STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.5 1 011206

E 6.5.20 On connaît la fonction de transfert linéarisée en vitesse du banc SIMA commesystème à régler. On veut le régler avec un régulateur proportionnel de la forme : G s KR P( ) =

G ss ss( )

* * ,( , )( , )

=+ +

2 17,6 0 0251 0 135 1 0 016

A Déterminer la valeur de KP pour laquelle le système en boucle fermée aura uncomportement optimal. Appliquer le critère de Bode sur diagramme approximé par segmentsde droites.B Déterminer la valeur de KP pour laquelle le système en boucle fermée aura uncomportement optimal. Appliquer le critère de la marge de phase sur diagramme de Bode.S’aider du programme MATLAB\affbod.m.C Vérifier si le comportement dynamique du système en boucle fermée correspond à cequi est demandé. S’aider de MATLAB\asservi.m.D Déterminer la valeur de KP pour laquelle le système en boucle fermée aura un

comportement optimal, mais avec un régulateur G s KssR P( )

,=

+1 0135.

Corrigé 6.5.20A Calculs manuels: G0(s) = Kp Gs(s): On a 3 tronçons de pentes 0, -1 et -2 limités par lespulsations 1/0,135 et 1/0,016 [s-1]. La pulsation 62,5 définit la limite entre les pentes de -1 et -2. Pour la moitié de cette pulsation (31,25) , on recherche la valeur de Kp qui amène le moduleà 1 , ce qui permet d'obtenir une réponse optimale du système réglé (D1 = 4,3%).Dans cedomaine de pulsation, on peut approximer le module:

G jK

jK0 31 25 31 25

0 88

0 135 10 21( ) /

,

( , )( )/ ,, ,ω

ωω ω= == =p

p

Il faut donc choisir Kp = 4,79.

B On fait tracer le diagramme de Bode et on recherche la pulsation de phase –116,5°. Pourcela, on a ajouté au diagramme de Bode une horizontale à cette valeur ; par la fonctiongraphique, à l’aide de zoom et de coordonnées cartésiennes, on identifie la pulsation sur legraphe de phase puis le module sur celui de l’amplitude. On trouve 0,1166 , donc Kp=8,58.

1 0 -2 1 0 -1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 4- 2 0 0

- 1 0 0

0

F r e q u e n c e ( r a d i a n s )

Ph

as

e (

de

gre

s)

( 4 4 . 7 5 , - 1 1 6 . 5 )

1 0 -2 1 0 -1 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 41 0 -6

1 0 -4

1 0 -2

1 0 0

F r e q u e n c e ( r a d i a n s )

Am

pli

tud

e

D i a g r a m m e d e B o d e d e 2 * 1 7 . 6 * 0 . 0 2 5 / ( ( 1 + 0 . 1 3 5 * s ) * ( 1 + 0 . 0 1 6 * s ) )

( 4 4 . 7 6 , 0 . 1 1 6 6 )

STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.5 2 011206

Corrigé 6.5.20 (suite 1) On fait tracer le diagramme de Bode et on recherche la pulsation quicorrespond à l’intersection des pentes asymptotiques de -1 et -2 (correspondant aux phases de-90° et -180°) on recherche la pulsation de phase –135°. On lit la pulsation sur le graphe dephase : 78 [s-1], puis pour la moitié de cette pulsation le module sur celui de l’amplitude. Ontrouve 0,1432 , donc Kp=7. Cette approche est plus conforme à la méthode manuelle.

1 0-2

1 0-1

1 00

1 01

1 02

1 03

1 04

-200

-100

0

F requence ( r ad ians )

Ph

ase

(d

eg

res)

( 76 .08 , -134 .9 )

1 0-2

1 0-1

1 00

1 01

1 02

1 03

1 04

1 0-6

1 0-4

1 0-2

1 00

Frequence ( r ad ians )

Am

pli

tud

e

D i a g r a m m e d e B o d e d e 2 * 1 7 . 6 * 0 . 0 2 5 / ( ( 1 + 0 . 1 3 5 * s ) * ( 1 + 0 . 0 1 6 * s ) )

( 38 .04 , 0 .1432 )

C Avec 4,79 :

0 0 .02 0 .04 0 .06 0 .08 0 .1 0 .12 0 .14 0 .160

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

T i m e ( s e c s )

Am

pli

tud

e

r eponse i nd i c i e l l e en bouc le f e rmée du sys tème donné en bouc le ouve r t e

STABILITÉ

Corrigé d’exercice pour section 6.5 3 011206

Corrigé 6.5.20 (suite 2) Avec 8,58 :

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 60

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

T i m e ( s e c s )

Am

pli

tud

er e p o n s e i n d i c i e l l e e n b o u c l e f e r m é e d u s y s t è m e d o n n é e n b o u c l e o u v e r t e

avec 7 :

0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 2 0 . 1 4 0 . 1 60

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

T i m e ( s e c s )

Am

pli

tud

e

r e p o n s e i n d i c i e l l e e n b o u c l e f e r m é e d u s y s t è m e d o n n é e n b o u c l e o u v e r t e

On voit que pour ce système la méthode de Bode avec approximations par droitesdonne de meilleurs résultats que la méthode par la marge de phase. Pour plus d’explicationsde ce phénomène, voir le dimensionnement dans le lieu des pôles (par exemple exercice6.6.21)

D Calculs manuels: G0(s) = Kp (1 + s 0,135) Gs(s)/s: On a 2 tronçons de pentes -1 et -2limités par la pulsation 1/0,016 [s-1]. le module:

G jK

jK0 31 31

0 88

10 028( ) /

,

( )( )/ ,,25 ,25ω

ωω ω= == =p

p

Il faut donc choisir Kp = 35,5.