communications numériques 1...

Communications numériques 1, D. Roviras 1

Communications

Numériques 1

FIP-SETI-2A

Daniel Roviras CNAM2018-2019 (v15)


7 séances de cours de 3h30 : 24h30➢ 16h30 cours

➢ 8h00 TD

4 séances de TP de 4h00 : 16h00

Plan du cours


Chapitre 1 : Introduction, Architecture générale d’une chaîne de

transmission, Introduction à la normalisation

Chapitre 2 : Multiplexage fréquentiel et temporel, Modulateur et

symboles, Formule de la Capacité du canal

Chapitre 3 : Architecture d’un récepteur numérique, exemples de prises

de décisions, Estimateurs MAP et ML

Chapitre 4 : Performances d’une transmission numérique en l’absence

d’Interférence Inter Symbole (ISI)

Chapitre 5 : Filtrage adapté, Performance d’une transmission numérique

optimale sans ISI

Chapitre 6 : Canal de transmission et ISI, Critère de Nyquist

Chapitre 7 : Chaîne de transmission globale avec filtres de Nyquist en

racine de cosinus surélevés, Performance dans le cas d’une chaîne avec ISI

Chapitre 8 : Codes en bande de base

Plan du cours


Chapitre I

• Introduction

• Architecture générale d’une chaîne

de transmission

• Introduction à la normalisation


INTRODUCTION - Historique

1837: Samuel Morse propose un système de transmission de lettres de

l'alphabet-» Télégraphe. Codage des lettres par des points et des

traits de longueurs différentes (correspondant à des durées

différentes) Optimisation du temps de transmission

-»Théorie de l'information

1865: 1ère conférence de l'Union Télégraphique Internationale-»

développement des télécommunications sur le plan international,

Normalisation

1870: Transmissions télégraphiques longues distances (plusieurs

milliers de km)

1874: Invention du multiplexage temporel par BAUDOT

1876: Graham Bell dépose un brevet de système électrique de

transmission du son (pour applications dans le domaine de

la surdité)-» Téléphone

1891: Premier autocommutateur téléphonique


1901: MARCONI, Radio, télégraphie sans fils (TSF)

1907:Invention de la Triode: Amplification analogique-» Téléphonie

longue distance

1928: NYQUIST: Théorie de l'échantillonnage

1936: Invention du Pulse Code Modulation (PCM) par REEVES

-»Transmission numériques

1947: Création de l'UNION INTERNATIONALE des

TELECOMMUNICATIONS (UIT) afin de réglementer les

télécommunications internationales

1948: Invention du transistor: Développement de l'électronique des

télécommunications

1948: SHANNON: Théorie de la capacité du canal



1962: Premier satellite pour télécommunications (orbite basse):

TELSTAR 1, Premier câble 1.544 Mb/s (USA,Bell)

1965: Premier Satellite géostationnaire de télécommunications:

EARLY BIRD (Organisation INTELSAT)

1966:Premières Fibres optiques à faibles pertes --» vers les hauts

débits numériques

1970: Autocommutateurs numériques (Platon CNET)

1980: MINITEL

1988: RNIS (ISDN): Réseau Numérique à Intégration de Services

(Numéris de France Télécom)

1999: GSM : Global System for Mobile Communications (2G)

1995: Démocratisation du réseau Internet

2004: UMTS Universal Mobile Telecommunication System (3G)

2010: Internet mobile, WiFi, vers la 4G….

2013: 4G….



Le cours de

communications

numériques 1

dans les FIP « Systèmes

électroniques »


Communications

Numériques 1 et 2

Théorie de l’information

Architecture générale d’une chaîne de transmission

Codage

source

Codage

canal

Source Codeur

source

Codeur

CanalModulateur

Décodeur

source

Décodeur

Canal

Démodulateur

Récepteur

Numérique

Utilisation

du signal

Canal


Organismes de Normalisation

Internationale:• UIT / ITU: Union Internationale des

Télécommunications (http://www.itu.ch/)

Régionales:• ETSI: European Telecommunication Standard

Institute (http://www.etsi.fr/)

• ANSI Comitee T1: American National Standard

Institute, comitee T1 on Telecommunications

• TTC: Japanese Telecommunications Technology

Comitee


Normalisation Internationale : UIT

UIT:Organisation sous l'égide des Nations Unies crée en 1947

Les membres:• Chaque état membre des UN peut être représenté (en

général par l'opérateur historique)

• Constructeurs,

• Opérateur de réseaux,

• Prestataires de services,

• Organisations scientifiques et industrielles


Normalisation Internationale UIT: avant 1993

Comité Consultatif International Télégraphique et Téléphonique CCITT:

Transmissions par fils, équipements de modulation et multiplexage

Commutation, Réseaux de Télégraphe, Téléphone,données

Comité Consultatif International des Radiocommunications: CCIR

Radiodiffusion (son et image), Faisceaux Hertziens

Télécommunications par satellites

Normalisation Internationale UIT: après 1993

IUT-T: Telecommunication standardisation sector

• Reprend les secteurs d'activité du CCITT

• Plusieurs "Study Groups (15 SGs)

IUT-R: Radiocommunication sector

• Reprend les secteurs d'activité du CCIR et IFRB


Normalisation Régionale : ETSI

ETSI:Organisation créée en 1988 sous l'égide de l'Union Européenne

Les membres:The European Telecommunications Standards Institute (ETSI) is a non-

profit making organization whose mission is to determine and produce

the telecommunications standards that will be used for decades to

come. It is an open forum that unites 490 members from 34 countries,

representing Administrations, network operators, manufacturers,

service providers, and users. Any European organization proving an

interest in promoting European telecommunications standards has the

right to represent that interest in ETSI and thus to directly influence the

standards making process.


Normalisation Régionale : Committee T1

Established in February 1984, Committee T1 develops technical

standards and reports regarding interconnection and

interoperability of telecommunications networks at interfaces with

end-user systems, carriers, information and enhanced-service

providers, and customer premises equipment (CPE). Committee

T1-Telecommunications is sponsored by the Alliance for

Telecommunications Industry Solutions (ATIS) and is accredited by

the American National Standards Institute (ANSI).

Committee T1 has six technical subcommittees

Committee T1: http://www.t1.org/


Chapitre II

• Multiplexage fréquentiel et temporel

• Modulateur et symboles

• Capacité du canal (Shannon 1948)


Eléments sur le

multiplexage


Multiplexage fréquentiel et temporel

12

3

Temps

Bande

Bc

Bc/n

Temps

Bande

1 2 3

T/3 T/3 T/3

T


Annulation d’écho

Em. A

Rec. A

Em. B

Rec. B

Canal de transmission

Deux sens de transmission:• Multiplexage fréquentiel :FDD (Freq. Div. Duplex)

• Multiplexage temporel : TDD

• Annulation d’écho : Annuler le signal de retour venant de

l’émetteur proche


Annulation d’écho, principe

Em. A

Rec. A

Em. B

Rec. B+

Signal

d’écho

+

Signal

d’écho

Canal de

transmission

+

++

++

Synthèse du

Signal d’écho

+

-

Annuleur d’écho

Synthèse du

Signal d’écho

+-

+


Annulation d’écho, exemple

Em: MICRO

Rec : ECOUTEUR

y(t) = r(t)

y(t)= utile

1 1

ligne 2F

r(t) : signal utile

R2

G

-

+

R1

v(t)

ZE

Synthèse de l’écho : v(t)

+ x(t).R2/ZL

+ écho

x(t) : signal émis


Les signaux émis :

Conversion des bits en

symboles


Modulateur et symboles

Symbole: Signal électrique de durée Ts

Avec M symboles un symbole code Log2(M) bits

Db=Ds.Log2(M)

Modulateur

ou

Codeur de

Ligne

CANALDb Ds


Bits: 0 1 1 0 1

Ts

Modulateur et symboles en bande de base, M=2

NRZ

2 niveaux

RZ

Biphase

v0(t) v1(t)

???


Bits: 0 1 00 01 10 11

Ts

Modulateur et symboles en bande de base, M=4

NRZ

4 niveaux

4 PPM


Modulateur et symboles sur fréquence porteuse

Symbole numéro i : Si(t)=Ai cos(2p fi t + fi)

Pour définir un symbole on peut jouer sur les paramètres

amplitude (Ai) fréquence (fi) phase (fi) ou sur une combinaison

de ces paramètres.

Un symbole est représenté par un vecteur dans le diagramme de

Fresnel (cos/sin ou I/Q):

Si(t) = Ai cos(fi).cos(2p fi t) - Ai sin(fi).sin(2p fi t)

Si(t) = Ii(t). cos(2p fi t) - Qi(t) . sin(2p fi t)



S1(t)S2(t)

S3(t) S4(t)

S1(t)S2(t)

S3(t) S4(t)

Diagramme de

Fresnel avec vecteurs

Diagramme de

constellation

I(t)

Q(t)



2-ASK=OOK0 Ap 0

M- ASK

V 2V 3V

4-PSK=QPSK

MDP-48-PSK

MDP-8

2-PSK=BPSK

MDP-2



16-QAM

MAQ-16

32-QAM

MAQ-32

16-PSK 16-QAM

Répartir les symboles

sur le plan IQ et non

plus sur un cercle:

Augmentation de la

distance entre deux

symboles

La suite en Communications numériques 2 ….


Capacité du canal (Shannon 1948)

Canal

AWGN

Bande B

Bits

émis

EmetteurCodage canal

Modulateur

RécepteurDémodulateur

Récepteur

Décodage canal

Ps

Pn

Ps = puissance du signal reçu, Pn = puissance du bruit reçu

SNR= Ps/Pn

(bits/sec) 1log. 2 SNRBC

La suite en Théorie de l’information ….


Capacité du canal (Shannon 1948)


Canal passe-bas

f-B +B0

Canal passe-bande

f+B0+B

Exemple : SNRdB = 40dB, B = 3100Hz

C = 3100*log2(1+104) = 3100*Ln(1+104)/Ln(2) = 41 kbps


Chapitre III

• Architecture d’un récepteur numérique

• Exemple de prises de décision

• Estimateurs MAP et ML


Architecture d'un récepteur numérique

REC

Objectif:

-» Prendre des décisions sur les symboles reçus

-» Prendre une décision tous les instants Ts

-» Faire le moins d'erreurs possible

Ts

t t

Besoins:

-» Retrouver le rythme des symboles

-» Prendre des décisions tous les Ts


Tb

Bits

Db

Codeur

canal

Architecture d'un récepteur numérique, bande de base

Canal

Décisions

Reconstitution Horloge Symboles (Ts)

k.Ts

Ts

Dsmodulateur

Règle

de

codage

Suite de

symboles

reçus Sk

Suite de

bits

reçus bk


Tb

Bits

Db

Codeur

canal

Architecture d'un récepteur numérique, bande de base

Canal

Décisions

Reconstitution Horloge Symboles (Ts)

k.Ts

Ts

Dsmodulateur

Règle

de

codage

Suite de

symboles

reçus Sk

Suite de

bits

reçus bk

TES : Taux

d’Erreur sur les

Symboles

SER : Symbol

Error Rate

Opération simple

en général

TEB : Taux d’Erreur

sur les Bits

BER : Bit Error Rate


Décisions Transposition

fréquence

Tb

Bits

Db

Codeur

canal

Architecture d'un récepteur numérique, fréquence porteuse

Reconstitution Horloge

Symboles (Ts)

k.Ts

Canal

Ts

DsBits vers

symboles

Règle de codage

Transposition

fréquence

Ts

Reconstitution

porteuse

Suite de

symboles

reçus Sk

Suite de

bits

reçus bk


Décisions Transposition

fréquence

Tb

Bits

Db

Codeur

canal

Architecture d'un récepteur numérique, fréquence porteuse

Reconstitution Horloge

Symboles (Ts)

k.Ts

Canal

Ts

DsBits vers

symboles

Règle de codage

Transposition

fréquence

Ts

Reconstitution

porteuse

Suite de

symboles

reçus Sk

Suite de

bits

reçus bk

La suite en Communications numériques 2 ….


Exemple de récepteur numérique : Signal NRZ rectangulaire

• Modulateur de type NRZ avec M=2

• Canal AWGN [C(f)=1, bruit additif gaussien]

• Dessiner le signal reçu

• Comment prendre des décisions ?


Exemple de récepteur numérique : Signal triangulaire

• Modulateur avec M=2 et mise en forme triangulaire

• Canal AWGN [C(f)=1, bruit additif gaussien]

• Dessiner le signal reçu

• Où prendre des décisions ?

• Comment prendre des décisions ?

1 0 1 1 0 0

t


0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000-3

-2

-1

0

1

2

3Signal reçu

Programme Matlab: symboles.m


Signal

émis

Signal

reçu

Décisions

S1 S2 S1 S1 S0 S3Règle de

codage

0 1 1 0 1 1 01 00 11Bits

émis

0 1 1 0 0 1 01 00 11

Bits

reçus

Exemple de récepteur numérique : M=4


➢ Exemple de modulateur et de récepteur

numérique avec M=4 symboles

➢ Illustration Matlab : symboles.m

Lancement Matlab: programme « symboles.m »



M=4 symboles

10 20 30 40 50 60 70 80

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

S1 (b) S2(r) S3 (c) S4 (k)



M=4 symboles

200 400 600 800 1000 1200

-2

-1

0

1

2

3

4

Bits (k) Signal émis (b)



M=4 symboles

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Signal émis (b) Signal reçu (r)



M=4 symboles

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



M=4 symboles

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5



Modulateur 8-PSK (mise en forme rectangulaire de I(t) et Q(t)

Conversion

de la suite

binaire

en signaux

I/Q

I(t)

Q(t)

cos(wo.t)

sin(wo.t)

+

-

8-PSKSuite

binaire

(Db)

Exemple de récepteur numérique : 8-PSK

Canal

Règle

de

codage


4 VALEURS POUR I(t)

CONSTELLATION POUR 8-PSK

000

001011

010

110

111 101

100

p/4

4 V

AL

EU

RS

PO

UR

Q(t

)

+cos(3.p/8)

+cos(p/8)

-cos(3.p/8)

-cos(p/8)


Règle

de

codage


t

t

t

0 0 0 0 0 0 0 00 0 01 1 1 1 1 1 1 1 11 1SIGNAL D'ENTREE

Q(t)

I(t)

Codage I/Q pour 8-PSK



tQ(t)

tQa(t)

INSTANTS DE DECISION


Ts


8-PSK

récupération

horloge

Symboles (Ts)

Suite de

symboles

le

Qe

DE

MO

DU

LA

TE

UR

I/Q

Test

de l

a d

ista

nc

e e

ntr

e l

e

po

int

reçu

de

co

ord

on

nées (

Ie,Q

e)

et

les

po

ints

de la c

on

ste

llati

on

Récepteur 8-PSK


k.Ts

Règle

de

codage

Suite de

bits reçus


Rappels/introduction

aux signaux aléatoires


Récepteur optimal

Décision MAP


Récepteur optimal MAP

ei (t) peut être représenté par un vecteur de dimension N dans une

base de signaux {si } de dimension N

M symboles

e1, e2,.... eM

n(t)

C(f)ei (t) rk (t)

Décisions

NiN

i

i

NiN

i

i

k

kik

NiNii

n

n

n

a

a

a

n

n

n

a

a

a

r

ner

sasasa

.

.

.

.

.

.

.

.

.......e

2

1

2

1

2

1

2

1

2211i

Exemple:

Modulation 16-QAM

M=16,

N=2: les composantes I(t)

et Q(t)

kème observation reçue


reçu) /rp(e maximise qui e trouver :Objectif

nobservatio k.Tsinstant l' àreçu signalr

kii

k


)(rp

émis) /e(rémis).p P(e=reçu) /rP(e

kr

ikiki

r

Le récepteur optimal MAP (Maximum A Posteriori) doit

choisir, à chaque instant de prise de décision, le symbole émis ei

qui a la plus grande probabilité d'avoir été émis, connaissant le

signal reçu (l’observation).

bruitdu éprobabilit de Densitéémis) e / (rp

e symboledu émission d' éProbabilit=)P(e

ikr

ii

émis) e /(rp connaitrefaut Il

)P(e connaitrefaut Il

ikr

i



émis) /e(rémis).p P(e

maximise qui e cherche MAP récepteur Le

ikri

i

)e- (rpémis) e / (rp :tsindépendansont symboles

leset bruit leoù cas le Dans

émis) e/ e- (rpémis) e / (rp

iknikr

iiknikr

Exemple: n(t) bruit gaussien

ei

pr(a/ei)

b 0

pn(a)

b-ei



)e-r.2.

1.exp(-

..2

1).P(eMax

)e-r.2.

1.exp(-

..2

1).P(eMax

)e-(r).pP(eMaxémis) /e(rémis).p P(eMax

)u.2.

1.exp(-

..2

1(u)p

)u.2.

1.exp(-

..2

1(u)p

2

ik22/2i

2

ik22/2i

ikniikri

2

22/2n

N=i

1=i

2

i22/2n

p

p

p

p

N

N

N

N

Ln

Cas d’un bruit additif gaussien dont toutes les composantes sont

indépendantes, de moyenne nulle et de même variance 2



))P(e(e-r.2.

1Minimum

e-r.2.

1

..2

1Ln+ )P(eMax

)e-r.2.

1.exp(-

..2

1).P(eMax

i

2

ik2

2

ik22/2i

2

ik22/2i

Ln

Ln

Ln

N

N

p

p

))P(e(.2.e-r

:minimise qui e symbole leChoisir

i

22

ik

i

Ln

Distance Euclidienne entre rk et ei


Récepteur ML

Si les probabilités des différents symboles sont

égales il suffit de choisir le symbole ei qui est le

plus proche, en distance Euclidienne, de

l’observation rk

On parle alors de détecteur suivant le

Maximum de Vraisemblance (ML Maximum

Likelihood)

Pour réaliser le récepteur ML il suffit de

connaître la statistique du bruit additif


Comparaison récepteur ML / MAP

MAP ML

optimal sous optimal

identiques si symboles

équiprobables

identiques si symboles

équiprobables

Statistique du bruit connue

Probabilité d'émission des

symboles connue

Statistique du bruit connue

Maximise

p(ei/rk reçu)

Maximise

p(rk/ei émis)

Utilisé en pratique Très utilisé en pratique


ML, Exemple, Bruit discret

x(t) 0

1

0,1

0,9

n(t) 0

1

0,5

0,5

Val. Proba.Observationsyk

0 Pr / , Pr /oba y x oba y x 0 0 0 5 0 1 0

On choisit x = 0

2

x(t)

n(t)

y(t)y(k)+

Pr / Pr / .oba y x oba y x 2 0 0 2 1 05

On choisit x = 1

1 Pr / . Pr / .oba y x oba y x 1 0 05 1 1 05

On choisit x = 1 ou 0


MAP, Exemple, Bruit discret

x(t) {0 p = 0,1

1 (1-p) = 0,9 n(t) { 0 p = 0,5

1 (1-p) = 0,5

yk

0

Pr /. .

. . .

Pr /

oba x y

oba x y

k

k

0 005 01

05 01

1 0 0

.

= 1

On choisit x = 0

2

Pr /

Pr /. .

. . .

oba x y

oba x y

k

k

0 2

1 205 0 9

05 0 91

0

.

On choisit x = 1

1

Pr /. .

. . . . . .

Pr /. .

..

oba x y

oba x y

k

k

0 105 01

01 05 0 9 05

1 205 0 9

050 9

.

= 0.1

.

On choisit x = 1


MAP, Exemple, Bruit continu

x(t) {+1 p=0.9

- 1 (1-p)=0.1 n(t) {Gaussien centré

variance 2

p(a/x=-1).Proba(-1)

-1

p(a/x=+1).Proba(+1)

+1

Zone de décision de -1 Zone de décision de +1

a


Chapitre IV

• Performance d’une transmission

numérique en bande de base en

l’absence d’interférence inter

symbole (ISI)


TD1

Exercices 1, 2, 4, 5


Notion d’Interférence

Inter Symboles (ISI)


Transmissions Numériques: Filtres de mise en forme

NRZ 2 niveaux V1 et V2

NRZ 4 niveaux V1, V2, V3, V4

AM I entre +V, 0, -V

0 0 0 1 1 1

0 Ts

h(t) V1

V2

0 0 0 01 1 1

1

0 0 0 01 1 1

1 0

Ts

Ts

V1

V2

V3V4

0 Ts

h(t)1

0 0 0 1 1 1 1 0

0 0 0 1 1 1 1 0

Ts

0 Ts

h(t)1

0 0 0 1 1 1 1 0

V1

V2

V3

V4


Transmissions Numériques: Filtres de mise en forme

• Le signal émis par le modulateur est une suite de symboles de

période élémentaire Ts

• Les symboles ont des formes variées (rectangulaires ou autres) et

ces formes sont données par le filtre de mise en forme

• Tout signal émis par un modulateur bande de base peut, en général,

s’écrire sous la forme:

Les symboles Sk sont choisis dans un alphabet à M symboles

)(*).(.).(.)(00

thTsktSTskthStsk

k

k

k


Transmissions Numériques: Filtres de la chaîne de transmission

Mise en

formeCanal

+

n(t)

Filtre de

réception

Récepteur

Numérique

thR(t)hC(t)h(t)

0

).(.k

k TsktS

Décisions

to+k.Ts

Pas d’ISI : La valeur du signal lors la prise de décision du symbole numéro p

dépend seulement du pème symbole émis (Sp) et non des autres symboles

Les valeurs prises par le signal lors des prises de décision sont donc limitées à un

nombre égal à M (M = taille de l’alphabet des symboles)

Exemple : ISI avec un canal hc(t)=(t)+0.5 (t+Ts)


Transmissions Numériques: Illustration de l'ISI

Symbole émisSymbole

reçu

zone de dépassement

sur le symbole suivant

Instants de prise de décision

TsTs

t

t

t

t


Notion de diagramme de

l’oeil


Transmissions Numériques Diagramme de l'œil, principe

Résultat de la réponse du canal

à un rectangle

t

2.Ts


ab

-a- Immunité au bruit

-b- Immunité à la gigue de phase dans la

récupération d'horloge des symboles

Transmissions Numériques Diagramme de l'œil, principe


Réponse impulsionnelle

du canal

T

t

NRZ de période TFiltre passe-bas du 1er ordre

fc=1/T

Bit émis

Transmissions Numériques Diagramme de l'œil

Prises

de

décision



fc=1/(2.T)


du canal

t

Bit émis


Prises

de

décision



fc=1/(4.T)


du canal t

Bit émis


Prises

de

décision



fc=1/(10.T)


du canalt

Bit émis


Prises

de

décision


TD1

Exercice 3


Calcul du TEB en

l’absence d’ISI


Sans bruit Avec bruit

Suite binaire

101 Modulateur CANAL

k.Ts

Transmissions Numériques: Taux d'Erreur de Bit (TEB)

Instant de prise de décision

Décisions



-» Pas d'ISI (sans bruit)

V0 V1

Niveau V1-» 1 émis

Niveau V0-» 0 émis

Niveaux proches de V1-» 1 émis

Niveaux proches de V0-» 0 émis

-» Amplitudes aux instants de prise de décision

Densité de probabilité

-» Bruit introduit par canal


Fixer un seuil de décision: Règle de décision MAP

V0 V1SeuilErreur / 1 est émis Erreur / 0 est émis

V0 V1Seuil

SEUIL OPTIMAL:

CROISEMENT DES DEUX COURBES



-» Statistique du Bruit?

Cas particulier: Bruit Gaussien

Courbe V0:

2

0

2

0

0 2exp

2

1.

p

Vxp

2

0

2

1

0 2exp

2

1).1(

p

VxpCourbe V1:

Seuil Optimal: 21

01

01

2

0 VV

VVp

pLn

p =Proba. émettre 0 ------ Vo+no(t)

1-p =Proba. émettre 1 ------ V1+no(t)

o =Ecart type du bruit no(t)



TEB Courbe V Courbe V

TEB pu

du pu

du

TEB p QV S

pQS V

S

S

S V

S V

1 0

2 2

1

0

0

0

11

2 2

1

2 2

1

1

0

0

0

( ) exp exp

( )

p p

S = Seuil Optimal 0 = écart type du Bruit



Loi Normale réduite

p z z

Q z p u du

z

( ).

exp

( ) ( ).

1

2

1

2

2

p

0 2 4 6 7 z

Q(z)

2.27 e-2

3.17 e-5

1.28 e-12

9.87 e-10



Relations entre Q(z) et erfc(z)

duuzQz

.2

1exp.

.2

1)( 2

p

Fonction Q(z) et erfc(z)

dvvzerfcz

.exp.2

)( 2

p

2.

2

1)(

zerfczQ


-» Symboles équiprobables, p=(1-p)=0.5

-» Bruit Gaussien,

-» V1 et V0= Niveaux aux instants de prise de décision (si pas

de bruit)

2

2

01

01

VVOptimalSeuil

VVQTEB


2.

DistanceQTEB

(si M=2 et symboles équiprobables)


1) ISI ?

2) Amplitudes aux Instants de prise de décision (équiprobabilité)

3) Calcul du seuil optimal (récepteur MAP)

4) Statistique du bruit: Gaussien?

5) Calculer la distance entre les niveaux à la prise de décision

6) Calculer l'écart type du bruit affectant le signal aux instants

d'échantillonnage



Exemple: NRZ à 4 niveaux

10 11 01 00t

V4V3

V2

V1

Amplitudes à l'échantillonnage

Codage GRAY= Minimise le TEB

V1 V2 V3 V4

+TES sur le symbole V2

Transmissions Numériques: Taux d'Erreur Symbole (TES)


Codage GRAYV1 V2 V3 V4

00 01 11 10

Transmissions Numériques: Taux d'Erreur Symbole (TES)

• Un symbole code log2(M) bits

• Si on fait une erreur sur un symbole on se trompe (avec une

probabilité proche de 1) avec le ou les symboles directement

adjacents

• On commet donc une erreur sur un seul bit parmi les log2(M)

bits qui sont codés par le symbole

TESM

TEB)(2log

1


TD2


Chapitre V

• Filtrage adapté

• Performance optimale d’une

transmission numérique sans ISI


Transmissions Numériques: Filtre adapté

hCh e(t)+

Mise en forme Canal Filtre

Adaptén(t)

Sn(f)p(t)

s(t)

s(t)= [x(t)*p(t)*e(t)] + n1(t) = Signal + Bruit filtré

Objectif du filtre adapté: Minimiser le TEB/TES

Minimiser Q(distance(to)/2.n1) [si pas d’ISI et prise de décision en to]

Maximiser distance(to)/n1

la distance(to) est proportionnelle à : [p(t)*e(t)] t=to

n1 est la variance du bruit filtré par e(t)

Maximiser [p(t)*e(t)] t=to/ n1

x(t)



Objectif du filtre adapté: Maximiser [p(t)*e(t)] t=to/ n1= s(to)/n1

Maximiser [s(to)]2/n12 = SNRt=to

dffEfS

jftofEfPtos

dffEfSdffS

jftofSfSTFtos

n

n

nnn

tot

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

212

)().(

)2exp().().()(

)().()(

)2exp().()]([)(

p

p



*2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

)2exp(.)(

. :si atteinte Egalité )(

)()(

)().(

)(.)(.)(

)(

)().(

)2exp().().(

)2exp(.)(

)().(

)2exp().().()(

jftoSn(f)

fPKSn(f)E(f).df

fSn

fPtos

dffEfS

dffSnfEdffSn

fP

dffEfS

jftofEfP

jftoSn(f)

fPB(f)

Sn(f)E(f).A(f)

dffEfS

jftofEfPtos

n

nn

n

n

p

p

p

p

*22

2

)(.)(: )(.)().().( fBKfAsiEgalitédffBdffAdffBfA



Expression générale du filtre adapté

)2exp(.)(

)(.)(

)2exp(.)(

.

*

*

jftofSn

fPKfE

jftoSn(f)

fPKSn(f)E(f).

p

p


E f P f jft( ) ( ) exp*

2 0p

2

énergie (p(t))p t e t p d( ) ( ) ( )* 0 0 t t

où N0

2= DSP du bruit n(t) avant le

filtre adapté

S

N

énergie de p t

Nt t

( )

/

200

e t p t t p t t( ) * 0 0

p t e t p p t t d( ) ( ) ( )* *

0t t t

S

N

énergie de p t

t tn

( )

2

20

1

Transmissions Numériques: Filtre adapté bruit blanc

BRUIT BLANC !!


p(t)

e(t) pour to=Ts

TS

TS

0

0

t= 0.9 . Ts

++

+

p(t)r(t)

s(t)e(t)

n(t)

t=Ts/2

s(t r t e t e r t d) ( ) ( ) ( ) ( ) *

t t t

Filtre adapté:

e(t)=p(to-t)

r(t-t)e(t) r(t-t) e(t)


BRUIT BLANC !!


+

T

T

T T Tr(kT)

h1 h2 hn-1 hn

Sortie

Coefficient filtre

p(t)

h1h2

hn

E(f)= Filtre

adapté

h3h4


BRUIT BLANC !!


p(t)

+

+V

-V

n(t)(BB)

E(f)

p(t)+n(t)

s(t)Ts

e t( )0

1

Ts

t

Tt S

dnpts ttt )()(



Transmissions Numériques : Filtre adapté à deux symboles

Bit Symbole émis

0 --------> s0(t) 0<t<Ts

1 --------> s1(t) 0<t<Ts

Suite binaire +Codeur e(t)

n(t)

+

+

Objectif: Calculer e(t) de façon à minimiser le TEB

e(t)0

00

Ts

Ts

s0(t)

s1(t) to

V0 V0(t)

V1(t)V1

Minimiser TEB

MaximiserV V

n

0 1

21


MaximiserV t V t V V t s t s t e t t t

Calculer e t adapté à s t s t

E f KS f S f

S fj f t

n n n

n

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 1

0 1

0

2 2 2

2

1 1 1

*

p

( ) ( ) * ( )

( ) ( ) ( )

( ) .( ) ( )

( ).exp . . . .

Filtre adapté aux deux symboles s0(t) et s1(t)

Transmissions Numériques : Filtre adapté à deux symboles


Chapitre VI

• Canal de transmission

• ISI

• Critère de Nyquist


Transmissions Numériques: Filtres de la chaîne de transmission

Diagramme de l'œil

2 valeurs distinctes: pas d'ISI

1 0 1 0

Mise en

formeCanal

+

n(t)

Filtre de

réception

Décision

Récepteur Numérique

t

he(t)

hR(t)hC(t)h(t)

Communications numériques 1, D. Roviras 105ISIInfo.

utile

Transmissions Numériques: 1er Critère de Nyquist

hR(t)hC(t)h(t)

Mise en forme Canal Egaliseur

y(t)

he (t)

a(t)

y(k)

ISIutileInfoTsnktohestohesky

nTskTstoheskTstoyky

nTsthesthetty

nTstst

knn

nk

n

n

n

n

n

n

))(()(.)(

)()()(

)()(*)()(

)()(

,

a

a

Décisions



hR(t)hC(t)h(t)

Mise en forme Canal Egaliseur

y(t)

he (t)

1er Critère: h kTk

ke s( )

,

,

0 0

1 0

s

k s

e TT

kffH * )()( Cas général:


he(t)

0 Ts 2.Ts 3.Ts-Ts-2.Ts-3.Ts

1

t

|He(f)|Ts

Ts/2

0 1/2.Ts 1/Ts

Phase(He(f))

f

f0

Instants d'échantillonnage en t=k.Ts



he(t)

0 Ts 2.Ts 3.Ts-Ts-2.Ts-3.Ts

1

t

|He(f)|Ts

Ts/2

0 1/2.Ts 1/Ts

Phase(He(f))

f

f0

to

Instants d'échantillonnage en t=k.Ts + to

Pente:2.p.to



H f H fT

T fTe e

s

s

s

( ) ( ) 1

01

Filtres à support spectral égal à [-1/Ts, +1/Ts]:

Filtres à support spectral égal à [-1/2.Ts, +1/2.Ts]:

H f T fT

e ss

( ) 1

2 BDD ss .2max



Fonction vérifiant le 1er Critère de Nyquist,

Support spectral [-1/Ts, +1/Ts]

1/2. (1/Ts) 1/Tsf

|He(f)|

Ts

Ts/2

Symétrie impaire par

rapport à f=Ds/2 et

Ts/2 en amplitude



a

fT

T

Facteur d arrondi

cs

s

1

2

1

2

= Roll off factor

Filtres de Nyquist à coupure cosinusoïdale

(Raised Cosine roll off Filters)

Ts

Ts/2

fc f

|He(f)|

1/2.Ts 1/Ts

Transmissions Numériques: Filtre en RCF


Filtres de Nyquist: Raised Cosine roll off Filters

= coefficient d’arrondi= Roll off factor

RCF(f) =0

1 f

Tf

s

c

RCF(f) =

T Tf

T

s s

s2

11

2

cos .

.

p

a

a f

RCF(f) =0

fc < f

fc=(1+a)/(2.Ts)

Ts

1

Tf

sc f

c

s

sc

T

Tf

.21

.21

a


2)/2(1

)/cos(

/

)/sin()(

s

s

s

s

Tt

Tt

Tt

Tttrcf

a

ap

p

p


Réponses impulsionnelles

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a=0 a=1a=0.5

t

he(t)



Transmittances |He(f)|

0.2

0.4

0.6

0.8

1.Ts

f1/2.Ts0 1/4.Ts 1/Ts

a=0

a=0.5

a=1




a=0



a=0.5



a=1


Transmissions Numériques: Choix du filtre en RCF

On choisira le filtre en cosinus surélevé avec le

roll off le plus grand possible :

-1- Plus facile à réaliser car les pentes sont plus

faibles si le roll off est grand

-2- Moins sensible à la gigue de phase lorsque le

roll off est grand


Interprétation de la capacité du canal (Shannon 1948)

Canal

AWGN

Bande B

Bits

émis

EmetteurCodage canal

Modulateur

RécepteurDémodulateur

Récepteur

Décodage canal

Ps

Pn


• Nyquist : Ds max= 2.BPlus la bande passante est grande plus le débit symbole peut

être important (dépendance de C avec B)

• TEB=Q[distance/2.]=f(SNR)Plus le SNR est grand plus on pourra avoir un nombre M de

symboles grand et donc un grand débit binaire


Interprétation de la capacité du canal (Shannon 1948)

Comment s’approcher de la limite de Shannon ?

• On utilise des codes correcteurs d’erreurs

• La redondance introduite par le codeur canal impose de transporter plus de

bits (débit brut) que le débit utile

• Pour transporter ce débit brut on utilise plus de symboles qu’avec une

modulation non codée

• On fait donc plus d’erreurs car la distance entre symboles devient plus

faible à SNR=cte

• La capacité de correction du code permet de compenser la baisse du TEB

• On se rapproche de la limite de Shannon …..

La suite en théorie de l’information ….


Chapitre VII

• Chaîne de transmission globale

avec filtres de Nyquist en racine

de cosinus surélevés

• Performance dans le cas d’une

chaîne avec ISI


Transmissions Numériques: Filtre adapté et ISI, bruit blanc

hC(t)h(t) hR(t)

ou e(t)+

Mise en forme Canal Filtre

Adapté

n(t)

Sn(f)

s(t)

Nyquist: H(f). HC(f).E(f)=RCF(f)

Filtre Adapté: E(f)=H*(f). HC*(f).exp(-2.p.j.f.to)


)()( fRCFfE

)(

)()(

fH

fRCFfH

C

Phase(RCF(f))= -2.p.f.to

Phase(H(f))+Phase(HC(f))+Phase(E(f))= -2.p.f.to

Transmissions Numériques: Filtre adapté et ISI, bruit blanc


• TEB et TES avec ISI (voir

exercices, TD3)

• Correction de l’ISI :

Egalisation (Transmissions

Numériques 2)


Chapitre VIII

Codes en

Bande de Base

• Contraintes imposées aux codes

• NRZ, RZ, Biphase, Miller

• AMI, HDB3, 4B3T, CMI


Codages en bande de Base: Objectifs

Forme du spectre

Récupération aisée du

rythme des symboles

Donner des indications au

récepteur


Calcul de la densité

spectrale de puissance de

signaux aléatoires

numériques

Signaux aléatoires

Forme du spectre

Calcul de la DSP d’un signal modulé



Les modulations PAM, PSK, QAM ont toutes la même forme :

1,,1,0, Re2

MmeeenTtgets mnc

njjtfj

n

s

j

p

1,,1,0,A Re m

2

MmAenTtgAts n

tfj

n

snc p

1,,1,0, Re2

MmeAeAenTtgeAts mnc

nj

m

j

n

tfj

n

s

j

n p

Modulations PAM, PSK, QAM

M-PAM/ASK

M-PSK

M-QAM



Paquet

Log2(M)

bits

Mapping

Anexp(jn) g(t)

Re

Im

s(t)

tfc

p2cos

tfcp2sin

Bits

Bits s(t)GENERATION

SIGNAL PASSE-BAS

TRANSPOSITION

EN FREQUENCE

v(t)

k

bkkTta

n

s

j

n nTteA n

Génération PAM/PSK/QAM



• Calcul de la PSD du signal passe-bas v(t).

• Calcul de la PSD du signal passe-bande s(t).

s

n

j

n

tfj

tfj

s

n

j

n

nTtgeAtv

etv

enTtgeAts

n

c

cn

p

p

2

2

Re

Re

cvcvs ffSffSfS 4

1

Sv(f)

Ss(f)

Calcul de la PSD de s(t) en deux étapes



Calcul de la PSD de v(t)

Signal passe-bas v(t) : résultat du filtrage des symboles a(t)

par un filtre de RI g(t).

Calcul en deux étapes :

• Calcul de la PSD des symboles a(t).

• Prise en compte du filtre de mise en forme g(t)

s

n

j

n nTteAta n

2fGfSfS av g(t)a(t) v(t)

s

n

j

n nTtgeAtv n



PSD des symboles a(t)

knmamaE

k

nmaEnaEm

a

aknana

anana

,2

*

'

22

Fonction d’autocorrélation normalisée

des symboles (centrés)

Moyenne Variance

k ss

a

k

sa

s

a

s

aa

T

kf

T

mfk Tk

TTfS p

2

2

1

'22

2cos2

Proakis, Digital Coms

4ème Ed. pp. 202-207



Commentaires

• Terme 1 nul si symboles indépendants.

• Terme 2 nul si symboles équi-répartis autour

de 0

1 2

k ss

a

k

sa

s

a

s

aa

T

kf

T

mfk Tk

TTfS p

2

2

1

'22

2cos2



PSD du signal passe-bas v(t) et du signal passe-bande s(t)

sk ss

a

k

sa

s

a

s

av

T

kf

T

kG

T

mfkTkfG

TfG

TfS p

2

2

2

1

'22

22

2cos2

PSD

Continue

Composantes

Spectrales

Discrètes

cvcvs ffSffSfS 4

1


Codages en bande de Base: Spectre

Forme du spectre

- Largeur de bande

- Existence de Basses Fréquences

objectif: Adapter le signal Bande de Base au support de

transmission

G

-» Pas de BF dans la DSP des codes bandes de base utilisés

Exemple: Supports filaires

- Transformateurs

- Répéteurs à liaisons capacitives


Codages en bande de Base: Exemple d'un canal passe-haut

Problèmes posés par un canal passe-haut

SOLUTION: Ne pas avoir de longues périodes avec le même niveau

d'amplitude:

doit rester faible

Diagramme de l'oeil fermé:

x(t) Canal y(t)

x(t)

y(t)

t

duux )(



Signal NRZ de débit Db, Passe-haut avec Fc=Db/100



Signal NRZ de débit Db, Passe-haut avec Fc=Db/20


Codages en bande de Base: Somme digitale glissante

Notion de Somme Digitale Glissante:

x t a rect t kT

x u du a T

SDG n a

k

k

t nT

k

k

n

k

k

n

( )

( ) .

( )

0

0

0

SDG(n) doit rester faible pour que le code résiste aux canaux

de type passe-haut


Codages en bande de Base: Récupération d'horloge

Récupération du rythme des symboles

L'information "Horloge des symboles" est contenue

dans les transitions du code bande de base

Objectif: Avoir un codage présentant suffisamment de

transitions

-» Beaucoup de transitions dans le code utilisé


Codes en bande de base: NRZ

1/T0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

DSP du NRZ

2/T

NRZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0


Codes en bande de base: NRZ, RZ

222

21

2

21

2

2

2

.2/1.2/1

.2/1.2/1

)(...

)..sin(..)(

xVV

VV

fTf

TfTfS

x

x

xxNRZ

)

1.2(.

)1.2.(.4)(.

16)

2.(sin.

16

.)(

22

222

2

T

kf

k

Vf

VTfc

TVfSRZ

p

NRZ entre V1 et V2 de Débit=1/T

RZ entre 0 et +V de Débit=1/T

Raies en f= 0, +1/T,-1/T,+3/T,-3/T,+5/T,-5/T....


Codes en bande de base: RZ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

DSP du NRZ (rouge) et du RZ (bleu)

1/T 2/T

NRZ

RZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0


Codes en bande de base: Biphase

1/T 2/T0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

DSP du NRZ (rouge) et du Biphase (bleu)

NRZ

Biphase

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0


Codes en bande de base: Biphase, Miller

Biphase entre +V et -V de Débit=1/T

S f V Tf T

f TBiphase ( ) . .

sin ( . . / )

( . . / ) 2

4

2

2

2

p

p

Miller entre +V et -V de Débit=1/T

S f V Tf T f T f T

f T f TMiller ( ) . .

.cos( . . ) .cos ( . . ) .cos ( . . )

.cos ( . . ) .cos ( . . )

22 3

2 4

1 4 4 4

1 8 32

p p p

p p.sin ( . . / )c f T2 2p

Maximum de la DSP en f=2/(5.T)


Codes en bande de base: Miller

1/T

0

0.5

1

1.5

2

2.5DSP du NRZ (rouge) et du Miller (bleu)

2/T

Miller

NRZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0Biphase

Miller


Codes en bande de base: AMI

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

DSP du NRZ (rouge) et du AMI (bleu)

1/T 2/T

AMI

NRZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0


Codes en bande de base: AMI, Duobinaire, Bipolaire entrelacé d'ordre 2

AMI entre +V et -V de Débit=1/T

S f V T f T c f TAMI ( ) . .sin ( . . ).sin ( . ) 2 2 2p

Duobinaire entre +V et -V de Débit=1/T

S f V T c f TDuobin ( ) . .sin ( . . ) 2 2 2

Bipolaire entrelacé d'ordre 2 entre +V et -V de Débit=1/T

S f V T f T c f TBip ordre_ ( ) . .sin ( . . . ).sin ( . )22 2 22 p


Codes en bande de base: Duobinaire

0

0.5

1

DSP du NRZ (rouge) et du Duobinaire (bleu)

1/2.T 1/T

Duobinaire

NRZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0

Nombre impair de "1"


Codes en bande de base: Bipolaire Entrelacé d'ordre 2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

DSP du NRZ (rouge) et du Bipolaire Entrelacé d'ordre 2 (bleu)

1/2.T 1/T

Bipolaire entrelacé d'ordre 2

NRZ

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0


Codes en bande de base

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1/T 2/T

NRZ

Biphase

RZ

Miller



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1/2.T 1/T

Bipolaire entrelacé

AMI

NRZ

Duobinaire



10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

1/T 2/T

NRZ

Biphase

RZ

Miller



10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1

Bipolaire entrelacé

AMI

NRZDuobinaire

1/2.T 1/T



Miller

NRZ

RZ

Biphase

AMI

Duobianire

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0

Bipolaire

entrelacé


Codes en bande de base: HDB3

AMI avec longues suites de 0 ---» Pas de transitions

Objectif: Rajouter des transitions ---» HDBn (n=3 pour HDB3)

Si plus de n=3 bits à 0 ---» Ajouter des transitions à +V ou -V

Pour dissocier un 0 codé par +V ou -V

d'un "vrai" 1 ---» Viol de polarité

Règle:

quadruplet "0000" codé par "B00V"

avec B=-SDG et V=Viol

Soucis: Garder la SDG la plus faible possible


Codes en bande de base: HDB3

1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

ViolViol

B=0 car SDG=0

B=+V car SDG=-V

SDG(t)

HDB3


Codes en bande de base: xByT

AMI a un rendement de 1/Lb(3)=63%

Objectif: Augmenter le rendement du code AMI---» xByT

x éléments binaires sont codés par y éléments ternaires

Code 4B3T, rendement= 0.63 . 4/3 = 84%

Soucis: Garder la SDG la plus faible possible

Rendement d'un code= (Nbr. Bits codés par symbole)/Lb(M)

avec M= Nombre de symboles

Rendement code xByT=x/Lb(3y)=x/(y.Lb(3))=0.63. x /y


Codes en bande de base: 4B3T

4 Eléments binaires= 16 quadruplets

3 Eléments ternaires = 27 possibilités de triplets

7 triplets à SDG nulle:

+V0-V -V0+V 0+V-V 0-V+V +V-V0 -V+V0 000

"000" interdit car pas de transition ---» Reconstitution d'horloge

(16 quadruplets à coder)-(6 triplets à SDG=0)=10

---» 10 quadruplets restent à coder

Choix du codage des 10 quadruplets restant dans les 20

triplets restant. Pas de bijection car SDG doit être bornée.

2 alphabets selon la valeur de la SDG


Codes en bande de base: 4B3T, règle de codage

Quadru

plets

Quadru

plets

SDG

Triplets

Choix si

SDG<0Choix si

SDG> -1

Choix si

SDG<0

Choix si

SDG> -1

0000 0 +V 0 -V +V 0 -V

0001 0 -V +V 0 -V +V 0

0010 0 0 -V +V 0 -V +V

0011 0 +V -V 0 +V -V 0

0100 +2 / -2 +V +V 0 -V -V 0

SDG

Triplets

0101 +2 / -2 0 +V +V 0 -V -V

0110 +2 / -2 +V 0 +V -V 0 -V

0111 +3 / -3 +V+V+V -V-V-V

1000 +1 / -1 +V+V-V -V-V+V

1001 +1 / -1 -V+V+V +V-V-V

1010 +1 / -1 +V-V+V -V+V-V

1011 +1 / -1 +V 0 0 -V 0 0

1100 +1 / -1 0 +V 0 0 -V 0

1101 +1 / -1 0 0 +V 0 0 -V

1110 0 0 +V -V 0 +V -V

1111 0 -V 0 +V -V 0 +V


Codes en bande de base: Autres types de Codes

Codes du type xByQ

x éléments binaires codés par y éléments quaternaires

Exemple: 2B1Q, code de ligne à l'interface "U" du

RNIS

Codes du type xByB

x éléments binaires codés par y éléments binaires

Exemple: 1B2B= CMI, code de ligne pour liaisons fibre

optique

"0" codé par -V+V

"1" codé par "+V+V" ou par "-V-V"


Codes en bande de base: Spectre HDB3

SHDB3(f)

f1/Ts1/2.Ts


Codes en bande de base: Spectre 4B3T

S4B3T(f)

f1/Ts1/10.Ts


Codes en bande de base: Spectre 1B2B = CMI

SCMI(f)

f2/T1/T


Fonction Q(z)

Annexe:

Fonction Q(z)


Fonction Q(z)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10-16

10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

Q(z)

z

Q zu

duz

( ).

.exp( ).

1

2 2

2

p


Fonction Q(z)

z Q(z)

0.00 5.000e-001

0.01 4.960e-001

0.02 4.920e-001

0.03 4.880e-001

0.04 4.840e-001

0.05 4.801e-001

0.06 4.761e-001

0.07 4.721e-001

0.08 4.681e-001

0.09 4.641e-001

0.10 4.602e-001

0.11 4.562e-001

0.12 4.522e-001

0.13 4.483e-001

0.14 4.443e-001

0.15 4.404e-001

0.16 4.364e-001

0.17 4.325e-001

0.18 4.286e-001

0.19 4.247e-001

0.20 4.207e-001

z Q(z)

0.21 4.168e-001

0.22 4.129e-001

0.23 4.090e-001

0.24 4.052e-001

0.25 4.013e-001

0.26 3.974e-001

0.27 3.936e-001

0.28 3.897e-001

0.29 3.859e-001

0.30 3.821e-001

0.31 3.783e-001

0.32 3.745e-001

0.33 3.707e-001

0.34 3.669e-001

0.35 3.632e-001

0.36 3.594e-001

0.37 3.557e-001

0.38 3.520e-001

0.39 3.483e-001

0.40 3.446e-001

z Q(z)

0.41 3.409e-001

0.42 3.372e-001

0.43 3.336e-001

0.44 3.300e-001

0.45 3.264e-001

0.46 3.228e-001

0.47 3.192e-001

0.48 3.156e-001

0.49 3.121e-001

0.50 3.085e-001

0.51 3.050e-001

0.52 3.015e-001

0.53 2.981e-001

0.54 2.946e-001

0.55 2.912e-001

0.56 2.877e-001

0.57 2.843e-001

0.58 2.810e-001

0.59 2.776e-001

0.60 2.743e-001

z Q(z)

0.61 2.709e-001

0.62 2.676e-001

0.63 2.643e-001

0.64 2.611e-001

0.65 2.578e-001

0.66 2.546e-001

0.67 2.514e-001

0.68 2.483e-001

0.69 2.451e-001

0.70 2.420e-001

0.71 2.389e-001

0.72 2.358e-001

0.73 2.327e-001

0.74 2.296e-001

0.75 2.266e-001

0.76 2.236e-001

0.77 2.206e-001

0.78 2.177e-001

0.79 2.148e-001

0.80 2.119e-001

z Q(z)

0.81 2.090e-001

0.82 2.061e-001

0.83 2.033e-001

0.84 2.005e-001

0.85 1.977e-001

0.86 1.949e-001

0.87 1.922e-001

0.88 1.894e-001

0.89 1.867e-001

0.90 1.841e-001

0.91 1.814e-001

0.92 1.788e-001

0.93 1.762e-001

0.94 1.736e-001

0.95 1.711e-001

0.96 1.685e-001

0.97 1.660e-001

0.98 1.635e-001

0.99 1.611e-001

1.00 1.587e-001


Fonction Q(z)

z Q(z)

1.01 1.562e-001

1.02 1.539e-001

1.03 1.515e-001

1.04 1.492e-001

1.05 1.469e-001

1.06 1.446e-001

1.07 1.423e-001

1.08 1.401e-001

1.09 1.379e-001

1.10 1.357e-001

1.11 1.335e-001

1.12 1.314e-001

1.13 1.292e-001

1.14 1.271e-001

1.15 1.251e-001

1.16 1.230e-001

1.17 1.210e-001

1.18 1.190e-001

1.19 1.170e-001

1.20 1.151e-001

z Q(z)

1.21 1.131e-001

1.22 1.112e-001

1.23 1.093e-001

1.24 1.075e-001

1.25 1.056e-001

1.26 1.038e-001

1.27 1.020e-001

1.28 1.003e-001

1.29 9.853e-002

1.30 9.680e-002

1.31 9.510e-002

1.32 9.342e-002

1.33 9.176e-002

1.34 9.012e-002

1.35 8.851e-002

1.36 8.691e-002

1.37 8.534e-002

1.38 8.379e-002

1.39 8.226e-002

1.40 8.076e-002

z Q(z)

1.41 7.927e-002

1.42 7.780e-002

1.43 7.636e-002

1.44 7.493e-002

1.45 7.353e-002

1.46 7.215e-002

1.47 7.078e-002

1.48 6.944e-002

1.49 6.811e-002

1.50 6.681e-002

1.51 6.552e-002

1.52 6.426e-002

1.53 6.301e-002

1.54 6.178e-002

1.55 6.057e-002

1.56 5.938e-002

1.57 5.821e-002

1.58 5.705e-002

1.59 5.592e-002

1.60 5.480e-002

z Q(z)

1.61 5.370e-002

1.62 5.262e-002

1.63 5.155e-002

1.64 5.050e-002

1.65 4.947e-002

1.66 4.846e-002

1.67 4.746e-002

1.68 4.648e-002

1.69 4.551e-002

1.70 4.457e-002

1.71 4.363e-002

1.72 4.272e-002

1.73 4.182e-002

1.74 4.093e-002

1.75 4.006e-002

1.76 3.920e-002

1.77 3.836e-002

1.78 3.754e-002

1.79 3.673e-002

1.80 3.593e-002

z Q(z)

1.81 3.515e-002

1.82 3.438e-002

1.83 3.362e-002

1.84 3.288e-002

1.85 3.216e-002

1.86 3.144e-002

1.87 3.074e-002

1.88 3.005e-002

1.89 2.938e-002

1.90 2.872e-002

1.91 2.807e-002

1.92 2.743e-002

1.93 2.680e-002

1.94 2.619e-002

1.95 2.559e-002

1.96 2.500e-002

1.97 2.442e-002

1.98 2.385e-002

1.99 2.330e-002

2.00 2.275e-002


Fonction Q(z)

z Q(z)

2.01 2.222e-002

2.02 2.169e-002

2.03 2.118e-002

2.04 2.068e-002

2.05 2.018e-002

2.06 1.970e-002

2.07 1.923e-002

2.08 1.876e-002

2.09 1.831e-002

2.10 1.786e-002

2.11 1.743e-002

2.12 1.700e-002

2.13 1.659e-002

2.14 1.618e-002

2.15 1.578e-002

2.16 1.539e-002

2.17 1.500e-002

2.18 1.463e-002

2.19 1.426e-002

2.20 1.390e-002

z Q(z)

2.21 1.355e-002

2.22 1.321e-002

2.23 1.287e-002

2.24 1.255e-002

2.25 1.222e-002

2.26 1.191e-002

2.27 1.160e-002

2.28 1.130e-002

2.29 1.101e-002

2.30 1.072e-002

2.31 1.044e-002

2.32 1.017e-002

2.33 9.903e-003

2.34 9.642e-003

2.35 9.387e-003

2.36 9.137e-003

2.37 8.894e-003

2.38 8.656e-003

2.39 8.424e-003

2.40 8.198e-003

z Q(z)

2.41 7.976e-003

2.42 7.760e-003

2.43 7.549e-003

2.44 7.344e-003

2.45 7.143e-003

2.46 6.947e-003

2.47 6.756e-003

2.48 6.569e-003

2.49 6.387e-003

2.50 6.210e-003

2.51 6.037e-003

2.52 5.868e-003

2.53 5.703e-003

2.54 5.543e-003

2.55 5.386e-003

2.56 5.234e-003

2.57 5.085e-003

2.58 4.940e-003

2.59 4.799e-003

2.60 4.661e-003

z Q(z)

2.61 4.527e-003

2.62 4.396e-003

2.63 4.269e-003

2.64 4.145e-003

2.65 4.025e-003

2.66 3.907e-003

2.67 3.793e-003

2.68 3.681e-003

2.69 3.573e-003

2.70 3.467e-003

2.71 3.364e-003

2.72 3.264e-003

2.73 3.167e-003

2.74 3.072e-003

2.75 2.980e-003

2.76 2.890e-003

2.77 2.803e-003

2.78 2.718e-003

2.79 2.635e-003

2.80 2.555e-003

z Q(z)

2.81 2.477e-003

2.82 2.401e-003

2.83 2.327e-003

2.84 2.256e-003

2.85 2.186e-003

2.86 2.118e-003

2.87 2.052e-003

2.88 1.988e-003

2.89 1.926e-003

2.90 1.866e-003

2.91 1.807e-003

2.92 1.750e-003

2.93 1.695e-003

2.94 1.641e-003

2.95 1.589e-003

2.96 1.538e-003

2.97 1.489e-003

2.98 1.441e-003

2.99 1.395e-003

3.00 1.350e-003


Fonction Q(z)

z Q(z)

3.01 1.306e-003

3.02 1.264e-003

3.03 1.223e-003

3.04 1.183e-003

3.05 1.144e-003

3.06 1.107e-003

3.07 1.070e-003

3.08 1.035e-003

3.09 1.001e-003

3.10 9.676e-004

3.11 9.354e-004

3.12 9.043e-004

3.13 8.740e-004

3.14 8.447e-004

3.15 8.164e-004

3.16 7.888e-004

3.17 7.622e-004

3.18 7.364e-004

3.19 7.114e-004

3.20 6.871e-004

z Q(z)

3.21 6.637e-004

3.22 6.410e-004

3.23 6.190e-004

3.24 5.976e-004

3.25 5.770e-004

3.26 5.571e-004

3.27 5.377e-004

3.28 5.190e-004

3.29 5.009e-004

3.30 4.834e-004

3.31 4.665e-004

3.32 4.501e-004

3.33 4.342e-004

3.34 4.189e-004

3.35 4.041e-004

3.36 3.897e-004

3.37 3.758e-004

3.38 3.624e-004

3.39 3.495e-004

3.40 3.369e-004

z Q(z)

3.41 3.248e-004

3.42 3.131e-004

3.43 3.018e-004

3.44 2.909e-004

3.45 2.803e-004

3.46 2.701e-004

3.47 2.602e-004

3.48 2.507e-004

3.49 2.415e-004

3.50 2.326e-004

3.51 2.241e-004

3.52 2.158e-004

3.53 2.078e-004

3.54 2.001e-004

3.55 1.926e-004

3.56 1.854e-004

3.57 1.785e-004

3.58 1.718e-004

3.59 1.653e-004

3.60 1.591e-004

z Q(z)

3.61 1.531e-004

3.62 1.473e-004

3.63 1.417e-004

3.64 1.363e-004

3.65 1.311e-004

3.66 1.261e-004

3.67 1.213e-004

3.68 1.166e-004

3.69 1.121e-004

3.70 1.078e-004

3.71 1.036e-004

3.72 9.961e-005

3.73 9.574e-005

3.74 9.201e-005

3.75 8.842e-005

3.76 8.496e-005

3.77 8.162e-005

3.78 7.841e-005

3.79 7.532e-005

3.80 7.235e-005

z Q(z)

3.81 6.948e-005

3.82 6.673e-005

3.83 6.407e-005

3.84 6.152e-005

3.85 5.906e-005

3.86 5.669e-005

3.87 5.442e-005

3.88 5.223e-005

3.89 5.012e-005

3.90 4.810e-005

3.91 4.615e-005

3.92 4.427e-005

3.93 4.247e-005

3.94 4.074e-005

3.95 3.908e-005

3.96 3.747e-005

3.97 3.594e-005

3.98 3.446e-005

3.99 3.304e-005

4.00 3.167e-005


Fonction Q(z)

z Q(z)

4.05 2.561e-005

4.10 2.066e-005

4.15 1.662e-005

4.20 1.335e-005

4.25 1.069e-005

4.30 8.540e-006

4.35 6.807e-006

4.40 5.413e-006

4.45 4.294e-006

4.50 3.398e-006

4.55 2.682e-006

4.60 2.112e-006

4.65 1.660e-006

4.70 1.301e-006

4.75 1.017e-006

4.80 7.933e-007

4.85 6.173e-007

4.90 4.792e-007

4.95 3.711e-007

5.00 2.867e-007

z Q(z)

5.05 2.209e-007

5.10 1.698e-007

5.15 1.302e-007

5.20 9.964e-008

5.25 7.605e-008

5.30 5.790e-008

5.35 4.398e-008

5.40 3.332e-008

5.45 2.518e-008

5.50 1.899e-008

5.55 1.428e-008

5.60 1.072e-008

5.65 8.022e-009

5.70 5.990e-009

5.75 4.462e-009

5.80 3.316e-009

5.85 2.458e-009

5.90 1.818e-009

5.95 1.341e-009

6.00 9.866e-010

z Q(z)

6.10 5.303e-010

6.20 2.823e-010

6.30 1.488e-010

6.40 7.769e-011

6.50 4.016e-011

6.60 2.056e-011

6.70 1.042e-011

6.80 5.231e-012

6.90 2.600e-012

7.00 1.280e-012

8.00 6.661e-016

9.00 1.10 e-019

10.0 7.62 e-024


Bibliographie

• Digital Communications, J. Proakis, Mc Graw-Hill, 4th

edition,2001

• Systèmes de Télécommunications, P.G. Fontoliet, Dunod, 1983

• L.W. Couch, Digital and analog communication systems, Mc

Millan, 1994, 4éme édition

• Digital Communication, Lee, Messerschmitt, Kluwer

Academic Publisher, Boston, 1988

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