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LES NOMBRES COMPLEXESPLAN

I : Dfinition des complexes1) Historique2) Dfinition3) Conjugaison4) Module et ingalit triangulaire5) Argument

a) Dfinitionb) Forme trigonomtriquec) Exponentielle complexed) Formule d'Eulere) Cercle unit

II : Utilisation des complexes1) Formule de Moivre2) Linarisation3) Rduction de acos(q ) + bsin(q )4) Racines d'un complexe

a) racine carre, mthode algbriqueb) racine nme : mthode trigonomtriquec) racines nme de l'unit

5) Interprtation gomtrique

I : Dfinition des complexes

1 HistoriqueLes nombres complexes, tels que nous les utilisons aujourd'hui, datent du XIXme sicle. Ils taientcependant connus et utiliss depuis plusieurs sicles sous le nom de nombres imaginaires (terme quiest rest dans l'expression "partie imaginaire"). Ils sont apparus lorsque l'on a essay de rsoudre lesquations du 3me degr. Ces quations donnrent lieu de nombreux travaux de la part desalgbristes arabes du Moyen-Age, en particulier Ibn Al-Haytham qui rsout des quations de ce typepar intersections de coniques, Omar Khayyam qui tente des rsolutions par radicaux, Al-Tusi et Al-Kashi qui proposent des mthodes de rsolution approches. Cependant, le premier avoir rsolualgbriquement des quations du 3me degr du type x3 + px = q ( p > 0, q > 0) semble tre ScipioneDel Ferro (1465-1526), professeur l'universit de Bologne, vers 1500. Il ne publia pas sadcouverte mais la transmit son lve Antonio Maria Fior et son gendre Annibale della Nave. En1531, Tartaglia (1500-1557), soit la lumire d'une indiscrtion, soit par sa propre invention, appritgalement rsoudre les quations du 3me degr. Croyant une imposture, Fior lana en 1535 undfi public Tartaglia. A la fin du temps imparti, Tartaglia avait rsolu toutes les quations de Fior,alors que celui-ci ne put en rsoudre une seule de Tartaglia. La supriorit de Tartaglia provient dufait que ce dernier savait rsoudre les quations du type x3 + px2 = q, chose que Fior ne savait pas

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faire. En 1539, Tartaglia accepta de dvoiler son secret Cardan (1501-1576). Ce dernier, la suited'une visite que lui fit della Nave en 1542, s'estima libr du serment prt Tartaglia et publia lamthode de rsolution en 1545 dans son ouvrage Ars magna, malgr la colre de Tartaglia. Un lvede Cardan, Ludovico Ferrari (15221565), parvint rsoudre les quations du 4me degr. Signalonsqu'on ne peut rsoudre n'importe quelle quation algbrique par radicaux. C'est impossible pour laplupart des quations du 5me degr, par exemple x5 + x a = 0, avec a = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 ...x

5 + x 6 est rsoluble, mais simplement parce qu'il se factorise en (x2 x + 2)(x3 + x2 x 3).

Voici comment procde Cardan. Considrant l'identit :(a + b)3 = 3ab(a + b) + a3 + b3

Cardan explique en 1545 comment rsoudre les quations du type :x

3 = px + q

en posant ab = p3 et a3 + b3 = q. Ayant trouv a et b, une solution est donne alors par a + b.

Exemple 1 : Rsoudre x3 = 18x + 35.

ab = 6a

3 + b3 = 35

a3b3 = 63 = 216

a3 + b3 = 35

Donc a3 et b3 sont racines de l'quation X2 35X + 216 = 0, savoir 8 et 27. Donc a = 2 et b = 3.Une solution de l'quation initiale est donc 5. Les autres solutions sont trouves en factorisant :

x3 18x 35 = (x 5)(x2 + 5x + 7) etc...

(Les quations du second degr discriminant ngatif sont considres comme n'ayant pas desolution l'poque).

Exemple 2 : Rsoudre x3 = 15x + 4

ab = 5a

3 + b3 = 4

a3b3 = 53 = 125

a3 + b3 = 4

Donc a3 et b3 sont racines de l'quation X2 4X + 125 = 0. Cette quation admet un discriminantngatif. Elle est donc rpute ne pas avoir de solution. Est-ce dire que l'quation initiale n'admetpas non plus de solution ? Si. Toute quation du troisime degr admet au moins une solution(pourquoi ?). Ici, 4 est racine vidente. Bombelli (1526-1573) eut l'ide de penser que les parties"impossibles" ou imaginaires devaient s'liminer pour redonner la racine relle. Il crivit donc :

a3 = 2 + 121 = 2 + 11 1 a =

32 + 11 1

b3 = 2 121 = 2 11 1 b = 3

2 11 1

et 4 = 3

2 + 11 1 + 3

2 11 1

De fait, on peut vrifier que :(2 + 1)3 = 8 + 12 1 6 1 = 2 + 11 1

de sorte que la solution de Cardan vaut galement (2 + 1) + (2 1), ce qui donneeffectivement 4. Les solutions sont, en notation moderne :

a = 2 + i et b = 2 i a + b = 4a = (2+i)j et b = (2i)j2 a + b = 2 3a = (2+i)j2 et b = (2i)j a + b = 2 + 3

o j = exp(2i p3 ) est racine cubique de 1. Les trois racines trouves sont bien racines de :

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x3 15x 4 = (x 4)(x2 + 4x + 1)

Bombelli fut donc le premier introduire une notation proche de notre notation moderne. Maisl'utilisation des nombres imaginaires a mis plusieurs sicles avant de s'imposer. Girard (1595-1632)dclare en 1629, dans son Invention nouvelle en algbre :

On pourrait dire quoi servent ces solutions qui sont impossibles1, je rponds pourtrois choses, pour la certitude de la rgle gnrale, et qu'il n'y a point d'autressolutions, et pour son utilit.

Mais ses vues avances l'poque n'ont gure eu d'influence.

Il faut attendre le XIXme sicle pour que les nombres imaginaires soient universellement adopts.La reprsentation gomtrique des nombres complexes par les points du plan joue un grand rle danscette acceptation, le support gomtrique apportant une caution aux yeux de nombreuxmathmaticiens de l'poque.

En 1799, Wessel (1745-1818) qui est arpenteur, introduit un axe imaginaire perpendiculaire l'axe rel. Il note e pour 1, et interprte les vecteurs du plan comme des nombres complexes.

Argand (1762-1822), quant lui, interprte en 1806 les nombres ngatifs comme ayant unedirection oppos aux nombres positifs. A cette poque, on note encore a : b :: c : d pour dsigner lefait que la grandeur a est la grandeur b ce que la grandeur c est la grandeur d. Argand note doncque 1 : 1 :: 1 : 1 et que 1 : 1 :: 1 : 1, savoir, 1 est 1 ce que 1 est 1, et 1 est 1 ce que1 est 1. Il se demande alors quelle quantit x vrifiera 1 : x :: x : 1, savoir, 1 est x ce que xest 1. Il a l'ide de se placer dans le plan et de voir que la quantit x est celle qui est orthogonale la droite dfinissant 1 et 1. x joue videmment ici le rle du complexe i. Il propose d'abandonnerle qualificatif d'imaginaire, et de qualifier x de quantits mdianes.

Mais les mmoires de ces deux auteurs resteront confidentiels. Celui de Wessel, figurant dansles Mmoires de l'Acadmie des Sciences du Danemark, passera compltement inaperu, et ne seratraduit en franais qu'en 1897. Celui d'Argand aura plus de chance, puisqu'il fera l'objet d'articlesdans les Annales de Gergonne en 1813-14. Les complexes prendront dfinitivement leur statutmoderne grce l'influence de Gauss (1777-1855), dont le renom dpasse de loin celui desprcdents personnages. Dj en 1799, Gauss utilise implicitement le plan complexe dans sa thse.En 1811, il crit2 :

De mme qu'on peut se figurer le domaine entier de toutes les grandeurs relles aumoyen d'une ligne droite illimite, de mme on peut rendre perceptible le domaineentier de toutes les grandeurs, relles et imaginaires, au moyen d'un plan illimit, otout point, dtermin par son abscisse a et son ordonne b, reprsente en quelque sortela grandeur a + bi.

Et en 18313 :Si on a considr jusqu' prsent ce sujet d'un point de vue erron, et qu'on y a trouvune mystrieuse obscurit, c'est en grande partie imputable des appellationsinappropries. Si l'on avait qualifi +1, 1, i non pas d'unit positive, ngative, etimaginaire (ou mme impossible), mais plutt d'unit directe, inverse, et latrale, lepropos n'aurait presque pas t obscurci.

ou encore4 :Aussi longtemps que les quantits imaginaires taient bases sur la fiction, ellesn'taient pas pleinement acceptes en mathmatiques, mais plutt regardes commequelque chose que l'on devait tolrer ; elles taient loin d'avoir acquis le mme statut

1 Il s'agit des nombres complexes

2 Gauss, Lettre Bessel du 18 dcembre 1811, Werke 8, p.90-92

3 Gauss, Werke 2, p.177-178

4 Gauss, Werke 10, p.404

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que les quantits relles. Il n'y a plus aucune justification une telle discrimination,maintenant que la mtaphysique des nombres imaginaires a t pleinement claire, etqu'il a t montr qu'ils avaient une signification aussi relle que les nombres ngatifs.

C'est partir de cette poque que Gauss emploie le terme "complexe" en lieu et place du terme"imaginaire". C'est galement au cours du XIXme sicle que les nombres complexes commencent tre largement utiliss en physique.

2 DfinitionL'ensemble des complexes

est en bijection avec 2. Ses lments sont nots z = a + ib, pour a et brels. a est la partie relle, b la partie imaginaire. i est un symbole n'ayant d'autre but que dedistinguer partie relle Re(z) = a de sa partie imaginaire Im(z) = b. Les rgles de calculs sont lesrgles usuelles de la somme et du produit, avec la rgle i2 = 1. La notation i est due Euler (1707-1783). Ces rgles donnent une structure appele corps, comme ou . Dans un corps, il y adeux oprations, somme et produit, et tout lment non nul z = a + ib possde un inverse :

z1 = a iba

2 + b2

comme on le vrifie facilement.

Depuis Gauss (1777-1855), on a adopt une reprsentation gomtrique des complexes. Si on munitle plan d'un repre orthonorm, alors le complexe z = a + ib peut se reprsenter : par le vecteur de composantes (a,b), vecteur dit d'affixe z. par le point de coordonnes (a,b), point dit d'affixe z.

3 ConjugaisonOn dfinit une application de dans par :

z = a + ib fi z = a ib, conjugu de z.Cette application correspond gomtriquement une symtrie orthogonale par rapport l'axe desabscisses. Il s'agit d'une involution (sa compose avec ellemme est gale l'identit).

On vrifie facilement que l'on a les rgles de calcul suivantes :z +

z' =

z + z' z

z' =

z z' z = -z 1/z = 1/z

Re(z) = z + z

2 Im(z) = z z

2i

4 Module et ingalit triangulaireLe module de z = a + ib est z = a2 + b2 . Il s'interprte gomtriquement comme la norme

euclidienne du vecteur d'affixe z ou comme la distance du point d'affixe z l'origine. De mme, z aest la distance du point d'affixe z au point d'affixe a. Ainsi, R tant un rel strictement positif, {z,z a < R} est le disque (dit ouvert) de centre a de rayon R. L'ensemble {z, z a R} s'appelledisque ferm de centre a de rayon R.

On vrifie facilement les rgles de calculs suivantes :

zz' = z z' z = z zz = z 21z =

z

z 2

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z = 0 z = 0 Re(z) z Im(z) z

Seule l'ingalit triangulaire z z' z + z' z + z' est non vidente. Elle dcoule de la mme

proprit dans le plan euclidien. On peut aussi la dmontrer directement de la faon suivante :z + z' z + z'

z + z' 2 ( z + z' )2

z 2 + z

z' + z z' + z' 2 z 2 + 2 z z' + z' 2

z

z' + z z' 2 z z'

On reconnat dans le membre de gauche le double de la partie relle de z z'.

Re(z z') z z' ce qui est vrai car Re(z z') z z'

On a l'galit z + z' = z + z' si et seulement si Re(z z') = z z' , donc si et seulement si il existe l relpositif ou nul tel que z z' = l ce qui est vrifi si et seulement si z' = 0 ou z z'2 = l z'. Cette dernirerelation est vrifie si et seulement si z et z' sont colinaires de mme sens.

Quant la premire ingalit, elle dcoule de la deuxime de la faon suivante :z = z + z' z' z + z' + z'

z z' z + z'

De mme en intervertissant les rles de z et z'.

5 Argumenta) Dfinition :L'argument d'un complexe non nul z est une mesure j de l'angle (i,v) o v est le vecteur d'affixe zdans la base orthonorme (i,j). On le note arg(z). Il est dfini 2p prs. La valeur particulireappartenant l'intervalle ]p , p ] est appel argument principal. On notera par exemple :

arg(z) j [2p ]On a alors :

z = z (cos(j ) + isin(j ))

On vrifie aisment que :arg(z) = arg(1/z) = arg(z)arg(zz') = arg(z) + arg(z')

Alors que l'addition d'un vecteur z' s'interprte gomtriquement par une translation de vecteur levecteur d'affixe z', le produit par z s'interprte comme la compose de :

q une homothtie de centre O de rapport z'q une rotation de centre O d'angle arg(z').

On parle de similitude (directe) de centre O, de rapport z' et d'angle arg(z').

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Ainsi, le produit par i est une rotation de p2. Le produit par j = e2i p /3

est une rotation de 2p3 .

b) Forme trigonomtrique :En vertu des formules ( connatre) :

cos(q + j ) = cos(q )cos(j ) sin(q )sin(j )sin(q + j ) = sin(q )cos(j ) + cos(q )sin(j )

on a :

(cos(q + j ) + isin(q + j )) = (cos(q ) + isin(q )) (cos(j ) + isin(j ))de sorte que la fonction f : q fi cos(q ) + isin(q ) vrifie la proprit f( q + j ) = f( q ) f( j ). Il s'agitd'une relation fonctionnelle comparable celle de l'exponentielle et il est convenu de noter f( q ) = ei q ,de sorte que :

z = z ei j (forme trigonomtrique d'un nombre complexe)avec

ei q e

i j = e

i(q +j )

Il est intressant de remarquer qu'on utilise pour dsigner la fonction f les symboles e et i, et pas unenotation l q , avec l dfini autrement, alors qu'a priori, n'importe quelle exponentielle de q pouvaitfaire l'affaire. Pourquoi ? Parmi les multiples raisons possibles, on a :

f( q ) = cos(q ) + isin(q ) f '(q ) = sin(q ) + icos(q ) = if( q )Comme dans , la drive par rapport q de la fonction ea q est aea q , il est naturel de poserf( q ) = ei q , tendant ainsi la rgle de drivation d'une exponentielle au cas o a = i.

c) Exponentielle complexe :Plus gnralement, pour z = x + iy complexe, on pose :

ez = e

x [cos(y) + isin(y)] = ex eiyIl en rsulte que la rsolution de ez = a conduit :

si a = 0 alors, il n'y a pas de solutionsinon, z = x + iy avec x = ln a et y = arg(a) + 2kp , soit z = ln a + iarg(a) + 2ikp

On vrifiera que ez+z' = ez ez'. On peut galement vrifier que la drive de t fi eat avec a complexe estae

at. En effet, si a = x + iy, alors :

eat

= etx [cos(ty) + isin(ty)]

dont la drive par rapport t est :xe

tx [cos(ty) + isin(ty)] + etx [ysin(ty) + iycos(ty)] = (x + iy) etx [cos(ty) + isin(ty)]= ae

at

d) Formule d'Euler :Voici quelques formules :

ei p

= 1 (formule d'Euler)e

2i p = 1

ei p /2

= i

1 + ei q = ei q /2 (ei q /2 + ei q /2) = 2ei q /2 cos(q2)

1 ei q = ei q /2 (ei q /2 ei q /2) = 2iei q /2 sin(q2)

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On notera que les deux dernires formules sont quivalentes :

cos(q ) = 2cos2( q2) 1 = cos2( q2) sin

2( q2) = 1 tan2( q /2)1 + tan2( q /2) =

1 t21 + t2

sin(q ) = 2 sin(q2) cos(q

2) = 2 tan(q /2)

1 + tan2( q /2) = 2t

1 + t2

en posant t = tan(q2). On a aussi :

tan(q ) = 2 tan(q /2)1 tan2( q /2) =

2t1 t2

Ces trois formules sont faciles mmoriser. cos(q ) est une fonction paire dfinie sur , et la seulefaon de combiner les expressions 2t, 1 + t2 et 1 t2 en une fraction rationnelle paire dfinie sur et

de prendre le quotient 1 t2

1 + t2.

De mme, sin(q ) est une fonction impaire dfinie sur

, et la seule faon de combiner lesexpressions 2t, 1 + t2 et 1 t2 en une fraction rationnelle impaire dfinie sur et de prendre le

quotient 2t1 + t2.

Enfin la tangente est le quotient de sin par cos. On a enfin ei q = 1 t2 + 2it

1 + t2 .

Quand q varie de p p exclus, [cos(q ), sin(q )] dcrit le cercle priv du point (1,0). t = tan(q2) varie

de + . [1 t2

1 + t2, 2t

1 + t2] est donc un paramtrage sous forme de fractions rationnelles depolynmes du cercle unit priv du point (1,0).

e) Cercle unit :On appelle cercle unit l'ensemble {z | z = 1} = {z | $ q

, z = ei q }.Dbut de partie rserve aux MPSICet ensemble possde les proprits suivantes :

q est stable pour le produit (ce qui signifie : z et z' zz' pour tous z et z')q Ce produit est associatif5 (ce qui signifie que (zz')z" = z(z'z") pour tous z, z', z" de )q 1, neutre du produit (ce qui signifie que 1z = z1 = z pour tout z de ), appartient q si z appartient , son inverse 1

z aussi.

On dit que ( , ) est un groupe. Le produit tant commutatif (ce qui signifie que zz' = z'z pour tous zet z' de ), le groupe est dit commutatif (ou ablien). Il existe par ailleurs une analogie de structureentre ( ,+) et ( , ) par l'intermdiaire de l'application f suivante :

( ,+) fi ( , ) q fi e

i q = f( q )

On a en effet f( q + q ') = f( q ) f( q ')On dit que f est un morphisme de groupe.Fin de partie rserve aux MPSI

5 Un exemple de produit non associatif est le produit vectoriel des vecteurs dans l'espace de dimension 3.

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II : Utilisation des complexes

1 Formule de Moivre : (Moivre 1667-1754)Cette formule s'nonce :

(cos(q ) + isin(q ))n = cos(nq ) + isin(nq )Elle dcoule de la proprit (ei q )n = einq qui se montre aisment par rcurrence. Elle permet decalculer cos(nq ) et sin(nq ) en fonction en fonction de cosq et sinq .

EXEMPLE 1 : Calculer cos(p5), sin(p

5), cos(2p5 ), sin(

2p5 ). Posons q =

p

5. On a sin(5q ) = 0. Or :sin(5q ) = Im(cos(q ) + i sin(q ))5 = 5 cos4( q ) sin(q ) 10 cos2( q ) sin3( q ) + sin5( q) = 5(1sin2( q) )2 sin(q) 10(1sin2( q) ) sin3( q) + sin5( q) = 5sin(q) 20sin3( q) + 16sin5( q)

16sin4( q) 20sin2( q) + 5 = 0On trouve sin2(q ) = 10 2016 =

5 58

La mme formule s'applique pour q = 2p5 . Donc :

sin2( p5) = 5 5

8

sin2(2p5 ) = 5 + 5

8

sin(p5) = 5 52 2

sin(2p5 ) = 5 + 52 2

On en dduit :

cos(p5) = 6+2 5

4 = 5+14

cos(2p5 ) = 514

EXEMPLE 2 : Calcul de

k=0

n

cos(kt) et de

k=0

n

sin(kt).

On reconnat dans

k=0

n

eikt

la somme d'une suite gomtrique de raison eit. Si cette raison est diffrente

de 1, autrement dit si t 0 modulo 2p , on a :

k=0

n

eikt

= 1 ei(n+1)t

1 eit = e

i(n+1)t/2

eit/2

2i sin((n + 1)t2 )

2i sin( t2) = e

int/2 sin((n + 1)t2 )

sin( t2)donc, en sparant parties relles et imaginaires, on obtient :

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k=0

n

cos(kt) = cos(nt2 ) sin((n + 1)t2 )

sin( t2)

k=0

n

sin(kt) = sin(nt2 ) sin((n + 1)t2 )

sin( t2)qu'on peut ventuellement encore transformer en utilisant les formules :

2 cos(p) sin(q) = sin(q + p) + sin(q p)2 sin(p) sin(q) = cos(q p) cos(q + p)

2 LinarisationLa linarisation est le problme inverse du prcdent. On se donne un produit de puissances de cosqet sinq et l'on souhaite exprimer cette expression en fonction d'une fonction linaire (du premierdegr) de cos(nq ) et sin(n q ). Ce problme se pose par exemple lorsque l'on cherche une primitived'une telle fonction. Il suffit dans la plupart des cas d'utiliser :

cos(q) = ei q + ei q

2 sin(q) = e

i q e

i q

2iOn peut galement utiliser les formules de trigonomtrie.

EXEMPLE 1 :

cos4( q) = (ei q + ei q

2 )4 =

e4i q

+ 4e2i q + 6 + 4e2i q + e4i q16 =

cos(4q ) + 4cos(2q ) + 38

ou cos4( q ) = (cos2( q ))2 = (1 + cos(2q )2 )2 =

1 + 2cos(2q ) + cos2(2q )4

=

1 + 2cos(2q ) + 1 + cos(4q )24 =

cos(4q ) + 4cos(2q ) + 38

EXEMPLE 2 :

sin3(q ) cos2(q ) = (ei q e

i q

2i )3 (e

i q + ei q

2 )2 =

(ei q ei q )(e2i q e2i q )232i

= (ei q ei q )(e4i q 2 + e4i q )

32i

= e

5i q e

3i q 2ei q + 2ei q + e3i q e5i q

32i = 2sin(q) + sin(3q ) sin(5q )

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3 Rduction de acos( q)q) + bsin( q)q)a et b sont deux rels non tous deux nuls. On factorise par a2 + b2 . On obtient :

a2 + b2

a

a2 + b2

cos(q) + ba

2 + b2

sin(q)

Les coefficients de cos(q) et sin(q) ont la somme de leur carrs gal 1. Il existe un rel F tel qu'ilsvalent respectivement par exemple cos(F) et sin(F) . On obtient alors la forme rduite :

a2 + b2 cos(q + F )

Si q est de la forme w t, cette transformation montre qu'une combinaison linaire de cos et de sin demme pulsation w et de mme phase est une sinusode toujours de pulsation w , mais dphase.

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4 Racines d'un complexea) racine carre, mthode algbrique :Soit Z = X + iY. On cherche z = x + iy tel que Z = z2.On obtient :

x2 y2 = X

2xy = Y

(i) x2 y2 = X(ii) 2xy = Y(iii) x2 + y2 = X2 + Y2

(i) et (iii) permettent de trouver x2 et y2, et donc x et y au signe prs ; ii) permet de lever l'ambigutsur les signes.

Nous menons ci-dessous le calcul complet, mais dans la pratique, il est plus simple de refaire lescalculs plutt que de tenter de retenir les formules finales :

x2 =

X2 + Y2 + X2

y2 = X2 + Y2 X

2sg(xy) = sg(Y)

z =

X2 + Y2 + X2 + i sg(Y)

X2 + Y2 X2

EXEMPLE : Z = 32 + i2

x2 y2 = 32

2xy = 12x

2 + y2 = 1

x = 2 + 3

2

y = 2 32

ou

x = 2 3

2

y = 2 32

Application aux quations du second degr :L'quation az2 + bz + c = 0 avec a, b et c complexes se rsout avec des formules analogues cellesde , en calculant le discriminant. En effet :

az2 + bz + c = a(z + b2a)2

b2 4ac4a = a(z +

b2a)

2

D

4a

Si on pose D = d 2, on obtient bien comme racine b d2a . (On notera que, si x dsigne un relpositif, la notation z est dnue de sens puisqu'il n'y a pas de complexes positifs et on vitera doncd'crire D ). Il y a toujours deux racines (ventuellement confondues). Leur somme vaut b

a et leur

produit ca.

EXEMPLE : (1 + i)z2 (5 + i)z + 6 + 4i = 0Le discriminant vaut 16 30i = d 2 avec d = 5 3i. Les racines sont 5 + i d2(1 + i) , soit, aprssimplification, 2 3i et 1 + i.

b) racine nme : mthode trigonomtrique :

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Si Z = Z ei F , on cherche z = z ei j tel que zn = Z.On obtient donc :

z = n

Z

nj F [2p ] donc j = Fn

+ 2kpn

, k ou k {0,...,n1}

On a donc z = n

Z exp(i Fn

+2ikp

n)

EXEMPLE : dans l'exemple du a), on a Z = ei p /6. Donc z = ei p /12.On en dduit que :

cos( p12) = 2+ 32 =

4+2 32 2

= 3+1

2 2

sin( p12) = 31

2 2

Dans le cas d'une racine carre z d'un complexe Z, on remarque que arg(z) = arg(Z)2 modulo p (i.e. un multiple entier de p prs). Il en rsulte que z est sur la bissectrice de l'axe rel et de la droiteporte par Z, et donc que z est ncessairement colinaire Z + Z . On peut donc encore procder

comme suit, en posant z = l (Z + Z ). On obtient :

Z = z2 = l 2(Z2 + 2Z Z + Z 2) = l 2(Z2 + 2Z Z + ZZ)

1 = l 2(Z + 2 Z + Z) = 2l 2(Re(Z) + Z )

z = Z + Z

2(Re(Z) + Z )Le calcul est valable pour Z non rel ngatif. On s'attachera d'ailleurs vrifier que l'expression

Z + Z

2(Re(Z) + Z ) =

X + X2 + Y2 + iY2(X + X2 + Y2)

est identique X2 + Y2 + X

2 + i sg(Y) X2 + Y2 X

2

trouve plus haut.

c) racines nme de l'unit :Pour Z = 1, on obtient z = e2ikp /n. Ces nombres forment les n racines nme de l'unit. Ces racines sontsitus au sommet d'un polygone rgulier de n cts. Posons n = {e2ikp /n, k }. Ces racines sontsolutions de zn 1 = 0. On a donc :

zn 1 =

k=0

n1

(z e2ikp /n)

On a par ailleurs zn 1 = (z 1)(zn1 + zn2 + ... + z + 1)

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Donc :

1 + z + ... + zn1 =

k=1

n1

(z e2ikp /n)

On considrera par exemple les cas particuliers n = 2, n = 3, n = 4 :n = 2 : 1 et 1 sont racines de z21 = 0. 1 est racine de z+1 = 0

n = 3 : 1, j et j2 sont racines de z31 = 0. j et j2 sont racines de 1 + z + z2 = 0

n = 4 : 1, i, 1 et i sont racines de z41 = 0. i, 1, i sont racines de 1 + z + z2 + z3 = 0

5- Interprtation gomtriqueNous avons dj vu que :

z fi az est une similitude de centre O, de rapport a , d'angle arg(a)z fi z + b est une translation de vecteur b.

Il en rsulte que z fi az + b = Z est la compose d'une similitude et d'une translation. Si a 1, ils'agit d'une similitude mais dont le centre est diffrent de O. Il suffit pour cela de chercher le point winvariant par la transformation :

w = aw + b w = b1 aet de constater que Z w = az + b b1 a = az

ab1 a = a(z w ). Il s'agit d'une similitude de centre

w de rapport a , d'angle arg(a).

z fi z est la symtrie orthogonale par rapport l'axe rel.

Considrons maintenant z fi 1z. On obtient l'image d'un complexe en prenant l'oppos de l'argument

(donc en faisant une symtrie par rapport l'axe rel), puis en prenant l'inverse du module (donc unfaisant ce qu'on appelle une inversion).

Interprtons maintenant le module et l'argument de z az b. Considrons les points A, B et Z d'affixe

respectifs a, b et z. On a :ZAZB =

z az b rapport des longueurs des cts du triangle issus de Z

arg(z az b ) = arg(z a) arg(z b) = angle(Ox,AZ) angle(Ox,BZ) = angle(BZ,AZ)

= angle(BZA)

Certaines proprits gomtriques s'interprtent sous forme complexe. Par exemple :A, B et Z sont aligns si et seulement si z a

z b

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AZ et BZ sont orthogonaux si et seulement si z az b i !! (imaginaire pur)

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