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  • CNAM - B2

    Systemes et asservissements non lineaires

    Notes de cours

    Version 4

    D. Arzelier - D. Peaucelle

    Avertissement: Ce document est constitue de notes de cours et ne pretend donc ni alexhaustivite ni a loriginalite. Ces notes doivent en effet beaucoup aux emprunts faitsaux ouvrages references en bibliographie.

    1

  • 2

  • Notations

    - R: corps des nombres reels.

    - A: matrice transposee de la matrice A.

    - A 0: A matrice definie positive.- : norme Euclidienne pour un vecteur et induite par la norme Euclidienne pour

    une matrice.

    - transformee de Laplace.- Xv : derivee partielle de la fonction X par rapport a la variable v.

    - ln: logarithme neperien.

    - In: matrice identite de dimension n.

    - C : noyau de la matrice C.- C : espace engendre par les colonnes de la matrice C.- V : fonction de Lyapunov.

    - : il existe.- : pour tout.- V : vecteur gradient de la fonction V .

    3

  • 4

  • Table des Matieres

    I Introduction a letude des systemes non lineaires 9

    I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    I.2 Quelques comportements non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    I.2.1 Points dequilibre multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    I.2.2 Cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    I.2.3 Oscillations presque periodiques - sous-harmoniques . . . . . . . 12

    I.2.4 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    I.2.5 Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    I.3 Deux exemples de modelisations non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . 14

    I.3.1 Equation du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    I.3.2 Oscillateur a resistance negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    I.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    II La notion de stabilite 19

    II.1 Introduction et definitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    II.1.1 Quelques rappels sur les modeles detat . . . . . . . . . . . . . . 19

    II.1.2 Quelques notions mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    II.2 Notions de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    II.2.1 Stabilite du point dequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    II.3 Stabilite dune trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26II.4 Methode directe de Lyapunov ou seconde methode . . . . . . . . . . . . 27

    II.4.1 Introduction par laspect energetique . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    II.4.2 Theoremes sur la stabilite et la stabilite asymptotique . . . . . . . 29

    II.4.3 Application aux systemes lineaires invariants . . . . . . . . . . . 31

    II.4.4 Demarche a suivre pour etudier la stabilite . . . . . . . . . . . . . 32

    5

  • 6 Table des Matieres

    II.5 Construction de fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    II.5.1 Quelques exemples de fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . 33

    II.5.2 Methode de Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    II.5.3 Methode du gradient variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    II.6 Stabilite absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    II.6.1 Probleme de Lure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    II.6.2 Deux conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    II.6.3 Critere de Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    II.6.4 Critere du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    III Analyse des S.N.L. du second ordre - methode du plan de phase 43

    III.1 Introduction et definitions generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    III.2 Construction pratique des trajectoires de phase . . . . . . . . . . . . . . . 45

    III.2.1 La methode analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    III.2.2 La methode des isoclines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    III.3 Comportement qualitatif: etude des points singuliers . . . . . . . . . . . 47

    III.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    III.3.2 Cas des systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    III.3.3 Cas non lineaire - Comportement local . . . . . . . . . . . . . . 49

    III.3.4 Les cycles limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    III.4 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    III.4.1 Asservissement a relais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    III.4.2 Asservissement a relais avec contre-reaction tachymetrique . . . . 54

    III.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    III.4.4 Asservissement avec relais et hysteresis . . . . . . . . . . . . . . 58

    III.4.5 Asservissement avec relais et zone morte . . . . . . . . . . . . . 61

    IV Introduction a la commande a structure variable 65

    IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    IV.2 Principes de la commande a structure variable en mode glissant . . . . . . 67

    IV.3 Le regime glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    IV.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    IV.3.2 La commande equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  • Table des Matieres 7

    IV.3.3 Synthese de lhypersurface de glissement . . . . . . . . . . . . . 72

    IV.3.4 Principe dinvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    IV.4 Le mode non glissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    IV.4.1 Conditions dacces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    IV.4.2 Synthese de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    IV.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    V Approximation de lequivalent harmonique 79

    V.1 La methode de linearisation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    V.1.1 Hypotheses dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    V.1.2 Equivalent harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    V.1.3 Fonction de transfert generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    V.1.4 Calcul de la fonction de transfert generalisee . . . . . . . . . . . 85

    V.2 Cycles limites et methodes du premier harmonique . . . . . . . . . . . . 92

    V.2.1 Rappels sur le critere du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    V.2.2 Extension au cas des asservissements non lineaires . . . . . . . . 94

    V.2.3 Etude des auto-oscillations et de leur stabilite . . . . . . . . . . . 96

    V.2.4 Exemples dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    Annexes 101

    A Recueil dexercices 101

  • 8 Table des Matieres

  • Chapitre I

    Introduction a letude des systemes non lineaires

    I.1 Introduction

    La premiere etape lorsque lon veut analyser puis commander un systeme, consiste ase donner un bon modele mathematique de celui-ci. Cela signifie que lon doit disposerdun modele mathematique realisant un compromis entre sa fidelite de comportementqualitatif et quantitatif et sa simplicite de mise en oeuvre a des fins danalyse et de syn-these. Le deuxieme terme de ce compromis implique que letape de modelisation entraneobligatoirement des approximations et des simplifications afin de permettre une analysedes proprietes du modele qui ne soit pas trop complexe et une procedure de synthese decommande efficace.

    Sous certaines hypotheses, (approximation des faibles deviations autour dun mou-vement nominal), certains systemes peuvent etre decrits par un modele mathematiquelineaire, par exemple, une equation differentielle a coefficients constants:

    amy m t a1y t a0y t bne n t b1e t b0e t (1.1)dont on peut calculer une solution analytique explicite par utilisation du principe de su-perposition. Dans ce cadre dhypotheses, les methodes classiques ainsi que de puissantsoutils danalyse et de synthese des asservissements lineaires peuvent etre appliquees etdeveloppes.

    Methodes frequentielles:(Utilisation de la transformee de Laplace, notee ) 1 1

    Y p !" y t #

    E p !"$ e t # %'& Y p E p bnpn b0am pm a0Fonction de transfert ( Modele entree - sortie

    Outils danalyse Outils de syntheseLieu de Nyquist Correcteur a avance de phaseLieu de Black-Nichols Correcteur a retard de phaseDiagramme de Bode Commande PID ...Lieu des racines

    9

  • 10 Introduction a letude des systemes non lineaires

    M)

    ethodes temporelles:Modele interne - vecteur des variables detat x * Rn.+

    x t , Ax t Bu t eq - dynamiquey t ! Cx t eq - de sort ie

    Outils danalyse Outils de syntheseCriteres de Kalman Retour detatTheoreme de Lyapunov (stabilite) Placement de polesAlgebre lineaire Commande L.Q. ...

    Toutefois, afin de prendre en compte une realite plus complexe, aussi bien du point devue qualitatif que quantitatif, il est necessaire de retenir dans la modelisation du systemephysique des elements non lineaires difficilement modelisables par ailleurs et que lon nepeut approximer. Differents cas generiques se presentent pour lesquels les modelisationslineaires ne peuvent suffire.

    - Dans le positionnement dun bras de robot, la geometrie liee aux transformationsde coordonnees fait intervenir des fonctions non lineaires de leur argument tellesque sinus et cosinus.

    - Un moteur a des l

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