Mémoire présenté devant l’ESSEC Business School pourl’obtention du titre d’Actuaire le 11/01/2017

Par : Audrey BOUBLIL

Titre : Comment définir les hausses tarifaires à l’échéanceanniversaire optimisant la valeur d’un contratd’assurance habitation ?

Confidentialité : □ NON ⊠ OUI (Durée : □ 1 an ⊠ 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialté indiquée ci-dessusTuteur académique : Entreprise : AXA FranceNom : Marie KRATZSignature : Directeur du mémoire en entreprise :

Nom : Anne-Laure LE GALLOSignature :

Membres présents du jury de l’Institut Autorisation de publication et dedes Actuaires mise en ligne sur un site de

diffusion de documents actuariels(après expiration de l’éventuel délai deconfidentialité)Signature du responsable entreprise

Signature du candidat

ESSEC Business School3 Avenue Bernard Hirsch - 95021 Cergy-Pontoise

Résumé

En France, le contexte concurrentiel en assurance habitation est tel que les affairesnouvelles sont souscrites à perte. Autrement dit, la prime commerciale est inférieure à laprime technique. Pour compenser, la prime payée par l’assuré est augmentée d’année enannée à chaque échéance anniversaire, ce qui produit à la fois la résiliation de certainscontrats sensibles à la hausse tarifaire et une augmentation de la rentabilité des contratsrestant en portefeuille à l’issue de cette hausse.

L’objet de ce mémoire est de définir la stratégie de hausses tarifaires à l’échéance anni-versaire visant à répondre conjointement aux enjeux de rentabilité du portefeuille d’assu-rance habitation et de rétention des contrats.

Nous allons pour ce faire définir et modéliser un indicateur de rentabilité adéquat,qui tienne compte des pertes et des profits générés par les contrats pendant toute leurdurée de vie. Nous nous réfèrerons pour cela à la notion de New Business Value issue ducadre théorique de l’Embedded Value, laquelle consiste à sommer les résultats futurs detoutes les affaires nouvelles de l’année. Nous analyserons également le comportement derésiliation de nos assurés à l’échéance, et modéliserons ce comportement par des mo-dèles linéaires généralisés, en tenant compte notamment de la sensibilité des assurés auxhausses tarifaires.

Une fois le modèle de résiliation intégré au modèle de valeur, nous tenterons de définirune stratégie de hausses tarifaires maximisant la valeur des contrats. L’enjeu est double :il s’agit de définir à la fois le niveau moyen des majorations tarifaires sur le portefeuille etleur segmentation.

Mots clés : AXA, assurance habitation, rentabilité, théorie de la valeur, New Business Va-lue, Embedded Value, majoration, rétention, résiliation, élasticité au prix, modèles linéairesgénéralisés, GLM, régression logistique, Chatel, Hamon

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Abstract

Competition in the French retail household insurance business is such that New Bu-siness is underwritten at a loss. This means that paid premium is lower than technicalpremium. The premium paid by the policyholder is increased each year at renewal, whichproduces concomitantly termination of some contracts sensitive to increments in pre-mium and an increase in profitability for the contracts that remain in portfolio after theincrement in premium.

The aim of the present paper is to define a strategy of increments in premium at rene-wal so as to tackle both issues of portfolio profitability and retention.

To do so, we shall define and model a profitability indicator that will take into ac-count all profits and losses generated by contracts during their lifetime. We will rely on theconcept of New Business Value, derived from the Embedded Value Principles. It consists inadding all future results of New Business contracts.

We shall also analyze the cancellation behavior of customers in the renewal processand model this behavior with generalized linear models. These models will take into ac-count elasticity to increments in premium.

Once the price elasticity model has been integrated to the New Business Value indica-tor, we shall define a strategy of increments in premium maximizing contract value. Thegoal is to define both the average level of increments in premium and their segmentation.

Keywords: AXA, household insurance, profitability, value theory, New Business Value,Embedded Value, increments in premium, retention, cancellation, termination, price elas-ticity, generalized linear models, GLM, logistic regression

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Remerciements

Je tiens d’abord à remercier toute l’équipe actuariat habitation d’AXA France pour sonaccueil et son soutien pendant toute mon alternance... et même après !

Mes remerciements à Anne-Laure LE GALLO de m’avoir donné l’opportunité de fairemon apprentissage au sein de son équipe, de m’avoir fait confiance, managée et tutoréependant ces deux ans.

Je remercie Guillaume GORGE pour le temps qu’il a accordé au suivi de mon mémoire,ainsi que pour ses remarques techniques qui ont alimenté ma réflexion.

Je souhaite remercier Emeline GRASSEIN pour sa disponibilité et ses réponses tou-jours pertinentes à mes nombreuses interrogations.

Je remercie aussi Doan-Trang NGUYEN TUAN pour son accueil dès les premiers jours,sa relecture et ses conseils techniques.

Merci à Samira SEHIL pour son accompagnement, ses lumières sur la notion de NBVet de PVFP et ses « relectures-TGV » de mon mémoire, y compris lors de ses congés.

Je remercie également Adélaïde RAMEY, Sarah BRICHET et Camille LOIRET de m’avoirsupportée et soutenue pendant ces deux années, ainsi que mes co-alternants, DjaidataMAOULIDA, Nassim ROUICHI, Mohammed GAHBICHE et Jennifer PARIENTE.

Enfin, je remercie l’équipe pédagogique de l’ESSEC qui a assuré ma formation et m’asuivie jusqu’à la fin de ce mémoire, notamment ma tutrice académique, Marie KRATZ,dont la lecture attentive a débarrassé mon mémoire de ses nombreuses imprécisions, ainsique mes proches pour leur soutien à chaque étape de celui-ci.

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IV

Table des matières

Introduction 1

1 Démarche de modélisation de la valeur 31.1 Précédentes approches de modélisation de la valeur . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Cadre théorique de l’Embedded Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Notions de Present Value of Future Profits (PVFP) et de Value In Force(VIF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Adaptation de la définition de la VIF à l’assurance habitation . . . . . . 61.2.3 La New Business Value (NBV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Choix de l’indicateur de valeur modélisé et de la granularité de la modélisation 8

2 Calcul de la New Business Value 112.1 Théorie des modèles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Modélisation des variables sans tendance sur la génération G ni surl’année de vision n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Modélisation de variables avec tendance linéaire sur l’année n . . . . . 122.1.3 Modélisation des variables avec tendance linéaire sur l’ancienneté d=n-

G et l’année n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Démarche de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Périmètre de modélisation et source de données . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Séparation de la base entre base d’apprentissage et base de validation 14

2.3 Modélisation des différents éléments constitutifs de la N BVG . . . . . . . . . . 172.3.1 Primes acquises - AcqG ;n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Charge de sinistres - SinG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3 Frais - FG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.4 Time Value - T VG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.5 Coût du risque - CoRG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.6 Résultat de réassurance - RRG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.7 Impôts - IG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.8 Calcul de la N BV à partir des éléments modélisés . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Prend-on les éléments historiques ou modélisés ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.1 Sinistralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2 Frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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2.5 Résultats de la NBV modélisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Sensibilité de la NBV aux hypothèses de majoration . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Modélisation de la résiliation 453.1 Sensibilité du taux de résiliation au taux de majoration : étude préliminaire . 463.2 Périmètre de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Théorie des modèles linéaires généralisés (GLM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Généralisation de la théorie des modèles linéaires à K variables expli-catives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 Notion de fonction de lien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3 Indicateurs AIC, BIC et Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Mise en oeuvre de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1 Analyse descriptive des variables explicatives . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Analyse des corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.3 Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.4 Ajout d’interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.5 Vérification sur la base de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.6 Stabilisation du modèle par une 10-fold cross-validation . . . . . . . . 613.4.7 Effets univariés des princiales variables retenues . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Intégration au modèle de New Business Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 Simplification du modèle de résiliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.2 Modélisation des résiliations pour autres motifs . . . . . . . . . . . . . . 663.5.3 Biais du modèle et solutions apportées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Optimisation de la stratégie de hausses tarifaires à l’échéance anniversaire 694.1 Hypothèses de tendances sur les taux de majoration à l’échéance . . . . . . . 704.2 Maximisation de la NBV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1 Maximisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2 Maximisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Sous quelles conditions peut-on définir directement le niveau de haussestarifaires à partir des modèles de résiliation, sans passer par l’optimisationde la NBV ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Contrats plus ou moins rentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2 Taux de résiliation hors majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Définition des hausses tarifaires optimales pour obtenir une NBV cible nulle 754.5 Segmentation des hausses tarifaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Conclusion 79

A Corrélations des variables explicatives du modèle de résiliation complet 81

B Détails du modèle de résiliation simplifié 83

VI

Lexique 85

Bibliographie 91

Table des figures 92

Liste des tableaux 93

VII

VIII

Introduction

Les différentes études de ce mémoire ont été réalisées au sein de la Direction du Mar-ché IARD de la branche Particuliers/Professionnels d’AXA France, et plus particulièrementavec l’équipe Actuariat « Non-Auto ». Cette équipe gère plusieurs produits d’assurancedommages, le principal étant l’assurance multi-risques habitation (dite MRH). Un pro-duit d’assurance multi-risques habitation propose des garanties pour des risques tels quele dégât des eaux, le vol, l’incendie, le bris des glaces, les catastrophes naturelles, les évé-nements climatiques et la responsabilité civile. Le rôle de l’équipe est d’assurer le pilotagedes produits, de leur production et des différents indicateurs de rentabilité.

En France, le contexte dans lequel l’assurance IARD en général, et l’assurance habita-tion en particulier, évolue est de moins en moins porteur, et ce pour plusieurs raisons : cemarché est mature et saturé, la concurrence, vive, avec la venue de nouveaux entrants telsque les bancassureurs, enfin les clients sont de plus en plus exigeants en matière de prix,notamment en lien avec la possibilité de comparer les tarifs proposés sur internet. Cettesituation rend difficile la conquête de nouvelles parts de marché. Les assureurs ont ainsitendance à faire rentrer les affaires nouvelles à tarif bas, afin d’être compétitifs. Cepen-dant, ce tarif ne permet pas de couvrir les coûts, notamment d’acquisition, c’est-à-dired’être rentable dès la première année.

Dans le cadre de l’assurance habitation, le contrat se caractérise en général par uneclause de tacite reconduction à l’échéance anniversaire. Cette reconduction automatiquedu contrat s’accompagne d’une hausse, ou majoration, de la prime plus ou moins soute-nue selon les caractéristiques des polices d’assurance, selon les sinistres qu’il a déclarésdurant la période. Les assureurs augmentent ainsi leurs tarifs à chaque échéance anni-versaire de façon à assurer la rentabilité du portefeuille : les affaires nouvelles, rentréesen portefeuille à perte, sont compensées par des contrats présents en portefeuille de-puis de nombreuses années et devenus très rentables à force de hausses tarifaires. Cebusiness model suppose que le contrat reste suffisamment longtemps en portefeuillepour que les pertes des premières années soient compensées par les profits des annéessuivantes, autrement dit, que sa duration est suffisamment élevée pour qu’il soit rentablesur toute sa durée de vie. Afin de bien définir les majorations à l’échéance anniversaire,il convient donc de tenir compte de la valeur du contrat, non pas de façon immédiate,mais sur toute sa durée de vie : en effet, un contrat récemment souscrit non rentableà l’instant t le deviendra s’il reste suffisamment longtemps en portefeuille, et les profitsqu’il génèrera dans le futur compenseront les pertes passées.

1

Cependant, selon la loi no 2008-3 pour le développement de la concurrence au servicedes consommateurs, publiée au Journal Officiel le 3 janvier 2008 et entrée en vigueur le 1er

juin 2008, dite loi « Chatel » , les assurés doivent être informés du tarif auquel leur contratsera renouvelé dans un délai de 3 mois à 15 jours avant la date d’échéance du contrat. Leclient peut alors décider de résilier ou d’accepter que sa couverture soit prolongée d’un anà ce nouveau tarif. Dans un portefeuille d’assurance habitation tel que celui d’AXA France,il existe un taux de résiliation que l’on peut qualifier « d’intangible » : nous ne pouvons, parexemple, maîtriser le nombre de résiliations pour motif de déménagement ou de décès.Néanmoins, à celles-ci s’ajoutent des résiliations qu’il est possible sinon de maîtriser, dumoins d’estimer : les « résiliations pour motif de majoration ». En effet, un contrat dont onmultiplierait, par exemple, la prime par dix a de fortes chances de résilier, et n’aura doncpas le temps de rapporter les profits espérés. Or, l’entrée en vigueur le 1er janvier 2015 dela loi no 2014-344 relative à la consommation, publiée au Journal Officiel le 17 mars 2014,dite loi « Hamon » , provoque une hausse de ces « résiliations pour motif de majoration» : les assurés résiliant plus, les contrats ne restent plus suffisamment longtemps enportefeuille pour devenir profitables sur le long terme.

Or, les mesures tarifaires au terme sont, à ce jour, définies non pas en tenant compte dela profitabilité des contrats, mais en fixant un objectif d’augmentation du chiffre d’affairecible. Après avoir soustrait toutes les autres causes de variation du chiffre d’affaire, commela modification du mix portefeuille (effet mix), ou la variation de l’apport net (effet vo-lume), on déduit la valeur totale des hausses tarifaires à l’échéance sur tout le portefeuillenécessaire pour obtenir l’augmentation du chiffre d’affaire demandée. Les hausses tari-faires sont ensuite réparties, c’est-à-dire segmentées selon des critères techniques commela sinistralité passée ou la segmentation technique du risque, mais également selon d’autrescritères résultant de négociations avec le réseau de distribution.

L’objet de ce mémoire est de construire un indicateur mesurant la valeur d’un contratsur toute sa durée de vie, dans le but de définir la stratégie de hausses tarifaires maxi-misant la valeur du contrat.

On se réfèrera au cadre théorique de l’Embedded Value pour ces travaux, que l’onappliquera au cas de l’assurance habitation, pour définir l’indicateur voulu (chapitre 1).Dans ce cadre, nous serons notamment amenés à effectuer des projections sur 30 ans, cequi nous pousse à correctement définir la granularité de l’indicateur (section 1.3). Dansnos modélisations, où nous appliquerons notamment la théorie des modèles linéaires(chapitre 2), on fera notamment attention à prendre en compte les problèmes spécifiquesà l’assurance habitation, comme la prise en compte de la sinistralité catastrophe (section2.3.2). L’indicateur devra aussi prendre en compte à la fois l’historique de hausses tarifairesannuelles et les problèmes de baisse de la duration causée par de trop fortes hausses : ilfaudra donc créer un modèle de rétention et l’intégrer à l’indicateur de valeur (chapitre3). Une fois cet indicateur créé, il faudra rechercher la stratégie optimale de hausses ta-rifaires, c’est-à-dire effectuer une maximisation, éventuellement sous contrainte(s), del’indicateur (chapitre 4).

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Chapitre 1

Démarche de modélisation de la valeur

Sommaire1.1 Précédentes approches de modélisation de la valeur . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Cadre théorique de l’Embedded Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Notions de Present Value of Future Profits (PVFP) et de Value In Force(VIF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Adaptation de la définition de la VIF à l’assurance habitation . . . . 6

1.2.3 La New Business Value (NBV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Choix de l’indicateur de valeur modélisé et de la granularité de la modé-lisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

On cherche à définir l’indicateur de rentabilité adéquat, qui tienne compte des pro-fits et des pertes générés sur toute la durée de vie des contrats. Cette approche nousamènera à adapter des concepts couramment utilisés en assurance vie, où il est d’usaged’effectuer des projections sur le long terme, à l’assurance habitation, où des indica-teurs de rentabilité immédiate tels que le ratio combiné sont plus fréquemment utili-sés.

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1.1 Précédentes approches de modélisation de la valeur

En assurance dommages en général, et en assurance habitation en particulier, il estcourant de se référer à des notions telles que le S/C ou le ratio combiné afin d’évaluer larentabilité des contrats. Le S/C ou Loss Ratio (LR), défini comme la charge de sinistresdivisée par les primes acquises, permet de calculer la part de la prime payée servant àcouvrir les risques souscrits. Le Ratio Combiné ou Combined Ratio (CR), défini comme lasomme de la charge de sinistres et des autres frais, divisée par la somme des primes ac-quises, permet de calculer la part de la prime payée servant à couvrir toutes les dépensesrelatives aux contrats. Pour qu’un contrat soit rentable 1, il faut et suffit que le ratio com-biné soit inférieur à 100%. Cependant, nous avons vu que la stratégie consistant à sous-crire les contrats en affaires nouvelle à un tarif trop bas pour convrir les coûts, notammentd’acqusistion, puis à augmenter la prime payée chaque année à l’occasion des échéancesannuelles successives conduisait à avoir des S/C et ratios combinés décroissants avec lesannées passées en portefeuille : un contrat récemment souscrit non rentable à l’instant tle deviendra s’il reste suffisamment longtemps en portefeuille, et les profits qu’il génèreradans le futur compenseront les pertes passées.

Or, cette problématique liée à la duration et donc à la rétention des contrats n’est pasprise en compte dans ces notions telles que le S/C ou le ratio combiné, lesquelles tra-duisent une rentabilité immédiate du contrat, et non pas une rentabilité sur toute sa du-rée de vie. On souhaite donc se référer à une théorie permettant de calculer la valeur d’uncontrat sur toute sa durée de vie. Ce type de théories est couramment utilisée en assu-rance vie. En effet, les contrats d’assurance vie courant sur plusieurs dizaines d’années, ilfaut calculer leur valeur sur toute leur durée de vie pour pouvoir mesurer correctementleur rentabilité.

Plusieurs approches ont déjà été mises en oeuvre en ce sens à AXA France : un pre-mier outil développé au sein de l’équipe actuariat habitation dérive d’un outil développépar le GIE AXA. Cet outil est une application du concept de New Business Value et viseà mesurer la valeur d’une génération de contrat à l’échelle d’un segment (cf. section 1.3)du portefeuille. Un autre outil, développé par les équipes « client » à partir du concept dePresent Value of Future Profits, vise à évaluer la valeur de chaque contrat détenu par lesclients d’AXA France, afin de calculer la valeur totale du client pour AXA France à des finsde gestion de la relation client (campagnes marketing notamment). Nous décidons doncde nous intéresser au cadre des Embedded Value Principles pour notre démarche de dé-finition d’une mesure de la valeur contrat. Afin de ne pas biaiser notre démarche, nousdécidons de repartir directement de cette théorie plutôt que de nous référer aux deux ap-proches précédemment mises en oeuvre.

1. C’est-à-dire, pour que les coûts afférents au contrat soient couverts par les primes payées. Pour que lecontrat soit rentable du point de vue de l’actionnaire, c’est-à-dire pour qu’il le rémunère au taux attendu, ilfaut se référer à la notion de Ratio Combiné Economique (Economic Combined Ratio ou ECR), qui prend encompte les frais supplémentaires du point de vue de l’actionnaire comme le coût du capital ou le coût desrisques non financiers.

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1.2 Cadre théorique de l’Embedded Value

Un groupe de discussion, le CFO Forum (Chief Financial Officer Forum), regroupantles principux acteurs du marché européen de l’assurance, a établi des règles pour évaluerfinancièrement (c’est-à-dire, en se plaçant du point de vue de l’actionnaire) la valeur d’uneentreprise d’assurance, en tenant compte des spécficités du secteur comme la gestion desrisques et le cycle de production inversé, et pour pouvoir comparer deux entreprises as-surancielles entre elles et l’assurance à d’autres businesses (CFO Forum [2004], [2005],[2006], [2008a] et [2008b]).

Le CFO Forum a défini l’Embedded Value, un indicateur qui mesure la valeur d’une en-treprise du point de vue de l’actionnaire. Les publications d’Embedded Value permettentde comprendre comment les profits futurs se matérialisent en dividendes pour les action-naires ou sont réinvestis dans l’entreprise.

En Embedded Value, l’évaluation d’un contrat d’assurance conduit à prendre en comptel’ensemble des flux futurs générés par ce contrat. Ainsi un contrat d’assurance est valorisépositivement si, sur toute sa durée de vie, il est une source de profits pour l’actionnaire(Kroely [2010]).

1.2.1 Notions de Present Value of Future Profits (PVFP) et de Value InForce (VIF)

Dans ce cadre, la Present Value of Future Profits, ou PV F PN est définie comme lasomme des résultats futurs distribuables Rn actualisés à un taux a = i +6% = 8,27% égalau taux sans risque i = 2,27% 2 plus une prime de risque forfaitaire de 6%. C’est-à-dire :

PVFPN =N∑

n=1

Rn

(1+a)n

LA PV F PN correspond au scenario « moyen » déterministe, ou scenario « forward » de lavaleur du stock de contrats de l’année N .

Or, dans une compagnie d’assurance, le résultat de l’année n se calcule habituellementcomme suit :

Résultat (Rn) =+ Primes acquises (Acqn)

+ Produits financiers (PFn)- Prestations (Pr esn)

- Variations des provisions techniques (∆PTn)

2. Les taux sont fournis par le Département Contrôle de Gestion d’AXA France. Comparativement à lacourbe des taux sans risque EIOPA de fin décembre 2016 qui présente des taux négatifs à 5 ans, celle-ciest très prudente et semble prendre en compte des risques comme les risques de modélisation (il ne s’agitdonc pas d’un pur « taux sans risque »). Pour des raisons de cohérence interne à AXA France, nous décidonsnéanmoins de conserver ce taux.

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- Participation des assurés aux bénéfices (PBn)- Frais d’acquisition et d’administration (frais,commission et autres charges) (Fn)

- Impôts (In)+/- Divers (ex Participation des salariés)

D’où :

PVFPN =N∑

n=1

Acqn +PFn −Pr esn −∆PTn −PBn −Fn − In

(1+a)n

Les flux futurs sont calculés à l’aide d’hypothèses prises en Best Estimate : taux de mor-talité, taux de résiliation, frais, impôts, hypothèses financières. La prime de risque est cen-sée refléter les aléas possibles de ces paramètres. Enfin, il n’y a pas de période délimitéede calcul, mais celle-ci se situe généralement autour de 30 ans. C’est la période que nousprendrons pour notre modélisation.

La valeur du portefeuille (Value In-Force VIF) se compose de plusieurs items :

• La Present Value of Future Profits ou PVFP, déjà définie, correspond à la valeur ac-tuelle des profits futurs générés par le stock de contrat en scenario « forward », c’est-à-dire à l’équivalent certain de cette valeur actuelle.

• La valeur temps des options et garanties financières (Time Value of Financial Op-tions and Guarantees, ou TVFOG) est l’écart entre ce scenario « forward » et la moyen-ne de différents scenarii pondérée par les probabilités de chaque scenario. Dans lecas de l’assurance vie, la T V FOG sert à faire apparaître les options qui ne se dé-clanchent que dans certains scenarii, comme une option de rachat.

• Le coût du capital (Cost of Capital ou CoC) est un coût pour les actionnaires lié àl’immobilisation du capital requis qui aurait pu être placé. Il est calculé comme ladifférence entre le capital requis et sa valeur pour les actionnaires additionnée desrendements futurs.

• Le coût des risques non financiers (Cost of Non Financial Risks ou CNFR), notam-ment des risques opérationnels.

D’où :

VIF N = PVFPN −TVFOGN −CoCN −CNFRN

=30∑

n=1

Acqn +PFn −Presn −∆PTn −PBn −Fn − In

(1+a)n−TVFOGN −CoCN −CNFRN

1.2.2 Adaptation de la définition de la VIF à l’assurance habitation

La définition de la VIF étant principalement pensée pour l’assurance vie, il nous fautdétailler les éléments pertinents dans le cas de l’assurance IARD, notamment de l’assurancehabitation (Crochelet).

On conserve ainsi les items suivants :

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• La TVFOG est égale à 0 en assurance habitation, car il n’y a pas de «garantie cachée».

• Le coût du capital (CoC) et le coût des risques non financiers (CNFR) sont regroupéssous le terme de coût du risque. On peut soit exprimer ce coût sur toute la durée devie du contrat, soit le segmenter en coût du risque annuel CoRn , c’est à dire qu’onle considère comme un coût supplémentaire qui imputerait le résultat de l’année n.Dans cette optique, les CoRn doivent, comme tous les autres flux, être sommés etactualisés sur 30 ans.

CoCN +CNFRN =30∑

n=1

CoRn

(1+a)n

• Dans l’équivalent certain (Present Value of Future Profits - PVFP), on doit détaillerles éléments du résultat d’un contrat d’assurance habitation :+ Primes acquises (Acqn)+ Time Value (T Vn), ou escompte sur les sinistres : les primes sont reçues et placéesau taux sans risque avant que les sinistres correspondants ne soient payés. La timevalue correspond au profit ainsi réalisé. Il s’agit du seul produit financier (PFn)- Charge de sinistres (Si nn) : comprend les règlements (c’est-à-dire les prestationsPr esn) et réserves(∆PTn). Attention, la sinistralité catastrophe, c’est-à-dire la partde risque non mutualisable entre les contrats, d’un même portefeuille doit être traî-tée correctement de façon à ce que les évolutions de la PV F P traduisent des évolu-tions fondamentales de la valeur du portefeuille, et ne traduisent pas la seule volati-lité de cette sinistralité- Frais (Fn) : commissions, autres frais d’acquisition, frais de gestion des contrats,frais de gestion des sinistres+ Résultat de réassurance (RRn)- Impôts (In) : y compris taxes sur le coût du risque.

D’où :

VIF N =30∑

n=1

Acqn +TVn −Sinn −Fn −CoRn − In +RRn

(1+a)n

1.2.3 La New Business Value (NBV)

La New Business Value (NBV) est un indicateur calculé dans le même cadre que la VIF.Cependant, alors que la VIF est une mesure de la valeur du portefeuille de contrats, laNBV mesure la valeur d’une génération spécifique de contrats G , c’est à dire la valeur del’ensemble des affaires nouvelles d’une année.

Ainsi, alors que la VIF consiste à sommer les frais futurs de l’ensemble des contrats enportefeuille, la NBV de l’année G consiste à sommer les frais futurs de toutes les affairesnouvelles de l’année G . D’où :

NBVG =G+30∑n=G

AcqG;n +TVG;n −SinG;n −FG ;n −CoRG;n − IG ;n +RRG;n

(1+a)n−G

7

où G représente l’année de souscription des contrats et n, l’année de vision des flux géné-rés par ces contrats.

1.3 Choix de l’indicateur de valeur modélisé et de la granu-larité de la modélisation

On peut calculer la valeur de chaque contrat de notre portefeuille. Cela permettraitd’identifier les contrats profitables ou non, donc de segmenter précisément les majora-tions à l’échéance anniversaire. Cependant, calculer la valeur d’un contrat sur toute sadurée de vie consiste, on l’a vu dans la section précédente, à effectuer des projectionssur 30 ans. Or, effectuer des projections sur 30 ans à l’échelle d’un contrat implique degrands risques d’erreur de modélisation, et on ne souhaite pas prendre le risque de dé-finir notre stratégie de hausses tarifaires sur une valeur contrat instable ou erronée. Onsouhaite contrôler la projection effectuée, de manière à ne pas risquer d’optimiser notrestratégie sur des erreurs de modélisation. On obtiendrait alors une stratégie précise, maistotalement fausse. Par ailleurs, modéliser la valeur de chaque contrat de notre portefeuillesuppose de correctement modéliser la sinistralité de chacun de ces contrats. Or, suite àdes contraintes opérationnelles, notamment une récente refonte des modèles de primepure, les modèles n’ont pas été finalisés à temps pour que nous puissions les utiliser dansnotre étude. Modéliser une valeur par contrat est donc, dans le cadre de notre mémoire,exclu. Si notre démarche de modélisation de la valeur se conclut par des résultats promet-teurs, nous pourions alors envisager, une fois les modèles de primes pures finalisés, demodéliser la valeur contrat par contrat - mais ceci dépasse le cadre du présent mémoire.

A l’opposé, nous pourrions calculer la valeur du portefeuille habitation complet. Ce-pendant, AXA France identifie 7 segments de contrats habitation aux caractéristiques dis-tinctes : Propriétaires Occupants d’Appartement, Propriétaires Occupants de Maison, Lo-cataires d’Appartement, Locataires de Maison, Propriétaires Non Occupants d’Apparte-ment, Propriétaires Non Occupants de Maison et Étudiants. Par exemple, les Etudiantsrestent en moyenne 1.5 ans en portefeuille et ont une prime moyenne de l’ordre de 50euros, alors que les Propriétaires Occupants de Maison restent en moyenne 20 ans en por-tefeuille et ont une prime moyenne de plus de 300 euros. Ces deux segments ont donc desvaleurs très différentes, à modéliser séparément.

Afin de sécuriser notre démarche, nous préférons calculer un indicateur de valeur àl’échelle année de souscription × segment. Cela permet d’avoir des ordres de grandeurvérifiables et de mieux contrôler la projection de tous les éléments nécessaires au calculde l’indicateur (sinistres, frais, primes).

Concernant le choix de l’indicateur à modéliser pour pouvoir définir la stratégie dehausses tarifaires à chaque échéance anniversaire d’un contrat, la VIF conduirait à mé-langer des contrats de différentes années de souscription, avec des durations différentesnotamment dues à l’évolution de la règlementation et du marché de l’assurance habita-tion. Par ailleurs, nos hausses tarifaires sont notamment segmentées selon l’anciennetédes contrats. Calculer la VIF de chaque segment conduirait à proposer un taux de majo-

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ration unique par segment, sans tenir compte de son ancienneté en portefeuille, ce quenous ne souhaitons pas. Nous décidons donc de nous référer à la notion de NBV.

Calculer une NBV 2015, par exemple, signifie calculer la valeur projetée sur 30 anset rapportée (c’est-à-dire actualisée) à fin 2015 des affaires nouvelles souscrites pendantl’année 2015. Définir la stratégie de majorations à l’échéance permettant d’optimiser laNBV 2015 signifie donc que nous définissons aujourd’hui la stratégie future à adopter pourles échéances anniversaires futures des affaires nouvelles 2015.

Dans le présent mémoire, nous détaillerons la modélisation de la NBV du segmentdes Locataires d’Appartement, hors formule « Étudiant », sachant que la modélisation desautres segments suivrait la même méthode. On considère donc ce segment du portefeuilleHabitation d’AXA France SA, soit un peu moins de 760 000 contrats en 2015.

Bilan

Nous avons choisi comme indicateur de valeur la New Business Value, ou N BV , quenous calculerons, non pas contrat par contrat, mais à l’échelle du segment des Loca-taires d’Appartement, hors Etudiants.

9

10

Chapitre 2

Calcul de la New Business Value

Sommaire2.1 Théorie des modèles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Modélisation des variables sans tendance sur la génération G ni surl’année de vision n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Modélisation de variables avec tendance linéaire sur l’année n . . . 12

2.1.3 Modélisation des variables avec tendance linéaire sur l’anciennetéd=n-G et l’année n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Démarche de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Périmètre de modélisation et source de données . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Séparation de la base entre base d’apprentissage et base de validation 14

2.3 Modélisation des différents éléments constitutifs de la N BVG . . . . . . . 17

2.3.1 Primes acquises - AcqG ;n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Charge de sinistres - SinG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.3 Frais - FG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.4 Time Value - T VG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.5 Coût du risque - CoRG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.6 Résultat de réassurance - RRG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.7 Impôts - IG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.8 Calcul de la N BV à partir des éléments modélisés . . . . . . . . . . 36

2.4 Prend-on les éléments historiques ou modélisés ? . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Sinistralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Résultats de la NBV modélisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Sensibilité de la NBV aux hypothèses de majoration . . . . . . . . . . . . 42

11

Pour effectuer nos projections, objets du présent chapitre, nous appliquerons lathéorie des modèles linéraires à chaque élément de la N BV , que nous sommerons en-suite pour calculer celle-ci.

2.1 Théorie des modèles linéaires

L’indicateur de NBV étant modélisé à l’échelle du segment complet, les seules variablesexplicatives possibles pour modéliser cet indicateur sont l’année de vision du contrat net son année de souscription G . Notre objectif est de modéliser toute tendance graphi-quement visible dans nos données sur ces deux variables, ce qui nous pousse à utiliser lathéorie des modèles linéaires. Si l’on observe une tendance non linéaire, on effectue destransformations de façon à se ramener à un modèle linéaire. Nous définissons la duration,ou ancienneté du contrat, comme le temps passé par celui-ci en portefeuille d = n −G .

2.1.1 Modélisation des variables sans tendance sur la génération G nisur l’année de vision n

Sous l’hypothèse qu’une variable aléatoire X ne dépend ni de la génération G ni del’année de vision n, le modèle théorique, formulé en termes de variables aléatoires, prendla forme suivante : ∀i ≥ 1 Xi = a0 +εi

où εi est l’erreur du modèle qui exprime, ou résume, l’information manquante dans lemodèle (problème de spécifications, variables non prises en compte, etc.), tel que :

• H1 : E(εi ) = 0 Le modèle est bien spécifié en moyenne : E(Xi ) = a0.

• H2 : V (εi ) =σ2 ∀i Homoscédasticité des erreurs (variance constante)

• H3 : cov(εi ,ε j ) = 0 ∀i = j Pas d’autocorrélation des erreurs.

On dit que (εi )∀i≥1 est un bruit blanc faible.D’où la modélisation suivante : ∀i ≥ 1 Xi = E(X )+εi

On sait que la moyenne empirique est un estimateur convergent et sans biais de l’espé-rance (on se réfèrera à n’importe quel livre d’inférence stochastique tel que Casella andBerger [2002] pour une démonstration détaillée), on choisira donc d’évaluer E(Xi ) par unemoyenne arithmétique en considérant tous les contrats sur 5 dernières années d’historique(n ∈ [[n1 −4;n1]]).

2.1.2 Modélisation de variables avec tendance linéaire sur l’année n

Si une variable aléatoire Y (dite variable endogène) suit une tendance linéaire surl’année de vision N (dite variable explicative), le modèle théorique (détaillé dans un livrede statistiques tel que Sachs [1984] ou d’économétrie tel que Brook [2008]) prend la forme:∀i ≥ 1 Yi = a0 +a1 ×Ni +εi

12

où a0 et a1 sont les paramètres à estimer (a0 est l’ordonnée à l’origine et a1 est la pentede la droite de régression) et εi est l’erreur du modèle. Les hypothèses du modèle sont lessuivantes :

1. Hypothèses stochastiques

• H1 ∪H2 ∪H3 : (εi ) est un bruit blanc faible ;

• H4 :cov(Ni ,ε j ) = 0∀i = j : les erreurs sont linéairement indépendantes de lavariable exogène.

2. Hypothèses structurelles

• H5 : absence de colinéarité entre les variables explicatives, i.e. X ′X est régu-lière, det(X ′X ) = 0 et (X ′X )−1 existe

• H6 : limn→+∞

X ′Xn est une matrice finie non singulière Q.

• H7 :n > p +1 Le nombre d’observations est supérieur au nombre de variables+ 1 (la constante).

Nous allons évaluer les paramètres a0 et a1 à partir des p observations (yi ,ni ), réali-sations des variables aléatoires (Yi , Ni ) dont nous disposons, ainsi que les résidus estiméspar la différence entre la valeur de y observée et la valeur estimée : εi ≡ yi − yi

On estime a0 et a1 par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO), laquelleconsiste à minimiser la somme des carrés des résidus par rapport aux deux paramètresa0 et a1 :

S = argmina0,a1

p∑i=1

ε2i = argmin

a0,a1

p∑i=1

(yi − a0 − a1 ×ni )2

La solution obtenue est :

a1 =

∑pi=1(ni − n)(yi − y)∑p

i=1(ni − n)2

a0 = 1

p

( p∑i=1

yi − a1

p∑i=1

ni

)= y − a1n

avec n = 1p

∑pi=1 ni moyenne empirique des ni et y = 1

p

∑pi=1 yi moyenne empirique des yi .

Par convention, on notera LM(n) le modèle linéaire (Linear Model) formulé sous leshypothèses ci-dessus.

2.1.3 Modélisation des variables avec tendance linéaire sur l’anciennetéd=n-G et l’année n

Si une variable Y suit une tendance sur l’ancienneté D et sur l’année de vision N , lemodèle théorique, sous les mêmes hypothèses que précédemment, s’écrit :∀i ≥ 1 Yi = ao +a1 ×Ni +a2 ×Di +εi

où a0, a1 et a2 sont les paramètres à estimer et εi est l’erreur du modèle.

13

ou encore, sous forme matricielle : Y = X a +ε,

avec Y =

Y1...

Yp

X =

1 N1 D1...

......

1 Np Dp

a =a0

a1

a2

et ε=

ε1...εp

,

p étant le nombre d’observations.Lorsque nous disposons de p observations (yi ,ni ,di ), i = 1. . . p, réalisations des va-

riables aléatoires (Yi , Ni ,Di ), nous pouvons estimer les différents paramètres comme pré-cédemment en résolvant :

argmina0,a1,a2

n∑i=1

ε2i = argmin

a0,a1,a2

n∑i=1

(yi − a0 − a1 ni − a2 di )2

dont la solution est l’estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) :a = (X ′X )−1X ′Y

Pour simplifier l’écriture, on notera LM(n,d) le modèle linéaire (Linear Model) formu-lé sous les hypothèses formulées ci-dessus.

On peut généraliser la théorie des modèles linéaires à K variables explicatives, voireeffectuer des transformations sur la variable endogène via une fonction dite « de lien ».Cette généralisation est détaillée dans la partie 3.3.1.

2.2 Démarche de modélisation

2.2.1 Périmètre de modélisation et source de données

On considère le segment des Locataires d’Appartement, hors formule « Étudiants», soitun peu moins de 760 000 contrats en 2015. Pour obtenir notre base de modélisation de laN BV , on utilise l’historique par génération des contrats ayant été présents en portefeuilleentre n0 = 2003 et n1 = 2015, soit une base de données de plus de 11 millions de contratsau total. Cette base de données, réalisée sous le logiciel SAS, a été agrégée par année desouscription × année de vision, puis exportée sous Excel. La totalité de nos modélisationsont lieu sous Excel.

2.2.2 Séparation de la base entre base d’apprentissage et base de valida-tion

Nous sommes face, non pas à un problème de modélisation pure, mais à un problèmede projection et de prédiction : on souhaite calibrer notre modèle sur une base de donnéedont on connaît a priori la variable réponse (ici, on calibre sur les années passées) afind’utiliser le modèle pour prédire la variable réponse d’une autre base de données (les an-nées futures). Par conséquent, on souhaite vérifier pendant la phase de construction denotre modèle que celui-ci se généralisera bien à une base de données indépendante de labase utilisée pour la modélisation, c’est-à-dire éviter les problèmes de sur-apprentissage.

14

On sépare donc aléatoirement l’échantillon total en 80% de base d’apprentissage (en an-glais, « in-sample ») et 20% de base de validation (« out-of-sample ») afin de vérifier quele modèle s’ajuste aussi bien aux données de la base de validation que celles de la based’apprentissage (Heaton Research [2010]). Une fois cette validation effectuée, on utiliserale modèle pour prédire la variable réponse sur les années futures.

Calibration du modèle sur la base d’apprentissage

On calibre le modèle dans un premier temps sur la base d’apprentissage uniquement,en laissant de côté la base de validation.

Les données étant à la maille année de vision n × année de souscription G , on com-mence simplement par visualiser chaque variable Y selon l’année de vision et l’année desouscription. On essaie de voir si la variable semble suivre une tendance sur n et d , et sicette tendance semble linéaire. Si l’on observe une tendance non linéaire, on effectue destransformations jusqu’à ce que la tendance semble linéaire.

On estime un premier modèle Y = LM(n,d). On souhaite choisir un critère de décisionnous permettant de vérifier si toutes les variables explicatives ont un impact significatifdans le modèle, c’est-à-dire que le coefficient coerrespondant à cette variable est non-nul. On pose l’hypothèse nulle H0 : «Le coefficient ak de la variable explicative Xk est nul»vs. l’hypothèse alternative Ha :ak = 0.

On peut commettre deux types d’erreur en prenant la décision d’accepter ou de rejeterH0 :

• rejeter l’hypothèse alors que cette dernière était vraie : c’est l’erreur de type I (tailledu test).

• accepter l’hypothèse alors que cette dernière est fausse : c’est l’erreur de type II (1 -puissance du test).

Comme on considère plus grave de ne pas modéliser une tendance existante que demodéliser une tendance « en trop », on fait le choix de H0, et on vérifie la significativité ducoefficient ak à l’aide d’un test de Student (test bilatéral).

Sous H0, la distribution d’échantillonnage de ak suit une loi normale de moyenne 0 etvariance sp

n(avec s écart-type empirique non biaisé de ak ). Donc x

s/p

nsuit une Student à

n −p −1 degrés de liberté (avec x moyenne empirique de Xk , n taille de l’échantillon et pnombre de variables explicatives au modèle).

On en déduit un intervalle de confiance à α= 5% : x ∈ IC = [±tn−p−1,1−α/2× spn

]. α

est la probabilité d’obtenir la même valeur (ou une valeur encore plus extrême) du test siH0 est vraie.

On définit donc le critère de décision suivant :

• si x ∈ IC , alors on accepte H0,

• sinon, on rejette H0

15

et on considère le coefficient comme significatif au seuil α= 5%. Alternativement, on peutdirectement comparer la p-value = t−1

n−p−1, spn

au seuil α= 5%.

Si on rejette H0, considérant la variable comme non-significative, on retire la variabledu modèle. Si plusieurs variables du modèle possèdent une p-value supérieure à 5%, onretire la variable non-significative ayant la p-value la plus importante et on refera un mo-dèle simplifié sans cette variable, en itérant ce processus jusqu’à ce que toutes les variablessoient significatives. On vérifiera que les résidus n’ont pas de tendance sur n ou d sur labase d’apprentissage, ce qui signifierait qu’une tendance n’a pas été captée et invalideraitainsi le modèle.

Si l’on a testé un modèle comportant une transformation sur Y ,n ou d , on suivra lamême démarche pour ce modèle. Si on obtient deux modèles significatifs (ou plus), onchoisit celui qui a la puissance de test la plus élevée (erreur de type II la plus faible) et quisemble graphiquement le mieux décrire les données.

Validation du modèle (base de validation)

Dans un deuxième temps, on applique le modèle sur la base de validation et on me-sure l’écart entre l’observé et le prédit sur cette base. Si l’erreur de modélisation, mesuréepar des critères comme l’erreur quadratique moyenne ou la différence entre moyenne ob-servée et moyenne prédite, diminue au fur et à mesure que nous compliquons le modèle(c’est-à-dire que nous ajoutons des variables explicatives au modèle) sur la base d’appren-tissage mais que celle-ci stagne ou augmente sur notre base de validation, nous sommesface à un problème de sur-apprentissage et devons cesser de compliquer le modèle. Sil’erreur de modélisation est significativement supérieure sur la base de validation que surla base d’apprentissage, nous sommes également face à un problème de sur-apprentissage.

Pour mesurer l’erreur de modélisation, on utilisera les critères de validation suivants:

• On vérifiera graphiquement que le modèle décrit bien les données sur la base de test(que la tendance est visuellement bonne).

• On vérifiera graphiquement l’absence de tendance sur les résidus (pour vérifier l’hy-pothèse E(εi ) = 0).

• On comparera la moyenne observée et la moyenne prédite sur la base de test.

• On comparera la racine de la somme des erreurs au carré (Root Mean Square Error):

RMSE =√√√√ p∑

i=1ε2

i entre la base de modélisation et la base de test.

D’autres méthodes, plus poussées, de validation croisée pendant la phase de construc-tion de celui-ci existent, comme la k-fold cross validation décrite en section 3.4.6. Ces mé-thodes permettent d’éviter le biais d’échantillonnage lors de la division de l’échantillon

16

initial entre base d’apprentissage et base de validation, particulièrement important lorsquel’échantillon initial est petit et que le nombre de variables explicatives testées est im-portant. Dans notre cas, l’échantillon intial comportant plus de 11 millions de contrats,et les modèles comportant au plus deux variables explicatives, nous nous contenteronsd’utiliser la classique répartition entre 80% de base d’apprentissage et 20% de base de va-lidation.

2.3 Modélisation des différents éléments constitutifs de laN BVG

2.3.1 Primes acquises - AcqG ;n

Définitions et ajustement des données historiques

On note le nombre de contrats souscrits pendant l’année G et présents en portefeuilleen année n, CntG;n. Les primes émises (notées WriG;n) correspondent au montant totaldes primes (hors taxes) relatives aux contrats souscrits pendant l’exercice. Les primes ac-quises à l’exercice (notées AcqG;n) correspondent à la partie de la prime à retenir pour lapériode de temps durant laquelle une police est en vigueur (Molard [2016]).

On définit ensuite, pour tout n >G , le taux de résiliation moyen comme

∆CntG;n = 1− CntG;n

CntG;n−1

On définit le taux d’acquisition TxAcqG = AcqG ,GWriG ,G

: c’est la part de la prime émise l’annéeG acquise à l’année G, le reste 1−TxAcqG de l’émise de l’année G étant acquise à l’annéeG+1. On considère que ce taux ne change pas pendant la durée de vie du contrat, c’est-à-dire qu’il est indépendant de n.

On a ainsi : WriG,n = TxAcqG ×AcqG,n + (1−TxAcqG)×AcqG,n+1.

Et : ∀n >G , AcqG,n = TxAcqG ×WriG,n + (1−TxAcqG)×WriG,n−1.Pour des raisons de simplicité d’écriture, on introduit la fonction d’acquisition acq(XG ,n) :

∀XG ,n , acq(XG ,n) ={

TxAcqG ×XG ,n si G = n

TxAcqG ×XG ,n + (1−TxAcqG )×XG ,n−1 si G < n

Et on remarque que acq(WriG ,n) = AcqG ,n .

On définit la prime moyenne PMG ;n = WriG ;nCntG ;n

et la majoration moyenne (La majorationmoyenne sur le comptant est la majoration annuelle moyenne du tarif des affaires nou-velles. La majoration moyenne au terme est le taux de majoration moyen que les contrats

17

reçoivent lors de leur échéance). ∆PMG ;n :

∆PMG ;n ={ PMG ;G

PMG−1;G−1−1 si G = n (majoration moyenne sur le comptant)

PMG ;nPMG ;n−1

−1 (majoration moyenne au terme) si G < n

Hypothèses de projection

Afin d’évaluer les flux futurs de contrats, il nous faut projeter le montant des primesacquises pour les années G et n supérieures à l’année en cours n0 (dans notre cas, n0 =2015). Il nous faut pour cela effectuer certaines hypothèses de projection :

• Le taux d’acquisition TxAcqG est supposé constant dans le temps, c’est-à-dire in-dépendant de G et de n. On estime le taux d’acquisition futur �TxAcq comme le tauxd’acquisition moyen sur les 5 dernières années d’historique. Ainsi, pour estimeracq(XG ,n), il faut et suffit de pouvoir estimer XG ,n , et alors :

∀XG ,n , acq(�XG ,n) ={

si G = n : �TxAcq× �XG ,n

si G < n : �TxAcq× �XG ,n + (1− �TxAcq)× àXG ,n−1

• Le nombre de contrats d’une nouvelle génération de contrats CntG ;G est supposéconstant dans le temps1. On estime le nombre de contrats d’une future générationde contrats àCntG ,G comme le nombre moyen d’affaires nouvelles sur les 5 dernièresannées d’historique.

Le taux de résiliation ∆CntG ;n est supposé dépendre de n et de d .

Cependant, on remarque graphiquement que la tendance sur d ne semble pas linéaire,mais ∆CntG ;n semble dépendre de 1p

dpour toutes les durations d > 1. Effectivement, on

voit sur le graphique 2-1 que les résidus du modèle LM(n,d) présentent une tendance surl’ancienneté d , ce qui invalide le modèle LM(n,d).

1. En effet, sur un marché mature, on s’attend à ce que le portefeuille reste stable.

18

GRAPHIQUE 2-1: Tendance des résidus du modèle ∆CntG ;n = LM(n,d) en fonction del’ancienneté d

On tente donc une deuxième modélisation ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

). Pour ce modèle,

toutes les variables sont significatives. On voit cependant sur le graphique 2-2 que ce mo-dèle décrit mal le taux de résiliation des contrats ayant une duration d = 1. On retire doncles contrats ayant une duration d = 1 de notre base, et on les modélisera à part.

GRAPHIQUE 2-2: Le modèle LM(n, 1pd

) décrit mal le taux de résiliation pour d=1

On évalue à nouveau le modèle∀d > 1 ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

) sur la base d’apprentis-

sage. Toutes les variables sont significatives (p-value pour n de l’ordre de 10−48, p-valuepour d de l’ordre de 10−200), l’adjusted R2 est de 96% et on ne remarque pas de tendancedes résidus (cf. graphique 2-3).

19

(a) Résidus en fonction de l’année n

(b) Résidus en fonction de l’ancienneté d

(c) Résidus en fonction de 1pd

GRAPHIQUE 2-3: Résidus du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

), base d’apprentissage, d > 120

On valide ce modèle sur la base de test : on ne remarque pas de tendance sur les résidussur la base de validation (cf. graphique 2-4).

On compare aussi (cf. tableau 2.1) les RMSE entre la base d’apprentissage et la base detest : ils sont légèrement supérieurs pour la base de test, mais l’ordre de gradeur reste lemême. Par ailleurs, le taux de résiliation observé sur la base de test est proche du taux derésiliation modélisé. Le modèle est donc validé.

TABLEAU 2.1: Indicateurs de validation du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

) pour d > 1

Taux de résiliation RMSE2 Moyenne observée Moyenne modéliséeBase d’apprentissage 0,7% 13,9% 13,9%Base de validation 0,8% 13,9% 13,8%

On propose un modèle spécifique pour la duration d = 1 : ∆Cntn−1;n = LM(n).Pour ce modèle, toutes les variables sont significatives (p-value pour n de l’ordre de 10−4),l’adjusted R2 est de 77% et on ne remarque pas de tendance des résidus sur la base d’ap-prentissage. On valide ensuite le modèle sur la base de test : on ne remarque pas de ten-dance sur les résidus, le modèle semble visuellement bien expliquer les données de la basede test, le RMSE de la base de test est comparable à celui de la base d’apprentissage, et letaux de résiliation observé sur la base de test est proche du taux de résiliation modélisé.Le modèle est donc validé.

Cependant, suite à l’entrée en vigueur de la loi Consommation (dite loi "Hamon") au1er janvier 2015, induisant des facilités de résiliation, on évalue que les taux de résiliationsfuturs seront supérieurs de +0.7 point aux taux de résiliation passés.

On estime donc le taux de résiliation futur par :

∀n > n1,d > 1 á∆Cntn−d ;n = a0 + a1 n + a2 d ′+0.7%

∀n > n1, á∆Cntn−1;n = a′0 + a′

1 n +0.7%

Par ailleurs, les majorations moyennes á∆PMn−d ;n sont définies directement par hy-pothèse pour chaque année n, en séparant les durations d=0, d=1, d=2 et d>2 :

GRAPHIQUE 2-5: Historique et hypothèses de majoration

2. Root Mean Square Error

21

(a) Résidus en fonction de l’année n

(b) Résidus en fonction de l’ancienneté d

(c) Résidus en fonction de 1pd

GRAPHIQUE 2-4: Résidus du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

), base de validation, d > 122

Projection du montant des primes acquises AcqG ;n

On a vu que : WriG ;n = CntG ,n ×PMG ,n (2.1)

Or : ∀n >G CntG ;n = CntG ;n−1 × (1−∆CntG ;n)

Donc, par récurrence : CntG ;n = CntG ;G ×d∏

k=1(1−∆CntG ;G+k ) (2.2)

Par ailleurs, ∀n >G PMG ;n = PMG ;n−1 × (1+∆PMG ;n)

Donc, par récurrence : PMG ;n = PMG ;G ×d∏

k=1(1+∆PMG ;G+k ) (2.3)

Et comme : PMG ;G = PMG−1;G−1 × (1+∆PMG ;G )

Par récurrence : ∀G >G0, PMG ;G = PMG0;G0 ×G−G0∏

i=1(1+∆PMG0+i ;G0+i ) (2.4)

En combinant (2.3) et (2.4), on obtient :

∀G >G0, PMG ;n = PMG0;G0 ×G−G0∏

i=1(1+∆PMG0+i ;G0+i )×

d∏k=1

(1+∆PMG ;G+k ) (2.5)

En combinant (2.1), (2.2) et (2.5), on obtient :

∀G >G0, WriG ;n = CntG ;G ×d∏

k=1(1−∆CntG ;G+k )

×PMG0;G0 ×G−G0∏

i=1(1+∆PMG0+i ;G0+i )×

d∏k=1

(1+∆PMG ;G+k )

Avec les hypothèses de projections précédemment définies, on peut estimer les primesémises futures par :

∀G >G0, àWriG ;n = ( àCntG ,G ×d∏

k=1(1−à∆Cntk ))

×PMG0;G0 ×G−G0∏

i=1(1+ á∆PMG0+i ;G0+i )×

d∏k=1

(1+ á∆PMG ;G+k )

23

Et, comme on a vu que : AcqG ,n = acq(WriG ,n)

On estime les primes acquises futures par : ∀G >G0, àAcqG ,n = acq(àWriG ;n)

2.3.2 Charge de sinistres - SinG ,n

Définitions et ajustement des données historiques

On souhaite faire attention à traiter correctement la sinistralité catastrophe, c’est-à-dire la sinistralité non mutualisable entre contrats. En effet, on souhaite éviter que la fortevolatilité de la sinistralité catastrophe ne produise une NBV trop volatile, et pour ce faire,il nous faudra peut-être lisser cette sinistralité catastrophe en remplaçant la sinistralitéhistorique par une sinistralité modélisée (cf. partie 2.4).

On sépare d’abord les sinistres catastrophe naturelles et climatiques, traités à part.Parmi les autres sinistres, on sépare les sinistres graves, c’est à dire d’une valeur supé-rieure à 100 000 euros, des sinistres attritionnels.

On définit les notions suivantes :

La charge annuelle des sinistres SinG ,n est le coût des sinistres survenus sur les con-trats pour la période de temps durant laquelle une police est en vigueur. La décompositionprécédente s’écrit donc :

SinG,n = SinattriG,n +Singrave

G,n +SinCATG,n

Cette période est la période d’exposition du contrat, égale au plus à un an. En effet,certains contrats sont souscrits en cours d’année, et sont donc présents sur deux annéescalendaires. L’exposition totale ExpoG ,n est la somme de tous les contrats pondérée par lapériode d’exposition de chaque contrat.

On note NSG ,n le nombre de sinistres survenus, CMG ,n = SinG ,nNSG ,n

le coût moyen des si-

nistres et fG ,n = NSG ,nExpoG ,n

la fréquence de sinistres. On appelle sinistre moyen ou espérance

de sinistralité la grandeur SMG ,n = SinG ,nExpoG ,n

= fG ,n ×CMG ,n .

On obtient alors : SinG ,n = fG ,n ×CMG ,n ×ExpoG ,n = SMG ,n ×ExpoG ,n .

Par ailleurs, on définit le taux d’exposition TxExpG = ExpoG ,GCntG ,G

comme la période d’expo-sition moyenne des contrats : en effet, c’est la portion moyenne de l’année G durant la-quelle la police est en vigueur. 1−TxExpG est la portion moyenne de l’année G+1 durantlaquelle la police est en vigueur.3 On considère que ce taux ne change pas pendant la duréede vie du contrat, c’est-à-dire qu’il est indépendant de n. On a ainsi :

CntG ,n = TxExpG ×ExpoG ,n + (1−TxExpG )×ExpoG ,n+1

Et : ∀n >G ExpoG ,n = TxExpG ×CntG ,n + (1−TxExpG )×CntG ,n−1

3. Cette notion de taux d’exposition est au nombre de contrats ce que le taux d’acquisition est aux émises.

24

Modélisation de ExpoG ,n :

On a vu que ExpoG ,n = TxExpG ×CntG ,n + (1−TxExpG )×CntG ,n−1

On suppose que TxExpG ne suit pas de tendance sur G . On estime par la moyenneempirique àTxExp sur les 5 dernières années d’historique, d’où :

áExpoG ,G = àTxExp× àCntG,G

∀n >G áExpoG ,n = àTxExp× àCntG ,G ×d∏

k=1(1−à∆Cntk )+ (1−àTxExp)× àCntG ,G ×

d−1∏k=1

(1−à∆Cntk )

Modélisation de la sinistralité attritionnelle

On utilise de façon classique un modèle « fréquence - coût moyen ». Sur l’historiqueentre 2003 et 2015, on visualise une tendance linéaire sur n et sur d pour la fréquencefG ,n et le coût moyen des sinistres C MG ,n .

On modélise la fréquence f attriG ,n (1) = LM(n,d), et le coût moyen des sinistres C M attri

G ,n =LM(n,d) et on les estime sur la base d’apprentissage. Les variables du modèle coûts mo-yens sont significatives au seuil de 95% et on n’observe pas de tendance dans les résidus.

Cependant, les résidus du modèle de fréquence (1) semblent avoir une tendance, no-tamment pour les durations d ≤ 6 (la tendance est représentée par une ligne rouge sur legraphique 2-6a). La mauvaise adéquation du modèle aux données est également visiblelorsque l’on représente la fréquence en fonction de la duration (graphique 2-6b). On re-marque sur ce dernier graphique que la duration d = 1 est à modéliser à part.

On construit donc un nouveau modèle de fréquence des sinistres attritionnels f attriG ,n (2)

en trois parties, en tenant compte de la particularité des durations d ≤ 6 :

∀n f attrin−d ,n(2) =

LM(n) si d = 0

LM1(n,d) si d ∈ J1;6KLM2(n,d) si d > 6

Toutes les variables explicatives sont significatives au seuil de 95% et on observe gra-phiquement une meilleure adéquation du modèle aux données (graphique ??).

25

(a) Résidus du modèle

(b) Mauvaise adéquation du modèle (1) aux données

GRAPHIQUE 2-6: Modèle f attriG ,n (1) = LM(n,d)

26

GRAPHIQUE 2-7: Adéquation du modèle (2) aux données

GRAPHIQUE 2-8: Indicateurs de validation des modèles de sinistralité attritionnelle

On valide maintenant les modèles de sinistralité attritionnelle : sur la base de test, onn’observe pas non plus de tendance sur les résidus et le modèle semble bien décrire les

27

données de la base de test. Par ailleurs, on voit sur les tableaux 2-8 que le RMSE est com-parable pour la base d’apprentissage et la base de test et la moyenne observée de la basede test est proche de la moyenne prédite pour tous les modèles.

Sous hypothèse d’indépendance entre la fréquence et le coût moyen, on estime ainsiàSM attriG ,n = áf attri

G ,n (2)×áC M attriG ,n et àSinattri

G ,n = àSM attriG ,n × áExpoG ,n .

Modélisation de la sinistralité grave

On tente dans un premier temps de modéliser la sinistralité grave de la même manièreque le premier modèle de sinistralité attritionnelle, c’est-à-dire par un modèle fréquence-coût moyen où f grave

G ,n = LM(n,d) et C M graveG ,n = LM(n,d).

On estime ces modèles sur la base d’apprentissage. Cependant, on ne visualise pas gra-phiquement de tendance ni sur d ni sur n pour le coût moyen des sinistres graves. Onremarque aussi que les p-values sont très élevées, c’est-à-dire supérieures à 30%, ce quiinvalide le modèle C M grave

n−d ,n = LM(n,d). On tente un modèle f graveG ,n = LM(d) car la variable

n était celle avec la p-value la plus élevée, mais sans succès, car la p-value de la variable dreste supéireure à 5%.

Pour la fréquence de sinistres graves, les p-values du modèle f graveG ,n = LM(n,d) sont

également élevées, supérieures à 10%, ce qui conduit à rejeter le modèle. On tente unmodèle f grave

G ,n = LM(d) car la variable n était celle avec la p-value la plus élevée, maisla p-value de la variable d reste supérieure à 5% ce qui conduit à rejeter une fois encorele modèle. Par ailleurs, on remarque une tendance étrange dans les résidus de ce derniermodèle en fonction de d (ceux ci ne ressemblent pas à un bruit blanc) :

GRAPHIQUE 2-9: Résidus du modèle C M gravesG ,n = LM(d), base d’apprentissage

Ces résidus nous poussent à investiguer plus en détail le lien entre l’ancienneté d et lafréquence de sinistres graves. Il semble y avoir une tendance quadratique sur les résidusque le modèle ne peut pas capter à cause des observations où la fréquence observée estnulle pour une génération et une année de vision données. On souhaite donc isoler les casoù la fréquence est nulle, afin de capter cette tendance. Ainsi, on sépare la fréquence en

28

deux variables aléatoires, et on pose :

f graveG ,n = 0× (1−graveG ,n)︸ ︷︷ ︸

si la fréquence est nulle

+ f graveG ,n |graveG ,n ×graveG ,n︸ ︷︷ ︸

sinon

= f graveG ,n |graveG ,n ×graveG ,n , avec graveG ,n = [ f grave

G ,n > 0].

On a vu graphiquement que f graveG ,n |graveG ,n semblait suivre une tendance quadratique

sur d . On pose donc le modèle f graveG ,n |graveG ,n = LM(d 2). La variable est significative (p-

value de l’ordre de 10−33), adjusted R2 = 51% et on n’observe pas de tendance sur les rési-dus (sur la base d’apprentissage).

Par ailleurs, on souhaite modéliser graveG ,n = [ f graveG ,n > 0]. Il s’agit d’une variable aléa-

toire ne pouvant prendre que deux modalités (0 s’il n’y a pas eu de sinistre grave dansl’année et 1 sinon), que l’on modélise classiquement par un modèle logisitque (se référerà la section 3.3.1 pour la théorie des modèles linéaires généralisés et la notion de fonctionde lien), c’est à dire :

logit P [ f graveG ,n > 0] =

de flog

P [ f graveG ,n > 0]

1−P [ f graveG ,n > 0]

= LM(d)

Donc : P [ f graveG ,n > 0] = logit−1LM(d)

La variable est significative (p-value de l’ordre de 10−33), adjusted R2 = 51%, on n’obser-ve pas de tendance sur les résidus et le modèle semble bien décrire les données sur la based’apprentissage (cf. graphique 2-10).

Lorsque l’on représente graphiquement les modèles successifs de la fréquence de si-nistralité grave sur le graphique 2-11 (on y a également représenté la fréquence moyenne),on remarque cependant que ce modèle où l’on décompose la fréquence entre une indi-catrice et une fréquence condittionnelle propose une mauvaise adéquation aux données :ce modèle semble capter principalement du bruit.

Sur ce graphique 2-11, on observe que l’espérance de fréquence de sinistres grave nesemble pas dépendre de la duration d . En revanche, l’écart type de celle-ci semble aug-menter avec l’ancienneté. Si l’on souhaitait modéliser totalement cette fréquence, il nousfaudrait recourir à des modèles de type ARCH (pour une définition détaillée de ces mo-dèles, se référer à Brook [2008]), lesquels sont employés couramment dans la modélisationde séries avec une volatilité variable, en modélisant la variance de ces séries.

Cependant, comme nous souhaitons modéliser uniquement la fréquence moyennepour tous n et d , et que nous ne nous intéresserons pas à la modélisation complète decette fréquence, et nous contenterons de l’évaluer par sa moyenne empirique. Visuelle-ment, cette évaluation permet une bonne adéquation visuelle (pas de tendance visibledans les données) et permet un bon lissage de la sinistralité grave sur n et d .

On a vu que fréquence et coût moyen des sinistres graves ne suivaient pas de ten-dance ni sur n, ni sur d . La sinistralité grave moyenne SM grave

G ,n ne suit donc pas de ten-dance sur n ni sur d . Par prudence (on préfère surévaluer la sinistralité plutôt que de la

29

GRAPHIQUE 2-10: Adéquation du modèle logistique P [ f graveG ,n > 0] = logit−1LM(d) aux don-

nées

GRAPHIQUE 2-11: Différentes modélisations de f graveG ,n

30

sous-estimer), on choisit d’évaluer directement le sinistre grave moyen SM graveG ,n comme le

maximum entre la moyenne historique entre n0 et n1 et la moyenne sur les 5 dernièresannées d’historique du sinistre grave unitaire :

áSM graveG ,n = max

moyn0≤n≤n1

0≤d≤dmax

SM graveG ,n ; moy

n1−4≤n≤n10≤d≤dmax

SM graveG ,n

Et áSingrave

G ,n = áSM graveG ,n × áExpoG ,n

Evaluer directement SM graveG ,n au lieu d’évaluer séparément la fréquence et le coût mo-

yen nous permet de plus de relâcher l’hypothèse d’indépendance entre fréquence et coûtmoyen des sinistres graves.

On vérifie que prendre le sinistre moyen est une modélisation acceptable en calculantle sinistre moyen sur la base d’apprentissage, et en comparant cette moyenne avec celle dela base de test. On compare également le RMSE entre base d’apprentissage et base de test(cf. tableau 2.3) : ils sont proches, on valide donc ce modèle. On remarque que le RMSEest élevé, ce qui indique que notre modèle, ainsi que nous le souhaitons, effectue un fortlissage de la sinistralité grave.

TABLEAU 2.2: Indicateurs de validation des modèles de sinistralité grave

Sinistre grave moyen RMSE2 Moyenne observée Moyenne modéliséeBase d’apprentissage 26,6 15,26 15,26Base de validation 23,6 15,51 15,26

Modélisation de la sinistralité catastrophe naturelle (CATNAT)

Les sinistres CATNAT (et climatiques) ayant une volatilité élevée, on les traite à part. Eneffet, la sinistralité catastrophe, qui correspond avec la sinistralité grave à la part de risquenon mutualisable entre les contrats d’un même portefeuille, doit être traîtée de façon à ceque les évolutions de la N BV ne traduisent pas la seule volatilité de cette sinistralité. Le butde cette modélisation est donc notamment d’effectuer un fort lissage de cette volatilité.

On tente dans un premier temps de modéliser la sinistralité catastrophe sur la based’apprentissage via un modèle «fréquence - coût moyen» avec :f CAT

n−d ,n = LM(n,d) et C M CATn−d ,n = LM(n,d).

Cependant, on ne visualise pas graphiquement de tendance ni sur d ni sur n pour la fré-quence comme pour le coût moyen des sinistres graves. On remarque aussi que les p-values pour la variable d sont très élevées (respectivement 0,15 et 0,85) pour les deux mo-dèles.

On modélise donc f CATn−d ,n = LM(n) et C M CAT

n−d ,n = LM(n). Cette fois-ci, les variables sont

significatives au seuil de 5% pour les deux modèles (p-value de l’ordre de 10−3 pour la fré-quence et 10−10 pour le coût moyen). Pour les deux modèles, on n’observe pas de tendance

31

(a) Résidus du modèle f CATG ,n = LM(n)

(b) Résidus du modèle C M CATG ,n = LM(n)

GRAPHIQUE 2-12: Résidus des modèles de sinistralité catastrophe

sur les résidus sur le graphique 2-12.

On vérifie graphiquement le modèle et les résidus sur la base de validation. On com-pare aussi le RMSE de la base d’apprentissage avec celui de la base de test, et la moyenneobservée sur la base de validation avec la moyenne modélisée, et on valide ainsi le mo-dèle. On remarque que le RMSE est élevé, ce qui indique que nos modèles, ainsi que nousle souhaitons, effectuent un fort lissage de la sinistralité catastrophe.

32

TABLEAU 2.3: Indicateurs de validation des modèles de sinistralité catastrophe

(a) Base d’apprentissage

Base d’apprentissage RMSE2 Moyenne observée Moyenne modéliséeFréquence 0,03% 0,05% 0,05%Coût Moyen 1 626 2 882 2 882

(b) Base de validation

Base de validation RMSE2 Moyenne observée Moyenne modéliséeFréquence 0,04% 0,05% 0,05%Coût Moyen 1 151 2 838 2 877

Sous hypothèse d’indépendance entre la fréquence et le coût moyen, on estime ainsiàSM CATG ,n = �f CAT

G ,n ×áC M CATG ,n et àSinCAT

G ,n = àSM CATG ,n × áExpoG ,n .

En résumé, on modélise la sinistralité passée et future de la façon suivante :

TABLEAU 2.4: Récapitulatif des modèles de sinistralité

Type Modèle ∀n ≤ n1 Modèle ∀n > n1

AttritionnelsSinistralitéobservée

Modèle fréquence x coût moyen :

f attrin,d =

LM(n) si d = 0

LM1(n,d) si d ∈ J1;6KLM2(n,d) si d > 6

C M attriG ,n = LM(n,d)

Graves Modèle prime pure : Sinistralité unitaire moyenne

CAT Modèle fréquence x coût moyen :f CAT

G ,n = LM(n)C M CAT

G ,n = LM(n)

2.3.3 Frais - FG ,n

Définitions

Les frais nous sont donnés par le département contrôle de gestion par année de vi-sions n, et ensuite répartis en fonction de l’exposition selon les générations G . Les don-nées concernant les frais sont disponibles pour les années n = 2011 · · ·2015 seulement.

Parmi ces frais, on distingue :

• Le taux de commissions. Il est fixé à 20% des primes acquises pour toute la durée deprojection : ComG ,n = 20%× AcqG ;n .

• Les autres frais d’acquisition, hors commissions, calculés pour les affaires nouvellesseulement.

33

GRAPHIQUE 2-13: Frais unitaires annuels

Comme les données disponibles ne donnent que la valeur des frais correspondantaux émises F AEn,n , et non aux acquises, il nous faut répartir ceux-ci sur les deuxpremières années en utilisant la fonction d’acquisition : F AG ,n = acq(F AEG ,G ).

On définit les frais d’acquisition annuels unitaires comme : F AUn = F AEn,nC ntn,n .

• Les frais de gestion administratifs hors sinistres, calculés pour tous les contrats enportefeuille.

Comme les données disponibles ne donnent que la valeur des frais correspondantaux émises FGEG ,G , et non aux acquises, il nous faut répartir ceux-ci en utilisant lafonction d’acquisition : FGG ,n = acq(FGEG ,n).

On définit les frais de gestion annuels unitaires comme : FGUn =∑n

g=n−30 FGEg ,n∑ng=n−30 C ntg ,n

.

• Les frais de gestion des sinistres. On définit les frais de gestion des sinistres annuels

unitaires en pourcentage de la charge comme : F SUn =∑n

g=n−30 F Sg ,n∑ng=n−30 Si ng ,n

.

Modélisation

On cherche à projeter les frais unitaires F AUn ,FGUn et F SUn . On testera donc pourles trois variables une modélisation LM(n).

34

Le modèle est significatif sur la base d’apprentissage pour FGUn (p-value de l’ordrede 10−2,adjustedR2 = 97%), mais ni pour FGUn (p-value à 0.66) ni pour F SUn (p-value à0.03).

Ces résultats sont corroborés par la représentation graphique 2-13 où les frais de ges-tion, administratifs paraissent effectivement suivre une tendance linéaire, au contraire desautres frais. Le modèle FGUn = LM(n) est validé sur la base de test également.

On prendra donc les frais unitaires moyens entre 2011 et 2015 pour estimer les fraisd’acquisition et les frais de gestion des sinistres annuels unitaires.

2.3.4 Time Value - T VG ,n

On reçoit les primes au moment t = 0. La partie prime pure PPG ,n = àSi nG ,n servant apayer les futurs sinistres est placée au taux sans risque i jusqu’à ce que les sinistres aienteffectivement lieu.

En considérant que :

• les primes sont acquises en début d’année, on place les primes pures àSi nG ,n dès ledébut de l’année.

• les sinistres sont centrés en milieu d’année, on paye Si nG ,n de sinistres au milieu del’année.

Avec un taux sans risque i = 2,27%, la valeur temps des primes est donc égale à :

T VG ,n = àSi nG ,n × (1+2,27%)1/2 −Si nG ,n

Pour les valeurs prédites, on remarque que �T VG ,n = àSi nG ,n × [(1+2,27%)1/2 −1].

2.3.5 Coût du risque - CoRG ,n

Le coût du risque correspond au surcoût d’immobilisation du capital par l’actionnaire,c’est à dire :

CoRG ,n = a ×STEC4−i ×STEC = (8,27%−2,27%)STEC = 6%×STECAvec STEC = 1.99%×W r iG ,n .

2.3.6 Résultat de réassurance - RRG ,n

On utilise l’historique des résultats de réassurance en part des primes acquisesr rG ,n = RRG ,n

AcqG ,n. On effectue l’hypothèse que ce résultat ne suit pas de tendance temporelle.

On estime donc le résultat de réassurance futur comme le résultat de réassurance moyendes 5 dernières années �r rG ,n = r rG ,n .

Et �RRG ,n = àAcqG ,n × �r rG ,n .

4. Le STEC, ou Short Terme Economic Capital est le capital immobilisé par l’actionnaire pour faire face auxrisques assuranciels. C’est le modèle interne d’AXA France pour calculer les capitaux propres réglementairessous Solvabilité 2 (SCR), par opposition à la formule standard (« études QIS »)

35

2.3.7 Impôts - IG ,n

On suppose qu’un seul taux d’impôt constant dans le temps de 36 % 5 est appliqué aurésultat brut (pour les résultats passés comme futurs) : IG ,n = 36%×RG ,n .

2.3.8 Calcul de la N BV à partir des éléments modélisés

Chacun des éléments contsitutifs de la N BV ayant été modélisé, on peut calculer laN BV grâce à la formule définie à la section 1.2.3 :

NBVG =G+30∑n=G

AcqG;n +TVG;n −SinG;n −FG ;n −CoRG;n − IG ;n +RRG;n

(1+a)n−G

2.4 Prend-on les éléments historiques ou modélisés ?

Nous voulons être certains de ne pas « polluer » notre mesure par de la variance inutile,on veut ne garder que les grandes tendances, avoir un bon équilibre entre conservation del’historique et mutualisation : cela implique de choisir, dans certains cas, entre conserverl’historique (au risque de rendre la NBV trop aléatoire) ou utiliser nos modèles (au risquede ne pas prendre en compte des éléments historiques impactant réellement la sinistrali-té).

2.4.1 Sinistralité

Sinistralité grave

Un sinistre grave ou catastrophe est en assurance un sinistre non mutualisable. Celasignifie qu’un seul ou que quelques sinistres graves peuvent impacter la valeur d’une gé-nération complète de contrats, sans pour autant refléter de changement du risque sous-jacent. il s’agit donc de variance pure. Par exemple, un sinistre grave survenu en 2015 surun contrat souscrit en 2011 fait chuter la NBV 2011 de 39,69 euros : ici, la valeur d’une gé-nération complète est impactée par un seul sinistre grave. On souhaite que les variationsde NBV ne reflètent pas cette pure variance non mutualisable du risque, mais des chan-gements de tendances, et on choisit donc de conserver la sinistralité grave et catastrophemodélisées, lesquelles nous permettent une bonne mutualisation des sinistres graves.

Sinistralité attritionnelle

On voit que la sinistralité attritionnelle modélisée change peu la NBV : en effet, lesvariations sont trop peu importantes pour impacter une génération de contrats entière.On vérifie que la mutualisation entre années apporte bien le lissage attendu de la NBVen comparant les indicateurs de rentabilité immédiate (définis à la section 2.5 et visibles

5. Source : Département contrôle de gestion

36

(a) Rentabilité du portefeuille avec la sinistralité attritionnelle historique

(b) Rentabilité du portefeuille avec la sinistralité attritionnelle modélisée

GRAPHIQUE 2-14: Indicateurs de rentabilité immédiate avec la sinistralité attritionnellehistorique vs. modélisée

37

sur le graphique 2-14) et la NBV calculés avec une sinistralité historique vs. une sinistra-lité modélisée. Alors que les indicateurs de rentabilité immédiate sont totalement insen-sibles aux variations historiques de sinistralité lorsque l’on passe en sinistralité attrition-nelle modélisée, lesquelles ont pourtant eu historiquement un impact sur la rentabilitédes contrats, la NBV reste identique dans les deux cas. Cela signifie qu’il y a bien eu mutua-lisation des risques, on décide donc de conserver la sinistralité attritionnelle historique.

2.4.2 Frais

Modéliser les frais permet de mieux visualiser les tendances, qui en frais réels sontmasquées par la variabilité de ces frais, notamment les frais d’acquisition particulière-ment élevés en 2012 (pour une raison inexpliquée) qui ont augmenté les LR et CR desaffaires nouvelles et impacté la NBV à la baisse de 6,51 euros par rapport à la NBV avecfrais modélisés.

2.5 Résultats de la NBV modélisée

Pour plus de clarté, nous présentons ici les résultats sous forme unitaire, c’est-à-direque nous présentons la valeur moyenne d’un contrat du segment des Locataires d’Appartement.Cette valeur n’a de sens, rappelons le, que sous l’hypothèse que ce segment est homogène.Mathématiquement, la NBV unitaire est le ratio entre la NBV totale et le nombre d’affairesnouvelles de l’année.

Le graphique 2-15 détaille les deux indicateurs de rentabilité immédiate des affairesnouvelles souscrites en 2016 selon leur ancienneté que sont le S/C et le ratio combiné :

• Le S/C ou Loss Ratio (LR = Si nG ,nAcqG ,n

) permet de calculer la part de la prime payée ser-vant à couvrir les risques souscrits.

• Le Ratio Combiné ou Combined Ratio (C R = Si nG ,n+FG ,nAcqG ,n

) permet de calculer la partde la prime payée servant à couvrir toutes les dépenses relatives aux contrats. pourqu’un contrat soit rentable, il faut et suffit que le CR soit inférieur à 100%.

38

GRAPHIQUE 2-15: Projection de la rentabilité des affaires souscrites en 2016 selon leur an-cienneté

Ces deux indicateurs permettent de mesurer la rentabilité instantannée des contrats.Séparer LR et CR permet de séparer les effets dus à la sinistralité des autres effets sur larentabilité des contrats.

Les frais d’acquisition étant répartis sur les deux premières années, ils impactent leCombined Ratio des deux premières années à la hausse. Par ailleurs, les Loss Ratios baissentavec le temps, car les mesures tarifaires à l’échéance sont plus importantes que l’inflationde la sinistralité : une affaire devient de plus en plus rentable avec le temps. Elle devientrentable (Combined ratio ≤ 100%) à partir de la 8e année. Ceci illustre la stratégie du mar-ché de l’assurance habitation français déjà décrite en introduction consistant à souscrireles affaires nouvelles à un tarif ne couvrant pas les coûts et à compenser chaque année pardes hausses tarifaires à l’échéance anniversaire du contrat, et ce jusqu’à ce que le contratsoit largement bénéficiaire.

Ces pertes passées sont cumulées d’année en année dans la NBV : le graphique 2-16détaille le cumul des marges annuelles actualisées.

39

GRAPHIQUE 2-16: Cumul des marges annuelle actualisées

Le cumul au bout des 30 ans correspond à la NBV unitaire, dont nous représentonsl’évolution sur le graphique 2-17.

GRAPHIQUE 2-17: NBV finale, avec sinistres attritionnels historiques, sinistres graves, si-nistres catastrophe et frais modélisés

40

En 2014, il fallait 20 ans pour que les pertes des premières années soient compenséeset qu’une affaire devienne rentable sur toute sa durée de vie. Avec les évolutions récentesde la réglementation, notamment la loi Hamon entrée en vigueur début janvier 2015, quiinduit des facilités de résiliation, et l’impact du numérique sur les habitudes de consom-mation, qui facilitent la comparaison en ligne avec les concurrents, le taux de résiliation asubi un choc à la hausse en 2015 et sera amené à suivre une tendance haussière pendantles prochaines années (cf. graphique 2-18). Ce choc entraîne, à partir de 2015, une baissede la duration (cf graphique 2-17) : il n’y a plus assez de « vieux » contrats rentables pourcompenser les contrats ayant résilié avant de devenir rentables, la NBV devient négative.

On remarque que les NBV des années antérieures à 2015 sont décroissantes, puis stablesdans le temps. En effet, la loi Hamon impacte les contrats souscrits depuis 2015 sur touteleur durée de vie, mais n’impacte les contrats de 2014 qu’à partir de leur deuxième année,les contrats de 2013 à partir de leur troisième année, et ainsi de suite...

GRAPHIQUE 2-18: Indicateurs de production

Il est intéressant de noter sur le graphique 2-18 que le taux d’affaires nouvelles est infé-rieur au taux de résiliation ; l’apport net est donc négatif. En d’autres termes, le portefeuilledécroît d’année en année. Deux causes sont possibles pour expliquer l’évolution d’un por-tefeuille assuranciel : l’évolution du marché total sur lequel agit l’entreprise (exemple :marché en croissance), et au sein de ce marché, l’évolution des parts de marché de cetteentreprise. Sur un marché mature comme la France, le marché total est stable. Les évo-lutions du nombre d’affaires en portefeuille traduisent donc des évolutions en terme departs de marché, c’est-à-dire traduisent l’évolution de la place d’AXA France vis-à-vis deses concurrents.

41

L’évolution de la NBV suit également l’évolution des primes moyennes en portefeuille,dont l’évolution est le résultat de la stratégie d’AXA France en matière de pricing, et notam-ment de hausses tarifaires lors de l’échéance annuelle. Par exemple, la baisse de la formule« Locataires » en mai 2012 a eu un impact immédiat à la baisse sur la prime moyenne duportefeuille et sur le chiffre d’affaires (émis et acquis) de 2012 et surtout 2013 (cf. gra-phique 2-19), donc sur la NBV de ces deux années. Cette baisse ponctuelle a été compen-sée par de fortes majorations en 2014, lequelles ont impacté le chiffre d’affaires à la hausseet permis de stabiliser la NBV 2014 à un niveau proche de celle de 2013.

GRAPHIQUE 2-19: Indicateurs de chiffre d’affaires

2.6 Sensibilité de la NBV aux hypothèses de majoration

Toutes les hypothèses de la N BV ont été fixées par modèle, sauf :

• le taux sans risque

• le STEC

• les majorations sur le comptant (hausse annuelle du tarif affaire nouvelle, pour com-penser l’inflation des frais et des sinistres) et les majorations à l’échéance anniver-saire (ou majorations au terme du contrat)

• le taux de taxes

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Pour le taux sans risque et le taux de taxes, nous nous fions aux dernières donnéesdisponibles. Concernant le STEC, nous nous fions également aux données communiquéespar le département contrôle de gestion.

Concernant les majorations de tarif passées, nous prenons les majorations réelles denos données. La question se pose cependant : quelles hypothèses de majorations futuresconsidérer ? En effet, ces hypothèses dépendent de la stratégie future de hausses tarifiairesmise en oeuvre, et l’objet de ce mémoire est justement d’apporter un outil aidant à optimi-ser cette stratégie. Ces mesures de renouvellement tarifaire sont les seules variables nonfixées dans la NBV.

GRAPHIQUE 2-20: Evolution de la NBV avec différentes hypothèses de majoration sur lecomptant (majoration au terme moyenne de 6.6%6)

On remarque sur le graphique 2-20 que les majorations sur le comptant changent latendance de la NBV (la NBV augmente avec le temps pour des majorations de 3% et pluset diminue avec le temps pour des majorations de 2% et moins). A 2.25% de majorationsur comptant, la NBV reste stable dans le temps, c’est-à-dire qu’une telle majoration suffità compenser l’inflation de la sinistralité et des frais. Notre sujet étant l’optimisation desmesures tarifaires à l’échéance, c’est-à-dire des majorations au terme, on fixe par hypo-thèse que la stratégie de majoration sur le comptant est telle qu’elle permet de couvrirl’inflation de la sinistralité et des frais, c’est-à-dire que l’on prend une évolution moyennedu tarif affaires nouvelles de 2.25% par an.

6. Le taux de majoration au terme utilisé pour ce graphique de 6.6% correspond au taux de majoration auterme moyen sur les 5 dernières années.

43

GRAPHIQUE 2-21: Evolution de la NBV avec différentes hypothèses de majoration au terme(majoration sur le comptant moyenne de 2.25%)

Les majorations au terme, elles, changent le niveau de la NBV (graphique 2-21).

Bilan

On a ainsi modélisé chaque élément de la N BV par des modèles linéaires à partir del’historique des contrats du segment des Locataires d’Appartement, et analysé la N BVunitaire obtenue, autrement dit la valeur moyenne d’un contrat de ce segment. On re-marque que la N BV évolue notamment avec :

• l’évolution des primes moyennes en portefeuille, résultat de la politique de haussestarifaires lors des échéances anniversaires d’AXA France.

• l’évolution des taux de résiliation, c’est-à-dire que la N BV capte si oui ou non lescontrats restent en moyenne suffisamment longtemps en portefeuille pour queles pertes des premières années soient compensées par les profits des années sui-vantes.

La valeur de la NBV dépend des hypothèses de majoration du tarif en affaire nou-velle et des mesures de hausses tarifaires à l’échéance. On a vu que le niveau de la NBVaugmentait strictement avec la majoration au terme, ce qui est irréaliste : en effet, si,par exemple, on doublait la prime des contrats chaque année, les clients risqueraientde résilier en masse, ce qui détruirait de la valeur.

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Chapitre 3

Modélisation de la résiliation

Sommaire3.1 Sensibilité du taux de résiliation au taux de majoration : étude prélimi-

naire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Périmètre de modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Théorie des modèles linéaires généralisés (GLM) . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Généralisation de la théorie des modèles linéaires à K variables ex-plicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 Notion de fonction de lien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.3 Indicateurs AIC, BIC et Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Mise en oeuvre de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.1 Analyse descriptive des variables explicatives . . . . . . . . . . . . . 50

3.4.2 Analyse des corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.3 Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.4 Ajout d’interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.5 Vérification sur la base de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.6 Stabilisation du modèle par une 10-fold cross-validation . . . . . . 61

3.4.7 Effets univariés des princiales variables retenues . . . . . . . . . . . 63

3.5 Intégration au modèle de New Business Value . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.1 Simplification du modèle de résiliation . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.2 Modélisation des résiliations pour autres motifs . . . . . . . . . . . . 66

3.5.3 Biais du modèle et solutions apportées . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Notre modèle de NBV ne prend pas en compte le lien entre le taux de majoration auterme et la résiliation. Il faut donc vérfier s’il existe un lien et, le cas échéant, ajouter unmodèle de résiliation au modèle de NBV.

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3.1 Sensibilité du taux de résiliation au taux de majoration :étude préliminaire

On effectue une première étude afin de juger de l’existence d’un lien entre la majora-tion au terme et le taux de résiliation.

Cette étude porte sur un périmètre réduit de contrats du segment locataires d’apparte-ment, hors formule « Etudiant », d’échéance anniversaire mai ou juin 2015, dont l’ancien-neté est supérieure à 1 an (on a en effet vu que les contrats d’ancienneté 1 an avaientun comportement particulier, à modéliser à part). On ne conserve que les profils les pluscourants, afin de ne pas biaiser notre étude, ce qui nous laisse une base de données finaled’environ 17 000 contrats.

Les taux de majoration sont différenciés, pour des raisons stratégiques, selon les ca-ractéristiques du contrat (sinistralité passée, multidétention, propriétaire ou locataire...)et sont supérieures à une certaine majoration minimale et inférieures à une majorationmaximale. Pour notre étude, on souhaite à la fois décoréler les taux de majoration descaractérisitiques du contrat, afin d’analyser des comportements dépendant uniquementdu taux de majoration, sans effet sous-jacent, et on souhaite avoir une plage de majora-tion plus large, afin de pouvoir étudier le comportement à des taux de majoration trèsdifférents (à des taux très élevés, mais aussi des taux de majoration très faibles). Pour unéchantillon réduit de 15 000 contrats, on modifie donc aléatoirement le taux de majora-tion appliqué (le delta de majoration appliqué est compris entre -7 points et +5 points demajoration).

On remarque sur le graphique 3-1 un fort effet de seuil à 11% de majoration : le taux derésiliation est de 5,4% pour une majoration de moins de 11% vs. 6,5% pour une majorationentre 11% et 13%.

GRAPHIQUE 3-1: Taux de résiliation selon le taux de majoration à l’échéance

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On remarque par ailleurs que les clients multidétenteurs, c’est-à-dire détenant de nom-breux contrats chez AXA France, ont tendance à moins résilier leur contrat habitation queles clients détenant peu de contrats, voire même ne détenant que le contrat habitationchez AXA France.

GRAPHIQUE 3-2: Taux de résiliation selon la multidétention

Ces statistiques descriptives montrent que le taux de résiliation n’est indépendant nide la majoration à l’échéance, ni d’autres caractéristiques telles que la multidétention.Ceci nous pousse à calibrer un modèle de résiliation sur une base de données disposantd’une profondeur d’historique plus importante.

3.2 Périmètre de modélisation

La totalité des études de bases de données est réalisée sous SAS. Considérons dans unpremier temps le portefeuille habitation d’AXA France, soit environ 4 millions de contrats.Pour nos études, nous conservons tous les contrats présents en portefeuille ou ayant rési-lié pendant les années 2010 à 2015. Pour travailler sur un niveau de couverture homogène,on s’intéressera seulement aux contrats des gammes de produit récentes et aux profils derisque les plus courants.

Pour obtenir notre base globale de modélisation et disposer du plus d’information pos-sible, nous devons croiser plusieurs bases de données :

• Les bases contrats, qui nous donnent toutes les caractéristiques de l’habitation dis-ponibles à la souscription du contrat (le nombre de pièces, le type d’habitation, ladate de résiliation, etc.) et les caractéristiques de souscription (cotisation émise, op-tions et garanties souscrites, etc.). Ces bases associent les variables à un numéro decontrat.

• Les bases client, qui regroupent les informations propres au client (son âge, sa si-tuation familiale, le nombre de contrats souscrits auprès d’AXA etc.)

L’information disponible dans ces deux bases est agrégée en utilisant comme clé lenuméro de contrat. On obtient alors une base qui associe à chaque année x contrat, les

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potentielles variables explicatives de la résiliation, ainsi qu’une variable indicative de si cecontrat a été résilié pendant l’année.

Avant de commencer notre étude, il faut nous assurer que la base de données est ho-mogène : on vérifie que les variables gardées sont correctement renseignées (la part denon renseigné ne doit pas être trop importante) et que nous n’avons pas un nombre tropélevé de données manquantes. Il faut également s’assurer qu’aucune des valeurs n’estaberrante ou dépourvue de sens. En effet, la donnée est l’élément clé de notre étude, c’estsur elle que se base tout le calibrage du modèle. Des données de qualité assurent des fon-dations suffisamment solides pour la suite de l’étude.

On distingue les motifs de résiliation suivants dans nos bases :

• Résiliations du fait de l’assuré : déménagement, décès de l’assuré, résiliations à l’é-chéance (dites «loi Chatel») et résiliations dites «loi Hamon».

• Résiliations du fait de l’assureur : non-paiement de primes, résiliation à l’échéance,résiliation du contrat à l’origine.

Comme on souhaite analyser le comportement résiliatoire de l’assuré, nous ne conser-verons que les résiliations du fait de l’assuré. Par ailleurs, on suppose que les déménage-ments et le décès de l’assuré sont des évènements indépendants de la majoration appli-quée que l’on ne modélisera pas dans notre modèle de résiliation. On ne conserve doncdans notre base que les résiliations « loi Chatel » et « loi Hamon », ainsi que les contratsn’ayant pas résilié dans l’année. On a vu précédemment que la majoration à l’échéanceavait un fort impact sur le comportement résiliatoire, et on souhaite notamment analy-ser ce comportement. On retire donc de la base de données les contrats qui n’ont pas ététermés pendant l’année, c’est-à-dire les contrats qui, ayant été mouvementés (en rempla-cement ou en résiliation) peu de temps avant leur échéance, n’ont pas reçu de majora-tion au terme. Nous avons également remarqué dans nos modélisations précédentes quele comportement résiliatoire des contrats d’ancienneté inférieure à deux ans avaient uncomportement particulier. On supprime donc ces contrats des bases.

Malgré la réduction du périmètre utilisé pour notre étude, il nous reste 3,6 millions decontrats (répartis sur 5 années de vision) dans nos bases, soit une quantité de donnéeslargement suffisante pour mettre en place des modèles robustes.

3.3 Théorie des modèles linéaires généralisés (GLM)

3.3.1 Généralisation de la théorie des modèles linéaires à K variablesexplicatives

On peut généraliser la théorie des modèles linéaires rappelée en section 2.1 à K va-riables explicatives. Les hypothèses et méthodes utilisées sont identiques à celles présen-tées précédemment : si une variable Y suit une tendance sur les variables Nk , le modèlethéorique, sous les mêmes hypothèses que vues dans la section 2.1, s’écrit sous forme ma-tricielle : Y = X a +ε,

48

avec Y =

Y1...

Yp

X =

1 N1,1 . . . NK ,1...

.... . .

...1 N1,p . . . NK ,p

a =

a0

a1...

aK

et ε=

ε1...εp

,

p étant le nombre d’observations.

Lorsque nous disposons de p observations (yi ,n1,i , . . . ,nK ,i ), i = 1. . . p, réalisations desvariables aléatoires (Yi , N1,i , NK ,i ), nous pouvons estimer les différents paramètres commeprécédemment en résolvant :

argmina0,...,aK

n∑i=1

ε2i = argmin

a0,...,aK

n∑i=1

(yi − a0 − a1 ni − . . .− aK nK ,i )2

La solution obtenue est l’estimateur des moindres carrés ordinaires, lequel s’écrit sousforme matricielle : a = (X ′X )−1X ′Y

Par convention, on notera LM(n1, . . . ,nK ) le modèle linéaire (Linear Model) ainsi for-mulé.

3.3.2 Notion de fonction de lien

Lorsque nous avons modélisé la sinistralité grave, nous avons tenté de modéliser [ f graveG ,n >

0]. Cependant, nous n’avons pas directement modélisé P [ f graveG ,n > 0] par un modèle li-

néaire, mais une transformée de P [ f graveG ,n > 0] :

logit P [ f graveG ,n > 0] =

de flog

P [ f graveG ,n > 0]

1−P [ f graveG ,n > 0]

Cette transformation de la variable réponse s’appelle fonction de lien. Ici, la fonction delien utilisée était la fonction logistique, laquelle est traditionnellement utilisée pour mo-déliser une variable ne prenant que deux modalités.

De la même manière, nous souhaitons modéliser la résiliation des contrats. Pour uncontrat i0 donné, s’il est présent en portefeuille lors de la d-ième année, Cnti0;d = 1, sinon,Cnti0;d = 0. Cnti0;d est donc l’indicatrice de présence d’un contrat en portefeuille pour une

année donnée. ∆Cnti0,d = 1 − Cnti0 ;d

Cnti0 ;d−1vaut 1 si le contrat a été résilié lors de sa d-ième

échéance, et 0 sinon. Ainsi, modéliser la résiliation des contrats revient à modéliser unevariable ne prenant que deux modalités. On modélisera donc cette résiliation par un mo-dèle linéaire généralisé avec fonction de lien logit, c’est-à-dire :

logit ∆Cnti0,d = LM(n1, . . . ,nK )

Autrement dit : ∆Cnti0,d = logit−1LM(n1, . . . ,nK )

49

3.3.3 Indicateurs AIC, BIC et Gini

Afin de comparer les modèles entre eux, on décide de se référer à plusieurs critères,comme l’AIC, le BIC et le coefficient de Gini.

Le critère d’information d’Akaike est basé sur la théorie de l’information : il proposeune estimation de la perte d’information lorsque l’on utilise un modèle considéré pourreprésenter le processus qui génère les données. Il permet donc de comparer plusieursmodèles candidats entre eux, mais sans rien indiquer de la qualité absolue de chaque mo-dèle. L’AIC est défini comme suit:

AIC = 2k −2ln(L)AIC = 2k −2ln(L)

où k est le nombre de paramètres à estimer du modèle et L est le maximum de la fonctionde vraisemblance du modèle.

Le critère d’information bayésien, ou BIC, est un critère inspiré du critère d’Akaike. Ilpénalise le nombre de paramètres plus fortement que l’AIC, et se définit comme suit :

BIC =−2ln(L)+ ln(n)kBIC =−2ln(L)+ ln(n)k

avec n le nombre d’observations dans l’échantillon étudié.Si l’on considère un ensemble de modèles candidats, le modèle choisi est celui qui

aura l’AIC et/ou le BIC le plus faible.Le coefficient de Gini est représenté grâce à la courbe de Lorenz. On trouve en ordon-

née le pourcentage de résiliation cumulé et en abscisse la part d’assurés triés dans l’ordrecroissant de taux de résiliation prédit (ou observé pour la courbe des observés). La bissec-trice de ce graphique représente le cas où tous les assurés auraient la même probabilité derésiliation.

Lorsque l’on représente de cette manière la résiliation observée, on remarque que laplupart des contrats ne résilient pas : la totalité de la résiliation est donc concentrée surune faible part des assurés. L’indice de Gini mesure l’aire entre la bissectrice et la courbede Lorenz. Il s’agit d’un coefficient compris entre 0 et 1. Lorsque le modèle créé tend versl’observé, l’indice tend vers la valeur de l’indice de Gini de l’observé (proche de 100%).

3.4 Mise en oeuvre de la modélisation

De la même manière que l’on se concentre dans ce mémoire sur le modèle de valeurdu segment des Locataire d’Appartement, on se concentrera ici à créer un modèle de rési-liation pour ce même segment.

3.4.1 Analyse descriptive des variables explicatives

Les modèles sont créés à partir de la base globale précédemment définie, préalable-ment nettoyée et optimisée pour permettre l’application des modèles. Les variables utili-sées dans les régressions peuvent être aussi bien qualitatives que quantitatives, discrètes

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que continues. Pour modéliser, nous utiliserons le logiciel Emblem. Pour utiliser des va-riables continues ou possédant de nombreuses modalités, il est, sous ce logiciel, néan-moins nécessaire de créer des classes de modalités. En pratique, nous utilisons donc enmajorité des variables qualitatives et catégorielles, bien que tous les autres types de va-riables soient également exploitables.

Afin d’expliquer au maximum les différents effets du risque, il est intéressant d’utiliserdes variables de provenances différentes. En effet, plusieurs facteurs influent sur la proba-bilité de résiliation, il parait donc logique d’intégrer dans les modèles aussi bien des don-nées liées à l’assuré qu’à l’habitation. Nous nous inspirons de précédents travaux internesà AXA au sujet des modèles de résiliation (Equipes Actuariat Habitation [2014] [2015a],Customer Risk Management [2015b] et Big Data [2015c]) afin de limiter le nombre de va-riables potentielles dans notre modèle aux types de variables sélectionnées dans les précé-dentes études. Ainsi, nous ne retenons pas de variable externe dans notre modélisation carces variables ne ressortaient pas dans les études précédentes, tester ces variables une nou-velle fois semblait donc être une perte de temps. A contrario, l’étude de ces travaux nousa encouragé à ajouter des variables relatives à la détention de plusieurs contrats AXA (dite«multidétention»), aux mouvements passés sur le contrat (remplacements dans l’année,notamment) et au distributeur (type de réseau de distribution, taux de résiliation moyendu porfeuille du distributeur).

Par ailleurs, nous ne perdons pas de vue que la modélisation doit d’autant plus res-ter simple qu’il nous faudra ensuite l’intégrer au modèle de valeur. C’est pourquoi nousdécidons de ne tester que 14 variables explicatives pour construire notre modèle :

GRAPHIQUE 3-3: Variables explicatives possibles

Caractéristiques de souscription et de cycle de vie du contrat

Comme l’indicateur de New Business Value est segmenté par année de vision n et an-cienneté du contrat d, on intègre ces deux variables dans notre modèle.

Si le taux de résiliation est stable en moyenne de 2010 à 2014 ( 4.30% en moyenne), ila fortement augmenté en 2015 à 5.77%, du fait de l’entrée en vigueur de la loi « Hamon »,

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comme on peut l’observer sur le graphique 3-4 (on cumule en effet les résiliations pourles deux motifs sans les distinguer). Le taux de résiliation semble, sur le graphique 3-5,décroitre linéairement en fonction de l’ancienneté du contrat.

GRAPHIQUE 3-4: Taux de résiliation observé par année de vision

GRAPHIQUE 3-5: Taux de résiliation observé par ancienneté du contrat

Nous souhaitons également intégrer une variable relative aux mouvements récem-ment réalisés sur ce contrat dans notre modèle : on choisit l’indicatrice de contrat ayanteu un remplacement pendant l’année. Les contrats ayant été remplacés dans l’année onttendance à beaucoup moins résilier (1.25% de résiliation) que les contrats n’ayant pas subide remplacement dans l’année (4.94% de résiliation).

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GRAPHIQUE 3-6: Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de remplacement pendantl’année

Et nous ajoutons une variable relative aux précédentes mesures commerciales prisessur ce contrat : l’indicatrice de présence d’un rabais sur le contrat. L’effet de la variablesemble minime : l’écart est de 0.08 points de taux de résiliation entre les contrats ayantprofité de réductions commerciales et ceux n’en ayant pas profité.

GRAPHIQUE 3-7: Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de présence de réductionscommerciales sur le contrat

Caractéristiques concernant l’échéance du contrat et la prime

Comme vu précédemment, les mesures tarifaires à l’échéance ont un impact sur letaux de résiliation. On choisit donc plusieurs variables relatives à ces mesures à l’échéancedu contrat. A noter, les mesures tarifaires considérées sont les majorations au terme fi-nales appliquées sur le contrat, après prise en compte d’un éventuel rabais au moment del’échéance.

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• Taux de majoration annuel à l’échéance : les contrats résilient plus à mesure que letaux de majoration augmente.

GRAPHIQUE 3-8: Taux de résiliation observé selon le taux de majoration annuel àl’échéance

• Il en va de même pour le montant en euros de la majoration annuelle à l’échéance(3.7% de résiliation si la majoration est de l’ordre de 0 euro et 5,0% de résiliation sielle est de l’ordre de 30 euros), bien que l’effet semble moins évident que pour letaux de majoration.

GRAPHIQUE 3-9: Taux de résiliation observé selon le montant en euros de la majorationannuelle à l’échéance

• Taux de majoration à l’échéance cumulé sur deux ans : on veut pouvoir détec-ter un éventuel effet cumul sur la majoration. On observe que les contrats résilientplus quand celle-ci augmente, mais est-ce un effet dû à la majoration annuelle, ou

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trouve-t-on un effet spécifique au cumul sur deux ans ? Seule la modélisation per-mettra de distinguer ces effets.

GRAPHIQUE 3-10: Taux de résiliation observé selon le taux de majoration à l’échéance cu-mulé sur deux ans

• Mois de l’échéance anniversaire du contrat : on rajoute cette variable afin de neu-traliser les effets saisonniers. Notamment, l’objectif est de neutraliser un éventuelchangement de saisonnalité consécutif à l’entrée progressive en vigueur de la loiHamon en 2015.

GRAPHIQUE 3-11: Taux de résiliation observé selon le mois de l’échéance anniversaire ducontrat

Caractéristiques du distributeur

De précédentes études ont démontré l’impact du distributeur sur la résiliation. Il sem-ble en effet intuitif que le relationnel entre le client et son distributeur, et la qualité decelui-ci jouent sur son comportement résiliatoire.

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• Canal de distribution : différents réseaux de distribution ont un impact différent surle comportement résiliatoire de l’assuré.

GRAPHIQUE 3-12: Taux de résiliation observé selon le canal de distribution

• Taux de résiliation annuel moyen du portefeuille du distributeur : On capte la ca-pacité du distributeur à retenir ses clients par le taux de résiliation moyen de sonportefeuille. Plus le taux de résiliation du portefeuille est bas, moins les contrats ré-silient en moyenne. il est cependant possible que cet effet masque des tendancessur le mix portefeuille de chaque agent, capté par les autres variables, notammentla variable de risque géographique.

GRAPHIQUE 3-13: Taux de résiliation observé selon le taux de résiliation annuel moyen duportefeuille du distributeur

Caractéristique de risque du contrat

On ajoute une variable zonier indiquant la sévérité du risque : l’effet ne semble pasévident sur le graphique, car la différence entre la zone 1 et la zone 10 n’est que de 0.15

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points de résiliation (la zone 0 correspondant à une modalité non renseignée).

GRAPHIQUE 3-14: Taux de résiliation observé selon le niveau de risque géographique selonle zonier

Caractéristiques du client

Le comportement résiliatoire étant fondamentalement un comportement client, ons’attend à ce que ces variables soient très impactantes sur notre modèle. Les variablesclients étant souvent très corrélées entre elles, pour des raisons de simplicité et de rapiditéde modélisation, on se borne à tester trois variables :

• Catégorie Socio-Professionnelle du client : le taux de résiliation varie fortementselon la CSP, de 3.5% (retraités) à 5.5% (étudiants).

GRAPHIQUE 3-15: Taux de résiliation observé selon la catégorie Socio-Professionnelle duclient

• Indicatrice de client «multidétenteur» détenant plusieurs contrats AXA : un mul-tidétenteur résilie moins qu’un monodétenteur.

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GRAPHIQUE 3-16: Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de client «multidétenteur»détenant plusieurs contrats AXA

• Situation familiale du client : ce sont les couples qui résilient le plus (4.8%) et lesséparés qui résilient le moins (4.1%).

GRAPHIQUE 3-17: Taux de résiliation observé selon la situation familiale du client

3.4.2 Analyse des corrélations

Pour aider à la décision dans le choix des variables, l’étude de la corrélation ou bien,pour des variables catégorielles, de l’association, entre les variables, est nécessaire. En ef-fet, la présence de plusieurs variables corrélées dans le modèle est à éviter. On utilise doncl’analyse des corrélations pour soit supprimer une variable corrélée à une autre, soit créerun croisement entre deux variables corrélées. Nous utiliserons ici le V de Cramer, lequelest une mesure de l’association entre deux variables catégorielles basée sur la statistiquedu chi-deux de Pearson.

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Le V de Cramer varie entre 0 (aucune association entre les variables) à 1 (complèteassociation), et n’atteint 1 que lorsque les deux variables sont parfaitement dépendantes.Soit un échantillon de taille n distribué simultanément sur les variables A (comprenantr catégories) et B (comprenant k catégories). ∀i = 1, . . . ,r ; ∀ j = 1, . . . ,k, on noteni j = lenombre de fois où la valeur (Ai ,B j ) est observée. On définit alors le V de Cramer selon :

V =√

χ2/n

min(k −1,r −1)avec : χ2 =∑

i , j

(ni j − ni . n. j

n

)2

ni . n. j

n

Pour utiliser cette mesure, nous avons fixé un seuil arbitraire à partir duquel deux va-riables sont «trop» corrélées entre elles pour être ajoutées toutes les deux dans le modèle.Ce seuil est de 0,5. Aucun couple de variables n’atteint ce seuil (cf annexe A pour le détaildes corrélations).

Seuls quelques couples de variables ont des corrélations entre 0,4 et 0,5 :

• Entre la CSP et la situation familiale (V de Cramer = 0,430) : cela est expliquablenotamment par le fait que la modalité «séparés» inclut les veufs, qui sont majoritai-rement retraités.

• Entre la majoration en euros et en pourcentage (V de Cramer = 0,402) : plus la ma-joration en % augmente sur un contrat, plus sa majoration en euros augmente éga-lement.

3.4.3 Forward

Sur la base d’aprentissage, on fait un Forward (ou méthode ascendante) selon l’indica-teur du Gini. On choisit de ne stopper le Forward que si l’AIC, le BIC ou le Gini se dégradentlors de l’ajout de la variable explicative. Ce premier modèle sélectionne 13 variables expli-catives dans le modèle.

On vérifie que les variables explicatives du modèle sont tous significatives au seuil de5% (c’est-à-dire que la p-value associée au test de Student de cette variable est inférieure à5%, on se réfèrera à la section 2.2.2 pour plus de détails sur cette notion). Si ce n’est pas lecas, on regroupe les modalités des variables en possédant beaucoup et, si le regroupementde modalités ne suffit pas à avoir des modalités significatives, on suppime la variable dumodèle.

59

GRAPHIQUE 3-18: Exemple de regroupement de modalités : le taux de majoration annuel

On vérifie également que les intervalles de confiance des coefficients ai associés àchaque variable explicative Ni sont tels que le coefficient ai d’une modalité ne se retrouvepas dans l’intervalle de confiance d’une autre modalité j = i . Si ce n’est pas le cas, on re-groupe encore les modalités. On vérifie enfin graphiquement que les effets univariés etmultivariés de la variable modélisée «vont dans le même sens». Si ce n’est pas le cas, onregroupe encore les modalités.

On relance ensuite le Forward afin de vérifier que suite à ces modifications, le modèlene sélectionne pas de variable dégradant l’AIC, le BIC ou le Gini. Si c’est le cas, on répèteles étapes précédentes jusqu’à arriver à un modèle comptant uniquement des variablesexplicatives simples (sans interactions) stables.

3.4.4 Ajout d’interactions

On fixe ensuite les ai de ce premier modèle (fonction "offset" sous Emblem) et on testeensuite toutes les interactions entre variables possibles, une à une. On pré-sélectionne vi-suellement les variables qui semblent présenter des tendances et on rajoute ces interac-tions au Forward, que l’on relance.

On vérifie ensuite la significativité des variables et on regroupe les modalités commeprécédemment. On relance ensuite itérativement le Forward afin de vérifier que suite àces modifications, le modèle ne sélectionne pas de variable dégradant l’AIC, le BIC ou leGini. On otient donc un modèle final où toutes les variables sont significatives sur la based’apprentissage.

60

GRAPHIQUE 3-19: Exemple d’interaction

3.4.5 Vérification sur la base de test

On applique ensuite le modèle sur la base de test afin de vérifier à la fois que le modèleexplique correctement les données et qu’il n’y a pas de surapprentissage. On vérifie :

• le Gini, l’AIC et le BIC

• graphiquement l’adéquation du modèle aux données, variable par variable.

3.4.6 Stabilisation du modèle par une 10-fold cross-validation

Principe de la k-fold cross-validation

Cette méthode de cross-validation (ou validation croisée) permet, mieux que la clas-sique répartition entre 80% de base d’apprentis-sage et 20% de base de validation, d’éviterle surapprentissage et le biais d’échantillonnage lors de la division de l’échantillon initialentre base d’apprentissage et base de validation, particulièrement fort lorsque l’échantil-lon initial est petit et que le nombre de variables explicatives testées est important.

Dans la k-fold cross validation (Bengio and Grandvalet [2004]), l’échantillon originalD , de taille N , est partitionné aléatoirement en k sous-échantillons D1 . . .Dk , chacun detaille N /k. Sur les k sous-échantillons, un seul est dans un premier temps retenu commebase de validation pour tester le modèle, et les k−1 sous-échantillons restants sont utiliséscomme base d’appren-tissage. A l’issue de cette étape, on obtient une première estimationpour tous les coefficients ai associés à chaque variable explicative Ni du modèle. On notecette première estimation ai

1.Ce processus est répété k fois (ce sont les k « folds ») avec chacun des k sous-échantil-

lons utilisé exactement une fois en tant que base de validation. On obtient ainsi, pourchaque coefficient ai , k estimations différentes ai

1 . . . aik issues des k ré-échantillonages.

61

On obtient l’estimation finale pour ai en faisant la moyenne des k estimations

ai =k∑

l=1ai

l

Cette méthode a pour avantage d’utiliser toutes les observations à la fois comme échan-tillon d’apprentissage et de validation, et d’utiliser chaque observation une seule fois dansla base de validation. En augmentant ainsi le nombre d’observations utilisées pour estimerai et en estimant ai par une moyenne de plusieurs estimations ai

l , on diminue significa-tivement la variance de l’estimateur ai .

En pratique, on pose souvent k = 10, c’est-à-dire que l’on effectue une 10-fold crossvalidation.

Mise en oeuvre de la 10-fold cross-validation

On fait tourner, grâce à une macro réalisée sous Emblem, une 10-fold cross validationà partir du modèle précédemment sélectionné. On prend comme coefficients ai finauxla moyenne des coefficients estimés sur les 10 bases d’apprentissage. Comme, pour desraisons d’outil, nous ne conservons pas les intervalles de confiance à 95% de chaque ai

calculé sur chaque base d’apprentissage, nous ne pouvons pas directement juger de leursignificativité et devons recourir à des méthodes alternatives. Pour les variables catégo-rielles, on range les coefficients associés à chaque modalité dans l’ordre croissant. Si cetordre diffère d’une estimation à l’autre, ou bien si les coefficients estimés sur les 10 basesd’apprentissage ai

1 . . . ai10 ne sont pas tous de même signe, alors on considère que ceux-

ci ne sont pas stables et, pour les variables catégorielles, il nous faut soit regrouper lesclasses, soit supprimer la variable. Aucune variable n’est dans ce cas.

L’outil de 10-fold conserve les ai1 . . . ai

10 calculés sur les 10 bases de modélisations,nous pouvons donc calculer la moyenne de chaque ai et son écart type. On considère quesi les coefficients calculés sont trop instables, avec un coefficient de déviance = moyenne

écart type >5% ou un écart relatif = range

écart type > 10%, on doit vérifier s’il nous faut regrouper les classes(sauf dans le cas des modalités inconnues, que l’on ne souhaite pas regrouper avec d’autresmodalités) en vérifiant, comme précédemment, que les intervalles de confiance [moyenne+/- 2 écarts types] ne se chevauchent pas entre modalités. C’est le cas de la variable taux demajoration × année de vision : le coefficient ai des contrats ayant eu 30% de majorationà l’échéance en 2015 a un coefficient de déviance de 5.25% et un écart relatif de 16.52%.Pour savoir si on doit regrouper cette classe avec une autre classe, on vérifie que les inter-valles de confiance ne se chevauchent pas. Ce n’est pas le cas, on ne regroupe donc pas lesclasses.

On conservera comme modèle final le modèle obtenu avec les ai résultants de la 10-fold.

62

3.4.7 Effets univariés des princiales variables retenues

On ne développera que les tendances sur la majoration annuelle en pourcentage eten euros, sur l’ancienneté et sur l’année, ainsi que les croisements retenus pour ces 4 va-riables. Bien que ces variables ne soient pas les plus impactantes de notre modèle (d’autresvariables comme le taux de résiliation moyen du portefeuille du distributeur ou l’indicatri-ce de contrat ayant remplacé dans l’année sont ressorties avant dans le forward), ce sontcelles qui seront intégrées à la NBV par la suite, ce qui justifie que nous les détaillons ici.

Ancienneté d

La résiliation diminue (tendance strictement linéaire) à mesure que l’ancienneté aug-mente. L’effet univarié est de -0.05% de résiliation par année d’ancienneté.

GRAPHIQUE 3-20: Effet univarié de l’ancienneté du contrat

Majoration annuelle à l’échéance

Le taux de majoration annuel à l’échéance est non-significatif (bien qu’on ait vu quel’effet multivarié de la variable soit important, on ne perçoit pas d’effet univarié signifi-catif), cependant, le montant en euro de majoration annuel est significatif et a un effetunivarié croissant (plus la majoration en euros est élevée, plus les contrats ont de chancesde résilier).

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GRAPHIQUE 3-21: Effet univarié du montant en euros de la majoration à l’échéance

Par ailleurs, le taux de majoration cumulé sur deux ans est également significatif : lescontrats ayant reçu plus de 25% de majoration cumulée sur deux ans résilient sensible-ment plus que les autres (effet univarié).

GRAPHIQUE 3-22: Effet univarié du taux de majoration cumulé sur deux ans

Année n

Cet effet est uniquement lié à l’entrée en vigueur de la loi Hamon, on regroupe donc lesannées de vision entre l’année 2015 et les années précédentes. Or, cette entrée en vigueur aété progressive, puisque la loi Hamon ne peut s’appliquer aux contrats déjà en portefeuillequ’à partir de leur échéance anniversaire de 2015. On capte donc l’effet de l’entrée envigueur progressive de la loi Hamon par l’interaction entre le mois d’échéance et l’annéede vision regroupée « < 2015 / ≥ 2015 ».

64

GRAPHIQUE 3-23: Effet univarié de l’interaction entre l’année de résiliation et le moisd’échéance

3.5 Intégration au modèle de New Business Value

3.5.1 Simplification du modèle de résiliation

Le modèle de valeur étant non pas à la maille contrat mais à la maille segment, moinsfine, il nous faut produire un modèle de résiliation simplifié pour l’intégrer dans le modèlede NBV.

On a vu que la majoration en pourcentage n’était une variable impactante que pour lesvaleurs extrêmes de majoration alors que la majoration en euro est impactante pour les va-leurs moyennes. Comme on souhaite calculer le taux de résiliation en fonction de la majo-ration moyenne du segment, il nous faut conserver la majoration en euro comme variableexplicative. On conserve également la variable anciennenté (ou duration) du contrat. Ondoit aussi utiliser la variable année de vision n. On a vu que dès que l’on utilisait des in-teractions majoration en pourcentage x année de vision et mois d’échéance x année devision, cette variable n’était pas significative en univarié, mais qu’elle l’était si l’on mettaitles interactions. Comme le modèle de NBV ne permet pas d’utiliser d’interaction, il nousfaut remettre la variable année de vision n dans le modèle.

On évalue donc finalement un modèle simplifié avec les variables explicatives sui-vantes :

• majoration en euros m.

• ancienneté du contrat en années d .

• l’indicatrice de l’évènement [n ≥ 2015], que l’on dénotera 1HAM .

On se réfèrera à l’annexe B pour le détail des paramètres, écarts types et populations dumodèle.

65

En reprenant les notations utilisées au chapitre 2 :

∀n,∀d > 1 ∆Cntmajorationn−d;n = LM(1HAM ,d ,m)

3.5.2 Modélisation des résiliations pour autres motifs

Ce modèle prédit uniquement les résiliations pour motifs « loi Chatel » et « loi Ha-mon », il nous faut donc rajouter à ces résiliations celles pour autres causes afin d’obtenirle taux de résiliation total. Les résiliations pour cause autre que « loi Chatel » et « loi Ha-mon » sont modélisées d’une façon similaire à ce que nous avons fait précédemment, auchapitre 2.3.1, par modèle linéaire dépendant de d et de n uniquement. On suppose queles résiliations pour autres causes sont indépendants des résiliations pour motifs « loi Cha-tel » et « loi Hamon », d’où :

∀n,∀d > 1 ∆Cntn−d ;n =∆Cntmajorationn−d;n +∆Cntautre

n−d;n

avec ∆Cntmajorationn−d;n = LM(1HAM ,d ,m) et ∆Cntautre

n−d;n = LM(n,d) indépendantes.

Ce modèle remplace le modèle précédent dans notre modèle de NBV pour les dura-tions d > 1. Pour les contrats de duration d = 1, on conserve le modèle du chapitre 2.3.1 :

∀n, ∆Cntn−1;n = LM(1HAM ,n)

3.5.3 Biais du modèle et solutions apportées

On a peu de population avec des majorations ≥ 25 euros dans notre base de données(6% de la base) à cause de :

• Majorations maximales de l’ordre de 50 euros.

• Les majorations sont définies en % de la prime. Or les Locataires d’Appartement ontde relativement « petites » primes (prime moyenne à 191 euros).

On a donc un biais dû à la base de données sous-estimant potentiellement la sensis-bilité à la résiliation pour les très grosses majorations. On souhaite par prudence rajouterun coefficient strictement croissant avec la majoration qui corrige cela.

Par ailleurs, on souhaite éviter les effets de seuils avec les majorations. En effet, lescoefficients sont déterminés par intervalle de majoration (variable qualitative sous Em-blem). Pour éviter les effets de seuil (par exemple, dire qu’entre 5 et 15 le taux de résiliationest le même), on rend le coefficient continu par interpolation linéaire.

66

Bilan

On a finalement créé deux modèles de résiliation : un modèle simplifié intégré aucalcul de la New Business Value, et un modèle plus complexe intégrant des variables ex-plicatives et des interactions supplémentaires. Ces deux modèles nous permettent demieux comprendre le comportement résiliatoire de l’assuré et le lien entre ce compor-tement et les majorations annuelles lors de l’écéance anniversaire du contrat.

67

68

Chapitre 4

Optimisation de la stratégie de haussestarifaires à l’échéance anniversaire

Sommaire4.1 Hypothèses de tendances sur les taux de majoration à l’échéance . . . . 70

4.2 Maximisation de la NBV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1 Maximisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.2 Maximisation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 Sous quelles conditions peut-on définir directement le niveau de haussestarifaires à partir des modèles de résiliation, sans passer par l’optimisationde la NBV ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1 Contrats plus ou moins rentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.2 Taux de résiliation hors majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Définition des hausses tarifaires optimales pour obtenir une NBV ciblenulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Segmentation des hausses tarifaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Nous avons obtenu une NBV dont les seules hypothèses modifiables sont les majo-rations futures. Pour des raisons stratégiques, et bien que la variable significative dansles modèles de résiliation soit le montant de majoration à l’échéance, nous décidonsd’exprimer nos hypothèses de majorations futures en pourcentage.

Notre objectif est de déterminer, pour une génération de contrats donnée, la chro-nique de hausses tarifaires à l’échéance futures permettant de maximiser la NBV. On seconcentrera ici sur les affaires nouvelles 2016.

69

Comme nous n’avons pas calibré de modèle de résiliation pour une ancienneté infé-rieure ou égale à un an et que nous ne souhaitons pas biaiser notre modèle, nous fixonsla majoration de la première échéance anniversaire (ancienneté d’un an) à la majorationmoyenne historique lors de la première échéance anniversaire et cherchons à fixer les ma-jorations suivantes. Il s’agit donc d’optimiser les hausses tarifaires effectuées à partir de2018 sur les contrats souscrits en 2016.

4.1 Hypothèses de tendances sur les taux de majoration àl’échéance

Pour la génération d’affaires nouvelles G = 2016, on a 28 hypothèses de taux de majo-ration, une par échéance anniversaire, c’est-à-dire une par ancienneté d ≥ 2. Cette chro-nique d’hypothèses est une suite numérique de 28 valeurs (Ud )2≤d≤30. On souhaite réduirele nombre d’hypothèses pour notre modèle, ce qui facilitera l’optimisation par la suite. Onchoisit de poser une tendance géométrique à notre suite :

∀d Ud+1 =Ud × (1+q)

Bien que cette hypothèse nous fasse perdre en généralité, elle nous permet de passer de28 hypothèses à 2 hypothèses seulement : U2, le premier terme de la suite (Ud )2≤d≤30 et q ,sa raison.

4.2 Maximisation de la NBV

4.2.1 Maximisation sans contrainte

On souhaite trouver le premier terme U2 et la raison q optimaux afin de maximiser laNBV. Nous visualisons dans un premier temps la NBV en fonction du de la majoration,c’est-à-dire en fonction de U2 et de q :

GRAPHIQUE 4-1: Valeur de la NBV pour différentes valeurs de U2 et de q

On remarque que, à q fixé, la NBV semble bien posséder un optimum (elle croît, puisdécroît en fonction de U2 ce qui montre l’existance d’un maximum local). De même, à

70

U2 fixé, la NBV croît puis décroît en fonction de q , ce qui montre l’existance d’un maxi-mum local. Cependant, lorsque l’on fait varier les deux paramètres en même temps, onremarque que plus on augmente U2 tout en diminuant q , plus la NBV augmente. Cecinous laisse croire qu’il n’y a pas de solution à une maximisation non contrainte de la NBV.

Pour nous en assurer, nous utilisons des algorithmes de maximisation pour tenter detrouver un maximum non contraint pour la NBV. La maximisation a lieu sous Excel, àl’aide du Solver. Nous choisissons différents algorithmes de résolution (GRG non linéaire,Evolutionnaire - le lecteur désireux de se renseigner sur les différents algorithmes de maxi-misation utilisés par le Solver se réfèrera à Le solveur d’EXCEL) et initialisons les para-mètres avec différentes valeurs, mais le Solver ne trouve pas de solution optimale.

4.2.2 Maximisation sous contraintes

La maximisation non-contrainte ne donnant pas de résultat, nous posons dans undeuxième temps certaines contraintes en matière de taux de résiliation et duration mi-nimaux :

• Afin de ne pas détruire le fonds de portefeuille, on souhaite avoir des taux de résilia-tion strictement décroissants avec l’ancienneté du contrat.

• On ne souhaite pas que le taux de résiliation moyen, toutes anciennetés confondues,sur le portefeuille augmente de plus de +1.9 point par rapport à un taux de résiliation« résiduel » où la hausse tarifaire serait nulle.

• Tous les contrats doivent avoir au moins une majoration nulle (pas de réduction detarif).

On maximise la NBV sous les contraintes sus-citées. On trouve que l’ensemble des qcorrespondant aux contraintes est : q ≤−6.8%. Comme q est négatif, cela signifie que plusle contrat reste longtemps en portefeuille, moins il est majoré. Cette mécanique permet àla fois de ne pas détruire le fonds de portefeuille, de préserver la duration du portefeuilleet, stratégiquement, permet d’enclancher une mécanique vertueuse récompensant la fi-délité du client.

On souhaite visualiser l’effet de q sur la majoration et la résiliation. On choisit pour lavisualisation de comparer majoration et résiliation dans le cas q = −6.8% et dans le casd’un q « très négatif » q =−20%. On obtient les résultats suivants :

71

GRAPHIQUE 4-2: Taux de majoration pour différentes valeurs de q

GRAPHIQUE 4-3: Majoration en euros pour différentes valeurs de q

On observe sur les graphiques 4-2 et 4-3 qu’un q « très négatif » signifie que nousfaisons porter le poids des hausses tarifaires uniquement sur les contrats rentrés récem-ment en portefeuille, puis que les majorations tarifaires tendent rapidement vers 0% aprèsquelques années passées en portefeuille. Au contraire, un q relativement proche de 0 si-gnifie que les hausses tarifaires sont réparties de façon relativement équilibrée entre «jeunes » et « vieux » contrats. On remarque (graphique 4-4) que les résiliations sont égale-ment impactées par le choix de q : elles sont plus élevées pour les jeunes contrats et plusfaibles pour les contrats plus anciens dans le cas q =−20%.

72

GRAPHIQUE 4-4: Taux de résiliation pour différentes valeurs de q

Pour trouver un optimum unique, il nous faut ajouter une contrainte supplémentai-re pour différents niveaux de résiliation : on souhaite minimiser le taux de majorationmoyen : à iNBV fixée, un taux de majoration moyen plus bas signifie une majoration plus« efficace », c’est-à-dire que l’on a besoin de moins augmenter les primes pour obtenirune rentabilité équivalente. Parmi les optima, on choisit donc celui qui minimise le tauxde majoration moyen. En ajoutant cette contrainte, on trouve comme optimum uniqueq = −6.8% et U2 = 21.4%. Une fois q et U2 identifiés, on peut calculer la NBV de manièreunique.

Après plusieurs essais en changeant la valeur de la contrainte en matière de hausse dutaux de résiliation maximale, on remarque que :

• la contrainte de hausse du taux de résiliation maximale est toujours saturée,

• la contrainte sur le taux de majoration moyen nous pousse à choisir systématique-ment la raison q la plus élevée telle que les taux de résiliations soient décroissantsavec l’ancienneté du contrat d .

L’optimisation est donc totalement dictée par les contraintes : celles-ci sont systéma-tiquement saturées. Par exemple, on remarque que l’optimum sus-cité correspond à unecontrainte de +2.65 points de résiliation à la deuxième échéance anniversaire (échéance2018) vs. un scenario sans majoration. Une lecture directe du modèle de résiliation, sanspasser par la NBV, montre que la majoration correspondante est de 36 euros, soit 21.4% demajoration. On retrouve ainsi en lecture directe du modèle de résiliation le même résultatqu’en optimisant la NBV.

73

4.3 Sous quelles conditions peut-on définir directement leniveau de hausses tarifaires à partir des modèles de ré-siliation, sans passer par l’optimisation de la NBV ?

On souhaite savoir sous quelles conditions on peut se passer de la NBV et se conten-ter d’une lecture directe des modèles de résiliation pour définir les hausses tarifaires àl’échéance. En d’autres termes, à quel point cette conclusion est-elle généralisable ? Misà part les modèles de résiliation, les pricipaux éléments variant d’un contrat à l’autre (oubien d’un segment à l’autre) et modifiant sensiblement la NBV sont les suivants :

• dérive de la rentabilité (i.e de la sinistralité, les primes étant décidées par AXA France).

• dérive de la duration, due aux résiliations hors majoration (moins de déménage-ments ou de résiliations pour non-paiement des primes, par exemple).

Les autres éléments (frais, impôts, coût du risque...) sont considérés comme stablesd’un contrat à l’autre, car il s’agit de coûts globaux répartis contrat par contrat par une clefde répartition ad hoc.

4.3.1 Contrats plus ou moins rentables

On fait varier la rentabilité des contrats en appliquant un coefficient multiplicatif à lacharge de sinistre prédite dans notre modèle de valeur. Un coefficient de 2 signifie que lacharge est doublée par rapport au contrat moyen du segment des Locataires d’Apparte-ment, un coefficient de 0 signifie que la charge de sinistre prédite est nulle.

GRAPHIQUE 4-5: Optimisation de la NBV pour différents niveaux de sinistralité

On voit que la contrainte en terme de hausse de taux de résiliation est toujours saturée,seule la valeur finale de la NBV est impactée par le changement d’hypothèse concernantla rentabilité.

4.3.2 Taux de résiliation hors majorations

On fait varier le taux de résiliation, hors « résiliations pour cause de majoration » descontrats en appliquant, de même, un coefficient multiplicatif audit taux de résiliation dans

74

notre modèle de valeur. Un coefficient de 2 signifie que le taux est doublé par rapport aucontrat moyen du segment des Locataires d’Appartement, un coefficient de 0 signifie qu’iln’y a pas de résiliation hors « résiliations pour cause de majoration ».

GRAPHIQUE 4-6: Optimisation de la NBV pour différents niveaux de résiliation

On voit que la contrainte en terme de hausse de taux de résiliation est toujours satu-rée, seule la valeur finale de la NBV, ainsi que la duration moyenne sont impactées par lechangement d’hypothèse concernant la résiliation.

4.3.3 Bilan

En pratique, et plutôt que d’effectuer une projection de la NBV sur tous les segments,mieux vaut calibrer des modèles de résiliation complets et déduire les taux de majorationpar une lecture directe des modèles de résiliation. En effet, on a montré que saturer lescontraintes en terme de taux de résiliation permettait de maximiser la valeur des contrats.

Dans la réalité, ce ne sont pas ces taux de majoration là qui seront appliqués, carstratégiquement, on ne cherche pas à maximiser la valeur des contrats, mais à atteindredes objectifs d’augmentation du chiffre d’affaire ou de la rentabilité cibles. Ces objectifsconduisent à augmenter la valeur contrat (la NBV étant, toutes choses égales par ailleurs,strictement croissante avec le chiffre d’affaire et décroissante avec le S/C), mais non à lamaximiser.

4.4 Définition des hausses tarifaires optimales pour obte-nir une NBV cible nulle

Par exemple, on peut se demander quelles majorations seraient nécessaires pour obte-nir une NBV unitaire nulle, c’est-à-dire pour que le contrat moyen du segment Locatairesd’Appartement, hors formule « Etudiants » soit exactement à l’équilibre sur toute sa du-rée de vie. Comme U2 et q sont les deux seules hypothèses modifiables de la NBV, fixerune NBV cible (ici, une NBV cible nulle) et la tendance q nous donne une unique solutionpour U2. Pour définir la chronique de résiliations optimale, il faut et suffit donc de définirq .

75

GRAPHIQUE 4-7: Taux de résiliation et duration en fonction de q

On observe le taux de résiliation moyen du portefeuille et la duration de celui-ci enfonction de q pour une NBV nulle. On remarque que lorsque q augmente, la durationet le taux de résiliation moyen diminuent : en effet, augmenter q conduit à diminuer letaux majoration, donc le taux de résiliation des contrats jeunes, et à augmenter celui descontrats plus vieux, d’où une diminution de la duration. Cependant, bien que le taux derésiliation des vieux contrats augmente, en moyenne, le taux de résiliation du portefeuillediminue car leur poids est moins important que celui des « jeunes » contrats.

On pose les mêmes contraintes stratégiques que précédemment, c’est à dire :

• Taux de résiliation strictement décroissants avec l’ancienneté du contrat : sous cettecontrainte, on trouve q ≤−4%.

• Tous les contrats doivent avoir au moins une majoration nulle (pas de réduction detarif).

• Parmi les optima trouvés, on choisit donc celui qui minimise le taux de majorationmoyen, et on trouve q =−4%.

On remarque que poser une NBV cible évite de poser une contrainte chiffrée en terme dedérive des taux de résiliations par rapport à un scenario sans majoration au terme.

Une fois q défini, la NBV étant fixée comme nulle, on déduit U2 qui est défini de ma-nière unique.

4.5 Segmentation des hausses tarifaires

On a maintenant une méthode de définition des majorations pour le segment des Lo-cataires d’Appartement. Cependant, dans la réalité, les hausses à l’échéance sont segmen-

76

tées à une échelle plus fine que le segment. La NBV du segment permet-elle de segmen-ter les majorations ? Pour segmenter les hausses tarifaires, on souhaite, non plus, commeavant, le faire selon des critères plus ou moins techniques ou négociés avec notre réseaude distribution, mais selon la rentabilité des contrats. On souaite pouvoir utiliser un indi-cateur de rentabilité instantannée de chaque contrat, comme l’Expected Loss Ratio (ELR).L’ELR est défini comme l’espérance du S/C, c’est à dire commme :

ELRn = E(LRn) = E

(Sinn

Acqn

)= E

(Sinn

Acqn

)= E(Sinn)

Acqn= PrimePuren

Acqn

Mais à quoi comparer celle-ci ? En effet, un contrat avec un ELR de 100% dès sa premièreannée de souscription deviendra très rapidement rentable, alors qu’un contrat présent enportefeuille depuis 10 ans avec un même ELR de 100% est un contrat qui a déjà coûtébeaucoup dans le passé : il faudra longtemps pour récupérer ces coûts, et il est probableque ce contrat ne devienne jamais rentable.

La NBV telle que calculée dans le présent mémoire est une NBV par segment, ce quisignifie que la NBV unitaire est la valeur moyenne d’un contrat du segment des Locatairesd’Appartement, sous certaines hypothèses de majoration. Par exemple, une NBV nullesignifie que, sous les hypothèses de hausses tarifaires lors de l’échéance anniversaire défi-nies à la section précédente, le contrat moyen du segment des Locataires d’Appartementest à l’équilibre sur toute sa durée de vie. Ce contrat moyen a une chronique d’ELR telleque, sous ces hypothèses de majorations à l’échéance, les pertes des premières annéessoient parfaitement compensées par les profits des années suivantes. La NBV telle quenous l’avons calculée ne nous permet pas de visualiser exactement les ELR, car la sinis-tralité passée n’est pas une sinistralité modélisée, c’est-à-dire une prime pure, mais unesinistralité partiellement modélisée (pour les sinsitres graves et catastrophe) et partielle-ment historique (pour les sinistres attritionnels). Cependant, on a vu à la section 2.4 qu’ilétait possible, et même neutre du point de vue de la NBV de passer en sinistralité mo-délisée, c’est-à-dire en prime pure. Dans ce cas, les chroniques de S/C correspondantessont des chroniques purement modélisées, c’est à dire des chroniques d’ELR. Cette chro-nique définit les ELR maximums, pour chaque année d’ancienneté, tels que le contratmoyen du segment soit rentable. Par exemple, un contrat moyen du segment des Loca-taires d’Appartement, en affaire nouvelle de 2015 doit avoir au maximum un ELR de 64.7%à la fin de sa première année pour espérer, sous les hypothèses de majorations annuellesà l’échéance définies précédemment, être à l’équilibre sur toute sa durée de vie.

Or, dans la réalité, les Locataires d’Appartement ont des rentabilités qui diffèrent de larentabilité moyenne du segment. Par exemple, les affaires nouvelles de 2015 ont des ELRrépartis comme suit (cf graphique 4-8).

Un contrat dont l’ELR, calculé après avoir appliqué les mêmes hausses tarifaires qu’aucontrat moyen du segment, serait supérieur à l’ELR maximum serait, si on lui applique lesmêmes hausses tarifaires que le contrat moyen du segment, déficitaire sur toute sa du-rée de vie. Il faudrait donc lui appliquer des majorations plus élevées pour qu’il ait unechance de devenir rentable. Au contraire, un contrat dont l’ELR serait inférieur à cet ELR

77

GRAPHIQUE 4-8: Dsitribution de l’ELR des affaires nouvelles 2015 du segment des Loca-taires d’Appartement

maximum serait rentable sur toute sa durée de vie : les hausses tarifaires moyennes dusegment suffisent à ce que les pertes des premières années soient strictement inféireuresaux gains des années suivantes. Le ratio entre l’ELR du contrat et cet ELR maximal per-mettrait ainsi de comparer la profitabilité des contrats quelle que soit leur ancienneté enportefeuille.

Bilan

On a vu que la NBV ne pouvait être maximisée que sous contraintes en matière detaux de résiliation et que l’optimum ainsi trouvé était identique à la valeur que l’ontrouve en lecture directe des modèles de résiliation.

Afin d’éviter de poser ces contraintes chiffrées en terme de taux de résiliation, il nousfaut fixer une NBV cible.

Le cas particulier d’une NBV nulle permet de définir un indicateur classant les cont-rats selon leur rentabilité, permettant ainsi de comparer des générations différentessans passer par une modélisation de la NBV contrat par contrat.

78

Conclusion

L’enjeu principal du présent mémoire était la refonte de la stratégie de hausses ta-rifaires à l’échéance anniversaire en assurance habitation, en détaillant l’exemple seg-ment des Locataires d’Appartement, hors formule « Etudiant ». Il s’agissait de définir à lafois le niveau des majorations tarifaires et leur segmentation. Pour cela, nous avons dûdéfinir une mesure de la valeur du segment et modéliser leur comportement résiliatoire,notamment leur sensisbilité vis-à-vis des hausses tarifaires.

Dans une première partie, on a créé l’indicateur mesurant la valeur du segment, ense référant à la théorie de la New Business Value (NBV), issue du cadre théorique del’Embedded Value défini par le CFO Forum. Afin de sécuriser notre démarche, et suitenotamment à des contraintes opérationnelles, nous avons choisi de créer l’indicateur di-rectement à l’échelle du segment entier, et non contrat par contrat. La régression linéairede chaque élément constitutif de la NBV (comme les sinistres ou les variations de por-tefeuille) sur des variables temporelles (date de vision et ancienneté du contrat) nous apermis de visualiser et projeter les grandes tendances historiques impactant la valeur dusegment pour les 30 prochaines années.

Notre modèle de valeur a été complété par un modèle décrivant le comportementrésiliatoire de l’assuré lors de son échéance anniversaire. Le modèle de résiliation a dûêtre simplifié afin d’être intégré au modèle de valeur.

Lors de nos tentatives d’optimisation du niveau des hausses tarifaires à l’échéanceanniversaire, nous remarquons que cette stratégie de définition est dictée par la contrainteque nous avons posée en terme de taux de rétention du portefeuille. Cette conclusion tientquels que soient le niveau de rentabilité tel que mesuré par le S/C et le niveau de majo-ration non dépendant des hausses tarifaires (comme les résiliations pour déménagementou pour décès de l’assuré). En effet, les assurés sont suffisamment peu sensibles à la ma-joration pour que la valeur soit strictement croissante avec les hausses tarifaires. Ainsi,il n’existe pas de seuil au delà duquel les hausses tarifaires produisent des résiliationsen masse et donc une destruction de valeur. On peut discuter cette conclusion en re-marquant que les fortes hausses sont peu représentées dans notre portefeuille, il est doncpossible que la sensibilité aux hausses tarifaires très élevées (doublement de la prime, parexemple) soit sous-évaluée.

Ainsi, la définition du niveau des hausses tarifaires peut se faire directement en uti-lisant les modèles de résiliation, sans passer par une mesure de la valeur. Ceci présentel’avantage de nous permettre de développer et d’utiliser des modèles de résiliation plus

79

pertinents, permettant de définir plus finement les hausses tarifaires selon la sensibilitéde chaque contrat aux majorations à l’échéance, sans poser de contrainte opérationnelled’intégration du modèle de résiliation à un modèle de valeur. Par ailleurs, d’un point devue métier, l’utilisation des modèles de résiliation est plus simple que des modèles de va-leur, à la fois du point de vue de la complexité de la modélisation et de la communicationde notre stratégie de hausses tarifaires, notamment auprès de nos réseaux de distribution.

Si nous souhaitons définir le niveau des hausses tarifaires en fonction d’un taux derétention de portefeuille cible, il est donc crucial de développer, dans un futur proche,des modèles de résiliation complets pour chacun des segments de notre portefeuille.Dans ce cadre, nous serons peut-être amenés à remettre en cause la segmentation choisiedans le présent mémoire - celle-ci avait été choisie en fonction de plusieurs éléments,mais il nous faudrait vérifier que cette segmentation est la plus pertinente pour étudier lecomportement résiliatoire.

Comme les contrats sont souscrits en affaire nouvelle à un niveau de prime insuffi-sant pour assurer la rentabilité et deviennent de plus en plus profitables à mesure qu’ilsrestent en portefeuille, nous souhaitions définir un indicateur permettant de segmen-ter nos hausses tarifaires entre contrats, et notamment de plus majorer les contrats dontnous savons qu’ils seront non-profitables sur toute leur durée de vie si des hausses tari-faires non-segmentées sont appliquées. Nous devions donc définir un indicateur permet-tant de comparer la valeur de chaque contrat, soit en modélisant un modèle de valeur cal-culé par contrat, soit en trouvant un moyen détourné de comparer les contrats entre euxen neutralisant l’effet de l’ancienneté. La valeur modélisée à l’échelle du segment nouspermet de définir, par année de souscription et par ancienneté, les niveaux d’ExpectedLoss Ratio (ELR) maximaux pour qu’un contrat soit rentable sur toute sa durée de vie.Elle nous permet ainsi de comparer la rentabilité de contrats entrés en portefeuille àdes moments différents sans nécessiter de modéliser une NBV contrat par contrat.

Finalement, la NBV peut-elle être directement utilisée à d’autres fins que pour définirla stratégie à l’échéance du contrat ? Elle peut être utilisée à des fins de communicationvis-à-vis du groupe, de nos dirigeants ou de toute personne désirant une indication sur lavaleur financière d’un contrat habitation. Elle peut être aussi utilisée par les équipes degestion de campagnes marketing à des fins de ciblage client.

80

Annexe A

Corrélations des variables explicatives dumodèle de résiliation complet

81

(a) V de Cramer (1) (b) V de Cramer (2)

GRAPHIQUE A-1: Corrélations des variables explicatives du modèle de résiliation selon leV de Cramer

82

Annexe B

Détails du modèle de résiliation simplifié

83

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4

84

Lexique

AIC (Akkaike Information Criterion) : le critère d’Akaike propose une estimation de laperte d’information lorsque l’on utilise un modèle considéré pour représenter le proces-sus qui génère les données.Apport net : nombre de contrats souscrits pendant l’année, diminué du nombre de contratsrésiliés pendant la même année.ARCH : modèles employés couramment dans la modélisation de séries avec une volatilitévariable, permettant de modéliser la variance de ces séries.

Base d’apprentissage : base sur lequel un modèle est calibré (ici, il s’agit de 80% de l’échan-tillon total).Base de validation : base, différente de la base d’apprentissage, sur lequel un modèle esttesté et comparé aux valeur réelles (ici, 20% de l’échantillon total). L’intérêt de conserverune base de validation est de vérifier les performances du modèle sur une base différentede la base d’apprentissage.BIC (Bayesian Information Criterion) : le critère d’information bayésien est un critère ins-piré du critère d’Akaike (voir AIC). Il pénalise le nombre de paramètres plus fortement quel’AIC.

CFO Forum (Chief Financial Officer Forum) : ce groupe de discussion, regroupant lesprinciapux acteurs du marché européen de l’assurance, a établi les Embedded Value Prin-ciples.Chiffre d’affaire : somme des primes acquises à l’année.Charge de sinistres : comprend les règlements (c’est-à-dire les prestations) et réserves.CNFR (Cost of Non Financial Risks) : coût des risques non financiers, c’est à dire notam-ment des risques opérationnels.CoC (Cost of Capital) : le coût du capital est un coût pour les actionnaires lié à l’immobilisa-tion du capital requis qui aurait pu être placé. Il est calculé comme la différence entre lecapital requis et sa valeur pour les actionnaires additionnée des rendements futurs.CoR (Cost of Risk) : coût annuel du capital et des risques non financiers.CM : coût moyen.CR : combined ratio, voir ratio combiné.

Duration (ou ancienneté) : différence entre l’année de souscription du contrat et son an-

85

née de vision. Il s’agit du nombre d’années passées en portefeuille par le contrat.

ECR (Expected Combined Ratio) : espérance du ratio combiné.Effet mix : effet de la modification du mix portefeuille sur l’évolution du chiffre d’affaire.Effet volume : effet de l’apport net sur l’évolution du chiffre d’affaire.ELR (Expected Loss Ratio) : espérance du S/C.EV (Embedded Value) : valeur financière d’une entreprise d’assurance, selon les Embed-ded Value Principles.EV Principles (Embedded Value Principles) : règles pour évaluer financièrement (c’est-à-dire, en se plaçant du point de vue de l’actionnaire) la valeur d’une entreprise d’assurance,en tenant compte des spécificités du secteur, comme la gestion des risques et le cycle deproduction inversé, et pour pouvoir comparer deux entreprises assurancielles entre elleset l’assurance à d’autres businesses.Exposition : période de temps pendant laquelle une police est en vigueur.

Fonction de lien : transformation de la variable réponse d’un modèle linéaire.Fréquence : nombre de sinistres survenus divisé par l’exposition.

Génération : une génération de contrats correspond à l’ensemble des affaires nouvellessouscrites pendant l’année.GIE AXA (Groupement d’Intérets Economiques AXA) : il s’agit de l’entité groupe AXA àl’échelle du monde entier, par opposition par exemple à AXA France qui est une entité na-tionale.GLM (Generalized Linear Model) : les Modèles Linéaires Généralisés sont la généralisationdes régressions linéaires. Ils permettent d’étudier la relation entre une variable réponse àmodéliser et ses potentielles variables explicatives.

IARD : assurance contre les risques Incendie, Accidents et Risques Divers. Il s’agit de l’en-semble des assurances dommages telles que l’asurance automobile, habitation, respon-sabilité civile, multi-risques professionnelle, chasse...IC : intervalle de confiance.Indice de Gini : Indicateur statistique de la dispersion et de la segmentation d’une popu-lation. Il varie entre 0 et 1 et correspond à l’aire entre la courbe de Lorenz et la bissectrice.Pour un modèle optimal, l’indice de Gini tendra vers 1.

k-fold cross validation : en statistiques, technique de validation croisée d’un modèle lorsde la phase d’apprentissage.

LM (Linear Model) : modèle linéaire.LR : Loss Ratio, voir S/C.

Majoration au terme : hausse de tarif que les contrats reçoivent à leur échéance anni-versaire.

86

Majoration sur le comptant : hausse annuelle du tarif des affaires nouvelles.Estimateur MCO (estimateur des moindes carrés ordinaires) : estimateur classique dumodèle de régression linéaire. La méthode des moindres carrés consiste à minimiser lasomme des carrés des écarts entre chaque point du nuage de régression et son projeté,parallèlement à l’axe des ordonnées, sur la droite de régression.Mix portefeuille : part de chaque segment dans le portefeuille.Modèle logistique : type de modèle linéaire généralisé, caractérisé par une fonction de lienlogistique. C’est un modèle classiquement utilisé pour modéliser une variable indicatrice.

logit P [ f graveG ,n > 0] =

de flog

P [ f graveG ,n > 0]

1−P [ f graveG ,n > 0]

MRH (multirisques-habitation) : un produit d’assurance multi-risques habitation proposedes garanties pour des risques tels que le dégât des eaux, le vol, l’incendie, le bris desglaces, les catastrophes naturelles, les événements climatiques et la responsabilité civile.Multidétention : détention de plusieurs contrats d’assurance AXA France par un mêmeclient.

NBV (New Business Value) : la NBV mesure la valeur d’une génération spécifique de con-trats G , c’est à dire la valeur de l’ensemble des affaires nouvelles d’une année.

p-value (ou valeur-p) : dans un test statistique, la p-value est la probabilité d’obtenir lamême valeur (ou une valeur encore plus extrême) du test si l’hypothèse nulle était vraie.Prime Pure : Espérance du sinistre moyen.Prime acquise : partie de la prime à retenir pour la période de temps durant laquelle unepolice est en vigueur.Primes émises : montant total des primes (hors taxes) relatives aux contrats souscrits pen-dant l’exercice.PVFP (Present Value of Future Profits) : valeur actuelle des profits futurs générés par lestock de contrat en scenario « forward ».

Ratio combiné : le Ratio Combiné ou Combined Ratio (C R = Si nG ,n+FG ,nAcqG ,n

) permet de cal-culer la part de la prime payée servant à couvrir toutes les dépenses relatives aux contrats.Pour qu’un contrat soit rentable, il faut et suffit que le CR soit inférieur à 100%.RMSE (Root Means Square Error) : racine carré de la somme des erreurs de modélisation

au carré. RMSE =√∑p

i=1 ε2i avec εi erreur entre la valeur observée et la valeur prédite par

modèle.

S/C : le S/C ou Loss Ratio (LR = Si nG ,nAcqG ,n

) permet de calculer la part de la prime payée servantà couvrir les risques souscrits.Segment : AXA France identifie 7 segments de contrats habitation aux caractéristiquesdistinctes : Propriétaires Occupants d’Appartement, Propriétaires Occupants de Maison,

87

Locataires d’Appartement, Locataires de Maison, Propriétaires Non Occupants d’Apparte-ment, Propriétaires Non Occupants de Maison et Étudiants.Sinistres attritionnels : part de risque mutualisable entre les contrats. En pratique, onconsidère qu’un sinistre coûtant moins de 100 000 euros est un sinistre attritionnel.Sinistres catastrophe : part de risque non mutualisable entre les contrats. On distingueparmi ces sinistres catastrophe les sinistres graves, les sinistres climatiques et les sinistrescatastrophe naturelles.Sinistres catastrophes naturelles : Sinistres soumis au régime Catastrophe Naturel : unecatastrophe naturelle est décrétée par arrêté préfectoral pour une période et un lieu don-nés, et tous les sinistres survenus dans ce cadre est un sinistre catastrophe naturelle.Sinistres climatiques : Sinistres déclanchant des garanties climatiques (hors arrêté catas-trophe naturelle) comme les garanties tempête, gel, neige, grêle...Sinistre grave : Sinistre coûtant plus de 100 000 euros.SM (Sinistre Moyen) : Il s’agit de la charge unitaire moyenne, c’est à dire de la charge totaledivisée par le nombre de sinistres survenus.STEC (Short Term Economic Capital) : c’est le capital immobilisé par l’actionnaire pourfaire face aux risques assuranciels. C’est le modèle interne d’AXA France pour calculer lescapitaux propres réglementaires sous Solvabilité 2 (SCR), par opposition à la formule stan-dard (« études QIS »).

TV (Time Value) ou escompte sur sinistres : les primes sont reçues et placées au taux sansrisque avant que les sinistres correspondants ne soient payés. La time value correspondau profit ainsi réalisé. Il s’agit du seul produit financier existant en assurance habitation.TVFOG (Time Value of Financial Options and Guarantees) : La valeur temps des optionset garanties financières est l’écart entre ce scenario « forward » et la moyen-ne probabili-sée de différents scenarii. Dans le cas de l’assurance vie, la T V FOG sert à faire apparaîtreles options qui ne se déclanchent que dans certains scenarii, comme une option de rachat.

V de Cramer : mesure de lassociation entre deux variables catégorielles. Le V de Cramervarie entre 0 (aucune association entre les variables) à 1 (complète association), et natteint1 que lorsque les deux variables sont égales.VIF (Value In Force) : la valeur du portefeuille se compose de plusieurs items :

VIF = PVFP - TVFOG - CoC - CNFR.

88

Bibliographie

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Le solveur d’EXCEL. http://www.emse.fr/beaune/solveur/welcome.html.

90

Table des figures

2-1 Tendance des résidus du modèle∆CntG ;n = LM(n,d) en fonction de l’anciennetéd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2-2 Le modèle LM(n, 1pd

) décrit mal le taux de résiliation pour d=1 . . . . . . . . . 19

2-3 Résidus du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

), base d’apprentissage, d > 1 . . . . . 20

2-5 Historique et hypothèses de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212-4 Résidus du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1p

d), base de validation, d > 1 . . . . . . 22

2-6 Modèle f attriG ,n (1) = LM(n,d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2-7 Adéquation du modèle (2) aux données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272-8 Indicateurs de validation des modèles de sinistralité attritionnelle . . . . . . . 272-9 Résidus du modèle C M graves

G ,n = LM(d), base d’apprentissage . . . . . . . . . . . 28

2-10 Adéquation du modèle logistique P [ f graveG ,n > 0] = logit−1LM(d) aux données . 30

2-11 Différentes modélisations de f graveG ,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2-12 Résidus des modèles de sinistralité catastrophe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-13 Frais unitaires annuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342-14 Indicateurs de rentabilité immédiate avec la sinistralité attritionnelle histo-

rique vs. modélisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372-15 Projection de la rentabilité des affaires souscrites en 2016 selon leur ancienneté 392-16 Cumul des marges annuelle actualisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402-17 NBV finale, avec sinistres attritionnels historiques, sinistres graves, sinistres

catastrophe et frais modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402-18 Indicateurs de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412-19 Indicateurs de chiffre d’affaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422-20 Evolution de la NBV avec différentes hypothèses de majoration sur le comp-

tant (majoration au terme moyenne de 6.6%1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432-21 Evolution de la NBV avec différentes hypothèses de majoration au terme

(majoration sur le comptant moyenne de 2.25%) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3-1 Taux de résiliation selon le taux de majoration à l’échéance . . . . . . . . . . . 463-2 Taux de résiliation selon la multidétention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473-3 Variables explicatives possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513-4 Taux de résiliation observé par année de vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523-5 Taux de résiliation observé par ancienneté du contrat . . . . . . . . . . . . . . 523-6 Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de remplacement pendant l’année 53

91

3-7 Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de présence de réductions com-merciales sur le contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3-8 Taux de résiliation observé selon le taux de majoration annuel à l’échéance . 543-9 Taux de résiliation observé selon le montant en euros de la majoration an-

nuelle à l’échéance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543-10 Taux de résiliation observé selon le taux de majoration à l’échéance cumulé

sur deux ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553-11 Taux de résiliation observé selon le mois de l’échéance anniversaire du contrat 553-12 Taux de résiliation observé selon le canal de distribution . . . . . . . . . . . . . 563-13 Taux de résiliation observé selon le taux de résiliation annuel moyen du por-

tefeuille du distributeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563-14 Taux de résiliation observé selon le niveau de risque géographique selon le

zonier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573-15 Taux de résiliation observé selon la catégorie Socio-Professionnelle du client 573-16 Taux de résiliation observé selon l’indicatrice de client «multidétenteur» dé-

tenant plusieurs contrats AXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583-17 Taux de résiliation observé selon la situation familiale du client . . . . . . . . . 583-18 Exemple de regroupement de modalités : le taux de majoration annuel . . . . 603-19 Exemple d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613-20 Effet univarié de l’ancienneté du contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633-21 Effet univarié du montant en euros de la majoration à l’échéance . . . . . . . 643-22 Effet univarié du taux de majoration cumulé sur deux ans . . . . . . . . . . . . 643-23 Effet univarié de l’interaction entre l’année de résiliation et le mois d’échéance 65

4-1 Valeur de la NBV pour différentes valeurs de U2 et de q . . . . . . . . . . . . . 704-2 Taux de majoration pour différentes valeurs de q . . . . . . . . . . . . . . . . . 724-3 Majoration en euros pour différentes valeurs de q . . . . . . . . . . . . . . . . . 724-4 Taux de résiliation pour différentes valeurs de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734-5 Optimisation de la NBV pour différents niveaux de sinistralité . . . . . . . . . 744-6 Optimisation de la NBV pour différents niveaux de résiliation . . . . . . . . . . 754-7 Taux de résiliation et duration en fonction de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764-8 Dsitribution de l’ELR des affaires nouvelles 2015 du segment des Locataires

d’Appartement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A-1 Corrélations des variables explicatives du modèle de résiliation selon le V deCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

92

Liste des tableaux

2.1 Indicateurs de validation du modèle ∆CntG ;n = LM(n, 1pd

) pour d > 1 . . . . . 21

2.2 Indicateurs de validation des modèles de sinistralité grave . . . . . . . . . . . . 312.3 Indicateurs de validation des modèles de sinistralité catastrophe . . . . . . . . 332.4 Récapitulatif des modèles de sinistralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

B.1 Modèle de résiliation simplifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

93