comment aider les élèves à effectuer - encbwtfe.encbw.be/2015/ns/springuel_fiona.pdf · comment...
TRANSCRIPT
HAUTE ÉCOLE LÉONARD DE VINCI ÉCOLE NORMALE CATHOLIQUE DU BRABANT WALLON
Site de Louvain-la-Neuve Voie Cardijn, 10 1348 Louvain-la-Neuve
Travail de fin d’études présenté en vue de l’obtention du grade de Bachelier-Agrégée de l’Enseignement secondaire inférieur en Mathématiques par Fiona SPRINGUEL Promoteur : Madame Martine Cheu
Année académique 2014 – 2015
Comment aider les élèves à effectuer
l’abstraction du concept de fraction lors
de la transition primaire-secondaire ?
Page | 2
Page | 3
HAUTE ÉCOLE LÉONARD DE VINCI ÉCOLE NORMALE CATHOLIQUE DU BRABANT WALLON
Site de Louvain-la-Neuve Voie Cardijn, 10 1348 Louvain-la-Neuve
Travail de fin d’études présenté en vue de l’obtention du grade de Bachelier-Agrégée de l’Enseignement secondaire inférieur en Mathématiques par Fiona SPRINGUEL Promoteur : Madame Martine Cheu
Année académique 2014 – 2015
Comment aider les élèves à effectuer
l’abstraction du concept de fraction lors
de la transition primaire-secondaire ?
Avant de présenter ce travail de fin d’études,
je tiens à remercier toutes les personnes qui
m’ont permis de le rédiger.
Tout d’abord, ma promotrice, Madame Cheu,
pour ses indications, ses conseils et ses
remarques constructives et rapides.
Je remercie également tout mon entourage
pour le soutien moral qu’il m’a apporté.
Une pensée particulière pour mon Papa qui
aurait adoré me guider lors de ce parcours.
Page | 2
Table des matières
Introduction ................................................................................................................ 3
1. Transition primaire-secondaire .......................................................................... 5
2. Histoire des fractions .......................................................................................... 6
3. La fraction et ses différentes conceptions ......................................................... 9
3.1. Concept de fraction .......................................................................................... 9
3.2. Multiplicité de significations des fractions selon différents auteurs ............... 9
3.3 Choix des différentes conceptions des fractions pour la suite de ce travail .. 12
4. Connaissances conceptuelles et procédurales................................................. 17
5. Réseau conceptuel ........................................................................................... 18
6. Difficultés lors de l’apprentissage des fractions .............................................. 19
6.1. Répertoire de difficultés rencontrées par les élèves ................................ 19
6.2. Quels sens les élèves de 6e primaire donnent-ils aux fractions ? ............. 22
6.3. Quelques pistes ......................................................................................... 22
7. Enseignement des fractions ............................................................................. 23
7.1. Les Socles de compétences ....................................................................... 23
7.2. Présentations des contenus sur les fractions dans les programmes ........ 24
7.3. Discussion et analyse de la transition primaire-secondaire ..................... 27
8. Analyse de manuels .......................................................................................... 30
8.1. Explication de la démarche d’analyse ....................................................... 30
8.2. Analyse du tableau de comparaison ......................................................... 31
8.3. Analyse des manuels de 6e primaire ......................................................... 35
Exemples d’activités : comparaison primaire – secondaire .................................. 36
9. Conclusion ........................................................................................................ 41
Bibliographie ............................................................................................................. 43
Annexes
Page | 3
Introduction
Faire un travail de fin d’études sur les fractions était une idée de base suite à mon
deuxième stage en deuxième année de ma formation à l’ENCBW. Ce stage se déroulait
en technique de qualification et le sujet enseigné faisait intervenir les opérations sur
les fractions. La réponse à un exercice étant 16
3, une élève m’a demandé si elle devait
noter le 3 dans son cahier ou si le 16 était suffisant.
Cette question m’a interpellée et m’a fait me rendre compte que certains élèves ne
comprennent pas le sens de ce qu’est une fraction, ils ne se rendent pas compte que
c’est l’écriture d’un nombre.
Afin d’expliquer à cette élève pourquoi elle devait absolument noter le trois, j’ai
illustré mon explication avec le modèle de la tarte. Elle a alors compris que « 16
tartes » n’était pas égal à « 16 tiers de tarte ».
Une fois ce sujet en tête, j’ai entamé mes premières recherches et j’en suis arrivée au
fait que je voulais traiter l’abstraction du concept de fraction. Je voulais trouver un
moyen d’aider les élèves à sortir du concret et comprendre ce que représente
réellement une fraction. En effet, ce concept aux multiples facettes est très difficile à
comprendre pour les élèves.
Le passage du concret à l’abstrait se retrouve lors du passage de l’école primaire à
l’école secondaire et c’est pour cela que j’ai ciblé mon sujet sur cette étape du
parcours scolaire des élèves.
De ce fait, mon travail portera sur : « Comment aider les élèves à effectuer
l’abstraction du concept de fraction lors de la transition primaire-secondaire ? »
Afin de traiter ce sujet, je vous exposerai quelques faits sur la transition du primaire au
secondaire avant de développer la partie portant sur les fractions. Les fractions seront
situées dans l’histoire avant d’être définies. Par la suite, plusieurs conceptions de la
fraction seront exposées ainsi que la différence entre les connaissances conceptuelles
et procédurales.
Une fois tous les concepts nécessaires au développement de la recherche établis, je
m’intéresserai à l’enseignement des fractions en répertoriant des difficultés
Page | 4
rencontrées par les élèves ainsi qu’en exposant des extraits du programme du 4e cycle
du primaire et du premier degré commun du secondaire.
Enfin, je m’intéresserai aux manuels de 6e primaire et de 1re secondaire afin de les
analyser tant au niveau de la conformité aux programmes de formation, qu’au niveau
des conceptions de la fraction travaillées. De plus, quelques activités seront choisies
qui me permettront de donner quelques pistes pour aider les élèves à approfondir la
compréhension du concept.
Je vous invite désormais à poursuivre la lecture de ce travail afin de prendre
connaissance des différentes parties décrites ci-dessus.
Page | 5
1. Transition primaire-secondaire
Comment est ressentie la transition primaire-secondaire par les élèves ? Anderson,
Jacobs, Schramm et Splittgerber (2000) constatent que le passage du primaire au
secondaire affecte tous les étudiants d’une manière ou d’un autre. En effet, plusieurs
changements sont vécus par les élèves lors de cette rupture qui vient perturber le
déroulement habituel de leur vie. Nous pouvons observer que les conséquences de
cette transition peuvent être, par exemple, la chute des résultats scolaires, le déclin du
degré de satisfaction à l’égard de l’école, la chute des attitudes positives à l’égard des
matières scolaires, les réactions négatives envers les enseignants, le déclin de l’estime
de soi ou encore la chute du sentiment d’autoefficacité. Alors que pour la plupart des
élèves les difficultés rencontrées sont de courte durée, pour certains élèves ce
changement prend plus d’ampleur et peut être réellement problématique et
insécurisant.
Selon la Commission de l’enseignement primaire du Québec (1980), trois types
d’adaptations se présentent pour les élèves lors du passage du primaire au
secondaire : l’adaptation au plan physique, psychologique et pédagogique. En premier
lieu, au plan physique, car les élèves changent de milieu social et d’organisation
scolaire. Les élèves doivent s’adapter à une école souvent plus grande qui peut être
plus éloignée du milieu de vie et aux changements de locaux. L’adaptation au plan
psychologique est déterminée dans un premier temps par le changement de statut
social de l’élève qui passe d’aîné au primaire à cadet au secondaire. De plus, la
transition primaire-secondaire s’accompagne du passage de l’enfance à l’adolescence,
qui est en elle-même une période généralement difficile pour les jeunes. Par ailleurs,
les élèves apprennent à connaitre de nouveaux camarades et un grand nombre de
nouveaux enseignants et on leur demande également d’être plus autonomes, par
exemple pour gérer leur temps afin de répondre aux exigences et échéances de
plusieurs disciplines. En ce qui concerne le plan pédagogique, il est évident que la
multitude de disciplines et de nouveaux cours, ainsi que l’augmentation de la difficulté
des apprentissages sont des aspects qui nécessitent une grande adaptation de la part
des élèves. De plus, l’élève passe d’un seul maître qui enseigne toutes les matières à
des enseignants spécialisés, ce qui les amène à devoir s’adapter à plusieurs méthodes
d’enseignement.
Page | 6
En ce qui concerne l’apprentissage des mathématiques, il y a également des transitions
d’ordre conceptuel à prévoir. En effet, les élèves devront, par exemple, passer d’une
pensée arithmétique à une pensée algébrique ou passer de procédures personnelles
informelles de calcul à des procédures formelles. De plus, une question se pose : le
programme d’études de la première secondaire commence-t-il là où le programme
d’études de la 6e primaire se termine, et ce pour tous les aspects de la formation et
des apprentissages ? En mathématiques, certains apprentissages débutent en primaire
et se poursuivent au secondaire. C’est notamment le cas des fractions, un sujet auquel
je vais m’intéresser plus particulièrement.
Afin de répondre à la question posée, j’analyserai les programmes de formation en
mathématiques du primaire et du premier degré du secondaire plus loin dans ce
travail. Avant cela, je vais aborder le concept de fraction sous divers angles en
commençant par l’historique.
2. Histoire des fractions
Nos ancêtres se sont rapidement rendu compte qu’il leur fallait un système afin
d’exprimer et de traiter des parties du nombre entier. Ce seraient les Égyptiens de
l’Ancien Empire qui auraient utilisé les fractions pour la première fois. Le papyrus de
Rhind1 est le plus ancien texte découvert jusqu’à présent nous initiant à l’art de
calculer avec des fractions. Ce document date de la première moitié du XVIe siècle av.
J.-C., mais rien ne nous indique le moment précis de l’invention des fractions.
Ce papyrus, écrit en hiératique et constitué d’un seul rouleau de 5,4 m sur 32 cm,
comporte au recto une introduction et une table de décomposition de fractions du
type 2
𝑛 en fractions unitaires qui servira à comprendre la résolution des 87 problèmes,
inscrits au verso.
C’est grâce à cette trace du passé que nous avons pu découvrir que les fractions
utilisées par les Égyptiens avaient toujours le nombre un pour numérateur. Cela
rendait le calcul et l’utilisation des fractions très difficile et seul un nombre restreint de
1 Un fragment de ce papyrus est actuellement conservé au British Museum
Page | 7
scribes y avaient accès. Afin de représenter une fraction telle que 2
5, il était nécessaire
de la décomposer en une somme de deux fractions unitaires dont les dénominateurs
étaient tous différents, soit 1
3+
1
15.
Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie, était utilisé pour
représenter le numérateur un :
Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous.
Ainsi, 1
3 était écrit :
De plus, il y avait des symboles spéciaux pour les fractions courantes telles que 1
2 et
deux fractions non unitaires 2
3𝑒𝑡
3
4.
Par ailleurs, en 1911, l’égyptologue Georg Möller a conjecturé qu’on pouvait identifier
certains signes hiéroglyphiques à des parties du signe représentant l’œil d’Oudjat (ou
d’Horus). Ces signes étaient utilisés pour mesurer des volumes de grains. En effet,
Möller considère que ces parties de l’œil représentent des subdivisions de la mesure
de volume de grain, l’heqat, qui correspond à environ 4,8 litres.
L’addition des six fractions vaut 63
64. Il manque donc encore
1
64 pour obtenir l’unité.
Page | 8
Les fractions utilisées par les Égyptiens avaient pour but de partager et étaient utilisées
comme opérateur, par exemple pour distribuer les salaires de grains, pour calculer
l’aire et le volume, etc.
Au cours des siècles suivants, les Babyloniens, les Romains (ancienne Rome) et les
Grecs ont mis au point de nouveaux systèmes, mais qui restaient tous très complexes
et qui n’étaient donc pas accessibles pour la majorité du peuple.
C’est seulement après l’édification de l’Empire arabe et la chute d’Alexandrie (641) que
le système de position décimal a été mis en place, ainsi que la symbolisation moderne
des fractions. La vulgarisation des fractions était dès lors possible. C’est également à
cette époque que commence l’extension du nombre, qui était jusque-là limité aux
naturels. Petit à petit, on considère les négatifs, les décimaux, l’infini … et la
conception de nombre s’élargit aux entiers, rationnels, irrationnels … De ce fait, la
fraction qui était initialement utilisée comme outil de partage et opérateur se verra
attribuer le statut de nombre et de rapport au Xe siècle.
L’arrivée des nombres décimaux au XVIe siècle va cependant amener une diminution
de l’utilisation des fractions. En effet, la population va laisser de côté les fractions et
les lourds calculs qu’elles entrainent au profit des nombres à virgule.
Au XIXe et XXe siècle, la conception des mathématiques change et on recherche une
structure à la base d’une théorie mathématique. En effet, l’importance n’est plus la
nature des objets mathématiques, mais les relations qui les lient. De ce fait, la fraction
devient alors un nombre de la forme 𝑝
𝑞 avec p entier quelconque et q entier non nul, un
nombre qui se définit à partir des entiers et de la relation entre eux.
Aujourd’hui encore, la notion de fraction évolue encore. En 1980, une réforme de
l’institution des mathématiques en matière de langue mathématique a proposé de
réduire la notion de fractions à l’écriture des rationnels. Mais comme le souligne Baruk
(1992), cette réforme ne semble pas arriver à s’imposer et les programmes scolaires et
les manuels de l’enseignement fondamental continuent de définir la fraction comme
ils le faisaient autrefois.
Page | 9
3. La fraction et ses différentes conceptions
3.1. Concept de fraction
Avant de présenter les différents sens de la fraction, je vais préciser ce qu’on entend
par le terme fraction. Le mot vient du latin « fractio », et signifie « action de briser ».
La fraction désigne une notation pour représenter un nombre rationnel. Elle se
compose de deux nombres entiers, disons a et b, séparés par une barre horizontale,
donc𝑎
𝑏. Le nombre a est appelé numérateur et le nombre b se nomme le
dénominateur et est différent de zéro.
Il me semble nécessaire de situer la fraction par rapport aux nombres rationnels, car la
problématique de ce travail ne porte pas sur la fraction en tant que notation, mais sur
les nombres rationnels exprimés sous la forme fractionnaire.
« Le nombre rationnel correspond au quotient de deux nombres entiers qui peut
s’exprimer sous la forme d’une fraction commune ou d’une écriture décimale. »
(Grégoire & Meert, 2005, 223-224). L’avantage de l’écriture fractionnaire est qu’il ne
faille pas se soucier de l’exactitude de la division. La fraction est le nombre exact qui
correspond à la division du numérateur par le dénominateur. Dans ce travail, je ne
m’intéresserai cependant pas aux nombres rationnels exprimés en écriture décimale.
3.2. Multiplicité de significations des fractions selon différents auteurs
Il est bien connu que le concept de fraction est difficile à comprendre pour la plupart
des enfants. Selon de nombreux auteurs, cette difficulté est liée au fait qu’il y ait
plusieurs significations attribuables aux fractions. La multiplicité de sens accordés aux
fractions a, de ce fait, été le sujet de nombreuses recherches.
Comme l’indiquent Carette, Conten, Rey, Coché et Gabriel (2009), Kieren (1976) a été
le premier à diviser le concept de fraction en 4 notions différentes : rapport,
opérateur, quotient et mesure. Par la suite, Behr, Lesh, Post et Silver (1983) ont réalisé
un schéma des relations entre les différentes notions de la fraction en ajoutant la
catégorie « partie d’un tout »:
Page | 10
En 1995, Nunes et Bryan établissent quatre suggestions de procédures de maniement
des fractions :
1. Chiffrer le quotient : Il s’agit de montrer le final d’une division d’une grandeur
initiale en un certain nombre d’objets ou de parties. Le numérateur représente
la grandeur initiale, le dénominateur est associé au nombre d’objets.
2. Symboliser un opérateur de calcul : « Prendre … de … ». Généralement utilisé
lors de calculs de pourcentages, de recettes, d’enquêtes …
3. Symboliser une relation entre des quantités : il s’agit du concept de
proportionnalité entre deux grandeurs.
4. Chiffrer la quantité d’un tout : trois quarts d’heure, 3 enfants parmi 12 …
En 1998, Brissiaud distingue 4 catégories de fractions :
Rapport : comparaison de deux grandeurs de même type
Proportion : comparaison de deux grandeurs différentes
Fractionnement de l’unité : cette notion fait appel à la multiplication. En effet,
« 4 tiers de … » peut être reformulé en « 4 fois un tiers de … ».
Partition de la pluralité : cette notion fait appel à la division en parts égales. Un
quart de douze revient à diviser 12 en quatre parts égales.
Toujours en 1998, Nicolas Rouche distingue les fractions de la manière suivante :
Opérateur : opération qui a pour but de scinder de façon équitable un ou des
outils entre plusieurs intervenants.
Mesure : Fraction représentant un lien entre une dimension quelconque et une
unité de mesure.
Rapport : à l’intérieur de cette facette, Rouche distingue le rapport partie-tout,
le rapport entre deux grandeurs, les échelles, les pourcentages et les
probabilités.
Page | 11
Rosar, Van Nieuwenhoven et Jonnaert (2001) ont décidé de présenter les fractions en
fonction de notre système éducatif actuel :
Fractions opérateurs : situations de partage et de prélèvement, de
fractionnement d’une unité ou de la pluralité.
Fractions rapports : comparaison entre deux grandeurs identiques ou
différentes.
Fractions nombres : possibilité de travailler les 4 opérations fondamentales,
comparaison de fractions. Il est nécessaire d’utiliser les propriétés des nombres
rationnels.
Enfin, Grégoire (2008) a retravaillé le modèle de Rouche en proposant trois types de
fractions qui sont classées de manière à demander de plus en plus d’abstraction :
1. Fraction opérateur : notion de partage
2. Fraction rapport : le degré d’abstraction est supérieur, car il faut savoir
visualiser qu’un même rapport peut être traduit par différentes fractions. De
plus, c’est le lien entre le numérateur et le dénominateur qu’il faut considérer
et donc plus les deux nombres comme étant indépendants l’un de l’autre.
3. Fraction nombre : Cette notion arrive en dernière, car pour maîtriser cette
notion, il est important de maîtriser la conception de la fraction en tant que
rapport. Ce niveau implique de nouvelles règles et propriétés propres aux
nombres rationnels et nécessite donc un détachement par rapport aux règles
et propriétés des nombres naturels.
Ces modèles se recouvrent en partie, mais ne sont pas toujours équivalents tant au
niveau des catégories qu’au niveau des liens qui les lient.
Cependant, la plupart des auteurs sont d’accord sur le fait que la conception de
fraction comme partie d’un tout est considérée comme la base des connaissances sur
les fractions. Cette conception se base sur le principe de la division d’une quantité,
qu’elle soit discrète ou continue, en parties égales. Il s’agit d’une des premières
situations rencontrées par les enfants dans le quotidien et c’est également la première
notion enseignée lors de l’enseignement des fractions à l’école primaire. Qui n’a pas
été confronté à l’exemple typique de la tarte divisée en plusieurs morceaux égaux ?
Page | 12
Cette conception reste très souvent dominante durant l’ensemble des enseignements
sur les fractions et peut dans certains cas empêcher des enfants de développer
d’autres conceptions des fractions.
Les autres catégories utilisées sont différentes d’un auteur à l’autre, ainsi que les
relations qui les lient. Le nombre de catégories varie entre trois et six et chaque auteur
a une manière différente de les considérer et de les classer.
3.3 Choix des différentes conceptions des fractions pour la suite de ce travail
Je retiendrai pour la suite de ce travail les catégories suivantes qui s’inspirent surtout
des derniers modèles proposés (Rouche, Rosar, Van Nieuwenhoven, Jonnaert et
Grégoire). En effet, il me semble que ces modèles se conforment le mieux à
l’enseignement actuel des fractions :
La fraction en tant qu’opérateur
La fraction en tant que rapport
La fraction en tant que mesure
La fraction en tant que nombre
La fraction en tant que quotient
Après une longue période d’hésitation et de réflexion, j’ai décidé de ne pas considérer
la conception de la fraction en tant que partie d’un tout comme une catégorie
distincte. En effet, je l’avais fait au départ, mais en cherchant à illustrer cette catégorie
je retrouvais à chaque fois une fraction qui pouvait se trouver dans la catégorie
opérateur ou rapport. C’est donc pour cela que je l’ai intégrée dans ces deux
catégories.
La fraction en tant qu’opérateur réfère aux situations de partage et de prélèvement
lors des situations de fractionnement. Cela peut être un fractionnement de données
continues ou discrètes, autrement dit, le fractionnement d’une grandeur unitaire ou
non unitaire. Ainsi, le tout peut être unique et subdivisé en parties égales, comme le
partage d’une tarte ou d’un rectangle, ou ce tout peut être une collection ou un
ensemble, comme lorsqu’on divise 9 billes en tiers. Cette conception intègre le
principe de la fraction en tant que partie d’un tout.
Page | 13
Il s’agira principalement de fractions dont le numérateur est plus petit que le
dénominateur, autrement dit, il s’agira principalement de fractions qui sont plus
petites ou égales à un. On dira que ces fractions sont propres, contrairement aux
fractions impropres qui ont un numérateur plus grand que le dénominateur. En effet,
lors d’un partage d’un objet ou d’une collection, on part du principe que ce tout est la
plus grande part qu’on puisse prendre. Par exemple, on coupe rarement les quatre
tiers d’un gâteau ! On pourrait cependant imaginer que les restes de plusieurs tartes
coupées en huit et assemblées après un goûter fassent 15 morceaux et donc 15
huitièmes d’une tarte.
Le mot opérateur est lié au fait qu’elle soit composée de deux opérations.
Premièrement, la division en parts égales, déterminée par le dénominateur et
deuxièmement, la multiplication par un nombre entier, exprimée par le numérateur.
L’idée d’opérateur intervient lorsqu’il faut transformer une quantité. Par exemple, si je
veux déterminer la quantité de bonbons que j’aurai si j’en prends les 2
5 de 50. La
première opération est de diviser 50 en cinq parts égales et ensuite de multiplier par
deux, ou encore l’inverse. Cela revient à calculer 2
5× 50.
Exemple : La fraction 3
8 représentera le fait de diviser une grandeur ou
une quantité en 8 parts égales et de prendre 3 de ces parts, autrement
dit de prendre trois fois un huitième.
La fraction en tant que rapport recouvre l’idée de relation entre deux éléments. Elle se
rapporte à des situations de comparaison entre deux grandeurs, qu’elles soient de
même nature ou non. Il s’agit donc d’une relation de type multiplicatif entre deux
grandeurs discrètes ou continues. Ce rapport peut être considéré entre deux objets
distincts ou entre deux éléments d’un même objet. Le rapport entre un tout et une
partie de ce tout peut également être envisagé et on retrouve alors la conception de
« partie d’un tout ».
Cette conception de la fraction permettra plus facilement de considérer des fractions
impropres, autrement dit les fractions dont le numérateur est plus grand que le
dénominateur.
Page | 14
C’est la fraction en tant que rapport qui mène à l’idée de fractions équivalentes. Les
fractions servent ici à chiffrer des rapports. Les questions de proportionnalité et
d’échelle, par exemple, sont liées à cette conception.
Exemple : Une échelle 1/25000 signifie que 1 cm sur la carte correspond à 25000 cm en
réalité. Le rapport de la distance sur la carte à la distance réelle est comme 1 à 25000.
Un autre exemple pourrait être les différents formats des écrans de télévisions, où la
fraction exprime le rapport de la longueur sur la largeur:
Le format de télévision 4/3 Le format de télévision 16/9
La fraction en tant que mesure représente un lien entre une dimension et une unité
de mesure. Elle se rapporte aux situations dans lesquelles les fractions sont utilisées en
lien avec le système métrique. On retrouve cette conception, par exemple, lors des
activités d’introduction aux fractions qui font appel au moyen de mesure de longueur
(pliage d’une bandelette unité) ou de temps (demi-heure, quart d’heure, etc.).
1
2 heure
1
4 heure
Page | 15
La fraction en tant que nombre est celle qu’on va savoir placer sur une droite
numérique. La droite numérique peut être utile pour déterminer des fractions
équivalentes et cette conception permet également de situer une fraction entre deux
nombres entiers ou par rapport à une autre fraction. Enfin, la fraction en tant que
nombre implique également les opérations et les calculs où aucun contexte
n’intervient. Pour ce faire, les propriétés et raisonnements propres aux nombres
rationnels devront être utilisés et non ceux des nombres entiers.
A = 1
4 B =
5
4 C =
7
4 D =
5
2
La fraction en tant que quotient représente la division non effectuée du numérateur
par le dénominateur. Cette conception est très proche de celle du nombre, mais peut
tout de même s’en distinguer. En effet, le nombre est le résultat de la division, alors
que cette conception-ci représente plus le fait de diviser. En effet, lors de la première
année de l’enseignement secondaire, le signe classique de la division, utilisé en
primaire, est remplacé par la barre de fraction. Cette conception permet d’écrire une
division exacte entre deux entiers sans se préoccuper si le dividende est divisible par le
diviseur. Enfin, ce sens de la fraction aura son utilité en algèbre afin de représenter des
expressions algébriques dont le dénominateur ne peut être réduit.
Exemple : au lieu d’écrire « 7 : 3 » on écrira 7
3
Une expression algébrique telle que (a² – b²) : [(a + b)²] qui nécessite des parenthèses
et des crochets afin de noter la hiérarchie des opérations, s’écrira à l’aide de la fraction
suivante :
𝑎² − 𝑏²
(𝑎 + 𝑏)²
Page | 16
Ces catégories ne sont en aucun cas classées hiérarchiquement et ne représentent pas
des stades d’acquisition progressifs. Ces conceptions ne sont pas indépendantes et
peuvent donc intervenir simultanément au sein d’une même situation et s’influencer
entre elles. De plus, la compréhension générale des fractions dépend de la
compréhension de chacune de ces conceptions et nous ne devrions donc pas les
considérer séparément.
Enfin, je pense que ces différentes conceptions des fractions ne recouvrent pas
l’entièreté des connaissances sur les fractions et que d’autres aspects peuvent entrer
en jeu. Par ailleurs, il reste encore de nombreuses questions non résolues concernant
les dispositions naturelles vis-à-vis des fractions, ainsi que sur l’influence des
apprentissages sur le développement des différentes conceptions.
Page | 17
4. Connaissances conceptuelles et procédurales
Afin de résoudre des problèmes, les élèves doivent apprendre à la fois des concepts
fondamentaux et des procédures adéquates et surtout, établir des liens entre les deux.
La connaissance conceptuelle est définie par Schneider et Stern comme « la
connaissance des concepts centraux et des principes, ainsi que leurs interrelations dans
un domaine particulier. » (Carette, Conten, Rey, Coché & Gabriel, 2009, 28). Autrement
dit, on peut la considérer comme la connaissance des concepts, de leurs
caractéristiques et leurs relations entre eux. Certains auteurs émettent l’hypothèse
que la connaissance soit, de ce fait, stockée sous la forme de représentation
relationnelle comme un schéma ou un réseau. Cette connaissance est plutôt abstraite
et on pourrait y accéder de manière consciente. Par conséquent, la connaissance
conceptuelle ne serait pas liée à un type de problèmes.
Rittle-Johnson et Alibali définissent la connaissance procédurale comme « des
séquences d’action permettant de résoudre des problèmes. » (Carette, et al. 2009, 28).
Ce serait donc une suite d’étapes à suivre afin de réaliser une tâche. Au plus ces
connaissances sont automatisées, au plus rapidement les personnes pourraient
résoudre les tâches demandées.
Rittle-Johnson et Alibali (1999) affirment que ces deux types de connaissances ne
peuvent pas tout le temps être séparées. En effet, la distinction entre les
connaissances conceptuelles et procédurales n’est toujours claire et évidente.
Dans le cadre des fractions, la connaissance conceptuelle serait les différentes
significations des fractions ainsi que les différentes représentations. La connaissance
procédurale porterait sur les différentes opérations de fractions ainsi que les tâches de
simplification et de comparaison de fractions.
Certaines études ont montré que le manque de compréhension conceptuelle peut
entrainer des difficultés au niveau des opérations. Il est donc important de donner du
sens aux fractions et aux opérations sur les fractions pour éviter des difficultés
d’exécution.
Page | 18
5. Réseau conceptuel
Page | 19
6. Difficultés lors de l’apprentissage des fractions
6.1. Répertoire de difficultés rencontrées par les élèves
Les chercheurs en sciences de l’éducation ont souvent souligné les difficultés
rencontrées par les élèves lors de l’apprentissage des fractions. (par exemple,
Haseman, 1986 & Streefland, 1986) Comme mentionné précédemment, certaines
difficultés peuvent être liées à la multiplicité de signification du concept de fraction.
On constate également que certaines erreurs commises par les élèves sont
persistantes et fréquemment reproduites et cela peut s’expliquer par le fait que les
élèves attribuent aux fractions des représentations erronées, mais qui ont fait leurs
preuves dans d’autres situations. En effet, Ni et Zhou (2005) ont appelé le « biais des
nombres naturels » la difficulté du passage des nombres entiers aux nombres
rationnels. Par ailleurs, on retrouve le fait que les élèves ne comprennent pas le
pourquoi des choses, et se limitent au comment. (Rosar, Van Nieuwenhoven &
Jonnaert, 2001). Autrement dit, le fait d’utiliser certaines règles de manière
mécanique, sans comprendre le principe. Les opérations sur les fractions en tant que
telles ne sont pas toujours évidentes non plus et, enfin, les multiples représentations
des fractions peuvent être un réel obstacle pour certains.
Les difficultés liées aux différents sens de la fraction :
Fraction en tant que partie d’un tout et opérateur:
La conception de fraction en tant que partie d’un tout est déjà présente avant
l’enseignement des fractions à l’école primaire et est en quelque sorte la base du
raisonnement sur les fractions. De ce fait, elle est souvent prépondérante sur les
autres et peut dans certains cas empêcher les élèves d’acquérir de nouvelles
conceptions de la fraction.
La partie d’un tout implique la plupart du temps des fractions dont le numérateur
est plus petit que le dénominateur et lorsque l’élève rencontre une fraction où ce
n’est pas le cas, il peut éprouver des difficultés. De ce fait, certains élèves ne
considèrent pas de différence entre 2
3 et
3
2 et vont travailler avec la fraction
2
3 afin
d’éviter de dépasser l’unité.
Page | 20
La notion de fraction en tant que partie d’un tout et les opérations liées à cette
conception (calcul de grandeur ou quantité) semblent très faciles à comprendre au
départ, mais elles peuvent entrainer une vision très fermée sur l’unité alors que
l’unité peut être un objet entier, une collection, un ensemble, une partie d’un
objet ; l’unité peut être reconstruite à partir des différentes parties, etc.
Les élèves éprouvent des difficultés à cibler le rôle de l’unité puisque cette dernière
de cesse de changer en fonction du cadre dans lequel on aborde les fractions. Cela
peut être un obstacle dans la compréhension du concept de fraction.
Cette conception prépondérante peut être un obstacle pour effectuer certaines
opérations telles que 1
4 x
1
3 (on ne peut pas multiplier une partie par une partie).
Fraction en tant que nombre :
Certains élèves n’arrivent pas à considérer la fraction en tant que nombre, car pour
eux la fraction c’est deux nombres et ils ne saisissent pas forcément le lien entre
les deux.
La fraction opérateur et rapport est dans la majorité des cas liées à une grandeur
ou une quantité et utilisée dans des situations concrètes. La fraction en tant que
nombre est considérée seule et n’est pas forcément placée dans une situation. De
par ce fait, de nombreux élèves n’arrivent pas à conceptualiser cette notion ni à
comprendre qu’une fraction dans des contextes différents représente un seul
même nombre.
Les difficultés liées au passage des nombres entiers aux nombres rationnels :
Il existe entre deux nombres rationnels une infinité de nombres rationnels alors
qu’entre deux nombres entiers successifs, il n’existe pas d’autre nombre entier.
Un rationnel peut être écrit à l’aide d’une infinité de fractions d’entiers. C’est le
principe des fractions équivalentes.
Certains élèves traitent le numérateur et le dénominateur comme étant deux
nombres entiers sans lien entre eux et de ce fait, appliquent des procédures
propres aux nombres entiers.
Page | 21
Exemples :
- Lors de l’addition de deux fractions, certains élèves additionnent les
numérateurs et les dénominateurs entre eux, comme s’il s’agissait de deux
opérations distinctes avec des nombres entiers (naturels ici) : 1
4+
1
2=
2
6
- Lorsque les élèves comparent des fractions telles que 1
3 et
1
5, ils décident de
comparer les dénominateurs entre eux et comme ils savent que 5 est
supérieur à 3, ils affirment que 1
5 est plus grand que
1
3.
Cela se produit moins lorsqu’il s’agit de comparer des fractions de même
dénominateur. En effet, si l’élève compare les numérateurs
indépendamment des dénominateurs en utilisant les propriétés des
naturels, il obtiendra tout de même la bonne réponse.
Les difficultés liées aux opérations :
Les opérations sur les fractions impliquent beaucoup de règles et d’autre part, les
règles sont parfois introduites trop tôt dans l’enseignement.
Cela peut avoir comme conséquence qu’elles ont plus de risque d’être utilisées
mécaniquement et l’enseignement des fractions deviendra alors plus procédural et
non conceptuel.
Des erreurs telles qu’additionner les numérateurs et les dénominateurs sont liées à
la non-acquisition des propriétés des nombres rationnels.
Si les élèves n’ont pas compris le sens de la fraction (connaissance conceptuelle), il
est possible qu’ils aient des difficultés lors de l’exécution des procédures
(connaissances procédurales), car ils ne font qu’exécuter et non comprendre.
Les difficultés liées aux représentations des fractions :
Représenter la fraction 1
2 ou
1
4 ne pose en général pas de problème pour les élèves,
mais lorsqu’on passe à des fractions telles que 1
6, on constate que les élèves ont
plus de difficultés.
En effet, les élèves ayant l’habitude de travailler par la coupe répétitive en deux
coupent d’abord la figure en quarts et découpent ensuite deux de ces parts en
deux également. Ils obtiennent alors une figure coupée en six mais dont les parts
ne sont pas égales.
Page | 22
Certains élèves conçoivent les fractions uniquement comme une étiquette
attachée à un contexte visuel ou manipulatoire. Ils n’arrivent pas à comprendre
qu’une même fraction peut être représentée de différentes façons et qu’elle
représente un même nombre.
6.2. Quels sens les élèves de 6e primaire donnent-ils aux fractions ?
Lors d’une étude menée par des chercheurs en sciences de l’éducation belges
(Université catholique de Louvain) et d’un chercheur en sciences de l’éducation
québécois (Université du Québec à Montréal), il a été demandé à des élèves de 6e
primaire de définir la fraction. (Rosar, Van Nieuwenhove & Jonnaert, 2001) La
majorité des élèves se représentent et comprennent la fraction en tant que partie d’un
tout et en tant qu’opérateur. L’exemple le plus souvent cité est, bien entendu, la tarte
ou la pizza. La fraction en tant que nombre, quant à elle, est mentionnée par une
minorité des élèves et les définitions proposées restent très limitées. En effet, pour ces
élèves la fraction est un nombre puisque les numérateurs et les dénominateurs sont
des nombres naturels. Certains élèves rejettent la définition de la fraction en tant que
nombre, car selon eux : « la fraction n’est pas un nombre, c’est deux nombres. ». La
fraction en tant que rapport ou en tant que quotient n’a jamais été citée. En effet,
pour certains, 6
4 n’est pas « six divisé par quatre », car, selon eux, cela correspond à
« diviser par quatre, ensuite multiplier par six ». Cet exemple est une belle illustration
du fait que la plupart des élèves se concentrent, voire se bornent, sur le comment et
non sur le pourquoi.
6.3. Quelques pistes
Afin d’atténuer les difficultés liées aux fractions, il est important de présenter aux
élèves des sens plus variés dans les problèmes et cela dès le début de l’apprentissage.
Ainsi, il est possible de diversifier les situations à différents niveaux dès l’enseignement
des fractions en primaire. On peut agir sur : le type d’objet sur lequel on agit (unitaire
ou une collection, concret ou non …), la forme, les dimensions de l’unité, le découpage
opéré (horizontal, vertical, quadrillé …) et la position de la partie sélectionnée (le
premier morceau, le dernier, un morceau aléatoire …).
Page | 23
De plus, il faudrait prendre le temps de développer les concepts fondamentaux sur les
fractions dès le début de l’enseignement. En effet, ce sont principalement les
opérations sur les fractions qui sont étudiées lors de l’apprentissage. Or cela est
paradoxal aux représentations précaires qu’ont les élèves de la fraction en tant que
nombre. Cependant, ces mesures de compréhension des fractions doivent se
poursuivre au niveau de l’école secondaire où l’enseignement devient trop souvent
procédural lors de l’utilisation et la découverte d’autres règles sur les opérations.
7. Enseignement des fractions
7.1. Les Socles de compétences
Dans les Socles de compétences « formation mathématique » (1999), on retrouve
l’apprentissage des fractions dans deux chapitres, à savoir dans le chapitre sur les
Nombres et celui sur les Grandeurs.
Les différents apprentissages sont répartis en trois étapes. La première couvre les deux
premières années de l’enseignement primaire, la deuxième reprend les quatre années
suivantes de l’enseignement primaire et enfin, la troisième concerne les deux
premières années de l’enseignement secondaire.
Je vais relever les apprentissages concernant les fractions mentionnés dans les socles
en précisant à quelle étape ceux-ci doivent être certifiés.
Dans le chapitre « Les nombres », on retrouve les éléments suivants :
Compter, dénombrer, classer
Classer (situer, ordonner, comparer) des entiers, des décimaux et des fractions munis d’un signe.
À certifier à la fin de la 3e étape
Calculer
Écrire des nombres sous une forme adaptée (entière, décimale ou fractionnaire) en vue de les comparer, de les organiser ou de les utiliser.
À certifier à la fin de la 2e étape
Identifier et effectuer des opérations dans des situations variées, avec des entiers, des décimaux et des fractions.
À certifier à la fin de la 3e étape
Page | 24
Il est également possible que les fractions se retrouvent dans les apprentissages
suivants :
Organiser les nombres par famille
Créer des familles de nombres à partir d’une propriété donnée (pairs, impairs, multiples de …)
À certifier à la fin de la 2e étape
Décomposer les nombres en facteurs premiers. Sensibilisation en 2e étape À certifier à la fin de la 3e étape
Relever des régularités dans des suites de nombres. Sensibilisation en 2e étape À certifier à la fin de la 3e étape
Dans le chapitre « Les grandeurs », on retrouve les éléments suivants :
Opérer, fractionner
Fractionner des objets en vue de les comparer : partage en deux et en quatre.
À certifier à la fin de la 1e étape
Fractionner des objets en vue de les comparer. À certifier à la fin de la 2e étape
Additionner et soustraire deux grandeurs fractionnées.
À certifier à la fin de la 2e étape
Calculer des pourcentages. À certifier à la fin de la 2e étape
Résoudre des problèmes de proportionnalité directe.
À certifier à la fin de la 2e étape
Dans une situation de proportionnalité directe, compléter un tableau qui met en relation deux grandeurs.
À certifier à la fin de la 2e étape
Dans une situation de proportionnalité directe, construire et exploiter un tableau qui met en relation deux grandeurs.
À certifier à la fin de la 3e étape
Composer deux fractionnements d’un objet réel ou représenté en se limitant à des fractions dont le numérateur est un (par exemple, prendre le tiers du quart d’un objet)
À certifier à la fin de la 3e étape
Déterminer le rapport entre deux grandeurs, passer d’un rapport au rapport inverse.
À certifier à la fin de la 3e étape
7.2. Présentations des contenus sur les fractions dans le programme de formation
mathématique du primaire (cycle 4) et celui du premier degré du secondaire.
Dans le programme de formation de l’enseignement primaire, formation
mathématique du cycle 4, donc les 5e et 6e primaire, les fractions se retrouvent
principalement dans les parties « les nombres » et « les grandeurs ».
En secondaire, on retrouver le contenu portant sur les fractions dans la partie
« Nombres », et plus précisément dans la sous-catégorie « Nombres rationnels ».
Page | 25
Programme du primaire en formation
mathématique : cycle 4
Programme de mathématiques du
premier degré commun du secondaire
No
mb
res
Utiliser les conventions d’écriture mathématique pour lire et écrire les fractions.
Utiliser les termes usuels et notations propres aux opérations : Additionner, soustraire, multiplier par, diviser par, partager en, fractionner.
Écrire des nombres sous une forme adaptée (entière, décimale ou fractionnaire) en vue de les comparer, de les organiser ou de les utiliser. 1
ère a
nn
ée
Comparaison de fraction, de décimaux et de pourcentages. L’utilisation de fractions sous des formes variées (opérateur, rapport, partage) est l’occasion de réactiver les notions acquises dans le fondamental.
Gra
nd
eurs
Fractionner des objets en vue de les comparer : Fractionner : - Un objet réel ou représenté - « Un nombre de … » (collection) - Un nombre Nommer chaque part à l’aide d’une fraction. Comparer et ordonner : - des fractions de même dénominateur ; - des fractions de même numérateur ; - des fractions dont les dénominateurs sont des multiples l’un de l’autre.
1ère
an
née
Représentation de fractions simples sur une droite graduée
Notions d’origine, de repère, d’abscisse. Cela montre que les fractions simples peuvent donc être considérées comme des nombres, au même titre que les naturels, entiers et décimaux.
Cela permet également d’aborder les fractions équivalentes et le fait qu’elles représentent le même nombre et qu’elles soient une écriture différente de la même abscisse. Chaque fraction nomme précisément une abscisse de la droite graduée.
2e a
nn
ée
Les fractions équivalentes : Les fractions équivalentes désignent le même nombre (exemple : utilisé dans la résolution d’équations) et elles représentent l’abscisse d’un même point de la droite.
Page | 26
Gra
nd
eurs
Composer deux fractionnements d’un objet réel ou représenté en se limitant à des fractions dont le numérateur est un.
Réaliser deux fractionnements successifs : - d’un objet réel ou représenté - « d’un nombre de … », d’une grandeur.
1ère
an
née
Composition de deux fractionnements d’un objet réel ou représenté en se limitant à des fractions dont le numérateur est un.
Règle de la multiplication ou de la division d’un entier par une fraction.
2e a
nn
ée
Opérations sur les fractions : produit et quotient de fractions.
On rend plausible les produits et les quotients d’un nombre par une fraction, conjecturés en 1ere année.
Additionner et soustraire deux grandeurs fractionnées dont les dénominateurs sont des multiples l’un de l’autre. 2
e an
née
Opérations sur les fractions : Somme et différence de fractions.
On utilise la calculatrice pour vérifier le résultat, on montre que plusieurs séquences de calculs conduisent à une même solution.
Déterminer le rapport entre deux grandeurs à l’aide d’une fraction dont le numérateur est un.
Passer d’un rapport à un rapport inverse
2e a
nn
ée
Opposé et inverse d’une fraction :
La droite s’enrichit de nouvelles graduations dont les abscisses sont des fractions et des nombres décimaux négatifs. On utilise l’écriture en exposant (-1) pour simplement noter l’inverse d’une fraction.
De plus, en 2e année, on retrouve les points suivants qui ne correspondent pas à des
contenus abordés en primaire :
Les fractions à termes entiers.
Elles permettent d’exprimer le résultat de quotient obtenu en effectuant la division
du numérateur par le dénominateur. Elles rendent possible, sans restriction, la
division de deux nombres entiers.
Calcul d’expressions numériques comportant des fractions et des nombres
décimaux limités.
Élévation d’une fraction à une puissance à exposant naturel.
Valeurs approchées et encadrement d’une fraction à une unité décimale près.
On montre comment encadrer des fractions positives et négatives par des nombres
décimaux. Cette étude relie la notion de fraction comme quotient de deux naturels
à l’égalité de la division euclidienne (a = bq + r (avec r<b)) et à l’usage de la
calculatrice.
Page | 27
En primaire, les points suivants ne sont pas précisés explicitement dans le programme,
mais on pourrait également retrouver des fractions dans la partie « Traitement de
données » lors de la lecture et l’interprétation de certains graphiques ou diagrammes
ou lier les fractions à des notions géométriques telles que le fractionnement de
certaines figures planes ou solides.
En secondaire, on retrouvera les fractions dans le chapitre sur la proportionnalité. Le
principe des fractions étant de savoir les utiliser comme outil pour résoudre des
problèmes on pourrait également en retrouver dans des situations telles que
l’interprétation de graphiques, en géométrie (mesures), lors de la résolution des
équations, etc.
7.3. Discussion et analyse de la transition primaire-secondaire
Dans un premier temps, on peut constater que le contenu des Socles et des
programmes permet d’établir une liste d’apprentissages et d’activités portant sur les
fractions, et ceci à chaque étape du parcours scolaire de l’élève jusqu’à sa deuxième
année du secondaire. Cependant, il n’est pas explicité clairement comment organiser
ces apprentissages ni la logique qui les relie. Parfois il est possible de déduire pourquoi
certains éléments se trouvent avant d’autres et comment y parvenir, mais pour
d’autres ce ne sera pas le cas.
Comme le mentionnent Carette, et al. (2009), l’organisation du savoir n’est pas
justifiée de manière explicite dans les programmes et il revient donc à l’enseignant de
développer lui-même une logique qui guidera l’organisation de son enseignement. Le
risque de cette situation est que certains enseignants pourraient présenter
l’apprentissage des fractions comme une succession d’activités indépendantes les unes
des autres et cela entraine un enseignement sans sens et sans lien logique. Cette
situation pourrait être très néfaste pour l’élève et pour sa compréhension du concept
de fraction, qui est assez complexe.
Dans le programme du premier degré de l’enseignement secondaire, on retrouve pour
chaque matière une section « D’où vient ou ? » « Où va-t-on ? » qui explique en un
paragraphe ce que les élèves ont vu auparavant, donc au primaire, et ce qui est
attendu d’eux au secondaire.
Page | 28
Voici ce qu’on trouve dans la partie « Nombres rationnels » pour la première année :
D’OÙ VIENT-ON ?
L’enfant rencontre les nombres « non entiers » dans les écritures de mesures avec virgule. Il établit des égalités d’écriture de mêmes grandeurs découvertes par manipulation : ainsi
0,5 m = 1
2 m. Il a appris à formuler des pourcentages en recourant à des modèles géométriques :
50 % de l’aire 𝐴𝐴 d’un rectangle s’écrit également 0,5 𝐴𝐴 ou encore 1
2 de 𝐴𝐴. La fraction rend
compte du partage équitable d’une grandeur, mais elle reste habitée d’une dynamique
opératoire vécue et racontée : ‘’colorie 2 fois 1
3 de ce rectangle’’.
OÙ VA-T-ON ?
Les activités de mesurage et de fractionnement enrichissent progressivement l’univers des nombres. Ceux-ci rendent de plus en plus complexes les techniques de calcul. La fraction dépasse le stade où elle exprime un fractionnement d’une grandeur. Elle représente désormais un nombre qui exprime le quotient de deux nombres, le rapport ou le taux reliant deux grandeurs, l’abscisse d’un point sur une droite et, dans le chapitre du traitement de données, la fréquence d’un évènement. On intercale des fractions et des décimaux entre deux naturels consécutifs sur une droite.
Toujours dans la partie « Nombres rationnels », mais en deuxième année cette fois :
D’OÙ VIENT-ON ?
Les rationnels sont à présent connus sous toutes leurs formes : rapport, fréquence et nombres. On a appris à les repérer et les classer sur un axe gradué.
OÙ VA-T-ON ?
On utilise les propriétés opératoires des fractions. Il ne faut pas perdre de vue que les fractions sont des outils pour résoudre des problèmes et non des concepts qui ne seraient manipulés que pour eux-mêmes. L’intuition doit continuer à jouer un rôle important.
Je trouve que ces paragraphes, et principalement celui qui fait mention des prérequis
des élèves sortant de l’enseignement primaire, ne sont pas assez explicites et
n’informent pas assez l’enseignant du secondaire sur les réelles compétences des
élèves. On ne porte, par exemple, pas assez l’attention sur le fait que les élèves ont
déjà abordé la somme et la différence de deux fractions (et décimaux) et qu’ils ont eu
une première approche de la multiplication de deux fractions. De plus, la fraction en
tant que nombre semble inexistante en primaire lors de la lecture de ce paragraphe, or
les élèves l’ont déjà abordé lors de la comparaison et le classement de fractions
simples.
Page | 29
On peut constater lors de la lecture et de l’analyse des programmes de formation
mathématique du primaire (cycle 4) et du premier degré commun du secondaire que :
Les sens travaillés en primaire sont :
- La fraction en tant qu’opérateur
- La fraction en tant que rapport
- La fraction en tant que mesure
- La fraction en tant que nombre
Le sens de la fraction en tant que nombre est travaillé en moindre mesure, mais est
tout de même déjà présent lorsque les élèves doivent comparer et ordonner des
fractions simples. On peut également retrouver ce sens lors des opérations sur les
fractions, même si elles restent fortement liées à des situations représentées ou
contextualisées.
Les sens travaillés au secondaire sont :
- La fraction en tant qu’opérateur
- La fraction en tant que rapport
- La fraction en tant que mesure
- La fraction en tant que nombre
- La fraction en tant que quotient
Les sens de la fraction en tant qu’opérateur, rapport et mesure sont principalement
utilisés au secondaire afin de réactiver les notions acquises au primaire. En effet,
l’enseignement des fractions au secondaire se veut de plus en plus abstrait et de ce
fait, c’est la fraction en tant que nombre qui se verra prendre plus d’importance. En
première secondaire, le programme vise surtout l’acquisition de cette conception afin
de pouvoir effectuer les opérations et toutes les propriétés qui s’en suivent en
deuxième année.
La fraction en tant que quotient apparait en deuxième secondaire, principalement lors
du remplacement du signe de division classique par la barre de fraction. Comme
l’indique le programme : « Les fractions à termes entiers permettent d’exprimer le
résultat de quotient obtenu en effectuant la division du numérateur par le
dénominateur. Elles rendent possible, sans restriction, la division de deux nombres
entiers. » Cette conception prendra plus d’ampleur lors de l’étude de l’ensemble des
nombres rationnels, la résolution des équations et l’utilisation des fractions
algébriques.
Page | 30
8. Analyse de manuels
8.1. Explication de la démarche d’analyse
Afin de vérifier de quelle manière les fractions sont travaillées en fin de primaire et en
début de secondaire, il me semble pertinent d’aller consulter des manuels utilisés en
6e primaire et en 1ère secondaire.
Les manuels sélectionnés pour la 6e primaire sont :
1. Maths&Moustique (2013)
2. Contrat Math (2013)
3. Galaxie Math (2012)
Les manuels sélectionnés pour la 1ère année du secondaire sont :
1. RandoMaths (2012)
2. Actimath à l’infini (2013)
3. CQFD (2011)
4. Néomath (2013)
5. Delta (2013)
Ces manuels font partie de ceux qui sont les plus utilisés par les enseignants de la
fédération Wallonie-Bruxelles et se disent tous conformes aux programmes.
L’analyse des manuels du secondaire se fera à l’aide d’un tableau reprenant le type
d’activités proposées, qui seront classées en plusieurs catégories telles que la
comparaison de fractions, les opérations sur les fractions, etc. Ce classement permettra
dans un premier temps de vérifier si les activités proposées répondent aux contenus
présentés dans les programmes de formation. De plus, les conceptions de la fraction
travaillées par l’activité seront mentionnées. Cette mention se fera à l’aide d’un
numéro devant la description de l’activité.
Le tableau en lui-même se trouve dans la partie annexes (page 2–6) alors que l’analyse
de celui-ci se retrouve dans le travail même, dans la section 8.2. qui suit.
Les manuels du primaire seront analysés de manière globale afin de pouvoir faire
ressortir les similitudes et les différences avec les manuels du secondaire.
Page | 31
8.2. Analyse du tableau de comparaison
Première activité abordant les fractions
Dans la plupart des manuels, l’activité d’exploration sur les fractions consiste à
réactiver les notions du primaire. On retrouve les fractions dans diverses situations et
de ce fait, on rencontre les différentes conceptions de la fraction vues en primaire. À
savoir : l’opérateur, le rapport, la mesure et le nombre. Le seul manuel qui diffère de ce
modèle est le Delta. Les fractions sont abordées en introduisant l’ensemble des
nombres rationnels. L’élève se trouve face à une série de nombres, dont des fractions,
qu’il doit classer dans les « naturels », les « entiers » et « les autres ». Il découvre par la
suite que « les autres » sont les nombres rationnels.
Fractions et géométrie
On retrouve pas mal de différences entre les manuels pour ce qui est de l’association
des fractions et la géométrie. Il s’agit dans certains cas d’un support visuel et réfère
très souvent au rapport entre la partie et le tout. L’Actimath à l’infini est le manuel
dans lequel on retrouve le plus d’activités de ce genre tandis que le CQFD n’en propose
aucune. Dans le manuel Delta, on retrouve simplement le fait de représenter une
fraction sur une figure plane et c’est surtout afin de visualiser une situation telle que la
comparaison de fractions ou encore représenter le multiple d’une fraction.
Fractions équivalentes
Le principe d’équivalence est travaillé par l’ensemble des manuels. La différence réside
dans la manière de le faire. On retrouve un côté très technique dans le Néomath où
seules des activités telles que « écris sous la forme d’une fraction irréductible » ou
« complète les numérateurs et les dénominateurs manquants » sont proposées. Le
CQFD quant à lui ne propose aucune activité de ce genre, mais opte plutôt pour la
reconnaissance de fractions équivalentes parmi une série de fractions proposées. De
plus, on n’y retrouve jamais la consigne de simplifier les fractions, même dans l’énoncé
d’un autre exercice. Il revient donc au professeur de demander la forme irréductible
des fractions lors de l’expression de la solution finale d’un exercice. Les autres manuels
font un mélange des deux types d’activités mentionnées et le RandoMaths ajoute un
exercice « trouver l’intrus ».
Page | 32
Comparaison de fractions
La comparaison de fractions deux à deux se fait dans tous les manuels. La seule nuance
est que le CQFD propose un support visuel afin d’aider l’élève lors de la résolution. Le
Delta le fait aussi, mais ne se limite pas à cela et propose également des séries de
comparaisons à faire, comme dans les autres manuels. De plus, le Delta est le manuel
qui varie le plus le type d’activités proposées afin de comparer des fractions. Tous les
manuels, sauf le CQFD, proposent de classer des fractions et tous demandent de le
faire par ordre croissant.
Pourcentages, décimaux et fractions
Dans cette catégorie on retrouve toutes les activités où interviennent des fractions en
même temps que des décimaux et dans la plupart des manuels, des pourcentages. Le
CQFD est le seul manuel qui n’en fait pas intervenir dans ce chapitre.
On retrouve pas mal d’activités différentes telles que la comparaison entre des
fractions, des décimaux (et des pourcentages), convertir des fractions en nombre
décimal et inversement, placer des fractions et des décimaux sur une même droite,
soit déjà graduée, soit à graduer soi-même, etc. Même si les activités proposées
varient légèrement d’un manuel à l’autre, on peut retrouver des activités combinant
fractions, décimaux (et pourcentages) dans chacun d’entre eux.
Fractions en relation avec le temps (heures, minutes)
Le seul manuel faisant intervenir la notion de temps et d’horloge lors de l’utilisation
des fractions est l’Actimath à l’infini. On retrouve des conversions de fractions
d’heures en nombre décimal d’heures ainsi que la représentation ou la lecture de
minutes sur un disque représentant une horloge.
Droites graduées
On retrouve pas mal de différences entre les manuels pour cette catégorie. Le principe
de placer des fractions sur une droite graduée est clairement indiqué comme étant
matière de première secondaire dans le programme de formation. Le RandoMaths
propose qu’un seul énoncé s’y rapportant en demandant de placer des fractions et
décimaux sur une droite à graduer soi-même. C’est, selon moi, un peu trop restreint.
Le CQFD propose également qu’une seule activité et qui ne correspond même pas au
Page | 33
programme. En effet on retrouve une droite graduée dans le manuel, elle est graduée
à l’aide de deux fractions, mais l’exercice consiste à placer des nombres décimaux sur
cette droite et non des fractions.
C’est dans l’Actimath et le Delta qu’on retrouve le plus de variantes de ce principe.
Encadrement de fractions
Ce type d’activité est parfois lié à la catégorie précédente. En effet, dans l’Actimath à
l’infini on retrouve un énoncé qui demande de placer des fractions sur une droite
graduée et d’ensuite, à l’aide de cette droite, encadrer la fraction par deux nombres
naturels consécutifs. Encadrer une fraction entre deux nombres naturels consécutifs
sans support visuel est proposé dans tous les manuels sauf le Néomath. Aucune
activité de ce genre n’y est proposée. L’encadrement de fractions est indiqué dans le
programme de deuxième année, et se fera à l’aide de nombres décimaux. En première,
il n’est donc pas explicitement stipulé qu’il faille proposer ce genre d’activités, mais ce
principe étant fortement lié au placement de fractions sur une droite graduée, il me
semble tout de même intéressant d’en prévoir.
NB : dans le programme de l’officiel, l’encadrement d’une fraction par deux nombres
naturels est au programme de première année.
Multiplication et division d’une fraction et d’un entier
La multiplication de fractions est au programme, mais il est indiqué de se limiter à des
fractions dont le numérateur est un. On peut retrouver des activités qui vont plus loin
que ce qui est demandé et cela peut être lié au fait que dans le programme de l’officiel
il est indiqué : « Effectuer occasionnellement des additions, soustractions et
multiplications de fractions usuelles. ».
Ce qui m’étonne fortement, c’est que le CQFD ne propose aucune activité sur la
multiplication de fractions. Le RandoMaths et l’Actimath à l’infini sont les manuels qui
proposent le plus de variation dans les activités. De plus, le RandoMaths se limite à des
fractions dont le numérateur vaut un et correspond donc le mieux aux consignes du
programme de formation.
Page | 34
Multiplication et division de deux fractions
J’ai décidé d’en faire une catégorie différente de la précédente, car cela correspond
plus au programme de deuxième année. Cependant, Actimath à l’infini, Néomath et
Delta proposent tous ce type d’activités et il me semblait donc nécessaire de le
mentionner. Le manuel qui correspond le plus au contenu « Composer deux
fractionnements d’un objet réel ou représenté en se limitant à des fractions dont le
numérateur est un. » indiqué dans le programme, est le Delta.
Somme et différence de deux fractions
Cette catégorie ne figure pas du tout au programme de l’enseignement libre, mais est
présente dans le programme de l’officiel. Le RandoMaths est le seul manuel qui n’en
propose pas du tout. Dans le CQFD on retrouve une somme de fractions à faire à
l’intérieur d’un exercice de comparaison, sans aucune exploration préalable, de
découverte ni même d’énonciation d’une procédure de résolution dans la partie
synthèse. Les autres manuels proposent plusieurs types d’exercices, dont des séries
d’addition et soustraction de deux fractions qu’on retrouve dans les trois.
Les fractions et les probabilités
Ce type d’activité m’a interpellé et c’est pour cela que je le mentionne. Le Néomath
propose d’exprimer une probabilité à l’aide d’une fraction. Il s’agit d’une situation
assez simple qui demande de faire le rapport entre le nombre de cas favorables sur le
nombre de cas possibles et se rapporte donc à la définition des probabilités dites
classiques.
Remarques supplémentaires
Delta combine l’enseignement des fractions avec celui des nombres négatifs : cela
peut s’observer lors des opérations sur les fractions, mais également lors des
exercices avec les droites graduées.
Page | 35
8.3. Analyse des manuels de 6e primaire
Un premier constat que j’ai pu faire en consultant les manuels du primaire est que les
activités portant sur les fractions se trouvent tout au long du manuel. Il n’y a pas un
seul chapitre consacré aux fractions, comme cela pourrait être le cas en secondaire. Ce
principe a comme avantage que les fractions sont travaillées tout au long de l’année et
dans divers contextes, du moins si l’enseignant suit l’ordre préétabli par les auteurs du
manuel.
La quantité d’exercices et activités proposées dépend fortement du manuel choisi. En
effet, dans Math&Moustique on n’en retrouve pas énormément tandis que dans les
deux autres la quantité est assez conséquente.
Les manuels sont de manière générale plus illustrés que ceux du secondaire, bien
qu’on puisse retrouver des pages entières de séries d’exercices telles que des additions
et soustractions, des simplifications, etc. Ce sera surtout le cas dans le Galaxie Math.
J’ai pu remarquer également que dans le Contrat Math et Galaxie Math les fractions
sont utilisées et intégrées dans d’autres points de matière. Cela rejoint le principe que
les fractions sont un outil de résolution et qu’on ne les travaille pas juste pour le
principe de travailler les fractions.
Je me rends compte que certaines activités comme la comparaison de fractions, le
classement de fractions et le principe des fractions équivalentes sont déjà fortement
travaillées (cela dépend tout de même du manuel) durant la dernière année du
primaire. Cela prouve, selon moi, que les élèves ont réellement besoin de beaucoup
manipuler et utiliser les fractions afin de maîtriser le concept. Si ces activités se
retrouvent déjà au primaire et qu’elles sont retravaillées lors des deux premières
années du secondaire, c’est que les élèves en ont vraiment besoin. Je dois tout de
même préciser qu’en primaire les fractions utilisées sont la plupart du temps des
fractions « simples » ou dont les numérateurs ou dénominateurs sont des multiples
l’un de l’autre. La différence avec les exercices du secondaire réside donc dans la
complexité des fractions proposées, mais cela varie également d’un manuel à l’autre.
Afin d’illustrer ces propos, je vais comparer des activités du primaire et du secondaire.
Ce seront évidemment des activités appartenant à la même catégorie.
Page | 36
Exemples d’activités : comparaison primaire – secondaire
Principe d’équivalence
On peut remarquer qu’en primaire, l’équivalence des fractions est introduite et
abordée à l’aide d’un support visuel. De plus il s’agit de la fraction 1
2, qui est la plus
simple possible et l’activité ne demande pas réellement de réflexion de la part de
l’élève. En secondaire, le manuel a présenté l’activité de manière ludique, mais
l’illustration n’est pas une aide pour la réalisation de l’exercice. Par la suite, on
trouvera des séries d’exercices travaillant le même principe, mais sous forme de
« drill » dans le manuel du secondaire alors qu’en primaire ce n’est pas le cas.
Contrat Math, page 12
Actimath, page 259
Page | 37
Les droites graduées
Néomath, page 49
Actimath, page 262
Contrat Math, page 12
Galaxie Math, page 56
Page | 38
Une différence qu’on peut observer entre le primaire et le secondaire est le
« fractionnement » de la droite. En primaire on voit que la droite est fractionnée de
manière continue, avec tous les traits de partage indiqués, tandis qu’en secondaire ce
n’est pas forcément le cas, du moins dans le Delta et le Néomath.
De plus, on remarque que la droite peut être prolongée à gauche du zéro et que l’élève
doit donc être capable de déterminer l’abscisse d’un nombre négatif. Delta est
cependant le seul manuel à le proposer.
Les fractions proposées en primaire restent assez simples alors qu’on peut voir
apparaitre des fractions moins usuelles en secondaire. De plus, on combine les droites
graduées avec les fractions équivalentes au secondaire en proposant des fractions avec
des dénominateurs différents. Cela pourrait également se trouver dans un manuel de
primaire, mais en restant dans la simplicité. Exemple, placer des sixièmes sur une
droite partagée en douzièmes, etc.
Ce que je remarque également comme différence, autant entre le primaire et le
secondaire qu’entre les manuels du secondaire est la manière de graduer la droite.
Dans l’Actimath on retrouve une recherche de progression en difficulté avec
l’apparition de fractions comme graduation et non le 0 et le 1 comme on peut le voir
ailleurs.
Delta, page 54
Page | 39
J’ai trouvé une activité portant sur les droites graduées dans un manuel québécois,
« À vos maths ! » (2006):
On peut remarquer qu’on retrouve le même type de question (b) que dans les manuels
belges. Cependant, les autres sous-questions vont un peu plus loin et ne se limitent
pas au côté technique que doit développer l’élève. L’élève doit savoir expliquer son
raisonnement et se justifier. Le fait de demander de trouver des autres fractions entre
les deux données permet à l’élève de comprendre qu’il existe une infinité de fractions
entre deux autres et que les deux fractions données ne sont pas des « fractions
consécutives » comme certains élèves pourraient le croire. C’est ce genre de questions
qui travaillent la compréhension du concept de fraction en tant que nombre.
Dans la même optique, on retrouve quelques pages plus loin les questions suivantes :
Page | 40
Ce genre de démarche n’est, bien entendu, pas propre aux droites numériques. On
peut retrouver le même genre de questions pour d’autres catégories :
Même si ce genre de questions n’est, en général, pas présent dans nos manuels belges,
les enseignants pourraient et devraient en poser de leur propre initiative. Par exemple,
l’enseignant pourrait poser ce genre de question à la classe après avoir résolu un
exercice et l’avoir corrigé en commun. La réponse peut être attendue oralement en
désignant un élève, mais on pourrait également attendre une production écrite de la
part de tous afin de faire réfléchir tout le monde de manière individuelle. La question
ouverte posée à la classe peut tout de même faire profiter l’ensemble des élèves.
Page | 41
9. Conclusion
Le développement des différentes parties assez théoriques qu’on retrouve au début de
ce travail m’ont permis d’établir les bases de mon analyse, qui se trouvent tout au long
de mon écrit.
En premier lieu, je retiens particulièrement de cette partie théorique du travail qu’il
est très important de travailler la compréhension du concept de fraction afin de
diminuer les difficultés liées à l’utilisation des fractions. Autrement dit, il est important
de travailler la compréhension du sens de la fraction avant de passer à la partie
« technique » des fractions. Si l’élève ne conçoit pas la signification de la fraction, il
effectuera les procédures liées aux opérations de manière mécanique, ce qui peut
entraîner beaucoup d’erreurs et de difficultés.
Deuxièmement, le développement des différentes conceptions de la fraction confirme
mon idée de départ qu’il s’agit d’une notion très complexe et difficile à comprendre
pour les élèves. De plus, je me rends vraiment compte que la fraction opérateur, liée
au principe de la fraction en tant que partie d’un tout, est la base de l’enseignement
sur les fractions. Mais, si au début cette conception semble facile à comprendre pour
les élèves, elle peut dans certains cas empêcher l’acquisition d’autres sens de la
fraction. L’exemple de la tarte, lié à cette conception d’opérateur, est très souvent
utilisé dans l’enseignement et cela peut impliquer une vision très restreinte de la
fraction et de sa représentation. De ce fait, il est très important de diversifier les
situations et les contextes faisant intervenir les fractions et ce, dès le début de
l’apprentissage.
Concernant l’enseignement des fractions, l’analyse des programmes et des manuels
m’ont confirmé qu’en secondaire c’est la conception de la fraction en tant que nombre
qu’on retrouve le plus. Cette conception demande aux élèves de savoir se détacher
des situations concrètes qu’on peut retrouver dans les manuels du primaire et de faire
preuve d’abstraction. Ce passage est difficile et c’est pour cela qu’il faille réellement
insister sur la compréhension du concept. Cependant, j’ai pu remarquer en consultant
les manuels du secondaire que généralement, seules des activités travaillant le côté
technique lié aux fractions sont proposées.
Page | 42
Il revient donc au professeur d’enrichir le contenu des manuels par quelques activités
supplémentaires afin d’améliorer la compréhension du concept de fraction et d’ainsi
assurer une meilleure compréhension des règles liées aux opérations et à l’utilisation
des fractions en général. En effet, les fractions sont un outil pour la résolution de
diverses situations et il est donc important qu’elles soient maitrisées.
Je ne peux qu’insister sur l’importance de sortir du contenu proposé par les manuels et
de les compléter de manière à s’assurer que les élèves comprennent réellement le
sens de ce qu’est une fraction, et plus particulièrement la fraction en tant que nombre.
Cette problématique m’avait interpellée dès le départ et je suis heureuse d’avoir mené
ce travail à terme. « Terme » qui n’a de sens que dans le cadre de ce travail car il n’est
en fait que le point de départ de réflexions pour et lors de ma future pratique. Ainsi, je
me rends compte que bien que ce sujet ait fait couler pas mal d’encre par de
nombreux auteurs, il reste énormément de zones d’ombre à éclaircir. Il est certain que
j’investirai tout ce que j’ai appris lors de la rédaction de ce texte dans ma vie
professionnelle future, mais j’espère surtout que je pourrai encore aller au-delà ...
Page | 43
Bibliographie
Documents non publiés
Mercier, P. (2004). Le passage de l’école primaire à l’école secondaire dans
l’enseignement et l’apprentissage des fractions, mémoire non publié, Québec,
Université Laval.
Ouvrages et articles
Baruk, S. (1992). Dictionnaire des mathématiques élémentaires. Paris : Seuil.
Bednarz, N., Lafontaine, J., Auclair, M., Morelli, C., Leroux, C., et al. (2008). Une
expérience de collaboration enrichissante en enseignement des mathématiques.
Vie pédagogique, n°147, pp.43-51.
Bednarz, N., Lafontaine, J., Auclair, M., Morelli, C. & Leroux, C. (2009). Pour une
plus grande harmonisation dans la transition du primaire au secondaire en
mathématiques, Bulletin AMQ [Association mathématique du Québec], Vol. XLIX,
n° 1.
Commission de l’enseignement primaire (1980). Le passage des élèves du primaire
au secondaire, réflexions et propositions. Québec : Conseil supérieur de
l’éducation, Gouvernement du Québec.
Grégoire J. & Meert G. (2005). L’apprentissage des nombres rationnels et ses
obstacles, In M.-P. Noël (Ed.), Les troubles du calcul (pp 223- 251). Marseille : Solal
Roegiers, X. (2011). Les mathématiques à l’école primaire, tome 1. Bruxelles : de
boeck, pp. 157 – 173.
Rouche, N. (1998). Pourquoi ont-ils inventé les fractions ? Paris : Ellipses.
Manuels scolaires
Bams, M., Colin, M., Dewaele, P., Huin, F., Want, A., et al. (2013). Actimath à
l’infini. Livre-cahier 1. Wommelgem : Van In
Bernard, A., Bethlen, J., Bicheroux, M., Cambier, C., Grosjean, V., et al. (2013).
Néomath 1. Livre d’exercices. Kalmthout : Pelckmans
Bernard, A. Bethlen, J. Bicheroux, M., Cambier, C., Grosjean, V., et al. (2013).
Néomath 1. Livre d’algèbre. Kalmthout : Pelckmans
Page | 44
Buchet, É., Canon, É., Degallaix, É., De Jonghe, G., Dubois, C., et al. (2013). Maths &
Moustique. Cahier d’exercices de 6e année. Bruxelles : de boeck.
Coupal, M. (2006) À vos maths ! 1er cycle – 1re année. Montréal: Graficor.
Elsevier, L., Schram, W. & Vandenbergh, A. (2012). Galaxie Math. Cahier de
l’élève 6A. Louvain-la-Neuve-Wommelgem : Van In.
Leenaers, G., Lerot, O. & Wuyts, V. (2013). Delta. Cahier d’activités 1re année.
Waterloo : Plantyn.
Nouten, W., Van Roy, J. & Van Roh, W. (2013). Contrat Math 6a. Waterloo :
Plantyn.
Postal, F., Valenduc, A.-M., & Davister, T. (2012). RandoMaths. Manuel élève 1re
secondaire. Namur : Érasme.
Van Dieren, F. & Bianchi, G. (2011). CQFD Maths 1ère. Manuel. Bruxelles : de boeck.
Programmes
Ministère de la communauté française (2002). Programme d’études du cours de
mathématiques. Enseignement secondaire ordinaire de plein exercice. Premier
degré commun. 1ère année et 2e année commune. Bruxelles : Administration
générale de l’Enseignement et de la recherche scientifique.
Fédération de l’Enseignement fondamental catholique (FédEFoC). (2013).
Programme intégré aux socles de compétences. Le nouveau programme. Formation
mathématique cycle 4. Bruxelles : FédEFoC.
Fédération de l’Enseignement secondaire catholique (Fesec). (2010). Programme
Mathématiques 1e degré commun. Bruxelles : Fesec.
Documents électroniques
Brissiaud, R. (1998). Les fractions et les décimaux au CM1. Une nouvelle approche.
Actes du XXVème colloque des formateurs et professeurs de mathématiques
chargés de la formation des maîtres, IREM de Brest, (pp 147-171) [en ligne]
http://page.perso.brissiaud.pagesperso-orange.fr/pages/Page2.html (page
consultée le 17 avril 2015)
Carette, V., Conten, A., Rey, B., Coché, F., & Gabriel, F. (2009). Étude de
l’apprentissage des nombres rationnels et des fractions dans une approche par
compétences à l’école primaire, recherche financée par la Communauté française
Page | 45
n°126/07, Bruxelles. [en ligne] http://www.ulb.ac.be/facs/sse/img/fractions.pdf
(page consultée le 13 mars 2015)
Duclos, G. (1992). Le passage de l’école primaire à l’école secondaire, Québec
français [en ligne], n°87, pp. 40-43. http://id.erudit.org/iderudit/44790ac (page
consultée le 07 avril 2015)
Lafontaine, D. & Poncelet D. (2011). Un modèle en pistes causales pour
appréhender la complexité du phénomène d’accrochage scolaire lors de la
transition primaire-secondaire, Mesure et évaluation en éducation [en ligne], vol.
34, n°1, pp.55-95. http://id.erudit.org/iderudit/1024863ar (page consultée le 07
avril 2015)
Math93, Une histoire de mathématiques. (2013). Le papyrus de Rhind. [en ligne]
http://www.math93.com/index.php/histoire-des-maths/histoire-des-
nombres/411-le-papyrus-de-rhind (page consultée le 26 mai 2015)
Perrin-Glorian, M.-J. (1986). Représentations des fractions et des nombres
décimaux chez les élèves de CM2 et du collège, Petit X [en ligne], n°10, pp.5–29.
http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_x/fic/10/10x1.pdf (page consultée
le 27 avril 2015)
Rosar, D., Van Nieuwenhove, C. & Jonnaert, P. (2001). Les fractions, comment
mieux comprendre les difficultés rencontrées par les élèves ? Instantanés
mathématiques, Vol. 37, n° 2, pp. 4-16.
https://cudc.uqam.ca/upload/files/module/Les_fractions_comment_mieux_compr
endre_les_difficultes_rencontrees_par_les_eleves.pdf (page consultée le 13 mars
2015)
Annexes : Page | 1
Annexes
Tableau de comparaison des manuels du secondaire ………………………………………………. 2
Annexes : Page | 2
RandoMaths
Actimath à l’infini
CQFD Néomath Delta
Première activité proposée sur les fractions
1,23,4
Classement de fractions par conception (partage, calcul, rapport, fréquence)
1,23,4
Réactivation du primaire : Opérateur, partie d’un tout, situations représentées géométriquement (rectangle, disque), …
1,23
Rapports entre les longueurs de différents objets puis calcul de la longueur de chacun connaissant la longueur d’un des objets
4 Ensemble des rationnels : nouveaux nombres, car les entiers ne suffisent plus : classement de nombres par ensemble
Fractions et géométrie
2 Déterminer la partie colorée comme fraction de la figure plane entière
2 Déterminer le rapport entre deux parties colorées d’une même figure
2 Écrire chaque partie d’une figure (rectangle) sous la forme d’une fraction
1 Indiquer la fraction du disque coloriée par une fraction (modèle tarte)
1 Représenter une fraction sur un objet ou une figure plane.
1,3 Convertir l’angle au centre d’un disque en minutes (horloge)
2,3 Représenter une certaine quantité (cl) dans un solide dont la contenance maximale est indiquée. Les solides sont des parallélépipèdes rectangles
Fractions équivalentes
4 = ou ≠ : à placer entre deux fractions
4 Regrouper les fractions équivalentes parmi une série de fractions données.
4 Trouver l’intrus dans une série de fractions données
4 Écrire une ou plusieurs fractions équivalentes à celle donnée. (numérateur ou dénominateur imposé)
4 Simplifier des fractions (les rendre irréductibles)
Légende : 1 = opérateur ; 2 = rapport ; 3 = mesure ; 4 = nombre ; 5 = quotient
Annexes : Page | 3
RandoMaths
Actimath à l’infini
CQFD Néomath Delta
Comparaison de fractions
2,4 Dans une situation donnée, établir des rapports afin de les classer
4 Comparer des fractions deux à deux (<, > ou =)
1,4 Comparer des fractions deux à deux à l’aide d’un support visuel
4 Classer des fractions par ordre croissant.
4 Entourer le plus grand ou le plus petit nombre parmi une série de fractions données
4 Déterminer si une fraction est <1, =1 ou >1
Pourcentages, décimaux et fractions
Traduire l’expression en français en expression mathématique
Traduire l’expression mathématique en français
(4) Classer une série de fractions, nombres décimaux (et pourcentages)
(4) Comparer des fractions et des décimaux (et des pourcentages) deux à deux (<, > ou =)
(4) Retrouver l’écriture différente d’un même nombre parmi une série de fractions, décimaux (et pourcentages)
(4) Trouver l’intrus dans une série de fractions, décimaux et pourcentages
4 Conversion d’un pourcentage en une fraction, et inversement
(4) Conversion d’un nombre décimal en fraction (décimale et irréductible)
(4) Conversion d’une fraction en nombre décimal
(4) Placer des fractions et des décimaux sur une droite (à graduer)
(4) Placer des fractions et des décimaux sur une droite (déjà graduée)
4 Placer des décimaux sur une droite graduée par deux fractions
(4) Somme et différence d’une fraction et d’un nombre décimal
4 Écrire un nombre décimal à partie entière comme la somme d’un naturel et d’une fraction
Légende : 1 = opérateur ; 2 = rapport ; 3 = mesure ; 4 = nombre ; 5 = quotient
Annexes : Page | 4
RandoMaths
Actimath à l’infini
CQFD Néomath Delta
Fractions en relation avec le temps : heures et minutes
1,3 Convertir l’angle au centre d’un disque en minutes (horloge)
3 Convertir des minutes en fraction d’heure(s) irréductible, en nombre décimal d’heure(s) et inversement.
2,3 Placer la grande aiguille d’une montre en fonction des minutes indiquées
Droites graduées
4 Placer des fractions sur une droite à graduer soi-même
4 Placer des fractions sur une droite graduée
4 Placer des décimaux sur une droite graduée par des fractions
(4) Placer des fractions et des décimaux sur une droite graduée
(4) Placer des fractions et des décimaux sur une droite à graduer soi-même
(4) Placer des fractions et des décimaux sur une droite graduée sans mesurer : comparaison des fractions et décimaux deux à deux.
4 Déterminer l’abscisse d’un point (à l’aide d’une fraction) sur une droite graduée
Encadrement de fractions
4 Encadrer une fraction entre deux nombres naturels consécutifs
4 Encadrer une fraction au dixième près
Encadrer une fraction au centième et millième près
4 Trouver une fraction entre deux fractions données
Légende : 1 = opérateur ; 2 = rapport ; 3 = mesure ; 4 = nombre ; 5 = quotient
Annexes : Page | 5
RandoMaths
Actimath à l’infini
CQFD Néomath Delta
Multiplication et division d’une fraction et d’un entier
1,4 Représenter une fraction (1/n) et un multiple de cette fraction dans un rectangle afin de découvrir/observer la multiplication de la fraction par un naturel
1,4 Prendre une fraction d’un nombre revient à multiplier cette fraction par le nombre : découverte à l’aide d’un rectangle
4 Poursuivre une suite d’opérations et en observer la régularité afin d’en déduire la multiplication d’une fraction du type 1/n par un naturel
4 Mise en évidence de la règle : « pour multiplier un naturel par une fraction dont le numérateur vaut 1, on divise ce naturel par le dénominateur de la fraction »
4 Mise en évidence de la règle : « pour diviser un naturel par une fraction dont le numérateur vaut 1, on multiplie ce naturel par le dénominateur de la fraction »
4 Remplacer le produit d’un naturel et d’une fraction (1/n) par une division
4 Remplacer le quotient d’un naturel et d’une fraction (1/n) par une multiplication
4 Trouver par quel nombre (fraction) il faut en multiplier ou diviser un autre pour obtenir le résultat proposé
4 Séries de plusieurs multiplications et divisions de fractions (1/n) et d’un nombre naturel
4 Séries de plusieurs multiplications et divisions de fractions et d’un nombre naturel
1,23,4
Traduire une situation en une multiplication d’une fraction et d’un naturel puis résoudre
Légende : 1 = opérateur ; 2 = rapport ; 3 = mesure ; 4 = nombre ; 5 = quotient
Annexes : Page | 6
RandoMaths
Actimath à l’infini
CQFD Néomath Delta
Multiplication et division de deux fractions
1,4 Illustrer le produit de deux fractions dans un rectangle : exemple « prendre 1/3 du quart du rectangle »
4 Séries de plusieurs multiplications de deux fractions
1,2 3,4
Traduire une situation en une multiplication de fractions puis résoudre
1,4 Écrire une phrase donnée sous forme d’opérations mathématiques puis calculer exemple : la moitié de l’opposé de trois quarts
Somme et différence de deux fractions
1,4 Représenter deux fractions dans une même figure afin de les additionner
2,4 Choisir des fractions d’une figure à additionner parmi toutes celles présentes pour obtenir une certaine figure (support visuel), vérifier par l’addition de toutes les fractions choisies
4 Additionner deux fractions afin de comparer le résultat avec d’autres sommes de fractions, fractions ou nombres décimaux
4 Séries d’additions et soustractions de deux fractions
4 Séries d’additions et soustractions d’une fraction et d’un entier
1,23,4
Traduire une situation en une somme ou différence de fractions, puis résoudre
Les fractions et les probabilités
2 Expression de la probabilité d’une situation simple en une fraction
Légende : 1 = opérateur ; 2 = rapport ; 3 = mesure ; 4 = nombre ; 5 = quotient
« Les difficultés rencontrées par les élèves lors des apprentissages des fractions ont
souvent été soulignées par les chercheurs en éducation (par exemple,
Haseman, 1986 ; Streefland, 1986). Parmi ceux-ci, certains observent qu’une
majorité d’écoliers, lorsqu’il s’agit de fractions, ne saisissent pas le pourquoi des
choses et se bornent au comment : ils exécutent les opérations selon des règles
imposées sur des objets mathématiques qu’ils méconnaissent (par exemple, Hart,
1980). » (Rosar, Van Nieuwenhoven & Jonnaert, 2001, 1).
La problématique décrite dans cette situation est au cœur de ce travail. Comment
aider les élèves à comprendre réellement le concept de fraction ? Comment aider
les élèves à se détacher des situations concrètes du primaire et passer au côté
abstrait du concept lors du passage en secondaire ? …
Ce sujet sera traité premièrement à l’aide d’une partie théorique reprenant des
propos et des travaux de nombreux auteurs et ensuite à l’aide d’une analyse des
programmes et des manuels du primaire et du secondaire.