commande numérique des systèmes 2ème partie

Commande Numérique des Systèmes 2ème partie

Ecole Nationale Supérieure de Physique de Strasbourg 2ème année

Jacques GANGLOFF Et

Michel de MATHELIN

Programme de la deuxième partie

•  Synthèse des correcteurs numériques –  Objectifs (rappels) –  Transposition à partir du continu (rappels et compléments) –  Placement des pôles dominants –  Prédicteur de Smith –  Commande avec modèle interne –  Synthèse algébrique : correcteurs RST –  Analyse de la robustesse et des performances

•  E. Godoy et E. Ostertag, Commande numérique des systèmes. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2003.

•  R. Longchamp, Commande numérique de systèmes dynamiques. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1995.

•  E. Ostertag, Systèmes et asservissements continus. Ellipses, Collection Technosup, Paris, 2004.

•  M. Rivoire et J.-L. Ferrier, Commande par calculateur et identification. Eyrolles, Paris, 1997.

Bibliographie – ouvrages en français

•  K. Aström and B. Wittenmark, Computer controlled systems : theory and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1984, 1990.

•  G. Franklin, J. Powell, and A. Emami-Naeini, Feedback control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1988.

•  G. Franklin, J. Powell, and L. Workman, Digital control of dynamic systems. Addison Wesley, Wokingham, 1989.

•  T. Kailath, Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1980.

•  B. Kuo, Automatic control systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1991.

•  B. Kuo, Digital control systems. Harcourt Brace & Jovanovich, Orlando, 1992.

•  K. Ogata, Modern control engineering. Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1990.

Bibliographie – ouvrages en anglais

1 Objectifs – rappels (1)

•  Asservissement numérique d’un système continu

Synthèse des correcteurs numériques

C(z) G(s) r(k)

v(t)

u(k) y(t)

ym(k)

du(t) dy(t) e(k)

- BOZ

H(s) Te

G(s) Fonction de transfert du système H(s) Fonction de transfert du capteur r Signal de consigne ou de référence u Signal de commande y Signal de sortie (grandeur à réguler) ym Mesure de la sortie

F(z)

du Perturbation d’entrée dy Perturbation de sortie v Bruit de mesure C(z) Correcteur F(z) Préfiltre e Erreur d’asservissement

Régulateur numérique Capteur

Système


•  Objectifs de la synthèse: Stabilité:

– Le système en boucle fermée est stable Performance:

– Suivre les variations de la consigne – Comportement en boucle fermée conforme à un

modèle – Rejeter les perturbations et le bruit

Robustesse: – Conservation de la stabilité et des performances

malgré les incertitudes sur le modèle (dynamiques non modélisées, non linéarités, incertitudes paramétriques, …)



•  Outils pour la synthèse: Stabilité:

– Critère de Jury – Critère de Nyquist

Performance: – Lieu d’Evans (placement des pôles de la boucle

fermée) – Calcul des erreurs en régime permanent – Simulation (vérification a posteriori)

Robustesse: – Marges de stabilité (diagramme de Nyquist) – Simulation (vérification a posteriori)



•  Méthodes simples pour la synthèse (monovariable): –  Transposition de correcteurs continus –  Utilisation de PID –  Autoréglage –  Placement de pôles (lieu d’Evans, retour d’état) –  Modèle interne –  Méthodes algébriques (RST)

•  Méthodes avancées pour la synthèse (multivariable): –  Commande optimale : minimalisation d’un critère quadratique sur

l’erreur d’asservissement et la commande –  Commande robuste : prise en compte optimale de bornes sur les

incertitudes pour la stabilité et la performance –  Commande non linéaire : prise en compte de modèles non linéaires du

système à asservir


2 Transposition à partir du continu (1)

•  Principe: 1.  Synthèse d’un correcteur continu 2.  Le correcteur numérique est obtenu par approximation de

la fonction de transfert du correcteur continu à l’aide d’équations aux différences. La façon la plus courante est de procéder à une transformation bilinéaire (Tustin transformation) par le changement de variable :


112

+−→zz

Ts

e


•  Approximation bilinéaire (homographique):


Conserve la stabilité et la forme de la réponse en fréquence

Dans la littérature anglo-saxonne: Tustin’s approximation

112

+−→zz

Ts

e

•

Plan s Plan z

• 1

)112()(

+−==zz

TsCzC

ec


•  Conclusions: 1.  La méthode s’appuie sur les résultats d’une synthèse de

correcteur analogique sur la base du modèle du système qui est également continu.

2.  La synthèse ne prend pas en compte le bloqueur et le déphasage introduit par celui-ci dans la boucle d’asservissement.

3.  Les performances du correcteur numériques seront au mieux celles du correcteur analogique.

4.  Les performances du correcteur numérique se rapprocheront d’autant plus de celles du correcteur analogique que la période d’échantillonnage est petite.


3 Prise en compte du bloqueur (1)

•  Principe: 1.  La transmittance échantillonnée du système ouvert avec

le bloqueur est calculée (fonction de transfert en z ). 2.  Une transformation bilinéaire (transformation en w ) est

appliquée à cette transmittance échantillonnée pour obtenir une fonction transfert continue du système ouvert avec bloqueur.

3.  Une synthèse de correcteur analogique est réalisée sur cette fonction de transfert continue.

4.  Une transformation bilinéaire est appliquée au correcteur analogique synthétisé pour obtenir le correcteur numérique.



1.  Calcul de la transmittance échantillonnée du système ouvert :

2. Transformation bilinéaire :


G(s) u(t) BOZ

Te

G(z)

u(k) y(k)

112

212

1

+−=⇔

−

+=

zz

Tw

wT

wT

zee

e

)

21

21

()(wT

wT

zGwGe

e

c

−

+==

Conservation de la stabilité


2. Transformation bilinéaire (suite) :


')2

tan(22112

22

22ωωωω

ωω

ω

ω

jTTj

ee

eeTe

eT

w e

eTjTj

TjTj

eTj

Tj

eee

ee

e

e

==+

−=+−=

−

−

•

Plan w Plan z

• 1

si z est sur le cercle unité alors

• •

Conservation de la forme de la réponse en fréquence

)()'( eTjc eGjG ωω =

eTje ω

'ωj


3. Synthèse d’un correcteur analogique :

4. Transformation bilinéaire :


wT

wT

zzz

Tw

e

e

e

212

1

112

−

+=⇔

+−=

)112()(

+−==zz

TwCzC

ec

Conservation de la stabilité et de la forme de la réponse en fréquence

Cc(w) Gc(w) La réponse en fréquence désirée doit prendre en compte la transformation des abscisses

Quizz N°1 : 5 minutes

• https://goo.gl/yQNwdW

4 Placement des pôles dominants

Principe: placer à l’aide du lieu d’Evans les pôles dominants de la fonction de transfert du système bouclé dans une région désirée


enen TjTnn eezjs ωξξωωξξω

212,1

22,1 1 −±−=→−±−=Pôles dominants:

pôles dominés

constante nξω

constante ξ

pôles dominants

5 Le prédicteur de Smith (1)

Synthèse particulière dans le cas des systèmes avec un retard important


)(

)()1( 1

zGzssGZzz

d

d

−

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

Nombre de pôles important et déphasage important

Correcteur e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)

ym(k)

e(k)- BOZ

Te

Fonction de transfert du système (boucle ouverte): avec

eTTd =


Principe: Asservir la sortie d’un modèle sans retard (prédicteur)


C(z) e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)

em(k)

- BOZ

Te -

G(z) z-d - yp(k)

)(kyp est la prédiction de la sortie future : ))(( eTdky +

correcteur numérique

)(kem est renvoyé sur l’entrée pour compenser les perturbations et les erreurs de modèle


Schéma équivalent:


C(z) e-Ts G(s) r(k) u(k) y(t)

- BOZ -

(1-z-d)G(z)

)()()1(1)(

)()(

zGzCzzC

zEzU

d−−+=

Le correcteur C(z) est synthétisé sur le système sans retard

Te

e(k)

)()(1)()(

)()(

zGzCzGzCz

zRzY d

+=

−

)()(1)()(

)()(

zGzCzGzC

zRzYp

+=

Quizz N°2 : 5 minutes

• https://goo.gl/OLtCii

6 Commande avec modèle interne (1)

Principe: Rétroaction de l’écart entre le système et un modèle


Correcteur Système stable

r(k) u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te -

Modèle -

Si le modèle est parfait et s’il n’y a aucune perturbation, le signal de contre-réaction est nul


ym(k)

Si le correcteur est stable le système bouclé est stable


Schéma-bloc:


C(z) G(s) r(k) u(k) y(t)

em(k)

BOZ

Te -

Gm(z) -

Soit stable et


ym(k)

p(t)

G(z) = (1− z−1)Z G(s)

s⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

{ })()( sPZzP =

e(k)

( )( ))()()()()(1

1)( zPzRzGzGzC

zEm

−−+

=

Equivalence avec un correcteur série classique: Hypothèse du modèle parfait:



F(z) = C(z)

1−C(z)Gm(z)⇔ C(z) = F(z)

1+ F(z)Gm(z)

( ) ( ) )()()()(1

)()(1)()()()(1

)()()( zPzGzGzC

zGzCzRzGzGzC

zGzCzYm

m

m −+−+

−+=

)()()()()( zPzEzGzCzY +=

)()()(1

1)()()(1)()()( zP

zGzFzR

zGzFzGzFzY

++

+=

Soit

)()( zGzGm = )())()(1()()()()( zPzGzCzRzGzCzY −+=

Si le correcteur est stable le système bouclé est stable



)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

Principes pour la synthèse du correcteur: A. Hypothèse du modèle parfait

où GI(z) est la partie inversible de G(z) et GNI(z) est la partie non inversible contenant les retards et les zéros non compensables

)()()()( zGzGzGzG NIIm ==

)())()(1()()()()( zPzGzQzRzGzQzY NINI −+=

Le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



)1()1(et stable)(avec)()()( 11 −− == NII GQzQzGzQzC

Principes pour la synthèse du correcteur (suite): B. Cas général du modèle imparfait

où GI(z) est la partie inversible de Gm(z) et GNI(z) est la partie non inversible

)()()()( zGzGzGzG NIIm ≠=

( ) ( ) )()()()()(1

)()(1)()()()()(1

)()()( 11

1

zPzGzGzGzQ

zGzQzRzGzGzGzQ

zGGzQzYNII

NI

NII

I

−+−+

−+= −−

−

En pratique, si Q(z) est un filtre passe-bas, de fréquence de coupure suffisamment petite alors le système bouclé est stable, l’erreur de position est nulle et les perturbations constantes sont rejetées



Règles standards pour la synthèse du correcteur: Soit avec zi les zéros à partie réelle positive à l’intérieur du cercle unité

zj les zéros à partie réelle positive à l’extérieur du cercle unité zk les zéros à partie réelle négative

nrqpmpzz

zzzzzzgzG n

ii

r

q

kk

p

jj

m

ii

m +<++−

−−−=

∏

∏∏∏

=

=== avec)(

)()()()(

1

111

∏ ∏

∏

= =

=

−−

−= m

i

p

j ji

q

n

iic

zzzzz

pzgzQzC

1 1

1

)1()(

)()()( avec

10

)1()(

)1()1( 1

<<−−=

= −

ααα

zzzQ

GC m

7 Synthèse algébrique (1)


7.1 Le correcteur RST: A. Schéma avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

du(k) dy(k) e(k)

- )( 1−zT)(

11−zS

)( 1−zR

)(zG

)(),(),( 111 −−− zTzSzR polynômes en

et )( 1−zS monique 1)0( =S

Soit

1)()()( 1

1

≥

= −

−−

dzAzBzzG

d

avec 1−z)(),( 11 −− zAzB polynômes en

premiers et )( 1−zA monique 1)0( =A



B. Equations du système bouclé

)()()()(

)()()(

)())()(()()()(

1

1

1

1

1

1

zYzSzRzY

zSzTzU

zYzUzUzAzBzzY

r

d

−

−

−

−

−

−−

−=

++= δδ (1)

(2)

)()()()(

)()()()(

zYBRzAS

ARzUBRzAS

BRzzYBRzAS

ATzU

zYBRzAS

ASzUBRzAS

BSzzYBRzAS

BTzzY

dd

d

rd

dd

d

rd

d

δδ

δδ

−−

−

−

−−

−

−

−

+−

+−

+=

++

++

+= (3)

(4)



C. Objectifs de la synthèse 1.  Le suivi de consigne obéit au modèle suivant:

)()()( 1

1

−

−−

=zAzBzzM

m

md

τααeT

m ezzA−−− =−= avec1)( 11

avec 1)1( =M )1()1( mm AB =

l’erreur de position est nulle

Exemples de modèle: Modèle d’ordre 1 de constante de temps t:

Modèle d’ordre 2 de pulsation naturelle wn et de facteur d’amortissement x: 22211 1avec)cos(21)( ξωβααβα ξω −==+−= −−−−

enT

m TezzzA en

)()()()( zYABzzMYzY

BRzASBTzzY r

m

md

rrd

d −

−

−

==+

= (5)

et )( 1−zAm monique 1)0( =mA



C. Objectifs de la synthèse (suite) 2.  Rejet des perturbations d’entrée:

3.  Rejet des perturbations de sortie:

Rejet des perturbations:

111)( −−

=z

zUδ )()1()( 11

11 −−− −= zSzzSPerturbation constante:

)()( zUBRzAS

BSzzY d

d

δ−

−

+=

21

1

)1()( −

−

−=

zzTzU eδ )()1()( 1

1211 −−− −= zSzzSPerturbation rampe:

)()( zYBRzAS

ASzY d δ−+=

Perturbation constante:

Perturbation rampe:

)()()1()()( 11

11

111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()()1()()( 11

11

2111 −−−−− −= zSzAzzSzA

)()1()(que tel 11

11 −−− −=∃ zSzzSp p (6)



D. Compensation des pôles et des zéros 1.  Compensation des zéros:

)()()( 111 −−−+− = zBzBzB

m

md A

BBRzAS

BT =+ −

)( 1−+ zB

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

cf. (5)

Soit

avec monique contient les zéros que l’on souhaite compenser

1)0( =+B

)( 1−− zB contient les zéros que l’on ne souhaite pas compenser (zéros en dehors du cercle unité, zéros à partie réelle négative, …)

(7)

)()()()(0

0

0

0

0

zYRBzAS

ASzURBzAS

BSzzYRBzAS

TBzzY dd

d

rd

d

δδ −−−−

−

−−

−−

++

++

+=



D. Compensation des pôles et des zéros (suite) 2.  Compensation des pôles:

)()()( 111 −−−+− = zAzAzA

m

md A

BRBzAS

TB =+ −−

−

0

)( 1−+ zA

)()()()()()( 10

1110

11 −−+−−−+− == zTzAzTzRzAzR

cf. (5) et (7) Soit

avec monique contient les pôles que l’on souhaite compenser

)( 1−− zA monique contient les pôles que l’on ne souhaite pas compenser (pôles en dehors du cercle unité, pôles sur le cercle unité, …)

(8)

)()()(

)()(00

0

00

0

00

0 zYRBzSA

SAzURBzSAA

BSzzYRBzSA

TBzzY dd

d

rd

d

δδ −−−

−

−−−+

−

−−−

−−

++

++

+=

et



E. Calcul du correcteur RST

m

md A

BRBzSA

TB =+ −−−

−

00

0

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m

cf. (5), (6), (7) et (8)

mB

(10)

doit contenir −B +−= mm BBB (9)

m

md A

BRBzSA

T +

−−− =+ 00

0

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp (11)

Equations diophantiennes

avec monique et stable, ajouté pour le filtrage des perturbations 0A

)()1()( 12

110

−−− −= zSzzS p

Suivi de consigne Rejet de perturbation



F. Résolution des équations diophantiennes

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

020 ,, TSR

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

{ }{ }{ })()(deg

)(deg)()1(deg

10

1

1

11

−−

−−−

−−−

==

−=

zAzAqzBzm

zAzn

m

d

p

mnq +<•  Si alors il existe une solution unique d’ordre minimal telle que et

Soit

{ } 1)(deg 10 −=− nzR

Cf. (11)

(11) est une équation polynomiale d’ordre n+m-1 avec n+m coefficients inconnus

système de n+m équations à n+m inconnues



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

{ } 1)(deg 12 −=− mzS

mnq +≥•  Si alors il existe deux solutions d’ordre minimal telles que :

1.  et

2.  et

{ } mqzR −=− )(deg 10

(11) est une équation polynomiale d’ordre q avec q+1 coefficients inconnus

système de q+1 équations à q+1 inconnues

{ } nqzS −=− )(deg 12 { } 1)(deg 1

0 −=− nzR



F. Résolution des équations diophantiennes (suite)

)( 12

−zS

0,, AAA m−•  Comme sont moniques, en posant

dans (11), on obtient est monique

1)0(2 =S

02 , RS•  Si est une solution particulière de l’équation diophantienne (11), alors est également une solution de cette équation quelque soit

−−−−−− −−+ AzzQRBzzQS pd )1)((,)( 110

12

)( 1−zQ

01 =−z

il existe une infinité de solutions d’ordre supérieur



G. Fonctions de transfert en boucle fermée résultantes

)()()()(0

0

0

0 zYAASAzU

AAABSzzY

ABBzzY

mm

d

rm

md

δδ−

+

−+−−

++=

+A doit être stable et de préférence amorti

)()()()(0

0

0

0 zYAAB

ARzUAARBzzY

ABABzU

mm

d

rm

m δδ +

−−

+

+

−−=

+B doit être stable et de préférence amorti

(12)

(13)

(14)

)()()()()()(0

0

0

0 zYAASAzU

AAABSzzY

ABBzAzYzYzE

mm

d

rm

md

mr δδ

−

+

−+−−

−−−=−=



H. Objectifs supplémentaires pour la synthèse 1.  Erreur de vitesse (erreur d’ordre 1) nulle:

2.  Erreur d’accélération (erreur d’ordre 2) nulle:

3.  Erreur d’ordre r nulle :

avec

)(),( 10

1 −−+ zBzBm

Cf. (13)

(15)

)()()()( zYA

BBzAzYzYzE rm

md

mr

+−−−=−=

21

1

)1()( −

−

−=

zzTzY e

r )()1( 10

21 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

Equation diophantienne

)()1( 10

31 −−+−− −=− zBzBBzA md

m

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



I. Récapitulatif 1.  Définition des pôles et des zéros à compenser

2.  Définition du modèle de suivi de consigne

)()()()(

)()()( 11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzAzBzBz

zAzBzzG

dd

)( 1−+ zBavec monique et contenant les zéros que l’on souhaite compenser )( 1−− zB contenant les zéros que l’on ne souhaite pas compenser

)( 1−+ zA monique et contenant les pôles que l’on souhaite compenser )( 1−− zA monique et contenant les pôles que l’on ne souhaite pas compenser

)()()(

)()()( 1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBzzAzBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==)()1( 1

0)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA r

md

m



I. Récapitulatif (suite) 3.  Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation

4.  Choix d’un filtre supplémentaire pour les perturbations

5.  Résolution des équations diophantiennes

)( 10

−zA

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

1)( 10 =−zA

)()()()()()()1( 10

110

112

11 −−−−−−−−−− =+− zAzAzRzBzzSzAz mdp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

stable et monique par défaut

avec )( 12

−zS monique



I. Récapitulatif (suite) 6.  Calcul du correcteur RST

7.  Réalisation du correcteur

!+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( ztzttzTzAzT

!+++== −−−−+− 22

110

10

11 )()()( zrzrrzRzAzR

!+++=−= −−−−+−− 22

11

12

111 1)()()1()( zszszSzBzzS p

!

!!

−−−−+−++−−−−−=⇒

−= −

−

−

−

)1()()1()()2()1()(

)()()()(

)()()(

10

1021

1

1

1

1

kyrkyrkytkytkuskusku

zYzSzRzY

zSzTzU

rr

r



7.2 Correcteur à temps d’établissement fini: A. Système :

Soit

B. Modèle de suivi de consigne particulier:

)()()()(

)()()( 11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzAzBzBz

zAzBzzG

dd



)()()()()( 11

1

1−+−−−

−

−−

== zBzBzzAzBzzM m

d

m

md

avec 1)1()1( =+−mBB

)()1()()(1 10

)1(111 −+−−+−−− −+= zBzzBzBz rm

d

1)( 1 =−zAm

et (erreur d’ordre r nulle)



7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): C. Résolution des équations diophantiennes: D. Calcul du correcteur à temps d’établissement fini:

)()()()()()1( 10

10

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz dp

)()()( 10

110

−−+− = zAzBzT m )(),(),( 10

12

10

−−− zTzSzR

avec )( 12

−zS monique

)()()( 10

11 −−+− = zTzAzT

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

)()()1()( 12

111 −−+−− −= zSzBzzS p



7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): E. Fonctions de transfert en boucle fermée:

)()()()(0

0

0

0 zYASAzU

AABSzzYBBzzYd

rmd δδ

−

+

−+−− ++= Cf. (12)

Cf. (15) )()()()()1()()()(0

0

0

010

)1(1 zYASAzU

AABSzzYzBzzYzYzEd

rr

r δδ−

+

−−+− −−−=−=

Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Γ= )()(

11

1

)1()()( +−

−

−= nr z

zPzY )()()1()( 110

)(1 −−−−−= zPzBzzE nr

Temps d’établissement fini minimal si est minimal )( 10

−zB

ε(k) = 0 ∀k > k0 = deg (1− z−1)(r−n)B0 (z−1)P(z−1){ }



7.2 Correcteur à temps d’établissement fini (suite): F. Correcteur à réponse pile (« dead beat control »)

Cf. (14)

Réponse à une consigne de type avec rnkkky nr ≤Γ= )()(

11

1

)1()()( +−

−

−= nr z

zPzY1

1111

)(1

11)()()()1()( −

−−+−−−

−−=

zzPzBzAzzU m

nr

u(k) = constante ∀k > k0 = deg (1− z−1)(r−n)A1(z−1)Bm

+ (z−1)P(z−1){ }

Temps d’établissement fini et réponse pile

)()()()(0

0

0

0 zYAB

ARzUARBzzY

BABzU

d

rm δδ +

−−

+

+

−−=

Cas particulier : si et si le système contient r intégrateurs 1)( 1 =−+ zB)()1()( 1

111 −−− −= zAzzA r



7.3 Correcteur série: A.  Schéma

avec 1−z

yr(k) u(k) y(k)

du(k) dy(k) e(k)

- )()(1

1

−

−

zSzR )(zG

)(),( 11 −− zSzR polynômes en et )( 1−zS monique

)()( 11 −− = zTzRCorrecteur RST avec

Moins de degrés de liberté dans la synthèse du correcteur



7.3 Correcteur série (suite): B. Système :

Soit

C. Modèle de suivi de consigne:

)()()()(

)()()( 11

11

1

1

−−−+

−−−+−

−

−−

==zAzAzBzBz

zAzBzzG

dd



et (erreur d’ordre r nulle) )(

)()()()()( 1

11

1

1

−

−+−−−

−

−−

==zA

zBzBzzAzBzzM

m

md

m

md

avec )1()1(,1)0( mmm ABA ==

)()1( 10

)1(1 −+−+−− −+= zBzBBzA rm

dm



7.3 Correcteur série (suite): D. Ajout d’intégrateurs pour le rejet de perturbation et le suivi de

consigne : E. Compensation des pôles et des zéros: F. Résolution des équations diophantiennes (sans filtre supplémentaire)

)()1()( 11

11 −−− −= zSzzS p

)()()1()()()( 12

1110

11 −−+−−−+− −== zSzBzzSzBzS p

)()()( 10

11 −−+− = zRzAzR

)()( 10

1 −−+ = zRzBm

)()()()()()1( 110

112

11 −−−−−−−−− =+− zAzRzBzzSzAz mdp

20 ,SR

Le choix de est imposé +mB

)1()1()1( 0 mARB =−

0)1(1)1( BzBBzA r

md

m+−+−− −+= si p+m>r soit )()1()( 1

111 −−−−− −= zAzzA m

Marges de stabilité

• •

CG(ejωTe)

1 -1 •

cω

φ δ

g1−

g ′−1

•

Diagramme de Nyquist

Critère de Nyquist: Le système asservi (en boucle fermée) est stable ssi CG(ejωTe) encercle le point -1 dans le sens anti-horlogique un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de la boucle ouverte

8 Robustesse (1)


eTπω =

0=ω

Marges de stabilité (suite)

B. Marge de retard τ = retard qui entraîne l’instabilité

soit ωci{ } les pulsations telles que CG e jωciTe( ) =1

soit φi = π + argCG e jωciTe( )⇒ τ =min

i

φiωciTe

A. Marge de phase φ = déphasage qui entraîne l’instabilité (retard de phase)

8 Robustesse (2)


Marges de stabilité (suite)

D. Marge de module δ = distance minimale entre CG(ejwTe) et -1

δ = infω∈R

1+CG(e jωTe ){ }= 1

supω∈R

11+CG(e jωTe )

⇒ δ =1S

∞

∞= norme H∞ ou L∞

C. Marges de gain g et g’ < 1 = gain qui entraîne l’instabilité

8 Robustesse (3)


commande numérique des systèmes 2ème partie

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