collège château double aix-en-provence

Collège Château Double Aix-en-Provence


La médaille FIELDS est la plus haute récompense internationale attribuée dans le domaine des mathématiques . Cette médaille constitue l'équivalent du prix Nobel qui n'existe pas dans cette branche. Le mathématicien canadien John Charles Fields est l'initiateur de cette distinction, décernée pour la première fois en 1936. Tous les quatre ans, deux de ces médailles sont remises à des mathématiciens âgés de moins de quarante ans, durant les congrès internationaux de mathématiques. Le jury se compose de huit membres, élus par l'Union internationale de mathématiques, mais qui demeurent inconnus des participants jusqu'à l'attribution des prix. Les lauréats reçoivent 2 500 $ canadiens ainsi qu'une médaille en or représentant au recto l'effigie d'Archimède et, au verso, une sphère inscrite dans un cylindre, tout comme sur la tombe du mathématicien grec.


Les prix MATCHADOU est la récompense attribuée par le collège Château Double d'Aix-en-Provence dans le domaine des mathématiques , de la logique et de la réflexion aux élèves les plus méritants. En fin d'année, quatre prix MATCHADOU d'excellence sont remis aux meilleurs mathématiciens en herbe (un prix par niveau de classe : 6ème, 5ème, 4ème et 3ème) à la suite des travaux remis durant l'année scolaire. En fonction du succès de ce challenge (et des finances du collège), un deuxième prix (prix MATCHADOU d'honneur) par niveau pourra être décerné et éventuellement un troisième (prix MATCHADOU espoir). Une cérémonie de remise des prix est organisée en fin d'année scolaire. Le travail des élèves participants ne se fait pas exclusivement dans l’enceinte du collège.

L’évaluation se fait au fur et à mesure du rendu des travaux et permet ainsi une bonne émulation devant les résultats intermédiaires de chaque élève. Trois éléments du travail remis sont évalués :

� La METHODE utilisée et le RAISONNEMENT employé ( 50% de la note)

� La PRESENTATION du document produit ( 40% de la note) : rédaction en bon français, clarté, propreté, fautes d’orthograph es, choix du vocabulaire, présentation …

� Le RESULTAT en lui-même pour 10% de la note

Périodiquement, un état des points obtenus pour chaque élève et par niveau (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) sera diffusé via un panneau d'affichage dans le hall du collège. Chaque élève choisit librement le sujet qui l'intéresse.

ATTENTION : un seul sujet par élève et par semaine sera accepté.


Exemple 1 de réponse Nom : Henri Poincaré Classe de 6°7 le 03 février 2012 Sujet n° 548 : Produit de 26 couples Quelle est la valeur du produit suivant ? (x-a) (x-b) (x-c) (x-d) .... (x-y) (x-z) en tout 26 couples de parenthèses ; avec a, b ... z des nombres quelconques. Chaque lettre : a, b, c, d … jusqu'à z, (c'est à dire qu'on a les 26 lettres de l'alphabet dans les 26 membres du produit), représente chacune un nombre. Il n'est pas précisé dans le sujet qu'elles doivent être toutes différentes ; d'ailleurs cela n'a pas d'importance car on peut remarquer que le 24ème membre est (x-x) Quelle que doit la valeur numérique donnée à x on obtiendra toujours (x-x) = 0 Or nous sommes en présence d'un produit dont l'un des membres est nul. Donc quels que soient les autres membres de ce produit, celui-ci sera toujours nul. Conclusion : Quel que soient les valeurs attribuées aux différentes lettres, le produit (x-a) (x-b) (x-c) (x-d) .... (x-x) (x-y) (x-z) vaut toujours 0. Remarque personnelle : il est précisé qu'il y a 26 couples de parenthèses mais il n'est pas dit que le membre (x-x) est bien présent. Les … peuvent signifier (x-d) vingt et une fois de suite ! ! Mais j'avoue que c'est tiré par les cheveux ☺ Correction et notation : Le résultat est juste et compte pour 10% de la note � 1/10 La méthode et le raisonnement sont juste et compte pour 50% de la note � 5/10 La présentation est claire et propre, il n'y a pas de fautes d'orthographe, le français est correct, � 4/10 La remarque personnelle est intéressante bien que discutable. Elle peut déboucher sur une réflexion plus large à propos des suites dites logiques comme par exemple : quel nombre suit la série : 1 – 2 – 3. Est-ce 4 puisque le 4 est après le 3 dans la numération des entiers naturels ou est-ce 5 si on considère que chaque nombre est la somme des deux précédents. Il existe toute une théorie sur ce sujet, c'est très bien de l'avoir remarqué. Total 1+5+4 = 10/10

Exemple 2 de réponse

Henri On vois que x-x est au millieu de la liste. Ca vaut 0 Correction et notation : Le résultat est juste et compte pour 10% de la note � 1/10 Le raisonnement est beaucoup trop succinct � 1/10 La présentation n'est pas complète, il y a des tâches et des fautes d'orthographes, le français est incorrect, il n'y a pas de nom, de classe, de date, de n° de sujet � 0/10 Total 1+1+0 = 2/10


N°1 La division par zéro ....................................................................................................................... 7 N°2 Grains de riz sur un jeu d échec ................................................................................................... 8 N°3 Somme des premiers entiers ........................................................................................................ 9 N°4 D'autres géométries étranges ..................................................................................................... 10 N°5 Problème de lapins...................................................................................................................... 11 N°6 Dénombrement de nombres ....................................................................................................... 12 N°7 Batailles de purée........................................................................................................................ 13 N°8 Question d'héritage ..................................................................................................................... 14 N°9 Énigme d Einstein ....................................................................................................................... 15 N°10 Nombres imaginaires .................................................................................................................. 16 N°11 Le vol du bourdon........................................................................................................................ 17 N°12 L'étoile monstrueuse ................................................................................................................... 18 N°13 La multiplication égyptienne........................................................................................................ 19 N°14 Les fractions égyptiennes ........................................................................................................... 20 N°15 Jeu de dés................................................................................................................................... 21 N°16 Ne pas être chocolat ................................................................................................................... 22 N°17 La croix de Saint André ............................................................................................................... 23 N°18 Malveillants pourcentages........................................................................................................... 24 N°19 L'éponge de Sierpiñsly ................................................................................................................ 25 N°20 Découpage .................................................................................................................................. 26 N°21 Histoires de moyennes................................................................................................................ 27 N°22 Garçon ! l'addition s'il vous plaît .................................................................................................. 28 N°23 Les escaliers de Fibonacci .......................................................................................................... 29 N°24 Menteur ou sincère...................................................................................................................... 30 N°25 Histoire de chapeau .................................................................................................................... 31 N°26 La traversée de la rivière............................................................................................................. 32 N°27 Le nombre plastique.................................................................................................................... 33 N°28 Un univers torique ....................................................................................................................... 34 N°29 Les répliquants fractales ............................................................................................................. 35 N°30 A la queue leu leu........................................................................................................................ 36 N°31 C'est faux mais c'est juste........................................................................................................... 37 N°32 La chèvre de M. Seguin .............................................................................................................. 38 N°33 Le nombre e ................................................................................................................................ 39 N°34 Et si on calculait Pi ...................................................................................................................... 41 N°35 Le triangle dans le carré.............................................................................................................. 48 N°36 L'expansion de l'univers .............................................................................................................. 49 N°37 La figure géométrique mystère ................................................................................................... 50 N°38 Tu es nommé "Ministre de la famille" en Inde............................................................................. 51 N°39 Ce matin un lapin a tué un chasseur........................................................................................... 52 N°40 Logique........................................................................................................................................ 53 N°41 Deux mille trois cent dix .............................................................................................................. 54 N°42 Pliages......................................................................................................................................... 55 N°43 Triangle de triangles.................................................................................................................... 56 N°44 Le pâtissier rangeant ses gâteaux .............................................................................................. 57 N°45 La pyramide de Djoser à Saqqarah ............................................................................................ 58 N°46 L algorithme de Syracuse ........................................................................................................... 59 N°47 Algorithmique .............................................................................................................................. 60 N°48 Effet de perspective à l infini ....................................................................................................... 61 N°49 Jeu de dés toujours gagnant....................................................................................................... 62 N°50 L'appel au collège ....................................................................................................................... 63 N°51 Gare de triage ............................................................................................................................. 64 N°52 Mots croisés et cases noires....................................................................................................... 65 N°53 M. Fermat et mon petit frère........................................................................................................ 66


N°1 La division par zéro

Prends le nombre suivant 27720 et dans un tableau à deux colonnes divise le par 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 etc. sans utiliser la calculette car tu dois trouver le maximum d'astuces pour faire les divisions ; tu préciseras ces astuces.

27720 divisé par Résultat de la division 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0,5 0,25 0,1 etc. 0

ATTENTION au dernier résultat, celui de la division par 0 sur la dernière ligne. Pour obtenir le résultat de cette division de 27720 par 0, regarde les valeurs de chacune des deux colonnes. Au lieu de 27720, prends un autre nombre de départ; que constates-tu ? Quel est alors le résultat de la division d'un nombre par 0 ?

Rédige ta conclusion en détaillant ta réflexion. On rappelle que c'est moins le résultat que la façon d'y arriver qui compte.


N°2 Grains de riz sur un jeu d échec

Un jeu d'échec comporte 64 cases, 8 colonnes de 8 rangées.

Le principe du jeu est simple : • sur la première case du jeu, tu disposes un grain de riz • sur la deuxième tu en mets deux fois plus soit 2 grains de riz • sur la troisième tu en mets deux fois plus soit 4 grains de riz • sur la quatrième tu en mets deux fois plus soit 8 grains de riz • et ainsi de suite jusqu'à la soixante-quatrième case. Combien y aura-t-il de grains de riz sur la soixante-quatrième case de l'échiquier ? Écris le résultat sous la forme mathématique que tu choisiras. Combien y a-t-il de grains de riz sur le plateau tout entier ? Il y a une astuce ! A toi de la trouver ! Aide :

2 s'écrit aussi 21 se dit "deux puissance un" =2 4 s'écrit aussi 22 se dit "deux puissance deux" =2 x 2 8 s'écrit aussi 23 se dit "deux puissance trois" =2 x 2 x 2

16 s'écrit aussi 24 se dit "deux puissance quatre" =2 x 2 x 2 x 2 32 s'écrit aussi 25 se dit "deux puissance cinq" =2 x 2 x 2 x 2 x 2

Etc. Pour les futurs prix Nobel :

Quelle est la valeur de 2 0 ? Quelle est la valeur de 2 -1 ? Quelle est la valeur de 2 -2 ? Etc. Détaille ta réflexion et ne donne pas seulement le résultat mais décris la méthode que tu as utilisée !


N°3 Somme des premiers entiers

Quelle est la somme des dix premiers chiffres 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 Quelle est la somme des vingt premiers chiffres 1+2+3+4+…+20 Quelle est la somme des cent premiers nombres entiers : 1+2+3+4+…+100 Avec la calculette, cela devient vite fastidieux ! ! Quelle est la formule miracle ? Quelle est la somme des mille premiers nombres entiers : 1+2+3+4+…+1000 Calcule enfin la somme des dix mille premiers nombres entiers : 1+2+3+4+…+10000 Attention : un résultat juste ne suffit pas ! Il faut décrire le raisonnement ! Trouve un exemple de la vie courante où un tel calcul doit être fait.


N°4 D'autres géométries étranges

Deux véhicules partent à la même vitesse dans deux directions différentes, faisant entre elles un angle de 60° Lorsqu'ils ont fait 100 kilomètres chacun depuis leur point de départ, à quelle distance sont-ils l'un de l'autre ? Se rejoindront-ils un jour ? Développe ta réponse. S'ils doivent se rejoindre un jour, à quelle distance de leur point de départ se rejoindront-ils Indice : A quels véhicules as-tu pensé ? vélos ? voitures ? trains ? avions ? engins spatiaux ? Que se passe-t-il si deux faisceaux de lumière (vitesse de la lumière = 300 000 km/s) sont émis vers l'espace avec un angle de 60° ? Déve loppe et décris ta réflexion !


N°5 Problème de lapins

Un couple de lapins donne 4 lapereaux tous les ans (2 mâles et 2 femelles). Un lapin vit 5 ans. Je viens d'acheter deux couples de lapins âgé de 2 ans Combien en aurai-je dans 5 ans ?

Suite : cette fois-ci � un lapin de 1 an sur 2 meurt chaque année après avoir donné naissance aux

4 lapereaux. � Un lapin de 4 ans sur 2 meurt chaque année après avoir donné naissance aux

4 lapereaux. Combien en aurai-je dans 8 ans ? Des problèmes auraient pu se poser. Lesquels ? Tu peux t'aider du logiciel Excel pour effectuer les calculs !


N°6 Dénombrement de nombres

Y a-t-il plus de nombres entiers que de nombres entiers pairs ? "Ben oui" répondent en général les personnes interrogées. Et toi, que vas-tu répondre ? Comment fait-on pour comparer deux ensembles quant au nombre des éléments qui les composent ? On les associe un à un. Si on arrive à tous les associer c'est que leur nombre (on dit leur cardinal) est égal ! Simple n'est-ce pas ! Voici un ensemble de chiens : � � � � � � � � � � � � � Voici un ensemble de chats :

� � � � � � � � � � � � � En supposant qu'il y en ait trop pour pouvoir les compter, on peut alors les associer par couple. Si à la fin des associations chiens ⇔ chats il ne reste aucun animal seul, alors on pourra dire que le nombre de chiens et le nombre de chats est identique. Question n° 2 : Y a-t-il autant de nombres carrés (par exemple 1 est un nombre carré car il est égal à 1 x 1. 4 est un carré car 4 = 2 x 2. 9 est un carré, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 etc. ) que de nombres entiers ? Justifie ta réponse et explique comment tu es arrivé à ton résultat. Question n° 3 : Y a-t-il plus de nombre réels que de nombres entiers ? Justifie ta réponse.


N°7 Batailles de purée

Le responsable de l'intendance du collège Château Double, propose aux parents d'élèves deux tarifs pour déjeuner au self le midi : • Tarif 1 : 4,10 € le repas • Tarif 2 : 2,70 € le repas sur présentation d'une carte d'abonnement de 119 €

valable un an. Quel est le tarif le plus avantageux ? Pourquoi ?


N°8 Question d'héritage

Cinq frères et sœurs ont hérité de cinq jardins carrés. Les mesures des côtés sont tous les cinq entiers. De plus, les côtés ont des mesures d'entiers consécutifs Les terrains sont assemblés en deux groupes :

� les trois plus petits terrains sont situés d'un côté d'un chemin, � les deux plus grands terrains sont situés de l'autre côté.

La somme des surfaces des trois terrains de gauche du chemin est égale à la somme des surfaces des deux terrains de droite. Trouve les dimensions de chaque terrain en décrivant ton raisonnement, ta méthode et tes calculs intermédiaires Aide : En maths, quand on ne connaît pas une mesure, on affirme la connaître quand même en disant qu'elle vaut x (voir schéma). On l'appelle"l'inconnue" Puis, en la combinant avec les autres valeurs connues, on essaie d'en déterminer sa valeur.

Route

n°1

n°2

n°3

n°4

n°5

x


N°9 Énigme d Einstein

Dans cette rue d'Aix-en-Provence, il y a 5 maisons habitées chacune par un élève (garçon ou fille) du collège Château Double.

1. Le fils du boucher habite la maison aux volets bleus du milieu.

2. Cet élève possède un chat qui chasse les souris dans la réserve à farine de son père il adore la musique jazz.

3. La fille de l'habitant de la maison aux volets rouges ne boit que du Coca-Cola.

4. Le fils de l'horloger possède des canaris et adore boire des diabolos fraise.

5. La maison aux volets rouges est située à droite de la maison aux volets verts.

6. L'élève qui affectionne les mathématiques possède des poissons rouges.

7. L'élève de la maison aux volets jaunes préfère la SVT. 8. L'élève qui ne boit que du lait habite dans la maison du

milieu. 9. Le garagiste habite dans la première maison à coté de la

maison sans fenêtres. Sa fille adore la musique "hard metal". 10. L'élève qui aime la technologie habite à droite de la maison

où il y a un perroquet. 11. L'élève qui préfère la SVT habite à gauche de la maison du

propriétaire des canaris. 12. Quand il va à la cuisine, celui qui aime l'anglais se prépare

souvent un thé à la menthe. 13. La fille du chaudronnier préfère le français.

Peux-tu me dire quelle est la personne qui ne boit que de l'eau ? Enfin, saurais-tu m'indiquer celle qui possède un chien chez elle ?


N°10 Nombres imaginaires

Un jour, un mathématicien a décidé d'inventer un nouveau nombre qu'il a appelé nombre imaginaire (voir Wikipédia pour plus d'infos). C'est un nombre constitué de … deux nombres ! Ce nouveau nombre, dit nombre imaginaire s'écrit par exemple :

C = 3 + 5i

c'est à dire qu'il a pris les nombres 3 et 5 puis il les a ajoutés après avoir multiplié par le symbole "i" le deuxième.

C = 3 + 5*i

Puis il a convenu que ce symbole i était un nombre très bizarre puisqu'il a décidé que i multiplié par lui-même valait –1.

i * i = i² = -1 A partir de ces définitions effectue les calculs suivants :

Addition de nombres complexes (1 – 2i) + (2 + 3i ) = ? Soustraction de nombres complexes (17 – 24i) - (31 + 39i ) = ? Multiplication de nombres complexes (12 – 23i) * 7 = ? (1 + 3i) * (28 - 8i ) = ? Élévation au carré (1 + 2i)² = (1 + 2i) * (1 + 2i) = ? (1 + i)² = ?


N°11 Le vol du bourdon

Cet été, le père Henri Poincaré s'est rendu en voiture d'Aix-en-Provence à Dunkerque distantes l'une de l'autre de 1020 km. Il a constamment roulé à une vitesse de 120 km/h. Au moment où il démarre d'Aix-en-Provence, une hirondelle décolle de Dunkerque et vient à la rencontre de la voiture à une vitesse de 180 km/h. Lorsque l'hirondelle rencontre la voiture, elle fait immédiatement demi-tour et repart à Dunkerque. Arrivée à Dunkerque, nouveau demi-tour vers la voiture et ainsi de suite. Question : Calcule la distance exacte qu'a parcourue l'hirondelle quand le père Henri Poincaré arrive à Dunkerque.


N°12 L'étoile monstrueuse

Question : Peut-on imaginer une figure plane de surface finie (par exemple sa représentation tient sur une feuille de papier ; donc sa surface est plus petite que celle de la feuille de papier) mais dont le périmètre est INFINI ! ! ! Bien sûr que non me diras-tu ! ! Et bien suis ces instructions pour dessiner un monstre mathématique . Trace au centre d'une feuille de papier, un triangle équilatéral. Ce triangle est formé de trois segments de droite identiques. Pour chacun de ces trois segments, réalise la transformation suivante : divise le segment en 3 puis recopie le quatre fois comme indiqué sur le schéma : NB : La pointe ainsi créée est toujours tournée vers l'extérieur du dessin.

�

Qu'obtiens-tu après une première transformation sur les trois côtés du triangle ? Qu'obtiens-tu après une deuxième transformation sur tous les côtés de la figure obtenue ? Etc. Qu'obtiens-tu après une dixième transformation sur tous les côtés de la figure obtenue ? Que peux-tu dire de la surface de la figure obtenue après la millième transformation ? Lors d'une transformation, que peux-tu dire de la longueur du segment avant transformation et de la longueur de la ligne brisée obtenue après transformation. Que peux-tu en déduire quant au périmètre de la figure après la millième transformation ? Si on applique à l'infini ces transformations, que devient la surface de la figure obtenue ? Que devient son périmètre ? On a obtenu ce que certains appellent un monstre mathématique ! Après un milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard de milliard d’opérations de ce type, prends un microscope à très fort grossissement et regarde un morceau de la figure. Que vois-tu ? Comment s'appelle le mathématicien qui a "inventé" cette figure ? Comment s'appelle cette figure ?


N°13 La multiplication égyptienne

Les premiers textes égyptiens, datant de 1800 av. J.-C., révèlent un système de numération décimale, avec des symboles séparant les puissances successives de 10 (1, 10, 100 et ainsi de suite). Pour représenter les nombres, on écrit le symbole désignant 1 autant de fois que le nombre a d'unités, et le symbole mis pour 10 autant de fois que le nombre a de dizaines, etc. Par exemple, le nombre 30 est représenté par 10 10 10. L'addition est effectuée en sommant séparément les unités, les dizaines, les centaines, etc. La multiplication correspond à des doublements successifs du nombre et la division est l'inverse de ce processus. Cette méthode à pour nom : "les duplications successives" Voyons comment ils effectuaient par exemple 84 x 15

1 15 2 30 4 60 8 120 16 240 32 480 64 960

Dans la colonne de droite, ils inscrivaient le nombre 15 et dans celle de gauche le nombre 1. Puis ils doublaient successivement chacun des nombres et s'arrêtaient lorsqu'ils trouvaient dans la colonne de gauche un nombre supérieur ou égal à 84.

128 1920

1 15 2 30 � 4 60 8 120 � 16 240 32 480 � 64 960

Ensuite, ils cochaient les nombres de gauche en partant du bas et dont la somme est égale à 84 : 128 est trop grand, donc on coche 64. Il reste 84 – 64 à trouver soit 20 à trouver. En remontant on trouve 32 (trop grand) puis 16. On a donc cocher 64 et 16 soit une somme de 80. Il reste 84 – 80 à trouver. On coche le 4. 84 + 16 + 4 = 84 128 1920 Il ne reste plus qu'à additionner les nombres de droite : 60 + 240 + 960 = 1260. Intérêt de la méthode : il suffit de connaître la seule table de multiplication par 2. En utilisant cette méthode, calcule les multiplications suivantes :

23 x 93 37 x 47 127 x 19 1267 x 568 4095 x 251


N°14 Les fractions égyptiennes

Pour exprimer toutes les fractions, les Égyptiens utilisent des sommes de fractions

du type n1

. Chez les Égyptiens, le numérateur a toujours 1 pour valeur.

Par exemple, la fraction 72

n'existe pas chez eux, elle est la somme des fractions 41

et 281

. Vérification : 72

288

2817

281

287

281

41 ==+=+=+

En utilisant ce système, les Égyptiens peuvent résoudre tous les problèmes d'arithmétique sur les fractions, de même que certains problèmes élémentaires d'algèbre. En géométrie, ils parviennent à établir des règles correctes pour déterminer les aires des triangles, des rectangles, des trapèzes et les volumes de solides, tels que les briques, les cylindres et, bien sûr, les pyramides. Écris sous la forme égyptienne les fractions suivantes :

43

32

75

12741

Méthode

• Soit la fraction 18

17

• Inverse la fraction et effectue la division entière de 18 par 17. Tu obtiens 1.

• Arrondis le résultat à l'entier supérieur soit 2

• La première fraction résultat est 2

1

• Donc 9

4

18

8

18

917

?

?

2

1

18

17

?

?

?

?

2

1

18

17==

−=⇒−=⇒+=

• Et on recommence le processus (l'algorithme) avec cette dernière fraction

• Soit la fraction 9

4

• Inverse la fraction et effectue la division entière de 9 par 4. Tu obtiens 2. Arrondis le résultat à l'entier supérieur soit 3

• La deuxième fraction résultat est 3

1

• Donc 9

1

18

2

18

6917

?

?

3

1

2

1

18

17

?

?

?

?

3

1

2

1

18

17==

−−=⇒−−=⇒++=

• Le résultat a 1 comme numérateur. L'algorithme est donc fini et le résultat est

9

1

3

1

2

1

18

17++=


N°15 Jeu de dés

Parmi les élèves inscrits au "club jeux" de M.Kriger, Charlie, le mathématicien de 6°2, s'est infiltré incognito et participe au jeu de lancer de dés et il gagne très très souvent ! Mais comment fait-il ? Ce jeu consiste à annoncer un nombre entre 3 et 18 puis à lancer trois dés et de faire la somme des trois chiffres sortis. Si la somme sortie correspond au nombre annoncé, c'est gagné !

Bien entendu, le minimum est 3 : 1+1+1 et le maximum est 18 : 6+6+6 Quelle somme doit-on annoncer (comme Charlie) pour avoir le plus de chances de lancer les trois dés et que la somme des chiffres obtenus soit celle que l'on a prédit ? C'est à dire quelle est la somme des trois dés qui a le plus de chance de sortir ? Nous rappelons que la probabilité d'un événement (chance de sortir !) est le nombre d'apparitions possibles de cet événement sur le nombre total de cas possibles. Quelles probabilités ont les autres combinaisons de sortir (de 3 à 18) ?


N°16 Ne pas être chocolat

Ce problème de mathématiques est en fait un jeu de logique. Il consiste à trouver la bonne stratégie pour ne jamais perdre. Voilà le principe du jeu. Ce jeu se joue à deux avec une tablette de chocolat (à consommer sans modération) Un carreau de chocolat dans un coin de la tablette est empoisonné. A tour de rôle, les joueurs brisent horizontalement ou verticalement la tablette de chocolat et mangent les carreaux qu'ils ont découpés. Bien entendu, il ne faut pas manger le dernier carreau, celui qui est empoisonné. Quelle est la stratégie qui permet de gagner à tous les coups ? Exemple : � � � � X X X X X � X

Joueur A Joueur B A B A B

Dans notre exemple, le joueur B a perdu la partie car il doit manger le dernier carreau qui est empoisonné. Tu dois rédiger avec des phrases simples et claires, la stratégie à mener pour gagner la partie. Indice : la solution apparaît si tu raisonnes à rebours. Il faut commencer par la fin !


N°17 La croix de Saint André

La croix de Saint-André est un assemblage de 5 carrés : Sur un papier épais ou cartonné dessine la. Comment découper cette croix à l'aide de deux coups de ciseau rectilignes pour obtenir plusieurs morceaux qui, ré-assemblés différemment, donnent un carré parfait ? Si la croix initiale est constituée de 5 carrés dont les côtés mesurent 1 cm, combien mesurera le côté du carré obtenu après découpage et assemblage ? Pourquoi cette valeur ? Ce problème est plutôt pour les élèves de 4ème ou 3ème mais les 5ème et 6ème peuvent essayer malgré tout sans répondre à la dernière question.


N°18 Malveillants pourcentages

Bizarrerie n° 1

Tu surprends dans la rue une discussion entre deux personnes : - "Oh là, là, je suis complètement déprimé, je pèse 25% de plus que mon

poids idéal ! Tu te rends compte quel supplice je vis !" - "Mais non, rassure-toi, tu ne dois perdre que 20% de ton poids !" Est-ce que l'un des deux dit une sottise ? Si aucun des deux ne ment, peux-tu déterminer le poids de la personne concernée par ce problème de poids ?

Bizarrerie n° 2

La population d'Aix-en-Provence était de 100 000 habitants en 1911. Cette population a évolué de la façon suivante : une année elle augmente de 20% l'année suivante elle baisse de 20% puis augmente de 20% l'année suivante, etc. Quel est son nombre d'habitants en 2012 ?

Bizarrerie n° 3

Le gouvernement souhaite augmenter le prix de l'essence dans les stations services. Il a le choix entre trois formules :

� augmenter de 12% à la fin de l'année � augmenter de 6% une fois en fin juin et une fois fin décembre � ou augmenter de 1% à la fin de chaque mois

Quelle est la formule la plus avantageuse pour l'État ? Une cerise … sinon rien !

Dans une cerise on peut estimer que l'épaisseur de la couche de chair est égale au diamètre du noyau. On peut également admettre que le noyau et la cerise sont deux boules de même centre. Quel est le rapport du volume de la chair à celui du noyau ?

Rappel : Volume d'une boule de rayon r : 3

34

RV ⋅⋅= π


N°19 L'éponge de Sierpiñsly

Un menuisier du nom de Sierpiñsky travaille un cube "C" en bois dont l'arête mesure 9 cm. Étape 1 :

- il divise chaque carré de chaque face en 9 petits carrés (qu'on appela "pc")

- puis il évide le petit carré "pc" du centre jusqu'à l'autre face du grand cube "C"

Calcul le volume de l'objet obtenu. Calcule le rapport du volume de l'objet obtenu sur le volume initial du cube non évidé.

Étape 2 - Notre menuisier divise maintenant chaque

petit carré "pc" de chaque face en 9 carrés plus petits (appelés "tpc"),

- puis il évide à nouveau chaque "tpc" du centre

Quel est le volume de l'objet obtenu. Quel est le rapport du volume de l'objet obtenu sur le volume initial du cube non évidé.

50 ans plus tard … - Notre menuisier continue ainsi pendant 50

ans à raison de 30 étapes par jour. - NB : il a du acheter un microscope

électronique à balayage et une mini-mini-mini perceuse.

Quel est le volume de l'objet obtenu. Quel est le rapport du volume de l'objet obtenu sur le volume initial du cube non évidé. Si tu comptes utiliser une calculette, prends la super-super-super évoluée ! ! !


N°20 Découpage

2 carrés = 1 carré

Comment découper deux carrés identiques pour former un nouveau carré ?

3 triangles = 1 triangle.

Comment découper trois triangles équilatéraux identiques pour former un nouveau triangle équilatéral ?

+ =

+ = +


N°21 Histoires de moyennes

Moyenne de type A

Si chaque matière compte "pareil", quelle est ma moyenne ? Et si j'ai ensuite seulement 10 en maths, quelle sera ma moyenne ?

Moyenne de type G

Un rectangle mesure 9 cm sur 4 cm. On veut dessiner un carré de même surface. Est-ce que le mesure du côté du carré est (9 + 4) / 2 = 6,5 ? autrement dit, est-ce que la mesure du côté du carré est la moyenne des longueur et largeur du rectangle ?

Moyenne de type H

Pour aller de Paris à Reims par l'autoroute, je roule à 120 km/h de moyenne. Au retour, par la route, je roule à 80 km/h de moyenne. Quelle est ma vitesse moyenne pour le trajet aller-retour ? Est-ce (120 + 80) / 2 soit 100 km/h ?

Vocabulaire Une moyenne de type A est dite Arithmétique (A)

Cette moyenne s'obtient en ajoutant tout simplement les différentes valeurs et en divisant par le nombre de ces valeurs

554321 nnnnn

M++++

=

Une moyenne de type G est dite Géométrique (G)

La moyenne géométrique de plusieurs nombres est le nombre M qui, multiplié par lui-même autant de fois qu'il y a de nombre, donne un produit égal au produit de ces nombres

M x M x M x M x M = n1 x n2 x n3 x n4 x n5 Une moyenne de type H est dite Harmonique (H)

La moyenne harmonique de plusieurs nombres n1, n2, n3, n4, n5 est le nombre M qui, inversé et ajouté autant de fois qu'il y a de nombres, donne un résultat égal à la somme des inverses de ces nombres.

54321

1111111111nnnnnMMMMM

++++=++++

Carnet de notes Maths 18 Français 15 Anglais 13 Hist-Géo 14


N°22 Garçon ! l'addition s'il vous plaît

Ce problème est une copie d'un panneau situé au Palais de la Découverte à Paris. Quotidiennement, une énigme de ce type est proposée au public. Voici une addition exacte formée à l'aide des 9 chiffres pris chacun une fois seulement :

3 1 7 + 6 2 8 = 9 4 5

Avec un peu de réflexion, on peut arriver à écrire 7 autres additions analogues telles que d'une addition à la suivante le total va en augmentant d'une certaine quantité, toujours la même. Peux-tu écrire ces diverses additions ?


N°23 Les escaliers de Fibonacci

Tu dois monter un escalier. Tu peux sauter une marche dès que tu le veux mais pas plus d'une marche à la fois. Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 1 marche ?

⇒⇒⇒⇒ Il n'y a évidemment qu'une seule façon Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 2 marches ?

⇒⇒⇒⇒ Il existe deux façons : soit on passe par la marche intermédiaire soit on monte directement en haut en une fois

Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 3 marches ?

⇒⇒⇒⇒ Soit on ne saute aucune marche, soit on saute la première, soit on saute deuxième ce qui donne 3 façons de monter un escalier de 3 marches

Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 4 marches ? Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 5 marches ? Combien y a-t-il de façons de monter un escalier de 20 marches ?


N°24 Menteur ou sincère

Au collège Château Double il y a 675 élèves. La Vie Scolaire décide de faire une enquête sur l'honnêteté des élèves. Chacun d'entre eux est soit un menteur soit il dit toujours la vérité. Les résultats donne les conclusions suivantes : 1 - il y a au moins un élève menteur. 2 – si l'on prend deux élèves au hasard, il y en a toujours un qui dit toujours la vérité. Peux-tu en déduire combien d'élèves mentent et combien disent toujours la vérité ?


N°25 Histoire de chapeau

Nous avons voulu tester les capacités de logique de trois élèves disant toujours la vérité. Le test consiste à leur montrer 7 chapeaux, 2 rouges, 2 jaunes et 3 verts. Puis on leur banda les yeux. Pendant qu'ils étaient ainsi, on leur mis un chapeau à chacun et on cacha les quatre autres chapeaux. Un fois fait, on leur enlève les bandeaux (ils ne peuvent pas voir la couleur de leur propre chapeau !) et on leur demande s'ils peuvent dire de façon certaine une couleur qui ne soit pas celle de leur chapeau. Le premier élève répond qu'il ne peut pas. Le deuxième dit qu'il ne le peut pas non plus. Sans en savoir plus, que peut dire le troisième ?


N°26 La traversée de la rivière

Tout le monde connaît la lettre d’Alcuin à Charlemagne concernant la devinette du loup, de la chèvre et du chou qu’il faut faire traverser la rivière sans que le loup mange la chèvre ou que la chèvre mange le chou. Mais cette lettre contenait une autre devinette du même genre mais beaucoup plus difficile ! Cette devinette concerne des maris jaloux refusant de laisser leurs femmes en compagnie d’autres hommes. Trois maris jaloux accompagnés de leurs femmes doivent traverser une rivière. Ils trouvent une barque qui ne peut accueillir que deux personnes à la fois. Comment s’y prendre pour que tout le monde traverse la rivière sans qu’une femme se retrouve jamais avec un homme hors de la présence de son mari ? Toutes les femmes comme tous les hommes rament. Tous les maris sont d’une extrême jalousie : ils ne peuvent souffrir que leur femme reste avec un homme sans eux, même si cet homme est accompagné de son épouse ! Début de la solution

Soit A, B, C les trois hommes et a, b, c les trois femmes. A est le mari de a, B est le mari de b et C est le mari de c. Chaque ligne du tableau ci-dessous représente une photographie prise alors que la barque est au milieu de la rivière

Rive de départ Bateau et sens Rive d’arrivée

A a B b C c B b C c A a → A B b C c ← A a A B C b c → a etc. … …

Indice : il y a 11 traversées


2 1 1 2

3

1

N°27 Le nombre plastique

Tu vas devoir fabriquer une suite de nombre dont les trois premiers sont 1, 1, 1. La règle de construction de cette suite est : chaque nombre de la suite est la somme du nombre situé deux rangs avant lui et de celui qui précède ce dernier. Le nombre suivant 1, 1, 1 est donc 2 Continue cette suite pour obtenir 30 nombres : 1, 1, 1, 2 etc. Si tu sais utiliser Excel, ça devient très facile ! Cette suite a pour nom : « suite de Padovan » Dessine maintenant une spirale de triangles équilatéraux ayant comme mesure de leur côté la valeur des nombres de la suite. Que se passe-t-il si tu prends les nombres de la suite de Padovan deux par deux et que tu calcules leur rapport (division du deuxième par le premier) ? Au bout d'un certain nombre d'itérations, on obtient le fameux nombre plastique. Il se note tout simplement p. Que vaut 13 −− pp ?

Rappel : pppp3 ××=

Que vaut 145 −− pp ? Si tu utilises un tableur de type Microsoft Excel pour effectuer les calculs.

• Première colonne : la suite de Padovan • Deuxième colonne : le calcul du rapport de deux nombres consécutifs • Troisième colonne : le calcul de 13 −− pp

• Quatrième colonne : le calcul de 145 −− pp


N°28 Un univers torique

Soit un carré divisé en 4 petits carrés blancs et noirs. On l’appellera « cellule » Le premier travail consiste à dessiner toutes les cellules possibles en sachant bien entendu qu’elles sont tous différentes. Je commence :

etc. il y en a 16 au total ( 42 ) Remarque, le point situé au dessus permet de ne pas confondre des cellules identiques après rotation comme par exemple : et

Maintenant que les seize cellules sont trouvées, il faut les placer dans un grand carré (notre univers) de 4 x 4. Attention, le remplissage du tableau ci-dessus est archi faux ! Ce n’est qu’un exemple pour préciser ce qu’il faut faire.

Défi n° 1 : création de notre univers (non encore t orique !)

Chaque cellule doit « coïncider » avec ses voisines c’est à dire que les petits carrés face à face sont tous les deux de la même couleur. Exemple incorrect ou un blanc en face d’un noir

Exemple correct deux blancs en face de deux blancs Le défi consiste à placer toutes les cellules dans l’univers sans erreurs de face-à-face !

Défi n° 2 : création de notre univers torique

Cette fois, même les cellules du bord doivent correspondre avec leur « homologue » situé de l’autre côté de l’univers. Il faut imaginer que les bords opposés se rejoignent et se touchent.


N°29 Les répliquants fractales

On appellera « repliquant » un être (ou objet) qui est constitué d’un certain nombre de même objets identique à lui mais plus petit. Par exemple ce répliquant « cube » est composé de 8 petits cubes. Autre exemple : ce répliquant triangle et ses quatre « petits » : Ou encore ce même répliquant triangle avec ses 9 « petits » Et un petit dernier pour bien comprendre A toi de travailler : Voici des répliquants avec 4 « petits ». Dessine les « petits » :

DA = AB = BC et ADC=60° BC=2 AB et BCD=60° AB=BC=CD =DE

AB=BC=DE et CD=2BC AB=BC=CD et DE=EF 3 triangles équilatéraux Les pointillés ne servent qu’à reproduire la figure

A B

C D

A B

C D

A B

C D

E F

A B

C D

E F

A B

C D

E F

A B

C

D E


N°30 A la queue leu leu

On considère les objets suivants : 1 1 2 2 3 3 Le but du défi est de les aligner à la queue leu leu avec les conditions suivantes :

• Entre deux 1 il n’y a qu’un seul objet

• Entre deux 2 il y a deux objets

• Entre deux 3 il y a trois objets Exemple (qui ne marche pas) :

1 2 1 3 2 3

il y a bien un seul objet (2) entre deux 1

il y a bien deux objets (13) entre deux 2

mais il n’y a pas trois objets entre les deux 3 il n’y en a qu’un seul. Donc cette série ne respecte pas les conditions

Défi n° 1:

Trouve la bonne combinaison pour respecter les règles Défi n° 2 :

Idem mais avec 4 objets : 1 1 2 2 3 3 4 4

Il est possible de jouer avec d’autres « objets » (ou personnes)

A la cantine, dans la file d’attente pour aller manger, il doit y avoir un seul élève entre deux 3°, deux élèves entre deux 4°, tro is élèves entre deux 5° et quatre élèves entre deux 6° Pour entrer en classe, le mise en rang doit se faire de la façon suivante : entre deux garçons bruns il ne doit y avoir qu’un seul élève, entre deux garçons blonds, deux élèves, entre deux filles brunes, trois élèves et entre deux filles blondes, quatre élèves en sachant qu’il y a deux garçons bruns, deux blonds, deux filles brunes et deux filles blondes. Avec deux crayons de couleurs rouges, deux verts, deux bleus et deux jaunes Etc.


N°31 C'est faux mais c'est juste

Cet après-midi, Jules et Julie ont eu une interro de maths. Le sujet comportait six multiplications ; la première était une multiplication à 2 chiffres, la deuxième une multiplication à 3 chiffres, la troisième une multiplication à 4 chiffres et les trois dernières des multiplications à 5 chiffres. Pendant la récréation, Jules et Julie discute de l’interro : - Jules : « Je me suis complètement trompé ! C’est vrai que je trouvais les

exercices un peu facile ! J’ai fait des additions au lieu de faire des multiplications ! Je vais avoir 0/20 ! »

- Julie : « Ne t’inquiète pas Jules, tu auras quand même 20/20 car multiplications ou additions, les résultats étaient les mêmes ! »

Quelles étaient ces cinq opérations ?

? + ? ? x ?

= ?

? + ? + ? ? x ? x ?

= ?

? + ? + ? + ? ? x ? x ? x ?

= ?

? + ? + ? + ? + ? ? x ? x ? x ? x ?

= ?

? + ? + ? + ? + ? ? x ? x ? x ? x ?

= ?

? + ? + ? + ? + ? ? x ? x ? x ? x ?

= ?

Indice : Aucun résultat d’opération ne dépasse 10 !


N°32 La chèvre de M. Seguin

Avant de partir dans la montagne et se faire manger par le loup, la chèvre de M.Seguin mène une vie paisible dans son pré. M.Seguin possède un champ carré de 100m de côté. Il attache sa chèvre à l’un des coins du pré à l’aide d’une corde de telle sorte que la chèvre peut manger exactement la moitié de l’herbe du champ Quelle est la longueur de la corde ? M.Seguin possède un autre champ qui a la forme d’un triangle équilatéral. de côté 100m . De la même façon, la chèvre ne doit pouvoir manger que la moitié de l’herbe. Quelle est la longueur de la corde ?

100m

100m

100m


N°33 Le nombre e

« e » un nombre dont la valeur est environ 2,718281828459045235360287. Ce

nombre ne peut pas s’écrire sous forme fractionnaire qp

. On dit qu’il est irrationnel

(de i=non et ratio =fraction). C’est même pire puisque c’est un nombre transcendant (en gros, il ne se laisse pas dompter car il est impossible d’écrire une équation qui donne « e » comme solution). C’est comme le nombre « π ». D’où vient-il ? Prenons un exemple pour le voir apparaître : J’ai placé 1 € sur un compte rémunéré. Il rapporte 100% par an (Dans la réalité c'est plus proche de 3 à 4% que de 100% mais c'est pour la compréhension du sujet). Donc à la fin de l’année j’aurai une fortune de 2 € car 1€ placé à 100% par an rapporte 1€. Quelle fortune possèderai-je au bout de 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? 20 ans ? Donne la formule générale permettant de trouver le montant de ta fortune en fonction du nombre d’années : Que se passe-t-il maintenant si les intérêts sont versés en deux fois, tous les 6 mois mais au taux de 50% évidemment à chaque semestre :

Date Intérêt Fortune 0 0 1

6 mois 50% de 1 = 0,5 1,5 1 an 50% de 1,5 = 0,75 2,25

Il vaut donc mieux pour moi, que les intérêts soient versés tous les 6 mois plutôt que tous les ans car j'ai 2,25€ au lieu de 2€ précédemment ! La formule se retrouve ainsi

⇒⇒⇒⇒ à 6 mois : Fortune = 1 + (1 x 50%) = 1 x (1+1/2) ⇒⇒⇒⇒ à 1 an : Fortune = [1x(1+50%)]x(1+50%) = [1x(1+1/2)]x(1+1/2)

= 1x(1+1/2)² ce qui fait bien 2,25 Quelle fortune possèderai-je au bout de 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? 20 ans ? Donne la formule générale permettant de trouver le montant de ta fortune en fonction du nombre d’années : Que se passe-t-il si les intérêts sont versés en 10 fois mais à un taux de 10% (10 x 10% = 100%) :


1/10 10% de 1 = 0,1 1,1 2/10 10% de 1,1 = 0,11 1,21 3/10 10% de 1,21 = 0,121 1,331 4/10 ? ?

? ? 1 ? ?

Finis de compléter le tableau.


On s'aperçoit que c'est de mieux en mieux car je gagne encore plus d'argent ! La formule se retrouve ainsi

⇒⇒⇒⇒ à 1/10 : Fortune = 1 + (1 x 10%) = 1 x (1+10%) ⇒⇒⇒⇒ à 2/10 : Fortune = [1x(1+1/10)]x(1+1/10) = 1 x (1+1/10)2 ⇒⇒⇒⇒ à 10/10 Fortune = 1x(1+1/10)10 = 2,593742

Petite précision sur la formule : le premier 1 (en gras) représente le montant placé au tout début. Si tu avais 50 € au début la fortune serait alors de 50 x (1+1/10)10 = 129,68€. Et on continue en découpant l’année en 100 échéances à 1% chacune


1/1000 1% de 1 = 0,01 1,01 2/100 1% de 1,01 = 0,0101 1,0201 3/100 1% de 1,0201 = 0,010201 1,030301 4/100 ? ? 5/100 ? ?

1 0,235795 2,593742

La formule est toujours la même : 1x(1+1/100)100 = 2,704813 Résultats calculés sous Excel

On s’aperçoit qu’au plus les échéances sont nombreuses au plus la fortune acquise est importante. Mais elle tend vers une limite qui a justement comme valeur le nombre « e » Attention : passée la ligne 13, le PC fait beaucoup d’erreurs d’arrondis Ce nombre « e » se retrouve souvent dans la nature et si tu continues au lycée puis en supérieur, tu le verras tous les jours en mathématiques, physique, chimie et biologie. Le but de ce défi est de répondre aux questions précédemment posées et de résumer avec tes mots et tes propres formules tout ce qui a été dit plus haut. Prends par ailleurs un exemple avec un budget initial de 800€ et dis ce que tu auras dans 10 ans avec les différentes méthodes de versements d'intérêts.


N°34 Et si on calculait Pi

Ce paragraphe ne réclame aucune réponse de ta part. Il ne compte donc pas pour le challenge MatChaDou. C'est juste une curiosité que tu peux lire pour tout savoir (ou presque) sur ce fameux nombre PI. - Jules : « π vaut 3,14 je le sais depuis longtemps» - Julie : « Non ! π vaut 3,1516 c’est marqué dans mon livre de maths» - Julien : « Vous n’y connaissez rien, π vaut 22/7 c’est mon père qui l’a dit » - Juliette : « Moi, je suis allée au Palais de la Découverte à Paris, et π s’écrit

avec tout plein de chiffres après la virgule, au moins 500 chiffres après la virgule ! »

Cherchons ailleurs : - Le Robert Collège : « 3,1415926… » - TI collège : « 3,1415926535 » - Excel : « 3,14159265358979 » - Calculatrice Microsoft : « 3,1415926535897932384626433832795 » - Quid : « Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages Immortel

Archimède, artiste, ingénieur. Qui de ton jugement peut priser la valeur ? Pour moi, ton problème eut de pareils avantages »

- Quid : 256/81 Seul le dictionnaire Robert semble dire vrai en introduisant une notion particulière ; en effet, il fait suivre 3,1415926 d’un signe particulier « … » qui veut dire « et ça continue indéfiniment » Pi, on le sait, n’est pas une fraction. Calculer Pi avec une grande précision est très difficile et ne va pas de soi ; les mathématiciens, depuis des siècles, ont inventé toutes sortes de formules astucieuses pour y arriver et toutes sont justes mais toutes entraînent un processus infini. Pour parvenir à une bonne approximation de π, il suffit alors de savoir s’arrêter avant d’atteindre l’infini, chose qu’il est d’ailleurs impossible d’atteindre même en utilisant l’ordinateur le plus puissant du monde pendant 500 milliards de siècles ! Il y aura toujours un chiffre après ! Ainsi donc, devant une telle fascination pour ce nombre mystérieux beaucoup de mathématiciens se sont attelés à la tache. Et tous utilisent la notion d’infini. Année 1593, François Viète invente la formule :

Λ×++×+×= ½½½½½½½½½2π

avec Λ11865480,70710678½ = (tiens voici à nouveau …) ; pas de chance car racine de un demi taquine lui aussi l’infini. Ci-contre, les résultats obtenus en utilisant le tableau Excel. La formule devient trop compliquée et Excel abandonne à la 10ème itération.


Année 1655, John Wallis trouve la formule suivante :

Λ××××××××=98

78

76

56

54

34

32

12

2π

Calcule π en partant de 212

2==π

donc π = 4 et donne sa valeur à

chaque nouveau membre ajouté. Arrête les calculs quand tu estimes que le résultat est suffisamment précis. Que voit-on apparaître dès le deuxième membre ? Ne peut-on pas faire disparaître ce problème d’infini 2/3=0,666666… en remarquant qu’il y a des 6 au 5° et 6° rang ? Les règles de simplification de fractions existent ! Utilise les ! Résultat de cette formule calculée à l’aide d’Excel (page suivante)

Année 1675, Leibniz et James Gregory

Λ++−+−+−=131

111

91

71

51

31

14π

« Le premier qui me dit qu’il faut réduire au même dénominateur je l’envoie faire π tours de Sainte Victoire en courant. »

Calcule π en commençant par 14

=π soit π = 4 et en rajoutant pour

chaque étape un nouveau membre de la formule. Arrête les calculs quand tu estimes que le résultat est suffisamment précis. Résultat de cette formule calculée à l’aide d’Excel (page suivante)

XVII° siècle, Lord Brouncker invente la fraction :

Λ++

++

+=

27

2

52

32

11

4

2

2

2

2π

Essaie de calculer π en étant de plus en plus précis et en commençant par … ce que tu veux !

XVIII° siècle, Leonhard Euler trouve plusieurs form ules :

F1 : Λ++++++=22222

2

61

51

41

31

21

16

π

F2 : Λ+−+−+−=33333

3

111

91

71

51

31

132π

F3 : Λ++++++=44444 6

151

41

31

21

190

4π

Voir les résultats calculés de ces trois formules avec Excel sur les pages suivantes On remarque que le signe signifiant « à l’infini » (…) apparaît systématiquement dans toutes les formules. Alors les mathématiciens ont inventé un terme qui permet de simplifier l’écriture de ces formules.


Réécrivons les trois formules trouvées par Euler avec la lettre grecque sigma :

F1 : ∑∞

=

=1

2

2 16

nn

π

Ce qui s’annonce : « Somme de 1 à l’infini de l’inverse du carré.». Essaie d’écrire la formule n° 3 à l’aide du symbole sigma. Pour le fun, voilà la formule de Jonathan et Peter Borwein trouvée en 1985 :

( )( ) ( )∑

∞

= ×+×=

042 994

263901103

!

!49801

221

nn

n

n

nπ

et en 1997 David Bailey, Peter Borwein et Simon Plouffe font cette découverte :

∑∞

=

+−

+−

+−

+=

0161

681

581

482

184

n

n

nnnnπ

Année 1655, John Wallis: Λ××××××××=98

78

76

56

54

34

32

12

2π

La convergence est très lente

Année 1675, Leibniz et James Gregory : Λ++−+−+−=131

111

91

71

51

31

14π



XVIII° siècle, Leonhard Euler F1 : Λ++++++=22222

2

61

51

41

31

21

16

π



XVIII° siècle, Leonhard Euler F1 : Λ+−+−+−=33333

3

111

91

71

51

31

132π


La convergence est rapide.

XVIII° siècle, Leonhard Euler F3 : Λ++++++=π44444

4

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

90


La convergence est rapide.


N°35 Le triangle dans le carré

Soit un carré ABCD de côté 1 mètre. M est le milieu de BC N est le milieu de AD. Quelle est la surface du triangle AMN?

A B

C D

M

N


N°36 L'expansion de l'univers

Considérons l’univers comme un sphère de rayon 10 (peu importe l’unité de mesure). Un engin spatial part du centre de cette sphère et cherche à atteindre les limites de cette univers sphérique. Il avance à la vitesse de 1 par an. En toute logique il mettra 10 ans pour atteindre la limite de l’univers. Sauf que … sauf que l’univers est en expansion, cela a été quasiment prouvé par les astrophysiciens et les cosmologistes. Disons, pour simplifier, que tous les ans il « grandit » de 10% (c'est à dire augmente dans un rapport de 1,1) Pour simplifier les calculs, on considère que l’univers s’étend une fois par an, instantanément de 10% (en réalité son expansion est continue). Donc au bout d’un an, l’univers mesure 10 + (10% de 10) = 10 + 1 = 11. Questions :

• De combien l’univers a grandi au bout d'1 an, 2 ans, 3 ans etc. ? • Quelle distance a parcourue l’engin spatial au bout d'1 an, 2 ans, 3 ans

etc. ? • Est-ce que l’engin spatial arrivera à son but c'est à dire les limites de

l'univers ? • Si oui, combien d'années mettra-t-il ?

Mêmes questions mais avec une dimension initiale de l’univers de 11. Conseil : Utilise Excel plutôt que ta calculette et ne va pas plus loin que 200 années.

Développe tes conclusions.


N°37 La figure géométrique mystère

Suis bien précisément les instructions suivantes pour deviner quelle figure géométrique tu vas dessiner. Trace un cercle de centre O. Trace un diamètre AM Trace un rayon ON perpendiculaires entre à AM. Place le point I se trouvant sur le segment OM à une distance de O égale à ¼ de OM Place le point J au milieu du segment ON Trace le cercle de centre I et de rayon IJ Trace une droite parallèle à ON et tangente au cercle de centre I et coupant le segment OA. Cette droite coupe le cercle de centre O en B et E. Trace une droite parallèle à ON et tangente au cercle de centre I et coupant le segment OM. Cette droite coupe le cercle de centre O en C et D. Rejoins enfin les point A, B, C, D et E. Comment s’appelle la figure ABCDE ? Indice :

� le décathlon est une épreuve sportive comportant 10 épreuves � le pentathlon est une épreuve sportive comportant 5 épreuves � le triathlon est une épreuve sportive comportant 3 épreuves � l’heptathlon est une épreuve sportive comportant 7 épreuves


N°38 Tu es nommé "Ministre de la famille" en Inde

Dans le tableau ci-dessous est donné le nombre d’habitants en Inde depuis 1800. Le nombre d’habitants est exprimé en millions d’individus. Tu as été choisi comme Ministre de la famille et ton objectif est de réduire la natalité dans ce pays car l’explosion démographique guette avec ses conséquences désastreuses, famine, santé, chômage, logements précaires etc.

Année 1800 1850 1900 1939 2003 2025 2050 Population 130 179 295 454 1 068 1 363 1 630

Tu as pris la décision de mettre en oeuvre un système de contrôle des naissances pour les couples souhaitant fonder une famille qui consiste à arrêter les maternités dès que le couple a deux enfants de sexe opposé. Quelle sera la taille moyenne d’une famille si tu appliques cette politique ? Avant de répondre à cette question (difficile) réponds aux questions suivantes : Question 1 : Quelle chance a-t-on d’avoir une fille comme premier enfant ? Rappel : Une probabilité se calcule en divisant le nombre de cas favorables par

le nombre de cas possibles. Ici le nombre de cas possibles est 2 puisque le couple peut avoir un garçon ou une fille. Le nombre de cas favorable est 1, une fille. La probabilité (la chance d’avoir …) est donc 1/2

Question 2 : Quelle chance a-t-on d’avoir un garçon comme premier enfant ? Question 3 : Quelle chance a-t-on d’avoir deux enfants : un garçon puis une fille ? Question 4 : Quelle chance a-t-on d’avoir deux enfants : une fille puis un garçon ? Question 5 : Quelle chance a-t-on d’avoir deux enfants répondant aux critères de la

politique décidée ? Question 6 : Quelle chance a-t-on d’avoir trois enfants répondant à ta politique? Question 7 : Quelle chance a-t-on d’avoir quatre enfants répondant à ta politique? Construis un tableau résumant toutes les probabilités répondant à ta politique :

Nb enfants 2 3 4 5 6 7 8 … n

Probabilité 21

… … … … … … … …

Conclusions …

?


N°39 Ce matin un lapin a tué un chasseur

Ce matin, donc, 2 lapins ont décidé de partir à la chasse. Ils ont chacun un fusil. Tout à coup, ils voient 2 chasseurs en face d’eux en train de « casser la croûte ». Les lapins, dans un sentiment de puissance et de victoire les mettent en joue. Mais attention :

� un lapin ne peut tirer qu’un seul coup de fusil � un lapin ne peut pas savoir sur quel chasseur tire son copain � chaque lapin choisit sa victime au hasard � les 2 lapins tirent en même temps

On te propose de savoir combien de chasseurs survivront et pourront finir leur « casse croûte ». Raisonnement :

Prends chaque chasseur à tour de rôle. Quels sont toutes les manières qu’ont les deux lapins de tirer ? Fabrique un tableau comme celui-ci :

Chasseur1 Chasseur2 … … … …

Tu peux représenter par la lettre A le fait que c’est le lapin n° 1 qui a tiré et par la lettre B que c’est le lapin n° 2. Inscrit dans le tableau les différentes combinaisons de tirs des lapins (représentées par des combinaisons de A et B)

Combien de chance chaque chasseur a-t-il d’être tué ?

Rappel : la probabilité est le nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles. Pour chaque combinaison de tirs, tu peux préciser le nombre de chasseurs restant vivants et en déduire la réponse à la question initiale : « Combien de chasseurs survivront et pourront finir leur casse croûte » Mêmes questions avec 3 lapins et 3 chasseurs (Attention c'est plus difficile)


N°40 Logique

Défi n° 1 « Qui a parlé ? » demande le professeur. « C’est Jean » dit Claire. « Ce n’est pas moi » dit Bernard. « Ce n’est pas Bernard » dit Jean. « C’est Bernard » dit Julie. Un seul des quatre enfants dit la vérité. Qui a chanté ?

Défi n° 2

C’est Noël et cette année tu as le choix entre deux cadeaux. Dans chacun des deux paquets il y a soit un ordinateur dernier cri, soit un bonbon à la moutarde en sachant que toutes les combinaisons sont possibles ; il pourrait y avoir deux PC ou deux bonbons ou un PC et un bonbon. Comment choisir ? Sur les deux paquets sont collées des étiquettes, une des étiquettes dit la vérité et l’autre ment.

Défi n° 3 C’est toujours Noël et tu vas chez tes grands-parents où tu retrouves les même conditions : tu as le choix entre un billet pour Tahiti et une sucette aux petits pois. Comment choisir ? Sur les deux paquets sont collées des étiquettes, elles sont vraies toutes les deux ou bien elles sont fausses toutes les deux.

Défi n° 4 C’est toujours Noël et tu vas chez ton oncle où tu retrouves les même conditions : tu as le choix entre un VTT et une boîte d’épinards. Comment choisir ? Sur les deux paquets sont collées des étiquettes, elles sont vraies toutes les deux ou bien elles sont fausses toutes les deux.

Pour ces 4 défis de logique, tu dois décrire la façon dont tu as raisonné et comment tu es arrivé à la solution. Écris, par exemple, des phrases de la forme :

« Si … dit la vérité alors ……. donc …… »

Il y a un PC dans ce paquet et un bonbon dans

l’autre.

Il y a un PC dans un paquet et il y a un bonbon

dans un paquet.

Une au moins des deux paquets contient un billet

pour Tahiti.

Il y a la sucette aux petits pois dans l’autre paquet.

Il y a une boîte d’épinards dans ce paquet ou il y a

un VTT dans l’autre.

Il y a un VTT dans l’autre cellule.


N°41 Deux mille trois cent dix

Défi n° 1

Il y a beaucoup de rectangles dont le périmètre mesure 2310 cm. A condition que la largeur et la longueur soient des nombres entiers, combien y a-t-il de rectangles différents ayant ce périmètre ?

Défi n° 2 Il y a beaucoup de rectangles dont la surface mesure 2310 cm². A condition que la largeur et la longueur soient des nombres entiers, combien y a-t-il de rectangles différents ayant cette surface ?

Défi n° 3 Puisqu’on parle du nombre 2310, combien existe-t-il de façons différentes de l’écrire sous la forme du produit de 3 nombres entiers différents de 1 ?


N°42 Pliages

Prends une feuille A4 de papier (feuille de taille classique). Si tu la plies en deux sur elle-même plusieurs fois de suite, tu ne pourras pas le faire plus de 7 fois. (Prends une feuille de brouillon déjà écrite) L’épaisseur d’une feuille de papier fait 0,1 mm d’épaisseur. Quelle est l’épaisseur obtenue après 7 pliages ? Quelle est l’épaisseur obtenue après 20 pliages ? Es-tu sûr du résultat ?


N°43 Triangle de triangles

Il faut 1 cl d’encre noire pour tracer le triangle ci-contre Combien faut-il d’encre noire pour dessiner cette pyramide de triangles ayant 100 niveaux

Etc. jusqu’à 100

1

2

3

4


N°44 Le pâtissier rangeant ses gâteaux

Un pâtissier a fait un kilogramme de gâteaux. Chaque gâteau pèse plus de 10 grammes. Il désire les ranger de façon impeccable dans une boîte. Malheureusement, il s’aperçoit que s’il veut les ranger par rangées de deux, de trois, de quatre, de cinq ou de six, il lui en reste un à chaque fois. Combien a-t-il fait de gâteaux ? La réponse seule ne suffit pas, tu dois décrire ta façon de faire.


N°45 La pyramide de Djoser à Saqqarah

Vers 2800 av J.-C., Imhotep, architecte égyptien de la III° dynastie, construisait des pyramides à degrés. Pour cela, il utilisait d’énormes pierres, toutes identiques, qu’il superposait les unes aux autres de la façon suivante : Sur un papyrus trouvé dans la salle du tombeau du pharaon Djoser, les archéologues ont pu déchiffrer que l’architecte Imhotep avait commandé 1020 blocs de pierres aux carrières voisines. Peux-tu en déduire le nombre de degrés (d’étages) de la pyramide et l’erreur de commande faite par Imhotep ? Décris ton raisonnement. Remarque : jamais personne n’a construit de pyramide de ce style :


N°46 L algorithme de Syracuse

Ceci est un organigramme. Il représente les différentes fonctions d’une machine (ordinateur) Le début se trouve en haut. Le traitement est terminé lorsque l’on atteint la balise triangulaire. Un rectangle symbolise un calcul à faire. Un losange est une balise à laquelle on peut répondre par oui ou par non Chaque fois que l’algorithme passera sur l’instruction « Écrire N », la machine imprimera la valeur que N possède à ce moment là. Choisis comme nombre de départ l’entier 9 et simule le fonctionnement de cette machine. Tu écriras donc la valeur de N chaque fois que tu passeras sur l’instruction « Écrire N » Idem avec 19 comme valeur de départ. Idem avec 27 Idem avec 1024 Depuis longtemps, de nombreux mathématiciens se sont posé la question suivante : « Est-ce que cet algorithme se termine toujours ? » Aujourd'hui ils ont essayé tous les nombres entiers jusqu’à des valeurs incroyablement élevées mais l’algorithme se termine toujours. Peut-on en déduire qu’en effet, cet algorithme se terminera toujours ? Développe ta réponse. Que se passe-t-il si tu transformes l’instruction « Ajoute 1 à N » par l’instruction « Soustrait 1 à N » ?

Est-il pair ?

fin

Divise N Multiplie N

Ajoute 1 à N

N = 1 ?

Écrire N

Choisis un entier

N

oui non

non

oui


N°47 Algorithmique

Voici un organigramme représentant un calcul fait à partir d’un nombre initial N que tu peux choisir : Est-ce que cet organigramme traduit un programme qui se termine un jour ? Pourquoi ? S’il ne se termine jamais, inverse seulement deux instructions pour qu’il se termine. Explique pourquoi tu as choisis cette inversion. Que fait ton nouveau programme ?

Choisis un entier N

Multiplie N par 2

Ajoute 1 à N

Multiplie N par 3

Est-ce que N est pair ?

Écrire N

oui non

Divise N par 3

fin


N°48 Effet de perspective à l infini

Lors du cours d’arts plastique, le professeur nous a demandé d’effectuer un travail de perspective en s’aidant d’un grand carré découpé en 25 petits carrés. Au moment où j’étais au tableau pour présenter mon dessin à toute la classe, le professeur de mathématiques est entré et, voyant mon beau dessin, a demandé : « Quelle fraction du grand carré représente la partie grisée ? » Réponds à la question et explique comment tu as raisonné.


N°49 Jeu de dés toujours gagnant

Onze amis lancent depuis des heures deux dés à six faces. Si la somme des deux dés donne 2, c'est le premier joueur qui gagne; si elle donne trois, c'est le deuxième joueur, et ainsi de suite jusqu'au onzième joueur qui gagne lorsque le résultat est 12. A ce jeu, un des joueurs est presque certain de gagner. Lequel, et pourquoi?


N°50 L'appel au collège

Au collège Château Double d’Aix-en-Provence, il a été décidé de faire un nouveau bâtiment ultra moderne, tout en verre et aluminium et ne comprenant que des salles de classe. L’architecte, pour gagner le maximum de place, a eu la fabuleuse idée de supprimer les couloirs.

Seize classes sont prévues et se présentent comme indiqué sur le plan ci-dessous

Chaque classe peut communiquer avec celles qui lui sont adjacentes par une porte

comme cela est indiquée sur le plan. Il y a une porte d’entrée au bâtiment et une porte de sortie (indiquées par les deux

flèches sur le schéma) Tout le monde est d’accord pour ce projet sauf la Vie Scolaire qui fait remarquer qu’il

sera peut-être impossible de faire l’appel dans toutes ces classes sans repasser deux fois dans au moins une classe ce qui aura pour effet de perturber les cours.

A ton avis, est-ce qu’un surveillant peut passer dans toutes les classes une fois et

une seule ? Quel doit-être son trajet ?


N°51 Gare de triage

Dans la gare de triage de Marseille Saint Charles se trouvent : • Une locomotive de 20 m de long • Un wagon A de 5 m de long • Un wagon B de 5 m de long

La gare se présente ainsi : Ta mission, si tu l’acceptes, en temps que conducteur de locomotive est d’inverser les wagons A et B tout en remettant la locomotive en place avec le moins de manœuvres possible (il y en a 23 au minimum). Tout déplacement compte pour une manœuvre. Il faut accrocher un wagon pour le tirer ou le pousser. Il faut s'arrêter pour accrocher ou décrocher. La locomotive peut accrocher un wagon par l’arrière ou l’avant Décris précisément chaque manœuvre comme ci-après (début des manœuvres) :

� Manoeuvre 1 : Loco avance et arrête au 25 m � Manoeuvre 2 : Loco recule et accroche B � Manoeuvre 3 : Loco + B avance et arrête au 25 m � Manoeuvre 4 : etc.

5 m

25 m

Locomotive 20 m

Wagon A 5 m

Wagon B 5 m

Zone de dégagement


N°52 Mots croisés et cases noires

2 2 1 1 2 2 1 1

Les chiffres autour du carré indiquent le nombre de cases noires dans chaque ligne ou colonne. Combien peux-tu tracer de carrés remplissant l'ensemble de ces conditions? La réponse est 34 possibilités. Mais quelles sont ces possibilités ? Explique comment tu as raisonné pour être sûr de trouver les 34 possibilités.


N°53 M. Fermat et mon petit frère

Mon petit frère Paul de 4 ans s’amusait l’autre jour avec ses cubes. En les superposant tous, il arrive à former un grand cube. Ensuite, en superposant à nouveau tous ses cubes, il arrive à former deux cubes de tailles différentes. Comment Paul a-t-il fait ?

a

b c

collège château double aix-en-provence

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