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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Facult des Sciences Appliques

Service Gnie Civil

CONTRIBUTION A LANALYSE DU COMPORTEMENT ET AU DIMENSIONNEMENT DES COLONNES ELANCEES EN BETON ARME Olivier GERMAIN

Thse prsente en vue de lobtention du titre de Docteur en Sciences Appliques

Promoteur : Professeur Bernard ESPION

Anne acadmique 2005-2006

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soutenue le 3 mars 2006 16H00 en vue de lobtention du grade acadmique de Docteur en Sciences Appliques spcialit Gnie Civil devant le jury compos de : PRESIDENT

Professeur Jean-Claude VERBRUGGE Universit Libre de Bruxelles MEMBRES

Professeur Philippe BOUILLARD Universit Libre de Bruxelles Professeur Jean-Claude DOTREPPE Universit de Lige Professeur Ahmed LOUKILI Ecole Centrale de Nantes Professeur John VANTOMME Ecole Royale Militaire et VUB DIRECTEUR DE THESE

Professeur Bernard ESPION Universit Libre de Bruxelles

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Remerciements Ce travail a t ralis sous la direction de Monsieur le Professeur Dr Ir B. ESPION, Directeur du Service Gnie Civil de lULB. Quil me soit permis ici de lui exprimer ma profonde gratitude pour toute laide et les conseils judicieux quil ma prodigus tout au long de ce travail. Mes remerciements vont ma famille qui ma soutenu pendant ces six annes de recherches et de calculs, me permettant ainsi de terminer ma thse de doctorat. Je tiens galement remercier les ingnieurs des diffrents bureaux (BGroup, Bagon, Setesco, Seco) qui ont pris de leur temps pour me recevoir et discuter de la problmatique du calcul des colonnes. Sans oublier les techniciens du laboratoire de lULB qui par leurs connaissances et leurs matrises du matriel ont permis de raliser tous les essais souhaits de cette recherche et lquipe du CRIC qui a toujours rpondu prsente chacune de mes sollicitations. Quils en soient tous remercis. Un grand merci toutes celles et tous ceux qui dune manire ou dune autre mont aid et soutenu. O. Germain Les essais de colonnes de cette recherche nauraient pas t rendus possibles sans la mise niveau (asservissement) de la presse AMSLER de 10000 kN du Service Gnie Civil de lULB ralise (en partie) grce au Crdit aux chercheurs FNRS 9.4520.96 F du Fonds National de la Recherche Scientifique et au soutien financier et scientifique du Dpartement Recherche et Dveloppement de FEBELCEM (la Fdration Belge de lIndustrie Cimentire) qui a apport son expertise pour la conception et pris en charge les cots de fabrication du bton hautes performances des colonnes la base de cette recherche, ralis et mis en uvre par le personnel du laboratoire du CRIC (Centre de Recherches de lIndustrie Cimentire Belge) lULB. Que ces trois organismes, le FNRS, FEBELCEM, et le CRIC trouvent ici lexpression de ma profonde reconnaissance. Prof. B. Espion

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TABLE DES MATIERES Chapitre 1 - Introduction Chapitre 2 Evolution normative en Belgique concernant le calcul des colonnes en bton arm 2.1 Introduction 2.2 Avant la norme NBN 15 DE 1977 2.2.1 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1923

(A.B.S., 1923) 2.2.2 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1929

(A.B.S., 1929) 2.2.3 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1934

(A.B.S., 1934) 2.2.4 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1944

(I.B.N., 1944) 2.2.5 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1955

(I.B.N., 1955) 2.2.6 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1963 & 1969

(I.B.N., 1963) 2.3 La norme NBN 15 de 1977 (N.B.N. B15, 1977) 2.3.1 Mthodes aux contraintes admissibles 2.3.2 Etat limite de flambement 2.3.3 Considrations technologiques 2.4 Eurocode 2, ENV 1992-1-1:1991 (ENV 1992-1-1, 1991) 2.4.1 La structure du btiment dans son ensemble 2.4.2 Elancement limite sparant premier et second ordre 2.4.3 Les excentricits 2.4.4 Le calcul dinstabilits 2.4.5 Considrations technologiques 2.5 prEN 1992-1-1 (prEN 1992-1-1, 2003) 2.5.1 Elancement limite sparant premier et second ordre 2.5.2 Calcul au second ordre 2.5.2.1 Mthodes dites gnrales 2.5.2.2 Mthodes dites simplifies 2.5.3 Considrations technologiques 2.5.4 Considrations pour bton non arm 2.6 Conclusions

1

5 5 5 7 8 10 11 12 12 12 13 16 17 18 18 19 21 22 24 24 24 25 25 28 29 30

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Chapitre 3 Modles de lois de comportements 3.1 Introduction 3.2 Lois simulant le matriau acier 3.3 Lois simulant le matriau bton en compression 3.3.1. Introduction 3.3.2. Pseudo lois de comportement pour la vrification des sections

transversales 3.3.2.1 Loi de comportement Parabole - Rectangle Eurocode 2,

(ENV1992-1-1:1991) 3.3.2.2 Loi de comportement Parabole - Rectangle ,(prEN 1992-1-1) 3.3.3. Lois de comportement du bton comprim non frett pour lanalyse

structurale lois relles 3.3.3.1 Loi de comportement de Popovics 3.3.3.2 Loi de comportement du fib text book manual (fib, 1999) 3.3.3.3 Loi de comportement de la prEN (prEN 1992 1-1, 2003) 3.3.4 Comparaison des modules dlasticit des pseudo lois et des

lois relles 3.3.5 Lois de comportement du bton comprim frett pour lanalyse

structurale 3.3.5.1 Loi de comportement de Sheick et Uzumeri 3.3.5.2 Loi de comportement de Mander, Priestley et Park 3.3.5.3 Loi de comportement de Cusson et Paultre 3.3.5.4 Loi de comportement fib 3.3.5.5 Autres lois de comportements 3.4 Conclusions Chapitre 4 Modles pour la simulation numrique de colonnes lances 4.1 Introduction 4.2 Relation moment-courbure effort normal constant 4.2.1 Introduction 4.2.2 Premire tape : division de la section gomtrique 4.2.3 Deuxime tape : relation moment-courbure 4.3 Interaction : N-M 4.3.1 Introduction 4.3.2 Dtermination de la courbure dinteraction 4.3.3 Dtermination de lpaisseur des tranches 4.3.4 Influence du choix de la loi de comportement 4.3.5 Conclusions

31 32 34 34 34 34 35 36 37 38 39 40 41 41 42 45 47 47 49 51 51 51 52 53 54 54 55 56 57 60

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4.4 Mthode du 2me ordre des diffrences finies (CEB) 4.4.1 Introduction 4.4.2 Principe de la mthode 4.4.3 Principe de larrt des calculs 4.4.4 Etude de linfluence du nombre de segments 4.4.5 Une autre mthode 4.5 Mthode propose par Baant 4.5.1 Introduction 4.5.2 Description de la mthode 4.5.2.1 Prsentation de la mthode sans prise en compte du dchargement de certaines fibres 4.5.2.2 Prsentation de la mthode avec prise en charge du phnomne de dchargement 4.5.2.3 Remarque importante sur le dchargement Chapitre 5 Slender high-strength RC columns under eccentric compression 4.1 Introduction 4.2 Previous experimental data 4.3 Experimental programme 4.4 Test results 4.5 Numerical modelling 4.6 Discussion of test results 4.7 Conclusions Chapitre 6 Analyse de diffrents effets sur les rsultats des mthodes numriques 6.1 Bton frett ou non frett ? 6.1.1 Introduction 6.1.2 Approche par le pourcentage de confinement 6.1.3 Approche par la simulation numrique 6.1.4 Conclusions 6.2 Effet du bton tendu sur la capacit portante 6.2.1 Introduction 6.2.2 Simulation numrique 6.2.3 Interprtation des rsultats 6.2.4 Conclusions 6.3 Effet du dchargement des fibres sur la capacit portante 6.3.1 Introduction 6.3.2 Localisation des fibres subissant le dchargement 6.3.3 Rsultats de la simulation (Dchargement des fibres)

61 61 61 64 65 67 67 67 68 68 70 71 87 87 87 88 90 91 91 92 94 97 98 98 99 99

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6.3.4 Conclusions partielles 6.4 Comparaison des capacits portantes DF et CM 6.5 Conclusions Chapitre 7 Analyse des rsultats de ltude paramtrique 7.1 Introduction 7.2 Analyse de la capacit portante par la mthode des diffrences finies

7.2.1 Analyse de la capacit portante par rapport la rsistance de la section 7.2.1.1 Colonnes trapues 7.2.1.2 Colonnes lances

7.2.2 Analyse de la capacit portante par rapport aux capacits obtenues avec un bton de 30N/mm

7.2.2.1 Colonnes de 780 mm 7.2.2.2 Colonnes de 2780 mm 7.2.2.3 Colonnes de 4780 mm 7.3 Influence de la position des armatures dans le coffrage sur la capacit

portante 7.3.1 Introduction 7.3.2 Dformation de la cage darmatures 7.3.2.1 Capacits portantes de rfrence 7.3.2.2 Bton 30N/mm 7.3.2.3 Bton 90N/mm 7.3.3 Dplacement de la cage darmatures 7.4 Localisation du point correspondant la capacit portante dune colonne

dans le plan N-M 7.4.1 Diverses dfinitions de la courbe dinteraction 7.4.2 Localisation dans le plan N-M de la capacit portante 7.4.3 Ductilit des colonnes 7.5 Evaluation de mthodes simplifies pour dterminer la capacit portante 7.5.1 Premire mthode simplifie dite courbure 7.5.1.1 Introduction 7.5.1.2 Rsultats et analyses 7.5.1.3 Conclusions 7.5.2 Seconde mthode simplifie dite rigidit nominale 7.5.2.1 Introduction 7.5.2.2 Rsultats et analyses 7.5.2.3 Conclusions

7.5.3 Comparaison des deux mthodes simplifies avec la capacit portante DF

103 103 106 107 107107107108 110110111112 113113114114115116117 118118121127 133133133134136137137138139 139

v

7.6 Calcul au premier ou au second ordre ? 7.6.1 Introduction 7.6.2 Courbes dlancement limite figurant dans les normes 7.6.3 Autres courbes limites figurant dans la littrature 7.6.4 Majoration du moment de premier ordre de 10% 7.7 A mme capacit portante, le concepteur peut-il gagner en matire en

utilisant des rsistances de bton plus leves ? 7.7.1 Seule la rsistance du bton dans la colonne change 7.7.2 Seule la quantit dacier dans la colonne change 7.7.3 La hauteur reste constante, et on change la section et la rsistance du

bton Chapitre 8 - Conclusions Apport scientifique Bibliographie

143143144146151 154154155 156 163 169

171

vi

1

Chapitre 1 Introduction Quest ce donc une colonne ? Ren Vittone dans le livre Btir (Vittone, 1986) dfinit la colonne comme tant un : lment porteur vertical, gnralement sollicite en compression, parfois accompagne de flexion. Sa fonction est de servir dappui aux lments horizontaux tels que poutres ou dalles. Dans les btiments, elle a lavantage, par rapport aux murs porteurs de permettre une grande libert dans lamnagement des surfaces utiles. La section des colonnes est gnralement constante sur toute la hauteur, . Du fait de la rsistance leve qui caractrise lacier, les colonnes mtalliques occupent une surface plus rduite que celles en bton arm. Les colonnes en acier risquent cependant de flamber du fait de leur grand lancement. . Ce phnomne intervient aussi pour les colonnes en bton arm, mais de manire moins dterminante. Le bton couramment utilis au milieu du sicle pass dans la construction ne pouvait pas atteindre des rsistances trs leves. Ces rsistances quivalaient approximativement au septime de celle dun acier doux (limite lastique). De ce fait, comme le dit Vittone, pour un mme effort normal, la surface ncessaire de bton par rapport celle dacier est nettement plus grande. Par consquent, les colonnes en bton arm apparaissaient plus trapues. Aujourdhui, la technologie du bton ayant fortement volu, il est, sous certaines conditions, raliste de construire des lments structuraux en bton ayant la compression une rsistance de 90N/mm (classe maximum de rsistance de la prEN 1992-1-1 : 2003) voire nettement plus. En consquence, lingnieur concepteur peut tre amen diminuer les dimensions transversales des colonnes pour une question desthtique ou dencombrement. A charge gale, et en considrant uniquement la rsistance de la section gomtrique, la surface de bton ncessaire pour un 30N/mm peut tre rduite du tiers avec un bton de rsistance 90N/mm. Invitablement, cette diminution de la section transversale induit une augmentation de llancement et augmente ainsi les risques des instabilits de flambement. A ce problme de flambement, il faut adjoindre (galement) linfluence dune prconception qui veut quune structure en bton haute rsistance soit moins ductile quune structure construite avec un bton normal ! De ceci rsulte la question pose la base de ce travail :

2

Peut-on arriver diminuer la section transversale dune colonne en utilisant des

rsistances de bton plus leves tout en imposant la mme valeur de capacit portante ? La rponse cette question nest certainement pas triviale ni immdiate. A cette fin, nous avons tenu le raisonnement danalyse ci-dessous. En parcourant la littrature traitant dessais de colonnes en bton haute rsistance et grands lancements, on constate quun certain nombre dentre eux ne sont pas ralistes. Les causes sont :

le choix non raliste des dimensions gomtriques des colonnes ;

le pilotage de lessai par le contrle de la force, ce qui ne permet pas dobtenir la courbe post-critique. Les rsultats obtenus par les auteurs nen sont pas pour autant mauvais ! Ils traduisent le fait que la machine utilise ne permet pas un asservissement en dplacement contrl.

Mon DEA ralis en Facult des Sciences Applique de lULB (Germain, 2001), a t essentiel pour la rdaction de ce document. Ce travail de DEA a comport une campagne dessais, lcriture de deux programmes informatiques et lanalyse des rsultats. Lhypothse de base de ce travail et celle de la thse de doctorat sont identiques : non prise en compte du phnomne de fluage dans la problmatique. Ceci se justifiant par le fait que les essais de colonnes raliss au laboratoire ont t raliss dans un laps de temps court.

afin de partir de rsultats fiables, une campagne dessais a t ralise au Service Gnie Civil de lULB sur 12 colonnes en bton arm haute rsistance (90N/mm). Les 12 colonnes possdent une section transversale de 180x180mm et sont renforces de 412. Les hauteurs choisies sont pour 9 colonnes 3780mm et pour 3 colonnes 4238mm. Lautre paramtre variable est lexcentricit nominale de la charge. Lasservissement de la mise en charge des essais a t ralis par laccroissement de flche de la colonne. Ainsi nous avons obtenu la phase post-critique et pu observer un phnomne de snap-back dans certains essais ;

en parallle la campagne dessais, deux programmes informatiques ont t raliss

dans le DEA afin de simuler numriquement les colonnes testes. Le premier programme est bas sur la mthode dite de la colonne modle ( CM1 ) (CEB, 1977) qui postule lhypothse que la colonne se dforme de manire sinusodale sous charge. La vrification de lquilibre nest ralis que dans la section centrale et effort normal impos (Faessel et al, 1973). Le second programme quant lui correspond une mthode des diffrences finies ( DF1 ) (El-Metwally, 1994). La dforme dans ce cas est approche par un dveloppement en srie de Taylor au 3 ordre et lquilibre de la colonne est vrifi en plusieurs points de la hauteur ;

la comparaison des rsultats exprimentaux avec ceux de ces deux mthodes numriques a montr limportance de lexcentricit accidentelle.

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Les travaux publis dans ce document sarticulent en trois sections. La premire est une recherche historique relative au calcul de linstabilit au flambement dans les normes belges, la deuxime valide deux mthodes numriques diffrentes de celles utilises dans le DEA et la troisime traite des rsultats obtenus par lanalyse paramtrique dun grand nombre de colonnes.

ltude des normes belges nous a permis de constater lvolution de la prise en compte du flambement lors des calculs de conception. De 1929 1977, ce sont les travaux de Baes et Vandeperre qui priment pour le contrle des pices soumises compression. Aprs 1977, le calcul aux tats limites devient la rgle (thoriquement) et les normes imposent une vrification au second ordre par une mthode gnrale (comme lune des deux cites ci-dessus) ou par une des mthodes simplifies ;

pour raliser une comparaison des capacits portantes des colonnes obtenues par deux

autres mthodes, nous avons crit deux nouveaux codes possdant chacun la mme architecture tant du point de vue de lacquisition des donnes que du point de vue du calcul intgral. Le troisime programme ( CM2 ) est crit grce au raisonnement de Baant (Baant et Cedolin, 1991). Sa mthode de la colonne modle ne requiert plus la construction des relations Moment-courbure effort normal impos et permet dtudier les effets de dchargement de certaines fibres ainsi que ceux lis aux effets du bton tendu. Le quatrime programme ( DF2 ) est la mthode des diffrences finies propose dans le manuel du CEB en 1977 (CEB, 1977). A linverse de la mthode dEl-Metwally, celle-ci postule un dveloppement de Taylor au 2ordre uniquement. Cest grce ces deux derniers programmes que nous avons ralis la suite de nos analyses.

Celles-ci apportent une rponse aux quatre questions suivantes :

La localisation relle des armatures dans le coffrage influence-t-elle la capacit portante dune colonne ?

La prise en compte du dchargement local des fibres est-elle favorable ou non sur la capacit portante dune colonne ?

La prise en compte du bton tendu est-elle favorable ou non sur la capacit portante dune colonne ?

Quels sont les carts entre le programme des diffrences finies et celui de la colonne modle sur la capacit portante dune colonne ?

lanalyse paramtrique a port sur les problmes dinstabilits rencontrs pour

diverses colonnes. Les paramtres tudis sont la hauteur des colonnes, lexcentricit de premier ordre, la proportion dacier dans la section transversale, et la rsistance du bton.

Ltude de ces paramtres devant permettre de rpondre aux questions suivantes :

De quelle manire lexcentricit influence-t-elle la capacit portante des colonnes en se combinant avec la hauteur ?

4

Une colonne fabrique avec un bton de haute rsistance possde-t-elle encore de la ductilit ?

A ct des mthodes gnrales dveloppes ci-dessus, la norme prEN 1992-1-1 : 2003 propose des mthodes simplifies. Nous utiliserons ces mthodes afin de vrifier si elles sont des estimateurs srs et fiables pour valuer la capacit portante. Nous verrons si elles offrent la possibilit de savoir priori et de manire rapide si les calculs au premier ordre ou au second ordre sont ncessaires. Ce travail se veut le plus pragmatique possible. Nous esprons fournir lingnieur des rponses des questions auxquelles il na gnralement pas le temps de rpondre lorsquil doit aborder un problme concret de conception.

5

Chapitre 2 Evolution normative en Belgique concernant le calcul des colonnes en bton arm 2.1 Introduction La Belgique sest dote, depuis lanne 1923, dun certain nombre de normes ayant pour objet de fournir aux concepteurs de projets des impositions minimales prendre en compte pour le dimensionnement et le calcul des lments structuraux en bton arm. Depuis 1923, 9 ditions de la norme Belge se sont succdes apportant chacune leurs modifications et leurs diffrences. A la lecture de ces documents, et particulirement tout ce qui touche de prs aux colonnes en bton arm, nous constatons que la norme NBN B15-(101-102-103-104) publie en 1977 constitue une charnire dans le mode de calcul. La norme passe, ce moment, du calcul aux contraintes admissibles celui aux tats-limites (ultimes ou de service). Nous nous proposons de retracer ci-dessous lvolution et les changements significatifs du mode de calcul des colonnes et ce, dans le sens le plus classique, en commenant par parler de la dtermination de la rsistance du bton (lment indispensable), de la quantit darmature minimale impose dans la colonne pour en arriver au principe de vrification linstabilit. 2.2 Avant la norme NBN 15 de 1977 2.2.1 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1923 (A.B.S., 1923) Si lon voulait rsumer ce qui se trouve dans ces instructions, nous pourrions le prsenter comme succinct et minimaliste . Voyons cela en dtail. Un minimum dinformations est ncessaire afin deffectuer un calcul de colonne. A lpoque, la tension de compression que lon prenait en compte, correspondait 28% de la rsistance la compression sur cube de 200mm darrte offerte par le bton la mise en service. Ceci, bien entendu, pour les btons dont la composition ne correspondait pas lune de celles prsentes dans les Instructions . Pour les compositions de bton proposes explicitement dans la norme, il suffisait simplement de prendre les valeurs indiques dans le

6

texte. Ces valeurs sont comprises dans une fourchette allant de 4 6 N/mm. Ces limites sont galement dapplication mme pour le bton frett. Il est noter que pour le bton frett, il est autoris de prendre une valeur de tension plus leve sans pour autant dpasser la limite fixe 6 N/mm. En revanche, aucune indication ne figure concernant une quelconque quantit dacier placer dans les colonnes mais une imposition existe pour lenrobage de larmature. Lenrobage en bton doit tre au minimum de 15 20 mm. Pour les armatures longitudinales ayant un diamtre infrieur ou gal un 10, un enrobage de 10 mm suffit. Pour ce qui est du calcul en tant que tel, le texte est assez simple et repose uniquement sur des calculs de type rsistance des matriaux. Je cite :

Art. 12. Les calculs de rsistance seront faits selon des mthodes scientifiques appuyes sur des donnes exprimentales, et non par des procds empiriques. Ils seront dduits soit des rgles usuelles de la rsistance des matriaux, soit des principes offrant au moins les

mmes garanties dexactitude. La section transversale de la colonne tant constitue de deux matriaux, larticle 13 dfinit le coefficient dquivalence entre lacier et le bton prendre en compte pour les calculs. Art.13. - Pour le calcul des pices soumises flexion, on adoptera la valeur m=15 pour le

rapport du coefficient dlasticit de lacier celui du bton. Pour le calcul des pices soumises compression simple, la valeur de m sera prise gale 12.

Nous trouvons galement larticle 15 une phrase trs courte concernant le flambement : Art. 15. On sassurera, en calculant les pices comprimes, quelles ne sont pas exposes

flamber. A cette poque, il semble, daprs lexplication, quil ny a pas encore de thorie universellement reconnue pour vrifier cela. Cette phrase est justifie par le fait que les colonnes en bton arm sont moins sujettes au flambement que les colonnes en acier. Et sil fallait encore une autre justification tire de la norme, une phrase explicitant larticle 35 nous dit :

parce que les colonnes sont des lments de constructions dont le calcul et lexcution sont relativement faciles,

En conclusion, en 1923, les colonnes en bton arm ne semblent pas considres comme des lments requrant des calculs trs particuliers.

7

2.2.2 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1929 (A.B.S., 1929) Dans la 2me dition de la norme publie six annes plus tard, quelques changements importants figurent dans le texte. En ce qui concerne les tensions de scurit admissibles pour les compositions de bton indiques, rien na chang. En revanche pour les autres compositions, au lieu de prendre 28% de la rsistance lcrasement du bton sur cube de 200 mm darrte, il est autoris den prendre 33%. De plus, il est toujours possible de considrer le frettage, comme dans la premire dition. Celui-ci augmente la rsistance du bton lintrieur de la zone dlimite par les aciers de frettage (Article 7). Du point de vue du calcul des colonnes, ici, plusieurs points sont, rajouts :

il est recommand de tenir compte des moments secondaires induits dans les colonnes, cest--dire les moments induits par les poutres qui arrivent sur la colonne ;

larticle 15 prsent ci-dessous sest vu rajouter une phrase qui dfinit partir de

quelle hauteur de colonne on prend en compte le risque de flambement :

Art. 15. On sassurera, en calculant les pices comprimes, quelles ne sont pas exposes flamber. Toutefois, cette vrification nest pas ncessaire dans le cas o le rapport entre la hauteur dtage et la plus petite dimension transversale de la colonne

ne dpasse pas 20.

Ceci est une volution importante qui semble faire une distinction du point de vue de llancement entre colonnes trapues et colonnes lances. Il est important de remarquer que cette distinction disparatra dans les ditions suivantes et ce jusquen 1977 ;

un nouvel article prsente pour la premire fois la ncessit de prvoir dans toute section transversale une section minimum dacier valant 0.8% de la surface de bton. Mais attention, si la tension de service natteint pas les tensions autorises soit par la norme, soit par les essais en laboratoire, il faut rduire la section darmature 0.8% dune section fictive de bton o celui-ci travaillerait la tension de scurit admissible. Cette procdure complmentaire a comme effet de diminuer encore plus la quantit dacier mettre dans la colonne. De plus, pour les sections armes avec > 2.5%, toute la surface dacier excdant = 2.5% sera prise en compte dans le calcul avec un coefficient dquivalence acier bton m de 7,5 au lieu de 15 ;

dans lexplication de larticle 35 de cette dition, on a supprim lexplication qui disait que les colonnes taient des lments faciles traiter. Ceci est une bonne volution ;

En conclusion, cette version est dj plus labore que la prcdente, car on prend en compte une section minimale dacier, on introduit le fait que des colonnes dans une ossature sont soumises flexion et enfin on prsente un critre dlancement qui spare les colonnes trapues des colonnes lances (qui disparatra jusquen 1977).

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2.2.3 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1934 (A.B.S., 1934) Dans cette nouvelle dition, larticle qui traitait des tensions admissibles a t compltement revu, mais les valeurs pour les btons sortant du cadre des compositions sont toujours soumises la mme rgle. A la lecture, il apparat deux nouveauts, dont une est essentielle :

la premire est lapparition de considrations relatives ce que lon appellera plus tard dans la norme, la prise en compte des tats limites de service .

Art. 10bis. Les lments de la construction en bton arm (dalles, poutres, colonnes, etc.) devront avoir une raideur suffisante pour ne pas prendre de

dformations telles quil puisse en rsulter des inconvnients graves, soit au point de vue de la conservation des lments dcoratifs appliqus au bton, soit au point de vue

de lcoulement des eaux, soit tout autre point de vue du mme ordre.

la deuxime est plus importante : une thorie de flambement est prsente. La rdaction de cet article est en fait base sur les tudes de MM. Baes et Vandeperre lULB (Vandeperre et Plisnier, 1962). Cet article donne la charge de scurit admissible pour les prismes en danger de flambement (voir formule 2.1) :

( )n

mR8.0N 'a'b

'br

+= (2.1)

Rbr = est la tension dcrasement du bton non arm, mesure sur cube de 200mm 28 jours [N/mm] b = surface de bton [mm] a = surface dacier [mm] m = facteur reprsentant le rapport entre Ea / Eb = 15 [ ] n = coefficient de scurit ici au moins 4 [ ] = coefficient de rduction pour le flambement [ ] Le coefficient de rduction pour le flambement est dfini par la formule simplifie (2.2) :

2

ik1

1000011

25.1

+

=l

(2.2)

= longueur de la pice [mm]

k = coefficient caractristique des conditions dextrmit (k = 1 pour une colonne bi-articule, k = 2 pour une colonne bi-encastre)

/k = longueur de flambement i = rayon de giration [mm]

9

Figure 2-1 : Dformabilit des btons soumis compression simple daprs la formule

de W. Ritter modifie. Rb est la rsistance du bton lcrasement. (Vandeperre et Plisnier, 1962)

Alternativement, le coefficient de rduction au flambement est donn de manire plus exacte par la formule (2.3) qui considre linfluence de la rsistance du bton Rbr (entre 150 et 400 kg/cm) :

( )52800

100R8.01

R3520000ik

111

2'br

'br

2

2

2

+=

=

+

=

l

(2.3)

Si en plus il devait y avoir un moment flchissant prsent dans le calcul, il faudra faire galement la vrification par la thorie classique de la compression excentre. Baes et Vandeperre se sont principalement bass sur les travaux dEngesser et de Ritter. Ritter (1889) a propos une quation exponentielle pour reprsenter la courbe contrainte-dformation en compression pour des matriaux pierreux et la fonte. Il en a dduit que le module dlasticit varie de manire linaire en fonction du niveau de contrainte. Cette quation est caractrise par une constante exprimentale qui a t prise gale 1000 par Ritter, quelle que soit la rsistance du matriau. Ceci nest dj plus acceptable lpoque car il apparat que la constante nest pas la mme pour tous les btons. Un autre problme de la thorie de Ritter va amener Baes et Vandeperre proposer une mthode de Ritter modifie : au maximum de la courbe b- (= -) le module tangent devrait tre nul et les dformations infinies. Hors ceci nest exprimentalement pas le cas. Afin de rsoudre cela, on introduit dans le modle de Ritter deux constantes qui sont fonction des modules, lorigine et la rupture, ainsi que de la rsistance la rupture du bton.

10

Lhypothse dEngesser postulant que le module dlasticit de flambement est moindre que le module dlasticit vrai, coupl la thorie Ritter modifie, conduit la formule (2.4) pour la prdiction de la charge de flambement de prismes en bton non arms :

22

b'br

flt

ik111

RN

+

=

l

(2.4)

Rbr = est la tension dcrasement du bton non arm, mesure sur cube de 200mm [N/mm] b = surface de bton [mm] , = coefficients propres aux matriaux

k = coefficient caractristique des conditions dextrmit (k = 1 pour une colonne bi-articule, k = 2 pour une colonne bi-encastre)

= longueur de la pice [mm] i = rayon de giration [mm] Cette quation dite formule de Rankine est semblable celle formule plus haut en combinant les quations (2.1) et (2.3). De la mme manire, il est possible de dterminer la formule pour des prismes arms longitudinalement en prenant en compte les surfaces dacier et de bton dans le raisonnement (Vandeperre et Plisnier, 1962).

Les lments de ldition prcdente des Instructions concernant la quantit darmature et le coefficient dquivalence m restent dapplication. En ce qui concerne les tensions admissibles Rb, la valeur sera prise gale au tiers de la rsistance lcrasement Rbr lge de 28, 14 ou 7 jours en fonction du type de ciment. Mais ces valeurs ne pourront pas dpasser les valeurs limites figurant dans la norme qui sont galement fonction du type de ciment utilis. En conclusion, partir de 1934, la norme fournit une expression permettant de prdire la valeur de la charge de flambement dun poteau en bton arm soumis une charge centre. 2.2.4 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1944 (I.B.N., 1944) Dans cette nouvelle version du texte, les changements significatifs ne portent pas sur le calcul du flambement, mme si lexpression du coefficient de scurit n figurant au dnominateur de la formule (2.1) est plus dtaille et conduit une valeur plus grande que 4 (pour peu que le poteau soit soumis leffet du flambement et donc que la valeur de de la formule (2.3) soit plus petit que lunit). Une distinction est galement faite entre la charge de flambement et la charge de scurit admissible en divisant la premire par le coefficient n .

11

Lvolution principale concerne les valeurs de contraintes prendre en compte pour les calculs de rsistance :

pour la compression simple :

'bR43

= [N/mm] (2.5)

pour la flexion compose :

'bR= [N/mm] (2.6)

Rb est la tension de scurit de base la compression qui vaut le quart de la rsistance la rupture par compression de cubes de 20cm de ct quon dcouperait dans la construction au moment de la mise en service ( 4/RR 'br

'b = ).

Larmature minimale longitudinale placer dans la colonne est toujours de 0.8% de la surface du bton mme si le calcul montre que la section travaille des tensions infrieures aux valeurs 2.5 et 2.6. Toutefois, dans ce dernier cas, le minimum de section dacier sera (2.7) :

'rel

'min'

min'a 100

8.0

= (2.7)

min= surface dtermine sur base des tensions de scurit [mm] rel= surface de bton rellement mise en uvre [mm] 2.2.5 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1955 (I.B.N., 1955) La philosophie des calculs reste rigoureusement la mme. La charge de flambement dun prisme charg debout sera calcule avec la valeur de Rpr. Cette valeur est la contrainte de rupture du bton la compression sur prisme. Par contre la charge de scurit admissible pour des prismes chargs debout en danger de flambement sera calcule avec Rbr qui est la rsistance du bton lge de la mise en service. Le coefficient de scurit n , intervenant dans ce calcul, sera au moins gal 5 alors que dans ldition prcdente il tait au moins suprieur 4. Ceci justifiant peut tre la disparition du coefficient qui se trouvait au numrateur de lquation 2.1. Cette modification engendre une augmentation sensible de la scurit ce qui est favorable. La valeur de la contrainte du bton prendre pour les calculs de RDM est au maximum :

pour la compression simple :

'brR51

= [N/mm] (2.8)

pour la flexion compose :

'brR5.31

= [N/mm] (2.9)

12

Une dernire modification, et qui a son importance, concerne lenrobage des barres dacier de diamtre 10 qui passe (enfin !) de 10mm 15mm. Pour les autres diamtres, la valeur est de 20mm minimum. 2.2.6 Instructions relatives aux ouvrages en bton arm de 1963 & 1969 (I.B.N., 1963) A nouveau, peu de modifications. La protection des armatures est (enfin) beaucoup plus dtaille car elle envisage diverses agressions possibles : leau, ou dautres agents. On a, donc, pour un bton vibr, un enrobage de 30mm pour les gros diamtres et de 25mm pour les diamtres infrieurs 10mm et pour le btons dams, 40mm pour les gros diamtres et 30mm pour les armatures infrieures 10mm. Dun point de vue secondaire, il est noter que pour la premire fois, un article porte sur le faonnage des armatures principales et cette fin

il est tenu compte des conditions de lessai de pliage 180 en 3.4 Au 3.4 de la norme se trouve un tableau indiquant les valeurs prendre en considration en fonction du type de barre (lisse ou adhrence amliore), du diamtre de la barre, Un dernier point trs important concerne la dtermination de la rsistance du bton. Celle-ci est dtermine sur base de lessai en compression de cubes de 200mm de ct. Cependant, des coefficients sont donns permettant de convertir en rsistance quivalente des rsistances mesures sur dautres types dprouvettes (cylindres, prismes). 2.3 La norme NBN 15 de 1977 (N.B.N. B15, 1977) Dans ce chapitre, nous traitons de la norme qualifie comme marquant la charnire entre lancienne manire de calculer (contraintes admissibles, chapitre 3 de la norme) et la nouvelle manire (tats limites, chapitre 2 de la norme). Cette nouvelle approche du dimensionnement aux tats-limites , spare les lments trapus ne justifiant pas un calcul au second ordre, des lments lancs justifiant un calcul au second ordre. 2.3.1 Mthodes aux contraintes admissibles Dans ce chapitre de la norme, le calcul et la vrification au flambement seffectuent toujours pour des pices dont la charge est considre comme centre. Ceci dit, le paragraphe figurant dj dans la norme de 1963 est toujours prsent et incite pour les pices longues prendre en compte la dformation produite par la flexion (tat limite ultime).

13

La vrification au flambement seffectue toujours en utilisant le raisonnement de Baes et Vandeperre. Une diffrence cependant est noter : il sagit de lapparition de la notion de rsistance caractristique du bton Rwk. s64.1RR 'wm

'wk = (2.10)

Rwk = rsistance caractristique du bton sur cubes de 200mm darrte

28 jours [N/mm] Rwm = rsistance moyenne la compression calcule partir dun nombre suffisant dessais [N/mm] s = cart-type [N/mm]

La valeur de la contrainte admissible sur le bton prendre en compte pour les calculs est au maximum :

pour la compression simple :

'wkR41

= [N/mm] (2.11)

pour la flexion compose :

'wkR7.21

= [N/mm] (2.12)

2.3.2 Etat limite de flambement La thorie est limite aux lments rectilignes ayant une section constante soumise soit compression, soit flexion simple, soit flexion compose. Pour la premire fois depuis la norme de 1929, une valeur limite dlancement est rintroduite dans la norme. Llancement se calcule comme indiqu la formule 2.13.

icl= (2.13)

= lancement de la structure [ ] c = longueur de flambement de llment, dtermin par la thorie de llasticit [mm] i = rayon de giration [mm]

Si > 35 le calcul se fait au second ordre. Mais, il est prcis que :

Cependant, en aucun cas llancement ne peut dpasser 140 pour le bton granulats ordinaires et 80 pour le bton granulats lgers.

14

Deux mthodes de vrification sont proposes :

la premire mthode de calcul est base sur ltat dquilibre interne. Pour ce faire, on contrle que : sous la combinaison la plus dfavorable des actions, compte tenu des dformations

correspondantes, un tat dquilibre est possible entre les lments de rduction (M,N,T) et le systme interne des contraintes

Cette technique vise dterminer approximativement lexcentricit totale de leffort normal dans la section la plus sollicite de la colonne pour ltat-limite ultime de stabilit de forme (Espion, 2000). Pour vrifier si une colonne de dimensions, de matriaux et darmature donns est stable, on contrle les deux ingalits (2.14) suivantes :

>

>

ee

N'N '* (2.14)

'N = rsultante des contraintes ltat limite choisi e = excentricit de 'N '*N = effort normal sollicitant (agissant) e = somme des diffrentes excentricits (1er ordre, 2me ordre, accidentelle) Commenons par dfinir les diffrentes excentricits :

e0, reprsente lincertitude sur la position de la charge (voir quation 2.15)

mm2030he0 = (2.15)

e0 = excentricit accidentelle [mm] h = hauteur de la section [mm]

e1, correspond lexcentricit de 1er ordre due aux sollicitations (quation 2.16)

**

1 NMe = [mm] (2.16)

e1 = excentricit des sollicitations [mm] M* = moment sollicitant de 1er ordre (agissant) [Nmm] N* = effort normal sollicitant de 1er ordre (agissant) [N]

15

a, correspondant lexcentricit due aux effets de second ordre (quation 2.17)

=

r1

10a

2l [mm] (2.17)

a = flche de second ordre [mm] = longueur du poteau [mm] 1/r = courbure [mm-1]

N.B. : lexpression 2.17 est base sur lhypothse dune dforme sinusodale, et le facteur 10 est une approximation frquente de

Figure 2.2 : Reprsentation graphique, A = distribution de dformations de ltat limite choisi, B = distribution de contraintes de ltat limite choisi de

rsultante 'N , C = sollicitation

La courbure (1/r) est fonction de ltat limite de dformation choisi. Couramment, celui-ci est choisi pour avoir la dformation (y) correspondant la limite lastique (fy) et ce tant pour le lit darmature lextrados (tension : y < 0) qu lintrados (compression : y > 0). La distribution de contrainte obtenue permet de calculer la rsultante des efforts internes 'N et la position de son point dapplication par rapport laxe de la colonne e . Cette mthode est une version simplifie de la colonne modle qui, linverse de la mthode complte, ne ncessite pas la connaissance des courbes M-.

la seconde mthode de calcul est une mthode approche du moment complmentaire.

Elle est applicable au cas suivant :

Cette mthode est approximative et nest valable que pour les colonnes de section constante avec armature symtrique, soumises une charge normale constante le long

de leur axe . Dans ce cas-ci, on remplace les effets du second ordre traiter par un moment supplmentaire, ce qui quivaut rsoudre le problme de la mme manire que pour des colonnes courtes soumises N et M. Lexcentricit additionnelle (accidentelle) e0 dans cette technique nest pas prise en compte. Le moment complmentaire se calcule avec lquation 2.18.

16

10KNM

2c'**

cl

= [Nmm] (2.18)

N* = effort normal agissant [N] c = longueur de flambement [mm] K = reprsente la courbure fictive au milieu de la longueur de flambement dans ltat limite ultime de la section [mm-1] Cette courbure K peut tre value avec les formules 2.19 :

'*

'*

1'*'*

*'*'*'*

25.0

500005.0

NNKKNN

hhKNN

bb

t

c

t

abb

=>

+

=l

(2.19)

avec

'*b

''*b

'*b

a

*a*

a

RBN

003.0

ER

=

=

=

(2.20)

a* = dformation de lacier la limite lastique [ ] b* = dformation limite pour le bton avec prise en compte

des effets long terme [ ] B = aire de la section de bton seul [mm] ht = hauteur utile de la section transversale [mm] Nb* = effort normal agissant du bton [N] Ra* = contrainte de calcul de traction de lacier [N/mm] Rb* = contrainte de calcul de compression du bton [N/mm]

2.3.3 Considrations technologiques Lenrobage :

doit tre gal la plus grande des dimensions suivantes : - le diamtre de la plus grosse des barres - la dimension maximale du calibre nominal du granulat - 20mm

Toutefois, pour les surfaces qui ne sont pas protges contre la pluie, ou qui sont soumises laction de substances pouvant attaquer les armatures, ou qui sont exposes la chaleur,

lpaisseur minimale denrobage est augmenter. Elle doit atteindre, selon que le bton est vibr ou non, respectivement 30mm et 40mm.

Sil savre ncessaire de placer les barres dacier longitudinales plus lintrieur de la section de la colonne, un rseau de barres de diamtre 2.5mm au minimum peut tre plac en surface comme lit secondaire.

17

La rsistance au feu de la colonne fixe les dimensions minimales pour les sections. Pour une colonne RF1h et RF2h, lenrobage des armatures principales et la dimension minimale transversale pour quatre faces exposes au feu seront respectivement : 25mm, 200mm et 40mm, 300mm. La quantit dacier longitudinal est fixe. La section minimale dacier prsent dans la colonne quoi quil arrive doit rpondre aux deux conditions suivantes 2.21 :

'

'min

003.0

008.0

BA

BA

c

c

[mm] (2.21)

Ac = aire de la section darmature comprime [mm] B = aire de la section comprime totale de bton [mm] Bmin = section minimale de bton donne par le calcul [mm]

Pour des lancements compris entre 35 et 70, la surface dacier doit tre galement plus grande ou gale la valeur donne par 2.22.

yh

Sd

fNA25.4

[mm] (2.22)

A = aire de la section darmature comprime [mm] NSd = effort normal de calcul agissant sur llment [N] fyh = limite lastique des aciers [N/mm]

Larmature transversale (trier) doit avoir un diamtre au moins gal au du plus gros diamtre de larmature longitudinale. Lespacement maximum entre deux triers successifs ne dpassera pas 15 fois le diamtre des barres longitudinales En conclusion, cette version de la norme permet aux deux modes de calculs dexister (lancien et le nouveau). La mthode aux tats limites prsente est celle qui sera reprise plus tard par lENV 1992-1-1:1991 mais cette fois-ci de manire plus dtaille. 2.4 Eurocode 2, ENV 1992-1-1:1991 (ENV 1992-1-1, 1991)

Les effets du second ordre sont pris en compte lorsquils sont susceptibles daffecter de faon significative la stabilit de lensemble de la structure ou datteinte de ltat-limite

ultime dans les sections critiques Dans cette nouvelle version de la norme, les auteurs ont la volont de mettre laccent sur des effets dont on parlait peu ou pas du tout jusquici dans les textes normatifs. Par exemples : les imperfections gomtriques structurales, les excentricits accidentelles, la prise en compte de multiples critres pour dfinir lenrobage, . La mthode inspire des travaux de Baes et Vandeperre disparat dfinitivement pour faire place une approche aux tats-limites considrant tant des charges centres quexcentres.

18

2.4.1 La structure du btiment dans son ensemble Aujourdhui, on dfinit les structures en deux grandes classes qui sont les structures nuds fixes et les structures nuds dplaables, contreventes ou non.

nuds non dplaables, contreventes : les forces horizontales ninduisent pas ou trs peu de dplacement des nuds, ce qui confre aux nuds le caractre non dplaable. Les colonnes peuvent donc tre traites comme si elles taient isoles ;

nuds dplaables : dans ce cas, le dplacement des nuds induit des efforts

supplmentaires dans la structure, et donc une tude complte doit tre envisage. Dans cette mme logique, nous allons prendre en compte galement des imperfections gomtriques structuralles lies au dfaut de verticalit possible (hors plomb) de la colonne (voire de la structure). Elles se dfiniront par une excentricit dite accidentelle ea comme dfini lquation 2.23.

2

0l=ae [mm] (2.23)

0 = longueur utile de llment isol [mm] = inclinaison sur la verticale de la structure [radian] (quation 2.24)

L100

1= (2.24)

L = hauteur totale de la structure [m] 2.4.2 Elancement limite sparant premier et second ordre La dtermination de llancement est un paramtre essentiel pour savoir quel mode de vrification nous devons appliquer la colonne (au premier ou au second ordre). Cette valeur est lie la longueur de flambement 0. Cette longueur se calcule avec lquation 2.25. col0 ll = [mm] (2.25) col = hauteur de la colonne mesure entre les centres dencastrements [mm] = prise en compte des conditions dextrmits Pour les cas o les poutres se connectent en tte ou en pied des colonnes, on fait intervenir des coefficients kA et kB reprsentant la raideur de lencastrement. A cette fin, un abaque figurant dans la norme aide dterminer ces deux valeurs. On dtermine llancement sur base de la formule 2.26 et nous le comparons aux valeurs dlancement frontire lim entre le premier et le second ordre obtenu par les formules 2.27.

19

i

0l= [ ] (2.26)

0 = longueur utile de la colonne [mm] i = rayon de giration de la section gomtrique [mm]

=

==

u

'

'

lim

15

25max (2.27)

cdc

Sdu fA

N= = effort normal rduit [ ] (2.28)

Si llancement est suprieur la valeur lim donne par 2.27, alors le poteau doit tre tudi en prenant en compte leffet du second ordre. Le paragraphe 4.3.5.5.3 (2) de la norme permet de ne pas vrifier pour certains cas les effets du second ordre. Les poteaux isols dune structure nuds non dplaables nexigent pas de vrification vis--vis des sollicitations du second ordre si le coefficient dlancement est infrieur ou gal la valeur obtenue par lquation {4.62}, mme si le poteau concern peut tre considr comme lanc selon larticle 4.3.5.3.5

=

02

01225ee

crit {4.62}

e01 et e02 reprsentent les excentricits de leffort normal aux extrmits de llment, et on suppose que |e01| |e02|. Dans ce cas, il convient de calculer les extrmits de poteaux en considrant les quations {4.63} et {4.64} comme les conditions minimales respecter NRd = NSd {4.63} MRd = NSd . h/20 {4.64} NRd tant leffort normal rsistant de calcul et MRd le moment rsistant de calcul. . 2.4.3 Les excentricits Quelle que soit la mthode utilise pour le calcul de linstabilit, il est ncessaire de prendre en compte les trois excentricits ayant des origines diffrentes :

lexcentricit de premier ordre (eo)

Sd

1Sdo N

Me = [mm] (2.29)

20

MSd1 et NSd sont le moment et leffort normal provenant de lanalyse structurale au 1er ordre de leffet des actions

lexcentricit accidentelle (ea), qui provient de la gomtrie et de linclinaison de la

colonne (quation 2.23) ;

lexcentricit de second ordre (e2), est le rsultat de la dformation de la colonne sous leffet des charges.

La somme de ces trois excentricits constitue lexcentricit totale (etot). Dans le cas o les excentricits de premier ordre sont diffrentes en tte et au pied de la colonne, on remplace lexpression de eo par lexpression ee. Cette dernire valeur sera prise gale la plus grande des deux valeurs suivantes (quations 2.30) :

0102

02e

0102e

eeavece4.0e

e4.0e6.0e

=+=

[mm] (2.30)

La valeur e2 prsente dans lexpression etot est assez difficile dterminer. Pour ce faire, nous allons utiliser la mthode de la colonne modle. La forme mathmatique de e2 provient de lhypothse de la dforme sinusodale.

=

r1

10Ke

20

12l [mm] (2.31)

avec 35pour1K

3515pour75.020

K

1

1

>=

=

(2.32)

Quand la valeur de la courbure ne doit pas tre dtermine avec une grande prcision, on utilise la relation 2.33, qui est un estimateur de la courbure maximale qui pourrait tre atteinte lELU de flambement. K2 tient compte de la diminution de courbure sous leffet de laugmentation de leffort normal et yd la dformation juste la limite lastique de lacier.

d9.0

K2r1 yd

2

=

[mm-1] (2.33)

yd = dformation juste la limite lastique de lacier [ ] K2 = reprsentant la diminution de courbure sous leffet de laugmentation de leffort normal (4.3.5.6.3 de lEurocode 2) [ ] d = hauteur utile de la section dans la direction probable de rupture de stabilit [mm]

21

2.4.4 Le calcul dinstabilits Dans le cas o lon ne prend pas en compte les effets du second ordre, la vrification de la colonne seffectue par la thorie de la flexion compose du bton arm. Dans le cas inverse, il est impos de vrifier linstabilit par lune des deux techniques prsentes dans la norme.

la premire technique est dite de lquilibre interne et est similaire celle figurant dans la NBN 15 de 1977.

Nous vrifions les deux quations 2.34.

++>

]mm[eeeNM

]N[NN

2a0Rd

Rd

SdRd

(2.34)

NRd = effort normal rsultant de lintgration du champ de contraintes dun tat donn du champ de dformations [N] MRd = moment flchissant rsultant de lintgration du mme champ de contraintes que pour NRd [N] e2 = excentricit du second ordre simplifie [mm] (quation 2.35)

][10

20

2 mmde cs = l (2.35)

Attention : les dformations sont prises avec leur signe ! d = distance de larase du bton au lit darmatures oppos [mm]

la deuxime technique est dite de la colonne modle .

Cette technique tant itrative (ncessitant le recours lordinateur) est donc plus coteuse en temps de calculs. On vrifiera que le moment sollicitant (agissant) total est plus petit que le moment total rsistant maximum pour leffort normal NSd considr. Pour ce faire, on dtermine la courbe Moment-Courbure (M-) valeur deffort normal constante prise gale la valeur de leffort normal sollicitant. Sur cette courbe, on trace la droite (Figure 2.3) du moment flchissant sollicitant de second ordre li la courbure (quation 2.36).

=

r1

10.NM

2o

Sde2

l (2.36)

Me2 = moment li lexcentricit e2 [Nmm] NSd = effort normal sollicitant [N] o = longueur de la colonne [mm] 1/r = courbure [mm-1]

22

Ensuite, on trace une nouvelle droite parallle celle reprsentant Me2 une distance dont la valeur est donne par lquation 2.37 (Figure 2.3).

aSd1Sd eNM + [Nmm] (2.37) MSd1 = moment sollicitant de 1er ordre [Nmm] NSd = effort normal sollicitant [N] ea = excentricit accidentelle [mm]

Figure 2.3 : Mthode de la colonne modle

Si cette droite ne possde aucune intersection avec la courbe M-, cela veut dire quil ny a pas dquilibre possible et que le dimensionnement nest pas acceptable.

2.4.5 Considrations technologiques Les considrations technologiques non moins importantes touchent diffrents aspects de la colonne : la rsistance du bton, la position des aciers, le pourcentage dacier, lenrobage,. Le bton : la norme fourni les valeurs introduire dans les modles numriques (-) : la rsistance la traction, la rsistance la compression, le module scant dlasticit, les dformations ultimes, coefficient de dilatation thermique, coefficient de Poisson. La classe de rsistance doit tre comprise entre C15/20 et C50/60. Lenrobage doit tre suffisant pour assurer une bonne transmission des forces dadhrence, labsence dpaufrures, la protection des aciers contre la corrosion, la rsistance au feu. A cette fin, il ne peut tre infrieur au diamtre des barres longitudinales et est augment de 5mm si la taille du plus grand granulat est suprieure 32mm. Lenrobage sera dfini en fonction de la classe dexposition environnementale et du fait que lon se trouve face des armatures passives ou de prcontrainte. La prise en compte du feu pour la dtermination de lenrobage figure dans le lEurocode 2 partie 1-2. La position des aciers est galement dfinie. Pour une colonne de forme prismatique, il est ncessaire de placer une barre de 12mm de diamtre dans chaque angle. Pour une colonne de forme circulaire, on veillera placer au minimum 6 barres rparties de manire uniforme.

23

La quantit dacier longitudinal est fixe. La section minimale darmature longitudinale est dfinie par rapport leffort normal de compression (quation 2.38) mais ne peut tre infrieure 0.003 fois laire de bton. Donc, dans une colonne, nous aurons au minimum As,min (quation 2.38) :

cyd

Sdmin,s A003.0f

N15.0A >= [mm] (2.38)

As,min = section minimale dacier [mm] NSd = effort normal sollicitant [N] fyd = rsistance de calcul de lacier [N/mm] Mais il nest pas autoris de dpasser 0.08Ac dacier, et ce mme dans les zones de recouvrement. Larmature transversale (trier) devra avoir pour diamtre minimum la plus grande des deux valeurs suivantes :

6 ;

du plus gros diamtre de larmature longitudinale. La distance maximum entre deux triers successifs est la plus petite des trois valeurs suivantes :

2 fois le diamtre des barres longitudinales ;

la plus petite dimension transversale de la colonne ;

300mm. Les dimensions transversales minimales de la colonne sont fonction du mode de fabrication. Si la colonne est prfabrique, sa plus petite section sera un carr de 140mm de ct. Si la colonne est coule sur chantier, sa plus petite section sera un carr de 200mm de ct. En conclusion, cette nouvelle version de la norme tmoigne du souci de prendre en compte de manire plus fine les imperfections (aspect gomtrique, protection des armatures lie lenvironnement, dimensions transversales en fonction du mode de fabrication) pour le calcul des colonnes.

24

2.5 prEN 1992-1-1 (prEN 1992-1-1, 2003) La proposition de lEurocode 2 dans la prEN 1992-1-1 : 2003 est similaire celle dans lENV1992-1-1 : 1991. Toutefois, des diffrences sont noter comme le mode de vrification du flambement et lvolution des rsistances du bton. 2.5.1 Elancement limite sparant premier et second ordre Comme dans les deux ditions prcdentes, il existe deux mthodes pour dterminer si une vrification au second ordre est ncessaire. La premire mthode consiste comparer llancement de la colonne tudier par rapport une valeur dlancement limite qui est soit dfinie dans lannexe nationale soit la valeur recommande et prsente en 2.39. Cette valeur nest plus un nombre intrinsque mais une formule qui prend en compte diffrents paramtres comme : le fluage, la proportion darmature, la distribution des moments de premier ordre, leffort normal rduit.

n

CBA20lim = (2.39)

rm = M01/M02 ; rapport des moments de 1er ordre en tte et en pied [ ] M01 = moment dextrmit du premier ordre M02 = moment dextrmit du premier ordre |M02| > |M01| n = NEd/(Ac fcd) ; effort normal rduit [ ] As = aire totale de la section darmature longitudinale [mm] = As fyd /(Ac fcd) ; proportion mcanique darmatures [ ] eff = coefficient de fluage effectif [ ] mr7.1C = (si rm nest pas connu, on peut prendre C = 0.7) 21B += (si nest pas connu, on peut prendre B = 1.1)

eff0.21

1A+

= (si eff nest pas connu, on peut prendre A = 0.7)

La deuxime mthode consiste vrifier si les effets du second ordre reprsentent moins de 10% des effets du premier ordre correspondant. Dans ce cas, on peut viter de faire un calcul au second ordre. 2.5.2 Calcul au second ordre Les mthodes de vrification proposes relvent dune des deux grandes catgories :

mthodes dites gnrales ;

mthodes dites simplifies.

25

2.5.2.1 Mthodes dites gnrales Ces mthodes sont bases sur une analyse non-linaire (prEN 1-1, 2003). Elles peuvent tre utilises tant pour les ELU que pour les ELS, sous rserve que lquilibre et la compatibilit soient vrifis et que lon admette un comportement non-linaire adapt pour

les matriaux. Lanalyse peut tre du premier ou du second ordre. Pour les structures lances, dans lesquelles les effets du second ordre ne peuvent tre

ngligs, il est possible dutiliser la mthode de calcul donne en 5.8.6 La coordonne 5.8.6 renvoie au chapitre de cette prEN qui traite des mthodes gnrales danalyse non-linaire gomtrique. Il nest pas formellement fait allusion, dans ce paragraphe, une technique prcise. Toutefois, on insiste lourdement sur le fait que les lois de comportement doivent tre bien choisies, que les non-linarits gomtriques (effet du second ordre) doivent tre prises en compte. Dans ce document, on prcise galement que leffet du bton tendu est favorable et peut donc tre nglig, et que leffet du fluage doit tre intgr. 2.5.2.2 Mthodes dites simplifies Ces mthodes consistent, pour un effort normal fix, de dterminer un moment sollicitant de calcul qui devra tre plus petit que le moment rsistant correspondant mais galement plus grand que le moment agissant rel. Dans le cas o ce moment serait plus grand que le moment rsistant, alors la structure ne serait pas stable. Le calcul du moment se reprsente de la manire suivante (quation 2.40) : 2Ed0Ed MMM += [Nmm] (2.40) MEd = moment de calcul [Nmm] M0Ed = moment comprenant : le 1er ordre et les imperfections [Nmm] M2 = moment du second ordre calcul par une des deux mthodes [Nmm]

analyse du second ordre base sur une rigidit nominale Cette technique se base sur la dtermination de la rigidit EI de llment lanc. Et ce, en fonction de plusieurs paramtres : sssccdc IEKIEKEI += (2.41) Ecd = module dlasticit du bton [N/mm] (Ecd = Ecm * cE) Ic = inertie de la section droite de bton [mm4] Es = module dlasticit de lacier [N/mm] Is = inertie des armatures par rapport au centre de gravit [mm4]

26

Avec pour 0.002

0.2170nk

20fk

1kkK

fluage, du n,fissuratiola de effets des comptet tenant coefficien K

1Karmatures des oncontributila de comptet tenant coefficien K

2

ck1

ef

21c

c

S

S

=

=

+=

=

==

n = effort normal relatif : NEd / (Ac.fcd) = coefficient dlancement fck = rsistance caractristique du bton [N/mm]

ef = coefficient de fluage effectif [ ] Et pour 0.01

efc

c

S

S

5.010.3K

fluage, du n,fissuratiola de effets des comptet tenant coefficien K

0Karmatures des oncontributila de comptet tenant coefficien K

+=

=

==

Sur la base de ce cette rigidit EI, on peut calculer le moment de second ordre M2.

1

NN

MM

Ed

B

0Ed2

= (2.42)

M0Ed = moment de premier ordre [Nmm] = coefficient qui dpend de la distribution des moments du

premier et du second ordre

o

2

c [ ]

co = 8 pour un moment de premier ordre constant, 9.6, pour une

27

distribution parabolique, 12 pour une distribution triangulaire, dans les autres cas on peut le prendre gal 1

NEd = effort normal agissant de calcul [N] NB = charge de flambement eulrienne base sur la rigidit

nominale EI de la formule 2.41 [N]

mthode base sur une courbure nominale Dans cette mthode, lessentiel se trouve dans la dtermination du moment de second ordre M2 qui est calcul avec la formule 2.43 : 2Ed2 eNM = (2.43)

=

r1

ce

20

2l ; excentricit du second ordre [mm] (2.44)

0

r r1KK

r1

= ; dtermination de la courbure [mm-1] (2.45)

d0.45

r1 ydo

=

] [ fluage det coefficien11K

] [ normaleffort l' dedpendant rduction det coefficien1nnnnK

ef

balu

ur

+=

=

NEd = effort normal fix [N] e2 = excentricit de second ordre [mm] 0 = longueur de flambement [mm] c = coefficient dpendant de la distribution des courbures 1/r = courbure [mm-1] n = effort normal relatif : NEd / (Ac.fcd) nbal = valeur de n correspondant au moment rsistant maximal nu = +1 = As.fyd / (Ac.fcd) As = surface dacier [mm] Ac = surface de bton [mm] fyd = limite dlasticit des aciers [N/mm] fcd = rsistance du bton [N/mm] ef = coefficient de fluage effectif [ ] = 0.35+fck/200-/150 = coefficient dlancement

28

2.5.3 Considrations technologiques Les dimensions minimales pour une colonne sont dfinies comme suit :

Un poteau est un lment dont le grand ct de la section transversale ne dpasse pas 4 fois le petit ct de celle-ci et dont la hauteur est au moins gale 3 fois le grand ct.

Lorsque ce nest pas le cas, il convient de la considrer comme un voile. Le bton peut, dans cette nouvelle version, prsenter une rsistance plus leve que C50/60. La gamme de rsistances considres stend de C12/15 C80/90. De plus, un tableau complet fournit toutes les valeurs physiques ncessaires la bonne reprsentation du comportement de ces btons par les lois numriques. Et la relation - modlise par une parabole-rectangle se voit amliore car on prcise la valeur o au maximum de contrainte pour chaque classe de bton. Lenrobage doit tre suffisant pour transmettre les forces dadhrence, pour protger les armatures de la corrosion et pour protger les aciers du feu. devminnom Ccc += (2.46) La valeur prise par Cdev sera fonction du mode de fabrication. En ralit, cette valeur concerne les tolrances dexcution.

mm5Cmm0 dev pour la prfabrication ;

mm10Cmm5 dev pour la fabrication sur chantier. La valeur cmin, quant elle, prend en compte plusieurs intervenants comme : le type dexposition lenvironnement, la classification structurale, le diamtre de larmature de flexion, le type dacier. La position des aciers est galement dfinie. Pour une colonne de forme prismatique, il est ncessaire de placer une barre de 8mm de diamtre dans chaque angle. Pour une colonne de forme circulaire, on veillera placer au minimum 4 barres rparties de manire uniforme. Le diamtre minimum peut varier en fonction du document national. La quantit minimum dacier longitudinal est fixe. Le minimum de surface dacier placer dans une section transversale de bton sera

yd

Eds f

NA 1.0min, =

Ou (2.47) min,s2min,sc2min,s AAsiA002.0A >=

29

Ce qui dans les deux cas est moindre que les valeurs de la version prcdente (2.38). Le pourcentage maximum est fix 4% de la section de bton. Ce qui permettra de ne pas dpasser les 8% dacier dans les zones de recouvrement. Larmature transversale (trier) est traite de manire identique lEC2-1995, son diamtre minimum sera pris gal la plus grande des deux valeurs suivantes :

6 ;

du plus gros diamtre de larmature longitudinale.

La distance maximum entre deux triers successifs est la plus petite des trois valeurs suivantes :

20 fois le diamtre des barres longitudinales ; La plus petite dimension transversale de la colonne ; 400 mm.

2.5.4 Considrations pour bton non arm Dans le cas des structures en bton non arm, voire trs faiblement arm (moins que le minimum prescrit par la norme), non soumises aux charges de trafic, il existe une mthode simplifie (quation 2.48) pour calculer leffort normal rsistant. Les colonnes pouvant tre vrifies avec cette formulation, doivent avoir un lancement gomtrique infrieur 86.

=

=

w

tot

w

o

w

tot

cdwRd

he21

hl02.0

he2114.1

fhbN

(2.48)

NRd = effort normal rsistant b = largeur totale de la section hw = profondeur totale de la section = facteur prenant en compte lexcentricit et incluant les effets du second ordre ainsi que les effets normaux de fluage etot = eo + ei eo = excentricit du premier ordre ei = excentricit additionnel couvrant les effets des imperfections gomtriques Il sagit, de nouveau, dune approche de la capacit portante avec un coefficient de rduction au flambement.

30

2.6 Conclusions A la lecture de ce chapitre, trois observations sont noter :

durant les 80 annes coules entre la premire norme belge et la prEN, les considrations sur la vrification de la capacit portante des colonnes voluent fortement. La vrification de linstabilit passe de la considration : les calculs sont relativement faciles des mthodes de plus en plus complexes, dont il devient parfois difficile de trouver lorigine ;

avant 1977, la capacit portante des colonnes en bton arm est trait par des

raisonnements de type Rsistance des matriaux ou issus de lanalyse des structures mtalliques (acier, fonte) ou de la maonnerie. Ceci est le cas des travaux de Baes et Vandeperre, mme si ces auteurs ont apport des modifications au modle en fonction du matriau ;

aprs 1977, et suite aux travaux de la commission Flambement du Comit

Europen du Bton (CEB, 1977) la vrification de la capacit portante est traite comme un vrai problme de flexion compose avec prise en compte des effets de second ordre. Ce nest que dans la toute dernire dition de la norme que sont rapparues des mthodes simplifies, dont lorigine et la validit ne sont pas documentes dans la littrature.

Nous ne pouvons que conclure la ncessit dtudier des modles numriques qui permettront de dterminer de manire fiable la capacit portante des colonnes en bton arm et servir de rfrence pour lvaluation de mthodes simplifies.

31

Chapitre 3 Modles de lois de comportements 3.1 Introduction Toute tude dun problme structural ncessite la connaissance dau moins deux lments :

la gomtrie de la structure ; les matriaux constitutifs.

Le comportement de chaque matriau est dfini dans la littrature par diffrentes lois mathmatiques. Les colonnes tudies dans ce document sont toutes ralises en bton arm. Ce matriau composite est constitu de deux lments aux caractristiques diffrentes :

Figure 3.1 : Disposition des diffrents matriaux dans une colonne de section carre

lacier, travaillant aussi bien en traction quen compression en fonction des

sollicitations, reprsent sur la figure 3.1(A) ;

32

le bton, travaillant principalement en compression. Ses performances en traction sont trs faibles et souvent considres comme nulles. En compression, le bton peut se trouver sous deux tats de contraintes diffrents :

o le premier nomm non confin (matriaux ne se trouvant pas lintrieur

du volume sujet lemprise des armatures : triers, barres longitudinales, figure 3.1(B) ), correspondant un tat uniaxial ;

o le second nomm confin (matriaux se trouvant dans le volume demprise

des aciers, Figure 3.1(C) ), correspondant un tat dtreinte triaxiale. Nous dtaillerons ci-dessous diffrentes lois de comportements pour ces deux matriaux. 3.2 Lois simulant le matriau acier Lacier des armatures actuelles adhrence amliore possde une limite dlasticit gnralement suprieure 500N/mm ainsi quun allongement la rupture compris entre 15 et 20% (pour les barres lamines chaud). La figure 3.2 est un diagramme obtenu lors dun essai de traction sur une prouvette dacier de diamtre apparent 18.5 mm.

020

4060

80100

120140

160180

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Dformation [%]

Forc

e [k

N]

Figure 3.2 : Diagramme Force - Dformation , prouvette dacier, surface ~269mm

Ce diagramme se scinde en deux ou trois phases distinctes :

1) la partie lastique linaire, caractrise par le module dlasticit de Young (E [N/mm]) et par la limite dcoulement aussi appele limite dlasticit (fy [N/mm]) ;

2) la partie plastique quasiment horizontale, situe un niveau de contrainte quivalent

celui de la limite lastique. Tous les aciers nont pas cette particularit ;

33

3) la partie de raffermissement caractrise par une augmentation de la force jusquau maximum. Au maximum de force, on observe lapparition de la striction qui saccompagne dune diminution de charge jusqu lobtention de la rupture de lprouvette.

Suivant les besoins de lanalyse, on utilisera :

une idalisation reprsentant fidlement lallure gnrale de la courbe de lessai de traction comme la figure 3.2 ;

une idalisation de cette courbe par une loi simplifie lasto-plastique avec

dformation limite u comme sur la figure 3.3 (fib, 1999). Lors de nos simulations numriques, nous utiliserons cette seconde formulation qui ncessite la connaissance de quatre grandeurs caractristiques :

fy = limite dcoulement [N/mm] E = module de Young [N/mm] y = dformation lastique [strain] u = dformation ultime [strain]

Dformation [ ]

Con

trai

nte

[N/m

m] fy

y

E = 210000N/mm

Acier d'armature passive

u

Figure 3.3 : Reprsentation de la loi lasto-plastique pour lacier

Cette loi lasto-plastique est utilise aussi bien pour lacier comprim que pour lacier tendu.

34

3.3 Lois simulant le matriau bton en compression 3.3.1. Introduction Matriau base cimentaire, le bton rsulte du durcissement dun mlange de gravier, de sable, de ciment, deau, dadjuvants, Les parties ractives du mlange forment avec laddition deau une pte qui lie les divers granulats en durcissant. Lobtention de rsistances leves la compression nest possible quen apportant un soin particulier la composition du mlange (slection des matriaux, rapport E/C, fractions granulomtriques,). La rsistance la compression du bton est dtermine soit sur des prouvettes cubiques de 160mm darrte (usuel en Belgique), soit sur des prouvettes cylindres de 150mm de diamtre par 320mm de hauteur (France, USA, ). Pour ce type dprouvette, les deux faces dextrmit, planes et parallles, doivent tre rectifies et perpendiculaires laxe du corps du cylindre. Une mauvaise prparation de lprouvette influence la valeur fc que lon recherche, particulirement pour les hautes rsistances. Beaucoup de chercheurs se sont intresss dfinir des lois de comportements pour le bton. Nous prsentons ci-dessous un nombre restreint de propositions de ces lois qui sont places dans trois classes diffrentes :

pseudo loi de comportement pour la vrification des sections transversales ; loi de comportement du bton comprim non frett pour lanalyse structurale ; loi de comportement du bton comprim frett pour lanalyse structurale.

3.3.2 Pseudo lois de comportement pour la vrification des sections transversales 3.3.2.1 Loi de comportement Parabole - Rectangle Eurocode 2 (ENV1992-1-1:1991,1991) Depuis 1963 (CEB, 1963), les modles de calculs analytiques de rsistance des sections dlments des structures en bton arm, utilisent couramment comme idalisation de la courbe contrainte - dformation du bton une reprsentation dite Parabole-Rectangle . Elle est galement utilise pour dterminer la courbe dinteraction N-M de rsistance des sections. Cette reprsentation P-R est compose de deux branches :

une branche de parabole axe vertical, passant par lorigine et dont le sommet se situe en ( = fc; = 0.002) ;

un palier plastique, pour les dformations suprieures 0.002, sarrtant la

dformation limite conventionnelle.

35

0102030405060708090

100

0 0.001 0.002 0.003 0.004

Dformation [strain]

Con

trai

nte

[N/m

m]

45N/mm

Figure 3.4 : P-R , fc = 45N/mm

La figure 3.4 reprsente la courbe Parabole - Rectangle pour un bton de rsistance 45N/mm. 3.3.2.2 Loi de comportement Parabole - Rectangle (prEN 1-1, 2003) Ce nouveau document sadapte lvolution actuelle de la rsistance du bton (jusqu C90). Les quations 3.1 permettent de tracer les courbes contrainte dformation .

=

=

2cuc2ccc

2cc

n

2c

ccc

pourf

0pour11f

(3.1)

fc = rsistance du bton [N/mm] c = dformation [ ] c2 = dformation atteinte pour la contrainte maximale [ ]

=( )

+=>

=

=

=