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Code_Aster Version default Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 1/31 Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0 Organisme(s) : EDF/IMA/MMN Manuel de Validation Fascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaire Document : V3.90.001 SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique Résumé : Le but de cette note est d'exposer la méthode de calcul utilisée pour déterminer la solution de référence du cas-test SSLL 14, intitulé : "Portique plan articulé en pied". On utilise la méthode des forces (hyperstaticité 1), en ne tenant compte que de l'énergie de flexion : hypothèse poutres élancées. On considère quatre cas de charge séparément. Manuel de validation Fascicule v3.90 : Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 1/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

Organisme(s) : EDF/IMA/MMN

Manuel de ValidationFascicule V3.90 : Références théoriques de tests en statique linéaireDocument : V3.90.001

SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique élastique

Résumé :

Le but de cette note est d'exposer la méthode de calcul utilisée pour déterminer la solution de référence du cas-test SSLL 14, intitulé : "Portique plan articulé en pied".

On utilise la méthode des forces (hyperstaticité 1), en ne tenant compte que de l'énergie de flexion : hypothèse poutres élancées.

On considère quatre cas de charge séparément.

Manuel de validation Fascicule v3.90 :

Document diffusé sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 2/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

Table des matières

1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie sur ......................................................4

1.1 Réactions d'appuis isostatiques..........................................................................................4

1.2 Sollicitations.......................................................................................................................5

1.3 Diagrammes.......................................................................................................................6

2 Sollicitations sous force concentrée (vers le bas)....................................................................7

2.1 Réactions d'appui...............................................................................................................7

2.2 Sollicitations.......................................................................................................................7

2.3 Diagrammes ( vers le bas)..................................................................................................8

3 Sollicitations sous la force concentrée (vers la gauche)..........................................................8

3.1 Réactions d'appui...............................................................................................................8

3.2 Sollicitations.....................................................................................................................10

3.3 Diagrammes.....................................................................................................................10

4 Sollicitations sous le couple concentré (positif)....................................................................11

4.1 Réactions d'appui.............................................................................................................11

4.2 Sollicitations.....................................................................................................................11

4.3 Diagrammes ( positif)......................................................................................................12

5 Sollicitations sous le moment hyperstatique.........................................................................13

5.1 Réactions d'appui.............................................................................................................13

5.2 Sollicitations.....................................................................................................................13

5.3 Diagrammes.....................................................................................................................15

6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en ...............................................................15

6.1 Réactions d'appui.............................................................................................................15

6.2 Sollicitations.....................................................................................................................16

6.3 Diagrammes.....................................................................................................................16

7 Détermination du moment hyperstatique..............................................................................17

7.1 Charge répartie sur .........................................................................................................19

7.2 Charge ponctuelle en ......................................................................................................20

7.3 Charge ponctuelle en ......................................................................................................21

7.4 Couple ponctuel en ........................................................................................................23

7.5 Récapitulatif.....................................................................................................................24

8 Calcul du déplacement en ......................................................................................................24

8.1 Charge répartie sur .........................................................................................................24

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 3/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

8.2 Charge ponctuelle en ......................................................................................................25

8.3 Charge ponctuelle en ......................................................................................................25

8.4 Couple ponctuel en ........................................................................................................27

8.5 Calcul de .........................................................................................................................27

8.6 Récapitulatif des déplacements et ..................................................................................29

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 4/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

l

y

pC

C 1 C 2

F1Γ

β

αa

h

xBA

F2

On considère le portique ci­contre, soumis à diverses charges.   Hyperstaticité de degré 1. Inconnue hyperstatique : X  : moment en C .  Chargement vertical réparti  p sur C1 C . Deux forces  F1, F2, et un couple Γ en C1.

C

BAVA

HA HB

VB

tg α = 2al

= 0,4 ⋅ ⇒ cosα( )−1 = 1,16 =1, 077033( )tg β = l

2 a +h( )= 1

1,2

b = l2cosα

; sinα = ab

1 Sollicitations isostatiques sous charge réelle répartie p sur C C1

1.1 Réactions d'appuis isostatiques

H H V Vp

Vp

A B A B B+ = + = =02 8

2

;cos

;cos

α α

La partie CB est articulée et chargée seulement à ses extrémités :

H

VH VB

BB B

∧ = ⇔ = − ⋅BC 0    tg β

D'où les réactions isostatiques :

Hp

Vp

Hp

Vp

A A B B= = = − =

83

8 8 8costg ;

cos;

costg ;

cosαβ

α αβ

α

Remarque :

( ) tgcos

βα8 8

=+

ba h

.

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1.2 Sollicitations

Poutre A C1

NM

V VA

HA

y

0

+

Np

Vp

Mp

y

iso

iso

iso

= −

=

= −

38

8

8

cos

costg

costg

α

αβ

αβ

Poutre C B2

NM

V

+

HB

VB

y

0

Np

Vp

Mp

y

iso

iso

iso

= −

= −

= −

8

8

8

cos

costg

costg

α

αβ

αβ

Poutre C C1

Γ

α

VA

HA

x

y

VM

N+ p

( )

( )

N H Vpx

p x

V H Vpx

px

Mpx

V x H y

p x x yC

iso A A

iso A A

iso A A

= − − + ⋅

= − + −

= − + ⋅

= − +

= − + −

= − + −

=

cos sincos

sin

tg tg tg

sin coscos

cos

tg tg /

cos

costg

           !

α αα

α

β α α

α αα

α

β α

α

αβ

83 8

83 8

2

23

8 80

2

2

en

( ) ( )

[ ]

Mp

a hs

a hb

s a h bh

s x b

iso = −+

+

− + +

= ∈

82 2 3

0

2

avec cos ,α

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Poutre C C2

α +M

N

V

VB

HBx

y

l

( )

( )( )

( )( ) ( )

N H V

p

V H V

p

M H y V x

py x C

iso B B

iso B B

iso B B

= −

= − +

= +

= − −

= + −

= − − − =

cos sin

tg tg

sin cos

tg .tg

costg            !

α α

β α

α α

β α

αβ

8

81

80 en

1.3 Diagrammes

b =

2cosα

+

− 38cosα

−8cosα

tgβ8cosα

− tgβ8cosα

βα

Niso Viso Miso

− tg8cos

h   − tgβ8cos α

= − pbh8

h

(a+h)

l

l

lp

lpp

p l p

l p

l

+

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2 Sollicitations sous force concentrée F1 (vers le bas)

2.1 Réactions d'appui

H H

V V F

H

V

H

V

A B

A B

A

A

B

B

+ =+ =

∧ = =

0

1

;;

AC 0 BC

C

BA

VA

HA HB

VB

F1

C1 C2

β

D'où :

H F V F H F V FA A B B= = = − =12

12

12

121 1 1 1tg   ;   ; tg ;β β

2.2 Sollicitations

Poutre A C1 :

  tg

tg

N F

V F

M F y

iso

iso

iso

= −

=

= −

12

12

12

1

1

1

β

β

Poutre C B2 :

  tg

tg

N F

V F

M F y

iso

iso

iso

= −

= −

= −

121212

1

1

1

β

β

Poutre C C1 : ( )( )

( ) 

tg cos sin

tg sin cos

tg

N F

V F

M F y x

iso

iso

iso

= − +

= −

= − −

1212

12

1

1

1

β α α

β α α

β

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 8/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

Poutre C C2 : ( )( )

( )( ) 

tg cos sin

tg sin cos

tg

N F

V F

M F y x

iso

iso

iso

= − +

= − −

= − − −

12

1212

1

1

1

β α α

β α α

β

2.3 Diagrammes ( F1 vers le bas)

Niso Viso Miso

−F1 −F1

−F12

⋅ tgβh

F12 ⋅ tgβh

= −F1 lh

4 (a+h)

/2 /2

3 Sollicitations sous la force concentrée F2 (vers la gauche)

3.1 Réactions d'appui

• + =+ =

+ =

∧ =

H H F

V V

V h FH

V

A B

A B

B

B

B

2

2

00

;;

BC 0

C

BA

VA

HA HB

VB

C1C2

F2β

D'où :

H Fh

V Fh

H Fh

V Fh

A A B B= −

= = = −1 2 1 21

tg   ;   ; tg  ;β β

Remarque :

( ) ( )h h

a hh a h

a h tg ; tgβ β=

+−

=

++2

12

2

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( )

( )( )tg sin cos ; tg cos sinβ α α β α α− = −

+− =

− ++

hb a h

a ah

b a h

2

4

4

2 2

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3.2 Sollicitations

Poutre A C1 :

 

/

tg

tg

N F h

V Fh

M F yh

iso

iso

iso

= −

= −

= − −

2

2

2

1

1

β

β

Poutre C B2 :

 

/

tg

tg

N F h

V Fh

M Fh

y

iso

iso

iso

=

=

= −

2

2

2

β

β

Poutre C C1 :

 

tg cos sin

tg sin cos

tg

N Fh h

V Fh h

M Fh

xh

y

iso

iso

iso

= − −

+

= −

= − −

2

2

2

1

1

1

β α α

β α α

β

Poutre C C2 : ( )( )

( )( ) 

tg cos sin

tg sin cos

tg

N Fh

V Fh

M Fh

y x

iso

iso

iso

= +

= −

= ⋅ − −

2

2

2

β α α

β α α

β

3.3 Diagrammes

Niso Viso

+

Miso

− F2h

− F2h 2a + h( )2 a + h( )

F2h 2

2 a + h( ) l

-

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 11/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

4 Sollicitations sous le couple concentré Γ (positif)

4.1 Réactions d'appui

• + =+ =

+ =

∧ =

H H

V V

VH

V

A B

A B

B

B

B

000

;;

Γ

BC 0

C

BA

VA

HA HB

VB

C2

β

Γ

D'où :

H V

H VA A

B B

= − == = −

Γ ΓΓ Γ

tg    ;tg   ;

ββ

Remarque :

( )tg β

=+1

2 a h

4.2 Sollicitations

Poutre A C1 : N

V

M y

iso

iso

iso

= −= −=

ΓΓΓ

tg

tg

ββ

Poutre C B2 : N

V

M y

iso

iso

iso

===

ΓΓΓ

tg

tg

ββ

Poutre C C1 : ( )

( )

( )

N

V

M x y

iso

iso

iso

= −

= − +

= + −

Γ

Γ

Γ

tg cos sin

tg sin cos

tg

β α α

β α α

β

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Poutre C C2 : ( )

( )

( )( )

N

V

M y x

iso

iso

iso

= +

= −

= − −

Γ

Γ

Γ

tg cos sin

tg sin cos

tg

β α α

β α α

β

4.3 Diagrammes (Γ positif)

Niso Viso Miso

−Γ / Γ /−Γ tgβ

−Γh +2a( )

2 a +h( )

Γ h2 a +h( )

Γh2 a +h( )

l l

l

-

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 13/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

5 Sollicitations sous le moment X hyperstatique

5.1 Réactions d'appui

( )

H H

V V

V

H a h X

A B

A B

B

B

+ =+ =

=+ − =

00

0

0

;;

;

C

BA

VA

HAHB

VB

C1 C2

+X X

D'où les réactions :

HX

a hV H

Xa h

VA A B B= −+

= =+

=  ;  ;      ;0 0

5.2 Sollicitations

Poutre A C1 :

 

N

VX

a h

MX

a hy

X

X

X

=

= −+

=+

0

Poutre C B2 :

 

N

VX

a h

MX

a hy

X

X

X

=

=+

=+

0

Poutre C C1 :

( ) 

cos

sin

tg

NX

a h

VX

a h

MX

a hy

Xa h

h x

X

X

X

=+

= −+

=+

=+

+

α

α

α

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 14/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

Poutre C C2 :

 

cos

sin

NX

a h

VX

a h

MX

a hy

X

X

X

=+

=+

=+

α

α

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 15/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

5.3 Diagrammes

+

X X

X ha +h

X ha +h

Xa +h

X sinαa +hX cosα

a +h

NX VX MX

OO

6 Sollicitations sous charges fictives ponctuelles en C

Afin de calculer les déplacement en C , à l’aide du Principe des travaux Virtuels (cf. le paragraphe [§8]), il est nécessaire d’établir les diagrammes de sollicitations sous l’action de deux forces “fictives” f et g appliquées en C .

6.1 Réactions d'appui

H H f

V V g

H

V

H

V

A B

A B

A

A

B

B

+ = −+ = −

∧ = =

;;

AC 0 BC C

BA

VA

HA HB

VB

C2

β

C1

g

f

D'où :

( ) ( )

( ) ( )

H f g tg V g f

H f g tg V g f

A A

B B

= − + = − +

= − − = − −

12

12

12

12

β β

β β

  ; cot

  ; cot

g

g

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6.2 Sollicitations

Poutre A C1 : ( )( )

( ) 

cot

tg

tg

n g f

v f g

m f g y

= +

= − +

= +

12

12

12

g β

β

β

Poutre C B2 : ( )( )( )

 

cot

tg

tg

n g f

v f g

m f g y

= −

= − −

= − −

12

1212

g β

β

β

Poutre C C1 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

 

tg cos cot sin

tg sin cot cos

tg cot

n f g g f

v f g g f

m f g y g f x

= + + +

= − + + +

= + + − +

12

12

12

12

12

12

β α β α

β α β α

β β

g

g

g

Poutre C C2 : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

 

tg cos cot sin

tg sin cot cos

tg cot

n f g g f

v f g g f

m f g y g f x

= − − + −

= − − − −

= − − − − −

12

12

12

12

12

12

β α β α

β α β α

β β

g

g

g

6.3 Diagrammes

Voici les diagrammes de sollicitations sous l’action des deux forces “fictives” f et g . On considère ici : f g f≥ ≥0,   cotg β .

+

gf

−fh /2

+4 a +h( )

fh2

+gh

4 a +h( )

mvn

l l

gh

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 17/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

7 Détermination du moment X hyperstatique

On se place en élasticité ; on ne considère que l'énergie de flexion, les poutres étant élancées. L’état naturel est supposé vierge (pas de précontraintes ni de déplacement d'appui).

Le potentiel complémentaire est alors :

( ) ( ) ( )F * X

M M X

EI

M M X

EIiso

poteaux

iso

charpentes

=+ ⋅⌠

⌡ +

+ ⋅⌠

12

1

12

2

Il est stationnaire à l'équilibre, d’où :

δ ⋅ =⌠

⌡+

⋅ = −⋅⌠

⌡−

⋅⌠⌡

=XMEI

MEI

XM M

EIM M

EIS

pot charp

iso

pot

iso

charp

12

1

12

2

1

1

1

2. . . .

Le coefficient de souplesse δ est la somme de :

( )

MEI

hEI

ha h

MEI

bEI

ha h

aa h

ah

a h

poteaux

charpentes

12

1 1

2

12

2 2

2 2

2

23

2 13

⌡ =

+

⌡ =

+

+

+

+

+

soit :

( )( )

Ea h

hI

b h a ah

I⋅ =

++

+ +

δ2

3

3 3

32

3

1

2 2

2

Application numérique :

Dans l'exemple considéré :

I I m

h a m m b

1 24 42 5 0 10

2 8 202

116

= = ⋅

= = = =

−,

; ; ,

D'où :

( )δ =

+⋅ +

23

192

235345347

21

2

3

E a h I

hh

b

m.

�� �

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Titre : SSLL14 - Calcul d'un portique plan hyperstatique é[...] Date : 06/01/2009 Page : 18/31Responsable : François VOLDOIRE Clé : V3.90.001 Révision : 0

On étudie l'un après l'autre les divers chargements pour calculer les seconds membres S .

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7.1 Charge répartie p sur C C1

Le second membre S dû à p est :

( ) ( )

( ) ( )( )

− ⌠⌡

= ⋅+

+

=

+⋅

− ⌠⌡

=+

⋅+

+

+

=+

⋅+

− ⌠⌡

= ⋅

M MEI

hEI

ha h

pb ha h E a h I

ph b

M MEI

pb ha h EI

ha h

aa h E a h I

phb h a

M MEI EI

p

iso

poteaux

iso

C C

iso

C C

1

1 12

1

3

1

2

2

22

2

2

1

2 2

23 8

224

812

16

1 348

1

2

1

( )( )

( ) ( )8

2 2 3

148

2

22

0

22

22 2

a hs

a hb

s a h bh h sab

ds

E a h I

p bh ah a

b

++

− + +

⋅ + ⋅

=+

⋅ − −

 

D'où :

( )( ) ( )

SE a h

p b hI

hb h aI

b h ah a

I=

+⋅ +

++

− −

296

4 3 22

3

1 2

2 2

2

Application numérique :

( )

I I h a p N m

SE a h I

p bhh b

N m

1 2

21

2

4

2 2 3 000

296

4132

43 946 02189

= = =

=+

⋅ +

; ; /  

.

(vers le bas)

D'où :

• le moment en C :X 18 672 994 N m= ⋅.

• la réaction en A :

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( ) ( )H pb

a hX

a hpb X

a hH

Vpb

V

A

A

A

A

= ⋅+

−+

=−

+=

= −

=

88

34

0

5 175 37 N

24 233 24 N

.

.

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7.2 Charge ponctuelle F1 en C

Le second membre s’obtient à l’aide de :

( ) ( )

( )

( )( )

− ⌠⌡

= ⋅+

+

=

+⋅

− ⌠⌡

= ⋅⋅+

⋅+

+

+

=+

⋅+

M MEI

hEI

ha h

F ha h E a h I

F h

M MEI

bEI

F ha h

ha h

aa h

E a h I

F b h h a

iso

poteaux

iso

charpentes

1

1 1

12

1

13

1

2 2

1

22

1

23 4

212

24

12

16

2 324

D'où :

( )( )

SE a h

F h hI

b h aI

=+

⋅ ++

224

2 32

12

1 2

Application numérique :

( ) [ ]I I h a F N

SE a h I

F hh b

N m

1 2 1

21

12

4

2 2 20 000

224

2 7

97 485127 76

= = =

=+

⋅ +

; ;  

,

(vers le bas)

D'où

• le moment en C :

X 41 422 161 N m= ⋅.

• la réaction en A :

( )H Fa h

Xa h

F Xa h

H

V F

V

A

A

A

A

= ⋅+

−+

=−

+=

= −

=

14

4

12

0

11

1

4 881 4866 N

10 000 0 N

.

.

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7.3 Charge ponctuelle F2 en C1

Le second membre s’obtient à l’aide de :

( )( ) ( )

( )− ⌠

⌡= ⋅

+

++

=+

⋅+M M

EIhEI

ha h

F h a ha h E a h I

F h a hiso

A C

1

1 1

22

1

23

13

22

2 212

( )( ) ( )

− ⌠⌡

= ⋅+

−+

=+

⋅−M M

EIhEI

ha h

F h

a h E a h I

F hiso

C B

1

1 1

22

21

24

23 2

212

( )( )

( )( )

− ⌠⌡

=+

+ +

+

+

=+

⋅+ +

M MEI

bEI

F h a ha h

ha h

aa h

E a h I

F bh h ah a

iso

C C

1

2 2

2

22

22 2

1

22

12

16

2 3 7 2

24

 

( ) ( )( )

− ⌠⌡

=−

+ +

+

+

=+

⋅− +M M

EIb

EIF ha h

ha h

aa h E a h I

F bh h aiso

C C

1

2 2

22

22

22

22

12

16

2 324

 

D'où :

( )( )S

E a h

F ha hI

bI

h a=+

⋅ + +

2

122

322

2

1 2

Application numérique :

I I h a F N1 2 22 2 10 000= = =; ;  (vers la gauche)

( )( )S

E a h I

F h ah b

N m

=+

⋅ +

212

2 7

19 497 02555

21

22

4.

�� �

D'où :

• le moment en C :X 8 284 4321 N m= ⋅.

• la réaction en A :

( )( )

( )H Fa ha h

Xa h

F a h Xa hA = ⋅

++

−+

=+ −

+222

22/

HA = 5 976 297 N.

V F hA = 2 /

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VA = 4 000 00 N.

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7.4 Couple ponctuel Γ en C1

Le second membre s’obtient à l’aide de :

( ) ( )− ⌠

⌡=

−⋅

+

+=

+⋅− ⋅M M

EIh

EIh

a hh

a h E a h I

hiso

poteaux

1

1 12

1

323 2

26

Γ Γ

( )( )

( )( ) ( )

− ⌠⌡

=++ +

+

+

=+

⋅+ +

M MEI

bEI

h aa h

ha h

aa h

E a h I

h a h a b

iso

C C

1

2 2

22

1

22

12

16

2 2 324

Γ

Γ

( ) ( )( )

− ⌠⌡

=−

+ +

+

+

=+

⋅− ⋅ +M M

EIb

EIh

a hh

a ha

a h E a h I

hb h aiso

C C

1

2 22

222

12

16

2 324

Γ Γ 

D'où :

( )( )

SE a h

hI

ab h aI

=+

⋅−

−+

2

122 3

2

3

1 2

Γ

Application numérique :

I I h a N m1 22 2 100 000= = = − ⋅; ;  Γ (sens aiguilles de montre)

( )( )[ ]S

E a h Ih ab h a

N m

=+

⋅−

− +

26

3

1157128193

21

3

4

Γ

.

D'où

• le moment en C :X 4 916 7243 N m= ⋅.

• la réaction en A :

( ) ( )Ha h

Xa h

Xa hA =

−+

−+

=− −

+Γ Γ

22

HA = 4 576 394 N.

VA =Γ

VA = 5 000 000 N. Manuel de validation Fascicule v3.90 :

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7.5 Récapitulatif

CAS Moment en C Réactions en A (N) (N.m) HA VA

p sur C C1 18672.994 5175.37 24233.240F1 en C 41422.161 4881.487 10000.000F2 en C1 8284.432 5976.297 4000.000

Γ en C1 4916.724 4576.394 5000.000TOTAL 22033.31 43233.24

Remarque

Rappel : dans le poteau A C1 : effort normal = − VA , effort tranchant = HA .

8 Calcul du déplacement en C

On ne considère aussi que l'énergie élastique de flexion (poutres élancées). En appliquant le Principe des Travaux virtuels sur la structure soumise aux forces fictives du paragraphe [§6], travaillant dans les déplacements cherchés, on calcule les nombres w et d dépendant linéairement de f et g :

( ) ( ) ( )f u g vm M X M

EIm M X M

EIw Xd f gC C

iso

pot

iso

charp

⋅ + ⋅ =⋅ +⌠

⌡ +

⋅ +⌠

⌡ = + ∀1

1

1

2. .

, ,

8.1 Charge répartie p sur C C1

( ) ( ) ( )m M

EIh

EIgha h

pbha h E a h I

gpbhiso

poteaux

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅−

+=

+⋅−

1 12

1

3 223 4 8

296

( )( )( ) ( )m M

EI E a h I

p hbf a h g h aiso

C C

⋅⌠⌡

=+

⋅−

⋅ + + ⋅ −2

22

2

1

2384

2

( ) ( ) ( )( )( )M

EIbEI

pbha h

fh g ha h E a h I

pb h g f a hiso

C C 2 22

2

2 2

23 8 2 4

2 2192

⌠⌡

= ⋅+

⋅ −+

=

+⋅− − +

 

D'où :

( )( ) ( )

wE a h

pbh g hI

g b h a fb a hI

=+

⋅−

⋅ +− − +

2384

4 3 22

2

1

2

2

Application numérique :

I I h a p N m1 22 2 3 000= = =; ; /  (vers le bas)

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( )w

E a h Ig h b fbh

p bh

N m

=+

⋅ +

⋅−

− ⋅

22

52

92 192

2154065922

21

2

3

�� �

.

8.2 Charge ponctuelle F1 en C

( ) ( ) ( )m M

EIh

EIgha h

F ha h E a h I

F ghiso

poteaux

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅−

+=

+⋅−

1 1

12

1

13 22

3 4 42

48

( ) ( ) ( )m M

EIb

EIgha h

F ha h E a h I

F gbhiso

charp

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅−

+=

+⋅−

2 2

12

2

12 22

3 4 42

48.

D'où (on constate que w ne dépend pas de f pour ce chargement) :

( )w

E a h

F gh hI

bI

=+

⋅−

+

2482

12 2

1 2

Application numérique :

I I h a F N1 2 12 2 20 000= = =; ;  (vers le bas)

( )( )w

g

E a h I

F hh b

N m

=+

⋅−

⋅ +

248

2

315100 3650

21

12 2

5

.

8.3 Charge ponctuelle F2 en C1

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

m MEI

hEI

F ha h

a hfh gh

a hh

fh gha h

E a h I

F hag f a h

iso

poteaux

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅ − + ⋅ ++

+ ⋅

−+

+

=+

⋅− ⋅

+ +

1 1

2

21

23

2

3 22

2 4 2 4

224

2

( )( )( )m M

EI E a h I

F bhag f a hiso

charp

⋅⌠⌡

=+

⋅−

+ +2

22

22

2224

2.

D'où :

( )( )( )w

E a h

F hag f a h

hI

bI

=+

⋅−

+ + ⋅ +

224

222

22

1 2

Application numérique :

I I h a F N1 2 22 2 10 000= = =; ;  (vers la gauche) Manuel de validation Fascicule v3.90 :

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( ) ( ) ( )w

E a h Ig gh

F h h b

N m

=+

⋅ +− +

− ⋅

29

248

315100365

21

23

4

.

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8.4 Couple ponctuel Γ en C1

( ) ( ) ( )

( )

m MEI

hEI

ha h

fh g ha h

fh g ha h

E a h I

h g

iso

poteaux

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅ ++

+ − +

+

=+

1 1

21

3

3 2 2 4 2 4

224

Γ

Γ

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )

m MEI

bEI a h

a hfh g h

a hh

fh g ha h

E a h I

bhag f a h

iso

charp

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅ − + ⋅ ++

+ − +

+

=−+

⋅ ⋅ + +

2 2

22

2

3 22

2 4 2 4

224

2

.

Γ

Γ

Application numérique :

I I h a Nm1 22 2 100 000= = = −; ; Γ

( )( )( )w

E a h I

h

N m

g h b fhb=+

− ⋅

− −2

24

266 666 667

921

2

3

Γ

.

8.5 Calcul de dm M

EI=

⋅∫ 1

( ) ( )m M

EIh

EIg ha h

ha h E a h I

g h

poteaux

⋅⌠⌡

= ⋅+

⋅+

=+

⋅1

1 12

1

323 4

212

( ) ( )( )m M

EIb

EIh

a ha

a hg ha h E a h I

h a

charpente

⋅⌠⌡

=+

+

+

+

=+

⋅+1

2 22

2

2 12

16 4

2 324

g bh

D'où (on constate que d ne dépend pas de f ) :

( )( )

dE a h

g h hI

b h aI

=+

⋅ ⋅ ++

2

242 3

2

2

1 2

Application numérique :

I I h a1 22 2= =;

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( )( )d

E a h Ig

hh b

m

=+

⋅ ⋅ +2

242 7

4 874 2564

21

2

4

.

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8.6 Récapitulatif des déplacements uC et vC

I m

E MPa1

4 45 010210 000

==

−,

CAS X X d wV

pression sur C C1 18672.994 91016960.3 –184930109.4F1 en C 41422.161 201902233.4 –315100365.0F2 en C1 8284.432 40380445.6 –63020073.0

Γ en C1 4916.724 23965373.4 14775091.25

CAS wH ( )u mC ( )v mC

pression sur C C1 83519999.94 0.0110476 –0.012422374F1 en C 0.00 0.00 –0.01497330F2 en C1 –226872262.8 –0.03000956 –0.00299466

Γ en C1 206790328.5 0.0273532 –0.001215646

Note :

( )d

E a h Ig d=

+⋅

22

1, avec : d m= 4 874 2564 4.

( ) ( )wE a h I

g w f wV H=+

⋅ +2

21

voir plus haut

( ) ( ) ( )uE a h I

w vE a h I

w XdC H C V=+

⋅ =+

+2 2

21

21

;

( )2

132275132 1021

10 1 4

E a h IN m

+= ⋅ ⋅ ⋅− − −.

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Comparaison Aster - référence analytique (R.)

CAS Moment en C (N.m)

Réaction HA (N)

Réaction VA (N)

Déplacement uC (m)

Déplacement vC (m)

p surC C1

R :Aster :

18672.99418673.20

5175.375175.36

24233.2424233.2

0.01104760.0110472

–0.012422374–0.0124233

F1 en C R :Aster :

41422.16141422.40

4881.4874881.47

10000.0010000.0

0.000000.0000

–0.01497330–0.0

F2 en C1 R :Aster :

8284.4328284.34

5976.2975976.31

4000.004000.0

–0.03000956–0.0300098

–0.00299466–0.00299450

Γ en C1 R :Aster :

4916.7244916.62

4576.3944576.38

5000.005000.0

0.02735320.0273536

–0.001215646–0.00121583

Nota :

Le calcul Aster a été réalisé en prenant des éléments très élancés, de telle sorte que : S I2 << . Ainsi, l’énergie de flexion est prédominante. Les valeurs du calcul Aster sont issues du cas-test VPCS appelé SSLL14, avec les données suivantes :

I m I m E MPa14 4

24 45010 2 510 210 000= = =− −. ; . ; ,

h a m m b= = = =2 8 202

116; ; .

,

p N m= 3 000 /  (vers le bas) ,F N1 20 000=  (vers le bas) ,F N2 10 000=  (vers la gauche) ,Γ = − 100 000 Nm .

Manuel de validation Fascicule v3.90 :

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