REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

Corrigés d’exercices pour la section 5.5 1 2002-10-02

Enoncé 5.5.17 On connaît la fonction de transfert en boucle ouverte d'un système:

G s ks s s0 0

11 0 05 1 0 01

( )( , )( , )

=+ +

A Avec l'aide de MATLAB, tracer le lieu des pôles de ce système en boucle fermée pour k0variable.B Superposer le centre des asymptotes et les directions asymptotiques.C Calculer le point de séparationD Déterminer pour quelle valeur de k0 on observe une intersection avec l'axe imaginaire, et lavaleur de l'intersection.

Corrigé 5.5.17 A On entre les données.» N='1';%» D='s*(1+0.05*s)*(1+0.01*s)';%

Pour utiliser les fonctions Matlab, on transforme sous forme de vecteurs de coefficients lespolynômes numérateur et dénominateur.

» syms s;» Nfact=sym(N);» Dfact=sym(D);» Ndev=expand(Nfact);» Ddev=expand(Dfact);» num=[sym2poly(Ndev)];» den=[sym2poly(Ddev)];

On peut maintenant afficher les pôles en boucle ouverte et fermée.

» K=logspace(-1,log10(150),100);» [r,k]=rlocus(num,den,K);» [p,z]=pzmap(num,den);» plot(real(r),imag(r),real(p),imag(p),'xk',real(z),imag(z),'ok');%» title('Diagramme de Evans: Go(s)= Ko --------------------------------- ')» line('LineStyle',':','Color','k','XData',[-140,20],'YData',[0,0]);%» line('LineStyle',':','Color','k','XData',[0,0],'YData', [-50,50]);%

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B On calcule le centre et la direction des asymptotes:

c qa =− − − +

−= − = + = − ±

100 20 0 03 0

40 1 23 3

ξπ

ππ

( ) ;

» line('LineStyle',':','Color','m','XData',[-40,-12],'YData',[0, 48.5]);%» line('LineStyle',':','Color','m','XData',[-40,-12],'YData',[0,-48.5]);%

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REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

Corrigés d’exercices pour la section 5.5 2 2002-10-02

Corrigé 5.5.17 (suite)

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50Diagramme de Evans: Go(s)= Ko ---------------------------------------------------------1

s*(1+0.05*s)*(1+0.01*s)

C On calcule x le centre des asymptotes:

120

1100

10

x x x++

++ =

3 240 200 02x x+ + =

On recherche les zéros par MATLAB.

» P=[3 240 2000];» roots(P)ans =

-70.5505-9.4495

On garde x = –9,45, car l'autre n'appartient pas au lieu des pôles.

» plot(-9.45,0,'+')

D On recherche dans le tableau de valeurs correspondant au graphique obtenu sous A un pôlede partie réelle nulle (ou presque), on lit la valeur de k0 dans la colonne de droite.

» KR=k.'; %changer le vecteur ligne en colonne pour le juxtaposer à r» [r,KR]ans =

1.0e+002 *...-1.2002 0.0001 - 0.4475i 0.0001 + 0.4475i 1.2018...

On a donc une valeur de k0 ≅ 120 pour une intersection à ± j 44,75.