contribution a la commande adaptative robuste par modes glissants

Thèse

Présentée pour obtenir le grade de

Docteur de l’Université de Reims Champagne Ardenne

Spécialité

GENIE INFORMATIQUE, AUTOMATIQUE ET TRAITEMENT DU SIGNAL

par

Ayman HUSSAIN

CONTRIBUTION A LA COMMANDE

ADAPTATIVE ROBUSTE PAR MODES GLISSANTS

Soutenue le 02 décembre 2009 devant le jury

A. EL HAJJAJI Professeur à l’Université de Picardie, Amiens Rapporteur

M. M’SAAD Professeur à l’ENSI, Caen Rapporteur

T.-M GUERRA Professeur à l’UVHC, Valencienne Examinateur

A. HAMZAOUI Professeur à l’IUT de Troyes Co-Directeur de Thèse

N. ESSOUNBOULI Maître de conférences à l’IUT de Troyes Examinateur

J. ZAYTOON Professeur à l’URCA, Reims Directeur de Thèse

A

La mémoire de mon père, il aurait été si fière

Ma mère, ma source de bénédiction

Mes frères et sœurs

Mes amis et collègues

Mes professeurs

REMERCIEMENTS

Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué, à l'Institut Universitaire de Technologie de Troyes

(IUT), au sein du laboratoire du Centre de Recherche en Sciences et Techniques de l’Information et

de la Communication (CReSTIC), de l’université de Reims Champagne Ardenne (URCA).

Je tiens à exprimer d’abord ma reconnaissance au Professeur Janan ZAYTOON, en tant que

directeur du CReSTIC de m’avoir accueilli au sein de son laboratoire, et en tant que directeur de

thèse pour son soutien scientifique et humain ainsi que la confiance qu’il m’a témoigné tout au long

de ce travail de recherche.

Je remercie sincèrement Monsieur Abdelaziz HAMZAOUI, Directeur et Professeur à l’IUT de

Troyes et Monsieur Najib ESSOUNBOULI, Maître de conférences à l'IUT de Troyes, pour avoir

co-dirigé ce travail et pour leurs nombreux conseils ainsi que leur soutien tout au long de cette thèse.

Mes profonds remerciements à Monsieur Ahmed El HAJJAJI, Professeur à l’Université de Picardie,

et à Monsieur Mohammed M’SAAD, Professeur à l’Université de Caen Basse-Normandie, pour

l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant de juger mon travail et d’être les rapporteurs de cette thèse.

Je tiens également à remercier Monsieur Thierry-marie GUERRA, Professeur à l’Université de

Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis (UVHC), pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant de

l’examiner.

Je remercie très chaleureusement Monsieur Frédéric NOLLET, Maître de conférences à l’IUT de

Troyes, pour ses conseils et toute l'aide qu’il a pu m'apporter durant cette thèse.

Enfin, je ne saurais terminer ces remerciements sans oublier toute ma famille, sans exception, ainsi

que tous mes amis et collègues du laboratoire.

Le sommaire Introduction générale ................................................................................................................ 1

Chapitre 1 : Approximateurs Intelligents

I.1. Introduction ..................................................................................................................... 4

I.2. Généralités sur la logique floue type-1 ............................................................................ 7

I.2.1. Fuzzification ................................................................................................................ 8

I.2.2. Inférence .................................................................................................................... 9

I.2.3. Défuzzification ......................................................................................................... 10

I.3. Généralités sur la logique floue type-2 ........................................................................... 10

I.3.1. Fuzzification ............................................................................................................. 12

I.3.2. Inférence ................................................................................................................... 14

I.3.3. Défuzzification ......................................................................................................... 15

I.4. Généralités sur les Réseaux de Neurones et les Réseaux d’ondelettes. ........................ 17

I.4.1. Réseaux d’ondelettes .................................................................................................... 18

I.4.2. Réseaux Issus de la Transformée Continue en Ondelettes......................................... 18

1.4.3. La structure de Réseaux d’ondelettes utilisée. ............................................................ 19

I.5. Conclusion ....................................................................................................................... 20

Chapitre 2 : Commandes Adaptatives Robustes par Modes Glissants

II.1. Introduction ................................................................................................................... 22

II.2. Contexte et formulation ................................................................................................ 24

II.3. Commande par modes glissants ................................................................................... 26

II.4. Commande adaptative robuste ..................................................................................... 28

II.4.1. Commande adaptative avec un réseau d’ondelettes ....................................... 28

II.4.2. Simulation et résultats .................................................................................... 34

II.5. Commande adaptative avec un réseau d’ondelettes flou.............................................. 38

II.5.1. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre 2 ...................................... 38

II.5.2. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre n ..................................... 42

II.5.3. Cas d’un système multi-entrées multi-sorties d’ordre n.................................... 44

II.5.4. Procédure de mise en oeuvre : .......................................................................... 54

II.6. Simulation et résultats ................................................................................................... 55

II.6.1.Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre n ....................................... 55

II.6.2.Cas d’un système multi-entrées multi-sorties d’ordre n ..................................... 61

II.7. Conclusion ..................................................................................................................... 67

Chapitre 3 : Commande Adaptative Floue Type-2

III.1. Introduction ................................................................................................................. 69

III.2. contexte et formulation du problème .......................................................................... 70

III.3. Mise en œuvre de la loi de commande ........................................................................ 73

III.4. Simulations et résultats ................................................................................................ 76

III.4.1. Exemple 1 : système masse ressort :................................................................ 76

III.4.2. Exemple 2 : bars de robot ............................................................................... 79

III.5. Conclusion ...................................................................................................................... 81

Chapitre 4 : Validation Expérimentale

IV.1. Introduction .................................................................................................................. 82

IV.2. Banc d’essais ................................................................................................................ 82

IV.3. Résultats expérimentaux .............................................................................................. 84

IV.3.1.Résultats expérimentaux de la commande (2-43) ……………………….…84

IV.3.1.1. Essai à vide. ............................................................................................. 85

IV.3.1.2. Essai avec une charge. ............................................................................ 87

IV.3.2.Résultats expérimentaux de la commande (3-22) ............................................. 89

IV.3.2.1. Essai avec une charge. ............................................................................ 89

IV.3.2.2. Position initiale y(0) = -2.4 rad................................................................ 92

IV.3.2.3. Position initiale y(0) = 9.4 rad. ................................................................ 93

IV.3.2.4. Test de robustesse .................................................................................... 94

IV.4. Conclusion .................................................................................................................... 95

Conclusion générale ................................................................................................................. 96

Annexe : Banc d’Essais

A.1. Module dSPACE DS1104 ............................................................................................... 98

A.2. Amplificateur de tension................................................................................................ 99

A.3. Capteur de position ........................................................................................................ 99

A.4. Motoréducteur .............................................................................................................. 100

A.4.1. Mise en équations du système ........................................................................ 102

A.4.2. Modélisation du motoréducteur sous Simulink .............................................. 104

A.5. MATLAB Simulink ...................................................................................................... 105

A.6. ControlDesk ................................................................................................................. 107

1

INTRODUCTION GENERALE

La linéarisation entrée-sortie a été très utilisée en automatique non linéaire pour trouver une

relation directe entre la sortie du système et son entrée afin de mettre œuvre une loi de

commande [Kha, 96], [Iso, 99], [Haj, 01]. Cependant, la complexité et la présence de fortes non

linéarités, dans certains cas, ne permettent pas d’avoir une compensation exacte de ces non

linéarités et ainsi obtenir les performances de poursuite désirées. De plus, la connaissance du

modèle est indispensable ce qui est généralement très difficile. Pour contourner ce problème,

l’approximation du modèle ou de la loi de commande peut être une alternative. Dans ce contexte,

plusieurs commandes adaptatives pour des systèmes non linéaires affines dans la commande ont

été présentées dans la littérature où l’approximation est assurée soit par un système flou, soit par

un réseau de neurones ou un réseau d’ondelettes [Tak, 85], [Wan, 94], [Nar, 90], [Nor, 98], [Del,

95], [Che, 98], [Gue, 01], [Ham, 03b], [Haj, 05], [Lab, 05], [Ess, 06], [Liu, 07], [Bou, 08]. Comme

dans la commande adaptative classique, on peut distinguer deux cas : direct et indirect. Dans le

cas de la loi directe, la commande est approximée par un approximateur mis à jour selon une loi

d’adaptation déduite de l’étude de la stabilité. Dans le cas indirect, on approxime d’abord la

dynamique du système par deux approximateurs puis on met en œuvre la loi de commande. Les

lois d’adaptation sont également déduites de l’étude de stabilité au sens de Lyapunov. Cependant,

ce type de commandes ne permet pas de maintenir de bonnes performances de poursuite en

présence de perturbations externes.

Connu par sa robustesse et sa simplicité de mise en œuvre, le mode glissant a été largement utilisé

pour commander une large classe de systèmes non linéaires [Utk, 77], [Slo, 84], [Per, 02]. Il s’agit

de définir une surface dite de glissement en fonction des états du système de façon qu’elle soit

attractive. La commande globale synthétisée se compose de deux termes : le premier permet

l’approche jusqu’à cette surface et le second le maintien et le glissement le long de celle-ci vers

l’origine du plan de phase. La commande globale ainsi construite permet d’assurer en plus des

bonnes performances de poursuite, une dynamique rapide et un temps de réponse court.

Cependant, cette loi de commande représente quelques inconvénients qui peuvent être résumés

en deux points. Le premier réside dans la nécessité d’avoir des informations précises sur

l’évolution du système dans l’espace d’état et les bornes supérieures des incertitudes et des

perturbations. Or, la nature incertaine des systèmes non linéaires rend difficile si ce n’est

impossible de disposer d’une description analytique de la dynamique du système. Le second

inconvénient réside dans l’utilisation de la fonction signe dans la loi de commande pour assurer le

2

passage de la phase d’approche à celle du glissement. Ceci donne lieu au phénomène de

broutement qui consiste en des variations brusques et rapides du signal de commande, ce qui

peut exciter les hautes fréquences du processus et l’endommager. Pour remédier à ces problèmes,

plusieurs approches ont été présentées dans la littérature [Slo, 91], [Bar, 98], [Lin-02], [Wan, 97],

[Yoo,98], [Bou, 00], [Man, 03], [Nol, 06]. En effet, pour le premier inconvénient plusieurs travaux

ont été focalisés sur la combinaison des modes glissants avec la commande adaptative où la

dynamique du système incertain est approximée à l’aide d’un réseau de neurones, d’un système

flou ou une combinaison des deux (réseau neuro-flou) [Wan, 97], [Yoo,98], [Man, 03], [Hsu, 04].

Cependant quelques problèmes sur la convergence de l’algorithme adaptatif et les conditions de

stabilités restent posés. Pour le second inconvénient, l'introduction d'une bande de transition

autour de la surface de glissement pour transformer la fonction signe en saturation, peut être une

solution [Slo, 91]. Néanmoins, une erreur statique subsiste, et un compromis entre la largeur de la

bande et les variations de la commande s’impose. D’autre approche utilisant un système flou ont

été également proposées dans littérature [Lin, 02].

Cette thèse contribue à l’élaboration d’une famille de lois de commande adaptative robuste basée

sur le mode glissant pour une classe de systèmes non linéaires incertains et perturbés. Ainsi, nous

allons d’abord proposer une commande où une connaissance partielle de la dynamique du

système est disponible. Les non linéarités inconnues sont approximées par un réseau d’ondelettes.

Ensuite, nous allons utiliser un réseau d’ondelettes flou, combinant les avantages des ondelettes

et de la logique floue, comme approximateur pour traiter le cas où aucune connaissance n’est

disponible. Pour les deux approches, la robustification est assurée à l’aide du mode glissant où

nous avons proposé une surface non linéaire. Ce choix permet d’avoir un compromis entre les

sollicitations au démarrage et le temps de réponse. Pour les deux approches, les lois d’adaptation

sont déduites de l’étude de stabilité. Pour améliorer l’approximation et la robustesse, nous

proposons une nouvelle loi de commande. Il s’agit d’utiliser un système flou de type-2 afin de

prendre en compte les différentes incertitudes négligées dans le cas d’un système flou classique, et

ainsi d’obtenir une meilleure approximation. Au niveau de la robustesse, nous proposons une

nouvelle surface de glissement permettant de supprimer la phase d’approche. Les trois approches

sont validées d’abord par simulation puis sur un banc d’essais.

En résumé, le travail présenté dans ce mémoire porte sur la combinaison de la commande

adaptative, de l’intelligence artificielle et du mode glissant pour résoudre le problème de poursuite

des systèmes non linéaires.

3

Ce mémoire se compose de quatre chapitres :

Dans le chapitre 1, nous présentons un aperçu sur deux approximateurs utilisés en automatique :

système flou (type-1 et type-2) et le réseau d’ondelettes. Nous abordons quelques concepts de

base ainsi que leurs structures générales.

Dans le chapitre 2, nous synthétisons deux commandes adaptatives par modes glissants. On

utilisera d’abord un réseau d’ondelettes comme approximateur [Hus, 08a] puis un réseau

d’ondelettes flou [Hus, 07b]. Dans les deux cas, nous utiliserons une surface de glissement non

linéaire pour améliorer le comportement dynamique du système et remédier à certains

inconvénients du mode glissant classique. Dans les deux cas, des résultats de simulation avec une

étude comparative sont présentés pour illustrer les performances des approches proposées.

L’extension aux systèmes mono-entrée mono-sortie et multi-entrées multi-sorties d’ordre n est

également présentée [Hus, 08b].

Dans le chapitre 3, nous allons présenter une nouvelle loi de commande adaptative floue par

mode glissant utilisant un système flou de type-2 [Hus, 08c]. Ce dernier est utilisé pour prendre

en compte les incertitudes qu’un système flou de type-1 ne peut exploiter. De plus, nous avons

utilisé une nouvelle surface de glissement afin de supprimer la phase d’approche et d’entamer la

phase de glissement dès l’instant initial. Ceci nous permet d’augmenter l’insensibilité du système

bouclé vis-à-vis des perturbations externes et d’améliorer son comportement dynamique. La

stabilité globale du système bouclé est étudiée à l’aide de la théorie de Lyapunov. Des simulations

ainsi qu’une comparaison sont présentées pour illustrer l’apport de cette approche.

Enfin, le chapitre 4 sera consacré à la validation en temps réel des commandes proposées dans

les chapitres précédents sur un banc d’essais. Plusieurs tests ont été effectués pour mettre en

évidence les performances de poursuite assurées par les approches proposées.

Chapitre 1

Approximateurs Intelligents


4

I.1. Introduction

Contrairement à l’automatique linéaire, l’automatique non linéaire ne dispose pas de solutions

universelles ni pour l’analyse des systèmes ni pour la conception de leurs contrôleurs. L’analyse

et la commande de ces systèmes ne sont pas toujours des tâches faciles. La plupart des travaux

dans la littérature proposent des approches qui sont, généralement, limitées à des formes bien

particulières de systèmes [Slo, 91], [Kha, 96], [Cha, 00], [Cha, 01], [Han, 04]. De plus, les

performances assurées sont, souvent, au prix de la complexité du schéma de commande et du

développement théorique utilisé.

L’expression qui représente, par des équations, les relations entre les entrées et les sorties du

processus est appelée modèle mathématique. Si ces équations sont algébriques, le modèle est dit

statique et si elles sont différentielles ou aux différences récurrentes, le modèle est dit dynamique,

respectivement à temps continu ou à temps discret. Généralement, un modèle peut être utilisé

pour :

1. simuler un processus : à des fins pédagogiques, de détection d’anomalies de

fonctionnement, de diagnostic de pannes, de conception assistée par ordinateur, etc.

2. effectuer la synthèse d’une loi de commande ou pour être incorporé dans un dispositif de

commande.

Il est clair que la plupart des processus que l’on peut rencontrer nécessiteraient des modèles non

linéaires s’il fallait les décrire de manière précise dans la totalité de leur domaine de

fonctionnement : la majorité des modèles linéaires constitue des approximations valables dans un

domaine plus ou moins restreint. Il est donc important de pouvoir élaborer un modèle non

linéaire pour rendre compte du comportement d’un processus, non seulement autour de ses

points de fonctionnement habituels, mais également lors des passages d’un point de

fonctionnement à un autre.

En automatique, la majorité des approches de la commande non linéaire exige la disponibilité

d’un modèle mathématique du système et ceci n’est pas toujours réalisable à cause de

l’imprécision et l’incertitude liées aux paramètres mal connus, difficilement identifiables et des

dynamiques négligées. D’autre part, les performances assurées seront directement liées à

l’exactitude du modèle utilisé. Par conséquent, les automaticiens sont confrontés au problème de

définir un modèle mathématique précis sachant que les systèmes deviennent de plus en plus

complexes, les méthodes de modélisation traditionnelles s’avèrent souvent incapables de


5

représenter le comportement global d’un système. L’utilisation des contrôleurs basés sur

l’expertise humaine peut être une alternative à la commande de ce type de systèmes. Ils

présentent l’avantage de tolérer l’incertitude du modèle et compensent son effet. Parmi ces

approches, nous distinguons celles utilisant la logique floue qui permet la commande des

systèmes en exploitant les informations linguistiques pour la modélisation ainsi que la loi de

commande [Haj, 05], [Pag, 05]. Les incertitudes, les non linéarités négligées et les différentes

contraintes imposées sur la modélisation du processus peuvent être aussi compensées par les

contrôleurs flous avec l’obtention de meilleures performances [Kol, 04], [Gue, 05], [Hus, 06]. Ces

contrôleurs ont connu beaucoup de succès et devenus un sujet principal dans le domaine de la

recherche des systèmes intelligents [Li, 96], [Car, 00], [Dio, 03], [Gue, 04], [Li, 05], [Eke, 06],

[Hus, 07a], [Sal, 08].

Les paramètres mal connus ou les dynamiques négligées par une modélisation simplifiée peuvent

influer sur la stabilité du système, alors que l’effet de celles-ci peut être compensé par un

contrôleur basé sur l’intelligence artificielle comme le réseau d’ondelettes ou la logique floue

(type-1 et type-2).

Un contrôleur flou peut avoir plusieurs structures, parmi lesquelles celles qui sont similaires aux

contrôleurs classiques. L’existence de cette analogie entre les deux structures permet d’exploiter

le support théorique des approches classiques, et de trouver des méthodes, plus ou moins,

systématiques pour la conception du contrôleur flou et le réglage de ses paramètres. En effet,

l’analogie avec le contrôle adaptatif (direct ou indirect) peut être utilisée pour la synthèse du

contrôleur flou [Wah, 07], [Wan, 07], [Qi, 08], [Pha, 08]. En exploitant la robustesse de la

commande à structure variable, il a été prouvé dans [Hus, 07b], que le contrôleur flou peut être

intégré avec la commande par modes glissants et que le critère de Lyapunov peut être utilisé pour

l’analyse de stabilité du système.

Parmi les approches alternatives aux méthodes de modélisation traditionnelles, on trouve les

réseaux de neurones et les réseaux d’ondelettes. Les réseaux de neurones ont été représentés

mathématiquement pour la première fois grâce à des travaux à connotation biologique dans les

années 40. Ils sont devenus maintenant comme des outils mathématiques, indépendamment de

toute référence à la biologie. Parmi leurs domaines d’utilisation, on peut citer : la modélisation, la


6

commande de processus non linéaires et la classification, notamment pour la reconnaissance des

formes.

Les principales étapes dans l’évolution de la théorie des réseaux de neurones étaient : de

développer un algorithme, pour l'évaluation du gradient de la fonction de coût, appelé algorithme

de rétropropagation [Rum, 86], de prouver ses propriétés d’approximateur universel [Hor,89],

[Bar, 93], [Hor, 94]. L’une des premières applications dans le domaine de la modélisation non

linéaire de processus a été présentée par Narendra [Nar, 90].

Cependant, la représentation d’un modèle d’un système n’est pas unique, ce qui ne permet pas de

construire le meilleur réseau. Ceci représente un inconvénient majeur et ne facilite pas

l’implémentation des réseaux de neurones dans les commandes en temps réel.

Récemment, les réseaux d’ondelettes ont fait l’objet de plusieurs travaux [Xu, 07], [Bas, 08], [Zek,

08], [Kar, 08]. Cet intérêt est dû au fait que ces réseaux regroupent la capacité des réseaux de

neurones dans l’apprentissage à partir du système étudié et ceux des ondelettes dans la

décomposition des signaux. Les réseaux d’ondelettes ne permettent pas seulement d’assurer la

convergence de l’algorithme mais d’augmenter également sa vitesse [Hsu, 06].

Les fonctions ondelettes trouvent leur origine dans des travaux de mathématiciens depuis les

années 1930. L’idée de départ était de construire une transformation, pour l’étude des signaux,

plus commode que la transformation de Fourier, notamment pour des signaux de durée finie.

Les fonctions ondelettes ont subi une évolution au cours des années : celles dont nous disposons

aujourd’hui sont plus complexes que leurs aînées, et possèdent des propriétés intéressantes pour

l’approximation de fonctions. En particulier, elles possèdent la propriété d’approximateurs

universels, ce qui suggère leur utilisation pour la construction de modèles « boîte noire »1, la

modélisation et la commande non linéaire. La notion de réseaux d’ondelettes existe depuis Pati

[Pat, 93] et l’étude de la propriété de parcimonie n’a pas été abordée. L’un des objectifs de ce

1 Les modèles “boîte noire” sont construits essentiellement sur la base de mesures effectuées sur

les entrées et les sorties du processus à modéliser. La modélisation consiste alors à utiliser, pour

représenter les relations entre les entrées et les sorties, des équations (algébriques, différentielles,

ou récurrentes) paramétrées, et à estimer les paramètres, à partir des mesures disponibles, de

manière à obtenir la meilleure précision possible avec le plus petit nombre possible de

paramètres ajustables.


7

mémoire est l’étude de la mise en oeuvre de cette classe de réseaux pour modéliser des processus

non linéaires afin de déduire une loi de commande adaptative et non linéaire.

Dans ce qui suit, nous présenterons quelques aspects théoriques de la logique floue de type-1 et

de type-2 ainsi que les réseaux d’ondelettes en insistant sur leur utilisation dans l’automatique.

I.2. Généralités sur la logique floue type-1

L’introduction en commande de nouvelles techniques telles que la logique floue, a suscité un

intérêt sans cesse croissant depuis quelques décennies. Il suffit de voir les nombreuses

applications industrielles qui en découlent et de consulter l’abondante littérature sur le sujet pour

s’en convaincre.

L’intérêt de la logique floue réside dans sa capacité à traiter l’imprécision et l’incertitude. Elle est

issue de la capacité de l’homme à décider et agir d’une façon pertinente malgré la nature floue

des connaissances disponibles.

Cette logique a été introduite dans le but d’approcher le raisonnement humain à l’aide d’une

représentation adéquate des connaissances. Aussi, le succès de la commande floue trouve en

grande partie son origine dans sa capacité à traduire une stratégie de contrôle d’un opérateur

qualifié en un ensemble de règles linguistiques « si … alors » facilement interprétables.

L’utilisation de la commande floue est particulièrement intéressante lorsqu’on ne dispose pas de

modèle mathématique précis du processus à commander ou lorsque ce dernier présente de

fortes non linéarités ou imprécisions.

Les systèmes flous permettent d’exploiter et de manipuler efficacement les informations

linguistiques émanant de l’expert humain grâce à un fondement théorique important [Ibr, 04],

[Jan, 07]. En plus, le système mis en œuvre peut être intégré facilement dans une boucle de

commande ou d’identification. La structure de base d’un système flou se divise en trois parties

principales comme le montre la figure (1-1).


8

FUZZ

IFIC

ATI

ON

DEF

UZZ

IFIC

ATI

ON

Base de règles floues Si-Alors

Moteur d’inférence

INFERENCE

x y

Figure (1-1) : Système flou type-1

I.2.1. Fuzzification

L’entrée x varie dans un domaine appelé univers de discours X , divisé en un nombre fini

d’ensembles flous1 de telle sorte que dans chaque zone il y a une situation dominante. Afin de

faciliter le traitement numérique et l’utilisation de ces ensembles, on les décrit par des fonctions

convexes dite d’appartenance. Elles admettent comme argument la position de x dans l’univers

de discours, et comme sortie le degré d’appartenance de x à la situation décrite par la fonction.

Il est à noter qu’il existe une autre forme de fonctions d’appartenance appelée singleton qui est

largement utilisée dans les systèmes flous de type Takagi-Sugeno (TS). Cette fonction est définie

par : ( ) 1xμ = si 0x x= et ( ) 00,x x xμ = ∀ ≠ où l’ensemble se limite à un seul élément

{ }0E x= .

La fuzzification proprement dite consiste à définir des fonctions d’appartenances pour les

différentes variables linguistiques. Le but est la conversion d’une grandeur physique en une

linguistique. Il s’agit d’une projection de la variable physique sur les ensembles flous caractérisant

cette variable. Cette opération permet d’avoir une mesure précise sur le degré d’appartenance de

la variable d’entrée à chaque ensemble flou. Afin de garantir la couverture uniforme de l’univers

de discours et d’éviter les indécisions ou les confusions entre les règles, on doit vérifier les

propriétés suivantes :

1 Un ensemble E X⊂ est dit flou, si on peut associer à un élément x X∈ un degré de vérité entre « il appartient 100% à E » et « il n’appartient pas à E ».


9

1. Complémentarité : des ensembles flous 1E , …, NE sont dits complémentaires, si pour tout

élément x de l’univers de discours, il existe au moins un ensemble flou ,1i i NE ≤ ≤ , tel que le

degré d’appartenance de x à iE est non nul.

2. Consistance : des ensembles flous 1E , …, NE sont dits consistants si un élément x vérifie

( ) 1iE xμ = alors, ( ) 1

jE xμ < pour tout ij ≠ .

I.2.2. Inférence

Les connaissances de l’opérateur humain sur un processus donné sont transformées en un

ensemble de règles floues de la forme suivante :

Si prémisse Alors conclusion (1-1)

où la prémisse est un ensemble de conditions liées entre elles par des opérateurs flous.

La partie conclusion peut être une description d’évolution dans le cas d’identification ou une

action dans le cas de commande. Les opérateurs flous utilisés dans la partie prémisse sont les

conjonctions : "ET", "OU".

L’interprétation de ces conjonctions dépend directement du type du moteur d’inférence adopté

[Buh, 94], [Yin, 00]. La relation entre la prémisse et la conclusion "Alors" peut être traduite par le

produit ou le minimum.

Dans ce travail, on s’intéressera aux systèmes flous de type Takagi-Sugeno à conclusion

constante dont la èmej règle floue est donnée par :

SI 1 1jx est E ET 2 2

jx est E ET… ET jn nx est E ALORS j

ju c= (1-2)

où ix ( 1,...,i n= ) sont les entrées du système flou, jiE est l’ensemble flou correspondant à

l’entrée ix , jc est un singleton et ju est la sortie de la èmej règle. L’opérateur "ET" est

interprété par le produit algébrique et "Alors" par le produit.


10

La sortie du système flou fait intervenir, généralement, plusieurs règles floues. La liaison entre

ces règles se fait par l’opérateur "OU", ainsi la conclusion finale u sera :

u est : 1u OU 2u OU… OU mu . (1-3)

L’agrégation des règles définie par "OU" est obtenue par la somme algébrique.

I.2.3. Défuzzification

La commande nécessitant un signal précis, il faudra donc transformer la fonction d’appartenance

résultante obtenue à la sortie du moteur d’inférence en une valeur précise. Cette opération est

appelée défuzzification. Parmi les méthodes utilisées dans la littérature [Buh, 94], [Pas, 98], [Yin,

00], on peut citer :

1. Le centre de gravité

2. La méthode de la hauteur

3. La méthode de la hauteur modifiée

4. La méthode de la valeur maximum

5. La méthode de la moyenne des centres

Dans ce travail, on utilisera le centre de gravité [Pas, 98] qui permet d’exprimer analytiquement la

sortie du système flou, de simplifier sa mise en œuvre et de réduire le temps de calcul. Dans ce

cas, la sortie du système flou de type Takagi-Sugeno est donnée par :

1 1

1 1

nmj j

ij i

nmj

ij i

cu

μ

μ

= =

= =

=∑ ∏

∑∏

(1-4)

où n et m sont respectivement le nombre d’entrées et celui de règles floues utilisées.

I.3. Généralités sur la logique floue type-2

Comme il est connu dans la littérature, les systèmes flous sont constitués par des règles. La

connaissance utilisée pour construire ces règles est d’une nature incertaine. Cette incertitude

mène alors à obtenir des règles dont les prémisses ou les conséquences soient incertaines, ce qui

donne des fonctions d’appartenance incertaines. Les systèmes flous type-1 dont les fonctions


11

d’appartenance sont des ensembles flous type-1, sont incapables de prendre en compte de telles

incertitudes de règles. Nous introduisons dans ce qui suit une nouvelle classe de systèmes flous

appelée système flou type-2 dans laquelle les valeurs d’appartenance des prémisses ou des

conséquences sont elles-mêmes des ensembles flous type-1. Les ensembles flous type-2 sont très

efficaces dans les circonstances où il nous est difficile de déterminer exactement les fonctions

d’appartenance pour les ensembles flous ; par conséquent, ils sont très efficaces pour

l’incorporation des incertitudes.

La théorie des probabilités est utilisée pour modéliser l’incertitude aléatoire, dans laquelle la

fonction de distribution de probabilité (fdp) incarne la totalité des informations concernant les

incertitudes aléatoires. Dans la plupart des applications pratiques, il est impossible de connaître

ou de déterminer la fdp. Ainsi, on est obligé d’admettre le fait qu’une fdp serait complètement

caractérisée par l’ensemble de ses moments.

On considère que la sortie d’un système flou type-1 correspond à la valeur moyenne d’une

densité de probabilité fdp. Donc, nous devons considérer que le calcul de la défuzzification pour

un système flou de type-1 est équivalent au calcul de la moyenne d’une fdp. La variance nous

fournit une mesure de dispersion autour de la valeur moyenne, et elle est généralement utilisée

pour considérer plus d’informations concernant les incertitudes statistiques. Par conséquent, les

systèmes flous ont aussi besoin d’une certaine mesure de dispersion pour leur permettre de tenir

compte des incertitudes de règles. La logique floue de type-2 permet d’introduire ces mesures de

dispersion.

Dans ce qui suit, nous allons introduire la logique floue type-2, et présenter tous les points clefs

de cette technique.

Le concept des ensembles flous type-2 a été introduit par Zadeh [Zad, 75], [Joh, 07] comme

extension du concept de l’ensemble flou ordinaire appelé ensemble flou type-1. Un ensemble

flou type-2 est caractérisé par une fonction d’appartenance floue, c’est à dire, la valeur

d’appartenance (degré d’appartenance) de chaque élément de l’ensemble est un ensemble flou

dans [0, 1]. De tels ensembles peuvent être utilisés dans les situations où nous avons de

l’incertitude sur les valeurs d’appartenance elles mêmes. L’incertitude peut être soit dans la forme

de la fonction d’appartenance ou dans l’un de ses paramètres.

Considérons la transition des ensembles ordinaires vers les ensembles flous. Lorsque nous ne

pouvons pas déterminer le degré d’appartenance d’un élément à un ensemble par 0 ou 1, on

utilise les ensembles flous type-1. Du même, lorsque nous ne pouvons pas déterminer les


12

fonctions d’appartenance floues par des nombres réels dans [0, 1], on utilise alors les ensembles

flous type-2. Donc, idéalement, nous aurons besoin d’utiliser des ensembles flous type-∞ pour

compléter la représentation de l’incertitude. Bien sur, nous ne pouvons pas réaliser cela

pratiquement, parce que nous devons utiliser des ensembles flous de type fini. De ce fait, les

ensembles flous type-1 peuvent être considérés comme une approximation du premier ordre de

l’incertitude, alors que les ensembles flous type-2 seront considérés comme approximation du

deuxième ordre.

La structure d’un système flou type-2 est représentée dans la figure (1-2) [Hag, 07]. Nous allons

supposer dans cette section que les fonctions d’appartenance des prémisses et des conséquences

sont de type-2.

Figure (1-2) : Structure d’un système flou type-2, avec ses deux sorties :

(a) l’ensemble de type réduit (b) la sortie défuzzifiée.

I.3.1. Fuzzification

Contrairement à la fonction d’appartenance type-1, La fonction d’appartenance type-2 donne

plusieurs degrés d’appartenance (ou dimensions) pour chaque entrée. Par conséquent,

l’incertitude sera mieux représentée. Cette représentation va nous permettre de tenir compte de

ce qui a été négligé par le type-1.

Pour illustrer cet aspect, nous allons considérer une fonction gaussienne avec

1. une incertitude de variance (figure (1-3)).

Fuzzification

Moteur d’Inférence

Base de Règles

Traitement de sortie

Ensemble flou de sortie Ensembles flous d’entrée

Sortie non floue

Ensemble flou de type

réduit

Défuzzification

Réduction de type

Entrée Non floue


13

2. une incertitude de moyenne (figure (1-4)).

Dans notre thèse, seule la fuzzification de type singleton sera utilisée [Ess, 08], en d’autres

termes, l’entrée floue est un point singulier possédant une valeur d’appartenance unitaire. Malgré

cela, la fuzzification produit des degrés d’appartenance nombreux.

Afin de faciliter le calcul, nous ne prenons que deux degrés ; le plus grand et le plus petit.

Mathématiquement, pour une entrée x nous aurons ( )Axμ et ( )A xμ tel que, ( )A

xμ et

( )A xμ sont respectivement la valeur minimale et maximale de l’intervalle d’activation

correspondant à l’entrée x . Si nous avons 4x = comme entrée, donc nous aurons ( ) 0.05A

xμ =

et ( ) 0.45A xμ = (selon la figure (1-3)) ou ( ) 0.29A

xμ = et ( ) 0.69A xμ = (selon la figure (1-

4)).

Les figures (1-3) et (1-4) montrent aussi la construction d’un ensemble flou type-2 à partie d’un

ensemble flou type-1.

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m

Gaussienne

Intervalle d’activation correspondant à x = 4

Figure (1-3) : Ensemble flou type-2 représentant un ensemble flou type-1 avec une incertitude de

variance appartenant à l’intervalle [0.05 ; 0.45] pour x=4.


14

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m

Gaussienne

Intervalle d’activation correspondant à x = 4

Figure (1-4) : Ensemble flou type-2 représentant un ensemble flou type-1 avec une incertitude de

valeur moyenne appartenant à l’intervalle [0.29 ; 0.69] pour x=4.

I.3.2. Inférence

La différence entre le type-1 et le type-2 réside seulement dans la nature des fonctions

d’appartenance, donc, la structure des règles dans le cas du type-2 va rester exactement la même.

La seule différence étant que quelques (ou toutes) les fonctions d’appartenance seront de type-2 ;

alors, la jème règle d’un système flou type-2 aura la forme [Men, 02], [Cha, 06]:

SI 1 1jx est E ET 2 2

jx est E ET… ET jn nx est E ALORS j

ju c= (1-5)

où ix ( 1,...,i n= ) sont les entrées du système flou, jiE est l’ensemble flou de type-2

correspondant à l’entrée ix , jc est un singleton de type-2 et ju est la sortie de la èmej règle.

L’opérateur "ET" est interprété par le produit algébrique et "Alors" par le produit.

Il n’est pas nécessaire que toutes les fonctions d’appartenance des prémisses et des conséquences

soient de type-2. Il suffit qu’une seule fonction d’appartenance dans une prémisse ou dans une

conséquence soit de type-2 pour que tout le système le soit aussi.

Le degré d’activation correspondant à la jème règle est alors :


15

(x ) = (x ) , (x ) , j jj jjE e e e e⎡ ⎤ ⎡ ⎤° ° ° ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1-6)

où ( )je x° et ( )j

e x° peuvent être écrits sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )j j jn i1

nj1 n ii 1A A A

e x x x xμ μ μ° ° °=

° = ∗ ∗ =∏ (1-7)

( )j1

1Axμ ° est la valeur minimale de l’intervalle d’activation correspondant à 1x x°= .

( ) ( ) ( ) ( )j j jn i1

j n1 n iA A Ai 1e x x x xμ μ μ° ° °

=° = ∗ ∗ =∏ (1-8)

( )j1 1A xμ ° est la valeur maximale de l’intervalle d’activation correspondant à 1x x°= .

tel que * représente l’opérateur de multiplication.

I.3.3. Défuzzification

Pour obtenir la sortie non floue, nous allons transformer l’ensemble flou type-2 en ensemble flou

type-1 utilisant la méthode des centres d’ensembles [Men, 07]. Karnik et Mendel ont proposé

l’équation (1-9) pour faire cette réduction [Kar, 99]:

( ) [ ]1 M 1 M

1 M 1 M,…, , ,…, 1M j jj 1

L RM jC C E Ej 1

c eY C C E E c ,c

e=

=

= =∑

∫ ∫ ∫ ∫ ∑ (1-9)

où Y est l’ensemble de type réduit caractérisé par ses deux points : à gauche ly et à droite ry .

jc est un élément de l’intervalle type-2 j j jL RC c , c⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

je est un élément de l’intervalle d’activation ,jjjE e e⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Le type réduit par (1-9) sera déterminé par le point le plus à droite et celui le plus à gauche, ly et

ry respectivement.

En appliquant le centre de gravité au type réduit, la sortie non floue sera donnée par [Cha, 06] :


16

l ry yY2+

= (1-10)

ly peut être écrit comme un vecteur de fonctions à base floue (FBF) :

1

1

1

( )

Mj j

l l MTj j jll l lM l

j jl

j

c ey c c x

eξ ξ=

=

=

= = =∑

∑∑

(1-11)

où

jle est le degré d’activation (soit je ou

je ),

1( ) , , Ml ll

xξ ξ ξ⎡ ⎤= ⎣ ⎦… , et

1, ,T Ml l lc c c⎡ ⎤= ⎣ ⎦… est la conclusion de système floue type-2.

1

jj l

l Mj

lj

e

eξ

=

=

∑

(1-12)

De la même façon,

1

1

1

( )

Mj j

r r MTj j jrr r rM r

j jr

j

c ey c c x

eξ ξ=

=

=

= = =∑

∑∑

(1-13)

1

jj r

r Mj

rj

e

eξ

=

=

∑

(1-14)

Finalement, (1-10) peut être réécrite:

2

T Tl rl r

c cY

ξ ξ+= (1-15)


17

I.4. Généralités sur les Réseaux de Neurones et les Réseaux d’ondelettes.

Grâce aux résultats théoriques et pratiques obtenus au cours des dernières années, les réseaux de

neurones sont devenus un outil de plus en plus utilisé dans divers domaines notamment en

automatique. Ils demeurent toutefois un sujet d’un grand intérêt pour les chercheurs qui désirent

améliorer les performances de ces réseaux et étendre leur champ d’application.

La propriété fondamentale des réseaux de neurones, l’approximation universelle, fait de ceux-ci

une représentation mathématique très avantageuse pour la modélisation statique et dynamique

non linéaire de processus. L’utilisation de neurones sigmoïdaux était initialement justifiée par une

analogie biologique ; mais celle-ci est devenue caduque pour la conception de systèmes de

traitement de signaux ou de modélisation de processus. Il est donc légitime d’explorer les

possibilités d’utiliser d’autres types de neurones [Son, 93].

Cet effort de recherche d’une alternative aux réseaux de neurones classiques s’est tout d’abord

dirigé vers les réseaux de fonctions radiales, en particulier gaussiennes. Ils ont notamment été

mis en oeuvre en automatique non linéaire : modélisation et commande de processus. Les

techniques de construction de ces réseaux aboutissent généralement à des modèles peu précis.

En revanche, ils possèdent des propriétés plus intéressantes que les réseaux de neurones pour la

synthèse de lois de commandes stables [Car, 00].

Des familles de fonctions, issues du traitement du signal et de l’image, appelées ondelettes ont

été utilisées pour résoudre des problèmes d’approximation de fonctions [Bin, 00], [Lin, 09]. Les

ondelettes sont plus compliquées que les fonctions utilisées pour les réseaux de neurones

classiques mais, elles possèdent quelques propriétés prometteuses pour la modélisation de

processus.

Dans ce travail, l’étude et la mise en oeuvre des fonctions ondelettes pour la modélisation

dynamique de processus sera considérée. Parmi les résultats théoriques concernant les bases de

fonctions ondelettes, il a été prouvé que cette famille de fonctions possède la propriété

d’approximation universelle [Hus, 07c].


18

I.4.1. Réseaux d’ondelettes

Le terme ondelette désigne une fonction qui oscille sur un intervalle de longueur finie. Au delà, la

fonction décroît très vite vers zéro.

Historiquement, les premières ondelettes introduites par Haar [Haa, 10] constituaient une base

de fonctions orthogonales. Les ondelettes de Haar présentent la particularité de ne pas être

dérivables. Plus tard, de nouvelles fonctions ondelettes orthogonales ont été introduites [Mey,

90]. La mise en oeuvre de ces fonctions est reconnue dans le cadre de l’analyse multi-résolution

de signaux [Mal, 99]. Puisque ces ondelettes ne peuvent s’exprimer sous une forme analytique

simple, elles sont peu adaptées pour l’approximation de fonctions et nous n’utiliserons donc pas

les ondelettes orthogonales dans ce mémoire. Les structures obliques (frames en anglais) ont été

introduites par Morlet [Gou, 84] dans le but de trouver des bases de fonctions (non

nécessairement orthogonales) pour représenter des signaux. Ces structures obliques ont fait

l’objet des travaux de Daubechies [Dau, 92] qui a développé un support théorique aux résultats

de Morlet. Les structures obliques ont des expressions analytiques simples, et toute fonction de

carrés sommables peut être approchée, avec la précision voulue, par une somme finie

d’ondelettes issues d’une structure oblique. Cette propriété est équivalente à celle de

l’approximation universelle pour les réseaux de neurones.

I.4.2. Réseaux Issus de la Transformée Continue en Ondelettes.

De manière analogue à la théorie des séries de Fourier, les ondelettes sont principalement

utilisées pour la décomposition de fonctions. La décomposition d’une fonction en ondelettes

consiste à l’écrire comme une somme pondérée de fonctions obtenues à partir des opérations

simples effectuées sur une fonction principale appelée ondelette–mère. Ces opérations consistent

en des translations et dilatations de la variable. Selon que ces translations et dilatations sont

choisies de manière continue ou discrète, on parlera d’une transformée en ondelettes continue ou

discrète. Nous nous sommes intéressés uniquement, dans notre travail, à la transformation en

ondelettes continue.

Soit ψ une ondelette–mère, x la variable, jt le paramètre de translation et jd le paramètre de

dilatation. L’ondelette jψ de la famille de ψ ayant pour paramètres jt et jd a pour expression :


19

( ) j jj j

j

x tz

dψ ψ

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1-16)

où i et j représentent les indices des couche d’entrée et cachée respectivement.

I.4.3. La structure de Réseaux d’ondelettes utilisés.

Les réseaux d’ondelettes sont des cas spéciaux de réseaux de neurones. Les dynamiques non

linéaires sont approximées par la superposition des fonctions sigmoïdes dans les réseaux de

neurones. Cependant, ces dynamiques non linéaires sont approximées par des fonctions

ondelettes dans les réseaux d’ondelettes [Ous, 98]. Les deux réseaux ont la propriété d’agir

comme approximateur universel.

Le réseau d’ondelettes considéré constitué de trois couches. Une première couche avec N

entrées, une couche cachée constituée par J ondelettes et un sommateur (ou neurone linéaire) de

sortie recevant les sorties pondérées des ondelettes, des parties linéaires et un biais. Ce réseau est

illustré par la figure (1-6).

Figure (1-6) : Représentation graphique d’un réseau d’ondelettes.

Dans cette thèse, nous considérons des réseaux d’ondelettes de la forme suivante :

X1

X2

Xn

ψj

ψ1

ψ2 Y

Biais

Σ

1a

2a

na

B


20

1. La sortie de chaque élément dans la couche cachée est décrite par l’équation (1-16).

2. La valeur de ψ sera calculée selon l’équation (1-17).

3. La sortie de sommateur Y sera obtenue comme le montre l’équation (1-18). 2 2( ) (1 )exp( 0.5 )x x xψ = − − (1-17)

T TY C A X B= Ψ + + (1-18)

où [ ]1TT

JC c c= , [ ]1T

nA a a= et B représentent les variables de pondération.

I.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons abordé principalement trois approximateurs intelligents : la logique

flous type-1, la logique floue type-2 et les réseaux d’ondelettes. Nous avons donné la

représentation mathématique ainsi que la structure décrivant chaque approximateur.

La logique floue, établie par Zadeh en 1965 [Zad, 65], permet la représentation et le traitement

de connaissances imprécises ou approximatives. Le nombre d’applications basées sur la théorie

de la logique floue a augmenté considérablement ces dernières années [Ess, 04] car cette logique

est exprimée usuellement par des règles linguistiques de la forme Si –Alors. Elle est utilisée pour

résoudre les problèmes de décision en contrôle ou pour décrire le comportement dynamique

d’un système inconnu ou mal défini. La première génération de la logique floue est appelée la

logique floue type-1. Une nouvelle logique floue appelée logique floue type-2 est introduite pour

mieux représenter l’imprécision et l’incertitude. Les fonctions d’appartenance floues type-1 sont

bidimensionnelles, par contre, les fonctions d’appartenance floues type-2 sont

tridimensionnelles. La nouvelle (troisième) dimension des ensembles flous type-2 fournit un

degré de liberté supplémentaire permettant de prendre en charge la modélisation des incertitudes.

De ce fait, les ensembles flous type-2 ont la capacité de modéliser les incertitudes parce que leurs

fonctions d’appartenance sont eux-mêmes floues.

En raison de leurs propriétés d’approximation universelle et de parcimonie, les réseaux de

neurones ainsi que les réseaux d’ondelettes sont bien adaptés à la modélisation non linéaire de

processus. Ils peuvent constituer des outils de modélisation non linéaire, statique ou dynamique,

très efficaces.


21

Cependant, les réseaux d’ondelettes disposent une meilleure performance concernant la qualité

d’approximation ainsi que la capacité d’éviter les minima locaux de la fonction de coût.

La forme de chaque ondelette monodimensionnelle est déterminée par deux paramètres

(translation et dilatation) qui sont des paramètres structurels de l’ondelette. Ainsi, les ondelettes

sont des fonctions qui décroissent rapidement, et tendent vers zéro dans toutes les directions de

l'espace.

Chapitre 2 Commandes Adaptatives

Robustes Par Modes Glissants

Commandes Adaptatives Robustes par Modes Glissants

22

II.1. Introduction

La commande non linéaire a connu une expansion ainsi qu’une diversification importante depuis

les années 50, due à la multiplication des procédés industriels et des applications robotiques.

L’étude du contrôle non linéaire est d’un grand intérêt, puisque la majorité des systèmes réels

sont essentiellement non linéaires. Les méthodes linéaires conventionnelles sont satisfaisantes

mais pour des plages de fonctionnement restreintes. Dès que le système sort de ce domaine de

fonctionnement, le contrôleur linéaire n’est plus valable et ne garantit plus la stabilité du système.

D’où l’intérêt d’étudier plus profondément les méthodes de commande non linéaire.

Depuis quelques décennies, il a été prouvé que la théorie de la géométrie différentielle est un

outil efficace pour l’analyse et l’implémentation de commandes des systèmes non linéaires [Iso,

99]. Ses concepts mathématiques qui sont, dans la plupart des cas, faciles à maîtriser et puissant

permettent de traiter le découplage des perturbations, la régulation de la sortie, la représentation

entrée-sortie des systèmes non linéaires, …etc.

L’une des méthodes de commande non linéaire les plus connues, utilisant la géométrie

différentielle, est la commande par linéarisation exacte. Cette commande consiste à linéariser le

système par compensation et à appliquer à ce nouveau système une commande linéaire classique

telle que la commande par retour d’état [Sas, 89], [Ast, 89].

Néanmoins, la commande par linéarisation exacte est sensible aux variations paramétriques. Il est

toutefois possible de la stabiliser en ajoutant un processus adaptatif au contrôleur non linéaire.

La commande adaptative est un ensemble de techniques permettant de fournir une approche

systématique pour l’ajustement automatique d’un régulateur en temps réel, en but d’achever ou

de maintenir des performances désirées. Elle est très utile pour le système de commande lorsque

la dynamique du procédé est inconnue et/ou change au cours du temps. Ce type de commande

est aussi caractérisé par la présence d’une boucle d’identification en temps réel [Slo, 91], [Kha,

96].

Cependant, les approches développées ne peuvent être appliquées qu’autour d’un point de

fonctionnement pour obtenir un modèle linéaire. Pour résoudre ce problème, plusieurs travaux

se sont focalisés sur la combinaison de la commande adaptative classique et les approximateurs

universels comme les système flous, les réseaux de neurones et les réseaux d’ondelettes [Kos, 92],

[Nor, 98], [Hwa, 01], [Kim, 00], [Tua, 01 ], [Haj, 03], [Lin, 03], [Spo, 03], [Shu, 04], [Chi, 05], [Sal,

05], [Lab, 07], [Sou, 07], [Far, 07].

De ce fait, deux types ont été proposés. Le type direct qui implique l’approximation de la

commande de rétroaction optimale. Cependant, dans ce type le gain de commande du système

doit être constant ou sa dérivée par rapport au temps doit satisfaire quelques contraintes


23

restrictives. Dans le cas indirect, deux approximateurs sont employés pour estimer la dynamique

du système à commander, qui seront employés dans la loi de commande afin de résoudre le

problème de poursuite [Che, 96], [Wan, 94], [Par, 98], [Fis, 99], [Bou, 08]. Néanmoins, un choix

arbitraire de la valeur initiale des paramètres ajustables ne peut pas toujours assurer la

convergence de l'algorithme adaptatif dû au problème de singularité. Plusieurs solutions ont été

présentées dans ce contexte [Ess, 02], [Lab, 05], [Par, 06] pour surmonter ces problèmes.

Cependant, les lois de commande améliorées deviennent complexes à réaliser dans le cas de mise

en œuvre en temps réel. De plus, la poursuite avec la plupart de ces méthodes ne peut pas être

garantie en présence de perturbation externes ou des variations structurelles élevées. D’où, la

nécessitée de prendre en compte dans notre commande la notion de robustesse.

La commande par mode glissant (CMG), en raison de sa robustesse vis-à-vis des incertitudes et

des perturbations externes, peut être appliquée aux systèmes non linéaires incertains et perturbés

[Slo, 91], [Utk, 77]. Il s’agit de définir une surface dite de glissement en fonction des états du

système de façon qu’elle soit attractive. La commande globale synthétisée se compose de deux

termes : le premier permet d’approcher jusqu’à cette surface, le second permet le maintien et le

glissement le long de celle-ci. Ainsi, plusieurs travaux de robustification de la commande

adaptative floue par mode glissant ont été élaborés [Wan, 97], [Yoo, 98], [Bou, 00], [Man, 03].

Ces travaux s’appuient sur l’utilisation de deux systèmes adaptatifs flous pour approximer le

processus, et construire ainsi la commande équivalente. Les lois d’adaptation des paramètres

ajustables ont été synthétisées à partir de l’étude de stabilité. La commande globale ainsi

construite permet d’assurer de bonnes performances de poursuite. Cependant, la présence de la

fonction signe, dans la commande par mode glissant, provoque un phénomène de broutement

qui consiste en des variations brusques et rapides du signal de commande, ce qui peut exciter les

hautes fréquences du processus et l’endommager. Plusieurs solutions ont été présentées dans la

littérature. Slotine et Lie [Slo, 91] ont introduit une bande de transition autour de la surface de

glissement permettant de transformer la fonction signe en saturation, et ainsi éliminer le

broutement. Néanmoins, une erreur statique subsiste, et un compromis entre la largeur de la

bande et les variations de la commande s’impose. En utilisant le même principe, Lin et Chen ont

utilisé la logique floue pour construire la bande de transition [Lin, 02]. Un système flou de type

Mamdani ayant la surface de glissement comme entrée et la commande globale comme sortie est

considéré. La bande de transition ainsi construite est non linéaire. Les trois règles floues utilisées

correspondent à la valeur de la fonction signe. Le phénomène de broutement est certes éliminé

néanmoins la commande permettant la phase d’approche reste difficile à calculer, car les bornes

des incertitudes et des perturbations sont généralement inconnues. Les auteurs de [Haj, 96] ont


24

proposé de varier le gain de glissement à l’aide d’un système flou. Ainsi, sa valeur diminue au fur

et à mesure que le système s’approche de la surface de glissement.

Dans ce chapitre, nous allons présenter dans un premier temps une nouvelle structure variable et

adaptative pour les systèmes non linéaires mono entrée mono sortie (SISO) utilisant le réseau

d’ondelettes (RO). La commande proposée combine les avantages de RO et ceux de commande

par mode glissant. Grâce à sa capacité à approximer les fonctions non linéaires et sa convergence

rapide, le RO est utilisé comme approximateur afin de générer le signal de commande. Pour

minimiser la valeur élevée de la commande appliquée induite par une large erreur de poursuite

notamment au début du régime transitoire, une surface de glissement variable a été adoptée.

Cette commande proposée permet de garantir des bonnes performances (précision et rapidité de

poursuite). La robustesse du système en boucle fermée a été démontrée mathématiquement en

utilisant la méthode de Lyapunov.

Dans un deuxième temps, nous allons utiliser la commande par mode glissant cette fois-ci avec

un réseau flou d’ondelettes (ROF) pour commander un système SISO non linéaire, incertain et

perturbé. Cette approche sera aussi validée théoriquement et par la simulation.

Enfin, nous allons présenter la synthèse d’une commande basée sur ROF pour des systèmes non

linéaires d’ordre n présentant des entrées et des sorties multiples (MIMO) soumis aux variations

paramétriques et à des perturbations externes. La différence la plus évidente entre un système de

type MIMO et un autre de type SISO, se trouve dans l’interaction complexe entre les paramètres,

ce qui rend l’estimation et l’adaptation du premier plus compliquées. Cette complexité explique

pourquoi certaines des approches traditionnelles du contrôle pour un système SISO ne sont pas

appropriées à être exécutées directement pour le cas de MIMO. Dans cette partie, nous allons

construire analytiquement une commande robuste et adaptative à base ROF en utilisant le

théorème de stabilité de Lyapunov afin de résoudre le problème de poursuite dans les systèmes

MIMO non linéaires.

II.2. Contexte et formulation

La modélisation du processus est une étape primordiale dans la mise en œuvre d’un contrôleur

dans les systèmes industriels. La nature non linéaire et la complexité de ces systèmes rendent leur

description analytique avec des équations différentielles très difficile. En général, un système

industriel ayant pour entrée (commande ou consigne) u et comme sortie y , peut être décrit

par :


25

( ) ( )( )( )( )

1

1

, ,..., ,

, ,...,

n n

n

x F x x x u

y H x x x

−

−

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

(2-1)

où ( )( )1, ,..., ,nF x x x u− et ( )( )1, ,..., nH x x x − sont deux fonctions non linéaires continues,

généralement partiellement ou totalement inconnues. ( )( )1, ,..., nx x x − représente les états du

système. Cette description ne permet pas la mise en œuvre de contrôleurs pour assurer la

régulation ou l’asservissement. Afin de contourner ce problème, la linéarisation entrée-sortie a

été largement utilisée. Il s’agit de trouver, à l’aide des techniques de la géométrie différentielle,

une relation explicite entre l’entrée du système et sa sortie [Slo, 91], [Iso, 99]. Dans ce cas, un

système d’ordre n affine dans la commande peut être décrit par les équations différentielles

suivantes :

( ) ( )( ) ( )( )1 1, ,..., , ,...,n n nx f x x x g x x x u

y x

− −⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩ (2-2)

où ( )( )1, ,..., nf x x x − et ( )( )1, ,..., ng x x x − sont deux fonctions non linéaires continues.

Cette nouvelle description permet d’utiliser facilement les différentes approches basées sur la

rétroaction pour résoudre les problèmes de poursuite de trajectoire ou de régulation. Dans ce

chapitre, on s’intéressera aux systèmes d’ordre 2 car ils représentent une large classe de systèmes

rencontrés dans les applications industrielles. L’extension des résultats obtenus aux systèmes

d’ordre supérieur sera présentée sommairement à la fin de ce chapitre.

Dans la suite de ce chapitre, on considère le système suivant :

( ) ( ), ,x f x x g x x uy x

⎧ = +⎪⎨

=⎪⎩ (2-3)

De plus, on supposera que les états x et x sont mesurables à l’aide de capteurs adéquats. Par

ailleurs, pour garantir la contrôlabilité du système, on considère que le gain de commande

( ),g x x ne s’annule pas sur le domaine de fonctionnement ( ( ), 0g x x ≠ ).

Dans le cas où la dynamique du système est parfaitement connue et ce dernier ne subit aucune

perturbation externe, la poursuite d’une trajectoire de référence dy peut être assurée par une loi

de commande de la forme suivante :

( ) ( )11 2, , du g x x f x x y k e k e− ⎡ ⎤= − + + +⎣ ⎦ (2-4)

où dy est la dérivée seconde de la trajectoire de référence dy . 1k et 2k représentent les

coefficients de rétroaction choisis afin d’obtenir une convergence asymptotique de l’erreur de


26

poursuite de y y= − . Pour cela, on doit s’assurer que les racines de l’équation 2 1 0e k e k e+ + =

ont une partie réelle strictement négative.

Néanmoins, la loi de commande (2-4) présente quelques inconvénients : (i) elle ne peut pas être

implémentée dans le cas où le système est partiellement ou totalement inconnu, (ii) elle ne peut

pas garantir les performances de poursuite en présence de perturbations externes ou de fortes

variations paramétriques.

II.3. Commande par modes glissants

Etant un cas particulier de la commande à structure variable, la commande par modes glissants

(CMG) a été largement utilisée dans la littérature. Ce succès est dû à sa simplicité de mise en

œuvre et à sa robustesse vis-à-vis des variations paramétriques et des perturbations externes. Il

s’agit de définir d’abord une surface dite de glissement qui représente la dynamique désirée, puis

synthétiser une loi de commande qui doit agir sur le système en deux phases. Dans la première,

on force le système à rejoindre cette surface, et dans la seconde phase on doit assurer le maintien

et le glissement le long de cette surface pour atteindre l’origine du plan de phase comme montré

sur la figure (2-1).

e

e

x°

Figure (2-1) : Les deux phases de la CMG.

Si l’on considère le système donné par l’équation (2-3), la surface de glissement peut être définie

par :

S e eλ= + (2-5)

où λ est une constante positive représentant la pente de glissement. Il est à noter qu’en général,

on donne une grande valeur à λ pour assurer l’attractivité ainsi que le maintien du système sur


27

cette surface.

Pour ( ),f x x et ( ),g x x parfaitement connue, la C.M.G. peut être donnée par :

( ) ( )( ) ( )

1

1

, ,

, .

eq s

eq d

s s

u u u

u g x x f x x y e

u g x x K sign S

λ−

−

⎧ = +⎪⎪ ⎡ ⎤= − + +⎨ ⎣ ⎦⎪

=⎪⎩

(2-6)

où equ est la commande équivalente permettant le maintien et le glissement le long de la surface

S . su représente le signal de commutation assurant la convergence du système vers la surface.

La loi de commande (2-6) est certes robuste vis-à-vis des perturbations paramétriques et externes

mais présente quelques inconvénients majeurs :

i) l’utilisation du terme ( )sign S dans le signal de commutation provoque le

phénomène de broutement qui peut exciter les hautes fréquences et détériorer le

système commandé. Pour résoudre ce problème, la fonction signe a été remplacée

par la saturation. Néanmoins, cette substitution introduit une erreur statique qui

persiste [Slo, 84]. D’autres auteurs ont proposé d’utiliser un système flou pour avoir

une approximation non linéaire mais le problème de l’erreur statique n’est pas résolu

[Pal, 92].

ii) La mise en œuvre du signal de commutation nécessite la détermination de la

constante sK qui dépend des perturbations paramétriques et externes, ce qui est

difficile si ce n’est pas impossible. En général, on prend une valeur très grande pour

assurer la stabilité ce qui augmente les sollicitations au niveau de l’actionneur et

amplifie gravement le phénomène de broutement. Parmi les solutions présentées

dans la littérature, on peut citer celles proposées au sein de notre équipe [Ham, 03a ],

[Ham, 03b], [Ham, 03c]. Il s’agit de remplacer le signal de commutation par un

système adaptatif flou ce qui a permis de résoudre à la fois le problème du gain sK et

celui du broutement. Cependant, la convergence de l’algorithme dépend du choix des

valeurs initiales ce qui rend son implémentation complexe dans le cas des systèmes

rapides ou assujettis à de grandes variations paramétriques.

iii) Le troisième inconvénient concerne la nécessité de disposer d’une connaissance

même partielle de la dynamique du système. Pour remédier à cet inconvénient, on

peut approximer la dynamique du système pour synthétiser la loi de commande. Pour

assurer de bonnes performances de poursuite, un algorithme d’adaptation a été utilisé


28

pour améliorer l’approximation. Celle-ci peut être effectuée à l’aide d’un système flou

[Mar, 95], [Spo, 96], [Wan, 96], [Bou, 99], [Man, 03], [Hus, 06], [Ho, 07] d’un réseau

de neurones [Pol, 92], [Spo, 96], [Nar, 97], [Leu, 99], [Che, 98] ou d’un réseau flou

d’ondelettes [Lin, 06], [Hus, 07a], [Hus, 07b], [Zek, 08].

II.4. Commande adaptative robuste

Dans cette section, on propose deux commandes adaptatives robustes permettant de résoudre

les problèmes du mode glissant classique cités précédemment et garantir de bonnes

performances de poursuite même en présence de perturbations externes. Dans la première, nous

considérons le cas où nous disposons d’une connaissance partielle du système. Ainsi, la partie

inconnue sera approximée par un réseau d’ondelettes grâce à sa convergence rapide. Dans la

seconde commande, on utilisera un réseau d’ondelettes flou pour approximer la dynamique

supposée totalement inconnue, ce qui nous permet d’allier les performances de convergence des

ondelettes et celles d’approximation du flou. Dans les deux cas, on utilisera une surface de

glissement variable pour réduire les sollicitations au démarrage sans pour autant détériorer les

performances de poursuite.

II.4.1. Commande adaptative avec un réseau d’ondelettes

Dans cette section, s’intéressera à la mise en œuvre d’une loi de commande robuste d’un système

non linéaire, incertain et perturbé de la forme :

( ) ( ), ,x f x x g x x u dy x= + +⎧⎪

⎨=⎪⎩

(2-7)

Supposons que la fonction ( , )g x x peut être écrite sous la forme d’une somme d’un terme

nominal et un autre incertain :

0( , ) ( , ) ( , )gg x x g x x x xδ= +

Cette hypothèse reste plausible car dans plusieurs applications, comme dans le cas des systèmes

mécaniques, on peut disposer de la partie nominale 0 ( , )g x x .

Donc, l’équation (2-7) peut être réécrite sous la forme suivante :

0( , ) ( , ) dy f x x g x x u δ= + + (2-8)

où d gu dδ δ= + .


29

L’objectif de ce travail est de synthétiser un contrôleur robuste, basé sur le CMG, capable de

forcer la sortie du système y à poursuivre une trajectoire de référence bornée dy avec la

contrainte que tous les signaux impliqués soient bornés. Pour cela, on doit choisir la valeur de la

constante λ pour la définition de la surface de glissement donnée par l’équation (2-5).

En fait, les grandes valeurs de λ impliquent une réponse rapide pour la sortie du système à

commander mais pouvant causer un grand dépassement ou même rendre le système instable. En

revanche, les petites valeurs de λ induisent une réponse lente du système. Pour surmonter ce

problème, cette valeur peut être adaptée en fonction de la valeur d’erreur de poursuite [Liu, 05].

Ainsi, la surface peut être donnée par l’expression suivante :

( )S e e eλ= + (2-9)

où ( ) kee

λ

λ

λε

=+

; kλ est un scalaire positif donné et λε est constante positive de valeur très

faible. Il est à noter que kλλε

représente la pente de glissement le long de la surface quand elle est

atteinte par le système. En dérivant l’équation (2-9), on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dS t e t e t e t y y e t e tλ λ λ λ= + + = − + + (2-10)

En utilisant (2-7), l’équation (2-10) devient

0( ) ( ) ( )d dS t y f g u e t e tδ λ λ= − − − + + (2-11)

0( ) ( ) ( )d dS t f e t g u y e tδ λ λ= − − + − + + (2-12)

0( ) ( , , ) ( )d dS t F y y y g u y e tλ= − − + + (2-13)

( , , ) ( )d dF y y y f e tδ λ= + − (2-14)

Pour synthétiser la loi de commande, on propose d’approximer la fonction inconnue

( , , )dF y y y par un réseau d’ondelettes (RO) représenté par la figure (1-6) et défini par l’équation

(1-18). En fait, le RO est choisi car il a été prouvé que les réseaux d’ondelettes sont des

« approximateurs universels » qui permettent d’assurer une meilleure convergence par rapport

aux réseaux de neurones [Del, 95], [Yoo, 05], [Hsu, 06], [Fan, 06]. Dans la mesure où la sortie du


30

système et sa dérivée convergent vers leurs signaux de référence respectifs, la fonction inconnue

( , , )dF y y y convergera vers ( , )d dF y y [Cha, 05].

Ainsi, pour estimer ( , , )dF y y y , on utilisera un RO dont les entrées sont dy et dy .

L’expression analytique de cet approximateur est donnée par :

[ ]ˆ ( , ) , TT Td d d dF y y C A y y Bψ= + +

qui peut être réécrite sous la forme :

ˆ ( ) T Td dF Y C A Y Bψ= + + (2-15)

où [ , ]Td d dY y y= .

On considère les régions de contrainte de C , A et B définies respectivement par :

Selon le théorème d’approximation, il existe une valeur optimale finie de ( )ˆdF Y qui vérifie que :

*ˆ( ) ( )F d dF Y F Yδ = − (2-16)

où ** * *ˆ ˆˆ ˆ( )T T

d dF Y C A Y Bψ= + + .

Par conséquent, l’équation (2-14) peut être réécrite sous la forme :

*

0ˆ( ) ( ) ( )d F dS t F Y g u y e tδ λ= − − − + + (2-17)

Proposition 1 cas SISO d’ordre 2 : [Hus, 08a]

La loi de commande suivante garantit la stabilité globale du système en boucle fermée et la

convergence de l’erreur de poursuite vers zéro.

10 2

ˆ ( )d dSu g F Y y eλρ

− ⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (2-18)

Démonstration 1 cas SISO d’ordre 2 :

En prennent en compte la loi de commande (2-18), la dérivée de S peut être réécrite sous la

forme :

*2

ˆ ˆ( ) ( ) ( )d d d d FSS t F Y F Y y e y eλ λ δρ

= − + − − + + − − (2-19)

où *ˆ ˆC C C= − ,

*ˆ ˆA A A= − et *ˆ ˆB B B= − .

Ce qui permet d’écrire :


31

2( ) T Td F

SS t C A Y Bψ δρ

= + + − − (2-20)

Pour étudier la stabilité du système bouclé et pour trouver les lois d’adaptation pour les

paramètres du réseau d’ondelettes, nous considérons la fonction de Lyapunov suivante :

2 21 1 1 12 2 2 2

T T

C A B

V S C C A A Bγ γ γ

= + + (2-21)

où Aγ , Bγ et Cγ sont des constantes positives représentant les taux d’apprintisage.

Sa dérivée est donnée par :

1 1 1T T

C A B

V SS C C A A BBγ γ γ

= + + + (2-22)

La substitution de (2-20) dans (2-22) donne :

2

1 1 1T T T Td F

C A B

SV S C A Y B C C A A BBψ δρ γ γ γ

⎛ ⎞= + + − − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2-23)

d’où

( ) ( )2

2

1 1 1T TF C B

C A B

SV S C C S A A B B Sδ γ ψ γρ γ γ γ

= − − + + + + + (2-24)

En choisissant les lois d’adaptation suivantes,

CC Sγ ψ= − (2-25)

A dA SYγ= − (2-26)

BB Sγ= − (2-27)

l’équation (2-24) devient :


32

2

2FSV Sδρ

= − − (2-28)

2 2

2 2

34 4FS SV Sδρ ρ

= − − − (2-29)

2 2

2 2 2 22 2

34 4F F FS SV Sρ δ ρ δ δρ ρ

= − − − − (2-30)

2 22 2

2

32 4F FS SV ρ δ ρδρ ρ

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2-31)

En intégrant cette inégalité entre 0 et T, nous obtenons : 2

22

0 0

22

20 0

3( ) (0)4

3 (0) ( )4

T T

F

T T

F

SV T V dt dt

S dt V V T dt

ρ δρ

ρ δρ

− ≤ − +

≤ − +

∫ ∫

∫ ∫ (2-32)

Comme ( ) 0v T ≥ , nous aurons :

22

20 0

2 2

0 0

34

43

T T

F

T T

F

S dt dt

S dt dt

ρ δρ

ρ δ

≤

≤

∫ ∫

∫ ∫ (2-33)

En utilisant le lemme de Barbalat [Wan, 94], on peut constater que la surface de glissement

converge asymptotiquement vers zéro malgré la présence des perturbations externes. Etant

donné que la surface de glissement est attractive, quand le système atteint la surface, il y reste et

converge vers l’origine [Utk, 77]. Le schéma bloc de la commande proposée est donné par les

figures (2-2) et (2-3).


33

dy λ

)(eλ

2

2

ddt

ddt

ddt

Réseau

Adaptatif

d'ondelettes

Σ Σ système Σ

Perturbations externes

eλ

eλ

ddt

-+

( )d t

K

2

12ρ

Σy

dy

F

Figure (2-2) : Le schéma bloc de l’approche proposée

Le RO

avec

les lois

d’adaptation

données par

(2-25) à (2-27)

C•

A•

B•

∫

∫

∫

S

C

A

B

dy

λ

e

y

CBA γγγ ,,

Figure (2-3) : Illustration de réseau adaptatif d’ondelettes


34

II.4.2. Simulation et résultats

Pour montrer l’efficacité et la performance de la méthode proposée, on considère le système

amortisseur donné par la figure (2-4).

y u

fk K B fB

M

Figure (2-4) : Le système amortisseur

On note par M la masse, K la raideur du ressort, B le coefficient des frottement visqueux, et

u l’effort appliqué. L’équation dynamique du système peut être donnée par :

( ) ( ) ( )K B cMy u f f f d= − − − +x x x (2-34)

où y désigne la position, T= [y, y]x , ( )Kf x la force du ressort due à K , ( )Bf x la force du

frottement due à B , ( )cf x la force des frottements de Coulomb, et d la perturbation externe.

On suppose que la trajectoire désirée est donnée par 0.5sin( )dy t= . Le tableau (2-1) donne les

valeurs et les définitions des paramètres nominaux, et les forces du ressort et des frottements de

Coulomb.

Paramètres nominaux 1, 2, 2M K B= = =

Les forces du ressort

et des frottements de

Coulomb

0.01cf sign(y)= ,

( ) 2Bf y=x ,

( ) 2Kf y=x

Tableau (2-1) : Paramètres de simulation

Pour construire l’approximateur, on a défini les fonctions d’ondelettes sur l’intervalle [ ]1.5, 1.5−

pour les deux entrées. On considère que 200C Aγ γ= au moins, ainsi que A Bγ γ= . Ce choix

garantit la non-linéarité de l’approximateur. Donc, ce réseau sera mis à jour en choisissant


35

0.05A Bγ γ= = et 10Cγ = . Concernant les paramètres ajustables, leurs valeurs initiales ont été

choisies nulles. En fait, le terme 2

Sρ

dans l’équation (2-18) maintient la stabilité du système et

permet aux valeurs de paramètres ajustables d’être initialisées à zéro. Le terme 2

Sρ

dans (2-18)

ne nous a pas permi d’avoir une commande nulle au début de régime transitoire même si les

variables ajustables de notre approximateur sont initialisés à zéro.

Pour avoir un bon compromis entre le temps de réponse et l’amplitude de l’effort appliqué, nous

avons choisi la pente de la surface de glissement ( )eλ comme suit : 5( )0.2

ee

λ =+

.

Pour tester la robustesse de la commande proposée, nous avons introduit des variations

paramétriques et des perturbation externes données par :

0.1sin( ) , 0.5, 0.5, 0.125 (2 )M y K B d sin tΔ = Δ = Δ = = .

Plusieurs simulations ont été effectuées sur ce système. Les figures (2-5)-(2-7) donnent les

résultats pour un taux d’atténuation d’une valeur de 4.5ρ = . Nous remarquons que la sortie du

système et sa dérivée rejoignent rapidement leurs signaux de référence correspondants. La figure

(2-7) montre l’absence du phénomène de broutement dans la commande appliquée au système.

Si nous comparons les résultats obtenus avec ceux qui sont dans le cas de surface de glissement

fixe (une valeur constante de λ), l’approche proposée garantit les mêmes performances de

poursuite en économisant 65% de la valeur initiale de contrôle (figure (2-8)).

En comparant les performances de RO classique avec notre RO proposé, comme le montre la

figure (2-9), nous remarquons que le RO proposé est bien meilleur dans la poursuite de la

trajectoire désirée.


36

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figure (2-5) : La position du système « amortisseur » et sa trajectoire de référence

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figure (2-6) : La vitesse du système «amortisseur » et sa trajectoire de référence

dyy

dyy


37

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

Figure (2-7) : La commande appliquée au système « amortisseur »

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

5

10

15

20

25

30

variable surfaceFixed Surface

Figure (2-8) : Comparaison entre la commande avec une surface fixe et une autre variable

Surface fixe Surface variable


38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Reference outputClassical WNNEnhanced WNN

Figure (2-9) : Comparaison entre l’approximation utilisant RO classique et Proposé

II.5. Commande adaptative avec un réseau d’ondelettes flou

II.5.1. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre 2

Dans cette section, on s’intéressera au développement d’une nouvelle loi de commande pour un

système non linéaire et incertain dont la dynamique est complètement inconnue. Pour cela, on

utilisera un nouvel approximateur qui est le réseau d’ondelettes flou.

Le réseau d’ondelettes flou (ROF) peut être considéré comme un cas particulier des systèmes

flous. L’intérêt principal de ce type de système est l’approximation de non linéarité par la

superposition de fonction d’ondelettes [Lin, 06]. De plus, il a été démontré dans [Del, 95] que ce

type de systèmes est un approximateur universel.

On suppose que l’on ne dispose de la partie nominale 0 ( , )g x x . Dans ce cas, la loi de commande

développée précédemment ne peut pas être utilisée.

Pour remédier ce problème, on propose d’effectuer d’abord une manipulation mathématique de

telle sorte qu’un seul approximateur soit requis pour mettre une loi de commande. Ensuite, on

regroupera toutes les fonctions inconnues en une seule fonction en vue de son approximation.

Ainsi, le système étudié (2-7) également décrit par :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 , , , ,g x x x g x x f x x u g x x d− − −= − + + + (2-35)

avec RO calssique

avec RO proposé

dyyy


39

En ajoutant x aux deux cotés nous obtenons :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , ,x x g x x x g x x f x x u g x x d− − −= + − + + + (2-36)

qui peut être réécrit sous la forme :

d dx f u d= + + (2-37)

où, ( )( ) ( )1 11 , , ( )df g x x x g x x f x− −= − + et ( )1 ,dd g x x d−= .

Si l’on considère la surface de glissement non linéaire (2-9), sa dérivée peut être donnée par :

d d d

S e e e

y f u d e e

λ λ

λ λ

= + +

= − − − + + (2-38)

d’où,

( ), , d d dS F x x y y u d= + − − (2-39)

où ( ), , d dF x x y e e fλ λ= + −

Puisque la fonction ( ), , dF x x y contient des termes inconnus et non linéaires, nous proposons

de l’approximer à l’aide de ROF en utilisant l’équation suivante :

ˆ ( , ) T Td d d

F y y C A y Bψ= + + (2-40)

où

[ ]1T

nC c c= , [ ]1T

nψ ψ ψ= , [ ]1T

nA a a= .

On voit bien que nous avons utilisé dy et dy en tant qu’entrée pour le ROF en se basant sur le

fait que si le système converge vers la trajectoire de référence alors, ( ), , dF x x y convergera vers

( ),d dF y y .

Nous pouvons considérer d

y tel que [ ], Td dd

y y y= .

La prochaine tâche est de développer une commande robuste en mesure d'assurer une bonne

performance de poursuite malgré la présence de l’erreur d’approximation et de la perturbation

externe.

Selon le théorème d’approximation, il existe une valeur optimale de ( )ˆd

F y , donnée par

* ** *ˆ ( ) T T

d dF y C A y Bψ= + + , de telle sorte que :


40

( ) *ˆ, ( )d d

F x y F y δ= + (2-41)

où δ désigne l'erreur minimale d'approximation; ( ) ( )*ˆd d

F y F yδ = − .

Dans ce cas, la dérivée de la surface de glissement par rapport au temps devient :

*ˆ ( ) d dd

S F y y u d δ= + − − + (2-42)

Proposition 2 cas SISO d’ordre 2 :

La loi de commande suivante garantit la stabilité et la robustesse du système (2-7) en boucle

fermée.

ˆ ( ) d ddu F y y k S= + − (2-43)

où dk est une constante positive donnée par le concepteur.

Démonstration 2 cas SISO d’ordre 2 :

En substituant (2-43) dans (2-42), nous obtenons :

*ˆ ˆ( ) ( )

( )d dd d

d dd

S k S F y F y d

k S F y d

δ

δ

= − + − − +

= − + − + (2-44)

où *ˆ ˆ( ) ( ) ( )T T

d d d dF y F y F y C A y Bψ= − = + + .

Pour étudier la stabilité du système en boucle fermée et trouver les lois d'adaptation, nous

considérons la fonction de Lyapunov suivante :

2 21 1 1 12 2 2 2

T T

c a b

V S C C A A Bγ γ γ

= + + + (2-45)

où cγ , aγ et bγ sont les taux d'adaptation pour les paramètres ajustables respectivement A , B

et C .


41

La dérivée par rapport au temps de (2-45) devient alors :

1 1 1T T

c a b


= + + + (2-46)

Sachant que *

C représente la valeur optimale de C , et que *ˆ ˆC C C= − , alors

*ˆ ˆ ˆC C C C= − = − .

De même, *

ˆ ˆ ˆA A A A= − = − et *ˆ ˆ ˆB B B B= − = − .

Par conséquence, l’équation (2-46) sera :

1 1 1ˆ ˆ ˆT T

c a b


= − − − (2-47)

En substituant (2-44) dans (2-47), et supposant que ( )T T

d dF y C A y Bψ= + + , la dérivée de

Lyapunov deviendra :

[ ]2 1 ˆ

1 1ˆ ˆ

Td d c

c

Ta bd

a b

V k S S d C C S

A A S y B B S

δ γ ψγ

γ γγ γ

⎡ ⎤= − + − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2-48)

Si nous choisissons maintenant les trois lois d’adaptation suivantes :

ˆa d

A S yγ= (2-49)

ˆbB Sγ= (2-50)

ˆcC Sγ ψ= (2-51)

Nous obtenons

[ ]2d dV k S S d δ= − + − + (2-52)


42

Qui peut être écrite

2 2 2

2 4 4d d d

dk k kV S S Sd S Sδ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2-53)

Après quelques manipulations, nous obtenons

2 2

2 22

2 2 2d dd d d

d dd d

k kk d dV S S Sk kk k

δ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2-54)

De la même manière,

2 2

2

2d d

d d

k dV Sk k

δ≤ − + + (2-55)

En intégrant l'inégalité dans (2-55) entre 0 et T , nous aurons

2 2

2

0 0 0(0)

2T T Td d

d d

k dS dt V dt dtk k

δ≤ + +∫ ∫ ∫ (2-56)

En se basant sur le fait que tous les éléments dans la partie droite de cette inégalité sont bornés,

le terme 2

0 2T dk S dt∫ devient également borné. Selon le lemme de Barbalat, nous avons

lim ( ) 0t

S t→∞

= .

A partir du moment où la surface de glissement est conçue et construite pour être attractive,

nous aurons alors lim ( ) 0t

e t→∞

= .

II.5.3. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre n

Considérons le système SISO non linéaire d’ordre n suivant :

( ) ( ) ( )nx f x g x u d

y x⎧ = + +⎨

=⎩ (2-57)

tel que ;


43

( )f x et ( )g x sont deux fonctions continues mais inconnues,

u et y représentent l’entrée et la sortie du système respectivement,

( 1), , ,Tnx x x x −⎡ ⎤= ⎣ ⎦… représente le vecteur d’état et

d représente la perturbation externe considérée inconnue mais bornée.

Selon (2-39), l’équation (2-57) peut être réécrite sous la forme suivante : ( )n

d dx f u d= + + (2-58)

tels que, 1 ( ) 1(1 ( )) ( ) ( )ndf g x y g x f x− −= − + et 1( )dd g x d−= .

La surface de glissement sera définie par : ( 2) ( 1)

1 1n n

nS e e eλ λ − −−= + + +… (2-59)

où iλ est une constante positive choisie afin que les polynômes de (2-59) aient des racines à

partie réelle négative. Alors, nous proposons de choisir iλ comme suit :

( 1 ); 1, , 1i

i n ii

k i ne

λε− −

= = −+

… (2-60)

où ik et iε sont deux scalaires donnés par le concepteur afin que le coefficient iλ appartienne

au domaine ( 1 )

;i in i

i

k ke ε− −

⎤ ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎦

.

En conséquence, la dérivée par rapport au temps de (2-60) sera donnée par :

1 1

( ) ( 1) ( )

1 1

n ni i n

n i n ii i

S e e eλ λ− −

−− −

= =

= + +∑ ∑ (2-61)

En utilisant l’erreur de poursuite définie par ( ) ( ) ( )n n nde y y= − avec équation (2-58), la dérivée par

rapport au temps de la surface de glissement devient :

( ) ( ), nd dd

S F x y y u d= + − − (2-62)

où ( )1

( ) ( 1)

1,

ni i

n i n i dri

F x y e e fλ λ−

−− −

=

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∑ et ( 1), ,Tn

d ddy y y −⎡ ⎤= ⎣ ⎦… .


44

Puisque la fonction ( ),d

F x y contient des termes inconnus et non linéaires, nous proposons de

l’approximer à l’aide de ROF donné par l’équation (2-40).

Proposition 3 cas SISO d’ordre n [Hus, 07a], [Hus, 07b] :

La loi de commande suivante garantit la stabilité et la robustesse du système (2-57) en boucle

fermée.

( )ˆ ( ) nd dd

u F y y k S= + − (2-63)

où dk est une constante positive donnée par le concepteur.

Démonstration 3 cas SISO d’ordre n :

La stabilité du système bouclé peut être prouvé en suivant le même raisonnement dans le cas précédent.

II.5.4. Cas d’un système multi-entrées multi-sorties d’ordre n

Cette section décrit mathématiquement le système à commander, définit l’équation de la surface

de glissement et présente la partie de commande qui sera compensée par le réseau ROF proposé

pour résoudre le problème de poursuite.

Au début, nous allons considérer un système MIMO non linéaire d’ordre n décrit par l’équation

différentielle suivant : ( ) ( ) ( )nx F X G X u d

y x⎧ = + +⎪⎨ =⎪⎩

(2-64)

où ( ) nF X ∈ℜ et ( ) n nG X ×∈ℜ sont deux fonctions non linéaires continues et inconnues, ny∈ℜ et nu∈ℜ représentent respectivement la sortie et l’entrée du système,

d représente le vecteur des perturbations externes supposées inconnues mais bornées vérifiant

2d α≤∫ où α est une constante positive.

On note par [ ]1 1i i nX X

≤ ≤ −= , avec ( )i

iX x= , le vecteur d’état dont les éléments sont supposés

mesurables, autrement dit ( )( 1)1 2, , , , , ,

TT T n T T TTnX x x x x x x−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

… … . En supposant que le

système est toujours contrôlable tel que 1( ) 0G X− ≠ .

L’équation (2-64) peut être réécrite comme suit :


45

( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( )nG X x G X F X u G X d− − −= + + (2-65)

( )1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( )nG X x G X F X u G X d− − −= − + + + (2-66)

En ajoutant aux deux cotés de l’égalité ( )nx , nous aurons : ( ) ( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nx x G X x G X F X u G X d− − −= − + + + (2-67)

( ) ( )1 1 1(1 ( )) ( ) ( ) ( )n nx G X x G X F X u G X d− − −= − + + + (2-68)

et si nous supposons que, ( )1 1

1

(1 ( )) ( ) ( )( )

nd

G

F G X x G X F Xd G X d

− −

−

⎧ = − +⎪⎨

=⎪⎩ (2-69)

la substitution de (2-68) dans (2-69) donne : ( )n

d Gx F u d= + + (2-70)

Notre objectif est de forcer la sortie du système à suivre une trajectoire de référence, tel que le

système décrit par (2-64) soit stable en boucle fermée malgré la présence de perturbations

externes et les incertitudes paramétriques. En conséquence, nous devons garantir que ( )n

dy y→

ou bien que 0t

e→∞

→ où e est un vecteur colonne donné par: d

e y y= −

Pour atteindre cet objectif, nous proposons l’élaboration d’une commande par mode glissant.

Par conséquent, nous définissons d’abord la surface de glissement suivante :

[ ]1 2, , , T nnS s s s= ∈ℜ… (2-71)

qui vérifie

( 2) ( 1)

1 2 1n n

n nS e e e e− −− −= Λ +Λ + +Λ +… (2-72)

où ( 1,..., 1)i i nΛ = − est une matrice diagonale d’ordre m (sachant que m est le numéro de

sortie). On peut écrire iΛ sous la forme suivant :

diag ji iλ⎡ ⎤Λ = ⎣ ⎦ (2-73)


46

Les éléments de la matrice iΛ peuvent être choisis de telle sorte que toutes les racines du

polynôme 1 21 2 1

n j n j jn nP P Pλ λ λ− −− −+ + + +… ; ( )1, ,j n= … , où P signifie l’opérateur de Laplace,

soient à partie réelle négative.

En fait, les grandes valeurs de iλ impliquent une réponse rapide pour la sortie du système à

commander mais pouvant causer un grand dépassement ou même rendre le système instable. En

revanche, les petites valeurs de iλ induisent une réponse lente du système. Pour surmonter ce

problème, cette valeur peut être adaptée en fonction de la valeur d’erreur de poursuite. De même

que (2-43), nous proposons de choisir iλ comme suit [Liu, 05]:

( )( 1 )1, , 1 , 1, ,

jj i

i n i ji i

k i n j ne

λε− −

= = − =+

… … (2-74)

où jik est une constante choisie de telle sorte que toutes les racines du polynôme

1 21 2 1

n j n j jn nP k P k P k− −− −+ + + +… ; ( )1, ,j n= … aient des racines à partie réelle négative. Le terme

jiε est une petite constante positive ajoutée pour éviter la division par zéro lorsque la sortie du

système est égale à la trajectoire désirée. Pour la èmei élément, selon (2-74), jiλ est inversement

proportionnelle à la valeur absolue de ( 1 )n iie − − .

L’équation (2-72) peut être écrite comme :

1

( 1) ( 1)

1

ni n

n ii

S e e−

− −−

=

= Λ +∑ (2-75)

La dérivée de l’équation (2-75) par rapport au temps devient :

1 1

( ) ( 1) ( )

1 1

n ni i n

n i n ii i

S e e e− −

−− −

= =

= Λ + Λ +∑ ∑ (2-76)

Si on écrit le terme d’erreur sous la forme suivante :

( ) ( ) ( )n n n

de y y= − (2-77)


47

et en substituant (2-70) dans (2-77), on obtient :

( ) ( )n n

d Gde y F u d= − + + (2-78)

Aussi, la substitution de (2-78) dans (2-76), produit :

( )( , ) n

Gd dS F X y u d y= − − + (2-79)

où :

1 1

( ) ( 1)

1 1

( , )n n

i id n i n id

i iF X y F e e

− −−

− −= =

= − + Λ + Λ∑ ∑ (2-80)

Maintenant, nous pouvons approximer ( , )d

F X y en utilisant un réseau ROF défini par

ˆ ( , )d

F X y tel que,

11 1 11 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0 0 0

ˆ ( , )0 0 0 00 0 0 0

T TJ J n n

dJ J n n

n nJ J n n nnn

Xc a B

F X y

c a BX

ψ

ψ

× × × ×

× × × ×

× × × ×

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Nous pouvons alors réécrire l’équation ci-dessus sous la forme :

11 1 1 1

ˆ ( , )

T T

dT T

nnn n n

c a X BF X y

Bc a X

ψ

ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(2-81)

où Tkc , T

ka et kB sont les paramètres ajustables pour ( )1, ,k n= … ,

kc et ka sont des vecteurs de taille 1J × et 1n× respectivement,

J est le nombre de règles dans le réseau ROF,

n est l’ordre du système,

kB est un scalaire réel,


48

kX est un vecteur de taille 1n× tel que [ ]1 2( ) , ( ) , , ( ) Tk nX x k x k x k= … ,

kψ est un vecteur de taille 1J × représente les fonctions à base floue d’ondelettes ;

1 2( ) , , ,TJ

k k k kkXψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦… de telle sorte que :

( )( ) ( )( )( )( )

1 1

1 1

( ) ( )( )

( )

n nAjw k jw kw wj

kk nJAjw kj w

X w X wX

X w

μ ϕψ

μ

= =

= =

=∏ ∏

∑ ∏ (2-82)

En conséquence, nous pouvons mettre (2-81) dans la forme ci-dessous :

ˆ ( , ) T T

dF X y C A B= Ψ + Χ +

où

1

TT TnC c c⎡ ⎤= ⎣ ⎦… ,

1

TT T

nψ ψ⎡ ⎤Ψ = ⎣ ⎦… est la matrice régressive de réseau ROF,

1

TT TnA a a⎡ ⎤= ⎣ ⎦… , 1 2

TT T TnX X X⎡ ⎤Χ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

… et 1

T

nB B B⎡ ⎤= ⎣ ⎦… .

Si le système converge à son signal de référence nous aurons dX Y= et donc, la fonction

inconnue ( , )d

F X y dans (2-80) converge à ( )dF Y [Liu, 05].

En supposant que ( )( 1)1 2, , ,

T TT T T TT T nd d d dn

d d dY y y y Y Y Y−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

… … où dkY est un vecteur de

taille 1n× avec ( 1)( ), ( ), , ( )ndk

d d dY y k y k y k−⎡ ⎤= ⎣ ⎦… , on peut alors approximer ˆ ( , )

dF X y dans

l’équation précédente par :

ˆ ( ) T TdddF Y C A Y B= Ψ + + (2-83)

où

1 2

TT T Td d d dnY Y Y Y⎡ ⎤= ⎣ ⎦… ,

dkY est un vecteur de taille 1n× de telle sorte que,

1 2( ) , ( ) , , ( )

T

dk d d dnY y k y k y k⎡ ⎤= ⎣ ⎦… , dΨ est la matrice régressive à base ROF définie par

1

TT Td d dn

ψ ψ⎡ ⎤Ψ = ⎣ ⎦… ; dk

ψ est le vecteur de fonctions à base ROF avec une taille de 1J × ,

1 2( ) , , ,TJ

d k k kdk kYψ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤= = ⎣ ⎦… qui est similaire à l’équation (2-77) mais en remplaçant


49

chaque variable d’état par sa valeur désirée. Donc, la trajectoire de référence sera la seule entrée

pour le réseau ROF.

Selon la théorie de l’approximation universelle, et rappelant équation (2-83), il existe une valeur

optimale et fini de ˆ ( )dF Y donnée par:

* * * *ˆ ( ) T TdddF Y C A Y B= Ψ + + (2-84)

qui vérifie *ˆ( ) ( )d dF Y F Y δ= + (2-85)

où δ est un vecteur constant de taille 1n× représentant l’erreur minimal d’approximation,

*C , *A et *B sont respectivement les vecteurs optimaux de valeurs, C , A et B .

En utilisant (2-85), l’équation (2-79) peut être réécrite comme suit :

* ( )ˆ ( ) n

Gd dS F Y u d yδ= + − − + (2-86)

Proposition 4 cas MIMO d’ordre n [Hus, 08b] :

Pour garantir la stabilité globale en boucle fermée du système MIMO décrit par l’équation (2-64),

et d’avoir une bonne poursuite, nous proposons la loi de commande suivante :

( )ˆ( ) ( ) n

d ddu t F Y y K S= + + (2-87)

où

1 0

0

d

dnd

kK

k

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

…

… est une matrice diagonale n n× .

Le terme dK maintient la stabilité du système et permet aux valeurs de paramètres ajustables

d’être initialisées à zéro. Par conséquent, l’adaptation hors-ligne et l’initialisation aléatoire sont

évitées.

Démonstration 4 cas MIMO d’ordre n :

En substituant équation (2-87) dans (2-86), nous obtenons :

( ) Gd dS F Y K S dδ= + − − (2-88)


50

où *ˆ ˆ( ) ( ) ( )

T Tddd d dF Y F Y F Y C A Y B= − = Ψ + + qui implique ;

11 1 1 1

( )

T Td

dT T

nnn n dn

c a Y BF Y

Bc a Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Pour étudier la stabilité en boucle fermée et trouver les lois d’adaptation pour les paramètres

ajustables, nous considérons la fonction de Lyapunov suivante :

{ } { }1 1 1 1( )2 2 2 2

T T TT

C A B

V t S S trace C C trace A A B Bγ γ γ

= + + + (2-89)

Donc, la dérivée de l’équation précédente par rapport au temps devient :

{ } { }1 1 1( )T T TT

C A B

V t S S trace C C trace A A B Bγ γ γ

= + + + (2-90)

où ˆC C= − , ˆA A= − et ˆB B= − .

En substituant (2-88) dans (2-90), nous obtenons :

( ) { } { }1 1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( , )T T TT

Gdd dC A B

V t S F y y K S d trace C C trace A A B Bδγ γ γ

= + − − − − −

{ }{ } ( )

1 ˆ( )

1 1ˆ ˆ

T TT T T TdG d C

C

T T T TT TA Bd

A B

V t S S d S K S trace C C S C

trace A A S A y B B S B

δ γγ

γ γγ γ

⎛ ⎞= − − − − Ψ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2-91)

compte tenu du fait que

{ }1

ˆ ˆnT T

k kk

trace C C c c=

= ∑ ,

{ } ( ) ( )( )1

ˆ ˆnT TT T T

d k k kC C k dkk

trace C C S C c c s cγ γ ψ=

⎛ ⎞− Ψ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ,


51

{ }1

ˆ ˆnT T

k kk

trace A A a a=

= ∑ ,

{ } ( ) ( )( )1

ˆ ˆnT TT T T

d dkk k kA A kk

trace A A S A Y a a s a Yγ γ=

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ,

ainsi, nous choisissons les lois d’adaptation suivantes :

ˆk C k dkc sγ ψ= (2-92)

ˆ dkk A ka s Yγ= (2-93)

ˆk B kB sγ= (2-94)

L’équation (2-91) devient alors,

[ ]( ) T TGdV t S K S S dδ= − + − (2-95)

Qui peut être réécrite comme suit :

2

1 1 1

( )n n n

k k kd k G k k

k k k

V t k s d s sδ= = =

= − − +∑ ∑ ∑ (2-96)

avec quelques manipulations, nous obtenons

2 2 2

1 1 1( )

2 4 4

k k kn n nk kd d d

k k G k k kk k k

k k kV t s s d s s sδ= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (2-97)

Et donc,

2 2

2 2

1 1 1

2 2

2

1 1

( )2 4

4

k k k kn n nkd d G G

k k G k k kk k kd d

k k kn nkd

k k k kk kd d

k k d dV t s s d sk k

k s sk kδ δδ

= = =

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑

(2-98)

qui est l’équivalent de,


52

2 2

2

1 1 1

2 2

2

1 1

( )2 2

2

kk k kn n ndd G G

k k k kk k kd d

k k kn nd

k k kk kd d

kk d dV t s sk k

ks

k kδ δ

= = =

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑

(2-99)

Cela veut dire que,

2 2

2

1 1 1

( )2

k k kn n nd G

k k kk k kd d

k dV t sk k

δ= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟≤ − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ (2-100)

En intégrant l’inégalité précédente entre 0 et T , nous aurons

2 2

2

1 1 10 0 0

( ) (0)2

T T Tk k kn n nd G

k k kk k kd d

k dV T V s dt dt dtk k

δ= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ≤ − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2-101)

2 2

2

1 1 10 0 0

(0) ( )2

T T Tk k kn n nd G

k k kk k kd d

k ds dt V V T dt dtk k

δ= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟≤ − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2-102)

Puisque ( ) 0V T ≥ , cette inégalité deviendra :

2 2

2

1 1 10 0 0

(0)2

T T Tk k kn n nd G

k k kk k id d

k ds dt V dt dtk k

δ= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟≤ + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2-103)

En se basant sur le fait que tous les éléments dans la partie droite de cette inégalité sont bornés,

le terme 2

1 0 2

T knd

kk

k s dt=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ devient également borné. Selon le lemme de Barbalat [Wan, 94], nous

avons lim 0kts

→∞= pour tous 1, ,k n= … . A partir du moment où la surface de glissement est

conçue et construite pour être attractive, nous pouvons constater que lim 0kte

→∞= pour tout

1, ,k n= … .


53

Par conséquent, lorsque le système atteint cette surface, il y reste comme c’est démontré par

Utkin [Utk, 77]. Pour cette raison, l’objectif du contrôle est satisfait et, donc, nous avons pu

synthétiser un contrôleur robuste basé sur CMG, capable de forcer la sortie du système MIMO à

poursuivre une trajectoire désirée sous la contrainte que touts les signaux impliqués soient

bornés. En outre, la stabilité globale du système avec la loi de commande dans (2-87) est

approuvée mathématiquement en utilisant la deuxième théorie de Lyapunov en stabilité.

Pour illustrer le processus d’adaptation ainsi que le réseau ROF, nous allons considérer

respectivement les figures (2-10) et (2-11).

ddt

la synthèse

de loi

de commande

en équation

(2-87)

Σ systèmede type MIMO

Σ

perturbation externe

- +

( )d tS

Σ y( )u t

( 1)nddt

−

( 1)nd

y −

dy

jiλ

jik j

iε

dK

dy

ddt

Figure (2-10) : Diagramme de l’approche proposée


54

RFO

donné par

équation (2-81)

et

lois d’adaptation

donné par

les équations

(2-92)-(2-94)

C•

A•

B•

∫

∫

∫

S

C

A

B

( 1)nd

y −

dy

CBA γγγ ,,

Figure (2-11) : Le réseau ROF adaptatif utilisé

II.5.4.1. Procédure de mise en oeuvre :

Selon la méthode proposée, la procédure de conception d’un contrôleur basée sur ROF pour un

système décrit par l’équation (2-64) dont le modèle nominal est indisponible, comprend les deux

phases suivantes :

1. La phase de conception :

1.1. Spécifier l’ordre du système à commander ( n ) et les vecteur de trajectoire désirée

(d

y ).

1.2. Définir les fonctions d’appartenance pour l’approximateur ROF de type MIMO ainsi

que les paramètres d’ondelettes (dilatation et de translation) en fonction de l’intervalle de

chaque variable d’entrée. Cette définition sera de telle sorte que les fonctions

d’appartenance couvrent uniformément l’univers de discours.

1.3. Définir les ( J ) règles de ROF.

1.4. Concernant la surface de glissement, spécifier le numérateur ( jik ), le dénominateur

( jiε ) pour 1, , 1i n= −… et 1, ,j n= … afin de calculer la surface donnée par l’équation


55

(2-74). Ensuite, spécifier la matrice diagonale ( dK ) pour calculer la loi de commande

dans équation (2-87).

1.5. Définir les taux d’apprentissage Aγ , Bγ et Cγ requis dans l’adaptation en temps réel

respectivement A , B et C . Afin de maintenir la non-linéarité de l’approximateur, nous

choisissons Cγ beaucoup plus grand que Aγ et Bγ .

2. La phase de calcul en temps réel :

2.1. En utilisant l’erreur de poursuite e , calculer jiλ selon l’équation (2-74) et puis, la

surface de glissement dans l’équation (2-75).

2.2. Calculer la sortie du réseau ROF en utilisant uniquement le vecteur de sortie désirée

(d

y ) ensuite adapter les paramètres ajustables comme l’indique l’équation (2-83).

2.3. Déduire la loi de commande à l’aide de l’équation (2-87) et appliquer cette loi au

système décrit par l’équation (2-64).

2.4. Mettre à jour les paramètres ajustables A , B et C du réseau ROF selon les

équations (2-92), (2-93) et (2-94).

2.5. Répéter les mêmes calculs pour l’itération suivante en allant à l’étape 2.1.

II.6. Simulation et résultats

II.6.1. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre n

Pour approuver la commande proposée, un système SISO d’ordre trois sera considéré comme

exemple de simulation. Un bras de robot avec un seul degré de liberté équipé d'un moteur à

courant continu comme le montre la figure (2-12), semble être un bon exemple réel.

x

Figure (2-12) : Le bras de robot


56

L’équation dynamique qui décrit ce système est donnée par :

( )31 ( ) ( ) ( ) ( )x f x g x u t d t

y x

⎧ = + +⎪⎨

=⎪⎩ (2-104)

où 2

3 1 2 12( ) cos( ) sin( )b tK N Kr g rgf x x x x xL l Lml Ll

⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

2( ) tK Ng xLml

= , 2 2

1( ) '( ) '( )rd t d t d tLml ml

= + ,

[ ] [ ]1 2 3T Tx x x x x x x= = ,

( )x rad est la position angulaire,

( )u t est la tension appliquée, et

( )d t est la perturbation externe inconnu.

Le tableau (2-2) donne les valeurs et les définitions des paramètres nominaux.

Masse du bras 5m Kg=

Longueur du bras 0.5l m=

Gravité 9.8g =

Résistance 1.5r =

Inductance 0.5L =

Constante de la force électromotrice 0.2bK =

Constante du couple du moteur 0.3tK =

Rapport de réduction 60N =

Tableau (2-2) : Paramètres de simulation

Selon (2-59) et comme notre système est d’ordre trois, nous avons (2) (1)1 1 2 1 1 1S e e eλ λ= + + . Si

nous souhaitons que 2λ appartienne à l’intervalle ]10 , 20] et que 1λ appartienne à l’intervalle ]5 ,

10], nous choisissons 2 20k = , 2 1ε = , 1 10k = et 1 1ε = . Ce choix sera aussi considéré pour

(2) (1)2 2 2 2 1 2S e e eλ λ= + + . Le gain 6dk = sera largement suffisant car la sortie désirée est bornée

par l’intervalle [-1 , 1]. Si nous considérons la trajectoire désirée comme sin( )dy t= , la gamme

de la sortie désirée appartiendra toujours à l'intervalle fermé [-1 , 1]. Pour donner une certaine

pondération à notre contrôleur, l'intervalle [-1.2 , 1.2] sera considéré comme l’univers de discours

pour la couche d'entrée. Cet intervalle sera suffisamment couvert par 3 fonctions d’appartenance


57

pour chaque position, vitesse et accélération angulaire. Par conséquent, nous aurons 27 règles.

Concernant les dilatations, elles sont choisies afin que la fonction d’appartenance soit, ni très

serrée, ni très étendue et donc, on a considéré 0.8jd = . Les translation 'jt s sont choisies pour

couvrir équitablement l’intervalle [-1.2 , 1.2]. Les constantes Aγ , Bγ et Cγ qui représentent les

taux d’adaptation respectivement pour A , B et C , sont choisies comme : 0.005Aγ = ,

0.005Bγ = et 20Cγ = .

Les figures (2-13) – (2-28) montrent les résultats de simulation obtenus dans le cas où le système

est soumis à une perturbation externe donnée par : 0.125 sin(2 )d t= × . Les figures (2-13)-(2-15)

montrent la bonne convergence du système vers le signal de référence. Un temps de réponse

assez court est obtenu en raison de la bonne approximation de ROF comme illustré par la figure

(2-16). En outre, le signal de commande appliqué dans la figure (2-17) ne contient pas de

variations brusques ni de broutement.

Pour exprimer la réduction remarquable de l'énergie de contrôle par l'approche proposée, les

mêmes simulations sont effectuées avec une surface de glissement fixe. La figure (2-18) montre

que la commande proposée garantit une amélioration considérable en termes de réduction de

l’effort appliqué au début de régime transitoire ou lorsque l’erreur de poursuite devient

brusquement importante.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (sec)

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

Figure (2-13) : La poursuite de position

dyy


58

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (sec)

Vite

sse

Ang

ulai

re (r

ad/s

ec)

Figure (2-14) : La poursuite de vitesse

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Temps (sec)

Acc

eler

atio

n A

ngul

aire

(rad

/sec2 )

Figure (2-15) : La poursuite d’accélération

dyy

dyy


59

Figure (2-16) : La performance d’approximation

0 5 10 15 20 25 30-15

-10

-5

0

5

10

15

Temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

(N)

Figure (2-17) : La loi de commande

Dynamique inconnue Sortie de RFO

0 5 10 15 20 25 30-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Temps (sec)

La P

ours

uite

de

FWN

Dynamique InconnueSortie de FWN

Dynamique Inconnue Sortie de ROF


60

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

(N)

Syrface VariableSyrface Constante

Figure (2-18) : Comparaison de commande entre une surface fixe et variable

Surface variable Surface constante


61

II.6.2. Cas d’un système multi-entrées multi-sorties d’ordre n

Afin de valider le contrôleur proposé, un manipulateur de robot à deux articulations, figure (2-

19), est étudié comme un exemple de simulation.

L’équation dynamique qui décrit ce système est donnée par :

( ) ( , ) ( ) ( )M x x C x x G x x dy x

+ + = Γ +⎧⎨ =⎩

(2-105)

1Γ

2Γ

1x

2x

g

Figure (2-19) : Un manipulateur de robot à deux articulations

où x , x et x sont respectivement les vecteurs angulaires de position, vitesse et accélération

sachant que, [ ]1 2Tx x x= . ( )M x est la matrice d’inertie, qui est définie positive, symétrique et

non-singulière donnée par :

2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 22

2 1 2 1 2 1 2 2 2

( ) ( )( )

( )m m l m l l s s c c

M xm l l s s c c m l⎡ ⎤+ +

= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

tel que : sin( )i is x= , cos( )i ic x= , im et il sont la masse et la longueur d’articulation i

respectivement pour 1,2i = .

( , )C x x est la matrice des forces centripètes et de Coriolis donnée par :


62

22 1 2 1 2 1 2

1

0( , ) ( )

0x

C x x m l l c s s cx

−⎡ ⎤= − ⎢ ⎥−⎣ ⎦

( )G x est le vecteur des forces gravitationnelles donné par :

1 2 1 1

2 2 2

( )( )

m m l g sG x

m l g s− +⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2d R∈ représente la perturbation externe, et ( )xΓ est le vecteur de couple appliquée.

Les paramètres du robot, utilisés en simulation, sont :

1 2 1 25 , 2.5 , 0.5 , 0.5 ,m kg m kg l m l m= = = = et 29.8 secg m= / .

On suppose que les incertitudes paramétriques, qui représentent la variation dans les masses,

sont dans les formes 0.01 (sin(2 ) sin(3 )) ( 1,2)j jdm m t t j= + = où t représente la variable du

temps. Ainsi, le système est soumis à une perturbation externe donnée par

[ ]0.1sin(2 ) 0.1sin(3 ) 1 1 Td t t= + × .

Conformément aux procédures de conception indiquées antérieurement, la trajectoire désirée dy

sera défini comme 1 2 sin( )d dy y t= = . Nous définissons aussi les paramètres de dK , 'jik s et

'i

j sε . Puisque notre exemple est d’ordre deux, ceci implique que : n = 2 et m = 2. Nous

choisissons 1 50dk = , 2 40dk = , 10jik = et 0.1j

iε = pour 1i = et 1,2j = .

Si on considère la trajectoire de référence désirée dans la forme de [ ]sin( ) 1 1 T

dy t= × ,

l’intervalle de la sortie désirée (ainsi que la sortie actuelle en cas d’une poursuite parfaite)

appartient toujours à l’intervalle fermé [-1 , 1]. Pour donner une pondération à notre contrôleur,

l’intervalle [-1.2 , 1.2] sera considéré comme un univers de discours pour la couche d’entrée. Cet

intervalle peut suffisamment être couvert par 5 fonctions d’appartenance et comme nous avons

deux entrées (position et vitesse), l’approximateur ROF va avoir 25 règles. Les dilatations sont

sélectionnées tel que d =[1, 0.6, 0.5, 0.6, 1 ], alors que les translations seront choisies pour

diviser l’intervalle [-1.2 , 1.2] équitablement en 4 parties (utilisant l’instruction de MATLAB©

linspace1). Les constantes Aγ , Bγ et Cγ , qui correspond aux taux d’apprentissage sont choisis

respectivement : 0.05Aγ = , 0.05Bγ = et 10Cγ = .

Concernant la position initiale, on a considéré trois points différents ; (0)x =(0.8 , 0.8), (0)x =(-1

, 1) et (0)x =(-1.25 , 1.25). La vitesse et l’accélération sont initialisées toujours à zéro. Les

résultats des simulations sont donnés par les figures (2-20) à (2-27). La figure (2-21) montre la 1 linspace (-1,2, 1,2, 3).


63

convergence rapide de la sortie du système vers la trajectoire désirée. De même, nous pouvons

constater que, pour toutes les conditions initiales, le système maintient un temps de réponse

assez court. Les figures (2-24) et (2-25) montrent la bonne convergence de l’erreur de poursuite à

zéro tandis que les figures (2-26) et (2-27) donnent les couples appliqués qui ne présentent

aucune variation brusque ni de réticence. Une étude comparative est exposée par la figure (2-28)

afin de refléter la performance de la surface variable par rapport à la surface constante (le cas de

(0)x =(0.8 , 0.8)). Nous pouvons remarquer que l’approche proposée permet de réduire

considérablement l’effort appliqué notamment au démarrage.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Posi

tion

Ang

ulai

re q

1 (r

ad)

temps (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Posi

tion

Ang

ulai

re q

2 (r

ad) référence

x(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Post

ion

Ang

ulai

r q1

(rad

)

temps (sec)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Post

ion

Ang

ulai

r q2

(rad

)

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

Figure (2-21) : La poursuite de position (temps transitoire)


64

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-5

0

5

10

Vite

sse

Ang

ulai

r (ra

d/se

c)

temps (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-5

0

5

10

temps (sec)

Vite

sse

Ang

ulai

r (ra

d/se

c) référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

Figure (2-22) : La poursuite de vitesse pour 1ère puis 2éme articulation

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-5

0

5

10

Vite

sse

Ang

ulai

r (ra

d/se

c)

temps (sec)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-10

-5

0

5

10

temps (sec)

Vite

sse

Ang

ulai

r (ra

d/se

c)

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

référencex(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

Figure (2-23) : La poursuite de vitesse (temps transitoire)


65

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Er

reur

de

Pour

suite

de

q1

temps (sec)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Erre

ur d

e Po

ursu

ite d

e q2

temps (sec)

x(0)=0.8

x(0)=-1

x(0)=1.25

x(0)=0.8

x(0)=-1

x(0)=1.25

Figure (2-24) : L’erreur de poursuite de position

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Erre

ur d

e Po

ursu

ite d

e q1

temps (sec)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Erre

ur d

e Po

ursu

ite d

e q2

temps (sec)

x(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

x(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

Figure (2-25) : L’erreur de poursuite de position (temps transitoire)


66

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-100

-50

0

50

100

temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

u1 (N

m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-40

-20

0

20

40

60

Com

man

de A

ppliq

uée

u2 (N

m)

temps (sec)

x(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

x(0)=0.8x(0)=-1x(0)=1.25

Figure (2-26) : Les couples appliqués

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-100

-50

0

50

100

temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

u1 (N

m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40

-20

0

20

40

60

Com

man

de A

ppliq

uée

u2 (N

m)

temps (sec)

x(0)=0.8

x(0)=-1

x(0)=1.25

x(0)=0.8

x(0)=-1

x(0)=1.25

Figure (2-27) : Les couples appliqués (temps transitoire)


67

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100

-50

0

50

100

temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

u1 (N

m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-30

-20

-10

0

10

20

30

temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

u2 (N

m)

Surface Variable

Surface Fixe

Surface Variable

Surface Fixe

Figure (2-28) : Comparaison de commande entre une surface fixe et variable

II.7. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons traité le problème de poursuite dans les systèmes non linéaires,

incertains soumis aux perturbations externes. Nous avons proposée, tout d’abord, une

commande adaptative robuste appliquée à un système de second ordre en utilisant un

approximateur de type RO. La loi de commande synthétisée permet de remédier aux

inconvénients du mode glissant classique comme le broutement et la connaissance des bornes

supérieures des perturbations. De plus, l’utilisation d’une surface de glissement variable permet

de réduire considérablement les sollicitations au niveau du signal de commande. La stabilité de

notre commande en boucle fermée est prouvée théoriquement. Ainsi, l’efficacité de l’approche

proposée est montrée par les résultats de simulation.

Nous avons proposée une deuxième commande pour les systèmes SISO dans laquelle, nous

utilisons un approximateur de type ROF. Trois principales contributions sont présentées dans

cette proposition. Dans la première contribution, on réunit les avantages de la commande

adaptative directe et indirecte dans une configuration unique en utilisant simplement un seul

système ROF. En effet, la nouvelle formulation mathématique adoptée permet de surmonter les

restrictions qui se produisent dans le type direct (conditions sur le gain de commande ainsi que la

singularité) et d'obtenir une description dynamique compacte du système. La deuxième


68

contribution se trouve dans l’utilisation de surface de glissement en fonctions de l'erreur de

poursuite ce qui permet de réduire efficacement l'énergie de la commande appliquée. La

troisième contribution se trouve dans les paramètres ajoutés au ROF pour avoir une meilleure

convergence. Un exemple de simulation et une étude comparative sont présentés pour prouver la

performance de l'approche proposée.

L’approche considérée précédemment est développée pour commander les systèmes MIMO.

Un exemple numérique est présenté pour valider notre approche et montrer la convergence

rapide, la bonne poursuite et la robustesse du système en boucle fermée. Il a été démontré que

cette méthode génère une commande sans broutement ou réticence. Dans les propositions

précédentes, on exige aucune connaissance préalable sur la dynamique du système ni une phase

de calcul hors ligne. De même, la connaissance des bornes supérieures des perturbations

externes et l’erreur d’approximation ne sont pas obligatoires.

Chapitre 3

Commande Adaptative Floue

Type-2

Commande Adaptative Floue Type-2

69

III.1. Introduction

La logique floue a été largement utilisée dans la littérature pour sa capacité à résoudre les

problèmes de modélisation et de commande des systèmes non linéaires. De plus, elle permet,

d’une part, d’exploiter efficacement l’expertise humaine à travers les différentes informations

linguistiques et, d’autre part, d’utiliser des techniques issues de la commande des systèmes

linéaires comme la commande adaptative ou les techniques de robustification. Cependant, ces

systèmes flous, dits de type-1 (SF-T1), ne peuvent prendre en compte toutes les incertitudes

numériques et linguistiques présentes dans le système non linéaire étudié.

Au cours des dernières années, une attention particulière a été accordée à un autre type de

système flou appelé système flou type-2 (SF-T2), car il permet de prendre en compte les

différentes incertitudes numériques et linguistiques omises dans le cas des SF-T1. L'incertitude

dans ce cas est représentée par des fonctions qui sont elles-mêmes des SF-T1, et dans certains

articles on désigne un SF-T2 par un système flou flou. Les fonctions d’appartenance utilisées sont

de type-2 et incluent ce que l’on appelle une empreinte d'incertitude (en anglais « footprint of

uncertainty » (FOU)), qui représente une troisième dimension de l’ensemble flou. Le FOU

fournit un degré de liberté supplémentaire permettant de gérer et de modéliser directement les

incertitudes. Toutes ces caractéristiques font que le SF-T2 est mieux adapté à la modélisation et à

la commande que le SF-T1 comme montré dans [Hag, 04], [Men, 06a].

Cet avantage est très important si nous savons que la modélisation de l'information linguistique et

la prise de décision représentent l’application principale de la logique floue. Plusieurs publications

ont montré l’obtention de résultats intéressants lors de l'application de SF-T2 en automatique

[Hag, 04], [Men, 06a], [Chaf, 07], [Cas, 07], [Sep, 07], [Hag, 07], [Hus, 07d], [Ezz, 08]. Malgré

l'efficacité de ces contrôleurs, leur robustesses restent néanmoins discutable.

Dans ce chapitre, nous présenterons la mise en œuvre d’une nouvelle loi de commande

adaptative floue robuste combinant le SF-T2, pour prendre en compte les différentes

incertitudes, et le mode glissant (MG), pour assurer la robustesse du système en boucle fermée.

Notre contribution porte sur deux volets. Le premier concerne l’utilisation d’un seul

approximateur SF-T2 qui nous permet à la fois d’exploiter les performances d’un tel

approximateur (une meilleure prise en compte des incertitudes) et de réduire considérablement le

temps de calcul en approximant les termes inconnus par une seule fonction. Le deuxième volet

concerne l’utilisation d’une nouvelle surface de glissement qui nous permet de supprimer la phase

d’approche et ainsi de réduire considérablement l’énergie nécessaire pour rejoindre cette surface.


70

L’analyse de stabilité, qui nous a permis de déduire la loi d’adaptation des différents paramètres

du SF-T2, a été étudiée, comme précédemment, en utilisant la théorie de Lyapunov. Pour illustrer

les performances de l’approche proposée, des résultats commentés de simulations seront

présentés à la fin de ce chapitre.

III.2. contexte et formulation du problème

On considère dans notre étude le système non linéaire incertain et perturbé donné par l’équation

suivante :

( ) ( ), ,x f x x g x x u dy x= + +⎧⎪

⎨=⎪⎩

(3-1)

On suppose que les fonctions dynamiques ( ),f x x et ( ),g x x sont complètement inconnues.

L’entrée et la sortie du système sont représentées respectivement par u et y . La perturbation

externe d est considérée inconnue mais bornée telle que d χ< ( χ est une constante positive).

Pour pouvoir commander ce système, on doit avoir ( , ) 0g x x ≠ sur le domaine de fonctionnent.

Dans ce travail on suppose que ( , ) 0g x x > , cependant, l’analyse peut être facilement adaptée aux

systèmes avec ( , ) 0g x x < . Il existe donc une constante positive inconnue telle que

( , ) 0g x x b≥ > . Il est à noter que ce paramètre est requis uniquement pour l’analyse

mathématique, mais sa valeur réelle n'est pas nécessaire, ni pour la mise en œuvre, ni pour

l’implémentation de la loi de commande.

Nous supposons également l’existence des dérivées de dy jusqu’à l’ordre deux et que ( )idy ,

i=0,1,2, sont bornées. Par conséquent, il existe une constante positive κ telle que ( )idy κ≤ .

L’objectif de ce travail est de synthétiser un contrôleur robuste capable de forcer la sortie du

système y à poursuivre une trajectoire de référence dy avec la contrainte que tous les signaux

impliqués soient bornés. Pour cela, on propose d’utiliser une loi de commande par mode glissant.

Dans le cas classique, on peut utiliser la surface de glissement suivante :

S e eλ= + (3-2)

où de y y= − est l’erreur de poursuite et λ représente la pente de glissement. Néanmoins,

l’utilisation de cette surface présente deux inconvénients majeurs :


71

1. durant la phase d'approche, le système est sensible aux incertitudes et aux perturbations,

ce qui provoque le phénomène de broutement au voisinage de la surface.

2. Le choix d'une grande valeur de la pente λ permet de réduire la phase d'approche, mais

nécessite une sollicitation importante durant le régime transitoire. Par contre, une faible

valeur engendre une réponse lente. Un compromis entre la commande appliquée et le

temps de réponse peut être proposé (équation (2-9)).

Dans ce chapitre, nous proposons de modifier la structure de la surface de glissement de telle

sorte que celle-ci passe par le point initial, ce qui permet la suppression de la phase d'approche, et,

par conséquent, le système sera sur la surface dès l’instant initial ( )0t = .

Dans le but d’améliorer les performances dynamiques, plusieurs travaux se sont focalisés sur la

modification de la surface de glissement en la rendant non linéaire [Cho, 93], [Cho, 1994], [Sir,

94], [Su, 94], [Chu, 96], [Roy, 97], [Yu, 97], [Ha, 1999]. Dans [Lee, 89], l’expression de la surface

se compose de deux parties, l’une linéaire, et l’autre non linéaire. Cependant, cette structure rend

la mise en œuvre de la loi de commande plus complexe et compromet ainsi la convergence du

système vers la surface. Dans le même contexte, Tokat et al [Tok, 03], ont modifié la surface sous

forme oblique. Néanmoins, on constate que ces travaux permettent, certes, d’améliorer quelques

performances dynamiques, mais au détriment de la complexité de la loi de commande et de la

sensibilité du système vis-à-vis des perturbations externes. Dans notre étude, on propose

d’éliminer la phase d’approche, ce qui nous permet, à la fois, de résoudre le problème de

sensibilité du système et de réduire le temps de convergence. L’idée est de trouver une expression

qui nous permet d’avoir le système sur la surface dès l’instant initial. Pour cela, on considère une

surface de glissement sous la forme suivante :

( )2 arctan( ) (0) (0)2

S e e t e eπλ λπ⎡ ⎤= + − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3-3)

La dérivée de (3-3) par rapport au temps peut être réécrite sous la forme :

( )2 1 (0) (0)1 ²

S e e e et

λ λπ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(3-4)

En utilisant (3-1), l’équation (3-4) devient :


72

( )

( )

2 1 (0) (0)1 ²

2 1 = ( , ) ( , ) (0) (0)1 ²

d

d

S y y e e et

y f x x g x x u d e e et

λ λπ

λ λπ

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦⎡ ⎤− − − + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

(3-5)

Dans le cas où les fonctions ( ),f x x et ( ),g x x sont parfaitement connues, nous pouvons

utiliser, pour atteindre notre objectif, la loi de commande suivante :

( ) ( )1 2 1( , ) ( , ) (0) (0)1 ²d du g x x f x x y e e e K sign S

tλ λ

π− ⎡ ⎤⎡ ⎤= − + + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎣ ⎦

(3-6)

où dK est une constante positive choisie par le concepteur de telle sorte que dd K< afin de

garantir 0SS < . ( )sign S désigne la fonction de commutation.

Étant donné que les fonctions ( ),f x x et ( ),g x x ne sont pas connues et que le scalaire dK est

difficile, si ce n’est impossible, à calculer, la loi de commande (3-6) ne peut pas être utilisée sous

cette forme. Dans ce qui suit, nous allons résoudre ces contraintes en proposant une nouvelle loi

de commande pour assurer aussi bien la bonne performance de poursuite que la robustesse du

système bouclé.

L'idée principale est d’approximer les termes inconnus en utilisant un seul SF-T2 sous les

contraintes suivantes :

1. la robustesse du système doit être garantie en boucle fermée,

2. le nombre de paramètres impliqués dans la loi de commande conçue doit être réduit.

D’après l’équation (1-10), la sortie du SF-T2 peut être donnée par :

( ) ( ), ,2

T Tl rl r

w x x w x xY

ξ ξ+= (3-7)

qu’on peut réécrire sous la forme simplifiée suivante :

( ) ( ), ,Th x x x xφ ψ= (3-8)

où ,TT T

l rw wφ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ et ( ) ( ) ( )1, , , ,2

TT T

l rx x x x x xψ ξ ξ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ .

Cette structure simplifiée nous permettra d’approximer les dynamiques inconnues et d’exploiter

aisément les différentes techniques de commande adaptative. Il est à noter, que nous allons

utiliser un seul approximateur afin de réduire aussi bien le temps de calcul que la complexité de la

mise en œuvre tout obtenant une excellente approximation.

Dans la section suivante, on présentera la mise en œuvre de la loi de commande proposée.


73

III.3. Mise en œuvre de la loi de commande

On considère la fonction de Lyapunov suivante :

2 212 2

bV S αγ

= + (3-9)

où γ est une constante positive utilisée pour l’adaptation, ˆα α α= − , α est l’estimé de la

variable inconnue 21bα φ−= et φ est le vecteur des conclusions du SF-T2 qui sera utilisé

ultérieurement.

bV SS ααγ

= + (3-10)

( )2 1 ˆ( , ) ( , ) (0) (0)1 ²d

bV S y f x x g x x u d e e et

λ λ ααπ γ

⎛ ⎞⎡ ⎤= − − − + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠ (3-11)

Etant donné que les perturbations externes sont supposées bornées ( )d χ< , la dérivée de la

fonction de Lyapunov vérifie l’inégalité suivante :

( )2 1 ˆ( , ) ( , ) (0) (0)1 ²d

bV S y f x x g x x u e e e St

λ λ χ ααπ γ

⎛ ⎞⎡ ⎤≤ − − + + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥+⎣ ⎦⎝ ⎠ (3-12)

On peut toujours trouver une constante positive, a , vérifiant : 2

2 22

2

2 22

2

2 2 2

2

0

2 0

12

2 2

S aaS S a

aSS a

a

S aSa

χ

χ χ

χχ

χχ

⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

− + ≥

⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

≤ +

(3-13)

Utilisant (3-13), (3-12) peut être réécrite sous la forme :

( )( ) ( )2

ˆ, ,2d da bV S y f x x g x x uS αα

γ≤ − − + − (3-14)

avec ( ) ( ) ( ) ( )( )2

2

2 1, , 0 02 1 ²df x x f x x S e e ea tχ λ λ

π⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥+⎣ ⎦

.

A partir des hypothèses de travail, ( ),f x x et χ sont inconnues ce qui implique que la fonction

( ),df x x l’est également. Le SF-T2 donné par (3-7) peut être utilisé pour approximer cette

fonction.


74

D’après le théorème d’approximation universelle [Lee, 05], [Yin, 08] on peut trouver une constate

positive ε telle que :

( ) ( ) ( ), , ,Tdf x x x x x xφ ψ δ= + (3-15)

avec ( ),x xδ ε≤

Dans ce cas, l’équation (3-14), devient :

( )( ) ( )2

ˆ, ,2

Td

a bV S y x x g x x uSφ ψ ε ααγ

≤ − − − + − (3-16)

En introduisant deux constantes positives ρ et η (comme dans (3-13)) et en utilisant le fait que 21bα φ−= ainsi que ( )i

dy κ≤ , on peut établir l’inégalité suivante :

( )( ) ( ) ( )2 2 22 22

2 2, ,2 2 2

T Td

b bSS y x x x x Sb

η ε κα ρφ ψ ε ψ ψρ η

+− − ≤ + + + (3-17)

En substituant (3-17) dans (3-16), on obtient :

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

22 2

ˆ, ,2 2 2 2

Tb bS a bV x x S g x x uSb

η ε κα ρψ ψ ααρ η γ

+≤ + + + − + − (3-18)

En remplaçant α par ˆα α+ , on peut écrire :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 22 22

2 2

22

2

ˆ, ,

2 2 2

ˆ ,2 2

T

T

b bSV x x S g x x uSb

a b x x S

η ε κα ρψ ψρ η

γα ψ ψ αγ ρ

+≤ + + + −

⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

(3-19)

Proposition 5

La loi de commande

( )2

22 2

ˆ,

2T Su MS x x Sα ψ ψ

ρ η= + + (3-20)

avec

( ) 22

ˆ ,2

T x x Sγα ψ ψρ

= et 0M > (3-21)

garantit la stabilité et la robustesse du systèmes bouclé, ainsi que la bornitude de toutes les

variables.


75

Démonstration :

En utilisant (3-20) et (3-21) et le fait que ( ),g x x b− ≤ − , l’équation (3-19) devient :

( )2 2 2 2 221 ² ² 2

2 2 2SV a b bM b

bη ε κ αρ σα ησ

η

⎡ ⎤+ ⎡ ⎤⎢ ⎥≤ + + + + − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3-22)

où σ est une constante positive introduite comme dans (3-13).

Soient :

( )0 min 2 ,a bM ησ= (3-23)

( )2 2 22

01 ² ²2

b a bb

η ε κρ σα

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3-24)

On peut déduire que :

0 0V a V b≤ − + (3-25)

Ce qui nous permet d’obtenir l’inégalité suivante :

( ) ( ) 00 0

0 0

0 a tb bV t V ea a

−⎛ ⎞≤ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(3-26)

ou

( ) ( ) 0

0

0 ; 0bV t V ta

≤ + ∀ ≥ (3-27)

Les deux variables S et α appartiennent à l’ensemble suivant :

( ) ( ) ( ) 0,

0

, / 0 ; 0SbS V t V taα α

⎧ ⎫Ω = ≤ + ∀ ≥⎨ ⎬

⎩ ⎭ (3-28)

Etant donné que V est une fonction continue, l’ensemble ,S αΩ est un compact. En utilisant le

fait que 2

( )2S V t≤ , on peut conclure que 2 0

0

lim 2t

bSa→∞

≤ ce qui implique que ( )2 0

0

lim 2t

be ta→∞

≤ .

On a donc montré que l’erreur et la surface sont bornées. En analysant l’expression de la loi de

commande, on remarque que celle-ci reste également bornée. Ainsi, l’approche proposée permet

de garantir la bornitude de tous les variables du système (états, commande). De plus, l’application


76

du lemme de Barbalat [Wan, 94], nous permet d’affirmer que non seulement l’erreur est bornée

mais tend vers zéro à horizon infini.

III.4. Simulations et résultats

Dans cette section, on présentera les résultats de simulations obtenus pour des systèmes

considérés dans le chapitre 2.

III.4.1. Exemple 1 : système masse ressort :

On reprend le système masse ressort donné par la figure (2-4) et dont la dynamique est décrite

par l’équation (2-34). Pour la simulation, on utilise les mêmes paramètres que ceux définis dans le

chapitre 2.

Pour la mise en œuvre de la loi de commande, on utilise trois fonctions d’appartenance pour

chaque entrée uniformément distribuées sur les univers de discours (position et vitesse), ce qui

nous donne neuf règles floues.

Généralement, la validation en simulation d’un contrôleur se fait pour une trajectoire de référence

donnée. Pour montrer l’efficacité et la flexibilité de notre approche, on propose un signal de

référence dont le module et la fréquence changent. Pour cela, on considère la trajectoire suivante :

sin(t)dy = pour l'intervalle [0 , 9[ seconde.

sin (2t)dy = − pour l'intervalle [9 , 17[ seconde.

(π/30)sin(t)dy = − pour l'intervalle [17 , 30] seconde.

Pour la perturbation, on l’a choisie rapide et avec une amplitude relativement importante,

0.25 sin(3t)d = × .

Les conditions initiales de la position et de la vitesse sont respectivement 0,5 et zéro. Pour les

paramètres de commande, on rappelle que :

M permet de ramener le système vers la surface dans le cas où il la quitte, le rapport 2

γρ

représente le taux d’apprentissage. Parallèlement, 2

1ρ

intervient dans la loi de commande. Ainsi,

le choix de ρ dépend de la vitesse du système. Pour un système rapide, il est préconisé de

prendre 2

1ρ

moyen. Dans notre cas, on prend 0.5ρ = ce qui nous donne 2

1 4ρ

= . Pour un taux

d’apprentissage 2

γρ

, on prendra 2 100γρ

= qui implique 25γ = . Pour le terme η , il affecte la


77

largeur du domaine auquel S et α doivent appartenir (3-28). Pour cela, on prend η petit (dans

cet exemple on prend 0.01η = ). Il est à noter que 22

1 Sη

reste très petit et n’intervient que dans

le cas où S tend à quitter l’ensemble ,S αΩ donné par (3-28). La pente de surface est choisie

10λ = . Les figures (3-1) et (3-2) donnent les états du système (position et vitesse) ainsi que leurs

trajectoires de référence respectives.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps (sec)

Posi

tion

(m)


0 5 10 15 20 25 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (sec)

Vite

sse

(m/s

ec)

dy y

dy y


78

Figure (3-2) : La poursuite de vitesse

Nous remarquons que le système atteint la trajectoire désirée même lorsque les conditions

initiales sont loin de la trajectoire désirée. Les figures (3-3) et (3-4) montrent également que

l'erreur de poursuite (de position ou de vitesse) converge rapidement vers zéro.

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps (sec)

Erre

ur Q

uadr

atiq

ue d

e Po

sitio

n (m

)

Figure (3-3) : L’erreur quadratique de position

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Temps (sec)

Erre

ur Q

uadr

atiq

ue d

e V

itess

e (m

/sec

)

Figure (3-4) : L’erreur quadratique de vitesse


79

L’effort appliqué au système est donné par la figure (3-5). On remarque l’absence des variations

brusques et le phénomène de broutement, qu’on peut trouver dans le cas du mode glissant

classique. On note également que les deux pics observés, correspondant au changement de

référence, illustrent un rattrapage immédiat du contrôleur pour s’adapter à la nouvelle trajectoire

imposée et ne durent pas longtemps (moins d’une seconde), ce qui montre l’efficacité de notre

approche.

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

Temps (sec)

Com

man

de A

ppliq

uée

(N)


III.4.2. Exemple 2 : bars de robot

On reprend le bras de robot donné par la figure (2-12) et dont la dynamique est décrite par (2-

104). Pour la simulation, on utilise les mêmes paramètres que ceux définis dans le chapitre 2.

Pour la mise en œuvre de la loi de commande, nous construisons notre SF-T2 en utilisant trois

fonctions d’appartenance pour chaque entrée uniformément distribuées sur les univers de

discours (position et vitesse), ce qui nous donne neuf règles floues. La trajectoire de référence est

donnée par 2 sin( )dy tπ= × .

Pour montrer l’insensibilité du système vis-à-vis des perturbations, on s’intéressera au régime

permanent, pour cela on choisit (0) (0) 0y y= = . Pour les paramètres de commande, ils sont

choisis comme dans l’exemple précédent. En appliquant une perturbation sévère et brusque

(figure (3-6)), on remarque que le système suit parfaitement les trajectoires de références (position


80

et vitesse) (figures (3-7) et (3-8)). La figure (3-9) donne le signal de commande appliqué au

système. On remarque que malgré l’importance des perturbations, une petite variation au niveau

de la commande suffit au système pour garder ses bonnes performances de poursuite.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (s)

Pertu

rbat

ions

ext

erne

s

Figure (3-6) : les perturbations externes considérées

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Temps (s)

Posti

on a

ngul

aire

(rad

)

Figure (3-7) : la position et sa trajectoire de référence

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Temps (s)

Vite

sse

Ang

ulai

re (r

ad/s)

Figure (3-8) : la vitesse et sa trajectoire de référence

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps (s)

Cou

ple

App

liqué

(N.m

)


81

Figure (3-9) : le couple appliqué au robot

Afin de mieux illustrer l’intérêt d’utiliser un SF-T2, nous avons utilisé la même loi de commande

avec un SF-T1 puis un SF-T2 comme approximateur. La figure (3-10) donne l’erreur de poursuite

pour les deux cas. On remarque que l’utilisation d’un SF-T2 rend le système moins sensible aux

perturbations externes que lors de l’utilisation s’un SF-T1 comme montré sur la figure (3-10).

Ceci peut être expliqué par le fait qu’un SF-T2 pend en compte les incertitudes dans le traitement

d’information ce qui permet d’annuler les effets d’éventuelles perturbations.

Figure (3-10) : Erreur de poursuite en utilisant le SF-T1 et SF-T2

III.5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons proposé une nouvelle loi de commande adaptative floue et robuste.

Celle-ci comprend deux contributions majeures. La première concerne l’utilisation d’un seul SF-

T2 pour prendre en compte les incertitudes négligées dans le cas d’un SF-T1 tout en réduisant le

temps de calcul. La seconde contribution portait sur l’utilisant d’une surface de glissement

permettant d’éliminer la phase d’approche. Par conséquent, nous avons évité

1. l’apparition du phénomène de broutement,

2. un éventuel compromis entre l’erreur de poursuite et l’effort appliqué (comme il a été

montré dans le chapitre 2).

Les simulations des deux exemples ont montré que l’approche proposée peut être aisément et

efficacement appliquée aux systèmes industriels lents ou rapides. De plus, les résultats obtenus

ont illustré la bonne performance de l’approche en variant les paramètres du signal de référence

ainsi que la nature de perturbation.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3

-2

-1

0

1

2

3

Temps (S)

Erre

ur d

e po

sitio

n (r

ad)

SF-T1SF-T2

Chapitre 4

Validation Expérimentale


82

IV.1. Introduction

Lors du développement théorique d’une commande donnée, parfois, on a recourt à des

hypothèses simplificatrices, soit au niveau de la modélisation, soit au niveau de la commande. La

validation par simulation permet d’avoir une idée sur l’efficacité de la commande comme l’erreur

de poursuite, la robustesse, le temps de réponse, …etc.

Cependant, ces simulations ne peuvent pas refléter tous les phénomènes physiques car il est

difficile, si ce n’est impossible, de les modéliser. Par ailleurs, des contraintes technologiques, dans

la plupart des cas, ne sont pas prises en compte lors de la simulation comme les erreurs de

mesures dues aux capteurs, le temps d’échantillonnage, les retards, les temps de traitement de

données, les bruits de mesures, …etc.

Pour cela, l’implémentation en temps réel d’une commande sur un banc d’essais, est très

importante car elle permet de mesurer réellement l’efficacité de l’approche développée et validée

en simulation. Elle permet également de détecter ou mettre en évidence certaines contraintes

physiques négligées lors de la mise en œuvre.

Ce chapitre est dédié à la validation en temps réel des approches présentées dans les chapitres 2 et

3 sur un banc d’essais au sein de notre laboratoire.

Nous commencerons ce chapitre par une brève présentation du banc d’essais utilisé puis des

résultats expérimentaux obtenus lors de l’application des méthodes proposées.

IV.2. Banc d’essais

Les tests ont été réalisés sur un banc d’essais développé au sein du groupe AUTO du CReSTIC

de Troyes. Celui-ci est constitué d’un moteur à courant continu, d’un réducteur, d’un codeur

absolu, d’un bras, d’un amplificateur de tension, d’un module dSpace 1104 et d’un ordinateur

équipé de logiciels spécifiques. Le schéma synoptique du banc ainsi qu’une photo sont donnés

respectivement par les figures (4-1) et (4-2).


83

Figure (4-1) : Synoptique du banc d’essais

Figure (4-2) : Photo du banc d’essais

Pour plus de détails sur ce banc, le lecteur pourra se référer à l’annexe A. Nous nous contentons

donc dans ce chapitre de la présentation des résultats obtenus par la mise en œuvre des

commandes proposées précédemment.

Ordinateur Pentium

MATLAB Simulink

Carte dSPACE

Motoréducteur

Capteur de position

Carte d’amplification


84

IV.3. Résultats expérimentaux

Cette section est dédiée à l’application des lois de commandes développées dans les chapitres 2 et

3. Il est à noter que seuls les résultats obtenus avec les lois (2-43) et (3-22) seront présentés car on

n’a pas pu obtenir de poursuite avec la commande (2-4) suite aux importantes sollicitations en

courant.

IV.3.1. Résultats expérimentaux de la commande (2-43)

Cette partie concerne les résultats expérimentaux obtenus en appliquant la loi de commande

proposée dans (2-43) au motoréducteur. Pour cela, on a défini le signal 2.5sin( )dy t= comme

trajectoire de référence et on a fixé le pas d’échantillonnage à 0.1ms. Ce choix nous permet

d’avoir un bon compromis entre la précision des mesures et les temps de calcul et de traitement

de données. Pour la mise en œuvre du système flou, nous avons utilisé, comme indiqué dans la

partie théorique au chapitre précédent, la position et la vitesse angulaires de références comme

entrées. Etant donné que ces deux signaux varient entre -2.5 et 2.5 et pour alléger les calculs,

nous avons choisi trois fonctions d’appartenance (négative, zéro et positive) pour chaque entrée

réparties uniformément sur les univers de discours (position et vitesse), ce qui nous donne 9

règles floues.

Le choix des paramètres doit être fait de telle sorte qu’il y ait un compromis entre le pas

d’échantillonnage et la vitesse de variation des paramètres du système flou. En effet, un grand

gain d’adaptation entraîne une évolution rapide de l’approximateur ce qui nécessite un pas

d’échantillonnage plus petit. Ceci peut nous mener au cas où le temps de traitement de données

et de calcul soit plus grand que le pas. Pour cette raison, l’évolution de l’adaptation doit être en

adéquation avec les contraintes de calcul et en aucun cas elle peut influencer les performances de

poursuite. Par ailleurs, le choix de paramètres doit prendre en compte également la précision des

capteurs pour assurer une meilleure performance de poursuite. Dans ce qui suit, on présentera les

résultats obtenus avec 1 4k = , 1 0.1ε = , 1dk = , 1cγ = , 0.001aγ = et 0.001bγ = .


85

IV.3.1.1. Essai à vide.

Cet essai comprend l’application de notre loi de commande (2-43) au motoréducteur seul pour

étudier ses comportements ainsi que les performances de cette commande. Les résultats sont

présentés sur les figures (4-3) à (4-5). La position de référence et la position réelle du système en

sortie du réducteur (en radian) sont données par la figure (4-3).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

Temps (sec) Figure (4-3) : La poursuite de position du système sans charge

On remarque que le système rejoint la position de référence. Cependant, en analysant l’erreur de

poursuite à travers la figure (4-4), on note la présence d’une erreur aux extrémaux (points

maximal et minimal). Ceci peut être expliqué par la présence d’un jeu au niveau du raccordement

entre le motoréducteur et le capteur. Néanmoins, cette erreur ne dépasse pas 2.3%.

dyy


86

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Erre

ur d

e Po

ursu

ite (r

ad)

Temps (sec) Figure (4-4) : L’erreur de poursuite du système sans charge

La figure (4-5) donne la tension appliquée au motoréducteur pour assurer les performances

exigées. On remarque l’absence de toute variation brusque et du phénomène de broutement. On

note également l’absence de sollicitations au démarrage qui caractérisent le mode glissant

classique.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec)

Figure (4-5) : La loi de commande du système sans charge


87

IV.3.1.2. Essai avec une charge.

Cet essai comprend l’application de la loi de commande au motoréducteur avec une charge.

Celle-ci est représentée par un bras de 40 cm de longueur et de 0.2 kg de masse. Les figures (4-6)

à (4-8) montrent les résultats obtenus.

Comme dans le cas précédent, on a le système qui suit la trajectoire de référece (figure (4-6)) et

l’erreur de poursuite (figure (4-7)) ne dépasse pas dans ce cas 5%.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Figure (4-6) : La poursuite de position du système avec un bras

Temps (sec)

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

dy y


88

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Figure (4-7) : L’erreur de poursuite du système avec un bras

La tension appliquée au motoréducteur varie entre [-18V ; 18V] sans présenter de broutement ou

de variations brusques comme le montre la figure (4-8). Par ailleurs, cette tension reste très

inférieure à la tension maximale malgré l’inertie de bras ajouté.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec)

Figure (4-8) : La loi de commande du système avec un bras

Temps (sec)

Erre

ur d

e po

ursu

ite (r

ad)


89

Nous avons montré à travers les résultats expérimentaux l’efficacité et la robustesse de la

commande basée sur les réseaux d’ondelettes flous puisque l’on a obtenu une erreur de poursuite

ne dépassant pas 5%. Cependant, la mise en œuvre de l’approximateur nécessite une certaine

analyse et connaissance du système étudié, ce qui est très difficile dans certains cas industriels. Par

ailleurs, une forte variation paramétrique et une information linguistique mal exploitées peuvent

entraîner une mauvaise convergence de l’approximateur et ainsi de médiocres performances de

poursuite. Pour remédier à ce problème, l’utilisation d’un système flou de type-2 peut être une

alternative comme montré dans le chapitre précédent. Nous présenterons les résultats de cette

approche dans le paragraphe suivant.

IV.3.2. Résultats expérimentaux de la commande (3-22)

IV.3.2.1. Essai avec une charge.

Dans cette partie, nous allons appliquer la loi de commande (3-22) en prenant les paramètres

mentionnés précédemment. Seul l’essai en charge a été repris dans cette thèse. Les résultats

obtenus sont illustrés par les figures (4-9) à (4-11).

Concernant la position du système, la figure (4-9) montre une bonne poursuite vers sa trajectoire

de référence avec un pourcentage d’erreur inférieur à 3%. L’erreur de poursuite est beaucoup

moins importante que dans le cas précédent.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3


Temps (sec)

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

dy y


90

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

Figure (4-10) : L’erreur de poursuite

La tension appliquée au motoréducteur est montrée par la figure (4-11) dans laquelle, nous pouvons remarquer également l’absence de phénomène de broutement et d’éventuelles variations brusques.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec)


Temps (sec)

Erre

ur d

e po

ursu

ite (r

ad)


91

Les auteurs dans [Lin, 08] ont utilisé la logique floue type-2 pour commander un moteur

ultrasonique. Cependant, en comparant leurs résultats à ceux qui nous venons d’obtenir, on peut

affirmer que notre méthode permet une meilleure robustesse due à l'utilisation de la commande

par mode glissant. De même, la poursuite obtenue dans [Lin, 08] a une erreur de poursuite de 8%

or dans notre cas, elle est inférieur à 3%.

Après avoir expérimenté cette commande, nous allons l’éprouver vis-à-vis des différentes

situations suivantes :

1. les variations paramétriques : on laisse le moteur tourner au moins 15 minutes afin

d’obtenir un échauffement et engendrer un variation au niveau de la résistance électrique.

2. les conditions initiales différentes : on teste plusieurs conditions initiales en débranchant

l’alimentation du motoréducteur et puis en la rebranchant quand la tension atteint une

valeur désirée.

3. les perturbations externes : Nous allons essayer de bloquer la rotation du bras associé au

motoréducteur plusieurs fois pour appliquer une perturbation externe.

Par mesure de sécurité, nous avons intercalé une saturation afin de limiter la tension appliquée

dans l’intervalle [-18.6,18.6]V.


92

IV.3.2.2. Position initiale y(0) = -2.4 rad. Nous avons choisi une position initiale égale à zéro avec une erreur initiale égale à -2.45

rad. Nous remarquons que la commande s’adapte immédiatement pour ramener la position à sa

trajectoire de référence et prendre par la suite la forme sinusoïdale. Cela a pris une durée de

2.45s. La tension ne présente pas de réticence ou de variations brusques.

0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30-20

-10

0

10

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec)

Figure (4-12) : Le résultat expérimental La position initial égale à zéro et l’erreur initiale égale à -2.4 rad.

dyy


93

IV.3.2.3. Position initiale y(0) = 9.4 rad

Avec une erreur initiale plus élevée égale à 7.3 rad, nous remarquons que la commande atteint sa

valeur maximale pour ramener la position vers sa trajectoire de référence dans un durée de 4.6s.

0 5 10 15 20 25 30-5

0

5

10

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30-20

-10

0

10

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec) Figure (4-13) : Le résultat expérimental cas (1) ;

La position initiale égale à 9.46 et l’erreur initiale égale à -7.36 rad.

dyy


94

IV.3.2.4. Test de robustesse

Nous avons essayé de bloquer le bras avant qu’il n’arrive à la fin de la trajectoire pour éprouver la

robustesse de notre commande. Nous avons soumis le bras à trois blocages ; moyen (de t=7 à

t=7.5s), grand (de t=12.8s à t=13.8s) et petit (de t=20.1 à 20.3s) comme le montre la figure (4-

14)A.

0 5 10 15 20 25 30-4

-2

0

2

4

Posi

tion

Ang

ulai

re (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30

0

1

2

3

Erre

ur d

e Po

ursu

ite (r

ad)

0 5 10 15 20 25 30-20

-10

0

10

20

Com

man

de A

ppliq

uée

(V)

Temps (sec) Figure (4-14) : Le résultat expérimental avec un blocage du bras,

(t=7 à t=7.5s, t=12.8s à t=13.8s et t=20.1 à 20.3s).

Les blocages appliqués au bras se traduisent par une augmentation de l’erreur. La commande se

voit influencée par cette perturbation. Dans ce cas, l’effet de perturbation devient plus visible par

rapport la figure (4-11). Comme il a été expliqué, toute incertitude sera exploitée par le SF-T2 et

ensuit, par la loi de commande. Les anomalies observées, au niveau de la loi de commande, sont

proportionnelles à la valeur de la perturbation externe.

Petits blocages

Grand blocage

pic1 pic2pic3

dyy

A

B

C


95

Le tableau (4-1) permet de compare les deux approches proposées.

Afin de comparer les performances des commandes expérimentées dans ce chapitre, nous

pouvons considérer le tableau (4-1).

Le motoréducteur Erreur de poursuite avec SF-T1 Erreur de poursuite avec SF-T2

Essai à vide 2.3% 2.3%

Essai avec une charge 4% 2.8%

Robustesse bonne Très bonne

L’effet de la perturbation sur l’erreur de poursuite

considérable négligeable

Tableau (4-1) : Comparaison entre la commande en utilisant SF-T1 et SF-T2.

IV.4. Conclusion

Nous avons validé deux commandes en temps réel en les appliquant au motoréducteur seul puis

associé à un bras. Nous avons ainsi étudié les performances par rapport à la charge, par rapport la

position initiales du motoréducteur enfin, l’influence des perturbations externes. Les résultats

obtenus nous permettent d’affirmer que la commande proposée en utilisant un approximateur

floue type-2 est une méthode efficace et robuste vis-à-vis des variations paramétriques de la

machine et des perturbations externes.

96

CONCLUSION GENERALE

Cette thèse a pour but d’apporter une contribution aux travaux déjà menés dans le cadre de

l’association de l’intelligence du réseau d’ondelettes et de la logique floue, à la rigueur du mode

glissant. Il s’agit de développer des lois de commande adaptatives par modes glissants pour

résoudre les problèmes de poursuite des systèmes non linéaires incertains et perturbés.

Après avoir donné un bref aperçu sur quelques approximateurs, nous avons présenté d’abord une

commande adaptative par modes glissants d’un système de second ordre dont on connait le gain

nominal de la commande. Les dynamiques inconnues sont approximées par un réseau

d’ondelettes dont la mise à jour est effectuée à l’aide d’une loi déduite de l’étude de stabilité. Nous

avons ensuite traité le cas où l’on ne dispose par de connaissances. Les dynamiques inconnues

sont regroupées dans une seule fonction en vue de leur approximation par un réseau d’ondelettes

flou. Ce dernier permet d’allier les avantages de la logique floue à incorporer aisément l’expertise

humaine et la convergence rapide des ondelettes. Au niveau de la robustesse, nous avons utilisé

une surface de glissement non linéaire pour réduire les sollicitations au démarrage tout en

maintenant une convergence rapide vers zéro. Nous avons également présenté l’extension de

cette approche aux systèmes d’ordre n mono puis multivariables. Deux exemples de simulations

ont été présentés pour valider ces approches et montrer leur efficacité.

Pour améliorer la robustesse du système bouclé, nous avons présenté, dans le chapitre 3, une

nouvelle commande adaptative floue type-2 par modes glissants. Notre contribution a porté sur

deux aspects. Nous avons utilisé un système flou de type-2 pour prendre en compte les

incertitudes négligées dans le cas d’un système flou classique (type-1), et ainsi améliorer

l’approximation. Le deuxième aspect concerne la surface de glissement dont l’expression a été

modifiée de telle sorte que le système soit sur cette surface dès l’instant initial. Ceci permet

d’éliminer la phase d’approche et ainsi rendre le système insensible aux perturbations et remédier

à la contrainte de connaitre leurs bornes supérieures rencontrées dans le cas du mode glissant

classique. Des simulations ainsi qu’une étude comparative ont été présentées pour mieux illustrer

les améliorations apportées par cette approche.

Le chapitre 4 a été consacré à la validation expérimentale sur un banc d’essais, au sein de notre

laboratoire, des approches développées. Différentes situations ont été envisagées afin de tester

d’une part les performances de poursuite et d’autre part la robustesse. Les résultats obtenus ont

97

permis de confirmer ceux obtenus en simulation et la convergence de l’erreur de poursuite n’a

pas dépassé 5% avec moins de sollicitations au niveau de la commande malgré des perturbations

externes plus importantes.

Afin d’éprouver un peu plus nos commande, nous envisageons d’ajouter une masselotte couplée

à un ressort sur le bras pour introduire des perturbations plus sévères.

Au niveau de la loi de commande, l’extension de la commande adaptative floue type-2 par modes

glissants aux systèmes d’ordre n mono et multivariables sera étudiée. Par ailleurs, une étude

approfondie pour l’introduction d’un algorithme d’activation dynamique des règles est en cours

de réalisation. Cet algorithme permettra de réduire le nombre de règles activées et ainsi le temps

de calcul. L’introduction d’un observateur d’état dans le cas d’un système d’ordre n est envisagée

à moyen terme.

Ces approches une fois complètement validées seront appliquées à la commande d’une machine

asynchrone dont le banc d’essais est en cours de réalisation dans notre laboratoire. En effet, cette

approche nous permettra de considérer l’alimentation, le moteur et sa charge comme un seul

système et de déduire les commandes assurant de bonnes performances tout en prenant en

compte le comportement fortement non linéaire de l’alimentation dans certaines zones de

fonctionnement.

Annexe

Banc d’Essais

Annexe, Banc d’Essais

98

A.1. Module dSPACE DS1104

Le module dSPACE 1104 développé par la société dSPACE se compose de deux parties :

a) Une carte d’interface équipée d’un processeur DSP permettant l’acquisition et le

traitement de données sur ordinateur ainsi que l’envoi de signaux vers les autres

éléments du banc (figures (A-1)) [1].

b) Un panneau du contrôle composé de 16 prises BNC permettant la conversion de

signaux analogiques en numérique avant de les transmettre à la carte (figures (A-

2)). Il contient également 16 sorties délivrant en analogique les signaux

numériques envoyés par la carte. Le panneau comporte aussi une connexion MLI,

deux connexions série : RS232, RS422, deux connexions pour codeur et une

connexion entrée sortie numérique.

Figure (A-1) : La carte dSPACE DS1104 R&D

Figure (A-2) : Le panneau de contrôle de module dSPAC DS1104


99

A.2. Amplificateur de tension

Le panneau de contrôle du module Dspace permet de fournir une tension variant entre -10V et

10V alors que le moteur accepte une alimentation entre -24V et +24V ce qui pose un problème

de mise à l’échelle. De plus, le module ne peut fournir que de faibles courants. Pour surmonter

ces contraintes, nous avons introduit un amplificateur, figure (A-3), ayant un gain égal à 3 entre le

module et le moteur, ce qui nous permet d’avoir la tension et la puissance adéquates pour

commander le moteur.

Figure (A-3) : L’amplificateur de tension fournie au moteur

A.3. Capteur de position

Un capteur est un dispositif qui transforme l’état d’une grandeur physique observée en une

grandeur utilisable. Pour notre système, nous avons utilisé un codeur absolu qui permet de

délivrer l’information sous forme numérique codée sur 13 bits en code gray et proportionnelle à

la valeur analogique d’entrée. Les figure (A-4) et (A-5) montrent respectivement le montage et le

branchement du codeur sur le banc d’essais [5].

La détermination du point zéro a été obtenu après plusieurs tests et ajustement et la position

verticale du pendule a été considérée comme étant la position correspondant à 0 rad.


100

Figure (A-4) : Le moteur avec un codeur absolu

Figure (A-5) : Le branchement du codeur absolu sur le port numérique

A.4. Motoréducteur

Beaucoup d’applications nécessitent un couple de démarrage élevé. Or, le moteur à courant

continu, par nature, possède une caractéristique couple/vitesse de pente importante, ce qui

permet de vaincre un couple résistant élevé, et d’absorber facilement les à-coups de charge.

D’autre part, la miniaturisation recherchée par les concepteurs trouve dans le moteur à courant

continu une solution idéale, car il présente un rendement élevé, par rapport aux autres

Le codeur

Le port numérique


101

technologies. Dans cette section, on présentera des généralités sur les moteurs à courant continu

(MCC) suivie par les équations du moto-réducteur afin de pouvoir modéliser notre système.

La modélisation du MCC est formée de deux parties ; électrique et mécanique. Cette machine,

avec le réducteur de vitesse (rapport de réduction N), peut être représentée par la figure (A-6).

Figure (A-6) : Schéma simplifié d’un moto-réducteur + charge

I La partie électrique du MCC est formée par

1. U : tension d’alimentation,

2. i : courant dans l’induit du moteur,

3. R : résistance de l’induit,

4. L : inductance de l’induit,

5. K : constance de f.c.é.m1 du moteur.

II La partie mécanique du MCC est formée par

1. f : coefficient de frottement visqueux du moteur,

2. Jm : inertie du moteur,

3. N : rapport de réduction,

4. Jc : inertie de la charge,

5. C : couple électromécanique. 1 force contre-électromotrice

i

U E

fΩ

Jc

N

Jm

K

MCC Réducteur Charge

C


102

A.4.1. Mise en équations du système

a) MCC Les équations mécaniques et électriques définissant le fonctionnement du MCC sont : l’équation

de l’induit, l’équation du flux, l’équation du couple et l’équation mécanique. L’équation de l’induit

est :

. diU R i L Edt

= + + (A-1)

avec : ΩΦ= KE Dans le cas du moteur à courant continu à aimant permanent, le flux est considéré constant

comme suit :

eE K= Ω (A-2)

Le flux magnétique est donné par:

iK .Φ=Φ (A-3)

Concernant l’équation du couple, la puissance absorbée est décrite par :

Ω=ΩΦ== .CiKiEPa alors Φ= KiC

et puisque le flux est constant, alors :

iKC m= (A-4)

L’équation mécanique a la forme suivante :

.r mdC C J fdtΩ

− = + Ω (A-5)

où :

Cr : Couple résistant,

Jm : Moment d’inertie du MCC,

Ω : Vitesse de rotation du MCC,

f : Frottement visqueux du MCC.

b) Réducteur Le fonctionnement du réducteur de vitesse est donné par:

mr f rdC C Jdtω

− = (A-6)

où :

mrC : Couple mécanique du réducteur,

fC : Moment du couple de frottement tel que f rC f ω= ( rf : Frottement du réducteur),


103

rJ : Moment d’inertie du réducteur,

ω : Vitesse de rotation du réducteur.

Les spécifications techniques sont données par le tableau (A-1) [4].

Tableau (A-1) : Les spécifications techniques du motoréducteur RE040G/PLG42S


104

L’ensemble du "moteur à courant continu + réducteur de vitesse" forme un "motoréducteur".

Dans notre travail, l’étude a été faite sur le motoréducteur RE040G/PLG42S comme le montre

la figure (A-7).

Figure (A-7) : L’ensemble motoréducteur RE040G/PLG42S

La figure (A-8) montre le schéma bloc du système étudié.

Figure (A-8). Schéma bloc du motoréducteur associé à un bras

A.4.2. Modélisation du motoréducteur en Simulink

Pour modéliser le moto réducteur, on effectue la transformée de Laplace de toutes les équations

du MCC ainsi que l’équation du réducteur de vitesse comme suit :

( ) ( ) ( ) ( ) U p R Lp I p E p= + + (A-7)

( ) ( ) eE p K p= Ω (A-8)

( ) ( ) ( )( ) rJp p C p C p f pΩ = − − Ω (A-9)

( ) ( )mC p K I p= (A-10)

comme eK ≈ mK , alors :

Moteur RE040

RéducteurPLG42S

Codeur GA240

Signal de commande

[-24;+24] volt

Vitesse de rotation

Vitesse de rotation réduite

Motoréducteur RE040G/ PLG42S

Couple mécanique

Position de la

charge

Bras


105

em e mK K K= = (A-11)

La représentation des équations précédentes sous forme d’un schéma bloc est donnée par la

figure (A-9).

Figure (A-9). Schéma fonctionnel du système à commander

Le couple Cr est considéré comme une perturbation externe non mesurable.

A.5. MATLAB Simulink

Avant d’explorer l’environnement logiciel, un ordinateur Pentium 4, 3GHz processeur, 1GB de

mémoire et un système d’exploitation Windows XP SP2 a été utilisé dans notre expérimentation.

Le premier logiciel utilisé est le MATLAB1 qui est un outil de calcul très répondu adapté pour les

problèmes scientifiques. L’extension graphique de MATLAB, s’appelle SIMULINK, permet de

travailler avec des diagrammes et d’utiliser des fonctions prêtes ou personnalisées en blocs. La

modélisation de la mesure de position pour le système étudié sera la première partie de notre

programme Simulink. Le but de cette partie est de bien manipuler le module Dspace afin de

mesurer la position de bras lorsque le moteur tourne à une certaine vitesse. La modélisation de la

mesure de position, est présentée par la figure (A-10).

1 Version R2006b.

emK

emK1

m mf J p+

-

+

E(p)

-+

Cr(p)

( )pΩ U(p) 1R Lp+

Réducteur ( )pω


106

Figure (A-10) : Modélisation de la mesure de position en Simulink

Le fichier Simulink utilisé pour commander le système non-linéaire est illustré par la figure (A-

11).

Figure (A-11) : La commande proposée représentée en Simulink


107

A.6. ControlDesk

Ce logiciel est considéré comme une plateforme sur laquelle une simulation est gérée, tout

comme MATLAB. À partir de cet environnement, nous pouvons lire, écrire, configurer

l’instrumentation que nous utilisions pour commander, suivre et automatiser la partie

expérimentale. Les paramètres de la fenêtre par défaut pour la ControlDesk1 montrés dans la

figure (A-12).

Le Sélecteur de fichiers affichera uniquement certains types de fichiers. Il montrera les extensions

mdl (fichier de Modèle SIMULINK), ppc (fichier Compilé d’objet pour être exécuté sur le

DS1104), et SDF (fichier de description du système). Le fichier SDF contient des références au

fichier exécutable (de type soit mdl ou ppc) et au fichier de description variable (TRC). Nous

pouvons aussi créer et afficher des mises en page, ainsi mettre en place un éditeur pour écrire

fichiers texte, ou C code.

Figure (A-12) : La fenêtre de ControlDesk crée pour gérer notre command en temps réel

1 ControlDesk developer version 3.1

Courbes de variables

Gain glissant

Panneau de commande

Paramètres modifiables


108

Après avoir expliqué la partie informatique, nous pouvons donner la structure détaillé (partie

logicielle et système) de notre banc d’essais par la figure (A-13).

Figure (A-13) : Structure complète du banc d’essais

MATLAB Simulink

ControlDesk

Logiciel

Fichier SDF

DAC Digital I/O Panneau de contrôle de DS1104

Amplificateur

Moteur Charge Codeur

Fichier LAY

Carte d’interface DS1104 R&D

L’ordinateur


109

La figure (A-14) montre une photo prise lors de l’expérimentation.

Figure (A-14) : Le système sous la commande numérique

129

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contribution a la commande adaptative robuste par modes glissants

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