comportement de structures en portiques … · les images instantanées des portiques endommagés...
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Président :
Rapporteur :
Examinateur :
Examinateur :
H. CHABIL
M L. SAMAI
A. TEKKOUK
K. DEMAGH
Professeur
Professeur
M.C
M.C
Université Mentouri, Constantine
Université Mentouri, Constantine
Université Mentouri, Constantine
Université Hadj Lakhder, Batna
Mai 2009
République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de L'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientif ique
Université Mentouri, Constantine
Faculté des Sciences de L'Ingénieur Département de Génie Civil
№ d’ordre : …….. № de série : …….
Thèse Présentée pour l’Obtention du Diplôme de Magister
en Génie Civil
Option : "Le Béton Structurel Armé et Précontraint"
Par
Bader RACHED
Thème
COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTI QUES APRÈS LA RUPTURE D’UN POTEAU DE BASE
Membres du Jury de Soutenance :
i
REMERCI EMENTS
Je remercie ALLAH le tout puissant qui m’a guidé et qui m’a donné la force et la
volonté de réaliser ce travail.
Je remercie tout d’abord le Professeur SAMA I M.L de m’avoir proposé ce sujet de
thèse, de l’attention qu’il a portée à mon travail et des moments précieux de discussion qu’i l
m’a réservés. Je le remercie infiniment pour sa confiance, ses précieux conseils, sa
disponibilit é et sa courtoisie.
Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur CHABIL.H, Professeur au
Département de Génie Civil à l’université Mentouri de Constantine, pour l’honneur qu’ il me
fait en acceptant de présider le jury de cette thèse.
Je tiens également à remercier les membres de jury de soutenance, docteur
TEKKOUK.A, Maître de Conférences au Département de Génie Civil à l’université Mentouri
de Constantine, et docteur DEMAGH.K, Maître de Conférences au Département de Génie
Civil à l’ université de Batna, d’avoir accepté d’examiner la présente thèse.
Mes remerciements et ma reconnaissance sont adressés envers mes collègues pour un
temps précieux passé ensemble. Mes plus vifs remerciements vont également à tous mes amis
avec qui j’ai partagé des moments inoubliables pendant mes études.
Enfin, toute ma gratitude, ma reconnaissance et mes très vifs remerciements à tous
ceux qui ont contribué de prés ou de loin et en particulier l'ensemble des enseignants du
département de génie civil de Constantine, à ma formation d'études de la graduation et de la
post graduation.
ii
DÉDICACE
Je dédie le présent travail
A mes très chers parents
A la mémoire de ma sœur Soumia
A mes sœurs et frères
A l’ensemble de ma famill e
ii i
RÉSUMÉ
Le thème de recherche a trait à l’obtention de l’i mage instantanée d’une structure multi-
étagée multi-travée après la rupture accidentelle d’un poteau de base. Cette image instantanée
est, en fait, représentée par le diagramme des moments fléchissants juste après la rupture
accidentelle. L’obtention de ce diagramme des moments fléchissants n’est pas une chose aisée,
elle nécessite l’utili sation incontournable des concepts de l’analyse plastique des structures et
une série de rétro-analyses. En effet le diagramme des moments fléchissants de n’importe
quelle structure dépend de la nature du chargement et des conditions d’appuis avec la
supposition que la réponse est élastique partout à travers la structure. En réalité, après
l’endommagement d’un poteau, ce diagramme des moments fléchissants va faire ressortir
inéluctablement des sections ou zones entières où les moments sont supérieurs aux moments
plastiques respectifs. Ceci étant juste d’un point de vue mathématique mais impossible d’un
point de vue physique.
Un portique de base à trois niveaux et trois travées a été retenu afin d’étudier le cas de
la rupture d’un poteau central et d’un poteau de rive. Les résultats obtenus après la série de
rétro-analyses ont été encourageants. Par ail leurs, deux autres portiques l’ un avec un niveau en
plus et l’autre avec une travée supplémentaire ont été analysés. L’étude dans un premier lieu a
concerné la détermination des vrais mécanismes de ruine pour les trois portiques retenus en
utili sant la méthode « pushover ». Ces mêmes portiques ont été réanalysés après la rupture d’un
poteau central et un poteau de rive en utili sant la même méthode et avec une série de
rétro-analyses jusqu'à l’obtention de l’image instantanée après la rupture. L’étude a été aussi
concerne l’étude des effets de quelques paramètres influents tels que la variation du rapport
α = V/H, la variation du rapport géométrico-mécanique l/Mpb, la forme en élévation du
portique, la position du poteau endommagé.
Les résultats obtenus ont été présentés sous forme graphique par la construction de
diagrammes d’interaction alors que ces derniers ne sont préconisés dans la li ttérature que pour
des portiques simples « single bay – single storey ».
Les images instantanées des portiques endommagés ont révélé que, en aucun cas, il
pouvait y avoir une rupture totale, cependant des ruptures partielles (mécanismes élémentaires)
ont été observées avec quelques désordres localisés.
Mots clés : comportement, structure, image instantanée, poteau de base, rétro-analyse, moment
fléchissant, moment plastique, rotule plastique, mécanisme.
iv
ABSTRACT
The research theme has reference to obtaining of the instantaneous image of a multi-bays
multi-storeys structure after the accidental damage of a lower column. This instantaneous
image, in fact, is represented by the bending moments diagram just after the accidental
collapse. Obtaining of this bending moments diagram is not an easy matter to achieve; it
requires the use of the concepts of the plastic analysis of the structures that cannot be ignored
and a series of retro-analyses. Indeed the bending moment diagram of any structure depends to
the nature of the loading and the conditions of supports with the assumption that the behaviour
is elastic everywhere through the structure. Actually, after the damage of a column, this
diagram of the bending moments wil l emphasize ineluctably sections or whole zones where the
moments are higher than the respective plastic moments. This is being right for a mathematical
point of view but impossible for a physical point of view.
Three storeys-three bays basic frame was selected in order to study the case of the damage
of a central column and an edge column. The results obtained after the series of retro-analyses
were encouraging. In addition, two other frames one with a storey in more and the other with
an additional bay were analyzed. The study in a first time related to the determination of truths
collapse mechanisms for the three frames retained by using the method “pushover” . These
same frames were reanalyzes after the damage of a central column and an edge column by
using the same method and with a series of retro-analyses until obtaining the instantaneous
image after the damage. The study was also relates to the study of the effects of some
influential parameters such as the variation of the ratio α = V/H, the variation of the ratio
Geometrical-mechanic l/Mpb, the form of rise in the frame, the position of the damaged
column.
The results obtained were presented in graphic form by the construction of interaction
diagrams, whereas these diagrams are recommended in the literature only for simple frames
"single bay – single storey".
The instantaneous images of the damaged frames revealed that, to in no case, it could be
have a total collapse, however partial collapses (elementary mechanisms) were observed with
some localised disorders.
Key words: structure, instantaneous image, lower column, retro-analysis, bending moment,
plastic moment, plastic hinge, mechanism.
v
مـلـخــص
القناطر، و ذلك بعد ول على ا لصورة اآلنية ملنشأة متعددة املستويات و متعددة موضوع البحث يتعلق باحلص
ضرر فجائي لعمود سفلي. يف احلقيقة هذه ا لصورة اآلنية متثل بواسطة بيان عزوم االحنناء بعد الضرر الفجائي.
احلصول على هذا البيان ليس باألمر اهلني، و هذا ما يتطلب االستعمال احلصري ملبادئ التحليالت البالستكية
للمنشآت بواسطة سلسلة من التحليالت التراجعية.
يف الواقع بيان عزوم االحنناء بالنسبة ألي منشأة يتعلق أساسا بطبيعة احلموالت و بشروط اإلسناد ، مع فرضية
أن السلوك يبقى مرنا يف كل مقاطع املنشأة . يف احلقيقة، بعد الضرر الفجائي للعمود،بيان عزوم االحنناء احملصل
عليه سيظهر حتما مقاطع أو مناطق كاملة هلا عزوم أكرب من العزوم البالستكية املرفقة. هذا األمر صحيح من
الناحية الرياضية لكنه مستحيل من الناحية الفيزيائية.
اختيار هيكل أساسي يتكون من ثالث مستويات وثالثة قناطر مكن من دراسة املنشأة يف حالة ضرر عمود
سفلي مركزي أو عمود سفلي جانيب . النتائج احملصل عليها بعد سلسلة من التحليالت التراجعية كانت
مشجعة . إضافة إىل ذلك مت اختيار هيكلني آخرين األول بزيادة طابق واآلخر بزيادة قنطرة فقط للدراسة.
يف أول األمر الدراسة تتعلق بتحديد ميكانزمات االيار احلقيقية لكل هيكل من اهلياكل الثالثة املختارة و ذلك
» تعىن بتحديد ميكانزمات االيار احلقيقية. حيث أن هاته اهلياكل نفسها pushoverبواسطة طريقة تسمى «
درست بعد تضرر أحد أعمدا السفلية إذ كان مركزيا أو جانبيا و ذلك باستعمال نفس الطريقة مع سلسلة من
التحليالت التراجعية حىت احلصول على الصورة اآلنية. تعلقت الدراسة أيضا بدراسة آثار بعض العوامل املؤثرة
،الشكل اهلندسي للهيكل، موضع العمود lpM/ ، تغري النسبة امليكانيكوهندسية H /V =αمثل تغري النسبة
املتضرر.
النتائج احملصل عليها مثلت بإنشاء رسومات بيانية بالرغم من أن هذه األخرية معتمدة نظريا فقط بالنسبة
للهياكل البسيطة ذات مستوى واحد وقنطرة واحدة فقط .
الصور اآلنية للهياكل املتضررة أظهرت يف كل احلاالت أنه ال يوجد ايار كلي للهيكل بل هنالك ايارات
جزئية فقط ( ميكانزمات جزئية) لوحظت مع بعض األخطار املوضعية.
الكلمات املفتاحية : سلوك، منشأة، صورة آنية، عمود سفلي، التحليالت التراجعية، عزم االحنناء، عزم
بالستكي ، ميكانزم.
vi
TABLE DES MATI ÈRES REMERCIEMENTS....................................................................................................................i
DÉDICACE ............................................................................................................................................ii
RÉSUMÉ .................................................................................................................................ii i
ABSTRACT ...............................................................................................................................iv
مـلـخــص ...............................................................................................................................................v
TABLE DES MATIÈRES..........................................................................................................vi
LISTE DES NOTATION S ET ABREVIA TIONS......................................................................xi
LISTE DES FIGURES.............................................................................................................xiv
1 INTRODUCTION....................................................................................................................1
1-1 Intérêt du calcul plastique............................................................................................................1
1-2 Problématique...............................................................................................................................1
1-3 Objectifs de la recherche...............................................................................................................2
1-4 Structuration de la thèse................................................................................................................3
2- CHARGES DE RUINE ET MÉ CANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE
STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES.......................................................................4
2-1 Introduction...................................................................................................................................4
2-2 Méthodes utilisées pour le calcul des charges de ruine pour des éléments structuraux ou structures simples........................................................................................................................4
2-2-1- introduction..........................................................................................................................4
2-2-2 Calcul de la charge de ruine en util isant le théorème des moments libre et de réactions......5
2-2-3 Calcul de la charge de ruine en utilisant le principe des travaux virtuels.............................6
2-3 Exemples d’application.................................................................................................................6
2-3-1 Poutre simplement appuyée...................................................................................................6
i)- Théorème des moments libre et de réactions..........................................................................6
ii )- Principe des travaux virtuels .................................................................................................7
2-3-2 Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l’ autre ou console retenue...........................7
i)- Théorème des moments libre et de réactions..........................................................................7
ii )- Principe des travaux virtuels .................................................................................................8
2-2-3 Poutre doublement encastrée................................................................................................9
vii
i)- Théorème des moments libre et de réactions..........................................................................9
ii )- Principe des travaux virtuels..............................................................................................10
2-3-4 Poutre continue soumise à un chargement concentré.........................................................11
i)- Théorème des moments libre et de réactions........................................................................11
ii )- Principe des travaux virtuels ...............................................................................................14
2-4 Théorèmes fondamentaux de l’ analyse plastique des structures................................................15
2-4-1 Introduction.........................................................................................................................15
2-4-2 Théorème de la limite inférieure.........................................................................................15
2-4-3 Théorème de la limite supérieure.......................................................................................15
2-4-4 Théorème de l’unicité.........................................................................................................16
2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un portique simple..................16
2-5-1 Méthode « pas à pas » ...........................................................................................................16
2- 5-1-1 Introduction.........................................................................................................................16
2-5-1-2 Caractéristiques du portique.........................................................................................16
2-5-1-3 Traitement du portique................................................................................................17
2-5-2 Méthode cinématique .........................................................................................................20
2-5-2-1 Introduction..................................................................................................................20
2-5-2-2 Beam mechanism.........................................................................................................21
2-5-2-3 Sway mechanism..........................................................................................................22
2-5-2-4 Combined mechanism..................................................................................................23
2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH...............................................................................................25
2-5-2-6 Construction des diagrammes d’interaction.................................................................27
2-6 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’une structure multi-étagée multi-travée.........................................................................................................................................28
2-6-1 Introduction.........................................................................................................................28
2-6-2 Analyse limite....................................................................................................................28
2-6-3 Méthode « pas à pas ».........................................................................................................29
2-6-4 Méthode non linéaire « pushover » ...................................................................................30
2-6-4-1 Introduction..................................................................................................................30
2-6-4-2 Définition de l’ analyse « pushover »............................................................................30
2-7 Cas particulier d’un portique à un niveau et deux travées..........................................................31
vii i
2-7-1 Introduction.........................................................................................................................31
2-7-2 présentation du portique......................................................................................................31
2-7-3 Mécanismes De Ruine Pour La Première Combinaison....................................................32
2-7-4 Représentation graphique....................................................................................................34
2-7-5 Synthèse...............................................................................................................................34
3 MÉCANISME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTI QUES...........................36
3-1 Introduction.................................................................................................................................36
3-2 Raisons du choix de la méthode retenue pour l’ étude................................................................36
3-3 choix du portique témoin de base P 3N 3T.................................................................................37
3-4 Caractéristiques mécaniques et géométriques des trois Portiques retenus................................37
3-4-1 Caractéristiques Du P 3N 3T (portique de base) .................................................................37
3-4-2 Caractéristiques Du P 3N 4T...............................................................................................39
3-4-3 Caractéristiques Du P 4N 3T...............................................................................................41
3-5 Mécanismes de ruine pour les trois portiques témoins...............................................................43
3-5-1 Introduction.........................................................................................................................43
3-5-2 Mécanismes De Ruine des trois Portiques Témoins............................................................43
3-5-2-1 Portique P 3N 3T (portique de base) ............................................................................43
i) Présentation Des Mécanismes...........................................................................................43
ii ) Principales Constatations.................................................................................................46
ii i) Synthèse..........................................................................................................................47
3-5-2-2 portique P 3N 4T..........................................................................................................48
i) Présentation Des Mécanismes...........................................................................................48
ii ) Principales Constatations.................................................................................................51
ii i) Synthèse..........................................................................................................................52
3-5-2-3 Portique P 4N 3T..........................................................................................................53
i) Présentation Des Mécanismes...........................................................................................53
ii ) Principales Constatations.................................................................................................57
ii i) Synthèse..........................................................................................................................58
3-6 Construction des diagrammes d’interaction................................................................................60
3-6-1 Introduction.........................................................................................................................60
3-6-2 Principes Généraux De Construction...................................................................................61
3-6-3 Représentation graphique.................................................................................................... 61
ix
3-6-3-1 Introduction..................................................................................................................61
3-6-3-2 Développement graphique............................................................................................62
3-6-3-3 Discussion des résultats................................................................................................62
3-6-4 Synthèse...............................................................................................................................66
4 ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTIQUES ENDOMMA GÉES .................................. 68
4-1 Rétro-analyse pour des structures simples endommagées..........................................................68
4-1-1 Introduction.........................................................................................................................68
4-1-2 Processus d’obtention de l’image réelle après l’endommagement......................................68
4-1-3 Exemples d’application.......................................................................................................68
4-1-3-1 Poutre doublement encastrée endommagée.................................................................68
4-2 Analyse des trois portiques témoins endommagés en utili sant la méthode non linéaire « pushover »..............................................................................................................................74
4-2-1 Introduction.........................................................................................................................74
4-2-2 Endommagement d’un poteau central du P 3N 3T (portique de base)................................75
4-2-2-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................75
4-2-2-2 Principales constatations.............................................................................................. 78
4-2-2-3 Synthèse....................................................................................................................... 78
4-2-3 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T (portique de base)................................ 79
4-2-3-1 Image instantanée après l’endommagement................................................................. 79
4-2-3-2 Principales constatations.............................................................................................. 82
4-2-3-3 Synthèse.......................................................................................................................82
4-2-4 Endommagement d’un poteau central du P 3N 4T..............................................................83
4-2-4-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................83
4-2-4-2 Principales constatations..............................................................................................86
4-2-4-3 Synthèse.......................................................................................................................86
4-2-5 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T..............................................................87
4-2-5-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................87
4-2-5-2 Principales constatations..............................................................................................90
4-2-5-3 Synthèse.......................................................................................................................90
4-2-6 Endommagement d’un poteau central du P 4N 3T..............................................................91
4-2-6-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................91
x
4-2-6-2 Principales constatations..............................................................................................94
4-2-6-3 Synthèse.......................................................................................................................94
4-2-7 Endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T..............................................................95
4-2-7-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................95
4-2-7-2 Principales constatations..............................................................................................98
4-2-7-3 Synthèse.......................................................................................................................98
5 CONCLUSIONS ET PERSPECTIV ES................................................................................103
5-1 Introduction...............................................................................................................................103
5-2 Mécanismes de ruine des portiques non endommagés.............................................................103
5-3 Analyse de portiques endommagés...........................................................................................104
5-4 Perspectives..............................................................................................................................106
A CALCUL DU MOMENT PLASTIQUE ..............................................................................107
A.1 Section en charpente métallique...............................................................................................107
A.1.1 Introduction.......................................................................................................................107
A.1.2 Exemples...........................................................................................................................110
a) Section rectangulaire...........................................................................................................110
b) Section en I type IPE ..........................................................................................................112
A.2 Section non usuelle en béton armé...........................................................................................115
A.2.1 Introduction.......................................................................................................................115
A.2.2 analyse de section non usuelle en utilisant l’Eurocode 2..................................................116
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHI QUES
xi
LISTE DES NOTATIONS ET ABREVI ATIONS
Ac(x) L'aire de la partie supérieure du béton comprimé, en fonction de x
As Section des armatures tendues
A's Section des armatures comprimées
a Petite portée de la poutre
a1 Epaisseur de l'âme du profilé IPE
b Grande portée de la poutre
b1 Largeur du profilé en charpente métallique
d La hauteur utile de la section en béton armé
d' L’enrobage des armatures comprimées
E Module de déformation longitudinale des armatures (Module d’Young)
Ec Module d'élasticité du béton
e Epaisseur de la semelle du profilé IPE
Fcc Force résultante de compression du béton
Fsc Force résultante de compression dans les armatures comprimées
Fst Force résultante de traction dans les armatures tendues
fck Résistance caractéristique à la compression du béton
fs Contrainte dans les armatures tendues
f's Contrainte dans les armatures comprimées
H Charge concentrée horizontale
Hc Charge horizontale de ruine
h Hauteur d’étage
h1 Hauteur totale de la section d'un profi lé en charpente métallique
I Moment d'inertie de la section totale
j Nombre de rotules mécaniques
k Facteur de forme
l Travée de la poutre
M Moment fléchissant
Me Moment fléchissant élastique
(Mmax )i Moment fléchissant maximum de l’étape i
(Mmax )ij Le jieme plus grand moment fléchissant de l’étape i
(Mmax r )ij Le jieme plus grand moment résultant de l’étape i
Mp Moment plastique de la section
xii
Mpb Moment plastique de la poutre
Mpc Moment plastique du poteau
m Nombre de mécanismes élémentaires de ruine
N Effort normal
n Nombre de rotules plastiques
P Charge concentrée
Pc Charge de ruine
p Nombre de sections critiques
r Nombre de redondance ou degré d’hyperstaticité
S Moment statique de la moitié de la section
T(x) Effort tranchant dans la section à une distance x
V Charge concentrée verticale
Vc Charge verticale de ruine
v Demi-hauteur du profi lé en charpente métallique
ve Demi-hauteur de la section élastique du profilé en charpente métallique
wpl Module plastique d’un profilé en charpente métallique
α Rapport entre la charge concentrée verticale et la charge concentrée horizontale
δ Déplacement virtuel
ε Déformation relative
εcc Déformation relative dans le béton
εcu Déformation relative maximale dans le béton
εsc Déformation relative dans les armatures comprimées
εst Déformation relative dans les armatures tendues
θ Rotation plastique
λ Facteur de charge
λ c Facteur de charge de ruine
λ i Facteur de charge de l’étape i
λ l Limite inférieure du facteur de charge
λ r Facteur redresseur du moment fléchissant
λ u Limite supérieure du facteur de charge
σy Contrainte limite d’écoulement d’un profilé en charpente métallique
φ Rotation plastique
χ Courbure de la déformée
χe Courbure élastique de la déformée
xiii
∆ Déplacement virtuel
B.A Béton armé
C.M Charpente métallique
DMF Diagramme des moments fléchissants
DMFF Diagramme des moments fléchissants finaux
DMFR Diagramme des moments redressés
E.L.S Etat limite de service
E.L.U Etat limite ultime
P nN mT Portique témoin à n niveaux et m travées
xiv
LISTE DES FIGURES Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre............................................8
Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités..............................................................................10
Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles.........................................................................12
Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes .......................................................................12
Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu ...................................................................13
Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ..................................................15
Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau.........................................................................16
Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple : méthode « pas à pas »......18
Figure.2-10 : Courbe facteur de charge en fonction du déplacement horizontal du portique simple....20
Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau.......................................................................20
Figure.2-12 : « Beam mechanism » ......................................................................................................21
Figure.2-13 : « Sway mechanism ».......................................................................................................22
Figure.2-14: « Combined mechanism »................................................................................................23
Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple au moment de la ruine.........24
Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D ..........................................................24
Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple......................................25
Figure.2-18 : Relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α...........................................26
Figure.2-19 : Diagramme d’interaction du portique simple..................................................................27
Figure.2-21 : Les dif férents types de mécanisme de ruine en fonction de α .......................................33
Figure.2-22 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH ...............................34
Figure.3-1 : Présentation du P 3N 3T (portique de base)........................................................................38
Figure.3-2 : Présentation du P 3N 4T.....................................................................................................40
Figure.3-3 : Présentation du P 4N 3T.....................................................................................................42
Figure.3-4 : Différents types de mécanismes de ruine développés pour le P 3N 3T..............................45
Figure.3-5 : Différents types de mécanismes de ruine développés pour le P 3N 4T..............................50
Figure.3-6 : Différents types de mécanismes de ruine développés pour le P 4N 3T..............................56
Figure.3-7 : Diagramme d’interaction: cas du P 3N 3T (portique de base).........................................62
Figure.3-8 : Diagramme d’interaction : cas du P 3N 4T .......................................................................63
Figure.3-9 : Diagramme d’interaction : cas du P 4N 3T .......................................................................63
Figure.4-1 : Poutre doublement encastrée avant l’endommagement.....................................................69
Figure.4-3 : Portique simple à une travée et un niveau avant l’ endommagement..................................71
Figure.4-4 : Rétro-analyse pour le portique endommagé.......................................................................73
Figure.4-5 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................75
xv
Figure.4-6 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T :
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................76 Figure.4-7 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T :
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................77 Figure.4-8 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T :
cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................79 Figure.4-9 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T:
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................80 Figure.4-10 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T :
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................81 Figure.4-11 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:
cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................83 Figure.4-12 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................84 Figure.4-13 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................85 Figure.4-14 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T:
cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................87 Figure.4-15 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T :
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................88 Figure.4-16 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T :
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................89 Figure.4-17 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................91 Figure.4-18 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................92 Figure.4-19 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................93 Figure.4-20 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................95 Figure.4-21 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................96 Figure.4-22 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :
cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................97 Figure.A.1 : Poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure...............................................107
Figure.A.2 :Distribution des déformations relatives et des contraintes pour une section en CM .......108
xvi
Figure.A.4 :Diagramme moment-courbure pour les deux types de sections.......................................112
Figure.A.5 :Phasage de distribution des contraintes pour une section en I ..........................................112
Figure.A.6 :Module plastique d’une section en I.................................................................................114
Figure.A.7 : Distribution des contraintes et des déformations pour.....................................................116
Chapitre 1 Introduction
1
1 INTRODUCTION
1-1 Intérêt du calcul plastique
Une structure multi-étagée multi-travée correctement calculée et conçue à l’état
limite ultime et vérifiée à l’état limite de service présente toute les garanties d’être en
élasticité même après un séisme et ceci est dû à plusieurs paramètres qui ont trait à la
marge de sécurité. Cette dernière pourrait être quantifiée comme étant la différence
entre la vraie charge de ruine et la combinaison de charges à l’E.L.U. les charges à
l’E.L.U sont affectées de coefficients de pondération supérieurs à un, les résistances de
calcul sont les résistances caractéristiques (résistances admettant un minimum de
risque) divisées par des coeffi cients de sécurité supérieurs à un. Les structures sont
étudiées en plan alors qu’en réalité elles sont dans l’espace (confinement par des plans
parallèles et perpendiculaires). Si la structure devait perdre accidentellement un
poteau de base une redistribution des moments fléchissants démarrera, à cet effet
l’ image instantanée (diagramme des moments fléchissants immédiatement après la
rupture) ne peut être obtenue qu’en utilisant les concepts de l’analyse plastique des
structures dont un des fondements est la prise en compte des valeurs réelles des
différents moments plastiques (les moments fléchissants ne pouvant en aucun cas être
supérieurs aux différents moments plastiques correspondants). Le deuxième
fondement étant, de ce fait, la prise en charge du phénomène de redistribution des
moments fléchissants.
1-2 Problématique
Pour une structure correctement conçue à l’ E.L.U, le diagramme des moments
fléchissants pour les combinaisons de charges les plus défavorables à l’E.L.U ne
présentera aucun moment supérieur au moment plastique correspondant. Le moment
fléchissant dépendant des charges extérieures (intensité, nature…) et des conditions
d’appuis alors que le moment plastique ne dépend que des caractéristiques
géométriques et mécaniques des différentes sections. Si une telle structure devait
perdre un poteau de base accidentellement alors fatalement il va y avoir des sections
ou un ensemble de zones qui aurait dépassé le moment plastique. L’ analyse de
la structure sans un poteau de base va donner un diagramme des moments fléchissants
où une des sections ou un ensemble de sections critiques auront des moments
fléchissants supérieurs aux moments plastiques correspondants. Ceci est valable
Chapitre 1 Introduction
2
mathématiquement mais impossible physiquement. En aucun cas le moment
fléchissant ne peut être supérieur au moment plastique.
L’obtention de l’ image instantanée immédiatement après la rupture accidentelle d’un
poteau de base ne peut se faire que par une série de rétro-analyses utili sant le principe
de redistribution des moments fléchissants et une connaissance adéquate des concepts
de l’analyse plastique des structures. Le procédé consiste à avoir la distribution des
moments fléchissants pour la structure endommagée. Sur le diagramme obtenu,
identifier la section où le moment est maximum (fatalement supérieur au moment
plastique correspondant) et le ramener au niveau du moment plastique correspondant.
L’ensemble des sections où les moments égalant les moments plastiques
correspondant deviennent des rotules (les rotules physiques sont remplacées par des
rotules mécaniques). La structure est réanalysée avec les rotules mécaniques et le
processus devra être poursuivi jusqu’à l’obtention de l’i mage instantanée
immédiatement après la rupture accidentelle. Cette dernière donnera le positionnement
des différentes rotules plastiques et à nul endroit le moment fléchissant ne sera
supérieur au moment plastique correspondant.
L’analyse de cette image devra révéler si la structure a subit une ruine totale ou une
ruine partielle.
1-3 Objectifs de la recherche
Les objectifs assignés à la présente thèse peuvent être classés comme suit :
- Prendre une structure en portique témoin à trois niveaux et trois travées soumise à des
combinaisons de charges verticales et horizontales (les charges verticales sont
appliquées au milieu de travées et les charges horizontales au niveau des jonctions
poutres-poteaux pour les niveaux).
- Faire une analyse complète des mécanismes de ruine et charges de ruine pour une
seule combinaison des paramètres géométrico-mécaniques (l / Mpb et h / Mpc).
- Etudier les effets du rajout d’une travée et ceux du rajout d’un niveau respectivement
au portique témoin et en conduisant la même analyse pour la détermination des
charges de ruine et mécanismes de ruine.
- Tenter de construire des diagrammes d’interaction pour l’ensemble de ces portiques
et obtenir l’étendue de chaque intervalle des valeurs de α en essayant de déterminer
Chapitre 1 Introduction
3
avec précision les différentes valeurs tampons (limites ou frontières), valeurs pour
lesquelles il y aura une sur ruine de plusieurs mécanismes élémentaires ou combinés.
- Prendre les trois portiques et essayer d’obtenir l’ image instantanée après la rupture
accidentelle d’un poteau de base central et d’un poteau de base de rive.
- Identifier les paramètres les plus influents pour l’analyse des structures
endommagées.
- Sortir avec des conclusions concrètes et pratiques ainsi que des perspectives de
développement du présent thème.
1-4 Str uctur ation de la thèse
- Le chapitre 1 est réservé à l’ introduction générale avec une problématique
détail lée et les objectifs à atteindre.
- Le chapitre 2 constitue la base théorique, il présente le calcul des charges de ruine
pour des éléments de structure et structures allant de la poutre simplement
appuyée au portique « single bay tow storeys » en passant par le portique simple
« single bay single storey ». les différents méthodes de détermination des
mécanismes de ruine et charges de ruine y ont présentées.
- Le chapitre 3 est consacré pour la détermination des mécanismes de ruine pour les
trois portiques retenus ainsi que la construction de leurs diagrammes d’interaction.
- L’analyse de structures endommagées en utilisant la méthode non linéaire
« pushover » avec le développement de séries de rétro-analyses font l’objet du
chapitre 4.
- La conclusion générale et les perspectives sont présentées dans le chapitre 5.
- Le calcul du moment plastique pour des sections en charpente métallique et pour
des sections non usuelle en béton armé est donné dans l’annexe A.
Chapitre 2
CHARGES DE RUINE ET MÉC ANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE
STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
4
2- CHARGES DE RUINE ET MÉCANISM ES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE STRUCTURES ET DES PORTIQUE S SIMPLES
2-1 Introduction
Les éléments de structures ou structures en génie civil peuvent être isostatiques ou
hyperstatiques. Le traitement des structures hyperstatiques est laborieux et fait appel à des
méthodes complexes et diffic iles à utili ser manuellement. L’apport ces dernières années de
l’outil informatique a facili té grandement cette opération. Les éléments de structures ou
structures sont en général calculés à l’E.L.U et vérifiés à l’E.L.S. Mais aucun code ne spécifie
les charges de ruine ou les mécanismes de ruine (manière de déformation d’une structure sous
une combinaison de charges extérieures). Ceci ne peut avoir lieu qu’en laboratoire ou après
un séisme sévère (structures ou éléments de structures poussés à l’extrême). La charge de
ruine est de facto différente de la charge à l’E.L.U.
L’objectif primordial de l’étude plastique des structures est de répondre à cette attente.
C'est-à-dire la détermination de vraies charges de ruine et des vrais mécanismes de ruine, leur
connaissance donne une idée précise sur la vraie marge de sécurité d’un élément de l’ouvrage
ou de l’ouvrage lui même.
L'analyse plastique des structures hyperstatiques consiste à considérer qu’au fur et à
mesure que la charge augmente il y’a apparition de rotules plastiques à chaque fois que le
moment dans une section donnée atteint la valeur du moment plastique. Ce dernier est
indépendant du chargement ou de sa nature. Il est une caractéristique de la section elle même
et ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques de celle-ci (cf. annexe A).
Évidement si r rotules plastiques se forment au total, la structure devient un système
isostatique (r étant le degré d’hyperstaticité) elle se transforme en un mécanisme
immédiatement avec la naissance ou création ou développement de la (r+1)nième rotule
plastique.
2-2 Méthodes utili sées pour le calcul des charges de ru ine pour des éléments structuraux ou structures simples
2-2-1- introduction Il a été annoncé précédemment que la ruine d’une structure se produit par la formation
d’un nombre suffisant de rotules plastiques aux endroits des sections critiques (plastifiées),
ceci engendre une diminution de la rigidité accompagnée à chaque fois d’une redistribution
des moments, jusqu’à ce que la structure devienne hypostatique. A ce stade le mécanisme de
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
5
ruine est atteint et la charge devient la charge de ruine. Cette charge est évidement différente
de la charge à l’E.L.U et la différence représente la vraie marge de sécurité pour la structure.
Les outils théoriques nécessaires pour cette détermination sont le théorème du moment
libre et des moments de réaction et la méthode basée sur les travaux virtuels.
2-2-2 Calcul de la charge de ruine en utili sant le théorème des moments libre et de réactions
Il est possible de déterminer le mécanisme de ruine des éléments structuraux où
structures simples et de tracer leurs diagramme des moments fléchissants à la ruine en
utili sant et en exploitant le théorème du moment libre et de réaction et ce sans passer par
aucune analyse. Une fois le diagramme des moments est déterminé, on peut vérifier la
satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de ruine et calculer facilement la charge
de ruine.
Cette méthode est basé sur le principe de : Mp1 + Mp2 = Mp3 (2-1)
La charge de ruine peut être déterminée facilement à partir de cette relation, étant donné que
le moment fléchissant libre au point d’application de la charge, Mp3, est en fonction de cette
dernière, l’équation 2-1 peut être réduite à une équation à une inconnue.
Ce théorème permet de déterminer les moments fléchissants inconnus c'est-à-dire les
moments qui ne sont pas égaux aux moments plastiques. Donc il est impératif de décider d’un
mécanisme de ruine donc des positions éventuelles des rotules plastiques et d’essayer grâce à
ce théorème et à la condition d’équilibre au niveau des nœuds ou joints de déterminer les
éventuels moments inconnus.
Moment fléchissant de réaction au point d’application de la charge
Moment fléchissant libre au point d’application de la charge (moment de la
poutre simplement appuyée)
Moment fléchissant réel au point d’application de la
charge
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
6
2-2-3 Calcul de la charge de ruin e en utili sant le prin cipe des travaux vir tuels
La charge de ruine peut être déterminée par une deuxième méthode, cette dernière
basée sur le principe des déplacements virtuels,
Le travail produit par l’effort extérieur, P, doit être égal au travail produit par l’ effort
intérieur, c'est-à-dire au travail accompli au niveau des rotules plastiques.
La charge de ruine produit un déplacement virtuel δ et un travail extérieur défini par
le produit P. δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuelle θ, Le travail virtuel
intérieur est Mp.θ au niveau d’une rotule, la charge de ruine des éléments structuraux ou
structures simples peut s’obtenir à partir de l’égalité suivante :
∑ Pi. δi= ∑ Mpi.θi (2-2)
2-3 Exemples d’application
2-3-1 Poutr e simplement appuyée
i)- Théorème des moments libr e et de réactions
La charge de ruine d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée
au milieu de sa portée (figure 2-1-a) peut être déterminée par cette méthode, le degré
d’hyperstaticité de cette dernière est r = 0. Le nombre de rotules nécessaires pour qu’elle
devienne un mécanisme est : n = r + 1= 1.
Figure.2-1: Poutre simplement appuyée.
a) Schéma de la poutre
b) Diagramme du moment fléchissant
c) Mécanisme de ruine
P
l/2 l/2
l
B A
4
.P lM =
δ
Pc
θ θ
θ θ
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
7
La ruine de cette poutre aura lieu lorsqu’une rotule plastique se produit au niveau du
point d’application de charge (section critique) où le moment fléchissant est égale au moment
plastique.
On connaît l’allure des moments fléchissants réels au point d’application de la charge
lors de la ruine, Mp. Le moment fléchissant libre au point d’application de la charge prend la
valeur de 4
lP ⋅ (figure 2-1-b), dans ce cas (poutre isostatique), le moment fléchissant de
réaction au point d’application de la charge est nul d’où la relation (2-1) Devient :
4
.P lM c
p = (2-3)
l
MP p
c
4.= (2-4)
ii)- Principe des travaux vir tuels
La charge de ruine de cette poutre isostatique peut être déterminée par le principe des
travaux virtuels, Le travail produit par l’ef fort extérieur, Pc doit être égal au travail produit
par l’ef fort intérieur, Mp.
La géométrie de la structure (figure 2-1-c), nous permet d’écrire l’équation :
2
.θδ l=
L’égalité des travaux virtuels, lors de la ruine nous permet d’écrire
Pc.δ = Mp.2θ (2-5)
θ2.2 pc
l.M
θ.P =
D’où l
MP p
c = 4 (2-6)
2-3-2 Poutr e encastrée à une extrémité et appuyée à l’autre ou console retenue
i)- Théorème des moments libr e et de réactions
Soit la poutre de section constante, encastrée à une extrémité et appuyée librement à
l’autre et à laquelle est appliquée une charge concentrée P (figure 2-2-a). Il s’agit donc d’une
poutre qui présente un (01) degré d’hyperstaticité, elle nécessite alors la formation de deux
rotules plastiques pour qu’elle devienne un mécanisme.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
8
Comme le cas précédent, la charge de ruine peut être déterminée à partir du moment
libre et du moment de réaction d’où :
Mp + x = l
bP ac. .
Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre
Utilisant la règle des triangles semblables on déduit la valeur (figure 2-2-c), où l
b.Mx p=
l
bP a
l
b.MM cp
p
. .+ =
D’où ba
bMP p
c .
)(1+= (2-7)
ii)- Principe des travaux vir tuels
Le même principe des travaux virtuels a été utilisé pour déterminer la charge de ruine de la
poutre encastrée et appuyée (figure 2-2).
∑∑ =i i iPi Mp θδ ..
Moment fléchissant réel au point d’application de la
charge
Moment fléchissant de réaction au point
d’application de la charge
Moment de la poutre comme si elle étant simplement
appuyée
a) Schéma de la poutre
c) Distribution des moments fléchissants au moment de la
ruine
b) Mécanisme de ruine
P
a b
l
B A
Mp
Mp
x
δ
φ θ
Pc
θ φ
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
9
La géométrie de la structure (figure2-2-b), nous permet d’écrire l’équation :
ϕθδ .a. b== D’où θϕ .b
a=
. . .( )ϕδ θ θ += + pc p MP M (2-8)
)( ϕθ θ θ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅ +b
aP a M M pc p
pc Mba
blP ⋅
⋅+= )(
(2-9)
2-2-3 Poutr e doublement encastrée
i)- Théorème des moments libre et de réactions
On étudie une poutre de section constante, parfaitement encastrée à ses extrémités et
soumise à une charge concentrée, P, (figure 2-3-a). Il s’agit donc d’une poutre qui est deux
fois hyperstatique, elle nécessite alors la formation de trois rotules plastiques pour qu’elle
devienne un mécanisme.
D’après le diagramme des moments fléchissants, les rotules plastiques ne pouvant se
former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau de l’application de la charge et au
niveau des deux encastrements.
Mp + Mp = l
aPc ⋅
Donc la charge de ruine est donnée par :
ba
lMP p
c ⋅⋅
=2
(2-10)
Moment fléchissant réel au point d’application de la
charge
Moment fléchissant de réaction au point
d’application de la charge
Moment fléchissant libre
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
10
Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités.
ii)- Principe des travaux vir tuels
La charge de ruine de cette poutre (figure 2-3-a), peut être déterminée par la deuxième
méthode, cette dernière basée sur le principe des déplacements virtuels, la charge de ruine Pc
produit un déplacement virtuel δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuel 2θ à mi
travée de la poutre et une rotation virtuelle θ au niveau de l’encastrement gauche et φ au
niveau de l’encastrement droit de la poutre.
a) Schéma de la poutre
b) Diagramme des moments fléchissants en élasticité
c) Diagramme du moment libre
d) Diagramme des moments de réaction
f) Mécanisme de ruine
e) Diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine
Mp
l
bP.a.
2
2..
l
bPa
l
bP.a.
2
2..
l
bPa
Mp
Mp Mp
Mp
φ φ
θ θ
δ
Pc
P
a b
l
B A
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
11
La géométrie de la structure au moment de la ruine (figure 2-3-f) a permet d’écrire
l’équation :
ϕθδ .a. b== D’où θϕ .b
a=
La charge de ruine, Pc provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi que le
déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV.δ, le travail externe est égal à
la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles.
( )ϕδ θ ϕ θ +⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅pc p MP M Mp (2-11)
)( ϕθ θ θ θ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +b
aM
b
aP a M Mp pc p
pc Mba
lP ⋅
⋅⋅= 2
(2-12)
NB : les mêmes résultats théoriques sont obtenus par les deux méthodes.
2-3-4 Poutr e continue soumise à un chargement concentr é
i)- Théorème des moments libr e et de réactions
Soit une poutre continue à trois travées, dont le schéma statique et les différentes
caractéristiques sont donnés dans la figure (2-4-a).
L’analyse de ce type de poutres se fait d’une manière similaire que les cas
précédemment étudiés, chaque travée devant être étudiée séparément. Il y a lieu à prendre en
considération les hypothèses suivantes :
- Au niveau des appuis entre les travées de la poutre, le moment fléchissant est identique à
droite et à gauche de l’ appui. La rotule plastique se forme dans les membres les plus
faibles (c’est-à-dire que le moment plastique à prendre en considération sera le moment
le plus faible des deux travées de la poutre considérée à ce niveau).
- Il est improbable que les travées de la poutre se rompent simultanément, donc chaque
travée est à vérifier individuellement. La charge de ruine de la poutre continue est la plus
petite des charges de ruine des travées prises séparément. Il s’agit donc d’une ruine
partielle de la poutre.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
12
La poutre peut être représentée comme une série de travées indépendantes (figure 2-4-c).
Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles
Tr avées AB, CD :
Isolant les travées (AB) et (CD), (symétrie du chargement et même portée) le schéma de
calcul était celui d’une poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre
(figure 2-4-c), si elles se rompent en premier, le diagramme des moments fléchissants aura la
forme donnée sur la figure (2-5-a) avec un mécanisme de ruine représenté sur la figure (2-5-b).
Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes
a) Diagramme du moment plastique (ruine)
b) Mécanisme de ruine
Mp1
x
θ
θ θ
θ
Pc1
Mp1
δ
a) Schéma de la poutre Continue
b) Diagramme des moments fléchissants au moment de la
ruine avec la supposition que Mp1 < Mp2
c) Schéma de calcul des travées
A
Mp1
B
Mp2 Mp1
D C
l2l 1
l2l /2 1/2 l2/2 l1/2 l1l /2 1/2
l1
P1 P2 P1
Mp1
Mp2
Mp1
24
.11 pcMP l −
24
.11 pcMP l −
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
13
Utilisant le même principe que pour les exemples précédents pour le calcul de la charge de
ruine, on obtient donc :
l
lPM x c
p ⋅⋅
+ =4
211
1 (2-13)
Des triangles semblables on déduit la valeur de x, d’où 2
1pMx =
l
lM PM cp
p ⋅⋅
+ =42
2111
1
La charge de ruine est égale donc à :
11
1
6pc M
lP = ⋅ (2-14)
Tr avées BC :
Ce type de problème est similaire à celui da la poutre encastrée à ses deux extrémités,
les rotules plastiques ne pouvant se former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau
de l’application de la charge et au niveau des deux encastrements, (figure 2-3).
Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu
On aura : 2
21
2
)4 (
l
M MP pp
c
+⋅= (2-15)
a) Diagramme des moments fléchissants au moment imminent de la ruine
b) Mécanisme de ruine
Mp1
θ
θ θ
θ
Pc2
Mp1 Mp1
δ
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
14
Conclusion : la charge de ruine est égale au min (Pc1, Pc2) donc elle est fonction des valeurs
des moments plastiques et des portées. Avec les valeurs littérales, il n’est pas possible de
dire quelle est la travée critique.
ii)- Principe des travaux vir tuels
La charge de ruine de la poutre continue peut être déterminée par la méthode des
travaux virtuels. La ruine de cette dernière peut se produire seulement par un des deux
mécanismes représentés dans les figures (2-5-b et 2-6-b), des deux travées AB ou CD et BC,
la plus petite valeur des deux charges de ruine Pc1 et Pc2 de ces deux mécanismes est la vraie
charge de ruine.
L’équation des travaux virtuels pour chacun des deux mécanismes nous permet
d’écrire :
- Travées AB, CD :
)(221 θθθ += ⋅⋅⋅ pc M
lP (2-16)
pc Ml
P = ⋅61
- Travées BC :
θθ θθ ⋅= ⋅ + ⋅ +⋅⋅ 1 2 12 22 pc p p MM M
lP
2
21
2
)4 (
l
M MP pp
c
+⋅= (2-17)
Il est à noter qu’à chaque fois les deux méthodes donnent exactement la même expression
pour les charges de ruine.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
15
2-4 Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures
2-4-1 Introduction
L’analyse plastique des structures a pour objet de calculer la charge réelle de ruine
d’une partie de structures ou de structures et les mécanismes de ruine correspondants. La
détermination du facteur de charge de ruine, λc, ainsi que les mécanismes de ruine des
structures dépend essentiellement de la satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de
ruine à savoir la condition d’équilibre, la condition d’écoulement et la condition de
mécanisme.
La figure (2-7) présente les trois conditions, où les flèches indiquent les conditions qui
ont été satisfaites.
Condition d’écoulement λ < λc, limite inférieure
λ = λc Condition d’équilibre
Condition de mécanisme λ > λc, limite supérieure
Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ
2-4-2 Théorème de la limite inférieure
Si, dans une structure sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif,
λ, une distribution des moments fléchissants satisfaisant les conditions d’équilibre et
d’écoulement peut être trouvée, ensuite λ inférieur, ou égal au facteur de charge de ruine λc.
Dans ce cas la valeur de λ est une limite inférieure pour λc.
2-4-3 Théorème de la limite supéri eure
Dans ce cas la distribution des moments fléchissants dans les structures ne vérifie que
les conditions d’équilibre et de mécanisme, le facteur de charge correspondant, λ, est
supérieur ou égal au facteur de charge de ruine, λc, la valeur de ce facteur est une limite
supérieure pour λc.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
16
2-4-4 Théorème de l’u nicité
Si une structure est sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif, λ,
et une distribution des moments fléchissants qui satisfait les trois conditions peut être trouvée,
alors λ=λc. Il est impossible d’obtenir une autre distribution des moments fléchissants pour
n’importe quelle autre valeur de λ qui satisfait les trois conditions simultanément.
2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un port ique simple
2-5-1 Méthode « pas à pas »
2- 5-1-1 Introduction
Pour mieux comprendre le comportement des portiques hyperstatiques soumis à des
combinaisons de charge horizontale et verticale croissante jusqu'à la ruine, il a été jugé utile
de considérer carrément un exemple d’un portique simple et d’étudier son comportement
après la formation des rotules plastiques et ce jusqu’à la transformation de la structure en un
mécanisme partiel ou total. Ceci permettra de mettre en lumière les quelques théorèmes
importants et essentiels cités ci-dessus de l’analyse plastique des structures.
2-5-1-2 Caractéri stiques du por tique
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique simple et les points
d’application des charges concentrées verticales, λV, et horizontales, λH, et les sections
critiques de A à E, sont représentés sur la figure (2-8) :
Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau
λ.V kN
Mp constant
A
C
E
B
h
b
λ.H kN
a
D
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
17
2-5-1-3 Traitement du port ique
Le portique représenté sur la figure (2-8) supporte les charges concentrées verticales
λV et horizontales λH, où λ est le facteur de charge. Il est supposé initialement que V=H=1
kN, le comportement du portique quand λ est augmenté, est résumé dans la figure (2-9).
Au début de ce processus, le comportement du portique est élastique (c’est-à-dire le
comportement des sections critiques est élastique), et une analyse élastique donne un
diagramme des moments fléchissant représenté dans l’étape №1. Quand λ=38.91 le plus
grand moment fléchissant se trouve au niveau de l’encastrement droit (point E), ce dernier
devient égal au moment plastique (Mp= 100 kN.m) et une rotule plastique se forme au niveau
de cette section critique.
Evidement, la structure entière en dehors de la section, E, est encore élastique et le demeure
quand la valeur du facteur de charge, λ, est au dessus de 38.91. Et La section, E, se comporte
comme une rotule mécanique et de ce fait elle peut pivoter librement. Le moment fléchissant
au point E doit rester égal au moment plastique.
L’étape №2 représente la structure effective qui résiste au chargement quand λ est augmenté.
C’est simplement le portique originel avec une rotule sans frottement au point E (la rotule
physique est remplacée par une rotule mécanique). Cette structure peut être réanalysé par la
même méthode élastique comme à l’étape №1.
Le résultat de l’analyse est le changement en moments fléchissants. Pour obtenir les moments
totaux, il est nécessaire d’ajouter le changement (différence) en moments fléchissants aux
moments fléchissants quand λ=38.91 (N.B : la rotule sans frottement en E assure que le
changement en moments fléchissants en E est nul, de telle sorte que le moment reste égal au
moment plastique, dans ce cas le moment maximum est sous la charge concentrée verticale au
niveau de la section critique point C.
Mc= 82.7 kN.m étant le deuxième plus grand moment de l’étape №2
Mc=82.7 + 2.47λ’= Mp =100 kN.m d’où λ’= 7
D’où la nouvelle valeur de λ= 38.91+ 7= 45.91.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
18
Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple par la méthode « pas à pas »
Portique sous charges unitaires (kN)
DMF sous charges unitaires (kN.m)
DMT (kN.m)
Eta
pe №
1
Eta
pe №
2
Eta
pe №
3
Eta
pe №
4
1 1
C B
A D
2.08 0.78
2.12
1.14 2.57
λ= 38.91
30.4 80.9
82.7
44.4 100
: Rotule mécanique
1 1
C B
A D
: Rotule mécanique
0.14 2.34
2.81 0
λ= 45.91
31.4 97.3
100
64.2 100
1 1
C B
A D
4.04
0
3.94 0
2.98
λ= 46.58
33.4 100
100
66.8 100
1 1
C B
A D
0
10 0
5
λ= 50
0 50 100
100
100 100
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
19
Comme l’ indique l’étape №3, à partir de ce moment il y’a deux pivots (rotules) dans
la structure effective qui peut quand même être analysée élastiquement. Très rapidement,
cependant, une rotule se forme au niveau de la section critique (point D) quand λ atteint la
valeur de 46,58.
MD= 97.3 + 4.04λ’’ = Mp = 100KN.m d’où λ’’ =0.67
D’où la nouvelle valeur de λ=45.91+0.67 = 46,58
Le processus peut continuer à l’étape №4 avec trois rotules sans frottement jusqu’à ce
que la valeur de λ atteigne la valeur de 50, le moment max de l’étape №3 se trouve au niveau
de la section critique (point A).
D’où MA= 66.8 +10λ’ ’’ = Mp = 100KN.m d’où λ’ ’ ’= 3.32
D’où la nouvelle valeur de λ=46,58 + 3.32 = 49.9
A ce moment, une quatrième rotule plastique prend naissance.
Il est intéressant de remarquer deux points au sujet du moment fléchissant total représenté
dans la figure (2-9).
- La distribution des moments fléchissants est en équilibre avec les charges appliquées,
la condition d’équilibre est l’une des conditions fondamentales requise par la méthode
« pas à pas ».
- Les moments fléchissants ne dépassant nulle part, le moment plastique des membres,
ceci étant la condition d’écoulement.
Toute tentative de continuer le processus utilisant une structure effective avec quatre
rotules sans frottement est impossible, puisque les équations deviennent singulières et ne
peuvent pas être résolues. En fait la structure devient un mécanisme.
La distribution des moments fléchissants à ce point satisfait la condition d’équilibre et la
condition d’écoulement et en plus :
- Il y’a suffisamment de rotules plastiques (n=r+1=3+1=4) pour la structure pour qu’elle
devienne un mécanisme, ceci étant la condition de mécanisme [7].
La courbe représentée dans la figure (2-10), définit la relation entre le facteur de charge pour
chaque étape en fonction des déplacements horizontaux du portique simple à une travée et à
un étage figure (2-9).
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
20
Figure.2-10 : Courbe facteur de charge λ en fonction du déplacement horizontal
du portique simple
2-5-2 Méthode cinématique
2-5-2-1 Introduction
Le présent paragraphe a pour objet la détermination des charges de ruine et les
mécanismes de ruine d’un portique simple composé d’une travée et d’un niveau (figure 2-11).
Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau
Ce portique est trois fois hyperstatique, il ne devient un mécanisme qu’après la
formation de quatre rotules plastiques. A cet effet les charges de ruine et les mécanismes de
ruine de ce portique sont déterminés par une série de combinaisons des mécanismes
2.47 Mp constant = 100 kN
A
C
D
B
10 m
λ.H kN λ.V kN
5 m
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
21
élémentaires et ce à cause de la complexité de ce dernier Comparativement aux poutres
doublement encastrées. Cette méthode est basée sur le principe des déplacements virtuels, elle
consiste a combiner les diff érents mécanismes élémentaires de ruine, m, (m=p- r, où
p représente le nombre de sections critiques) jusqu'à l’obtention du plus petit facteur de
charge, λc . Le mécanisme et la charge de ruine de chaque combinaison sont obtenus à partir
de l’égalité du travail produit par les charges extérieures ∑Pi.δ et le travail produit par les
efforts internes ∑ Mp.θ (ce travail est obtenu par rotation des différentes rotules plastique).
Les possibles déformés du portique sont représentées dans les figures (2-12 à 2-14) et
dépendent essentiellement de la valeur des deux charges λV et λH. Le portique se transforme
en un mécanisme de panneau ou « Sway mechanism » si la charge horizontale est
prépondérante, si la charge verticale est prépondérante, il se produit un mécanisme de poutre
ou ‘’ Beam mechanism’’ où un mécanisme combiné ‘’ Combined mechanism’’ avec la
participation des deux charges.
La combinaison des charges verticales λV et horizontales λH provoque la formation de deux
(m=p- r =5-3=2, où p représente le nombre de sections critiques) mécanismes élémentaires et
un troisième avec la combinaison des deux.
2-5-2-2 Beam mechanism
Dans ce cas, la ruine de la structure est causée par la charge concentrée verticale λV,
le mécanisme et l’emplacement des rotules sont représentés dans la figure (2-12). Le schéma
de calcul était celui d’une poutre encastrée aux deux extrémités (les nœuds des portiques sont
assimilés à des encastrements parfaits).
La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation :
ϕθδ ⋅=⋅= ba D’où θϕ ⋅=b
a
Figure.2-12 : « Beam mechanism »
λ.Vc
φ
E
δ
h
b a
θ φ θ
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
22
La charge concentrée verticale provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi
que le déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV. δ, le travail interne est
égal à la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles ∑Mp.θi.
( )ϕλ δ θ ϕ θ +⋅ = ⋅ + ⋅ + pc p p MV M M (2-18)
)( θλ θ θ θ θb
aM
b
aV a M M pc p p +⋅ = ⋅ + ⋅ +
pc Mba
lV
⋅⋅= 2λ (2-19)
Pour une charge unitaire de V=1 kN , a=5m et b=10m
λ=60
2-5-2-3 Sway mechanism
L’effort horizontal λH transforme la structure en un mécanisme de panneau ou étage
ou ‘ ’Sway mechanism’’, suite à la naissance de quatre rotules plastiques au droit des sections
critiques (figure 2-14).
La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation :
θ⋅=∆ h
Figure.2-13 : « Sway mechanism »
h
b
λ.Hc
a
θ θ θ θ
∆ ∆
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
23
Avec le même principe des déplacements virtuels, on peut calculer facilement le
facteur de charge de ruine de ce mécanisme :
θλ ⋅⋅ ∆ = pc MH 4 (2-20)
θλ θ ⋅⋅ = pc MH h 4
pc Mh
H4=λ (2-21)
Pour une charge unitaire de H=1 kN, et h=5m
λ=80
2-5-2-4 Combined mechanism
Le mécanisme représenté dans la figure (2-14) produit par la combinaison des deux
mécanismes élémentaires, ces dernieres provoquent des déformations du portique dans les
deux sens avec naissance de quatre rotules plastiques.le facteur de charge peut etre calculé à
partir :
Figure.2-14: « Combined mechanism »
δλ ⋅cV + ⋅ ∆cHλ = θ⋅⋅⋅
pMba
l2 + θ⋅pM
h
4 - θ⋅pM - θ⋅pM (2-22)
« external Work ,beam mechanism »
« external Work ,sway mechanism »
« internal Work ,beam mechanism »
« Internal Work ,sway mechanism »
“ internal Work, at hinge which has disappeared”
h
b
λ.Hc
a
θ θ θ θ
∆ ∆
θ θ φ
φ
λ.Vc
δ
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
24
θλ aVc ⋅ + θλ hH c ⋅ = θ⋅⋅⋅
pMba
l2 + θ⋅pM4 - θ⋅pM2
V ac ⋅λ + H hc ⋅λ = pMb
l ⋅
+⋅2
2 (2-23)
Pour H= V= 1 kN, a = 5m, b =10m et h = 5m
λ =50
Il est constaté que ce mécanisme a la plus petite valeur du facteur de charge, donc λc =50
d’où le diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine est le suivant :
Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple
au moment de la ruine
Pour calculer la valeur du moment au niveau de la section B, il faut utili ser le théorème du
moment libre et de réaction :
Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D
MB
100
100
100 100
MB
Mp
Mp x
B D
b a
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
25
XMl
bV aM plibre +=⋅⋅= (2-24)
D’ou X= 66.67 kN.m
D’après le diagramme des moments fléchissants on a :
515
BBp MXMM −=
−
D’où MB= 50 KN.m, le diagramme des moments est comme suit :
Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple au moment de la ruine
Les trois conditions du vrai mécanisme, condition d’équilibre, d’écoulement et de mécanisme
sont satisfaites.
2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH
Le présent paragraphe a pour objet l’étude de l’ influence du rapport entre la charge
concentrée verticale, λV, et la charge concentrée horizontale, λH, α= λV/λH, sur la charge de
ruine du portique simple a une travée et un niveau (figure 2-18).
D’après le paragraphe précédent, on a trois types de mécanismes de ruine avec trois charges
de ruine correspondantes du portique en question. En introduisant la relation linéaire entre
50
100
100
100 100
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
26
ces deux charges, λV = α.λH dans les relations caractérisant chaque mécanisme et ce pour
les données suivantes :
a=5m
b=10m
h=5m
Pour le « beam mechanism » ou mécanisme I on a : pMHα
λ5
3= (2-25)
Pour le « sway mechanism » ou mécanisme II on a : pMH5
4=λ (2-26)
Pour le « combined mechanism » ou mécanisme II I on a : pMH
αλ
+=
1
1 (2-
27)
Pour une valeur unitaire du moment plastique Mp =1 kN.m, on peut construire les
courbes traduisant la relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α et ce pour
chaque mécanisme de ruine. On peut constater que pour chaque valeur de α trois valeurs
différentes de charge de ruine chacune correspondant à l’un des mécanismes de ruine.
Figure.2-18 : Relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
27
2-5-2-6 Constructi on des diagrammes d’ interaction
Af in d’il lustrer le comportement du portique représenté dans la figure (2-11) vis-à-vis
des combinaisons de charges horizontales et verticales, il est nécessaire de représenter la
relation entre ces deux charges par un diagramme d’interaction figure (2-19). Il s’agit de la
relation entre les deux charges de ruine représentée dans le système de coordonnées (λV, λH)
.ce diagramme permet de déterminer le type de mécanisme de ruine et la charge de ruine
correspondante.
a=5m
b=10m
h=5m
Mp=100 kN.m
- ‘’Beam mechanism’ ’ ( I ) pour : λVc=60 kN et λH Є [0, 40]
- ‘’Sway mechanism’ ’ ( II ) pour : λHc = 80 kN et λV Є [0, 20]
- ‘’Combined mechanism’ ’ ( III )pour : λV + λH = Mp
Avec λH Є [40, 80]
Avec λV Є [20, 60]
Figure.2-19 : Diagramme d’interaction du portique simple.
0
20
40
60
80
0 20 40 60 80 100
Charge horizontale concentrée λH (kN)
Cha
rge
vert
ical
e λ
V (
kN)
I
II
II I
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
28
2-6 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’une structure multi-étagée multi -travée
2-6-1 Introduction
La méthode utili sant le théorème du moment libre et moments de réaction est
utili sée pour des éléments structuraux simples (poutre simplement appuyée, console retenue,
poutre continue,…) et elle peut être exploitée pour la détermination des moment inconnus
dans un portique où le nombre de sections critiques est supérieur au nombre de rotules
nécessaires pour sa transformation en un mécanisme. Quand la structure devient multi-étagée
multi-travée son utili sant pour la détermination de devient quasiment impossible (plus
d’inconnus géométriques que de relations des moments inconnus).
La méthode utilisant les concepts des travaux virtuels devient laborieuse quand la structure
dépasse un niveau et une travée. Les équations deviennent très lourdes à reprendre. Les
méthodes pouvant contourner les difficul tés dont l’analyse limite, la méthode « pas à pas » et
la méthode « pushover » dont l’utili sation nécessite une connaissance en informatique et une
exploitation judicieuse du logiciel existant SAP 2000.
2-6-2 Analyse limite
Il y’a des programmes disponibles qui suivront la formation des rotules plastiques et
calculent la charge de ruine ou le facteur de charge de ruine pour une telle structure. Surtout si
cette dernière dépasse un niveau et une travée.
Cependant, une méthode manuelle est également disponible, et il n'est pas diff icile de
l’employer et d’avoir une idée précise sur son mode de déformation au moment de la ruine.
Elle est présentée en ci après, de manière assez précise. La limi tation principale de la dite
méthode est que le chargement doit être proportionnel, de sorte que les intensités relatives des
différentes charges demeurent constantes et l’intensité absolue est définie par un facteur de
charge, λ. Un calcul séparé peut être effectué pour chaque combinaison de charges.
Le principal objectif de la méthode est la détermination du facteur de charge de ruine,
λc, ou à la limite la détermination du plus petit intervalle possible englobant cette valeur.
Les étapes principales à suivre dans l'analyse sont données chronologiquement ci
après:
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
29
i) Identifier les mécanismes élémentaires et les équations de travail correspondantes, et
déterminer pour chacun de ces mécanismes le facteur de charge de ruine correspondant.
ii) Entamer l’opération de combinaison entre les différents mécanismes élémentaires
en commençant par celui qui aura donné la plus petite valeur de λ, combiner les mécanismes
pour éliminer les rotules plastiques en maintenant localement la géométrie originale de la
structure (garder les membres droits ou les joints perpendiculaires, par exemple). Trouver le
facteur de charge de chaque mécanisme combiné.
iii) Le plus petit facteur de charge est le plus proche du facteur de charge de ruine de
la structure (conformément au théorème de la limite supérieure).
iv) Etablir le mécanisme en trouvant le diagramme des moments fléchissants
correspondant. Si le diagramme des moments fléchissants satisfait les conditions
d’écoulement, de mécanisme et d'équilibre, le mécanisme est le vrai mécanisme de ruine de la
structure. Le facteur de charge est égal au facteur de charge de ruine. Au cas où ce diagramme
fait ressortir des moments supérieurs aux moments plastiques correspondants alors la
condition d’écoulement n’est pas satisfaites et le mécanisme n'est pas le vrai et le facteur de
charge λu est plus grand que le facteur de charge de ruine λc.
v) À cet instant il faut ramener le plus grand moment fléchissant au niveau du
moment plastique correspondant. Cette réduction menée de manière proportionnelle va
entraîner une diminution de rotules plastiques (M < Mp) et de ce fait la valeur de λ est une
limite inférieure λl (conformément au théorème de la limite inférieure).
vi) La vraie valeur du facteur de charge de ruine λc est ainsi cernée entre λl et λu, de
sort que :
λl ≤ λc ≤ λu
La procédure s’avère être laborieuse et la détermination de, λc, est, dans la plupart des
cas, donnée par intervalle et le vrai mécanisme de ruine ne peut être obtenu car les trois
conditions ne peuvent être satisfaites simultanément. Pour λ = λu la condition d’écoulement
n’est pas satisfaite alors que pour λ = λl la condition de mécanisme n’est pas satisfaite.
2-6-3 Méthode « pas à pas »
Elle consiste à analyser et réanalyser la structure statiquement étape par étape jusqu'à
l’obtention de la (r+1)nième rotule plastique. La dernière étape donne forcement le
mécanisme de ruine de cette structure.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
30
Ce mécanisme doit satisfaire théoriquement les trois conditions fondamentales de
l’analyse plastique des structures, à savoir la condition d’écoulement, de mécanisme, et
d’équil ibre simultanément. Les détails sur la procédure de détermination du vrai mécanisme
de ruine et charge de ruine sont donnés dans le paragraphe (§ 5-2-1).
2-6-4 Méthode non linéaire « pushover »
2-6-4-1 Introduction
Une évaluation fiable du comportement d’une structure ou d’un portique multi
travée et multi étagé face à un tremblement de terre, en terme de dommages, requiert un outil
permettant une analyse des structures au delà du domaine élastique.
La méthode d’analyse de type « pushover », représente une nouvelle approche
d’estimation de dommages, incluant notamment les effets du comportement post-élastique.
2-6-4-2 Définit ion de l’ analyse « pushover »
L'analyse « pushover » est une analyse statique non-linéaire de la structure permettant
de présenter de façon simplifiée le comportement de la structure (elle tient compte du
phénomène de redistribution des moments fléchissants) et ce sous l'effet de diff érents types de
charges statiques ou dues au tremblement de terre.
L'analyse « pushover » se compose de quelques étapes présentées ci-dessous :
- définition des rotules plastiques dans le modèle de calcul de la structure
- affectation des propriétés non-linéaires aux rotules (diagrammes force-
déplacement ou moment-rotation)
- analyse « statique » ou modale de la structure
- définition du jeu de forces transversales ou verticales
- définition du nœud de contrôle et de la direction et valeur du déplacement
admissible
- définition des paramètres de l'analyse non-linéaire
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
31
2-7 Cas particulier d’un port ique à un niveau et deux travées
2-7-1 Introduction
Ce qui est donné dans la littérature de l’analyse plastique des structures avec
suffisamment de détails concerne les structures allant de la poutre simple au portique d’un
niveau et d’une travée. Boukeloua [2] a opté pour un portique témoin le plus simple après le
« single bay single storey » à savoir un portique de deux niveaux et d’une travée lors de
l’élaboration de sa thèse de magister [2].
2-7-2 présentation du portiqu e
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique et les points
d’application des charges concentrées verticales, λV, et horizontales, λH, sont représentés
ci dessous sur la figure.3-1-a :
l = 6m ; h = 3m
Mpb =200 kN.m ; Mpc =150 kN.m
r = 6
p = 12 numérotées de 1 à 12 figure (2-20-b)
m= p - r = 6
Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 7
Le portique en question comprend deux encastrements, A et F, deux joints, B et E
(rencontre de plus de deux éléments), et deux nœuds C et D (rencontre de deux éléments).
h=3m
λH
λH λV
λV
l =6m
h=3m
a) dimensions et chargement
A
B
C D
E
F 1
2
3
5 6
8
12
10 11
7
4
b) position des sections critiques
Figure 2-20 : présentation du portique témoin testé par Boukeloua [2]
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
32
1 2
3
4
6 5
2-7-3 Mécanismes De Ruine Pour La Première Combinaison
- Les mécanismes de ruine obtenus après l’analyse plastique du portique testé par Boukeloua [2]
en utilisant la méthode « pas à pas » sont résumés dans la figure (2-21) pour la première
combinaison de h/Mpc = 3/150= 0.02 kN-1 et l/Mpb= 6/200= 0.03 kN-1.
a- mécanisme de ruine pour α ≤ 0,5
b- mécanisme de ruine pour 0,5 < α < 1,5
c- mécanisme de ruine pour α =1,5
d- mécanisme de ruine pour α=1.6
e- mécanisme de ruine pour α =2
f- mécanisme de ruine pour α = 2,5 et 2,67
g- mécanisme de ruine pour
α=3 et 3,33 h- mécanisme de ruine pour
α =4 i- mécanisme de ruine pour
α =5
3
2 1
4 5
1 2
3 5
4
7 6
1
2
4
3
5
6
1
2
3
4
5
6
3
2
4
1
6
5
3
2
5
1
6
4
4
2
6
1
5
3
5
2
7
1
4
3
6
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
33
j- mécanisme de ruine pour α=6
k- mécanisme de ruine pour α =6,5
l- mécanisme de ruine pour α =7 et 8
m- mécanisme de ruine pour α=9 et 10
n- mécanisme de ruine pour α ≥11
Figure.2-21 : Les différents types de mécanisme de ruine en fonction de α pour
la combinaison de h/Mpc =3/150=0.02 KN-1 et l/Mpb=6/200=0.03 KN-1
Les principales constatations qui ont été tirées par Boukeloua [2] sont :
- Pour la valeur de α, α < 1,5 des « lower sway mechanisms » sont observés
- Un « double combined mechanism» se produit pour 1,5 < α ≤ 5
- La valeur de α= 5 comme celle de α= 1.5 peuvent être considérée comme des valeurs
frontières ou des valeurs « tampon »
- pour des valeurs de α > 5 un « top beam mechanism » s’est développé
- Pour α ≥ 11 un « double beam mechanism » s’est produit
7 6
4 1
5
2
3
7
6
5 1
4
2
3
6
5
7 1
4
3
2
7
5
6 1
4
3
2
7
6
4 1
5
2
3
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
34
2-7-4 Représentation graphique
Boukeloua [2] est arrivé à la construction des diagrammes d’interaction du portique testé à
deux niveaux et une travée (figure 2-22) similairement à ce qui est donné pour un portique
« single bay single storey » représenté sur la figure (2-19).
Figure 2-22 : Diagramme d’i nteraction pour le système de coordonnées λV- λH : cas de la première combinaison.
2-7-5 Synthèse
Les principales conclusions auxquelles a abouti Boukeloua [2] peuvent être
synthétisées comme suit :
- La variation de l et h sans rapport avec les valeurs respectives des Mpb et Mpc n’a
aucun sens.
- Par contre la variation géométrico-mécanique des poutres et des poteaux a une
influence directe sur les mécanismes de ruine et charges de ruine.
- Le rapport α= V/H agit directement sur les mécanismes de ruine et charges de
ruine.
Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples
35
- Il a été identifié trois intervalles de α ayant trait aux différents mécanismes.
L’étendue de chacun d’entre eux a été trouvé directement en relation avec la
combinaison (l/Mpb ; h/Mpc) retenue.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
36
3 MÉCANI SME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTI QUES
3-1 Introduction
Les mécanismes de ruine ainsi que les charges de ruine de structures en portiques
dépendent d’une multitude de paramètres (les dimensions en plan et en élévation de la
structure, les caractéristiques géométriques et mécaniques des matériaux mis en œuvre, la
nature du chargement, la simulation des charges réparties uniformément …). Le même
processus décrit dans le chapitre précédent (chapitre 2) a été utili sé pour étudier l’ef fet de
quelques paramètres sur le comportement des structures en portiques jusqu'à l’ obtention du
vrai mécanisme de ruine et la charge de ruine correspondantes. La vérification des conditions
du vrai mécanisme est indispensable pour chaque étape.
Le présent chapitre a pour objet de déterminer les mécanismes de ruine pour des
structures en portiques sous l’ef fet du rapport α = V/H (V étant la charge verticale concentrée
et H étant la charge horizontale concentrée) ainsi que la construction des diagrammes
d’interaction appropriés.
3-2 Raisons du choix de la méthode retenue pour l’étude
Il est constaté que la détermination du mécanisme et de la charge de ruine des
éléments de structures ou structures simples par les différentes méthodes de l’analyse
plastique, a conduit aux mêmes résultats, mais il faut dire qu’en dehors des cas de structures
simples, et chaque fois que le degré d’hyperstaticité augmente, la détermination des vraies
charges de ruine par la méthode cinématique devient laborieuse car elle exige une série de
combinaisons entre les diff érents mécanismes élémentaires en incluant le mécanisme de joint
« joint rotation mechanism » afin de minimiser la valeur du facteur de charge, λ. Cette
méthode peut être très longue sans garantie d’obtention du vrai mécanisme de ruine.
La méthode « pas à pas » a ses limites car une partie du travail devrait se faire manuellement
alors que la méthode non linéaire dite « pushover » peut être salutaire et peut faire éviter le
risque d’erreurs et la lourdeur de la première ainsi que la deuxième. Elle est facile
d’util isation grâce à la disponibilité de logiciels entre autre le SAP2000. Pour cela, la
méthode non linéaire « pushover » a été retenue pour le reste du travail car elle permettra et
facil itera l’analyse d’une multitude de portiques avec un ensemble de paramètres différents.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
37
3-3 choix du portique témoin de base P 3N 3T
Pour la présente étude, il a jugé nécessaire de sélectionner trois portiques témoins à
savoir un portique témoin de base à trois niveaux et trois travées dénommé P 3N 3T, un
portique à trois niveaux et quatre travées (P 3N 4T) qui va mettre en exergue l’ effet du rajout
d’une travée sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine, et un troisième portique
témoin de quatre niveaux et trois travées (P 4N 3T) qui va faire ressortir l’ effet du rajout d’un
niveau sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine.
3-4 Caractéristiques mécaniques et géométriques des trois Por tiques retenus
3-4-1 Caractér istiques Du P 3N 3T (port ique de base)
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 3N 3T (portique de base)
et les points d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et
horizontales, λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-1-a) :
Une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales a été réalisée avec
h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.
N.B : les charges latérales (horizontales) sont appliquées uniquement pour déterminer
les mécanismes de ruine et les charges de ruine du portique témoin non endommagé.
l = 6m
h =3m
Mpb =150 kN.m
Mpc =200 kN.m
r = 3.k -j
r : degré d’hyperstaticité
k : nombre de barres
j : nombre de rotules mécaniques
r = 3×9 - 0 = 27
Les sections critiques sont représentées dans la figure (3-1-b) et sont numérotées
de 1 à 49.
Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 28
Le portique en question comprend quatre encastrements, dix joints (rencontre de plus
de deux éléments), et deux nœuds (rencontre de deux éléments).
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
38
a) dimensions et chargement en élévation
b) numérotation des sections critiques
Figure (3-1) : Présentation du P 3N 3T (portique de base)
λV kN
λV kN
λV kN
λV N
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
6m 6m 6m
3m
3m
3m
λV kN
λH kN
λH kN
λH kN
1
2
3 4
5
7 6
8
12
13 14
16 15
18
19 20
17
22 21
23
27
29
31 30
28
32
35 34
33
38
37 36
45
44 43
42
49
48
47 46
26
25
24
40
41
39
11
9
10
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
39
3-4-2 Caractéristiq ues Du P 3N 4T
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 3N 4T et les points
d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et horizontales,
λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-2-a) :
Une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales a été réalisée avec
h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.
N.B : les charges latérales (horizontales) sont appliquées uniquement pour déterminer
les mécanismes de ruine et les charges de ruine du portique témoin non endommagé.
l = 6m
h =3m
Mpb =150 kN.m
Mpc =200 kN.m
r = 3.k -j
r : degré d’hyperstaticité
k : nombre de barres
j : nombre de rotules mécaniques
r = 3×12 - 0 = 36
Les sections critiques sont représentées dans la figure (3-2-b) et sont numérotées
de 1 à 64.
Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 37.
Le portique en question comprend quatre encastrements, dix joints (rencontre de plus
de deux éléments), et deux nœuds (rencontre de deux éléments).
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
40
a) dimensions et chargement en élévation
b) numérotation des sections critiques
Figure (3-2) : Présentation du P 3N 4T
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
6m 6m 6m
3m
3m
3m
λV kN
6m
λV kN
λV kN
λV kN
λH kN
λH kN
λH kN
14
2
18
2
12
13
16 15
19 20
17
21
23
31
35
38
27
29
23
28
32
34
33
37 36
60
59 58
57
64
63
62 61
46
50
53
42
44
45
43
47
49
48
42 51
1
2
3 4
5
7 6
8
9
11
10
39
40
41
25
26
24
56
55
54
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
41
3-4-3 Caractéristiques Du P 4N 3T
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 4N 3T et les points
d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et horizontales,
λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-3-a) :
Une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales a été réalisée avec
h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.
N.B : les charges latérales (horizontales) sont appliquées uniquement pour déterminer
les mécanismes de ruine et les charges de ruine du portique témoin non endommagé.
l = 6m
h =3m
Mpb =150 kN.m
Mpc =200 kN.m
r = 3.k -j
r : degré d’hyperstaticité
k : nombre de barres
j : nombre de rotules mécaniques
r = 3×12 - 0 = 36
Les sections critiques sont représentées dans la figure (3-3-b) et sont numérotées
de 1 à 66.
Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 37.
Le portique en question comprend quatre encastrements, dix joints (rencontre de plus
de deux éléments), et deux nœuds (rencontre de deux éléments).
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
42
a) dimensions et chargement en élévation
b) numérotation des sections critiques
Figure (3-3) : Présentation du P 4N 3T
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
λV kN
6m 6m 6m
3m
3m
3m
λV kN
3m
λV kN λV kN λV kN λH kN
λH kN
λH kN
λH kN
1
2
3 4
6
16
17 18
20 19
36
38 40
39
37
59
58 57
56
11 30
29
31 51 50
49
66
5
7 22
23 24
21 41
44 43
42
62
61 60
8
10 26
27 28
25 45
48 47
46
65
64 63
9
12
14 34
33
32
13
35 55
54
53
52
15
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
43
3-5 Mécanismes de ruine pour les trois portiques témoins
3-5-1 Introduction
La présente étude a pour objet de déterminer les mécanismes de ruine des trois
portiques témoins soumis à une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales
linéairement dépendantes, λV et λH avec α = V/H. Les caractéristiques géométriques et
mécaniques (h, l, Mpc, Mpb) ont les mêmes valeurs pour les trois portiques étudiés.
Il a été jugé nécessaire et pratique de ne représenter les portiques avec les différentes
rotules plastiques qu’à chaque changement de l’ ordre d’apparition de ces dernières et ce pour
les valeurs ou les intervalles appropriés de α.
3-5-2 Mécanismes De Ruine des trois Portiques Témoins
3-5-2-1 Porti que P 3N 3T (portiqu e de base)
i) Présentation Des Mécanismes
Une série de combinaisons de charges concentrée verticales et horizontales a été réalisée en
fonction de α pour h/Mpc= 3/200= 0.015 kN-1 et l/Mpb= 6/150= 0.04 kN-1, les mécanismes de
ruine obtenus sont représentés sur la figure (3-1) avec l’emplacement des rotules plastiques
sur le portique témoin P 3N 3T (portique de base).
a- mécanisme de ruine pour α < 0.6
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
44
b- mécanisme de ruine pour 0.6 < α < 0.93
c- mécanisme de ruine pour α = 0.93
28e rotule
27e rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
45
d- mécanisme de ruine pour 0.93 < α < 4.5
e- mécanisme de ruine pour α > 4.5
Figure.3-4 : Les différents types de mécanismes de ruine développés
en fonction de α pour le P 3N 3T (portique de base).
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
46
ii) Prin cipales Constatations
L’analyse du portique pour la combinaison de h/Mpc=3/200=0.015 KN-1 et
l/Mpb=6/150=0.04 KN-1 et en faisant varier le rapport α =V/H révèle les faits saillants
suivants :
- Pour des valeurs de α ≤ 0.6 le mécanisme élémentaire se forme avec la naissance
de la dix huitième rotule et est un « total first and second story sway mechanism ».
Les charges horizontales étant prépondérantes (figure 3-4-a).
- Pour l’int ervalle 0.6< α < 0.93 un « total lower storey combined mechanism » avec
un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec seize rotules
plastiques. Pour toute valeur de α comprise entre 0.6 et 0.93 ; l’ordre de formation
de rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les rotules plastiques
formées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage pourront être
considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur déformabilité
globale de la structure). Dans ce cas les sept rotules plastiques considérées comme
bloquées sont développées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage
(figure 3-4-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique
témoin en question en un mécanisme est de n= r+1= 28. Ce qui est, en fait, la
condition de mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Pour le cas
singulier de α = 0.93 (figure.4-1-c) la vint huitième rotule développée, pour ce cas,
donne naissance à un « over collapse » (sur ruine) où deux mécanismes ont lieu
simultanément « total second storey sway mechanism » avec « total combined
mechanism » cette valeur de α peut être considérée comme une valeur « tampon »
ou une valeur frontière (figure 3-4-c).
- Pour l’i ntervalle de 0.93< α < 4.5 le nombre de rotules plastiques formées est de
vint deux, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le même
ordre. la nature du mécanisme de ruine observé est un « lower storey combined
mechanism » et un « total combined mechanism », ce mécanisme peut être
identifié comme un « double combined mechanism ». la création d’une rotule
supplémentaire n’est pas nécessaire et sa présence compliquerait la déformation.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
47
La similitude avec « sway + combined mechanism » d’un portique simple à une
travée et un étage (« single storey single bay frame ») est évidente (figure 3-4-d).
- Pour les valeurs de α > 4.5, les valeurs des charges concentrées verticales, V, sont
nettement supérieures aux charges concentrées horizontales, H, les poutres sont
les éléments les plus fragilisés et le mécanisme de ruine du portique en question
est un « top, second and lower beam mechanism», ces mécanismes de poutre ont
lieu suite à la formation de vingt sept rotules plastiques au niveau de sections
critiques des poutres avec un ordre de formation identique à celui du figure (3-4-
e).
iii) Synthèse
- pour de faibles valeurs de α, α < 0.6 la charge concentrée horizontale, H, est
prépondérante et des « total fi rst and second story sway mechanisms » sont
observés. Ce mécanisme ne peut être se déformé qu’avec deux autre «joint rotation
mechanism» au niveau de premier étage et «left and right hand joint rotation
mechanism» au niveau de deuxième étage.
- Une combinaison de « total lower storey combined mechanism » avec un « total
second storey sway mechanism » a lieu pour 0.6 ≤ α < 0.93 ; la dernière rotule
prend naissance au niveau du poteau gauche de rive qui a produit «left hand joint
rotation mechanism» au niveau du deuxième étage. La valeur de α = 0.6 est une
valeur frontière entre les deux mécanismes de ruine «second storey sway
mechanism » et la combinaison de « lower storey combined mechanism » avec le
« second storey sway mechanism ».
- la valeur de α = 0.93 peut être considérée comme valeur frontière ou une valeur
« tampon » et d’aill eurs elle est la valeur unique pour laquelle se sont développées
vint huit rotule, les deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’une des
deux participe à la formation du « total combined mechanism » et l’autre participe
à la formation du « total second storey sway mechanism » donc le mécanisme de
ruine formé est une combinaison entre les deux mécanisme « total second storey
sway mechanism » et le mécanisme « total combined mechanism ».
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
48
- un « lower storey combined mechanism » et un « total combined mechanism » a
lieu pour 0.93 < α ≤ 4.5 ; La valeur de α = 4.5 est une valeur frontière entre les
deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et la
combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined
mechanism ».
- pour des valeurs de α > 4.5 les charges verticales sont prépondérantes, et elles
produisent carrément les «beam mechanisms» au niveau de chaque poutre.
3-5-2-2 portique P 3N 4T
i) Présentation Des Mécanismes
Une série de combinaisons de charges concentrée verticales et horizontales a été
réalisé en fonction de α pour les mêmes rapports géomètrico-mécaniques, les mécanismes de
ruine obtenus sont représentés sur la figure (3-5) avec l’emplacement des rotules plastiques
sur le portique témoin P 3N 4T.
a- mécanisme de ruine pour α < 0.47
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
49
b- mécanisme de ruine pour 0.47 < α < 0.73
c- mécanisme de ruine pour α = 0.73
34e rotule
33e rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
50
d- mécanisme de ruine pour 0.73 < α < 3.33
e- mécanisme de ruine pour α > 3.33
Figure 3-5 : Les différents types de mécanismes de ruine développés en fonction de α pour le P 3N 4T.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
51
ii) Prin cipales Constatations
Les principales remarques et constatations des mécanismes de ruine du portique
témoin №2 obtenus sont :
- Les mêmes modes de ruine que pour le précédent cas sont développés pour
différents intervalles de α.
- « total first and second storey sway mechanism » se forme avec la naissance de la
vint troisième rotule pour des valeurs de α < 0.47 ; donc les charges horizontales
sont prépondérantes (figure 3-5-a).
- Pour l’int ervalle 0.47≤ α < 0.73 un « total lower storey combined mechanism »
avec un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec vint neuf
rotules plastiques. Pour toute valeur de α comprise entre 0.47 et 0.73 ; l’ ordre de
formation des rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les rotules
plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage pourraient
être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la
déformabilité globale de la structure). Dans ce cas les huit rotules plastiques
considérées comme bloquées ont lieu au niveau des poutres du deuxième et dernier
étage (figure 3-5-b).
- Pour le cas α =0.73 la trente quatrième rotule développée pour ce cas donne
naissance à un « over collapse » (sur ruine) où deux mécanismes ont lieu
simultanément « total second storey sway mechanism » avec « total combined
mechanism » cette valeur de α peut être considérée comme une valeur « tampon »
ou une valeur frontière (figure 3-5-c).
- Pour l’i ntervalle de 0.73< α < 3.33 le nombre de rotules plastiques formées est
de vint neuf, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le
même ordre. la nature du mécanisme de ruine observé est un « lower storey
combined mechanism » et un « total combined mechanism », ce mécanisme peut
être identifié comme un « double combined mechanism ». la création d’une rotule
supplémentaire n’est pas nécessaire et sa présence compliquerait la déformabilité.
La similitude avec « sway + combined mechanism » d’un portique simple à une
travée et un étage (« single storey single bay frame ») est évidente (figure 3-5-d).
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
52
- Pour les valeurs de α ≥3.33, les valeurs des charges concentrées verticales, V, sont
nettement supérieures aux charges concentrées horizontales, H, les poutres sont
les éléments les plus fragilisés et le mécanisme de ruine du portique en question
est constitué de séries de « beam mechanisms » au niveau des trois étages, ces
dernières ont lieu suite à la formation de trente six rotules plastiques au niveau de
sections critiques des poutres avec un ordre de formation identique à celui du
figure (3-5-e).
iii) Synthèse
- Le développement de trente sept rotules plastiques (condition de mécanisme) n’est
pas satisfait pour toutes les valeurs du rapport α.
- pour α< 0.47 des « total first and second storey sway mechanism » sont observés.
Ce mécanisme ne peut être avoir lieu qu’avec trois autres «joint rotation
mechanism» au niveau du premier étage et «left and right hand joint rotation
mechanism» au niveau du deuxième étage.
- « total lower storey combined mechanism » avec un « total second storey sway
mechanism » se produit pour 0.47 < α ≤ 0.73 ; la dernière rotule prenant
naissance au niveau du poteau gauche de rive au niveau du deuxième étage. La
valeur de α = 0.47 est une valeur frontière entre les deux mécanismes de ruine
« total fi rst and second storey sway mechanism » et la combinaison de « total
lower storey combined mechanism » avec un « total second storey sway
mechanism ».
- la valeur de α =0.73 peut être considérée comme valeur frontière ou une valeur
« tampon » et elle est la valeur pour laquelle trente quatre rotules se sont
développées les deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’une des deux
participe à la formation du « total combined mechanism » et l’autre participe à la
formation du « total second storey sway mechanism », donc le mécanisme de
ruine formé est une combinaison entre les deux mécanismes « total second storey
sway mechanism » et le mécanisme « total combined mechanism ».
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
53
- un « lower storey combined mechanism » et un « total combined mechanism » est
observé pour 0.73 < α ≤ 3.33 ; La valeur de α = 3.33 est une valeur frontière entre
les deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et la
combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined
mechanism ».
- pour des valeurs de α > 3.33 les charges verticales sont prépondérantes, et elles
produisent carrément des «beam mechanisms» au niveau de chaque poutre.
3-5-2-3 Porti que P 4N 3T
i) Présentation Des Mécanismes
Les mécanismes de ruine représentés dans la figure.4-4 sont pour le troisième
portique P 4N 3T pour la même combinaison des rapports géomètrico-mécaniques
h/Mpc =3 /200= 0.015 KN-1 et l/Mpb= 6 /150=0.04 KN-1 en fonction du rapport α.
a- mécanisme de ruine pour α < 0.84
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
54
b- mécanisme de ruine pour 0.84 < α < 1.2
c- mécanisme de ruine pour α = 1.2
35e rotule
34e rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
55
d- mécanisme de ruine pour 1.2 < α < 1.39
e- mécanisme de ruine pour
α = 1.39
35e rotule
34e rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
56
f- mécanisme de ruine pour 1.39 < α < 7.49
g- mécanisme de ruine pour α > 7.49
Figure 3-6 : Les différents types de mécanismes de ruine développés en fonction de α pour le P 4N 3T.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
57
ii) Prin cipales Constatations - un mode de ruine supplémentaire a été observé par rapport au précédents cas pour
différents intervalles de, α, précisément a la partie inclinée où α est compris entre
0.84 et 7.49
- « first and second storey sway mechanism » se forme avec la naissance de la vint
troisième rotule pour des valeurs de α < 0.84 ; donc les charges horizontales sont
prépondérantes (figure 3-6-a).
- Pour l’intervalle 0.84< α ≤ 1.2 un « total lower storey combined mechanism » avec
un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec vint sept rotules.
Pour toute valeur de α comprise entre 0.84 et 1.2 l’o rdre de formation des rotules
plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les onze rotules plastiques
considérées comme bloquées se développées au niveau des poutres du deuxième et
troisième étage (figure 3-6-b).
- pour la valeur de α = 1.2 ; une combinaison de trois mécanismes élémentaires
« total second storey sway mechanism» avec « total lower storey combined» et un
« total third storey sway mechanism » a lieu, avec la formation de trente cinq
rotules (figure 3-6-c).
- Pour l’int ervalle 1.2≤ α ≤ 1.39 un « total lower and second storey combined
mechanism » avec un « total third storey sway mechanism » se forme mais avec
trente deux rotules. Pour toute valeur de α comprise entre 1.2 et 1.39 l’o rdre de
formation de rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, dans ce cas
les neuf rotules formées considérées comme bloquées se développées au niveau
des poutres du troisième et dernier étage (figure 3-6-d).
- un « over collapse » (sur-ruine) où deux mécanismes ont lieu simultanément
« total third storey sway mechanism » avec « double combined mechanism » a
lieu pour la valeur de α = 1.39 ; avec la formation de trente cinq rotules
(figure 3-6-e).
- Pour l’i ntervalle de 1.39< α < 7.49 le nombre de rotules plastiques formées est
de vint huit, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le même
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
58
ordre. la combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total
combined mechanism » peut être identifi ée comme un « double combined
mechanism » (figure 3-6-f).
- Pour les valeurs de α ≥7.49, une série de « beam mechanism»a lieu au niveau des
poutres des quatre niveaux, ces mécanismes ont lieu suite à la formation de trente
six rotules plastiques au niveau de sections critiques des poutres avec un ordre de
formation identique de ces rotules (figure 3-6-g).
iii) Synthèse
- Le développement de trente sept rotules plastiques (condition de mécanisme) n’est
pas satisfait pour touts les valeurs du rapport α.
- Pour α <0.84 la charge concentrée horizontale, H, est prépondérante et des « first
and second storey sway mechanism » sont observés. la déformabilité provoque
quatre «joint rotation mechanism» au niveau du premier et du deuxième étage et
des «left and right hand joint rotation mechanisms» au niveau du deuxième étage
de se formée.
- Une combinaison de « total lower storey combined mechanism » avec un « total
second storey sway mechanism » a lieu pour 0.84 < α ≤ 1.2 ; la dernière rotule
prend naissance au niveau du poteau gauche de rive, et un «right hand joint
rotation mechanism» au niveau du deuxième étage est observé.
- Une première valeur frontière « tampon » de α =1.2 produit trente cinq rotules, les
deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’ une des deux participe à la
formation du « total second storey sway mechanism » et l’autre participe à la
formation du « total third storey sway mechanism », donc le mécanisme de ruine
développé est une combinaison entre trois mécanismes « total second storey sway
mechanism » et le mécanisme « total lower storey combined mechanism » et le
autre « total third storey sway mechanism » avec l’apparition de deux « right hand
joint rotation mechanism» qui sont observés au niveau du deuxième et du
troisième étage.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
59
- une combinaison de « total lower and second storey combined mechanism » avec
un « total third storey sway mechanism » a lieu pour 1.2 < α ≤ 1.39 ; la dernière
rotule prend naissance au niveau du poteau gauche de rive, avec l’ apparition du
«right hand joint rotation mechanism» au niveau du troisième étage. Ce type du
mécanisme de ruine est lié directement de l’augmentation du nombre d’étages.
- une deuxième valeur frontière « tampon » de α =1.39 produit trente cinq rotules,
les deux dernières rotules apparaissant simultanément l’une des deux participe à la
formation du « double combined mechanism » et l’autre participe à la formation
du «third storey sway mechanism», donc le mécanisme de ruine développé est une
combinaison entre les deux mécanismes «second storey sway mechanism» et le
mécanisme « lower storey combined and total combined mechanism ».
- un « double combined mechanism » se produit pour 1.39 < α ≤ 7.49 ; la frontière
entre les deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et
la combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined
mechanism » est de α = 7.49 ;
- pour des valeurs de α > 7.49 les charges verticales sont prépondérantes, et elles
produisent des «beam mechanisms» (création de trois rotules) au niveau de chaque
poutre.
3-5-3 Synthèse des synthèses Après l’ analyse des trois portiques non endommagés pour la détermination des vrais
mécanismes de ruine par la méthode « pushover » il s’est avéré que le paramètre le plus
influent est le rapport α = V/H. il a un effet direct sur les mécanismes obtenus et les charges
de ruine. L’étude a révélé trois principaux intervalles de ‘α’ où les principaux changements
sont constatés, l’étendue de ces intervalles est directement influencée par la forme en
élévation du portique (effet du rajout d’un niveau ou d’une travée).
Pour de faibles valeurs de ‘α ’ :
α > 0.60 pour le P 3N 3T (portique de base)
α > 0.47 pour le P 3N 4T
α > 0.84 pour le P 4N 3T
La prépondérance est aux « sway mechanisms » localisés ou totaux.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
60
Pour de grandes valeurs de ‘α ’ :
α > 4.50 pour le P 3N 3T (portique de base)
α > 3.39 pour le P 3N 4T
α > 7.49 pour le P 4N 3T
La prépondérance est aux « beam mechanisms » localisés ou totaux.
Pour des valeurs intermédiaires de α où les mécanismes prépondérants sont des « combined
mechanism » avec des combinaisons de quelques mécanismes élémentaires y compris des
« joint rotation mechanism ».cette zone intermédiaire a été trouvée être influencée par le
nombre de niveaux et par celui des travées.
L’obtention de valeurs tampons intermédiaires a nécessite un travail miticuleux.
- Pour le portique de base P 3N 3T, la valeur tampon intermédiaire trouvée est de 0.73
- Pour le portique à quatre travées P 3N 3T, la valeur tampon intermédiaire trouvée est
de 0.73
- Pour le portique à quatre niveaux P 3N 3T, deux valeurs tampons intermédiaires ont
été trouvées à savoir α =1.2 et α =1.39
3-6 Construction des diagrammes d’interaction
3-6-1 Introduction
Il ressort de ce qui a été réalisé dans les chapitres (2 et 3) que les paramètres les plus
influents sont les rapports α =V/H et les combinaisons l/M pb ; h/Mpc et le changement du
nombre de niveau et nombre de travées. Ces paramètres influent directement sur les valeurs
des charges causant la ruine et aussi sur la nature des mécanismes de ruine identifiés. Les
variations de l et h sans relation avec les moments plastiques respectifs ont produit des
résultats dans tous les sens car il s’est avéré qu’elles ne représentaient pas des cas pratiques et
pourraient engendrer des incohérences vis-à-vis du dimensionnement. Dans le présent
chapitre, il a été jugé utile d’opter pour une représentation graphique pour mettre en exergue
les effets du paramètre le plus influent à savoir, α, et ce pour une seule combinaison de
l/Mpb et h/Mpc en relation avec le changement du nombre de niveaux ou de travées.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
61
L’util isation de la méthode non linéaire « pushover » a permis l’ étude et l’analyse des
trois portiques témoins retenus et ce pour large variation du rapport α= V/H. cette analyse a
permis l’i dentif ication des valeurs de α pour lesquelles s’opère le changement des
mécanismes de ruine. Les valeurs tampons ne sont pas figées et varient pour chaque portique
témoins les valeurs changent aussi lorsque les rapports géométrico-mécaniques
l/Mpb ; h/Mpc [2].
L’analyse a fait ressortir la possibili té de construire des diagrammes d’i nteraction
similaires a ce qui est donné par la théorie pour des structures simples « single bay single
storey »et aussi par ce qui a été réalisé par Boukeloua pour le portique à deux niveaux et une
travée.
3-6-2 Pr incipes Généraux De Construction
Dés qu’il y’a plus d’une variable (contrainte, effort, moment …etc.) qui influent sur le
comportement ou la rupture d’un élément de structure ou d’une structure entière, il y’a
nécessité absolue de recourir à une courbe reliant les deux ou trois variables qui interagissent.
Ceci étant le cas pour la construction des cercles de Mohr reliant les contraintes normales et
tangentielles, les diagrammes d’interaction en flexion composée reliant les efforts de
compression aux moments fléchissants dans un plan donné, les diagrammes d’interaction en
flexion déviée reliant les efforts de compression aux deux moments agissants dans deux plans
perpendiculaires ou les diagrammes mettant en relief les critères retenus en analyse plastique
à savoir les critères de Von Mises et Tresca.
Pour le cas présent, les variables en question sont les charges horizontales et les
charges verticales qui ne sont pas complètement indépendantes mais sont prises, pour des
soucis de simplicité, comme étant proportionnelles. Leurs interaction et en fonction de α agit
directement sur la nature des mécanismes de ruine développés, et cette nature est mieux
explicitée graphiquement.
3-6-3 Représentation graphique
3-6-3-1 Introduction
La représentation graphique de l’ interaction (V-H) a deux possibilités pour le choix du
système de coordonnées le premier est de prendre directement λH en abscisse et λV en
ordonnée et le second est d’opter pour un système de coordonnées adimensionnelles à savoir
Hh/Mpc en abscisse et Vl/Mpb en ordonnée. Ce dernier système est praticable pour discerner
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
62
les effets du changement de l’ensemble des paramètres (H, h, V, l, Mpb et Mpc) pour de
différentes valeurs.
3-6-3-2 Développement graphique
Le développement concerne l’ensemble des portiques testés. Le premier est de trois
niveaux et trois travées, le deuxième est de trois niveaux et quatre travées et le dernier est de
quatre niveaux et trois travées, ce pour une seule combinaison de l/Mpb et h/Mpc les graphes
sont représentés sur les figures (3-7) à (3-9)
3-6-3-3 Discussion des résultats
Le développement graphique a été réalisé pour des valeurs de α allant de 0 à 200 et ce
pour la combinaison retenue de l/M pb et h/Mpc, les graphes sont représentés dans les
figures (3-7) à (3-9) pour chacun des trois portiques.
Il ressort de la construction des trois diagrammes d’interaction (un pour chaque
combinaison de charge) ce qui suit :
Figure 3-7 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH
: cas du P 3N 3T (portique de base).
zone (I)
zone (II)
zone (III)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Charge horizontale concentrée λH (kN)
Cha
rge
vert
ical
e λ
V (
kN)
α = 0.6
α = 0.93
α = 4.5
h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150
Mécanismes de ruine Apparition de la première rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
63
Figure 3-8 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH
: cas du P 3N 4T
Figure 3-9 : Diagramme d’i nteraction pour le système de coordonnées λV- λH : cas du P 4N 3T.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
0 20 40 60 80 100 120 140
Charge horizontale concentrée λH (kN)
Cha
rge
vert
ical
e λ
V (
kN)
α = 0.84 α = 1.2
α = 1.39
α = 7.49
h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150
Mécanismes de ruine Apparition de la première rotule
zone (I)
zone (II )
zone (III )
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Charge horizontale concentrée λH (kN)
Cha
rge
vert
ical
e λ
V (
kN)
α =0.47
α = 0.73
α = 3.33
h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150
zone (III )
zone (II)
zone (I)
Mécanismes de ruine Apparition de la première rotule
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
64
- La première courbe à son tour représente graphiquement les combinaisons de charges qui
engendrent l’apparition de la première rotule plastique dans le portique témoin testé.
- Il y’a une forte simili tude avec les diagrammes d’i nteraction développés pour un « Single
bay –single storey frame » et pour un portique « Single bay –tow storey frame » réalisées
par Boukeloua avec trois parties distinctes de la courbe enveloppe.
a- Parti e №1
λH semblent constant tendance de « Sway mechanism » la charge horizontale est
prépondérante.
P 3N 3T:
- Pour α ≤ 0.60 tendance de « total first and second story sway mechanism ».
P 3N 4T:
- Pour α ≤ 0.73 tendance de « total first and second storey sway mechanism ».
P 4N 3T:
- Pour α ≤ 0.84 tendance de « total first and second storey sway mechanism ».
b- Parti e №2
Partie inclinée représentante des tendances des « combined mechanism » d’où la
contribution des charges verticales et horizontales à la formation des mécanismes de
ruine est prépondérante.
P 3N 3T:
- Pour α∈] 0.93 – 0.6 [ tendance de « total lower storey combined mechanism »
avec un « total second storey sway mechanism ».
- Pour α = 0.93 tendance de « total second storey sway mechanism » avec
« total combined mechanism »
- Pour α∈] 0.93 – 4.5 [ tendance de « double combined mechanism ».
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
65
P 3N 4T:
- Pour α∈] 0.47 – 0.73 [ tendance de « total lower storey combined
mechanism » avec un « total second storey sway mechanism ».
- Pour α = 0.73 tendance de « total second storey sway mechanism » avec « total
combined mechanism ».
- Pour α∈] 0.73 – 3.33 [ tendance de « double combined mechanism ».
P 4N 3T:
- Pour α∈] 0.84 –1.2 [ tendance de « total lower storey combined mechanism »
avec un « total second storey sway mechanism ».
- Pour α = 1.2 tendance de « total second storey sway mechanism» avec un
« total lower storey combined mechanism » et « total third storey sway
mechanism ».
- Pour α∈] 1.2 –1.39 [ tendance de « total lower and second storey combined
mechanism » avec un « total third storey sway mechanism ».
- Pour α = 1.39 tendance de « total third storey sway mechanism » avec un
« double combined mechanism ».
- Pour α∈] 1.39 – 7.49 [ tendance de « double combined mechanism ».
c- Parti e №3
λV a des valeurs plus au moins constantes, l’étendue de cette partie dépend
essentiellement de α dont la charge verticale est prépondérante et pour une
combinaison de l/Mpb ; h/Mpc considérée constante, d’où l’ importance de ces deux
paramètres par rapport aux valeurs des charges de ruine et des mécanismes de ruine
développés.
P 3N 3T :
- Pour α ≥ 4.5 tendance de «beam mechanism» au niveau de chaque poutre.
P 3N 4T :
- Pour α ≥ 3.33 tendance de «beam mechanism» au niveau de chaque poutre.
P 4N 3T :
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
66
- Pour α ≥ 7.49 tendance de «beam mechanism» au niveau de chaque poutre.
3-6-4 Synthèse
A la suite de ce qui a été développé au paragraphe (§ 3-5) où les différents mécanismes
ont été traité dans le détail et ce qui a été développé dans le paragraphe (§3-6-3) avec les
différents développements graphiques pour les trois portiques témoins, il ressort
qu’effectivement que le paramètre le plus influent est le rapport α pour une combinaison
donnée de l/Mpb et h/Mpc.
Ces diagrammes d’interaction présentent une forte similitude avec ceux des portiques
simples (un niveau et une travée) et ceux des portiques de deux niveaux et une travée
réalisés par Boukeloua [2] :
a- Partie №1 : tendance de « Sway mechanism » dont la charge horizontale est
prépondérante. cette partie est nettement similaire pour les trois portiques témoins
ainsi que le portique simple (un niveau et une travée) et le portique de deux niveaux
et une travée représentés dans le chapitre 2.
b- Partie №2 : Partie inclinée représentante des tendances (chaque tendance représente
une inclinaison) des « combined mechanism ». la similitude est relativement
semblable des trois portiques testés avec ceux des portiques simples (un niveau et
une travée) et ceux des portiques de deux niveaux et une travée décrits dans le
chapitre 2. Il est constaté que le P 3N 3T a deux inclinaisons ainsi que le P 3N 4T
par contre le P 4N 3T a trois inclinaisons.
c- Partie №3 : tendance de « beam mechanism » dont la charge verticale est
prépondérante. cette partie est édifiante pour les trois portiques témoins ainsi que le
portique simple (un niveau et une travée) et relativement similaire avec le portique
de deux niveaux et une travée représentés dans le chapitre 2.
A partir des diagrammes d’interaction, la détermination des mécanismes de ruine est très
possible, elle est liée directement à la relation entre les deux charges λV et λH présentées sur
les diagrammes d’interaction en fonction de α.
Le rapport α=λV/λH agit directement sur les charges de ruine et les mécanismes
développés.
Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques
67
La partie inclinée qui représentante des tendances des « combined mechanism » est liée
directement avec le nombre de niveaux d’un portique à l’autre, c'est-à-dire, chaque rajout
d’un niveau va faire créé à son toure une nouvelle tendance des « combined mechanism ».
Il est clair que ce diagramme d’interaction est divisé en trois zones:
- zone (I) : représente les combinaisons de charges (λV et λH) sécuritaires, c'est-à-
dire, le comportement des sections critiques est parfaitement élastique
- zone (II ) : représente les combinaisons de charges (λV et λH) qui participe à la
formation d’un nombre de rotules plastiques inférieur à celui qui cause la ruine
- zone (II I) : représente les combinaisons de charges inacceptables.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
68
4 ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTIQUES ENDOMMA GÉES
4-1 Rétro-analyses pour des structur es simples endommagées
4-1-1 Introduction
L’image réelle instantanée après l’endommagement d’une section ou plus ou d’un
élément de structure ne peut être obtenue qu’en utilisant les concepts de l’analyse plastique
des structures et ce exclusivement par le biais de rétro-analyses de la structure en tenant
compte du phénomène de redistribution des moments fléchissants.
4-1-2 Processus d’obtention de l’image réelle après l’endommagement
L’analyse de la structure sans tenir compte des différentes valeurs des moments
plastiques aux différentes positions critiques (là où les moments sont maximums) va faire
ressortir inéluctablement des moments fléchissants supérieurs aux moments plastiques
correspondants. La distribution des moments fléchissants étant indépendante de la forme des
sections, alors que les moments plastiques sont des caractéristiques des sections dépendant
exclusivement des formes géométriques de ces dernières et de leurs caractéristiques
mécaniques. Les méthodes de détermination des diagrammes des moments fléchissants (ces
derniers sont uniquement fonction de la nature du chargement et des conditions d’appuis)
supposent un comportement élastique ceci étant correct du point de vue mathématique et
impossible du point de vue physique car les moments fléchissants ne peuvent, en aucun cas,
être supérieurs aux moments plastiques correspondant. D’où la nécessité d’adopter une
démarche qui consiste à ramener l’ensemble des moments fléchissants, au maximum, au
niveau des sections critiques aux moments plastiques respectifs. La redistribution des
moments fléchissants commence dés l’i nstant qu’une section atteint le moment plastique et ce
processus continue jusqu’à ce qu’i l n y ait plus de moment fléchissant supérieur au moment
plastique à quelque niveau que se soit. Au moment de l’arrêt du processus de redistribution,
l’ image instantanée est alors obtenue et les positions de différentes rotules plastiques
complètement identifi ées.
4-1-3 Exemples d’application
4-1-3-1 Poutre doublement encastrée endommagée
Les caractéristiques géométriques et mécaniques de la poutre doublement encastrée et le
point d’application de la charges concentrée verticale, V, et les sections critiques de A à C au
niveau des nœuds et sous l’application de la charge concentrée, sont représentés sur la
figure (4-1) :
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
69
Figure (4-1) : Poutre doublement encastrée avant l’endommagement.
La poutre doublement encastrée représentée sur la figure (4-1-a) supporte une charge
verticale concentrée, V, permanente d’une valeur de 70 kN. Le comportement de la poutre
avant l’endommagement est élastique (c'est-à-dire le comportement des sections critiques est
élastique), et une analyse élastique donne un diagramme des moment fléchissants représenté
sur la figure (4-1-b).
Une fois la structure subit un endommagement, pour le cas présent encastrement au
niveau du point B est remplacé par une rotule mécanique où le moment devient égal à zéro.
Le traitement de la poutre doublement encastrée après l’endommagement devient celui d’une
poutre encastrée à une extrémité (point A) et articulée à l’autre (B). Le diagramme des
moments fléchissants de cette dernière figure 4-2-a (étape № 1 du processus) relève un
moment max au niveau de l’encastrement A supérieur au moment plastique (il en de même
pour une partie de la poutre proche de cet encastrement). Ceci étant juste du point de vue
mathématique car le comportement est supposé être élastique et ce diagramme ne tient en
aucune manière la valeur du moment plastique mais impossible du point de vue physique. A
cet instant une rétro-analyse devient nécessaire et un processus commencera par ramener le
moment max observé dans ce cas (115.97 kN.m) au niveau du moment plastique
(Mp= 100 kN) le facteur redresseur, λr devient égal à 115.97 / 100= 1.159 ce qui donne un
diagramme des moments fléchissant redressé (figure 4-2-a-colonne4). La poutre originelle
endommagée est remplacée par une poutre avec deux articulations au niveau des
encastrements la rotule mécanique (M= Mp) est remplacée par une rotule mécanique (M= 0)
et elle est réanalysée de la même manière que pour l’étape №1 mais en prenant en compte le
a) schéma de la poutre
b) diagramme des moments fléchissants avant
l’ endommagement (kN.m)
70 kN
A B
3 m 6 m
92.79
62.40
47.21
Mp = 100 kN.m
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
70
phénomène de redressement de l’étape №1. Le diagramme des moment fléchissants redressés
de l’étape №1 aurait été obtenu avec un chargement de (70 –X) kN dans ce cas X= 9.64 kN.
Poutre sous charge concentrée (kN)
DMF sous charge fictive (kN.m)
DMF sous charge Réelle de 70 kN
(kN.m)
DMFR (kN.m)
Eta
pe №
1
a) rétro-analyse pour la poutre endommagée étape № 1
Eta
pe №
2
b) Rétro-analyse pour la poutre endommagée étape № 2
Figure (4-2) : Rétro-analyse pour la poutre endommagée
La poutre bi- encastrée est analysée avec cette différence de chargement avec un
diagramme des moments fléchissants représenté sur la figure (4-2-b-colonne 2) ce diagramme
devait être supérieur au diagramme des moments fléchissants redressé de l’étape №1 et il est
représenté sur la figure (4-2-b-colonne 3). Ce diagramme ne nécessite pas d’être redressé à
son tour car tous les moments sont inférieurs aux moments plastiques. Le processus de rétro-
analyses s’arrête automatiquement, dans le cas où ce diagramme nécessite d’être redressé à
son tour une troisième étape aurait être nécessaire.
En fin de processus la poutre qui était à l’or igine avait l’endommagement deux fois
hyperstatique est devenu à la fin du processus (image instantanée) après la rupture de
l’encastrement) une poutre isostatique.
54.04
100
: Rotule plastique
0
75.73
100
0
100
75.73
λr = 1
9.64
B A
: Rotule mécanique
21.69
0 0
62.68
115.97
λr = 1.159
70
B 35
A
Poutre endommagée au niveau du nœud B
0
0
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
71
4-3-1-2 Porti que simple endommagé
Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique et les points d’application
des charges concentrées verticale, V, et horizontale, H, et les sections critiques de A à E au
niveau des nœuds et sous l’application des charges concentrées V et H, sont représentés dans
la figure (4-3) :
Figure (4-3) : Portique simple à une travée et un niveau avant l’endommagement.
Le portique simple représenté sur la figure (4-3-a) supporte une combinaison de
charges, une charge verticale concentrée, V, et une charge horizontale concentrée, H, il est
supposé initialement que V = H = 35 kN. Le comportement du portique avant
l’endommagement est élastique (c'est-à-dire le comportement des sections critiques est
élastique), et une analyse élastique donne un diagramme des moment fléchissants représenté
sur la figure (4-3-b).
Une fois le portique subit un endommagement, dans ce cas, au niveau du nœud, D. ce
nœud est modélisé par une rotule mécanique (figure 4-4-a) le traitement du portique
35 kN
Mp = 100 kN.m
A
C
E
B
5
10
35 kN
5
D
26.71
74.87
71.79
87.24 42.50
a) schéma du portique
b) diagramme des moments fléchissants avant
l’endommagement (kN.m)
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
72
endommagé donne un diagramme des moments fléchissants (figure 4-4-a-colonne 3). Ce
diagramme des moments fléchissants relève un moment max au niveau de l’encastrement, E,
supérieur à Mp (il en est de même pour une partie du montant droit proche de cet
encastrement). Ceci étant juste du point de vue mathématique mais impossible du point de
vue physique. A cet instant le processus de rétro-analyses s’enclenché et le facteur redresseur,
λr, a une valeur de 1.108 (Mmax / Mp= 110.79/100) (figure 4-4-a) le diagramme des
moments fléchissants redressé est représenté au niveau de la quatrième colonne de la figure
(4-4-a).
Le portique originel endommagé est remplacé par un portique avec deux rotules (une
rotule modélisant l’endommagement au point D et une rotule mécanique qui remplace la
rotule physique M = Mp au point E de l’ étape №1). Le portique en question est réanalysé sous
l’action des charges excédentaires c’est la diff érence entre les charges appliquées
permanentes (35 kN) est les charges qui auraient données le diagramme des moments
fléchissants redressé (figure 4-4-a-colonne 4) [35 - 31.59= 3.41 kN].
Le diagramme des moments fléchissants sous cette différence de charges qui ont fait des
charges fictives représenté sur la figure (4-4-b-colonne 2).
Le diagramme des moments fléchissants étant la superposition du diagramme des
moments fléchissants redressé de l’étape №1 et le diagramme des moment fléchissants sous la
combinaisons différences de charges (figure 4-4-b-colonne 2). Ce diagramme est représenté
sur la figure (4-4-b-colonne 3) et il s’avère que le moment plastique avec au niveau du
point A est supérieur au moment plastique avec une petite zone proche du point A sur le
montant gauche, le facteur redresseur correspondant est de 1.0448 et le diagramme des
moments fléchissants redressé correspondant est représenté sur la figure (4-4-b-colonne 4).
Le processus de rétro-analyses devant être poursuivi et la même démarche est adoptée
au niveau de la troisième étape dont le diagramme des moments fléchissants redressé final est
représenté sur la figure (4-4-c-colonne 4). La fin de cette étape révèle que le portique avant
l’endommagement étant trois fois hyperstatique s’est transforme à la fin du processus (image
instantanée immédiatement après la rupture d’un nœud) en un mécanisme de ruine dont la
nature est facilement identifiée à un « combined mechanism ».
Dans ce cas la rupture d’un encastrement a engendre une ruine totale.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
73
c) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №3)
Figure (4-4) : Rétro-analyse pour le portique endommagé
portique sous charges concentrées (kN)
DMF sous charges fictives (kN.m)
DMF sous charges réelles de 35 kN
(kN.m)
DMFR (kN.m)
Eta
pe №
1
a) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №1)
Eta
pe №
2
b) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №2)
Eta
pe №
3
85.74
29.34
87.29 100
0
: Rotule plastique
93.76
29.68
100 100
0
100
25
100 100
0
6.24
4.68
0 0
0
100
25
100 100
0
λr = 1
0.93
0.93
A
B C D
E
3.41
3.41
A
B C D
E
: Rotule mécanique
96.79
29.81
104.81 100
0
λr = 1.048
11.05
0.47
17.52 0
0
95
32.51
96.71 110.79
0
λr = 1.108
35
35
A
B C D
E
Portique endommagé au niveau du nœud D
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
74
4-2 Analyse des trois port iques témoins endommagés en util isant la méthode non linéaire « pushover »
4-2-1 Introduction
L’i mage instantanée après l’endommagement d’un élément de la structure
(diagramme des moments fléchissants immédiatement après la rupture où les sections qui
auront atteint les valeurs des moments plastiques correspondants sont clairement et
précisément identifi ées) n’est possible que par l’ utili sation de rétro-analyses. L’obtention de
l’ image réelle en utilisant le processus décrit dans le paragraphe précédent (§ 4-1) pour des
structures simples est facile mais quand la structure devient multi-étagée et/ou multi-travée,
le processus devient laborieux. Pour se faire, la méthode « pushover » a été util isée pour
l’obtention de l’ image instantanée pour trois portiques témoins dont un portique témoin de
base avec trois niveaux et trois travées. Ces images instantanées ont été obtenues suite
respectivement à la rupture d’un poteau central et poteau de rive. En plus de cela les effets
quelques paramètres influents sont mis en exergue (le rapport géométrico-mécanique à
savoir l/Mpb et le rajout d’un niveau ou celui d’une travée).
Le présent travail a été accompli pour une valeur constante de h/Mpc =3/200=0.015 kN-1 et
trois valeurs de l/Mpb à savoir 0.03, 0.034 et 0.04 kN-1 donc trois cas différents :
- le premier cas pour Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport
géométrico-mécanique l/Mpb= 6/150 = 0.04 kN-1.
- le deuxième cas pour Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport
géométrico-mécanique l/Mpb= 6/175 = 0.034 kN-1.
- le troisième cas pour Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport
géométrico-mécanique l/Mpb= 6/200 = 0.03 kN-1.
En ce qui concerne le chargement, seul un cas de chargement (des charges verticales) a été
retenu (V= 100 kN).
Il a été jugé nécessaire et pratique de représenter les diagrammes des moments
fléchissants et les portiques endommagés avec les différentes rotules plastiques développées
et leur ordre d’apparition.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
75
4-2-2 Endommagement d’un poteau central du P 3N 3T (portique de base)
4-2-2-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-5) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m
27.06
0 42.49 79.21
75.24 150 150
66.27
150
150 83.24
35.66
150
150
49.49
0
69.56
19.82 20.54 23.93
74.88 150 150
8.44
150
150 69.71
27.30
150
150
42.50 70.79
34.23
80.44 47.58
75.48 150 150
85.89
150
150 63.15
150
150
64.11
0
: Rotule plastique
1
13
10
3
13
2 5
13
11
6 4
13
7 13
12 8
13 9
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
76
-2ème cas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-6) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 175 kN.m
37.22
6.52 94.54 39.16
74.73 128.60 121.07
72.73
132.20
175
78.51
34.30
175
117.14
59.25
14.90
80.07
23.88 20.30 28.49
73.48 127.46 124.20
86.32
129.92
175
66.71
27.56
175
123.39
86.32 80.46
43.01
0 94.93 44.21
72.92 128.03 120.64
56.18
131.06
175 57.97
175
116.28
78.82
14.77
: Rotule plastique
1 3
5 2
6 4
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
77
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture
d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-7) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 200 kN.m
46.75
7.12 38.30 108.53
73.62 106.41 99.42
77.67
112.83
200
75.29
35.79
200
98.83
67.40
12.15
92.60
28.82 21.15 32.66
72.09 105.68 102.12
90.1
111.36
200
65.72
27.42
200
104.24
63.25 91.47
54.93
1.84 94.93 39.50
70.33 103.81 107.55
106.76
107.63
200 52.58
200
90.09
93.24
17.52
: Rotule plastique
1 3
5 2
6 4
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
78
4-2-2-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 3N3T après l’endommagement du poteau central fait
ressortir les constatations suivantes :
- Les rotules plastiques se sont développées uniquement au niveau des poutres.
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix-huit les six dernières rotules apparaissant
simultanément en mi-travée des poutres (figure 4-5) mais pour les deuxième
(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à six
(figures 4-6 et 4-7).
- L’emplacement et l’ordre des six premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les rotules plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et troisième cas
pourront être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la
déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les six rotules plastiques peuvent
être considérées comme bloquées (figure 4-6-b et 4-7-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 28. ce qu’est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.
4-2-2-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau central n’entraîne pas l’écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les six rotules
développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré comme
statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
79
4-2-3 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T (portique de base)
4-2-3-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture
d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-8) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m
8.61 42.95 150
28.94
80.83 75.88 150
150 150
150
10.84
6.70
1.76
150
85.42 0.62 80.97
38.66 20.07 13.42
81.95 68.42 150
127.19 139.09
150
12.37
37.82
23.56
150
95.32
66.54
32.85
69.03 10.59
87.76 64.93 150
134.23 150
150 9.75
20.14 150
114.09
0.62
0
150
: Rotule plastique
10
7 5
4
2
10 8
1
10
6 3
9
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
80
-2èmecas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture
d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-9) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T: cas de Mpb= 175 kN.m
11.65 48.81
21.82 118.32
80.83 67.55 135.16
149.19 166.54
145.32
10.84
5.25
1.72
175
83.12 2.50 78.07
39.50 20.89 10.95
81.81 67.32 121.66
124 141.91
12.37
34.19
24.04
175
88.30
67.80
15.72
67.26 5.58
87.76 59.65 118.18
126.50 161.50
111.36
2.03 19.18
175
107.32
5.94
13.49
111.36
118.32
: Rotule plastique
3
2
1
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
81
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture
d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T
Figure (4-10) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T : cas de Mpb= 200 kN.m
14.43 54.86 95.51
18.83
80.72 66.90 108.10
146.70 166.62
116.20
8.14
3.71
0.42
200
81.69 14.40 73.79
41.25 22.13 9.32
81.89 65.86 97.76
122.78 145.60
13.42
32.26
23.08
200
85.27
65.44
0.46
52.40 4.43
87.94 57.35 94.14
124.16 167.31
88.29
0.05
17.98
200
106.18
18.98
38.68 88.29
95.51
: Rotule plastique
3
2
1
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
82
4-2-3-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 3N3T après l’endommagement du poteau de rive fait
ressortir les constatations suivantes :
- Les rotules plastiques se sont développées uniquement au niveau des poutres.
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de douze les trois dernières rotules apparaissant
simultanément en mi-travée des poutres (figure 4-8) mais pour les deuxième
(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à trois
(figures 4-9 et 4-10).
- L’emplacement et l’o rdre des trois premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les deux rotules plastiques (5) et (7) formées au niveau des poutres du premier cas et
ceux du deuxième et troisième cas pouvant être considérées comme bloquées (car
elles ne peuvent pas agir sur la déformabilité globale de la structure). Dans ce cas les
trois rotules plastiques considérées comme bloquées (figure 4-9-b et 4-10-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 28. ce qui est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.
4-2-3-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau de rive n’entraîne pas l’ écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les trois rotules
développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré comme
statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
83
4-2-4 Endommagement d’un poteau central du P 3N 4T
4-2-4-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fl échissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 4T
Figure (4-11) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T: cas de Mpb= 150 kN.m
40.10 0
40.07 4.62
80.46
73.07 77.38
150 72.08
150 150
68.97
150
81.77 150
5.67 76.27
42.27
5.36 31.37
150
69.37 39.97
80.63
67.97 82.82
150 86.30
150 150
73.58
150
77.76 150
150
60.79
4.18 63.70
0
18.04 5.06 16.53 27.18
70.71 79.10
150 81.60
150 150
72.64
150
76.97 150
150
69.17
29.07 0.29 28.32 69.54
7.44 46.55
: Rotule plastique
3
13 13 7
1
11
6
13 13 8
4
12
5
13 13 9
2
10
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
84
-2èmecas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 4T
Figure (4-12) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T: cas de Mpb= 175 kN.m
39.46 3.58
50.32 3.06
94.76
72.15 77.42
175 76.06
127.52 122.16
69.80
130.03
79.65 175
12.53 75.37
41.50
4.61 41.12
119.32
79.99 33.87
95.01
65.45 83.18
175 94.76
127.25 121.43
73.46
129.49
74.37 175
119.87
60.18
0.88 80.24
11.62
18.52 5.26 20.93 31.62
69.33 79.21
175 86.28
126.72 124.93
72.42
128.44
75.05 175
124.85
69.16
29.67 0.42 37.91 80.24
5.34 57.83
3.58
: Rotule plastique
3 1
6 4
5 2
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
85
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture
d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 4T
Figure (4-13) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T: cas de Mpb= 200 kN.m
39.32 4.24
62.76 2.89
108.42
71.26 77.42
200 79.20
104.35 98.71
69.89
108.69
78.27 200
1.05
75.27 40.52
5.22 52.02
97.42
92.19 34.67
107.81
62.93 83.53
186.26
103.03
102.98 102.67
73.09
105.97
71.11 200
91.10
60.79
1.98 69.97
14.37
19.44 5.96 25.57 36.06
68.00 79.29
200 90.15
103.58 101.45
71.49
102.89
73.85 200
98.65
69.63
30.11 0.53
47.09 91.58
3.16 68.78
12.32
: Rotule plastique
3 1
4
5 2
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
86
4-2-4-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 3N4T après l’endommagement du poteau central fait
ressortir les constatations suivantes :
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix-huit les six dernières rotules apparaissant
simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-11) mais pour les deuxième cas
(Mpb =175kN.m) le nombre est réduit à six et pour le dernier cas (Mpb =200 kN.m) le
nombre est réduit à cinq rotules seulement (figures 4-12 et 4-13).
- L’emplacement et l’ordre des cinq premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les rotules plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et troisième cas
pourront être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la
déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les six (2èmecas) et les cinq rotules
(3èmecas) plastiques considérées comme bloquées (figure 4-12-b et 4-13-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 37. ce qui est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble des cas.
4-2-4-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau central n’entraîne pas l’écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les six (2èmecas)
et les cinq rotules (3èmecas) développées pouvant être considérées comme bloquées
(le portique pouvant être considéré comme statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres et les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
87
4-2-5 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T
4-2-5-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 4T
Figure (4-14) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T: cas de Mpb= 150 kN.m
5.17
41.14 3.19 60.33
74.76 79.94 150
57.93
150 69.19
127.7 142.17 24.78 19.45
5.24
6.74 6.74
46.63 57.93
150
78.55 5.68
74.45
74.86 85.25
150
105.06
150 64.15
115.90 139.17 45.22 32.33
150
13.59
70.68 72.73 10.63
11.22 27.12 23.88
75.02 80.62 150
104.92
150 69.51
111.73 122.26 45.05 38.72
150 26.96
32.13 6.37 63.01
56.29 48.30
1.5
13.4
2.59
150
150
: Rotule plastique
6
5
2
5
2
3
4
7
1
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
88
-2èmecas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du PT 3N 4T
Figure (4-15) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T : cas de Mpb= 175 kN.m
3.44
47.82 5.58 58.10
74.79 79.88 145.34
124.02
135.17 68.46
125.96 142.97 26.40 20.1
18.59
14.27 7.90
45.41 56.73
175
77.05 6.37
68.28
75.16 85.13
111.82
103.06
118.41 61.85
114.75 145.35 46.61 30.95
175
14.49
68.14 72.12 29.65
12.12 28.10 25.55
75.13 80.63 117.84
104.16
121.42 68.12
111.32 126.52 45.58 37.25
175
27.43
30.87 7.63 61.33
54.25 47.19
0.31
0.67
13.43
111.82
117.84
: Rotule plastique
2
3
1
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
89
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 4T
Figure (4-16) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T : cas de Mpb= 200 kN.m
1.52
8.01 54.24 55.59
74.82 79.82 116.21
122.35
108.10 67.44
124.23 143.78
28.01 20.72
31.25
16.12 8.72
43.57 56.07
200
62.82 7.4
53.39
45.46 85.02
88.74
101.24
94.37 59.51
113.78 151.68
47.83 29.31
200
16.19
65.95 71.93 48.32
12.9 28.79 27.15
75.24 80.60 95.06
103.24
97.53 66.75
110.74 130.52
43.57 35.98
200
28.07
29.59 8.87 59.24
52.63 45.55
2.08
15.24
24.95
88.74
95.06
: Rotule plastique
2
3
1
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
90
4-2-5-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 3N4T après l’endommagement du poteau de rive fait
ressortir les constatations suivantes :
- Les rotules plastiques se sont développées uniquement au niveau des poutres.
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de neuf les trois dernières rotules apparaissant
simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-14) mais pour les deuxième
(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à trois
(figures 4-15 et 4-16).
- L’emplacement et l’o rdre des trois premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les trois rotules plastiques du deuxième et troisième cas pourront être considérées
comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la déformabilité globale de la
structure). Dans ce cas les trois rotules plastiques pouvant être considérées comme
bloquées (figure 4-15-b et 4-16-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 37. ce qui est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.
4-2-5-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau de rive n’entraîne pas l’ écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les trois rotules
développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré comme
statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
91
4-2-6 Endommagement d’un poteau central du P 4N 3T
4-2-6-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-17) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m
74.96 150 150
73.34
150
150 76.74
36.80
150
150
38.61
1.23
75.74
24.98 19.56
150 68.25
150
38.05
74.26
39.94
75.16 150 150
65.38
150
84.30 150
150
34.89
6.02
27.56
0 80.66 39.63
18.55
75.01 150 150
81.73
150
28.62
150
40.68 69.34
64.52
0 150 63.49
49.73
75.51 150 150
85.47
150
47.27
150
150
81.04
68.96
37.03
: Rotule plastique
15
4
8 1 17
5
2
17
17 14
3 17
9 17
13 11
17 7
17 6
17 16 12 10
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
92
-2èmecas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-18) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 175 kN.m
73.80 126.84 123.66
86.55
128.68
175 74.02
35.43
175
122.31
48.12
1.10
88.49
28.74
48.51
5.26 86.51 38.59
74.26 126.96 121.57
78.38
128.91
175 81.18
175
118.14
44.09
2.45
37.31
6.21 95.48 37.43
22.97 19.83 29.32
73.48 128.28 125.17
86.55
131.56
175
66.16
175
125.35
51.14 79.52
80.48
12.05 150
44.80
60.60 36.38 79.32
72.97 126.78 120.75
94.52
128.55
175
59.53
175
116.50
95.68 13.22
: Rotule plastique
7 1
2 4
5 3
8 6
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
93
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-19) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 200 kN.m
72.66 103.59 107.18 99.75
35.36
99.50
58.92 100.95 60.28
56.04
80.80
200
73.87
200
1.46 6.23 99.05 38.51
73.36 103.46 97.92
73.63
106.91
200
95.84 55.27
1.43
46.59
7.34 37.21 109.14
28.13 20.93 33.29
72.28 104.99 101.31
89.75
109.97
200
65.70
28.50
200
102.63
63.67 90.86
200
79.66 12.50
91.30 37.63
70.42 102.03 102.39
103.12
104.06
184.57
200
89.34 96.88
14.71
108.70
71.11
42.03
: Rotule plastique
7 1
2 4
5 3
6
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
94
4-2-6-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 4N3T après l’endommagement du poteau central fait
ressortir les constatations suivantes :
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de vingt quatre les huit dernières rotules
apparaissant simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-17) mais pour les
deuxième cas (Mpb =175kN.m) le nombre est réduit à huit et pour le dernier cas
(Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à sept rotules seulement (figures 4-18
et 4-19).
- L’emplacement et l’ordre des sept premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les rotules plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et troisième cas
pouvant être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la
déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les huit (2èmecas) et les sept rotules
(3èmecas) plastiques considérées comme bloquées (figure 4-18-b et 4-19-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 37. ce qui est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.
4-2-6-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau central n’entraîne pas l’écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les huit
(2èmecas) et les sept rotules (3èmecas) développées pouvant être considérées comme
bloquées (le portique pouvant être considéré comme statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
95
4-2-7 Endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T
4-2-7-1 Image instantanée après l’ endommagement
-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-20) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m
8.02 43.51
150
25.79
82.08 72.34 150 150
5.22 71.05 6.98 88.39
38.40 13.17 20.47
81.66 68.42 150
94.00 139.46
150
10.77
36.56
23.89 150
94.00
73.63
32.77
61.61
150 150
14.16
5.33
150
8.95
82.95 74.97 150
150
69.84 15.91
0.05
150
62.41 9.25
150
150 10.99
87.61 65.00 150
133.77 150
150 8.99
20.01 150
113.75 0
150
80.52
87.54 4.92
: Rotule plastique
14 7
1
14 9 8
5
2
14 10 3
6
11
14 12 4
13
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
96
-2èmecas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-21) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 175 kN.m
10.94 49.12
117.08 20.55
81.85 66.32 132.98 140.97
2.66 70.24 2.31 79.16
39.50 11.13 21.29
81.62 67.08 121.04
123.55 141.55
13.20
33.75
24.29
175
88.32
71.36
15.67
175
9.54
144.81 163.14
8.52
3.21
175
61.81 5.86
80.80 68.16 130.17
147.86 162.88
65.72 9.49
0.81
65.19 9.25
135.33
175
69.61
5.03
87.66 59.47 115.81
125.54 161.24
106.62 0.85
19.82
105.72 13.76 106.62
175
2.87 81.87
5.03
117.08
: Rotule plastique
1
3
2
4
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
97
-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m
a) diagramme des moments fléchissants du P 4N 3T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)
b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 4N 3T
Figure (4-22) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T : cas de Mpb= 200 kN.m
13.58 55.06
94.89 17.86
81.82 65.83 106.67 113.34
1.22 68.98 15.55 64.31
41.26 9.57 22.56
81.70 65.76 97.45
122.54 145.27
14.06
31.91
23.22
200
85.75
69.60
0.33
49.03
20.06
142.53 164.40
6.17 3.95
200
4.95
80.73 67.31 103.78
145.93 163.86
54.44 7.39 1.52
200
63.68 19.42 53.12
3.37
87.84 57.20 92.10
123.52 167.08
84.20 0.80 18.53
200
104.99 32.92 84.20
107.56
16.72 80.73 4.01
94.89
: Rotule plastique
1
3
2
4
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
98
4-2-7-2 Pr incipales constatations
L’analyse du portique P 4N3T après l’endommagement du poteau de rive fait
ressortir les constatations suivantes :
- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le
premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix sept les quatre dernières rotules apparaissant
simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-20) mais pour les deuxième
(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à quatre
(figures 4-21 et 4-22).
- L’emplacement et l’ordre des quatre premières rotules plastiques développées pour le
premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.
- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,
en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à
s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en
fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine
partielle.
- Les cinq rotules plastiques (8), (9), (10), (11) et (12) formées au niveau des poutres
du premier cas (figure 4-20-b) et ceux du deuxième et troisième cas pouvant être
considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la déformabil ité
globale de la structure). Dans ce cas les trois rotules plastiques considérées comme
bloquées (figure 4-21-b et 4-22-b).
- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin
en question en un mécanisme est de n= r + 1= 37. ce qui est, en fait, la condition de
mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas
satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.
4-2-7-3 Synthèse
- L’endommagement d’un poteau de rive n’entraîne pas l’ écroulement total de la
structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre
nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune
déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les quatre
rotules développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré
comme statique).
- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
99
4-3 Synthèse des synthèses
i. L’image instantanée après la rupture d’un poteau de base a été trouvée fortement
influencée par le rapport géométrico-mécanique l/Mpb. Le nombre de rotules développé est
proportionnel à l/Mpb (l’augmentation du rapport l/M pb prenant les valeurs suivantes 0.03 ;
0.034 ; 0.04 engendre une augmentation du nombre de rotules développé).
Par contre, le nombre de rotules développé est inversement proportionnel au Mpb
(l’augmentation du moment plastique de la poutre engendre une diminution du nombre de
rotules développé) et ceci pour les trois portiques et ce pour les deux cas étudiés à savoir
la rupture d’un poteau central et la rupture d’un poteau de rive.
- Endommagement d’un poteau central
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de six.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de six.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix huit.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de six.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de six.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix huit.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de sept.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de huit.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de vingt quatre.
- Endommagement d’un poteau de rive
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de trois.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de trois.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix douze.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de trois.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de trois.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de neuf.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de quatre.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de quatre.
Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix sept.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
100
Il est à noter que :
- Pour la rupture d’un poteau de base central la diminution du nombre de rotules
développé entre le cas de (l/Mpb = 0.04) et les deux cas de (l/Mpb = 0.034 ;l/M pb =
0.04) est de 66.67% et ceci pour les trois portiques témoins.
- Pour la rupture d’un poteau de rive la diminution du nombre de rotules développé
entre le cas de (l/M pb = 0.04) et les deux cas de (l/M pb = 0.034 ; l/Mpb = 0.04) est
respectivement de 75 et 76.46 %.
ii. La nature du poteau endommagé (de rive ou central) agit directement sur le nombre de
rotules développé ainsi que l’ordre et l’emplacement de ces dernières. Ce constat a été
observé pour les trois valeurs de l/Mpb.
- Cas de l/Mpb = 0.03 :
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de six.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de trois.
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de six.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de trois.
- L’endommagement d’un poteau central du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de sept.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de quatre.
- Cas de l/Mpb = 0.034 :
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de six.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de trois.
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de six.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
101
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de trois.
- L’endommagement d’un poteau central du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de huit.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de quatre.
- Cas de l/Mpb = 0.04 :
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de dix huit.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T, le nombre de rotules
développé est de douze.
- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de dix huit.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T, le nombre de rotules
développé est de neuf.
- L’endommagement d’un poteau central du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de vingt quatre.
- L’endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T, le nombre de rotules
développé est de dix sept.
ii i. L’effet du changement de la forme en élévation (le rajout d’un niveau ou le rajout d’une
travée) est identif ié par la disposition des rotules aux différentes sections ou zones
critiques de chaque portique étudié. La disposition des rotules est similaire pour chaque
cas du rapport géométrico- mécanique l/Mpb.
- Endommagement d’un poteau central : cas de (l/M pb = 0..04 et l/Mpb = 0.034), la
disposition des rotules est identique pour les trois portiques témoins.
- Endommagement d’un poteau central : cas de (l/M pb = 0..03), la disposition des
rotules est identique pour les deux portiques témoins P 3N 3T, P 3N 4T et
quasiment similaire pour le portique témoin P 4N 3T avec une rotule manquante
au niveau du nœud droit du quatrième niveau.
Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées
102
- Endommagement d’un poteau de rive : cas de (l/M pb = 0..04 et l/M pb = 0.034), la
disposition des rotules est identique pour les trois portiques témoins.
- Endommagement d’un poteau de rive : cas de (l/M pb = 0..03), la disposition des
rotules est identique pour les deux portiques témoins P 3N 3T, P 3N 4T et
quasiment identique pour le portique témoin P 4N 3T avec trois rotules
manquantes considérées comme bloquées.
iv. Il à noter que les rotules développées peuvent être assimilées à des rotules bloquées,
c’est-à-dire, sans influence sur la déformabilité de la structure (si comme si elles étaient
des rotules mécaniques directement incrustées dans la structures) et ceci pour les cas
d’endommagement suivants :
- Endommagement d’un poteau central
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de six.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de six.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de six.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de six.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de huit.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de sept.
- Endommagement d’un poteau de rive
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de trois.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de trois.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de trois.
Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de trois.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de quatre.
Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de quatre.
Chapitre 5 Conclusions et perspectives
103
5 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVE S
5-1 Introduction
Les conclusions de la présente recherche peuvent être scindées en deux grands axes :
Le premier est l’obtention de mécanismes de ruine et la construction de diagrammes
d’interaction pour un portique témoin non endommagé PT 3N 3T (port ique de base) et aussi
la mise en exergue des effets des paramètres censés être les plus influents sur le
comportement du portique témoin à savoir le rapport α=V/H ainsi que celui du rajout d’un
niveau ou le rajout d’une travée.
Le deuxième axe concerne l’analyse des images instantanées des trois portiques après
l’endommagement d’un poteau de base. L’étude a concerné l’endommagement d’un poteau
central et d’un poteau de rive distincte. Les effets du changement du rapport géométrico-
mécanique l/Mpb tout en gardant h/Mpc constant sont mis en valeur
5-2 Mécanismes de ruine des portiques non endommagés
i. Après l’analyse des trois portiques non endommagés pour la détermination des vrais
mécanismes de ruine par la méthode « pushover » il s’est avéré que le paramètre le plus
influent est le rapport α = V/H. il a un effet direct sur les mécanismes obtenus et les
charges de ruine. L’étude a révélé trois principaux intervalles de ‘α ’ où les principaux
changements sont constatés, l’étendue de ces intervalles est directement influencée par
la forme en élévation du portique (effet du rajout d’un niveau ou d’une travée).
Pour de faibles valeurs de ‘α’ : La prépondérance est aux « sway mechanisms »
localisée ou totaux.
Pour de grandes valeurs de ‘α’ : La prépondérance est aux « beam mechanisms »
localisée ou totaux.
Pour des valeurs intermidiaires de α où les mécanismes prépondrants sont des
« combined mechanisms » avec des combinaisons de quelques mécanismes élémentaires
y compris des « joint rotation mechanisms ».cette zone intermidiaire a été trouvée être
influencée aussi bien par le nombre de niveaux que par celui des travées.
Chapitre 5 Conclusions et perspectives
104
ii. Les rapports géométrico-mécanique à savoir l/Mpb et h/Mpc agissent directement sur la
nature des mécanismes de ruine et les charges de ruine. De ce fait L’étendue de chaque
intervalle est directement liée à la combinaison (l/Mpb et h/Mpc).
iii. La troisième condition celle de mécanisme (développement de n rotules plastiques où
n=r+1 pour que la structure se transforme en un mécanisme), en conformité avec les
trois théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures, n’est pas
impérativement satisfaite pour les portiques à plus d’une travée et plus d’un niveau.
Cette non satisfaction de la condition de mécanisme a été observée pour les cas où un
mécanisme élémentaire où la combinaison de deux où plusieurs mécanismes
élémentaires se seront développés. L’analogie avec le « Beam mechanism » d’un
portique à un niveau et une travée est édifiante (développement de trois rotules au lieu
de quatre nécessaires pour le portique). De ce fait la condition de mécanisme n’est
satisfaite que s’il n y a pas de ruine partielle d’une partie de la structure ou de plusieurs.
Les explications ont été données avec détail dans le chapitre.3.
iv. La construction de diagrammes d’interaction, dans la littérature, n’est préconisée que
pour des portiques simples « Single bay single storey », il s’est avéré qu’elle a été
possible aussi bien pour le portique témoin d’une travée et deux niveaux P 2N 1T étudié
par Boukeloua [2] que pour les portiques (P 3N 3T, P 3N 4T et P 4N 3T) analysés dans
la présente thèse. La principale conclusion, elle concerne la forme de la partie inclinée
des diagrammes d’interaction c'est-à-dire celle qui concerne les « combined
méchanisms » cette partie a révélé la présence de deux valeurs tampons (limites ou
frontières) pour le cas du P 2N 1T, trois valeurs tampons pour les portiques P 3N 3T et
P 3N 4T et quatre valeurs tampons pour le portique P 4N 3T.
5-3 Analyse de portiques endommagés
L’étude a révélé que l’obtention de l’image instantanée après l’endommagement d’un
poteau de base d’une structure en portique n’est pas une opération facile car elle nécessite tout
d’abord une connaissance approfondie sur les concepts de l’analyse plastique des structures
avec une grande maîtrise de l’outil i nformatique.
Chapitre 5 Conclusions et perspectives
105
L’étude fait ressortir les quelques principales conclusions suivantes :
i. L’i mage instantanée après la rupture d’un poteau de base a été trouvée fortement
influencer par le rapport géométrico-mécanique (l / Mpb prenant trois valeurs). Le
nombre de rotules développé est proportionnel à l/Mpb 0.03 0.034 0.04
(l’augmentation du rapport l/Mpb engendre une augmentation du nombre de rotules
développé), par contre, le nombre de rotules développé est inversement
proportionnel au Mpb (l’augmentation du moment plastique de la poutre engendre
une diminution du nombre de rotules développé) et ceci pour les trois portiques ainsi
que les deux cas étudiés à savoir la rupture d’un poteau central et la rupture d’un
poteau de rive.
ii. La nature du poteau endommagé (de rive ou central) agit directement sur le nombre
de rotules développé ainsi que l’ordre et l’ emplacement de ces dernières et ceci est
observé pour les trois les trois valeurs du rapport géométrico-mécanique l/Mpb.
L’effet du changement de la forme en élévation (le rajout d’un niveau ou le rajout d’une
travée) est caractérisé par la disposition des rotules aux diff érentes sections ou
zones critiques de chaque portique étudié. La disposition des rotules s’est avéré
être identique.
ii i. Il est à noté qu’un certain nombre de rotules peuvent être considérées comme des
rotules bloquées c'est-à-dire sans influence sur la déformabilité de la structure (c’est
comme si elles étaient des rotules mécaniques directement incrustées dans la
structure) et sans risques pour la structure endommagée.
iv. Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanism ». Les rotules ont
tendance à se développer au niveau des poutres et non des poteaux. Ce qui facilite
l’opération de réhabili tation (recréation du poteau et replâtrage des zones
endommagées).
v. La rupture accidentelle d’un poteau central ou d’un poteau de rive n’entraîne pas
l’écroulement total de la structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement
n’atteint pas le nombre nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).
Chapitre 5 Conclusions et perspectives
106
5-4 Perspectives
Le présent thème peut être développé dans plusieurs directions, et à notre sens, il y a
lieu de commencer par affiner et compléter ce qui a été réalisé dans le cadre de
l’accomplissement de la présente thèse en deux grandes parties :
Perspectives pour l’obtention des Mécanismes de ruine des portiques non endommagés :
i. Augmenter le nombre de sections critiques en augmentant le nombre des charges
concentrées verticales ou en utilisant carrément des charges uniformément réparties.
ii. Etablir une relation de l’étendue de chaque intervalle de, α, pour les différents
mécanismes de ruine en étudiant un nombre plus important de portiques pour les
valeurs tampons de α.
ii i. Elargissant l’ intervalle de variation pour les rapports géométrico-mécanique l/M pb et
h/Mpc.
Perspectives pour l’analyse des portiques endommagés :
i. Etudier (déterminer) un nombre plus important de portiques endommagés en faisant
changer la position du poteau endommagé au niveau des différents niveaux.
ii. Augmenter le nombre de sections critiques en augmentant le nombre des charges
concentrées verticales ou en utilisant carrément des charges uniformément réparties.
ii i. Analyser des portiques endommagés pour un taux d’endommagement de l’élément
endommagé (poteau ou poutre) donné.
iv. Elargissant l’ intervalle de variation pour les rapports géométrico-mécanique l/M pb et
h/Mpc.
v. Faire une étude sur les structures tridimensionnelles endommagées.
Annexe A Calcul du moment plastique
107
A. CALCUL DU MO MENT PLASTIQUE
A.1 Section en charpente métallique
A.1.1 Introduction
Soit une poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure dans le plan (X, Y) par un
couple de moment, M, figure (A.1)
Figure (A.1). Poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure
� Le moment fléchissant est uniforme sur la longueur de la poutre M(x) = M et l’effort
tranchant est nul T(x) = 0.
� En raison de la symétrie du problème, la courbure de la poutre déplacée est constante χ(x)
= χ uniforme et les sections droites avant déformation restent droites après déformation
(droites et perpendiculaires à la fibre moyenne).
� Le centre de courbure est commun à toutes les sections droites : la fibre moyenne se
déforme donc selon un cercle, figure (A.1.b).
Compte tenu de ces hypothèses, la déformation longitudinale varie linéairement ε = a. y + b.
En choisissant l’origine des Y, l’axe neutre, la déformation longitudinale devient ε = a. y.
Noter qu’a priori la position de l’axe neutre est inconnue :
� En élasticité, on montre que l’axe neutre est confondu avec l’axe moyen contenant le
centre d’inertie de la section droite.
� En flexion pure les sollicitations sont réduites à :
• L’effort normal est nul N = 0 ;
• Le moment fléchissant M ;
• L’effort tranchant T = 0.
Y
M M
X
a) poutre en flexion pure
Y
M M
X
b) déformée de la poutre
Rayon de courbure
Annexe A Calcul du moment plastique
108
Le moment fléchissant est calculé à partir du diagramme de contrainte normale dans le cas
d’un profilé à double plan de symétrie en flexion élasto-plastique pure figure (A.2).
Figure (A.2). Distribution des déformations relatives et des contraintes pour une section en CM
M y y ds y y b y dy y y b y dyvv
S v
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫∫∫ ∫++
( ) − 0
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )σσ σ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫
+ +
−
e
e
v v
v
dyM y y b y dy y y b y0
2 ( ) ( ) ( ) ( )σσ
Comme : χ
σχε
⋅==
Ev yy
e , donc : e
y
vE
σχ =⋅
Il vient :
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫
+ +
−
e
e
v v
v
yM E y b y dy y b y dy0
22 ( ) ( )σχ
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫
+
+
e
e
v
e v
y y b y dy y b y dyv
M0
2 ( ) ( )1
2 σ
A la limite, faisons tendre Ve vers 0 (la section est totalement plastifiée), ou ce qui revient au
même, faisons tendre la courbure χ vers l’ infini, alors le moment fléchissant tend vers une
limite Mp appelé moment plastique.
Y
Z
Zone plastique
Ve
-Ve
V
-V
Zone élastique
Zone plastique
ε
σy
σ
σy
ε(y) = + χ
c) Contraintes b) Déformations a) Section en CM
Annexe A Calcul du moment plastique
109
MMe
p v 0= lim
Une façon commode de calculer Mp est de le faire à partir du diagramme de contrainte limite
bi-rectangulaire (toute la section est plastifiée).
∫+
⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅v
p y ySM y b y dy0
22 ( ) σσ
Où S désigne le moment statique de la demi-section par rapport à l’axe moyen du profilé
complet.
On pose : Wpl = 2.S
Wpl : Module plastique.
Mp = Wpl . σy (A1.1)
Remarques :
Le moment plastique est une idéalisation, il ne peut jamais être réellement atteint car une
rupture des fibres les plus tendues (ou les fibres les plus comprimées) surviendra plutôt.
Les deux moments fléchissants seuils sont comparés entre eux en égard au comportement
élasto-plastique de la section droite.
� Le moment élastique, Me, est tel que la section droite est totalement dans le domaine
élastique, le diagramme de contrainte normale limite σy.
Si on désigne par :
I : moment d’inertie de la section.
21h
v = : la de mi-hauteur du profilé bi-rectangulaire.
Alors : lh
M ye 2
1
= ⋅σ
(A1.2)
� Le moment plastique Mp est tel que la section droite est totalement dans le domaine
plastique, le diagramme de contrainte étant bi-rectangulaire.
Mp = 2.S.σy (A1.3)
Annexe A Calcul du moment plastique
110
Mp/Me : est un rapport adimensionnel, il ne dépend que des caractéristiques de la section
droite. C’est le facteur de forme noté K.
Pour un profilé bi-symétrique, on a :
11 >⋅
= =I
S h
M
MK
e
p (A1.4)
A.1.2 Exemples
a) Section rectangulaire
Le profilé rectangulaire est soumis à l’action d’un moment fléchissant progressif
croissant, le diagramme des contraintes passe par les trois domaines élastique, élasto-plastique
et plastique représentés sur la figure (A.3).
Figure (A.3). Phasage de distribution des contraintes d’une section rectangulaire
i) Phase élastique :
On peut appliquer les lois de la résistance des matériaux
σ⋅=v
IM
σ : La contrainte sur la fibre la plus tendue (ou comprimée).
12
31 1b h
I⋅
= : Moment d’inertie de la section droite.
21h
v = : La demi-hauteur.
Donc : σ⋅= ⋅ ⋅ 216
1M b h
σ < σy σy σy
z
σy σy
σ
Ve
V
-V
-Ve
0
σ < σy
Phase élastique Phase élasto-plastique Phase plastique
h1
b1
Annexe A Calcul du moment plastique
111
La courbure est donnée par :
EvEIM
⋅= ⋅ ⇔ = σχχ
On définit le moment élastique tel que la contrainte maximale atteinte la limite élastique σy .
yhM b σ⋅= ⋅ ⋅ 216
1 (A1.5)
La courbure élastique correspondante est :
Ehy
e ⋅=
1
2σχ
ii) Phase élasto-plastique :
On calcule le moment fléchissant :
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫
+ +
+
e
e
v v
e v
y y b y dy y b y dyv
M0
2 ( ) ( )1
2 σ
+ −
⋅= ⋅ ⋅ ( )
3 2
12 21 2
31
ee
ey vv
bb v
vM σ
= ⋅ − )
3(
22
1e
y
vM b vσ
Et la courbure :
Ε⋅
=e
y
v
σχ
En domaine élastique :
eeM
M
χχ= avec : eχχ <
En domaine élasto-plastique :
= ⋅ −
−2
3
11
2
3
eeM
M
χχ
(A1.6)
On remarque que M tend vers Mp quand χ → + ∞.
Donc ici ep MM2
3= (le facteur de forme du profilé rectangulaire est égal à 2
3).
Annexe A Calcul du moment plastique
112
L’évaluation du moment fléchissant en fonction de la courbure est reportée dans un
diagramme adimensionnel figure (A.4)
Figure (A.4). Diagramme moment-courbure pour les deux types de sections b) Section en I type IPE La section en IPE est une section symétrique par rapport à l’ axe Y et à l’axe Z, la distribution
des contraintes est représentée sur la figure (A.5) ci-après.
Figure (A.5). Phasage de distribution des contraintes pour une section en I i) Phase élastique :
On peut appliquer les lois de la résistance des matériaux en régime élastique linéaire.
On calcul l’inertie du profilé :
( ) ( )22
13
131 2
263
2v e
b e b eI a v e −
⋅+
⋅= − +
Donc le moment élastique :
( ) ( ) ye y evv
eb
v
b ea v e
v v
IM σσ ⋅
−
⋅⋅
+⋅⋅
− +⋅
= = 213
131 2
3 6 2
2 (A1.7)
σ < σy
σ < σy
Phase élastique Phase élasto-plastique Phase plastique Section en I
σy
σy
σ
σy
σy
Y
AN
Ve
-Ve
V
-V
Z
e
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
16 18 2 4 0
M/Me
χ/χe
Section rectangulaire
Section en I
h1
b1
a1
Annexe A Calcul du moment plastique
113
Et la courbure correspondante:
Ε⋅=
vy
e
σχ
ii) Phase élasto-plastique :
Le moment fléchissant est obtenu par intégration des moments élémentaires produits par les
contraintes normales.
(A1.8)
Et la courbure correspondante vaut:
e
y
Ε ⋅ v=
σχ
Etablissant la courbe
e eM
M;
χχ
figure (A.4).
Donc :
( )
( ) ( )2
31
3
313
31
212 1
2
1
23 6 2
2
23
11
v ev
b e
v
b ev e
v
a
v
b aa v e
M
Me
e
e ⋅ −⋅⋅
+⋅⋅
− +⋅
−+ − ⋅
−
=
−
χχ
Comme exemple un cas particulier de l’ IPE 200.
10021= =h
v mm
b1 = 100 mm
a1 = 5.6 mm
e = 8.5 mm
22.18
1.8720.96
−
= e
eM
M χχ
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
+ −
+ −
e
e
v v e
v
v
v eey dyy b y dy y b y dy y b y
vM
0
2 ( ) ( ) ( )1
2 σ
( ) ( )
⋅ −
−= ⋅ = − + 11
22 21
2
2
22 b a
v ev v
aM e
y eσ
Annexe A Calcul du moment plastique
114
Le facteur de forme est obtenu quand la courbure tend vers l’infi ni.
15.1= = lim ≈∞e
xp
p
M
M
M
MK
Le facteur de forme est voisin de 1.
A.1.3 Conclusions
� Une fois le moment élastique atteint, une faible augmentation des solli citations provoque
la plastification des semelles, on atteint pratiquement le moment résistant.
� Dans la pratique on supposera donc :
1- Quant le moment plastique peut être effectivement atteint.
2- La poutre a un comportement élastique linéaire jusqu’à ce que le moment plastique soit
atteint.
Remarque :
L’étude des profilés dans le domaine élasto-plastique est limitée au cas des profi lés à deux
plans de symétrie dans ce cas l’axe neutre est confondue avec l’ axe moyen (axe du centre
d’inertie), qui est également l’axe de symétrie.
Le moment plastique d’un profilé vaut :
Mp = Wpl σy
On donne la valeur du module plastique Wpl pour une section en I fléchie par rapport à l’axe
parallèle ou perpendiculaire à l’âme, fi gure (A.6)
Figure (A.6). Module plastique d’une section en I
Y
Z
e
h1
b1
a1
Annexe A Calcul du moment plastique
115
- Section fléchie verticalement :
(par rapport à l’axe Z)
( ) ( ) eb a h eha
w Zpl ⋅+ − ⋅ −⋅
= 1 1 11
. 4
- Section fléchie transversalement :
(par rapport à l’axe Y)
( )4
22
21
1
2
.
ah e
e bw Ypl ⋅+ − ⋅⋅=
a1 : épaisseur de l’âme de la section.
b1 : largeur de la semelle.
e : épaisseur de la semelle.
h1 : hauteur de section.
A.2 Section non usuelle en béton armé
A.2.1 Introduction
La détermination du moment plastique d’une section non usuelle est basée sur les concepts de
la théorie générale. Cette dernière est basée sur les cinq hypothèses fondamentales :
a) La théorie de flexion pour le béton armé suppose que le béton se fissure dans les
régions des contraintes de traction et que, après fissuration, toutes les contraintes de
traction sont portées par les armatures. On suppose également que la section droite
d'une pièce demeure plane après déformation, de sorte qu'à travers la section la
distribution des déformations est linéaire.
b) L’état limite à la ruine est obtenu quand la déformation relative dans le béton εcc à la
fibre la plus comprimée atteint une valeur spécifique εcu (les principaux codes la
prennent égale à 3500.106).
c) A la rupture (image instantanée de la ruine), la distribution des contraintes de
compression dans le béton est définie par un bloc parabole-rectangulaire représente la
distribution à la rupture quand les déformations compressives sont dans la marge
plastique et elle est associée à la conception pour l'état limite ultime.
Annexe A Calcul du moment plastique
116
d) Le bloc rectangulaire équivalent de contrainte est une alternative simplifi ée à la
distribution parabole-rectangle, figure (A.7).
e) Car il y a une compatibil ité de déformations entre l’armature et le béton adjacent, les
déformations d'acier dans la traction, εst, et dans la compression, εsc, peuvent être
déterminées à partir du diagramme de déformations.
Remarque :
Ces hypothèses exigent que la section transversale ait un axe de symétrie vertical.
A.2.2 analyse de section non usuelle en utili sant l’Eurocode 2
Figure (A.7).Distribution des contraintes et des déformations pour une section non usuelle à l’E.L.U
Soit une section non usuelle en béton doublement armé sollicitée en flexion simple.
A partir de l’ équilibre interne :
Fsc + Fcc = Fst (A2.1)
De sorte que :
Fsc = 0.567fck Ac(x)
Fcc = f’ s A’s
Fst = fs As
Où f’ s et fs sont les contraintes dans les armatures tendues et comprimées
a) section non usuelle
εcc
εsc
Fst Fst εst
Fs
Fc
As
Ac(x)
d
d’ A’s 0.8x x
Axe
d) distribution des b) distribution des
Annexe A Calcul du moment plastique
117
Substituant, l’équation d’équilibre (A2.1) devient alors :
0.567fck Ac(x) + f’s A’ s = fs As (A2.2)
L’équation (A2.2) est une équation qui présente trois inconnues interdépendantes Ac(x), f’ s, fs,
qui ne peut être résolue que par la méthode d’essais successifs [6]
Les étapes à suivre dans cette méthode sont :
1) Fixer x initialement, il est préconisé de prendre une valeur égale à d/2.
2) Calculer εst et εsc par :
−=x
d xccst εε (A2.3)
et
−=x
x dccsc
'εε (A2.4)
Où d est la hauteur utile et d' est l’enrobage des armatures comprimées.
À l'état limite ultime la déformation maximale du béton comprimé est prise :
εcc = εcu = 0.0035
Après avoir déterminé les déformations, on peut évaluer les contraintes dans les armatures, f’ s
et fs à partir des diagrammes contraintes-déformations appropriées.
3) substituant x, f’ s et fs dans l’équation d’équil ibre (A2.2), si l’égalité est obtenue, x est une
solution , Si ce n'est pas le cas, le problème exigerait la solution en essayant des valeurs
successives de x jusqu’à ce que :
Fcc + Fcc = Fst
Une fois la profondeur de l’axe neutre est connue, l’équili bre est atteint, le moment ultime de
la section sera donné par :
a) Par rapport à la section des armatures tendues
(A2.5)
b) Par rapport au centre de gravité de la section de la partie comprimée du béton
(A2.6)
)F (d d' ) F .(d 0.4xA
Msc cc
s
u = ⋅ − + −
)'F (d 0.4x) F (0.4x dcdg
Mst sc
u = ⋅ − + −
RÉFÉRENCES BIBLIOG RAPHIQUES
[1]. BEROUAL. S, " caractérisation des sections en BA équivalents a la gamme des profil és IPE en utili sant la caractéristique des Matériaux adoptés par les Eurocodes 2 et 3". Thèse de Magister. Université de Skikda. Algérie (2008).
[2]. BOUKELOUA S. "Etude des mécanismes de ruine pour des structures multi-étagées". Thèse de Magister. Université de Skikda. Algérie (2008).
[3]. BOUKHLOUF. B, CHARIF .A.H, "Analyse élasto-plastique des structures planes
par la méthode des rotules plastiques". Thèse de Magister. Université de Batna. Algérie.
[4]. BOUSSAFEL S. "Analyse plastique d’éléments structuraux rectilignes en béton armé et en charpente métallique - Etude comparative". Thèse de Magister. Université de Constantine. Algérie (2003).
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