colles physique spe

Khlles de physique en MP* Lyce Louis le Grand http://shadowlord.free.fr

Exercices de Khlles de physique

Lyce Louis le Grand, Paris, France

Igor Kortchemski

MP*2 - 2006/2007

Table des matires

1 Semaine 1 - Ondes unidimensionnelles, optique ondulatoire 1

2 Semaine 3 - Interfrences, interfromtre de Michelson 2

3 Semaine 5 - Diraction 3

4 Semaine 7 - lectromagntisme 3

5 Semaine 9 - lectromagntisme 4

6 Semaine 11 - Thermodynamique, chimie 5

7 Semaine 13 - Thermochimie, induction 5

8 Semaine 15 - Induction, propagation des ondes lectromagntiques 6

9 Semaine 17 - Propagation des ondes lectromagntiques, chimie 6

10 Semaine 19 - Chimie, ltres, rayonnement dipolaire 7

11 Semaine 21 - Conduction thermique, rayonnement 7

12 lments de rponse 9

12.1 Semaine 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

12.2 Semaine 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

12.3 Semaine 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

12.4 Semaine 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

12.5 Semaine 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Semaine 1 - Ondes unidimensionnelles, optique ondulatoire

Khlleur: M. Sauvage.

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Exercice 1.1 (Ligne bilaire). Une tranche innitsimale d'paisseur dx d'une ligne lctrique bilairepeut tre modlise par le schma de la gure 1, comportant une inductance lmentaire dL = dx etune capacit lmentaire dC = dx.

Fig. 1 Exercice 1.1

1. Justier que l'on puisse se placer dans le cadre de l'ARQS.

2. tablir deux quations aux drives partielles couples reliant l'intensit i(x, t) et la tension v(x, t). Endduire que ces grandeurs sont solutions d'une quation de d'Alembert unidimensionnelle et exprimer la

clrit c correspondante.

3. Dans le cas d'une onde progressive se propageant selone

uz, montrer que le rapport v(x,ti(x,t) est uneconstante lie aux caractristiques de la ligne. Que vaut le mme rapport pour une onde progressive se

propageant selon uz ? On ferme en x = 0 une ligne semi-innie, s'tendant de x = x = 0 sur unersistane R ; on nglige les phnomnes de propagation dans R. quelle condition une onde progressivepeut-elle se propager selon

ux sur cette ligne semi-innie ?4. Dans le cas o la ligne semi-innie est ferme en x = 0 par un court-circuit et o une onde progressiveharmonique incidente vi(x, t) = A cos(t kx) est mise en x = , dterminer la tension v(x, t) et lecourant i(x, t) en tout point de la ligne.

Exercice 1.2 (Bulle de savon). Juste avant l'clatement d'une bulle de savon, on observe une kyrielle

de direntes couleurs sa surface. Expliquer pourquoi.

2 Semaine 3 - Interfrences, interfromtre de Michelson

Khlleur: M. Lavault.

Exercice 2.1. S1 et S2 sont deux sources ponctuelles incohrentes. On suppose que l'cran opaque Elimine seulement toute la lumire directe (voir la gure 2).

Qu'observe-t-on sur l'cran au voisinage du point E ? Les deux sources sont monochromatiques, de mmelongueur d'onde dans le vide note .Les miroirs M1 et M2 sont supposs parfaits.

Exercice 2.2 (Dispersion d'un faisceau laser). On considre un faisceau laser se propageant suivant la di-

rection (Oz) et dont l'amplitude est caractrise par une distribution normale dans tout plan z =constante :

a(x, y) = A exp(x2 y2).

1. Calculer l'amplitude diracte dans la direction formant un angle avec l'axe (Oz).

2. Dnir et calculer la dispersion angulaire.

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Fig. 2 Exercice 2.1

3 Semaine 5 - Diraction

Khlleur: M. Logeais.

Exercice 3.1. Comparer les gures de diraction l'inni obtenues dans les deux cas suivants (gure

3). Le systme est d'extension innie et peut tre tudi comme un rseau idal.

Fig. 3 Exercice 3.1

4 Semaine 7 - lectromagntisme


Exercice 4.1 (Proprit des lignes de champ). On considre N charges q1, q2, . . . , qN rparties sur l'axe(Oz). Montrer que l'quation d'une ligne de champ est de la forme :

Ni=1

qi cos(i) = cte,

o les angles i sont dnis sur la gure 4.

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Fig. 4 Exercice 4.1

Exercice 4.2 (Sphre mettrice de charges). Une petite sphre radioactive de rayon a, initialementneutre, met de faon isotrope par sa surface n charges q par unit de temps, avec une vitesse radiale vde norme v constante.Dterminer, un instant t, la rpartition de charges et de courants correspondants.

5 Semaine 9 - lectromagntisme


Exercice 5.1. On considre une boule uniformment charge avec une charge Q, tournant sur elle-mmeavec un vecteur de rotation

.1. Calculer le champ magntique cr au centre de la boule.

2. Calculer le moment magntique induit.

Exercice 5.2. Une sphre S de rayon R porte la charge initiale Q0.Son centre est distance d R de l'origine. Une autre sphre S (identique S) est centre en O etpose sur une pointe conductrice relie au sol par un l conducteur (voir gure 5).

On dplace S jusqu' l'amener au contact de S, puis on la ramne dans sa position initiale.Quelle est la charge porte par S aprs cet aller-retour ? Gnraliser au cas de n allers-retours.

Fig. 5 Exercice 5.2

Exercice 5.3. On considre un condensateur plan dont les armatures sont distantes de l. L'une desarmatures est porte au potentiel nul et la seconde au potentiel V0. On introduit dans l'espace inter-armatures une petite sphre de charge Q et de rayon R de sorte que la distance entre la sphre etl'armature au potentiel nul soit x. On suppose que la sphre n'inuence pas le condensateur, en ce sensque la rpartition surfacique de charges reste uniforme sur les deux armatures.

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1. Calculer le potentiel de la sphre en fonction de Q.

2. Calculer la force exerce sur la sphre.

Exercice 5.4. Estimer la dirence de potentiel lectrique entre la base et le sommet de la tour Eiel.

6 Semaine 11 - Thermodynamique, chimie


Exercice 6.1. On considre un tore divis en deux compartiments, qui contiennent le mme gaz. Ce

systme est plac dans un champ gravitationnel

g et thermostat la temprature T0. Les piston infrieurest xe, et le piston suprieur est mobile ; on repre sa position par l'angle (voir gure ??).

1. Dterminer les positions d'quilibre.

2. Discuter la stabilit des quilibres obtenus.

3. Dnir et calculer la capacit thermique du systme.

Fig. 6 Exercice 6.1

7 Semaine 13 - Thermochimie, induction


Exercice 7.1. Un diple magntique, de moment dipolaire

M , plac en O, tourne dans le plan xOy avecune vitesse angulaire constante gale 0. Une spire, situe dans un plan parallle yOz, dont l'axe estla droite (Ox), est une distance D du diple. Son rayon vaut a, sa rsistance R, son inductance propreL.Dterminer le couple moyen < > que l'oprateur doit exercer sur le diple pour que la vitesse angulairedemeure constante.

Solution

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8 Semaine 15 - Induction, propagation des ondes lectromagntiques


Exercice 8.1 (Question de cours). tablir la relation de dispersion caractrisant la propagation d'une

onde transversale lectro-magntique dans un plasma localement neutre.

Exercice 8.2. On considre la propagation d'une onde transversale lectro-magntique de pulsation dans un conducteur inni de conductivit , vriant 0. tablir la relation de dispersion, calculerla vitesse de phase, la vitesse de groupe. Calculer la vitesse de propagation de l'nergie. Commentaires.

Solution

9 Semaine 17 - Propagation des ondes lectromagntiques, chimie


Exercice 9.1. On considre une cavit cylindrique de forme arbitraire, taille l'intrieur d'un conduc-

teur parfait et d'axe (Oz) (on se place en coordonnes cartsiennes) : voir gure 8.

Fig. 7 Exercice 9.1

On cherche des ondes se propageant l'intrieur de ce guide sous la forme :

E = e (x, y)ei(kzt), B = b (x, y)ei(kzt).1. Justier et commenter ces deux expressions. Que peut-on dire sur la forme de cette onde lectro-

magntique ?

Dans la suite, on cherche un mode transversal lectromagntique : on suppose que

e et bn'ont pas de composante suivant

u z.

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2. On ne se proccupe pas (encore) des conditions aux limites. Trouver des relations corrlant

e etb (on utilisera l'quation de Maxwell-Faraday).

3. En dduire que

e et b sont orthogonaux. Montrer qu'il existe un champ scalaire (x, y) tel quee = grad .4. quelle(s) relation(s) doit satisfaire pour que les quatre quations de Maxwell soient vries ?Analogie avec un autre phnomne connu ? Quelle est la relation de disperstion ? Commenter cette

relation.

5. Montrer qu'une condition ncessaire et susante pour que les conditions aux limites soient vries

est que soit uniforme sur la surface des deux conducteurs.

6. Dans le cas o les deux surfaces sont des cylindres de rvolution, donner l'expression de .

Solution

10 Semaine 19 - Chimie, ltres, rayonnement dipolaire


Exercice 10.1 (Antenne demi-onde). Une antenne liforme colinaire l'axe (Oz), de longueur L = 2 ,centre l'origine O, est le sige d'un courant sinusodal d'intensit i(z, t)=I0 cos(2pi z) exp(jt) =I(z) exp(jt) avec /c = 2pi/.1. Calculer le chap lectromagntique rayonn par l'antenne en un point M situ une distance r del'origine grande devant .

2. Calculer la puissance moyenne rayonne par l'antenne par unit d'angle solide.

3. Sachant que : pi0

cos(pi2 cos )sin

d = 1, 22

calculer la puissance moyenne totale P rayonne par l'antenne.4. On dnit la rsistance de rayonnement de l'antenne par P = R0I2eff o Ieff est l'intensit ecacela parcourant. Calculer R0.

Solution

11 Semaine 21 - Conduction thermique, rayonnement


Exercice 11.1 (Gel d'un lac). On considre un lac de profondeur h.

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Fig. 8 Exercice 10.1

1. La temprature de surface est de 20oC, celle du fond de 10oC. Dcrire le systme l'quilibrethermique.

2. Tout est l'quilibre 10oC. La temprature de surface chute brutalement 20oC. Dterminerun temps caractristique d'tablissement de l'quilibre thermique.

Donnes :

- eau = 0, 55W.m1.K1, glace = 2, 1W.m1.K1

- ceau = 4, 217 kJ.kg1T1, cglace = 2, 06 kJ.kg1T1

- lf (0oC) = 333 kJ.K1.

Solution

Exercice 11.2 (Eet de serre). La constante solaire 0, ux surfacique d'nergie incidente, vaut 0 =650W.m2.

1. En considrant la Terre comme un corps noir parfait, dterminer la temprature d'quilibre de la

Terre.

2. On modlise l'atmosphre par la superposition de deux couches transparentes au rayonnement so-

laire mais qui se comportent comme des corps noirs parfaits dans le domaine de l'infrarouge.

Dterminer la nouvelle temprature d'quilibre de la Terre.

Solution

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12 lments de rponse

12.1 Semaine 13

Exercice 7.1. Analyse physique : le ux du champ magntique cr par le diple (que l'on peut calculeravec le thorme de Neumann) travers la spire dpend du temps. Un courant est donc induit dans la

spire, qui se calcule en rsolvant l'quation direntielle linaire du premier ordre en i, ddt Ldidt = Ri.Ce courant cre son tour un champ magntique

B i au voisinage du diple, qui va tre par consquent

soumis au couple

=

M B . Le couple exerc par l'oprateur est nalement l'oppos de la valeurmoyenne de

.On trouve (modulo les erreurs de calculs) :

=OR

(0M2aL

)2 (a2

a2+D2

)32((

RL

)2 + 20) .Le signe de est bien conforme la loi de Lenz.

12.2 Semaine 15

Exercice 8.2. Introduire l'paisseur de peau =

20. On trouve que la vitesse de phase vaut ,

que la vitesse de groupe vaut 2 et que la vitesse de propagation de l'nergie (pour le calcul, voir quel'nergie lectrique est ngligeable par rapport l'nergie magntique) vaut . Conclusion : la vitessede propagation de l'nergie n'est pas toujours gale la vitesse de groupe ! C'est ce qui se passe dans ce

milieu absorbant.

12.3 Semaine 17

Exercice 9.1.

1. On reconnat les expressions d'ondes progressives harmoniques se propageant suivant les z crois-

sants. L'invariance par translation par rapport l'axe (Oz) conduit supposer que e et b sontindpendants de z. Ici, l'onde n'est PAS plane : il faut donc faire trs attention (en particulier, rien

ne nous dit que la relation de dispersion va tre k = wc ) et on ne peut pas crireB =

u Ec .

2. De

rotE =

Bt :

eyzexzeyx exy

=iwbxiwby0

Ainsi :

bx = kwey, by =

k

wex,

eyx ex

y= 0.

3. Il vient

e .b = exbx + eyby = 0 et rote = 0 grce ces relations (ne pas oublier que e estindpendant de z). En posant e = grad , on a :

ex = x

, ey = y

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4. La relation de Maxwell-Gauss impose

exx +

eyy = 0, soit :

4 = 0.C'est l'quation vrie, en lectrostatique, par le potentiel dans une rgion vide de charges.

Les relations de Maxwell-ux et Maxwell-Faraday sont alors vries. L'quation de Maxwell-

Ampre fournit nalement (aprs calculs, o l'on fait attention la drivation par rapport z) :(k2 w

2

c2

)

x= 0,

(k2 w

2

c2

)

y= 0.

Si l'on veut caresser l'espoir de satisfaire aux conditions aux limites, il faut donc :

k =w

c.

Il n'y a donc pas de dispersion : l'onde se propage sans se dformer, ce qui est sympathique pour

transporter de l'information :-).

5. Une condition ncessaire et susante est que la composante tangentielle de

E soit nulle au niveau

de la surface du conducteur, ce qui s'crit (en un point S de cette surface) 0 = e .ut = grad .ut ,o

ut est un vecteur unitaire contenu dans le plan localement tangent en S cette surface.Considrons un petit dplacement d

M sur cette surface. Comme d

M appartient au plan :

grad .d

M = 0,

ou encore d = 0. Ainsi est constante sur ces surfaces.6. Le laplacien en coordonnes cylindriques d'un champ ne dpendant que de r s'crit :

4 = 1r

(r r

)r

.

D'o (r) = A ln( rr0 ).

12.4 Semaine 19

Exercice 10.1. Analyse physique : un lment de longueur dz, situ la cote z, est assimil un dipole

de moment dp vriant i(z, t)dzuz = d(dp (z,t))dt . On en dduit le champ total rayonn dans la zone de

rayonnement en superposant le champ cr par chacun de ces diples lmentaires.

12.5 Semaine 21

Exercice 11.1.

1. crire la continuit du ux thermique l'interface.

2. En supposant que la variation de temprature est linaire dans la glace et dans l'eau [hypothse

vrier la n, le temps caractristique d'tablissement du rgime quasi-stationnaire tant i =L2/Ki, o Ki = /ci est la diusitivit thermique], crire un bilan d'nergie sur le volume deglace se formant la hauteur z, la hauteur de glace augmentant de dz pendant un temps dt. Parconsidrations dimensionnelles, en dduire le temps caractristique . Il reste vrier que i,i = glace, eau.

Exercice 11.2. Il sut d'crire les dirents quilibres radiatifs.

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1 Semaine 1 - Ondes unidimensionnelles, optique ondulatoire2 Semaine 3 - Interfrences, interfromtre de Michelson3 Semaine 5 - Diffraction4 Semaine 7 - lectromagntisme5 Semaine 9 - lectromagntisme6 Semaine 11 - Thermodynamique, chimie7 Semaine 13 - Thermochimie, induction8 Semaine 15 - Induction, propagation des ondes lectromagntiques9 Semaine 17 - Propagation des ondes lectromagntiques, chimie10 Semaine 19 - Chimie, filtres, rayonnement dipolaire11 Semaine 21 - Conduction thermique, rayonnement12 lments de rponse12.1 Semaine 1312.2 Semaine 1512.3 Semaine 1712.4 Semaine 1912.5 Semaine 21

colles physique spe

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