complexes[1]

7/24/2019 Complexes[1]

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Laurent Garcin MPSI Lyce Jean-Baptiste Corot

NOMBRES COMPLEXES

1 Corps C des nombres complexes

1.1 Construction de C

On munit R2 de deux lois internes + etde la manire suivante. Pour (a,b,c,d)R4, on pose

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) (c, d) = (ac bd,ad + bc)

On vrifie que R2 muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identifier le sous-corps R{0} de R2 aucorps R puisque pour tout (a, b)R2

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)(a, 0) (b, 0) = (ab,0)

On convient de noter Cle corps R2 et on appelle nombres complexesses lments.On convient galement de noter un couple (a, b)R2 sous la forme a + ib. En particulier, i = (0, 1) et

i2 = (0, 1)2 = (1, 0) = 1

Construction de C

Remarque. Lcriture dun complexe zsous la forme a+ib sappelle la forme cartsienne ou algbriquedez.La construction de Cmontre que la forme cartsienne est unique. Autrement dit, pour (a,b,c,d)R4

a + ib= c + id a= cb= d

De la construction de C, on dduit les rgles de calcul suivantes.

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc)

Rgles de calcul

Dfinition 1.1 Parties relle et imaginaire

Soit z= a+ib C avec (a, b) R2. Les rels a et b sont appels respectivement partie relle et partieimaginairede z. On note :

a= Re(z) et b= Im(z)

Remarque. Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un rel et un nombre complexe de partierelle nulle est un imaginaire pur.

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Proposition 1.1

Soit(z1, z2)C2. Alors

Re(z1+ z2) =Re(z1) +Re(z2) et Im(z1+ z2) =Im(z1) +Im(z2)

Soient Ret zC. AlorsRe(z) = Re(z) et Im(z) = Im z

Remarque. On peut rsumer ce qui prcde de la manire suivante :

(z1, z2)C2,(, )R2,

Re(z1+ z2) = Re(z1) + Re(z2)

Im(z1+ z2) = Im(z1) + Im(z2)

On dira plus tard que les applications Re :

C R

z Re(z) et Im : C R

z Im(z) sont des formesR-linaires.

Attention ! Soit (z1, z2)2 C. En gnral,

Re(z1z2)=Re(z1) Re(z2) et Im(z1z2)=Im(z1) Im(z2)Autrement dit, la partie relle (resp. imaginaire) dune somme est bien la somme des parties relles (resp.imaginaires) mais la partie relle (resp. imaginaire) dun produit nest pas en gnral le produit des partiesrelles (resp. imaginaires).

Dfinition 1.2

SoitzC. On pose z0 =1 etnN, zn =zz z

n fois

Si z

=0, on pose

nN, zn = 1zn

Attention ! On ne peut parler que de puissances entires dun nombre complexe. Si z C, des notationstelles que z

1

3 ouz3

2 nont AUCUN SENS.

1.2 Le plan complexe

Dfinition 1.3 Image dun complexe et affixe dun point ou dun vecteur

On munit le plan euclidien E dun repre orthonorm

R= (O,i,j).

x

y

u

M(x + iy) On appelle image du complexe z le point M de coordonnes(Re(z), Im(z))dans le repre orthonormR. On appelle affixe du point M de coordonnes (x, y) dans le repre

orthonormR le complexe z= x + iy. On appelle affixedu vecteur u= x+y le complexe z= x + iy.



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Remarque. On parle de plan complexe plutt que de plan euclidien quand on idientifie les points par leuraffixe plutt que par leurs coordonnes.

Exercice 1.1

Gomtriquement, quoi correspond lensemble des points M daffixeztels que Re(z) =a ou Im(z) =b o aetb sont des rels ?

Proposition 1.2

Soient A et B deux points daffixes respectifs a et b. Alors le vecteurABa pour affixe b a.

1.3 Conjugu dun nombre complexe

Dfinition 1.4 Conjugu dun nombre complexe

SoitzC. On appelle conjugu de zle nombre complexe zdfini par :

z= (z) i Im(z)

On a par consquentRe(z) =Re(z) et Im(z) = Im(z)

Proposition 1.3 Proprits de la conjugaison

SoitzC. On a les proprits suivantes. Re(z) =Re(z)et Im(z) = Im(z).

Re(z) =z+z

2 et Im(z) =

zz

2i .

z= z.

Mthode Caractrisation des rels et des imaginaires purs

Pour caractriser les rels et les imaginaires purs, on utilise souvent les proprits suivantes.

zest rel si et seulement si z= z.

zest imaginaire pur si et seulement si z= z.

Proposition 1.4 Conjugaison et oprations

Soit(z1, z2)C2. Alors

z1+ z2 = z1+z2 z1 z2 =z1 z2

z1z2 = z1 z2

z1z2

=

z1z2

si z2=0

Remarque. Ces proprits signifient que la conjugaison est un morphisme de corps (cest mme un isomor-phisme).



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M(z)

M(z)

Si zest laffixe dun point M, alors z est laffixe du symtriqueM de M par rapport laxe des abscisses.

Interprtation gomtrique du conjugu

1.4 Module dun nombre complexe

Dfinition 1.5 Module dun nombre complexe

SoitzC. Alors zzest un rel positif. On appelle modulede zle rel positif dfini par :

|z|=

zz

Proposition 1.5 Proprits du module

SoitzC. On a les proprits suivantes.

|z

|= Re(z)

2 +Im(z)2.

z= 0 si et seulement si|z|= 0.|z|=|z|. Si z=0, 1

z =

z

|z|2.

| Re(z)| |z| et | Im(z)| |z|.

Proposition 1.6 Module et oprations

Soit(z1, z2)C2.Ingalits triangulaires

|z1+ z2| |z1|+|z2| |z1 z2| ||z1||z2||De plus, |z1+ z2|= |z1|+|z2| si et seulement si il existe R+ tel que z1 = z2 ouz2 = z1.Module dun produit et dun quotient

|z1z2|=|z1| |z2|

z1

z2

=|z1||z2| si z2=0

Par rcurrence, on prouve galement que pour zCet nN,|zn|=|z|n.



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Remarque. A linverse de la partie relle et de la partie imaginaire, le module se comporte bien avec le produitmais pas avec la somme.

Attention ! On a bien |z1+ z2|= |z1|+|z2| R+ (z1 = z2 ou z2 = z1).En effet, si z1 = 1 et z2 = 0, on a bien |z1+z2|= |z1|+|z2| et z2 = z1 avec = 0 mais il nexiste videmmentpas de rel positiftel quez1 = z2.Nanmoins, si z1 et z2 sont tous deux non nuls, on peut se contenter dune des deux conditions z2 =z1 ou

z1 = z2.

Mthode

Pour mettre une fraction de deux complexes sous forme cartsienne, on multiplie le dnominateur par sonconjugu et on utilise le fait que pour zC, zz=|z|2.

Exercice 1.2

Mettre sous forme cartsienne les fractions suivantes.

2 i33 2i

, (2 + i)(3 + 2i)

2 i ,

3 +4i

(2 + 3i)(4 + i)

u

M(z)

O

Si zest un nombre complexe dimage le point M, alors|z|= OM.Si uest un vecteur daffixe z,|z|=u.

Interprtation gomtrique du module

Proposition 1.7

Si A et B sont deux points daffixes respectifs a et b, alors AB=|b a|.

Soient A un point daffixe a et rR+. Lensemble des points daffixes zvrifiant |z a|= r est le cercle de centre A et de rayon r. Lensemble des points daffixeszvrifiant|z a| rest le disque ferm (circonfrence incluse) de centre

Aet de rayon r.

Lensemble des points daffixes zvrifiant|z a|< rest le disque ouvert (circonfrence exclue) de centreAet de rayon r.

Cercles et disques en complexe

Exercice 1.3 Modules

Dterminer les nombres complexes ztels quez, 1/zet 1 + zsoient de mme module.



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O

A(z1)

B(z1+ z2)

O

(z1)

B(z2)

Lingalit triangulaire|z1+ z2| |z1|+ |z2|sin-terprte par OB OA + AB.

Lingalit triangulaire |z2 z1| ||z2||z1||sinterprte par AB |OB OA|.

Interprtation gomtrique de lingalit triangulaire

2 GroupeU des nombres complexes de module 1

2.1 Dfinition de U

Dfinition 2.1

On note U lensemble des complexes de module 1.

Remarque. Les proprits du module montre que U muni de la loi est un groupe.Remarque. Limage de Uest le cercle de centre Oet de rayon 1, cest--dire le cercle trigonomtrique.

Proposition 2.1

SoituC. AlorsuU

u U

1

u =u

Exercice 2.1 Des rels

Soient a et b de module 1 tels que a=b.1. Prouver que

1 + ab

a + b R.

2. Montrer que pour tout zC,z+ abz (a + b)

a b iR.

2.2 Notationei

Dfinition 2.2

Pour R, on note ei le complexe cos + i sin .

Proposition 2.2

Pour tout R, ei U. Rciproquement, pour tout zU, il existe R tel que u= ei. De manire pluscondense :

U =

ei, R



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Proposition 2.3 Conjugu de ei

SoitR. Alorsei =

1

ei =ei

Proposition 2.4 Relations dEuler

Pour R,cos =

ei + ei

2 et sin =

ei ei

2i

Proposition 2.5

Soit(1, 2)R2. Alors on a ei(1+2) =ei1ei2 ,

ei(12) = ei1

ei2.

Soient Ret n

Z. Alors

ein =eni

Remarque. En passant aux parties relle et imaginaire dans lgalitei(a+b) =eiaeib, on retrouve les formulesdaddition pour sin et cos.

La premire assertion signifie que lapplication R U, ei est un morphisme de groupes.Soit (G, ) et (H, ) deux groupes et : GH. On dit que est un morphisme de groupes si

g1, g2G, (g1 g2) =(g1) (g2)

Morphisme de groupes

Attention ! Lgalit

ein

=eni nest valable que pourn Z. Lexpression ein na dailleursAUCUNSENS si n / Z. Par piti, vitez-moi les horreurs du style suivant :

ei =e

22i =

e2i

2 =1

2 =1

Autrement dit, U serait gal {1}, ce qui est manifestement faux.

Proposition 2.6 Formule de Moivre

Pour Ret n Z,(cos + i sin )n =cos n + i sin n

Proposition 2.7

Soit(1, 2)R2.ei1 =ei2 12[2]



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Mthode Formule de larc moiti

Il sagit de factoriser une somme ou une diffrence de deux complexes de module 1. Pour (a, b)R2,

eia + eib =eia+b

2

ei

ab

2 + eiab

2

= 2 cos

a b

2

ei

a+b

2

eia

eib

=eia+b

2 eiab

2

eiab

2 = 2i sin

a b2

eia+b

2

On retiendra en particulier que pourtR,

1 + eit =2 cost

2eit

2

1 eit = 2i sint

2eit

2

Remarque. En passant aux parties relle et imaginaire dans les formules de larc-moiti, on retrouve lesformules de factorisation de cos a

cos b et sin a

sin b.

2.3 Argument dun complexe non nul

Si zC \ {0}, alors z|z| U. Daprs ce qui prcde, il existe Rtel que z|z| =ei.

Dfinition 2.3 Argument dun complexe non nul

Soitzun complexe non nul. Tout rel tel que z=|z| ei est appel un argumentde z.

Proposition 2.8

Soient z

C \ {0}et 0 un argument de z. Lensemble des arguments de zest

0+ 2Z ={0+ 2k,k Z}

Proposition 2.9

Soit(z1, z2)(C)2. Alorsz1 = z2

|z1|= |z2|

arg(z1)arg(z2)[2]

Remarque. Il existe donc une infinit darguments dun complexe non nul. On sait cependant que tous cesarguments diffrent dun multiple entier de 2: on dit alors que largument dun complexe est dfini modulo2. Si est un argument dun complexe non nul z, on note

arg(z)[2]

De plus, tout complexe non nul admet un unique argument dans lintervalle ] , ] : on lappelle largumentprincipal.

Remarque. Tout complexe non nul zpeut donc scrire sous la forme rei avec r un rel positif et R.Alors r est ncessairement le module dezet un argument de z. Lcriture sous la formerei sappelle la formetrigonomtriqueou polairede z.



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Exercice 2.2

Mettre sous forme trigonomtrique les complexes suivants :

1 + i,

3 + i

i 1 ,

6 + i

2

2 + 2i

Exercice 2.3 Puissances

Calculern pour = 1+i3

1+i et n N.

Attention ! Dans lcriture dun complexe z sous forme trigonomtrique rei, on exige que r soit un rel

positif. Ainsi 2ei

4 nest pas la forme trigonomtrique de

2 i

2. Sa forme trigonomtrique est 2ei5

4 .

Proposition 2.10

Soient z1, z2 deux complexes non nuls. Alors

arg(z1z2)arg(z1) +arg(z2)[2] et argz1z2arg(z1) arg(z2)[2]Par rcurrence, on a galement pour zC \ {0} et n Z,

arg(zn)n arg(z)[2]Notons galement que pour zC \ {0},

arg(z) arg(z)[2] et arg(z)arg(z) + [2]

Mthode Caractrisation des rels et des imaginaires purs par largument

SoitzC

. zest rel si et seulement si arg(z)0[]. zest imaginaire pur si et seulement si arg(z)

2[].

u

M(z)

arg(z)

O

Si zest un nombre complexe non nul dimage le pointM, alors arg(z)

est une mesure de langle orient(,OM).Si uest un vecteur non nul daffixe z, alors arg(z) est une mesure de

langle orient (, u).

Interprtation gomtrique de largument

Proposition 2.11 Lien avec les coordonnes polaires

Le point M daffixe ei a pour coordonnes polaires[, ].



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Proposition 2.12

SoientA et B deux points distincts daffixes respectifsa et b. Alors arg(b a)est une mesure de langle orient

(,AB).

Exercice 2.4

Soient A un point daffixe a et R. Quel est lensemble des points dont laffixe zvrifie :1. arg(z a)[2] ?2. arg(z a)[] ?

Proposition 2.13

Soient #uet #v deux vecteurs non nuls daffixes respectifsz1 et z2. Alors argz2z1

est une mesure de langle orient

( #u, #v ).

Corollaire 2.1

Soient A, B et M trois distincts points daffixes respectifs a, b et z. Alors arg

z b

z a

est une mesure de

langle orient (MA,

MB).

2.4 Racines nmes de lunit

Dfinition 2.4 Racines nmes de lunit

Soitn N. On appelle racine nme de lunit tout nombre complexe tel que zn =1. Ce sont des lmentsdeU

. On noteU

n lensemble des racines n

mes

de lunit.

Remarque. (Un, ) a une structure de groupe. Cest un sous-groupe du groupe (U, ).

Proposition 2.14

Il existe exactementnracines nmes de lunit qui sont les complexes

k = ei2k

n avec k0, n 1

De manire plus condense,

Un = ei2kn , k Z = ei2kn , k0, n 1

Remarque. On peut remplacer 0, n 1 par tout ensemble de n entiers conscutifs.

Remarque. Les k sont toutes des puissances de = 1 = ei2n . Plus prcisment, k =

k.

Exemple 2.1

Les racines cubiques de lunit sont 1, j et j2 avec j = e2i

3 .



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0

1

23

4

5

6

7 8

9

Les images des racines nmes de lunit sont dis-poses rgulirement sur le cercle trigonomtrique

(sur la figure,n = 10). Elles sont les sommets dunpolygone rgulier n cts.

Interprtation gomtrique des racines nmes de lunit

Exercice 2.5

Dterminer la somme et le produit des racines nmes de lunit.

Remarque.Gomtriquement, il est facile de voir que la somme des racines n

mes

de lunit est nulle puisquele centre de gravit du polygne rgulier n cts inscrit dans le cercle trigonomtrique est lorigine, qui a pouraffixe 0 (cf. plus loin lexpression du barycentre en complexes).

Dfinition 2.5 Racines nmes dun complexe non nul

Soient a un complexe non nul et nN. On appelle racine nme deatout complexe ztel quezn =a.

Proposition 2.15

Soient a un complexe non nul et nN. Si z0 est une racine nme de a alors lensemble des racines nmes deaest

z0Un = {z0, Un}

Corollaire 2.2

Soita un complexe non nul de moduler et dargument et nN. Alorsa admet exactementn racinesnmesqui sont

r1

n ei(

n+2k

n ) avec k0, n 1

Remarque. Le rel r1

n peut aussi se noter n

r.

Mthode Dterminer les racinesnmes dun complexe

Pour dterminer les racines nmes dun complexe a, on met a sous forme trigonomtrique et on utilise lecorollaire prcdent.

Exercice 2.6

Dterminer les racines 5mes de 4.



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Exercice 2.7 Deux quations

Rsoudre dans Cles quations suivantes

1. (z+ i)3 + iz3 =0 ; 2. z4 z3 + z2 z+ 1= 0.

3 Equations du second degr

3.1 Racines carres dun complexe

Proposition 3.1 Racines carres dun complexe

Tout complexe non nul admet deux racines carres opposes.

Remarque.

Le complexe 0 nadmet que lui-mme comme racine carre.

Si aest un rel strictement positif, les racines carres de a sont

a et

a.

Si aest un rel strictement ngatif, les racines carres de a sont ia et ia.

Attention ! La notation

ana de sens que pouraR+ : on prendra garde ne jamais crire

zsi zest uncomplexe quelconque. Par ailleurs, un complexe admet en gnral deux racines carres : on parlera donc duneracine carre dun complexe et non de laracine carre dun complexe.Quand on parle de la racine carre dun rel positif, cest quon parle de sa racine carre positive. Dans le cascomplexe, rien ne nous permet de diffrencier les deux racines (pas de relation dordre).

Il existe deux mthodes pour dterminer en pratique les racines carres dun complexe.

Mthode Racines carres : mthode trigonomtrique

Si on connat la forme trigonomtrique dun complexe non nul z = rei, alors les racines carres de z sontrei2 .

Mthode Racines carres : mthode algbrique

Soit Z = X+ iY une racine carre dun complexe non rel z = a+ ib (X,Y,a,b sont des rels). On a doncZ2 =z. On considre la partie relle et le module de Z2 etzet on obtient

X2 Y2 =a et X2 + Y2 =

a2 + b2

On dtermine les valeurs de X2

et Y2

, ce qui nous donne 4 solutions possibles pour le couple (X, Y). De plus,en considrant la partie imaginaire de Z2 et z, on a 2XY = b. Donc XY est du signe de b et on a finalementplus que 2 solutions.

Exercice 3.1

Dterminer les racines carres de 1+ i par la mthode algbrique et par la mthode trigonomtrique. Endduire des valeurs de cos

8, sin

8 et tan

8.



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3.2 Rsolution des quations du second degr

Proposition 3.2 Equation du second degr coefficients complexes

Soient a, b, ctrois complexes avec a=0. Considrons lquation

az2 + bz+ c= 0

et = b2 4acson discriminant.

Si =0, lquation admet deux racines distinctes

z= b

2a

o est une racine carre de .

Si = 0, alors lquation admet une racine double

z= b

2a

Proposition 3.3 Equation du second degr coefficients rels

Soient a, b, ctrois relsavec a=0. Considrons lquation

az2 + bz+ c= 0

et = b2 4acson discriminant.

Si > 0, lquation admet deux racines rellesdistinctes

z= b

2a

Si < 0, lquation admet deux racines complexesdistinctes et conjugues

z= b i

2a

Si = 0, alors lquation admet une racine relledouble

z= b

2a

Exercice 3.2

Rsoudre dans Clquationz2 (1 + i)z+ 2 + 2i= 0.

Comme pour le cas rel, on a un lien entre les racines dune quation du second degr et ses coefficients.

Proposition 3.4 Lien coefficients-racines

Soient a, b, c trois complexes avec a=0. Alors deux complexes z1 et z2 sont solutions de lquation az2 +bz+ c= 0 si et seulement si

z1+ z2 = b

a et z1z2 =

c

a

Lexemple suivant est classique et connatre.



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Exemple 3.1

SoitR. Les racines de z2 2 cos + 1= 0 sont ei et ei.

4 Complexes et gomtrie

4.1 Colinarit, paralllisme, alignement et orthogonalit

Proposition 4.1 Colinarit et orthogonalit de vecteurs

Soient uet v deux vecteurs daffixes respectifs z1 et z2. Alors

uet v colinaires z2z1

R(si z1=0) z1z2 R ; uet v orthogonaux z2

z1iR(si z1=0) z1z2iR.

Proposition 4.2 Paralllisme et perpendicularit de droites

Soient A, B, C et D quatre points daffixes respectifs a, b, c et d. On suppose A=B et C=D. Alors (AB) et (CD)parallles d c

b a R (d c)(b a) R ;

(AB) et (CD)perpendiculaires d cb a

iR (d c)(b a)iR.Proposition 4.3 Alignement et angle droit

Soient A, B, C trois points daffixes respectifs a, b, c. Alors

A, B, C aligns

c a

b a R(si A et B sont distincts)

(c a)(b a) R ;

BAC est un angle droit c ab a

iR(si A et B sont distincts) (c a)(b a)iR.Exercice 4.1

Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que les points daffixes 1, z2 etz4 soient aligns.

4.2 Transformations gomtriques

Dfinition 4.1

On appelle similitude directede centre, dangle et de rapport, la composes de la rotationr de centre et dangle et de lhomothtiehde centre et de rapport . De plus, r et hcommutent i.e.

s= h r= r h



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Proposition 4.4

Soitfune transformation du plan.

Si f est la translation de vecteur #u, alors f associe tout point daffixe zle point daffixe z+b o best laffixe de #u.

Si f est la similitude directe de centre , dangle et de rapport, alorsf associe tout point daffixez le point daffixe ei(z ) + o est laffixe de .

Proposition 4.5

Soit(a, b)CC. Notons f : M(z)M (az+ b). Si a = 1, alors f est la translation de vecteur daffixe b.

Si a= 1, alors il existe un unique C tel que = a+ b. f est la similitude de centre (),dangle arg(a) et de rapport|a|.

Remarque. Si aU \ {1}, alors fest une rotation de centre .Si aR \ {1}, alors fest une homothtie de centre.

Exercice 4.2

Dterminer les complexes ztels que z, z2 etz3 forment un triangle quilatral.

Proposition 4.6

LapplicationM(z)M (z) est la symtrie par rapport laxe des abscisses.Exercice 4.3

A quelle application de C dans C sont associes

a. la symtrie par rapport lorigine,

b. la symtrie par rapport laxe des ordonnes,

c. la symtrie par rapport la premire bissectrice ?

5 Applications la trigonomtrie

5.1 Linarisation

Mthode Linarisation de cosm sinn

Il sagit dexprimer cosm sinn comme une combinaison linaire de cos k et sin k avec k N. On utilisepour cela les relations dEuler. On crit

cosm sinn =

ei + ei

2

mei ei

2i

n

puis on dveloppe et on regroupe les termes conjugus.



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Exercice 5.1

Linariser sin4 .

5.2 Dveloppement

Mthode Dveloppement de cos n et sin n

Il sagit dexprimer cos nou sin nen fonction de puissances de cos et sin . On utilise pour cela la formulede Moivre. On crit

cos n + i sin n= (cos + i sin )n

puis on dveloppe et on considre les parties relle et imaginaire.

Exercice 5.2

Dvelopper cos 5et sin 5.

En utilisant la formule de Moivre, on prouve que pour tout nN, il existe un unique polynme Tn vrifiantTn(cos ) =cos(n)pour tout R. Plus prcisment

Tn =

02kn

(1)k

n

2k

Xn2k(1 X2)k

On peut galement vrifier que la suite (Tn) est dfinie par T0 = 1, T1 = X et par la relation de rcurrenceTn+2 = 2XTn+1 Tn.

Polynmes de Tchebycheff

5.3 Sommes trigonomtriques

Il sagit de sommes faisant intervenir les fonctions trigonomtriques. Une ide gnrale est de considrer lasomme calculer comme la partie relle ou imaginaire dune somme faisant intervenir des exponentielles complexesqui sera peut-tre plus facile calculer.



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Mthode Sommes trigonomtriques

On traite un exemple standard savoir le calcul des sommes :

Rn =

nk=0

cos(k + ) et In =n

k=0

sin(k + )

o et sont deux rels. Pour cela, on pose :

Sn =

nk=0

ei(k+)

et on remarque que Rn = Re(Sn) et In = Im(Sn). On crit dabord que :

Sn = ei

nk=0

eik

et on remarque que la somme est une srie gomtrique de raison ei. On doit alors distinguer deux cas.

Cas ei =1 i.e.

0[2].

Alors on a videmmentRn = (n + 1) cos et In = (n + 1) sin .

Cas ei =1 i.e. 0[2].Alors

Sn= ei e

i(n+1) 1

ei 1

On utilise la formule de larc moiti et on obtient :

Sn = ei(+n2 )

sin (n+1)2

sin 2

On obtient donc :

Rn = cos

+n

2sin (n+1)

2

sin 2

etIn = sin

+n

2sin (n+1)

2

sin 2

.

On peut tre amen effectuer une linarisation prliminaire.

Exercice 5.3

Simplifiern

k=0

cos2 k.

5.4 Pour nos amis physiciens

Proposition 5.1

Soit(a, b)R2. On crit z= a + ib sous forme trigonomtrique : z= rei. Alors

R, a cos + b sin = r cos( )



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6 Exponentielle complexe

6.1 Dfinition

Dfinition 6.1

SoitzC. On dfinit lexponentielle de zpar :

ez =e(z)ei Im(z)

Remarque. Lexponentielle complexe prolonge lexponentielle relle dans le sens o ces deux exponentiellesconcident sur R.

6.2 Proprits

Lexponentielle complexe a les mmes proprits que lexponentielle relle.

Proposition 6.1 Proprits de lexponentielle

Soit (z1, z2)

C2. Alors ez1+z2 =ez1ez2 .

Soit zC. Alors ez =0 et 1ez

=ez.

Remarque. Ces proprits reviennent dire que lexponentielle complexe est un morphisme de groupes de(C, +)dans (C, ).

On a dautres proprits lies au corps C.

Proposition 6.2 Module et argument

SoitzC. Alors|ez|= eRe(z) et arg(ez)Im(z)[2].

Proposition 6.3

Pour tout zC, il existe zCtel que ez =Z. Pour tout (z1, z2)C2, ez1 =ez2 k Z, z2 = z1+ 2ik.

Remarque. Tout nombre complexe non nul admet donc au moins un antcdent (en fait une infinit) parlexponentielle complexe : on dit que lexponentielle complexe est surjective sur C.Pour ZC, lquation ez =Z dinconnue zC admet une infinit de solutions dans C. De plus, deux de cessolutions diffrent dun multiple entier de 2i.

Exercice 6.1

Rsoudre dans C:ez =1 + i

3

Exercice 6.2

Rsoudre dans Cles quations :ez + ez =1 et ez + ez =2i

complexes[1]

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