Comportement vibratoire des arbres de transmission composites surcritiques Etude thorique, exprimentale et dimensionnement Olivier Montagnier Christian Hochard* Centre de Recherche de lEcole de lAir Laboratoire de Dynamique du Vol BA 701 13361 Salon Air *Laboratoire de Mcanique et dAcoustique 31 chemin Joseph Aiguier 13402 Marseille Cedex 20 e-mail : oliviermontagnier@yahoo.fr RSUM. Ce travail traite du dimensionnement d'arbres de transmission surcritiques composites. Ces systmes doivent tre conus de manire minimiser les effets dynamiques dus la rotation. Nous prsentons ltude dynamique dun arbre mont sur suspensions viscolastiques. Nous proposons des solutions analytiques pour le mouvement forc, le mouvement libre et linstabilit. Cette tude fait apparatre un critre de stabilit qui met en vidence leffet dstabilisant de lamortissement tournant et le gain de stabilit donn par les supports viscolastiques sous certaines conditions. Enfin,nous prsentons une comparaison de deux fibres de carbone (haut module/ haute rsistance) sur un exemple de transmission surcritique.

ABSTRACT. This work relates to the dynamic of supercritical composite drive shafts. These structures must be sizing to minimize the dynamic effects due to the rotation. We presented here a dynamic analysis of a drive shaft mounted on viscoelastics supports. We proposed analytical solutions for the mass unbalance motion, for the free motion and for the instability. This study shows an instability criterion that demonstrates the destabilizing effect of the internal (or rotational) damping and the positive effect of viscoelastic support under special conditions. Finally, we present a comparison of two carbon fibers (high modulus/ high resistance) for a supercritical drive shaft example.

MOTS-CLS : arbre de transmission ; surcritique ; instabilit ; amortissement ; fibres de carbone. KEYWORDS: drive shafts ; supercritical ; instability ; damping ; carbon fibers.

2 7me Colloque national en calcul des structures, 17-20 Mai 2005, Giens

1. Introduction

Ce travail traite du dimensionnement d'arbres de transmission surcritiques en matriau composite, cest dire des arbres dont la vitesse nominale est suprieure la premire frquence propre. Les arbres de transmission surcritiques encore peu utiliss doivent tre conus de manire transmettre le couple et minimiser les effets dynamiques dus la rotation. Nous prsentons ltude dynamique dun tube mont sur paliers supports viscolastiques permettant dintroduire lamortissement ncessaire au passage des modes. Ltude du mouvement transitoire fait apparatre un critre qui met en vidence leffet dstabilisant de lamortissement tournant. Le modle est valid par des essais surcritiques. Enfin, sur un exemple, nous prsentons une comparaison entre les fibres de carbone haut module et haute rsistance pour une transmission surcritique.

2. Un modle darbre continu sur supports viscolastiques

2.1. Modle et quations dquilibre

Figure 1. Tube composite lastique sur des paliers suspensions viscolastiques.

Nous considrons un arbre lastique continu appuy/appuy (figure 1) et amortissant (amortissement interne visqueux not ci). Les lments viscolastiques, parfaitement symtriques, sont reprsents par une rigidit k et un amortissement externe visqueux (not ce). Le module homognis de larbre en flexion est not E et G en cisaillement. Une section darbre est dfinie par sa surface note S et son moment dinertie en flexion par rapport x not I. Les paliers sont supposs rigides et de masse mp. L'effet gyroscopique des sections de l'arbre est pris en compte. Le dfaut dexcentricit du tube est dfini par la fonction de z. Le dplacement de corps rigide (axe non dform du tube) est compos dun dplacement et dune rotation autour de Ct0 (centre du tube non dform) nots respectivement us et s dans le plan complexe (x,y). Nous supposons que les lments viscolastiques restent dans le plan (Oo, x, y). Le dplacement des centres de section du tube C par rapport laxe non dform est not ut dans le plan complexe (x,y). Lquation locale du mouvement de larbre sous les hypothses dEuler-Bernoulli scrivent alors :

Comportement vibratoire des arbres de transmission surcritiques 3

],0[)()( 2 lzezuiuS

cu

SEIu

SJiu

SIu titt

it =+++

[1]

[ ]dzeuSm

umku

mc

ul ti

ps

ps

p

es =++ 0

2

21 [2]

[ ]dzeul

zlSmm

kmc l ti

ps

ps

p

es

=++0

2221 [3]

avec : zff = , tff = , ),()()(),( 22 tzuttutzu ts

zls ++= , et dans le cas dun

tube de rayon extrieur Re et de rayon intrieur Ri ( )444 ie RRI = et IJ 2= .

2.2. Mouvement transitoire

Le rgime transitoire permet dtudier leffet du couplage arbre/supports sur les pulsations propres et linstabilit du systme haute vitesse. Pour cette tude, nous prenons des solutions compatibles en dplacement pour tout n sous la forme

[ ] tilntnsnzsn nezUUtzu )sin(),( 221 ++= [4] Aprs calculs, le systme [1]-[3] scrit sous la forme dune quation

caractristique dordre 4 en n. En crivant les solutions sous une forme partie relle (terme de pulsation propre) et partie imaginaire (terme damortissement). La rsolution de lquation caractristique est simplifie. Si nous crivons la partie relle de lquation caractristique au premier ordre en ngligeant leffet gyroscopique, nous trouvons les pulsations du systme coupl

{ }4,..1)2(2121 4

022

0242

02 +++

= knnknnnnnnnn

nnk

[5]

avec 42 )(ln

SEI

n

= ,

))1(2(2

20

nam

pn

m

k

++

= , )(

4

))1(2(222

nam

p

an

m

m

n+

+=

, 2)(1 l

nSI

n += .

La partie imaginaire de lquation caractristique au premier ordre, donne lamortissement en fonction de . Nous montrons alors que le systme devient instable pour une vitesse de rotation suprieure

{ }4;3et ))1(

)(1(

20

2

22

lim_ +

++= kn

AA

nnknAA

nnknn

in

ennknk

in

en [6]

avec nii

in Sc

A 2==,

nemp

een

nam

cA 0

))1(2(2

2 =+

=+

, 2)(ln

SJ

n = .

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Nous remarquons que l'amortissement externe a un effet stabilisant alors que l'amortissement interne a un effet dstabilisant. Un critre simplifi montrant cet effet est prsent dans (Tondl, 1965). Dautre part, nous traitons le comportement transitoire (amplitude au passage des modes) et linstabilit par une mthode de Newmark sur les quations globales (calcul sur la base de lapproximation harmonique). Enfin, le mouvement stationnaire est trait dans (Montagnier et al., 2005).

3. Essais transitoires et surcritiques

Le comportement stationnaire, transitoire et la stabilit sont tudis exprimentalement sur une machine dessai de tubes haute vitesse de rotation sur supports viscolastiques (figure 2 (a),(b)). Les mouvements du centre dune section du tube sont mesurs par deux capteurs lasers sans contact (figure 2 (c)). Ces lasers peuvent se dplacer le long de laxe du tube pendant la phase de fonctionnement du banc. Des essais sont raliss sur un tube en aluminium de 1640mm de long, de 50mm de diamtre et de 2mm dpaisseur (figure 2 (a)). La figure 3 montre une comparaison entre lexprience et le calcul numrique pour le passage du premier mode du tube. Les figures reprsentent la position du centre du tube (z=820mm) chaque instant dans le plan (x,y), cette position tant dcrit temporellement selon le troisime axe de la figure. Le tube suit une loi linaire de mont en rgime durant 2.5s jusqu la frquence de rotation de 50Hz suivie dun palier durant 5.5s. Ces figures montrent une bonne corrlation : mouvement trs stable avant le mode et fortement perturb aprs le passage du mode. Toutefois lexprience montre un comportement non symtrique qui nest pas rendu par le modle axisymtrique.

Figure 2. Banc dessais (a), palier/lastomres (b) et capteurs lasers (c).

Ltude de linstabilit est ralise partir de tubes en pvc. Ce matriau lavantage dtre peu rigide et amortissement ce qui va dans le sens de linstabilit dcrite par le critre [6]. Les premiers essais raliss montre lexistence dune zone de stabilit et corrle les prvisions thoriques (figure 4) (Montagnier et al., 2005). La figure 5 prsente une instabilit visualise exprimentalement.

Comportement vibratoire des arbres de transmission surcritiques 5

Figure 3. Passage du 1er mode du tube : exprimental (a) et thorique (b).

Figure 4. Zone dinstabilit et modes du systme coupl en fonction de la longueur du tube (thorique et exprimental).

4. Etude dun exemple : comparaison des fibres haut module/ haute rsistance

Nous nous intressons au dimensionnement dun arbre surcritique en matriau composite carbone/poxy. Ce dimensionnement concerne deux points : la rsistance et la dynamique. En terme de rsistance, si nous faisons labstraction du dimensionnement des extrmits de larbre, deux points doivent tre traits : la rsistance matriau et le flambage en torsion. La rsistance du matriau composite en torsion est calcule par le critre classique de Tsai-Wu. Le calcul

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Figure 5. Instabilit lapproche du premier mode du tube pvc de 1m 29Hz. du couple limite de A flambage en torsion est ralis par la rsolution des quations de Flgge (Flgge, 1973) associe la thorie des stratifis pour lhypothse des tubes infiniment longs. Pour la partie dynamique, nous nous intressons au calcul des modes coupls, au calcul de la vitesse dinstabilit et pour une rampe en vitesse nous dterminons lamplitude au passage du mode et lamplitude nominale.

Ltude est ralise en partant dune longueur darbre, dune paisseur et dun diamtre donns (L=4m, e=2.5mm, D=60mm), dun couple transmettre de 1500N.m et dune frquence nominale de 70Hz (monte en vitesse de 0 70Hz en 10s). La masse du palier mp est gale 3kg, le dfaut de concentricit gal 0.1mm et lamortissement des lastomres e gal 3,5%. Dautre part, nous avons montr que le couplage dynamique tait optimal si la frquence propre des paliers tait gale la frquence propre de larbre (Montagnier et al., 2005). Aussi nous choisissons la rigidit des paliers k de manire vrifier cette proprit. Les deux matriaux carbone/poxy unidirectionnels compars sont le T800/G947 (fibres haute rsistance) et le K63712/M10 (fibres haut module) (tableau 1). Le calcul de lamortissement interne des tubes composites est ralis partir lapproche en nergie de dformation de Ni et Adams (Ni et al., 1984). Lamortissement dans les directions longitudinale, transverse et en cisaillement est pris gal 0,11%, 0,70% et 1,10%.

Matriau d Et El Glt lt X X Y Y S h GPa GPa GPa Mpa MPa MPa MPa MPa mm

K63712 1.70 370 5.4 4.0 0.3 1500 470 35 200 75 0.25 T300 1.56 162 10 5 0.3 2940 1570 60 290 100 0.25

Tableau. 1. Donnes matriaux (Vf=0.6).

Nous trouvons plusieurs solutions pour les deux matriaux (tableau 2). Toutes ces solutions sont surcritiques, et par consquent, doivent passer le premier mode de larbre et les modes des supports. En gnral, le critre de Tsai-Wu a t

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dimensionnant devant le flambage. Cette caractristique est due lpaisseur relativement importante du composite. Nous distinguons principalement deux types de stratifis. Les stratifis constitus de plis 15 (N1 et 5) et les autres constitus de plis 0, 45 et 90. Lorientation 15 permet la fois, la tenue en rsistance et la rigidit ncessaire en dynamique et en flambage. Notons que ces solutions sont particulirement amortissantes ce qui est ngatif pour la stabilit. En effet, la flexion de ces tubes cisaille la rsine qui on le sait est la principale source damortissement. Cet amortissement pourrait tre bloqu par un pli 90. Pour le second type de stratifi, nous constatons plusieurs points importants. Le premier point concerne la rsistance. La rsistance en torsion est principalement rgie par le 45 (rsultat classique). Dautre part, nous avons fait lhypothse que larbre travaillait essentiellement en torsion positive. Aussi, loptimisation doit prendre en compte la diffrence entre la rsistance en traction et en compression des fibres. Cela signifie que la solution doit tre constitue de deux trois fois plus de plis -45 qu 45 (N2, 3, 4). Le second point concerne la rigidit axiale. Cette rigidit est principalement donne par les plis 0, il est donc ncessaire de maximiser ce nombre de plis pour le problme dynamique et pour minimiser lamortissement. Le troisime point concerne la tenue au flambage. La rsistance au flambage fait intervenir lensemble des plis et donc leur rigidit. Cependant, la comparaison des solutions 2 et 4 montre quun pli 90 permet de doubler le couple limite de flambage. En effet, les dformations circonfrentielles jouent un rle primordial dans ce problme. La rigidit dans cette direction est donc essentielle.

1 2 3 4 5 6

Matriau k63712 k63712 k63712 k63712 T800 T800

Stratifi [ -15,15]5s [0, 90, 45,

-45, 03, -452, 45]s

[0, 90, 45, -45, 03,

-452,30]s

[02, 45, -45, 03,

-452,45]s [ -15,15]5s

[0, 90, 45,

-45, 06]s

Ehom GPa 248 174 186 194 130 122 i % 0,27 0,13 0,127 0,14 0,17 0,12

CTsai-Wu N.m 1525 1558 1504 1617 2601 1653 CFlugge N.m 2879 10560 10588 6417 2974 5302

f13 hz 19,5 16,4 16,9 17,3 14,8 14,4 f14 hz 35,0 29,3 30,3 30,9 26,0 25,2 f23 hz 26,2 22,0 22,7 23,2 19,7 19,0 f24 hz 101,4 84,9 87,8 89,7 76,3 74,0

flim_24 hz 138,2 148,6 155,2 152,2 116,7 129,2 Umax mm 1,26 1,13 1,15 1,17 1,05 1,03 Unom mm 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13

Tableau. 2. Comparaison des solutions.

Pour le problme dynamique, nous nous intressons lamplitude de la premire harmonique au passage du mode 14 et la vitesse nominale, et la stabilit. Les

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solutions que nous avons slectionn sont toutes parfaitement stables la vitesse nominale (flim_ij >>70Hz). Dans tous les cas, le fort couplage entre le mode support et la premire harmonique du tube est bnfique sur lamplitude. Nous remarquons que les solutions en fibres haute rsistance (N5 et 6) ne sont pas assez rigides pour tre suffisamment loign du mode 24.

Pour cet exemple de dimensionnement, nous concluons que les solutions haut module sont meilleures car elles ralisent une rpartition favorable des frquences propres. La solution 1 est particulirement intressante du point de vue de la fabrication car ralisable par enroulement filamentaire. Toutefois, si cest possible, il est prfrable dutiliser des stratifis avec des fibres dans toutes les directions. Aussi, malgr la faible rsistance en compression des fibres haut module, la solution 2 semble tre un bon compromis.

5. Conclusion

Ce travail prsente une tude thorique et exprimentale de la dynamique des arbres de transmissions surcritiques. Cette tude prsente un critre de stabilit montrant leffet dstabilisant de lamortissement tournant. Elle montre une bonne corrlation entre lexprience et le modle numrique. Enfin, ce travail met en vidence quelques points du dimensionnement des arbres surcritiques.

6. Bibliographie

Flgge W., Stresses in shells, 2nd edn, Springer-Verlag, New-York, 1973.

Montagnier O., Hochard Ch., Etude thorique et exprimentale de la dynamique des arbres de transmission surcritiques, 17ime Congrs franais de Mcanique, Troyes, 2005.

Ni R.G., Adams R.D., A rational method for obtaining the dynamic mechanical properties of laminae for prediction of the damping of laminated plates and beams, Composites, vol. 15, p. 193-199, 1984.

Tondl A., Some problems of rotor dynamics, Czechoslovak academy of sciences, Prague, 1965.