comparaison de schémas implicites et explicites, centrés

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion

Comparaison de schémas implicites et explicites,centrés et décentrés en maillage mobile pour la

simulation d’écoulements compressés

Marc Buffat1 Anne Cadiou 2

Lionel Le Penven 2 Catherine Le Ribault2

1UCB Lyon I, LMFA UMR 5509

2CNRS, LMFA UMR 5509

CFT’04 Monastir (Tunisie) Avril 2004

Buffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé

Plan de l’exposé

1 Introduction

2 Méthodes Numériques

3 Décroissance d’un tourbillon

4 Compression d’un tourbillon

5 Conclusion

Introduction

Ecoulements de tumble compressés (chambre de combustion)

Difficultés des simulations numériques

Ecoulement compressible à bas Mach

Maillages mobiles

Condition de stabilité basée sur c (célérité) et non u (vitesse)

CFL =(u + c)∆t

∆x≈ c ∆t

Introduction

Ecoulements de tumble compressés (chambre de combustion)

Difficultés des simulations numériques

Ecoulement compressible à bas Mach

Maillages mobiles

Condition de stabilité basée sur c (célérité) et non u (vitesse)

CFL =(u + c)∆t

∆x≈ c ∆t

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Schémas NadiaLES NadiaDF NadiaVF

Schémas Numériques

Equations de conservation pour W =[ρ,ρ−→U ,E = p

γ−1 + 12 ρU2

∂t+div (A(W )W )︸︷︷︸

flux d’Euler

= div (R (W ))︸︷︷︸flux visqueux

+ S(W )︸︷︷︸source

Difficultés numériques: flux d’Euler F (W ) = A(W )W

schéma explicite avec cdt de stabilité CFL < 1

Schéma explicite centré d’ordre 2 instable

Schéma explicite décentré (suivant les valeurs propres a de A)

Schéma explicite d’ordre élevé (i.e. >2)

schéma implicite CFL >> 1

Schéma implicite centré non linéaire

γ−1 + 12 ρU2

∂t+div (A(W )W )︸︷︷︸

flux d’Euler

γ−1 + 12 ρU2

∂t+div (A(W )W )︸︷︷︸

flux d’Euler

γ−1 + 12 ρU2

∂t+div (A(W )W )︸︷︷︸

flux d’Euler

Maillage déformable

Vp = L(t)r = L(0)

L(t) = 5

changement de variable

χ = xL(t)

transformation domaine (EF)∫ek

f .ψidω =∫

e f .Nidet(J)dω

formulation conservative (VF)ddt

ρf dω =−

∫Γk

ρf−→U .−→n dΓ+

Vp = L(t)r = L(0)

L(t) = 5

χ = xL(t)

f .ψidω =∫

e f .Nidet(J)dω

ρf dω =−

∫Γk

Vp = L(t)r = L(0)

L(t) = 5

χ = xL(t)

f .ψidω =∫

e f .Nidet(J)dω

ρf dω =−

∫Γk

Vp = L(t)r = L(0)

L(t) = 5

χ = xL(t)

f .ψidω =∫

e f .Nidet(J)dω

ρf dω =−

∫Γk

Code “NadiaLES”

Code E.F. + LES sur maillage non structuré (Duchamp 1999)

FV/FE sur maillage nonstructuré (Dervieux 1998)

finite element mesh

control volume

Solveur de Rieman basMach RoeTurkel (Viozat1997)

Contrôle de la dissipationet de la dispersion

precision O(dt4,h2) avecRunge Kutta 4

décomposition de domaine(calcul //e)

Code “NadiaLES”

finite element mesh

control volume

Code “NadiaLES”

finite element mesh

control volume

Code “NadiaLES”

finite element mesh

control volume

Code “NadiaLES”

finite element mesh

control volume

Code “NadiaLES”

finite element mesh

control volume

Code “NadiaDF”

Code D.F. d’ordre élevé explicite (R.K. 4) sur maillage structuré

PADE: Lele 1992

reconstruction des dérivées ordre 4

αF ′i−1 +F ′

i +αF ′i+1 = a

Fi+1−Fi−1

avec α = 14 , a = 4

3système tri-diagonal (Thomas)

WENO: Jiang & Shu 1996

reconstruction des fluxs ordre 5

Fi+ 12=

∑r=0

ωr F+,ri+ 1

∑r=0

ω2−r F−,ri+ 1

i−2i+1/2

i+1 i+2ii−1

i−1/2

Code “NadiaDF”

PADE: Lele 1992

αF ′i−1 +F ′

i +αF ′i+1 = a

Fi+1−Fi−1

avec α = 14 , a = 4

Fi+ 12=

∑r=0

ωr F+,ri+ 1

∑r=0

ω2−r F−,ri+ 1

i−2i+1/2

i+1 i+2ii−1

i−1/2

Code “NadiaDF”

PADE: Lele 1992

αF ′i−1 +F ′

i +αF ′i+1 = a

Fi+1−Fi−1

avec α = 14 , a = 4

Fi+ 12=

∑r=0

ωr F+,ri+ 1

∑r=0

ω2−r F−,ri+ 1

i−2i+1/2

i+1 i+2ii−1

i−1/2

NadiaVF

Code VF parallèle en C++ sur maillage non structuré

Schéma V.F. implicite BDF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

Newton G(W n+1) = 0(∂G

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

Schéma centré d’ordre 2

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

LibMesh (Kirk 2002)gestion maillage en //e enC++ avec adapation (AMR)

PETSC (Barry 2001)résolution système linéaireen //e (MPI)Krilov, MultiGrille

METIS (Karypis 1996)partitionnement

NadiaVF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

NadiaVF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

NadiaVF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

NadiaVF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

NadiaVF

3W n+1−4W n +W n−1

2∆t= F(W n+1)

(W n+1

k+1 −W n+1k

)= G(W n+1

∂xi=

∫Γk

W ni dΓ

Préconditionnement bas Mach

dépendance des variables d’état en fonction du Mach

ρ = θ(1) et u = θ(1) mais E = θ(Ma−2) et p = θ(Ma−2)

NadiaLES

Roe-Turkel (Viozat 1999)

préconditionnementde ∆p en (β2)

variablesentropiques[p,−→u ,S ]:

β ≈Ma

NadiaVF

décomposition de Et et p

Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)

p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)

équation pour E ′

E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)

P0(t) =(

V (0)V (t)

)γ ∫V (0) p(x , t)dx

NadiaLES

β ≈Ma

NadiaVF

Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)

p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)

E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)

P0(t) =(

V (0)V (t)

)γ ∫V (0) p(x , t)dx

NadiaLES

β ≈Ma

NadiaVF

Et(x , t) = 1γ−1 P0(t)+E ′(x , t)

p(x , t) = P0(t)+p′(x , t)

E ′(x , t) = θ(1) et p′(x , t) = θ(1)

P0(t) =(

V (0)V (t)

)γ ∫V (0) p(x , t)dx

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Fluctuation ρ viscosité νh Ondes

Décroissance d’un tourbillon

solution analytique

tourbillon de Taylor Re = Umax Lν = 1000

solution Ma = 0 (non entropique)

L = 1, Umax = 1, ρ0 = 1, p0 = ρ0

Questions sur les schémas numériques ?

Fluctuation de densité ?

spatiale:∆ρ = ρ0

γp0∆p = Ma2∆p (si isentropique)

temporelle: ondes acoustiques de célérité ≈ c0 =√

γp0ρ0

= Ma−1

Convergence vers la solution Ma = 0 ?

Décroissance d’un tourbillon

solution analytique

tourbillon de Taylor Re = Umax Lν = 1000

solution Ma = 0 (non entropique)

L = 1, Umax = 1, ρ0 = 1, p0 = ρ0

Questions sur les schémas numériques ?

Fluctuation de densité ?

spatiale:∆ρ = ρ0

γp0∆p = Ma2∆p (si isentropique)

temporelle: ondes acoustiques de célérité ≈ c0 =√

γp0ρ0

= Ma−1

Convergence vers la solution Ma = 0 ?

Fluctuation de densité

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

−1.5

−0.5

2x 10−3

−0.5

2x 10−3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

−1.5

−0.5

x 10−3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

FIG.: fluctuations ρ−1 à Ma = 0.1 (NadiaVF, NadiaDF, NadiaLES)

allure identique à Ma = 0.01 avec une amplitude plus faible

NadiaVF NadiaDF WENO NadiaDF Padé NadiaLES

Ma = 0.1 0.3710−2 0.3410−2 0.3410−2 0.4410−2

Ma = 0.01 0.8410−4 0.3410−4 0.3410−4 0.3810−3

TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin en 802

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

−1.5

−0.5

2x 10−3

−0.5

2x 10−3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

−1.5

−0.5

x 10−3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

allure identique à Ma = 0.01 avec une amplitude plus faible

NadiaVF NadiaDF WENO NadiaDF Padé NadiaLES

Ma = 0.1 0.3710−2 0.3410−2 0.3410−2 0.4410−2

Ma = 0.01 0.8410−4 0.3410−4 0.3410−4 0.3810−3

TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin en 802

Viscosité numérique νh des schémas fonction de h et Ma

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaVF % de viscosite numerique

Ma=0.1Ma=0.01

‖ρU‖t=tf

‖ρU‖t=0

= e−2νeπ2tf

νe = ν+νh

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaDF % de viscosite numerique

WENO Ma=0.1PADE Ma=0.1

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaLES % de viscosite numerique

Ma=0.1Ma=0.01

Viscosité numérique νh des schémas fonction de h et Ma

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaVF % de viscosite numerique

Ma=0.1Ma=0.01

‖ρU‖t=tf

‖ρU‖t=0

= e−2νeπ2tf

νe = ν+νh

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaDF % de viscosite numerique

0.0001

0.01 0.1 1

NadiaLES % de viscosite numerique

Ma=0.1Ma=0.01

Propagation d’ondes

avec les schémas d’ordre élevé et le schéma implicite si CFL < 1

Analyse en un point (près de la paroi) pour CFL = 0.5 et 10.0

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0.0002

0.0004

0.0006

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=0.5

FIG.: fluctuations en un point (0.5,0.12) pour ρU, ,ρV et Et à Ma = 0.1

Schéma implicite amortit les ondes si CFL > 1

célérité c0 = Ma−1 ondes acoustiques générées par la C.I.onde dissipée par viscosité

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0.0002

0.0004

0.0006

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=0.5

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0.0002

0.0004

0.0006

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=10

0 0.5 1 1.5 2

Ma=0.1 X=0.5 Y=0.12

CFL=0.5CFL=0.5

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion Ma = 0 Solution Fluctuation ρ Ondes Tcpu

Compression d’un tourbillon

Model du tumble dans unechambre de combustion

Parametres

Re = Umax L(0)ν = 1000 (stable)

L(t) = 1− Vp

ω + Vp

ω sinωtVp = 0,144 , ω = 0,36

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.2

solution Ma=0

ρ Uρ V

solution analytique

tourbillon compressé

solution Ma = 0

ρ(t) = ρ0L(0)L(t) , p0 = ρ0

accélération suivant v

dissipation visqueuseBuffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé

Compression d’un tourbillon

Model du tumble dans unechambre de combustion

Parametres

Re = Umax L(0)ν = 1000 (stable)

L(t) = 1− Vp

ω + Vp

ω sinωtVp = 0,144 , ω = 0,36

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.2

solution Ma=0

ρ Uρ V

solution analytique

tourbillon compressé

solution Ma = 0

ρ(t) = ρ0L(0)L(t) , p0 = ρ0

accélération suivant v

dissipation visqueuseBuffat, Cadiou, Le Penven, Le Ribault CFT’04: schémas bas Mach en écoulement compressé

Solution numérique

Evolution de la vitesse au cours du temps pour Ma = 0.1 etMa = 0.01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t / 8.7267-t

Ma=0.1Ma=0.01

Champ de vitesse

tous les schémas prédisent un champ de vitesse ≈ solution Ma = 0

Solution numérique

Evolution de la vitesse au cours du temps pour Ma = 0.1 etMa = 0.01

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t / 8.7267-t

Ma=0.1Ma=0.01

Champ de vitesse

tous les schémas prédisent un champ de vitesse ≈ solution Ma = 0

0 0.1 0.20

x 10−3

0 0.20

x 10−3

0 0.20

NadiaVF NadiaWENO NadiaPADE NadiaLES

Ma = 0.1 0.4010−1 0.5610−1 0.6610−1 0.1110−1

Ma = 0.01 0.4110−3 0.4410−1 0.2910−1 0.9710−2

TAB.: maximum des fluctuations de densité: ρmax −ρmin (fin comp.) en 402

Analyse en un point (près du piston) pour CFL = 0.5 et 10.0

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

U en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=0.5

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=10

FIG.: fluctuations en un point (0.88,0.5) pour ρU et Et à Ma = 0.1

ondes acoustique (c0 ≈Ma−1) amplifiées par la compression pble avec les schémas d’ordre élevé (instabilité)

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

U en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=0.5

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=10

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

U en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=0.5

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

Et en 0.88,0.5 a Ma=0.1

CFL=0.5CFL=10

Coût des différents schémas

NadiaVF NadiaPADE NadiaWENO NadiaLES

Ma = 0.1 837 14900 52200 17216Ma = 0.01 7686 298700 156000

TAB.: Nbre d’itérations en temps cas 402

Temps CPU par itération

NadiaVF (Pentium IV 2.7 Ghz):≈ 0.3s (Ma = 0.01)et ≈ 0.7s (Ma = 0.1)

NadiaDF (Pentium IV 1.7 Ghz) PADE: ≈ 0.04s et WENO:≈ 0.07s

NadiaLES (Pentium IV 1.7 Ghz) maillage 3D (3∗402):≈ 0.6s

Coût des différents schémas

NadiaVF NadiaPADE NadiaWENO NadiaLES

Ma = 0.1 837 14900 52200 17216Ma = 0.01 7686 298700 156000

TAB.: Nbre d’itérations en temps cas 402

Temps CPU par itération

NadiaVF (Pentium IV 2.7 Ghz):≈ 0.3s (Ma = 0.01)et ≈ 0.7s (Ma = 0.1)

NadiaDF (Pentium IV 1.7 Ghz) PADE: ≈ 0.04s et WENO:≈ 0.07s

NadiaLES (Pentium IV 1.7 Ghz) maillage 3D (3∗402):≈ 0.6s

Introduction Numérique Tourbillon Compression Conclusion 3D

Conclusion

comparaison des schémas à bas Mach:

schéma explicite de Roe “NadiaLES” le plus diffusif, mais assezrobuste

schémas d’ordre élevée “NadiaDF” les moins diffusifsmais captent des ondes (instabilité ?),très sensibles aux C.L.

schéma implicite “NadiaVF” centré le plus efficace à bas Machsi CFL > 1 filtrage des ondes acoustiques générées par les C.I.

Poursuite des études

analyse des côuts en 3D pour de la LEScomparaison avec des solutions compressibles (analyseasymptotique)

Conclusion

comparaison des schémas à bas Mach:

schéma explicite de Roe “NadiaLES” le plus diffusif, mais assezrobuste

schémas d’ordre élevée “NadiaDF” les moins diffusifsmais captent des ondes (instabilité ?),très sensibles aux C.L.

schéma implicite “NadiaVF” centré le plus efficace à bas Machsi CFL > 1 filtrage des ondes acoustiques générées par les C.I.

Poursuite des études

analyse des côuts en 3D pour de la LEScomparaison avec des solutions compressibles (analyseasymptotique)

Compression en 3D

Calcul spectral Ma = 0 (Le Penven 2002)

FIG.: compression d’un tourbillon perturbé en 3D à Re = 6000 (t = 0,3,5,8)

comparaison de schémas implicites et explicites, centrés

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