrive............................................................................................. 743.5. Correcteur action Intgrale........................................................................................... 75

Cours dautomatique et rgulation - III -


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4. Types de correcteurs ............................................................................................................ 754.1. Correcteur action Proportionnelle Drive................................................................... 754.2. Correcteur action Proportionnelle Intgrale ................................................................. 75

4.3. Correcteur action Proportionnelle Intgrale Drive.................................................... 76

5. Srie de TD N5...................................................................................................................... 77

Problmes

1. Problme n1 ......................................................................................................................... 80

2. Problme n2 ......................................................................................................................... 80

3. Problme n3 ......................................................................................................................... 81

4. Problme n4 ......................................................................................................................... 81

5. Problme n5 ......................................................................................................................... 82

6. Problme n6 ......................................................................................................................... 82

7. Problme n7 ......................................................................................................................... 84

Travaux Pratiques

TP d' ini tiation : Equipement du laborato ire............................................................................. 87

TP1 : tude dun systme de premier ordre ............................................................................ 94

TP2 : tude d un systme de second ordre .......................................................................... 101

TP3 : Simulation dun systme de premier et de second ordre........................................... 109

TP 4 : Simulation de la rgulation de vi tesse dun moteur .................................................. 114

Annexe

Bibliographie

Cours dautomatique et rgulation - IV -


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Nomenclature

Arg Argument.C Capacit. Classe d'un systme.

z Coefficient damortissement d'un systme de second ordre.

Constante du temps ou temps de rponse d'un systme de premier ordre.Dk Dpassement relatif dordre k. Dphasage en degrs.

( )tu chelon de position unitaire.e(t) Entre d'un systme. Erreur ou cart.f.e.m Force lectromotrice.

cf Frquence de coupure d'un systme de premier ordre.Gdb Gain en dcibels.d Gain statique du rgulateur Drive.

i Gain statique du rgulateur Intgral.KP Gain statique du rgulateur Proportionnel.K Gain statique d'un systme de premier ordre ou de second ordre.

)(t Impulsion de Dirac.L Inductance.Am Marge de gain.

m Marge de phase.

J Moment d'inertie.

chC Moment du couple de charge.k Ordre du dpassement relatif.

Im Partie imaginaire.Re Partie relle.m Ples de lquation caractristique d'un systme.Ta

Pseudopriode.

aw Pulsation amortie.

cw Pulsation de coupure d'un systme de premier ordre.

Rw Pulsation de rsonance.w0 Pulsation propre non amortie d'un systme de second ordre.w Pulsation.

Cours dautomatique et rgulation - V -


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D Rgulateur Drive.I Rgulateur Intgral.PD Rgulateur Proportionnel Drive.PID Rgulateur Proportionnel Intgral Drive.PI Rgulateur Proportionnel Intgral.P Rgulateur Proportionnel.

chR Rsistance de charge.R Rsistance.s(t) Sortie d'un systme.tm Temps de monte.Tpic Temps de pic.t10% Temps de rponse 10%.t5% Temps de rponse 5%.t90% Temps de rponse 90%.Ts Temps de stabilisationtk Temps du dpassement relatif dordre k.

LP-1 Transforme Laplace inverse.

LP Transforme Laplace.p Variable de Laplace Vitesse de rotation angulaire.n Zros de lquation caractristique d'un systme.

Cours dautomatique et rgulation - VI -


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Notion de systmes

linaires asservis

Cours dautomatique et rgulation - A -

Chapitre 1


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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis

Cours dautomatique et rgulation 2

Chapitre 1 : Notion de systmes lineaires asservis

1. Notion de systmes1.1.Dfinition

Un systmepeut tre dfini comme un ensemble dlments exerant collectivementune fonction dtermine. Un systme communique avec lextrieur par lintermdiaire degrandeurs, fonctions du temps, appels signaux.

Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes :x1(t)xN(t)pour les signaux dentre de commande.y1(t)yM(t)pour les signaux de sortie.

Les signaux de sortie dun systme sont aussi appels rponse du systme.

RemarqueLes systmes une entre et une sortie sont appels systmes monovariables ou

systmes scalaires.Un systme est connu par son action sur le milieu extrieur. Lorsquon applique

certains signaux dentre, le systme se manifeste en mettant des signaux de sortieparticuliers. Le systme est parfaitement connu par la connaissance des relations liant lesentes avec les sorties.

ExempleSoit le circuit lectrique suivant :( ) ( ) ( ) dt.ti

C

1ti.Rtx +=

avec ( ) ( ) dt.tiC

1ty = .

On a donc lquation du systme :( )

( ) ( )txtydt

tdy.C.R =+ .

1.2.Classification des systmes1.2.1. Les systmes linaires

Un systme est linaire si la rponse de ce systme une combinaison linaire designaux dentre est gale la combinaison linaire des rponses.

Si on applique lentre : ( ) ( ) ( )tx.btx.atx 21 += .

On obtient en sortie : ( ) ( ) ( )ty.bty.aty 21 += .Cette proprit des systmes linaires est aussi appele principe de superposition.

SYSTEME1(t) 1(t)

N(t) M(t)

SYSTEME y1(t)x1(t)

SYSTEME y2(t)x2(t)

R

( )tx C ( )ty ( )ti


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1.2.2. Les systmes invariantsUn systme est dit invariant (stationnaire) si la rponse du systme un signal x(t)

diffr dun temps est la mme que la rponse y(t) du systme mais diffre de .

Un systme invariant est aussi appel systme paramtres constants localiss ou constantes localises. Cette proprit des systmes invariants est aussi appele principe de

permanence.

Exemple: Moteur

Si on nglige lusure, le moteur nvolue pas dans le temps : le systme est invariant.

1.2.3. Les systmes modle dterministeUn modle dterministe ( stochastique) possde des entres et des paramtres non

bruits de telle faon que son comportement soit parfaitement prvisible en avance.

1.2.4. Les systmes asservisLtude des systmes est destine commander au mieux les diffrents processus

rencontrs. Il existe deux solutions pour commander un systme :

1. Commande en boucle ouverteDans ce cas, la commande est envoye en entre sans contrle sur les sorties.

Exemple :

Pour utiliser ce type de commande, il est ncessaire de connatre le systme et lesrponses aux commandes envoyes. Malgr tout, de multiples perturbations peuventmodifier laction de ces commandes : si la porte du four reste ouverte, les graduations durhostat ne correspondent plus la temprature intrieure.

2. Commande en boucle fermePour amliorer les performances dune commande, il est indispensable dobserver

les sorties du systme pour les comparer ce que lon dsire obtenir. Dans ce deuximetype de commande, les sorties du systme sont contrles. Cest ce niveau que lonrencontre la notion de systme asservi.

( )tx Entre Entre

t-

Sortie Sortie

t-

( )ty

( )tx

( )ty

t t

tt

Rsistance chauffante FourRhostat

MOTEUR CoupleCourant


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Un systme asservi est un systme dont le rle consiste essentiellement tablir unecorrespondance dfinie entre une ou plusieurs grandeurs dentre, de faibles niveauxnergtiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux nergtiques plus levs.

Un systme asservi est caractris par la prsence de : Chanes directes: Elles comprennent des lments amplificateurs et ventuellement,

des convertisseurs de puissance, en liaison avec la source dnergie. Chanes de retour : Elle sont constitues dlments de prcision gnralementpassifs. Ce ne sont pas des chanes de puissance ; elles transmettent lentre desinformations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont compares auxsignaux dentre au moyen de comparateurs. Ces derniers laborent les diffrencesou carts entre les signaux dentre et les informations images des signaux desortie.

Exemple :Chauffage dun immeuble

La figure A reprsente le systme. La temprature lintrieur de limmeuble estfonction de la temprature Tde leau chaude envoy dans les radiateurs et de la tempratureextrieure e . Nous reprsentons cette description, volontairement simplifie par une boitemunie dune sortie, dune entre de commande T la disposition de loprateur et dune

perturbation e .Le rayonnement solaire dans limmeuble, le vent ou dautres grandeurs agissant

aussi sur la temprature. Cest volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises encompte par notre modle qui doit, avant tout, tre simple. Cest lutilisateur qui rgle T, en

Systme

Figure A

SystmeT

a-

+

Figure B

SystmeTa

P

-+

+-

Figure C

e

T

e e

0

e e

C


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vue dobtenir C19= par exemple (en rgime permanent). Il sait, par exprience, quilobtient un bon rsultat en rglant T.

La figure B reprsente alors une premire tentative de rglage automatique de T, telque ( e.aT )= . Dans cette configuration, loprateur naura plus besoins de retoucher Ten fonction de la temprature extrieure. En effet, T va varier automatiquement en sens

inverse de e . Quand e0 = on a T=0, ce qui signifie quon doit bien entendue, couper lechauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons rsultats.

La figure C reprsente une amlioration du rglage automatique de T. Supposonsque par temps froide le soleil pntre lintrieur de limmeuble. La temprature vaslever sans pour autant que la temprature T de leau des radiateurs ne soit rduite

puisquil ne dpend que e . Il se produira une surchauffe et on doit modifier T, cest direpour diminuer 0 . Il est clair que cette opration peut seffectuer de faon automatique enrendant 0 dpendant de la tempratureeffectivement atteinte dans limmeuble. Pour cela est compare une consigne C , rglable par lutilisateur laide dune boucle

dasservissement.

1.3.Performances des systmes asservis

1.3.1. Notion de stabilitOn dit quun systme est stable, lorsque celui-ci tend revenir son tat dquilibre

lorsquon lui applique une perturbation de courte dure.

1.3.2. Notion de rapidit

La rapidit quantifie le temps de rponse du systme.

Le temps mis par la rponse pour ne plus dpasser 5% de la valeur finale. Ce temps estretenu comme critre de rapidit : t5%


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1.3.3. Notion de prcisionLa prcision quantifie lerreur lorsque lquilibre est atteint.

Avec et( )te ( )ts de mme nature. Autrement, lerreur est mesure la sortie ducomparateur.

2. Notion de signal

2.1.Dfinition

Un signal dans un systme de commande automatique reprsente une grandeurphysique qui peut tre une temprature, une force, une pression, une vitesse, une tension, undbit. Ce signal peut tre sous forme logique (binaire), analogique, numrique (cod), selonla nature de commande : analogique ou numrique.

Dans notre cas, nous tudions les signaux analogiques relatif la commande linairecontinue des processus. En pratique, un signal est une tension entre 0 et 5V ou un courantentre 0 et 20 mA, cas de processus industriels.

Un signal ( )ts est causal si ( ) 0ts = 0t< . Un signal ( )ts est dterministe si ( )ts est connu.

Un signal ( )ts est alatoire si ttel que ( )ts est inconnu.

2.2.Signaux canoniques

Impulsion de Dirac

Si alors 01

.

Si 0 alors

1.

( )te est une impulsion de Dirac idale.

Echelon de positionSi : .0t> ( ) 0ete =Si : .0t< ( ) 0te =Si : est un chelon de1e0 = ( )te

position unitaire not .( )tu

Echelon de vitesse( ) ( )tu.t.tgte = .

Si 1tg = : ( ) ( )tu.tte =( )te est appele chelon de vitesse unitaire. t

e(t)

t

e(t)

e0

t

e(t)=(t)

1


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Echelon dacclration

( ) ( )tu.t.ate 2= .Si a=1: appele chelon( )te dacclration unitaire.unitaire.

SinusodeSinusode( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m= .

SiEm=1: appele( )te sinusode unitaire.

3. Rponses particulires dun systme scalaireOn considre ici un systme scalaire, cest dire une entre et une sortie.

Pour connatre le comportement du systme et le comparer dautres systmes, ontudie les rponses quelques signaux particuliers.

3.1.Rponse impulsionnelle

On appelle rponse impulsionnelle, la rponse note ( )th , obtenue par lapplicationdune impulsion de Dirac )(t lentre du systme, celui- ci tant initialement au repos.

3.2.Rponse indicielle

On appelle rponse indicielle, la rponse note ( )t , obtenue par lapplication dunchelon unit lentre du systme, celui-ci tant initialement au repos.( )tu

4. Rponse un signal quelconque

Dfinition de la convolution temporelleOn considre un systme scalaire linaire invariant de rponse impulsionnelle ( )th .

Pour un systme scalaire, linaire et invariant, initialement au repos, la rponse un( )ty

Systmex(t) y(t)

1

(t)=h(t)

tt

)(t

t t

( ) ( )tty =( )tu1

t

e(t)

t

e(t)


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signal dentre quelconque est donne par le produit de convolution entre et larponse impulsionnelle du systme :

( )tx ( )tx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

== thtxdv.vth.vxty

Cette expression est fondamentale. Elle permet, en connaissant le systme par sarponse impulsionnelle et lentre( )th ( )tx , de dterminer ( )ty . Elle peut donc remplacertotalement lquation diffrentielle rgissant le systme.

Cette expression se note de faon condense : ( ) ( ) ( )thtxty = . est l'oprateurde convolution ; est la convolution du signal d'entre avec la rponse impulsionnelledu systme.

( )ty

Remarques Le produit de convolution est commutatif : ( ) ( ) ( ) ( ) (txththtxty )== . Limpulsion de Dirac et la rponse impulsionnelle (si x ety ont la mme dimension) sont

homognes linverse dun temps. Ce sont des lments mathmatiques qui permettent deformaliser les comportements des systmes mais qui nont pas de ralit physique.Si limpulsion de Dirac est applique linstant zro, la rponse impulsionnelle estforcment nulle pour carvt< ( ) 0vth = , le systme tant suppos causal (cas dessystmes physiquement ralisables). De plus, si le signal est lui-mme causal (appliqu autemps ), alors si0t= ( ) 0vx = 0v< . Les bornes de lintgrale de convolution sesimplifient et le produit de convolution scrit :

( ) ( ) ( )+

=0

dv.vth.vxty

Exemple:Calcul de la rponse indicielle dun circuitRC partir de sa rponse impulsionnelle.

La rponse impulsionnelle dun circuitRCscrit :

t

exp.1

)t(h

= avec C.R= .

On se propose dutiliser la convolution pour dterminer la rponse indicielle ( )t du circuitRC un chelon damplitudeE partir de sa rponse impulsionnelle .( )th

d).t(hEd).(u.E).t(h)t(u.E)t(h)t(w

0 0

+ +

=== .

Soit

=

=

= + +

)t

exp(1.E)t

exp(.E

d).t

exp(.1

.E)t(w

0 0


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.

Les systmes

linaires continus


Chapitre


17/139

Chapitre 2 Les systmes linaires continus

Chapitre 2 : Les systmes linaires continus

1. Prsentation

On appelle systme dynamique un systme dont l'tude ne peut tre ralise quenprenant en compte les valeurs passes du phnomne. Les grandeurs de sortie dpendentdes valeurs prsentes et passes des grandeurs d'entres. Les phnomnes d'inertie (inertiemcanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du systme.

Nous limiterons notre tude aux seuls systmes linaires continus et invariants.1.1.Dfinition

Un systme linaire est un systme pour lequel les relations entre les grandeursd'entre et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'quationsdiffrentielles coefficients constants. Les systmes linaires se caractrisent

principalement par deux proprits, la proportionnalit et ladditivit.

1.2.Principe de proportionnalitLeffet est proportionnel la cause

RemarqueL'effet de proportionnalit n'est effectif que lorsque le systme a atteint sa position

d'quilibre ou que le rgime permanent s'est tabli.

La caractristique Entre/Sortie d'unsystme linaire est une droite dont la pente

X

Yest appele gain du systme.



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La rponse, en rgime dfinitif, dun

systme linaire une entre donne est unsignal de mme nature que lentre.

1.3.Principe d'additivit ou de superposition

Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant larponse d'un systme des sollicitations simples de dterminer par additivit et

proportionnalit la rponse des sollicitations plus complexes.

2. Mise en quation dun systme linaire

Un systme dynamique linaire peut tre reprsent par une quation diffrentielle coefficients constants liant les grandeurs dentre et de sortie.

Systme

linaire

SortieEntre

Lquation gnrale dun systme linaire est de la forme :

x.bdt

dxb

dt

dxb...

dt

dxb

dt

dxby.a

dt

dya

dt

dya...

dt

dya

dt

dya 012

2

21m

1m

1mm

m

m012

2

21n

1n

1nn

n

n +++++=+++++

Nous ne savons rsoudre dans le cas gnral que les quations diffrentielles dupremier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des quations dordre suprieur.

Le problme de lautomatisation est plus complexe que la rsolution puisquil sagitde dterminer la loi dentre x qui permet dobtenir la sortie dsirey.La reprsentation par l'quation diffrentielle ncessite pour connatre la rponse uneentre de rsoudre l'quation.

Principe de la rsolutionLa solution dune quation diffrentielle est la somme dune solution gnrale et de

la solution particulire. La solution gnrale reprsente la composante transitoire, la

solution particulire reprsente la composante permanente. La solution gnrale est



19/139


dtermine par la rsolution de l'quation sans second membre. La solution particulire estdtermine en fonction de la forme de ( )tx .

Exemple circuit RC

Cue us

R

En utilisant la loi des mailles on obtient :

=

=

dt

du.Ci

)t(i.R)t(u)t(u

s

se

Do lquation diffrentielle en substituant idans la premire quation :

dtdu.C.R)t(u)t(u sse =

)t(udt

du.C.R)t(u s

se +=

La solution gnrale est solution delquation suivante :

0)t(udt

du.C.R s

s =+

La solution est de la forme atg e.K)t(s =

Par identification, on dtermine lecoefficient a.

1

RC

1a ==

Le coefficient K sera dterminer enfonction des conditions initiales.

La solution particulire dans le cas o

0e U)t(u = est solution de lquation ci-dessous :

0ss U)t(u

dt

du.C.R =+

La solution particulire est de la mmeforme que lentre.Ici 0p U)t(s =

La solution complte est la somme des deux solutions :

0RC

t

pgs Ue.K)t(s)t(s)t(u +=+=

La dernire constante est dtermine en fonction des conditions initiales (on suppose ici que

le condensateur est compltement dcharg).0s UK0)0t(u ===

Do

=

RC

t

0s e1U)t(u .

3. Transforme de LaplaceL'tude des systmes s'accompagne invitablement de la manipulation d'quations

diffrentielles. Or les oprations lies cette manipulation sont souvent dlicates et larsolution des quations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un

outil mathmatique puissant: la transforme de Laplace.



20/139



3.1.Formulation mathmatique

Soit une fonction relle de la variable relle t, dfinie pour toute valeur de t,sauf ventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle

pour .

( )tf

0t0)

)0(f)0(f.p...)0(f.p)p(F.p 1n2n1nn +++

Intgration dt).t(f p)p(F

Retard )t(f )p(F.e p

Changement

dchelle)t.a(f

a

pF.

a

1

A ces proprits, on doit joindre les thormes suivants :

Thorme de la valeur finale :

)t(flim)p(F.plimt0p

=

Thorme de la valeur initiale :

)t(flim)p(F.plim0tp

=

Thorme de Borel : Si ( )tf et ( )tg ont respectivement pour transforme deLaplace ( )pF et ( )pG , alors ( ) ( ) ( )tgtfth = a pour transforme :

( )pG.p .( ) ( )FpH =


21/139


Thorme du dveloppement de Heaviside : Pour trouver loriginale dune fraction

rationnelle)p(G

)p(F, o le degr de ( )pF est infrieur au degr de ( )pG , on la

dcompose en lments simples de premire espce, et lon applique la formule:

k

at1K

)ap(

1e)!1K(

tLP

=

3.3.Table des transformes de LaplaceIl est souvent plus simple de calculer la transforme de Laplace dune fonction

partir de la transforme connue dune autre fonction en utilisant les proprits et thormesnoncs. A partir de quelques rsultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement lesTransformes de Laplace de la plupart des fonctions utilises en lectronique ou enautomatique dans les asservissements. Afin dviter le calcul systmatique de ces fonctions

de base, on les regroupe dans des tables de Transformes de Laplace. Une table rsume desTransformes de Laplace les plus usuelles en lectronique est la suivante :

( )tf ( )pF

)t( 1

)t()n( 0np n >

A p

A

t.A p

A

)!1n(

t 1n

nentier 1n np

A

T

t

T

t

T

t

TeTt

e1

e.T

1

+

)Tp1(p

1

)Tp1(p

1Tp1

1

+

+

+

21 T

t

T

t

21

eeTT

1

21 T

t

2T

t

1

21

e.Te.TTT

11

( )

+

12 T

t

21

T

t

22

21

21 e.Te.TTT

1TTt

)pT1).(pT1(

1

21 ++

)pT1).(pT1.(p

1

21 ++

)pT1).(pT1.(p

1

21 ++



22/139


( )tf ( )pF

T

t

3e).tT(

T

1

T

t

2 e.T

t

T

t

e.T

t11

+

T

t

e).T2t(T2t

++

2)Tp1(

p

+

2)Tp1(

1

+

2)Tp1.(p

1

+

22 )Tp1.(p

1

+

( )zcosArc

0tzw

20 tz1wsin.e.

z1

w0

=

+

( ) 1z0tz1wsin.e.z1

w0

tzw0 0


23/139


( )tf ( )pF

Si :22 ba >

+tptp

21

2 21

e

1

e

1

pp

1

b

1

avec

=

+=22

2

221

baap

baap

Si :22 ba = ( )atat2

e.t.ae1a

1

Si :22 ba <

+

)wtcos.wwtsin.a(w

e1

b

1 at

2

+=

)wtsin(.

w

e.b1

b

1 at

2

avec 22 abw = eta

wtg =

( )222 bap2p1

++

)wtsin(.e.w

1 at ( ) 22 wap

1

+

)wtcos(.eat ( ) 22 wap

ap

+

)wt(sh.w

1

22 wp

1

)wt(ch 22 wp

p

)wt(sh.e.w

1 at ( ) 22 wap

1

)wt(ch.eat ( ) 22 wap

ap

ab

ee atbt

( ) )bp(ap

1

ab

e.ae.b atbt

( ) )bp(app

ab

e).bc(e).ac( atbt

( ) )bp(apcp

+

)cb)(ca(

e

)bc)(ba(

e

)ac)(ab(

e ctbtat

+

+

)cp)(bp)(ap(

1

+++

3w.2

)wtcos(.t.w)wtsin(

222 )wp(

1

+



24/139


( )tf ( )pF

)wtsin(.t.w2

1

222 )wp(

p

+

w.2

)wtcos(.t.w)wtsin( 222

2

)wp(

p

+

)wtsin(.t.w2

1)wtcos(

222

3

)wp(

p

+

)wtcos(.t 222

22

)wp(

wp

+

=

+=

)x(ch)ixcos(

)x(sh.i)ixsin(avec

Formules en22 wp

1

changer wen iw

+

2

wt3

2

2

wt

ewt.2

3coswt.

2

3sin3

w.3

e 33 wp

1

+

+

2

wt32

wt

ewt.2

3sin3wt.

2

3cos

w.3

e 33 wp

p

+

+

wt.

2

3cos.e.2e

3

12

wt

wt 33

2

wp

p

3

atbt

t.).ab(2

ee

bpap

1

+++

t.

e t4a

p

epa

.t2

a3

t4a

e

pae

( )atbt

eet

1

+

+bp

ap

Ln

3.4.Exemple

us

R

Cue

i(t)



25/139



Le comportement de chaque constituant est dcrit par les quations suivantes :

=

=

dt

du.Ci

)t(i.R)t(u)t(u

s

se

Passons dans le domaine symboliqueOn pose :

)p(U)]t(u[L ss = , )p(U)]t(u[L ee = , )p(I)]t(i[L = .

Nous savons que la drive premire dune fonction temporelle est :

)0(f)p(F.pdt

)t(dfL +=

, si )p(F)]t(f[L =

de mme pour la drive seconde :

)0(f)0(f.p)p(F.pdt

)t(dfL 2

2

2+

+ =

Nous supposons que les conditions initiales sont nulles :)p(I.R)p(U)p(U)t(i.R)t(u)t(u sese ==

)p(U.p.C)p(Idt

du.Ci s

s ==

En substituantI(p), on obtient :

)p(U.p.1

1)p(U)p(U.C.R)p(U)p(U essse+==

On prend pour lentre , donc dans le domaine symbolique0e U)t(u =p

U)p(U 0e = .

p

U.

p.1

1)p(U 0s

+=

Dcomposition en lments simples :

+

++=

+

+

=

+

=

p)p.1(

)p.1.(Bp.AU)p(U

p

B

p.1

AU

p

U.

p.1

1)p(U 0s0

0s

On dduit donc == A1B

La dcomposition scrit

+

+

=p

1

p.1U)p(U 0s

.

Do la solution :

=

RC

t

0s e1U)t(u


26/139



4. Srie de TD N1

Exercice n11. ( )exp.2)t(s1 t.5,0=

2. ( ) ( )t.1,0exp1.4)t(s2 =3. t3)t( s3 =Calculer la transforme de Laplace des signaux causaux, on vrifiera les thormes desvaleurs finale et initiale.Donner la rponse indicielle de ces trois fonctions.

Exercice n2Donner les transformes de Laplace des fonctions suivantes :1. ( ) ( )tu.t.aexp.t)t(y1 = .2. ( ) ( ) ( )tu.t.wsin.t.aexp)t(y2 = .

3. ( ) ( )tu.t.w .sin)t(y2

3 =4. ( )tu.wt .sin.tsin)t(y .4 =

Exercice n3Inverser la transformation de Laplace (pest la variable de Laplace) en utilisant la table deLaplace.

1.3p0,1

4(p)F1 +

= .

2.2p3p

3(p)F

22

++= .

3. ( )p1

p2exp0,5.(p)F3 +

= .

4.p)p(1

p)24(1(p)F4 +

+= .

Si est la rponse indicielle dun processus P, donner la rponse impulsionnelle.)t(f4

Exercice n4

Calculer la transforme de Laplace inverse de chacune des fonctions suivantes :

1. ( )1pp

1pF1

+

= .

2. ( )( ) ( )22pp1p

1pF

2.

32 +++= .

3.( )4p.p

1(p)F

43 += .

4.10)p2(p1)p(p

p)3exp(1(p)F

224

+++

= .


27/139

Reprsentation graphique

des systmes linaires

continus


Chapitre


28/139

Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus


Chapitre 3 : Reprsentation graphique des systmeslinaires continus

1. Fonction de transfertUn systme linaire dentre ( )tx et de sortie ( )ty est rgi par une quation

diffrentielle coefficients constants du type :

x.bdt

dxb

dt

dxb...

dt

dxb

dt

dxby.a

dt

dya

dt

dya...

dt

dya

dt

dya 012

2

21m

1m

1mm

m

m012

2

21n

1n

1nn

n

n +++++=+++++

Si on crit la transformation de la Laplace de lquation diffrentielle conditions initialesnulles on trouve :

)p(X

)p(Y)p(H = appele fonction de transfert ou transmittance du systme :

( )pH est appele fonction de transfert du systme.

Le but de cette reprsentation est de pouvoir dterminer les caractristiques de lasortie connaissant la fonction de transfert( )ty ( )pH du systme et le signal dentre ( )tx .

On peut mettre ( )pH sous la forme :

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a.......p.ap.a

b.......p.bp.b

)p(X

)p(Y)p(H

+++

+++==

( )pH peut scrire sous la forme :

( ))pp)......(pp).(pp(

)zp)......(zp).(zp(kpH

n21

m210

= ;

Lensemble des forme les zros deiz ( )pH , lensemble des forme les ples deip ( )pH , etnest lordre de systme.

Exemple Le circuit intgrateur : circuit RC :

( ) ( ) += dt).t(iC1

ti.Rtx .

( ) ( )tydt

dy(t).RCtx += .

avec y(t) = ( ) = dt).t(iC1ty

( )tx

L

P LP

( )pH( ) ( )( )txLPpX =

( ) ( )( )pYLPty 1=

( ) ( ) ( )pX.pHpY =

(t)

R

(t) C


29/139



On appliquant la transforme de Laplace on trouve :

( ) ( ) ( )pXpYpY.p.RC =+ ( ) ( ) ( )pXpY.1p.RC =+

Do la fonction de transfert de ce systme ( ) p.RC11

X(p)

Y(p)pH +== .

2. Diagramme fonctionnel

2.1.Dfinition

Le diagramme fonctionnel ou schma bloc, constitue une reprsentation graphiquedun systme asservi ou dune partie du systme. Chaque diagramme fonctionnel estconstitu dun certains nombre de symbole graphique qui sont :

Elment ou groupe dlment :

* Comparateur algbrique * Branchement dun signal

2.2.Exemple de schma bloc dun systme en boucle ferme

2.3.Rgles de simplification

2.3.1.Mise en srieSoit un systme form par la mise en sriede deux sous systmes de fonction de

transfert et . La fonction de transfert de lensemble est( )pG1 ( )pG2 ( ) ( ) ( )pG.pGpG 21= .

Equivalent :

( ) ( )pG.pG 21 ( )pX ( )pY

( )pG ( )pY ( )pX

( )pY

( )pX ( )p +_

( )pY

( )pY

( )pG1 ( )pY ( )pX( )p

+_

( )pG2

Capteur

Deux signaux demme nature

( )pG1 ( )pG2( )pX ( )pY


30/139



2.3.2.Mise en parallle

Soit un systme form par la mise en paralllede deux sous systmes de fonction detransfert et . La fonction de transfert de lensemble est :

.

( )pG1 ( )pG2( ) ( ) ( )pGpGpG 21 +=

Equivalent :

2.3.3.Structure en boucle ferme

Equivalent :

On a ( ) ( ) ( )pG.ppY 1= et ( ) ( ) ( ) ( )pG.pYpXp 2= .

)p(G)).p(G).p(Y)p(X()p(Y 12= .)p(X).p(G))p(G).p(G1).(p(Y 121 =+ .

Do ( ) ( )

( ) ( )pG.pG1pG

)p(X

)p(YpF

21

1

+== : Formule de Black.

)p(G)p(T 1= : Fonction de transfert en boucle ouverte.

)p(F : Fonction de transfert en boucle ferme.

Remarques :* Dans le cas o 1)p(G2 = ( )

( )( )pG1

pG

)p(X

)p(YpF

1

1

+== .

)(pF a une chane de retour de transmittance 1.

* Il est toujours possible de ramener un systme retour non unitaire un systme retourunitaire.

( )pY ( )pX ( )pF

( ) ( )pGpG 21 + ( )pX ( )pY

( )pG1

( )pY ( )pX ++

( )pG2

( )pG1 ( )pY ( )pX ( )p

+_

( )pG2


31/139



Equivalent :

2.3.4.Dplacement des nuds dinformations

De lamant laval

De laval lamant

2.3.5.Permutation de deux nuds successifs

2.3.6.Dplacement de sommateurs

De lamant laval

( )pY( )pX ( )p

+_ ( ) ( )p2G.pG1 )p(G

1

2

( )pG1 ( )pY ( )pX ( )p

+_

( )pG2

G(p)

(p)

Y(p)(p) = G(p)

(p)

Y(p)(p)

)(1pG

G(p)

Y(p)

Y(p)(p) G(p)

Y(p)

Y(p)X(p)

G(p)

=

N1

N2

N1

N2=

G(p)G(p) Y(p)++

X1(p)

X2(p)

Y(p)++

X1(p)

X2(p) G(p)

=


32/139



De laval lamant

2.3.7.Permutation de deux sommateurs successifs

2.4.Principales transmittances lectriques et mcaniques

Rsistance

Inductance

Condensateur

Ressort

Frottement

visqueux(amortisseur)

Masse

Inertie en

rotation

G(p) Y(p)++

= X1(p)

X2(p)

G(p) Y(p)++

X1(p)

X2(p) )(1pG

=Y(p)++

++

X(p)

X1(p) X2(p)

Y(p)++

++

X(p)

X2(p) X1(p)

F(p) X(p)

Ri

uu=Ri

RU(p)I(p)

1/RI(p)U(p)

I(p)U(p)

Li

udt

diLu=

U(p)Lp

I(p)

1/Lp

i

u

C

= idtC

1u

I(p)

U(p) I(p)

U(p)1/Cp

Cp

FF

F=KxF(p)X(p)

K

1/K

dt

dxfvF=

FFX(p) F(p)

fv.p

F

m

dt

xdmF=

X(p) F(p)m.p

w

(p)

dt

dwJC= C(p)J.p


33/139



2.5.Applications

2.5.1.Systme lectronique

Les quations rgissant ce systme sont :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

=

3

2

1

1

RpSpUpI

R

pVpEpI

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

=

=

+=

p.C

pIpS

pIpIRpU

pUp.C

pIpV

2

2

212

1

1

Le diagramme fonctionnel relatif ces systmes dquations :

Avec :

p.C.R1

1

p.C.R11

p.C.R

1

B23

23

231

+

=

+

=

e(t)

R1 R3

R2

C1

C2 s(t)v(t) u(t)

i2(t)i1(t)

1R

1E(p)

_

+

pC

1

1

R2 S(p)_+_+3R

1

pC

1

2

V(p) ++

U(p)I1(p) I2(p)

1R

1E(p)

_

+

pC

1

1

R2 S(p)_+_+pC.R

1

23

pC2

B1

++

V(p)

U(p)I1(p)


34/139



Avec :p.C.R.B1

B.RB

221

122 +

=

Avec :

++=

p.C.B

1

B

1

R

R1

RB

B

1211

2

1

2

3

1R

1E(p)

_

+

pC

1

1

R2_+

pC2

B1

1B

1

B2

++

V(p)

S(p)U(p)I1(p)

1R

1E(p)

pC

1

1

_+ B2

1B

1++

S(p)

V(p)

I1(p)

E(p)

pC.B

1

12

_+

1B

1++

V(p)

S(p)21

B.R

1

E(p)

pC.B

1

B

1

121

+

_+

B3

1

2

RB

V(p)

S(p)


35/139



2.5.2.Moteur courant continuVu de lextrieur, la machine peut tre reprsente par la mise en srie dune

rsistance R, d'une inductance L et dune f.e.m vide donne par la relationEv.KEv= , si est la vitesse de rotation. Nous supposerons que l'ensemble fix l'arbre

de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du couple de frottement est

.fC= (frottement visqueux).

Equation lectrique : )t(.Kdt

)t(di.L)t(i.R)t(e ++=V

Soit en variable de Laplace )p(.K)p(I.p.L)p(I.R)p(Ve ++=

Equation mcanique : )t(C)t(.f)t(i.Kdt

)t(d.J ch=

Soit en variable de Laplace )p(C)p(.f)p(I.K)p(.p.J ch=

)t(Cch est le moment du couple de charge. Si lon suppose que la charge mcanique

de notre moteur est une gnratrice courant continu dbitant sur une charge , alors on

peut dire que :chR

.R

K

R

E.KI.KC

chch

chch === soit '.K.R

KC

ch

ch == .

Le systme peut tre reprsent par :

On peut crire alors :

p.Jf

)p(C)p(I.

p.Jf

K)p( ch

+

+= et )p(.

p.LR

K

p.LR

)p(V)p(I e

+

+=

Le digramme fonctionnel de ce systme est le suivant :

Ve(p)

SystmeVe(p) )p(

Cch(p)

p.LR

1

+

p.LR

K

+

+__

+Ve(p) )p(

Cch(p)

I(p)

p.Jf

K

+

p.Jf

1

+


36/139



3. Lieux de transfert

3.1.Introduction

On applique au systme une entre harmonique : ).wtsin(.u)t(u o=

En rgime permanent ; on admet que la sortie est galement un signal sinusodal dphas ;on a donc : ).wtsin(.u.A)t(y o +=

On peut dire la mme chose de lentre ).wtcos(.u)t(u o=

Donc galement de lentre qui ; daprs le

thorme de superposition nous donne la sortie :

jwtooo e.u)wtsin(.u.j)wtcos(.u)t(u =+=

.e.u).w(A)wtsin(.u).w(A.j)wtcos(.u).w(A)t(y jwtooo +=+++=

Plus gnralement ; on peut donc considrer une entre de la forme ; qui nous

donnera une sortie de la forme :

jwto e.u

.e.u).w(A jwto+

Appliquons cette entre lquation diffrentielle ;x.b

dt

dxb...

dt

dub

dt

duby.a

dt

dya...

dt

dya

dt

dya 011m

1m

1mm

m

m011n

1n

1nn

n

n ++++=++++

On obtient :

[ ][ ] jwto001m1mmm

)wt(jo

00

1n1n

nn

e.u.)jw.(b...)jw.(b)jw.(b

e.u.A.)jw.(a...)jw.(a)jw.(a

+++=

+++

+

.

Ou bien :

[ ][ ]001n1nnn

00

1m1m

mmj

)jw.(a...)jw.(a)jw.(a)jw.(b...)jw.(b)jw.(be.A

)jw(u)jw(y

++++++==

.

Il apparat dans cette expression que le terme de droite nest rien dautre que la fonction detransfert dans la quelle on a remplac les "p" par des "jw".

On a donc : ;)jwp(He).w(Aj ==

oAest le gain en amplitude du signal et le dphasage de ce signal.

3.2.Interprtation dans le plan complexe

)wt(jo e.u.A

+ est le vecteur damplitude A et de dphasage par rapport au vecteur

dorigine : .jwto e.u

Re

Im

[ ])wtsin(.j)wtcos(u).w(A o +++

[ ])wtsin(.j)wtcos(uo +

[ ])wtcos(u).w(A o +

[ ])wtsin(u).w(A o +


37/139



On obtient donc le gain en prenant le module du nombre complexe et le

dphasage

)w(A )jw(H

en recherchant langle )cos

sintg(

= donc :

=

=

))jw(HRe(

))jw(HIm(arctg

;)jw(H).jw(HA *

Remarque :Attention la dfinition de larctg: on doit en considrer deux dfinitions diffrentes pourles demi-plans rels positifs et ngatifs.

Pour les parties rels positifs : La dfinition prcdente est bonne.

=

))jw(HRe(

))jw(HIm(arctg

Pour les parties rels ngatifs : .))jw(HRe(

))jw(HIm(arctg

+=

Lorsque la partie relle est nulle, on na pas besoin de cette dfinition, on considredirectement laffixe (le vecteur est sur laxe des imaginaires).

01n

1nn

n

01m

1mm

m

a...)jw.(a)jw.(a

b...)jw.(b)jw.(b)jw(H

+++

+++=

Pour un systme physique; le gain tend vers 0quand la frquence tend vers ; on adonc :m


38/139


Dans le plan complexe, le lieu de Nyquistreprsente pour chaque point (frquencedonne); la partie relle en l'abscisse; la partie imaginaire en l'ordonne.

3.3.3.Lieu de BlackLe lieu deBlackest une reprsentation comportant en abscisse; la phase en chelle

linaire; et en ordonne le gain; en chelle linaire; mais exprim en dcibels.

3.3.4.Abaque de Black

Le diagramme de Black est une reprsentation de la rponse harmonique dusystme, c'est dire une reprsentation de ( )jwH quand parcourtR, o est lafonction de transfert du systme.

w ( )pH

o en abscisse: phase (en degrs)

o en ordonne: gain (en dcibels)



39/139



4. Srie de TD N2

Exercice n1 :

Dduire les diagrammes fonctionnels suivants afin de se ramener dans les deux cas lastructure suivante :

et donner les expressions deD(p)et deR(p).

Cas 1 :

Cas 2 :

_+E(p) S(p)

R(p)

D(p)

_+ G3G1E(p) ++ _+

_G2

++

H2

H1

H3

S(p)

E(p)2R

1 S(p)

1R

1

pC

1

2_+ _+

pC

1

1

_+


40/139



Exercice n2 :

Simplifier le schma fonctionnel suivant et dterminer sa fonction de transfert.

Exercice n3 :

Dterminer la transmittance des circuits suivants :1-

2-

_+ G1 G3

G2

H1

++

_ +H2

G4

E(p) S(p)

e(t)

R1

C1

C2s(t)

R3

R2I1

I

I2

I3

I4

V1 V2

e(t) s(t)

R

C

R

C


41/139

Etudes des systmes

lmentaires


Chapitre


42/139

Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires

Chapitre 4 : Etudes des systmes lmentaires

1. Etude d'un systme de premier ordre

1.1. Etude temporelle

1.1.1.DfinitionUn systme physique dentre e(t)et de sorties(t)est du premier ordre, sil est rgi

par une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants :

)t(e.K)t(sdt

)t(ds=+

oKest le gain du systme et est la constante du temps.Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=0), la fonction de transfert dans le domaine deLaplace scrit : ( ) )p(E.K)p(S.1p. =+

Soitp.1

K

)p(E

)p(S)p(H

+==

1.1.2.Rponse impulsionnelleLentre est dfinie par )t()t(e = , soit dans le domaine de LaplaceE(p)=1.

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .p

1

K

p.1

K

)p(S+=+=

La rponse temporelle a donc pour expression : )t(u.e.K

)t(s

t

= .

La reprsentation graphique de la rponse impulsionnelle dun systme de premier ordre estdonne par la figure ci-dessous :



43/139



1.1.3.Rponse indicielle

Lentre est dfinie par e(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace .p

1)p(E =

La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .

)p.1(p

K)p(S

+

=

Une dcomposition en lments simples nous donne :p.1

.K

p

K

p.1

B

p

A)p(S

+=

++= .

La rponse temporelle a donc pour expression : )t(ue1K)t(s

t

=

.

La reprsentation graphique de la rponse indicielle dun systme de premier ordre estdonne par la figure ci-dessous :

Particularits :Pente lorigine.

t

e.K

)t('s

= do

K)t('slim

0t=

+.

Temps de rponse 5%.On cherche t5%tel ques(t5%)=0.95.K.

%5t

e05.0

= soit

%5t05.0Ln =

.3t %5 .

Dtermination exprimentale des paramtres du modle dordre 1Utiliser la valeur finale pour dterminer le gainK.Utiliser la pente lorigine pour dterminer la constante de temps .Utiliser 63%de la valeur finale pour dterminer la constante de temps .

1.1.4.Application

Rponse un chelon de vitesse (rampe)

x(t) = a.t, on obtient alors :2p

a.

p.1

K)p(Y

+= .

p

.a.K

p

a.K

p.1

.a.K

p

1.

p1

1.

Ka)p(Y

22

+

+=

+= .

Do ).t(u.texp.)t(.Ka)t(y

+=

Pente lorigine : ( ) )0('sK

tg ==


44/139


1.1.5.Relation tempsfrquenceLe comportement dynamique dun systme est entirement dcrit par sa constante

de temps. Cette dynamique est aussi appel espace frquentiel. On dfinie pulsation de

coupure

1wc = , donc la frquence de coupure est .2

1=cf .

On appelle temps de monte du systme : cest le temps ncessaire pour passer

de10%de la valeur finale de la sortie 90 %de la valeur finale pour un chelon dentre.)t(u).

texp(1(K)t(w

= .

On a etK.1,0)t(w %10 = k.9,0)t(w %90 =

Or %10%90m ttt =Aprs tout calcul fait on obtient tm=2,2.

Doncc

mf

35.0t = .

1.2.Etude harmonique

( )p.1

KpH

+= et en posantp=jw ( )

wj1jwH

K

+= .

)jexp(.H))w(jArctgexp(.)w(1

)w.j(HK

=+

=

( ) ( )

+=

+=

++

+=

w1

K)H(jw)(Im

w1K

)H(jw)(Re

.w1

jK

.w1K

H(j.w)

.

Dans la pratique trois mthodes de reprsentations sont utilises.



45/139



1.2.1.Reprsentation de BodeOn trace les deux courbes suivantes :

dBwjH ).( de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.

))w.j(H(Arg= de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.

Reprsentation du module en dB

( )( ) ( )[ ]21010

210dB

w.1log.10Klog.20w.1

Klog.20)w.j(H

+=

+=

Etude des asymptotes Pour 1

w

w

c

> ( )w.log.20)w.j(H 10dB .

( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.10.log.20)w.j(H)w.10.j(H = ( ) ( )( )110110 w.logw.10.log.20 =

( ) dB2010log.20w.w.10.

log.20 101

110 ===

Cest une droite de pente20dB/dcade.

ou( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.2.log.20)w.j(H)w.2.j(H =

( ) ( )( )110110 w.logw.2.log.20 =

( ) dB62log.20w.

w.2.log.20 10

1

110 ===

Cest une droite de pente6dB/octave.

Reprsentation de la phase= w.arctg))w.j(H(Arg = .

Etude des asymptotes Pour 0w 0= : asymptote horizontale.

Pour

1w=

41Arctg

== .

Pour w 2

arctg))w.j(H(Arg

=== : asymptote horizontale2

= .


46/139



1.2.2.Reprsentation de Nyquist

On trace la courbe ( ) ( )( )( )jwHRef).j(HIm =

Soient ( )( )jwHRex= et ( )( )jwHImy= .

Do( )2w.1

Kx

+= (1) ;

( )2w.1

w..Ky

+= (2)

(y


47/139


-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0K/2

-K/2

K

0

Im Re

w w 0

wc

1.2.3.Reprsentation de BlackOn reprsente ( )fGdb= : Cest un diagramme contract obtenu en liminant w.

Etude des asymptotes : Pour 0w Klog.20)w.j(H 10dB ; =0.

Pour

1w= dB3Klog.20)w.j(H

10dB = ;

4

= .

Pour w 2

et)w.j(HdB

.cest une asymptote.

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Nichols Chart

wc-3dB

GdB

Phase



48/139


Exemple

Cx(t)

R

Le circuit intgrateur : circuitRC:

( ) ( ) += i(t).dtC

1ti.Rtx

y(t)

avec ( ) = i(t).dtC1

ty

( ) ( )

( )tydt

tdy.RCtx +=

On conclue que = RC et K=1.

( ) ( )

( )tydt

tdy.tx +=

A.N. :R=10k; C=10F ; 1,0= et K=1.

W(rd/s) 0 0.01 0.1 0.12 0.5 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103

H

dbH

)jw(H(e

)jw(HIm(

Remplir le tableau. Faire ltude temporelle et dgager les diffrents paramtres (fc, tm, ). Effectuer ltude harmonique par les trois mthodes.

2. Etude d'un systme de second ordre

2.1.DfinitionUn systme physique dentre e(t) et de sortie s(t)est du deuxime ordre, sil estrgi par une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants :

)t(e.K)t(sdt

)t(ds.

w

z.2

dt

)t(sd.

w

1

02

2

20

=++

o Kest le gain du systme.w0est la pulsation propre non amortie positif.

zest le coefficient damortissement positif.



49/139



Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=s(0)=0) , la fonction de transfert dans le

domaine de Laplace scrit : )p(E.K)p(S.1pw

z2p

w

1

0

2

20

=

++

Soit

1pw

z.2

w

pK

wp.w.z.2pw.K

)p(E)p(S)p(H

020

2200

2

20

++

=++

==

2.2.Etude temporelle

2.2.1. Rponse impulsionnelleLentre est dfinie par )t()t(e = , soit dans le domaine de LaplaceE(p)=1.La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :

200

2

2

0

wp.w.z.2p

w.K)p(S ++= .

Discriminant : 1zw4 220 = .

Cas 1 :z>1 , le systme est amorti est le dnominateur possde deux racines relles :0>

.01zzwp 2021


50/139



Cas 3 :z


51/139


Reprsentation graphique :

s()=K.E

t10%

tm

t90%t5%

Particularits : Pente lorigine :

( )tptp2

20 21 ee

1z2

Kw)t('s

= do 0)t('slim0t

=+

Temps de rponse 5%:Il ny pas de formule simple.

Temps de monte :tm=t90% t10%

Cas 2 :z=1, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace scrit :

.p

K

wp

K

)wp(

w.K

p.)wp(

w.K)p(S

02

0

0

20

20 +

+

++

=

+=

La rponse temporelle a pour expression : ( )( )tw0 0etw11K)t(s += .

Particularits : Pente lorigine.

( )( ) tw20000tw 00 e.w.Kwtw1we.K)t('s

=+= do 0)t('slim0t

=+

Temps de rponse 5%.Il ny pas de formule simple.

Cas 3 :z


52/139


On modifie le dnominateur dordre 2 pour faire apparatre un carr parfait :

( ) ( )220200

20

20

220

20

2

0

z1ww.zp

w.z.K.2p.K

p

K

ww.zw.zp.w.z.2p

w.z.K.2p.K

p

K)p(S

++

+=

+++

+= .

Une nouvelle transformation permet didentifier les transformes de Laplace des cosinus et

sinus amortis :

( ) ( ) ( ) ( )

++

++

+=

22

0

20

20

2220

20

0

z1ww.zp

z1w

z1

z

z1ww.zp

w.zp

p

1K)p(S .

La rponse dans le domaine temporel scrit donc :

( ) ( ) .t.z1wsin.e.z1

zt.z1wcos.e1K)t(s

20

tzw

2

20

tzw 00

=

On pose zcos = et 2z1sin = .

La rponse temporelle scrit : ( ) .t.z1wsin.e.z1

11K)t(s 20

tzw

2

0

+

=

Reprsentation graphique :

Particularits : Pseudopriode.

La rponse prsente des oscillations amorties dont la priode, appele pseudopriode, est :

a2

0w

2

z1w

2Ta

=

= o 20a z1ww = est la pulsation amortie.

Pente lorigine.

( )t.z1.wsin.e.z1

w.K)t('s 20

tzw

2

0 0

= donc 0)t('slim0t

=+

et la pente est nulle.

Dpassements relatifs.Les dpassements relatifs sont donns pour les instants tktels ques(tk)=0.

Donc2

0

k

z1wkt

=

avec k entier.

On dfinit le dpassement relatif dordre k par :

( )2

k0

z1

.k.z

k

2

02

tzwk

rk et.z1wsin.z1

e

)(s

)t(s)(s

D

=+=

=

.



53/139


Les dpassements relatifs ne dpendent donc que du coefficient damortissement z:

2z1

.k.z

rk eD

=

. On utilise cette particularit pour identifier z partir dun trac

exprimental modlisable par une fonction de transfert de second ordre. Le premierdpassement est retenu et on a :

( )

( )21r2

21r

Dln

Dlnz

+=

avec

)(s

DD 11r

= . (Voir annexe)

Temps de rponse.Il ny a pas dexpression simple. Un abaque donne la valeur du temps de rponse rduit,t5%.w0, en fonction du coefficient damortissement. Le temps de rponse minimum estobtenu pour un dpassement relatif de 5% ce qui correspond un coefficientdamortissement de valeurz=0,7. On a alors : t5%: w0=3.

Pulsation de rsonancePourz< 0,7Alors la rponse prsente une rsonance pour la pulsation :

z1ww 0R =

Temps de stabilisationLe temps de stabilisation est dfinit par :

Ts 3/z.w0 5% pourz< 0,7.Ts 4/z.w0 2% pourz< 0,7.

0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Time (sec)

A

mplitude

z=0.1

z=0.3

z=0.5

z=0.7

z=1

z=2



54/139



2.3.Etude harmoniqueOn a jwp= , ce qui donne :

0

2

0

022

0

20

w

w.z.j.2

w

w1

K

w.w.z.j.2ww

w.K)w.j(H

+

=+

=

On a alors : ( ) ( )( )2202440102010dB w.w.2z.4ww10.log-w.Klog.20)w.j(H ++=

( )

+

=

2

0

22

0

1010dB w

w.z.2

w

w110.log-Klog.20)w.j(H

2.3.1. Diagrammes de Bode

A/ Reprsentation du module( )

+

=

2

0

22

0

1010dB w

w.z.2

w

w110.log-Klog.20)w.j(H

Etude des asymptotes :

Pour 1w

w

0

>

0

10dB w

wlog40)w.j(H .

=

0

110

0

110dB1dB1 w

wlog.40w

w.10log.40)w.j(H)w.10.j(H

=

0

110

0

110

w

wlog.40

w

w.10log.40

( ) dB4010log.40

w

w

w

w.10

log.40 10

0

1

0

1

10 ==

=

Cest une droite de pente40dB/dcade.


55/139



B/ Reprsentation de la phase

ou

=

0

110

0

110dB1dB1 w

wlog40

w

w.2log40)w.j(H)w.2.j(H

=

0

110

0

110

w

wlog.40

w

w.2log.40 ( ) dB122log.40

w

w

w

w.2

log.40 10

0

1

0

1

10 ==

=

Cest une droite de pente12dB/octave.

.arctg))w.j(H(Arg == 2

0

0

w

w1

w

w.z.2

arctg)w.j(H

=

Etude des asymptotes :

On a asymptote horizontale de

Pour 0w 0 : asymptote horizontale.

Pour 0w w= ( )2

Arctg

+=

=

Pour w ( ) == 0 arctg))w.j(H(Arg= .


56/139

10-3

10-2

10-1

100

-100

-80

-60

-40

-20

0

20G dB

3 dB

f1

40 dB/de c

wo

20.logK

z=2z=1

z=0.7

z=0.5

z=0.1

Chapitre 4

Cours dautomatique et rgulation

10-3

10-2

10-1

100

-200

-150

-100

-50

0Dephasage

-90

-180

wo

z=2

z=1 z=0.7

z=0.5z=0.1


57/139


2.3.2. Reprsentation dans le plan de Nyquist

( )( ) ( ) ( ) ( )20

2220

20

20

2220

220

20

w.w.z.2ww

w.w.K2j

w.w.z.2ww

ww.w.K)w.j(H

+

+

=

-3 -2 -1 0 1 2 3-6

-5

-4

-3

-2

-1

0ReIm

z=0.1

z=0.5

z=0.7z=1

z=2

2.3.3. Reprsentation dans le plan de Black20log ( )f)w.j(Hlog.20 10 = Cest un diagramme contract obtenu en liminant w.

Etude des asymptotes : Pour 0w kwjH

dBlog20).( ; =0.

Pour 0w w= dBkwjH dB 3log20).( = ; = 2

=

2

2z

Pour w dB

)w.j(Het

= y .Cest une asymptote.

-180 -135 -90 -45 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Nichols Chart

z=0.1

z=0.7z=1

z=2

GdB

Dephasage



58/139


2.3.4. Exemple

Le circuit Oscillateur amorti :

dt)t(iC

1

i(t)Rdt

)t(di

Lx(t) ++= (t) y(t)CLR

avec dt)t(iC

1)t(y =

)t(ydt

)t(dyRC

dt

)t(ydLCx(t) ++=

1RCpLCp

1H(p)

++=

Identifions les paramtres :

LC

1w0= est la pulsation propre dun circuit oscillantLC.

C

L.2

Rz = est le facteur damortissement.

A.N. :R=100; C=100F etL=1H.

W(rd/s) 0 0.1 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103 2.103 5.103 104

H

dbH

)jw(H(e

W(rd/s)

Remplir le tableau. Faire ltude temporelle et dgager les diffrents paramtres (fc, tm, ). Effectuer ltude harmonique par les trois mthodes.



59/139


3. Srie de TD N2

Exercice n1 :

Un systme physique a pour fonction de transfert :

)20p4p).(1p(

2p)p(H

2

+++

+=

1. DcomposerH(p)en lments simples.2. En dduire la rponse impulsionnelle du systme.

Exercice n2 :

Soit un processus linaire dfini par la fonction de transfert suivante :

)5p2p).(1p(

4pp)p(F

2

2

+++

++= transforme def(t).

1. Calculerf(0)et )(f + partir deF(p).2. DcomposerF(p)en lments simples et en dduire la rponse impulsionnellef(t).

3. En dduire la rponse indicielles(t), vrifier en calculant directements(0)et )(s + partir deF(p).

Exercice n3 :

On considre le rseau suivant :

K100R1= ; K200R2= ; F10C1= ; F50C2 = .

1. Dterminer la fonction de transfert)p(Ve

)p(Vset en dduire la nature de ce correcteur.

2. Tracer dans le lieu deBodela rponse harmonique relle.

Exercice n4 :

Soit le rseau suivant

Avec K1R= ; H1L= et F100C= .



60/139



1. Montrer que la fonction de transfert du rseau peut se mettre sous la forme :

2BpAp1

K)p(F

++= en prcisant les valeurs deK,AetB.

2. En dduire le gain statique, la frquence propre non amortie et le coefficientdamortissement du rseau.

3. En dduire que la fonction de transfert prcdente est quivalente deux lmentsdu premier ordre en srie.

Exercice n5 :On souhaite identifier un systme par une analyse harmonique. Pour ceci on enregistre larponse du procd des sinusodes A.sin(wt)pour diffrentes valeurs de w. on relve la

phase (en degrs) et le gain G(en dB).

W(rd.s-1) (degrs) G(db)0

0.10.3

0.50.70.80.9

1.00235

10

0-5.8

-18.2

-33.7-53.9-65.8-78.1-90.0

-146.3-159.4-168.2-174.2

20.0020.0420.37

20.9021.2521.1420.720.08.91.4-7.8-20

1. Dessiner ces courbes dans le plan deBode.2. Dire en le justifiant sil sagit dun systme du premier ou du deuxime ordre.

3. donner la fonction de transfert du prcd.

Exercice n6 :

Reprsenter dans le plan de Nyquist, Bode et Black le lieu des fonctions de transfertsuivantes :

1. Intgrateur pur :p

1)p(H = .

2. Drivateur pur : p)p( .H =

3. Double intgrateur pur :2p

1)p(H = .

Exercice n7 :On considre un systme du second ordre ayant comme fonction de transfert :

2

00 w

pp

w

z21

K)p(H

++

=

avecz=0,1;K=1et w0=1.

Ce systme est insr dans une boucle retour unitaire afin deffectuer un asservissement.

1. Le systme en boucle ouverte possde-t-il des rsonances ?2. TracerH(p)dans le diagramme deBodeen boucle ouverte puis en boucle ferme.

H(p)E(p)

+ -S(p)


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Exercice n8 :

1. TracerH(p)dans labaque deBlacken prenant les points suivants pour la pulsation w:

w (rd/s) 0.4 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2. Dterminer laide de labaque deBlackle facteur de surtensionMwet la pulsation dersonance wRWen boucle ferme.

Tracer la fonction de transfert en boucle ferme dans le lieu deBode.3. Peut-on rglerKafin de diminuer le facteur de surtension pour obtenirMWdb=10dB?

Justifier votre rponse laide de labaque deBlackpuis par un calcul direct.

Pour cela, exprimer la fonction de transfert en boucle fermeE(p)

S(p)W(p)= sous la forme :

2

W0W0

W

W

w

pp

w

z.21

K

)p(W

++

=

Et donner les expressions dezW,KWet w0W.En dduire wRWetMW. Comparer avec les rsultats obtenus laide de labaque deBlack.

Exercice n9 :

On considre un systme du second ordre ayant comme fonction de transfert :

2

p.10p.52

3)p(H

++

= .

1. Dduirez;Ket w0.2. Tracer la rponse indicielle.3. Tracer la rponse du systme dans le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de

Black.

Corrig exercice n9 :

1. K = 1,5.z = 0,56.

w0= 0,447.

2. Rponse indicielle

( )k12,2exp.100Dk% = .%12D1= , %44,1D2= .

7,2..kTpic = .

s5,8Tp1= , s17Tp2= .

s17Ta= .s12Tr5%= , .s16Tr2%=



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0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

System: sys

Time (sec): 8.5

Amplitude: 1.68System: sys

Time (sec): 12

Amplitude: 1.57System: sys

Time (sec): 17

Amplitude: 1.48

Step Response

Time (sec)

Amplitude

3. Etude Harmonique.

Lieu de Bode

-60

-40

-20

0

20

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)



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Lieu deNyquist

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAxis

Lieu deBlack

-180 -135 -90 -45 0

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)



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Performances des systmes

asservis linaires


Chapitre


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Chapitre 5 Performances des systmes asservis linaires

Chapitre 5 : Performances des systmes linairesasservis

1. IntroductionOn sintresse ltude des systmes asservis retour unitaire, puisque tout

systme pouvant tre transform en systme retour unitaire.

T(p) S(p)(p)+_E(p)

)p(T : Fonction de transfert en boucle ouverte.

( )( )pT1

pT)p(F

+= : fonction de transfert en boucle ferme.

( ) ( )

( )pDpN

pa...papaa

pb...pbpbbpF

nn210

mm

2210 =

++++

++++= , o n m.

Analyser le systme asservi linaire revient tudier la fonction de transfert enboucle ouverte ( )p(T1 + ).Ltude des performances consiste tudier :

La stabilit et la rapidit qui sont deux critres dynamiques. La prcision qui est un critre statique.

( ) n22

210 pa...papaapD +++= : sappelle quation caractristique.Les racines deN(p)sappellent les zros deF(p).Les racines deD(p)sappellent les ples deF(p).

2. Stabilit

2.1. DfinitionUn systme initialement au repos est stable si pour une entre impulsion de Dirac, le

systme rejoint une position dquilibre aprs un certain temps.2.2. Condition de stabilitLtude de la stabilit revient rsoudre lquation caractristiqueD(p)=0.Soit : iii jp = une racine deD(p).

La condition ncessaire et suffisante pour que le systme soit stable est : toutes lesracines de D(p) sont partie relle strictement ngative.i

RemarqueCette condition ncessaire est suffisante exige un calcul des racines ce qui rend cette

condition inexploitable lorsque lordre du systme devient important, pour cela on proposele critre algbrique suivant.



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Chapitre 5 Performances des systmes asservis linaires

2.2.1. Critre de Routh

Pour cette section, l'approche est purement algbrique et ne requiert pas dereprsentation graphique. Le polynme dnominateur du systme en boucle ferme est critsous sa forme dveloppe et on utilise les proprits des polynmes pour tirer desconclusions concernan

cours automatique regulation

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