contribution de l’étude des coniques pour l’amélioration

UNIVERSITÉ D’ANTANANARIVO

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

Contribution de l’étude des coniques pour

l’amélioration de l’enseignement-apprentissage des

mathématiques à Madagascar

THÈSE DE DOCTORAT EN DIDACTIQUES DES MATHÉMATIQUES ET

INFORMATIQUE

Présentée et soutenue publiquement le 02 Mai 2019 par :

RAJAONARIMANANA Herinaina Elysé

Composition du jury :

Président :

Jean Claude Omer ANDRIANARIMANANA, Professeur Titulaire, Université d’Antananarivo, Madagascar

Rapporteurs :

Jean DIATTA, Professeur des universités, Université de La Réunion, La Réunion

Alain MERCIER, Professeur émérite, Université de Lyon, France

Examinateurs :

Hanitriniaina Sammy Grégoire RAVELONIRINA, Professeur, Université d’Antananarivo, Madagascar

Princy RANDRIAMBOLOLONDRANTOMALALA, Professeur, Université d’Antananarivo, Madagascar

Directeurs :

André TOTOHASINA, Professeur Titulaire, Université Nord Antsiranana, Madagascar

Dominique TOURNES, Professeur des universités, Université de La Réunion, La Réunion

École Doctorale

Problématiques de l’Éducation et Didactiques des Disciplines : PE2Di

Equipe d’Accueil : Éducation et Didactiques des Mathématiques et Informatique : EDMI

i

Remerciements Les années de formation au sein de l’Ecole Doctorale PE2Di, m’ont forgé sur beaucoup

de plans et je remercie particulièrement Madame Judith RAZAFIMBELO, Directeur de cette

école pour tous les conseils et encadrements qu’elle m’a prodigués.

Tous mes remerciements vont aussi aux Professeurs André TOTOHASINA et Dominique

TOURNES, sans qui ce travail n’aurait pas vu le jour. Merci Professeur, vos encouragements

m’ont beaucoup aidé dans les temps d’incertitudes durant les phases de recherches.

Je remercie du fond du cœur les membres du jury :

M. Jean Claude Omer ANDRIANARIMANANA qui a bien voulu présider la soutenance

de cette thèse.

M. Alain MERCIER qui, malgré la grande distance entre Madagascar et la France, a

accepté de rapporter ce travail. Il en est de même de M. Jean DIATTA, bien qu’ayant de

lourdes responsabilités au sein du LIM, a accepté de donner une partie de son temps pour faire

fonction de rapporteur.

M. Hanitriniaina Sammy Grégoire RAVELONIRINA et

M. Princy RANDRIAMBOLOLONDRANTOMALALA, d’avoir bien voulu siéger parmi

les membres du jury pour examiner ce travail.

Aux collègues doctorants et enseignants chercheurs au sein de l’ENS de Tananarive et de

l’ENSET d’Antsiranana, je leur dis merci pour toutes leurs collaborations.

Que les enseignants des collèges de La Réunion et de Madagascar, et les professeurs du

Lycée Rabearivelo reçoivent mes remerciements les plus sincères pour leur coopération

durant les expérimentations.

J’adresse particulièrement mes gratitudes au gouvernement français qui m’a octroyé une

bourse de stage au sein du LIM de l’Université de La Réunion.

À tous les membres de la communauté chrétienne dont je fais partie, je leur dis merci.

Je dédie cette thèse à ma femme et mes enfants qui m’ont donné des soutiens

inconditionnels et ont montré des compréhensions sans égales durant les recherches que j’ai

entreprises. Que mes deux petits-enfants Grace Fitia et Anael Herinaina puissent aller aussi

loin que leur grand-père dans leurs études.

À ceux qui, de près ou de loin, ont contribué dans la finalisation de cette thèse, trouvent

ici mes vifs remerciements.

ii

Table des matières

Remerciements ...................................................................................... i

Table des matières ................................................................................ ii

Liste des figures ................................................................................. viii

Liste des tableaux .............................................................................. xiii

Liste des annexes ............................................................................... xiv

Introduction .......................................................................................... 1

CHAPITRE I: Préliminaires historiques, épistémologiques et

mathématiques sur les coniques ........................................................... 6

I-1 Des apports de l’histoire et de l’épistémologie des sciences dans

l’enseignement des mathématiques ....................................................................... 6

I-1-1 Des apports de l’histoire .................................................................................................... 6

I-1-2 Des apports de l’épistémologie ......................................................................................... 7

I-2 Survol de l’histoire des coniques ..................................................................... 8

I-2-1 Les coniques pendant la période grecque. ......................................................................... 9

I-2-2 Les coniques au temps des arabes ................................................................................... 25

I-2-3 Les coniques à partir du XVIIe siècle .............................................................................. 29

I-2-4 Les coniques d’aujourd’hui ............................................................................................. 36

I -3 Epistémologie des coniques .......................................................................... 40

I-3-1. Les coniques comme section plane d’un cône ............................................................... 40

I-3-2. Les coniques comme section plane d’un cylindre .......................................................... 41

I-3-3 Définition par foyer-directrice ........................................................................................ 42

I-3-4 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole ............................................................ 43

I-3-5 Les coniques comme lieu de centre de cercle ................................................................. 47

I-3-6 Les coniques comme enveloppe de droites ..................................................................... 49

I-3-7 Les coniques comme image de cercle ............................................................................. 54

I-3-8. Les coniques comme courbes du second degré .............................................................. 59

CHAPITRE II : Des outils pour voir et introduire les coniques ......... 61

iii

II-1 Des outils dans l’espace ............................................................................... 61

II-1-1 Présentation imagée ....................................................................................................... 61

II-1-2 Présentation par un cône de lumière. ............................................................................. 63

II-1-3 Présentation par un tas de sable ..................................................................................... 64

II-1-4 Voir une ellipse à l’aide d’un liquide dans un verre cylindrique ou conique ................ 66

II-1-5 Voir une ellipse à l’aide de la section de cylindre de révolution ................................... 67

II-1-6 Voir les coniques par le solide de Treceno .................................................................... 68

II-1-7 Voir les coniques par l’usage du compas parfait ........................................................... 69

II-2 Des outils pour voir les coniques dans le plan ............................................. 70

II-2-1 Pour une parabole .......................................................................................................... 70

II-2-2 Pour une ellipse .............................................................................................................. 77

II-2-3 Pour une hyperbole ........................................................................................................ 85

II-2-4 Voir les ellipses et hyperboles en utilisant la définition bifocale .................................. 87

II-2-5 Voir les coniques en utilisant les transformations ......................................................... 93

II-2-6 Voir une ellipse comme projection d’un cercle ............................................................. 95

II-2-7 Voir une hyperbole comme image par homographie ..................................................... 95

CHAPITRE III : Théorie de l’enseignement-apprentissage ............... 99

III-1 Des modèles d’enseignement-apprentissage ............................................ 100

III-1-1 Le modèle transmissif ................................................................................................. 101

III-1-2 Le modèle behavioriste ............................................................................................... 102

III-1-3 Le modèle cognitiviste ................................................................................................ 106

III-1-4 Le modèle constructiviste ........................................................................................... 107

III-1-5 Le modèle explicite .................................................................................................... 114

III-1-6 Le modèle de Singapour ............................................................................................. 117

III-2 Conception de l’apprentissage et de l’enseignement ................................ 119

III-2-1 Conception de l’apprentissage .................................................................................... 119

III-2-2 Conception de l’enseignement .................................................................................... 121

III-3 Des approches pédagogiques. ................................................................... 123

III-3-1 Curriculum .................................................................................................................. 124

III-3-2 Approche par objectifs ................................................................................................ 128

III-3-3 Approche par compétences ......................................................................................... 131

III-3-4 Approche par situations .............................................................................................. 136

III-3-5 Approche explicite ...................................................................................................... 139

CHAPITRE IV : L’enseignement-apprentissage des maths ............. 144

IV-1 L’enseignement des mathématiques ......................................................... 145

IV-1-1 Quelles finalités pour l’enseignement des mathématiques ? ...................................... 146

IV-1-2 Quels types de savoirs mathématiques ? .................................................................... 148

IV-1-3 Quels rôles pour les enseignants ? .............................................................................. 150

IV-1-4 Quels rôles pour les élèves ? ...................................................................................... 152

IV-1-5 Quels rôles pour les outils/ ressources ? ..................................................................... 154

iv

IV-2 L’enseignement des mathématiques à Madagascar .................................. 155

IV-2-1 Le système éducatif à Madagscar ............................................................................... 156

IV-2-2 Finalités des enseignements des mathématiques à Madagascar ................................. 160

IV-2-3 Curriculum de mathématique à Madagascar .............................................................. 161

IV-2-4 Les profils des enseignants de mathématiques à Madagascar .................................... 164

CHAPITRE V : L’enseignement de la géométrie Euclidienne et des

coniques à Madagascar ..................................................................... 170

V-1 Qu’est-ce que la géométrie ? ...................................................................... 172

V-2 Comment enseigner la géométrie ? ............................................................ 174

V-3 Rôles des outils en géométrie ..................................................................... 175

V- 4 L’enseignement de la géométrie et des coniques à Madagascar. ............. 176

V-4-1 Une réprésentation de la géométrie à Madagascar ...................................................... 177

V-4-2 Curriculum de géométrie et des coniques à Madagascar ............................................. 178

V-4-3 Programme d’étude des coniques à Madagascar ......................................................... 184

V- 5 Des problèmes sur l’enseignement-apprentissage de la géométrie et des

coniques à Madagascar ...................................................................................... 186

V-5-1 Problèmes sur les contenus .......................................................................................... 187

V-5-2 Problèmes des enseignants .......................................................................................... 188

V-5-3 Problèmes des élèves ................................................................................................... 189

CHAPITRE VI : Nouvelle approche pour introduire et enseigner les

coniques à Madagascar ..................................................................... 192

VI-1 Une introduction des coniques dès le collège ........................................... 193

VI-1-1 Pourquoi les coniques ? .............................................................................................. 194

VI-1-2 Les outils utilisés pour l’expérimentation .................................................................. 201

VI-1-3 Les dispositions expérimentales ................................................................................. 204

VI-2 Enseigner les coniques tout au long du cursus scolaire ............................ 221

VI-2-1 Des activités pour enseigner les coniques .................................................................. 222

VI-2-2 Des conditionnalités ................................................................................................... 225

CHAPITRE VII : Initiation aux TIC au travers des activités sur les

coniques ............................................................................................ 227

VII-1 Des apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage. ...................... 227

VII-1-1 Des apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques. ........ 229

v

VII-1-2 La place des TIC dans l’enseignement-apprentissage à Madagascar. ...................... 230

VII-2 Initiation à l’utilisation du logiciel Geogebra ......................................... 231

VII-2-1 La méthodologie ....................................................................................................... 231

VII-2-2 Les analyses a priori .................................................................................................. 234

VII-2-3 Les analyses a postériori ........................................................................................... 235

VII-2-4 Des perspectives ........................................................................................................ 242

VII-3 Des activités sur les coniques pour se familiariser avec le logiciel GGB

........................................................................................................................... 243

Conclusion générale ......................................................................... 245

Références ........................................................................................ 249

Annexes ............................................................................................ 256

Annexe 1: Fonctions d'un curriculum ............................................................... 256

Annexe 2: Extrait de la loi n° 2004-004; portant Orientation générale du système

d'Education, d'Enseignement et de Formation à Madagascar ........................... 257

Annexe 3: Objectifs de l’enseignement du calcul en 7 eme (CM2 : Fin cycle

primaire) ............................................................................................................ 261

Annexe 4: Objectifs du calcul en 7 ème et Instructions générales ................... 262

Annexe 5: Extrait 1 du programme de calcul (géométrie) en CM 2 ................. 263

Annexe 6: Extrait 2 du programme de calcul (géométrie) en CM2 .................. 264

Annexe 7: Extrait 3 du programme de calcul (géométrie) en CM2 .................. 265

Annexe 8: Extrait de l’Arrêté 10.869/2015/MEN portant organisation transitoire

de la méthode pédagogique par le Ministère de l’Education nationale ............ 266

Annexe 9: Introduction générale pour le programme du collège ...................... 267

Annexe 10: Finalités et objectifs généraux de l’enseignement au collège ....... 268

Annexe 11: Profil de sortie du collège .............................................................. 269

Annexe 13: Objectifs des mathématiques en 6 eme et instructions sur les droites

........................................................................................................................... 271

vi

Annexe 14: Extrait du programme de 6eme à propos des droites .................... 272

Annexe 15: Extrait du programme de 6eme sur les demi-droites et segments . 273

Annexe 16: Extrait du programme de 6 eme sur le cercle ................................ 274

Annexe 17: Objectifs des Mathématiques en classe de 5ème ........................... 275

Annexe 18: Extrait programme Géométrie 5eme : Médiatrice ......................... 276

Annexe 19: Objectifs des mathématiques en 4eme........................................... 277

Annexe 20: Extrait programme des mathématiques en 4 eme : Distance et

instructions ........................................................................................................ 278

Annexe 21: Objectifs des mathématiques en 3eme........................................... 279

Annexe 22: Extrait programme de géométrie en 3 eme : Thalès ...................... 280

Annexe 23: Extrait programme 3eme : Configuration de l'espace ................... 281

Annexe 24: Profil de sortie du lycée ................................................................. 282

Annexe 25: Instructions générales en maths et évaluation en 2nde .................. 283

Annexe 26: Objectifs des maths et son enseignement au lycée ; objectifs

enseignement maths en 2nde. ............................................................................ 284

Annexe 27: Programme d’études en 2nde pour les configurations planes ....... 285

Annexe 28: Programme d’études en 2nde pour les vecteurs ............................ 286

Annexe 29: Programme d’études en 2nde pour la géométrie métrique plane .. 287

Annexe 30: Programme d’études en 2nde pour les transformations du plan ... 288

Annexe 31: Objectifs des maths en première C et première D ......................... 289

Annexe 32: Objectifs des maths en TC et TD ................................................... 290

Annexe 33: Programme coniques en TC .......................................................... 291

Annexe 34: Taxonomie de Bloom et les verbes d’action que l’on peut utiliser292

Annexe 35: Compétences essentielles en mathématiques, selon le groupe

d’experts pour la réussite des élèves ................................................................. 293

Annexe 36: Questionnaire pour élève ............................................................... 295

vii

Annexe 37: Questionnaire pour enseignant ...................................................... 296

Annexe 38: Evaluation traçage droites.............................................................. 297

Annexe 39: Evaluation pour reconnaitre les formes coniques .......................... 298

Résumé ................................................................................................. 1

Abstract ................................................................................................ 2

viii

Liste des figures

Figure 1 : Mode de génération des cônes avant Apollonius .................................................... 11

Figure 2: Coniques selon Aristée ............................................................................................. 12

Figure 3 : Propriété foyer-directrice des coniques ................................................................... 13

Figure 4 : Caractérisation de l’ellipse et de l’hyperbole par Archimède.................................. 14

Figure 5 : Coniques selon Apollonius ...................................................................................... 15

Figure 6 : Cas où FG parallèle à AC ........................................................................................ 16

Figure 7 : FG sécante avec AC ................................................................................................. 17

Figure 8 : FG sécante avec le prolongement de AC ................................................................. 17

Figure 9 : Asymptote d'une hyperbole chez Apollonius .......................................................... 18

Figure 10 : Hyperbole et asymptote chez Apollonius .............................................................. 19

Figure 11: Propriété de l’hyperbole, les droites sont parallèles aux asymptotes ..................... 19

Figure 12 : Foyer d'une hyperbole chez Apollonius ................................................................ 20

Figure 13: Foyer d'une ellipse chez Apollonius ....................................................................... 20

Figure 14: Propriétés optiques d'une ellipse et d'une hyperbole .............................................. 21

Figure 15: Propriété bifocale de l'ellipse .................................................................................. 22

Figure 16: Propriété bifocale de l'hyperbole ............................................................................ 22

Figure 17 : Propriété de la sous tangente d’une parabole ........................................................ 23

Figure 18 : Propriété de la sous normale d'une parabole .......................................................... 23

Figure 19 : Construction d'une parabole par Ibrahim Sinan..................................................... 26

Figure 20 : Construction d'une hyperbole Ibrahim Sinan ........................................................ 27

Figure 21 : Hexagramme mystique de Pascal .......................................................................... 34

Figure 22 : Parabole de directrice (d) de foyer F ..................................................................... 38

Figure 23 : Ellipse avec ses directrices et les cercles principal et secondaire (a > b) .............. 39

Figure 24 : Hyperbole avec ses asymptotes, directrices et cercle principal (a > b) ................. 40

Figure 25: Ellipse obtenue par section d'un cylindre ............................................................... 42

Figure 26: Ellipse de foyers F et F ' ......................................................................................... 44

Figure 27: Tangente à une ellipse comme bissectrice intérieure ............................................. 44

Figure 28: Propriété de la tangente à une ellipse ..................................................................... 45

Figure 29: Cercle orthoptique d'une ellipse .............................................................................. 45

Figure 30: Définition bifocale de l'hyperbole .......................................................................... 46

Figure 31 : Tangente à une hyperbole comme bissectrice intérieure ....................................... 46

Version%20corrigée%20thèse%2021_05_2019.doc#_Toc9374976

ix

Figure 32: Symétrique du foyer F par rapport à une tangente (t) en un point M de l’hyperbole.

.......................................................................................................................................... 46

Figure 33: Propriété de la tangente à une hyperbole ................................................................ 47

Figure 34: Parabole comme lieu de centre de cercle tangent à une droite et passant par un

point fixe. ......................................................................................................................... 47

Figure 35: Génération d'une ellipse par cercle directeur .......................................................... 48

Figure 36: Génération hyperbole par cercle directeur .............................................................. 48

Figure 37: Parabole comme antipodaire d’une droite .............................................................. 49

Figure 38: Parabole comme enveloppe médiatrices ................................................................. 50

Figure 39: Ellipse comme antipodaire de son cercle principal ................................................ 50

Figure 40: Ellipse de centre O et de foyer F et F’ comme trace de la droite (d) ...................... 51

Figure 41: Hyperbole comme antipodaire de son cercle principal ........................................... 51

Figure 42: Hyperbole de centre O et de foyer F et F’ comme trace de la droite (d) ................ 52

Figure 43: Ellipse comme enveloppes de la médiatrice (d) de [FA] ........................................ 52

Figure 44: Ellipse de foyers F et O comme trace de la droite (d) ............................................ 53

Figure 45: Hyperbole comme enveloppes de la médiatrice (d) de [FA] .................................. 53

Figure 46: Hyperbole de foyer F et O comme trace de la droite (d) ........................................ 54

Figure 47: Affinité d'axe (d) de rapport 3

4 ........................................................................ 55

Figure 48 : Ellipse comme image de son cercle principal par l’affinité de rapport b

a ...... 55

Figure 49: Ellipse comme projection d'un cercle ..................................................................... 56

Figure 50: Hyperbole comme image du cercle (C) par homologie .......................................... 57

Figure 51: Parabole comme image du cercle (C) par homologie ............................................. 58

Figure 52 : Ellipse comme image de cercle par homologie ..................................................... 58

Figure 53 : Ellipse comme section plane de cône .................................................................... 62

Figure 54 : Parabole comme section plane de cône ................................................................. 62

Figure 55: Section plane parallèlement à deux génératrices .................................................... 62

Figure 56: Trace de la lumière sur un mur (les génératrices rencontrent le mur) .................... 63

Figure 57: Trace de la lumière sur le mur (une génératrice est parallèle au mur) ................... 63

Figure 58: Trace de la lumière sur un mur lorsque des génératrices du cône ne rencontrent pas

le mur. ............................................................................................................................... 64

Figure 59: Trace de la lumière sur un mur lorsque des génératrices du cône ne rencontrent pas

le mur. ............................................................................................................................... 64



x

Figure 60 : Trace d’une ellipse par écoulement d’un tas de sable sur un plan incliné. ............ 65

Figure 61: Trace d’une ellipse laissée par l’écoulement normal d’un tas de sable à travers un

trou. .................................................................................................................................. 65

Figure 62: Trace d’une parabole par écoulement normal d’un tas de sable au bord du précipice

d’un plan. .......................................................................................................................... 66

Figure 63: Trace d’une branche d’hyperbole par écoulement normal d’un tas de sable retenu

par une vitre. ..................................................................................................................... 66

Figure 64: Surface plane d’un liquide selon la position du verre. ............................................ 67

Figure 65: Trace d’une ellipse par section plane d’un cylindre de révolution. ........................ 67

Figure 66: Sculpture en bois pour visualiser les sections planes d’un cône ............................ 68

Figure 67: Cone per le sezioni coniche qui date de 1891 au musée Traversi de Venise. ........ 69

Figure 68: Compas parfait ........................................................................................................ 69

Figure 69: Tracé de trois points M, M1 et M2 d’une parabole de foyer F et de directrice (d). 70

Figure 70: Parabole comme courbe d’équidistance entre F et (d) ............................................ 71

Figure 71: Tracé de trois points M, M1 et M2 d’une parabole de foyer F et de directrice (d). 72

Figure 72: Construction de la parabole avec une équerre ........................................................ 72

Figure 73: Parabole obtenue par pliage .................................................................................... 73

Figure 74: Parabole comme lieu de points dont la somme des distances à une droite et un

point est constante. ........................................................................................................... 74

Figure 75: Tracé de parabole par la méthode de Kepler .......................................................... 75

Figure 76: Tracé de parabole comme lieu de points définis par un cercle ............................... 75

Figure 77: Tracé point par point de la parabole ....................................................................... 76

Figure 78 : Parabolographe de Cavalieri .................................................................................. 77

Figure 79: Faire voir l’ellipse comme enveloppe de médiatrices ............................................ 78

Figure 80: Tracé de l’ellipse comme enveloppe de droites ...................................................... 79

Figure 81: Tracé par points de l’ellipse avec le compas .......................................................... 79

Figure 82: Tracé par points de l’ellipse .................................................................................... 80

Figure 83: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de Van Schooten ......................................... 80

Figure 84: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de Van Schooten (bis) ................................. 81

Figure 85: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de l’Hospital ................................................ 82

Figure 86: Tracé de l’ellipse par le procédé de la bande de papier .......................................... 83

Figure 87: Deux façons de construire une même ellipse par le procédé de la bande de papier.

.......................................................................................................................................... 83

Figure 88: Ellipsographe d’Archimède (ou de Proclus). .......................................................... 84

xi

Figure 89: Mécanisme de fonctionnement de porte de garage ................................................. 84

Figure 90: Ellipse comme lieu du point M d’une plaque triangulaire ABM ........................... 85

Figure 91: Hyperbole comme enveloppe de médiatrices ou antipodaire de cercle .................. 86

Figure 92: Hyperbole comme enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI) ou de la

médiatrice de [ FN ] ......................................................................................................... 86

Figure 93: Tracé par points de l’hyperbole avec le compas ..................................................... 87

Figure 94: Tracé par points d’une hyperbole avec Geogebra .................................................. 87

Figure 95: Tracé de l’ellipse par le procédé du jardinier ......................................................... 88

Figure 96: Tracé de l’ellipse par courbe d’équidistance .......................................................... 89

Figure 97: Tracé de l’ellipse comme hypotrochoide ................................................................ 89

Figure 98: Tracé de l’hyperbole par courbe d’équidistance ..................................................... 91

Figure 99: Tracé de l’hyperbole par cercle directeur ............................................................... 91

Figure 100: Tracé de l’hyperbole par la méthode d’Ibn Shal .................................................. 92

Figure 101: Ellipse comme image d’un cercle par une affinité ............................................... 93

Figure 102: Ellipsographe de Delaunay ................................................................................... 94

Figure 103: Ellipse comme projection d’un cercle .................................................................. 95

Figure 104: Conjugué harmonique d’un point ......................................................................... 95

Figure 105: Homologie harmonique. ....................................................................................... 96

Figure 106: Hyperbole comme homologue d’un cercle ........................................................... 96

Figure 107: Hyperbole équilatère comme homologue du cercle principal .............................. 97

Figure 108: Triangle pédagogique de Jean Houssaye (1986) .................................................. 99

Figure 109: Lien dialectique entre savoir et connaissance ..................................................... 100

Figure 110: Schéma du modèle transmissif ........................................................................... 102

Figure 111: Schéma du modèle béhavioriste ......................................................................... 103

Figure 112: Expérience de l'insight Figure 113: Expérience de l'insight (suite) ............... 104

Figure 114: Trois types de mémoire ...................................................................................... 107

Figure 115: Constructivisme, conflit cognitif ........................................................................ 110

Figure 116: Représentation linéaire de la ZPD ...................................................................... 112

Figure 117: Localisation de la ZPD entre la zone d’autonomie et la zone de rupture ........... 113

Figure118: Cinq facteurs favorisant l'investissement des efforts de l'apprenant selon Viau . 153

Figure 119: Représentation du contenu d'enseignement en mathématique............................ 163

Figure 120 : Différents ordres de curriculum ......................................................................... 164

Figure 121: Série harmonique selon une approche géométrique ........................................... 171

Figure 122: Schéma simplifié du développement de la pensée mathématique. ..................... 176

xii

Figure 123: Programme d'étude sur les coniques en TC ........................................................ 186

Figure 124: Quatre droites tracées par un élève du collège ................................................... 187

Figure 125: Extrait du programme sur les coniques en TC .................................................... 196

Figure 126: Matériels pour faire voir les sections coniques ................................................... 207

Figure 127 : Photos des contours des lumières projetées moyennant les matériels de

l'expérimentation ............................................................................................................ 210

Figure 128: Exemples de formes coniques que les élèves ont trouvés .................................. 212

Figure 129 : Droites dans le manuel CIAM quotidiennement utilisé par les enseignants en 6ème

........................................................................................................................................ 213

Figure 130: Droites dont les traces occupent tout le plan ...................................................... 213

Figure 131 : Productions à la fin des activités papier-crayon ................................................ 214

Figure 132 : Figures pour reconnaitre les formes coniques ................................................... 221

Figure 133 : Huit premiers onglets dans le logiciel Geogebra Classic 5 ............................... 237

Figure 134: Photos des étapes dans les productions des élèves au lycée Rabearivelo ........... 237

Figure 135: Photos des étapes dans les productions des étudiants sur smartphone. .............. 238

Figure 136: Photos des productions élèves dans la manipulation du logiciel Geogebra

moyennant la fonction « trace » et « animer ». .............................................................. 238

xiii

Liste des tableaux Tableau 1: Récapitulatif des caractéristiques des paraboles .................................................... 37

Tableau 2: Récapitulatif des caractéristiques des ellipses ........................................................ 38

Tableau 3 : Récapitulatif des éléments caractéristiques de l'hyperbole ................................... 39

Tableau 4: Comparaison des approches pédagogiques suivant les paradigmes ..................... 142

Tableau 5: Types et fonctions des problèmes ....................................................................... 148

Tableau 6: Types de géométrie .............................................................................................. 173

Tableau 7: Classes de la première expérimentation ............................................................... 205

Tableau 8: Profil des enseignants ........................................................................................... 205

Tableau 9: Activité d'expérimentation pour voir les sections coniques ................................. 206

Tableau 10: Première activité de construction ....................................................................... 207

Tableau 11: Trois autres activités de construction ................................................................. 208

Tableau 12: Encadré pour tracer les perpendiculaires et les parallèles .................................. 214

Tableau 13: Caractéristiques des populations de l'expérimentation ....................................... 218

Tableau 14: Tableau des activités pour l'apprentissage du logiciel Geogebra ....................... 233

Tableau 15: Évolution de la représentation de l'ordinateur au cours de l'expérimentation .... 239

xiv

Liste des annexes

Annexe 1: Fonctions d'un curriculum .................................................................................... 256

Annexe 2: Extrait de la loi n° 2004-004; portant Orientation générale du système d'Education,

d'Enseignement et de Formation à Madagascar ............................................................. 257

Annexe 3: Objectifs de l’enseignement du calcul en 7 eme (CM2 : Fin cycle primaire) ...... 261

Annexe 4: Objectifs du calcul en 7 ème et Instructions générales ......................................... 262

Annexe 5: Extrait 1 du programme de calcul (géométrie) en CM 2 ...................................... 263

Annexe 6: Extrait 2 du programme de calcul (géométrie) en CM2 ....................................... 264

Annexe 7: Extrait 3 du programme de calcul (géométrie) en CM2 ....................................... 265

Annexe 8: Extrait de l’Arrêté 10.869/2015/MEN portant organisation transitoire de la

méthode pédagogique par le Ministère de l’Education nationale .................................. 266

Annexe 9: Introduction générale pour le programme du collège ........................................... 267

Annexe 10: Finalités et objectifs généraux de l’enseignement au collège ............................. 268

Annexe 11: Profil de sortie du collège ................................................................................... 269

Annexe 12: Objectifs de la matière et objectifs de l’enseignement des mathématiques dans les

collèges ........................................................................................................................... 270

Annexe 13: Objectifs des mathématiques en 6 eme et instructions sur les droites ................ 271

Annexe 14: Extrait du programme de 6eme à propos des droites .......................................... 272

Annexe 15: Extrait du programme de 6eme sur les demi-droites et segments ...................... 273

Annexe 16: Extrait du programme de 6 eme sur le cercle ..................................................... 274

Annexe 17: Objectifs des Mathématiques en classe de 5ème ................................................ 275

Annexe 18: Extrait programme Géométrie 5eme : Médiatrice .............................................. 276

Annexe 19: Objectifs des mathématiques en 4eme ................................................................ 277

Annexe 20: Extrait programme des mathématiques en 4 eme : Distance et instructions ...... 278

Annexe 21: Objectifs des mathématiques en 3eme ................................................................ 279

Annexe 22: Extrait programme de géométrie en 3 eme : Thalès ........................................... 280

Annexe 23: Extrait programme 3eme : Configuration de l'espace ......................................... 281

Annexe 24: Profil de sortie du lycée ...................................................................................... 282

Annexe 25: Instructions générales en maths et évaluation en 2nde ....................................... 283

Annexe 26: Objectifs des maths et son enseignement au lycée ; objectifs enseignement maths

en 2nde. .......................................................................................................................... 284

Annexe 27: Programme d’études en 2nde pour les configurations planes ............................ 285

Annexe 28: Programme d’études en 2nde pour les vecteurs ................................................. 286

xv

Annexe 29: Programme d’études en 2nde pour la géométrie métrique plane ....................... 287

Annexe 30: Programme d’études en 2nde pour les transformations du plan ......................... 288

Annexe 31: Objectifs des maths en première C et première D .............................................. 289

Annexe 32: Objectifs des maths en TC et TD ........................................................................ 290

Annexe 33: Programme coniques en TC ................................................................................ 291

Annexe 34: Taxonomie de Bloom et les verbes d’action que l’on peut utiliser .................... 292

Annexe 35: Compétences essentielles en mathématiques, selon le groupe d’experts pour la

réussite des élèves .......................................................................................................... 293

Annexe 36: Questionnaire pour élève .................................................................................... 295

Annexe 37: Questionnaire pour enseignant ........................................................................... 296

Annexe 38: Evaluation traçage droites ................................................................................... 297

Annexe 39: Evaluation pour reconnaitre les formes coniques ............................................... 298

1

Introduction

Chaque enfant a son ou ses rêves, nous aussi avons fait le rêve d’enseigner les

mathématiques à au moins des lycéens et ce rêve s’est ancré profondément en nous depuis le

CM21 d’une école primaire publique implantée dans une commune rurale de Madagascar.

Après le baccalauréat scientifique et le service national, nous étions parti en province pour

continuer nos études en mathématiques puis est ouvert le concours d’entrée à l’Ecole normale

niveau trois destinée à former les enseignants des lycées de Madagascar. Nous avons passé le

concours et avons suivi les cinq années de formation au sein de l’ENNIII2, devenue plus tard

Ecole normale supérieure ou ENS.

Nous étions la génération en plein dans l’avènement des mathématiques modernes lors de

notre entrée au collège. Nous avons donc appris les mathématiques sans trop ou pas du tout de

géométrie synthétique. Mais nous n’avons pas conscience de ce qui nous manquait en

mathématiques car nous avons évolué dans le Bourbakisme et les livres qui nous accaparaient

à l’université étaient ceux de Jean Dieudonné et consorts, et l’environnement qui nous

forgeait était un environnement analytique, calculatoire.

Un jour, un problème de construction géométrique en classe de seconde qui consistait à

inscrire un carré dans un triangle nous était posé — les quatre sommets du carré devaient

donc être placés sur les côtés du triangle. Nous avons séché devant le problème car pour nous,

en mathématique, il faut que le sujet comporte des données numériques, avec des x et des y, et

des questions guides comme tracer, construire, placer, montrer, démontrer, en déduire, etc…

En un mot, le problème a été pour nous tellement ouvert qu’il nous a montré à quel point nous

sommes enfermés dans un unique type d’enseignement-apprentissage et non formés pour

affronter des situations inhabituelles. Et c’était là que, d’une part, le besoin de voir et faire

voir d’autre géométrie — la géométrie par les constructions — était né en nous. D’autre part,

autant que possible, préparer et entrainer les apprenants à faire face à des problèmes ouverts

dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques devenaient urgent pour nous. Mais

cela a d’abord supposé des manipulations et familiarisations avec de matériels de géométrie,

des activités que nous n’avons faites que superficiellement durant notre cursus scolaire.

1 CM2 : Cours moyen deuxième année, c’est la classe terminale du primaire qui durait six années 2 ENNIII : École normale du niveau III

2

Alors, nous avons commencé à apprendre comment tracer les droites parallèles avec

uniquement la règle et l’équerre. Nous nous sommes fixés comme objectif de faire apprendre

à nos élèves et de les familiariser dans la manipulation des matériels classiques de géométrie.

Ensuite, notre conception de l’enseignement-apprentissage des mathématiques devait changer

et s’orienter plus vers l’initiation et le développement de l’esprit d’analyse et de recherche

chez les apprenants que vers le cantonnement dans la compréhension et l’application

d’algorithme généralement calculatoire.

En 1990, le Ministère de l’Education nationale nous a affecté à l’Unité d’étude et de

recherche pédagogique pour prendre en charge la mise en œuvre et le suivi du programme de

mathématiques à Madagascar. Réaliserons-nous notre rêve de rehausser le niveau

géométrique des élèves malagasy ? L’ouverture de l’ENNNII3, dont nous avons fait partie des

concepteurs de son programme de formation en mathématique, était un tournant dans notre

carrière car nous allons former des enseignants de collège et si nous arrivons à les sensibiliser

dans l’enseignement-apprentissage de la géométrie synthétique, la croissance exponentielle de

sa mise en œuvre sera garantie avec les cinquantaines d’élèves-professeurs que l’on formera

annuellement et qui vont se répartir dans tout Madagascar.

Les deux années de formation à l’ENS afin de suivre la formation de conseiller

pédagogique de l’enseignement secondaire du premier cycle en mathématique nous a fait

quitter momentanément l’ENNNII devenu INFP4 en 1995. Après notre formation à l’ENS

nous avons réintégré l’INFP puis avons assuré des cours à l’ENS dans le CER5 Physique

chimie en tant que professeur de mathématique en 2010. Mais notre soif d’apporter des

rénovations dans l’enseignement de la géométrie [dans tout le document, ce terme désigne la

géométrie euclidienne] n’est pas encore assouvie et c’est même devenu pressant devant les

lacunes et faiblesses des élèves dans ce domaine.

Une proposition d’un thème de recherche sur les coniques, c'est-à-dire un thème

géométrique a fait notre grande joie. Nous avons su et étions conscients que ce ne sera pas

facile mais l’amour que nous avons pour la géométrie sera notre force tout au long des

recherches que nous allons entreprendre.

Nous nous souvenons de notre enfance, lors des matins où la lumière du soleil entrait par

le trou de notre fenêtre et faisait un faisceau — dans lequel les grains de poussière dansaient

— qui laissait une forme « ovale » sur le mur. Nous ne savions pas en ce temps que cet

3 ENNNII : Ecole normale nationale du niveau II chargé de former les enseignants des collèges. 4 INFP : Institut national de formation pédagogique

3

« ovale » s’appelle ellipse. De même, lors des passages au travers du pont suspendu Kamoro

sur la nationale quatre, nous nous émerveillons devant telle architecture mais n’avons pas su

que les câbles porteurs sous-tendu par les pylônes prennent la forme d’un arc de parabole.

Ainsi l’ellipse qui fait partie des coniques non dégénérées est visible dans notre

environnement, de même que les hyperboles et les paraboles. Les recherches entreprises par le

Professeur A. Totohasina (2008) sur la faisabilité de l’introduction des coniques en classe de

troisième afin de lutter contre cette injustice sociale et culturelle de ne donner qu’aux élèves

de terminale scientifique l’opportunité de voir d’autres figures rondes – autres que le cercle –

nous a emmené à nous poser la question suivante : « Ne serait-il pas possible d’introduire les

coniques même dès le début du collège et de continuer à les enseigner tout au long du cursus

du secondaire ? » L’hypothèse que nous avançons en réponse à cette question est alors la

suivante : l’enseignement des coniques dès la classe de sixième et tout au long du cycle

secondaire est possible, il faut seulement trouver des bonnes stratégies et des bons moyens

pour pouvoir le faire.

Notre étude sera donc axée vers la recherche de ces stratégies et moyens. Ce qui nous

permet de formuler notre problématique en la question :

« Comment introduire et enseigner les coniques dès le début du collège ? »

Ce qui engendre d’autres questions sous-jacentes :

- quelle est la pertinence et l’efficience de l’introduction de l’enseignement-apprentissage

des coniques dès le cycle collège ?

- quels sont les impacts sur le curriculum de l’introduction de l’enseignement-

apprentissage des coniques?

- quels outils et quelles démarches doit on utiliser et adopter pour cette introduction de

l’enseignement-apprentissage des coniques ?

- comment garantir l’implémentation de ces outils et démarches tout au long du cursus

scolaire?

Et en ce temps où tout enseignement-apprentissage qui vise à préparer l'individu à une vie

active intégrée dans le développement social, économique et culturel de son pays6, ne peut se

passer des technologies de l’information et de la communication (TIC), nous nous posons de

plus la question : comment favoriser l’intégration du TIC dans l’enseignement-apprentissage

des mathématiques à travers l’enseignement-apprentissage des coniques ?

5 CER : Centre d’études et de recherche 6 Loi 2004/004 relative à l’orientation générale de l’éducation et formation à Madagascar (Cf Annexe 2)

4

Avec nos expériences en tant que cadre au sein de l’unité d’étude et de recherche

pédagogique, puis formateur des professeurs de collège et membre de la commission

technique centrale pour la formation continue des professeurs des collèges, et actuellement

enseignant chercheur au sein de l’ENS pour la formation initiale des enseignants de

mathématique des collèges et des lycées, nous formulons les hypothèses

suivantes :L’enseignement-apprentissage de la géométrie étant essentiellement analytique,

une approche synthétique de l’enseignement-apprentissage des coniques s’avère nécessaire.

Pour ce faire, nous allons proposer et expérimenter des activités conçues pour les élèves, et

dont la faisabilité ne fera pas recours à la géométrie analytique.

Devant les réticences de nombreux enseignants face aux différentes approches

pédagogiques (approche par objectifs, approche par compétences, approche par situations)

que le ministère a voulu instaurer, une approche nouvelle qui intègre les habitudes des

enseignants et qui ne nécessitera pas beaucoup d’investissement financier ou matériel ni

chronophage est la meilleure. Cette approche, qu’est l’approche explicite, sous-tendra la

conduite de toutes les activités que nous proposerons dans cette thèse.

Les outils informatiques ne sont pas encore suffisamment répartis dans tout le territoire,

démythifier l’ordinateur auprès des élèves est un objectif que l’on peut atteindre dans un

premier temps. Pour cela, apprendre à utiliser le logiciel Geogebra en choisissant les activités

sur les coniques que les élèves ont déjà faites est l’option qui nous paraît la plus rationnelle et

la plus pragmatique.

Pour la méthodologie de notre recherche, nous avons opté pour une recherche-action sous

tendue par une ingénierie didactique. Des activités que nous avons conçues et adaptées ont été

alors soumises à des élèves des collèges de Madagascar et de La Réunion. Des séances

d’initiations à l’utilisation du logiciel Geogebra ont été faites auprès des lycéens de Jean

Joseph Rabearivelo à Antananarivo et des élèves des collèges de La Réunion. Des entretiens

ont été menés auprès des enseignants qui ont bien voulu travailler avec nous. Des activités de

formation ont été entreprises avec des futurs enseignants des collèges et des lycées.

Ainsi sept chapitres constituent le plan de notre recherche : le premier donnera un survol

historique et épistémologique des coniques dans lequel nous donnerons les différentes

possibilités de définir les coniques dès l’antiquité à nos jours. Le deuxième inventoriera des

outils que l’on peut utiliser pour voir ou faire voir les courbes coniques afin de faire un choix

judicieux sur celui qui sera adopté pour introduire les coniques. Un aperçu des théories de

5

l’enseignement-apprentissage fera l’objet du troisième chapitre suivi d’une théorie générale

de l’enseignement-apprentissage des mathématiques au chapitre IV. Ces deux chapitres nous

permettront d’adopter la bonne démarche pédagogique pour une nouvelle introduction de

l’enseignement des coniques. Le chapitre V qui portera sur l’enseignement de la géométrie

euclidienne et des coniques à Madagascar précèdera celui qui exposera des nouvelles

approches pour introduire et enseigner les coniques dès la sixième. Le dernier chapitre sur

l’apport de l’enseignement-apprentissage des coniques comme médiateur dans l’utilisation

des TIC à travers le logiciel Geogebra terminera notre recherche.

6

CHAPITRE I: Préliminaires historiques, épistémologiques et

mathématiques sur les coniques

Notre recherche, s’inscrivant dans un cadre didactique c'est-à-dire « la science de la

diffusion (et de la non-diffusion, voire de la rétention) des connaissances, savoirs et pratiques

dans un groupe humain déterminé – une classe scolaire, « la » société, une institution, etc. »

(Chevallard, 2003), nécessite que l’histoire et l’épistémologie du concept des coniques soient

abordées. Bien que nous n’allions pas nous étaler sur l’histoire et épistémologie des coniques,

nous pensons qu’un préliminaire de son histoire et de son épistémologie s’avère nécessaires

pour éclairer notre démarche.

I-1 Des apports de l’histoire et de l’épistémologie des

sciences dans l’enseignement des mathématiques

I-1-1 Des apports de l’histoire

Quand nous parlons d’histoire des sciences ou des mathématiques à nos collègues

enseignants des lycées et collèges, l’étonnement s’affiche sur leur visage. En effet, il est rare

voire impossible d’entendre ou de voir, dans les pratiques de classe, des activités

mathématiques qui s’inspirent des contextes historiques. Pourtant :

…L’histoire des sciences est un instrument pour une approche constructiviste des

savoirs, des concepts et des théories, comme réponses à des problèmes scientifiques,

techniques, ou philosophiques, dans le contexte culturel et social d’une époque. Elle permet

de mettre en avant le rôle des problèmes, mais aussi celui des conjectures et des expériences

dans l'activité scientifique. Elle permet aussi d’analyser les rôles de l'écriture, de la rigueur, de

l’analogie, de la preuve, de la déduction et de la modélisation dans l'activité scientifique.

(Barbin, 2006, parag. 18)

Ainsi, si nous voulons encourager et favoriser des approches pédagogiques innovantes,

des efforts dans le sens d’une initiation à l’intégration de l’histoire des sciences en général et

des mathématiques en particulier doivent être entrepris. En outre, « … l’histoire des sciences

peut être une aide pour les enseignants en vue de proposer une approche pluridisciplinaire

fructueuse et d’organiser des enseignements scientifiques cohérents. » (ibid. Parag.26)

La conception actuelle de beaucoup d’enseignants de mathématiques quant à leur

discipline est le cloisonnement. Les activités numériques et géométriques sont deux

sous-ensembles disjoints. Cette situation peut s’expliquer par un manque de formation aussi

7

bien pédagogique, didactique mais surtout académique. Pour y remédier, nous pouvons leur

faire bénéficier de :

…L’histoire des mathématiques (qui) serait plutôt aujourd’hui une thérapeutique contre

l’éparpillement, permettant de relier les différents champs mathématiques à partir de champs

de problèmes, mathématiques ou non, d’analyser la construction d’un savoir à partir ou à

l’encontre d’autres savoirs, de repérer des savoirs pérennes, de comprendre les liens entre les

mathématiques et les autres activités scientifiques. (ibid.parag. 5)

En prenant un exemple classique, par l’histoire, nous pouvons relier la géométrie (une

courbe), l’algèbre (son équation) et l’analyse (étude de la fonction correspondante).

Quant à l’enseignement-apprentissage proprement dit, l’enseignant et les élèves ne sont

pas en reste puisque pour le premier,

...l’histoire des mathématiques peut servir de thérapeutique contre une pédagogisation de

l’enseignement des mathématiques et contre le dogmatisme, car elle indique la portée

authentique des savoirs enseignés et leur offre un ensemble de moyens leur permettant de

mieux s’approprier et maîtriser leur savoir. Autrement dit, enseigner par les activités, ou

mieux par les problèmes, mérite d’être épaulé par une connaissance de l’histoire. (Barbin,

2006 ; 2010). Et «…pour les élèves, elle a préparé un terrain où les mathématiques cessent de

jouer le rôle de monstre froid qui normalise, juge et condamne pour être rétablies dans leur

statut d’activité culturelle indissociable des autres pratiques humaines. » (Barbin, 2006, parag.

2).

Apportons une dernière valeur ajoutée de l’histoire dans l’enseignement. La connaissance

historique permet à un enseignant, auquel un élève demande « à quoi cela sert ? », de ne pas

répondre « en maths, c’est comme ça qu’on fait » ou « vous le verrez plus tard » (Barbin,

2010, p. 82). Une situation qui pourtant n’est pas étrangère à nos collégiens ou lycéens.

Conscients des avantages que l’on peut tirer de l’implémentation de l’histoire des

mathématiques dans l’enseignement-apprentissage, le curriculum de formation des étudiants

du parcours mathématique niveau licence à l’Ecole normale supérieure d’Antananarivo

comporte une unité d’enseignement sur l’histoire des mathématiques. Ce qui rejoint le propos

de Barbin (2010) : « l’introduction d’une perspective historique dans l’enseignement

nécessite, qu’en amont, les enseignants reçoivent une formation. » p.84

I-1-2 Des apports de l’épistémologie

Selon Granger (1992),

8

…L’épistémologie a pour but de mettre en lumière la signification de l'œuvre

scientifique. C'est-à-dire d'expliciter des relations non immédiatement apparentes entre

concepts ; de discerner le rapport des connaissances parcellaires à des totalités potentielles,

peut-être même seulement virtuelles et irréalisables en fait, mais qui fournissent un moteur et

donnent un sens à la connaissance scientifique. La tâche propre de l'épistémologie est donc

herméneutique et historico- critique ; elle consiste à faire apparaître des organisations de

concepts, qu'elles soient achevées ou imparfaites, des difficultés, ou obstacles, ou

incohérences, des ouvertures, des points sensibles.

p. 40

Une étude épistémologique d’un concept ou d’une notion est donc nécessaire si l’on veut

s’en servir pour construire des situations d’apprentissage. En effet, une vue systémique et en

profondeur d’une notion permet selon Chevallard (1985) :

– de comprendre et d’interpréter les relations existantes ou qui pourraient exister au sein

de cette notion ou avec d’autres notions,

– d’interpréter ses évolutions successives,

–de bien comprendre ses fondements, le contexte dans lequel elle s’est constituée afin de

pouvoir mieux la décontextualiser puis la recontextualiser pendant le processus de

transposition didactique.

Des fois, il nous arrive d’assimiler épistémologie avec histoire mais comme a dit

Granger, «… leur visée est (donc) différente de celle de l'histoire dont le but limite est de

reproduire des événements concrets, singuliers… » p. 40.

Ainsi nous allons faire un survol de l’histoire des coniques afin de voir comment elles

s’étaient constituées, quelles étaient les divergences de vue tout au long de son évolution,

comment elles avaient évolué, quels étaient les grands tournants dès son origine jusqu’à

aujourd’hui, pourquoi on les conçoit comme ceci plutôt que cela ? Pourquoi on les enseigne

de telle manière mais pas autrement ? Tout un tas de questions que nous pouvons nous poser

afin de mieux voir ce qui est le mieux pour répondre à notre problématique concernant son

enseignement dès le collège.

I-2 Survol de l’histoire des coniques Les ouvrages sur lesquels nous nous appuyons dans ce survol de l’histoire des coniques

sont celui de :

9

Jana Trgalova : Étude historique et épistémologique des coniques et leur implémentation

informatique dans le logiciel Cabri-Géomètre, 1995 ;

Vincenzo Bongiovanni : Les caractérisations des coniques avec Cabri-géomètre en

formation continue des enseignants : étude d’une séquence d’activités et conception d’un

hyperdocument interactif, 2001 ;

Bernard Vitrac : Apollonius et la tradition des coniques, 2004.

Notre étude historique va se diviser en quatre époques, la première pendant la période

grecque suivie des coniques aux temps arabes. Ensuite, nous reprendrons les évolutions des

coniques dans les différentes géométries (analytique, projective et cinématique) à partir du

XVIIe

siècle. La dernière que nous appellerons les coniques d’aujourd’hui terminera cette

étude.

I-2-1 Les coniques pendant la période grecque.

Trois grands problèmes ont marqué et influencé le développement de la géométrie

grecque pendant au moins trois siècles (de 500 A.C. - 300 A.C) : la quadrature du cercle, la

trisection de l’angle et la duplication du cube. Dans la recherche de solution à ces problèmes,

des courbes et leur construction ont été inventées par les géomètres grecs qui ont alors classé

les problèmes de construction selon les outils nécessaires à leur résolution :

- les problèmes plans qui peuvent être résolus avec des droites et des cercles ;

- les problèmes solides (la duplication du cube et la trisection de l’angle) qui nécessitent

l’utilisation des sections coniques ;

- les problèmes linéaires dont la résolution fait appel à d’autres courbes.

Pour situer notre étude, nous allons faire référence au géomètre Apollonius de Perge

(262-190 av. J.-C.).

1) Avant Apollonius

1-1) Ménechme

L’apparition des coniques remonterait vers le 5è siècle avant notre ère. C’est dans

l’Académie, une école créée par le philosophe et mathématicien Platon, où l’on trouvait à

l’entrée l’inscription « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre », que Ménechme (380 -320, av. J.-

C.), un disciple de Platon, a introduit deux courbes nouvelles que nous appelons aujourd’hui

parabole et hyperbole équilatère lors de la résolution du problème de la duplication du cube

(Trgalova,1995).

10

La méthode avancée par Ménechme se base sur le problème de la construction de deux

moyennes proportionnelle x et y entre deux segments a et b7, c'est-à-dire la construction de x

et de y tels que l’on a l’égalité des rapports a : x = x : y = y : b.

Pour la duplication du cube, b = 2a et Ménechme a proposé deux solutions. La première

avec une parabole x² = ay et une hyperbole xy = ab =2a² ; la deuxième avec deux paraboles

x²= ay et y² = bx = 2ax. Dans les deux cas, nous avons x3= 2 a

3 c'est-à-dire le cube de côté x a

un volume double de celui du cube initial de côté a.

Nous ignorons comment Ménechme a pensé à faire couper un cône de révolution par un

plan pour obtenir ces deux courbes, ni comment, après avoir introduit les trois sections

coniques, il en a déduit leurs "symptômes" que l'on peut exprimer, en profitant de la notation

moderne, par les équations suivantes : xy = ab (hyperbole), y2 = xb (parabole). (Ibid.)

Vitrac (2009) rapporte que :

…si la manière dont Ménechme construisait ces courbes nous échappe, reste la fin du

témoignage de Pappus et ce qu'Eutocius reprend à Géminus de Rhodes. Dans chaque cas, il

s'agit d'opposer deux manières d'engendrer les coniques comme sections du cône, l'ancienne

et la nouvelle. Nos auteurs rapportent la première à Aristée dit l'ancien, la seconde à

Apollonius lui-même. Ces deux modes d'engendrement sont censés justifier deux façons de

désigner les courbes.

1-2) Aristée

Géminus faisait d'abord remarquer que les Anciens –les géomètres du temps de

Ménechme – définissent le cône comme la figure engendrée par la révolution d'un triangle

rectangle autour de l'un des côtés de son angle droit. Tous les cônes définis de cette manière

sont donc droits ou, pour le dire autrement, l'axe du cône est perpendiculaire au plan de sa

base. Ceci correspond effectivement à ce que l'on trouve dans les définitions du Livre XI

des Éléments d'Euclide qui distinguaient ensuite trois espèces de cônes (figure1) dits

respectivement "rectangle", "acutangle", "obtusangle" suivant que l’angle du cône est droit,

aigu ou obtus (Vitrac, 2009).

7 Problème attribué à Hippocrate (460 – 377 av. J.-C)

11

Figure 1 : Mode de génération des cônes avant Apollonius

Source : Vitrac, 2009, http://culturemath.ens.fr/content/apollonius-et-la-tradition-des-

coniques

Les sections des cônes n'étaient faites que par des plans perpendiculaires à une des

génératrices du cône. Ainsi la nature de la courbe section d'un cône par un tel plan, est

complètement déterminée par la nature du cône. Les trois coniques ainsi générées portaient

les noms suivants:

- oxytome - section plane d'un cône acutangle (ellipse),

- orthotome - section plane d'un cône rectangle (parabole),

- amblytome - section plane d'un cône obtusangle (hyperbole).

Pourquoi les géomètres grecs de cette époque, et Ménechme en premier, se sont-ils

bornés aux sections par des plans perpendiculaires à une des génératrices? La raison qui paraît

être la plus probable est que les géomètres cherchaient tout d'abord à prouver que la courbe

dont "l'équation", sous sa forme rhétorique, était donnée sous une des formes x²=ay ou xy=ab

pouvait toujours être obtenue comme une conique, c'est à dire une section plane d'un cône. Et

cette preuve est particulièrement simple si le plan coupant le cône est perpendiculaire à une

génératrice (Trgalova, 1995, chap. 1, p. 7).

Même si l’ellipse ne se trouve pas dans les travaux de Ménechme, on peut supposer qu’il

la connaissait car Eratosthène appelle les coniques triade ménechmienne (Bongiovanni,2001).

12

Si l'on en croit Géminus, Pappus et Eutocius, le géomètre Aristée définissait les coniques

comme les courbes engendrées par la section de chacun de ces trois sortes de cônes par un

plan mené perpendiculairement à une génératrice, par exemple AD. Appelons EF la trace de

ce plan perpendiculaire sur le plan ADC.

Figure 2: Coniques selon Aristée

Source : Vitrac, 2009

On voit immédiatement que :

• dans le cône rectangle, EF sera parallèle à AC (la section est une parabole);

• dans le cône obtusangle, EF s'écarte de AC – mais si on la prolongeait de l'autre côté de

AD, elle couperait CA prolongée au-delà de A – la section est une hyperbole.

• dans le cône acutangle, EF coupera AC – ou son prolongement – la section est une

ellipse.

La classification des problèmes en trois types (plans – solides – linéaires) menait à la

distinction des lieux géométriques plans (droites et cercles), solides (coniques) et linéaires

(autres courbes). L’œuvre "Lieux Solides" d'Aristée, vers 350 av. J.-C, traitait les coniques en

tant que lieux géométriques. La plupart des propriétés des coniques énoncées dans cette

œuvre sont formulées comme des théorèmes sur des lieux : si une propriété concernant un

point est vraie, alors ce point appartient à une conique. Cette œuvre n'était pas simplement

une collection de propositions transformées en termes de lieux; elle contenait des théorèmes

originaux, comme par exemple celui que l'on appelle aujourd'hui la propriété de foyer et de

directrice. (Trgalova, 1995)

1-3) Euclide

Euclide a consacré, vers 300 av. J.-C, deux œuvres aux coniques : Coniques en

quatre volumes et Lieux à la surface. Cette dernière est perdue, mais ses idées principales

nous sont parvenues grâce à Pappus et sa Collection, qui est un recueil des grandes œuvres

classiques de la géométrie grecque, enrichi de ses propres commentaires et compléments.

13

Euclide continue à utiliser les anciens noms des coniques et, ce qui est le plus intéressant, il

énonce la propriété du foyer et de la directrice des trois coniques (Trgalova, 1995) :

«Soit la droite AB donnée de position et soit le point ∆ donné dans le même plan. Menons

la droite ∆Г et la perpendiculaire ∆E, et que le rapport de ∆Г à ∆E soit donné. Je dis que le

point ∆ est lié à une section conique. » (Haeth, T., 1967, cité par Trgalova, 1995, Chap. I, p.9)

Figure 3 : Propriété foyer-directrice des coniques

Source : Bongiovanni, 2001, p. 37

Nous reconnaissons ici la directrice (AB), le foyer Г et l’excentricité ∆Г / ∆E

1-4) Archimède (287– 212 av. J.-C.)

Archimède, vers 250 av. J.-C., comme Euclide, a regardé les trois coniques "à

l'ancienne", c'est à dire comme sections de trois types de cône de révolution. Pourtant il est

cité par les historiens comme le premier à considérer un cône oblique. Dans son œuvre "Sur

les Conoïdes et Sphéroïdes", on trouve la preuve du fait que toute ellipse peut être considérée

comme une section d'un cône circulaire dont le sommet peut être choisi arbitrairement dans le

plan de symétrie de l'ellipse :

Étant donnés une ellipse et un segment de droite non perpendiculaire, issu du centre de

l'ellipse et situé dans le plan passant par l'un des diamètres et perpendiculaire au plan de

l'ellipse, il est possible de trouver un cône ayant pour sommet l'extrémité du segment de droite

érigé et tel que l'ellipse donnée soit située dans sa surface (Trgalova, 1995, Chap. I, p.10).

Archimède n’a pas considéré les deux branches de l’hyperbole come une seule

courbe. Ses caractérisations de l’ellipse et de l’hyperbole, en langage moderne, sont comme

suit :

– si AB = a est l'axe majeur de la conique, la perpendiculaire PQ = y d'un point P à

AB est appelée ordonnée, et les distances AQ = x et BQ = x1 des abscisses (figure 4) :

14

Figure 4 : Caractérisation de l’ellipse et de l’hyperbole par Archimède

Source : Trgalova, 1995

– Si x , 1x , et y sont les abscisses et l'ordonnée d'un autre point de la conique, son

"symptôme", c'est à dire la condition que doit vérifier tout point P de la courbe, est dans les

deux cas exprimée comme proportion : 1 1² / ² /y xx y xx , ou encore sous la forme : 1²y xx

(1). Dans le cas de l’ellipse 1x a x et pour l’hyperbole 1x a x , l’équation (1) devient

respectivement ² ( )y x a x et ² ( )y x a x pour l’ellipse et l’hyperbole.

2) Apollonius (262 av. J.-C – 190 av. J.-C)

L’ouvrage Les Coniques d'Apollonius (vers 210 av. J.-C), en huit volumes, fut reconnu

dès sa première parution comme une œuvre de grande importance. Comme a dit Vitrac

(2009), il suffit d'ouvrir le premier Livre des Coniques d'Apollonius pour comprendre que sa

perspective n'est pas la même, qu'il cherche à atteindre un très haut degré de généralité. Déjà

sa première définition introduit, non pas le cône, mais la surface conique, décrite de la

manière suivante :

Si, d'un certain point, l'on mène à une circonférence de cercle non située dans le même

plan que ce point, une droite prolongée de part et d'autre, et si, le point restant fixe, la droite

se trouve portée selon la circonférence jusqu'à ce qu'elle reprenne la position d'où elle avait

commencé de se mouvoir, j'appelle surface conique celle qui, décrite par la droite, est

composée de deux surfaces opposées par le sommet … (Vitrac, 2009).

La surface conique possède donc deux faces et pour toute courbe plane, Apollonius

définit ce qu’il appelle diamètre :

… une droite qui, menée à l'intérieur de la courbe, coupe en deux parties égales tous les

segments de droite menés à l'intérieur de la courbe parallèlement à une droite quelconque !

15

Ces parallèles sont elles-mêmes appelées droites menées de manière ordonnée (d'où nos

"ordonnées"). (Vitrac, 2009)

Remarquons d'abord que sa définition de la surface conique permet à Apollonius de

considérer non pas trois mais, à strictement parler, quatre sections coniques : la parabole,

l'ellipse, l'hyperbole et ce qu'il appelle « les sections opposées », autrement dit les deux

branches de l'hyperbole. Selon Vitrac (2009), il est le premier à le faire. Voilà la justification

des deux courbes ! Ces différentes sections vont être toutes engendrées par la section d'un

même cône, droit ou oblique. On peut aussi obtenir le cercle qui serait considéré comme une

cinquième sorte de conique.

Les coniques selon Apollonius se présentent donc comme dans la figure suivante (figure

5). On coupe un cône quelconque de sommet A ayant le cercle de diamètre BC comme base

par deux plans, l'un passant par l'axe du cône, comme ABC, l'autre coupant la génératrice AB

en F et la base du cône selon une droite DE, de telle manière qu'elle soit perpendiculaire au

diamètre BC ou à son prolongement. Le premier plan découpe un triangle ABC (on l'appellera

"triangle axial"), le second une section conique telle que DFE. Posons que l'intersection du

second plan avec le triangle ABC est la droite FG.

Figure 5 : Coniques selon Apollonius


…Apollonius montre que si l'on prend un point H quelconque sur la section DFE, et ce

quel que soit le cas de figure, et si on mène la parallèle à DE issue de H jusqu'au point K sur

la section, la droite FG bissecte la droite HK. Si le cône est droit, FG est même

perpendiculaire à HK (et DE), mais ce n'est pas nécessairement le cas si le cône est oblique (il

faut que le triangle axial choisi soit perpendiculaire à la base du cône). Quoi qu'il en soit, dans

16

tous les cas de figure, la droite FG est un diamètre de la section conique DFE pour des

ordonnées menées dans la direction de DE. Si elle est perpendiculaire à la direction des

ordonnées, Apollonius l'appelle axe de la section conique. … il parvient à caractériser les trois

sections à l'aide d'une opération appelée application d'une aire sur une droite donnée déjà

utilisée par Euclide et qui connaît trois variantes : l'application simple, celles avec excès ou

avec défaut d'une figure semblable à une figure donnée, généralement (mais pas toujours) un

carré. C'est à partir de ces noms, usuels en grec, de l'application ("parabolê" en grec), de

l'excès ("huperbolê") et du manque ("ellipsis") qu'Apollonius dériva sa nomenclature des

coniques. (Vitrac, 2009)

Regardons les trois cas de figure qui peuvent se présenter selon que la droite FG est

parallèle à AC, sécante avec elle ou avec son prolongement.

2-1) Cas où FG est parallèle à AC

La droite FM est perpendiculaire à FG et donnée en longueur de telle manière que l'on ait

FM : FA :: BC² : BA.AC. On l'appelle le paramètre de la section ou latus rectum. Apollonius

montre que, pour tout point H, on a HL² = FM.FL (figure 6). La section obtenue est une

parabole.

Figure 6 : Cas où FG parallèle à AC


2-2) Cas où FG est sécante avec AC

On mène AR parallèle à FG. FM est encore perpendiculaire à FG et donnée en longueur

de telle manière que l'on ait FP : FM :: AR² : BR.RC. On mène aussi LOQ parallèle à FM. PM

17

est prolongée jusqu'en Q. On complète le rectangle FNQL et on mène MO parallèle à FL

(figure 7). La section obtenue est une hyperbole.

Figure 7 : FG sécante avec AC


2-3) Cas où FG est sécante avec le prolongement de AC

On mène AR parallèle à FG. FM est encore perpendiculaire à FG et donnée en longueur

de telle manière que l'on ait FG : FM :: AR² : BR.RC. On joint PM et on mène LQN parallèle

à FM. On complète le rectangle FMNL. On mène QO parallèle à FL (figure 8). La section

obtenue est une ellipse.

Figure 8 : FG sécante avec le prolongement de AC


Si nous traduisons en langage moderne la caractérisation des coniques par

Apollonius, nous avons les égalités suivantes :

18

L’origine des noms des trois courbes coniques revient à Apollonius qui, en utilisant la

méthode pythagoricienne de l’application des aires (Euclide, 1819), était arrivé aux propriétés

fondamentales des sections coniques exprimées comme des égalités entre aires:

y²=px pour la parabole (parabole signifie application, donc idée de comparaison)

y²=px+p/ax² pour l’hyperbole (hyperbole signifie dépassement, une idée de jeter au-

dessus)

y²=px-p/ax² pour l’antobole (ou ellipse qui signifie défaillant, une idée d’insuffisance).

Dans ces égalités, y désigne l’ordonnée d’un point de la section conique (y = LH), x son

abscisse (x = FL), p est la mesure d’un segment qu’Apollonius appelait « côté droit » ou

« latus rectum » (p = FM) et a la longueur du grand axe ou de l’axe transverse (a = FP).

2-4) Les asymptotes chez Apollonius

Apollonius met en évidence dans le livre II une autre caractérisation de l’hyperbole :

celle qui est liée aux asymptotes. Il définit dans la proposition I du livre II les asymptotes

comme suit :

« Si une droite est tangente au sommet d’une hyperbole, et si l’on sépare cette droite, de

part et d’autre du diamètre, une droite égale à celle dont le carré équivaut au quart de la

figure, les droites qui vont du centre de la section aux extrémités ainsi déterminées de la

tangente ne rencontreront pas la section »( Bongiovanni, 2001, p. 59).

Le terme figure désigne dans le traité d’Apollonius le rectangle qui a pour côté l’axe

transverse et le côté droit ou latus rectum (figure 9).

Figure 9 : Asymptote d'une hyperbole chez Apollonius

Source : Bongiovanni, p. 59

19

Une autre caractérisation aussi est donnée dans la proposition XII du livre 2.

« Si, d’un point d’une section, l’on mène deux droites sous des angles quelconques

sur les asymptotes, et si, d’un point de la section, l’on même des parallèles à ces droites, le

rectangle délimité sous ces parallèles serait équivalent au rectangle délimité sous les droites

auxquelles les parallèles ont été menées » (figure 10), (Ibid. p. 59). Un cas particulier de cette

proposition se présente dans le cas où les droites sont parallèles aux asymptotes (figure 11).

Figure 10 : Hyperbole et asymptote chez Apollonius


Figure 11: Propriété de l’hyperbole, les droites sont parallèles aux asymptotes


2-5) Les foyers chez Apollonius

Apollonius, dans la proposition 45 du troisième livre, présente pour la première fois

la notion de points issus de l’application de l’ellipse et de l’hyperbole qui seront nommés

foyers depuis Kepler (1604).

« Si dans l’hyperbole, l’ellipse, la circonférence de cercle, ou dans les sections opposées,

l’on mène des droites à angles droits aux extrémités de l’axe ; si l’on applique, de part et

d’autre suivant l’axe, un rectangle équivalent à la quatrième partie de la figure, rectangle

20

augmenté d’une figure carrée dans l’hyperbole et dans les sections opposées, mais diminuée

d’une figure carrée dans l’ellipse, et si l’on mène une droite, tangente à la section, qui

rencontre les droites perpendiculaires, les droites menées des points de rencontre aux points

issus de l’application forment des angles droits en ces points que nous venons de dire »

(Bongiovanni, 2001, p. 60)

Figure 12 : Foyer d'une hyperbole chez Apollonius


Figure 13: Foyer d'une ellipse chez Apollonius


Selon Apollonius, le terme figure désigne le rectangle ayant pour côtés l’axe

transverse et le côté droit (hyperbole) ou le grand axe et le côté droit (ellipse), donc le

rectangle RMNS. Sur les figures, [CD] désigne le second diamètre de l’hyperbole ou le petit

axe de l’ellipse.

Si on note RO = a, CO = b et CF1 = c, nous avons c² = a² + b² pour l’hyperbole et c² = a² -

b² pour l’ellipse. Ces relations nous permet de placer les foyers connaissant a et b.

21

2-5) Les propriétés optiques de l’ellipse et de l’hyperbole

Apollonius, dans la proposition XLVIII du livre III, présente des propriétés optiques

de l’ellipse et de l’hyperbole. La propriété fondamentale du point de vue optique est l’égalité

des angles formés en un point P de la section par les droites PF1 et PF2 avec la tangente en P.

« Les droites menées du point de contact aux points issus de l’application font des angles

égaux avec la tangente » (figure 14). Proposition 48 du troisième livre III

(Bongiovanni, p.61).

Figure 14: Propriétés optiques d'une ellipse et d'une hyperbole


2-6) Les propriétés bifocales de l’ellipse et de l’hyperbole.

La proposition LII du livre III démontre que la somme des distances de chaque point

d’une ellipse aux deux foyers est constante et égale à la longueur du grand axe. Elle s’énonce

comme suit :

« Si dans l’ellipse, on applique de part et d’autre, suivant le grand axe, un rectangle

équivalent à la quatrième partie de la figure, diminué d’une figure carrée, et si, des points

issus de l’application, des droites viennent se briser sur la ligne, elles seront égales à l’axe »

(Figure 15) (Bongiovanni, p. 62).

La proposition LI du livre III démontre que la différence des distances de chaque point

d’une hyperbole aux deux foyers est constante et égale à la longueur de l’axe transverse. Elle

s’énonce comme suit :

« Si l’on applique, de chaque côté suivant l’axe d’une hyperbole ou de sections opposées,

un rectangle équivalent à la quatrième partie de la figure et qui est augmenté d’une figure

carrée, et si, à partir des points issus de l’application de ce rectangle, des droites viennent se

22

briser sur l’une ou sur l’autre des sections, la plus grande droite excède la plus petite de

l’axe » (Figure 16) (Bongiovanni, p. 62).

PF1+PF2 = RS

Figure 15: Propriété bifocale de l'ellipse


PF2 – PF1 = RS

Figure 16: Propriété bifocale de l'hyperbole


2-7) Les propriétés de la sous tangente et de la sous normale

Aussi bien pour démontrer que dans le domaine de l’astronomie et de l’optique, ces

propriétés ont joué de rôles importants. Apollonius démontre dans la proposition XXXV du

livre I que le sommet de la parabole est le milieu de la sous tangente.

…Lorsqu’une droite rencontrant un diamètre à l’extérieur de la section est tangente à une

parabole, la droite, amenée de manière ordonnée du point de contact sur le diamètre,

découpera sur le diamètre, à partir du sommet de la section, une droite égale à celle qui est

située entre le sommet et la tangente ; et nulle droite ne tombera dans l’espace compris entre

la tangente et la section. (Figure 17) (Bongiovanni, p. 63)

23

Figure 17 : Propriété de la sous tangente d’une parabole


Pour la sous normale d’une parabole, Apollonius démontre dans les propositions 13 et 27

du livre V que la sous normale est la moitié du côté droit ou du latus rectum (Figure 18).

Figure 18 : Propriété de la sous normale d'une parabole


Pour conclure sur Apollonius, rappelons que son traité les Coniques, aux dires de Pappus,

contenaient 487 théorèmes sans ceux du livre VIII qui est perdu.

…Pourtant Apollonius ne prétendait pas réunir la totalité des connaissances de l'époque

sur le sujet. Les propriétés focales des sections coniques ne sont guère exploitées dans son

traité, propriétés fondamentales pour l'optique et la gnomonique. Celles de la parabole en sont

même totalement absentes, de même que la notion de directrice. Apollonius circonscrit

d'ailleurs clairement son objectif : fournir un exposé (synthétique) des propriétés des coniques

susceptibles d'être mobilisées dans la résolution des problèmes géométriques, notamment les

problèmes de lieu, et dans la détermination de leurs conditions de possibilité. Ceci fut

parfaitement reconnu par ses successeurs qui inclurent son traité en bonne place dans le

corpus dit du Lieu analysé. (Vitrac, 2009).

Voyons l’évolution de l’histoire des coniques après Apollonius.

24

3) Après Apollonius

Nous allons citer quelques mathématiciens qui ont contribué à étudier les coniques et

leurs propriétés.

3-1) La propriété foyer-directrice de la parabole chez Dioclès.

Il semble que Dioclès (environ 190 av. J.-C.) fut un contemporain d’Apollonius.

L’ouvrage de Dioclès les miroirs ardents est cité par Eutocius dans son commentaire sur La

sphère et le cylindre d’Archimède. Cet ouvrage contient seize propositions et utilise la

propriété foyer-directrice pour résoudre des problèmes de réflexion des rayons lumineux.

« Au cours de l’étude de ce miroir, les mathématiciens ont dégagé la propriété foyer-directrice

de la parabole et construit, à l’aide de la géométrie, le gabarit du miroir parabolique »

(Rashed, 2000, p. 16, cité par Bongiovanni, 2001, p. 64).

Cependant, les propositions dans son œuvre montrent que Dioclès a construit la

parabole par point en utilisant la propriété foyer-directrice mais que la parabole n’était pas

encore définie par la propriété foyer-directrice. (Bongiovanni, p. 66)

3-2) Les commentaires de Pappus sur les coniques

Trgalova (1995) a dit,

…Avec Archimède et Apollonius, la géométrie grecque a atteint son point culminant.

Après cette époque, nous voulons mentionner un grand personnage dont l'œuvre est très

importante pour l'histoire des coniques - Pappus d'Alexandrie (fin du IIIe siècle de

notre ère). La "Synagoge" (traduit en français sous le nom de Collection), œuvre que

Pappus a écrite avec le désir de faire revivre la géométrie grecque, en couvre pratiquement

tout le champ. Pour ce qui concerne les coniques, ce travail est intéressant parce qu'il contient

certains aspects concernant le sujet qui n'étaient pas traités avant lui. Pappus propose par

exemple la solution du problème de construction d'une conique passant par cinq points. …

Pappus propose également deux solutions du problème de la trisection d'un angle à l'ide d'une

hyperbole : la première fait intervenir l'intersection d'une hyperbole avec un cercle, l'autre

utilise la propriété de foyer et de directrice d'une hyperbole. Cette dernière est

particulièrement intéressante parce qu'elle est un des rares passages dans des œuvres

mathématiques grecques où cette propriété des coniques apparaît. (Chap. I, p. 21)

L’ouvrage La Collection mathématique de Pappus est originairement composé de huit

livres dont le premier est perdu. Le livre VII, particulièrement, contient des commentaires sur

25

les coniques et propose dans les propositions 235 à 238, la caractérisation monofocale des

coniques.

3-3) Les coniques d’Anthémius de Tralles

L’œuvre d’Anthémius sur les miroirs ardents, traduit par M. Dupuy se trouve dans les

Mémoires de l’Académie des Inscriptions et Belles-Lettres, de l’année 1777. La traduction

faite par Rashed (2000, p. 285, cité par Bongiovanni, 2001, p.71) commence par la question :

« Comment devrions-nous amener un rayon solaire fixe à ne pas quitter une certaine position

quand on nous le demande, à tout moment et en toute saison ? »

Anthémius répond à cette question par l’étude du miroir ellipsoidal.

La démarche d’Anthémius s’ordonne selon trois étapes successives. Il commence par

construire la courbe par points, puis montre qu’il s’agit d’une ellipse, et enfin trace cette

ellipse par un mouvement continu, selon le fameux procédé du jardinier. (Rashed, 2000, p.

285, cité par Bongiovanni, 2001, p.71)

On sait en effet qu’Anthémius de Tralles a tracé l’ellipse par le procédé du jardinier.

(Rashed, 2003, p. 10). C’est l’unique trace de l’antiquité où le tracé continu d’une des

coniques est connu. Anthémius a utilisé la propriété optique de l’ellipse pour le faire.

Si après Pappus (4è après J.C.), les études sur les sections coniques n’ont pas beaucoup

avancé chez les Grecs pendant presque 1200 ans, (Coolidge, 1968, p.26), il n’en est pas de

même chez les Arabes.

I-2-2 Les coniques au temps des arabes

L’étude des sections coniques chez les Arabes a été entreprise et développée pour

répondre à des besoins dans les domaines comme l’optique, la statique et l’astronomie.

1) Les coniques chez les Banû Mûsâ

Les frères Banû Mûsâ (Muhammad, ca. 873 ; Ahmed et al-Hassan, 9e s.) se sont

intéressés très tôt à l’étude des sections coniques et auraient écrit un traité dont le titre est :

Traité de la figure arrondie et allongée (Bouzari, 2015, p.43). Ils commandèrent et dirigèrent

la traduction du traité des Coniques d’Apollonius et, pour en faciliter la compréhension, ils y

ajoutèrent un chapitre de lemmes et propositions intitulé Préliminaires. La version arabe des

Coniques fut alors constituée et, par le biais de nombreux commentaires de ce traité, la théorie

des sections coniques occupa une place centrale dans les mathématiques arabes. Des

applications des courbes coniques furent trouvées comme la construction de l’ennéagone

26

régulier et la théorie géométrique des équations algébriques de degré inférieur ou égal à trois

par Al-Khayyâm (m. 1131) qui, par les tracés de coniques, détermine le nombre des racines

réelles et les évalue approximativement (Bouzari, 2015, p.46). Les courbes coniques

intervinrent également dans des problèmes pratiques d’optique (miroirs ardents et lentilles) et

d’astronomie appliquée (astrolabe, cadrans solaires) (ibid., p.47).

2) Les coniques chez Ibrahim Sinan

Le terme conique désignait chez les Arabes les objets mathématiques définis dans

l’ouvrage d’Apollonius : section d’un cône par un plan. « Les propositions les plus

importantes des Coniques étaient bien connues des géomètres arabes, principalement les

propriétés optiques. Le mathématicien Ibrahim Sinan (909 - 946) présente une œuvre Livre

sur la construction des trois sections où il traite des méthodes pour générer les trois

sections. » (Bongiovanni, 2001, p. 73)

Nous donnons ici la génération de la parabole par leur méthode.

Les droites AG et BE sont perpendiculaires. AB est un segment fixe. On considère les

points H, D, Z sur la droite BG. Construire le cercle de diamètre AH. La droite BE intercepte

le cercle au point T. Par les points T et H on trace les parallèles respectivement aux droites BE

et AG. Elles se rencontrent au point K. On considère ensuite les cercles de diamètres AD, AZ

et de la même façon on obtient les points L, M,…Ibrahim Sinan montre que les points B, K,

L, M sont sur la parabole de sommet B, d’axe BG et de côté droit AB. (Figure 19)

Figure 19 : Construction d'une parabole par Ibrahim Sinan


La génération de l’hyperbole est présentée de la manière suivante :

On considère un demi-cercle de diamètre AB. On considère les points H, D, G du demi-

cercle. Par chaque point H, G,… du demi-cercle on considère les tangentes qui interceptent la

27

droite AB aux points I, T, Z,… On trace des droites parallèles par ces points selon une

direction quelconque. On considère ensuite les points M, L, K,… de façon que IM =IH,

TL = TD, ZK = ZG … Les points M, L, K … appartiennent à une hyperbole. (Figure 20)

Figure 20 : Construction d'une hyperbole Ibrahim Sinan


3) Les coniques chez Al-Quhi et Ibn Shal

La lecture de plusieurs travaux d’Al-Quhi met en évidence au Xe siècle certains aspects

de la place qu’occupaient les sections coniques dans la géométrie. Parmi les problèmes

géométriques résolu au moyen des coniques, « on distingue ceux où il procède par

l’intersection de deux courbes, et ceux pour lesquels la solution est donnée directement par les

propriétés ou les caractéristiques d’une conique. » (Abgrall, 1993, p.22, cité par Bogiovanni,

2001, p. 75)

Un problème où Al Quhi emploi l’intersection d’une hyperbole équilatère et d’une

parabole consiste à construire un segment de sphère égal en volume à un segment de sphère

donné et ayant la même surface qu’un autre segment de sphère donné. Dans le traité intitulé

Le livre des centres des cercles tangents, situés sur des lignes, par la méthode de l’analyse,

Al-Quhi détermine le lieu des centres des cercles vérifiant certaines conditions imposées. Par

exemple, il s’intéresse aux centres des cercles tangents à une droite donnée et passant par un

point donné. Donc la parabole de directrice la droite donnée et de foyer le point.

De même, il s’intéresse aux centres des cercles passant par un point donné, et tangent à

un cercle donné. Le lieu est une conique à centre, hyperbole ou ellipse selon que le point soit

à l’extérieur ou à l’intérieur du cercle. Le tracé continu des sections coniques était une

préoccupation d’Al Quhi et conjointement avec al-Sijzî, ils ont inventé le compas parfait qui

permet de le faire. Rashed (2003) rapporte que :

Trois mathématiciens contemporains parmi les plus prestigieux de la fin du Xe siècle

inventent de nouveaux instruments pour le tracé continu des courbes coniques et élaborent les

moyens théoriques indispensables pour expliquer et contrôler leur fonctionnement. Ibn Sahl,

28

al-Quhi et al-Sijzi ont écrit chacun sur l’un ou l’autre instrument pour tracer ces courbes.

Sont-ils les seuls? Rien n’est moins sûr. (p. 9)

Il ajoute même en distinguant clairement les travaux d’al-Quhi et d’Ibn Sahl : « …. tandis

qu’Ibn Sahl conçoit un appareil mécanique fondé sur les propriétés des foyers et de la

directrice pour tracer les trois sections coniques seulement, al-Quhi invente le compas parfait

pour tracer celles-ci, plus la droite et le cercle. » (Ibid. p. 13)

4) Les coniques chez Al-Khayyam

…Dans la seconde moitié du XIe siècle, le Traité d’Algèbre d’Al-Khayyam donne

l’occasion de voir l’usage systématique des coniques dans la résolution des équations du

troisième degré. Contrairement à ses prédécesseurs qui étudiaient des cas particuliers de

l’équation cubique, Al-Khayyam élabore une théorie géométrique des équations de degré

inférieur ou égal à trois. (Bongiovanni, 2001, p. 80)

Si l’équation est de la forme x3+mx = n avec m>0 et n>0, la solution positive est

l’intersection des courbes x2 = ry (parabole) et x

2 +y

2 = sx (cercle).

Si l’équation est de la forme x3 = mx +n avec m>0 et n>0, la solution positive est

l’intersection des courbes x2 = ry (parabole) et x(x+s) = y

2 (hyperbole).

Si l’équation est du type x3 + mx +nx = p, Al-Khayyam utilise un cercle et une hyperbole

et pour x3 = mx

2 +nx + p, deux hyperboles sont nécessaires.

Nous pouvons résumer les éléments constituants de la théorie des équations à l’époque

d’Al-Khayyam : construction géométrique des racines des équations de degré inférieur ou

égal à trois au moyen des coniques et résolution numérique de ces équations.

5) Les coniques en Occident musulman

Pour ce qui est de l’Occident musulman, deux ouvrages sur les coniques sont connus. Le

premier, d’Ibn al-Samh (m.1035), intitulé Traité sur les cylindres et les cônes est composé de

deux parties dont la première comporte les différentes définitions : sphère et ses différents

éléments ; cylindre et ses éléments en distinguant le cylindre droit et oblique, aussi bien à base

circulaire qu’elliptique. Dans cette première partie se trouvent deux définitions du cône, celle

d’Euclide et celle d’Apollonius. La seconde partie est constituée de vingt-et-une propositions

qui sont toutes consacrées à l’étude du cylindre et de ses sections planes. Dans une des

propositions, Ibn al-Samh montre que l’ellipse obtenue par section d’un cylindre par un plan

non parallèle à la base peut être identifiée à la figure obtenue par la rotation du sommet d’un

triangle dont la base est fixe et la somme des deux autres côtés est constante (ibid., p.51).

29

Le deuxième ouvrage, le Livre de l’accomplissement, est attribué au roi de Saragosse

al Mu’taman Ibn Hûd (m. 1085). Un ouvrage comportant quatre-cent-trente-quatre

propositions, dont cinquante traitent des sections coniques, et qui était conçu pour compléter

les écrits de base grecs en géométrie et en astronomie (ibid., p.52).

I-2-3 Les coniques à partir du XVIIe siècle

Chez les géomètres grecs, Archimède et surtout Apollonius, on voit intervenir un

calcul portant sur deux variables en vue de caractériser des réalités géométriques et d’en

rétablir des propriétés. Un tel calcul est développé systématiquement pour l'étude des sections

coniques et on peut le considérer comme germe de la notion de coordonnées d'un point et

d'équation d'une courbe qui apportera un changement considérable dans la conception même

de la géométrie, avec la naissance de la géométrie analytique. (Trgalova, 1995, p. 22)

1) La géométrie analytique

La géométrie grecque est bâtie sur des figures, le raisonnement s’appuie sur des

grandeurs et des formes réelles qu’il est possible de dessiner. Le système de coordonnées

qu'Apollonius introduit est alors lié à la figure sur laquelle il raisonne pour en déduire les

relations entre ses éléments. Il ne s'agit que « d'une simple traduction algébrique de la

relation entre les éléments d'une figure et un problème géométrique spécifique. [ . .. ] Les

relations qui peuvent être établies par cette méthode correspondent strictement aux relations

internes entre les éléments d'une figure donnée.» (Piaget 83, pp. 126-127, cité par Trgalova,

1995, Chap. I, p. 22)

Le progrès réalisé par la géométrie analytique réside en ce que, au lieu de limiter un tel

calcul à l'étude d'une figure associée à un problème géométrique donné, elle offre «des

moyens généraux et uniformes» qui permettent d'arriver «à des résultats dont la généralité est

pour ainsi dire sans bornes» grâce à l'efficacité du calcul algébrique. (Poncelet, 1866, cité par

Trgalova, 1995, 23)

L'invention de la géométrie analytique est attribuée à Descartes et Fermat. Le principe est

de remplacer des courbes par des équations. L’étude des propriétés algébriques de ces

équations remplace alors l’étude des propriétés des courbes.

1-1) Pierre de Fermat (1607 - 1665)

Fermat était certainement en possession de sa géométrie analytique déjà vers 1629, mais

ses travaux à ce sujet n'ont été publiés qu'après sa mort, en 1679, dans un recueil de mémoires

intitulé "Varia Opera ". Dans son "Ad locos planas et solidos isagoge" ("Introduction aux

30

lieux plans et solides"), Fermat propose sa théorie qu'il considère particulièrement bien

adaptée à l'étude des lieux. Il affirme que toute équation algébrique à deux inconnues

correspond à une courbe géométrique unique considérée comme un lieu, et cherche à montrer

en particulier que les équations à deux inconnues du premier et second degré correspondent

aux courbes connues comme lieux plans et solides, c'est à dire une paire de droites, le cercle

et les trois sections coniques.

Fermat définit ainsi la notion de lieu : lorsque dans une équation deux grandeurs

inconnues apparaissent, on a un lieu, l'extrémité de l'une des grandeurs inconnues décrivant

une droite ou une courbe. Il reprend la classification des lieux des anciens : quand l'extrémité

d'une grandeur inconnue qui décrit le lieu suit une droite ou un cercle, le lieu est appelé plan,

quand elle décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est dit solide. (Trgalova,

1995, p. 23)

Fermat classe les équations à deux inconnues en sept groupes, dont chacun est

représenté par son équation caractéristique et où les membres de chaque classe représentent

un type de lieu (droite, cercle, parabole, hyperbole, ellipse). Les sept équations

caractéristiques traitées par Fermat sont les suivantes (en symbolisme moderne) (Sean 73, p.

83, cité par Trgalova, p.23) :

(I) ax=by droite

(II) xy =b2 hyperbole

(III) x2 ± xy =ay

2 droite(s)

(IV) x2 = ay parabole

(V) b2 – x² = y² cercle

(VI) b2 – x

2 = ay² ellipse

(VII) b2 +x

2 = ay² hyperbole

Remarquons que Fermat distingue deux cas pour les droites : une droite (équations du

premier degré) et une paire de droites (équations du second degré - cas dégénéré d'une

hyperbole). En effet, aucune transformation algébrique conservant les propriétés géométriques

des figures ne permet de passer d'un cas à l'autre; ces deux types de lieux appartiennent donc à

deux classes différentes. Pour la même raison, les hyperboles sont classées dans deux groupes

selon leur équation : un groupe contient les équations de l'hyperbole rapportées aux

asymptotes, l'autre celles rapportées aux axes majeur et mineur.

31

Dans la méthode de Fermat, l'idée de transformation des équations algébriques est

fondamentale. Elle permet de passer d'une courbe à une autre, toute en conservant les

propriétés géométriques de la courbe de départ. C'est cet aspect qui distingue la géométrie

analytique de la géométrie grecque.

Fermat conclut que ce raisonnement lui permet de réduire toutes les équations du second

degré à une des équations caractéristiques et il montre ainsi que toute équation quadratique

représente un lieu solide, c'est à dire une conique, éventuellement dégénérée.

(Smith 59, pp. 389-396, cité par Trgalova, p.25)

1-2) René Descartes (1596-1650)

René Descartes, dans sa Géométrie (1637) présente une nouvelle méthode d'analyse de la

nature et des propriétés des courbes basée sur les transformations algébriques des équations

qui leurs sont associées. Mais les sections coniques ne sont pas au centre de son intérêt et il

n'en fait pas d'étude particulière.

1-3) John Wallis (1616-1703)

Dans son traité De Sectionibus Conicis (1665), le premier traité analytique des sections

coniques, Wallis présente une nouvelle méthode pour étudier les sections coniques soit

comme des sections planes d'un cône circulaire (géométrie grecque), soit comme les courbes

caractérisées par une équation du second degré (Fermat). (Trgalova, 1995, p.26)

Il reprochait aux anciens de trop compliquer les choses, de vouloir seulement se vanter et

d’être admiré mais pas de se faire comprendre dans leurs travaux. C'est pourquoi il essaye de

traiter les coniques analytiquement comme des courbes planes, sans faire référence au cône

dont elles sont des sections. Il justifie cette idée en affirmant que :

…Il n'est plus nécessaire de regarder une parabole, une ellipse, une hyperbole

uniquement comme des sections d'un cône, comme il n'est pas nécessaire de regarder un

cercle comme une section d'un cône par un plan parallèle à la base, ni un triangle comme une

section par un plan passant par le sommet. (Traduit de l'anglais, Scott 81, p. 17, cité par

Trgalova, 1995, p.26)

Une particularité de Wallis est la perception d’un cône non plus comme un solide de

révolution mais une figure constituée d'un nombre infini de cercles ou de cylindres fins dont

les diamètres diminuent régulièrement. Il donne les équations des coniques et emploie les

principes d’analyse développés par Fermat et Descartes pour étudier les propriétés des

courbes.

32

1-4) Leonhard Euler (1707-1783)

Leonhard Euler reprend le traitement purement analytique des coniques, sans référence

aux sections du cône. Il a mis en évidence les invariants dans la forme quadratique des

courbes du second degré : Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0 où A, B, C, D, E, F sont des réels

tels que (A, B, C) ≠ (0, 0, 0). Il établit les propriétés communes des coniques et fait une étude

détaillée des trois coniques propres d’équation générale : y² = a + bx + c x².

Si c = 0, la conique est une parabole.

Si c < 0, la conique est une ellipse.

Si c > 0, la conique est une hyperbole.

2) La géométrie projective

Précédemment, nous avons vu que par la méthode analytique, on peut étudier

simultanément les coniques. La naissance de la géométrie projective vient du souci d’obtenir,

par la géométrie pure, le même degré de généralité que par la géométrie analytique. Elle se

base sur la perspective qui s’est développée depuis le XVe siècle mais jusqu’au XVII

e, la

portée des méthodes de perspective restera relativement restreinte et ne dépassera pas le cadre

des tableaux d'artistes (Trgalova, 1995, p. 28)

2-1) Johannes Kepler (1571-1630)

Johann Kepler fait usage de ces méthodes de projection dans la formulation de ses lois du

mouvement des planètes. Il donne aux trajectoires planétaires la forme d'une ellipse dont un

des foyers est occupé par le Soleil. Dans l'étude des coniques, Kepler a été amené à considérer

les points à l'infini. Il part de deux droites sécantes vues comme une hyperbole dégénérée dont

les deux foyers sont confondus avec l'intersection des deux droites; il sépare progressivement

les deux foyers et obtient une famille d'hyperboles. Lorsque l'un des foyers atteint l'infini ,

l'une des branches de l'hyperbole disparaît et il reste une parabole. Si maintenant le foyer

passe derrière l'infini et revient de l'autre côté, on obtient une famille d'ellipses qui, lorsque

les deux foyers coïncident à nouveau, atteignent la forme d'un cercle. (Borceux 86, p.

149, cité par Tralova, 1995, p. 29)

2-2) Girard Desargues (1591 - 1662)

Il était attiré par toutes les techniques d'art et de métiers touchant à la perspective. Il

observait souvent dans ces techniques une méconnaissance de principes rationnels et une

complexité des règles que se transmettaient les ouvriers. Poussé par le désir de rationaliser les

33

diverses techniques graphiques qui jouaient à l'époque un rôle si important (la perspective, le

tracé des épures de coupe des pierres et la construction des cadrans solaires), Desargues avait

réussi à discerner clairement les principes géométriques qui servaient de fondements à ces

différentes techniques, et qui allaient constituer la base de sa géométrie projective. Ses

méthodes de la projection centrale ou cylindrique sont inspirées par la pratique et ont été

conçues pour être appliquées avant d'être utilisées à des fins purement géométriques. .

Desargues donne une première formalisation mathématique à la théorie des projections, dont

Kepler se servait de manière plutôt empirique et intuitive.

Girard Desargues, dans son Brouillon project d’une atteinte aux evennemens des

rencontres d’un cone avec un plan, énonça le théorème d’involution et, avec la théorie des

polaires, fonda la géométrie projective (Coolidge, 1968, p.32) que Jean-Victor Poncelet

(1788-1867) réinventa au début du XIXe siècle.

2-3) Blaise Pascal (1623-1662)

Pascal définit six espèces de sections coniques suivant les différentes façons de la

rencontre d'un plan avec une surface conique : «le point, la ligne droite, l'angle rectiligne

[deux droites]. l'antobole [ellipse], la parabole, l'hyperbole». (Thienard ,94, p.20, cité par

Trgalova, 1995, p.32)

Il reprend la même idée de considérer chacune des coniques comme une image en

perspective du cercle, en se référant sur les projections optiques :

Il est donc clair que, si l'œil est au sommet du cône, et si ce qu'on présente est la

circonférence du cercle qui est la base du cône, et si le tableau est le plan rencontrant de part

et d'autre la surface du cône, alors la section conique qui en est engendrée par ce plan même

dans la surface conique, qu'elle soit un point, une droite, un angle, une antobole, une parabole

ou une hyperbole, sera l'image de la circonférence du cercle.

Pascal comprit toute l'importance et l'intérêt des méthodes projectives inventées et

employées par Desargues. Dans son Essay pour les coniques publié en 1640, il continue

l'étude des coniques dans la ligne directe des conceptions de Desargues et énonce, entre

autres, le célèbre théorème sur son hexagramme mystique qui s’énonce comme suit dans le

langage moderne :

« Dans un hexagone NKPQVO dont les sommets appartiennent à une section conique, les

couples de côtés opposés (NK, QV), (KP,VO) et (PQ,ON) ont des points d'intersection S, M,

Ω qui sont alignés ». (Figure 21)

34

Figure 21 : Hexagramme mystique de Pascal

Source : Trgalova, 1995, p. 33

Ce fameux théorème de Pascal permet de tracer d’autres points d’une conique

connaissant les cinq points qui la définisse.

2-4) Philippe de La Hire (1640-1718)

De la Hire fut le digne continuateur de Desargues et de Pascal qui développa les idées et

conceptions introduites dans le Brouillon projet et qui publia plusieurs traités sur les coniques.

Il a obtenu les propriétés des coniques à partir de celles du cercle. Il a exploité au maximum

les propriétés d’invariance de la division harmonique et a développé les notions de pôle et

polaires, d’homologie, de lieu orthoptique. Son ouvrage Sectiones Conicae, édité en 1685, est

l’une de ses œuvres les plus importantes (Coolidge, 1968, p. 42).

2-5) Complément

L’étude des sections coniques a fait émerger certains théorèmes à caractère projectif,

comme l’invariance du rapport croix ou birapport, et le théorème d’involution. Les

mathématiciens Isaac Newton (1643-1727), Colin Mac Laurin (1698-1746), Charles-Julien

Brianchon (1783-1864), Jean-Victor Poncelet (1788-1867), Michel Chasles (1793-1880),

Jacob Steiner (1796-1863), Karl Georg Christian Von Staudt (1798-1867), sont ceux qui ont

constitué la grande école projective. (Coolidge, 1968, p.45-66).

3) Géométrie cinématique

La géométrie synthétique des Grecs, la géométrie analytique et la géométrie projective

traitent la théorie des sections coniques de point de vue statique, soit comme courbes planes

obtenues en coupant un cône de révolution par un plan, soit comme courbes représentatives

des équations du second degré.

35

L'idée du mouvement dans la géométrie n'est pas nouvelle, elle se rencontre dans la

géométrie ancienne où certaines courbes se révèlent impossibles à construire autrement

que par des combinaisons de mouvements. La spirale d'Archimède ou la quadratrice de

Dinostrate ont été définies mécaniquement comme des trajectoires de points en mouvement

uniforme.

La mathématisation du mouvement au XVIIe siècle par Galilée en particulier conduit au

développement de la mécanique. Dans ce cadre, l'étude de la notion de vitesse conduisait au

problème de la détermination des tangentes aux courbes considérées comme trajectoires des

points mobiles. (Bkouche 92, p. 127, cité par Trgalova, 1995,p. 39)

Plus tard, au début du XIXe siècle, Ampère commence à distinguer, à l'intérieur de la

mécanique, une étude du mouvement indépendamment des forces qui le produisent; cette

partie de la mécanique est désormais appelée cinématique. Elle s'appuie sur la géométrie tout

au long du XIXe siècle, le lien entre cinématique et géométrie se développera. Cela conduira à

la mise en place d'une étude purement géométrique du mouvement qui fera l'objet de la

géométrie cinématique. (Bkouche 92, p. 128, cité par Trgalova, 1995,p. 39)

c-1) Gilles Personne de Roberval (1602-1675)

Pour Roberval, la composition de mouvement est à l’origine de la méthode de

construction des tangentes à une courbe quelconque :

Règle générale. Par les propriétés spécifiques de la ligne courbe (qui vous seront

données), examinez les divers mouvements qu'a le point qui la décrit où vous voulez mener la

touchante : de tous ces mouvements composés en un seul, tirez la ligne de direction du

mouvement composé, vous aurez la touchante de la ligne courbe.

(Chasles 89, p. 58, cité par Trgalova, 1995, p. 39)

Par cette méthode, Roberval obtient par exemple que la direction de la tangente à la

parabole de foyer A au point E est celle de la bissectrice de l'angle AEH, la droite (HE) étant

perpendiculaire à la directrice.

c-2) Jean de Witt (1625-1672)

Jean de Witt (1625-1672) publie, en 1658, des Elementa curvarum linearum traitant

de la génération des sections coniques par des points en mouvement, des pantographes. Sa

méthode d’approche des coniques comme lieux de points en mouvement, qui est vraiment

nouvelle, l’a distingué des autres mathématiciens de son époque (Coolidge, 1968, p.36 -

p.38).

36

c-3) Michel Chasles (1793-1880)

Michel Chasles dans son "Aperçu historique" développe ses conceptions du mouvement

en géométrie en faisant intervenir le centre instantané de rotation :

Quand une figure plane éprouve un mouvement infiniment périt dans .l'on plan, il existe

toujours un point qui, pendant ce mouvement, reste fixe ; Les droites menées par les différents

points de la figure, perpendiculairement aux trajectoires qu'ils décrivent pendant le

mouvement infiniment petit, passent toutes par ce point fixe.

(Chasles 89, p. 548, cité par Trgalova, 1995, p. 41)

I-2-4 Les coniques d’aujourd’hui

Depuis Leonhard Euler, l’empreinte des coniques comme courbes du second degré

reste chez beaucoup de ceux qui étudient ou enseignent les mathématiques. Pour la plupart de

nos contemporains donc, les coniques sont des équations algébriques qui peuvent se mettre

sous la forme : Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0 où A, B, C, D, E, F sont des réels tels que

(A, B, C) ≠ (0, 0, 0).

L’étude de la nature de telles courbes, avec l’avancée de l’algèbre linéaire, se résument

selon le schéma suivant :

Le signe du discriminant de la forme quadratique Ax²+2Bxy+Cy² est celui de

∆ = AC – B². Et selon le signe de ∆, on obtient la nature de la courbe.

— Si ∆ = AC – B² > 0, la courbe est une ellipse, cercle, réduit à un point ou vide.

— Si ∆ = AC – B² < 0, la courbe est une hyperbole ou la réunion de deux droites

sécantes.

— Si ∆ = AC – B² = 0, la courbe est une parabole, deux droites parallèles, une double

droite ou vide.

Remarquons que si l’équation de la courbe est de la forme ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0, le

signe du discriminant sera celui de ∆ = ac – (b/2)² = (4ac -b²)/4 et la discussion dépendra alors

du signe de b²-4ac dont les élèves sont familières. Dans ce cas,

— Si b² – 4ac < 0, la courbe est une ellipse, cercle, réduit à un point ou VIDE.

— Si b² – 4ac > 0, la courbe est une hyperbole ou la réunion de deux droites sécantes.

— Si b² – 4ac = 0, la courbe est une parabole, deux droites parallèles, une double droite

ou vide.

37

La nature de la courbe du second degré est donc facilement reconnaissable mais pour

trouver les équations réduites, on doit se ramener à une réduction d’une forme quadratique par

calcul matriciel ou par changement de repère pour arriver à une équation du type :

1) Réduction de Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0

Comme nous l’avons dit, la théorie sur les formes quadratiques nous permet d’affirmer

qu’il existe un repère orthonormé (O, , )u v tel que la forme quadratique Ax²+2Bxy+Cy²

s’écrive : ax² + by² + k et que par suite, l’équation Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0 peut

s’écrire dans ce repère orthonormé :

ax² +by² + cx + dy + e = 0 (1) où (a ; b) ≠ (0 ; 0) et dont la nature se discute facilement.

— Si a = 0 ou b = 0, la courbe est : soit une parabole respectivement d’axe parallèle à

( , )O u ou ( ; )O v ; soit la réunion de deux droites parallèles, éventuellement confondues ; soit

l’ensemble vide.

— Si ab > 0, la courbe est une ellipse ou l’ensemble vide.

— Si ab < 0, la courbe est une hyperbole ou la réunion de deux droites.

2) Équations réduites et éléments caractéristiques des coniques propres

2-1) Parabole

Tableau 1: Récapitulatif des caractéristiques des paraboles

Caractéristiques Parabole ² 2y px Parabole ² 2x py

Axe focal ( , )O u ( ; )O v

Foyer F ( p/2 ; 0 ) F ( 0 ; p/2 )

Directrice x = – p/2 y = – p/2

Sommet O(0 ; 0) O (0 ; 0)

Tangente en 0 0( ; )x y 0 0( )yy p x x 0 0( )xx p y y

Équation paramétrique ²

2

tx

p

y t

; t ² 2y px ²

2

x t

ty

p

;

t

Source : Auteur

Nous avons (Figure 22) la courbe d’une parabole d’équation ² 2y px où le paramètre p

désigne la distance entre le foyer F et le point K de la directrice (d). Ici, l’origine du repère est

le sommet O. La courbe de la parabole ² 2x py par rotation de 90° antihoraire autour du

point O de la courbe de ² 2y px .

38

Figure 22 : Parabole de directrice (d) de foyer F

Source ; Auteur

2-2) Ellipse

Tableau 2: Récapitulatif des caractéristiques des ellipses

Source : Auteur

Caractéristiqu

es Équation réduite :

² ²1

² ²

x y

a b ; a b Équation réduite :

² ²1

² ²

x y

a b ; a b

Grand axe ( , )O u ( ; )O v

Foyers F1 ( – c ; 0 ) ; F2 ( c ; 0 ) F1 (0;– c ) ; F2 ( 0 ; c )

Directrices x = – a²/c ; x = a²/c où c²=a²-b² y= – b²/c ; y = b²/c où c²=b²-a²

Sommets A’(–a ; 0) ; A(a ; 0) ; B’(0;–b ) ; B(0 ; b) A’(0 ; –a) ; A(0 ; a) ; B’(–b ;0) ; B(a ; 0)

Excentricité ce

a

ce

b

Tangente en

0 0( ; )x y

0 0 1² ²

xx yy

a b 0 0 1

² ²

xx yy

a b

Équation

paramétrique

cos

sin

x a t

y b t

; t

cos

sin

x a t

y b t

; t

39

Figure 23 : Ellipse avec ses directrices et les cercles principal et secondaire (a > b)

Source : Auteur

Les cercles de centre O et de rayons a et b sont respectivement le cercle principal et le

cercle secondaire ; FF’= 2c est la distance focale.

2-3) Hyperbole

Tableau 3 : Récapitulatif des éléments caractéristiques de l'hyperbole

Caractéristiques Équation réduite :

² ²1

² ²

x y

a b ; a b Équation réduite :

² ²1

² ²

x y

a b a b

Axe transverse ( , )O u ( ; )O v

Foyers F1 ( – c ; 0 ) ; F2 ( c ; 0 ) F1 ( 0; – c ) ; F2 ( 0 ; c )

Directrices x = – a²/c ; x = a²/c où c²=a²+b² y = – b²/c ; y = ba²/c où c²=a²+b²

Sommets A’(–a ; 0) ; A(a ; 0) A’(0;–b ) ; A(0 ; b)

Excentricité ce

a

ce

b

Tangente en

0 0( ; )x y

0 0 1² ²

xx yy

a b

0 0 1² ²

xx yy

a b

Équation

paramétrique

cos

sin

x a ht

y b ht

; t

sin

cos

x a ht

y b ht

; t

Asymptotes by x

a ;

by x

a

by x

a ;

by x

a

Source : Auteur

40

Figure 24 : Hyperbole avec ses asymptotes, directrices et cercle principal (a > b)

Source : Auteur

Le cercle centré en O et de rayon a est le cercle principal, 2a est la longueur de l’axe

transverse, FF’= 2c est la distance focale.

I -3 Epistémologie des coniques Nous avons vu que le besoin de résoudre le problème de la duplication du cube était à

l’origine des coniques. Le problème était ramené à la recherche de deux moyennes

proportionnelles entre deux segments donnés dont la solution trouvée par Ménechme faisait

intervenir la parabole et l’hyperbole équilatère. De la période grecque à nos jours, la notion de

conique a subit des évolutions au fil de l’avancée des recherches.

I-3-1. Les coniques comme section plane d’un cône

La genèse des coniques est la section plane d’un cône de révolution à base circulaire.

Au début, avant Apollonius, le plan de section est perpendiculaire à une génératrice du cône

et, suivant que l’angle du cône est aigu, droit ou obtus, la section obtenue s’appelle

respectivement oxytome, orthotome et amblytome.

Du temps d’Apollonius, la section ne se fait plus suivant un plan perpendiculaire à

une génératrice et le cône n’est pas obligatoirement un cône de révolution. Apollonius a ainsi

introduit les notions de surface conique et de diamètre. Par l’application des aires, et il a

appelé les sections obtenues par antobole (l’ellipse) car il y a une idée d’application

défaillante, parabole car il y a application et hyperbole car il y a une idée d’application en

excès. Il a aussi introduit les notions de coordonnées et arrivé à mettre en relation l’ordonnée

et les abscisses sous la forme : y² = px (parabole) ; y² = px – p/a x² (ellipse) ; y² = px + p/a x²

(hyperbole).

41

I-3-2. Les coniques comme section plane d’un cylindre

La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à l’axe est un

cercle. La section d’un cylindre de révolution par un plan ni perpendiculaire à l’axe de

révolution, ni parallèle à l’axe de révolution est une ellipse. Et si nous notons l’angle formé

par le plan et l’axe du cylindre de rayon r, l’ellipse a pour longueur du grand axe r/cos α. Le

théorème de Dandelin permet de placer les deux foyers comme étant les points où les deux

sphères inscrites dans le cylindre sont tangentes au plan de section.

En effet, inscrivons dans le cylindre deux sphères tangentes au plan de coupe et situées de

part et d’autre de celui-ci. Nous avons : F et F’ les points de contact de ces sphères avec le

plan de section ; et C et C’ leur cercle de contact avec le cylindre. Ainsi, C et C’ sont

parallèles. Notons P un point de la section et S et S’ les points de la génératrice du cylindre

qui se trouvent respectivement sur C et C’.

Nous avons PF PS et PF PS car ce sont des segments issus d’un même point

et tangents à une même sphère. Par suite PF PF PS PS SS , donc P est sur une

ellipse de foyer F et F’ et de grand axe de longueur SS . (Figure 25)

42

Figure 25: Ellipse obtenue par section d'un cylindre

Source : CNDP Erpent , 2014, p. 5

Définissons les coniques comme lieux de points dans les parties qui suivent.

I-3-3 Définition par foyer-directrice

Soit (d) une droite du plan, F un point non situé sur (d) et e un nombre strictement positif.

L’ensemble Г des points M du plan vérifiant ( , )

( , )

d M F MFe

d M H MH , où H est la projection

orthogonale de M sur la droite (d) est la conique de directrice (d), de foyer F et d’excentricité

e. La droite perpendiculaire à (d) et passant par F s’appelle axe focal de la conique.

*Si e = 1, la conique est une parabole.

*Si e < 1, la conique est une ellipse.

*Si e > 1, la conique est une hyperbole

Propriété 1: Pour toute conique Г, l’axe focal est un axe de symétrie.

En effet, si M et H son projeté orthogonal sur (d), notons son symétrique par

rapport à l’axe focal ( . Comme (d) et sont perpendiculaires, le symétrique de H par

43

rapport à est aussi le projeté orthogonal de sur (d). Comme la symétrie orthogonale

conserve les longueurs, nous avons et . D’où , et

.

Propriété 2 : Pour une parabole de directrice (d), de foyer F et d’axe focal ( , le milieu S

du segment [F K] où K est le projeté orthogonal de F sur (d) est sur la parabole, c’est le

sommet de la parabole.

En effet, le milieu S de [F K] est tel que SF = SK, d’où et S appartient à la

parabole.

Propriété 3 : L’ellipse et l’hyperbole coupent l’axe focal en deux points appelés sommets

principaux.

En effet, pour un point M de l’ellipse ou de l’hyperbole vérifie , donc MF =

eMH , soit MF² - e²MH² =0 qui est équivalent à ( ) =0.

Si M est sur l’axe focal, son projeté sur la directrice (d) sera K et l’équation devient :

( ) =0. Notons A et A’ respectivement le barycentre du système

(F, 1) ; (K, e) et (F, 1), (K, - e) l’équation est équivalente à . Comme M,

A et A’ sont alignés alors M = A ou M = A’. Les points A et A’ sont donc les sommets de

l’ellipse et de l’hyperbole.

Le milieu O du segment [ AA’] est appelé centre de l’ellipse ou de l’hyperbole. La

droite passant par O et perpendiculaire à l’axe focal ( est aussi un axe de symétrie. C’est le

petit axe pour l’ellipse et l’axe non transverse pour l’hyperbole.

Propriété 4 : L’ellipse coupe le petit axe en deux points B et B’ appelés sommets

secondaires. L’axe non transverse ne coupe pas l’hyperbole.

I-3-4 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole

1) L’ellipse

Définition. Etant donné deux points F et F’ du plan. On appelle ellipse de foyer F et F’

l’ensemble des points M du plan tels que MF+MF’= 2a, où a est un nombre strictement positif

tel que FF’< 2a (figure 26).

44

Figure 26: Ellipse de foyers F et F '

Source : Auteur

Remarques : Si FF’= 2a l’ensemble des points M vérifiant MF+MF’= 2a est le segment

[ FF’ ] ; si F=F’ l’ensemble des points est le cercle de centre F et de rayon a ; si FF’ > 2a

l’ensemble des points M est vide.

Tangentes à une ellipse: Propriété1 : Soit une ellipse de foyers F et F’. En tout point M de

l’ellipse, la tangente en M est la bissectrice extérieure de l’angle FMF’(figure 27).

Figure 27: Tangente à une ellipse comme bissectrice intérieure

Source : Auteur

Propriété 2 : Soit une ellipse de foyers F et de directrice (d). En tout point M de l’ellipse,

la tangente (T) en M passe par le point N de la droite (d) tel que le triangle MFN est rectangle

en F .(Figure 28)

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ellipse_tangente.svg

45

Figure 28: Propriété de la tangente à une ellipse

Source : Auteur

Propriété 3 : Soit une ellipse de centre O, dont les longueurs du grand axe et petits axe

sont respectivement 2a et 2b. L‘ensemble des points M du plan tels que les tangentes à

l’ellipse issues de M forment un angle droit est le cercle de centre O et de rayon .

Ce cercle est appelé cercle orthoptique de l’ellipse.

Figure 29: Cercle orthoptique d'une ellipse

Source : Mathcurve, https://www.mathcurve.com/courbes2d/orthoptic/orthoptic.shtml

46

2) L’hyperbole

Définition. Etant donné deux points F et F’ du plan. On appelle hyperbole de foyer F et

F’ l’ensemble des points M du plan tels que où a est un nombre

strictement positif tel que FF’>2a.

Figure 30: Définition bifocale de l'hyperbole

Source : Auteur

Tangente à une hyperbole :

Source : Auteur

Propriété1 : Soit une hyperbole de

foyers F et F’. En tout point M de

l’hyperbole, la tangente en M est

la bissectrice intérieure de l’angle

FMF’.

Figure 31 : Tangente à une

hyperbole comme bissectrice

intérieure

Propriété 2 :

Soit (t) une tangente en M à une

hyperbole. Le symétrique P de

F par rapport à (t) est sur le

cercle directeur de l’hyperbole

associé à F’ ( cercle (C) de

centre F’ et de rayon 2a = AA’

Figure 32: Symétrique du foyer

F par rapport à une tangente (t)

en un point M de l’hyperbole.

47

Figure 33: Propriété de la tangente à une hyperbole

Source : Auteur

I-3-5 Les coniques comme lieu de centre de cercle

1) Parabole :

La parabole est le lieu de centre de cercle passant par un point fixe F et tangent à une

droite (d) qui ne passe pas par F. Le pont F s’appelle le foyer de la parabole et (d) la droite

directrice.(Figure 34)

Figure 34: Parabole comme lieu de centre de cercle tangent à une droite et passant par un

point fixe.

Source : Auteur

Propriété 3 : Soit une

hyperbole de foyer F et de

directrice (d). En tout point M

de l’hyperbole, la tangente en

M passe par le point N de la

droite (d) tel que le triangle

MFN est rectangle en F

48

2) Ellipse :

Soient F et F’ deux points et (C) le cercle de centre F’ et de rayon 2a (2a >FF’).

L’ellipse est le lieu de centre de cercle passant par le point fixe F et tangent à (C). Les

points Fet F’ sont les foyers et (C) le cercle directeur. (Figure 35)

Figure 35: Génération d'une ellipse par cercle directeur

Source : Auteur

3) Hyperbole :

Soient F et F’ deux points et (C) le cercle de centre F’ et de rayon 2a (2a < FF’).

L’hyperbole est le lieu de centre de cercle passant par le point fixe F et tangent à (C). Les

points Fet F’ sont les foyers et (C) le cercle directeur. (Figure 36)

Figure 36: Génération hyperbole par cercle directeur

Source : Auteur

Cercle directeur

49

Remarque : Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (le foyer)

et d’un cercle (C) ou d'une droite (d) (le cercle directeur ou la directrice). Ce sont donc des

courbes d’équidistance du foyer et du cercle directeur ou de la directrice, ou encore des

isotèles du cercle directeur ou de la directrice par rapport au foyer. En d’autres termes, les

lieux du centre d’un cercle variable qui passe par un point fixe et qui doit être tangent à un

cercle ou à une droite.

Ainsi la parabole est l’isotèle de sa directrice par rapport à son foyer. L’ellipse et

l’hyperbole sont les isotèles du cercle directeur centré en un foyer, par rapport à l’autre foyer.

I-3-6 Les coniques comme enveloppe de droites

Définition : L'antipodaire ou l’orthocaustique d'une courbe par rapport à O est

l'enveloppe des perpendiculaires en M aux droites (OM) quand M décrit . La courbe est la

podaire

Propriété 1 : La parabole est l’antipodaire d’une droite qui est la tangente au sommet par

rapport à son foyer F = O (Figure 37).

Figure 37: Parabole comme antipodaire d’une droite

Source : Ferréol et Mandonnet (2009)

Propriété 2 : La parabole de foyer O et de directrice (d) est aussi définie comme les

enveloppes de la médiatrice d'un segment joignant O à un point de (d).

Avec le logiciel géogebra, nous avons construit les médiatrices de douze segments dont

une extrémité est le point O et l’autre extrémité sur la droite (d). (Figure 38)

http://www.mathcurve.com/courbes2d/enveloppe/enveloppe.shtml

mailto:[email protected]

50

Figure 38: Parabole comme enveloppe médiatrices

Source : Auteur

Propriété 3 : L’ellipse de centre O et de grand axe de longueur 2a est l’antipodaire de son

cercle principal (C) - le cercle de centre O et de rayon a- par rapport à un point F à l’intérieur

du cercle (C ).

L’enveloppe de la droite (d) perpendiculaire en A au segment [FA] (Figure 39) est

l’ellipse de cercle principal (C) (Figure 40).

Figure 39: Ellipse comme antipodaire de son cercle principal

Source : Auteur

51

Figure 40: Ellipse de centre O et de foyer F et F’ comme trace de la droite (d)

Source : Auteur

Propriété 4 : L’hyperbole de centre O et d’axe focal de longueur 2a est l’antipodaire de

son cercle principal (C) - le cercle de centre O et de rayon a- par rapport à un point F à

l’extérieur du cercle (C).

L’enveloppe de la droite (d) perpendiculaire en A au segment [FA] (Figure 41) est

l’hyperbole de cercle principal (C) (Figure 42).

Figure 41: Hyperbole comme antipodaire de son cercle principal

Source : Auteur

52

Figure 42: Hyperbole de centre O et de foyer F et F’ comme trace de la droite (d)

Source : Auteur

Propriété 5 : L’ellipse de centre O et de grand axe de longueur 2a est aussi définie comme

les enveloppes de la médiatrice d'un segment joignant un point de son cercle directeur (C’ )-

le cercle de centre O et de rayon 2a- et un point F, distinct de O, à l’intérieur de (C’) .Les

points F et O sont les foyers.

L’enveloppe de la droite (d) médiatrice du segment [FA] (Figure 43) est l’ellipse de

cercle principal directeur(C’) de foyer F et O. (Figure 44).

Figure 43: Ellipse comme enveloppes de la médiatrice (d) de [FA]

Source : Auteur

53

Figure 44: Ellipse de foyers F et O comme trace de la droite (d)

Source : Auteur

Propriété 6 : L’hyperbole de centre O et d’axe focal de longueur 2a est aussi définie

comme les enveloppes de la médiatrice (d) (figure 45) d'un segment joignant un point de son

cercle directeur (C’)- le cercle de centre O et de rayon 2a- et un point F à l’extérieur de (C’).

Les points F et O sont les foyers. (Figure 46)

Figure 45: Hyperbole comme enveloppes de la médiatrice (d) de [FA]

Source : Auteur

54

Figure 46: Hyperbole de foyer F et O comme trace de la droite (d)

Source : Auteur

Définition : La courbe orthotomique d'une courbe plane par rapport à un point F est le

lieu des symétriques de F par rapport aux tangentes à la courbe .

Remarque 1: Les coniques sont donc des courbes dont l’orthotomique est une droite

(directrice de la parabole) ou un cercle (cercle directeur de l’ellipse et de l’hyperbole).

Remarque 2 : La courbe orthotomique de la courbe est donc l’image de la podaire de

par l’homothétie de centre F et de rapport 2.

I-3-7 Les coniques comme image de cercle

Définition 1 : Soient (d) et (d’) deux droites sécantes du plan et un réel non nul. Une

affinité d’axe ou de base (d) parallèlement à (d’) et de rapport est l’application affine qui à

tout point M du plan associe le point M’ tel que , où H est le point d’intersection

de (d) et de la droite parallèle à (d’) passant par M.

Si les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires, on dit que l’on a une affinité est

orthogonale.

55

3

4HM HM

Figure 47: Affinité d'axe (d) de rapport 3

4

Source : Auteur

Ellipse : L’ellipse ayant respectivement pour longueur de grand et petit axe 2a et 2b, est

l’image de son cercle principal par l’affinité orthogonale de base le grand axe et de rapport

b

a .

Figure 48 : Ellipse comme image de son cercle principal par l’affinité de rapport b

a

Source : Auteur

56

Remarque : L’ellipse aussi est l’image de son cercle secondaire par l’affinité orthogonale

de base le petit axe et de rapport a

b .

Proposition : Le projeté orthogonal d’un cercle sur un plan est une ellipse.

En effet, soit C un cercle de l’espace de centre O, de rayon R contenu dans un plan Q .

Notons P le plan passant par O, sécant au plan Q suivant la droite D = (AA’) et qui fait un

angle , aigu ou droit, avec Q . Soit ( , , , )O i j k un repère orthonormé de l’espace où i est un

vecteur unitaire sur D et j un vecteur de P. Notons u un vecteur unitaire de Q , orthogonal à

i . Le repère ( , , )O i u est un repère orthonormé du plan Q et dans ce repère un point M(t) de

C vérifie ( ) cos sinOM t R ti R tu avec 0 2t et dans la base orthonormée ( , , )i j k , le

vecteur ur

a pour coordonnées (0,cos ,sin ) . Par suite, les coordonnées de M(t) dans le

repère ( , , , )O i j k sont (Rcost,Rsintcos , sin sin )R t et son projeté m(t) sur P a pour

coordonnées ( , , )x y z = (Rcost,Rsintcos ,0) soit ² ²

1² ² cos ²

x y

R R qui est l’équation réduite

de l’ellipse de grand axe ( , )O i de longueur 2R et de petit axe ( , )O j de longueur 2Rcos .

Signalons que si les plans P et Q sont perpendiculaires, 2

et le projeté du cercle C

est le segment AA de longueur 2R.

Figure 49: Ellipse comme projection d'un cercle

Source : Decauwert, 2011, p. 15 https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/co/co.pdf

Définition 2 : Soient (d) une droite et S un point non situé sur (d). Une homologie

harmonique de centre S et d’axe (d) est la transformation affine qui, à tout point M du plan,

https://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/co/co.pdf

57

associe le point M’ tel que M, M’, S et le point M0, intersection de (SM) avec (d), sont en

division harmonique ; ou M et M’ soient conjugués harmoniques de S et M0.

Hyperbole : Une hyperbole de foyer F, de directrice (d) et d'excentricité e est l'image du

cercle de centre F et de rayon eh (où h est la distance entre le foyer et la directrice) par

l'homologie harmonique de centre F et d'axe (d1) image de (d) dans l'homothétie de centre F et

de rapport 2.

Une hyperbole équilatère est l'image de son cercle principal par une homologie

harmonique de centre un des sommets et d'axe (d1) passant par l'autre sommet et

perpendiculaire à l'axe principal de l'hyperbole.

Cas général : L'image d'un cercle (C) par une homologie harmonique peut être une

hyperbole, une parabole ou une ellipse. Pour déterminer la nature de la conique, on considère

l'image ( ) de l'axe (d) par l'homothétie de centre O - centre de l'homologie - et de rapport

1/2.

Trois cas se présentent :

1er

cas : ( ) coupe le cercle (C) en deux points, alors l’image du cercle est une

hyperbole.

Figure 50: Hyperbole comme image du cercle (C) par homologie

Source : Guillerault, 1996,

http://www.cabri.net/abracadabri/Coniques/Guillerault/HomologieH.html


58

2 ème cas : ( ) coupe le cercle en un point, alors l’image du cercle est une parabole.

Figure 51: Parabole comme image du cercle (C) par homologie

Source : Guillerault, 1996

3 ème cas : ( ) ne coupe pas le cercle, alors l’image du cercle est une ellipse.

Figure 52 : Ellipse comme image de cercle par homologie

Source : Guillerault, 1996

59

I-3-8. Les coniques comme courbes du second degré

De la définition foyer-directrice-excentricité des coniques Г comme ensemble des

points M du plan vérifiant ( , )

( , )

d M F MFe

d M H MH , où H est la projection orthogonale de M sur

la droite (d), directrice, F le foyer et e l’excentricité.

*Si e = 1, la conique est une parabole.

*Si e < 1, la conique est une ellipse.

*Si e > 1, la conique est une hyperbole.

Dans un repère orthonormé bien choisi, nous obtenons les équations réduites des

coniques propres (Cf. I-2-4 b). Et réciproquement, toute courbe du second degré en x et y de

la forme Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F = 0 où (A, B, C) ≠ (0 ; 0 ; 0) sont des coniques –

éventuellement dégénérées (Cf. I-2-4 a). Ainsi, toutes coniques sont des courbes du second

degré et étudier les caractéristiques de la courbe est équivalente à étudier celles de la conique.

On peut donc voir des coniques sans voir des cônes ou faire des manipulations d’objet

physique.

60

Dans ce chapitre I, nous pouvons dire que le survol historique et épistémologique nous a

permis de mieux comprendre les sources et les idées majeures qui sous-tendent des notions

sur les coniques que les mathématiciens ont développées dans le passé. Même si les coniques

datent de plusieurs siècles, ses applications restent plus que réelles à notre ère dans divers

domaines comme l’architecture, l’optique, l’enseignement …, et elles servent aussi de support

à diverses recherches spatiales et autres.

Nous avons vu que les coniques peuvent se voir sur plusieurs facettes, elles peuvent être

vue comme des courbes du plan, mais aussi comme objet de l’espace en tant que section plane

de cône. Dans notre étude, nous allons rester dans ces perspectives pour l’introduction des

coniques et pour pouvoir l’enseigner tout au long du cursus scolaire secondaire.

Comme l’enseignement-apprentissage des coniques dès le collège est notre principal

objectif, pour une approche pragmatique, des outils nécessaires pour générer les courbes ou

des matériels à manipuler pour voir des formes coniques sont indispensables. Cependant,

Barbin (2018) nous met en garde que « c’est l’enseignement qui donnera son sens à

l’instrument et non l’instrument qui donnera le sien à l’enseignement ». Si on ne comprend

pas la genèse d’un instrument, il risque alors d’aliéner son utilisateur. C’est la raison qui nous

pousse dans le chapitre suivant à inventorier des outils et matériels – de l’espace ou du plan –

qui permettent de voir ou faire voir les coniques et de bien comprendre leur fondement afin de

les maîtriser et qu’ils soient efficaces et efficients.

61

CHAPITRE II : Des outils pour voir et introduire les coniques

Dans ce chapitre, nous allons voir et inventorier des manières pour présenter et pour

introduire les coniques selon les définitions que l’on adopte. Nous allons donc donner des

justifications aux propriétés énoncées ou aux outils proposés. En effet, une bonne

connaissance des outils proposés ainsi que leur justification pourront servir de supports pour

proposer des situations d’apprentissage selon les intitulés du programme qui doivent être

abordés, réinvestis ou consolidés. En outre, le niveau en géométrie des enseignants sera

rehaussé, leurs connaissances réactivées car les différentes justifications feront appel à

diverses notions géométriques. Quant aux élèves, l’image qu’ils se font des mathématiques

subira certainement un changement : des mathématiques où l’on peut manipuler, des

réflexions et démonstrations qui s’appuieront sur des figures et sur des objets palpables. Et de

par les efforts sollicités pour la justification des méthodes de raisonnement et du bien-fondé

des outils, ils développeront rigueur et esprit critique.

II-1 Des outils dans l’espace L’outil dont nous avons besoin est donc un cône et un plan. En tant qu’enseignant, nous

pouvons demander aux élèves de faire le patron d’un cône et de le construire. La question qui

se pose est, comment sectionner le cône, sachant que le plier suivant deux génératrices n’est

pas la bonne démarche puisque sectionner un cône (c'est-à-dire un solide de l’espace) n’est

pas la même chose que sectionner un triangle (c'est-à-dire une figure du plan) ? Nous avons

pensé contourner le problème en façonnant un cône avec un moule et du plâtre ou des papiers

journaux réduit en pâte mais la dureté du produit obtenu a rendu très difficile la section, même

en utilisant une scie à métaux.

II-1-1 Présentation imagée

Nous pouvons représenter le cône par une figure ainsi que le plan de section : on

obtient alors les trois cônes non dégénérés suivant l’inclinaison de ce plan comme nous

l’avons vu dans la première partie de notre recherche. Lorsque le plan coupe deux

génératrices la section est une ellipse (figure 53), s’il est parallèle à une génératrice la section

est une parabole (figure 54). La courbe hyperbole est obtenue quand le plan de section est

parallèle à deux génératrices (figure 55).

Nous pouvons même voir les coniques dégénérées en faisant passer le plan de section par

le sommet du cône. Si le plan ne passe que par le sommet, la section se réduit à un seul point

qui est le sommet du cône (ellipse dégénérée). Si le plan passe par le sommet et est parallèle à

62

une génératrice, la conique se réduit à une droite (parabole dégénérée). Si le plan passe par le

sommet et coupe deux génératrices, la section est la réunion de deux droites sécantes au

sommet (hyperbole dégénérée).

Figure 53 : Ellipse comme section plane de cône

Figure 54 : Parabole comme section plane de cône

Source : Les coniques - maths et tiques,

https://www.maths-et-iques.fr/index.php/detentes/les-coniques

Figure 55: Section plane parallèlement à deux génératrices

Source : Les coniques - maths et tiques

Comme nous l’avons souligné précédemment il est difficile de matérialiser la section

d’un cône avec des objets concrets. Donc cette présentation imagée trouve mieux sa place

dans l’étape semi-abstraite du modèle de Singapour.

63

II-1-2 Présentation par un cône de lumière.

Une autre façon de voir et de faire voir les coniques est l’utilisation de la lumière

projetée par une lampe à abat-jour sur un mur qui joue le rôle du plan de section. Lorsque les

génératrices du cône de lumière rencontrent le mur (figure 56), la trace est une ellipse. Quand

une génératrice est parallèle au mur (figure 57), la trace obtenue est une parabole. Si des

génératrices du cône ne rencontrent pas le mur (figures 58 et 59), alors la trace est une

hyperbole.

Figure 56: Trace de la lumière sur un mur (les génératrices rencontrent le mur)


Figure 57: Trace de la lumière sur le mur (une génératrice est parallèle au mur)


64

Figure 58: Trace de la lumière sur un mur lorsque des génératrices du cône ne rencontrent

pas le mur.


Figure 59: Trace de la lumière sur un mur lorsque des génératrices du cône ne rencontrent

pas le mur.

Source : Auteur

Cette représentation est facilement réalisable et établit un rapport étroit avec la physique.

La photo que nous avons prise montre que la situation peut se rencontrer dans le vécu.

II-1-3 Présentation par un tas de sable

Normalement lorsqu’on verse du sable sur la terre, le tas obtenu est un cône. Avec du

sable, un panneau et une vitre, nous pouvons voir et faire voir les trois coniques non

dégénérées.

65

1) Pour une ellipse

Nous pouvons visualiser une ellipse en versant le tas de sable sur le panneau

préalablement incliné qui joue le rôle du plan de section (figure 60).

Figure 60 : Trace d’une ellipse par écoulement d’un tas de sable sur un plan incliné.

Source : Les coniques à la plage - Micmaths,

https://www.youtube.com/watch?v=eFPhYYKCyFc

Une autre façon de faire voir l’ellipse avec du tas de sable est de percer le panneau. La

trace laissée par le sable versé au-dessus du trou, après écoulement, est normalement une

ellipse (figure 61).

Figure 61: Trace d’une ellipse laissée par l’écoulement normal d’un tas de sable à travers

un trou.

Source : Les coniques à la plage - Micmaths

2) Pour une parabole

En ce qui concerne la parabole, par écoulement d’un tas de sable près du bord du

panneau, la partie manquante du cône laisse voir une parabole (figure 62).

66

Figure 62: Trace d’une parabole par écoulement normal d’un tas de sable au bord du

précipice d’un plan.


3) Pour une hyperbole

En retenant à l’aide d’une vitre le tas de sable que l’on verse près du bord du panneau

le contour du sable retenu est une branche d’hyperbole (figure 63).

Figure 63: Trace d’une branche d’hyperbole par écoulement normal d’un tas de sable

retenu par une vitre.


Cette représentation par un tas de sables est intéressante surtout pour les établissements

implantés dans les régions côtières. Quant à son usage en classe, le fait de ramasser les tas de

sable à la fin de chaque représentation est peu commode.

II-1-4 Voir une ellipse à l’aide d’un liquide dans un verre cylindrique ou

conique

Une manière de faire voir les ellipses (éventuellement les cercles) est d’utiliser un

verre cylindrique ou conique et y mettre un liquide. Si l’on maintient le verre verticalement, la

section représentée par la surface du liquide est un cercle. Lorsqu’on incline le verre, la

section est une ellipse (Figures 64).

67

Figure 64: Surface plane d’un liquide selon la position du verre.

Source : Accromath, 2013,

http://accromath.uqam.ca/accro/wp-content/uploads/2013/05/Dandelin-figure1.png

L’intérêt de faire cette représentation est facilité par le fait que tout récipient cylindrique

peut convenir. Mais elle se restreint à la représentation de l’ellipse et du cercle.

II-1-5 Voir une ellipse à l’aide de la section de cylindre de révolution

Si l’on coupe un cylindre de révolution par un plan ni parallèle, ni perpendiculaire à

l’axe, la section obtenue est une ellipse (figure 65).

Figure 65: Trace d’une ellipse par section plane d’un cylindre de révolution.


Même remarques que précédemment pour sa restriction à l’ellipse.

Lorsque les verres sont

maintenus inclinés,

la surface est une ellipse

Lorsque les verres sont

maintenus

verticalement,

la surface est un cercle

68

II-1-6 Voir les coniques par le solide de Treceno

Une autre façon de faire voir les coniques par section plane du cône est la sculpture de

cône, formé de cinq pièces (figure 66). « Le fameux cône d’Apollonius, pièce qui rassemble

la beauté décorative, la simplicité formelle et la complexité géométrique » a dit Treceno

(2012). « Un véritable travail artisanal ! Un cône démontable en bois, agréable au toucher,

délicat et dur à la fois, glissant, proportionné... qui permet de voir, connaître, caresser et

toucher les sections coniques » (Ibid.).

Cette sculpture de bois, met donc en évidence la section plane d’un cône suivant que le

plan est parallèle ou non à la base. Grâce à des bois de couleurs, le chef d’œuvre de Treceno

nous fait voir le cercle, l’ellipse, la parabole et la branche de l’hyperbole.

Figure 66: Sculpture en bois pour visualiser les sections planes d’un cône

Source : http://images.math.cnrs.fr/Sections-coniques.html

Nous pensons que les sections coniques ont inspiré beaucoup d’ébénistes ou potiers. Un

cône exposé au musée Traversi de Venise montre les différentes traces des sections d’un cône

de révolution.

http://images.math.cnrs.fr/Sections-coniques.html

69

Figure 67: Cone per le sezioni coniche qui date de 1891 au musée Traversi de Venise.

Source : http://museo.liceofoscarini.it/museoreale/db/scheda_ufficiale.phtml?Inv=593

Si les professeurs de mathématiques peuvent faire construire tel modèle à un ébéniste de

leur localité, ce serait une preuve vivante de l’existence des sections coniques.

II-1-7 Voir les coniques par l’usage du compas parfait

Figure 68: Compas parfait

Source : http://archiviomacmat.unimore.it/MacchineParis/MacMat/pages/compas.htm

Cet instrument est nommé « compas parfait » par les géomètres arabes parce qu'il permet

de dessiner non seulement des cercles mais aussi toutes les coniques. Il représente une

réalisation mécanique des définitions des coniques données par Apollonius. Dans la figure,

l'axe AB appartient au plan déterminé par les droites parallèles (aa’ ) et (bb’) et peut être

incliné d'un angle au choix. Ce plan est perpendiculaire au plan contenant le point traceur P

(plan du dessin), qui est relié à l'axe AB par la barre OP. Soit l'angle POB. La barre OP peut

s'allonger ou raccourcir grâce à un joint télescopique, ce qui permet au point P d'être maintenu

toujours en contact avec le plan. Quand AB tourne, OP décrit un cône d'axe AB ; en même

temps, le plan contenant le point P coupe le cône: la section conique, décrite par P, est aussi

engendrée.

Si = , la conique tracée par P est une parabole : il n'y a qu'une seule position où la

génératrice OP appartient au plan passant par O parallèle à celui de la section.

Si > , la conique est une ellipse ; le cercle correspond au cas = /2 > .

http://museo.liceofoscarini.it/museoreale/db/scheda_ufficiale.phtml?Inv=593

http://archiviomacmat.unimore.it/MacchineParis/MacMat/pages/compas.htm

70

Si < , la conique tracée est une hyperbole : il y a deux positions où OP est sur le plan

passant par O et parallèle à celui de la section.

II-2 Des outils pour voir les coniques dans le plan

Dans ce qui suit, nous allons utiliser la définition des coniques comme lieux de points

dans le plan pour les voir ou les faire voir à l’aide d’outils et de constructions.

Rappelons que si (d) est une droite fixe, F un point n’appartenant pas à (d) et e un nombre

réel strictement positif, l’ensemble Г des points M du plan vérifiant , où H

est la projection orthogonale de M sur la droite (d) est la conique de directrice (d), de foyer F

et d’excentricité e. Et que si e = 1, e < 1 ou e > 1 la conique est respectivement une parabole,

une ellipse ou une hyperbole.

II-2-1 Pour une parabole

Pour un point M de la parabole, nous avons

1) Parabole comme lieu de centre de cercle

Une interprétation de la relation est aussi de voir la parabole comme le

lieu géométrique des centres des cercles passant par le point fixe F et tangents à la droite (d)

(figure 69).

Figure 69: Tracé de trois points M, M1 et M2 d’une parabole de foyer F et de directrice (d).

Source : Auteur

71

Pour un point M de la parabole de foyer F et de directrice (d), nous avons :

. La parabole est donc la courbe d’équidistance entre le point fixe F et de la

droite fixe (d). On dit que la parabole est l’isotèle de la droite (d). Ou encore la médiatrice du

pont F et de la droite (d). Ainsi, la notion mise en jeu ici est celle de la médiatrice et de la

droite perpendiculaire à une droite et passant par un point donné.

Figure 70: Parabole comme courbe d’équidistance entre F et (d)


De cette définition, nous pouvons donc voir, faire voir et construire la parabole comme :

2) Parabole comme enveloppe des médiatrices

De la relation nous déduisons qu’un point M de la parabole est un point de la

médiatrice du segment [ FH ]. Ainsi nous pouvons tracer point par point la parabole en traçant

la médiatrice de [FH] et la perpendiculaire à (d) en H, (autrement dit, l’orthotomique de la

parabole par rapport à son foyer est la directrice). En utilisant la fonction lieu (lieu du point M

quand H parcourt la droite (d)), la parabole est tracée. (Figure 71)


https://www.mathcurve.com/courbes2d/orthotomic/orthotomic.shtml

72

Figure 71: Tracé de trois points M, M1 et M2 d’une parabole de foyer F et de directrice (d).

Source : Auteur

On dit aussi la parabole est l’enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite

(FI), I décrivant la tangente au sommet de la parabole (autrement dit, la parabole

est l’antipodaire de cette droite par rapport au foyer) (Figure 72).

Figure 72: Construction de la parabole avec une équerre


C’est une des façons la plus simple pour les élèves de faire apparaître une « courbe »

parabole.

La notion de médiatrice étant associée à une symétrie axiale, nous pouvons faire voir la

parabole par pliage. Si vous découpez un rectangle de papier, marquez un point (F) à

l'intérieur, et formez un certain nombre de pliures en amenant un point d'un côté sur le point

F, les pliures envelopperont une parabole (figure 73).

https://www.mathcurve.com/courbes2d/antipodaire/antipodaire.shtml


73

Figure 73: Parabole obtenue par pliage


Les enseignants trouveront bien une activité de symétrie axiale grâce à ce mode de

génération d’une parabole.

3) La parabole comme lieu de points dont la somme des distances à une droite et à

un point est fixe

Le lieu des points M dont la distance à un point fixe F et une droite fixe (d) est une

constante k est la réunion de deux paraboles de foyer F et de directrices situées à la distance k

de (d). Si K est le point d’intersection de (d) et de l’axe focal, les droites (d1) et (d2) se

trouvant à la distance k de (d) sont les directrices respectives des deux paraboles P1 et P2.

En effet, si M est un point tel que MF + MH = k, où H est la projection de M sur (d) alors

notons (d1) et (d2) les droites situées à la distance k de (d).

Si M est dans le demi plan de frontière (d) ne contenant pas F notons H1 le projeté de M

sur (d1) (Figure 74 a), nous avons MH1+MH = k d’où MF + MH = MH1+MH et le point M

appartient à la parabole de foyer F et de directrice (d1).

De même, Si M est dans le demi plan de frontière (d) contenant F notons H2 le projeté de

M sur (d2) (Figure 74 b), nous avons MH2+MH = k d’où MF + MH = MH2+MH et le point

M appartient à la parabole de foyer F et de directrice (d2).

Le lieu des points M est donc la réunion des paraboles P1 et P2.


74

Figure 74 a Figure 74 b

Figure 74: Parabole comme lieu de points dont la somme des distances à une droite et un

point est constante.


4) Parabole de Kepler

Cette méthode est attribuée à Kepler.

Matériel nécessaire

Elle implique d’utiliser :

— une feuille de papier, — un crayon,— une épingle ou une punaise,— une latte ou une

règle,— une équerre,— une ficelle— et, éventuellement, un peu de papier collant (pour fixer

la ficelle à l’équerre).

Méthode

1. On positionne une règle ou une latte en bas de la feuille de papier. Le bord supérieur de

la latte peut servir à tracer une droite (AB).

2. Le côté EC le plus étroit de l’équerre viendra glisser le long de cette droite (AB) en

s’appuyant sur la règle.( (AB) est la directrice de la parabole).

3. On plante, approximativement à deux ou trois centimètres de la règle, une épingle ou

une punaise en un point F. (F est le foyer de la parabole.)

4. On prépare une longueur de ficelle égale à la longueur CD de l’équerre.

5. Les deux extrémités de la ficelle sont attachées, respectivement, à la pointe D de

l’équerre et à la punaise F.

6. La pointe P du crayon reste le long du côté [CD] de l’équerre et maintient la ficelle

tendue.

(d)

(d2)

(d1)

P2

P1


75

7. En faisant glisser le côté [EC] de l’équerre le long de la droite (AB), le point P va

parcourir (et le crayon va dessiner) une parabole !

Figure 75: Tracé de parabole par la méthode de Kepler

Source : Delhaye, 2015, p.15

5) Avec un cercle, la parabole comme lieu de points

Soit un cercle (C) fixe de centre O, deux diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’] et M

un point qui décrit le cercle sauf les points A et A’.

On projette orthogonalement le point M sur le segment [BB’] en K et on appelle P le

point d'intersection des droites (OM) et (AK).

Le lieu du point P est la parabole de foyer O et directrice (d), tangente au cercle en A,

privée de son sommet.

Figure 76: Tracé de parabole comme lieu de points définis par un cercle

Source : Debart.

76

6) Avec un compas, une règle et une équerre pour tracer point par point une

parabole.

Une droite (AB) étant donnée, traçons point par point la parabole de directrice (AB)

et dont la distance entre le foyer F et la directrice est de 50 mm.

Etape1 : On trace la droite passant par F et perpendiculaire à (AB). Cette droite

(l’axe focal) coupe (AB) en C.

Etape 2 : On place le foyer F sur l’axe focal tel que CF= 50 mm ; on place le sommet

V de la parabole qui vérifie VF = VC et est situé sur l’axe focal, donc V est le milieu de [FC].

Etape 3 : Sur la demi droite [VF), on trace des droites perpendiculaires à (VF) et on

note 1, 2, 3, 4, 5, 6,…..leur point d’intersection.

Etape 4 : On construit les deux points d’intersection de l’arc de cercle de centre F et

de rayon C- 1 avec la droite verticale 1.

Etape 5 : De même, on construit les deux points d’intersection des arcs de cercle de

centre F et de rayon C- 2 ; C- 3 ; C- 4 ; C- 5 ; C- 6, avec la droite verticale 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.

Etape 6 : On relie les points et on a construit la parabole

Remarquons que la précision de la courbe obtenue dépend du nombre de droites

parallèles construites. Plus on a tracé de parallèles, plus la parabole tracée est précise.

La figure 77 nous donne celle que nous obtenons en suivant le programme de

construction.

Il serait intéressant de faire justifier la construction par les élèves. Les notions qui entre

en jeu sont les droites perpendiculaires, les droites parallèles, les distances, arc de cercle et le

théorème de thalès.

Figure 77: Tracé point par point de la parabole

Source : Manas Patnaik (Octobre 2017).

77

7) Parabolographe de Cavalieri

Ce parabolographe est constitué de deux équerres ABM et BMH rectangles

respectivement en M et en H. Lorsque l’équerre BMH coulisse sur (AB), c'est-à-dire H

parcourt [AB] alors M, muni d’un crayon traceur, parcourt une parabole. En effet,

MH² = AH.BH donc ² . 2y x BH px . Le point M décrit la parabole de paramètre p .

Figure 78 : Parabolographe de Cavalieri

Source : Daval, 2012

II-2-2 Pour une ellipse

Pour un point M de l’ellipse définie par sa directrice (d), son foyer (F) et son

excentricité e, nous avons , avec e < 1. Nous allons alors donner différentes

façons de voir ou de construire les ellipses.

1) Ellipse comme enveloppe des médiatrices

Traçons un cercle de centre F et plaçons un point F à l’intérieur de ce cercle.

Prenons des points sur les bords du cercle et traçons les médiatrices des segments obtenus,

l’enveloppe des médiatrices forme une ellipse.

On peut aussi voir l’ellipse par pliage. Pour cela, on découpe un cercle de centre F et on

choisit un point F à l’intérieur. On prend des points sur le bord du cercle et pour chaque

point, on y ramène le point F pour former une pliure. Les traces des plis laissent entrevoir

une ellipse.

Remarquons que si F = F , l’enveloppe des médiatrices est un cercle réduit (rapport de

réduction1

2)

78

Figure 79: Faire voir l’ellipse comme enveloppe de médiatrices

Source : Ferréol, Mandonnet et Esculier (2016)

Ce procédé utilisant le cercle directeur de l’ellipse peut être associé avec le procédé qui

utilise son cercle principal (Figure 79).

L'ellipse est l’enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI), I décrivant le

cercle principal C(O, a) (autrement dit, l’antipodaire de ce cercle par rapport à F), ou encore

l’enveloppe de la médiatrice du segment [FN], N décrivant le cercle directeur C( F , 2a) (qui

est donc l’orthotomique de l’ellipse par rapport à F ). On peut alors tracer l’ellipse avec une

équerre et un cercle (son cercle principal).

Une démonstration de cette définition tangentielle de l’ellipse est donnée en

II-2-4-a-1, en utilisant la propriété bifocale de l’ellipse. Ce que nous voudrions signaler

est que, la tangente en un point M d’une ellipse n’est autre que la médiatrice de [FN] où F est

l’un des foyers et N l’intersection de la demi-droite [F’M) avec le cercle directeur. La

tangente en M est donc la droite (IM). (Figure 80)



79

Figure 80: Tracé de l’ellipse comme enveloppe de droites


2) Construction d’une ellipse par points avec le compas

Soient C et C’ les cercles de centre respectif F et F’ vérifiant FF’ = 2c et de rayon

respectif et tel que 2a avec a supérieur à c. Les cercles C et C’ se coupent en

M et M’ si et sont dans l’intervalle [a-c ; a+c]. En faisant varier dans cet intervalle,

l’ensemble des points obtenus sont sur une ellipse de grand axe 2a.

Figure 81: Tracé par points de l’ellipse avec le compas

Source : Lébossé et Hemery (1990)

Cercle

directeur

Cercle

principa

l

80

Pour illustrer prenons FF’= 6 =2c, soit c = 3 et a=4, soit 2a=8. Nous faisons donc

varier les rayons des cercles de centre F et F’ de a - c = 1 à a + c = 7. Sur Geogebra, nous

avons l’ellipse tracée points par points (figure 82).

Figure 82: Tracé par points de l’ellipse

Source : Auteur

3) Ellipsographe de Van Schooten

L'ellipsographe de Van Schooten est un outil destiné à tracer des ellipses. Il est constitué

par deux barres rigides AB et OD, articulées l'une par rapport à l'autre en D. L'extrémité A de

l'une des deux barres est mobile sur une réglette, alors que l'extrémité O de l'autre barre est

fixe sur cette réglette. On a AD=OD. Un crayon C est fixé sur la barre AB.

Lorsque le point A glisse dans la réglette, le crayon C décrit une ellipse. En faisant varier

la position de C sur la barre, on peut obtenir diverses ellipses.

Figure 83: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de Van Schooten

Source : Bibmath

Une autre variante de l’ellipsographe de Van Schooten est la suivante. La barre ABD est

fixée au pivot A et articulée en B, avec AB = BD. Lorsque le curseur D coulisse dans la

81

rainure rectiligne de la barre KL, la barre tourne autour du pivot A et le point E (x, y) décrit

une ellipse de demi-axe focal AK et de demi-axe non focal AP.

Figure 84: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de Van Schooten (bis)

Source : Dominique Raynaud. (2007 )

Démontrons que le lieu des points E est une ellipse.

Par symétrie, nous pouvons considérer le secteur supérieur droit PAK en posant

AB =BD =1. Sur le triangle rectangle ayant DE pour hypoténuse, le théorème de Pythagore

donne (AD− x)²+ y² = DE ² soit : ( )² ²

1² ²

AD x y

DE DE

(1)

Soit O le point d’intersection des droites prolongeant AP et DE; les triangles semblables

ayant même sommet O sont tels que AD / OD = x / OE, soit encore AD = 2x / (2 – DE), d’où

il suit que : ( )² ²

² (2 )²

AD x x

DE DE

. En réécrivant le premier membre, (1) devient :

² ²1

(2 )² ²

x y

DE DE

. Mais sachant que AK =AB+BE =2-DE et que DE =AP, (1) s’écrit

finalement : ² ²

1² ²

x y

AK AP , c’est l’équation d’une ellipse de demi-axes AK et AP.

82

4) Ellipsographe de l’Hospital

La barre AE est fixée aux curseurs A et B. Lorsque A et B coulissent dans les rainures

rectilignes des barres PG et LK respectivement, le point E (x, y) décrit une ellipse de demi-axe

focal OK et de demi-axe non focal OP. (Figure 85)

Figure 85: Tracé de l’ellipse par l’ellipsographe de l’Hospital

Source : Dominique Raynaud. (2007 )

En effet, considérons le secteur inférieur droit de l’ellipse GOK (sur lequel on

prendra x ≥ 0, y ≥ 0). Dans le triangle rectangle ayant AE pour hypoténuse, le théorème

de Pythagore donne x ² + (AO+ y) ² = AE ² soit : 2² ( )

1² ²

x AO y

AE AE

(1)

Les triangles semblables de même sommet A donnent (AO + y) / AE = AO / AB.

Considérant les triangles opposés en B, il vient AO / AB = y / BE, d’où 2( ) ²

² ²

AO y y

AE BE

.

Réintroduisant ce terme, l’équation (1) devient ² ²

1² ²

x y

AE BE . Mais puisque AE = OK

et BE =OG = OP, alors (1) s’écrit : ² ²

1² ²

x y

OK OP , c’est l’équation d’une ellipse de

demi-axes OK et OP.

5) Construction de l’ellipse par le procédé dit de la bande de papier

Sur un segment AB de longueur a + b (0 < b < a), on place un point M tel que

AM = b (et donc BM = a) (figure 86). Quand A et B se déplacent respectivement sur deux

axes orthogonaux Ox et Oy, le point M décrit un quart d’ellipse.

83

Figure 86: Tracé de l’ellipse par le procédé de la bande de papier

Source : Decauwert (2011)

En effet, soit N tel que le quadrilatère OBMN soit un parallélogramme et m

l’intersection de (MN) et Ox (m est donc le projeté orthogonal de M sur Ox). Les triangles

rectangles mMA et mNO étant semblables, le point M se déduit du point N par l’affinité

orthogonale de base Ox et de rapport b

a . Comme le point N décrit un quart de cercle de

centre O et de rayon a, son image par l’affinité décrit un quart d’ellipse.

Remarquons que par cette méthode, une même ellipse peut être obtenue de deux

façons (figure 87). Nous pouvons prendre a + b comme longueur de la bande de papier et le

grand axe de l’ellipse sera sur Ox, ou seulement une barre de longueur « a » que l’on

décompose en a - b et b et le grand axe sera sur Oy.

Figure 87: Deux façons de construire une même ellipse par le procédé de la bande de

papier.


Cette propriété est aussi la base de l’ellipsographe d’Archimède (ou de Proclus) (figure 88) ;

lorsque les points A et B coulissent suivant les rainures perpendiculaires, le point P décrit une

ellipse. Elle justifie aussi le fonctionnement des portes de certains garages (figure 89).

84

Figure 88: Ellipsographe d’Archimède (ou de Proclus).


Figure 89: Mécanisme de fonctionnement de porte de garage


6) Théorème de la Hire

Lorsque les sommets A et B d’une plaque triangulaire ABM décrivent respectivement

deux droites fixes Ou et Ov , alors le lieu du point M est l’ellipse de centre O (figure 90).

En effet, la longueur de [AB] est constante et la mesure de l’angle ( , )OA OB aussi. Le

cercle circonscrit au triangle AOB de centre a donc un rayon constant et coupe la droite

( )M aux points P et Q ([PQ] est donc un diamètre de longueur fixe car le rayon est

constant). Le triangle OPQ est alors un triangle rectangle en O, les arcs et sont

constants ainsi que les angles ( , )OA OP et ( , )OA OQ . Les points P et Q décrivent donc des

axes rectangulaires Ox et Oy et d’après le procédé de la bande de papier, le lieu du point M du

85

segment [PQ] est alors une ellipse dont les demi-axes portés par les axes Ox et Oy mesurent

respectivement QM et PM.

Figure 90: Ellipse comme lieu du point M d’une plaque triangulaire ABM


II-2-3 Pour une hyperbole

Pour un point M de l’hyperbole définie par sa directrice (d), son foyer (F) et son

excentricité e, nous avons , avec e > 1. Nous allons alors donner différentes

façons de voir ou de construire les hyperboles.

1) Hyperbole comme enveloppe de droites

Traçons un cercle de centre F et plaçons un point F à l’extérieur de ce cercle.

Prenons des points sur les bords du cercle et traçons les médiatrices des segments obtenus,

l’enveloppe des médiatrices forme une hyperbole (Figure 91).

On peut aussi voir l’hyperbole par pliage. Pour cela, on trace un cercle de centre F et on

choisit un point F à l’extérieur. On prend des points sur le bord du cercle et pour chaque

point choisi, on y ramène le point F pour former une pliure. Les traces des plis laissent

entrevoir une hyperbole.

Si l’on considère un cercle de centre F et un point F extérieur au cercle (Figure 91) ,

l'hyperbole est l’enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI), I décrivant le cercle

principal C(O, a) (autrement dit, l’antipodaire de ce cercle par rapport à F ), ou encore

l’enveloppe de la médiatrice du segment [FN], N décrivant le cercle directeur C(F', 2a) (qui

est l’orthotomique de l’hyperbole par rapport à F’ )(figure 92)



86

Figure 91: Hyperbole comme enveloppe de médiatrices ou antipodaire de cercle

Source : Auteur

Figure 92: Hyperbole comme enveloppe de la perpendiculaire en I à la droite (FI) ou de

la médiatrice de [ FN ]

Source : Ferrérol, Mandonnet et Esculier. (2012)

2) Construction par points avec le compas d’une hyperbole

Soient C et C’ les cercles de centre respectif F et F’ vérifiant FF’ = 2c et de rayon

respectif et tel avec a inférieur à c. Les cercles C et C’ se coupent en M et M’ si et

sont dans l’intervalle [c-a ; [. En faisant varier dans cet intervalle, l’ensemble des

points obtenus sont sur une hyperbole d’axe transverse 2a.


87

Figure 93: Tracé par points de l’hyperbole avec le compas


Pour illustrer prenons FF’= 8 = 2c, soit c = 4 et a = 3, soit 2a = 6. Nous faisons donc

varier les rayons des cercles de centre F et F’ de c - a = 1 et tel que 6 . Sur géogebra,

nous avons l’ellipse tracé points par points (figure 94).

Figure 94: Tracé par points d’une hyperbole avec Geogebra

Source : Auteur

II-2-4 Voir les ellipses et hyperboles en utilisant la définition bifocale

Nous allons utiliser la définition bifocale de l’ellipse et de l‘hyperbole pour faire

quelques inventaires des outils que l’on peut disposer.

1) Ellipse

L’ellipse est définie comme l’ensemble ou lieu des points M tels que la distance à deux

points fixes F et F est constante c'est-à-dire 2MF MF a . Cette définition nous permet

de présenter l’ellipse de diverses façons:

88

1-1) Ellipse comme lieu d’un sommet de triangle

Une façon simple de voir l’ellipse est donc de la voir comme le lieu du sommet M

d’un triangle FF M de périmètre constant. En effet, si F et F sont des points fixes et

FF F M MF k , où k réel vérifiant 0k FF , alors 2MF MF k FF a . C’est

ainsi que l’on peut construire l’ellipse par le procédé dit procédé du jardinier. On fixe deux

points F et F et on prend une ficelle de longueur supérieure à la distance FF . Tout en

maintenant la ficelle tendue, le point M décrit une ellipse(figure 95).

Figure 95: Tracé de l’ellipse par le procédé du jardinier


1-2) Ellipse comme courbe d’équidistance

L'ellipse est le lieu des points équidistants d'un cercle (appelé cercle directeur, de

centre l'un des foyers F et de rayon 2a) et d'un point F situé à l'intérieur de ce cercle (qui est

l'autre foyer) ; autrement dit, c'est le lieu du centre d’un cercle variable astreint à passer

par F et à être tangent à C( F , 2a) (figure 96).

Soit un cercle de centre F’ et de rayon 2a et F un point intérieur à ce cercle. M un

point équidistant de ce cercle et du point F vérifie donc : M MF où est un point du

cercle et M un point du segment 'F . Ainsi ' ' ' 2MF MF MF M F a et M est

point de l’ellipse de foyers F et F’ de grand axe 2a.

Réciproquement si M est un point de l’ellipse de foyers F et F’ et de grand axe 2a, nous

avons ' 2MF MF a . Soit l’intersection de la demi-droite 'F M avec le cercle

C ( F’, 2a), cercle de centre F’ et de rayon 2a appelé cercle directeur. Nous avons donc

' 2F a ainsi ' 'MF MF F donc ' 'MF F MF M , le point M est donc sur la

médiatrice du segment F , c'est-à-dire que M est équidistant du cercle directeur et du point

F situé à l’intérieur de C( F , 2a).

89

Figure 96: Tracé de l’ellipse par courbe d’équidistance


1-3) Ellipse comme hypotrochoïde

Une hypotrochoide est une courbe décrite par un point lié à un cercle (C) roulant sans

glisser sur et intérieurement à un cercle de base (C0).

On considère donc un cercle (C0) de rayon R et un cercle (C) de rayon 2

R qui roule sur et

intérieurement à (C0). Prenons un point M situé à une distance fixe sur un rayon de (C).

La courbe décrite par M est une ellipse (figure 97). En effet, considérons le cercle (C0) de

centre O rapporté à un repère orthogonal Ox et Oy , et notons S le point de contact de (C) et

(C0). Notons respectivement P et Q les projections orthogonale de S sur Ox et Oy . Le

quadrilatère OPSQ est alors un rectangle et QP=OS= rayon de (C). D’après le théorème de la

Hire, comme P et Q décrivent deux axes Ox et Oy alors le point M du triangle PQM décrit

une ellipse de centre O.

Figure 97: Tracé de l’ellipse comme hypotrochoide


(C

)

Fi

gu

re

32

:

Tr

ac

é

de

l’e

lli

ps

e

pa

r

co

ur

(C0)

M

https://www.mathcurve.com/courbes2d/hypotrochoid/hypotrochoid.shtml

90

2) Hyperbole

L’hyperbole est définie comme l’ensemble ou le lieu des points M tels que la différence

des distances à deux points fixes F et F est constante c'est-à-dire 2MF MF a ou

' 2MF MF a que l’on peut écrire en une seule égalité ' 2MF MF a .

Cette définition nous permet de présenter l’hyperbole de diverses façons:

2-1) Hyperbole comme courbe d’équidistance entre un point et un cercle

Une courbe d'équidistance entre un point et un cercle est appelée isotèle de cercle.

L'hyperbole est le lieu des points M équidistants d'un cercle (appelé cercle directeur, de centre

l'un des foyers F et de rayon 2a) et d'un point situé à l'extérieur de ce cercle (qui est l'autre

foyer F ) ; autrement dit, c'est le lieu du centre d’un cercle variable astreint à passer par F et

à être tangent à C(F', 2a).

Soit un cercle de centre F’ et de rayon 2a et F un point extérieur à ce cercle. Soit M un

point équidistant de ce cercle et du point F, le point M vérifie donc : M MF où est un

point du cercle et M un point de la droite ( ' )F . Le point M est donc sur la médiatrice du

segment F . Comme les points M, , et F’ sont alignés ; soit le point M est à l’extérieur

du cercle directeur, alors ' ' ' 2MF MF MF M F a et M est point de l’hyperbole de

foyers F et F’ ; soit le point M est à l’intérieur du cercle directeur, alors

' ' ' 2MF MF M MF F a et M est un point de l’hyperbole de foyers F et F’. Donc

dans tous les cas, le point M est sur l’hyperbole de foyers F et F’(figure 98).

Réciproquement si M est un point de l’hyperbole de foyers F et F’ et d’axe transverse 2a,

nous avons, ' 2MF MF a . Soit l’intersection de la droite ( ' )F M avec le cercle

C ( F’, 2a), cercle de centre F’ et de rayon 2a appelé cercle directeur.

Soit ' 2MF MF a alors ' 2MF MF a et M est à l’intérieur du cercle directeur donc

' ' 2MF M F M a ce qui entraine et 2 2MF M a a , ainsi 0MF M

donc MF M et le point M est sur la médiatrice du segment F , c'est-à-dire que M est

équidistant du cercle directeur et du point F situé à l’extérieur de C( F , 2a).

Soit ' 2MF MF a alors ' 2MF MF a et M est à l’extérieur du cercle directeur

donc ' ' 2MF M F M a ce qui entraine et 2 2MF M a a , ainsi

0MF M donc MF M et le point M est sur la médiatrice du segment F , c'est-à-

dire que M est équidistant du cercle directeur et du point F situé à l’extérieur de C ( F’ , 2a ).

https://www.mathcurve.com/courbes2d/isotele/isotele.shtml

91

Figure 98: Tracé de l’hyperbole par courbe d’équidistance


2-2) Construction de l’hyperbole par cercle directeur

L’outil est constitué d’un losange AF’BM’ articulé dont un sommet est placé au

foyer F’ de l’hyperbole, et de deux tiges : l’une fixée au deuxième foyer F et au sommet M’

opposé à F’, l’autre est située entre les deux autres sommets A et B du losange. À

l’intersection M de ces deux tiges est placé un crayon. Le lieu des points M est une hyperbole

(figure 99).

En effet, un point M situé sur le segment [AB] est un point de la médiatrice de [M’F] car

AF’BM’est un losange et comme il est sur la tige [FM’), il est à la même distance du point F’

et du cercle de centre F, donc M parcourt une hyperbole quand M’ parcourt le cercle de centre

F.

Figure 99 a Figure 99 b

Figure 99: Tracé de l’hyperbole par cercle directeur

Source : Daval , 2012

92

2-3) Construction de l’hyperbole par la méthode d’Ibn Shal8

Grâce à la définition bifocale de l’hyperbole, on peut faire le tracé continu d’une

hyperbole. Nous avons alors besoin d’une règle, d’une ficelle de longueur inférieure à celle de

la règle, des punaises, du Scotch et évidemment du crayon.

Nous attachons un bout de la ficelle avec du Scotch à l’extrémité de la règle et l’autre

bout à une punaise plantée en un point F. L’autre extrémité de la règle est fixée avec une

punaise en un point F’ (Figure 100). En maintenant la ficelle tendue le long de la règle, la

pointe M du crayon dessine une portion d’hyperbole. On place l’extrémité de la règle en F

pour tracer l’autre branche de l’hyperbole.

Cette méthode d’Ibn Shal permet effectivement de générer une hyperbole puisque, si

nous notons « l » la longueur de la ficelle, F et K les points où les bouts de la ficelle sont

attachés et F’ le point d’attache de l’autre extrémité de la règle, nous avons

MF MF F K MK MF ,

comme MK MF l alors 2MF MF F K l a et le point M parcourt une

hyperbole d’axe transverse 2F K l a .

La méthode ne permet pas d’avoir l’hyperbole toute entière car la longueur de la règle est

une contrainte.

Figure 100: Tracé de l’hyperbole par la méthode d’Ibn Shal


8 Vers 940-1000, Abou Saʿd al-ʿAlaʾ ibn Sahl est un mathématicien perse à la cour de Bagdad qui a écrit un

traité vers 984 sur les miroirs ardents et les lentilles dans lequel il expose comment les miroirs courbes et les

lentilles peuvent focaliser la lumière en un point

https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9maticien

https://fr.wikipedia.org/wiki/Bagdad

https://fr.wikipedia.org/wiki/Miroir_ardent

93

II-2-5 Voir les coniques en utilisant les transformations

Les coniques peuvent être obtenues comme l’image d’une figure géométrique par

une transformation affine. Nous allons voir quelques-unes de ces transformations et les

applications qui en découlent.

1) Voir une ellipse comme image d’un cercle par une affinité

Soient deux cercles C(O ; a) et C(O ; b) de centre O et de rayon a et b avec a > b.

Rapportons le cercle à un repère orthonormé (O, Ox, Oy) et prenons les points P et Q

respectivement sur le cercle C(O ; b) et C(O ; a) alignés avec le point origine O. Soit H le

projeté orthogonal de N sur Ox et M le projeté orthogonal de P sur [NH]. Le point M décrit

une ellipse de grand axe 2a et de petit axe 2b (figure 101).

En effet, si nous appelons l’angle NOH, les coordonnées des points sont

( cos ; sin )N a a ; ( cos ; sin )P b b ; ( cos ;0)H a .Nous avons alors l’égalité vectorielle

suivante : b

HM HNa

, c'est-à-dire que M est l’image du point N par l’affinité orthogonale

d’axe Ox et de rapport b

a. Comme les coordonnées du point M sont ( cos ; sin )M a b ,

quand N parcourt le cercle C(O ; a) les coordonnées de M vérifient ² ²

1² ²

x y

a b . Donc M

décrit l’ellipse de grand axe 2a et de petit axe 2b. Une ellipse de grand axe 2a et de petit axe

2b est donc l’image de son cercle principal par l’affinité de rapport b

a. De même, l’ellipse est

l’image de son cercle secondaire par l’affinité de rapport a

b.

.

Figure 101: Ellipse comme image d’un cercle par une affinité

Source : Auteur

94

2) Ellipsographe de Delaunay

L’ellipsographe de Delaunay est formé de quatre tiges [MA] ; [MB] ; [CM’] ; et

[DM’] (figure 102). Les bras [MA] et [MB] ont même longueur et les point A et B coulissent

sur une droite (d) et CMDM’ est un losange articulé.

Quand le point M décrit un cercle alors le point M décrit une ellipse.

En effet, notons H le projeté orthogonal de M sur (d) et R l’intersection de [CM’] avec

(d). Comme CMDM’ est un losange, H est sur la diagonale 'MM et le triangle ACR est

isocèle en C.

Les triangles RHM’ et AHM sont donc semblables et nous avons l’égalité suivante :

HM RM

HM AM

et 2RM CM CR CM CR AM AC . Donc

2HM AM AC

HM AM

, c'est-

à-dire que M’ est l’image de M par l’affinité d’axe (d) et de rapport 2AM AC

AM

.

Figure 102: Ellipsographe de Delaunay

Source : Wikipedia.

R

95

II-2-6 Voir une ellipse comme projection d’un cercle

Le projeté orthogonal d’un cercle sur un plan est une ellipse.

Le projeté orthogonal du cercle de centre O et de diamètre AA’ contenu dans le plan

(OXY) sur le plan (OXhY

h), avec X=X

h , est l’ellipse de grand axe BB’(figure 103).

Figure 103: Ellipse comme projection d’un cercle

Source : Rivière, Service de Génie mécanique, Université de Mons

II-2-7 Voir une hyperbole comme image par homographie

1) Conjugué harmonique

Deux points A, B étant donnés et C sur (AB), on trace deux droites (d) et (d’) strictement

parallèles passant respectivement par A et B. À partir de tout point M de (d), on construit

l'intersection U de (MC) et de d'. Soit alors V le symétrique de U par rapport à B. La droite

(MV) coupe (AB) en un point D indépendant du point M et de la droite (d) (figure 104).

Le point D est le conjugué harmonique de C par rapport à (A, B). Et on a CA DA

CB DB .

Figure 104: Conjugué harmonique d’un point

Source : APMEP,

96

2) Homologie harmonique

Etant donnés une droite (d) et un point P, par définition, l'application qui à un point M du

plan associe le point M' conjugué harmonique de M par rapport à P et I où I est l'intersection

de (PM) et de (d) s'appelle l'homologie harmonique d'axe d et de pôle P(figure 105).

Elle est involutive et conserve le contact. Le pôle P et les points de l'axe (d) sont

invariants ; les droites passant par le pôle sont globalement invariantes. Elle conserve la

conjugaison harmonique et la polarité.

Figure 105: Homologie harmonique.

Source : APMEP

3) Hyperbole comme homologie harmonique d’un cercle

L'hyperbole et le cercle sont homologues dans l'homologie harmonique de centre

F et d'axe 1( )d (figure 106).

Figure 106: Hyperbole comme homologue d’un cercle

Source : Wikipedia, récupéré de :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole_(math%C3%A9matiques)


97

4) Hyperbole équilatère comme homologie harmonique de son cercle principal

L'hyperbole équilatère et son cercle principal sont homologues dans l'homologie

harmonique de centre S2 et d'axe (d). Pour construire le point M', on mène par m une tangente

au cercle qui touche le cercle en M. La droite (S2M) rencontre la perpendiculaire à l'axe focal

passant par m en M' (figure 107).

Figure 107: Hyperbole équilatère comme homologue du cercle principal

Source : Wikipedia, récupéré de :


Nous venons de faire un aperçu de certains outils qui nous permettraient de voir ou de

faire voir les courbes coniques à nos élèves. Afin que les enseignants ou les formateurs en

aient une bonne maîtrise, nous avons justifié et expliqué le fonctionnement avec des notions

de géométrie élémentaire.

À voir le nombre d’outils dont nous avons exposé tout au long de cette partie, et ce n’est

qu’une partie par rapport aux multiples ressources que regorgent les coniques, nous pensons

que les enseignants peuvent proposer des situations problèmes pour faire construire des

connaissances mathématiques à leurs élèves. En d’autres termes, nous pouvons utiliser les

coniques comme sources de situation d’enseignement-apprentissage des mathématiques au

collège et au lycée (Rajaonarimanana, E., Totohasina, A. et Tournès, D., 2018).


98

Cependant, une condition nécessaire pour pouvoir bénéficier de ces multiples

ressources est la possession de connaissances de bases ou élémentaires sur les coniques. C’est

pourquoi la partie suivante, sur laquelle est axée la grande partie de notre recherche, se

consacre sur des propositions de moyens appropriés pour introduire les coniques dès le début

du collège et des activités pour leur enseignement durant le cursus collège-lycée.

De tous les outils que nous avons recensés, celui où on peut voir les formes coniques

à l’aide d’un faisceau lumineux est, selon nos observations, le plus adapté. En effet, les

matériels nécessaires sont facilement trouvables et constructibles partout : une lampe et des

plaques dont l’une avec un trou circulaire. De plus, utiliser un rayon lumineux fait intervenir

la loi de la réfraction en physique – donc une interdisciplinarité – et l’esprit de cloisonnement

s’effacera probablement. L’expérience sera plus visible par la classe avec la lampe et les

plaques par rapport à l’usage des autres outils, la seule contrainte est que la lumière du jour ne

doit pas submerger les contours lumineux, donc de choisir un bon coin de la salle de classe

pour sa réussite.

Mais un outil, pour être efficace, à part le fait de connaître ses fondements, doit

correspondre ou s’adapter aux caractéristiques du milieu où il va fonctionner ou du domaine

dans lequel il est appelé à être mis en œuvre. C’est pourquoi une connaissance du mécanisme

de l’enseignement-apprentissage sera l’objet du chapitre suivant.

99

CHAPITRE III : Théorie de l’enseignement-apprentissage

Pour beaucoup, quand on parle d’enseignement-apprentissage, ce qui leur vient en tête est

généralement l’interaction entre l’apprenant ou l’élève et l’enseignant ou le maître. D’un côté,

l’enseignant qui fait tout son possible pour faire acquérir des savoirs, et de l’autre côté

l’apprenant qui essaie de s’en approprier. Entre les trois pôles (Enseignant - Apprenant -

Savoir) du triangle pédagogique de Jean Houssaye, les processus enseigner, apprendre et

former sont nettement manifestes. (Figure 108)

Figure 108: Triangle pédagogique de Jean Houssaye (1986)

Avant de faire un aperçu de différents modèles d’apprentissage, faisons quelques

acceptions sur les notions de savoir et connaissance.

C’est en 1978 que Brousseau établit une différence entre savoir et connaissance et les

recherches menées par Margolinas et Laparra (2010) sur la distinction entre savoirs et

connaissances pour la faire correspondre aux conceptions anthropologique et sociologique ont

abouti aux conclusions suivantes : une connaissance est inhérente à une situation et pour la

définir, il faut décrire les situations qui la caractérisent. Pour le savoir, il est rattaché à une

institution et pour le définir il faut spécifier la ou les institution(s) qui le produit.

Selon toujours Laparra et Margolinas (2010), une connaissance est ce qui réalise

l’équilibre entre le sujet et le milieu, ce que le sujet met en jeu quand il investit une situation.

Une connaissance est donc personnalisée et contextualisée tandis qu’un savoir est une

construction sociale et culturelle, qui vit dans une institution a dit Douglas (2004) et qui est,

par nature, un texte (ce qui ne veut pas dire qu’il soit toujours matériellement écrit). Ainsi, le

100

savoir est dépersonnalisé, décontextualisé, détemporalisé ; il est formulé, formalisé, validé et

mémorisé. (Margolinas, 2014)

Cependant, un lien dialectique existe entre savoir et connaissance et il se résume en deux

processus majeurs : le processus d’institutionnalisation et le processus de dévolution

(figure 109). Le processus d’institutionnalisation se produit lorsqu’une connaissance en

situation est reconnue comme utile par l’institution; elle est alors formulée, formalisée,

validée, mémorisée et elle acquiert un statut institutionnel. Inversement, quand un savoir mis

en texte par l’institution n’est plus dans les situations qui l’ont généré, son enseignement

nécessite sa déconstruction afin de retrouver les connaissances et les situations qui permettent

de lui donner un sens : c’est le fondement du processus de dévolution (Margolinas, 2014).

Figure 109: Lien dialectique entre savoir et connaissance

Source : Margolinas, 2014

En bref, ce qui est à étudier provient toujours d’une institution légitime - c’est en un sens

un savoir - et ce que doivent construire les individus doit leur permettre de faire face à des

situations - ce sont donc des connaissances ; et l’étude de la didactique se situe dans cette

circulation entre connaissance et savoir. (Margolinas, 2014)

Essayons de donner différents modèles d’enseignement - apprentissage afin de voir ce qui

serait le mieux adapter pour notre recherche action.

III-1 Des modèles d’enseignement-apprentissage

C’est seulement au début du XXe siècle que l’étude scientifique de l’apprentissage a

véritablement commencé (Corte, 2010). Les grandes théories qui sous-tendent notre angle de

101

vue sur l’apprentissage peuvent être résumées en six grandes catégories : le modèle

transmissif, le modèle behavioriste, le modèle cognitiviste, le modèle constructiviste, le

modèle explicite et le modèle de Singapour. Est-ce- qu’il y a une meilleure théorie plus que

les autres ? D’emblée, nous pouvons répondre « non ». En effet, ces différentes théories sont

élaborées par des chercheurs et des résultats nouveaux viennent étoffer les précédents. Leur

coexistence même justifie que les modèles qu’elles incarnent sont dynamiques, non définitifs.

De plus, chaque individu est unique avec ses expériences et histoires personnelles, ses

cultures propres etc…Il n’y a pas de règles fixes qui régissent le comportement et la conduite

de chacun ; les invariants n’existent pas. Au mieux, les réactions face à une situation sont

prévisibles mais les résultats de telles réactions sont aléatoires. A quoi nous servira-t-il alors

de voir ou revoir les théories des enseignements et apprentissages si nous savons d’avance

que l’aboutissement de nos actions sera aléatoire?

Nul n’est censé ignorer l’interdépendance, voire la très forte relation, entre

l’enseignement et l’apprentissage. Develay (1992) disait que chaque enseignant enseigne « en

fonction de la manière dont il pense que les élèves apprennent, et que tout enseignant est

porteur d’une théorie implicite de l’apprentissage qu’il est possible de lire en filigrane de ses

pratiques » (ibid. p.143).

En d’autres termes, la manière dont on enseigne et la manière de se représenter

l’apprentissage sont intimement liées. Ce qui nous amène à revoir les théories usuelles de

l’apprentissage, car nous sommes convaincus que tous ceux qui veulent porter le noble nom

d’enseignant devrait avoir un minimum des notions sur les grandes théories de l’apprentissage

afin d’être au clair vis-à-vis de ses méthodes et stratégies dans l’acte d’enseigner, dans le but

d’optimiser les résultats attendus lors des enseignements - apprentissages.

III-1-1 Le modèle transmissif

Le modèle transmissif est fondé sur la conception que :

1) avant l’enseignement, les élèves ne possèdent aucun élément de ce qui concerne le

sujet à traiter. Ils sont comparés à des vases vides ou à des cires sans empreinte

(figure 110). Seul l’enseignant possède le savoir qu’il essaiera de transmettre.

2) durant l’enseignement, le savoir transmis ne subira aucune déformation du moment

qu’il est exposé clairement et que les élèves écoutent attentivement. Des exercices

d’application ou d’entrainement permettront de bien assimiler les nouvelles connaissances.

102

Dans ce modèle, si les élèves commettent des erreurs, c’est qu’ils n’ont pas assez écoutés

et/ou que l’explication de l’enseignant est mauvaise. Pour y remédier, l’enseignant réexplique

et demande de la part des élèves une écoute plus attentive.

Comme avantage, en appliquant ce modèle, c’est le gain de temps pour finir le

programme d’étude et aussi un gain de moyens car l’enseignant peut progresser selon son

rythme et avec le ou les supports qu’il souhaite utiliser. Le modèle marche bien à condition

que les élèves soient motivés et attentifs d’où les limites de ce modèle :

- d’une manière ou d’une autre, vu l’avancé des nouvelles technologies de l’information

et de la communication, des élèves ont une conception et une représentation du sujet abordé et

ces conceptions ou représentations - surtout erronées - vont s’interférer avec la nouvelle

connaissance et ne seront pas remises en cause.

- chaque élève a sa spécificité physiologique et psychologique, alors le message de

l’enseignant ne sera pas perçu et reçu de la même manière par tous.

Figure 110: Schéma du modèle transmissif

III-1-2 Le modèle behavioriste

La conception béhavioriste de l’apprentissage est née dans les années 1900 aux Etats-

Unis, suite aux expériences en laboratoire sur le conditionnement mené par Pavlov (1849-

1936) et Watson (1878-1958). Elle est basée sur le fait que l’apprentissage consiste en un

changement de comportement reposant sur l’acquisition, le renforcement et l’application

d’association entre des stimuli provenant de l’environnement et des réponses observables de

l’individu, dites « liens S-R » ou d’associations. (Corte, p.40)

Dans le modèle béhavioriste, la tête de l’élève est assimilée à une boîte noire car on ne

peut pas savoir ce qui s’y passe. Seuls les comportements observables comme les réponses

103

aux questions posées ou les démarches utilisées pour résoudre un problème permettront à

l’enseignant de conclure s’il y a apprentissage ou pas. Un objectif d’apprentissage est alors

décomposé en sous objectifs qui, eux aussi, sont formulés en termes de comportements

observables. Ainsi, pour amener l’élève de l’état de connaissance initiale à l’état de

connaissance finale que l’enseignant s’est fixé, moyennant l’analyse des tâches, il propose des

activités qui vont aider l’élève à franchir, pas à pas et sous sa conduite, des étapes

intermédiaires afin d’acquérir des nombreuses capacités. (Figure 111)

Figure 111: Schéma du modèle béhavioriste

Les deux théories béhavioristes les plus importantes sont ceux de Thorndike (1874-1949)

et de Skinner (1904-1990).

La théorie de Thorndike est appelée associationnisme ou connexionnisme qui voit

l’association entre les stimuli et les réponses, contrôlée par d’importantes lois dont la

première est la loi de l’effet : une réponse à un stimulus est renforcée lorsqu’elle est suivie

d’un effet de récompense positive, et ce phénomène se produit automatiquement sans aucune

activité consciente. La deuxième loi est la loi de l’exercice : les associations S-R sont

consolidées par l’exercice et la répétition. (Corte, p. 41)

Quant à Skinner, la variante du béhaviorisme qu’il a développé est le conditionnement

opérant. Dans sa théorie, Skinner distingue le comportement déclenché par les stimuli

externes et le comportement opérant déclenché par l’individu : « la récompense apportée aux

éléments corrects d’un comportement plus complexe considéré dans son ensemble, renforce

celui-ci et accroît la probabilité répétition. Le renforcement contrôle ainsi la production des

comportements partiels souhaités et c’est ce qu’on appelle le « conditionnement opérant ».

( ibid. p.41)

104

De la théorie de Skinner est né l’enseignement programmé dans lequel les connaissances

sont décomposées en unités élémentaires et suivent un ordre préalablement défini. Les

questions sont courtes et les questions posées sont simples. L’enseignement programmé est

synonyme de l’enseignement assisté par ordinateur.

La Gestalt-psychologie et l’école de Wurzburg de la psychologie de la pensée réfutaient

l’idée behavioriste qui restreignait la psychologie comme science du comportement. Le

Gestaltisme qui vient du mot allemend Gestalt et qui signifie forme ou configuration, prone

pour un tout organisé mais pas de ses particules : « le tout est supérieur à la somme de ses

parties » . Selon les partisans du Gestaltisme, la connaissance du comportement humain ne

peut être connu qu’en l’étudiant comme un tout mais pas par ses éléments constitutifs comme

le fait l’approche béhavioriste.

L’apport majeur du Gestaltisme est l’étude de l’insight ou la perception globale et

soudaine d'une solution à un problème. Une situation d'apprentissage doit être perçue comme

un tout et que l'élève comprenne le sens global de ce qu'il fait plutôt que d'appliquer des

procédures automatiques ou une mémorisation par cœur. Apprendre consiste à faire

l’expérience de cet insight, à découvrir une structure, et donc à comprendre.

Wolfgang Köhler (1887-1967) a mis en évidence cet apprentissage par insigth (insigth

learning) par des expériences sur le comportement des chimpanzés dans la résolution de

problème. Köhler décrit comment l’animal s’arrête après plusieurs essais infructueux [attraper

une banane avec des bâtons] (figure 112), puis semble découvrir subitement une solution

nouvelle par la réorganisation des éléments du problème [empiler des caisses se trouvant dans

la gage pour attraper la banane].(Figure 113)

Figure 112: Expérience de l'insight Figure 113: Expérience de l'insight (suite)

105

Mais l’approche Gestaltiste n’avait pas beaucoup à dire sur l’enseignement car elle est

une approche assez globale de l’apprentissage (Corte, p.42).

Quant à l’école de Wurzburg, elle s’est penchée sur l’etude de la réflexion et plus

particulièrement à la résolution de problème. Selon leur théorie, « un processus de résolution

de problèmes est guidé par une tendance détérminante, c'est-à-dire que la réflexion est

orientée vers l’objectif et contrôlée par la tâche (Aufgabe). » (Corte, p.42). De par leur théorie

découle l’idée que, d’une part « pour qu’une réflexion soit bonne, elle doit faire appel à des

méthodes de résolution appropriées », d’autre part « il existe des méthodes spécifiques pour

résoudre des problèmes particuliers ».

Nous pouvons donc résumer en disant que du béhaviorisme ou comportementalisme sont

nés la pédagogie par objectif et l’enseignement assisté par ordinateur. La tâche principale de

l’enseignant est de définir les sous-objectifs et de mettre en place des exercices progressifs,

pour permettre aux élèves de franchir sans grandes difficultés les étapes intermédiaires. Quant

aux apprenants, on attend d’eux le traitement des exercices proposés suivant l’itinéraire

balisé. Selon le principe béhavioriste, les erreurs de l’élève montrent que des sous objectifs ne

sont pas suffisamment ou bien décomposés.

Parmi les avantages du béhaviorisme, nous pouvons souligner : l’attitude de l’enseignant

qui est attentif aux possibilités et à l’évolution individuelle de l’élève ; donc un enseignement

centré sur l’apprenant pour favoriser son action. Il lui propose des activités bien adaptées. À

son tour, l’élève peut progresser à son rythme et acquiert de l’automatisme; il est le plus

souvent en situation de réussite. Quant à l’évaluation, elle est facilitée et clarifiée puisque les

objectifs sont bien définis.

Bien que le modèle béhavioriste présente des avantages, deux inconvénients majeurs sont

à souligner. D’une part, le fait de découper les tâches empêche la vision d’ensemble - on voit

chaque marche mais on ne voit pas l’escalier - et les recherches montrent que le fait de

maîtriser des sous compétences ne garantit pas la maîtrise d’une situation ; la somme des

parties ne forme pas le tout (Durkheim); une personne peut savoir tenir le volant, allumer le

contact, débrayer, freiner …mais ne pas savoir conduire. D’autre part, les représentations

initiales de l’élève - qui n’ont pas été prises en compte - peuvent ressurgir face à des

problèmes complexes.

106

III-1-3 Le modèle cognitiviste

À la fin des années 50, pour la psychologie américaine, le béhaviorisme a cédé la place à

la psychologie cognitive dans le cadre de ce qu’on a appelé la « révolution cognitive »

(Gardner, 1985. Cité par Corte, 2010, p.42). L’individu est plus quelqu’un qui traite

l’information que celui ou celle qui réagisse à des stimuli externes. L’émergence de

l’ordinateur, comme outil de traitement de l’information et qui est devenu une métaphore de

l’esprit humain, a favorisé l’évolution du modèle cognitiviste.

L’approche basée sur le traitement de l’information s’est progressivement imposée dans

la psychologie éducative des années 70 et, contrairement au béhaviorisme, elle a fortement

influencé la recherche européenne. Au lieu de se borner à étudier un comportement

observable de l’extérieur, l’objectif était de comprendre les processus mentaux internes et les

structures de savoir qui sous-tendent le comportement humain. (Corte, p.43)

Le modèle cognitiviste a radicalement changé la conception de la nature de la cognition

humaine : la vision atomistique était remplacée par celle de la Gelstat pour laquelle

l’organisation de la connaissance est la caractéristique centrale de la cognition, et à la

métaphore béhavioriste de l’apprentissage comme renforcement des réponses s’est substituée

celle de l’acquisition des connaissances.

L’apprenant est assimilé à un processeur d’informations qui absorbe les informations,

effectue des opérations cognitives sur celles-ci et les enregistre en mémoire. Par conséquent,

les cours magistraux et les manuels sont les méthodes d’enseignement privilégiées ; dans ses

formes les plus extrêmes, l’apprenant est le réceptacle passif du savoir considéré comme un

produit dispensé par l’enseignant (Mayer, 1996 ; Sfard, 1998 ; cité par Corte, 2010).

Dans le modèle cognitiviste, le cerveau humain est organisé de façon à pouvoir conserver

les informations qu’il tire de l’environnement. La mémoire est donc une fonction cognitive

particulièrement importante dans le cognitivisme (Jonnaert, 2005).

. On distingue généralement trois formes de mémoire : la mémoire sensorielle, la

mémoire à court terme ou mémoire de travail, et la mémoire à long terme qui ont fait l’objet

de nombreuses recherches quant à leur fonctionnement et rôle. (Figure 114)

107

Figure 114: Trois types de mémoire

Selon Tardif (1992), quelques principes de base de la conception cognitiviste de

l’apprentissage sont :

- l’apprentissage est un processus actif et constructif.

- l’apprentissage est l’établissement de liens entre les nouvelles informations et les

connaissances antérieures.

- l’apprentissage requiert l’organisation constante des connaissances.

III-1-4 Le modèle constructiviste

1) Le modèle constructiviste

Le modèle constructiviste a pris racine par les travaux du psychologue et pédagogue Jean

Piaget (1896-1980) qui portent essentiellement sur la construction des connaissances au cours

du développement biologique de l’homme. Selon les théories constructivistes de Piaget,

apprendre c’est construire des connaissances au cours de son développement et c’est parce

que l’homme est actif qu’il acquiert des connaissances. Il ne suffit pas de voir, de percevoir,

mais il faut agir et expérimenter. Apprendre c’est avoir des outils conceptuels (modèles

théoriques) et expérimenter (situations).

Pour élucider les processus mentaux et les structures internes des connaissances dans

leurs études de l’apprentissage et de la pensée, les psychologues cognitifs devaient proposer

des tâches plus complexes que les simples tâches de laboratoire utilisées par les béhavioristes.

Dans les années 70 et 80, ces travaux ont donnés naissance à l’idée que les apprenants ne sont

108

pas des réceptacles passifs de l’information mais qu’au contraire, ils construisent activement

leurs connaissances et leurs compétences par interaction avec l’environnement et

réorganisation de leurs structures mentales (Corte, p.43).

Tout comme pour le cognitivisme, le constructivisme postule que chaque personne

construit ses connaissances. La construction se fait dans l’action en situation et par la

réflexion sur les actions et leurs résultats. Une personne appréhende et comprend les

situations nouvelles à travers ce qu’elle sait déjà et modifie ses connaissances antérieures afin

de s’y adapter. Chaque adaptation à une nouvelle situation permet d’élargir et d’enrichir le

réseau de connaissances antérieures dont dispose une personne. Cette progression continue du

réseau des connaissances lui permet de traiter des situations de plus en plus complexes.

(Jonnaert, 2005)

Dans le modèle constructiviste, les apprenants quel que soit leur âge, leur esprit n’est pas

vierge, table rase ou cire sans empreinte9. Ils sont donc des constructeurs de savoirs et de sens.

Les recherches de De Corte et Verschaffel (1987) ont conforté cette vision constructiviste de

l’apprentissage des enfants dans le domaine simple de la résolution de problèmes d’addition

ou de soustraction en une étape. En fait, ils ont observé que les élèves de première année

mettent en œuvre une grande diversité de stratégies de résolution, dont beaucoup ne sont pas

enseignées à l’école ; c'est-à-dire qu’elles ont été construites par les élèves eux-mêmes. Dans

la résolution du problème suivant, « Pete avait des pommes, il en a donné 5 à Anne et il lui en

reste 7 ; combien de pommes avait-il au départ ? », ils ont observés que plusieurs enfants ont

estimé la quantité initiale et vérifié leur intuition en la diminuant de 5 pour voir s’il restait 7

unités, une sorte de démarche par tâtonnement qu’ils ont inventée tout seul déduisent-ils.

De nombreux travaux plus anciens de spécialistes influents comme Piaget (1955) et

Bruner (1961) consolident la nature constructive de l’apprentissage.

Jonnaert (2005) avance que dans le perspectif constructiviste, l’adulte ne fait pas

qu’acquérir des connaissances, il apprend aussi à les adapter aux situations. Une personne

s’adapte à des types de situations en développant des compétences. L’adaptation ne constitue

pas qu’un transfert de connaissances à des situations similaires, elle permet aussi des

ajustements à ce que les situations comportent de nouveau ou d’imprévisible. L’adaptation

compétente ou intelligente aux situations se situe donc toujours au-delà de la stricte utilisation

des connaissances, et l’on préfère généralement en parler comme d’une mobilisation des

ressources. Comme le souligne Perrenoud (2002, p. 46) : (…) mobiliser, ce n’est pas

109

seulement « utiliser » ou « appliquer », c’est aussi adapter, différencier, intégrer, généraliser

ou spécifier, combiner, orchestrer, coordonner, bref, conduire un ensemble d’opérations

mentales complexes qui en les connectant aux situations, transforment les connaissances

plutôt qu’elles ne les déplacent.

Il existe de multiples variantes du constructivisme mais parmi qui intéressent l’éducation,

relevons la distinction entre le constructivisme radical et le constructivisme modéré.

Pour les constructivistes radicaux, une connaissance n’est rien qu’une construction

cognitive idiosyncratique ou particulière et en aucun cas le reflet d’une réalité externe.

Pour les constructivistes modérés (ou réalistes), les apprenants parviennent à des

structures cognitives qui, au final, correspondent aux réalités externes de l’environnement, et

ce processus de construction peut être favorisé par l’enseignement.

Mais tous les courants constructivistes s’accordent sur une démarche centrée sur

l’apprenant, dans laquelle l’enseignant n’est plus un transmetteur de savoir mais un guide

cognitif de l’apprentissage des élèves. Ses caractéristiques peuvent se résumer par :

- l’apprentissage se fait par l’action

- les apprenants ont une représentation de l’objet de l’apprentissage

- la connaissance ne s’acquiert pas par simple empilement ; elle passe d’un état

d’équilibre à un autre par des phases transitoires au cours desquelles les connaissances

antérieures sont mises en défaut ; c’est le conflit cognitif.

Un des notions clé dans le constructivisme est le conflit cognitif : il n’y a pas

apprentissage sans conflit qui engendrera différentes phases :

assimilation - accommodation - équilibration.

Selon le constructivisme, à travers ses expériences et ses connaissances antérieures, si

une information reçue par l’apprenant est conforme à ses représentations initiales, elle sera

assimilée (phénomène d’assimilation) et viendra s’ajouter aux connaissances antérieures.

Dans le cas contraire, une phase de déstabilisation se produit, un déséquilibre cognitif survient

chez l’apprenant ; soit il arrive à résoudre le conflit en acceptant de réorganiser et adapter ses

conceptions et ses schèmes pour se conformer à l’environnement (phénomène

d’accommodation) et il y a un nouvel équilibre (équilibre supérieur) (Figure 115), soit le

conflit n’est pas résolu et donc l’état de déséquilibre persiste jusqu’à la confrontation de

l’apprenant avec de nouvelles expériences ou connaissances qui le déstabilisera.

9 Bachelard : La formation de l’esprit scientifique.

110

Figure 115: Constructivisme, conflit cognitif

Le nouveau savoir n'est effectif que s'il est reconstruit pour s'intégrer au réseau

conceptuel de l'apprenant. Ausubel (1968) parle de ponts cognitifs. La façon dont l'élève

assimile les connaissances est primordiale. Il peut y avoir des apprentissages significatifs

(sens, liens avec ce que l'élève sait déjà) et mécaniques (sans liens, du «par coeur»).

Les thèses structuralistes du psychologue Jean Piaget, pour en justifier la thèse centrale :

toute connaissance est le résultat d'une expérience individuelle d'apprentissage, font appel

aux concepts d'accommodation (modification du schème ou action structurée de l’organisme

en fonction de la localisation des composantes de l'objet) et d'assimilation (« transformation »

de l'objet par un schème de l'organisme) formant le processus d'adaptation.

André Giordan ajoute que cette accommodation transforme les schèmes de la pensée et vient,

le plus souvent, s'opposer aux savoirs établis.

Ce conflit cognitif, base de la pédagogie constructiviste, se heurte à des difficultés à

différents niveaux:

- Un individu maintient sa représentation sur un objet tant et aussi longtemps qu'il n'a pas de

problème avec cette conception.

- Avec le temps, les représentations spontanées reprennent leur place puisque dans la vie

courante, elles fonctionnent.

- La conception initiale fortement enracinée est trop éloignée de la nouvelle représentation

proposée pour que l'apprenant puisse l'accepter.

111

- L'élève manque d'informations ou ne dispose pas des ressources (opérations mentales,

stratégies et procédures à utiliser...) nécessaires à l'intégration d'une nouvelle conception.

- Il n'a pas envie de changer parce qu'il n'y trouve pas d'intérêt.

Le rôle de l’enseignant est donc :

- de faire resurgir les conceptions ou représentations de l’élève moyennant des

questionnements,

- de stimuler la curiosité par des situations paradoxale ou énigmatique,

- de placer l’élève dans une situation qui lui crée un conflit cognitif provoqué par une

contradiction entre sa représentation initiale et une réalité observée,

- d’orienter l’apprenant non pas vers des buts d’enseignement définis à l’avance mais

vers l’élaboration d’une interprétation personnelle des choses.

De son côté, l’élève a un rôle proactif car il est un décideur dans sa démarche de

construction du savoir, même s’il est accompagné par l’enseignant qui a conçu un

environnement d’apprentissage riche et stimulant.

2) Le modèle socioconstructiviste

À la fin du 20éme siècle, la conception constructiviste de l’apprentissage a connu une

évolution avec l’émergence de la perspective de la cognition et de l’apprentissage situé dans

lequel le contexte ainsi que l’interaction sociale jouent un rôle important. Influencée par des

travaux de Vygotsky (1896 - 1934), la vision constructiviste de la cognition et de

l’apprentissage comme traitement d’informations a fait l’objet de critiques dont la principale

est qu’elle considère la cognition et l’apprentissage comme des processus mentaux

enfermés et le savoir comme autosuffisant et indépendant des situations dans lesquelles il se

développe.

C'est l'élève qui apprend et personne ne peut le faire à sa place. Et cependant, il peut

difficilement trouver seul toutes les données nécessaires à tout changement de conceptions. Le

rôle de l'enseignant est alors primordial : c'est lui qui doit proposer et mettre en place une

pédagogie socioconstructivistes pour permettre aux élèves de construire et intégrer les

nouveaux savoirs

112

Dans le modèle socioconstructiviste, la dimension sociale de l’apprentissage est prise en

compte. Les informations sont en lien avec le milieu social, le contexte et proviennent à la

fois de ce que l'on pense et de ce que les autres apportent comme interactions. La construction

d'un savoir, bien que personnelle, s'effectue dans un cadre social. Un individu apprend

lorsqu’il interagit avec son environnement ; Vygotsky prétend que les interactions sociales

sont primordiales dans un apprentissage et il a développé le concept de la ZPD (Zone

Proximale de Développement), une zone qui admet comme limite inférieure ce que

l’apprenant peut au maximum faire tout seul et comme limite supérieure ce qu’il peut au

maximum faire avec des aides d’autrui (appelé communément l’expert) (figure 116). Cette

ZPD se situe donc entre deux zones : la zone d’autonomie qui regroupe l’ensemble des

apprentissages à réaliser et que l’enfant sait faire seul et la zone de rupture contenant des

tâches trop difficile à exécuter par l’élève même avec beaucoup d’aides (figure 117).

L’enseignant doit donc proposer à l’élève des situations d’apprentissage diversifiées(les

contenus, les structures, les processus et les productions) qui visent sa zone proximale de

développement. Ainsi, il lui sera possible de poursuivre le développement de ses compétences

en mettant à profit ses connaissances antérieures, le soutien de l’enseignant et l’interaction

avec ses pairs.

Figure 116: Représentation linéaire de la ZPD

113

Figure 117: Localisation de la ZPD entre la zone d’autonomie et la zone de rupture

Un concept fondamental dans la théorie socioconstructiviste est la notion de conflit socio

cognitif qui s’éloigne de la conception individualiste de Piaget. Doise et Mugny (1981)

prolongent les travaux de Piaget et Vygotsky. Ils présentent les interactions entre pairs comme

source de développement cognitif à condition qu'elles suscitent des conflits sociocognitifs.

Selon ces deux auteurs, l'interaction sociale est constructive dans la mesure où elle introduit

une confrontation entre les conceptions divergentes. Un premier déséquilibre interindividuel

apparaît au sein du groupe puisque chaque élève est confronté à des points de vue divergents.

Il prend ainsi conscience de sa propre pensée par rapport à celle des autres. Ce qui provoque

un deuxième déséquilibre de nature intra-individuelle : l'apprenant est amené à reconsidérer,

en même temps, ses propres représentations et celles des autres pour reconstruire un nouveau

savoir. Le narratif devient, dans cette perspective, un moyen de "penser notre propre pensée"

(Bruner, 1995) et renvoie à la compréhension de sa propre pensée ainsi que celle d'autrui.

Le conflit socio cognitif accélère la plupart du temps l’apprentissage ou le changement de

point de vue pour trois raisons essentielles :

1. Il permet une décentration par rapport à son point de vue de départ (la connaissance

du point de vue des autres permet de se représenter autrement le problème)

2. Il permet de recueillir des informations ou idées nouvelles

3. Il renforce l’implication et la motivation (le groupe favorise une certaine émulation)

114

Dans les séances de formation professionnelle, le conflit socio cognitif est

particulièrement important pour résoudre des tâches complexes telles que la production

d’idées nouvelles (séance de créativité), l’analyse de pratiques professionnelles (ateliers de

co-développement ou co-professionnalisation), les études de cas ou projets d’études. A

l’inverse, des études ont montré qu’il pouvait être contre-productif pour des apprentissages

simples.

Par ailleurs, le conflit socio cognitif a deux effets secondaires positifs :

1. Il favorise l’apprentissage de compétences sociales (écoute active, empathie,

argumentation…)

2. Il renforce le sentiment d’efficacité personnelle (à plusieurs on a plus de chance d’y

arriver !)

Comme tout modèle, le constructivisme et le socio constructivisme ont leurs limites.

L’enseignement basé sur ces modèles est coûteux en temps car nous devons tenir compte

des rythmes d’apprentissage des élèves.

Leur mise en œuvre nécessite des enseignants qui ont des hauts niveaux de compétences.

En effet, d’abord ces enseignants doivent cerner les obstacles à l’apprentissage, ensuite ils

doivent trouver, élaborer et /ou concevoir et mettre en place des situations problèmes - outils

par excellence du constructivisme et socioconstructivisme - pour faire prendre conscience aux

élèves les insuffisances de leurs conceptions.

La gestion du conflit cognitif ou socio cognitif n’est pas chose facile, surtout dans les

groupes classes où les effectifs pléthoriques, alors qu’il faut aider les élèves à construire les

nouveaux savoirs et proposer des exercices appropriés pour les consolider.

III-1-5 Le modèle explicite

Dans le modèle explicite, on pratique un enseignement direct et structuré, fortement

guidé par l’enseignant. Son principe est que :« l’enfant n’apprend que si l’enseignant

enseigne »( Gauthier et al., 2005). Le modèle explicite se focalise sur le contenu et la

présentation du cours et est basé sur une transmission de savoirs et l’acquisition d’habilité et

de compétences par l’élève.

Il se veut de faire l’équilibre entre le « Teaching » (l’enseignement) et le

« Learning » (l’apprentissage). Les fondements et les effets produits plus globalement sont :

les apprentissages de base et les habilités intellectuelles, notamment la résolution de problème

les dimensions plus affectives comme l’image et l’estime de soi.

115

L’objectif d’un enseignant est que les élèves acquièrent des compétences. L’outil

utilisé pour cela est les tâches complexes. Une tâche est complexe si elle n’est pas compliquée

mais qui permet de vérifier chez l’élève s’il est capable de mobiliser, transférer des

connaissances qu’il a apprises.

Le modèle se fonde sur le fait qu’il ne peut y avoir de compétences sans connaissances

préalables. Par conséquent, la tâche complexe est le point d’arrivée (et non le point de départ)

Concrètement, cela signifie qu’il faut d’abord enseigner des connaissances, des savoirs

notionnels. L’enseignement doit ainsi augmenter la quantité et la qualité des connaissances

stockées dans la mémoire à long terme pour que l’élève acquière des compétences.

Trois stades pour atteindre une compétence :

Les savoirs notionnels (quoi faire) – stade de l’habileté ou des connaissances

Les savoirs procéduraux (quand, où, pourquoi et comment le faire) – stade de la capacité

Les savoirs transférables – stade de la compétence.

Pour devenir compétent, l’élève doit :

- comprendre et mémoriser ce qu’il a appris,

- se servir fréquemment et avec succès de ce qu’il a appris.

Le rôle de l’enseignant consiste alors à :

- Temps 1: enseigner, dans un premier les savoirs notionnels de façon cohérente

(habiletés-connaissances),

- Temps 2: proposer des situations nombreuses et variées en apprenant aux élèves à

mobiliser leurs connaissances (capacités),

- Temps 3: entraîner les élèves à transférer leurs savoirs dans des tâches complexes

(compétence).

Pour la gestion de la classe, les attributions de l’enseignant sont :

1. Installer dans la classe les conditions d'un travail efficace avant même l'enseignement

de la matière.

2. Etablir des règles de classe, simples, claires et peu nombreuses qui permettront aux

élèves de connaître avec précision les attentes de l'enseignant concernant la façon de se mettre

au travail mais aussi la façon de se comporter dans tel ou tel moment de classe (se mettre en

rang, se préparer au travail…).

Deux éléments primordiaux toujours présents dans une leçon explicite :

- la compréhension

116

-la mémorisation

Dans la préparation, l’enseignant doit donc anticiper l’étayage, la verbalisation de

l’apprentissage qui permettra aux élèves de comprendre et de mémoriser.

Le plan de la leçon sera structuré avec un déroulement précis.

Rapportons une comparaison du modèle explicite avec les autres modèles.

Modèle explicite vs modèle transmissif.

Les deux modèles sont instructionnistes, basés sur le fait que la transmission des

connaissances par les enseignants est primordiale. Leur différence est que dans le modèle

explicite :

- On se focalise sur la compréhension des acquis et le maintien en mémoire.

- On ne se contente pas de présenter une leçon et ensuite de proposer des exercices.

- On présente les notions du simple au complexe sans créer de surcharge cognitive.

- L’enseignant guide et questionne les élèves, vérifie constamment leur compréhension

de façon active (rétro-action) avant de les laisser s’exercer en autonomie. Il interagit avec eux

en les incitant à justifier leurs réponses, à formuler leur raisonnement.

Modèle explicite vs modèle constructiviste

Les deux modèles se soucient de l’apprentissage de l’élève (notamment la métacognition)

et de viser l’acquisition de compétences, le modèle explicite met plus l’accent sur le rôle de

l’enseignant plutôt que celui de l’élève. Même si dans les deux modèles la tâche complexe fait

partie des outils, elle est une fin pour le modèle explicite mais pas un point de départ. En effet,

on constate que les élèves en difficulté sont moins impliqués si on les met devant une tâche

complexe alors qu’ils ne disposent pas de toutes les du raisonnement (très souvent implicite)

Les recherches nord-américaines ont d’ailleurs montré que les pratiques les plus efficaces

pour les élèves ayant des difficultés d’apprentissage ou de comportement sont celles de la

Direct Instruction où l’enseignant guide les élèves qui ne savent pas apprendre seuls.

(CAS, 2015)

117

Modèle explicite vs modèle behavioriste

Éviter la surcharge cognitive en allant du simple au complexe est la similarité des deux

modèles. Mais le fait que le modèle explicite se fixe comme objectif l’acquisition des

compétences des élèves en favorisant la révision et l’automatisation des connaissances pour

pouvoir les transférer dans des tâches complexes.

Avec la tendance des nouveaux programmes des écoles primaires et secondaires élaborés

selon une logique de compétences, le cadre conceptuel du modèle d’enseignement est

normalement le constructivisme et socioconstructivisme. Le constructivisme est

essentiellement centré sur l’apprenant et sur la manière dont il construit son savoir. Il «repose

sur le postulat voulant qu’il n’y ait de connaissance que construite par l’apprenant lui-même,

c’est-à-dire par son activité cognitive (Piaget, 1971, cité par C. Gauthier, S. Bissonnette et M.

Richard, 2008, p. 239).

La connaissance se construisant par le sujet, l’enseignant doit alors adopter des approches

pédagogiques centrées sur l’apprenant favorisant la construction de ses savoirs. Dans cette

perspective, les enseignants doivent renoncer à enseigner «quelque chose» pour devenir plutôt

des guides, des facilitateurs ou des accompagnateurs des élèves dans la construction cognitive

de leurs propres savoirs (Chall, 2000, cité par Gauthier et al. 2008). Comme l’enseignement

prend plutôt sa source dans les théories cognitivistes et behavioristes, le paradigme de

l’enseignement s’éloigne de celui de l’apprentissage. Les enseignants sont alors contraints de

remettre en question tant dans leurs pratiques que dans leur conception de

l’enseignement-apprentissage.

Devant tous ces changements, le seul invariant où tous les modèles trouvent

consensus est : « le savoir se construit ». L’approche pédagogique proposée par chaque

modèle pour favoriser la réussite scolaire varie de l’un à l’autre.

III-1-6 Le modèle de Singapour

. Le modèle Singapour n’est pas un modèle de Singapour comme si il est inventé à

Singapour. D’après le rapport Villani et Torrosian (2018) :

C’est une synthèse de pratiques didactiques et pédagogiques efficaces, reposant sur les

travaux de nombreux chercheurs ou s’inspirant de textes plus anciens. Pendant quinze ans, la

méthode a été testée, corrigée et améliorée grâce aux retours du terrain. Tous les professeurs

du pays ont été formés dans l’Institut national de l’éducation. (p. 19)

118

L’application du modèle a permis à la République de Singapour de caracoler en tête des

classements internationaux en mathématiques. Singapour occupe notamment la première place

du podium au fameux test PISA (Programme international pour le suivi des acquis des élèves)

aux élèves du pays de Singapour de se classer parmi les meilleurs de la planète.

Toujours selon ce rapport de Villani et Torossian, la méthode repose sur trois piliers

fondamentaux : le niveau macro (facteurs socioculturels et économico-politiques), le niveau

organisationnel (qualité des écoles, de la formation des professeurs, du curriculum, etc.), et le

niveau familial (socialisation et parentage).

Une pédagogie explicite et systématique mais non dirigiste sous-tend le modèle : l’élève

est guidé de manière explicite mais non dirigiste dans son apprentissage ; des étapes

d’apprentissage bien identifiées : L’étape concrète, l’étape imagée, l’étape abstraite.;

Les quatre opérations sont introduites dès le cours préparatoire, leur sens étant exploré

dès la maternelle. Des stratégies efficaces de résolution de problèmes mathématiques, une

formation initiale intensive, le développement professionnel du professeur, centré sur la

didactique disciplinaire et relié à la pratique de classe sont des accompagnements nécessaires

à l’application du modèle.

Dans le modèle de Singapour, la verbalisation est centrale : dès la maternelle, le

professeur encourage l’élève à raisonner à voix haute et à échanger avec les autres en mettant

« un haut-parleur sur sa pensée ». Le modèle s’accompagne d’un travail collaboratif entre

professeur au sein d’une même école ou même entre écoles, il est cohérent avec les intérêts et

besoins des professeurs, il prend en compte les priorités nationales ou locales (de l’école). Le

professeur ne se voit pas comme un technicien « exécutant » mais comme un professionnel

capable d’analyser sa propre pratique.

En un mot, c’est un modèle dans lequel tous les acteurs du système éducatif avec les

parents prennent part et collaborent pour la réussite de l’éducation.

Pour notre cas à Madagascar, le modèle qui prédomine est surtout le modèle transmissif.

En effet, la majorité des enseignants qui sont actuellement en poste a fait leurs études et est

formé avec ce modèle. De plus, la situation est marquée par un manque de formation continue

en pédagogie, didactique et académique.

https://www.sciencesetavenir.fr/tag_lieu/singapour_4535/

https://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/mathematiques/maths-l-enquete-pisa-2015-de-l-ocde-montre-que-le-niveau-des-eleves-francais-baisse_108665

119

III-2 Conception de l’apprentissage et de l’enseignement

Comme nous pensons enseignement-apprentissage et que nous voulons agir et apporter

des savoirs et savoir-faire au niveau du système éducatif malgache, faisons un aperçu des

conceptions sur l’apprentissage et sur l’enseignement.

III-2-1 Conception de l’apprentissage

Pour Carol Ann Tamlinson, pionnière dans la différenciation pédagogique, « Apprendre,

c’est devenir meilleur ».

Rappelons que pour Piaget, apprendre c’est construire des connaissances au cours de son

développement et c’est parce que l’homme est actif qu’il acquiert des connaissances. Il ne

suffit pas de voir, de percevoir, mais il faut agir et expérimenter. Apprendre c’est avoir des

outils conceptuels (modèles théoriques) et expérimenter (situations).

Selon Perrenoud(2003), apprendre n’est pas une activité entièrement rationnelle, qu’elle

engage notre identité, notre rapport au monde ; bref qu’apprendre, c’est désirer, persévérer,

construire, interagir, prendre des risques, changer, exercer un drôle de métier, mobiliser et

faire évoluer un rapport au savoir10

.

Pour sa part, Tricot souligne qu’apprendre c’est « élaborer une connaissance nouvelle ou

transformer une connaissance ancienne ». On ne connait que contre une connaissance

ancienne disait Bachelard.

Quant à Segui (2006), l’apprentissage est un acte individuel : « je » apprends : «

l’apprentissage est une métamorphose » « faire avec pour aller contre » a dit Giordan André.

Cependant, Segui attribue à l’apprentissage une dimension sociale car il nécessite des

expériences mettant en jeu l’individu et le collectif : interactions entre pairs, échanges,

confrontations,….

En outre, l’apprentissage prend appui et fait référence à des conceptions existantes

(individuelles et collectives). Il n’opère pas par substitution des conceptions, de connaissances

pré existantes mais agglomération d’éléments nouveaux : les éléments nouveaux ne

remplacent pas ou ne s’insèrent pas dans une place pré existante mais donnent une nouvelle

forme générale (modèle allostérique de Giordan).

Selon le point de vue socioconstructiviste, l’apprentissage est un acte social :

– au sein de l’école : confrontations entre pairs

120

– en dehors de l’école : contexte familial, environnemental.

Il convient de toujours se souvenir que les élèves vivent un certain rapport au savoir dans

leur milieu familial avant d’être en contact avec le savoir scolaire. (Develay, 1992)

Il y a donc interaction entre les expériences scolaires et personnelles et parfois même

conflits.

Rapportons en dernier lieu l’influence du milieu sur l’acte d’apprendre. Les enquêtes

PISA, rapportées par Opertti et Duncombe (2011), indiquent que :

L’environnement d’apprentissage joue un rôle important dans la performance des élèves.

Ils ont tendance à mieux faire dans un environnement orienté vers les résultats, où les

enseignants ont des attentes élevées pour tous et où les élèves peuvent profiter du processus

d’apprentissage. En outre, une bonne relation entre enseignants et élèves est essentielle pour

s’assurer que les besoins individuels des élèves peuvent être satisfaits. Parmi ces facteurs, une

analyse des données PISA 2003 (Schleicher, 2009) montre que la qualité des relations entre

enseignants et élèves et le niveau de la discipline en classe sont fortement corrélés avec les

performances des élèves.

Qu’est-ce que l’enseignant peut faire pour favoriser l’acte d’apprendre ?

Rappelons que c’est l’élève qui apprend et lui seul, la tâche principale de l’enseignant est

donc de mettre en place des conditions et des situations favorables à cet apprentissage et de

faire en sorte que les élèves aient de bonnes stratégies d’apprentissage qui sont « des

opérations cognitives ou métacognitives destinées à mieux intégrer l'information ». (Goupil et

Lusignan, 1999)

Qui d’entre nous n’a pas ses techniques propres pour apprendre et retenir les formules

mathématiques ? Ou les règles grammaticales en français ? Goupil et Lusignan (1999)

rapportent quelques stratégies d’apprentissage recensées dans la littérature scientifique et qui

pourraient s’appliquer en écriture ou en mathématiques : la prise de notes, l'autoexamen, la

planification du temps, la méthode KWL (Know, Want to know, Learn), où l'élève est amené à

évaluer au cours d'un apprentissage ce qu'il sait (Know), ce qu'il veut savoir (Want to know),

puis ce qu'il a appris (Learn), ou encore le système Murder proposé par D. F. Dansereau et qui

fait appel à différentes étapes. Murder est le raccourci de Mood (établir l'humeur nécessaire à

l'étude), Understand (comprendre la tâche), Recall (se rappeler), Detail (détailler

l'information), Expand (développer) et Review (examiner le résultat final).

10 Nous pouvons voir en détail dans Perrenoud, P. (2003). Qu'est-ce qu'apprendre ? Enfances & Psy, no24

121

III-2-2 Conception de l’enseignement

Nous avons vu selon les différentes théories sur l’apprentissage que le rôle de

l’enseignant diffère selon le modèle adopté. Mais nous allons essayer de voir différentes

conceptions de l’enseignement selon les perspectives constructivistes et socioconstructivistes.

Tout d’abord voyons deux acceptions du terme enseigner selon Scheffler (2003, voir

aussi Le Du, 2006, cité par Dessus, 2014).

Premièrement, enseigner en termes d’intentions : un professeur essaie d’enseigner un

contenu à des élèves, sans pour autant qu’on soit sûr du succès de l’entreprise. L’enseignant

aurait l’intention ou la tâche de faire apprendre quelque chose à l’élève, et cette intention ou

cette tâche se réalisent, non pas dans n’importe quel contexte, mais dans celui particulier

d’une école, d’un programme scolaire, etc.

Deuxièmement, enseigner en termes de succès, ce qui entraîne une performance : un

professeur a enseigné (avec un certain succès) un contenu à des élèves.

Notre société actuelle exige de plus en plus de bonne performance et des bons résultats de

l’enseignement.

Une définition classique de Not (1987, cité par Dessus, 2008) « enseigner, c’est susciter

l’apprentissage » montre une relation de dépendance entre enseigner et apprendre sans pour

autant que cette relation soit une relation de cause à effet puisque ; on peut apprendre sans

enseignement et on peut enseigner sans entraîner un apprentissage.

Dans le triangle pédagogique de Jean Houssaye, le processus enseigner existe entre

l’enseignant et le savoir. L’enseignant doit donc être « en bon terme » avec le savoir plus

qu’avec l’élève. En effet, l’épistémologie scolaire montre que l’efficacité de l’enseignement

ou sa réussite, c'est-à-dire l’atteinte de sa finalité - faire apprendre - n’est pas : plus je

m'occuperai de l’élève, plus je saurai comment lui enseigner ”, mais “ plus je m'intéresserai

au savoir et plus je saurai quoi ” et aussi en partie comment enseigner. » (Develay, 1992,

p.59). Ce qui ne veut pas dire que l’on ne tient pas compte du troisième pôle (l’élève). Le rôle

médiateur de l’enseignant entre le savoir à faire acquérir et les connaissances à faire

construire l’oblige à appliquer un enseignement qui faciliterait l’apprentissage des élèves en

ayant une bonne maîtrise de sa discipline car comme disait Perrenoud (2003), « quiconque

maîtrise une discipline est capable de mettre son savoir en mots et d’adresser un discours

construit à un élève ou un étudiant ».

122

Dans ce même ordre d’idée, Tricot (2005) rapporte les synthèses de Merrill (2002), de

Gauthier et al., (2005) ou de Mayer (2007) qui portent spécifiquement sur la Didactique et qui

stipulent que :

Un enseignement efficace facilite l’apprentissage des élèves et que pour faciliter

l’apprentissage, il faudrait :

1. engager les élèves dans des tâches de résolution de problèmes du monde réel ;

2. solliciter les connaissances préalables des élèves comme fondation de nouvelles

connaissances ;

3. (dé)montrer les nouvelles connaissances aux élèves (c’est-à-dire les enseigner de façon

explicite) ;

4. que les élèves mettent en application les nouvelles connaissances ;

5. faire en sorte que les nouvelles connaissances soient intégrées dans le monde de

l’élève.

Il semble donc - disait-il - communément admis que l’on enseigne pour que les élèves

apprennent et que l’acte d’enseigner se fonde sur la prise en compte des connaissances des

élèves et des apprentissages qu’ils mettent en œuvre pour élaborer de nouvelles

connaissances.

En conséquence, le rôle de l'enseignant est décrit comme celui qui agit à titre de :

médiateur entre l'élève et les savoirs, il doit le stimuler, soutenir sa motivation intrinsèque et

exiger de lui le meilleur. Il lui revient de créer un environnement éducatif qui incite l'élève à

jouer un rôle actif dans sa formation, de l'amener à prendre conscience de ses propres

ressources, de l'encourager à les exploiter et, enfin, de le motiver à effectuer le transfert de ses

acquis d'un domaine disciplinaire à l'autre, de l'école à la vie courante. (MEQ, 2001, p.6)

Pour Lachapelle (2009), l'enseignement est perçu comme un processus qui vise à

favoriser les interactions sociales en classe et le vécu de situations diverses à travers

lesquelles les élèves sont confrontés aux autres conceptions, lesquelles peuvent conduire à des

conflits sociocognitifs. Ce processus vise également à ce que les élèves deviennent autonomes

dans leur processus d'apprentissage. Le rôle de l'enseignant est ainsi décrit comme celui qui

accompagne ses élèves et, pour ce faire, il importe de respecter leur zone proximale de

développement, laquelle zone admet l’enseignement comme facteur déterminant selon

Vygotsky (1985).

Pour Margolinas (2014), enseigner consiste à donner une intelligibilité des savoirs, ce qui

ne peut se faire sans les considérer comme des connaissances en situation.

123

Les situations - motivantes - doivent avoir du sens pour les élèves et présenter un degré

de défi ni trop important ni trop faible. Au cours du processus d’enseignement, il est

nécessaire que les connaissances préalables soient mobilisées et les connaissances nouvelles

soient réutilisées, fréquemment, dans des situations diverses. (Tricot, 2005)

Nous donnons ci - après plusieurs définitions, données par Calin (2013, dernière version

2014), qui pourraient nous inspirer dans nos actes d’enseignement :

Enseigner, c’est maîtriser les contenus à enseigner

Enseigner, c’est communiquer

Enseigner, c’est modifier sa conception de l’apprendre

Enseigner, c’est rendre les apprentissages signifiants

Enseigner, c’est gérer des dispositifs

Enseigner, c’est faire vivre des valeurs

En bref, pour bien assumer son rôle qui est d’aider les élèves à développer leurs capacités

à traiter l’information et à organiser leurs connaissances, chaque enseignant devrait adopter

une bonne stratégie d’enseignement ou approche pédagogique qui laissent entrevoir son

objectif d'« établir des buts bien délimités, de recourir à son répertoire de stratégies pour

atteindre ces buts, prévoir les problèmes, (...) et d'évaluer le processus de planification et

d'enseignement à la fin de l'activité ». (Goupil et Lusignan, 1999)

III-3 Des approches pédagogiques. Pour atteindre l’objectif principal de l’enseignement, multiples approches pédagogiques –

au moins une vingtaine selon Gauthier et al. (2008, p. 241) – peuvent être mises en jeu mais

nous allons nous intéresser aux approches suggérées par les modèles que nous avons évoqués

précédemment (Partie III-1) : l’approche par objectifs, l’approche par compétences,

l’approche par situations et l’approche explicité. D’une part, l’approche par objectif car

actuellement c’est l’approche communément préconisée par le ministère de l’éducation

nationale Malagasy pour mener à bien l’enseignement-apprentissage. D’autre part, nous

pensons que les approches par compétences et par situations méritent d’être vues puisque ce

sont des approches initiées à Madagascar mais très vite laissées pour différentes raisons : des

enseignants non formés à l’innovation donc une forte résistance au changement, des

ressources matérielles, humaines et financières insuffisantes … De plus, la politique de

l’éducation pour tous a impliqué la démocratisation de l’enseignement de telle sorte que de

nombreuses écoles sont de plus en plus hétérogènes, créant des environnements éducatifs plus

complexes. Par suite des environnements pédagogiques hétérogènes sont nés et les

124

enseignants ne les acceptent pas si facilement car ils impliquent le développement

d’approches personnalisées, une tâche qui demande beaucoup plus de travail et parfois même

un changement de mentalité. (Opertti et Duncombe, 2011)

Il semble des fois que les enseignants aient tendance à accepter les élèves en tant que

participants actifs dans le processus d’apprentissage pourtant ils continuent à mettre l’accent

sur des activités hautement structurées avec peu d’espace pour le développement de

l’expression individuelle de chaque élève et l’apprentissage autonome (Corte, 2010). C’est

une des raisons pour laquelle nous pensons qu’une approche explicite serait mieux pour nous.

Mais passons d’abord en revue le curriculum sur lequel s’appuient en grande partie les

processus enseigner et apprendre.

III-3-1 Curriculum

À la question qu’est-ce que le curriculum ? Donnons quelques acceptions du curriculum

et les concepts qui lui sont rattachés.

Pour Miled (2005), le curriculum désigne la conception, l’organisation et la

programmation des activités d’enseignement-apprentissage selon un parcours éducatif. Il

regroupe l’énoncé des finalités, les contenus, les activités et les démarches d’apprentissage,

ainsi que les modalités et moyens d’évaluation des acquis des élèves. Sa conception se fait

l’écho d’un projet d’école reflétant un projet de société; elle donne lieu à des comportements

et pratiques ancrés dans une réalité éducative donnée. C’est ainsi qu’en amont se profilent les

intentions d’un curriculum et qu’en aval se concrétisent ses utilisations contextuelles.

Roegiers (2000) définit le curriculum comme un ensemble complexe précisant la

structuration pédagogique du système éducatif. Le curriculum enrichit la notion de

programme d'enseignement, en précisant, au-delà des finalités et des contenus, certaines

variables du processus même de l'action d'éducation ou de formation : les méthodes

pédagogiques, les modalités d'évaluation, la gestion des apprentissages.

D’emblée, nous voulons alors attirer l’attention sur le fait que le curriculum n’est pas le

programme d’étude qui, selon Legendre (1993) est « un ensemble structuré d’objectifs,

d’éléments d’apprentissage ou d’activités constituant un enseignement » (LEGENDRE, 1993,

p. 289). Les notions de programme d’études et de curriculum de formation se distinguent

dans une relation de partie à un tout. Le curriculum est beaucoup plus vaste que le programme

d’études. En effet, il intègre l’ensemble des informations utiles à sa mise en œuvre par les

enseignants, incluant les programmes d’études. Une liste de l’annexe 1 montre que

l’élaboration des programmes d’études n’est qu’une des principales fonctions du curriculum

125

car à l’intérieur d’un curriculum qui fixe les orientations et détermine les balises, le

programme d’études identifie et nomme les ressources qui sont utiles au développement des

compétences ; il propose une organisation de ces ressources afin d’éclairer les approches

didactiques et pédagogiques en enseignement. Un programme d’études précise également les

modalités d’évaluation qui sont cohérentes avec ce que prescrit le curriculum

(Jonnaert, 2005).

Les analyses faites par Roegiers (2004) montrent qu’un des facteurs qui handicapent

fortement les systèmes éducatifs des pays en développement dans leur effort pour atteindre les

objectifs de l’éducation pour tous (EPT) est des programmes scolaires centrés sur les contenus

et que cette centration sur les contenus plutôt que sur l’action (le « savoir-agir ») présente une

composante culturelle forte par rapport à la composante opérationnelle, la composante «

insertion dans la vie quotidienne ».

Conscients de cet obstacle, ces pays optent pour l’écriture des « programmes scolaires »

qui ne se limitent plus à des listes des notions à apprendre ou à faire apprendre mais dans

lesquels les finalités et les objectifs de la société ou de l’institution en fonctions des valeurs

qu’elle veut véhiculée sont précisés. Certains programmes scolaires préconisent même les

méthodes et les stratégies à adopter pour une meilleure garantie de la réussite de l’acte

d’enseignement-apprentissage. En d’autres termes, ils sont écrits sous forme curriculum du

fait d’une évolution d’approche - l’approche par compétences remplace l’approche par

objectifs - et d’un changement de paradigme - le paradigme socioconstructiviste succède au

paradigme béhavioriste. (Jonnaert, 2005)

Nous pouvons alors dire qu’un curriculum est un ensemble cohérent et structuré

d’éléments qui permettent de rendre effectif un plan d’action pédagogique. Contrairement à

un programme d’étude, un curriculum comprend en général les finalités et les grandes

orientations à donner aux démarches pédagogiques et didactiques et il est maintenant

communément admis que le curriculum est un élément essentiel de tout processus éducatif et

qu’il est devenu pour le système éducatif ce qu’une constitution représente pour une

démocratie (Jonnaert et al., 2009, cité par Opertti et Duncombe, 2011).

Dans tout système éducatif, il existe plusieurs types de curriculum.

Perrenoud (2000) pense qu’il est nécessaire d'articuler le concept de curriculum en deux :

l'un pour penser les parcours effectifs de formation des individus scolarisés, l'autre pour

penser la représentation institutionnelle du parcours que les élèves sont censés suivre ; il s'agit

126

du curriculum prescrit et du curriculum réel. La transposition didactique est la source majeure

de l’écart en le curriculum prescrit et le curriculum réel.

Roegiers (2000) parle de curriculum apparent qui représente le curriculum explicite,

vérifié par les textes officiels, le curriculum réel représentant la mise en œuvre concrète par

un enseignant. Il y a également le curriculum caché - hidden curriculum - formé de tout ce

que l'école véhicule comme valeurs implicites à travers l'organisation des filières, des critères

d'admission, la conception des apprentissages, le statut de l'erreur, par exemple. Roegiers

associe également le concept de curriculum à celui de l'intégration. Le curriculum intégrateur

est guidé par la préoccupation d'intégration dans les apprentissages, il s'agit de donner du sens

à ceux-ci en précisant les types de situations dans lesquelles l'apprenant va devoir mobiliser

ses acquis. Le concept de curriculum intégrateur prend en compte l'ensemble des dimensions

visant à permettre à l'apprenant de tisser une diversité de liens avec ses acquis en vue de

permettre une mobilisation effective de ceux-ci. Et Roegiers d’ajouter que le curriculum

intégrateur traduit essentiellement un degré de préoccupation d'intégration, ce qui ne

l'empêche pas d'être différent du curriculum officiel ne le définissant pas obligatoirement dans

ces termes.

Comme le curriculum comprend en général les finalités et les grandes orientations à

donner aux démarches pédagogiques et didactiques, il doit répondre aux besoins et à l’attente

régionale, nationale et locale, en plus de ceux au niveau mondial afin de bien refléter la

société. Ainsi, une nouvelle loi d’orientation devrait enclencher un processus de

renouvellement du curriculum qui rencontrerait des résistances et soulèverait des débats quant

aux visions, aux contenus, aux défis et également à sa mise en œuvre. (Opertti et Duncombe,

2011)

De par la multitude des acteurs qui prennent part dans la mise en œuvre du curriculum,

des divergences de vues et différentes interprétations surgiront et auront des conséquences

négatives sur l’atteinte d’une éducation de qualité pour tous. En effet, un manque de

qualification des enseignants et une approche transmissive adoptée dans l’enseignement-

apprentissage entraineraient inévitablement une grande disparité entre le curriculum prescrit

ou formel édité par la noosphère11

, le curriculum réel exécuté par les enseignants et le

curriculum caché véhiculé par l’école et la société. Il va sans dire qu’effectivement, si on

11 Selon le dictionnaire des concepts fondamentaux de didactique, ensemble des personnes qui ont une fonction à

la fois dans le système d'enseignement et la société. Exemples : les parents, les savants, l’instance politique

décisionnelle, les personnes qui élaborent les programmes scolaires, font partie de la noosphère.

127

s’accorde sur cette vision englobante du curriculum et de l’éducation, le rôle des enseignants

évolue : ils sont des co-développeurs des curricula, des apprenants à vie par rapport à un

curriculum évolutif, et des agents dynamiques du changement. (ibid.2011)

Cependant, les enseignants redoutent souvent les réformes au niveau du curriculum et les

changements qu’elles impliquent. Une étude menée par Coll (2010), rapportée par Opertti et

Duncombe (2011) montre que :

Dans une récente étude française, 95 % des enseignants de collège confirment l’existence

d’un « malaise enseignant », et 72 % d’entre eux se déclarent affectés par ce malaise. De

nombreux enseignants se trouvent démunis, dans la mesure où ils n’ont pas toujours reçu de

formation suffisante, face à la grande hétérogénéité de leurs classes, à la diversification

pédagogique, à l’enseignement en petits groupes, ou à l’enseignement aux élèves en grande

difficulté (Haut conseil de l’éducation, 2010). De même, les enseignants d’Amérique centrale

et latine ressentent un malaise : 35 % d’entre eux au Mexique, 45 % en Argentine et 53 % au

Brésil ne souhaitent pas continuer à enseigner.

De par le monde, la recherche pour l’amélioration de la qualité de l’apprentissage pour

tous est une des principales préoccupations des autorités nationales chargées de l’éducation.

Pour ce faire, elles introduisent des curricula qui permettent aux apprenants d’acquérir les

connaissances et les compétences nécessaires aussi bien au niveau local qu’au niveau

mondial. Ces initiatives génèrent souvent des débats qui se poursuivent à tous les niveaux, et

porte sur la justification, les objectifs, le contenu, la mise en œuvre et les approches de ces

changements curriculaires, ainsi que leurs implications pour toutes les parties prenantes, en

particulier les enseignants et les élèves. En outre, comme tout contexte de réforme éducative,

des résistances au changement ne sont pas à écarter et des nouveaux paradigmes des

approches pédagogiques s’avèrent nécessaires. Il est alors essentiel que l’école favorise des

environnements d’apprentissage propices aux pratiques d’inclusion des enseignants ainsi qu’à

l’apprentissage et à la participation des élèves.

L’exemple de la Chine, (Opertti et Duncombe , 2011), indique que :

Le gouvernement est en train de réformer les styles d’enseignement et les relations entre

enseignants et élèves pour assurer un apprentissage pertinent. L’un des principes du

changement curriculaire et éducatif est de renforcer la relation entre les objectifs et le contenu

pédagogiques d’une part, l’expérience des élèves d’autre part : ce résultat s’obtient en

favorisant les relations démocratiques entre enseignants et élèves, et en stimulant et soutenant

les enseignants pour qu’ils puissent enseigner un curriculum basé sur les compétences de

128

manière efficace. Ce changement remet en question la tradition du respect excessif pour les

enseignants et leur pouvoir incontesté. Ainsi, les enseignants ont plus de respect pour leurs

élèves, envie de les aider individuellement et préfèrent les objectifs tels que « apprendre à

apprendre », la résolution de problèmes, la capacité de réflexion, l’exercice de la

responsabilité et la capacité à coopérer. De même, des mesures ont été prises pour encourager

la participation active des étudiants : ainsi, les cours pratiques y représentent 8 % du total des

heures de classe à l’école primaire et 24 % en secondaire. Les élèves sont encouragés à

entreprendre des recherches avec l’aide de tuteurs, des activités de travaux manuels sont

proposées pour développer les compétences nécessaires à la vie courante, et les TIC sont

utilisées pour motiver et diversifier l’apprentissage.

Il nous paraît alors nécessaire de voir des approches qui pourraient aider les enseignants

dans l’exercice de leur fonction afin d’optimiser la mise en œuvre des curricula.

III-3-2 Approche par objectifs

La Pédagogie par objectifs (PPO), induite par l’approche par les objectifs (APO), est une

technologie éducative prônée par Tyler. Apparue aux États-Unis au cours des années 1950,

d’abord dans un contexte socio-économique, celui de l’industrie automobile, elle s’est ensuite

diffusée dans le domaine éducatif à travers les travaux de Bloom. Puis elle s’est développée

au Canada avant d’arriver en Europe, lors du mouvement de rationalisation des systèmes

éducatifs. La PPO a été appliquée dans la formation professionnelle et technique avant d’être

étendue à l’enseignement général au cours des années 1980. (Ait Amar Meziane, 2014).

Elle puise son origine dans le behaviorisme ou le comportementalisme qui rejette la

référence à ce qui se passe dans le cerveau mais se centre sur ce qui est observables et

mesurables. Pour ce faire, elle décompose les contenus disciplinaires en des petites unités et

elle s’y attribue des objectifs à atteindre sous forme de capacités de l’apprenant. En d’autres

termes, quand on pratique la PPO, il faut définir pour chaque discipline des étapes à accomplir

et des seuils à franchir par l’élève afin de pouvoir dire qu’un objectif donné est atteint. La

PPO a donc favorisé les pratiques d’évaluation ; on évalue un élève en fonction d’objectifs

précis, écrits sous forme de capacités observables, comme par exemple « l’élève est capable

de construire un triangle ABC dont les longueurs des côtés sont données ».

Mansour (2012) apporte des précisions sur le fonctionnement de la PPO en disant que :

La pédagogie par objectif consiste à répondre à la question : que doit savoir, ou savoir -

faire l’apprenant à la fin d’une activité donnée ? Grâce à de petites évaluations, elle permet

129

de vérifier si un objectif bien précis est atteint par les élèves. Contrairement aux anciennes

méthodes pédagogiques, la pédagogie par objectif a eu le mérite de mettre l’apprenant au

centre des préoccupations des programmes scolaires.

Les trois éléments suivant constituent alors le fondement de la PPO :

- un comportement observable,

- un objectif général,

- un objectif spécifique ou opérationnel.

Selon Hameline (1991), l’objectif général se définit comme « un énoncé d’intention

pédagogique décrivant en termes de capacités de l’apprenant l’un des résultats escomptés

d’une séquence d’apprentissage ». Par exemple, l’élève est capable de construire un triangle

à l’issue de la séquence. L’objectif général se démultiplie en autant d’énoncés rendus

nécessaires (Mager, 1971) pour générer des objectifs spécifiques ou opérationnels qui, selon

Hameline (op. cit.), chacun doit satisfaire les quatre conditions suivantes :

1) son contenu doit être énoncé de la manière la moins équivoque possible.

C'est-à-dire les interprétations de l’objectif par des personnes différentes doivent

concorder.

2) il doit décrire une activité de l'apprenant identifiable par un comportement

observable. C'est-à-dire l’objectif doit être décrit en termes de comportement concret12

3) il doit mentionner les conditions dans lesquelles le comportement escompté doit se

manifester. Par exemple, les moyens utilisés pour réaliser l’activité, le temps pour l’exécution,

doivent être mentionnés.

4) il doit indiquer le niveau d'exigence auquel l'apprentissage est tenu de se situer, et les

critères qui serviront à l'évaluation de cet apprentissage. Les modalités et les critères de

l’évaluation ainsi que le degré de réussite doivent être indiqués.

Par exemple, un objectif opérationnel découlant de l’objectif général : l’élève est capable

de construire un triangle à l’issue de la séquence, peut-être : l’élève est capable de construire

avec précision, en cinq minutes, sans ratures et sur du papier non quadrillé, un triangle dont

les longueurs de deux côtés sont données et la mesure de l’angle entre ces deux côtés connue.

Quels sont les points forts de la PPO et les critiques qu’on lui reproche ?

Parmi les avantages de la PPO, celui rapporté par Ait Amar Meziane (2014) est peut-être

le plus pertinent, entre autre :

12 Cf l’annexe 17 contenant les verbes d’action selon la taxonomie de Bloom

130

« le renversement didactique que l’approche par objectifs a permis : en effet, pour la

première fois en didactique, l’accent était mis non sur les contenus en tant que tels, mais sur

ce que l’apprenant devait être capable de maîtriser à l’issue de la formation. Avec l’approche

par objectifs, un déplacement sur l’apprentissage commençait à s’effectuer. »

D’autres apports positifs de la PPO sur l’enseignement-apprentissage sont aussi

mentionnés par Mac Donald ROSS (cité par Hameline) dont les essentiels sont les suivants :

1) C'est la seule méthode valable de planification rationnelle en pédagogie, car elle

construit la programmation et la progression autour de l'activité de l'apprenant.

2) Elle oblige les enseignants, en particulier ceux qui ont la charge de confectionner des

programmes, à penser et à préparer les activités de façon spécifique et détaillée.

3) Elle fournit une base rationnelle pour l'évaluation formative et permet l'autoformation.

4) Elle forme la base d'un système qui s'améliore lui-même par un constant feedback.

5) Elle permet la communication entre enseignants et enseignés et avec les autres

partenaires de l'éducation (parents, administration, collègues, etc.), sous le signe de la clarté,

et permet un contrat bilatéral de formation que l'évaluation finale des apprentissages viendra

vérifier.

6) Elle permet d'établir les bases d'un apprentissage individualisé.

Par ailleurs, la présence des objectifs joue aussi un rôle positif sur la motivation et l’état

affectif des élèves (Landry, 1985, cité par, Ait Amar Meziane 2014). Une étude expérimentale

auprès d’élèves en classe au secondaire a démontré que la communication des objectifs aux

élèves a des effets positifs sur la performance lors de l’évaluation des apprentissages

(Tourneur, 1975, cité par, Ait Amar Meziane, 2014).

À côté des avantages indéniables que nous venons de soulever concernant la PPO, il faut

reconnaître que l’usage des objectifs d’apprentissage, donc de la PPO, a tout de même

quelques inconvénients :

Premièrement, la PPO ignore les apprentissages dont les résultats sont peu prévisibles :

créativité, expression, découverte. La PPO s’est renfermée, selon Pelpel (2002, cité par, Ait

Amar Meziane, 2014), « dans un opérationalisme comportemental, ce qui l’a énormément

éloignée de l’acte pédagogique et l’a transformée en un acte constitué de réflexes

conditionnés faisant abstraction de toute pensée créative chez l’apprenant ». Elle est centrée

sur l’acquisition des savoirs et savoir-faire négligeant l’acquisition des processus intellectuels

et elle a comme porte d’entrée des comportements observables structurés, mais séparés les

uns des autres, qui sont à développer chez les apprenants». (Mansour, 2012)

131

Ce qui implique qu’avec la PPO nous sommes donc dans le conditionnement, le montage

de réflexes et non dans la construction des savoirs par l’apprenant, dans l’appel à son potentiel

cognitif.

Deuxièmement, la PPO introduit un morcellement qui nuit à la signification des

apprentissages à faire ainsi qu’à leur finalité. Deronne (2012, cité par Ait Amar Meziane,

2014) accuse la PPO « de trop compartimenter les savoirs en décomposant les contenus en de

multiples objectifs opérationnels. […] cette accumulation de connaissances cloisonnées

engendrait une perte de sens des apprentissages et une incapacité des élèves à mobiliser les

savoirs spontanément dans des situations pour lesquelles ils seraient pertinents. »

Troisièmement, la PPO ajoute une grande complexité à la planification de l’enseignement

en ce sens qu’elle se donne beaucoup de but mais ne dit pas comment les réaliser. De plus,

étant soumis aux objectifs de l’enseignant, l’apprenant n’est pas toujours au centre du

processus d’apprentissage, surtout si la PPO se résume à fixer d’une manière technocratique

les objectifs (Ait Amar Meziane, 2014).

En bref, un programme d’étude écrit dans une perspective d’approche par objectifs se

voit les contenus découpés en de multiples micro-objectifs (objectif principal, objectifs

opérationnels) et l’élève apprend des morceaux sans en comprendre le sens et sans savoir quel

lien a son apprentissage avec la vie de tous les jours (Mansour, 2012). Nous allons voir ce que

l’approche par compétences peut apporter comme solutions pour surmonter ces obstacles.

III-3-3 Approche par compétences

Lorsqu’on parle de compétence, Perrenoud (1995) disait : « Nous sommes tous en quête

d’une définition claire et partagée des compétences. Hélas, le mot se prête à de multiples

usages et nul ne saurait prétendre donner LA définition ».

Donnons quelques acceptions de la notion de compétence, tirées de l’article de Mansour

(2012) :

En 1989, Philippe Meirieu définissait déjà la compétence comme un « savoir identifié

mettant en jeu une ou des capacités dans un champ notionnel ou disciplinaire déterminé. Plus

précisément, on peut nommer compétence la capacité d’associer une classe de problèmes

précisément identifiée avec un programme de traitement déterminé».

Pour le sociologue Philippe Perrenoud, « une compétence est une capacité d’action

efficace face à une famille de situations, qu’on arrive à maîtriser parce qu’on dispose à la fois

des connaissances nécessaires et de la capacité de les mobiliser à bon escient, en temps

opportun, pour identifier et résoudre de vrais problèmes». Perrenoud précise sa conception :

132

«une compétence permet de faire face à une situation complexe, de construire une réponse

adaptée sans la puiser dans un répertoire de réponses préprogrammées ».

Guy Le Boterf, spécialiste du développement de compétences dans le monde du

management et de l’entreprise, considère dès 1948 que « la compétence ne réside pas dans les

ressources (Connaissances, capacités…) à mobiliser, mais dans la mobilisation même de ces

ressources.La compétence est de l’ordre du savoir-mobiliser ».

Jacques Tardif, professeur au département de pédagogie de l’université de Sherbrooke

(Canada) considérait, dans la conférence du 27 Avril 2006, qu’ « une compétence est un

savoir–agir complexe prenant appui sur la mobilisation et la combinaison efficaces d’une

variété de ressources internes et externes à l’intérieur d’une famille de situations ».

De plus, Marc Romainville, professeur au département Education et Technologie de

l’université de Namur (Belgique) estime, lui, qu’ « une compétence est un ensemble intégré et

fonctionnel de savoirs, savoir-faire, savoir-être et savoir-devenir, qui permettront, face à une

catégorie de situations, de s’adapter, de résoudre des problèmes et de réaliser des projets ».

Dans le cadre de la linguistique, pour Chomsky, « la compétence linguistique est une

capacité innée qui permet à un sujet parlant d’émettre et de comprendre un nombre infini de

phrases. Cette compétence est liée au lexique, à la phonétique, à la syntaxe et aux autres

domaines du système d’une langue. Elle est virtuelle et elle s’actualise dans la performance ».

(Ait Amar Meziane, 2014)

En France, le Haut Conseil de l'Education propose de reprendre la définition du terme "

compétence " qu'il a utilisée à propos du socle commun :

« Une compétence est toujours une combinaison de connaissances, de capacités à mettre

en œuvre ces connaissances, et d'attitudes, c'est-à-dire de dispositions d'esprit nécessaires à

cette mise en œuvre ».

Marcel Lebrun (2012) définit la compétence comme « des capacités qui agissent sur des

contenus dans des contextes différents ».

Nous pouvons résumer en disant qu’une compétence constitue un savoir-agir résultant

d’une compréhension adéquate des savoirs, savoir-faire et savoir-être intégrés et accessibles

en mémoire, mobilisables de façon efficiente parce qu’ils ont été utilisés régulièrement et

avec succès dans une grande variété de contextes et de disciplines, et ce, autant à l’école que

dans la vie quotidienne. De plus, une compétence est un processus, elle est toujours en

construction, la maîtrise totale n’est jamais atteinte. Toute personne améliore ses compétences

http://pedagopsy.eu/iufm_hce.html#discipline

133

pendant toute sa vie, bien au-delà du cadre scolaire. Dans le domaine de l’éducation, plusieurs

auteurs ramènent les compétences de l’élève à une capacité de mobiliser diverses ressources

cognitives pour faire face à des situations singulières. (Mansour, 2012)

Ayant donné ces acceptions sur la notion de compétence, voyons ce qu’est l’approche par

compétences (APC). Quels sont : son origine, ses fondements théoriques, ses apports dans

l’enseignement-apprentissage et ses limites ?

a) Origine de l’APC

L’APC est une méthodologie développée par De Ketele, Roegiers et le groupe du BIEF13

.

Elle a été transposée dans le domaine de l’éducation après avoir été initialement appliquée

dans la formation professionnelle au niveau des entreprises. L’APC est appliquée dans les

manuels, les programmes, la formation des enseignants et les systèmes d’évaluation. Pour De

Ketele, l’APC « cherche à développer la possibilité par les apprenants de mobiliser un

ensemble intégré de ressources pour résoudre une situation-problème appartenant à une

famille de situations. ». Cette approche met donc en situation les apprentissages et elle permet

aux apprenants de partager, d’échanger et de coopérer entre eux lors des différents

apprentissages. L’APC relève de ce fait du même paradigme que le Cadre car les

savoirs/savoir-faire/savoir-être doivent être réinvestis dans des situations empruntées à la vie

réelle. (Ait Amar Meziane, 2014)

L’approche par compétences s’est imposée dans le monde de l’éducation d’abord aux

Etats-Unis, en Australie et ensuite en Europe. Le Royaume-Uni, la Suisse et la Belgique ont

été parmi les premiers pays à vouloir repenser leurs systèmes éducatifs selon cette approche.

b) Ses fondements théoriques

Dans le domaine de l’éducation, l’APC a établi des liens très étroits avec le

constructivisme et plus encore avec le socioconstructivisme. Comme disait Jonnaert (2005) :

« L’approche par compétences se fonde sur une épistémologie socioconstructiviste. Dans

cette perspective, toute connaissance relève d’un processus de construction dont le principal

acteur est l’apprenant. Le socioconstructivisme insiste tout particulièrement sur les

interactions sociales qui influent sur la construction des connaissances par la personne. Il

privilégie les situations d’apprentissage authentiques qui favorisent la construction de

13

BIEF : Bureau d’ingénierie en éducation et en formation est un organisme international de conseil et

d’intervention dans les entreprises et les administrations, dans les systèmes éducatifs, et dans les ONG. Il est

composé d'une équipe multiculturelle d'une trentaine d'experts de haut niveau. Le domaine initial d'intervention

du BIEF — l'ingénierie de l'éducation et de la formation — s'est élargi depuis quelques années à d'autres aspects

de la gestion des ressources humaines, dont le développement des compétences et la gestion des projets.

134

connaissances dans et par l’action en situation ainsi que par la réflexion sur l’action. De ce

point de vue, la connaissance n’est pas directement transmissible, elle se construit ».

Une approche par compétences exige de passer du modèle de transmission des

connaissances à celui de l’apprentissage. L’élève est doué d’une capacité presque absolue de

développer les compétences attendues qui apparaissent dans le programme d’études présenté à

partir de domaines d’activités balisés à l’avance. Il est responsable de ses apprentissages et il

lui appartient de construire lui-même ses propres connaissances. Pour ce faire, il aura à sa

disposition des instruments que lui fournira l’enseignant.

Mansour (op.cit.) de souligner que l’approche par les compétences doit viser à lutter

contre la fragmentation des apprentissages – telle qu’elle est mise en œuvre dans les stratégies

de pédagogie par objectifs – en redonnant à ceux-ci une finalité visible, tout en conservant les

objectifs de maîtrise des savoirs fondamentaux. Cette approche rappelle l’ardente obligation

de donner du sens aux savoirs enseignés à l’école, d’en augmenter la portée au-delà de

l’horizon de la seule réussite aux épreuves scolaires, et de mettre au premier rang des

missions de l’école : la formation de la pensée autonome. Il s’agit de porter une attention

accrue aux processus d’apprentissage, à la façon dont l’élève apprend et utilise ses

connaissances, et finalement au fonctionnement cognitif des individus.

Dans le monde francophone, le mouvement de réforme pédagogique baptisé « approche

par compétences » a commencé par se développer au Québec et en Suisse romande, avant de

s’étendre à la Belgique, à Madagascar et, plus timidement, en France. En Communauté

française de Belgique, c’est le « décret missions » de juillet 1997 qui a donné le coup d’envoi

de la réforme. Il y était question d’amener tous les élèves à s’approprier des savoirs et à

acquérir des compétences qui les rendent aptes à apprendre toute leur vie et à prendre une

place dans la vie économique, sociale et culturelle.(Mansour, 2012)

Jonnaert (2005), dans les recherches pour le développement de curriculum de formation

pour les adultes, avance que :

« Dans l’approche par compétences il s’agit d’apprendre en faisant. C’est une formation

qui prend pour point de départ les situations de vie des adultes et les problématiques qui y

sont associées pour identifier leurs besoins de formation. L’approche par compétences se

fonde sur une logique qui se comprend dans les termes suivants : pour agir de façon

adaptative dans ses situations de vie et ses situations professionnelles, l’adulte devrait

disposer des compétences et des ressources nécessaires à leur exercice. À défaut de posséder

les compétences nécessaires, l’adulte est amené à les développer au cours de sa formation. À

135

défaut de disposer des ressources utiles, l’adulte est amené à les construire durant sa

formation. »

L’auteur signale que «…l’approche par compétences ne constitue pas un rejet de

l’apprentissage des savoirs, mais plutôt un dépassement de cet apprentissage. Pour mieux

répondre aux besoins de formation des adultes, elle vise à ce que les savoirs constituent des

ressources que l’adulte peut mobiliser pour traiter efficacement ses situations de vie. »

c) Les apports de l’APC

Quelles sont les avancées apportées par l’APC ?

En Amérique latine, ceux qui préconisent une approche par compétences ont tendance à

la considérer comme une feuille de route qui pourrait contribuer à surmonter les rigidités

imposées par un curriculum surchargé et composé de matières déconnectées.

En Europe, une approche cohérente du développement des compétences, fondée sur le

cadre de référence européen des compétences clés pour l’éducation tout au long de la vie,

requiert : des efforts plus soutenus pour améliorer la maîtrise de la lecture et d’autres

compétences de base ; des formules d’apprentissage plus personnalisées, qui répondent aux

besoins individuels de chaque élève, comportent les formes d’évaluation adéquates et

stimulent l’intérêt pour l’apprentissage. (Opertti et Duncombe, 2011)

Si nous nous focalisons sur l’élève, Mansour (2012) souligne que :

L’approche par compétences développe l’idée que l’élève apprend mieux dans l’action,

c’est-à-dire :

1) quand il est mis en situation de production effective ;

2) quand il est vraiment impliqué dans des tâches intégratrices qui nécessitent la

mobilisation et l’intégration des acquis et donnent une vision globale des capacités à

mobiliser ;

3) quand la situation d’apprentissage a du sens pour lui, qu’elle est significative ;

4) quand les erreurs qu’il commet lors de la réalisation de la tâche sont identifiées et

exploitées par l’enseignant dans le cadre d’une régulation, lorsque ces erreurs sont de nature à

créer un obstacle à la poursuite de l’activité ou des apprentissages ultérieurs;

5) quand l’élève établit des contacts avec les autres pour construire ses connaissances et

son savoir.

d) Les limites de l’APC

Bien qu’ayant apporté beaucoup de contributions dans l’enseignement-apprentissage,

l’approche par compétences a soulevé un grand nombre de critiques - qui paraissent exagérées

136

aux yeux de certains - car pour eux elle n’a pas réussi à assurer le succès attendu dans le

domaine de l’éducation et les résultats n’ont pas été à la hauteur des attentes. Tandis que

d’autres assurent que l’approche par compétences, si elle est bien comprise et correctement

mise en œuvre, aide les élèves à posséder une culture personnelle qui leur permettra de savoir

agir dans toutes les situations de la vie. Donc il s’agit d’insister sur la nécessité d’accorder au

sujet, à l’élève, la place qui lui revient dans le processus d’apprentissage et de susciter des

recherches approfondies dans le domaine de la psychologie appliquée à l’éducation. Il faut

bien reconnaître que des efforts considérables sont actuellement entrepris afin d’améliorer la

qualité de l’éducation.

Et Opertti et Duncombe (2011) d’ajouter que l’approche par compétences reste un sujet

controversé en raison, entre autres, du grand nombre d’interprétations et de rôles qui lui sont

conférés par les systèmes éducatifs. Malgré ces critiques, elle est perçue comme un moyen

novateur pour remettre en question la vision traditionnelle du curriculum comme plan

d’études, pour aider les enseignants à mieux comprendre leur propre rôle comme facilitateur

des apprentissages pertinents, ainsi que pour démontrer aux apprenants la logique

compétences/ressources et les méthodes nécessaires pour atteindre les objectifs du curriculum.

Pour Ait Amar Meziane, (2014) on reproche à l’APC d’être une version améliorée de la

PPO. En effet, selon l’auteur, elle manifeste encore des influences de la PPO ; ce que d’une

part reconnaît Roegiers (2006) en écrivant : « l’APC revenait à regrouper en compétences

disciplinaires quelques objectifs spécifiques, issus de la PPO, qui gardaient encore l’aspect et

la forme des objectifs spécifiques, et étaient évalués comme des objectifs spécifiques ». Et

d’autre part, ce que soulignent aussi Nguyen et Blais (2007) en écrivant : « il existe des

convergences objectives […] entre la PPO, la logique pédagogique centrée sur l’enseignement

et l’APC, la logique pédagogique centrée sur l’apprentissage. »

Mais malgré toutes ces critiques, les approches par compétences sont un moyen novateur

d’aider les parties prenantes, en particulier les enseignants et les élèves, dans le processus de

développement et de changement curriculaires entrepris par les autorités nationales chargées

du développement de l’enseignement et de l’éducation dans leur pays respective. (Opertti et

Duncombe, 2011)

III-3-4 Approche par situations

Une situation est un ensemble complexe plus ou moins organisé de circonstances que

vit une personne à un moment donné. On ne peut exclure les dimensions sociales des

137

circonstances des situations. En fonction du contexte, les situations sont de nature très

différente. En milieu scolaire, les situations sont définies par leur finalité : situation

d’apprentissage, situation d’application, situation problème, situation d’évaluation,… Il existe

différentes typologies des situations. (Jonnaert, Ph., Ettayebi, M. et Defise, R., 2009). En

milieu scolaire, les situations sont le plus souvent des constructions ad hoc, s’inspirant des

situations de vie des apprenants afin de leur permettre d’attribuer du sens aux activités qui

leur sont proposées en salle de classe.

Une situation fait entrer la vie dans la salle de classe. Elle contextualise les apprentissages

et donne aux apprenants l’occasion de construire le sens de ce qu’ils font.

Il n’est pas pertinent d’opposer « compétence », « situation » et « savoir ». Il s’agit d’un

ensemble d’éléments qui contribuent à une même finalité : le développement de compétences

par les apprenants. En milieu scolaire, les situations ne sont qu’un moyen, mis en place pour

que les apprenants les traitent avec compétence, et par là deviennent progressivement

compétents face aux situations de cette famille de situations. Quant aux savoirs, ils sont des

ressources au service du traitement des situations.

Une des conséquences de ces thèses situationnistes est de considérer que les situations

font partie intégrante de la cognition et de l’apprentissage. L’APS (Approche par

compétences) replace les situations au cœur des démarches pédagogiques et didactiques.

a) Fondement de l’APS

L’idée piagétienne selon laquelle la connaissance est action, est centrale dans cette

approche. Une personne agit grâce à ses connaissances. Mais elle adapte également des

connaissances plus anciennes et en construit de nouvelles à travers ses actions, ses

expériences en situation et les interactions entre ce qu’elle connaît déjà et ce qui est nouveau

pour elle dans la situation. La personne n’apprend pas seule, mais en étant sans cesse en

interaction avec un environnement social.

Citons les douze principes pour que les situations soient replacées au cœur des

apprentissages scolaires.

1. L’APS se fonde sur le principe selon lequel une personne construit, développe et

adapte ses connaissances et ses compétences à travers ses expériences et ses actions en

situation.

2. La situation est centrale dans l’APS :

* elle est le point de départ des actions de la personne à travers les défis qui lui sont posés

: la situation est la source des connaissances et des compétences;

138

* lorsque la situation est traitée avec succès, les connaissances et les compétences de la

personne y sont temporairement viables : la situation est le critère des connaissances et des

compétences.

3. La connaissance est action, et c’est à travers l’action en situation que de nouvelles

connaissances sont construites.

4. Le champ des expériences vécues et le bassin des connaissances plus anciennes sont

des ressources indispensables à la construction de nouvelles compétences et de nouvelles

connaissances.

5. L’environnement social offert par la situation et son contexte, est également une

ressource importante dans le développement des compétences et des connaissances.

6. Une situation est un ensemble complexe de circonstances qui présente à la fois des

ressources, des contraintes et des potentiels de défis.

7. Un ensemble de facteurs sociaux non seulement déterminent la situation mais

constituent eux-mêmes certaines circonstances de la situation.

8. En situation scolaire, les savoirs dans les différents domaines d’apprentissage et

codifiés dans les programmes d’études, (les savoirs codifiés) sont des ressources nécessaires

au traitement des situations; ces savoirs se réfèrent aux standards internationaux auxquels tout

programme de formation fait référence.

9. Au niveau de l’éducation de base, les standards internationaux font essentiellement

référence à la littéracie et à la numéracie.

10. Une situation est intéressante si elle a du sens pour l’apprenant et présente un réel

potentiel d’action.

11. En contexte scolaire, les situations ont une portée éducative.

12. La personne elle-même, avec son bassin d’expériences, ses connaissances et son

potentiel d’actions, fait partie intégrante de la situation aussitôt qu’elle accepte de s’y

investir.

b) Perception/interprétation des compétences en APS

En APS :

-Une compétence se développe en situation.

-Une compétence est toujours fonction d’une situation.

-Le développement de compétences est la finalité de l’APS, les situations en sont le

moyen.

-La compétence se construit et évolue en situation, elle est dynamique et instable.

139

(Jonnaert, Ph., Ettayebi, M. et Defise, R., 2009).

III-3-5 Approche explicite

L’approche explicite est telle que l’on explicite les savoirs à transmettre et que l’on

explicite aussi les objectifs de l’apprentissage afin que tous les apprenants — faibles ou forts

— puissent construire en eux les connaissances. Dans l’approche explicite, la pédagogie

explicite (Pex) est la méthode pratiquée. Selon Gauthier, Mellouki, Simard, Bissonnette et

Richard (2005), le principe de la Pex peut se résumer comme la combinaison de quatre

pédagogies :

1°) Une « pédagogie du modelage » qui explicite les apprentissages.

2°) Une « pédagogie structurée et progressive », allant du simple au complexe, pour viser

la compréhension.

3°) Une pédagogie prônant la répétition pour viser la mémorisation à long terme

4°). Une pédagogie qui valorise les efforts et les stratégies pour réussir.

La Pex est une pédagogie à l’initiative de l’enseignant qui veut emmener le plus possible

d’apprenants vers la réussite scolaire. Les recherches montrent que « l’enseignant joue un rôle

important pour favoriser l’apprentissage des élèves et ce, au-delà des considérations familiales

ou motivationnelles » (Gauthier et al. 2005). Pour cela, il n’utilise les tâches complexes que

pour développer les compétences de ses élèves qui ont déjà acquis et mémoriser et faisant les

leur les connaissances notionnelles nécessaires pour affronter et exécuter seul les tâches. En

effet, demander trop aux apprenants, les placer devant un défi que seul une minorité peut

relever c’est accentuer l’écart qui existe déjà entre le groupe classe.

La Pex se trouve à la charnière de la pédagogie traditionnelle et celle dite moderne,

elle est un amalgame de ces deux pédagogies si toutefois elle s’incline ou s’ancre fortement

sur la pédagogie traditionnelle car le rôle de l’enseignant y est poussé.

Trois grandes étapes se distinguent dans la Pex (Gauthier, Mellouki, Simard, Bissonnette

et Richard, 2005, p. 29) :

Le MODELAGE, je fais, je donne le modèle – l’enseignant.

La PRATIQUE GUIDÉE, nous faisons – l’enseignant avec les élèves.

La PRATIQUE AUTONOME, vous faites – les élèves.

Nous remarquons que la guidance de l’enseignant se réduit peu à peu.

Selon Madeline Cheek Hunter (CAS, 2015), les 7 étapes d’une leçon explicite sont :

140

1. Mise en situation 2. Modelage 3. Pratique guidée 4. Pratique autonome

5. Objectivation 6. Révisions (hebdomadaire et mensuelle) 7. Evaluation

Ce que nous concluons, c'est qu'un enseignement systématique, structuré, qui va du

simple au complexe, qui contient des stratégies comme le rappel des connaissances

antérieures, qui propose un enseignement qui met les élèves au travail, engendre de meilleurs

résultats. En gros, c'est un enseignement où le professeur montre et vérifie que l'élève

comprend. La vérification constante est un ingrédient essentiel de l'enseignement structuré.

D’après Gauthier et al., (2005), les élèves les plus nantis pourront toujours réussir

quelle que soit la méthode pédagogique. En revanche, disent-ils, les élèves en difficulté

réussissent mieux dans le cadre d'une pédagogie structurée mise en œuvre par l’enseignant,

car les recherches ont montré que « c’est l’enseignant qui aide le plus l’élève à apprendre »

(Gauthier et al., 2005). Il semble, en effet, que les pédagogies de la découverte mettent les

élèves face à des projets qu'ils ne peuvent appréhender, car ils n'ont pas les bases suffisantes.

Déjà en difficulté, ils le seront donc plus encore. Ils vivront davantage d'échecs, détesteront

davantage l'école et la quitteront pour certains.

Pour terminer sur la pédagogie explicite, rapportons le résultat d’une recherche

dénommée Follow Through, type de recherche longitudinale effectuée sur une période d’une

dizaine d’années et impliquant 70000 élèves provenant de 180 écoles. Les données d’environ

10000 élèves ont été recueillies annuellement et analysées pour les besoins de l’étude. Les

neuf approches ou modèles pédagogiques les plus populaires utilisés aux fins d’analyse finale

dans le cadre du projet Follow Through se divisaient en deux grandes catégories : des

approches centrées sur l’enseignement et des approches centrées sur l’élève.

Cette recherche est la plus grande qu’on n’ait jamais faite en éducation. Slavin (2002)

rapporte qu’elle est la plus vaste expérimentation à grande échelle jamais effectuée dans le

domaine de l’éducation en Occident (Slavin, 2002, cité par Gauthier et al. p. 18).

Le résultat de la recherche est que :

Le modèle du Direct Instruction, dont l’objet consistait à enseigner explicitement aux

élèves une démarche d’apprentissage rigoureuse qu’ils devaient ensuite appliquer de façon

systématique dans l’acquisition des matières de base, a eu, en plus des effets positifs sur

aspect particulier, une incidence importante sur les habilités affectives et cognitives des élèves

testés. De fait, les connaissances que les élèves acquièrent à l’école contribuent au

développement de leurs habiletés cognitives, tandis que le succès qu’ils vivent en classe

141

augmente leur estime d’eux-mêmes qui constitue le pivot autour duquel se construisent les

habiletés affectives (Adams et Engelmann, 1996, cité par Gauthier et al. 2005, p. 20-21).

La pédagogie traditionnelle ressemble beaucoup à la pédagogie explicite, mais est un peu

moins systématique et structurée. Nous pensons qu’il nous faut trouver, le juste milieu, les

approches les plus adaptées aux contextes historico-socio-culturels de chaque pays, afin que le

maximum des apprenants puissent faire leur les savoirs nécessaires pour être des citoyens

responsables et acteurs du développement durable.

En guise de conclusion sur cet aperçu de la théorie de l’enseignement-apprentissage, ainsi

que sur différentes approches pédagogiques, nous pouvons dire que le béhaviorisme a cédé

progressivement la place à la psychologie cognitiviste qui conçoit l’apprentissage, non plus

comme une réponse à des stimuli, mais comme un processus de traitement d’informations.

Puis, des conceptions de l’acte d’apprendre plus actives se sont imposées, d’abord le

constructivisme de Jean Piaget fondé sur les principes suivants :

- C’est en agissant qu’on apprend.

- L’esprit des élèves n’est jamais vide : concept de représentation ou conception.

- Apprendre c’est modifier, amender, assimiler et accommoder ses représentations.

- Grâce au conflit cognitif –confrontation du sujet avec une situation donnée –

apprendre c’est passer d’un équilibre cognitif donné à un équilibre cognitif supérieur.

Ensuite le socioconstructivisme qui ajoute que, de la confrontation avec des personnes,

enfants ou adultes, peut naître le déséquilibre cognitif (conflit socio-cognitif). Et, pour que

cette interaction soit source de conflit socio-cognitif, il faut qu’il y ait une confrontation entre

conceptions opposées ou solutions divergentes des partenaires et/ou que la confrontation ait

lieu au sein d’un groupe de pairs. Ainsi, dans le socioconstructivisme, la conception de

l’apprentissage ne se limite plus aux processus mentaux mais s’étend aux interactions entre

les apprenants et la situation dans laquelle ils se trouvent. Donc, contrairement à Piaget selon

lequel le développement de l'enfant s'effectue de l'individuel au social, Vygotski pense au

contraire que c’est plutôt du social vers l'individuel.

Quant aux approches pédagogiques, l’approche par objectifs et l’approche par

compétences, l’apport majeur de la PPO est d’avoir « mis l’accent non sur les contenus en tant

que tels, mais sur ce que l’apprenant devait être capable de maîtriser à l’issue de la

formation » (Ait Amar Meziane, 2014). L’APC essaie de contourner l’apprentissage cloisonné

des savoirs dans l’approche par objectifs à un apprentissage intégré qui leur donne sens en

développant des compétences chez l’apprenant, c'est-à-dire à lui apprendre à mobiliser ses

142

ressources face aux différentes situations d’apprentissage qui sont désormais des situations

problèmes14

proposées par un enseignant à ses élèves.

Dans la conception actuelle, qui vise à promouvoir les compétences du XXIe siècle ou la

compétence d’adaptation, l’apprentissage est à la fois : constructif car les apprenants

construisent activement leurs connaissances et leurs compétences ; autorégulé, car ils

mobilisent des stratégies actives pour apprendre situé en ce qu’il est mieux appréhendé en

contexte qu’en faisant abstraction de l’environnement ; et collaboratif plutôt que solitaire

(De Corte, 2010). L’expérience montre que les approches par compétences et par situations ne

conviennent pas à notre système éducatif parce que ni la compétence des enseignants ni la

situation et contexte socio-culturel ne sont favorables à leur application effective.

L’approche explicite est certainement la plus adaptée à notre situation, car elle ne

présente pas un écart considérable par rapport aux pratiques enseignantes de nos professeurs.

Présentons un tableau pour comparer les deux sortes d’approches suivant qu’elle soit centrée

sur l’élève ou sur l’enseignement.

Tableau 4: Comparaison des approches pédagogiques suivant les paradigmes

14 Situation problème : c’est une situation pour laquelle l'individu ne dispose pas de procédures de résolution : -

soit parce que les connaissances nécessaires au traitement font défaut : le sujet ne peut pas construire une

représentation du problème. - soit parce que les connaissances appliquées ont conduit à un échec : le sujet a

construit une représentation incorrecte du problème. Pour rechercher une solution, il faut construire une

représentation nouvelle du problème (raisonner sur de nouvelles bases). F. Raynal et A. Reunier dans «

Pédagogie : dictionnaire des concepts clés – apprentissage, formation, psychologie cognitive » ESF éditeur.

143

En final, nous pensons qu’il ne s’agit pas nécessairement d’opposer telle approche à telle

autre ni, à l’inverse, de penser que « tout se vaut ». En dernière instance, c’est bien l’analyse

de la situation de classe qui inscrira telle séquence dans tel cadre conceptuel.

Le point commun à toutes ces approches, c’est l’ambition de rendre efficace

l’enseignement-apprentissage en offrant un cadre structurant pour planifier adéquatement les

interventions pédagogiques et les activités d’évaluation, en accord avec les buts explicitement

identifiés de l’éducation, de l’enseignement ou de la formation. Ainsi, nous pensons que face

à ces différentes approches, l’enseignant, pour réussir à faire des élèves de véritables citoyens

intégrés dans leur société, doit adopter une approche qui fera réussir le maximum d’élèves

sans distinction de couche ou rang social.

Et, si nous parlons d’enseignement-apprentissage des mathématiques, essayons de voir

dans le chapitre suivant quelle approche adoptent, en général, nos enseignants dans les lycées

et les collèges.

En pédagogie, une situation-problème est une situation d'apprentissage que le pédagogue imagine dans le but de

créer un espace de réflexion et d'analyse autour d'une question à résoudre (un obstacle à franchir).

144

CHAPITRE IV : L’enseignement-apprentissage des maths

Ayant vu différents modèles d’apprentissage et quatre approches pédagogiques, nous

allons essayer de voir dans quelles mesures ils vont nous aider à mieux enseigner et apprendre

les mathématiques. Mais qu’est-ce qu’apprendre les mathématiques ?

Nous retenons deux propositions essentielles de Marie-Lise Peltier (2011) pour répondre

à cette question :

Selon elle, premièrement, « Apprendre les mathématiques … c’est en « faire » ! » :

C’est…

- Résoudre des problèmes en développant un raisonnement.

- Faire des prévisions.

- Anticiper le résultat d’une action.

- Faire des hypothèses, faire des essais, les valider les invalider.

- Trouver des mots pour dire…

- S’entraîner.

- Apprendre et retenir.

Deuxièmement, « Apprendre les mathématiques…c’est entrer dans la culture

scientifique » :

• Les mathématiques sont une science :

– Science des quantités, de l’espace et des formes, des grandeurs.

– Science qui a une histoire.

– Science qui a une épistémologie.

• Les mathématiques sont une pratique :

– Elles sont un outil pour le citoyen.

– Un outil pour d’autres disciplines.

– Une activité autonome, ludique.

• Les mathématiques contribuent au développement général de la personne :

– initiative, imagination, autonomie, anticipation, aptitude à communiquer, à débattre, à

argumenter.

Nous pensons qu’effectivement ces deux propositions répondent en grande partie à

l’essence même de l’apprentissage des mathématiques : résolution de problèmes et

développement de la personne. Voyons maintenant l’enseignement des mathématiques.

145

IV-1 L’enseignement des mathématiques Il est unanimement reconnu que les mathématiques sont omniprésentes dans le monde

actuel, notamment dans les objets technologiques qui nous entourent ou dans les processus

d’échange et de communication, mais elles le sont généralement de façon invisible. (Unesco,

2011, p.10)

L’Unesco (ibid.) remarque que l’enseignement des mathématiques, dès le début de la

scolarité, est nécessaire et accepté par tous. Cependant, les résultats escomptés dans

l’enseignement des mathématiques à la fin de la scolarité de base, sont décevants. Les

résultats du Pasec (2017, p. 40) sur les performances des élèves en mathématiques en fin du

primaire montrent que :

À Madagascar, près de 80 % des élèves sont en dessous du seuil « suffisant » en

mathématiques en fin de scolarité, et une part importante (38,2 %) ne manifestent pas les

compétences les plus élémentaires mesurées par le test.

Dispenser un enseignement dans lequel les connaissances mathématiques acquises sont

opérationnelles au sein de la société est alors l’objectif final d’une éducation mathématique de

qualité pour tous. Il est alors urgent :

- d’œuvrer pour une image positive des mathématiques et des mathématiciens, par la

société, en considérant les interfaces des mathématiques avec les autres disciplines,

- de former des enseignants qualifiés,

- de mettre à contribution les différents acteurs de l’enseignement et de l’éducation, dans

l’amélioration souhaitée,

- de prendre en compte l’évolution technologique,

- d’encourager une collaboration et une solidarité régionale, voire internationale.

(Unesco, 2011)

D’autre part, pour mieux orienter les compétences essentielles que l’enseignement des

mathématiques doit développer, nous pouvons prendre celles - même non exhaustives - que le

groupe d’experts pour la réussite des élèves a proposées.

« Les compétences en mathématiques permettant d’être fonctionnel en société :

- Utiliser avec efficacité la mesure, les propriétés des nombres et des objets

géométriques.

- Lire et interpréter l’information.

- Résoudre des problèmes et utiliser sa pensée analytique et critique.

146

- Communiquer ses idées mathématiques. »15

(Griffore, 2004)

Quand nous parlons d’enseignement, comme il a été dit dans le chapitre III, les élèves qui

sont acteurs de leur apprentissage ainsi que le savoir mathématique ne peuvent pas être

oubliés. Nous nous posons alors les questions : Quelles seraient les finalités de

l’enseignement des mathématiques ? Quels types de savoirs mathématiques nos élèves ont-ils

besoin pour développer leur compétence, pour être des citoyens responsables et des vrais

acteurs du développement de leur pays ? Quels rôles doivent tenir les enseignants ? Quels

rôles attendons-nous des élèves dans l’apprentissage des mathématiques ?

IV-1-1 Quelles finalités pour l’enseignement des mathématiques ?

Sur le plan mondial, la déclaration de Budapest de 1999 insiste sur l’importance de

l’enseignement scientifique pour tous. L’Unesco (2011) souligne que :

Un enseignement des sciences et des mathématiques pertinent et de qualité permet de

développer la réflexion critique et la créativité, aide les apprenants à comprendre le débat

public sur les politiques et à y prendre part, encourage les changements de comportement

propres à engager le monde sur une voie plus durable et stimule le développement

socioéconomique. (p. 4)

Toujours selon l’Unesco ; Assurer la littéracie16

mathématique de tous les jeunes … est

l’ambition fondamentale et prioritaire de l’éducation mathématique,… c’est permettre le

développement des connaissances et compétences mathématiques nécessaires à l’intégration

et à la participation active dans une société donnée ainsi que l’adaptation aux évolutions

prévisibles de celle-ci. C’est aussi rendre possible l’accès à un monde plus large que celui

dans lequel on a été éduqué, c’est former des individus capables de trouver leur place dans le

monde actuel, de s’y épanouir, et d’aider à relever les grands défis que l’humanité doit

affronter aujourd’hui : santé, environnement, énergie, développement.

L’enseignement des mathématiques doit donc préparer chaque citoyen à prendre

activement part au développement de son pays en mettant en œuvre les connaissances

acquises en mathématique et dans les autres disciplines durant sa scolarité. Ainsi, une

15 Cf l’annexe 31 pour l’explicitation de chacune des compétences proposées. 16

Litteracie ou literacy : Selon l’Organisation de Coopération et de développement Economiques (OCDE),

la littératie est « l’aptitude à comprendre et à utiliser l’information écrite dans la vie courante, à la maison, au

travail et dans la collectivité en vue d’atteindre des buts personnels et d’étendre ses connaissances et ses

capacités. »

http://www.oecd.org/fr/education/innovation-education/39438013.pdf

147

éducation mathématique de qualité s’avère nécessaire et celle-ci doit faire voir les

mathématiques comme science vivante, en éternelle évolution, en prise avec le monde réel et

ouvertes à toutes les disciplines scientifiques ou non. C’est par cette voie qu’elle permettra

aux élèves de saisir la puissance des mathématiques comme outil pour modéliser et pour

pouvoir comprendre et agir sur le monde.

Dias (2005) ajoute que « l’un des enjeux de l’enseignement des mathématiques

aujourd’hui est sans aucun doute de permettre à d’avantage d’élèves d’accéder à la

connaissance des objets de cette discipline dans la perspective de leur développement tant

personnel que professionnel ». Donc, Dias va plus loin car pour lui, il ne s’agit plus de

restreindre l’enseignement des mathématiques à outiller les élèves pour qu’ils puissent agir

sur le monde mais de les permettre à développer les connaissances acquises pour leur

épanouissement personnel.

Terminons notre recherche sur des finalités de l’enseignement mathématique par des

écrits dans Alberta éducation (2016, p.3) : « Dans l’enseignement des mathématiques, les

principaux buts sont de préparer les élèves à :

• utiliser les mathématiques avec confiance pour résoudre des problèmes;

• communiquer et raisonner en termes mathématiques;

• apprécier et valoriser les mathématiques;

• établir des liens entre les mathématiques et leur mise en application;

• s’engager dans un processus visant l’apprentissage à vie;

• devenir des adultes compétents en mathématiques et utiliser les mathématiques pour

contribuer à la société. »

Et, « Les élèves qui ont atteint ces buts vont :

• comprendre et apprécier les contributions des mathématiques en tant que science,

philosophie et art;

• manifester une attitude positive envers les mathématiques;

• entreprendre des travaux et des projets de mathématiques, et persévérer à les compléter;

• contribuer à des discussions sur les mathématiques;

• prendre des risques dans les travaux de mathématiques;

• faire preuve de curiosité. »

Si nous résumons, la grande finalité de l’enseignement des mathématiques est de rendre

l’élève compétent, possédant toutes les qualités requises pour faire face à la vie d’un citoyen

148

responsable capable de prendre part aux défis du monde moderne et de prendre part aux

débats sur le développement de son pays. Mais quels types de savoirs mathématiques avons-

nous besoin alors, ou quelles approches devons-nous adopter ?

IV-1-2 Quels types de savoirs mathématiques ?

L’Unesco (2011, p.18) avance que :

Il y a aujourd’hui consensus pour estimer que ce qui est attendu, ce sont avant tout des

connaissances opérationnelles qui s’expriment par la capacité à mobiliser des outils

mathématiques pour faire face à des situations nouvelles et potentiellement problématiques, et

pas seulement la capacité à reproduire des procédures apprises dans des contextes très proches

de ceux de l’apprentissage et relativement stables.

Toutes les recherches dans l’enseignement convergent vers le fait que la résolution de

problèmes par l’apprenant est un des grands facteurs qui permet le développement de ses

compétences ; les savoirs et stratégies adoptées doivent donc s’ancrer sur des situations

problèmes et leur résolution. « Lorsque les élèves font face à des situations nouvelles et

répondent à des questions telles que « Comment devriez-vous...? » ou « Comment pourriez-

vous...? », le processus de résolution de problèmes est enclenché » (Alberta éducation, 2016,

p.6).

Signalons au passage les quatre types de problèmes ainsi que leur fonction que Touchard

propose.

Tableau 5: Types et fonctions des problèmes

Source : Touchard, 2011

Les fonctions des problèmes sont d’apprendre ou de rechercher. Si l’on veut aider l’élève

à construire ses connaissances, la situation problème est appropriée. Si l’objectif est

d’appliquer une connaissance nouvelle et de lui donner un sens, on opte pour un problème

149

d’application. Un problème de réinvestissement ou de transfert nécessite dans sa résolution la

mobilisation de plusieurs connaissances déjà acquises dans d’autres contextes. Quant au

problème ouvert, il sert à développer les capacités à chercher car sa résolution invite l’élève à

mobiliser des connaissances non déterminées a priori et à adopter des attitudes de chercheur.

Alberta éducation (2016, p.6) précise que :

« Une activité de résolution de problèmes demande que les élèves déterminent une façon

de trouver ce qu’ils cherchent à partir de ce qu’ils savent. Si on a déjà donné aux élèves des

façons de résoudre le problème, il ne s’agit plus d’un problème, mais d’un exercice. Un vrai

problème exige que les élèves utilisent leurs connaissances antérieures d’une façon différente

et dans un nouveau contexte. La résolution de problèmes est donc une activité qui exige et

amène une profonde compréhension des concepts et un engagement de l’élève. »

En résumé, les savoirs mathématiques que les élèves doivent acquérir sont les essentiels

pour être fonctionnel en société, en d’autres termes tous et toutes doivent avoir « la

numératie17

» mathématique. Cependant ceci n’exclut pas l’acquisition des concepts

mathématiques avancés comme le calcul intégral et le calcul différentiel par ceux qui désirent

aller plus loin dans leur compréhension du monde par les mathématiques.

Les contenus mathématiques doit entrainer les élèves à : poser des problèmes ou les

reformuler pour les rendre accessibles à un travail mathématique, modéliser, explorer,

conjecturer, expérimenter, représenter et formuler en développant pour ce faire des langages

spécifiques, argumenter et prouver, développer des méthodes, élaborer des concepts et les

relier au sein d’espaces structurés, échanger et communiquer.

17 Le terme numératie ou numéracie est un terme polysémique, une étude plus détaillée est donnée dans Jonnaert

et Koudgobo, 2004. Nous pouvons avancer qu’il s’agit de permettre aux apprenants d’asseoir les bases

minimales en mathématiques afin de répondre aux questions et aux problèmes posés quotidiennement par leur

environnement et les situations qu’ils y rencontrent. La numéracie prise isolément est toujours incomplète, elle

s’articulera utilement aux compétences langagières et à celles du résolveur efficace de problèmes. Elle est

nécessairement complétée par une banque de situations.

La numératie, selon la définition de PISA (OCDE, 2000), est une habileté qui s’apprend et s’applique à

l’intérieur comme à l’extérieur du milieu scolaire et dont la finalité s’inscrit dans la capacité d’une personne de

faire des choix éclairés, d’exercer son libre arbitre et de s’épanouir en tant que citoyenne ou citoyen.

Selon le groupe d’experts pour la réussite des élèves (Griffore et al. 2004), la numératie est : l’ensemble des

compétences essentielles faisant appel à des concepts mathématiques et à des compétences connexes, telles que

l’utilisation des technologies appropriées; ce qui permet à une personne d’être fonctionnelle en société, c’est-à-

dire de pouvoir traiter et gérer efficacement les situations de la vie, de résoudre des problèmes dans un contexte

réel et de communiquer ses solutions.

150

IV-1-3 Quels rôles pour les enseignants ?

Le rôle de l’enseignante ou de l’enseignant est primordial puisque c’est principalement

elle ou lui qui communique les attentes élevées vis-à-vis de l’apprentissage de l’élève

(Griffore, 2004, p.37) et nous voudrions commencer l’inventaire des rôles que doit tenir

l’enseignant par cette phrase d’Anatole France : « L’art d’enseigner n’est rien d’autre que l’art

d’éveiller la curiosité naturelle des jeunes esprits dans le but de la satisfaire ensuite. »

La logique serait alors d’affirmer que le rôle principal de l’enseignant est de proposer des

situations d’apprentissage centré sur des résolutions de problèmes afin de rendre les élèves

compétents. En effet, le Ministère de l’éducation de l’Ontario (2005) constate qu’au cours des

dernières décennies, notre société a connu des transformations aussi rapides que profondes. À

l’heure de la mondialisation et du progrès scientifique et technologique, l’apprentissage des

mathématiques revêt une importance primordiale en donnant accès aux compétences

essentielles dont les élèves d’aujourd’hui auront besoin en matière de numératie pour se

réaliser pleinement sur les plans personnel et professionnel.

Il est alors du devoir de l’enseignant de favoriser et de mettre en place des conditions

d’apprentissage adaptées à ses élèves. Il doit aussi accompagner les élèves dans le processus

d’apprentissage. Cette lourde tâche implique de sa part une volonté de se former, de ne pas se

cantonner dans la routine. Elle requiert des enseignants et enseignantes qualifiés capables :

- de faire des guidages appropriés des élèves et de mettre en place un contrat

didactique approprié (Brousseau, 1997).

- de faire face à l’imprévu et d’identifier le potentiel mathématique d’idées et de

productions d’élèves non nécessairement anticipées.

- d’aider les élèves à relier les résultats qu’ils ont obtenus dans un contexte particulier

avec les connaissances visées par l’institution, à la fois dans leur contenu et dans leur forme

d’expression. (Unesco, 2011)

Les besoins en expertise enseignante vont ainsi bien au-delà de ce qui est en jeu dans les

pratiques d’enseignement traditionnelles. C’est la raison essentielle les enseignants doivent

avoir soif de formation qui les aideraient à élaborer des tâches susceptibles de permettre des

activités d’investigation mathématiquement productives, dans les contraintes qui sont celles

de la classe, les aider plus efficacement à jouer le rôle de guide et de médiateur qui est le leur

pour gérer ces activités de façon mathématiquement efficace. Ces formations seront donc

axées non seulement sur les compétences professionnelles mais aussi sur les compétences

151

disciplinaires car nul ne saurait nier que l’exercice de la profession requiert une connaissance

approfondie des mathématiques visées par l’enseignement.

Pour ce qui est de leur rôle au sein du système éducatif, les enseignants doivent prendre

conscience qu’ils sont le maillon clé de toute évolution positive et durable du système

éducatif. Dans leur enseignement, ils doivent prendre en compte l’évolution des pratiques

mathématiques étroitement liée à l’évolution technologique : l’importance et la visibilité

croissante de la part expérimentale des mathématiques ; l’appui de la technologie au calcul, à

la visualisation et à la simulation ; le renforcement et une vision renouvelée de la dimension

algorithmique des mathématiques ; sans oublier la gestion raisonnée et efficace de la diversité

actuelle des sources d’information et formes possibles de travail collaboratif.(Unesco, 2011)

Nous pensons que les tâches suivantes, assignées aux enseignants, résument ce que nous

attendons d’eux :

- L’enseignante ou l’enseignant a pour tâche d’élaborer une gamme de stratégies

d’enseignement et d’évaluation fondées sur une pédagogie éprouvée. Il lui faut concevoir des

stratégies qui tiennent compte des différents styles d’apprentissage et les adapter pour

répondre aux divers besoins de ses élèves. Les stratégies utilisées devraient aussi viser à

insuffler à chaque élève le désir d’apprendre et l’inciter à donner son plein rendement. Enfin,

l’enseignante ou l’enseignant exerce une influence déterminante en favorisant chez les élèves

l’adoption d’une attitude positive envers les mathématiques, ce qui contribue à les démythifier

et à réduire la phobie qu’elles inspirent chez certains élèves.

- Il incombe à l’enseignante ou l’enseignant de faire constamment des liens entre la

théorie et la pratique et de concevoir des activités qui se fondent sur un apprentissage actif. En

misant sur le connu et le concret, il ou elle amènera l’élève à découvrir et à intégrer les

concepts à l’étude par l’entremise du questionnement, de la recherche, l’observation et de la

réflexion. L’enseignante ou l’enseignant l’encouragera à situer ces concepts dans un contexte

qui lui permettra d’en voir clairement la pertinence et l’application dans le monde qui

l’entoure.

- Etablir une relation de confiance avec l’élève doit être une priorité pour l’enseignant

ou l’enseignante afin d’influer positivement sur le processus d’apprentissage car la relation

enseignante-élève ou enseignant-élève y joue un rôle déterminant. (Marzano, 2003, cité par

Griffore, 2004).

152

Il va sans dire, et nous insistons qu’une condition sine quoi none pour que les enseignants

et enseignantes puissent bien jouer leur rôle est d’être formé et de vouloir se former sur les

plans académiques, didactique et pédagogique.

IV-1-4 Quels rôles pour les élèves ?

Il est clair que seul l’élève est acteur de son apprentissage. Nous ne pouvons pas

apprendre à leur place et les recherches en théorie de l’enseignement-apprentissage montrent

qu’il n’y a pas de recettes miracles qui marcheraient pour tous car chaque apprenant a ses

caractéristiques propres et l’évolution technologique, environnementale, socio-économique

etc… accentue cette disparité.

Ce qui ne nous empêche pas de se faire des idées des rôles que devraient jouer les

élèves dans le processus apprendre afin d’optimiser notre action dans l’acte enseigner.

Selon Alberta éducation (2016), les élèves devraient agir pour développer des

compétences de base Ainsi, ils devront. :

- Communiquer pour apprendre des concepts et pour exprimer leur compréhension.

(Compétence en communication)

- Démontrer une habilité en calcul mental et en estimation.

(Compétence en calcul mental et estimation)

- Etablir des liens entre des idées et des concepts mathématiques, des expériences de la

vie de tous les jours et d’autres disciplines. (Compétence pour faire des liens)

- Développer le raisonnement mathématique. (Compétence en raisonnement)

- Développer de nouvelles connaissances en mathématiques et les appliquer pour

résoudre des problèmes. (Compétence en résolution de problèmes)

- Choisir et utiliser des outils technologiques pour apprendre et pour résoudre des

problèmes. (Compétence en technologie)

- Développer des habilités en visualisation pour faciliter le traitement d’informations,

l’établissement de liens et la résolution de problèmes. (Compétence en visualisation)

Ces sept processus mathématiques interdépendants font partie du programme d’études et

sont conçus pour être intégrés à l’enseignement et à l’apprentissage.

Si nous nous intéressons au raisonnement par exemple, il aide les élèves à penser de

façon logique et les aide à saisir le sens des mathématiques. De plus, grâce aux habilités de

raisonnement, les élèves utilisent un processus logique dans l’analyse d’un problème, dans la

153

recherche de conjecture, pour émettre une hypothèse et arriver à une conclusion pour

confirmer ou infirmer cette hypothèse.

Un des rôles de l’élève aussi serait d’investir des efforts pour réaliser des

apprentissages, un investissement qui lui est rentable. Viau (2003, cité par Boudreault, 2011)

énonce cinq facteurs qui favorisent l’investissement d’efforts de la part de l’apprenant, ou qui

le poussent à décider d’investir des efforts (figure 118) :

- Le déroulement des apprentissages : le climat d’apprentissage est-il favorable ?

L’enseignant est-il là pour l’aider à franchir les obstacles qu’il pourrait rencontrer ?

- Le contrôle sur ses activités : est-ce qu’il a des moyens pour mesurer ses avancées

dans le processus apprendre ?

- La conscience des conséquences de ses apprentissages : qu’est-ce que je gagne et

qu’est-ce que je perds dans cet apprentissage ?

- La perception de sa propre compétence par rapport aux activités à réaliser : est-ce

que je suis capable ? Qu’est ce qui me manque ? Quels sont mes forces, mes faiblesses ?

- La valeur de l’activité pour l’apprenant : l’activité a-t-elle un sens ? Est-ce qu’elle

met l’apprenant devant un défi réaliste et réalisable ?

Figure118: Cinq facteurs favorisant l'investissement des efforts de l'apprenant selon Viau

154

À Madagascar, la Loi n°2004-004 : portant Orientation générale du Système

d'Education, d'Enseignement et de Formation à Madagascar stipule dans son article 20 le

devoir des élèves Malagasy :

Article 20 - Il est du devoir de l'élève/ apprenant de respecter l'enseignant/formateur et

tous les membres de la communauté éducative et de s'astreindre aux exigences imposées par

le respect dû à l'établissement d'éducation et de formation.

IV-1-5 Quels rôles pour les outils/ ressources ?

Artigue (2007) a avancé : « On sait le rôle crucial que jouent les ressources mises à

disposition des élèves comme des enseignants dans tout effort fait pour améliorer

l’enseignement et l’apprentissage et les mathématiques n’y échappent bien sûr en rien ». Cette

situation nous est bien familière quand nous étions chargé d’études à l’UERP18

en 1990.

Les ressources, comme les manuels qui sont conforment au programme, n’existaient

presque pas pour l’enseignement des mathématiques. Il est alors compréhensible qu’ils ne

traitent que les notions qu’ils maitrisent ou dont ils ont des exercices. Des exemples de

notions non traitées en ce temps étaient le théorème de Thalès en géométrie et la notion de

médiane en organisation de données (Rajaonarimanana, 1998). C’est seulement après les

formations dispensées au sein du projet PRESEM19

accompagnées de la dotation des

établissements et des enseignants de la série de livres « Pythagore » que les enseignants ont

repris timidement l’enseignement de ces notions.

Toujours concernant les manuels et autres supports didactiques, l’Unesco (2011) dit

que la production de ressources de qualité et pour les enseignants et pour les élèves est

garante d’une éducation mathématique de qualité. Dias (2005) dit « avant, dans les années

1957, les travaux pratiques ont été introduits dans les classes de sixième et cinquième et la

question de savoir si les mathématiques sont une science expérimentale est explicitement

posée et reçoit une réponse positive. Actuellement, c’est un épisode oublié de l’enseignement

des mathématiques ». Faute d’une formation sur la géométrie pure ou synthétique et à cause

d’une méthode d’enseignement favorisant l’intervention parfois trop rapide d’un formalisme

au détriment de la recherche de sens, il y a « divorces » - si nous utilisons le terme employé

par Dias (2005) - entre les individus et les objets mathématiques, ceci pouvant même

18 UERP : Unité d’étude et de recherches pédagogiques, créée au sein du Ministère de l’éducation nationale dans

le but d’améliorer le curriculum de toutes les disciplines scolaires 19 PRESEM : Projet de REnforcement du Système Educatif Malagasy, projet franco-malagasy qui a débuté vers

les années 1990.

155

conduire, dans certains cas, à un rejet de cette discipline par certains de ceux qui auront à

l’enseigner . Et l’auteur de déplorer la vanité de la valeur profonde du travail du

mathématicien qui, ayant créé des êtres de raison, va s’efforcer d’en étudier les propriétés

alors que leurs constructions ne prennent pas appui sur le réel.

Selon la seconde Etude ICMI20

, rapportée par Hoyles et Lagrange (2009, cité par

Unesco, 2011), les technologies ont enrichi de façon indéniable les possibilités

d’expérimentation, de visualisation, de simulation ; elles ont modifié le rapport au calcul, le

rapport aux figures géométriques. Des ressources numériques sont alors disponibles pour

l’enseignement-apprentissage des mathématiques et qui aideraient les enseignants et les

élèves mais la conférence donnée par Artigue (2007b), après cette seconde étude ICMI, laisse

encore entrevoir les gros efforts à fournir pour surmonter les obstacles culturels quant à la

perception des calculatrices et logiciels, et pouvoir ainsi bénéficier pleinement de l’apport des

technologies dans l’enseignement des mathématiques.

… L’influence sur les contenus et les pratiques, même quand elle est réelle, est donc loin

d’être systématiquement celle attendue et souhaitée. La tendance observée et bien

compréhensible consiste à utiliser les outils technologiques juste pour leur valeur pragmatique

: produire rapidement et facilement des résultats dans des tâches qui se différencient peu de

celles traditionnellement pensées pour l’environnement papier/crayon, au détriment de leur

valeur épistémique : aider à comprendre les objets mathématiques mis en jeu. …. La pente

naturelle des usages nous semble, de ce fait, contribuer fortement aux décalages observés

entre attentes et réalisations effectives. ….Le travail à accomplir pour parvenir à une

intégration des technologies informatiques qui serve efficacement la cause de l’enseignement

et l’apprentissage des mathématiques reste énorme, conclut-elle.

Si les finalités des mathématiques, les types de savoirs qu’on doit y transmettre, les

rôles des enseignants et des élèves ont été tracés brièvement, penchons-nous maintenant sur le

cas de l’enseignement des mathématiques à Madagascar.

IV-2 L’enseignement des mathématiques à Madagascar À Madagascar, (Rajaonarimanana, 2018) le nombre d’élèves qui optent pour la série

C, que nous appellerons série scientifique, diminue d’année en année. Le taux moyen de

réussite au baccalauréat scientifique est environ de 40%. Environ 8% des candidats au

156

baccalauréat optent pour la série scientifique. Le même constat se voit aussi dans l’examen du

brevet d’étude du premier cycle (BEPC) qui sanctionne la fin du collège. En effet, sur deux

années consécutives, nous avons conduit une étude de la réussite des élèves et, chaque année,

sur 1500 copies d’examen de mathématique, 5.3% ont obtenu des notes supérieures ou égales

à 30/60 parmi des notes qui varient de 01.5/60 à 59/60. Ce phénomène n’est uniquement pas

pour Madagascar, Calabre (2007) a soulevé :

« Qu’un défi important a été abordé, qui ne concerne pas simplement la France, même

s’il est important chez nous d’après les statistiques : c’est le problème de l’attrait insuffisant

des sciences pour les élèves, notamment pour les filières universitaires. On parle de

désaffection : ce terme, même s’il est fort, montre que le chemin est difficile, comme

l’indiquent les résultats. Pour attirer notamment les élèves vers les filières scientifiques, les

efforts qui ont été faits pendant cinq ans ont conduit à une augmentation en valeur absolue,

mais à une stagnation, voire à une diminution de la proportion des élèves qui vont vers la

carrière scientifique par rapport à l’ensemble des effectifs ».

Cette situation alarmante est déjà soulevée par Totohasina et Rajaonarimanana

(2016) lors d’un compte rendu à la réunion internationale des Irem à Strasbourg France dans

lequel ils ont évoqués le nécessité de créer l’Institut de recherche sur l’enseignement des

mathématiques et informatique (IREMI).

IV-2-1 Le système éducatif à Madagscar

Le système éducatif à Madagascar est régit par Loi n°2004-004 : portant Orientation

générale du Système d'Education, d'Enseignement et de Formation à Madagascar.(Annexe 2).

Actuellement, à Madagascar, le système éducatif est de type 5-4-3. Le cycle primaire,

dénommé EF1 ou Éducation Fondamentale du premier cycle, dure 5 ans ; le cycle collège

dénommé EF2 ou Éducation Fondamentale du deuxième cycle, dure 4 ans ; enfin, le cycle

lycée dure 3 ans. Le PSE (Plan Sectoriel pour l’Education) à Madagascar prévoit un système

de type 9-3 dans lequel l’enseignement obligatoire sera de 9 ans mais subdivisés en trois sous

cycle de trois ans chacun.

La finalité de l’éducation à Madagascar est de préparer l’individu à une vie active

intégrée dans le développement social, économique et culturel du pays et par conséquent de

développer des compétences. (Article 4 de la loi n°2004-004)

20 ICMI : International Commission on Mathematical Instruction, L'étude ICMI 17 (17ème étude ICMI) est la

seconde à être centrée sur l'utilisation des ordinateurs dans l'enseignement des mathématiques. Intitulée :

Mathematical Education and Digital Technologies: Rethinking the terrain. Hanoi 2006

157

Article 4 - L'éducation, l'enseignement et la formation malagasy doivent préparer

l'individu à une vie active intégrée dans le développement social, économique et culturel du

pays.

Pour la réalisation de cet objectif, ils doivent notamment :

- promouvoir et libérer l'initiative individuelle et des communautés de base ;

- favoriser la créativité ;

- cultiver le goût de l'effort ;

- développer l'esprit d'entreprise et de compétition, le souci de l'efficacité, le sens de la

communication, la recherche de l'excellence dans le résultat et ;

- parvenir à produire des citoyens suffisamment instruits et aptes à assurer l'exploitation

rationnelle des richesses naturelles potentielles, afin de hisser notre pays au rang des nations

les plus développées, tout en conservant sa sagesse légendaire.

Cette loi d’orientation stipule dans les articles 13 ; 14 ; 15 et 16, des fonctions de l’école

et des établissements d’enseignement et de formation.

Article 13 - L'école, les établissements d'enseignement et de formation assurent des

fonctions d'éducation, de formation et de qualifications.

Article 14 - L'école, les établissements d'enseignement et de formation doivent, en

collaboration et avec la complémentarité des familles et de la société, veiller à inculquer aux

enfants, aux adolescents et aux jeunes les sens de la responsabilité et de l'initiative, ainsi que

le respect des bonnes mœurs et des règles de bonne conduite.

En outre, ils sont appelés à :

- développer en eux le sens civique et les valeurs de la citoyenneté ;

- développer la personnalité de l'individu, dans toutes ses dimensions : physique,

affective, psychique, mentale et morale, en garantissant le droit à la construction de sa

personne de manière à aiguiser son esprit critique et sa volonté.

Article 15 - L'école et les établissements d'enseignement et de formation, veillent, dans le

cadre de leur fonction d'instruction, à garantir à tous les apprenants, un enseignement et une

éducation de qualité qui leur permettent d'acquérir une culture générale et des savoirs

théoriques et pratiques, de développer leurs dons et leurs aptitudes à apprendre par eux-

mêmes et de s'insérer ainsi dans la société du savoir et du savoir-faire.

L'école et les établissements d'enseignement et de formation sont appelés essentiellement

à donner aux apprenants les moyens :

- de maîtriser la langue malagasy, de par son statut de langue maternelle et nationale ;

158

- de maîtriser deux langues étrangères au moins.

Ils doivent par ailleurs s'attacher :

- à développer les différentes formes d'intelligence sensible, pratique et abstraite

- à développer les capacités de communication des élèves et l'usage des différentes

formes d'expression : langagière, artistique, symbolique et corporelle

- à leur assurer la maîtrise des technologies de l'information et de la communication et à

les doter de la capacité d'en faire usage dans tous les domaines ;

- à les préparer à faire face à l'avenir de façon à être en mesure de s'adapter aux

changements et d'y contribuer positivement avec détermination.

Article 16 - L'école et les établissements d'enseignement et de formation veillent, dans le

cadre de leur fonction de qualification, à développer des compétences et des savoir-faire chez

les apprenants, en rapport avec leur âge et selon le cycle d'études.

Les établissements de formation professionnelle et de l'enseignement supérieur ont la

charge de consolider ces compétences.

A cette fin, l'école et les établissements de formation et d'enseignement supérieur, sont

appelés à faire acquérir aux apprenants l'aptitude à utiliser le savoir et le savoir-faire acquis

pour la recherche de solutions alternatives dans la résolution des problèmes auxquels ils

peuvent être confrontés à :

- s'adapter aux changements ;

- prendre des initiatives et à innover ;

- travailler en groupe ;

- apprendre tout au long de leur vie.

À la sortie du Collège, l’élève doit être capable de (d’) :

utiliser divers moyens ou méthodes d’observation et d’interprétation des phénomènes

naturels et physiques ;

mener un raisonnement logique ;

comprendre l’évolution des phénomènes sociaux, politiques, et les rouages

fondamentaux de l’économie ;

comprendre et apprécier la culture malgache et ses valeurs ;

utiliser correctement le malgache dans les différentes situations de la vie

quotidienne ;

159

communiquer en français et utiliser correctement cette langue dans les différentes

situations d’enseignement-apprentissage ;

communiquer en anglais oralement et par écrit ;

se comporter en citoyen responsable connaissant ses devoirs et ses droits

fondamentaux ;

faire preuve d’esprit critique et de tolérance ;

faire preuve de créativité et utiliser d’une manière efficace les connaissances

acquises selon le milieu dans lequel il évolue ;

situer sa région dans le contexte national en termes de réalités ; socio-économiques et

culturelles, et appréhender les réalités internationales ;

créer et gérer de petites entreprises.

À la sortie du lycée, l’élève doit être capable d(e):

• expliquer et d’interpréter scientifiquement les phénomènes naturels et physico-

chimiques;

• mener une réflexion poussée;

• expliquer les mécanismes des grands phénomènes sociaux et politiques ainsi que les

rouages fondamentaux de l’économie;

• comprendre et d’apprécier la culture malgache et celle des autres nations;

• émettre et de défendre ses opinions oralement comme a l’écrit, en malgache, en français

et en anglais;

• respecter les principes fondamentaux de la démocratie et les droits, universellement

reconnus de la personne;

• s’affirmer comme responsable au sein de la communauté, ayant acquis une maturité sur

le plan du raisonnement;

• agir avec autonomie;

• faire preuve de créativité et d’utiliser d’une manière rationnelle les connaissances

acquises selon le milieu dans lequel il évolue;

• situer la place de Madagascar dans le concert des nations sur les plans économique,

politique, culturel...;

• participer effectivement et efficacement a la résolution des problèmes quotidiens de la

communauté et de son environnement pour un développement durable;

• créer et de gérer des unités de production de taille modeste;

160

• diriger des associations locales et des œuvres sociales.

Nous remarquons que globalement, la finalité de l’éducation à Madagascar concorde avec

celle que l’Unesco préconise.

IV-2-2 Finalités des enseignements des mathématiques à Madagascar

Le programme scolaire ou plus exactement le curriculum de mathématique à Madagascar

devrait concourir au développement intellectuel de celui qui suit le cursus scolaire .Nous

reportons ici les objectifs de l'enseignement des mathématiques à Madagascar, du primaire au

lycée, selon le programme scolaire en vigueur (MINESEB, 1999).

En primaire, l’objectif de l’enseignement du "calcul" est de :

- Favoriser le développement des habilités intellectuelles et psychomotrices ;

- Faire acquérir les concepts fondamentaux dans le domaine de la numération, de la

géométrie et de la mesure ;

- Permettre la maîtrise des stratégies et des automatismes de calcul pour résoudre des

problèmes relatifs à la vie courante.

Si nous nous intéressons au programme de géométrie en classe primaire, l’enseignement

de la géométrie commence en 10ème (c'est-à-dire à partir de la deuxième année du primaire).

Au Collège et au Lycée, les mathématiques doivent amener les élèves à :

-développer des habilités intellectuelles et psychomotrices

-acquérir les concepts fondamentaux dans les domaines de la numération, de la

géométrie, et de la mesure.

-maîtriser les stratégies et les automatismes de calcul

-acquérir une bonne méthodologie dans la recherche des solutions à des exercices ou

problèmes

-conjecturer, s’efforcer de prouver et contrôler les résultats obtenus

-développer les qualités d’expression écrite et orale

-acquérir une formation scientifique lui permettant de poursuivre et /ou de s’intégrer

dans la vie active et professionnelle

Ainsi à la sortie du Collège, en mathématique l’élève doit être capable de :

-mettre en équation des problèmes simples de la vie courante

-résoudre des problèmes qui font intervenir des équations et des inéquations du

premier à une ou deux inconnues réelles;

161

-utiliser des propriétés et des règles de priorités des opérations pour effectuer des

calculs et pour comparer des nombres réels;

-présenter des données statistiques sous forme de tableaux et sous forme de

graphiques et en calculer la moyenne;

-construire toutes les figures géométriques de base;

-utiliser des propriétés de configurations géométriques de base et celles des

transformations (translation, homothétie, symétrie orthogonale, symétrie centrale) pour

justifier des propriétés de figures simples;

-utiliser les vecteurs du plan et les opérations sur ces vecteurs pour interpréter et

démontrer des propriétés géométriques simples;

-décrire et représenter des objets de formes géométriques usuelles (du plan et de

l'espace), préciser leurs propriétés et calculer des grandeurs qui leur sont attachées (longueur,

aire, volume);

-construire un patron d'un solide usuel afin de réaliser ce solide;

-faire des calculs analytiques dans le plan pour des problèmes de distance, de

parallélisme et d'orthogonalité.

A la sortie du Lycée, en mathématique l’élève doit être capable de :

-maîtriser et appliquer les connaissances antérieurement acquises

-faire appel à l’intuition, à l’esprit d’analyse et de synthèse

-maîtriser la capacité à mettre en œuvre le raisonnement déductif ainsi que les autres

types de raisonnement

-faire des raisonnements rigoureux

-avoir une attitude scientifique face à un problème

Nous constatons encore que les finalités de l’enseignement des mathématiques à

Madagascar ne différent pas beaucoup de celles de par le monde.

IV-2-3 Curriculum de mathématique à Madagascar

Le curriculum de mathématique précise les contenus, les modalités et les approches à

mettre en œuvre pour atteindre les objectifs fixés par le système en ce qui concerne

l’enseignement-apprentissage des mathématiques.

Selon l’Arrêté 10.869/2015/MEN portant organisation transitoire de la méthode

pédagogique :

162

Article premier : L’usage des approches pédagogiques APC et APS est suspendu à partir

de la rentrée scolaire 2015-2016.

Article 2 : Toutes les activités pédagogiques opérées à tous les niveaux d’études seront

impérativement axées sur la mise en œuvre de la méthode dite « PEDAGOGIE PAR

OBJECTIFS » qui restera seule applicable jusqu’à l’entrée en vigueur du nouveau curriculum

stipulé par la Convention Nationale de l’Education.

Ainsi les enseignants du système éducatif malagasy doivent adopter la pédagogie par

objectifs dans l’acte d’enseignement-apprentissage selon le ministère de tutelle. Cette décision

vient du fait que les approches APC et APS ont été initiées dans des circonscriptions pilotes

mais comme nous avons évoqué dans le chapitre III, leur mise en œuvre nécessite des

enseignants formés et qualifiés et surtout ayant une maîtrise des contenus de leur discipline

respective. Comme beaucoup d’enseignants ont des difficultés dans leur matière, le peu de

formation qu’on leur a donnée n’était pas suffisant et le résultat escompté n’était pas à la

hauteur des attentes.

Le curriculum de mathématique à Madagascar présente les objectifs de la matière, les

objectifs dans le cycle concerné, les objectifs dans la classe et le volume horaire

hebdomadaire puis viennent les contenus d’enseignement. Les grandes parties (activités

géométriques, activités numériques, statistique, …) sont présentées suivant le modèle

suivant :

D’abord l’intitulé (par exemple droite, angles, triangles, application du plan, équations et

inéquations etc….) puis le nombre de semaines qui lui est allouées. Ensuite, le ou les objectifs

généraux de l’intitulé sont énoncés. Après, un tableau ayant trois colonnes précisent ; en

première colonne les objectifs spécifiques écrits sous forme de capacités de l’élève, dans la

deuxième colonne les contenus relatifs à l’intitulé et en dernière colonne les observations. En

général, en fin du tableau sont mentionnées des instructions pour baliser l’enseignement ou

des conseils pour l’évaluation. Nous donnons ci-après (figure 119) un extrait du curriculum de

mathématique de la classe de troisième où le premier tableau concerne la géométrie

vectorielle avec ses instructions suivi de l’intitulé la géométrie analytique.

Nous donnons ci-après un extrait du curriculum de mathématique de la classe de

troisième, où le premier tableau concerne la géométrie vectorielle avec ses instructions suivie

de l’intitulé la géométrie analytique.

163

Figure 119: Représentation du contenu d'enseignement en mathématique

Source : Programme scolaire, MEN, 1996

Quand on s’intéresse à l’évolution d’un concept du curriculum tout au long de

l’apprentissage (par exemple la notion de fonction numérique dès le collège jusqu’en

terminale) nous parlons d’une analyse verticale ; l’analyse horizontale ou transversale suppose

l’interdisciplinarité du curriculum au sein d’un même niveau du cursus scolaire.

La conduite de l’analyse du curriculum change lorsqu’on change d’approche (par

exemple si on passe de la PPO à l’APC) ou de paradigme (par exemple paradigme

socioconstructiviste au lieu de paradigme béhavioriste) (Jonnaert, 2005).

Lorsque les chercheurs analysent des curriculums, ils distinguent le curriculum officiel, le

curriculum réellement implanté dans les classes et celui maîtrisé par les apprenants. La

conception des nouveaux programmes d’études se situe au niveau du curriculum officiel. Il

peut exister des écarts plus ou moins grands entre les différents ordres de curriculum. Mais cet

écart ne peut être décelé qu’à travers ce que les apprenants ont maîtrisé par rapport au

curriculum officiel. Les différents ordres de curriculum n’établissent pas de liens directs entre

eux. Les représentations que l’enseignant se construit à propos du curriculum officiel

164

constituent, en quelque sorte, une médiation incontournable entre le curriculum officiel et le

curriculum maîtrisé (figure 120). Il existe par ailleurs peu de rétroaction entre le curriculum

maîtrisé et le curriculum officiel. (Jonnaert ,2005)

Figure 120 : Différents ordres de curriculum

Source : Jonnaert, 2005

Dans un programme de mathématiques, il y a des éléments essentiels auxquels les élèves

doivent être exposés pour être en mesure d’atteindre les objectifs du programme et acquérir le

désir de poursuivre leur apprentissage des mathématiques tout au long de la vie. (Alberta

éducation, 2016). C’est aux enseignants de faire en sortes que les élèves renouent avec

l’amour des mathématiques en mettant en place des éléments favorables à l’enseignement-

apprentissage, des enseignements-apprentissages stimulant qui donnent sens aux concepts

étudiés. Mais auront-ils ces capacités ? Essayons de décrire les profils des enseignants de

mathématiques à Madagascar.

IV-2-4 Les profils des enseignants de mathématiques à Madagascar

À Madagascar, la qualification des enseignants laisse à désirer. Comme il est

rapporté par Ramanantoanina (2008) :

« la qualité de l'enseignement en général et l'enseignement secondaire en particulier est

médiocre et cette situation s'explique par le manque de matériel didactique, mais aussi et

surtout par le manque de qualification des enseignants. En 2004, seuls 20 % des professeurs

des collèges et 33 % des professeurs des lycées possèdent les diplômes d'enseignement

requis» (Ramanantoanina, 2008, p.xv).

C'est à dire au moins le diplôme Bac+2 pour le collège et Bac+3 pour le lycée.

165

Comme « Les enseignants sont le maillon clé de toute évolution positive et durable des

systèmes éducatifs » (UNESCO, 2011, p.27), qu’en est-il de leur formation initiale et

continue à Madagascar ?

Le système de formation initiale à Madagascar est assuré par deux établissements :

l’INFP21

et les ENS.

L’INFP a la charge de la formation initiale des enseignants du primaire, des professeurs

de collège et des conseillers pédagogiques de l'enseignement primaire.

Les ENS, au nombre de trois, ont la charge de former les enseignants des lycées et

l'école normale supérieure de l'enseignement technique (ENSET) d'Antsiranana forme les

enseignants des lycées techniques et professionnels.

La formation continue dans le domaine primaire et collège est aussi une attribution de

l'INFP. Les recrutements pour la formation à l'INFP et ses centres régionaux se font sur

concours parmi les bacheliers. Les formations continues sont programmées durant les pauses

scolaires des enseignants. Ce sont, soit des formations in situ où les formateurs rejoignent les

établissements pour observer et conseiller les enseignants, soit des séances de formation

mutuelle entre les enseignants pour échanger et trouver ensemble des solutions aux éventuels

problèmes rencontrés dans l'enseignement-apprentissage. L'INFP projette la diffusion de

documents d'autoformation pour que les enseignants puissent réactualiser leurs connaissances

académiques.

Les étudiants formés dans les ENS et ENSET sont recrutés par voie de concours après le

Bac et suivent des formations pendant 5 ans, mais avec le système LMD mis en place au sein

des universités de Madagascar, ils peuvent enseigner directement après la licence ou continuer

jusqu'au master. Actuellement, la formation continue des enseignants des lycées n'est pas

encore bien structurée, les réunions entre les professeurs d'une même discipline se font au sein

de leur établissement et sont axées généralement sur la répartition semestrielle du programme

de chaque niveau (seconde, première, terminale).

En tant qu’enseignant dans des lycées, formateur d’enseignants de mathématiques des

collèges et de conseillers pédagogiques du primaire à l’INFP depuis de nombreuses années, il

nous parait intéressant de faire état des représentations que les enseignants de mathématiques

ont de leur métier. Notre vécu en côtoyant les enseignants des collèges et des lycées nous

permet de décrire une des réponses à cette question (Rajaonarimanana, 2019) : c'est un travail

comme tout autre. En début de carrière, il y a un gros travail de préparation qui s'inspire, en

166

grande partie, des cours de professeurs chevronnés ou encore de leurs propres cours quand ils

étaient collégiens ou lycéens. Ensuite, cela devient généralement de la routine : on reprend les

cours et les exercices des années précédentes.

L’enseignement des mathématiques est alors une éternelle répétition, et pour le

professeur et pour les élèves : des leçons à apprendre par cœur, des méthodes à appliquer sur

des exercices stéréotypés, des démarches à reproduire en classe et à l’examen. Des pratiques

pédagogiques du style transmissif durant lesquelles les élèves ne font généralement

qu’accepter ce que le professeur dicte et donne. Des professeurs qui ne tiennent pas, ou ne

veulent pas tenir compte des représentations que leurs élèves ont des savoirs qu’ils veulent

faire acquérir. Ne nous étonnons pas alors si les élèves ne sont pas motivés, car ils ne se

sentent pas partie prenante dans la construction de leur savoir. Cette attitude a des effets

néfastes sur leur niveau en mathématiques. Pour les professeurs, la faute revient toujours aux

élèves en disant que ces derniers n'apprennent pas leurs leçons, ne font pas les exercices qu'on

leur propose et n'ont aucun raisonnement logique.

Par ce constat, ces professeurs avouent, sans doute inconsciemment, leur propre échec

dans l'acte d'enseigner. En effet, un des objectifs de l'éducation mathématique n'est-il pas de

permettre aux élèves d’exercer à leur niveau les moyens de la pensée mathématique que sont

l’abstraction, la généralisation, le raisonnement logique et la preuve, la symbolisation

mathématique, et d’en comprendre la puissance? (UNESCO, 2011, p.16).

Quant aux animations du groupe classe, de par notre vécu avec les enseignants des lycées

et du collège, nous adhérons au constat de Ramanatoanina (2008, p.73) que « la révision des

programmes et des méthodes d’enseignement-apprentissage en mathématiques est alors un

besoin urgent car il existe un vaste fossé entre ce qui est prescrit et ce qui est réellement mis

en œuvre ». Nous pensons que la qualité de la formation des enseignants y est pour

beaucoup : ces derniers ne sont pas formés pour la mise en œuvre du programme, outre le

manque de manuel et matériel didactique et nous n’en dirons pas plus sur leur difficulté à

intégrer les approches innovantes comme l’APC ou l’APS.

Mais une caractéristique de beaucoup d’enseignants de mathématiques à Madagascar est

le fait qu’ils n’ont pas de formation scientifique. Des sortants de l’université des filières

gestion ou économie enseignent les mathématiques dans les lycées. Au collège, de titulaires

du bac série littéraire A2 assurent les cours de mathématiques car faute d’enseignants, ils sont

21 INFP : Institut national de formation pédagogique

167

recrutés par l’association des parents d’élèves (FRAM) (Rajaonarimanana, 2018). Ce cas est

similaire à ce qui se passe en France comme rapporte Cori (2007) :

À Paris la situation est catastrophique, le recrutement des professeurs d'école se fait avec

une proportion énorme d'étudiants qui n'ont eu aucune formation scientifique : pour les années

2005-2006 et 2006-2007, 85% des PE1 et PE2 de l'IUFM de Paris avaient une licence en

dehors des licences scientifiques et pluridisciplinaires. C'est tout de même une situation

préoccupante si on veut que les professeurs d'école transmettent ne serait-ce que le goût pour

les sciences aux jeunes.

Pour conclure, selon le rapport du PASEC (2017), à Madagascar, près de 80 % des élèves

sont en dessous du seuil « suffisant » en mathématiques en fin de scolarité du primaire, et une

part importante (38,2 %) ne manifestent pas les compétences les plus élémentaires mesurées

par le test. Or développer les compétences des élèves, en particulier les compétences

mathématiques qui sont définies comme le pouvoir d’agir avec intelligence et d’une façon

convenable dans des situations comportant une certaine forme de défi mathématique est l’une

des finalités à atteindre.

Comme nous l’avons mentionné précédemment, les enseignants ont un grand rôle à jouer

pour l’amélioration du système éducatif : ils sont les maillons clés. C’est pourquoi, selon

l’Unesco (2011), il est urgent de :

Former des enseignants qualifiés, c’est à dire former des enseignants capables de mettre

en place un enseignement des mathématiques stimulant qui fasse voir les mathématiques

comme une science à la fois ancrée dans l’histoire et vivante, une science en prise sur le

monde et capable de contribuer à résoudre les problèmes qu’il affronte comme à rapprocher

les hommes du fait de ses valeurs d’universalité. C’est aussi faire percevoir les mathématiques

comme une science accessible à tous et capable de donner à chacun des moyens de

compréhension et d’action a priori insoupçonnés. C’est ne pas considérer cet enseignement

comme un enseignement isolé mais organiser ses relations avec celui des autres disciplines,

notamment scientifiques.

Mais toute aussi importante que la formation initiale des enseignants, quelle que soit

sa qualité, une formation continue régulière est indispensable.

D’un autre point de vue, selon l’approche socioconstructiviste, l’apprentissage ne se fait

pas uniquement en classe mais en interaction avec les membres de la société (surtout les

168

parents avec qui l’élève passe beaucoup de temps et fait des échanges d’idées) et avec son

environnement. C’est pourquoi tenir compte de ces facteurs favorisant l’apprentissage est

primordial et :

Dans tous les cas, les résultats escomptés en mathématiques auront de meilleures chances

d’être obtenus s’il est pris en considération que :

• les parents, peu importe l’environnement socioéconomique, doivent créer une

atmosphère familiale favorisant la motivation à l’apprentissage;

• les attentes que les parents ont vis-à-vis de leurs enfants ont un impact direct sur

l’apprentissage;

• le message qui prévaut au foyer à propos des mathématiques ne doit jamais être négatif;

• les adolescentes et les adolescents ont en commun le besoin de l’approbation et de

l’encouragement des adultes, et plus précisément de leurs parents (Marzano, 2003);

• l’élève a moins de chance de fournir les efforts nécessaires à sa réussite s’il ou elle sent

que ses parents pensent qu’il ou elle ne peut pas réussir en mathématiques, et que de toute

manière cela n’a pas d’importance;

• les préjugés concernant des métiers dits « manuels » doivent être combattus, de même

qu’il convient d’insister sur la place réelle que tiennent aujourd’hui les mathématiques dans

tous les métiers, quels qu’ils soient;

• les écoles les plus efficaces développent les relations les plus étroites avec les familles.

(Griffore, 2004)

Et le groupe d’experts pour la réussite des élèves (ibid.) d’ajouter les sept points qu’il

pense nécessaire en ce qui concerne l’acquisition des compétences en mathématiques :

1. Tous les élèves peuvent et doivent acquérir l’ensemble des compétences en

mathématiques permettant d’être fonctionnel en société.

2. Les compétences en mathématiques permettant d’être fonctionnel en société ne se

développent pas uniquement à partir du cours de mathématiques, mais aussi dans toutes les

matières ou disciplines; dans ce contexte, leur enseignement est la responsabilité de toutes les

intervenantes et de tous les intervenants.

3. L’apprentissage de tous les élèves pour acquérir les compétences en mathématiques

permettant d’être fonctionnel en société repose sur le développement, pour chacun et chacune,

d’une perception positive vis-à-vis de ces compétences et de leur utilité, ce qui constitue un

élément déclencheur d’engagement, de participation et de persévérance.

169

4. L’enseignement des concepts et l’acquisition des compétences en mathématiques pour

toutes les adolescentes et tous les adolescents doivent être fondés sur des stratégies dont la

recherche a démontré la validité, notamment l’enseignement stratégique et explicite.

5. Le perfectionnement professionnel continu et vécu dans le cadre d’une communauté

d’apprentissage professionnelle est indispensable pour assurer un enseignement de qualité

pour tous les élèves.

6. Une culture valorisant les mathématiques et qui souligne la place réelle qu’elles

occupent dans de nombreux aspects de la vie est un préalable aux apprentissages menant à

l’acquisition de la numératie par tous les élèves.

7. La numératie maîtrisée par toutes les adolescentes et tous les adolescents dépend de la

mobilisation concertée de tous les élèves, parents, enseignantes et enseignants, directrices et

directeurs d’école, cadres scolaires et membres de la communauté.

Ayant passé en revue les conditions qui sont favorables au développement de

l’enseignement des mathématiques, penchons-nous sur le cas de l’enseignement de la

géométrie.

170

CHAPITRE V : L’enseignement de la géométrie Euclidienne

et des coniques à Madagascar

De par le programme PISA22

, qui vise à mesurer les performances des systèmes au

travers le suivi des acquis des élèves, des pays comme la France qui voulant améliorer sa

mauvaise performance, tend à se concentrer sur les domaines évalués et de supprimer la

géométrie Euclidienne — que nous nommerons simplement dans la suite : géométrie — dans

le programme scolaire (Perrin, 2011). Pourtant l’auteur croit fermement que la géométrie est

nécessaire en avançant pour cela les arguments suivants :

- 1) Elle est utile.

En effet, elle a permis d’atteindre l’inaccessible. Un exemple parmi tant d’autres est le

tunnel de Samos, long de un kilomètre et construit au VIe siècle avant notre ère, et dont la

construction fait montre d’une connaissance poussée en géométrie.

De plus, elle permet de modéliser des phénomènes extra-terrestres, comme la trajectoire

des planètes (en particulier celle de Mars) qui sont des ellipses, dont un foyer O est le soleil,

mais pas des cercles : c’est la première loi de Kepler.

Enfin, l’utilisation dans la vie courante des théorèmes de la géométrie, comme celui de

Pythagore pour calculer des longueurs et prendre des décisions en conséquence.

- 2) Elle permet de penser géométriquement.

Perrin affirme que penser géométriquement est un atout fondamental aussi bien en

mathématique que dans les autres disciplines scientifique. Pour cela il prend comme exemple

la deuxième loi de Kepler qui dit que si une planète M parcourt sa trajectoire elliptique

(première loi), alors le rayon vecteur OM balaye des aires égales pendant des laps de temps

égaux.

Comme deuxième exemple, il montre qu’en pensant géométriquement, la méthode de

Ferrari dans la résolution des équations de degré quatre 4 3 ² 0ax bx cx dx e équivaut à

² 0y x et ² ² 0ay bxy cx dx e , donc à l'intersection de deux coniques.

Un troisième exemple est l’étude de la série harmonique où une vision géométrique aide

à voir que la série peut être vue comme la somme des aires de rectangles manifestement

supérieure à l’aire sous la courbe de la fonction inverse (Figure 121).

22 PISA, de l'anglais Programme for International Student Assessment, est un Programme international pour le

suivi des acquis des élèves. C’est un ensemble d'études menées par l'Organisation de coopération et de

développement économiques (OCDE), et visant à mesurer les performances des systèmes.

171

Figure 121: Série harmonique selon une approche géométrique

Source : Perrin 2011

- 3) La géométrie est le domaine privilégié de l’apprentissage du raisonnement.

Nous rappelons l’importance des problèmes dans l’apprentissage en général et des

mathématiques spécialement. Si nous reprenons les propos de Perrin (2011) « C'est sans doute

en géométrie (et en arithmétique) qu'on rencontre les problèmes les plus intéressants. » et

« Cela me semble important, si l'on veut que les jeunes s'intéressent aux mathématiques, de

leur proposer des contenus qui soient à la fois attractifs et stimulants. »

Toujours dans le même sens que Perrin, nombreux mathématiciens et didacticiens

s’accordent pour dire que l’enseignement de la géométrie contribue beaucoup au

développement de l’individu, à l’exemple de Bkouche (1997, p.54) qui affirme que son

enseignement aurait au moins deux avantages par rapport au développement de la capacité

intellectuelle :

« - tout d’abord, l’apprentissage de la géométrie construit chez l’enfant l’intelligibilité ou

la compréhension du monde sensible, ainsi que celle de l’intuition géométrique ;

- ensuite, la géométrie est riche d’applications ultérieures dans d’autres domaines de la

science. »

Des intérêts que Brousseau (2000, p.2) confirme en disant que :

La géométrie intervient, par ses objets, par ses énoncés, par ses méthodes, et par les

représentations qu’elle propose dans de très nombreuses branches des mathématiques et des

sciences, et quelque fois de façon inattendue. De plus l’enseignement de la géométrie entraîne

172

les élèves au raisonnement mathématique, c’est à dire à un mélange de raisonnement déductif

et d’imagination inductive, activé par une manipulation familière des images. De ce fait elle

prépare les élèves à aborder d’autres théories mathématiques.

Pour terminer, nous pouvons dire avec Dias (2005) que l’ l’enseignement de la géométrie

à l’école pourrait être un lieu pertinent pour travailler la nécessité d’une articulation entre

l’expérimental et le théorique ; en effet, un formalisme excessive de l’enseignement des

mathématiques prend place et c’est certainement une des raisons pour laquelle beaucoup

d’élèves optent pour les séries non scientifiques. Nous voudrions aussi, d’ores et déjà,

partager cette phrase de Peltier (2011) concernant l’enseignement de la géométrie : « Je

souhaite vous avoir donné envie de faire faire de la géométrie à vos élèves, c’est un domaine

passionnant qui permet de mêler intuition, imagination, réflexion, raisonnement, rigueur et

précision! »

V-1 Qu’est-ce que la géométrie ?

Si nous avons fait des éloges à l’endroit de la géométrie et de son enseignement, ce serait

mieux si l’on se pose la question « qu’est-ce que la géométrie ? »

Etymologiquement le mot géométrie vient du mot grec : géo (terre) et metria (mesure).

Son objet est la connaissance des relations spatiales. Mais la géométrie semble être apparue

chez les Égyptiens à la suite de la nécessité à laquelle ils étaient confrontés d'arpenter chaque

année des terrains transformés par les crues du Nil.

En fait, plus généralement, l'histoire de la géométrie montrerait une suite de conflits

autour de la définition de « ce que c'est que la géométrie ». Une querelle des plus célèbres, qui

allait un temps diviser les mathématiciens, naquit ainsi au XIXe siècle entre les tenants de la

géométrie pure (ou synthétique) et ceux – les plus nombreux au demeurant – qui acceptaient

sans condition la géométrie « analytique» issue des travaux de Descartes (1596-1650) deux

siècles auparavant. Michel Chasles (1793-1880), par exemple, pensait que les méthodes

analytiques introduisaient une trop grande facilité en géométrie, à ce point que n'importe qui,

désormais, pourrait établir des théorèmes de géométrie par le seul usage de ces méthodes

(Chevallard et Julien, 1990-1991).

Si nous regardons le dictionnaire Larousse, la géométrie y est définie comme science

mathématique qui étudie les relations entre points, droites, courbes, surfaces et volumes de

l’espace. Pour Perrin (2011), une géométrie c’est la donnée d’un ensemble X et d’un groupe

G de transformation de X. Les recherches en mathématique, essentiellement en géométrie sur

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89gypte_antique

https://fr.wikipedia.org/wiki/Arpentage

173

la remise en cause du cinquième postulat d’Euclide23

, ont engendré les deux grandes

géométries : géométrie euclidienne et non euclidienne. De là, nous avons les différentes

géométries comme la géométrie affine, géométrie projective, géométrie sphérique, géométrie

hyperbolique, géométrie anallagmatique, etc…. (Tableau 7).

Tableau 6: Types de géométrie

Géométrie Euclidienne

-Espace de référence : plan ou espace euclidien (muni de la

distance euclidienne)

-Groupe des isométries

Géométrie Affine

-Espace de référence : plan ou espace affine (pas de distance)

-Groupe des transformations affines.

Th1 : Toute ellipse est congrue au cercle unité.

Th2 : Toute hyperbole est congrue à une hyperbole

équilatère.

Th3 : Toute parabole est congrue à la parabole y²=x

Géométrie Non-

Euclidienne

-Espace de référence : espace muni d’une distance non

euclidienne.

-Th : La somme des angles d’un triangle est inférieure à Pi.

Géométrie Projective -Espace de référence : plan ou espace projectif

Géométrie Sphérique -Espace de référence : la sphère unité

-Th : La somme des angles d’un triangle est supérieure à Pi

Géométrie anallagmatique :

essentiellement celle de

l'inversion

-En géométrie, une inversion est une transformation qui

inverse les distances par rapport à un point donné, appelé

centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image

d'un point est d'autant plus éloignée du centre de

l'inversion que le point d'origine en est proche

Daniel Perrin est l’un de ceux qui militent pour que l’enseignement de la géométrie soit

mis en valeur et que la géométrie ne soit pas « hors programme ». Il clame que :

D’une manière générale, ce que l’échec de la réforme des mathématiques modernes nous

a appris, et qu’il ne faut jamais oublier, c’est qu’il est des apprentissages dont on ne peut faire

l’économie et celui de la géométrie, à coup sûr, en est un, et que ces apprentissages

23 Le cinquième postulat d’Euclide : « par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule qui lui

174

demandent du temps et des efforts. En cette période où l’on ne cesse de diminuer le temps

passé à l’École, il n’est sans doute pas inutile de le rappeler24

.

Devant cette problématique de temps, d’effort à fournir, de matériels, nous nous posons

la question : y a-t-il des manières pour enseigner la géométrie ? Ou, que devrions-nous faire

pour pouvoir enseigner la géométrie ?

V-2 Comment enseigner la géométrie ?

Enseigner suppose l’existence d’apprenants. Nous enseignons à d’autres personnes. Le

verbe enseigner implique celui d’apprendre mais la réciproque est fausse. Nous pouvons

apprendre sans qu’il y ait un enseignant. Or nous partons du postulat que seul l’apprenant

construit ses connaissances, nous ne pouvons pas apprendre à la place des autres, nous

pouvons seulement leur montrer (Lebrun, 2012). Ainsi pour enseigner la géométrie, il faut

tenir compte de ce processus d’apprentissage et toutes les recherches montrent que c’est en

posant des problèmes et en les résolvant que l’apprenant construit le mieux ses connaissances.

La question que l’on se pose est donc : qu’est-ce qu’un problème ?

Brun Jean, dans Math-Ecole n° 141, cité par Peltier, 2011, donne la définition suivante :

Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à

atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce

but. Il n’y a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution n’est pas disponible

d’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné

peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement

intellectuel par exemple.

Dans son article25

, Perrin a exactement posé cette question et il nous donne son avis :

Je résume souvent ma position vis à vis des mathématiques par une formule ambitieuse

et modeste à la fois : faire des mathématiques c'est poser et, si possible, résoudre des

problèmes…… J'entends par là qu'il faut, de temps en temps, poser aux élèves des problèmes

ouverts, où les réponses ne sont pas données (en évitant le sempiternel Montrer que ...) et dont

les énoncés ne sont pas détaillés à l'extrême. La géométrie est l'un des domaines où il est

facile de trouver de tels problèmes, par exemple les problèmes de lieux ou de constructions.

est parallèle » 24 Cf Perrin, D. (2009). Quelques réflexions sur la géométrie et son enseignement Dans APMEP n° 480,p. 83-92. 25 Cf Perrin. L’enseignement de la géométrie au collège et au lycée. Disponible sur : https://www.math.u-

psud.fr/~perrin/SurGeometrie/CorfemDP.pdf

175

Pour enseigner la géométrie, comme dans tout enseignement stimulant, il faut mettre

l’apprenant face à un problème qui a un sens pour lui, qui lui pose un défi à relever mais qu’il

sent réalisable tout seul (dans sa zone d’autonomie) ou avec l’aide des autres, et en particulier

l’enseignant (dans sa zone proximale de développement). Pour ce faire, l’enseignant doit

mettre en place des styles d’apprentissage de type collaboratif ou coopératif.

Une manière d’enseigner la géométrie aussi serait de faire ancrage de la notion avec son

histoire, car plus encore que dans d’autre domaine, la connaissance de l’histoire est

indispensable pour enseigner la géométrie (Perrin, 2011).

Avec l’avancée des technologiques, l’utilisation des logiciels favoriserait l’enseignement

de la géométrie car ces derniers permettraient des expérimentations, des conjectures et des

vérifications qui développeraient l’esprit critique et de raisonnement.

Si nous résumons, une façon d’enseigner ka géométrie est de privilégier les problèmes

ouverts, essayer de se libérer des questions du type « montrer que », encourager l’initiative

(en suggérant de faire des dessins ou figures supplémentaires) et l’autonomie (en tolérant

d’autres méthodes que celles prévues).

V-3 Rôles des outils en géométrie

En plus des rôles des outils/ressources évoqués dans la section IV-1-5 de notre ouvrage,

nous voulons donner dans cette section les rôles des outils en géométrie.

Dès qu’on parle d’outil en géométrie, ce qui nous vient premièrement en tête sont les

matériels classiques de géométrie comme la règle, l’équerre, le compas, le

rapporteur…Ensuite, viennent les logiciels de géométrie dynamique comme Geogebra,

Carmetal,…Après, l’usage de ces outils sous-entend des manipulations ou des

expérimentations. Mais faut-il expérimenter en mathématique ? Dias (2005) répond : « Dans

notre travail de formateurs et de chercheurs, nous faisons donc l’hypothèse que la prise en

compte de la dimension expérimentale des mathématiques est tout à fait essentielle, à l’école

élémentaire, et au-delà, ainsi que dans la formation initiale et continue des enseignants. »

Et il continue en rapportant la nécessaire dimension expérimentale des mathématiques :

Que nous apprend Euclide dans le XIIIème livre des Eléments ? Qu’il existe un rapport

de contiguïté entre théorie et expérience. La géométrie renvoie aux corps solides de notre

expérience. L’expérience du monde et de l’expérience sur le monde, ainsi que la symbiose

entre le théorique et l’expérimental. On y voit notamment comment s’enrichissent le discours

démonstratif et le travail expérimental. Les obstacles, les impossibilités se révèlent dans

176

certains cas lors de la mise en œuvre d’un raisonnement déductif et dans d’autres cas par

l’action expérimentale ; la connaissance des objets se développe dans ces allers-retours entre

théorie et expérience.

Depuis l’avènement des mathématiques modernes, l’enseignement de la géométrie

analytique a pris tellement d’ampleur que la géométrie synthétique a peu à peu disparu. Nous

voyons rarement des séances de manipulation dans un cours de géométrie et la question

pertinente de Peltier (2011) est : « En mathématiques faut-il manipuler »? Elle répond en

mettant en exergue les rôles de la manipulation, entre autres :

- accumulation d’expériences

- entrée dans l’activité

- représentation du but à atteindre

- validation des résultats obtenus

Mais la manipulation ne doit pas se substituer au raisonnement…car faire des

mathématiques, c’est penser! Un des rôles des outils en géométrie aussi est de favoriser le

développement de la pensée mathématique dont un modèle pragmatique et une organisation

possible sont schématisés par (figure 122) :

Figure 122: Schéma simplifié du développement de la pensée mathématique.

Dans la pensée mathématique donc, la prise d’information précède toutes activités. Ce

qui nous paraît logique, car plus on est informé, plus on peut facilement faire le choix des

outils, méthodes et stratégies pour exécuter les tâches à faire, afin d’atteindre le ou les

objectifs fixés. Dans l’enseignement-apprentissage de la géométrie, les outils classiques ainsi

que les dessins à main levés interviendraient lors des activités ou process. Lesquelles activités

aboutiront alors à des productions.

V- 4 L’enseignement de la géométrie et des coniques à

Madagascar.

Une évidence est le fait de savoir avant de faire savoir. Savoir la géométrie est une

condition nécessaire pour faire apprendre la géométrie. Et la situation actuelle pour nos

enseignants de mathématiques est leur faiblesse en termes de géométrie synthétique, et de là

177

découle la déplorable situation dans l’enseignement-apprentissage de cette branche des

mathématiques à Madagascar.

S’il est admis qu’un enseignement de géométrie supporté par des outils concrets,

physique est efficace, Barbin (2018) nous met en garde de ne pas nous laisser aliéner par ces

instruments. La compréhension de l’épistémologie de chaque outil nous aidera à voir les

différentes façons et les moments opportuns pour les utiliser.

La méthode de Singapour dont on vante l’efficacité opte pour une introduction

concrète puis semi-abstraite avant l’abstraction dans l’acte d’enseignement-apprentissage.

Signalons que l’abstraction d’un concept est la finalité de l’enseignement des mathématiques

afin d’en faire un usage plus général, non plus rattaché au contexte d’apprentissage mais

décontextualisé pour pouvoir être utilisé ultérieurement dans d’autre contexte.

Logiquement, et nous adhérons avec l’idée qu’un enseignement-apprentissage

efficace de la géométrie euclidienne et des coniques devrait passer par cette étape de

concrétisation, puis imagée, avant l’abstraction. Mais qu’en est-il en réalité ? Essayons de

faire un aperçu de l’enseignement de la géométrie et des coniques à Madagascar.

V-4-1 Une réprésentation de la géométrie à Madagascar

Comme nous l’avons mentionné dans la section IV-2-4, à Madagascar, les enseignants

ont une très faible connaissance en géométrie synthétique. Leur moyenne d’âge est d’environ

30 ans. Ils ont appris la géométrie sous forme analytique et évidemment, beaucoup – voire

tous – enseignent la géométrie sous forme analytique. Pour eux, comme pour leurs élèves, la

géométrie est question de x et de y comme le montre l’enquête que nous avons menée auprès

de 150 élèves de la classe de seconde du Lycée Rabearivelo, donc ceux qui viennent de finir

les années du collège. L’enquête montre que 133 élèves, soit environ 89%, pensent que la

géométrie est essentiellement analytique. Le résultat était prévisible et il ne peut pas en être

autrement, car les professeurs ont appris la géométrie analytiquement, les sujets d’examen au

brevet sont essentiellement analytiques, et rares, voire inexistantes, sont les formations en

géométrie synthétique dont les professeurs ont pu bénéficier. Par suite, il n’est pas surprenant

que les enseignants éprouvent des difficultés pour enseigner à leurs élèves ce qu’eux-mêmes

n’ont pas appris (Rajaonarimanana, 2018, 2019).

Voyons de près le programme de géométrie et des coniques à Madagascar pour savoir si

l’approche analytique de l’enseignement de la géométrie est un acte délibéré ou pas des

enseignants.

178

V-4-2 Curriculum de géométrie et des coniques à Madagascar

Un grand renouveau au sein du Ministère de l’éducation nationale, depuis 1996, est le fait

de mettre en premier dans le programme des mathématiques du collège, les contenus

géométriques. Nous pensons que cette initiative a été prise, pas pour que les enseignants les

fassent en premier mais pour qu’ils ne les fassent pas en dernier. De plus, on a mentionné

dans l’instruction qu’il faudrait « mener de pair » l’activité numérique et l’activité

géométrique.

1) Objectifs de l’enseignement de la géométrie à Madagascar

Voyons les objectifs de l’enseignement de la géométrie du primaire au lycée.

En primaire, l’enseignement de la géométrie devrait permettre à l’élève :

- de savoir identifier et reproduire à l’aide d’instrument appropriés des figures planes et

tridimensionnelles caractéristiques,

-de résoudre des problèmes liés aux calculs des différentes dimensions, de la surface, du

volume des différentes figures.

- utiliser les connaissances acquises dans le domaine de la géométrie pour reconnaître

dans le milieu où il vit les différentes formes essentielles.

Ainsi, le caractère outil des acquis en géométrie est mis en évidence dès le primaire. Les

connaissances acquises en géométrie devraient permettre aux élèves d’identifier, de

reproduire, de reconnaître des formes essentielles dans leur vie de tous les jours, et de

résoudre des problèmes de mesure et capacité.

Au Collège, l’enseignement de la géométrie devrait permettre à l’élève de :

-Construire toutes les figures géométriques de base

-Utiliser des propriétés de configurations géométriques de base et celle des


justifier des propriétés de figures simples.

-Utiliser les vecteurs du plan et les opérations sur ces vecteurs pour interpréter et

démontrer des propriétés géométriques simples.

-Décrire et représenter des objets de formes géométriques usuelles (du plan et de

l’espace), préciser leurs propriétés et calculer des grandeurs qui leur sont attachées (longueur,

aire, volume)

179

-Construire un patron d’un solide usuel afin de réaliser ce solide.

-Faire des calculs analytiques dans le plan pour des problèmes de distance, de

parallélisme et d’orthogonalité.

Si nous nous référons à la taxonomie de Bloom (Cf Annexe 34), l’enseignement de la

géométrie au collège affiche une ambition d’atteindre un niveau assez élevé avec des objectifs

comme justifier et interpréter (Niveau taxonomique 6). La compétence construire est toujours

présente ainsi que les capacités pour faire des calculs. Le développement d’une capacité

d’abstraction y est par l’introduction des outils vectoriels.

Au lycée, les capacités attendues dans l’enseignement de la géométrie varient selon le

niveau et la série (A, D ou C).

En 2nde

: La Classe de seconde est une classe d’orientation, les capacités attendues des

élèves en ce qui concerne la géométrie sont :

-connaître et utiliser les relations :

* entre points et vecteurs, une origine étant choisie

*entre le parallélogramme, la translation, l’égalité et l’addition de vecteurs

*entre l’opposé d’un vecteur et la symétrie centrale

*entre le théorème de Thalès, l’homothétie et la multiplication d’un vecteur par un réel.

-maîtriser :

*la notion de trigonométrie dans le triangle rectangle

*l’usage du cercle trigonométrique ainsi que celui de la table trigonométrique.

En classe de seconde, le côté construction n’est plus un objectif explicité. L’outil

vectoriel et la trigonométrie sont utiliser pour justifier

En 1ere A : La classe de première A ne fait plus de géométrie.

En 1ere C: L’objectif à atteindre en géométrie est :

*la maîtrise de certaines connaissances de base en trigonométrie (formules de

transformation, fonctions circulaires simples, équations trigonométriques)

*l’utilisation des vecteurs du plan dans la résolution de problèmes de géométrie affine ou

métrique

*l’utilisation des transformations du plan dans la résolution de problèmes de géométrie

180

*l’étude des droites et plans de l’espace

En 1ere D : L’objectif à atteindre en géométrie est :

*la maîtrise de certaines connaissances de base en trigonométrie (formules de

transformation, fonctions circulaires simples, équations trigonométriques)

*l’utilisation des vecteurs du plan dans la résolution de problèmes de géométrie affine ou

métrique

*l’utilisation des transformations du plan dans la résolution de problèmes de géométrie.

Nous voyons que les objectifs en première D sont les mêmes que ceux de la première C, à

part la capacité de faire des études des droites et plans de l’espace.

En Terminale A : La terminale A ne fait pas de la géométrie

En Terminale C : À la fin de la TC, l’élève doit être capable de :

*étudier et utiliser de manière performante : des transformations, des calculs vectoriels et

analytiques, des nombres complexes, des propriétés de configurations à la résolution de

problèmes.

*étudier les coniques : (Définition géométrique : bifocale, foyer et directrice ; Equation

cartésienne réduite des coniques propres ; Equations paramétriques d’une ellipse, d’une

parabole ; Tangente en un point d’une conique ; régionnement d’un plan par une conique)

L’étude et l’usage des transformations, des outils vectoriels, des nombres complexes pour

la résolution des problèmes sont les objectifs de la terminale scientifique en plus de l’étude

des coniques.

En Terminale D : Les intitulés de géométrie sont ceux des utilisations des nombres

complexes dans l’étude des similitudes planes directes. On énonce la définition géométrique

d’une similitude plane directe puis on détermine l’image d’un point et de figures par une

similitude.

Pour la terminale D, l’objectif de l’enseignement de la géométrie est étude des similitudes

planes directes par les transformations complexes qui leur sont associées. Il y est spécifié que

la définition géométrique de la similitude plane directe doit être utilisée pour déterminer les

images des figures géométriques de base.

181

2) Curriculum de géométrie à Madagascar.

Le programme scolaire devrait concourir au développement intellectuel de celui qui suit

le cursus scolaire – c'est-à-dire l’élève – et l’enseignant qui applique le curriculum formel

joue un rôle important par la transposition didactique qu’il effectue lorsqu’il enseigne dans sa

classe.

En primaire, dans les instructions et orientations pédagogiques, les enseignants sont

soumis de faire :

- Un enseignement concret :

L’enseignement doit s’appuyer sur ce que l’élève peut voir, manipuler, connaître et

comprendre. Il faut qu’il parte du familier, de ce qui est proche de sa vie quotidienne. Bref,

toutes les activités pédagogiques doivent tenir compte des situations et contextes liées à la vie

et à l’expérience de l’élève pour qu’il ait une continuité avec ce qu’il apprend hors de l’école.

- Un enseignement qui développe l’échange et l’appropriation du langage

mathématique :

Apprendre ne dépend plus de la docilité de l’élève à recevoir, mais de l’activité qu’il

déploie, l’obligeant à communiquer les solutions trouvées et à confronter son point de vue à

celui des autres. Cette méthode oblige l’élève à être plus explicite et à s’approprier du langage

mathématique dans sa manière de communiquer.

- Un enseignement qui favorise la formation de l’esprit logique :

L’appréhension de la nouvelle connaissance est le produit de l’observation, de la

manipulation, de l’analyse et de la synthèse résultant de l’esprit logique. Un enseignement

fondé sur l’expérience acquise de l’élève et sur ses activités conduit à l’éducation de l’esprit

logique. Il appartient donc aux enseignants de créer des situations d’apprentissage qui

suscitent l’activité personnelle de l’élève, favorisant le développement de l’échange et

entraînent à la formation de l’esprit logique. (Men, Dci, 2015)

Ce qu’on demande aux enseignants du primaire nécessite aussi bien des savoirs

pédagogiques, académiques que didactiques. Mais le contexte socio-culturel et surtout

économique ne leur permet pas de mener à bien leur obligation. En effet, l’insuffisance de

matériels didactiques, le manque de moyens financiers, le faible niveau académique

permettent difficilement d’assumer correctement les rôles qu’on leur demande de tenir.

182

Si nous nous intéressons au programme de géométrie en classe primaire, l’enseignement

de la géométrie commence en 10ème (c'est-à-dire à partir de la deuxième année du primaire).

Le programme de géométrie commence par le traçage de droite, d’angle, triangle par des

matériels classiques de géométrie : équerre, règle graduée, rapporteur. Et la reconnaissance

des rectangles et carrés dans la vie quotidienne.

En 9éme, les figures géométriques du programme sont le rectangle, le carré, le cercle, les

différents types de triangle, le cube et le parallélépipède rectangle. À construire ou à

reproduire avec les instruments de géométrie.

En 8ème

, on approfondit les angles en faisant l’inventaire des différents types d’angle

(complémentaire, supplémentaire, droit, aigu, obtus. Puis on trace des droites parallèle ou

perpendiculaire à une droite donnée et passant par un point extérieur à cette droite. Les figure

de l’espace sont le cube, la pavé droit.

En 7ème

, les constructions des figures planes comme le cercle, le rectangle, le losange, le

parallélogramme, le trapèze, avec les matériels de géométrie sont l’objet du programme.

En bref, une bonne aisance dans la manipulation des matériels géométriques dans la

construction des figures de bases est une compétence attendue des élèves ayant fini le cycle

primaire. Mais la situation actuelle est très loin de cette attente. Les élèves de la sixième ont

des grandes difficultés pour tracer des droites et des figures géométriques de base.

Au collège, si un intitulé du programme du primaire revient c’est que son contenu est

plutôt axé sur la construction en utilisant des propriétés ou pour justifier.

- En 6ème

, les intitulés sont : La droite ; les demi-droites ; Le cercle ; Le triangle ; les

angles ; les figures symétriques par rapport à un point ; le parallélogramme ; les figures

symétriques par rapport à une droite ; le pavé droit et le cylindre droit.

- En 5ème

, les intitulés sont : Distance ; Angles ; triangles (somme des angles et

triangles superposables) ; figures symétriques par rapport à un point et par rapport à une

droite ; Médiatrice d’un segment (caractérisation) ; Triangles particuliers ; parallélogramme

(pour construire et justifier) ; polygones particuliers (Trapèze, carré, triangle équilatéral,

hexagone, octogone) ; le prisme droit.

- En 4ème

, les intitulés sont : les applications affines du plan (symétrie centrale et

orthogonale, translation et vecteur, projection) ; Le repérage dans le plan ; La

distance (distance d’un point à une droite) ; Cercle et droite (tangente, positions) ; Triangles

183

(les droites particulières) ; Propriétés métriques dans un triangle rectangle (Pythagore …) ;

Angle au centre d’un cercle ; La sphère et la boule ; Perspective cavalière ; Plan et droite dans

l’espace (positions relatives).

- En 3ème

, les intitulés sont : Propriété de Thalès ; Trigonométrie dans le triangle

rectangle ; Angle inscrit dans un cercle ; Applications du plan ; Géométrie vectorielle

(vecteur, somme, produit par un scalaire, vecteurs colinéaires ; vecteur directeur) ; Géométrie

analytique (vecteur, composantes, colinéarité, orthogonalité, norme, distance, équation de

droite) ; Configuration de l’espace (cône et pyramide)

Au lycée, les séries littéraires ne font pas géométrie. Les intitulés des programmes sont :

- En 2nde

: La configuration plane (Thalès et réciproque) ; Les vecteurs du plan ;

Géométrie métriques planes (produit scalaire, relation métrique dans un triangle, équation

d’un cercle) ; transformations du plan (symétries, translations, homothéties, rotations).

- En 1ère

C et D : Géométrie plane (vecteur du plan et géométrie analytique, barycentre

de 2 et 3 et 4 points, transformations du plan : les isométries) ; La géométrie de l’espace

(Droite et plan, vecteurs et points de l’espace, étude analytique des droite et plan).

- En terminale D, le contenu géométrique du programme se restreint à l’écriture

complexe des similitudes plane directe.

- En terminale C : Calcul barycentrique (fonction vectorielle et fonction scalaire de

Leibnitz) ; Les applications affines ; La Géométrie plane (études des isométries) ; Similitudes

planes ; Les coniques ; La géométrie dans l’espace.

Nous observons qu’en primaire, la manipulation est fortement présente dans le

programme et elle continue encore en 6ème

et en 5ème

. Dès que la notion de vecteur apparait et

avec elle la notion de repérage dans le plan, le côté analytique occupe toute la partie et

démarche géométrique et le phénomène continue dans le cycle lycée.

D’autre part, nous voyons qu’à Madagascar, comme dans de nombreux pays, seules les

formes géométriques anguleuses comme les triangles et les quadrilatères, ainsi que le cercle

sont appris en primaire et au collège. L’enseignement des figures coniques n’occupe qu’une

infime partie du programme de géométrie du Lycée, et de plus, réservé pour la section

scientifique uniquement. C’est dire que, « les programmes scolaires actuels pratiqués à

Madagascar n’accordent pas aux jeunes esprits des occasions pour se fabriquer assez tôt les

représentations mentales des coniques propres ». (Totohasina, 2008. p.2).

Quant aux solides de l’espace (cône et cylindre de révolution), leur étude se limite à

la construction des patrons et au calcul du volume et de l’aire latérale. En ce qui concerne les

184

sections de ces solides par des plans, ces derniers doivent être parallèles au plan de base, ou

encore parallèles à l’axe de révolution. Ainsi, beaucoup d’élèves n’ont pas eu l’occasion de

rencontrer, au cours de leurs cursus scolaire, des formes géométriques non anguleuses autres

que les cercles. Pourtant, dans leur quotidien, ils voient des contours autre que circulaires

(marmites, assiettes, tables, cuillères etc…). Cette restriction et approche de l'étude de l'espace

rend cette dernière cloisonnée et, par ricochet, fait perdre à l'enseignement de la géométrie son

essence car « ... un enseignement de la géométrie doit s'appuyer sur l'étude des situations

spatiales, que ce soit du point de vue de la mesure ou du point de vue du dessin ; c'est sur ces

objets du donné empirique (que constituent les situations spatiales) que se construit la

rationalité géométrique... » (Bkouche R, Charlot B. et Rouche N. 1991.p.161).

Daniel Perrin (2011) donne quelques principes sur ce que doit ou ne doit pas comporter

un curriculum de géométrie, nous reportons ci-après ses propositions :

1. L'entrée par l'algèbre linéaire est à bannir avant l'enseignement supérieur.

2. L'idée de transitivité est essentielle, l'une de ses manifestations principales étant les cas

d'isométrie et de similitude des triangles.

3. Le rôle des invariants (longueur, angle, aire) est primordial.

Les trois suivants, en revanche, constituent des progrès par rapport à la mathématique

grecque :

4. Les nombres sont un outil essentiel de toute géométrie.

5. L'existence d'invariants algébriques orientés (vecteurs et angles) est l'un des avantages

de la géométrie euclidienne.

6. La notion de groupe est l'une des plus importantes des mathématiques

V-4-3 Programme d’étude des coniques à Madagascar

Comme nous l’avons signalé précédemment, l’étude des coniques se fait seulement en

terminale scientifique C. Le contenu du programme est :

Les coniques : Définition géométrique (bifocale, foyer et directrice); Equation

cartésienne réduite des coniques propres ; Equations paramétriques d’une ellipse, d’une

parabole ; Tangente en un point d’une conique ; régionnement d’un plan par une conique.

Les observations dans le programme (figure 123) mentionnent bien que la définition

d’une conique doit être géométrique mais pas analytique comme la majorité des professeurs

de lycée le fait. Mais d’un côté, l’attitude des enseignants est compréhensible car si nous

regardons de près le programme, presque la totalité des objectifs spécifiques – sept sur les dix

185

– de ce programme s’oriente vers des expressions analytiques et réduites des coniques.

Comment les professeurs des terminales scientifiques enseignent les coniques ?

Ils donnent la définition comme consignée dans la colonne observations du programme,

puis aussi vite que possible faire appel et travailler avec les formes réduites.

L’enseignement des coniques continue alors sous forme analytique et la définition

géométrique est complétement oubliée car non utilisée ni investie dans des exercices ou

problèmes. La totalité des enseignants ne fait faire à leurs élèves le traçage point par point des

courbes coniques alors que c’est un des objectifs spécifiques de l’enseignement des coniques.

Le cas que nous avons vécu lors de la correction de l’épreuve mathématique du

baccalauréat scientifique des candidats de la province d’Antananarivo en 2012 a bien montré

cette approche analytique de l’enseignement des coniques. En effet, la nature de la courbe Г

des points M du plan tels que 2MF² = MH², où F est un point fixe n’appartenant pas à une

droite donnée D, et H le projeté orthogonal de M sur D, a pris une bonne partie du temps

dévolu à la commission d’harmonisation de la correction (Rajaonarimanana, 2018).

186

Figure 123: Programme d'étude sur les coniques en TC

Source : Programme, MEN, 1996

Est-ce une volonté délibérée des enseignants de faire une approche analytique de

l’enseignement de la géométrie ? Nous pensons qu’ils étaient obligés car même s’ils voulaient

changer d’approche, ils n’ont pas les compétences nécessaires. Ils sont handicapés par leur

manque de formation initiale et par l’inexistence d’une formation et encadrement de

proximité prodigués par des personnes ressources venant des structures décentralisées du

MEN.

V- 5 Des problèmes sur l’enseignement-apprentissage de la

géométrie et des coniques à Madagascar

Dans son article sur l’enseignement de la géométrie au collège et au lycée, Perrin adopte

comme postulat de départ que, « pour enseigner de manière efficace un domaine de la

connaissance, deux points sont essentiels, la culture, pour connaître de manière approfondie

ce qu'on doit enseigner, et la posture, pour passer d'une position d'étudiant à une position

d'enseignant ». En effet, dit-il,

La culture est un atout pour le professeur en ce qu'elle lui donne un temps d'avance sur

l'élève, qui lui permet, face à un exercice, de trouver rapidement le résultat et d'envisager les

méthodes possibles. C'est important pour comprendre les procédures des élèves, justes ou

non, leurs intuitions, même non abouties, et ainsi de ne pas les rejeter de manière dogmatique.

C’est ce que nous ne cessons jamais de répéter à nos étudiants en leur disant que dans

l’exercice du métier d’enseignant:

187

…il y aura des situations, des questions de mathématiques auxquelles vos élèves et vous

allez buter, mais votre avantage est que : vous avez plus qu’eux dans le domaine

mathématique, donc vous pouvez vite puiser dans votre « background » les connaissances

nécessaires pour surmonter l’obstacle. Et comme nous vous avons formés pour l’exercice du

métier d’enseignant, vos connaissances en pédagogie et en didactique vous aideront à tirer

bénéfice de la situation dans l’acte d’enseignement-apprentissage.

V-5-1 Problèmes sur les contenus

Si nous regardons les contenus des programmes d’étude dans l’enseignement de la

géométrie et des coniques, ils ne sont pas mauvais en soi. Ils couvrent en gros les notions

essentielles pour toutes les classes d’un cycle. Mais comme un programme d’étude dit ce qu’il

faut faire mais pas comment il faut faire, là est le problème. Par exemple, il est dit dans le

programme de 6ème

(Annexe 15) ; Instructions : On n’oubliera pas de dire à l’élève qu’une

droite est illimitée dans les deux sens et qu’une demi-droite est illimitée dans un sens. Mais

un constat que nous avons fait est tout le contraire de ce que le programme préconisait quant

aux droites tracées par les élèves (figure 124). Des contenus mathématiques ne sont pas

maîtrisés en géométrie et soit les enseignants ne les traitent pas ou ils les traitent d’une

manière erronée. (Exemple la géométrie dans l’espace : les positions relatives des droite et

plan, les coniques en TC, la propriété généralisé de Thalès…)

Figure 124: Quatre droites tracées par un élève du collège

Source : Auteur

Ainsi une source d’erreurs qui surviennent dans les contenus de géométrique à enseigner

au collège est que ces derniers ne sont pas assez explicités.

Des contenus de géométrie aussi ne sont pas traités car ils n’entrent pas dans l’évaluation

lors des devoirs communs. Les évaluations des mathématiques sont stéréotypées car les

188

objectifs sont de faire réussir le maximum d’élèves aux Brevet ou au Bac. La réussite aux

examens officiels n’est pas mauvaise en soi mais quand sa poursuite influe sur la pratique des

enseignants qui ne jurent que par des exercices du type annale Brevet ou Bac, alors on

imagine la qualité des savoirs acquis par les élèves sur certains contenus du programme.

V-5-2 Problèmes des enseignants

Le profil des enseignants à Madagascar que nous avons évoqué dans la section

IV -2 -4 montre une qualification non satisfaisante. Par conséquent, leurs bagages en

mathématique sont insuffisants d’où leur difficulté pour enseigner correctement la géométrie,

surtout celle dite synthétique. Ainsi ce manque dans la formation initiale engendre nombre de

problèmes dans l’enseignement des mathématiques mais la rareté des formations continues

aggrave la situation. Actuellement l’INFP envisage de faire une formation continue pour les

enseignants de collège et pour les conseillers pédagogiques du primaire.

Ce n’est pas uniquement la formation dont les enseignants de mathématique des

collèges/lycée et primaire ont besoin mais aussi de matériels et d’outils de géométrie, de

manuels…..pour mener à bien leur enseignement.

Les enseignants consacrent la majorité de leur temps dans la géométrie analytique – cas

de l’enseignement des coniques – et survolent ou délaissent complétement la géométrie

synthétique car ils sont sans formation dans ce domaine comme ceux de leur collègue en

France où « la géométrie est le domaine dans lequel ils se sentent le moins à l’aise, étant

donné que très peu d’enseignants actuels ont une formation dans ce domaine. » 26

(Salin,

n.d.,p. 18)

En ce qui concerne les coniques, les affirmations de Bongiovanni (2001) est encore

d’actualité à Madagascar :

« Les coniques, c’est un objet mal connu des enseignants et souvent la seule connaissance

qu’ils en aient, est réduite à celle des équations des coniques dans un repère particulier - Alors

que - Son étude permet de revoir différents types de problèmes de construction, d’incidence,

de recherche de lieux géométriques, de recherche de propriétés et problèmes d’emploi de

transformations ».

26

Cf Apmep. Enseignement et apprentissage de la géométrie à l’école primaire et au début du

collège. Le facteur temps : Récupéré de https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Conf-salin.pdf

https://www.apmep.fr/IMG/pdf/Conf-salin.pdf

189

Et même si les enseignants veulent faire apprendre ce qui est écrit dans des livres, à cause

de leur faible niveau académique, ils ne peuvent pas en tirer le maximum de bénéfices pour

leur enseignement27

. (Rajaonarimanana, 1998)

En résumé, le grand problème des enseignants dans l’enseignement-apprentissage de

la géométrie et des coniques est le manque de formation initiale. Cette situation les handicape

dans l’exercice de leur fonction car leur action est limitée même s’ils ont de bonnes volontés

puisqu’il existe une dialectique entre action et formation. (Chevallard et Julien, 1990-1991)

V-5-3 Problèmes des élèves

Un des problèmes pour l’enseignement-apprentissage de géométrique et des coniques est

la non maîtrise de la manipulation des matériels classiques de géométrie par les élèves et par

l’enseignant. Pour nous, la cause majeure en est qu’ils n’ont pas - ou on ne leur a pas donné-

des occasions pour faire des manipulations géométriques au cours de leur scolarité. Par

conséquent, il n’est pas surprenant que les élèves n’ont pas de matériels de géométrie. Des

fois, certaines personnes avancent que cette non possession de matériels de géométrie

provient de la situation financière précaire des élèves mais nous pensons que c’est plutôt leur

non utilisation en classe qui en est la principale explication de leur absence.

Un autre problème des élèves dans l’enseignement-apprentissage de la géométrie et des

coniques est plus général : c’est leur représentation des mathématiques et d’eux-mêmes.

Pour de nombreux élèves, apprendre ou faire les mathématiques est comme une sorte de

corvée : on ne fait que reproduire des techniques et mémoriser des règles ; manipuler "des x et

y" ; les objets mathématiques sont introduits sans que l’on sache à quels besoins ils répondent,

ni comment ils s’articulent avec ceux préexistants ; les liens avec le monde réel sont faibles,

généralement trop artificiels pour être convaincants, et les applications stéréotypées ; les

pratiques expérimentales, les activités de modélisation sont rares.(UNESCO. 2011, p.21)

Les élèves font les maths pour le prof, pour les notes. C’est une matière obligatoire à

l’école. Et pour eux, en dehors de la classe, pas de mathématique, les maths se font en classe

et en classe uniquement et que les mathématiques sont faites seulement pour les élèves doués.

Or, si un élève considère que son intelligence pour les maths est limitée ou stable, et non

190

reliée à l'effort et qu'il n'a pas de pouvoir sur le développement de ses habilités intellectuelles;

il est tout à fait normal que cet élève ne s’implique plus dans l'enseignement-apprentissage

des mathématiques (H. Gardener. 1983, p.1).

À Madagascar, il est très difficile de faire participer les élèves, c’est peut-être dû à la

culture malagasy que la parole soit toujours à celui ou celle le plus âgé, et comme c’est

l’enseignant qui l’est, donc c’est normal que la prise de parole soit toujours à lui. Une autre

explication serait une interprétation de l’article 20 de la loi d’orientation 2004-004 concernant

le devoir de l’élève : Il est du devoir de l'élève/ apprenant de respecter

l'enseignant/formateur…. Et ce respect est interpréter comme écouter et accepter tout ce que

l’enseignant dit sans aucune intervention de la part de l’élève. La docilité est synonyme de

silence dans la culture Malagasy : « le silence est d’or ». Une autre raison aussi serait la peur

de perdre sa crédibilité devant ses camarades, « si je dis des bêtises, mes camarades vont rire

de moi et penser que je ne vaux rien donc autant se taire ».

Une attitude dans laquelle le groupe classe se plait bien est de répondre tous ensemble, la

réponse commune, et quand on demande à quelqu’un de donner son avis ou de se prononcer

et de reprendre l’avis du groupe, c’est le silence total. Est-ce une peur de prendre des

responsabilités ? Une étude plus approfondie devrait être menée pour bien cerner ce problème

et de prendre les dispositions correspondantes. Nous pensons quand même que tant que le

contrat didactique n’est pas clair entre enseignant et apprenant, le problème subsistera.

En résumé, beaucoup de nos élèves ne sont pas motivés pour apprendre les

mathématiques en général et la géométrie en particulier pour des raisons qui proviennent de

lui-même ou de la société, et il est clair que cette démotivation freine l’enseignement-

apprentissage puisque l’élève- le principal acteur pour apprendre- ne veut pas assumer son

rôle. Dans sa conférence « Que peut l’Education », Phillipe Meirieu a dit :.

Je ne peux pas faire à la place de l’autre, que lui seul peut faire. Car je ne peux pas agir

sur la liberté de l’autre. Le désir d’apprendre ne se déclenche pas. Si je veux éduquer

quelqu’un, je ne dois pas agir à sa place mais le mettre en situation d’agir par lui-même.

L’adulte éduque et enseigne, mais c’est l’enfant qui grandit et apprend. On ne peut pas

apprendre ni grandir à la place de quiconque.

27 Rajaonarimanana, E. (1998). De l'utilisation des manuels de mathématiques: cas de quelques professeurs de

CEG d'Antananarivo et d'élèves professeurs de l'Institut National de Formation Pédagogique, ENS, Université

d'Antananarivo,

191

Pour clore ce chapitre, nous pouvons dire que dans le cadre d’un enseignement, les

trois pôles savoir – apprenant – enseignant coexistent, et l’enseignement de la géométrie et

des coniques n’en fait pas exception. Nous avons vu que le programme prescrit en géométrie

accorde depuis longtemps la priorité à la géométrie analytique dès qu’on entre au lycée. Au

collège, même si le programme accorde plus d’heures pour les activités géométriques ( le

rapport activité géométrique / activité numérique est de 1.5 en 6eme et en 5eme, elle est de

1.3 en 4 eme et 3 eme), les enseignants préfèrent faire plus d’activités numériques puisqu’ils

sont à l’aise dans ce domaine.

Le problème de l’enseignement-apprentissage de la géométrie et des coniques prend

source, d’après les analyses et observations que nous avons faites, au niveau des enseignants.

Les élèves ou les apprenants ne font que subir les impacts de ces défaillances de leurs

enseignants. On ne peut pas enseigner ce qu’on ne sait pas soi- même et plus on est faible plus

on ne fait un cours magistral. Des approches transmissives à l’extrême sont adoptées

lorsqu’on ne maîtrise pas le contenu de son enseignement et la conséquence qui en découle est

la démotivation des élèves dans l’apprentissage car ils ne font que copier et accepter ce que le

professeur donne.

Mais y-a-t-il des approches miracles que ces enseignants qui ont peu ou pas du tout

de formation initiale – digne de ce nom – peuvent adopter pour améliorer leur pratique ?

Essayer d’apporter des solutions à cette question est l’objet de la suite de notre ouvrage.

192

CHAPITRE VI : Nouvelle approche pour introduire et

enseigner les coniques à Madagascar

Si le thème conique figure dans le programme de géométrie à Madagascar, c’est que les

responsables au sein de la Direction du curricula et des intrants au sein du Ministère de

l’éducation nationale pensent qu’il caractériserait la série scientifique mathématique.

Rappelons que le programme d’étude en mathématique de Madagascar était calqué sur le

programme français de 1975 et même si « il y a déjà belle lurette qu'il n'y a plus de

coniques »28

dans le programme de mathématique français, elles sont encore dans notre

programme jusqu’à maintenant, même si son enseignement est source de multiples débats au

niveau des professeurs des lycées. Comme nous l’avons dit dans les sections précédentes,

l’enseignement des coniques en terminale C n’est pas sans problèmes ; même si le programme

de mathématique concernant l’enseignement-apprentissage des coniques suggère une

approche géométrique, force est de constater qu’il n’en est pas du tout, presque tous les

enseignants l’introduisent analytiquement.

De par ses richesses, notre recherche est axée sur l’enseignement-apprentissage des

coniques ; et comme problématique, nous nous posons les questions « Comment introduire

et enseigner les coniques dès le collège ? Comment faire évoluer l’enseignement-

apprentissage des mathématiques et des TIC à travers l’enseignement-apprentissage des

coniques ?»

Cette problématique engendre alors les questions suivantes :

- quelle est la pertinence et l’efficience de l’introduction de l’enseignement-apprentissage

des coniques dès le cycle collège ?

- quels sont les impacts sur le curriculum de l’introduction de l’enseignement-

apprentissage des coniques?

- quels outils et quelles démarches doit on utiliser et adopter pour cette introduction de

l’enseignement-apprentissage des coniques ?

- comment garantir l’implémentation de ces outils et démarches ?

-comment favoriser l’intégration du TIC dans l’enseignement-apprentissage des

mathématiques à travers l’enseignement-apprentissage des coniques ?

28

Propos de Daniel Perrin lors de d'une conférence intitulée : La géométrie : un domaine

hors-programme ? Dans le cadre de la journée Maths-Monde de l'IREM de Paris 7, le 18 mai

2011.

193

Avec nos expériences en tant que cadre au sein de l’unité d’étude et de recherche

pédagogique, puis formateur des professeurs de collège et membre de la commission

technique centrale pour la formation continue des professeurs des collèges, et actuellement

enseignant chercheur au sein de l’ENS pour la formation initiale des enseignants de

mathématique des collèges et des lycées, nous formulons les hypothèses suivantes :

- L’enseignement-apprentissage de la géométrie étant essentiellement analytique, une

approche synthétique de l’enseignement-apprentissage des coniques est nécessaire.

- Devant les réticences de nombreux enseignants face aux différentes approches que le

ministère a voulu instaurer, une approche nouvelle qui intègre les habitudes des enseignants et

qui ne nécessiterait pas beaucoup d’investissement financier ou matériel ni chronophage est la

meilleure.

Pour la méthodologie de notre recherche, nous avons opté pour une recherche-action sous

tendue par une ingénierie didactique.

- Des activités que nous avons conçues et adaptées ont été soumises à des élèves des

collèges de Madagascar et de La Réunion.

- Des séances d’initiations à l’utilisation du logiciel Geogebra ont été faites auprès des

lycéens de Jean Joseph Rabearivelo à Antananarivo et des élèves des collèges de La Réunion.

- Des entretiens ont été menés auprès des enseignants qui ont bien voulu travailler

avec nous.

- Des activités de formation ont été entreprises avec des futurs enseignants des

collèges et des lycées.

-

VI-1 Une introduction des coniques dès le collège

Dans ses recherches, Bongiovanni (2001,) a remarqué que :

« L’introduction des coniques en tant que section de cône, l’organisation d’une démarche

avec des phases de construction, d’exploration, de justification et d’explicitation de

procédures… ont contribué à réactiver et à articuler de nombreuses connaissances

géométriques des enseignants dans des situations complexes ». (p.361)

À la lumière des programmes du primaire, nous avons vu que l’enseignement doit être

concret pour que l’élève puisse voir les mathématiques comme composées de notions qui sont

en relation avec leur vécu. Le recherches montrent d’ailleurs que « Les élèves apprennent

194

quand ils attribuent une signification à ce qu’ils font, et chacun d’entre eux doit construire son

propre sens des mathématiques. » (Alberta éducation, 2016, p.1)

N’est-ce pas une évidence que lorsque la manipulation d’objet concret est un des facteurs

qui donnent du sens à ce que l’on fait ? Et c’est peut-être un des points fort de la méthode dite

méthode de Singapour dont la pratique place les élèves de ce pays à un rang mondial élevé

selon le test PISA. La méthode de Singapour se fonde sur un apprentissage en trois étapes :

d’abord une étape concrète où les élèves font des manipulations, ensuite une étape imagée

dans laquelle les objets manipulés sont remplacés par des images qui les représentent et enfin

une étape d’abstraction avec l’introduction de symboles et le formalisme mathématique

explicité (Totohasina et Armand, 2017, p. 10).

VI-1-1 Pourquoi les coniques ?

1) Des défis à relever

Notre choix est dicté par le souci de relever deux défis sur l’enseignement-

apprentissage des mathématiques à Madagascar.

Le premier défi à relever est de donner une image plus positive des mathématiques et

des mathématiciens à la société. Nous devons montrer que les mathématiques contribuent au

développement de l’individu et de la société en prenant part à la résolution des problèmes qui

nous préoccupent à l’aide d’outils technologiques appropriés. Pour cela elles doivent s’ouvrir

à toutes les disciplines et vaincre le cloisonnement qui existe en leur sein même.

Le second défi est l’évolution des pratiques d’enseignement.

Actuellement, l’enseignement dispensé à l’école est peu stimulant d’après les enquêtes et

les observations que nous avons faites. Former des enseignants qualifiés, capables de faire

face à l’imprévu et d’aider les élèves à créer des liens entre les connaissances dispensées à

l’école et ce qu’ils voient dans leur vie quotidienne, est un grand challenge.

Quant aux pratiques pédagogiques des enseignants, il est rare de voir des enseignants de

mathématiques utiliser des craies de différentes couleurs et d'utiliser des matériels de

géométrie (règle graduée, équerre, compas, rapporteur) pendant leur enseignement. Tout se

fait, généralement, avec des craies blanches et à main levée. Quant aux manuels, ils ne sont

pas suffisants et ne sont pas diversifiés. Cette situation est évidemment déplorable car une

éducation mathématique de qualité ne pourrait se réaliser sans la production de ressources de

qualité : des ressources pour les élèves et des ressources pour les enseignants. (UNESCO.

2011. p44). Cependant, nous pensons que, même si les enseignants en disposent,

195

"l'insuffisance d'un niveau mathématique solide, l'absence d'une bonne organisation et le

prétexte du "manque de temps" font que le manuel asservit le professeur et freine son

épanouissement dans l'exercice de ses fonctions d'enseignant". (Rajaonarimanana, 1998.

p.73)

2) Une notion dans le programme scolaire malagasy

L’étude des coniques figure dans la partie géométrie du programme scolaire malagasy

(MEN, 1999) et elle doit être traitée en classe terminale scientifique. Nous reportons ci-après

(figure 125) un extrait du programme de TC concernant les coniques dont la totalité est

reportée dans l’annexe 33. Nous pouvons constater que la logique du programme serait de

définir géométriquement les coniques par foyer-directrice et excentricité, puis de donner une

définition bifocale des coniques à centre. C’est seulement après que viendraient les équations

cartésiennes, paramétriques et les tangentes. Ainsi une approche géométrique des coniques

comme lieu de points suivie de l’étude des expressions analytiques des courbes coniques

correspondrait à la démarche chronologique suggérée dans le programme scolaire. Mais

pourquoi les enseignants optent-ils alors pour la démarche analytique ? Nous l’avons signalé

dans la section VI-2-2 que la cause principale est qu’ils n’ont pas eu de formation initiale dans

le domaine de la géométrie synthétique, que la géométrie qu’on leur a enseignée est

entièrement analytique.

Ce manque de formation des enseignants en géométrie ne leur permet pas d’assumer

convenablement cette approche suggérée par le programme. Cette lacune dans la formation

était mise en exergue lors de la correction de l’épreuve de mathématiques au baccalauréat

scientifique de 2012, dans laquelle une centaine de professeurs de mathématiques de la région

d’Antananarivo ont débattu sur la pertinence de la question : « Déduire la nature de la courbe

Γ formée par l’ensemble des points M du plan vérifiant 2MF²=MH² où F est un point fixe

n’appartenant pas à une droite donnée D, et H le projeté orthogonal de M sur D ». La

détermination de la nature de Γ, qui n’est autre qu’une ellipse de foyer F et d’excentricité1

2,

mais que beaucoup de professeurs ne savaient pas reconnaitre, a pris une bonne partie du

temps dévolu à la commission d’harmonisation de la correction.

196

Figure 125: Extrait du programme sur les coniques en TC

Il est encore temps, à la veille d’une réforme du programme scolaire malagasy, de

sensibiliser les concepteurs de programme sur l’importance de la géométrie qui figure encore

dans le programme actuel mais qui, par manque de formation des enseignants tend à être

négligée, voire supprimée. Relever le défi d’assurer une formation initiale et continue des

enseignants de mathématiques en géométrie, d’abord au sein des CRINFP et des ENS, puis

par des informations-formations dans le cadre de groupes IREMI29

, serait alors la tâche

cruciale de tous les formateurs en mathématique à Madagascar.

Signalons qu’en France, l’étude des coniques ne figure plus au programme du lycée.

Trgalova (1995), dans sa thèse, met en évidence les problèmes relatifs à leur enseignement en

invoquant : un manque d’outils géométriques à disposition des enseignants, outils qui leur

197

permettraient de faire une étude profonde de leurs propriétés géométriques ; une insuffisance

de formation des enseignants pour faire apprendre les coniques ; une difficulté, voire une

impossibilité, de la construction de la connaissance géométrique de cette notion par les élèves

à cause d’une approche analytique précoce. Elle propose alors l’utilisation d’un logiciel de

géométrie dynamique, Cabri-géomètre, pour contourner ces problèmes.

3) Des intérêts didactiques

3-1 Coniques : interface entre plan, solide et espace

Le contenu de l’enseignement-apprentissage des coniques, du fait qu’elles sont des

courbes qui jouent le rôle d’interface entre plan, solide et espace, cadre bien avec la

psychologie de la géométrie comme l’a souligné Morris (1987, p.83) :

« Nous considérons comme essentiel le fait qu’un élève apprenne les propriétés de

l’espace où il vit et qu’il perçoit par ses sens, en particulier le toucher et la vue. La base de

l’apprentissage doit donc être l’expérience tirée d’activités pré-mathématiques (jeux avec des

modèles, constructions, etc.) ainsi que d’activités mathématiques (dessin, établissement de

plans, tris, etc.). »

Partant d’un article sur une introduction précoce de l’enseignement des coniques

(Totohasina, 2008), notre recherche voudrait mettre en évidence l’intérêt didactique de leur

étude en combinant les deux géométries que sont la géométrie synthétique et la géométrie

analytique. Nous allons essayer de changer la conception qui a pris et continue à prendre

beaucoup d’ampleur chez nos élèves, vision selon laquelle la géométrie se résume à des

calculs sur les coordonnées, et est donc purement analytique.

Les coniques, vues comme section de l’objet solide qu’est le cône, font appel à la fois à

l’étude des solides (donc de l’espace) et à l’étude des courbes planes (donc du plan). Par

rotation autour de leur axe focal ou non focal, les coniques non dégénérées engendrent les

quadriques de références : l’ellipsoïde, l’hyperboloïde à une ou à deux nappes, le paraboloïde

elliptique. Et « la géométrie des solides nous est vite apparue comme un lieu possible de

confrontation entre les contraintes s’imposant aux objets sensibles du monde réel et les

résultats théoriques concernant les objets mathématiques de la géométrie euclidienne ». (Dias,

2005)

3-2 Coniques : pour combler des lacunes.

29 IREMI : Institut de recherches pour l’enseignement des mathématiques et de l’informatique dont le siège

social est à l’Université Nord d’Antsiranana et dont le fondateur est le Professeur André Totohasina

198

De par les multiples activités que l’on peut concevoir, les élèves des collèges et lycées

peuvent acquérir des savoirs et savoir-faire en géométrie synthétique. En effet, dès la création

de l’algèbre par Mohammed Al-Khwarizmi (vers 780-vers 850) et son utilisation par

Descartes (1596-1650) pour résoudre des problèmes géométriques, l’algébrisation de la

géométrie ou la géométrie analytique a pris tellement de place que, actuellement, il nous est

habituel d’entendre des enseignants se plaindre de la faiblesse de leurs élèves dans les séances

de construction avec des matériels classiques de géométrie. Nous pensons qu’à force de trop

vouloir, nous arrivons à ne rien avoir. À vouloir trop démontrer par la méthode algébrique,

nos élèves perçoivent les mathématiques comme une discipline excessivement abstraite, ce

qui nuit fortement à leur motivation et à l’image qu’ils se font des mathématiques et des

mathématiciens. C’est une des raisons qui poussent bon nombre d’élèves à s’orienter vers un

enseignement plus axé vers la littérature, et un facteur de la diminution du taux de réussite aux

examens du bac scientifique.

Combien de fois voyons-nous des cours de géométrie sans figures, et combien de nos

élèves n’ont pas recours à un petit dessin ou un schéma d’illustration quand on leur demande

de démontrer une proposition en géométrie, en analyse ou en algèbre ? Généralement,

l’homme aime le connu, le familier, sans vouloir pour autant se condamner à vivre dans la

routine. Nous pensons qu’il en est de même dans un apprentissage : il est toujours

réconfortant pour un apprenant de se retrouver devant des situations, des notions ou des objets

qui lui sont familiers ou concrets. En effet, ayant confiance en lui-même, ces situations –

didactiques ou adidactiques – l’encouragent à aller toujours de l’avant, car il sait qu’il peut

toujours se référer à des choses qui lui sont déjà connues, et par suite, il est presque sûr de ne

pas se perdre. Cependant, un élève qui n’a que « le plan » comme support concret, aurait

certainement des difficultés pour résoudre des problèmes autres que « les problèmes plans ».

Et s’il n’a pas de connaissances sur « le solide », il ne sera certainement pas apte à résoudre

des « problèmes solides ». Faisons alors en sorte que nos élèves aient l’habitude de se

représenter par des dessins ou des schémas les problèmes qu’ils doivent résoudre. Essayons,

autant que possible, de donner à nos élèves la chance de raisonner en s’appuyant sur des

notions concrètes et de relier les savoirs à des choses simples qu’ils peuvent voir et percevoir,

en leur faisant manipuler, autant que faire se peut, des instruments. En effet, celui qui tient en

main un instrument détient une connaissance mathématique plus ou moins élaborée (Barbin,

2014). Si nous réduisons les supports concrets de nos élèves, ils se représenteront les

mathématiques comme une matière qui n’a aucun lien avec la réalité. Alors, l’essence même

199

de cette discipline est remise en cause car la naissance d’une notion y est toujours précédée

d’un besoin de résoudre un problème « concret ». Une solution trouvée est alors une prémisse

de la construction des mathématiques, mais pas son application (ibid., p.xiv). Nous ne

sommes pas contre l’algébrisation, un outil très puissant d’abstraction, mais nous voulons

trouver le juste milieu pour que nos élèves appuient leur réflexion sur des objets qu’ils

peuvent voir, toucher, etc., c’est-à-dire correspondant au premier niveau dans la taxonomie de

Van Hiele (1988).

Parmi nos élèves, beaucoup ne vont pas faire des mathématiques très poussées. Ils ont

alors besoin de les voir comme un outil pratique pour répondre aux besoins de leur vie

quotidienne. La géométrie est l’un des moyens pour y parvenir car « la géométrie ne consiste

pas à décrire ce qu’on voit mais à établir ce qui doit être vu » (Brousseau, 2000, p.9). L’étude

des coniques, de par les multiples registres (géométrique, algébrique, transformations,

métrique, analytique, calculatoire, etc.) qu’on peut y utiliser, offrirait une vue transversale et

verticale des mathématiques, et apporterait une nouvelle façon de concevoir la relation des

mathématiques avec les autres matières et entre ses propres composantes.

3-3 Coniques : aide à la formation en démonstration mathématique

Une autre raison pour laquelle notre choix a porté sur le thème des coniques est le fait que

« leurs constructions mettent en jeu de nombreuses figures géométriques premières, basées

sur des droites et des cercles. Et pour l'accessibilité aux démonstrations portant sur des

propriétés métriques qui les caractérisent » (Rincon, 2011, p.8). Les figures géométriques

aideraient alors mieux les élèves dans l’apprentissage et c’est peut-être une des raisons pour

lesquelles nous voyons des manuels ou des enseignants qui mettent des figures ou formes

(carrées, rondes, triangulaires…) à la place des lettres inconnues dans les résolutions des

équations du premier degré. En manipulant ces courbes, un raisonnement « visio-déductif »-

comme Brousseau l’a qualifié -, puis déductif, et finalement mathématique se développerait

chez les élèves. En les abordant selon une approche géométrique, on cultiverait chez les

élèves des habitudes d’esprit comme l’envie constante de poser et résoudre les problèmes, de

chercher des modèles, de noter des liens et par-dessus tout de prouver des conjectures »

(French, 2004, p.3).

3- 4 Coniques : initiation à l’utilisation des TIC

En ce qui concerne les TIC (Technologies de l’information et de la communication), le

thème conique se prête favorablement à l’usage de la technologie comme support à

l’enseignement des mathématiques, car même si la technologie en elle-même ne garantit pas

200

la réussite en mathématiques, son intégration dans l’enseignement constitue une aide et un

support pour la connaissance (Rincon, 2011, p.33). À part la visualisation, le travail dans des

environnements informatiques dynamiques permet aux élèves d'apprendre et d'expérimenter.

À travers des activités de construction portant sur ce thème, les élèves, en utilisant un logiciel

de géométrie dynamique, voient l’intérêt et l’utilité des avancées technologiques dans

l’enseignement-apprentissage : « Le fait de pouvoir construire de façon assez précise et, en un

temps raisonnable, des figures de qualité est de nature à aider puissamment à la formation de

concepts, notamment en dégageant les propriétés qui justifient les constructions » (Cazzaro et

al, 2001, p.103, cité dans Rincon, 2011, p.34-35)

3-5 Coniques : donner de la place à l’histoire des mathématiques

Une dernière raison est l’importance ou encore la place de l’histoire dans l'enseignement-

apprentissage des mathématiques. Nous citons juste trois arguments et un témoignage qui

justifient l’intérêt didactique de l’histoire des mathématiques dans l’enseignement-

apprentissage de cette matière : « le professeur peut y trouver une riche source d’inspiration

pour concevoir des activités motivantes à tous les niveaux » (Tournès, 2012, p. 2). C’est

d’ailleurs grâce à l’étude historique des coniques que nous avons pu élaborer des activités

pour chaque classe du collège et du lycée.

Et selon l’Unesco (2011, p.54), «il est important de pouvoir analyser le présent et penser

le futur à la lumière d’un regard historique, qu’il s’agisse ici d’histoire des mathématiques ou

d’histoire de l’éducation». Dias (2005) donne une condition nécessaire, à chacun qui veut

comprendre et redécouvrir les Mathématiques : « étudier les problèmes qui furent leur

origine ».

Testa (2000) rapporte une expérience qui a été faite dans une classe de terminale

scientifique en Italie : « L’expérience novatrice, réalisée sous forme d’activité extra-scolaire

et, avec des élèves volontaires d’une classe Terminale du Lycée Scientifique « P. Lioy » de

Vicence (Italie), montre qu’une approche historique de l’enseignement des coniques contribue

à des changements positifs chez les élèves quant à leurs attitudes et intérêts envers les

mathématiques. Les fiches de travail, bien conçues dans leur progression et dans leur contenu

ont aidé les élèves à surmonter l’obstacle langagier et aussi l’obstacle d’ordre conceptuel. Les

propos des élèves, recueillis après l’étude des textes historiques, tirés du livre de M. de La

Chapelle (1710-1792), présentent beaucoup de similarités avec des intentions que M. de La

Chapelle ont écrites dans la préface de son livre, entre autres : l’éducation mathématique est

faite pour tous et la résolution de problème mathématique se fait pas à pas. »

201

VI-1-2 Les outils utilisés pour l’expérimentation

Notre choix des outils que nous avons utilisé dans notre expérimentation est dicté par

les fruits de recherches sur la dimension expérimentale de l’enseignement-apprentissage des

mathématiques. Morris (1987) a dit :

« Nous considérons comme essentiel le fait qu’un élève apprenne les propriétés de

l’espace où il vit et qu’il perçoit par ses sens, en particulier le toucher et la vue. La base de

l’apprentissage doit donc être l’expérience tirée d’activités pré mathématiques (jeux avec des

modèles, constructions, etc.) ainsi que d’activités mathématiques (dessin, établissement de

plans, tris, etc…) » (p. 83).

Le Ministère de l’éducation de l’Ontario (2009) encourage une utilisation plus fréquente

de matériel de manipulation et d’outils technologiques dans l’enseignement de nouveaux

concepts mathématiques. En effet, le fait de manipuler en classe de mathématique durant la

recherche d’une signification à un concept est bénéfique pour les élèves :

« Lorsque des liens sont créés entre des idées mathématiques ou entre ces idées et des

phénomènes concrets, les élèves peuvent constater que les mathématiques sont utiles,

pertinentes et intégrées » (Alberta éducation, 2016. p.5) et aussi « Que ce soit dans une salle

de classe ou ailleurs, les expériences mathématiques fournissent des occasions propices aux

élèves pour développer leur habileté à raisonner» (ibid.).

Dias et al. (2005) d’avancer que dans une expérience mathématique manipulatoire et

réflexive, deux objectifs sont identifiés : revisiter ses propres connaissances et ouvrir des

pistes de travail avec ses élèves. Ainsi l’expérience profite aussi bien à l’élève qu’à

l’enseignant. Dans le chapitre III, nous avons vu les différents styles d’apprentissage que l’on

peut mettre en œuvre et en utilisant du matériel de manipulation et une variété d’approches

pédagogiques, les enseignants peuvent mieux répondre aux multiples styles d’apprentissage,

aux diverses origines culturelles de leurs élèves ainsi qu’à leurs stades de développement

respectifs.

Comme le cerveau recherche et établit sans cesse des liens et des relations, et :

Étant donné que l’apprenant est constamment à la recherche de liens, et ce, à plusieurs

niveaux, les enseignants doivent concevoir des expériences qui permettent à l’apprenant

d’acquérir une compréhension. Les recherches sur le cerveau ont déjà démontré que des

expériences multiples, complexes et concrètes sont essentielles à un apprentissage et à un

202

enseignement constructif. (Caine et Caine, 1991, traduction cité par Alberta éducation, 2016,

p.5).

1) Les outils pour expérimenter, voir et construire

L’esprit directeur de notre expérimentation est de faire manipuler les élèves pour qu’ils

voient des images des coniques avec des matériels à bon marché, pratique et que l’on peut

trouver facilement dans tout le territoire. Nous traçons ci-après le cheminement de la

recherche de ce matériel.

1-1) Cône de papier

Du papier, nous avons pu trouver facilement trouver car tous les élèves ont leur cahier et

nous avons profité pour faire faire un cône moyennant son patron. La notion de cône

n’apparaît explicitement au programme du collège qu’en classe de 3ème

, même s’il est dit

dans les objectifs généraux que : « l’élève doit être capable de (d’) :

classes antérieures sur les cônes et les

pyramides ;

»30

Mais l’important pour nous est de faire faire un cône (les dimensions ne sont pas fixées)

par les élèves et ils en sont capables car il suffit qu’ils roulent leur papier en tenant un point

immobile. Ainsi, tous les élèves sont venus en ramenant leur cône. Mais pour la section, ce

n’est pas opérationnelle car on ne peut pas couper suivant un plan alors que si on aplatit le

patron (comme beaucoup ont fait) avant de couper, la section doit être une courbe mais pas un

segment, la forme de cette courbe est difficilement trouvable. Il nous faut donc un cône

solide.

1-2) Entonnoir en plastique

La deuxième idée est d’utiliser un entonnoir conique en plastique que l’on peut acheter

facilement dans les épiceries du village. Bien sûr que le goulot ne permet pas de visualiser le

cône avec un sommet mais nous avons dit aux élèves que dans un cône c’est pointu (nous

avons glissé un cône en papier de l’intérieur de l’entonnoir pour faire voir le cône complet).

Mais le même problème se pose quand nous avons coupé l’entonnoir, le plan de coupe n’est

pas plat.

203

1-3) Cône avec du papier pétri ou cône en plâtre moulé

Nous nous sommes servis des débris de papiers journaux transformés en bouilli mis dans

une moule conique (l’entonnoir complété) puis séché, et ensuite, du plâtre moulé et séché

pour obtenir des cônes non creux. Mais le problème n’est pas pour autant résolu puisque la

lame de la scie à métaux que nous avons utilisée ne nous permet pas d’avoir une section

plane ; de plus, le cône en plâtre était très dur à sectionner.

1-4) Cône de lumière

Nous avons trouvé un classeur de bureau avec un trou circulaire sur une des faces.

Comme nous avons une lampe, l’idée nous est venue d’utiliser ces deux matériels pour faire

voir sur un écran le faisceau de lumière qui traversera le trou. Et c’est le matériel qui nous a

convaincu le plus. En effet, l’enseignant peut disposer facilement d’une lampe qu’il a chez lui

car où qu’il soit, il a besoin d’une lampe pour se déplacer la nuit et actuellement les petites

lampes led inondent le marché. Pour le classeur troué, il lui suffit de le remplacer par un

carton troué, et une surface plane quelconque peut servir d’écran.

En plus de son côté pratique, on peut mettre en pratique l’interdisciplinarité en expliquant

le phénomène de la propagation de la lumière en physique.

2) Des activités pour construire et voir

Dès les classes primaires (dès la classe de dixième ou CE1), nos élèves ont tracé des

droites, mais ils ne peuvent pas donner du sens aux droites car l’enseignement était trop centré

sur la visualisation et le traçage de droite et les activités se réduisaient à tracer quelques

droites. Les situations où l’on utilise les droites pour résoudre des situations problèmes de

différents types sont absentes. Nous nous sommes alors inspirés des activités que Nourby et

Morel (2005) ont expérimentées à La Réunion, pour faire faire voir les coniques à nos élèves.

Ces activités, au nombre de quatre, reflètent bien la progression du mode et de la

structure de pensée géométrique selon Hiele (1988) : d’abord une structure concrète globale

par des opérations d’identification, de nomination, de comparaison et d’opération sur des

figures géométriques ; ensuite une structure géométrique visuelle par des analyses des figures,

des éléments qui les composent ainsi que les relations logiques existantes entre ces

éléments pour dégager des propriétés et les interrelations entre ces propriétés ; enfin une

30 MEN, (1999). Programmes scolaires 3ème. Configuration de l’espace, p. 105

204

structure abstraite en prouvant par des raisonnements déductifs des théorèmes et en établissant

des liens entre ces théorèmes et les symboles.

Les constructions tangentielles de la parabole (Lebossé et Héméry, 1968), de l’ellipse

(ibid.) et de l’hyperbole (ibid.), sous-tendent ces activités. Nous avons choisi délibérément ces

quatre exercices car les compétences mises en jeu relèvent de l’usage par les élèves des

instruments usuels de géométrie et parce que les formes obtenues sont des courbes qu’ils ont

déjà vues lors des activités précédentes de manipulation. Il est clair que, pour créer des

exercices analogues, il suffit de changer quelques variables et obtenir des ellipses plus ou

moins aplaties, des hyperboles et paraboles plus ou moins ouvertes.

La première de ces quatre activités (tableau 11) prendra environ 25 minutes et sera

traitée juste après les activités d’expérimentation (tableau 10), les trois autres (tableau 12)

prendront chacune une vingtaine de minutes.

VI-1-3 Les dispositions expérimentales

1) Première expérimentation

La première expérimentation de notre recherche s’est déroulée en 2015 à Madagascar et à

La Réunion.

1-1) La population concernée

Les classes de l’expérimentation.

Les classes à Madagascar et à la Réunion, dans lesquelles nous avons mené des

expérimentations similaires ont les caractéristiques suivantes : cinq classes de sixième dont

trois à la Réunion, quatre classes de cinquième dont deux à la Réunion et trois classes de

seconde au lycée Jean Joseph Rabearivelo de Madagascar. Le nombre d’élèves concernés est

de 530, dont 126 à la Réunion (Tableau 8).

Les deux établissements Réunionnais qui nous ont accueillis pour les

expérimentations sont le collège Émile-Hugot de Saint-Denis et le collège La Marine de

Saint-Joseph. Pour Madagascar, le collège d’enseignement général d’Antehiroka, situé à

environ 12 km de la capitale et le lycée Rabearivelo ont bien voulu coopérer avec nous.

À la Réunion, une séance de cours dure entre 1 heure et 1 heure 30 minutes, rarement

2 heures, alors qu’à Madagascar, c’est l’inverse : une séance se fait le plus souvent en 2

heures et rarement en 1 heure. Ainsi, les séances d’expérimentation ont duré au total 3 heures

205

à la Réunion et 4 heures à Madagascar. Le tableau ci-après donne les répartitions des classes

ainsi que les effectifs et les professeurs responsables.

Tableau 7: Classes de la première expérimentation

Établissements Classes Effectifs Professeurs responsables

Collège Émile Hugot, Saint-Denis 6e4 25 EC 11

Collège Émile Hugot, Saint-Denis 6e5 25 EC 21

Collège La Marine, Saint-Joseph 6e1 26 EC 31

Collège La Marine, Saint-Joseph 5es 4 et 5 50 EC 31

CEG d’Antehiroka 6es1 et 3 120 EC 41

CEG d’Antehiroka 5es 2 et 3 120 EC 51

Lycée J.-J. Rabearivelo 2de 4 54 EL 11

Lycée J.-J. Rabearivelo 2des 6 et 13 110 EL 21

Source : Données statistiques des établissements

Une grande différence entre les effectifs des classes saute aux yeux. À Madagascar, une

classe comporte deux fois plus d’effectif que celle de La Réunion pour un espace plus ou

moins identique.

Pour ce qui est du profil des enseignants,

Tableau 8: Profil des enseignants

Enseignants Tranches d’âge Qualifications et formation Ancienneté dans

l’enseignement

( en années)

EC11 [30-35] Bac+4 Scientifique Math [5 ; 10]



EC41 [30-35] Bac Scientifique [0 ; 5]

EC51 [30-35] Bac Scientifique [0 ; 5]

EL11 [30-35] Bac+5 Scientifique PC [0 ; 5]

EL21 [30-35] Bac+5 Scientifique Math [0 ; 5]

Nous pouvons dire que pour la population concernée, les enseignants répondent aux

profils exigés sauf pour les deux enseignants du collège à Madagascar où le profil requis est le

Bac +2 et qu’ils n’ont que le Bac. Ils sont tous dans les trentaines donc encore une bonne

206

vingtaine d’année d’enseignement devant eux, nous pouvons dire qu’ils sont encore jeune et

leur vécu mathématique est essentiellement analytique en ce qui concerne la géométrie.

1-2) Les activités et les objectifs

Pour les activités, choisies comme milieu et situation d’apprentissage, nous avons

opté pour celles qui permettent aux élèves de manipuler et de voir. Les activités sont alors de

deux types.

L’activité de manipulation (Activité 1 et activité 2 du tableau 10)

L’activité de manipulation est constituée de deux sous activités. L’une a pour objectif de

faire voir des formes coniques aux élèves ; la deuxième a pour but de faire trouver par les

élèves des formes coniques dans leur quotidien.

L’activité de manipulation consiste à faire passer la lumière d’une lampe LED à travers le

trou d’un classeur (figure 126) et de décrire, selon les positions d’un écran placé en dessous

du trou, les formes des contours de la lumière projetée. Après l’inventaire des formes trouvées

avec leur nom respectif, les élèves auront à chercher des formes coniques dans leur quotidien.

Ces activités sont prévues pour durer 20 minutes.

Tableau 9: Activité d'expérimentation pour voir les sections coniques

Activité 1 :

Matériel à disposition : une lampe de poche LED, un classeur avec un trou circulaire, un

écran blanc en carton.

Placer la lampe allumée à 20 cm (environ) au-dessus du classeur troué, et l’écran à 10 cm

(environ) au-dessous du classeur troué.

1) Quelle forme a le contour de la lumière projetée sur l’écran lorsque l’écran et le classeur

sont parallèles ? (Comparer la grandeur du contour obtenu avec celle du trou du classeur)

2) Incliner lentement l’écran jusqu’à ce que sa position soit perpendiculaire au classeur

troué. Esquisser la (les) forme(s) possible(s) du contour de la lumière projetée au cours de

l’inclinaison.

(Pour chaque différente position de l’écran, chaque élève esquisse le type de contour

obtenu)

Activité 2 : Trouver des objets dans votre environnement, où des courbes coniques sont

visibles.

207

Figure 126: Matériels pour faire voir les sections coniques

Source : Auteur

Des activités de construction papier-crayon (Activité 1 du tableau 11 et activités 2 ; 3 ; 4

du tableau 12)

Les buts de ces activités sont de renforcer les compétences des élèves dans le traçage des

droites, des segments, des droites perpendiculaires, des cercles, des médiatrices en

construisant des coniques propres.

Tableau 10: Première activité de construction

Activité 1 :

1°) Trace une droite(d) en bas de ta feuille.

2°) À 2 cm au-dessus de (d), dans l'axe de la feuille, marque un point S.

3°) Marque un point A1 sur la droite (d)

4°) Trace en trait léger le segment [SA1].

5°) Trace la droite perpendiculaire au segment [SA1] et qui passe par le pointA1.

6°) Recommence les étapes 3) 4) et 5) beaucoup de fois, appelle les points A 2, A3, A4,

etc…., jusqu’à ce que tu voies apparaître une forme« harmonieuse ».

208

Tableau 11: Trois autres activités de construction

ACTIVITÉ 2

1°) Trace un cercle de centre 0 et de rayon R=8cm.

2°) Place un point S tel que 0S=5cm.

3°) Prends un point A1 sur le cercle.

4°) Joins en pointillés les points S et A1.

5°) Trace la droite perpendiculaire au segment [SA1] et qui passe par le pointA1.

6°) Reprends les étapes 3) 4) et 5) beaucoup de fois, appelle les points A2,A3, etc., jusqu’à

ce que tu voies apparaitre une forme« harmonieuse ».

ACTIVITÉ 3

1°) Trace un cercle de rayon 3 cm au centre de ta feuille.

2°) Marque un point S à l’extérieur du cercle (pas trop loin, au plus à 3cm du cercle).

3°) Marque un point A1 sur le cercle.

4°) Trace d’un trait léger, le segment [SA1].

5°) Trace la droite perpendiculaire au segment [SA1] et qui passe par le point A1.

6°) Recommence les tracés effectués pour A 1 avec de nombreux points A2, A 3,A

4,etc.choisis sur le cercle, jusqu’à ce que tu voies apparaitre une forme « harmonieuse ».

ACTIVITÉ 4 (Construction de parabole par l’enveloppe de médiatrices)

1°) Trace une droite (d) en bas de ta feuille.

2°) À 2cm au-dessus de (d), dans l'axe de la feuille, marque un point S.

3°) Marque un point A1 sur la droite (d).

4°) Trace en trait léger le segment [SA1].

5°) Construis la médiatrice du segment [SA1].

6°) Recommence les étapes 3) 4) et 5) beaucoup de fois, appelle les points A2, A3, A4,

etc …., jusqu’à ce que tu voies apparaitre une forme « harmonieuse ».

1-3) Déroulement de l’expérimentation

Les activités sont soumises à chaque enseignant et discutées pour des éventuelles

adaptations aux spécificités de sa classe quant à la passation qui sera à son entière

responsabilité, mais nous sommes toujours là en tant qu’observateur et si besoin pour des

aides ou conseils.

209

1-4) Les analyses a priori

Nous allons faire les analyses a priori selon les deux types d’activités.

Activités de manipulation

Les activités – que nous pouvons classer dans les activités pour apprendre selon la

classification de Touchard–vont intéresser les élèves car rares sont les séances de

mathématiques dans lesquelles on manipule des objets autres que les outils scolaires.

Les élèves travailleront en groupe et le professeur pourra donc privilégier un type

d’enseignement associatif.

Ils verront et sauront décrire les formes de l’ellipse et de l’hyperbole, mais ne verront pas

la parabole. Cependant leur vocabulaire sera enrichi.

Ils trouveront facilement des exemples des courbes coniques dans leur quotidien, et

percevront par eux-mêmes que des formes qu’ils côtoient peuvent être des formes

mathématiques qui ont fait l’objet de plusieurs siècles de recherches et que les mathématiques

se rencontrent dans la vie de tous les jours. Une autre vision de notre discipline en découlera.

Activités de construction papier crayon

Ce sont des activités qui privilégieront les manipulations, donc classer dans les activités

qui favoriseront l’apprentissage. Des automatismes et une plus grande dextérité seront acquis

quant à l’utilisation des matériels scolaires de géométrie.

Les élèves vont participer pleinement et verront que des notions simples permettent

d’obtenir des belles figures.

Comme les constructions se font individuellement, ils vont se sentir responsables de leur

production et s’appliqueront davantage.

Les élèves vont comparer leur production avec celle de leur camarade et ils pourront

éventuellement discuter afin de trouver la bonne construction en cas de désaccord.

Par le fait qu’ils peuvent placer le point S n’importe où dans les activités 1, 2 et 4 pour

obtenir une construction correcte (en effet, toutes les constructions seront les mêmes à une

rotation près), ils réaliseront qu’ils peuvent prendre des initiatives en mathématiques. Le

professeur ne sera plus celui qui dicte et/ou celui qui impose.

C’est une occasion de maîtriser des constructions et notions de base comme : point,

droite, segment, cercle, médiatrice, distance, du même côté d’une droite et de constater eux-

mêmes qu’ils peuvent aboutir à de bonnes productions.

210

L’image que les élèves se font d’eux-mêmes changera, ainsi que l’image qu’ils se font

des mathématiques. Ils pourront penser : « Je suis capable de faire de bonnes choses en maths

et je me rends compte que les maths ne sont pas réservées à quelques élèves privilégiés».

Le professeur aura le temps d’encadrer ses élèves pendant les constructions, de voir leurs

lacunes, d’encourager les initiatives : il sera un accompagnateur dans la construction des

savoirs élèves, et non celui qui détient et qui donne tout.

1-5) Les résultats et les analyses a postériori

La première séance se divise en deux parties : une première partie qui porte sur la

manipulation de matériels utilisant une lampe, une plaque trouée et un écran afin de voir les

contours des lumières projetées faisant apparaître des figures rondes des coniques propres,

(figure 127).

Figure 127 : Photos des contours des lumières projetées moyennant les matériels de

l'expérimentation

La parabole n’est évidemment pas visible car il nous est difficile d’avoir la position de

l’écran parallèle aux faisceaux de lumière. Et le professeur devrait signaler que c’est une

partie de l’hyperbole que l’on voit sur l’écran car une hyperbole est la section plane d’une

surface conique formée par deux cônes opposés par le sommet comme l’a défini Apollonius.

À la fin de cette première partie, l’esquisse des quatre courbes que l’on devrait obtenir est

visualisée au tableau et le nom de chaque courbe est donné.

Ce qui est commun à tous les élèves, sans distinction d’âge ni de niveau, c’est le nom

donné à « l’ovale ». Mais chacun a sa façon de nommer la branche d’hyperbole. À la

Réunion, le nom donné par tous les élèves à cette branche, sans aucune hésitation, est « forme

montagne ». C’est certainement l’influence de l’environnement sur l’apprentissage, car le

paysage quotidien des élèves réunionnais est la montagne. À Madagascar, les élèves ont du

mal à trouver un nom à cette branche de l’hyperbole. Au collège d’Antehiroka, qui est un peu

éloigné de la ville et où des collines sont visibles, c’est la « colline ». Au lycée Rabearivelo,

aucun nom n’a été donné ; on s’est contenté de « forme comme ça » (et on trace la forme).

211

Après avoir fait tracer par les élèves les formes vues par expérimentation (cercle, puis

ellipse, puis branche d’hyperbole), un professeur a demandé à ses élèves : « quelle différence

y a-t-il entre ces courbes ? » Un élève a répondu « les deux sont fermées et l’autre ouverte ».

Une question pertinente et une réponse intelligente, à notre avis ; c’était l’occasion parfaite

pour introduire la courbe parabole : courbe limite entre l’ellipse et l’hyperbole, obtenue au

moment où les courbes fermées s’ouvrent pendant l’expérimentation. Malheureusement, le

professeur a raté cette opportunité.

Dans la seconde partie, on a demandé aux élèves si les trois nouvelles courbes qu’ils

viennent de découvrir et dont les esquisses sont au tableau se rencontrent dans leur vécu. Ceci

afin d’attirer leur attention sur le fait que des courbes présentes dans leur quotidien sont des

objets mathématiques qui ont des noms savants et qui ont leur histoire (que l’on verra un peu

plus tard).

Ce qui caractérise cette activité, c’est le fait d’amener les élèves à réfléchir sur leur

quotidien, les faire revenir sur terre si l’on peut dire. Leur faire voir qu’en cours de

mathématiques, on n’est pas déconnecté de la vie de tous les jours. Les élèves, un peu surpris

de la consigne, se sont mis à essayer de trouver des exemples de « formes coniques ». Le

travail de groupe étant automatique chez les apprenants en cas d’obstacles (car beaucoup ont

du mal à trouver des exemples), dès qu’un élève a trouvé un exemple et que le professeur a

encouragé à en trouver d’autres, l’inspirations devient contagieuse : les uns ont décelé des

exemples en classe, comme leur gomme (qui commence à prendre des formes rondes), le

capuchon de leur stylo, la forme ronde dans les ciseaux (forme elliptique des trous où l’on fait

entrer les doigts), les lunettes de leurs camarades de classe, etc. ; d’autres ont pensé à des

exemples à la maison comme la forme des assiettes, leur baignoire, les antennes paraboliques,

les mortiers pour piller le riz et dans la grande majorité le ballon de rugby comme forme

elliptique etc... Mais la grande différence entre les deux pays réside surtout dans les sources

des exemples. À la Réunion, ils prennent d’abord des exemples de leur classe et ensuite

cherchent des exemples ailleurs, alors qu’à Madagascar ils choisissent systématiquement des

exemples en dehors de l’école et de l’établissement. Ces constatations nous amèneraient à

avancer comme hypothèse que les élèves malgaches, contrairement à leurs homologues

réunionnais, conçoivent le milieu de leur vie de tous les jours comme extérieur à l’école et à

l’établissement, où ils passent cependant la plus grande partie de leur temps. C’est dû, à notre

avis, à la représentation de l’école comme un lieu que l’on doit fréquenter pour acquérir des

212

connaissances contenues dans des programmes scolaires, mais qui n’a pas de lien avec la vie

de tous les jours située au dehors. Une image de l’école que tout éducateur devrait changer.

Figure 128: Exemples de formes coniques que les élèves ont trouvés

La deuxième séance est réservée à des activités crayon-papier qui consistent à tracer des

perpendiculaires afin de voir apparaitre les formes des coniques propres. Dans la première de

ces activités, on fait tracer la parabole (la courbe non visible lors de l’expérimentation)

comme enveloppe de droites perpendiculaires.

Certains élèves ont trouvé la courbe après une dizaine de perpendiculaires bien tracées en

des points judicieusement placés. D’autres ont choisi des points d’un même côté de la droite

et il a fallu que le professeur leur suggère de prendre des points régulièrement répartis sur la

droite. D’autres encore ont tracé des « tronçons de droite » de telle sorte que la courbe

n’apparait pas. Mais beaucoup d’élèves ont des difficultés pour tracer les perpendiculaires à

cause de la contrainte sur la position de la droite (d) : « une droite (d) en bas de ta feuille »,

imposée par l’énoncé qui les empêche de prolonger le segment.

La manipulation de l’équerre serait la cause principale des difficultés rencontrées. Nous

avons alors mis par écrit (en encadré du tableau 13) les étapes à suivre pour manipuler

l’équerre dans le traçage des perpendiculaires et aussi, par la même occasion, des parallèles

afin d’outiller le professeur dans les aides personnalisées qu’il apportera à ses élèves durant

les activités. Il s’agit d’un algorithme d’utilisation de l’équerre qui est efficace pour toutes les

activités. À Madagascar, par le fait que la géométrie est traitée dans une partie bien définie de

l’horaire hebdomadaire - comme l’algèbre et l’analyse d’ailleurs - et selon la répartition fixée

par les enseignants, beaucoup d’élèves n’ont pas de matériels de géométrie, aussi nous avons

fabriqué des équerres par pliage.

Rappeler qu’une droite n’a ni commencement ni fin (instruction dans le programme de

sixième, cf annexe 15), donc doit remplir la feuille, est une phrase que les professeurs ne

213

cessent de rappeler car beaucoup d’élèves ont l’habitude de tracer des portions de droite et

c’est ce que nous voyons aussi dans nombreux manuels de mathématique (figure 129).

Figure 129 : Droites dans le manuel CIAM31

quotidiennement utilisé par les enseignants

en 6ème

Contrairement dans certains livres, les figures sont encadrées et une droite remplit tout le

cadre (figure 130).

Figure 130: Droites dont les traces occupent tout le plan

Grâce aux activités, le vocabulaire est enrichi par les mots : conique, parabole, ellipse,

hyperbole, mais c’est tellement contextualisé par notre présence (surtout à Madagascar) que

dès que le professeur demande la forme que l’on pourrait obtenir, ils répondent par conique,

parabole, ellipse, hyperbole (l’effet météo comme on dit !!!), même si la question n’a rien à

voir avec les coniques.

31 CIAM : Collection interafricaine de mathématique, manuel issue du programme HPM « harmonisation du

programme de mathématique » de nombreux pays d’Afrique francophone dont Madagascar.

214

Pour ce qui est des courbes obtenues, les élèves ont trouvé qu’elles sont jolies et belles et

qu’ils sont surpris d’obtenir telles courbes par traçage de droites (figure 131), une notion que

nous pourrions exploiter plus tard en première avec les dérivations et tangentes.

Figure 131 : Productions à la fin des activités papier-crayon

Tableau 12: Encadré pour tracer les perpendiculaires et les parallèles

Procédure d’utilisation de l’équerre et la règle pour :

• Construire la perpendiculaire à une droite (ou un segment) passant par un point A donné.

La procédure se résume en trois étapes :

1re

étape : Pose un côté droit de ton équerre sur la droite, ou sur le segment ; mais

« l’autre côté droit tourné vers le point »A.

2eétape : Glisse ton équerre sur la droite (ou le segment) jusqu’à ce que l’autre côté droit

touche le point A.

3eétape : Trace une portion de la droite perpendiculaire et prolonge avec la règle.

• Construire la parallèle à une droite (ou un segment) et passant par un point A donné.

La procédure se résume en cinq étapes :

1re

étape : Pose un côté droit de ton équerre sur la droite, ou sur le segment ; mais « l’autre

côté droit tourné vers le point »A.

2eétape : Glisse ton équerre sur la droite (ou le segment) jusqu’à ce que le point A se trouve

sous ton équerre.

3e étape : Fixe une règle contre l’autre côté droit de ton équerre.

4eétape : Fais glisser ton équerre le long de la règle jusqu’à ce que le point A apparaisse.

5eétape : Trace une portion de la droite parallèle et prolonge avec la règle.

215

Pour les activités 2 et 3, les élèves débutent à peine la construction qu’ils demandent déjà

si l’on va obtenir une courbe aussi jolie que la première.

La compréhension de l’énoncé prend du temps pour les collégiens et pour les élèves du

lycée Rabearivelo, comprendre l’énoncé signifie lire et traduire l’énoncé en franc-gasy32

.

Dans tous les cas, le contexte de travail en groupe a encouragé les élèves et leur a permis de

se lancer des défis pour eux-mêmes afin d’avoir les mêmes courbes ou de meilleures courbes

que leur camarade. Et poussé par leur professeur, ils se sont lancés des défis entre eux sur le

nombre de points placés (donc sur le nombre de perpendiculaires tracées).

C’est l’occasion d’aider les élèves en difficulté pour le traçage en mettant en œuvre la

procédure, et de pratiquer une pédagogie différenciée.

Les activités ont permis de consolider les compétences dans la manipulation des

instruments de géométrie. Elles diffèrent des exercices classiques où l’on fait faire quelques

traçages. Ici, on réalise des constructions pour bâtir, produire une figure (les élèves voient le

fruit de leur travail sous la forme d’une œuvre).

Les professeurs ont voulu encadrer les élèves et aider ceux qui éprouvent des difficultés

de telle sortes que le temps que nous nous sommes fixés n’est pas respecté. Mais nous avons

laissé les professeurs agir comme ils entendent étant donné qu’un de nos objectifs est de voir

un professeur « guide et accompagnateur » dans sa classe.

L’activité 4 n’a pas été traitée car il ne restait pas suffisamment de temps pour le faire et

en concertation avec les professeurs, nous voulons que les élèves savourent la joie qu’ils

éprouvent devant leurs « œuvres ». Mais la consigne donnée aux élèves a été de la finir à la

maison.

1-6) Un exemple d’entretien avec des élèves.

Nous avons pris au hasard des élèves pour leur faire des entretiens semi-directifs. Notre

objectif était de voir l’impact des activités sur : leur savoir, savoir-faire et savoir être. Le

résultat qui, selon nous est assez représentatif des réponses et impressions des élèves est

rapporté ci-après. La lettre C désigne le chercheur et E l’élève.

C : Bonjour,

E : Bonjour Monsieur,

216

C : Est-ce-que les activités vous ont plu ?

E : Oui, Monsieur,

C : Qu’est-ce que vous avez-aimé ?

E : La manipulation avec la lampe

C : pourquoi ?

E : Que les lampes peuvent être utilisées en classe lorsqu’on fait les maths.

C : Vous n’avez jamais vu pareille chose ?

E : Si, en primaire l’institutrice a amené des bonbons pecto33

et il a partagé aux élèves

après la leçon sur les divisions.

C : Avez-vous appris de nouvelles choses ?

E : Beaucoup, beaucoup Monsieur (avec des gestes)

C : Pouvez-vous en citer ?

E : Les noms de l’hyperbole, et….et..(demande de l’aide aux autres élèves). Parabole et

eclipse (ses copains le corrigent)

C : C’est tout ? Vous avez dit beaucoup

E : Les perpendiculaires aussi Monsieur

C : Qu’est-ce qu’elles ont les perpendiculaires ?

Un autre élève que nous noterons F reprend le relais car ils ont vu qu’ils peuvent dire

librement ce qu’ils pensent.

F : Les perpendiculaires, permettent d’avoir les courbes hyperbole, parabole et ellipse

quand on les trace beaucoup de fois selon les consigne des activités.

C : C’est la première fois que vous le voyez ?

F : Oui, et je ne suis pas le seul Monsieur (comme s’il a peur qu’on le taxe d’ignorant)

C : Et vous avez appris autre chose ?

F : Euh…(un regard chez les autres élèves comme pour demander l’autorisation de

parler) l’attitude du prof Monsieur.

C : Qu’est-ce qu’il a le prof ?

F : Il a changé Monsieur, il est devenu quelqu’un qui s’approche de nous, qui regarde si

nous faisons bien les traçages et si nous réussissons les activités

C : Et vous pensez que c’est bon ça ?

F : Oui et si tous mes profs font comme ça, je serai le premier de la classe.

32 Le « franc-gasy » est le fait de faire des phrases ni complètement en français ni en malagasy. C’est une phrase

sans règle fixe mais qu’en général les mots techniques sont en français et la grande partie en malagasy.

217

C : Vous aimerez que le prof vous fasse faire encore des activités comme vous venez de

faire ?

F : Oui, mais il ne sera pas capable. Il le fait parce que vous êtes là. D’ailleurs il a dit que

vous êtes prof à l’université.

C : Pourquoi vous dites que votre prof ne sera pas capable de telles activités ?

F : Parce qu’il n’a jamais fait. S’il était capable, il l’aurait fait depuis

C : Je vous remercie beaucoup et au plaisir de vous revoir.

Tous les élèves qui étaient là : Au revoir Monsieur.

Les réponses des élèves étaient prévisibles sauf leur analyse sur le fait que si le prof

savait faire et proposer des activités pareilles, il l’aurait fait.

Notre connaissance du fonctionnement de notre système nous permet de dire que seule

une approche nouvelle partant des choses simples pour arriver à des choses complexes

apporterait des changements tant au niveau de l’apprentissage que de l’enseignement. Une

approche explicite.

Pour les sept enseignants qui ont participé à notre expérimentation, ils trouvent que

les activités leur sont nouvelles. Mais ils ne les feront pas car ils ont des contraintes sur le

programme. Et quand nous leur avons dit que les élèves ont quand même appris des choses et

ont consolidé leur connaissance et leur capacité d’utiliser les outils classiques de géométrie,

ils sont d’accord, mais selon eux, apprendre à bien manipuler des outils n’est plus leur rôle

mais celui des enseignant des classes inférieures..

Le prof EL2 nous a contacté des semaines après pour nous demander si nous

pouvons l’aider car il pense montrer les productions des élèves pendant la semaine de la

science – il est le responsable pédagogique de son lycée – et si nous avons encore des

exercices du même type dont les résultats peuvent être exposés pendant cette semaine de la

science. Nous lui avons répondu favorablement.

La prof EL1 nous avoue qu’elle a bénéficié des séances d’expérimentation car elle

n’a jamais appris la pédagogie et qu’elle est prête à travailler toujours avec nous.

2) Deuxième expérimentation

Durant l’année scolaire 2016-2017, nous nous sommes lancés à une deuxième

expérimentation car quatre enseignants de collège et quatre enseignants du lycée sont

volontaires pour faire l’expérience avec nous. Cette fois en gardant les objectifs de la

première expérimentation, nous allons réserver une séance pour faire une évaluation.

33 Nom de type de bonbon parmi les moins cher sur le marché

218

2-1) La population concernée

Dans cette deuxième expérimentation, nous allons donner des codes aux enseignants

impliqués en notant 2iEC et 2iEL respectivement le i-ème enseignant du collège,

respectivement du lycée. Ainsi l’indice variera de 1 à 4.

Le Collège général d’Ampefiloha et le lycée Rabearivelo sont donc les deux

établissements qui vont faire l’objet de notre collaboration, les quatre classes du collèges et

les profils des enseignants sont donnés par le tableau ci-après.

Tableau 13: Caractéristiques des populations de l'expérimentation

Sigles Tranche d’âge Qualification Ancienneté Classe tenue Effectif classe

EC12 [40-45] Bac+4 Non

scientifique

[10 ; 15] 6 56

EC22 [45-50] Bac+3

Scientifique

[15 ; 20] 4 55

EC32 [30-35] Bac

scientifique

[5 ; 10] 5 58

EC42 [20-25] Bac

scientifique

[0 ; 5] 5 56

EL12 [30-35] Bac+5

Scientifique

PC

[0 ; 5] 2nde 52

EL22 [30-35] Bac+5

Scientifique

Math

[0 ; 5] 2nde 52

EL32 [35-40] Bac+5

Scientifique

Math

[0 ; 5] 2nde 50

EL42 [50-55] Bac+5

Scientifique

Math

[25-30] 2nde 50

Nous tenons à faire remarquer que les enseignants du lycée EL 11= EL12 et EL 21 = EL 22.

219

2-2) Les activités et les objectifs

Les objectifs pour cette deuxième expérimentations sont les mêmes que ceux de la

première expérimentation. La seule différence est que dans l’utilisation du logiciel Geogebra

au lycée Rabearivelo, pour les classes de EL 12 et EL 22, nous allons faire voir les courbes

coniques aux élèves par vidéoprojecteur mais pas par expérimentation ni par construction

papier - crayon.

2-3) Déroulement de l’expérimentation

Les activités étant les mêmes le déroulement s’est fait exactement comme dans celui de la

première expérimentation. La seule différence se situe au niveau de l’initiation au logiciel

GGB. Le temps pris pour montrer les formes coniques et leur nomination est estimé à dix

minutes. Notre statut en tant qu’observateur est toujours le même.

2-4) Les analyses a priori

Toutes nos analyses a priori comme dans la première expérimentation sont maintenues.

Nous pensons que la différence pour les deux classes qui ne font pas l’expérimentation avec

les manipulations et constructions, les élèves sauront les coniques et sauront le faire avec le

logiciel GGB mais les connaissances acquises ne sont pas si profondes car il y une différence

notable entre voir uniquement et voir et faire.

2-5) Les résultats et les analyses a postériori

Les résultats sont les mêmes que dans la première expérimentation. Les réactions des

élèves sont les mêmes ainsi que les enseignants en ce qui concernent la nature des activités :

« Des activités simples à réaliser mais à partir desquelles les élèves peuvent prendre en main

leur apprentissage ». C'est-à-dire que l’introduction des coniques est faisable dès la sixième

mais qu’il faut l’accompagner tout au long de l’année et tout le long du cursus scolaire.

Une des particularités de cette deuxième expérimentation est l’existence de la classe de

quatrième, c'est-à-dire une classe ou la moyenne d’âge des élèves est de 14 ans. Le constat

que nous avons fait est une légère rapidité dans la compréhension des consignes et un peu

plus de maturité dans la manipulation des matériels de géométrique. Mais les résultats des

apprentissages sont les mêmes.

Quant à l’avis des enseignants, selon les résultats des enquêtes, ils pensent que :

- Les activités sont intéressantes dans la mesure où tous les élèves sont en action.

- Les contenus, sont faciles mais n’est pas explicitement au programme.

220

- L’approche expérimentale est nouvelle mais ils se posent la question s’il existe de

telle approche pour les notions dans leur programme et s’ils adoptent une telle approche,

finiront ils leur programme ?

Ainsi, les enseignants sentent qu’il y a un bénéfice pour les élèves dans l’approche

expérimentale des mathématiques mais la peur de ne pas finir le programme les pousse à

continuer à enseigner comme ils le font.

Des enseignants pensent que c’est intéressant mais il y a le programme à finir et on

n’aura pas le temps de faire des activités où les élèves vont pouvoir faire des activités

analogues

2-6) Les évaluations

1) Evaluation par questionnaire auprès des élèves et des enseignants

Nous avons évalué les élèves par un questionnaire (Annexe 36).

Environ 94% des élèves disent avoir aimé les activités sur les coniques car on fait des

choses nouvelles, que l’on est actif, on connaît des nouvelles choses (Les courbes parabole,

ellipse et hyperbole). Ils disent que c’est la première fois que l’on fait de telles expériences en

classe. Les 4% disent ne pas trop aimer les activités, une explication pourrait être leur échec

dans les constructions des perpendiculaires ou encore parce qu’ils n’ont pas vu les traces de

lumière puisque les élèves se sont bousculés.

À la question « sont-ils capables de faire faire les activités aux absents ? », les réponses

sont partagées ; d’autres pensent que oui car ils ont bien compris, certains manquent

d’assurance et disent non ou encore la culture de ne pas partager ce que l’on possède prend

encore le dessus.

Les réponses des élèves de seconde qui ont manipulé le logiciel GGB est plus que

réconfortant quand on leur a demandé leur défi, projet ou souhait. Une grande majorité

souhaite maîtriser l’ordinateur ou devenir informaticien, d’autre devenir ingénieur ou docteur

ou pilote ou infirmière. Pourrions-nous dire que l’attrait pour les métiers nécessitant les

mathématiques se profile à l’horizon ? Attendre et voir.

2) Evaluation par activités

Pour évaluer l’impact des activités sur les savoirs et savoir- faire, nous avons fait une

évaluation auprès des élèves de la deuxième expérimentation. Le test comporte deux volets :

un pour le traçage de droite perpendiculaire et parallèle (Annexe 38) :

Le test consiste à tracer la droite perpendiculaire à une droite (AB) et qui passe par un

point C ; puis par la hauteur issue de A à un triangle ABC. La deuxième question demande à

221

l’élève de tracer la parallèle à (BC) et qui passe par le point A ; puis la parallèle à (AB) et qui

passe par le point C.

Le deuxième volet demande aux élèves de reconnaître des formes coniques parmi un

tableau de formes diverses (figure 132).

En général, le premier volet et première question (traçage de droite perpendiculaire mais

la hauteur doit être expliquée aux élèves car ce n’est pas dans leur programme) est réussi par

les élèves. Le traçage de la droite parallèle à une droite donnée et passant par un point n’est

pas encore maîtrisé car selon notre analyse les élèves manquent d’entrainement.

Pour la reconnaissance des formes, les élèves ont trouvé et reconnu quelques formes

coniques mais ce qui nous a émerveillé c’est la réponse d’un élève concernant la forme du

symbole Mercedes Benz. Comme nous avons projeté l’image au tableau, l’élève est face au

tableau et il est assis dans la rangée de gauche. Comme nous circulons pour voir les réponses

des élèves, nous étions étonnés de voir qu’il a mis le symbole dans le groupe des ellipses. Il

nous a fallu du temps pour réaliser qu’il voit le cercle en perspective donc pour lui c’est une

ellipse.

Figure 132 : Figures pour reconnaitre les formes coniques

VI-2 Enseigner les coniques tout au long du cursus scolaire

Notre stratégie pour enseigner les coniques tout au long du cursus scolaire se base sur le

modèle constructiviste et sur les recherches de Meirieu (1995, p.134) :

On ne peut enseigner qu’en s’appuyant sur le sujet, ses acquis antérieurs, les stratégies

qui lui sont familières. L’enseignement est stérile s’il ne met pas en place des situations

222

d’apprentissage où l’apprenant puisse être en activité d’élaboration, c'est-à-dire d’intégration

de données nouvelles à sa structure cognitive. Rien ne peut être acquis sans que l’apprenant

l’articule à ce qu’il sait déjà.

Au niveau collège, des activités mobilisant des notions élémentaires de base (droites

parallèles, droites perpendiculaires, cercle, pliage, angle, distance de deux points ou d’un

point à une droite), pour faire apparaitre des figures coniques, et la cardioïde peuvent être

suggérés pour enseigner les coniques. Ces activités, faites d’une manière ludique, contribuent

énormément à une bonne compréhension par les élèves, des notions de base comme le

parallélisme, la perpendicularité, l’appartenance d’un point à une droite, la position d’un point

par rapport à une droite …et la culture générale des élèves, la bonne manipulation des outils

de géométrie, le goût du beau et le soin apporté dans l’exécution des figures géométriques

sont développés à travers les activités proposées.

En classe de seconde, lorsque les élèves se sont familiarisés avec les courbes

coniques, la justification de l’apparition des courbes coniques lors des constructions permettra

de renforcer la connaissance des propriétés des coniques (Foyer-directrice ; lieu géométrique).

Et les activités conviennent bien pour commencer à manipuler un logiciel de géométrie

dynamique et pour démystifier l’ordinateur.

Quant aux enseignants, leurs connaissances en géométrie méritent d’être réactivées et

structurées. Le thème conique qui leur est mal connu mais qui pourtant offre un champ où

l’on peut mobiliser de nombreuses connaissances mathématiques, est approprié pour atteindre

ces objectifs. Son étude permet de revoir différents types de problèmes de construction,

d’incidence, de recherche de lieux géométriques, de recherche des propriétés et problème

d’emploi de transformations (Bongiovanni, 2001)

VI-2-1 Des activités pour enseigner les coniques

Des activités d’introduction, les caractérisations des coniques, les différentes définitions

des coniques comme lieu de points, les propriétés des aires comme la deuxième loi de Kepler,

toutes les constructions par points (ce que nous expérimentons actuellement avec nos

étudiants en L2 et L3 du parcours mathématique) sont autant des activités que l’on peut faire

pour enseigner les coniques tout au long du cursus scolaire.

Toutes les constructions où interviennent les perpendiculaires, les distances, les

tangentes, les constructions par point et les symétries sont faisables au collège et dans le

programme actuel, et certainement dans celui du futur. Ces activités seront en grande partie

223

classées dans les activités pour apprendre et pour renforcer les compétences, même s’il y a un

côté recherche.

Voici quelques exemples parmi tant d’autres pour enseigner les coniques :

Activité 1 : Soit une droite (d) et un point F n’appartenant pas à (d). Placer quatre

positions A1 ; A2 ; A3 ; et A4 d’un point M qui vérifie MF = MH où H est la projection

orthogonale de M sur (d).

Niveau concerné : 4ème

et plus

Objectifs : Conjecturer, tâtonner, vérifier et contrôler, utiliser la projection, manier

correctement les matériels de géométrie, développer l’esprit de recherche.

Outils utilisés : Règle graduée, compas, crayon, équerre

Activité 2 : Soit une droite (d) et un point F n’appartenant pas à (d). Placer quatre

positions B1 ; B2 ; B3 ; et B4 d’un point M qui vérifie MF = 0,5 MH où H est la projection

orthogonale de M sur (d)


et plus


correctement les matériels de géométrie, développer l’esprit de recherche


Activité 3 : Soit une droite (d) et un point F n’appartenant pas à (d). Placer cinq positions

C1 ; C2 ; C3 ; C4 et C5 d’un point M qui vérifie MF = 2MH où H est la projection

orthogonale de M sur (d).


et plus




Activité 4 : Reprendre l’activité 2 mais en remplaçant le nombre 0,5 par la fraction 2/3

Activité 5 : Reprendre l’activité 3 mais en remplaçant le nombre 2 par la fraction 3/2

Activité 6 : Soit un cercle C de centre O et de diamètres perpendiculaires [AA’] et [BB’].

Un point M sur l’arc AB du cercle C se projette orthogonalement en K sur [BB’] et les

segments [KA] et [OM] se coupent en un point P. Conjecturer sur les distances OP et PH où

H est la projection orthogonale de P sur la droite (d) passant par A et perpendiculaire au

segment [AA’].

224


et plus




Activité 7 : Ecrire la forme réduite de chacune des courbes du second degré suivantes

puis reconnaître leur nature.

a) 2x² +3y²+8x-6y-7=0

b) x²+y²-2x+4y-20=0

c) 9x² + 4y² - 54x + 40y + 145 = 0

d) 4x² - 9y² + 16x + 126y - 429 = 0

e) y² - 10x + 12y + 66 = 0

f) 3x² - 30x + y + 76 = 0

Niveau concerné : 2nd et plus

Objectifs : Écrire la forme canonique d’une expression du second degré

Outils utilisés : Stylos et cahier d’exercice

Activité 8

Conjecturer le lieu des points K, L , M …


Objectifs : Conjecturer, démontrer, savoir interpréter des données

Outils utilisés : Matériels classiques de géométrie. Stylos et cahier d’exercice

Les activités 8, 9 et 10 sont plutôt classées dans les activités qui incitent à la recherche.

Elles ont été faites avec les étudiants en formation initiale à l’ENS de Tananarive.

Activité 9 :

225

Conjecturer le lieu des points K, L, M …


Objectifs : Conjecturer, démontrer, savoir interpréter des données

Outils utilisés : Matériels classiques de géométrie. Stylos et cahier d’exercice

Activité 10 : Tracer l’hyperbole H d’équation y=1/x. Prendre un point de A de

l’hyperbole et mener deux droites d1 et d2 passant par A et qui coupent respectivement les

asymptotes respectivement aux points A1 et A2, puis prendre un autre point B sur l’hyperbole

et tracer deux droites ∆1 et ∆2 issues de B et qui coupent respectivement les asymptotes aux

points B1 et B2. Conjecturer sur l’aire des quadrilatères OA1AA2 et OB1BB2 où O désigne

le point d’intersection des asymptotes.

VI-2-2 Des conditionnalités

Nous venons de voir comment nous pouvons introduire l’enseignement des coniques dès

le début du collège rien que par sa définition initiale comme section ce cône et par ses

propriétés tangentielles, c'est-à-dire en utilisant des droites perpendiculaires. Nous soutenons

l’hypothèse que l’on peut alors faire cette apprentissage des courbes coniques et le continuer

jusqu’en terminale moyennant les activités que nous avons proposées. Des conditions

méritent quand même d’être précisées si nous voulons réussir dans ce renouveau.

La première est la formation et le renforcement des compétences des enseignants en

mathématique et surtout en géométrie synthétique par le biais de la formation initiale et

continue.

La deuxième est l’accompagnement des enseignants pour qu’ils puissent améliorer leur

enseignement et l’apprentissage afin d’arriver à des pratiques réussies c'est-à-dire être un

partenaire de l’élève mais pas seulement un facilitateur. Partenaire dans le sens où selon le

concept du socio constructivisme, il essaie de pousser plus loin les connaissances de l’élève.

En effet, au début de l’apprentissage, l’élève se trouve dans sa zone d’autonomie et y

226

développe des algorithmes de résolution de problèmes qui ne seront peut-être pas adaptés.

L’enseignant doit alors intervenir pour faire évoluer cet algorithme personnel de l’élève – par

un travail conjoint avec ce dernier – en créant une zone proximale de développement

(Vygotsky) à l’intérieur de laquelle l’algorithme passe à un niveau conceptuel supérieur.

La troisième condition est la collaboration des différentes entités impliquées dans

l’enseignement des mathématiques : les professeurs de collège et de lycée, des encadreurs de

l’éducation, des enseignants chercheurs en mathématiques et en didactique des

mathématiques.

Nous pensons que les écoles normales et l’IREMI sont des lieux où cette collaboration est

possible (Cori, 2007).

En conclusion de ce chapitre, nous insistons que les activités que nous avons

proposées sont tirées en grande partie des notions obtenues des générations historiques des

coniques ou sont sous tendues par les coniques. Elles ont pour objet l’encouragement à

utiliser systématiquement les outils classiques de géométrie. Pour nous c’est une première

étape pour le retour à un ancrage solide aux méthodes de raisonnement par la géométrie

analytique.

Nous sommes conscients qu’un accompagnement des enseignants est une condition

sine qua non à cette démarche, c’est pourquoi nous pensons que si nous arrivons par former

nos étudiants en formation initiale à ce retour à la géométrie synthétique via les coniques,

nous pouvons changer l’image de l’enseignement apprentissage de la géométrie et général et

des coniques en particulier.

Le dernier chapitre de notre thèse nous rapporte ce que les coniques peuvent

contribuer dans l’initiation à l’informatique.

227

CHAPITRE VII : Initiation aux TIC au travers des activités

sur les coniques

Il est reconnu que l’utilisation des TIC (Technologies de l’information et de la

communication) contribue à la réussite de tout acte d’enseignement-apprentissage. Le monde

éducatif ne peut pas rester indifférent face à un monde numérique qui évolue très vite et

embrasse tous les secteurs (politique, économique, social, technologique, environnemental...).

En ce XXIe siècle, celui ou celle qui ne sait pas utiliser l’ordinateur est quasiment considéré

comme illettré.

Les questions que nous nous posons sont alors : comment initier nos élèves aux TIC ?

Quelles contributions les TIC peuvent-elles apporter dans l’amélioration de l’enseignement-

apprentissage de la géométrie à Madagascar ? Dans cette section, nous faisons les hypothèses

suivantes : c’est en faisant manipuler des outils des TIC aux élèves que l’on réussit le mieux à

les initier dans ce domaine et arriver à démythifier l’ordinateur. Et de plus, moyennant des

activités de manipulations du logiciel géogébra34

, les élèves auront des idées positives des

mathématiques et d’eux-mêmes aux travers l’apprentissage de la géométrie.

Ainsi, nous évoquerons tout d’abord des apports des TIC dans l’enseignement-

apprentissage puis spécialement des apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage des

mathématiques et enfin la place des TIC dans l’enseignement-apprentissage à Madagascar et

les résultats de nos recherches quant à l’initiation aux TIC au travers des activités sur les

coniques.

VII-1 Des apports des TIC dans l’enseignement-

apprentissage. Les TIC donnent accès à l’information, traitent l’information ; mais elles ne peuvent

faciliter l’accès aux savoirs que dans le cadre d’un processus d’apprentissage, car un outil ne

fera jamais apprendre, pas plus qu’un enseignant (Lebrun, 2012). Les technologies sont en

train de changer fondamentalement nos façons de penser. Pas mal de processus jadis du

domaine de l’apprentissage sont actuellement de plus en plus et de mieux en mieux assumer

par les TIC. Le savoir et le savoir-faire sont en train d’être supplantés par le « savoir où et

quand », les connaissances conditionnelles. Grâce aux technologies, les savoirs sont déjà là,

34

Geogebra (version 5.0.44) [logiciel]. Récupéré de https://Geogebra.soft32.fr › Windows › Logiciel de

formation.

228

nous ne les transmettons plus. Nous ne pouvons que les montrer, c’est à l’élève - le seul acteur

de son apprentissage - et à lui seul de prendre en main son apprentissage (ibid.)

Alors que de précieux outils et ressources numériques sont développés dans le domaine

de l’éducation, ne pas en tirer profit dans l’acte d’enseignement-apprentissage serait alors une

erreur puisque : « les TIC donnent l'occasion de repenser et de délocaliser, dans l'espace et

dans le temps, les échanges entre les enseignants et les élèves, et favorisent ainsi de nouvelles

avenues pour les activités d'apprentissage ou de formation. » (Depover, Karsenti et Komis,

2007, p. 179, cité par Oudrhiri, 2016a)

Par ailleurs, « les TIC permettent d’autre part, aux apprenants, d’être plus motivés et plus

actifs à participer dans la construction du savoir, de suivre facilement les cours, de

comprendre plus vite, d’être plus innovateurs, plus autonomes, de pouvoir manipuler et

d’exécuter des fonctions seuls. » (Maouni, Mimet et al., 2014, p. 4)

Outre la motivation accrue des élèves dans l’apprentissage et le nouveau type de relation

qui s’établit entre apprenants et enseignant, le TACT (Télé-apprentissage communautaire et

transformatif) (1997), basé principalement à l'Université Laval, sous la direction de Thérèse

Laferrière, souligne d’autres apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage.

Mentionnons, entre autres :

- le nouveau statut du professeur : « si on utilise les technologies nouvelles en misant sur

leurs possibilités, l'enseignant ou l'enseignante agit auprès des élèves, bien davantage que

dans la classe traditionnelle, comme un animateur, un « facilitateur », un mentor, un guide

dans la découverte et la maîtrise progressive de connaissances, d'habiletés et d'attitudes » ;

- le nouveau statut du savoir : « dans un contexte où les technologies nouvelles jouent un

rôle important, l'enseignant et l'enseignante envisagent de moins en moins le savoir comme un

ensemble de connaissances à transmettre et de plus en plus comme un processus et une

recherche continus dont ils partagent avec les élèves les difficultés et les résultats » ;

- la conception de l’évaluation dans laquelle les apprenants sont acteurs : « les nouvelles

technologies permettent d'associer de manière positive et étroite les élèves à l'évaluation de

leurs propres apprentissages, ainsi que d'utiliser et de gérer des modes d'évaluation beaucoup

plus exigeants que ce n'est le cas, en règle générale, en ce moment » ;

- ainsi qu’un enseignement devenu plus collaboratif : « les nouvelles technologies

facilitent la collaboration de l'enseignant ou de l'enseignante avec des collègues, ainsi qu'avec

d'autres personnes, de l'intérieur ou de l'extérieur du système d'enseignement, pour la

planification ou l'élaboration d'activités d'apprentissage destinées aux élèves. »

http://www.tact.fse.ulaval.ca/fr/html/tlaf.html

http://www.tact.fse.ulaval.ca/fr/html/tlaf.html

229

VII-1-1 Des apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage des

mathématiques.

Pour l’enseignement-apprentissage des mathématiques, les TIC pourraient servir à le

rendre plus accessible grâce aux différentes présentations imagées qu’elles permettent

puisque, selon Dubinsky (1991), les mathématiques deviennent difficiles quand elles

concernent un domaine pour lequel il n'existe pas de représentations visuelles ou physiques

simples. Du point de vue d’Oudrhiri (2016b), les visualisations sont en mathématiques une

aide pour rendre plus concrète une pensée abstraite. En particulier, les logiciels de géométrie

dynamique sont particulièrement adaptés pour aider les apprenants à visualiser des objets

mathématiques, à décrire ou construire une figure donnée, à mettre en évidence des propriétés

géométriques de façon vivante et concrète, et à émettre ou vérifier des conjectures. Ils sont

performants dans les animations en géométrie.

En outre, les TIC peuvent contribuer à un changement des images des mathématiques

chez les élèves de par la visualisation et la manipulation qu’elles permettent: « Lorsque des

liens sont créés entre des idées mathématiques ou entre ces idées et des phénomènes concrets,

les élèves peuvent constater que les mathématiques sont utiles, pertinentes et intégrées »

(Alberta éducation, 2016, p.5). Quant à l’apprentissage des mathématiques proprement dit,

« La technologie contribue à un environnement d’apprentissage propice à la curiosité

grandissante des élèves, qui peut les mener à des découvertes enrichissantes en

mathématiques à tous les niveaux scolaires» et que : « À l’aide de calculatrices et

d’ordinateurs, les élèves peuvent :

• explorer et démontrer des relations et des régularités mathématiques;

• organiser et présenter des données;

• faire des extrapolations et des interpolations;

• faciliter des calculs dans le contexte de la résolution de problèmes;

• réduire le temps consacré à de longs calculs lorsque d’autres apprentissages ont la

priorité;

• approfondir leur connaissance des faits arithmétiques;

• développer leurs propres algorithmes de calcul;

• créer des régularités géométriques;

• simuler des situations;

• développer leur sens des nombres » (ibid. p.6).

230

VII-1-2 La place des TIC dans l’enseignement-apprentissage à Madagascar.

Beaucoup de nations tirent le maximum de profit de l’usage des TIC dans leur système

d’enseignement-apprentissage. En Chine, par exemple, des mesures ont été prises pour

encourager la participation active des étudiants : ainsi, les cours pratiques y représentent 8 %

du total des heures de classe à l’école primaire et 24 % en secondaire. Les élèves sont

encouragés à entreprendre des recherches avec l’aide de tuteurs, des activités de travaux

manuels sont proposées pour développer les compétences nécessaires à la vie courante, et les

TIC sont utilisées pour motiver et diversifier l’apprentissage. (Opertti et Duncombe, 2011)

Pour Madagascar, du point de vue de l’équipement en outils numériques, seule une

infime partie des lycées des grandes villes de Madagascar ont une salle informatique. De plus,

faute d’une formation en TIC et de l’absence d’une prescription sur l’utilisation des outils

numériques dans l’exécution des programmes scolaires, les enseignants n’y emmènent pas

leurs élèves. Un très faible pourcentage des enseignants possède un ordinateur, dont l’usage

est essentiellement bureautique, et peu d’élèves ont la chance de manipuler les machines dans

la salle informatique pour des raisons évoquées précédemment.

Si vers 1986, lorsque nous avons commencé à enseigner au lycée, des notions sur

l’ordinateur – son fonctionnement et ses périphériques – avaient figuré au programme de la

classe de seconde, actuellement aucune allusion n’est faite dans le programme de

mathématiques quant à l’usage des TIC. Comme l’UNESCO (2011) l’a signalé, même si la

décennie écoulée a connu le développement et la production de précieux outils, nous ne

savons pas et/ou nous ne pouvons pas encore en jouir.

Depuis quelques années, pour rattraper le temps perdu, le ministère de l’Éducation

nationale (MEN) déploie des efforts pour doter les collèges et lycées de tablettes, mais des

formations devraient être entreprises pour qu’elles servent effectivement de support dans

l’enseignement-apprentissage et concourent à l’amélioration de la qualité de l’éducation. Pour

apporter notre contribution et accompagner le MEN dans cette entreprise, nous allons nous

servir des coniques et de leurs propriétés. Cependant, comme nous l’avons dit précédemment,

les outils technologiques ne sont pas encore pour tout le monde à Madagascar et nous voulons

être modestes dans notre ambition. Dans un premier temps alors, nous pensons que si nous

arrivons à démythifier l’ordinateur aux yeux des élèves et des enseignants et qu’ils

commencent à l’initiation au logiciel geogebra en construisant des figures géométriques, c’est

déjà un objectif réaliste. Un objectif à moyen terme serait d’utiliser les TIC pour réaliser des

231

projets entre les enseignants des disciplines scientifiques. À long terme, ce serait au tour des

élèves sous tutelle des enseignants qui réaliseront des projets et, à ce moment-là, nous

cheminerons vers la pratique effective des approches autres que transmissives. Un autre

facteur à ne pas minimiser aussi est le facteur humain où il y a les enseignants qui sont réputés

« conservateurs », et la méconnaissance des apports des TIC dans l’enseignement-

apprentissage. Par conséquent, nous devons tenir compte de cette résistance des enseignants

pour la mise en œuvre des TIC dans l’enseignement (Ratompomalala, 2012).

Puisque les technologies contribuent au développement pédagogique et que l’impact

positif des technologies nécessite des dispositifs centrés sur l’apprentissage des étudiants,

c’est dans ce sens que nous adopterons la méthodologie décrite ci-après pour atteindre les

objectifs que nous nous sommes fixés moyennant l’utilisation du logiciel Geogebra.

VII-2 Initiation à l’utilisation du logiciel Geogebra Nous avons choisi l’utilisation du logiciel Geogebra d’abord parce que c’est un

logiciel libre qui sont déjà installé dans les ordinateurs du lycée Rabearivelo où nous allons

effectuer notre recherche. Notre méthodologie de recherche est sous tendue par une ingéniérie

didactique ; des activités élaborées que nous allons expérimenter. Des analyses a priori et a

postériori seront faites. À la lumière des résultats et observations, les données qualitatives et

quantitatives seront analysées.

VII-2-1 La méthodologie

Pour ne pas trop déstabiliser les élèves, de les rendre confiant (matériel nouveau, notion

nouvelle, phobie des ordinateurs,…), la stratégie que nous adoptons est de partir des activités

papier-crayon déjà faites afin que les élèves voient le potentiel des ordinateur, de s’y

familiariser et de les « dompter ». En effet, il n’est plus rassurant pour quelqu’un qui veut

faire un voyage que de savoir exactement, ou du moins sans trop de surprise, sa destination

mais en faisant des expériences nouvelles en cours de route. Et conformément au principe

constructiviste, « à tous les niveaux, il est essentiel que les élèves apprennent en faisant35

».

35

In enseigner l’informatique de la maternelle à la terminale . 1024 – Bulletin de la société

informatique de France, numéro 9, septembre 2016, pp. 9–17

232

1) Les classes de l’expérimentation

Trois classes de seconde du lycée Jean Joseph Rabearivelo – un des rares lycées

équipés de salles informatiques – ont participé à notre expérimentation. Le nombre d’élèves

concernés est de 164.

Établissements Classes Effectifs Professeurs responsables

Lycée J.-J. Rabearivelo 2de

4 54 Madame Z

Lycée J.-J. Rabearivelo 2des

6 et 13 110 Monsieur T

ENS L2 S4 20 Monsieur E

IFRP S1 11 Madame N

Pour voir ce qu’il en est pour des étudiants en formation initiale dans l’enseignement

scientifique, 20 étudiants en L2 semestre 3 de l’ENS et 11 en première année scientifique

d’un Institut privé de formation et de recherches pédagogiques (IFRP) ont accepté de faire les

activités avec nous.

Signalons que seuls monsieur T et monsieur E sont les seuls à avoir suivi une formation

en mathématiques. Madame Z est physicienne de formation et madame N de formation en

gestion.

2) Les activités et les objectifs

Pour les activités, choisies comme milieu et situation d’apprentissage, nous avons opté

pour celles qui permettent aux élèves de voir et de manipuler afin de solliciter les mémoires

visuelles et kinesthésiques et de favoriser l’apprentissage. Comme Confucius

(551-479 av. J.-C.) l’a dit : « j’entends et j’oublie, je vois et je me souviens, je fais et je

comprends ».

Le principe sur lequel nous nous basons dans la conception des activités est donc de faire

voir à l’aide d’un dispositif lumineux les formes coniques, puis d’amener les élèves à les

recenser dans leur quotidien, enfin de les faire construire à l’aide des outils classiques de

géométrie –crayon, équerre, règle, compas – au travers de leur définition comme antipodaire

ou orthocaustique de droite ou de cercle par rapport à un point. Une fois franchies ces étapes,

nous les ferons manipuler le logiciel Geogebra.

Cependant, par souci de cohérence entre nos objectifs, nos méthodes et nos outils, nous

ferons travailler les élèves avec le logiciel de géométrie dynamique par l’intermédiaire des

mêmes activités que dans l’environnement papier-crayon, car : « si on ne sait pas traduire

233

avec un crayon et une feuille de papier, on ne saura certainement pas traduire avec les outils

informatiques les plus performants.» (Mossop, 2003, p. 20, cité par Giesemann, 2014, p. 10)

Ainsi notre stratégie est de placer les apprenants dans une situation où seul l’outil utilisé

est nouveau, alors que le milieu, les exercices et les consignes leur sont familiers, afin de

mieux réussir l’acte d’enseignement-apprentissage par réduction des variables didactiques

intéressantes.

Les objectifs à atteindre sont alors :

- pour la grande majorité, de les initier au logiciel de géométrie dynamique Geogebra ;

- pour certains, de se familiariser avec le logiciel ;

- de faire voir les intérêts de l’usage de la technologie dans l’enseignement-apprentissage

de la géométrie ;

- de faire découvrir les fonctions « trace », « lieu », « animation ».

Un travail préparatoire sur ordinateur était nécessaire et nous (surtout l’enseignant)

allons utiliser un rétroprojecteur pour guider la classe entière dans les consignes communes.

Une pédagogie différenciée sera mise en œuvre pour chaque groupe d’élèves.

Les fiches des activités, après remplacement du mot « feuille » par « écran », étant encore

avec les élèves, nous n’afficherons pas le contenu des activités. D’ailleurs, ils connaissent par

cœur les consignes de par leurs répétitions durant les activités papier-crayon : marque un

point, trace en pointillé, trace la droite.

Après avoir vu et tracé les trois coniques propres, les quatre activités à faire dans

l’environnement technologique sont donc les suivantes.

Tableau 14: Tableau des activités pour l'apprentissage du logiciel Geogebra

ACTIVITÉ 1

1°) Trace une droite(d) en bas de l’écran.

2°) À 2 cm au-dessus de (d), dans l'axe de

l’écran, marque un point S.


4°) Trace en pointillés le segment [SA1].

5°) Trace la droite perpendiculaire au

segment [SA1] et qui passe par le point A1.

6°) Recommence les étapes 3) 4) et 5)

beaucoup de fois, appelle les points A2, A3, A4,

etc., jusqu’à ce que tu voies apparaître une forme

ACTIVITÉ 2

1°) Trace un cercle de centre O et de rayon

R = 8cm.

2°) Place un point S tel que OS = 5cm.

3°) Prends un point A1 sur le cercle.

4°) Joins en pointillés les points S et A1.



6°) Reprends les étapes 3) 4) et 5) beaucoup

de fois, appelle les points A2, A3, etc., jusqu’à ce

que tu voies apparaitre une forme « harmonieuse ».

234

« harmonieuse ».

ACTIVITÉ 3

1°) Trace un cercle de rayon 3 cm au centre

de l’écran.

2°) Marque un point S à l’extérieur du cercle

(pas trop loin, au plus à 3 cm du cercle).

3°) Marque un point A1 sur le cercle.




6°) Recommence les tracés effectués pour A

1 avec de nombreux points A2, A3, A4, etc., choisis

sur le cercle, jusqu’à ce que tu voies apparaitre une

forme « harmonieuse ».

ACTIVITÉ 4

1°) Trace une droite (d) en bas de l’écran.

2°) À 2 cm au-dessus de (d), dans l'axe de

l’écran, marque un point S.



5°) Construis la médiatrice du segment

[SA1].

6°) Recommence les étapes 3) 4) et 5)

beaucoup de fois, appelle les points A2, A3, A4,

etc., jusqu’à ce que tu voies apparaitre une

forme « harmonieuse ».

La toute première activité nécessitera une trentaine de minutes, car les élèves prennent en

main pour la première fois le logiciel. Les trois autres se feront chacune en moyenne en dix

minutes.

VII-2-2 Les analyses a priori

Les élèves ont donc fait les activités de manipulation et de construction papier-crayon

avant de manipuler pour la première fois le logiciel de géométrie dynamique. Ils auront

certainement des appréhensions devant les ordinateurs et a fortiori dans la manipulation de

Geogebra. Le clic gauche, clic droit, annulation d’une frappe, ainsi que le choix de l’onglet

qui contient l’instruction prendront du temps pendant la première activité. En effet, « il y aura

toujours dans la classe quelques personnes quelque peu effrayées par le clavier.» (Vandaele,

2011, p. 13)

Les élèves et les étudiants vont exécuter pas à pas et dans l’ordre les consignes dans les

activités. Ils percevront par eux-mêmes les avantages et intérêts de l’usage de la technologie

dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques : construction précise et rapide, des

droites qui remplissent l’écran (lors des activités papier-crayon l’enseignant n’arrête pas de

leur dire de prolonger les droites).

Les élèves seront étonnés qu’on les encourage :

– à travailler en groupe (technique pédagogique peu pratiquée en classe de mathématique

à Madagascar),

235

– à aider ceux qui sont en difficulté et qu’ils peuvent faire appel au professeur dont le

statut commence à changer (un facilitateur, une personne ressource dans la construction du

savoir au lieu de celui qui détient tout et à qui on attend tout).

Ils auront des difficultés pour placer les points quand l’espace sur l’écran est réduit et on

introduira la fonction « zoom » du dernier onglet.

Un type d’enseignement associatif sera mis en place par le professeur à travers le travail

de groupe. En effet, soit par l’emplacement contigu des machines, soit par leur insuffisance,

les élèves doivent s’associer pour faire les activités et auront la possibilité de comparer leurs

productions ou de demander de l’aide à leurs voisins. Par suite, un apprentissage collaboratif

se manifestera normalement : « les apprenants collaborent aux apprentissages du groupe et

en retour, le groupe collabore à ceux des apprenants» (France et Karin-Lundgren, 2001,

p.42).

Ce serait l’occasion pour le professeur d’emmener pour la première fois ses élèves dans

la salle informatique. Bien que le lycée possède des salles informatiques, certains professeurs

de mathématiques ne savent pas quelles activités proposer avec les ordinateurs. Pour

l’expérimentation, ils auront certainement peur d’échouer dans la conduite de la séance, mais

le nombre réduit d’instructions à utiliser dans les activités proposées et le travail préparatoire

minimisent ce risque.

Les étudiants possèderont Geogebra et auront l’occasion de le manipuler car « à tous les

niveaux, il est essentiel que les élèves apprennent en faisant » (SIF, 2016, p. 11).

VII-2-3 Les analyses a postériori

Les deux salles informatiques du lycée Rabearivelo sont équipées en tout de 24

ordinateurs, dont 21 opérationnels, lors de l’expérimentation. Les élèves, d’une cinquantaine

par classe, se sont donc mis par groupe de deux ou trois devant les machines. Nous nous

sommes partagés pour l’encadrement des groupes : le professeur s’est occupé d’un groupe et

nous de l’autre (mais nous sommes passé de temps en temps voir si tout allait pour le mieux

dans l’autre groupe).

Comme nous n’avons amené qu’un seul vidéoprojecteur, nous ne l’avons pas tellement

utilisé, car des interventions par machine ont été plus pratiques. En effet, dès qu’on intervient

ou qu’on donne une indication auprès d’un groupe, les membres des autres groupes qui se

trouvent autour tendent aussi l’oreille, ce qui réduit considérablement le temps d’intervention

pour le groupe classe.

236

Nous sommes étonnés de constater que les ordinateurs sont allumés ; ceux qui savent

comment faire apprennent aux autres. Un climat de travail collaboratif s’annonce déjà. De

même, quand nous avons annoncé qu’on allait utiliser Geogebra, qui est installé sur chaque

ordinateur, il nous a suffi d’indiquer comment l’ouvrir en cliquant sur l’icône qui se trouve

sur le bureau de la machine d’un groupe. Très vite, tous les groupes l’ont ouvert.

Une deuxième surprise – constatée chez le groupe des étudiants – est le fait qu’ils ont

téléchargé préalablement Geogebra sur leur smartphone et qu’ils ont pu y faire les activités.

Ce qui a augmenté le nombre de machines que nous avons pu utiliser. Quand nous leur avons

posé la question : « comment vous avez fait ? », ils ont répondu : « dès que Monsieur a dit la

dernière fois que nous allons travailler sur le logiciel Geogebra, nous avons cherché par

internet et avons téléchargé le logiciel ». Cette situation confirme le fait que l’enseignant n’est

pas le seul détenteur du savoir, ce dernier est disponible pour les apprenants via les TIC.

Nous avons fait apprendre comment cacher le repère et la grille, car ils sont figurés par

défaut sur chaque machine ; une éventualité que nous n’avions pas prévue, mais les élèves ont

vite su par la suite comment les cacher et les afficher. Ainsi, une bonne préparation est

nécessaire mais elle n’est jamais suffisante. Tout enseignant doit s’attendre et être formé à

faire face et à gérer des imprévues lors des séances d’enseignement-apprentissage.

Pour « l’activité 1 », nous n’avons pas exigé la position de S selon la distance fixée dans

l’activité, car nous avons pensé qu’il était encore trop précoce d’utiliser l’outil compas. Nous

avons donné la priorité à la familiarisation par clic gauche des huit premiers onglets de

Geogebra (figure 133), à la nomination des points (placer le point avec le deuxième onglet, le

nommer puis valider) et à l’effacement (clic droit à l’endroit que l’on souhaite effacer puis

clic gauche sur « effacer »). Le sixième onglet et le huitième nous serviront respectivement à

tracer le cercle de rayon donné et à placer les points à la distance souhaitée. Chaque groupe a

donc placé son point S dans l’axe à l’endroit souhaité (environ à deux centimètres), car ils

peuvent déplacer le point S grâce au premier onglet (maintenir la souris appuyée et déplacer).

237

Figure 133 : Huit premiers onglets dans le logiciel Geogebra Classic 5

Source : Auteur

L’apprentissage du traçage d’une droite a pris du temps à cause de la qualité du matériel

(le déplacement de la souris et le curseur ne sont pas en phase), car un clic puis un

déplacement engendre une droite et les élèves doivent annuler. Nous ne leur avons pas encore

appris l’annulation par les touches « Crtl z ». Finalement, presque toute la classe a fini par

placer la droite et le point S après cinq ou dix minutes.

Comme ils ont déjà vu dans les activités papier-crayon qu’il est judicieux de prendre des

points de part et d’autre du point S, la grande majorité l’a fait, mais nous avons attiré leur

attention sur la consigne « segment [SA1] en pointillé », et le choix des styles des traits est

apparu. Certains ont vu qu’on peut choisir la couleur des segments ou droites. Les droites

perpendiculaires ont commencé à figurer petit à petit, sur l’écran des ordinateurs (figure 134)

ou sur les smartphones des étudiants (figure 135). Pour « l’activité 4 », l’emplacement du

point S à deux centimètres n’étant pas bien adapté, nous l’avons changé en quatre centimètres

ou cinq centimètres.

Figure 134: Photos des étapes dans les productions des élèves au lycée Rabearivelo

238

Figure 135: Photos des étapes dans les productions des étudiants sur smartphone.

Nous avons remarqué une forte concentration chez les élèves pour la construction pas à

pas et dans l’ordre des consignes. Ayant constaté que les gestes, avec la pratique, se font

machinalement (Bullat-Koelliker et Staf, 2003), nous leur avons suggéré d’exécuter les

constructions par lot de quatre ou cinq points. Le processus répétitif, le contexte de travail de

groupe aidant, les élèves se sont lancés des défis quant au nombre de points placés (donc de

perpendiculaires tracées) pour avoir les mêmes ou les meilleures courbes coniques.

L’occasion est ainsi offerte aux enseignants de faire manipuler un ordinateur et utiliser les

fonctions de bases du logiciel Geogebra. Pour les groupes les plus avancés, nous leur avons

montré les fonctions « trace », « animer » et « lieu » qui permettent d’obtenir plus vite les

figures (figure 136).

Figure 136: Photos des productions élèves dans la manipulation du logiciel Geogebra

moyennant la fonction « trace » et « animer ».

La joie des élèves ayant réussi à tracer les courbes avec Geogebra est plus que

réconfortante pour eux et pour le professeur.

Quelques élèves ont demandé s’ils peuvent aller en salle d’informatique pour s’exercer

avec Geogebra. Certains même ont demandé à avoir le logiciel (alors qu’ils n’ont pas

d’ordinateur !!! mais pour le futur, disent-ils).

Une troisième surprise : un des groupes d’élèves a déplacé la position du point S de

l’activité 3 et a constaté que l’on retrouve l’ellipse de l’activité 2. Tous se sont mis à déplacer

239

le point S et c’était la joie dans la salle informatique. Nous sommes intervenus auprès du

professeur en disant que pour les courbes coniques, on peut passer de l’une à l’autre par une

transformation que l’on appelle homographie harmonique.

La joie des élèves ayant réussi à tracer les courbes avec Geogebra est plus que

réconfortante pour eux et pour le professeur.

Quant à l’animation de classe et la technique d’enseignement-apprentissage, les jeunes

professeurs ont vu qu’il y a d’autres façons d’enseigner, que c’est toujours bénéfique pour eux

de laisser les élèves travailler, de les laisser prendre des initiatives, de les encourager à se

lancer, à prendre des risques et des responsabilités. Ne pas avoir peur du silence, donc laisser

du temps de réflexion aux élèves. Jouer pleinement le rôle d’accompagnateur en apportant au

temps opportun les aides nécessaires pour que ces derniers réussissent.

Une enquête sur la représentation des élèves concernant l’ordinateur montre que, pour la

majorité d’entre eux (pour presque 75 % des 153 réponses obtenues sur les 164 enquêtés),

c’est une machine formidable qui peut tout faire à la place de l’homme. Nous pensons qu’une

des explications vient du nom en malagasy « solosaina » — littéralement « qui remplace le

cerveau ou l’esprit » —qu’on attribue à l’ordinateur, une fausse idée sur laquelle le Professeur

Totohasina André36

milite, car un outil ne pourrait pas remplacer le cerveau humain. Ensuite

l’ordinateur est vu comme une machine à calculer très performante ; d’ailleurs dans la vie

courante, une personne qui calcule vite est admirée et est surnommée « ordinateur

ambulant ».

Le tableau ci-dessous relate les avis des élèves, avant et après l’expérimentation, quand

nous leur avons posé la question : « Selon vous l’ordinateur est-elle une machine qui peut tout

faire ? ».

Tableau 15: Évolution de la représentation de l'ordinateur au cours de l'expérimentation

L’ordinateur peut tout faire

OUI NON Total

Avant l’expérimentation 120 33 153

Après l’expérimentation 63 90 153

Total 183 123 306

Source : Auteur

36

Directeur de l’équipe d’accueil « Education et didactique des mathématiques et de l’informatique » au sein de l’Ecole

doctorale « Problématiques de l’éducation et didactiques des disciplines » à l’Université d’Antananarivo

240

Environ la moitié des enquêtés ont changé d’avis sur le fait que l’ordinateur peut tout

faire et le nombre de ceux qui ont pensé que l’ordinateur ne peut pas tout faire a presque triplé

après l’expérimentation. À notre avis les élèves ont vu, pendant l’expérimentation, que

l’ordinateur ne fonctionne pas tout seul mais qu’il ne fait qu’exécuter les instructions venant

des membres du groupe selon les consignes dans les activités.

Une idée assez répandue de l’ordinateur aussi est le fait que c’est une machine qui peut

stocker beaucoup de données comme les chansons, les films, les photos etc… Ceci peut

s’expliquer par la présence aux environs du lycée Rabearivelo des personnes qui font comme

métier le chargement des téléphones et des clés USB avec des chansons, des films, des

photos, des livres, des clips vidéo et même des logiciels.

Statistiquement, le test du Chi deux nous permet de conclure au seuil de 95 % que

l’expérimentation a influencée l’avis des élèves en ce qui concerne cette idée que l’ordinateur

est une machine qui peut tout faire. En effet, le chi deux observé est de 44.17 alors que le chi

deux donné par la table avec un degré de liberté de un (ddl = 1) est de 3.84.

Si les représentations de d’ordinateur et de ses fonctions ne diffèrent pas trop pour les

lycéens et les étudiants en S1 de l’institut supérieur privé, elles ont changé chez les étudiants

du niveau L2 de l’ENS. Une explication vient certainement du fait que ces étudiants font déjà

une unité d’enseignement algorithme et programmation qui fait que pour eux l’ordinateur fait

des calculs formels et exécute des programmes.

Nous rapportons un entretien qui, à notre avis, reflète généralement les changements qui

se sont produits chez les élèves quant à leur représentation de l’ordinateur et leur conception

des relations professeur-élève et élève-élève.

Nous représentons par C le chercheur et par E l’élève.

C : Qu’est-ce que vous avez appris concernant l’ordinateur?

E : L’ordinateur ne peut pas inventer, il attend des instructions et commandes de ma part

pour fonctionner et les exécuter.

C : Mais il a fait des beaux et précis traçages, n’est-ce pas ?

E : Oui, mais sa précision vient de moi. Si je place (et il m’est arrivé de le faire) mon

curseur au mauvais endroit, il trace une droite qui n’est pas harmonieuse avec toutes les autres

droites déjà tracées.

C : Qu’est-ce qui a changé en vous, après les activités?

E : Beaucoup.

241

C : Quoi par exemple ?

E : Premièrement, ma peur d’être devant l’ordinateur a disparu. J’ai plus d’assurance en

moi car je peux commander (je donne l’instruction et l’ordinateur exécute. Je suis plus fort

que l’ordinateur (rire)). Ensuite j’ai vu que notre professeur est devenu gentil, il s’est occupé

de tous les élèves qui ont fait appel à lui (peut-être parce que vous étiez là (rire)).

C : Avez-vous rencontré des difficultés dans les activités?

E : Oui

C : Pouvez-vous m’en citer ?

E : La souris était difficile à manipuler, je l’ai déplacée mais la petite flèche sur l’écran ne

bougeait pas. Puis j’ai dû supprimer des points car un clic au mauvais moment ou au mauvais

emplacement a généré des points là où je ne voulais pas. Notre groupe a alors perdu beaucoup

de temps pour faire les activités.

C : Concernant les activités, comment les trouvez-vous ?

E : Nous les avons déjà faites mais sur feuille, elles ne sont pas nouvelles pour moi et

pour les membres de mon groupe.

C : Ce n’était pas la peine de les faire alors !

E : Je n’ai pas dit ça Monsieur. J’ai dit que les activités nous étaient familières car toutes

les consignes étaient enregistrées dans notre mémoire puisque nous les avions répétées

plusieurs fois.

C : N’est-ce pas une perte de temps de refaire les mêmes activités ?

E : Si nous les avons faites avec du papier-crayon, j’aurai dit oui, mais nous les avons

faites avec l’ordinateur et c’était nouveau.

C : À propos de l’ordinateur qu’est-ce qu’il a apporté de plus dans les activités ?

E : Beaucoup Monsieur, beaucoup…

C : Pouvez-vous donner quelques exemples ?

E : Le temps que nous avons mis pour faire apparaître les coniques était plus court

comparé à celui pendant lequel nous avons utilisé le crayon, la règle et l’équerre

(environnement papier-crayon). Ensuite, à part les erreurs que nous avons commises à cause

de la souris, comme je l’ai dit précédemment, les figures obtenues étaient plus précises donc

plus belles. Enfin, le fait que nous étions plusieurs sur une machine m’a beaucoup aidé.

C : Pouvez-vous expliquer car je ne comprends pas le fait que vous êtiez plusieurs sur

une machine et vous avez bénéficié des choses.

242

E : Parce que quand j’ai eu des difficultés (et j’en ai eu), mes camarades m’ont expliqué

comment faire et il m’est arrivé aussi d’aider mes camarades. C'est-à-dire nous nous sommes

entraidés durant les activités, le prof nous a même encouragés à le faire. Et j’ai mieux compris

comment manipuler le logiciel Geogebra.

C : Que souhaitez-vous dans l’avenir ?

E : Avoir un ordinateur et être très fort en informatique. Mais en attendant cela, que le

prof nous emmène encore à la médiathèque pour faire d’autres activités sur Geogebra. Vous

pouvez encore revenir ? (rire)

VII-2-4 Des perspectives

Nous pensons que la stratégie adoptée pour l’initiation et la familiarisation dans la

manipulation du logiciel Geogebra est efficiente de par le fait que les trois pôles du triangle

pédagogique de Jean Houssaye (Savoir – Enseignant – Apprenant) voire les quatre pôles du

tétraèdre pédagogique de Faerber (2002) (Savoir – Enseignant – Apprenant – Groupe) sont

mis en synergie durant l’expérimentation. Les activités offrent un moyen de prendre en main

un logiciel de géométrie dynamique et de saisir l’avantage de l’outil informatique, rien que

pour la rapidité et la précision dans les figures par rapport au traçage dans l’environnement

papier-crayon.

Nous pensons aussi que fournir toute une panoplie d’exercices sur les coniques en

mettant en jeu différentes registres (numérique, algébriques, graphique, géométrique :

transformation, lieux…) et faisant appel à leurs propriétés tangentielles, métriques et

calculatoires, aideront les enseignants et les élèves dans l’utilisation des TIC dans

l’enseignement-apprentissage des mathématiques et la familiarisation avec le logiciel

Geogebra qui en est un parmi tant d’autres. Le prochain objectif serait de familiariser les

enseignants et les élèves dans l’utilisation du tableur excel (dans microsoft office ou dans le

logiciel Geogebra même) pour parvenir à une initiation à l’algorithmique.

Cependant,

… deux conditions sont nécessaires pour pouvoir discuter le sujet d’intégration des TIC

dans un cours quelconque ; d’abord la présence suffisante de l’infrastructure informatique,

ensuite la maîtrise, la motivation et la volonté à l’autoformation en TIC et à l’exploitation

pédagogique et didactique des outils informatiques dans les activités pédagogiques

d’apprentissage. (Maouni et al. 2014, p. 4).

243

Aurions-nous alors la volonté de mettre en place une politique éducative et

institutionnelle pour l’intégration effective des outils numériques dans l’enseignement-

apprentissage à Madagascar ?

Par contre, on ne risque guère de se tromper en disant que l’usage des TIC n’est en rien

une panacée, si cet usage n’est pas raisonné et balisé, et si le mode d’accès (y compris la

configuration physique de la salle de classe !) n’est pas pensé en fonction des contraintes

pédagogiques. (Vandaele, 2011, p.10)

Nous aurons donc fort à faire quant à la formation initiale et continue des enseignants si

nous voulons bénéficier et faire bénéficier nos élèves des bienfaits de l’usage des TIC dans

l’enseignement-apprentissage, en d’autres termes en profiter pour améliorer l’enseignement

traditionnel. En effet, les TIC sont des outils qui resteront des outils et comme le dit

Lebrun (2012) : « un outil ne fera jamais apprendre pas plus qu’un enseignant », propos

appuyé par Kadiyala et Crynes (2000) « les technologies de l’information peuvent augmenter

l’apprentissage quand la pédagogie est de bonne qualité et quand il y a une bonne cohérence

entre les outils, les méthodes et les objectifs ». Mais une première étape serait donc de faire

figurer dans le curriculum de formation l’informatique.

VII-3 Des activités sur les coniques pour se familiariser avec

le logiciel GGB

Dans cette partie que nous avons intitulée familiarisation avec Geogebra, le mot

familiariser sous-entend que des contacts continus avec le logiciel sont gardés. Ainsi nous

pensons que ce qui reste à faire est le développement des compétences par l’automatisme.

Ainsi, nous suggérons que cet automatisme s’acquière sans changer beaucoup de variables

didactiques ; et donc, nous proposons que la familiarisation se fasse avec toutes les activités

proposées dans la section VI-2-1.

Ces activités doivent donc être faites avec le logiciel. N’oublions pas que, selon la

pédagogie explicite, les répétitions favorisent l’apprentissage et aident à développer les

compétences.

La capacité de conjecturer, de raisonner et de démontrer se développera certainement à

travers l’usage des technologies et nous espérons que l’esprit innovateur des enseignants

émergera.

244

Pour résumer les points essentiels qui ont été manifestes dans ce chapitre VII, nous

pouvons dire qu’en nous reportant aux apports des TIC dans l’enseignement-apprentissage

évoqués dans la partie III, le processus former s’est nettement distingué puisque l’enseignant

a pleinement joué son rôle d’accompagnateur tout au long de l’apprentissage de l’élève, en

apportant les soutiens nécessaires lors des problèmes rencontrés. Un nouveau type de relation

enseignant-enseigné s’est établi. Un apprentissage en autonomie et collaboratif s’est

développé tout au long de l’expérimentation puisque beaucoup d’élèves ont trouvé qu’un

processus itératif peut être fait par l’ordinateur, et les entraides mutuelles permettent

d’avancer dans l’apprentissage individuel et l’apprentissage du groupe.

Le changement de représentation de ce qu’est un ordinateur est aussi un point positif que

nous avons pu constater à travers les activités proposées : un ordinateur est une machine qui

ne fait qu’exécuter les instructions qu’on lui donne ; il ne peut fonctionner sans l’homme. En

outre, une grande motivation s’est remarquée chez les élèves, car apprendre avec des

technologies nouvelles les a rendus plus actifs et beaucoup plus participatifs, un constat qui va

dans le sens des propos de Oudrhiri (2016a) « l'usage du numérique rend les élèves plus

autonomes, réactifs et intéressés. En pratiquant eux-mêmes, ils deviennent les acteurs

principaux de leur propre savoir, ce qui constitue une motivation accrue chez les élèves ».

Cependant, tenir compte des expériences des pays avancés quant à la mise en œuvre des

TIC dans l’enseignement- apprentissage nous aiderait beaucoup dans les voies et moyens à

adopter et à appliquer pour la réussite de l’intégration des TIC au sein de notre système

éducatif, en d’autres termes, nous devons trouver des réponses à la question « quel usage faut-

il faire des TIC pour qu’ils deviennent effectivement des outils d’enseignement-apprentissage

mais pas seulement d’information ? ».

Comme des efforts sont entrepris au sein du Ministère de l’éducation nationale pour

équiper les établissements de tablettes, nous pensons que des formations sont nécessaires pour

leur exploitation dans l’acte d’enseignement-apprentissage, et qu’une responsabilisation soit

faite auprès des enseignants pour les entretenir. Mais une collaboration entre le MEN et l’ENS

serait, à notre avis, bénéfique pour l’un et l’autre si on dotait l’ENS de ces tablettes afin que

les sortants aient une certaine aisance dans leur utilisation, car ils les ont déjà manipulées

durant les cours d’algorithme et programmation

245

Conclusion générale

En ce qui concerne les courbes coniques, son enseignement-apprentissage est passé par

des réformes de curriculum de formation en mathématique. Au début, presque dans tous les

programmes d’étude, on les a traitées dans le cycle lycée puis reportées au niveau des études

universitaires, et réservées spécialement à ceux qui vont faire des études poussées en

mathématiques et leurs applications.

À Madagascar, l’étude des coniques figure encore dans le curriculum des mathématiques

de la terminale scientifique – série C. Les enseignants optent, en général, l’approche

analytique quand ils enseignent les coniques pour diverses raisons, entre autres le manque de

formation en géométrie synthétique et le contexte analytique des sujets d’examen de

géométrie au baccalauréat. Faisant suite aux recherches effectuées concernant la faisabilité

d’une introduction précoce des coniques en fin du collège (Totohasina, 2008), nous avons

montré que l’on peut effectivement introduire l’enseignement-apprentissage des coniques au

collège et même en début du collège sous certaines conditions.

La stratégie d’introduction doit être dictée par « le retour au sensible, au concret, à la vie

quotidienne, au real world comme le disent encore aujourd'hui nombre de noosphériens

anglo-américains » ( Chevallard et Julien, 1990-1991, p.56). Une étude historique et

épistémologique des coniques, nous ont permis de concevoir et élaborer des activités pour

voir et faire voir, puis pour manipuler les coniques. Par le moyen de ces activités qui prennent

appui sur des notions traitées en début de collège et abordées depuis la classe CE1 du

primaire, nous offrons des situations d'enseignement-apprentissage des mathématiques pour

développer des compétences élèves et enseignants dans le domaine géométrique,

pédagogique, didactique, mathématique et technologique.

Une valeur ajoutée que notre étude a apportée à l’enseignement-apprentissage des

mathématiques est une représentation plus positive de ces dernières par les élèves et les

enseignants. En effet, par l’étude des coniques, les élèves et les enseignants ont pu constater

que :

– les mathématiques ont leur histoire qui nous aide à mieux les comprendre,

– les mathématiques peuvent être rattachées à des objets concrets,

– les mathématiques permettent de répondre à des besoins de l’humanité en apportant

des solutions aux problèmes de l’humanité…

246

En ce qui concerne le programme d’étude, les notions nécessaires aux différentes

activités que nous proposons de traiter tout au long du cursus secondaire prennent appui sur

des notions qui existent déjà dans le programme actuel – entre autres les droites, les segments,

les cercles, les angles …– et certainement celui à venir.

En outre, la pédagogie explicite qui a suggéré un enseignement structuré et que les

enseignants ont utilisée durant les différentes séances d’expérimentation, a développé les

compétences des élèves et des enseignants. En effet, ces derniers ne se sentent pas dépaysé

dans la démarche adoptée car la pédagogie explicite et plus proche de leur pratique

pédagogique qui est transmissive. Du plus, le fait de faire et de faire faire des activités

d’apprentissage aux élèves permet à ces enseignants de mieux comprendre l’épistémologie

des coniques et, plus tard, ils pourront concevoir ou élaborer tout seul des activités adaptées à

leurs élèves. Nous pouvons donc dire que l’approche que nous proposons n’aura pas d’impact

majeur sur le curriculum. Au contraire, elle offre une vue transversale des mathématiques en

favorisant la mobilisation de plusieurs registres (géométrique, numérique, analytique,

transformationnel…)

Les compétences des élèves dans le maniement des matériels classiques de géométrie

sont développées car les répétitions et les automatismes – sur le traçage de droites

perpendiculaires, droites parallèles, segment et médiatrices…– engendrées permettront aux

élèves de faire face à des situations complexes qu’ils auront devant eux.

Cependant, pour développer l’esprit de recherche et d’abstraction, une évolution des

concepts sur les coniques s’avère nécessaire – comme section de solide, lieux de points,

courbes planes – et pour ce faire, nous proposons des activités à faire tout au long du cycle

collège et cycle lycée selon les prérequis nécessaires à leur traitement.

Et en ce qui concerne l’intégration des TIC dans l’enseignement-apprentissage, les

activités que nous proposons, et que l’on a refaites avec le logiciel de géométrie dynamique

Geogebra, ont montré qu’un intérêt de l’usage de l’ordinateur est perçu par les élèves et

l’enseignant. Exercer des métiers à tendances scientifiques sont mêmes les projets des élèves

en sortant de la manipulation du logiciel.

Certaines conditions sont quand même nécessaires si nous voulons vraiment assurer la

pérennité et le plein succès de cet enseignement-apprentissage des coniques dès la 6eme. Une

de ces conditions est la formation initiale et continue des enseignants sur l’enseignement-

apprentissage en général et sur la géométrie synthétique en particulier. En effet, de telles

formations permettent aux enseignants de :

247

Concevoir des stratégies qui tiennent compte des différents styles d’apprentissage et les

adapter pour répondre aux divers besoins de leurs élèves. Les stratégies utilisées devraient

aussi viser à insuffler à chaque élève le désir d’apprendre et l’inciter à donner son plein

rendement. Enfin, l’enseignante ou l’enseignant exerce une influence déterminante en

favorisant chez les élèves l’adoption d’une attitude positive envers les mathématiques, ce qui

contribue à les démythifier et à réduire la phobie qu’elles inspirent chez certains élèves.

(Ministère Ontario, 2005)

La deuxième condition est :

La possibilité de faire collaborer sur un pied d'égalité des professeurs de l'enseignement

secondaire, des chercheurs, etc. Cela, c'est une chose absolument essentielle, il faut

absolument la préserver.[ …]. ce travail en commun sur le terrain et dans les laboratoires de

recherche qui fait avancer la recherche pédagogique. (Cori, 2007)

Nous consolidons ainsi la raison d’être de l’IREMI, pour promouvoir le développement

de l’enseignement et assurer cette liaison entre les établissements supérieurs de recherches et

de formation en mathématique, avec les établissements du primaire à l’université (Totohasina

et Rajaonarimanana, 2016)

Un des apports de notre étude est aussi des changements dans certaines

représentations des mathématiques des élèves et des enseignants. En effet, des nouvelles

représentations surgissent comme :

- les mathématiques ne sont pas si abstraites qu’on l’a pensé,

- l’étude des coniques ne sont pas uniquement pour les terminales scientifiques,

- la géométrie ne se restreint pas à des calculs sur les coordonnées,

- l’étude de l’histoire et l’épistémologie des mathématiques aide à concevoir des

situations d’enseignement-apprentissage motivantes,

- le rôle de l’enseignant est plus qu’un guide ou facilitateur, il est un partenaire de

l’élève dans le processus d’apprentissage,

- la géométrie synthétique occupe une grande place dans la formation du raisonnement

mathématique.

Les deux grandes recherches sur l’enseignement-apprentissages des coniques ont été

menées par Jana Trgalova et Vincenzo Bongiovanni. Trgalova (1995) s’est posée la question

sur la façon d’enseigner les coniques, surtout la signification géométrique de l’excentricité.

Une de ses propositions est d’utiliser le logiciel cabri géomètre pour contourner le problème.

Sa recherche est donc plus axée sur le Pôle Savoir. Bongiovanni (2001) fait l’hypothèse que

248

moyennant les coniques, on peut améliorer, développer et activer les connaissances

géométriques des enseignants. Il est plus orienté vers le Pôle enseignant.

Notre étude a apporté sa contribution dans le développement des compétences élèves.

Elle a été axée vers le Pôle élève ou apprenant par la conception d’activités et par la

proposition d’une démarche pour introduire les coniques, les rendre familières chez les élèves

- et donc chez les enseignants - puis de soumettre des activités ou situations problèmes faisant

intervenir des coniques ou s’inspirant de l’histoire des coniques.

Ces trois pôles (Savoir– Apprenant– Enseignant) sont en étroite relation si nous voulons

réussir l’acte d’enseignement-apprentissage, privilégier l’un ou l’autre pôle serait ne pas tenir

compte des recherches faites en science de l’éducation et en didactique. Il serait plus

judicieux, d’après la théorie du socio constructivisme d’associer même le quatrième pôle

qu’est le groupe. En effet, le groupe agit sur chacun des trois pôles afin de faciliter l’acte

d’enseignement-apprentissage et de développer la Zone proximale de développement de

chaque apprenant (Vygotsky).

Certains pensent que l’on doit considérer les TIC comme un pôle, mais nous pensons que

les TIC sont des artefacts nécessaires pour chacun des pôles. D’ailleurs des recherches sur

l’impact des TIC sur l’enseignement-apprentissage montrent qu’il n’y a pas de différences

significatives entre les apprentissages effectuées avec TIC et sans les TIC, si l’on ne tient en

compte que les acquisitions des savoirs.

De par l’enseignement-apprentissage des coniques, nous pouvons entrevoir deux axes de

recherches : l’un qui s’oriente vers l’étude des quadriques et l’autre vers la faisabilité et

l’introduction des géométries non euclidiennes dans l’enseignement au niveau lycée. Si

l’étude des quadriques nous paraît plus comme une continuité directe de notre travail, la

seconde nous fait poser des questions telles que : N’y aurait-il pas de surcharge cognitive et

de travail pour les enseignants ? Sont-ils prêts pour ce grand saut ? Autant de questions qui

méritent, à notre avis, d’être étudiées d’une manière systémique si nous voulons que

l’enseignement des géométries prenne de nouvel élan pour s’envoler vers une amélioration de

l’enseignement-apprentissage des mathématiques.

249

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256

Annexes Annexe 1: Fonctions d'un curriculum

L’élaboration des programmes d’études se situe au niveau du curriculum officiel. La

fonction d’un programme d’études est d’identifier, de nommer et d’organiser les ressources

qui sont utiles au développement des compétences par les adultes, afin d’éclairer les

approches didactiques et pédagogiques en enseignement. (Jonnaert,2005)

Le curriculum n’est pas le programme d’étude qui, selon Legendre (1993) est « un

ensemble structuré d’objectifs, d’éléments d’apprentissage ou d’activités constituant un

enseignement. ».(LEGENDRE, 1993, p. 289)

Les notions de programme d’études et de curriculum de formation se distinguent dans

une relation de partie à un tout. Le curriculum est beaucoup plus vaste que le programme

d’études. En effet, il intègre l’ensemble des informations utiles à sa mise en œuvre par les

enseignants, incluant les programmes d’études. Comme on peut l’observer dans la liste

suivante, l’élaboration des programmes d’études ne remplit qu’une des principales fonctions

du curriculum :

a. L’adoption des orientations générales du curriculum : l’approche par compétences et le

paradigme socioconstructiviste;

b. La détermination des finalités et des buts de tout le programme de formation;

c. L’étude des situations de vie de la population scolaire adulte;

d. L’élaboration d’un référentiel de compétences;

e. L’identification et l’élaboration des programmes d’études;

f. L’organisation de l’apprentissage;

g. L’organisation de l’enseignement et des services éducatifs;

h. L’évaluation des apprentissages et la sanction des études;

i. La reconnaissance des acquis.

257

Annexe 2: Extrait de la loi n° 2004-004; portant Orientation

générale du système d'Education, d'Enseignement et de Formation à

Madagascar Section 1 :

Article 4 - L'éducation, l'enseignement et la formation malagasy doivent préparer

l'individu à une vie active intégrée dans le développement social, économique et culturel du

pays.

Pour la réalisation de cet objectif, ils doivent notamment :

- promouvoir et libérer l'initiative individuelle et des communautés de base ;

- favoriser la créativité ;

- cultiver le goût de l'effort ;

- développer l'esprit d'entreprise et de compétition, le souci de l'efficacité, le sens de la

communication, la recherche de l'excellence dans le résultat et ;

- parvenir à produire des citoyens suffisamment instruits et aptes à assurer l'exploitation

rationnelle des richesses naturelles potentielles, afin de hisser notre pays au rang des nations

les plus développées, tout en conservant sa sagesse légendaire.

Section 5

Des fonctions de l'école et des établissements d'enseignement, de formation

Article 13 - L'école, les établissements d'enseignement et de formation assurent des

fonctions d'éducation, de formation et de qualifications.

Article 14 - L'école, les établissements d'enseignement et de formation doivent, en

collaboration et avec la complémentarité des familles et de la société, veiller à inculquer aux

enfants, aux adolescents et aux jeunes les sens de la responsabilité et de l'initiative, ainsi que

le respect des bonnes mœurs et des règles de bonne conduite.

En outre, ils sont appelés à :

- développer en eux le sens civique et les valeurs de la citoyenneté ;

- développer la personnalité de l'individu, dans toutes ses dimensions : physique,

affective, psychique, mentale et morale, en garantissant le droit à la construction de sa

personne de manière à aiguiser son esprit critique et sa volonté.

Article 15 - L'école et les établissements d'enseignement et de formation, veillent, dans le

cadre de leur fonction d'instruction, à garantir à tous les apprenants, un enseignement et une

258

éducation de qualité qui leur permettent d'acquérir une culture générale et des savoirs

théoriques et pratiques, de développer leurs dons et leurs aptitudes à apprendre par eux-

mêmes et de s'insérer ainsi dans la société du savoir et du savoir-faire.

L'école et les établissements d'enseignement et de formation sont appelés essentiellement

à donner aux apprenants les moyens :

- de maîtriser la langue malagasy, de par son statut de langue maternelle et nationale ;

- de maîtriser deux langues étrangères au moins.

Ils doivent par ailleurs s'attacher :

- à développer les différentes formes d'intelligence sensible, pratique et abstraite

- à développer les capacités de communication des élèves et l'usage des différentes

formes d'expression : langagière, artistique, symbolique et corporelle

- à leur assurer la maîtrise des technologies de l'information et de la communication et à

les doter de la capacité d'en faire usage dans tous les domaines ;

- à les préparer à faire face à l'avenir de façon à être en mesure de s'adapter aux

changements et d'y contribuer positivement avec détermination.

Article 16 - L'école et les établissements d'enseignement et de formation veillent, dans le

cadre de leur fonction de qualification, à développer des compétences et des savoir-faire chez

les apprenants, en rapport avec leur âge et selon le cycle d'études.

Les établissements de formation professionnelle et de l'enseignement supérieur ont la

charge de consolider ces compétences.

A cette fin, l'école et les établissements de formation et d'enseignement supérieur, sont

appelés à faire acquérir aux apprenants l'aptitude à utiliser le savoir et le savoir-faire acquis

pour la recherche de solutions alternatives dans la résolution des problèmes auxquels ils

peuvent être confrontés à :

- s'adapter aux changements ;

- prendre des initiatives et à innover ;

- travailler en groupe ;

- apprendre tout au long de leur vie.

Section 6

Droits et obligations de l'élève / apprenant

Article 17 - L'élève/apprenant est au centre de l'action éducative et des activités de

formation.

259

Article 18 - L'élève/apprenant a droit à une information diversifiée et complète sur tout

ce qui a trait à l'orientation scolaire et universitaire afin qu'il puisse choisir en connaissance de

cause et avec conviction son parcours scolaire et professionnel.

Article 19 - Le personnel de l'éducation et de la formation doit, en s'acquittant de leurs

devoirs professionnels, se conformer aux principes d'équité et d'égalité des chances et établir

avec les élèves des rapports fondés sur l'honnêteté, l'objectivité et le respect de la personne de

l'enfant et du jeune, et de leurs droits.

Article 20 - Il est du devoir de l'élève/ apprenant de respecter l'enseignant/formateur et

tous les membres de la communauté éducative et de s'astreindre aux exigences imposées par

le respect dû à l'établissement d'éducation et de formation.

Article 21 - L'organisation de la vie scolaire, de formation et estudiantine est fixée par

voie réglementaire.

Le régime disciplinaire des établissements d'enseignement et de formation est fixé par

arrêté des Ministres chargés de l'éducation, de l'enseignement et de la formation.

TITRE IV

LE PERSONNEL DU SYSTEME D'EDUCATION, D'ENSEIGNEMENT ET DE

FORMATION

Article 63 - Le personnel éducatif est constitué des enseignants, des formateurs, des

inspecteurs, des planificateurs, du personnel d'encadrement, des conseillers en information et

en orientation scolaire et universitaire, des conseillers en éducation et en formation, des

surveillants et des agents administratifs et techniques.

Article 64 - Tous les membres du personnel éducatif, sont astreints, tout au long de leur

carrière, à la formation continue qui est une nécessité dictée par les mutations qui affectent le

savoir et la société et par l'évolution des métiers.

La formation des formateurs et la formation continue sont organisées au profit des

membres du personnel éducatif selon les exigences dictées par l'évolution des méthodes et

moyens d'enseignement et de son contenu, l'intérêt des élèves et de l'école, et les besoins liés à

la promotion professionnelle.

Article 65 - Les membres de la communauté éducative assument, dans la coopération et

complémentarité avec les parents, les tâches qui leur sont dévolues, dans le cadre des missions

essentielles de l'école et des établissements d'enseignement.

TITRE V DE L'EVALUATION, DES RECHERCHES ET DU CONTROLE

260

Article 66 - Dans le cadre du développement rapide et durable de l'éducation et de la

formation, et dans l'unique souci de l'intérêt général, les instances d'évaluation et de contrôle,

de conseil et de planification sont au regard de la Nation, parmi les garantes de l'efficacité et

de la rentabilité du système d'éducation et de formation, ainsi que de sa fidélité aux principes

fondamentaux définis par la présente loi. Toutes les composantes du système éducatif font

l'objet d'une évaluation périodique et régulière.

Les différentes évaluations ont pour but de mesurer objectivement le rendement du

système scolaire, celui des établissements qui en relèvent et des personnels qui y exercent,

ainsi que les acquis des élèves, de manière à pouvoir introduire les correctifs et les

aménagements nécessaires pour la réalisation des objectifs fixés.

Article 67 - La recherche pédagogique constitue un puissant facteur d'amélioration de la

qualité de l'apprentissage, du rendement de l'école et de sa mise à niveau en vue de répondre

aux normes internationales dans le domaine de l'éducation.

Article 68 - La recherche en éducation couvre le domaine de la pédagogie, les méthodes

d'enseignement, les programmes, les moyens didactiques, les pratiques des enseignants, la vie

scolaire, l'évaluation, ainsi que les études comparées dans l'éducation et l'enseignement.

Article 69 - La recherche en éducation est organisée au sein d'institutions spécialisées et

en collaboration avec les centres de recherche et les institutions universitaires.

261

Annexe 3: Objectifs de l’enseignement du calcul en 7 eme

(CM2 : Fin cycle primaire)

262

Annexe 4: Objectifs du calcul en 7 ème et Instructions

générales

263

Annexe 5: Extrait 1 du programme de calcul (géométrie) en

CM 2

Evaluation

figures planes courantes.

264


CM2

265


CM2

266

Annexe 8: Extrait de l’Arrêté 10.869/2015/MEN portant

organisation transitoire de la méthode pédagogique par le Ministère de

l’Education nationale

267

Annexe 9: Introduction générale pour le programme du

collège

268

Annexe 10: Finalités et objectifs généraux de l’enseignement

au collège

Finalités générales de l’enseignement

L’enseignement dispensé dans les Collèges et Lycées malgaches doit avant tout viser la

formation d’un type d’individu autonome et responsable, imbu des valeurs culturelles et

spirituelles de son pays, notamment le « Fihavanana garant de l’unité nationale » (Préambule

de la Constitution), autant que des valeurs démocratiques. L’identification de soi, autre axe de

l’éducation, doit déboucher sur l’épanouissement physique, intellectuel et moral. Formé à la

liberté de choix, le futur citoyen sera amené à participer à la vie culturelle de la communauté,

au progrès scientifique et aux bienfaits qui en résultent, promouvoir et protéger le patrimoine

culturel national, accéder à la production artistique et littéraire et être apte à contribuer au

développement économique et social de Madagascar.

Objectifs généraux de l’enseignement

· Développer chez l’élève un esprit de rigueur et d’objectivité de manière à le rendre apte

à s’ouvrir et à agir sur le monde concret, complexe et diversifié.

· Assurer l’acquisition des connaissances sur lesquelles s’appuiera en permanence le

développement progressif des aptitudes et des capacités intellectuelles.

· Permettre à l’élève d’appréhender le caractère universel des connaissances scientifiques

et littéraires en partant des réalités malgaches.

· Favoriser la créativité et l’esprit d’initiative de l’élève afin de lui permettre de

s’épanouir et de participer au développement du pays.

· Développer chez l’élève l’esprit d’analyse et l’esprit critique afin de le rendre apte à

raisonner, refusant l’esprit de système et le dogmatisme, à avoir le souci de la nuance et le

sens du cas particulier.

· Développer la personnalité et la capacité d’expression et de communication.

· Donner à l’élève les moyens intellectuels et moraux d’agir sur son environnement afin

de promouvoir et de protéger celui-ci.

269

Annexe 11: Profil de sortie du collège A la sortie du Collège, l’élève doit être capable de (d’) :

utiliser divers moyens ou méthodes d’observation et d’interprétation des phénomènes

naturels et physiques ;

mener un raisonnement logique ;

comprendre l’évolution des phénomènes sociaux, politiques, et les rouages

fondamentaux de l’économie ;

comprendre et apprécier la culture malgache et ses valeurs ;

utiliser correctement le malgache dans les différentes situations de la vie quotidienne

;

communiquer en français et utiliser correctement cette langue dans les différentes

situations d’enseignement-apprentissage ;

communiquer en anglais oralement et par écrit ;

se comporter en citoyen responsable connaissant ses devoirs et ses droits

fondamentaux ;

faire preuve d’esprit critique et de tolérance ;

faire preuve de créativité et utiliser d’une manière efficace les connaissances

acquises selon le milieu dans lequel il évolue ;

situer sa région dans le contexte national en termes de réalités ; socio-économiques et

culturelles, et appréhender les réalités internationales ;

créer et gérer de petites entreprises.

270

Annexe 12: Objectifs de la matière et objectifs de l’enseignement des

mathématiques dans les collèges

Objectifs de la matière

Les Mathématiques doivent amener l’élève à :

· développer des habilités intellectuelles et psychomotrices ;

· acquérir les concepts fondamentaux dans les domaines de la numération, de la

géométrie et de la mesure ;

· maîtriser les stratégies et les automatismes de calcul ;

· acquérir une bonne méthodologie dans la recherche des solutions à des exercices ou

problèmes ;

· conjecturer, s’efforcer de prouver et contrôler des résultats obtenus ;

· développer les qualités d’expression écrite et orale (clarté de raisonnement, soin apporté

à la présentation et la rédaction) ;

· acquérir une formation scientifique lui permettant de poursuivre des études et/ou de

s’intégrer dans la vie active et professionnelle.

Objectifs de l’enseignement des Mathématiques dans les Collèges

A la sortie du Collège, l’élève doit être capable de (d’) :

· mettre en équation des problèmes simples de la vie courante ;

· résoudre problèmes qui font intervenir des équations ou des inéquations du premier

degré à une ou deux inconnues réelles ;

· utiliser des propriétés et des règles de priorité des opérations pour effectuer des calculs

et pour comparer des nombres réels ;

· présenter des données statistiques sous forme de tableaux et sous forme de graphique, et

en calculer la moyenne ;

· construire toutes les figures géométriques de base ;

· utiliser des propriétés de configurations géométriques de base et celles des


justifier des propriétés de figures simples ;

271

Annexe 13: Objectifs des mathématiques en 6 eme et

instructions sur les droites Objectifs des Mathématiques en classe de 6ème

A la fin de la classe de 6ème, l’élève doit être capable de (d’) :

· connaître et utiliser les quelques notions Mathématiques de base ;

· se familiariser avec le vocabulaire, le langage et les notations usuels ;

· raisonner de façon déductive sur des exercices simples par utilisation de définitions

et/ou de propriétés ;

· avoir plus d’autonomie face à une situation de calcul ;

· utiliser des matériels de géométrie à des problèmes simples de construction ou de

mesure.

Instructions

· La droite ne sera pas à définir explicitement ; il en est de même pour la notion, de point

et celle de droites perpendiculaires, l’élève ayant déjà une image mentale de ces notions.

· La notion de droites perpendiculaires sera présentée avant celle de droites parallèles ;

deux droites parallèles étant définies comme étant deux droites perpendiculaires à une même

troisième.

· On fera exécuter des constructions simples et variées à main levée pour amener l’élève à

une bonne maîtrise des notions abordées et une meilleure perception des configurations

planes.

272

Annexe 14: Extrait du programme de 6eme à propos des

droites

273

Annexe 15: Extrait du programme de 6eme sur les demi-

droites et segments

274

Annexe 16: Extrait du programme de 6 eme sur le cercle

Instructions

Le cercle étant déjà connu de l’élève à l’Ecole Primaire, il ne sera plus nécessaire

d’en donner une définition explicite.

C (A, r)désigne l’ensemble des points M situés à la distance r du point A.

On donnera les différentes significations du rayon et du diamètre d’un cercle.

On trouvera ici une occasion de rencontrer et manipuler des expressions littérales

dans des calculs d’aires et de périmètres (formules). Il s’agira de savoir remplacer dans une

formule des lettres par des nombres donnés et d’effectuer ensuite les calculs.

275

Annexe 17: Objectifs des Mathématiques en classe de 5ème Le programme de Mathématiques en classe de 5ème doit surtout viser à consolider les

connaissances acquises en classe de 6ème et qui sont complétées et enrichies par des apports

nouveaux de telle sorte qu’à la fin de la classe de 5ème, l’élève doit être capable de (d’) :

- Les notions mathématiques de base ;

- Le vocabulaire, le langage et les notations usuels,

- Les calculs numériques

- Les configurations géométriques de base et l’utilisation des matériels de géométrie

résolution leur donne de sens :

- Améliorer la performance en raisonnement déductif par l (utilisation de définitions et/

ou de nouvelles propriétés ;

- Maîtriser les techniques de calcul sur les nombres décimaux relatif set sur les fractions ;

- Améliorer les techniques et méthodes de construction géométrique

276

Annexe 18: Extrait programme Géométrie 5eme : Médiatrice

277

Annexe 19: Objectifs des mathématiques en 4eme

278

Annexe 20: Extrait programme des mathématiques en 4 eme :

Distance et instructions

279

Annexe 21: Objectifs des mathématiques en 3eme

280

Annexe 22: Extrait programme de géométrie en 3 eme :

Thalès

281

Annexe 23: Extrait programme 3eme : Configuration de

l'espace

282

Annexe 24: Profil de sortie du lycée A la sortie du lycée, l’élève doit être capable d(e):

• expliquer et d’interpréter scientifiquement les phénomènes naturels et physico-

chimiques;

• mener une réflexion poussée;

• expliquer les mécanismes des grands phénomènes sociaux et politiques ainsi que les

rouages fondamentaux de l’économie;

• comprendre et d’apprécier la culture malgache et celle des autres nations;

• émettre et de défendre ses opinions oralement comme a l’écrit, en malgache, en français

et en anglais;

• respecter les principes fondamentaux de la démocratie et les droits, universellement

reconnus de la personne;

• s’affirmer comme responsable au sein de la communauté, ayant acquis une maturité sur

le plan du raisonnement;

• agir avec autonomie;

• faire preuve de créativité et d’utiliser d’une manière rationnelle les connaissances

acquises selon le milieu dans lequel il évolue;

• situer la place de Madagascar dans le concert des nations sur les plans économique,

politique, culturel...;

• participer effectivement et efficacement a la résolution des problèmes quotidiens de la

communauté et de son environnement pour un développement durable;

• créer et de gérer des unités de production de taille modeste;

• diriger des associations locales et des œuvres sociales.

283

Annexe 25: Instructions générales en maths et évaluation en

2nde

284

Annexe 26: Objectifs des maths et son enseignement au lycée

; objectifs enseignement maths en 2nde.

285

Annexe 27: Programme d’études en 2nde pour les

configurations planes

286

Annexe 28: Programme d’études en 2nde pour les vecteurs

287

Annexe 29: Programme d’études en 2nde pour la géométrie

métrique plane

288

Annexe 30: Programme d’études en 2nde pour les

transformations du plan

289

Annexe 31: Objectifs des maths en première C et première D

290

Annexe 32: Objectifs des maths en TC et TD

291

Annexe 33: Programme coniques en TC

292

Annexe 34: Taxonomie de Bloom et les verbes d’action que

l’on peut utiliser

293

Annexe 35: Compétences essentielles en mathématiques,

selon le groupe d’experts pour la réussite des élèves Dans la pratique, l’élève :

Utilise avec efficacité la mesure, les propriétés des nombres et des objets géométriques,

c’est-à-dire qu’il ou elle :

• choisit et utilise les opérations mathématiques de base telles que l’addition, la

soustraction, la multiplication et la division de nombres entiers, décimaux ou rationnels;

• connaît les procédures mathématiques;

• fait des estimations en utilisant le calcul mental et en tenant compte du degré de

précision approprié;

• estime et calcule des mesures de longueur, de masse, d’aire, de volume et de temps;

• vérifie la vraisemblance d’une réponse;

• comprend et utilise les pourcentages;

• saisit le sens des rapports et des proportions et les utilise;

• développe ses habiletés relatives à l’orientation spatiale;

• utilise les propriétés des objets géométriques.

Lit et interprète l’information, c’est-à-dire qu’il ou elle :

• comprend l’énoncé d’un problème;

• recueille et organise des données;

• lit, comprend et interprète des données présentées sous diverses formes (p. ex., dans des

diagrammes, des organigrammes, des tableaux, des graphiques);

• lit, appréhende et interprète des énoncés de probabilité présentés sous forme de

pourcentages, de fractions ou de nombres décimaux;

• lit et interprète une carte ou un plan;

• établit les liens entre des situations mathématiques et la vie concrète.

Résout des problèmes et développe sa pensée analytique et critique, c’est-à-dire qu’il ou

elle :

• connaît et utilise diverses stratégies pour résoudre des problèmes;

• fait des connexions en appliquant ses connaissances et ses habiletés pour résoudre un

problème;

294

• établit des inférences statistiques, logiques ou scientifiques à partir de l’énoncé d’un

problème;

• élabore ses propres solutions ou arguments mathématiques de façon claire et logique;

• utilise d’emblée les mathématiques pour justifier son raisonnement, sa prise de

décisions et son argumentation;

• analyse de façon critique des arguments apparemment fondés sur des données

statistiques en vérifiant la source des données et en évaluant les conclusions proposées;

• décèle des erreurs de raisonnement dans une solution ou un argument.

Communique ses idées mathématiques, c’est-à-dire qu’il ou elle :

• utilise verbalement ou par écrit ses compétences linguistiques pour exprimer sa

compréhension de concepts mathématiques;

• utilise ses connaissances et ses compétences en mathématiques pour exprimer ou

échanger des idées ou de l’information;

• s’exprime avec clarté, aisance et assurance en utilisant le vocabulaire, les unités de

mesure et les symboles appropriés, tout en respectant les règles syntaxiques propres aux

mathématiques et à la langue;

• est à l’écoute et comprend les arguments mathématiques de ses camarades de classe et

de l’enseignante ou de l’enseignant;

• soumet ses hypothèses sous forme verbale, écrite ou graphique;

• présente la solution à un problème mathématique de façon structurée et utilise des

arguments mathématiques pour en justifier la validité.

295

Annexe 36: Questionnaire pour élève

296

Annexe 37: Questionnaire pour enseignant

Questionnaire pour Enseignant

Ce questionnaire est anonyme, répondez sincèrement.

1) Avez-vous aimé les activités sur les coniques ?

Beaucoup Un peu Pas trop Pas du tout pas d’avis

2) Comment trouvez-vous :

a) Les contenus ?

b) L’approche ?

3) Envisagez-vous de les pratiquer ?

Qu’est-ce que l’expérimentation vous a apporté ?

a) Sur le plan pédagogique ?

b) Sur le plan académique ?

4) Quel est votre défi ou vos projets ?

Merci beaucoup

297

Annexe 38: Evaluation traçage droites

NOM et PRENOMS :……………………………………………………

CLASSE :……………………………… NUMERO :……………………….

1°) Tracer la droite perpendiculaire à (AB) et qui passe par le point C ; puis la hauteur

issue de A du triangle ABC.

2°) Tracer la droite parallèle à(BC) et qui passe par le point A ; puis la parallèle à (AB) et

qui passe par le point C.

298

Annexe 39: Evaluation pour reconnaitre les formes coniques

Pour chacune des figures ou objets suivants, donner le nom :

1ere série :

2 eme série :

Dans le tableau suivant reconnaitre les figures géométriques et leur nombre

Résumé

Contribution de l’étude des coniques pour l’amélioration de l’enseignement-

apprentissage des mathématiques à Madagascar

Mots-clés : Coniques, enseignement-apprentissage, géométrie, geogebra, activités, formation.

La notion des coniques est apparue trois siècles avant notre ère mais les diverses applications

qu’elle a engendrées dans la vie humaine sont multiples et dans des domaines variés comme les

recherches, l’architectures, l’astronomie, la technologie, etc…

À Madagascar, la diminution des élèves qui optent pour les filières scientifiques est inquiétante.

Nous pensons que la qualité du système éducatif en général et de l’enseignement des mathématiques

en particulier laisse à désirer. Dans notre système éducatif, l’enseignement-apprentissage des coniques

se fait en terminale scientifique et prétendre l’introduire dès le début du collège paraît illusoire, surtout

quand l’enseignement-apprentissage de la géométrie est encore à dominante analytique.

Les recherches que nous avons entreprises ont permis d’avancer que cette introduction est

faisable à Madagascar sans pour autant apporter des changements majeurs dans le curriculum de

mathématique ni dans l’approche pédagogique et didactique des enseignants. À travers des activités

qui font appel à des manipulations et des constructions simples à réaliser pour des élèves du début du

collège, nous ferons découvrir les courbes coniques et faire évoluer les notions tout au long du cursus

scolaire de l’élève.

Les bénéfices de l’enseignement-apprentissage des coniques ne restent pas uniquement pour les

élèves, les enseignants aussi, par l’approche explicite et structurée que nous avons adoptée au travers

les différentes activités, prendront conscience de leur nouveau rôle en tant que partenaire de

l’apprenant mais pas uniquement un guide ou un facilitateur.

Du côté des Technologies de l’information et de la communication, l’initiation de la manipulation

du logiciel geogebra peut se faire sans problèmes avec les activités que nous avons proposées et grâce

aux multitudes de registres possibles que la notion de conique offre (numérique, métrique,

géométrique, transformation,…) cette initiation évoluera en une familiarisation et recherche pour aider

l’individu à être un citoyen responsable, acteur du développement et porteur d’innovation.

Nombre de tableaux : 15

Nombre de figures : 136

Nombre de pages : 298

Coordonnées : [email protected]; Tél : +261 34 41 594 98 / +261 32 50 159 21

Encadreur : Pr André TOTOHASINA. Pr Dominique TOURNÈS


Abstract

Contribution of the conic study for the improvement of mathematic learning-teaching

in Madagascar

Key words : Conics, teaching - learning, geometry, geogebra, activities, formation.

The notion of conics appeared three centuries before our era, but diverse applications which it

has engendered in human life and various domain as the researches, the architecture, the astronomy,

the technology, etc ...are multiple.

In Madagascar, the decrease of the numbers of pupils who choose the scientific field is

upsetting. We think that the quality of the educative system in general and mathematic teaching

particularly leaves to be desired. In our system, the conic teaching-learning is effected in scientific

grade 12 and pretending to insert it in grade six seems illusory, especially when the geometry is still in

a dominant analytic.

The researches we undertook, allowed us to advance that the introduction of it can be done

without bringing more major changes, neither in the mathematic curriculum nor the pedagogical and

didactic approach of the teachers. And from the activities which call manipulations and simple

constructions to realize since college, we make the conic curves discovered and the notion developped,

all along the pupil’s school cursus.

With the conic teaching-learning, both pupils and teachers get benefits. And from the explicit and

structured approach we adopted in different activities, these latters will be aware of their new role as to

be the learner’s partner but not only a guide or a facilitator.

On the side of information and communication technologies, the initiation into the geogebra

software manipulation can be done without problems with the activities we proposed and it will

involve in familiarization and research in order to help the individual to be a responsible citizen, an

actor of development and a bearer of inovation thanks to the multitude of possible registers which the

notion of conic offers (numeric, metric, geometric, transformation, ...).

Numbers of columns : 15

Numbers of figures : 136

Numbers of pages : 298

Address and phone numbers : [email protected]; +261 34 41 594 98 / +261 32 50 159 21

Framer : Pr André TOTOHASINA. Pr Dominique TOURNÈS


RAJAONARIMANANA Herinaina Elysé

Coordonnées : [email protected]; Tél : +261 34 41 594 98 / +261 32 50 159 21

Titre : Contribution de l’étude des coniques pour l’amélioration de l’enseignement-

apprentissage des mathématiques à Madagascar

Résumé :

Les recherches que nous avons entreprises ont permis d’avancer que l’introduction des coniques

est faisable dès la sixième à Madagascar sans pour autant apporter des changements majeurs dans le

curriculum de mathématique ni dans l’approche pédagogique et didactique des enseignants. À travers

des activités qui font appel à des manipulations et des constructions simples à réaliser pour des élèves

du début du collège, nous ferons découvrir les courbes coniques et faire évoluer les notions tout au

long du cursus scolaire de l’élève.

Du côté des Technologies de l’information et de la communication, l’initiation de la manipulation

du logiciel geogebra peut se faire sans problèmes avec les activités que nous avons proposées et grâce

aux multitudes de registres possibles que la notion de conique offre (numérique, métrique,

géométrique, transformation,…) cette initiation évoluera en une familiarisation et recherche pour aider

l’individu à être un citoyen responsable, acteur du développement et porteur d’innovation.

Mots clés : Coniques, enseignement-apprentissage, géométrie, geogebra, activités, formation

Title : Contribution of the conic study for the improvement of mathematic learning-

teaching in Madagascar

Abstract :

The researches we undertook, allowed us to advance that the introduction of conics can be done

from grade six in Madagascar without bringing more major changes, neither in the mathematic

curriculum nor the pedagogical and didactic approach of the teachers. And from the activities which

call manipulations and simple constructions to realize since college, we make the conic curves

discovered and the notion developped, all along the pupil’s school cursus.

On the side of information and communication technologies, the initiation into the geogebra

software manipulation can be done without problems with the activities we proposed and it will

involve in familiarization and research in order to help the individual to be a responsible citizen, an

actor of development and a bearer of inovation thanks to the multitude of possible registers which the

notion of conic offers (numeric, metric, geometric, transformation, ...).

Key words : Conics, teaching - learning, geometry, geogebra, activities, formation.

Encadreurs / Framer :

Pr André TOTOHASINA ; [email protected]

Pr Dominique TOURNÈS ; [email protected]


contribution de l’étude des coniques pour l’amélioration

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