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Corrigés Exercices

Premiers algorithmes – Questions rapides

1 1) V ; 2) F ; 3) V ; 4) F.

2 1) a ; 2) b ; 3) a et b ; 4) b.

3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré est-il positif ?".

4 a (remarque : le compteur i est incrémenté de 1 à chaque passage dans la boucle, jusqu'à atteindre au plus la valeur maximale C, qu'elle soit entière ou non) et c.

Fonctions

Généralités

5 1) b ; 2) a ; 3) a et c ; 4) c ; 5) b et c.

6 1) a et b ; 2) b ; 3) c ; 4) a et b ; 5) a et c.

7 1) f(1) = 9 ; f(4) = 81 ; f(–3) = 25. 2) -7 et 6. 3) f(x) = (2x+1)².

8 1) f(1) = 4 ; f(4) = 1 ; f(–2) = 25. 2) f(x) = (x–3)². 3) 5 et 1.

Etude qualitative

9 1) Il faut calculer l'image par f de –3, de –2, de -1, … jusqu'à l'image par f de 4. Ainsi pour tous les entiers i de -3 à 4, on calcule f(i). Pour plus de confort pour lire les résultats, on peut aussi penser à afficher les couples (i ; f(i)). On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : i : entier ; y : réel ;

Début Pour i allant de -3 à 4 faire

y←2×i²+i–3 ; Afficher("(",i," ; ",y,")") ;

FinPour ; Fin.

2) Il faut calculer l'image par f de –3, de –2,5, de –2, … jusqu'à l'image par f de 4 : les réels dont on veut calculer l'image sont obtenus en ajoutant 0,5 à la valeur précédente, jusqu'à atteindre 4. Ainsi : - on commence par affecter –3 à x ; - puis tant que x est inférieur ou égal à 4, on affiche le couple (x ; f(x)) et on ajoute 0,5 à x. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : x,y : réels ;

Début x← –3; Tant que x≤4 faire

y←2×x²+x–3 ; Afficher("(",x," ; ",y,")") ; x←x+0,5 ;

FinTantQue ; Fin.

3) On reprend la démarche précédente en modifiant la valeur 0,5 par p, qu'on aura saisie au préalable. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : x,y,p : réels ;

Début x← -3; Entrer(p) ; Tant que x≤4 faire

y←2×x²+x–3 ; Afficher("(",x," ; ",y,")") ; x←x+p ;

FinTantQue ; Fin.

4) a) En D2 =B1 ; en D3 =D2+$B$2 ou =D2+B$2 ; en E2 =2*D2^2+D2-3. On recopie vers le bas les cellules D3 et E2.

b) Les valeurs précédentes laissent penser que le tableau de variations de f est :

c) En modifiant le pas dans la cellule B2 (0,5, puis 0,1, puis 0,05, etc), on s'aperçoit que la conjecture précédente est fausse (par exemple f(–0,1) = –3,08 est strictement inférieur à –3). On propose alors plutôt :

(Des modifications du pas en B2 confortent la conjecture.)

10 1) x prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20]. 2) Il faut d'abord savoir si x appartient à l'intervalle [0 ; 10] ou à l'intervalle [10 ; 20]. Si x ≤ 10, alors le volume est : 100x ; sinon le volume est : 1000 + 25×(x–10) = 750 + 25x. 3) a) 500 cm3 ; b) 1000 cm3 ; c) 1125 cm3 ; d) 1250 cm3. 4) On procède par balayage (par encadrements successifs) pour obtenir un volume égal à 625 cm3. On obtient que la hauteur de liquide dans le récipient sera égale à 6,25 cm. On peut retrouver ce résultat en résolvant l'équation 100x=625.

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11 1) à un an : 100+(100+2×1) = 202 € ; à deux ans : 202+(100+2×2) = 306 €. 2) a) A chaque anniversaire d'Alban, pour ses n ans, sa grand-mère ajoute 100+2×n € à la somme déjà présente sur le compte, qu'on ne connaît pas a priori. Il faut calculer celle-ci de proche en proche, en ajoutant à partir de la naissance, toutes les sommes que la grand-mère a versées sur le compte. Ainsi : - la somme initiale est 100 € ; - de 1 an à 10 ans, pour l'année n, la somme est la somme précédente augmentée de 100+2×n € ; - la somme demandée est la dernière somme calculée. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : S,n : entiers ;

Début S←100; Pour n allant de 1 à 10 faire

S←S+100+2×n ; FinPour ; Afficher(S) ;

Fin.

b) Alban disposera de 1210 € pour ses 10 ans. 3) Il faut calculer la somme disponible chaque année, de proche en proche comme à la question précédente, jusqu'à ce qu'elle dépasse 1999 €, tout en gardant en mémoire le nombre d'années qui s'écoulent. Ainsi : - la somme initiale est 100 € (année 0) ; - tant que la somme ne dépasse pas 1999 €, on passe à l'année suivante, et on ajoute à la somme précédente ce que verse la grand-mère d'Alban ; - l'année demandée est la dernière année calculée. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : S,n : entiers ;

Début S←100; n←0; Tant que S<1999 faire

n←n+1 ; S←S+100+2×n ;

FinTantQue ; Afficher(n) ;

Fin.

On obtient qu'Alban pourra s'offrir la guitare à ses 17 ans.

12 1) a) b) Avec l'échelle x∈ [–1 ; 4] et y∈ [–10 ; 10] :

c) 2 < x0 < 3. 2) a) En D2 =B1 ; en D3 =D2+$B$2 ou =D2+B$2 ; en E2 =4*D2^2-D2^3. On recopie vers le bas les cellules D3 et E2.

b) 9 n'est pas le maximum de f sur [-1 ; 4]. Par exemple en modifiant le pas en B2 (en choisissant par exemple un pas de 0,5), on obtient que f(2,5) = 9,375 qui est strictement supérieur à 9. c) On cherche la valeur maximale de la colonne E. Pour cela, on modifie la valeur en B1 et le pas en B2 pour "affiner" le tableau de valeurs. On obtient que le maximum est atteint en 2,67 à 10-2 près :

d) On lit dans le tableau une valeur approchée de M : 9,48. On ne peut pas affirmer ici que le résultat est une valeur approchée de M à 10-2 près.

13 1) On peut penser à faire fonctionner l'algorithme pas à pas pour avoir une idée :

Etapes Valeur

de x Valeur

de y Valeur de m

Calcul de m 34 Entrée dans la boucle Pour : on affecte -2 à x ; on affecte à y : 3×(-2)²–2×(-2)+1=17 ; on teste la proposition "y<m" : elle est vraie. On affecte la valeur de y à m.

-2

17

34 17

On affecte automatiquement -1 à x ; on affecte à y : 3×(-1)²–2×(-1)+1=6 ; on teste la proposition "y<m" : elle est vraie. On affecte la valeur de y à m.

-1

17 6

17 6

0 1 1 1 2 1 2 9 1

On continue :

3 22 1 On sort de la boucle Pour. On affiche m : 1

On comprend, en le faisant fonctionner pas à pas, que l'algorithme détermine de proche en proche la plus petite image des entiers entre -3 et 3. Le résultat affiché est 1. 2) Non, rien n'assure qu'il n'existe pas un réel (non entier) de [-3 ; 3] ayant une image inférieure à 1. Par exemple, f(0,5) = 0,75 ; donc 1 n'est pas le minimum de f sur [-3 ; 3].

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3) Dans l'algorithme précédent, au moment où on calcule de proche en proche une plus petite image, il faut garder en mémoire l'entier x0 en lequel a été obtenu cette image. Cet entier x0 doit d'abord être initialisé à la valeur -3. On propose :

Variables m,x,x0,y : entiers ;

Début x0← -3 ; m←3×(-3)² – 2×(-3)+1 ; Pour x allant de -2 à 3 faire

y←3×x² – 2×x+1 ; Si y<m alors x0←x ; m←y ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("le minimum sur les entiers est ",m) ; Afficher("il est atteint en ",x0) ;

Fin.

4) a) Il faut calculer l'image par f de -3, de -2,9, de -2,8, … jusqu'à l'image par f de 3, et obtenir de proche en proche la plus petite d'entre elles comme dans l'algorithme précédent. On constate que les réels dont on veut calculer l'image sont obtenus en ajoutant 0,1 à la valeur précédente, jusqu'à atteindre 3. Ainsi : - on commence par initialiser les valeurs de x à -3, de x0 à -3, et de m à f(-3) (la valeur du minimum pour l'instant) ; - ensuite, tant que x est inférieur ou égal à 3, on ajoute 0,1 à x, on calcule f(x) qu'on affecte à y, et on compare cette valeur et le minimum m des images précédentes. Dans le cas où y est inférieur à m, on modifie les valeurs de x0 et de m ; - on conclut en affichant les dernières valeurs calculées de x0 et de m. Cela se traduit par l'algorithme :

Variables m,x,x0,y : entiers ;

Début x← -3 ; x0← -3 ; m←3×(-3)² – 2×(-3)+1 ; Tant que x ≤ 3 faire

x←x+0,1 ; y←3×x² – 2×x+1 ; Si y<m alors x0←x ; m←y ; FinSi ;

FinTantQue ; Afficher("le minimum paraît être ",m) ; Afficher("il est atteint en ",x0) ;

Fin.

b) On obtient x0 ≈ 0,3 et m ≈ 0,67. c) Non. d) Les résultats paraissent cohérents.

x ∈ [–3 ; 3] et y ∈ [–2 ; 20 ]

x ∈ [–1 ; 1] et y ∈ [–1 ; 2 ]

5) a) 2

2 21 2 2 1 23 3 3 2 1 ( )

3 3 3 9 3x x x x x f x − + = − + + = − + =

b) Pour tout x∈ [–.3 ; 3] :2

13 0

3x − ≥

. Donc 2

( )3

f x ≥ .

De plus 1 2

3 3f =

. Donc f admet comme minimum 2

3,

qui est atteint en 1

3.

c) Les résultats sont cohérents.

Equations

14 a.

15 1) Il s'agit de calculer chaque année la taille de la population d'abeilles (P), et de la comparer à 2500, tout en gardant en mémoire le nombre d'années (n) qui s'écoulent. Ainsi : - la population P initiale vaut 5000 (n vaut 0) ; - tant que la population P est supérieure à 2500, on passe à l'année suivante (l'année n devient l'année n+1), et la population P devient :

P–0,05P = 0,95 P ; - on conclut en affichant le nombre d'années écoulées n. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : P : réel ; n : entier ;

Début P←5000 ; n←0 ; Tant que P > 2500 faire

n←n+1 ; P←0,95×P ;

FinTantQue ; Afficher("le nombre d'années est ",n) ;

Fin.

2) La population d'abeilles aura diminué de moitié au bout de 14 années.

16 1) Le capital disponible est 1025 € au bout d'une année de placement, et 1050,625 € au bout de deux années de placement. 2) a) Le capital initial est 1000 €. Puis si une année le capital est C, l'année suivante il vaut : C+0,025×C = 1,025×C. Il faut réitérer ce calcul autant de fois que d'années de placement. Ainsi : - on entre le nombre d'années de placement n et on initialise le capital C à 1000 ; - on remplace n fois C par 1,025×C ; - on affiche la dernière valeur calculée de C. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : C : réel ; n,i : entiers ;

Début Entrer(n) ; C←1000 ; Pour i allant de 1 à n faire

C←1,025×C ; FinPour ; Afficher("le capital est ",C) ;

Fin.

b) Le capital est d'environ 1131,41 € au bout de cinq années, et environ 1280,08 € au bout de dix années.

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3) On calcule les valeurs du capital les années suivantes, jusqu'à ce qu'il dépasse 2000 € : soit en calculant "toutes" les valeurs (tableur), soit en testant plusieurs valeurs et en procédant par balayage (calculatrice ou logiciel). On obtient qu'il faut 29 années de placement pour doubler le capital (pour 28 années, le capital vaut environ 1996,50 €, pour 29 années, le capital vaut environ 2046,41 €). Prolongement (calculatrice ou logiciel) : on peut modifier le programme. Il s'agit de calculer le capital (C) et de le comparer à 2000, tout en gardant en mémoire le nombre d'années (n) qui s'écoulent. Cela se traduit par l'algorithme :

Variables : C : réel ; n,i : entiers ;

Début C←1000 ; n←0 ; Tant que C < 2000 faire

n←n+1 ; C←1,025×C ;


Fin.

4) On calcule les valeurs du capital les années suivantes, jusqu'à ce qu'il dépasse 10 000 € ou 20 000 € : soit en calculant "toutes" les valeurs (tableur), soit en testant plusieurs valeurs et en procédant par balayage (calculatrice ou logiciel). On obtient qu'il faut 94 années de placement pour atteindre 10 000 € (pour 93 années, le capital vaut environ 9 938,47 €, pour 94 années, le capital vaut environ 10 186,93 €) et 122 années de placement pour atteindre 20 000 € (pour 121 années, le capital vaut environ 19 842,10 €, pour 122 années, le capital vaut environ 20 338,16 €). Prolongement (calculatrice ou logiciel) : on peut modifier le programme. Il s'agit de calculer le capital (C) et de le comparer à la somme S entrée (10000 ou 20000 ici), tout en gardant en mémoire le nombre d'années (n) qui s'écoulent. Cela se traduit par :

Variables : C,S : réel ; n,i : entiers ;

Début C←1000 ; n←0 ; Afficher("capital à atteindre ? ") ; Entrer(S) ; Tant que C < S faire

n←n+1 ; C←1,025×C ;


Fin.

17 1) Avec la fenêtre x∈ [–2 ; 2] et y∈ [–5 ; 5] :

Graphiquement, 1 < α < 2. 2) m0 = 1,5 et f(m0) = 0,875. On a : a1 = 1 et b1 = 1,5. 3) m1 = 1,25 et f(m1) ≈ –0,297. Donc f(m1) < 0 donc m1 < α < b1 Donc a2 = 1,25 et b2 = 1,5. 4) En B3 =G1 ; en C3 =G2 ; en D3 =(B3+C3)/2 ; en E3 =D3^3-D3-1. En B4 =SI(E3>0;B3;D3) ; en C4 =SI(E3>0;D3;C3). On recopie vers le bas les cellules B4, C4, D3 et F3. 5) Il faut regarder l'écart entre les réels an et bn qui encadrent α, et regarder à partir de quand il est inférieur à 0,001. On peut éventuellement rajouter le calcul de cet écart dans une colonne du tableur. On obtient : dès que n ≥ 10, l'encadrement an < α < bn est d'amplitude inférieure à 0,001. Si on souhaite faire une application numérique, il faut arrondir an par défaut et bn par excès. Comme on souhaite un encadrement d'amplitude inférieure à 0,001, il est plus simple de regarder les termes de rang 11 (sinon pour le rang 10, il faut aller chercher de nombreuses décimales). Ainsi : 1,3247 < α < 1,3252.

18 1) Avec la fenêtre x∈ [–3 ; 1] et y∈ [–5 ; 25] :

Graphiquement, –1 < α < 0. 2) m0 = –0,5 et f(m0) = 1,0625. Donc f(m0) > 0 et f(b0) < 0 : f change de signe entre m0 et b0. Donc m0 < α < b0. 3) m1 = –0,25 et f(m1) ≈ 0,004. 4) Il s'agit de vérifier que la construction est bien décrite par l'algorithme. On pourra faire remarquer que, par construction de proche en proche, les réels an ont une image positive et que les réels bn ont une image négative :

Ainsi, à chaque étape n, f change de signe entre an et bn : donc an < α < bn. En utilisant le schéma précédent, on constate que l'amplitude de l'encadrement est divisée par 2. Au bout de n étapes, il est divisé par 2n. Comme l'amplitude de l'encadrement initial est b0 – a0 = 1, à l'étape n, l'amplitude de l'encadrement est 1

2n, qui peut être rendu aussi petit qu'on le souhaite. On

peut ainsi obtenir des valeurs approchées de α aussi précises que possible en calculant les réels an et bn pour un certain entier n. 5) Ici le nombre d'étapes est a priori inconnu.

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Il s'agit de calculer les réels an et bn jusqu'à ce que l'écart bn – an soit inférieur à la précision p, que l'on saisira au début de l'algorithme. Cela se traduit par :

Variables : a,b,p,m,y : réels ;

Début : Entrer(p) ; a← –1 ; b←0 ; Tant que (b-a) > p faire

m←(a+b)/2 ; y←m4 – 4×m –1 ; Si y > 0 alors a←m ;

sinon b←m ; FinSi ;

FinTantQue ; Afficher("α est entre ",a," et ",b) ;

Fin.

6) Il s'agit de traduire l'algorithme précédent en langage calculatrice ou logiciel. 7) α ≈ –0,249 à 10-3 près ; α ≈ –0,249038 à 10-6 près.

Inéquations

19 b et c.

20 1) Pour 2h15 (135min), c'est le forfait A le plus avantageux (26,25€) ; pour 2h30 (150min), c'est le forfait C le plus avantageux (29€). 2) Le forfait le plus avantageux pour le consommateur est celui qui coûte le moins cher. On peut donc pour une certaine durée de consommation (D) en minutes : - calculer les montants des trois forfaits. Par exemple pour le forfait A, si la durée D est inférieure à 120 minutes (2h), le montant à payer est 19,50 € ; sinon, le montant à payer est 19,50+0,45×(D–120). On procède de la même façon pour les forfaits B et C ; - tester lequel est le plus petit montant pour l'afficher. On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : D, A, B, C : réels ;

Début Entrer(D) ; Si D ≤ 120 alors A←19,5 ;

sinon A←19,5+0,45×(D–120) ; FinSi ; Si D ≤ 120 alors B←22 ;

sinon B←22+0,37×(D–120) ; FinSi ; Si D ≤ 180 alors C←29 ;

sinon C←29+0,37×(D–180) ; FinSi ; Si A≤B et A≤C alors Afficher("forfait A pour un montant de ",A) ; FinSi ; Si B≤A et B≤C alors Afficher("forfait B pour un montant de ",B) ; FinSi ; Si C≤A et C≤B alors Afficher("forfait C pour un montant de ",C) ; FinSi ;

Fin.

Remarque : on a choisi ici pour être plus lisible de ne pas imbriquer les tests pour déterminer le plus petit montant. Mais cela aurait pu être possible. Un autre avantage de cet algorithme est qu'il permet d'afficher les cas d'égalité de forfaits. 3) a) Forfait A pour 26,25€ (135min). b) Forfait C pour un montant de 29€ (150min). c) Forfait C pour un montant de 29€ (165min). d) Forfait C pour un montant de 29€ (180min). 4) Il faut calculer le montant le plus avantageux en fonction de la durée de communication : soit en calculant "toutes" les valeurs (tableur), soit en testant plusieurs valeurs et en procédant par balayage (calculatrice ou logiciel). On obtient : - pour une consommation d'une durée inférieure ou égale à 141 minutes, c'est le forfait A le plus avantageux ; - pour une consommation d'une durée supérieure ou égale à 142 minutes, c'est le forfait C le plus avantageux. On peut éventuellement compléter l'étude en traçant les courbes représentatives des fonctions associées aux forfaits,

et en résolvant des inéquations.

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21 1) Le forfait le plus avantageux pour le consommateur est celui qui coûte le moins cher. On peut donc pour un certain nombre de SMS envoyés dans le mois (N) : - calculer les montants des trois forfaits : pour le forfait A, le montant à payer est 20 € ; pour le forfait B, le montant à payer est 0,15×N ; pour le forfait C, le montant à payer est 12+0,05×N ; - tester lequel est le plus petit montant pour l'afficher.

On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : N : entier ; A, B, C : réels ;

Début Entrer(N) ; A←20 ; B←0,15×N ; C←12+0,05×N ; Si A≤B et A≤C alors Afficher("forfait A pour un montant de ",A) ; FinSi ; Si B≤A et B≤C alors Afficher("forfait B pour un montant de ",B) ; FinSi ; Si C≤A et C≤B alors Afficher("forfait C pour un montant de ",C) ; FinSi ;

Fin.

Remarque : on a choisi ici pour être plus lisible de ne pas imbriquer les tests pour déterminer le plus petit montant. Mais cela aurait pu être possible. Un autre avantage de cet algorithme est qu'il permet d'afficher les cas d'égalité de forfaits. 2) a) Forfait B pour un montant de 3 €. b) Forfait B pour un montant de 6,75 €. c) Forfait B pour un montant de 15 €. d) Forfait C pour un montant de 19,50 €. 3) Il faut calculer le montant le plus avantageux en fonction du nombre de SMS envoyés dans le mois : soit en calculant "toutes" les valeurs (tableur), soit en testant plusieurs valeurs, et en procédant par balayage (calculatrice ou logiciel). On obtient : - de 0 à 120 SMS envoyés dans le mois, le forfait B est plus avantageux ; - de 120 à 160 SMS envoyés dans le mois, le forfait C est plus avantageux ; - plus de 160 SMS envoyés dans le mois (160 inclus), le forfait A est plus avantageux. On peut éventuellement compléter l'étude en traçant les courbes représentatives des fonctions associées aux forfaits,


22 1) En 2001, il y a dans la ville A 20000×0,90+80000×0,20 = 34000 habitants ; dans la ville B 20000×0,10+80000×0,80 = 66000 habitants. En 2002, il y a dans la ville A 34000×0,90+66000×0,20 = 43800 habitants ; dans la ville B 34000×0,10+66000×0,80 = 56200 habitants. 2) a) Il s'agit de calculer chaque année les tailles des populations dans les villes A et B (popA et popB) et de les comparer, tout en gardant en mémoire le nombre d'années écoulées (n). Ainsi : - les tailles des populations initiales dans les villes A et B (popA et popB) sont respectivement 20000 et 80000 (n vaut 0) ; - tant que la taille de la population de la ville A (popA) est inférieure à la taille de la population de la ville B (popB), on passe à l'année suivante (l'année n devient l'année n+1), la taille de la population de la ville A (popA) devient popA×0,9+popB×0,2 et celle de la ville B (popB) devient popA×0,1+popB×0,8 (attention : dans ces deux calculs, les valeurs popA et popB désignent les tailles précédentes. Si on transcrit tel que ces calculs dans une calculatrice ou un logiciel, pour le calcul de la nouvelle valeur de popA, il n'y aura pas de problème ; mais pour celui de popB, popA aura pour valeur la nouvelle valeur, et non l'ancienne : il faut donc stocker les anciennes valeurs popA et popB dans des variables auxiliaires, par exemple a et b) ; - on conclut par l'affichage du nombre d'années écoulées (n).


Variables : n : entier ; popA,popB,a,b : réels ;

Début popA←20000 ; popB←80000 ; n←0 ; Tant que popA < popB faire

n←n+1 ; a←popA ; b←popB ; popA← a×0,9+b×0,2 ; popB← a×0,1+b×0,8 ;

FinTantQue ; Afficher("le nombre d'années nécessaires est ",n) ;

Fin.

b) On obtient que la ville A compte plus d'habitants que la ville B au bout de trois ans (soit en 2003). 3) a) Vrai ; b) Faux ; c) Vrai.

23 1) Pour calculer le coût d'une masse de produits fabriqués M (en kg), il faut d'abord comparer M et 800 : si M < 800, alors le coût est 5000+12×M : sinon, le coût est 5000+13,20×M. 2) Pour calculer la recette d'une masse de produits achetés M (en kg), il faut d'abord comparer M et 900 : si M < 900, alors la recette est 20×M : sinon, la recette est 20×M – 100. 3) a) L'entreprise réalise des bénéfices lorsque les recettes sont supérieures aux coûts. Ainsi, - pour une masse de produits fabriqués et achetés M (en kg), on calcule le montant de la recette et des coûts selon les démarches des questions 1) et 2). Puis on teste si les recettes sont supérieures aux coûts.

Corrigés Exercices


Variables : M,R,C : réels ;

Début Entrer(M) ; Si M < 800 alors C←5000+12×M ;

sinon alors C←5000+13,2×M ; FinSi ; Si M < 900 alors R←20×M ;

sinon alors R←20×M – 100 ; FinSi ; Si R ≥ C alors Afficher("bénéfices") ;

sinon Afficher("pas de bénéfices") ; FinSi;

Fin.

- il reste à tester soit "toutes" les valeurs (tableur), soit quelques valeurs puis procéder par balayage (calculatrice ou logiciel). b) On obtient que l'entreprise réalise des bénéfices à partir d'une fabrication et d'une vente de 625 kg de produits. On peut éventuellement compléter l'étude en traçant les courbes représentatives des fonctions associées aux forfaits,


Géométrie

Configurations du plan

24 1) On note I, J et K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB]. D'après le théorème de la droite des milieux, on a : KJ=1BC ; IJ=1AB ; KI=1AC.

Comme le triangle ABC est équilatéral, les triangles AKJ, IJC, IJK et BKI ont leurs 3 côtés de même mesure et sont donc équilatéraux.

2) On a noirci 9 triangles noirs à la 3e étape.

3) On constate qu'à chaque fois qu'on noircit un triangle central, on laisse en blanc 3 triangles "extérieurs". A l'étape suivante, on noircira le triangle central de chacun de ces triangles laissés en blanc. Ainsi, le nombre de triangles qu'on noircit est multiplié par 3 à chaque étape. A la 4e étape, on va donc noircir 3×9 = 27 triangles.

On vérifie :

Cela fait bien 27 nouveaux triangles noircis.

4) A chaque étape, on multiplie par 3 le nombre de triangles qu'on noircit (voir question 3)). Comme à la 1ère étape on a noirci un triangle, à l'étape n on noircit 1×3×3×…×3 = 3n-1 triangles.

5) On ajoute les nombres de triangles noircis à chaque étape, jusqu'à avoir dépassé 100. Ainsi : 1+3 = 4 (nombre de triangles noircis en tout à l'étape 2) ; 1+3+9 = 13 (nombre de triangles noircis à l'étape 3) ; 1+3+9+27 = 40 (nombre de triangles noircis à l'étape 4); 1+3+9+27+81 = 121 (nombre de triangles noircis à l'étape 5). Il faut donc 5 étapes pour noircir au moins 100 triangles.

Corrigés Exercices

25 1) a) 3e étape :

On a construit 2×4 = 8 demi-cercles, de diamètre

12

4AB

÷

, soit 2cm.

b) 4e étape : à chaque étape, on construit 2 demi-cercles à l'intérieur de chaque demi-cercle. Ainsi à chaque étape, on multiplie par 2 le nombre de demi-cercles construits, qui ont comme diamètre le diamètre précédent divisé par 2. A la 4e étape, on va donc construire 2×8 = 16 demi-cercles, de diamètre 2÷2 = 1 cm. On vérifie :

c) A chaque étape, le nombre de demi-cercles qu'on construit est multiplié par 2, et leur diamètre est divisé par 2 (voir question b)). A l'étape 1, on construit deux demi-cercles, de diamètre 8 cm. Ainsi à l'étape n, on construit 2×2×2×…×2 = 2n demi-cercles, de diamètre ((((8÷2)÷2)÷2)÷…)÷2 = 8 ÷ 2n-1 cm.

2) a) p(0) est la longueur d'un demi-cercle de diamètre 16cm. Donc p(0) = 16π ÷ 2 = 8π.

b) p(1) est la somme des longueurs des 2 demi-cercles de diamètre 8 cm. Donc p(1) = 2×(8π ÷ 2) = 8π. p(2) est la somme des longueurs des 4 demi-cercles de diamètre 4 cm. Donc p(2) = 4×(4π ÷ 2) = 8π. On constate que les valeurs p(0), p(1) et p(2) sont égales.

c) A l'étape n, p(n) est la somme des longueurs des 2n demi-cercles de diamètre 8 ÷ 2n-1 cm. Donc p(n) = 2n×((8 ÷ 2n-1)×π ÷ 2) = 8π.

3) L'aire d'un disque de diamètre d est 2

4

dπ.

a) A(0) est l'aire du demi-disque de diamètre 16cm. Donc A(0) = (π×16² ÷ 4) ÷ 2 = 32π.

b) A(1) est la somme des aires des 2 demi-disques de diamètre 8 cm. Donc A(1) = 2×((π×8² ÷ 4) ÷ 2) = 16π. A(2) est la somme des aires des 4 demi-disques de diamètre 4 cm. Donc A(2) = 4×((π×4² ÷ 4) ÷ 2) = 8π.

c) A l'étape n, A(n) est la somme des aires des 2n demi-disques de diamètre 8 ÷ 2n-1 = 16 ÷ 2n cm. Chaque demi-disque a pour aire : (π×(16 ÷ 2n)² ÷ 4) ÷ 2 = 32π ÷ (2n)² cm². Donc A(n) = 2n×32π ÷ (2n)² = 32π ÷ 2n .

4) a) Vrai ; b) Faux ; c) Faux.

26 1) a) Etape 1 :

b) Le quadrilatère A1B1C1D1 semble être un carré. Plusieurs démarches sont possibles pour démontrer cette conjecture. Par exemple : - D'après le théorème de Pythagore dans le triangle A1B1B0 rectangle en B0,

2 2 2 21 1 1 0 0 1 8 2 68A B A B B B= + = + = cm. De même

1 1 68B C = cm ; 1 1 68C D = cm et 1 1 68A D = cm.

Donc le quadrilatère A1B1C1D1 est un losange.

- De plus � � �0 1 1 1 1 1 1 1 0 180B A B B A D D A A+ + = ° .

Or les triangles A0A1D1 et B0B1A1, respectivement rectangles en A0 et B0, ont les mêmes mesures. Ils ont donc les mêmes angles.

Donc � �0 1 1 1 1 0 180 90 90B A B D A A+ = ° − ° = ° .

Donc �1 1 1 180 90 90B A D = ° − ° = ° .

Finalement le quadrilatère A1B1C1D1 est un carré.

2) a) Etape 2 :

b) Etape 3 :

Etape 4 :

3) a) Le carré A1B1C1D1 a pour côté 1 1 68A B = cm (voir

question 1) b)). Donc A(1) = 68. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle A2B1B2 rectangle en B1, A2B2² = A2B1² + B1B2².

Donc ( )22 2

2 2 68 2 2 76 4 68A B = − + = − .

Donc (2) 76 4 68A = − .

Corrigés Exercices

b) Il s'agit de calculer à chaque étape le carré du côté du carré.

D'après le théorème de Pythagore, si à une étape le côté mesure a cm, à l'étape suivante

le côté vaut : ( )2 22 2a− + cm.

Ainsi, si on souhaite calculer à l'étape n l'aire A(n), on procède de la façon suivante : - on initialise la valeur du côté a à 10 (étape 0) ; - puis de l'étape 1 à l'étape n, on réitère le calcul suivant : à

chaque étape le côté a devient ( )2 22 2a− + ;

- l'aire A(n) est le carré du dernier côté a calculé.

On peut éventuellement résumer la démarche à l'aide de l'algorithme :

Variables : n,i : entiers ; a : réel ;

Début a←10 ; Entrer(n) ; Pour i allant de 1 à n faire

a← ( )2 22 2a− + ;

FinPour ; Afficher("l'aire est :",a²) ;

Fin.

c) On obtient : A(3) ≈ 24,78 cm² ; A(4) ≈ 12,87 cm² ; A(5) ≈ 6,52 cm² ; A(6) ≈ 4,31 cm² . 4) On teste quelques valeurs : a) Vrai ; b) Faux ; c) Faux. 27 1) l0 = 50π ; l1 = 25π ; l2 = 25π/2 ; l3 = 25π/4. 2) A chaque étape, on trace un demi-cercle de diamètre moitié. Ainsi, à l'étape n, le diamètre de Cn est (((100÷2)÷2)÷…)÷2 = 100 ÷ 2n. Donc la longueur ln du

demi-cercle Cn est : 50

2n nl

π= .

3) a) L ≈ 312,9 m ; b) L / 0,5 ≈ 625,9. Le jardinier plantera 625+1 = 626 arbustes. 28 On a vu à l'exercice 24 qu'à chaque étape, le nombre de triangles qu'on noircit est multiplié par 3.

1) En utilisant le théorème de la droite des milieux, le côté de l'unique triangle noirci à la 1ère étape mesure la moitié

du côté du triangle initial, soit 8 cm. Donc 1 16 3A = .

2) Pour déterminer l'aire noircie totale à la 2e étape, il faut savoir quelle surface A2 on a noircie à cette étape, pour la rajouter à A1. A la 2e étape, on noircit 1×3=3 triangles équilatéraux de même taille, de côté la moitié du côté précédent (en utilisant le théorème de la droite des milieux), soit 4 cm.

Ainsi 2

2

4 33 12 3

4A

×= × = .

On en déduit que l'aire noircie totale est :

1 2 16 3 12 3 28 3A A+ = + = .

3) Pour déterminer l'aire noircie totale à la 3e étape, il faut savoir quelle surface A3 on a noircie à cette étape, pour la rajouter à A1+A2. A la 3e étape, on noircit 3×3=9 triangles équilatéraux de même taille, de côté la moitié du côté précédent (en utilisant le théorème de la droite des milieux), soit 2 cm.

Ainsi 2

3

2 39 9 3

4A

×= × = .

On en déduit que l'aire noircie totale est :

1 2 3 16 3 12 3 9 3 37 3A A A+ + = + + = .

4) D'une façon plus générale, pour déterminer l'aire noircie totale à la ne étape, il faut savoir quelle surface An on a noircie à cette étape, pour la rajouter à l'aire noircie à l'étape précédente. Il s'agit donc de calculer de proche en proche l'aire noircie à chaque étape. A chaque étape, on noircit 3 fois plus de triangles noircis à l'étape précédente ; ces triangles noircis sont équilatéraux de même taille, de côté la moitié du côté précédent. Il s'agit donc de calculer en proche le nombre (N) de triangles noircis et leur côté (a) à chaque étape ; l'aire

noircie à cette étape est alors :2 3

4

aN × .

Ainsi : - on initialise (étape 1) le nombre (N) de triangles noircis à 1, la mesure (a) du côté à 8 et l'aire noircie totale (A) à

16 3 ; - puis de l'étape 2 à l'étape n, on réitère le calcul suivant : d'une étape à l'autre, le nombre N devient 3×N, le côté a

devient a÷2 , et l'aire A est augmentée de 2 3

4

aN × ;

- on conclut en affichant la valeur de la dernière aire calculée A.

On peut éventuellement résumer cette démarche par l'algorithme :

Variables : n,N,i : entiers ; A,a : réels ;

Début Entrer(n) ;

N← 1 ; a← 8 ; A←16 3 ; Pour i allant de 2 à n faire

N←3×N ; a←a÷2 ;

A←A+2 3

4

aN × ;

FinPour ; Afficher("l'aire noircie totale vaut :",A) ;

Fin.

5) On cherche à partir de quelle étape l'aire noircie totale

dépasse 90 % de 216 3

4 cm², c'est-à-dire est supérieure à

0,9 64 3× . On obtient qu'il faut 9 étapes pour noircir au moins 90 % du triangle initial.

Corrigés Exercices

Géométrie repérée

29 b et c. 30 1) Il s'agit d'abord savoir si le triangle ABC a ou non ses trois côtés de même longueur. Ainsi : - on commence d'abord par se donner les coordonnées des points A, B et C ; - on calcule les longueurs AB, AC et BC ; - on teste si AB = AC et AB = BC par exemple ; - on conclut. On s'aperçoit que les calculs de AB², AC² et BC² suffisent. Ainsi : - on calcule les carrés AB², AC² et BC² ; - on teste si AB² = AC² et AB² = BC² par exemple ; - on conclut.

Ensuite, dans le cas où le triangle ABC est équilatéral, en notant a la longueur d'un côté, on sait que le périmètre

vaut 3×a et que l'aire est 2 3

4

a. Il suffit d'afficher le

résultat de ces deux calculs (ici a sera égal par exemple à la longueur AB).


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,a,b,c : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC) ; c←(xB–xA)²+(yB–yA)² ; b←(xC–xA)²+(yC–yA)² ; a←(xC–xB)²+(yC–yB)² ; Si a=b et a=c alors

Afficher("ABC est équilatéral") ;

Afficher("son périmètre est :",3×a ) ;

Afficher("son aire est :", a×3 /4) ; sinon Afficher("ABC n'est pas équilatéral") ;

FinSi ; Fin.

3) a) ABC est non équilatéral. b) ABC est équilatéral ; son périmètre vaut 12 ; son aire vaut environ 6,93. c) ABC est non équilatéral. On peut faire constater que

3,46 2 3≠ . 32 1) Plusieurs démarches sont possibles : - soit on teste si les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leurs milieux ; il s'agit alors d'abord de calculer les coordonnées des deux milieux (I et J), puis de tester l'égalité des coordonnées de ceux-ci ; enfin on conclut ; - soit on teste l'égalité des longueurs AB et CD, et AD et BC ; il s'agit alors d'abord de calculer les longueurs AB, BC, CD et AD, puis de tester les égalités AB = CD et AD = BC ; enfin on conclut. Mieux : on calcule les carrés AB², BC², CD² et AD², puis on teste les égalités AB² = CD² et AD² = BC².

Dans les deux cas, il faut d'abord se donner les coordonnées des points A, B, C et D.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD,xI,yI,xJ,yJ : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; xI←(xA+xC)/2 ; yI←(yA+yC)/2 ; xJ←(xB+xD)/2 ; yJ←(yB+yD)/2 ; Si xI = xJ et yI = yJ alors

Afficher("ABCD est un parallélogramme") ; sinon Afficher("ABCD n'est pas un parallélogramme") ;

FinSi ; Fin.

ou :

Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD,a,b,c,d : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; a←(xB–xA)²+(yA–yB)² ; b←(xC–xB)²+(yC–yB)² ; c←(xD–xC)²+(yD–yC)² ; d←(xD–xA)²+(yD–yA)² ; Si a = c et b = d alors

Afficher("ABCD est un parallélogramme") ; sinon Afficher("ABCD n'est pas un parallélogramme") ;

FinSi ; Fin.

Voir l'exercice 42 pour une autre démarche (à l'aide de l'outil vectoriel).

3) a) ABCD est un parallélogramme. b) ABCD est un parallélogramme. c) ABCD n'est pas un parallélogramme. 32 1) On commence par se donner les coordonnées des points A, B, C et D. Ensuite : - il faut savoir si ABCD est un parallélogramme (par exemple en testant les égalités AB = CD et AD = BC) ; - puis dans le cas où ABCD est un parallélogramme, il faut savoir s'il est un losange (par exemple en testant l'égalité AB = BC) ; - et enfin dans le cas où ABCD est un losange, il faut savoir s'il est un rectangle (par exemple en testant l'égalité AC² = AB² + BC²) ; - pour finir, si ABCD est bien un carré, son périmètre est 4×AB et son aire est AB². On a donc besoin avant toute chose de calculer les longueurs AB, BC, CD, AD et AC, ou plutôt les carrés des longueurs AB², BC², CD², AD² et AC².

Tous les tests peuvent être regroupés : pour que ABCD soit un carré, il faut et il suffit que les égalités suivantes soient réalisées : AB² = CD² ; AD² = BC² ; AB² = BC² ; AC² = AB² + BC².

Corrigés Exercices


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD,a,b,c,d,e : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; a←(xB–xA)²+(yB–yA)² ; b←(xC–xB)²+(yC–yB)² ; c←(xD–xC)²+(yD–yC)² ; d←(xD–xA)²+(yD–yA)² ; e←(xC–xA)²+(yC–yA)² ; Si a = c et b = d et a = b et e = a + b alors

Afficher ("ABCD est un carré") ;

Afficher("son périmètre est ",4×a ) ; Afficher("son aire est ",a) ; sinon Afficher ("ABCD n'est pas un carré") ;

FinSi ; Fin.

3) a) ABCD carré, de périmètre environ 16,49 et d'aire 17. b) ABCD carré, de périmètre environ 23,32 et d'aire 34. c) ABCD n'est pas un carré.

33 1) On commence par se donner les coordonnées des points A, B, C et D. Ensuite : - pour savoir si le quadrilatère ABCD est un losange, il faut savoir si ABCD est un parallélogramme (par exemple en testant les égalités AB = CD et AD = BC) ayant deux côtés consécutifs de même longueur (par exemple en testant AB = BC) ; une autre démarche consiste à savoir si les quatre longueurs AB, BC, CD et AD sont égales ; - pour savoir si le quadrilatère ABCD est un rectangle, il faut savoir si ABCD est un parallélogramme (par exemple en testant les égalités AB = CD et AD = BC) tel que le triangle ABC est rectangle en B (par exemple en testant l'égalité AC² = AB² + BC²) ; une autre démarche consiste à savoir si ABCD est un parallélogramme ayant des diagonales de même longueur ; - pour savoir si le quadrilatère ABCD est un carré, on groupe tous les tests précédents (par exemple on teste : AB = CD ; AD = BC ; AB = BC ; AC² = AB² + BC²) ;

On a donc besoin avant toute chose de calculer les longueurs AB, BC, CD, AD et AC, ou plutôt leurs carrés.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD,a,b,c,d,e : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; a←(xB–xA)²+(yB–yA)² ; b←(xC–xB)²+(yC–yB)² ; c←(xD–xC)²+(yD–yC)² ; d←(xD–xA)²+(yD–yA)² ; e←(xC–xA)²+(yC–yA)² ; Si a = c et b = d et a = b alors

Afficher ("ABCD est un losange") ; sinon Afficher ("ABCD n'est pas un losange") ;

FinSi ; Si a = c et b = d et e = a + b alors

Afficher ("ABCD est un rectangle") ; sinon Afficher ("ABCD n'est pas un rectangle") ;

FinSi ; Si a = c et b = d et a = b et e = a + b alors

Afficher ("ABCD est un carré") ; sinon Afficher ("ABCD n'est pas un carré") ;

FinSi ; Fin.

3) a) ABCD est un losange, un rectangle et un carré. b) ABCD est un rectangle, mais n'est ni un losange, ni un carré. c) ABCD est un losange, mais n'est ni un rectangle, ni un carré.

Droites

34 b et c. 35 1) Pour deux points donnés A et B, l'équation réduite de la droite (AB) est : - soit de la forme x = a, dans le cas où xA = xB ; - soit de la forme y = mx + p, dans le cas où xA ≠ xB. On en déduit la démarche : on teste l'égalité xA = xB ; - si elle est vraie, l'équation demandée est x = xA ; - si elle est fausse, l'équation demandée est y = mx + p, où

le coefficient directeur est B A

B A

y ym

x x

−=

− et l'ordonnée à

l'origine est A Ap y mx= − .


Variables : Début

Entrer(xA,yA,xB,yB) ; Si xA = xB alors

Afficher("l'équation est x = ",xA) ; sinon

m←(yB–yA)/(xB–xA) ; p←yA–m×xA ; Afficher("l'équation est y = mx + p") ; Afficher("où m vaut :",m," et p vaut : ",p) ;

FinSi ; Fin.

3) a) (AB) : y = –3x + 8 ; b) (AB) : y = 5

7x +

3

7.

36 1) a) D et ∆ sont strictement parallèles si et seulement si a = c et b ≠ d ; D et ∆ sont confondues si et seulement si a = c et b = d ; D et ∆ sont sécantes en un point unique si et seulement si a ≠ c.

b) Il s'agit de résoudre le système y ax b

y cx d

= + = +

dans le cas

où a ≠ c (c'est-à-dire a–c ≠ 0).

Il admet comme solution (x0 ; a×x0+b) où 0

d bx

a c

−=−

.

Donc dans le cas où a ≠ c, les coordonnées du point d'intersection des droites D et ∆ sont (x0 ; a×x0+b) où

0

d bx

a c

−=− .

2) On commence par tester l'égalité a = c : - si elle est vraie, on teste alors l'égalité b = d ; si celle-ci est vraie, les droites D et ∆ sont confondues, sinon les droites D et ∆ sont strictement parallèles ; - si elle est fausse, les droites D et ∆ sont sécantes en un

point unique de coordonnées (x0 ; a×x0+b) où 0

d bx

a c

−=−

.

Corrigés Exercices


Variables : a,b,c,d,x0,y0 : réels ;

Début Entrer(a,b,c,d) ; Si a=c alors

Si b = d alors Afficher("les droites D et ∆ sont confondues") ; sinon Afficher("les droites D et ∆ sont strictement parallèles") ;

FinSi ; sinon x0←(d–b)/(a–c) ;

y0←a×x0+b ; Afficher("les droites D et ∆ sont sécantes au point de coordonnées (",x0," ; ",y0,").") ;

FinSi ; Fin.

4) a) D et ∆ sont sécantes au point de coordonnées (0 ; –1). b) D et ∆ sont sécantes au point de coordonnées (1 ; 3). 37 1) Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) sont confondues. Comme les données sont les coordonnées des points, on pense aux équations réduites de celles-ci. Les droites (AB) et (AC) sont confondues si et seulement :

- soit elles sont toutes les deux parallèles à l'axe des ordonnées,

- soit elles ont le même coefficient directeur. On en déduit la démarche : si xA = xB et xA = xC, alors les points sont alignés ; sinon :

- si xA ≠ xB et xA ≠ xC, alors on teste l'égalité des

coefficients directeurs C AB A

B A C A

y yy y

x x x x

−−=

− −, ce qui

revient à tester l'égalité : (xC–xA)×(yB–yA) = (xB–xA)×(yC–yA) ;

si elle est vraie, les points sont alignés, sinon ils ne le sont pas ;

- sinon, les points ne sont pas alignés.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC) ; Si xA = xB et xA = xC alors

Afficher("les points sont alignés") ; sinon Si xA ≠ xB et xA ≠ xC alors

Si (xC–xA)×(yB–yA) = (xB–xA)×(yC–yA) alors Afficher("les points sont alignés") ; sinon Afficher("les points ne sont pas alignés") ; FinSi ; sinon Afficher("les points ne sont pas alignés") ;

FinSi ; FinSi ;

Fin.

Voir l'exercice 43 pour une autre démarche plus efficace (à l'aide de l'outil vectoriel).

4) a) Les points A, B et C sont alignés. b) Les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Les points A, B et C sont alignés.

38 1) a) . . . . .

. . . . .

e a x e b y e c

b d x b e y b f

+ =− − = −

. En ajoutant les deux

équations et en simplifiant, on obtient :

( ). . . .a e b d x c e b f− × = − .

b) On multiplie la 1ère équation par –d et la 2e par b, on

obtient : . . . . .

. . . . .

d a x d b y d c

a d x a e y a f

− − = − + =

. En ajoutant les deux

équations et en simplifiant, on obtient :

( ). . . .a e b d y a f d c− × = − .

c) Si a.e–b.d ≠ 0, on divise les deux membres des deux équations obtenues aux questions a) et b) par (a.e–b.d).

On obtient : . .

. .

c e b fx

a e b d

−=−

et . .

. .

a f d cy

a e b d

−=−

.

2) On déduit de la question 1) la démarche : - on calcule a.e–b.d ; - si le résultat est non nul, le système admet une solution

unique (x ; y) où . .

. .

c e b fx

a e b d

−=−

et . .

. .

a f d cy

a e b d

−=−

;

- sinon, le système n'admet pas de solution unique. On peut ainsi résumer la démarche par l'algorithme :

Variables : a,b,v,d,e,f : réels ;

Début Entrer(a,b,c,d,e,f) ; Si a.e–b.d ≠ 0 alors

Afficher("le système admet un couple solution (x ; y) unique") ; Afficher("où x vaut :",(c×e–b×f)/(a×e–b×d)) ; Afficher("et y vaut :",(a×f–d×c)/(a×e–b×d)) ; sinon Afficher("le système n'admet pas de solution unique") ;

FinSi ; Fin.

3) a) Le 1er système admet comme solution (2 ; 1), le 2e système n'admet pas de couple solution unique. b) Un DVD coûte 5,20 €, un CD coûte 0,80 €. c) On pose x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes. La condition sur le nombre de célibataires se traduit par :

0,80×x + 0,75×y = 311. La condition sur le nombre de sportifs se traduit par :

0,60×x + 0,45×y = 204. Il s'agit donc de résoudre le système :

0,8 0,75 311

0,6 0,45 204

x y

x y

+ = + =

.

A l'aide du programme, on conclut qu'il y a 145 hommes et 260 femmes.

Vecteurs

39 a. 40 1) Les vecteurs u

� et v�

sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Il s'agit donc de tester par exemple si u v v ux y x y× = ×� � � � .

Si l'égalité est vérifiée, les vecteurs (non nuls) sont colinéaires et le coefficient de proportionnalité k défini par v k u= ×� �

est égal :

Corrigés Exercices

- si 0ux ≠� , à v

u

x

x

�

�

;

- sinon à v

u

y

y

�

�

(dans ce cas-là, on est assuré que 0uy ≠� ).


Variables : xu,yu,xv,yv : réels ;

Début Entrer(xu,yu,xv,yv) ; Si xu×yv = xv×yu alors

Afficher("les vecteurs sont colinéaires") ; Afficher("on a v k u= ×� �

avec k égal à :") ; Si xu ≠ 0 alors Afficher(xv/xu) ;

sinon Afficher(yv/yu) ; FinSi ; sinon Afficher("les vecteurs ne sont pas colinéaires") ;

FinSi ; Fin.

3) a) Les vecteurs u�

et v�

sont colinéaires et 6v u= − ×� �.

b) Les vecteurs u�

et v�

sont colinéaires et 1,8v u= − ×� �.

c) Les vecteurs u�

et v�

ne sont pas colinéaires. 41 1) Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et

seulement si les vecteurs AB��

et CD��

sont colinéaires.

Il s'agit donc de tester si les coordonnées des vecteurs AB��

et CD��

sont proportionnelles ou pas.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; Si (xB–xA)×(yD–yC) = (xD–xC)×(yB–yA) alors

Afficher("(AB) et (CD) sont parallèles") ; sinon Afficher("(AB) et (CD) ne sont pas parallèles") ;

FinSi ; Fin.

3) a) (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. b) (AB) et (CD) sont parallèles. 42 1) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et

seulement si les vecteurs AB��

et DC��

sont égaux.


et DC��

sont égales ou non.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC,xD,yD) ; Si xB–xA = xC–xD et yB–yA = yC–yD alors

Afficher("ABCD est un parallélogramme") ; sinon Afficher("ABCD non parallélogramme") ;

FinSi ; Fin.

3) a) ABCD est un parallélogramme. b) ABCD est un parallélogramme. c) ABCD n'est pas un parallélogramme. 43 1) Les points A, B et C sont alignés si et seulement si

les vecteurs AB��

et AC��

sont colinéaires.


et AC��

sont proportionnelles ou non.


Variables : xA,yA,xB,yB,xC,yC : réels ;

Début Entrer(xA,yA,xB,yB,xC,yC) ; Si (xB–xA)×(yC–yA) = (xC–xA)×(yB–yA) alors

Afficher("les points sont alignés") ; sinon Afficher("les points ne sont pas alignés") ;

FinSi ; Fin.

3) a) Les points A, B et C sont alignés. b) Les points A, B et C ne sont pas alignés. c) Les points A, B et C sont alignés.

Corrigés Exercices

Statistiques et probabilités

Statistique descriptive, analyse de données

44 A) 1) a) =10,6 ; b) = 11 ; c) = 11,4. 2) En notant note1 la note au 1er devoir et note2 la note au 2e devoir, il s'agit d'afficher le résultat de :

2 note1 3 note2

5

× + ×.

3) Les notes sont données au ½ point supérieur. a) Kathy doit avoir au moins 11,5 au 2e devoir. b) Kathy a eu au plus 9,5 au 1er devoir. B) 1) En notant coeff1 le coefficient du 1er devoir et coeff2 le coefficient au 2e devoir, il s'agit d'afficher le résultat de :

coeff1 8 coeff2 13

coeff1 coeff2

× + ×+

.

2) En choisissant des coefficients positifs, d'une façon générale : a) pour que la moyenne de Kathy soit strictement supérieure à 10, il faut que : 2×coeff1 < 3×coeff2 ; (4 ; 3) convient par exemple ; b) pour que la moyenne de Kathy soit inférieure ou égale à 9, il faut que : coeff1 ≥ 4×coeff2 ; (5 ; 1) convient par exemple ; c) pour que la moyenne de Kathy soit supérieure ou égale à 11, il faut que : 3×coeff1 ≤ 2×coeff2 ; (1 ; 2) convient par exemple. 45 3) b) On peut penser à calculer la moyenne des températures du jour. 4) On peut penser à trier les valeurs, déterminer la médiane, les quartiles, l'écart interquartile, l'étendue, …

Echantillonnage

46 1) On peut simuler le lancer d'une pièce bien équilibrée par exemple à l'aide : - d'un générateur d'entiers aléatoires entre 0 et 1 : si on obtient 1, c'est Pile ; sinon c'est Face ; - d'un générateur d'entiers aléatoires entre 1 et 100 : si on obtient un entier pair, c'est Pile ; sinon c'est Face ; - d'un générateur de nombres décimaux aléatoires dans l'intervalle [0 ; 1[ : si on obtient un nombre strictement inférieur à 0,5, c'est Pile ; sinon c'est Face. Ici on souhaite simuler N lancers d'une pièce bien équilibrée. On simule alors chaque lancer par l'une des méthodes précédentes. Comme on souhaite obtenir la fréquence d'apparition de Pile, à chaque lancer, il faut ajouter 1 à l'effectif des Piles obtenus (qui devra d'abord être initialisé à 0). La fréquence d'apparition de Pile sera le quotient de l'effectif par le nombre de lancers N. Ainsi : - on initialise l'effectif de Pile (P) à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'un lancer d'une pièce ; à chaque fois, si on obtient Pile, on ajoute 1 à l'effectif P ; - on conclut en affichant le quotient de l'effectif P par N.

On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme, en utilisant la 3e méthode pour simuler un lancer d'une pièce bien équilibrée :

Variables : N,P,i : entiers ; x : réel ;

Début Entrer(N) ; P←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

x←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x < 0,5 alors P←P+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de Pile est :",P/N) ;

Fin.

3) On peut faire remarquer que les résultats peuvent varier selon les échantillons, et que la fréquence a tendance à se stabiliser vers 0,5 lorsque le nombre de répétitions devient élevé (perception intuitive). 47 1) On souhaite simuler N lancers d'un dé non pipé. Chaque lancer peut être simulé à l'aide d'un générateur d'entiers aléatoires entre 1 et 6. Comme on souhaite obtenir la fréquence d'apparition de chaque numéro, à chaque lancer, il faut ajouter 1 à l'effectif du numéro obtenu (chaque effectif devra d'abord être initialisé à 0). La fréquence d'apparition de chaque numéro sera le quotient de l'effectif par le nombre de lancers N. Ainsi : - on initialise l'effectif de chaque numéro (N1, N2, N3, N4, N5 et N6) à 0 ; - on réitère N fois la génération d'un entier aléatoire entre 1 et 6 ; à chaque fois, en notant i le résultat obtenu, on ajoute 1 à Ni ; - on conclut en affichant pour chaque numéro i de 1 à 6 le quotient de l'effectif Ni par N.


Variables : N,N1,N2,N3,N4,N5,N6,i,k : entiers ;

Début Entrer(N) ; N1←0 ; N2←0 ; N3←0 ; N4←0 ; N5←0 ; N6←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

k←EntierAléaEntre(1;6) ; Si k=1 alors N1←N1+1 ; FinSi ; Si k=2 alors N2←N2+1 ; FinSi ; Si k=3 alors N3←N3+1 ; FinSi ; Si k=4 alors N4←N4+1 ; FinSi ; Si k=5 alors N5←N5+1 ; FinSi ; Si k=6 alors N6←N6+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence du 1 est :",N1/N) ; Afficher("la fréquence du 2 est :",N2/N) ; Afficher("la fréquence du 3 est :",N3/N) ; Afficher("la fréquence du 4 est :",N4/N) ; Afficher("la fréquence du 5 est :",N5/N) ; Afficher("la fréquence du 6 est :",N6/N) ;

Fin.

3) On peut faire remarquer que les résultats peuvent varier selon les échantillons, et que les fréquences ont tendance à

se stabiliser vers 5 lorsque le nombre de répétitions devient élevé (perception intuitive).

Corrigés Exercices

48 1) 1

0,5pN

− = ; 1

0,7pN

+ = ; l'intervalle de

fluctuation au seuil 95 % est [0,5 ; 0,7]. 2) a) La proportion de boules rouges dans l'urne est 60%. Les boules sont indiscernables au toucher. Le tirage d'une boule dans l'urne peut donc être simulée à l'aide : - d'un générateur de nombres décimaux aléatoires dans l'intervalle [0 ; 1[ : si le nombre est strictement inférieur à 0,6, on obtient une boule rouge ; sinon on obtient une boule noire ; - d'un générateur d'entiers aléatoires entre 1 et 100 : si l'entier est inférieur ou égal à 60, on obtient une boule rouge ; sinon on obtient une boule noire. Ici on souhaite simuler 100 tirages (successifs avec remise) d'une boule dans l'urne. On simule alors chaque tirage par l'une des méthodes précédentes. Comme on souhaite obtenir la fréquence d'apparition des boules rouges, à chaque tirage, il faut ajouter 1 à l'effectif des rouges obtenues (qui devra d'abord être initialisé à 0). La fréquence d'apparition des boules rouges est le quotient de l'effectif par le nombre de tirages 100. Ainsi : - on initialise l'effectif des boules rouges (R) à 0 ; - on réitère 100 fois la simulation d'un tirage d'une boule dans l'urne ; à chaque fois, si on obtient une boule rouge, on ajoute 1 à l'effectif R ; - on conclut en affichant le quotient de l'effectif R par 100.

On peut éventuellement résumer la démarche par l'algorithme, en utilisant la 1ère méthode de simulation :

Variables : R,i : entiers ; x : réel ;

Début R←0 ; Pour i allant de 1 à 100 faire

x←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x < 0,6 alors R←R+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence des boules rouges est",R/100) ;

Fin.

3) a) Il s'agit d'effectuer n fois le tirage d'un échantillon de taille 100 comme à la question 2) a), en notant à chaque fois la fréquence de boules rouges dans une liste F par exemple (qu'on aura initialisée par la liste vide).


Variables : n,R,k,i : entiers ; x : réels ; F : liste ;

Début Entrer(n) ; F←ListeVide ; Pour k de 1 à n faire

R←0 ; Pour i allant de 1 à 100 faire

x←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x<0,6 alors R←R+1 ; FinSi ;

FinPour ; Ajouter R/100 à F ;

FinPour ; Afficher("la liste des fréquences est :",F) ;

Fin.

3) c) Il s'agit à chaque fois de savoir combien d'éléments de la liste des fréquences obtenues se trouvent dans l'intervalle de fluctuation [0,5 ; 0,7].

On peut modifier l'algorithme précédent en introduisant un compteur N (qu'on aura initialisé à 0) qui s'incrémente à chaque fois que la fréquence obtenue est dans l'intervalle [0,5 ; 0,7] :

Variables : n,N,R,k,i : entiers ; x : réels ;

Début Entrer(n) ; N←0 ; Pour k de 1 à n faire

R←0 ; Pour i allant de 1 à 100 faire

x←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x<0,6 alors R←R+1 ; FinSi ;

FinPour ; Si R/100 ≥ 0,5 et R/100 ≤ 0,7 alors N←N+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("le nombre de fréquences dans l'intervalle de fluctuation est : ",N.) ;

Fin.

On peut faire remarquer que plus le nombre d'échantillons devient assez grand, plus la fréquence d'apparition des boules rouges se trouve dans 95 % des cas dans l'intervalle de fluctuation [0,5 ; 0,7].

Corrigés Exercices

Probabilités

49 1) a) On peut simuler le lancer d'un dé tétraédrique bien équilibré à l'aide d'un générateur d'entiers aléatoires entre 1 et 4. On peut donc ici : - simuler le lancer de deux dés par deux générateurs d'entiers aléatoires entre 1 et 4, - puis afficher la somme des résultats obtenus.


Variables : a,b : entiers ;

Début a←EntierAléaEntre(1;4) ; b←EntierAléaEntre(1;4) ; Afficher("la somme obtenue est :",a+b) ;

Fin.

b) Il s'agit de recommencer N fois l'expérience précédente, en introduisant un compteur à incrémenter pour chaque somme possible (qu'on aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise les compteurs N2, N3, …, N7 et N8 à 0 ; - on simule N fois le lancer de deux dés tétraédriques ; à chaque lancer, en notant i la somme obtenue, on ajoute 1 au compteur Ni ; - on conclut en affichant pour chaque somme i possible la fréquence Ni/N.


Variables : N,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,i,a,b : entiers ;

Début Entrer(N) ; N2←0 ; N3←0 ; N4←0 ; N5←0 ; N6←0 ; N7←0 ; N8←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

a←EntierAléaEntre(1;4) ; b←EntierAléaEntre(1;4) ; Si a+b=2 alors N2←N2+1 ; FinSi ; Si a+b=3 alors N3←N3+1 ; FinSi ; Si a+b=4 alors N4←N4+1 ; FinSi ; Si a+b=5 alors N5←N5+1 ; FinSi ; Si a+b=6 alors N6←N6+1 ; FinSi ; Si a+b=7 alors N7←N7+1 ; FinSi ; Si a+b=8 alors N8←N8+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de 2 est":N2/N) ; Afficher("la fréquence de 3 est":N3/N) ; Afficher("la fréquence de 4 est":N4/N) ; Afficher("la fréquence de 5 est":N5/N) ; Afficher("la fréquence de 6 est":N6/N) ; Afficher("la fréquence de 7 est":N7/N) ; Afficher("la fréquence de 8 est":N8/N) ;

Fin.

2) En observant la distribution des fréquences des sommes possibles sur plusieurs lancers, on peut rejeter le modèle de l'équiprobabilité.

Ici on a représenté la distribution des fréquences pour une simulation de 2000 lancers :

3) a) On propose : - on initialise les gains (algébriques) de Julie (J) et Maxime (M) à 0 ; - on simule N lancers de deux dés tétraédriques ; à chaque lancer, si la somme obtenue est 5, alors on ajoute 9 au gain de Julie et on enlève 9 au gain de Maxime ; si la somme obtenue est 6, alors on enlève 10 au gain de Julie et on ajoute 10 au gain de Maxime ; - on affiche le gain de chacun à l'issue des N parties.


Variables : N,J,M,i,a,b : entiers ;

Début Entrer(N) ; J←0 ; M←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

a←EntierAléaEntre(1;4) ; b←EntierAléaEntre(1;4) ; Si a+b=5 alors J←J+9 ; M←M–9 ; FinSi ; Si a+b=6 alors J←J–10 ; M←M+10 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("le gain de Julie est :",J) ; Afficher("le gain de Maxime est :"M) ;

Fin.

b) On peut simuler plusieurs parties, en notant les gains de Maxime. On peut choisir par exemple de simuler plusieurs fois 100 parties, et regarder le gain de Maxime sur ces 100 parties.

On a noté ci-dessous les 10 résultats de 100 parties simulées :

On peut alors penser que le jeu n'est pas favorable à Maxime dans la plupart des cas (le gain est plus souvent négatif que positif).

Complément : on a simulé ci-dessous 2000 fois 100 parties et représenté graphiquement les 2000 gains de Maxime : en abscisse le numéro de la simulation de 100 parties ; en ordonnée le gain de Maxime à l'issue de ces 100 parties simulées.

Corrigés Exercices

50 1) a) On peut simuler le lancer d'un dé bien équilibré à l'aide d'un générateur d'entiers aléatoires entre 1 et 6. Une partie consiste à lancer successivement au plus six dés, en s'arrêtant dès que le 6 est obtenu. On peut considérer qu'une partie est équivalente au lancer de six dés : le joueur gagne si le 6 apparaît dans au moins un des résultats ; sinon il perd. Cette démarche est néanmoins un peu lourde à mettre en place (il faut faire six tests, éventuellement imbriqués l'un dans l'autre). On se rend ensuite compte que le joueur gagne si l'un des nombres "résultat–6" au moins est nul, c'est-à-dire si le produit des écarts des résultats à 6 est nul. Ainsi : - on simule six lancers de dés en notant le résultat ; - on calcule le produit P des écarts des résultats à 6 (ce produit peut être calculé de proche en proche en l'initialisant à 1); - si ce produit P est nul, le joueur gagne ; sinon il perd.


Variables : P,i,a : entiers

Début P←1 ; Pour i allant de 1 à 6 faire

a←EntierAléaEntre(1;6) ; P←P×(a–6) ; FinPour ; Si P=0 alors Afficher("le joueur gagne") ;

sinon Afficher("le joueur perd") ; FinSi ;

Fin.

b) Il suffit de simuler N parties comme dans la question a), en introduisant un compteur (G) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que le joueur gagne (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur (G) à 0 ; - on réitère N fois la simulation du lancer de six dés : à chaque fois, si le produit des écarts des résultats à 6 est nul, on ajoute 1 au compteur G ; - on affiche la fréquence de gain du joueur G/N.


Variables : Début

Entrer(N) ; G←0 ; Pour k allant de 1 à N faire

P←1 ; Pour i allant de 1 à 6 faire

a←EntierAléaEntre(1;6) ; P←P×(a–6) ; FinPour ; Si P=0 alors G←G+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de gain est :",G/N) ;

Fin.

2) On fait fonctionner le programme précédent pour plusieurs valeurs de n. Intuitivement, si la fréquence observée de gain du joueur dépasse 0,5 dans la plupart des cas, le jeu sera avantageux pour le joueur. On a simulé 10 fois 1000 parties. Voici les 10 fréquences de gain du joueur observées :

Le jeu semble donc avantageux pour le joueur.

Complément : on a simulé plusieurs parties et tracé ci-contre les fréquences observées de gain du joueur en fonction du nombre de parties jouées.

51 1) a) La bille rencontre trois intersections où elle va de façon équiprobable soit vers la droite, soit vers la gauche. On peut choisir de modéliser chaque déplacement de la bille vers la gauche par 0 et chaque déplacement de la bille vers la droite par 1. Un trajet sera alors donné par un triplet de 0 et 1 obtenus de façon aléatoire. En choisissant cette modélisation, la somme des éléments du triplet donne le numéro de sortie de la bille. Ainsi on génère trois entiers aléatoires de {0 ; 1}, on calcule la somme de ces entiers, qu'on affiche pour donner le numéro de sortie de la bille.


Variables : a,b,c : entiers ;

Début a←EntierAléaEntre(0;1) ; b←EntierAléaEntre(0;1) ; c←EntierAléaEntre(0;1) ; Afficher("le numéro de sortie est :",a+b+c) ;

Fin

b) Il suffit de simuler N lâchers comme dans la question a), en introduisant un compteur pour chaque numéro de sortie (qu'on aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise les compteurs (N0, N1, N2 et N3) à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'un lâcher : à chaque fois, en notant i le numéro de sortie de la bille, on ajoute 1 au compteur Ni ; - on conclut en affichant pour chaque numéro i possible la fréquence Ni/N.


Variables : N,N0,N1,N2,N3,k,a,b,c : entiers ;

Début Entrer(N) ; N0←0 ; N1←0 ; N2←0 ; N3←0 ; Pour k allant de 1 à N faire

a←EntierAléaEntre(0;1) ; b←EntierAléaEntre(0;1) ; c←EntierAléaEntre(0;1) ; Si a+b+c=0 alors N0←N0+1 ; FinSi ; Si a+b+c=1 alors N1←N1+1 ; FinSi ; Si a+b+c=2 alors N2←N2+1 ; FinSi ; Si a+b+c=3 alors N3←N3+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence du numéro 0 est :",N0/N) ; Afficher("la fréquence du numéro 1 est :",N1/N) ; Afficher("la fréquence du numéro 2 est :",N2/N) ; Afficher("la fréquence du numéro 3 est :",N3/N) ;

Fin.

Corrigés Exercices

2) On simule un grand nombre de lâchers de billes. Intuitivement, la fréquence observée de chaque numéro tend à se stabiliser, ce qui permet d'estimer la probabilité de sortie de chaque numéro.

On obtient par exemple :

sur une simulation de 1 000 lâchers :



3) En notant G pour gauche et D pour droit :

A chaque intersection, la bille a autant de chance d'aller vers la droite que vers la gauche : on a une situation d'équiprobabilité sur l'ensemble des chemins possibles. En comptant le nombre de chemins favorables pour chaque numéro, on obtient : P(numéro0 ) = 7 = 0,125 ; P(numéro1) = I = 0,375 ;

P(numéro2) = I = 0,375 ; P(numéro3) = 7 = 0,125. Cela reste cohérent avec les résultats de la question 2). 52 1) Les abscisses possibles sont : –4 ; –2 ; 0 ; 2 et 4. 2) Le robot se trouve initialement à l'origine, c'est-à-dire à l'abscisse 0. Chaque pas du robot peut se schématiser par l'ajout ou le retrait de 1 à son abscisse, et cela de façon aléatoire. On peut choisir de simuler chaque pas en générant un entier aléatoire dans {0 ; 1} : si on obtient 1, l'abscisse augmente de 1 ; sinon, elle diminue de 1. Ainsi pour simuler les quatre pas du robot : - on place le robot à l'abscisse (x) 0 ; - pour chacun des quatre pas, on génère un entier aléatoire dans {0 ; 1} : si on obtient 1, l'abscisse x devient x+1 ; sinon l'abscisse x devient x–1 ; - on conclut en affichant la dernière abscisse du robot.


Variables : x,i,a : entiers ;

Début x←0 ; Pour i allant de 1 à 4 faire

a←EntierAléaEntre(0;1) ; Si a=1 alors x←x+1 ; sinon x←x–1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("le robot se trouve à l'abscisse ",x) ;

Fin.

3) a) Il s'agit de répéter N fois la simulation de la question précédente, en introduisant un compteur pour chaque abscisse finale possible (qu'on aura initialisé à 0). Ainsi, en notant N1 le nombre de fois où l'abscisse finale est –4, N2

le nombre de fois où elle est –2, N3 le nombre de fois où elle est 0, N4 le nombre de fois où elle est 2 et N5 le nombre de fois où elle est 4, : - on initialise les compteurs (N1, N2, N3, N4 et N5) à 0 ; - on réitère N fois le calcul suivant : on initialise l'abscisse x à 0 ; puis on génère quatre fois un entier aléatoire dans {0 ; 1} : à chaque fois, si on obtient 1, x devient x+1, sinon x devient x–1 ; enfin on ajoute 1 au compteur associé à la valeur finale de x ; - on conclut en affichant les fréquences N1/N, N2/N, N3/N, N4/N et N5/N.


Variables : N,N1,N2,N3,N4,N5,k,i,x,a : entiers ;

Début Entrer(N) ; N1←0 ; N2←0 ; N3←0 ; N4←0 ; N5←0 ; Pour k allant de 1 à N faire

x←0 ; Pour i allant de 1 à 4 faire

a←EntierAléaEntre(0;1) ; Si a=1 alors x←x+1 ; sinon x←x–1 ; FinSi ;

FinPour ; Si x = –4 alors N1←N1+1 ; FinSi ; Si x = –2 alors N2←N2+1 ; FinSi ; Si x = 0 alors N3←N3+1 ; FinSi ; Si x = 2 alors N4←N4+1 ; FinSi ; Si x = 4 alors N5←N5+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de l'abscisse –4 est",N1/N) ; Afficher("la fréquence de l'abscisse –2 est",N2/N) ; Afficher("la fréquence de l'abscisse 0 est",N3/N) ; Afficher("la fréquence de l'abscisse 2 est",N4/N) ; Afficher("la fréquence de l'abscisse 4 est",N5/N) ;

Fin.

4) a) Vrai ; b) Faux ; c) Vrai.

5) On simule un grand nombre de fois l'expérience. Intuitivement, la distribution de fréquences observées des abscisses tend à se stabiliser, ce qui permet d'estimer la probabilité de chaque abscisse finale possible du robot.

On obtient par exemple :




6) En notant G pour gauche et D pour droit :

Corrigés Exercices

A chaque pas, le robot a autant de chance d'aller vers la droite que vers la gauche : on a une situation d'équiprobabilité sur l'ensemble des chemins possibles. En comptant le nombre de chemins favorables pour chaque abscisse, on obtient :

P(abscisse –4) = 9 = 0,0625 ; P(abscisse –2) = 3 = 0,25 ; P(abscisse 0) = I = 0,375 ; P(abscisse 2) = 3 = 0,25 ;

P(abscisse 4) = 9 = 0,0625 Cela reste cohérent avec les résultats de la question 2). 53 1) Le jeu peut être modélisé ainsi : - en notant G le gain (algébrique) du joueur, on initialise G à –2 (la mise pour participer au jeu). - pour simuler le tirage d'une boule dans l'urne contenant 4 boules, on peut par exemple générer un entier aléatoire entre 1 et 4 : si on obtient le 1, on obtient une boule rouge, et G est augmenté de 3 € ; sinon, on obtient une boule verte et on continue le jeu. - pour simuler le tirage d'une boule dans l'urne de 3 boules (contenant une rouge et deux vertes), on peut par exemple générer un entier aléatoire entre 1 et 3 : si on obtient le 1, on obtient une boule rouge ; sinon on obtient une boule verte et G est augmenté de 4 €. - on conclut en affichant la valeur G du gain (algébrique) du joueur.


Variables : G,a,b : entiers ;

Début G← –2 ; a←EntierAléaEntre(1;4) ; Si a=1 alors G←G+3 ;

sinon b=EntierAléaEntre(1;3) ; Si b≠1 alors G←G+4 ; FinSi ;

FinSi ; Afficher("le gain est :",G) ;

Fin.

2) a) Il suffit de simuler N parties comme dans la question précédente, en introduisant un compteur à incrémenter pour chaque gain possible (qu'on aura initialisé à 0). Ainsi, en notant N1 le nombre de fois où le gain vaut 2 €, N2 le nombre de fois où le gain est 1 € et N3 le nombre de fois où le gain est –2 €, : - on initialise les compteurs (N1, N2 et N3) à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'une partie : on génère un entier aléatoire entre 1 et 4 : si on obtient le 1, N2 est augmenté de 1 ; sinon, on génère un entier aléatoire entre 1 et 3 : si on obtient le 1, N3 est augmenté de 1 ; sinon N1 est augmenté de 1 ; - on conclut en affichant les fréquences N1/N, N2/N et N3/N.


Variables : Début

Entrer(N) ; N1←0 ; N2←0 ; N3←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

a←EntierAléaEntre(1;4) ; Si a=1 alors N2←N2+1 ;

sinon b←EntierAléaEntre(1;3) ; Si b=1 alors N3←N3+1 ;

sinon N1←N1+1 ; FinSi ;

FinSi ; FinPour ; Afficher("la fréquence du gain 2 € est :",N1/N) ; Afficher("la fréquence du gain 1 € est :",N2/N) ; Afficher("la fréquence du gain –2 € est :",N3/N) ;

Fin.

3) On peut simuler un grand nombre de parties, en notant les fréquences de chaque gain à chaque fois. Ainsi :

sur une simulation de 1 000 parties :



Les résultats laissent penser que la fréquence du seul gain négatif est autour de 0,25. On peut alors penser que le jeu n'est pas équitable, et qu'il0 est à la faveur du joueur. 54 1) a) On se place sur un axe gradué. Choisir au hasard deux points A et B sur un segment de longueur 1 peut être modélisé par le tirage au hasard de deux réels xA et xB dans l'intervalle [0 ; 1[ (les abscisses de A et B). Pour savoir si la distance AB est supérieure à 0,5, on calcule la différence max(xA ; xB) – min(xA ; xB) et on la compare à 0,5.

On peut éventuellement résumer la démarche à l'aide de l'algorithme :

Variables : xA,xB : réels ;

Début xA←RéelAléaEntre(0;1) ; xB←RéelAléaEntre(0;1) ; Si max(xA;xB) – min(xA;xB) > 0,5

alors Afficher("D est réalisé") ; sinon Afficher("D n'est pas réalisé") ;

FinSi ; Fin.

2) a) Il suffit de simuler N expériences comme dans la question 1) a), en introduisant un compteur (n) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que D est réalisé (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur n à 0 ; - on réitère N fois la simulation de l'expérience : on génère deux nombres aléatoires xA et xB dans l'intervalle [0 ; 1[ ; si la différence max(xA ; xB) – min(xA ; xB) est supérieure à 0,5, on incrémente le compteur n ; - on affiche la fréquence n/N d'apparition de D.

Corrigés Exercices


Variables : N,n,k : entiers ; xA,xB : réels ;

Début Entrer(N) ; n←0 ; Pour k allant de 1 à N faire

xA←RéelAléaEntre(0;1) ; xB←RéelAléaEntre(0;1) ; Si max(xA;xB) – min(xA;xB) > 0,5

alors n←n+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de D est ",n/N) ;

Fin.

b) On simule un grand nombre de fois l'expérience. Intuitivement, la fréquence observée d'apparition de D tend à se stabiliser, ce qui permet d'estimer la probabilité d'apparition de D.

sur une simulation de 1 000 expériences :



On peut supposer que la probabilité de D est environ 0,25. Complément : on a simulé plusieurs expériences et tracé ci-contre les fréquences observées d'apparition de D en fonction du nombre d'expériences simulées.

55 1) On peut simuler les arrivées de Roméo et de Juliette entre 20h et 21h en générant deux nombres aléatoires xR et xJ dans l'intervalle [0 ; 60]. Ceux-ci se rencontrent si la distance entre ces deux nombres max(xR ; xJ) – min(xR ; xJ) est inférieure ou égale à 10.


Variables : xR,xJ : réels ;

Début xR ← RéelAléaEntre(0;60) ; xJ ← RéelAléaEntre(0;60) ; Si max(xR ; xJ) – min(xR ; xJ) ≤ 10 alors

Afficher("Roméo et Juliette se rencontrent") ; sinon Afficher("Roméo et Juliette ne se rencontrent pas") ;

FinSi ; Fin.

2) Il suffit de simuler N rendez-vous comme dans la question 1), en introduisant un compteur (n) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que Roméo et Juliette se rencontrent (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur n à 0 ;

- on réitère N fois la simulation d'un rendez-vous : on génère deux nombres aléatoires xR et xJ dans l'intervalle [0 ; 60] ; si la différence max(xR ; xJ) – min(xR ; xJ) est inférieure ou égale à 10, on incrémente le compteur n ; - on affiche la fréquence n/N de rencontres entre Roméo et Juliette.


Variables : N,n,i : entiers ; xR,xJ : réels ;

Début Entrer(N) ; n←0 ; Pour i allant de 1 à N faire

xR←RéelAléaEntre(0;60) ; xJ←RéelAléaEntre(0;60) ; Si max(xR ; xJ) – min(xR ; xJ) ≤ 10

alors n←n+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence de rencontres est ",n/N) ;

Fin.

4) On simule un grand nombre de rendez-vous. Intuitivement, la fréquence observée de rencontres tend à se stabiliser, ce qui permet d'estimer la probabilité de rencontre.

sur une simulation de 1 000 rendez-vous :



On peut supposer que la probabilité de rencontre est environ 0,306. Complément : on a simulé plusieurs rendez-vous et tracé ci-contre les fréquences observées de rencontres en fonction du nombre de rendez-vous simulés.

5) 11

0,3055636

≈ . Les résultats sont cohérents.

56 1) Un tir de Medhi peut être donné par les coordonnées de l'endroit atteint par la fléchette. Ainsi, comme le tir est aléatoire, en se plaçant dans le repère orthonormé ci-contre, on génère deux nombres aléatoires dans l'intervalle [0 ; 1]. La partie colorée n'est atteinte que si la distance entre l'impact et O (ou son carré) est inférieure ou égale au rayon du disque, c'est-à-dire 1. Ainsi : - on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1] ; - si x²+y² ≤ 1 alors la partie colorée est atteinte ; sinon la partie colorée n'est pas atteinte.

Corrigés Exercices



Début x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x²+y² ≤ 1 alors Afficher("la partie est atteinte") ;

sinon Afficher("la partie n'est pas atteinte") ; FinSi ;

Fin.

2) a) Il suffit de simuler N tirs comme dans la question 1), en introduisant un compteur (n) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que la partie colorée est atteinte (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur n à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'un tir : on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1], et si x²+y² ≤ 1, on ajoute 1 au compteur n ; - on affiche la fréquence n/N d'atteinte de la partie colorée.


Variables : N,n,i : entiers ; x,y : réels ;


x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x²+y² ≤ 1 alors n←n+1 ; FinSi ;

FinPour ; Afficher("la fréquence d'atteinte de la partie est ",n/N) ;

Fin.

3) On simule un grand nombre de tirs. Intuitivement, la fréquence observée d'atteinte de la partie colorée tend à se stabiliser, ce qui permet d'estimer la probabilité d'atteindre la partie colorée.

sur une simulation de 1 000 tirs :



On peut supposer que la probabilité d'atteindre la partie colorée est environ 0,786. Complément : on a simulé plusieurs tirs et tracé ci-contre les fréquences observées d'atteinte de la partie colorée en fonction du nombre de tirs simulés.

Pour information : la probabilité d'atteindre la partie

colorée est égale à 4

π. Les résultats obtenus par simulation

sont cohérents. 57 1) Un tir de Medhi peut être donné par les coordonnées de l'endroit atteint par la fléchette. Ainsi, comme le tir est aléatoire, en se plaçant dans le repère orthonormé ci-contre, on génère deux nombres aléatoires dans l'intervalle [0 ; 1]. La partie colorée n'est atteinte que si la distance entre l'impact et O (ou son carré) est inférieure ou égale au rayon du disque, c'est-à-dire 1, et si la distance entre l'impact et K (ou son carré) est inférieure ou égale à 1. Ainsi : - on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1] ; - si x²+y² ≤ 1 et (1–x)²+(1–y)² ≤ 1, alors la partie colorée est atteinte ; sinon la partie colorée n'est pas atteinte.



Début x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x²+y² ≤ 1 et (1–x)²+(1–y)² ≤ 1

alors Afficher("la partie est atteinte") ; sinon Afficher("la partie n'est pas atteinte") ;

FinSi ; Fin.

2) a) Il suffit de simuler N tirs comme dans la question 1), en introduisant un compteur (n) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que la partie colorée est atteinte (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur n à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'un tir : on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1], et si x²+y² ≤ 1 et (1–x)²+(1–y)² ≤ 1, on ajoute 1 au compteur n ; - on affiche la fréquence n/N d'atteinte de la partie colorée.




x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si x²+y² ≤ 1 et (1–x)²+(1–y)² ≤ 1 alors n←n+1; FinSi ;


Fin.

Corrigés Exercices







colorée est égale à 12

π − . Les résultats obtenus par

simulation sont cohérents. 58 1) Un tir de Medhi peut être donné par les coordonnées de l'endroit atteint par la fléchette. Ainsi, comme le tir est aléatoire, on génère deux nombres aléatoires dans l'intervalle [0 ; 1]. La partie colorée n'est atteinte que si l'ordonnée de l'impact est inférieure ou égale au carré de son abscisse. Ainsi : - on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1] ; - si y ≤ x², alors la partie colorée est atteinte ; sinon la partie colorée n'est pas atteinte.



Début x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si y ≤ x² alors Afficher("la partie est atteinte") ;

sinon Afficher("la partie n'est pas atteinte") ; FinSi ;

Fin.

2) a) Il suffit de simuler N tirs comme dans la question 1), en introduisant un compteur (n) qui s'incrémente de 1 à chaque fois que la partie colorée est atteinte (on l'aura initialisé à 0). Ainsi : - on initialise le compteur n à 0 ; - on réitère N fois la simulation d'un tir : on génère deux nombres aléatoires x et y dans l'intervalle [0 ; 1], et si y ≤ x², on ajoute 1 au compteur n ; - on affiche la fréquence n/N d'atteinte de la partie colorée.




x←RéelAléaEntre(0;1) ; y←RéelAléaEntre(0;1) ; Si y ≤ x² alors n←n+1; FinSi ;


Fin.







colorée est égale à 2. Les résultats obtenus par simulation sont cohérents.

corrigés exercices page 1 - decliclycee-prof - site ... · en e2 =2*d2^2+d2-3. on recopie vers le...

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