Sondages Alatoires Simples

Exercices

Exercice 1Dans une entreprise, un PDG souhaite offrir des chques-vacances ses employs. Il sintressedonc au budget vacances moyen de ceux-ci. Il dispose dune liste de tous ses employs. Il dcidedinterroger 150 employs au hasard parmi les 2500 employs. Il obtient un budget total pour les150 employs de 127 500 euros. La somme des carrs des budgets vaut 200 450 000.

1. Quel est le taux de sondage ? Que signifie un taux de sondage gal 1 ? Recensement2. Estimer le budget moyen dun employ. 850 e3. Donner un intervalle de confiance 95%. s2 = 617953 do V (x) = 3872.506 et 850 121.96

avec un niveau de 95%4. Toujours pour un intervalle de confiance 95%, on voudrait une prcision 100 euros.

(a) Avant deffectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre rponse, si la tailledchantillon cherche sera suprieure ou infrieure 150 ? la taille de lechantillon seraplus grande que 150, car la precision DEMANDEE est plus GRANDE (demi longueurqui passe de 122 100)

(b) Calculer alors la taille dchantillon (on ngligera le taux de sondage). n? = 238

Exercice 2On sintresse lestimation de la proportion p de personnes atteintes par une maladie professionnelledans une entreprise de 10 000 personnes. On slectionne un chantillon de 500 dentre elles au moyendun sondage alatoire simple sans remise. Parmi celles-ci, 50 sont atteints de la maladie en question.

1. Donner un intervalle de confiance de niveau 90% pour p. [0.079 ;0.125] avec un niveau 90%.2. En ngligeant le taux de sondage, quelle taille dchantillon devrait-on prendre pour obtenir

une estimation plus ou moins 2% (on pourra utiliser lestimation p obtenue en questionprcdente ou bien raisonner au pire des cas) ? n? = 1681 (pire des cas) ou n? = 606 (plug-in)

Exercice 3On souhaite estimer la quantit moyenne de fruits (exprime en kg) consomme annuellement parles habitants dune ville de 100 000 habitants. On slectionne par un plan simple un chantillon de200 habitants. Les rsultats obtenus sont les suivants :

ni=1

xi = 18 700ni=1

x2i = 1 766 500.

Sondages Master Stat. Appliques

1. Donner un intervalle de confiance 95% pour la quantit de fruits moyenne consomme an-nuellement par les habitants de cette ville.x = 93.5, s2 = 90.70352, V (x) = 0.4526106 [94.82; 92.18] avec un niveau de 95%

2. On sintresse maintenant la quantit totale consomme annuellement par lensemble deshabitants de la ville. Donner une estimation, puis un intervalle de confiance 95% pour cettequantit totale.[9218138; 9481862] avec un niveau de 95%

3. On souhaite dans cette question donner un intervalle de confiance 95% pour la quantitde fruits moyenne consomme annuellement par les habitants de cette ville ayant une demi-longueur dau plus 1 kg. On cherche une taille dchantillon n qui permette de construire untel intervalle.(a) Pour trouver cette taille n, on nglige le taux de sondage f . Pouvez-vous donner une

interprtation "concrte" de cette hypothse et expliquer pourquoi elle est raisonnable ?La taille dchantillon est faible compare celle de la population (ici n/N = 0.002 cequi est le cas).A linverse, que signifie un taux de sondage gal 1 ? Recensement.

(b) Un premier expert estime en se basant sur des enqutes prcdentes que lon peut consi-drer que la variance corrige S2 calcule sur lensemble de la population est gale 100.Un autre expert estime que la variance corrige S2 est un peu plus leve, gale 125.i. Si vous souhaitez tre prudent et vous placer dans le pire des cas possibles, de quel

expert allez-vous suivre lavis ? Le second s2 = 125 car cest celui qui va me donnerlIC le plus large (plus grande variance).

ii. Calculer n (dans ce pire des cas). n? = 481

Exercice 4On souhaite estimer la distance moyenne (exprime en kilomtres) parcourue en vlo par leshabitants dune ville de N = 50 000 habitants en mai 2005. On slectionne par un plan de sondagealatoire simple un chantillon de taille n = 250. On note xi la distance (exprime en kilomtres)parcourue en mai 2005 par le ie individu de lchantillon. Les rsultats sont :

250i=1

xi = 15 150,250i=1

x2i = 1 155 400.

1. Traduire en quelques mots linformation contenue dans la formule250

i=1 xi = 15 150. Sommedes distances parcourues PAR les personnes de lechantillon

2. Calculer la variance corrige s2 (notations du cours). s2 = 9533. On souhaite donner un intervalle de confiance de niveau 90%, puis 95% pour .

(a) Avant deffectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre rponse, quel sera lin-tervalle le plus large ? On requiert une confiance plus grande 95 % donc on prend moinsde risque en prenant un IC plus large 95 %.

(b) Donner ces intervalles de confiance (pour la loi normale centre rduite, on rappelle quele quantile dordre 0.95 vaut 1.64, celui dordre 0.975 vaut 1.96). [56.78; 64.42] avec unniveau de 95% et [57.41; 63.79] avec un niveau de 90%

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Sondages Master Stat. Appliques

4. On souhaite dans cette question donner un intervalle de confiance de niveau 95% pour ayantune demi-longueur dau plus 2 kilomtres. On considre que la variance corrige S2 calcule surlensemble de la population est la mme que la variance corrige s2 calcule sur lchantillon(elle a t calcule la question 2).(a) Avant deffectuer les calculs, pouvez-vous dire, en justifiant votre rponse, si la taille

dchantillon cherche sera suprieure ou infrieure 250 ? La taille sera plus grande que250 car lIC 95% doit avoir une demi-longueur plus petite que celui deja calcule (ie 3.82km calcule en 3b)

(b) Calculer cette taille dchantillon (on ngligera le taux de sondage f = n/N pour simplifierles calculs). n? = 916

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