Modlisation des rseaux :
files d'attente (ou effet des irrgularits)

Eugen DeduCours M2 RIMUniversit de Franche-Comt, Montbliard, Franceseptembre 2009

[Grands remerciements Julien Bourgeois]

Exemple de problme de file d'attente

Un mdecin malin donne des RdV venez tel jour, et non pas venez tel jour telle heure, est-ce une bonne ide ?

Chaque consultation a 15' (4 c/h) en moyenne(certaines consultations prennent beaucoup plus de temps que d'autres)

Par prcaution, il donne 3*8 = 24 rdv/jour (3 rdv/h, toutes les 20', en moyenne)

Rgulier vs irrgulier

Questions plus complexes

Questions :combien de patients sont en attente, en moyenne ?

combien attend chaque patient, en moyenne ?

D'autres questions, non traites dans ce cours :quelle est la probabilit que N personnes arrivent en M minutes ?

quelle est la probabilit que personne n'arrive durant M minutes, et aprs cela que P personnes arrivent dans les S min suivantes ?

Autres exemples de dimensionnement

Comment dimensionner :les caisses des grands magasins

les toilettes des grands stades sportifs

un central tlphonique avec moins de lignes vers le rseau que de lignes vers ses abonnes

Contexte

Ce cours est une introduction seulement, sans dtails et preuves mathmatiques

En anglais : queueing theory, Petri nets

Fait partie du domaine de probabilits/rech. op.

Naissance : Erlang, 1917, cherche le nombre d'organes de chaque type installer dans un central de tlphone automatique

Les informaticiens l'utilisent pour l'valuation des rseaux informatiques

Bibliographie : tout livre sur FA ou RdPPrcis de recherche oprationnelle, 003.1004

Processus Poisson

Soit un processus caractris par :absence d'vnements doubles (ordonn) : les vnements n'arrivent pas simultanment

indpendance des vnements (sans mmoire)

On tudie :le nombre d'vnements (pas leur valeur) par unit de temps

et le temps d'arrive d'un nouvel vnement

De manire surprenante, ces proprits donnent une distribution Poisson pour le nombre d'vnements !distribution = nombre moyen d'apparitions (occurrences) d'un vnement par unit de tp

Distribution Poisson

k/k!e-

gnuplot

Exemples pratiques

crire 3 chiffres (0..9) sur une feuille

Voir TEST et TEST2

gnuplot TEST2

frquences/nboccurrences

Poisson

Bien identifier ce que c'est vnement (arrive), exprience etc.

la fin de chaque exprience, on a un vnement (rsultat)

= intensit (moyenne/taux)

gaussienne en continu, poisson en discretextrapolation de poisson => gaussienne

Distribution exponentielle

Le temps du prochain vnement (l'intervalle entre deux vnements conscutifs, ou bien temps d'inter-arrive) d'un processus Poisson suit une distribution exponentiellesi Poisson de , alors exponentielle de aussi

Similitude : principe du 80/20 (Pareto)sur Internet, 20 % des flux utilisent 80 % des ressources

dans un programme, 20 % du code est excut 80 % du temps

Distribution exponentielle

e-xaire=1

f(0)=

gnuplot

Distribution exponentielle, cumulatif

Intrt de Poisson/exponentielle

Beaucoup de phnomnes naturels sont des processus Poisson, ex. :nombre de requtes Web un serveur

nombre de gouttes de pluie qui tombent sur une surface (grande)

nombre de poissons pchs

nombre de voitures qui passent sur une route

nombre d'erreurs faites par un scribe lors d'une copi

Arrive poissonnienne et service exponentiel :temps d'arrive et de traitement des clients un guichet

temps d'arrive et de stationnement des voitures dans un parking

Remarques sur Poisson/exponentielle

Remarques : stochastique, statistiques => on travaille avec des moyennes

Cas de non-applicabilit

Chez le mdecin, les clients ne viennent pas au hasard, mais d'aprs rendez-vous :de 8h 9h, 3 clients sont venus

de 9h 10h, 3 clients sont venus

de 10h 11h 4 clients sont venus

Au RU, pendant la journe les tudiants ne viennent pas en Poisson, mais plutt midimais midi seulement (11h30-13h30), ils devraient suivre Poisson

sauf qu'ils viennent quand les cours finissent, et ils finissent 11h30, 12h ou 12h30 => pas de Poisson

Terminologie/dfinitions

systme

client, vnement

station, serveur

temps d'arrivetemps d'inter-arrive

file d'attente = les clients en attente (donc pas en train d'tre servis)

temps de sjour (de rponse) = temps d'attente + temps de service

Divers

La file peut ne pas tre physique/gographique, par ex. des machines qui attendent un mcanicien

Ds qu'un serveur se libre, il est aussitt utilis (c'est normal)

On s'intresse la moyenne des valeurs (temps attente par ex.), pas l'cart type ou autre valeur...

Types de modlisation des rseaux

Qualitative, vrification du comportementex. : terminaison (vivacit), interblocage (deadlock)

mthode : rseaux de Petri K=inf, N=inf, D=FIFO

Notation de Kendall, valeurs

Arrives et service : M (markovienne/poissonnienne), D (constante), G (gnrale quelconque), ...

Nombre serveurs : en parallle

Capacit : perte si file pleine

(Population : si petite, affecte le taux d'arrive)

Discipline : FIFO (PAPS, FCFS), LIFO (DAPS, LCFS), random, round-robin

File M/M/1

Arrive : poissonnienne nombre moyen d'arrives par unit de temps

Distribution de service : exponentielle nombre moyen de clients pouvant tre servis par unit de temps1/ = dure moyenne d'un service

Serveur unique

Capacit infinie

Discipline : FIFO

Loi de Little + explications

Nombre clients dans un systme = taux d'arrives * temps pass dans le systmen = t (loi de Little)

systme peut tre juste la file aussi

Ex, magasin : 10 clients/h, restent 0.5h

Si 20 clients/h => quoi faire ?accepter plus de clients/h

ou rduire temps pass 0.25h

tsys = tatt + tserv (car valable pour chaque clie)=> nsys/ = natt/ + 1/ => nsys = natt + /

Quelques piges

Voir fichier PIEGES

nsys = natt + nserv, avec nserv != 1 !!!pris instantanment, nserv est parfois 1, parfois 0

Cadence de drainage (dbit) de FA : , pas !!!=> tatt = natt / (et non natt/) = nsys /

si 3 clients en moyenne en attente (natt = 3), et chaque client est trait en 15' ( = 4), alors tatt = 3/ = 3/4 = 45' est fauxen ralit, tatt = 3/ (si = 3, alors tatt = 3/3 = 1h)

cela vient du fait que c'est poisson, et le serveur est en attente quand il n'y a aucun client

tatt pour C=2 dbit plus petit que M/M/1

File M/M/1/K, rsolution

Dbit : X = (1-k)/(1-k+1)

Taux d'utilisation : r = X/ = (1-k)/(1-k+1)

Nombre moyen de clients dans le systme : nsys = /(1-) * (1-(K+1)k+Kk+1)/(1-k+1)

Temps moyen de sjour d'un client admis dans la file : tsys = nsys/X

Temps moyen de sjour d'un client arrivant dans le systme : tsys2 = R(X/)certains de ces clients seront rejets (t=0), donc le temps moyen est plus petit

File M/M/C

Identique M/M/1

Sauf que le systme a C serveurs indpendants

Condition de stabilit : < C

Dbit : X =

Temps moyen de sjour :

tsys = C / ((C-1)!(C-)2) * p(0) + 1/o p(0) = probabilit d'attente nulle (tatt = 0)

p(0) = 1 / (C/(C!(1-/C)) + SUMn=0C-1 n/n!)

Nombre moyen de clients dans le systme : nsys = tsys* = C+1 / ((C-1)!(C-)2) * p(0) +

Problme

Entreprise avec 1 guichet de SS

Hypothse :arrives : tableau avec nombre d'ouvriers arrivant durant chaque intervalle de 5 min

service : tableau avec nombre d'ouvriers ayant pass au guichet [0,1[, [1,2[, [2,3[, ..., [11,12[, >12 minutes

Conclusion : temps moyen d'attente, dure moyenne au guichet, occupation du guichetier=> optimisation

Dmonstration : voir TD...

Rseaux ouverts

Rseau : plusieurs FA interconnectes dans le systme

Ouvert : nombre illimit de clients

Routage : probabiliste, cyclique, file la plus courte

Rseau de Jackson

Rseau de Jackson ouvert : une seule classe de clients, arrive poissonnienne, 1 serveur/station, stockage illimit, FIFO, routage probabiliste

Rseau de Jackson, paramtres

M le nombre de stations

le taux des arrives

i les taux de service

p0i probabilit qu'un client arrivant entre dans FAi

pij probabilit d'aller de FAi FAj

pi0 probabilit de quitter le systme depuis FAi

Rseau de Jackson

Arrive dispatche plusieurs FA=> chaque entre j rcupre une partie des entres totales, donc :

probabilits p0j, avec SOMMEp0j = 1

processus d'arrive : p0j

Pour chacun des i, SOMMEtout jpij = 1

Rseau de Jackson

Taux de visite de FAi : ei = p0i + SOMMEejpjiei = i /

Stabilit : i < i pour tout i

Thorme de Jackson : un rseau de Jackson ensemble de files M/M/1p(n) = PRODUITpi(ni), o pi(ni) = (1-i)i^ni

o p(n) = probabilit stationnaire de n

Une M/M/1 (une M/M/S aussi) d'entre une Poisson gnre en sortie une Poisson aussi

Rseau de Jackson, rsolution

Pour chacune des FA :Dbit moyen : Xi = i = ei

Nombre de clients : nsysi = i / (1-i)

Taux d'utilisation : ri = i

Temps moyen d'attente : tatti = 1/(i-i)

Pour le systme :Dbit moyen : X =

Nombre de clients : nsys = SOMMEnsysi

Temps moyen de sjour : tsys = nsys/X = nsys/ = SOMMEnsysi/ = SOMMEeinsysi/i = SOMMEeitsysi