classiﬂcation tissulaire par analyse texturale en irm...

Laboratoire d’Ingenierie des Systemes AutomatisesLISA FRE 2656 – Universite d’angers,

62, avenue Notre Dame du Lac , 49000 Angers , FRANCE

DEA Signaux et Images en Biologie et en Medecine

Memoire de Stage

Classification tissulaire par analysetexturale en IRM cardiaque du

petit animalBATY Xavier

[email protected]://www.istia.univ-angers.fr/LISA/

Remerciements

Je tiens particulièrement à remercier le Professeur Jean-JacquesLE JEUNE, chef du service deMédecine Nucléaire et de Biophysique, pour m’avoir permis de réaliser ce stage dans l’enceintedu CHU d’Angers. Ces remerciements s’adressent aussi à Mr Jean LouisFERRIER directeurdu LISA, laboratoire labellisé CNRS-FRE, auquel est rattaché l’Unité de Traitement d’ImagesMédicales au sein de laquelle j’ai effectué mon stage.

Je tiens à remercier aussi ma responsable de stage, Madame ChristineCAVARO-MENARD,Maître de Conférences et responsable de l’Unité de Traitement d’Images Médicales, pour sonaide précieuse et sa disponibilité.

Je remercie bien sûr les stagiaires qui ont travaillé avec moi. Merci donc à Aymeric, Chris-tophe et Stéphane pour leurs conseils et leur sympathie. Sans oublier Cyril, Mickaël, Annabelle-Lise et les deux Thomas qui ont aussi contribué à la bonne ambiance de ce stage.

1

Table des matières

1 Introduction 31.1 Description du sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Analyse de Texture 62.1 Analyse Statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Paramètres de 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Paramètres d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Analyse par Ondelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 Paramètre Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Modélisation d’Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Analyse par modèle & Segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 Modèle autorégréssif (AR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Modèle de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Segmentation par Modèle de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Réalisations 183.1 Images utilisées et objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Discrimination des zones par contours actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Analyse texturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Modélisation d’Histogramme des images détails obtenues par DWT . . 193.3.2 Le logiciel MaZda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.3 Analyses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.4 Analyse par modèle & Segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Conclusion 29

A Décomposition en Ondelettes 30A.1 Décomposition d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A.2 Cas de signaux 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Bibliographie 33

2

Chapitre 1

Introduction

L’imagerie est devenue un élément essentiel dans les diagnostics médicaux. Cette évolutionest liée à la multiplicité des modalités d’acquisition ainsi qu’a l’exploitation informatique, quien est faite.L’analyse texturale fait partie de ces exploitations informatiques. La notion de texture ne peutêtre précisément définie [5]; elle sert à qualifier mathématiquement des termes de langage utili-sés pour quantifier les images, tels que: régularité, homogénéité, contraste... Dans le cadre desimages médicales, ce genre d’analyse peur être utilisée pour diverses raisons:

– Distinction entre des zones saines et pathologiques;– Aide au diagnostic sur l’évolution d’une pathologie;– Caractérisation de zones informatives en vue d’opération de fusion...

1.1 Description du sujet

Le LISA par l’intermédiaire de l’Unité de Traitement d’Images Médicales s’est associé àl’équipe INSERM "Ingénierie de la vectorisation particulaire" et le Service Commun d’Ana-lyses Spectroscopiques de l’Université d’Angers, dans le cadre d’un programme national CNRS-INSERM interdisciplinaire d’imagerie du petit animal. Bien que le programme ce soit achevéfin 2002, cette association a permis de développer un nouvel axe de recherche concernant lesuivi et la caractérisation des modifications physiopathologiques précoces intervenant dans lepost-infarctus à l’aide d’agents de contrastes particulaires modifiant la texture des zones infar-cies. Cette étude permet de mieux comprendre le processus de nécrose du muscle cardiaque etce pour mieux diagnostiquer et traiter cette pathologie.

L’utilisation d’IRM haute résolution permet une caractérisation de l’infarctus du myocarde.Cependant, l’utilisation d’agents de contraste est indispensable afin d’améliorer la lisibilité ana-tomique et fonctionelle du muscle cardiaque. L’équipe INSERM "Ingénierie de la vectorisationparticulaire" développe des agents de contraste qui ont un réel intérêt dans la détection de l’in-farctus puisqu’ils permettent l’augmentation du contraste tissus sain/tissus nécrosé d’un facteur3 à 4 (Fig. 1.1). Il apparaît alors le problème de la distinction des zones périphériques situéesentre les zones saines et nécrosées. La caractérisation de ces zones est primordiale car ellesne sont que transitoirement atteintes et peuvent récupérer leur fonction contractile. L’utilisationd’une double injection de Gd-DOTA et de nanoparticules d’oxyde de fer mise en œuvre à l’IN-SERM permet visuellement et approximativement cette caractérisation. En effet, il apparaît alorsde faibles différences entre les différentes zones myocardiques.

3

1.1 Description du sujet 4

FIG. 1.1 –IRM cardiaque de rat avant et après injection de produits de contraste

Dans notre étude, l’analyse texturale sera utilisée afin de distinguer 3 zones: la zone saine, lazone nécrosée et la zone de souffrance myocardique. Cependant, une première étude [22] a déjàpermis de segmenter le cœur sur des IRM cardiaques de souris présentant une faible résolutionet un faible contraste. La zone cardiaque se limite alors à une région d’intérêt (ROI) de30× 30pixels environ (Fig. 1.2). Cela motive l’intérêt del’analyse de texture appliquée aux zones depetites tailles.

FIG. 1.2 –Myocarde de souris segmenté

Le travail de [10] montre qu’en définissant les ROIS des zones saines et nécrosées, une étudestatistique permet de classer les dites ROI en 2 groupes distincts. Cela nécessite cependant uneintervention manuelle, à savoir la détermination des zones (Fig. 1.3).

Notre objectif est d’automatiser la localisation des zones saines et nécrosées en utilisant letraitement de l’image.

Mon stage dans l’unité Traitement d’Images du LISA, (situé dans le service de MédecineNucléaire et de Biophysique du CHU d’Angers) vise donc deux objectifs principaux:

– Un état de l’art concernant les principaux paramètres texturaux utilisés aussi bien en ima-gerie médicale que pour les autres types d’images (naturelles, satellitaires);

– Une analyse quantitative visant à caractériser des zones de petites tailles par une analysetexturale.

CHAPITRE 1 Introduction Xavier BATY

1.2 Matériel 5

FIG. 1.3 –Les différentes zones myocardiques: (rouge: zone saine, verte: zone nécrosée, bleue et violette: zonespériphériques

1.2 Matériel

L’imageur du Service Commun d’Analyses Spectroscopiques (SCAS) de l’Université d’An-gers est un Bruker Advance DRX 300 SWB à aimant supraconducteur vertical . Le champ ma-gnétique est de 7 Teslas. Il permet de réaliser de la micro (spectrométrie RMN) et de la miniimagerie. Il est dédié à des applications de recherche.

Pour l’imagerie cardiaque, le système d’acquisition est équipé d’un moniteur électrocardio-graphique et respiratoire (PHYSIOGARD SM 785NMR) permettant la synchronisation de l’ac-quisition des images sur le tracé ECG (électrocardiogramme). Cela permet de s’affranchir dumouvement cardiaque (la fréquence cardiaque d’un rat étant de 300 à 400 battements/minute).Les images sont obtenues en fin de diastole, la surface endocardique étant alors la plus grande.Les images disponibles pour notre application sont des images petit axe du cœur chez le pe-tit animal (rat). Les images obtenues sont beaucoup plus bruitées que les IRM cardiaques chezl’homme.

CHAPITRE 1 Introduction Xavier BATY

Chapitre 2

Analyse de Texture

2.1 Analyse Statistique

Les méthodes statistiques observent les relations entre un pixel et ses voisins. Elles sontparticulièrement adaptées à l’étude des textures stochastiques. L’ordre de la statistique est donnépar le nombre de pixels voisins mis en jeu dans le calcul des paramètres. Il est utile de préciserque si certains paramètres correspondent à des propriétés visuelles de la texture, certains autresne reflètent que des propriétés mathématiques auxquelles il n’y a pas forcément de propriétévisuelle associée [1].

2.1.1 Paramètres de 1er ordre

Les paramètres texturaux du premier ordre sont calculés à partir de l’histogramme. L’his-togramme représente le nombre de pixels présents dans la ROI étudiée pour un niveau de grisdonné [5].

La moyenne donne la valeur moyenne des niveaux de gris appartenant à la ROI.

MOY =1

K

N−1∑i=0

i ∗ p(i) (2.1)

avec:p(i) i ∈ [0..N − 1] histogramme de la ROI considérée,N nombre total de niveaux de gris,K: Nombre total de pixels de la ROI.La variance mesure la répartition des niveaux de gris autour de la moyenne.

V AR =1

K

N−1∑i=0

p(i) ∗ (i−MOY )2 (2.2)

Le skewness mesure la déviation de la distribution des niveaux de gris par rapport à une distri-bution symétrique. Ainsi, pour une déviation vers les valeurs élevées, le skewness est positif.

SKEW =1

K

N−1∑i=0

p(i) ∗ (i−MOY )3 (2.3)

Le kurtosis caractérise le sommet de l’histogramme : plus le kurtosis est faible et plus le sommet

6

2.1 Analyse Statistique 7

de l’histogramme est arrondi.

KURT =1

K

N−1∑i=0

p(i) ∗ (i−MOY )4 (2.4)

Autres paramètres calculés, les percentilespl, correspondent au pourcentage de pixels ayantune valeur de niveau de gris inférieure à la valeurl.

2.1.2 Paramètres d’ordres supérieurs

Les méthodes du premier ordre, ne procurent aucune information sur l’organisation localedes pixels. Des méthodes d’ordre supérieur sont donc utilisées afin de faire une analyse plusprécise.

Paramètres issus de la Matrice de CooccurrenceLa matrice de cooccurrenceMC(d,θ) est définie pour un couple(a,b) de niveaux de gris et

une translationt. La translationt est déterminée par le couple(d,θ) oùd est la longueur det etθl’angle formé part et l’horizontale.MC(d,θ)(a,b) est donc le nombre de couples de sites(s,s+ t)de la région considérée, séparés par le vecteur de translationt et tel ques a pour niveau de grisa et s + t a pour niveau de grisb.Ainsi, pour une image codée surN niveaux de gris, la matrice de cooccurrence sera de tailleN ×N (FIGURE 2.1).

image source=

1 2 1 3 42 3 1 2 43 3 2 1 1

matrice de cooccurrence=

ab 0 1 2 3 4 5 6 70 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 0 0 0 0 02 0 1 0 2 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 0 04 0 1 0 0 1 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 0 0

FIG.2.1 - Exemple de matrice de cooccurrence pour une translationt = (1,270◦) (un pixel versle bas) pour 8 niveaux de gris

En pratique, la matrice de cooccurrence est calculée pour des distances entières allant de 1 à5 et pour les angles0◦,45◦,90◦,135◦,180◦, compte tenu du fait que1:

MC(d,0◦) = MCT (d,180◦)MC(d,45◦) = MCT (d,225◦)MC(d,90◦) = MCT (d,270◦)MC(d,135◦) = MCT (d,315◦)

Pour une matriceMC de cooccurrence donnée, onze paramètres sont couramment calculés[18].SoitK le nombre de total de transitiont dans l’image originale.

1. MT représente la transposée deM

CHAPITRE 2 Analyse de Texture Xavier BATY


Le second moment angulaire (ou énergie ou homogénéité) mesure l’homogénéité de la ROI.Sa valeur est d’autant plus faible qu’il y a peu de zones homogènes.

AngScMom =1

K2

∑

a,b

MC(a,b)2 (2.5)

Le contraste mesure les variations locales des niveaux de gris.

Contrast =1

K

N−1∑

k=0

k2∑

|a−b|=k

MC(a,b) (2.6)

Le moment différentiel inverse a un comportement inverse du contraste.

InvDfMom =1

K

∑

a,b

1

1 + (a− b)2MC(a,b) (2.7)

L’entropie fournit un indicateur du désordre de la texture.

Entropy = − 1

K

∑

a,b

MC(a,b) log

(MC(a,b)

K

)(2.8)

Les autres paramètres issus de la matrice de cooccurrence sont:

Correlat =1

Kσxσy

∑

a,b

abMC(a,b)− µxµy (2.9)

SumOfSqs =1

K

∑

a,b

(a− µx)2MC(a,b) (2.10)

SumV arnc =2N−1∑

a

(a− µx+y)2px−y(a) (2.11)

SumEntrp = −2N−1∑

a

px+y(a) log(px+y(a)) (2.12)

DifV arnc =2N−1∑

a

(a− µx−y)2px−y(a) (2.13)

SumAverg =2N−1∑a=0

a ∗ px+y(a) (2.14)

DifEntrp = −∑

a

px−y(a) log(px−y(a)) avec: (2.15)

µx =1

K

∑

a,b

a ∗MC(a,b) (2.16)

µy =1

K

∑

a,b

b ∗MC(a,b) (2.17)

σ2x =

1

K

∑

a,b

(a− µx)2MC(a,b) (2.18)



σ2y =

1

K

∑

a,b

(b− µy)2MC(a,b) (2.19)

px+y(k) =1

K

∑

|a+b=k|MC(a,b) pourk ∈ [2..2N ] (2.20)

px−y(k) =1

K

∑

|a−b=k|MC(a,b) pourk ∈ [0..N − 1] (2.21)

Paramètres issus de la Matrice des Longueurs de PlageOn appelle plage de niveaux de gris l’ensemble des pixels contigus d’une image ayant la

même valeur de niveau de gris. La longueur d’une plage correspond aux nombre de pixels ap-partenant à une plage. Cette méthode consiste à compter le nombre de plages d’une longueurj,de niveau de grisi dans une directionθ (en pratiqueθ = 0◦,45◦,90◦,135◦,180◦). A chaque direc-tion correspond alors une matrice. Une matricePθ = p(i,j)/θ est définie avecp(i,j): nombre deplage de pixels de niveau de grisi et de longueurj [5, 12]. 5 paramètres sont généralement issusde cette matrice.

Le Poids des plages courtes caractérise les petites zones homogènes dans une ROI.

ShrtREmph =1

C

∑i,j

p(i,j)

j2(2.22)

Le Poids des plages longues caractérise les zones homogènes étendues dans une ROI.

LngREmph =1

C

∑i,j

j2p(i,j) (2.23)

Les autres paramètres issus de la matrice des longueurs de plage sont:

GLevNUni =1

C

∑i

(∑j

p(i,j)

)2

(2.24)

RLNUni =1

C

∑j

(∑i

p(i,j)

)2

(2.25)

Fraction =

∑i,j p(i,j)∑

i,j jp(i,j)(2.26)

avec

C =∑i,j

p(i,j) et∑i,j

=N∑i

M∑j

(2.27)

etN : nombre de niveaux de grisM : nombre de plages.

Paramètres issus de la Matrice des GradientsLa Matrice des Gradients caractérise la distribution des différences de niveaux de gris. On

travaille généralement sur un voisinage3 ∗ 3 (Tab. 2.1.2)d’un pixelf(i,j) (voire5 ∗ 5).Le gradient en (i,j) est défini par (en valeur absolue):

GR(i,j) =√

(G−B)2 + (E −D)2 (2.28)


2.2 Analyse par Ondelette 10

A B CD f(i,j) EF G H

TAB . 2.1 –voisinage utilisé pour le calcul de la matrice des gradients

L’itération du processus sur tous les pixels de la ROI permet de construire la matrice dite "desgradients". 4 paramètres sont généralement extraits de cette matrice:

GrMean =1

K

∑

a,b

GR(a,b)

GrV ariance =1

K

∑

a,b

(GR(a,b)−GrMean)2

GrSkewness =1

M ∗ (√

GrV ariance)3

∑

a,b

(GR(a,b)−GrMean)3

GrKurtosis =1

M ∗ (√

GrV ariance)4

∑

a,b

(GR(a,b)−GrMean)4

Enfin on retient aussi le pourcentage de valeurs non nulles dans la matrice (GrNonZeros).

2.2 Analyse par Ondelette

La décomposition en ondelette (DWT: Discrete Wavelet Transform) d’une image permet uneanalyse multi-résolution. Ce modèle est justifié [7] en effectuant un parallèle avec le systèmevisuel humain (SVH). Celui-ci procède à une analyse multi-échelle: une scène est d’abord perçueglobalement puis dans les détails. Les fondements mathématiques de l’analyse par ondelette sontdécrits en annexe A. Cette analyse peut être exploitée dans le cadre de l’analyse de texture, viadivers paramètres.

2.2.1 Paramètre Energie

Souvent utilisé dans la littérature [2] [7] [14], ce paramètre nécessite la décomposition parondelette de l’image. L’énergie de chaque image détailD issue de la décomposition est donnéepar:

E =1

N

∑

j,k

D(j,k) (2.29)

avecN nombre de pixels de l’image.

Les coefficients d’énergie reflètent la conception du SVH. Ainsi si une énergie issue d’uneimage détail est importante alors, ce niveau de résolution contient de l’information relative no-tamment à la texture.

2.2.2 Modélisation d’Histogramme

Le principe de cette méthode développée dans [16] repose sur l’observation de l’histogrammedes images détail produites par la décomposition par ondelette. Cet histogramme présente atoutes les résolutions et dans toutes les orientations une allure similaire (Fig. 2.1) (Fig. 2.2).


2.2 Analyse par Ondelette 11

FIG. 2.1 –Texture Laine

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

histogramme original (rouge)

FIG. 2.2 –Histogramme de l’image des détails horizontaux au premier niveau

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 1000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

histogramme original (rouge)

hist

ogra

mm

e m

odel

isé

(ble

u)

FIG. 2.3 –Histogramme modélisé de l’image des détails horizontaux au premier niveau


2.3 Analyse par modèle & Segmentation 12

Expérimentalement, ces histogrammes sont modélisables par une gaussienne généralisée (Fig. 2.3) :

h(u) = Ke|u|β

α (2.30)

h(u) est l’histogramme de l’image détail.β modifie la décroissance du pic alors queα joue surla variance.Ce modèle est qualitatif mais il peut être utilisé pour de l’analyse de texture [7] [8] [24]. Unejustification théorique de la modélisation de l’histogramme par une gaussienne généralisée peutêtre trouvée dans [20]. Pour obtenir les paramètresK, α etβ caractéristiques, l’histogramme estnormalisé: ∫ ∞

−∞h(u) = 1 (2.31)

En effectuant le changement de variableu = αt1β et en utilisant la fonctionΓ [7] montre que:

K =β

2αΓ(

1β

) avec Γ(x) =

∫ ∞

0

e−ttx−1dt (2.32)

Les moments d’ordre 1 et 2 sont alors calculés:

m1 =

∫ ∞

−∞|u|h(u)du m2 =

∫ ∞

−∞u2h(u)du (2.33)

m1 etm2 peuvent se réécrire en utilisant le modèle et la fonctionΓ:

m1 = 2Kα2

βΓ

(2

β

)m2 = 2K

α3

βΓ

(3

β

)(2.34)

on obtient alors:

α = m1Γ(1/β)

Γ(2/β)(2.35)

β = F−1

(m2

1

m2

)avecF (x) =

Γ2(2/x)

Γ(3/x)Γ(1/x)(2.36)

2.3 Analyse par modèle & Segmentation

Les méthodes qui suivent sont régulièrement utilisées en imagerie satellitaire où la distinctionentre différentes textures est développée (classification entre zones urbaines et champêtres, ima-gerie sous-marine [19][15]). Cette partie présente tout d’abord les modèles les plus couramentutilisés pour modéliser les propriétés texturales de chaque ROI (voire chaque pixel). Les vecteursde paramètres ainsi définis permettent d’envisager une segmentation supervisée de l’image.

2.3.1 Modèle autorégréssif (AR)

On suppose, dans ce modèle, qu’il existe une interaction entre chaque pixels d’une image etses voisins. Ainsi l’intensité d’un pixel dépend de celles de ses voisins. Un modèle AR d’un si-gnaly(s) considère ce dernier comme le résultat d’un filtrage linéaire d’un bruitx(s).Le modèles’écrit de la manière suivante:

x(s) = y(s)−∑

l∈V

θly(s− l) (2.37)



s représente un site de l’image donc un ensemble de 2 coordonnées.V est le voisinage dupixel considéré.xs est un bruit blanc de moyenne nulle ety(s) est la valeur du pixels de l’imagesource considérée. Afin de respecter le principe de causalité on utilise le voisinageV suivant:

v2 v3 v4

v1 s ×× × ×

vl ∈ V (2.38)

Les paramètres à déterminer sont donc lesθl ainsi queσ2x la variance du bruitx(s). L’écri-

ture du modèle fait apparaître l’estimationy(s) de y(s): y(s) =∑

l∈V θly(s − l). L’équation(Equ. 2.37) s’écrit donc:

x(s) = y(s)− y(s) (2.39)

σ2x = E[x(s)2] (2.40)

σ2x est encore appelée erreur quadratique moyenne d’estimation. Le modèle est optimisé en mi-

nimisant cette erreur.

Pour ce faire,x(s) est remplacé dans l’expression de l’erreur (Equ. 2.40) par son écriture enfonction dey(s) etσ2

x est dérivé par rapport à un coefficientθi aveci ∈ V ,

∂(σ2x)

∂θi

= 2

[E[y(s)y(s− i)]−

∑

l∈V

θlE[y(s− l)y(s− i)]

](2.41)

En annulant cette dérivée, on obtient un système de 4 équations à 4 inconnues pouri allant de 1à 4.

E[y(s)y(s− i)] =∑

l∈V

θlE[y(s− l)y(s− i)] (2.42)

Ce système fait apparaître les coefficients d’autocorrélation dey(s):

Ry(α,β) = E[y(s− α)y(s− β)] (2.43)

Le système 2.42 peut alors s’écrire:

Ry ×

θ1

θ2

θ3

θ4

=

Ry(0,i1)Ry(0,i2)Ry(0,i3)Ry(0,i4)

(2.44)

avec

Ry =

Ry(l1,i1) Ry(l1,i2) Ry(l1,i3) Ry(l1,i4)Ry(l1,i2) Ry(l2,i2) Ry(l2,i3) Ry(l2,i4)Ry(l1,i3) Ry(l2,i3) Ry(l3,i3) Ry(l3,i4)Ry(l1,i4) Ry(l2,i4) Ry(l3,i4) Ry(l4,i4)

(2.45)

[5] permet d’estimer les coefficents d’autocorrélation:

Ry(α,β) =1

N2

∑s∈S

y(s− α)y(s− β) (2.46)

En inversant la matrice Toeplitz des autocorrelations on trouve le vecteur des paramètresθl.La variance du bruit d’entrée est donnée par:

N2σ2 =∑s∈S

(y(s)− θY ) avecY = [yi∈V ]T (2.47)



2.3.2 Modèle de Markov

Les champs de Markov sont largement utilisés en analyse d’image [13][15]. Ceux-ci per-mettent de modéliser des propriétés globales en utilisant des contraintes locales. Les modèlesAR-2D décrits précédemment sont des cas particuliers de champs aléatoires de Markov [1].SoientS le réseau des sites de l’image (card(S) = N ) etV un système de voisinage2.Une image peut être considérée comme la réalisation d’une famille de variables aléatoiresX =X1, . . . ,XN indexées surS. ChaqueXi prend sa valeur dans∆: ensemble des intensités de ni-veau de gris.Xi = xi,xi ∈ ∆ signifie que la variable aléatoireXi prend la valeurxi.De même,X = x,x ∈ ∆N signifie(X1 = x1, . . . ,XN = xN). x est appelé configuration et cor-respond à une réalisation du champ aléatoireX. Cette configuration a une certaine probabiliténotéeP (X = x).(X,∆N ,P ) est appelé champ de Markov par rapport àV s’il vérifie les deux propriétés suivantes:

– ∀x ∈ ∆N ,P (X = x) > 0 (Positivité)– ∀s ∈ S,∀x ∈ ∆N ,P (Xs = xs|Xr = xr,r ∈ S − {s}) = P (Xs = xs|Xr = xr,r ∈ V (s))

(Propriété de Markov)

Le théorème de Hamersley-Clifford met en équivalence les champs de Markov et les champsde Gibbs [1]:

X est un champ de Markov surV si et seulement siπ(x) = P (X = x) et π(x) est unedistribution de Gibbs. Une distribution de Gibbs s’écrit de la manière suivante:

π(x) =exp(−U(x)

T)

Z(2.48)

U(x) =∑c∈C

Vc(x) (2.49)

où C décrit l’ensemble des cliques, c’est à dire l’ensemble des pixels mutuellement voisins ausens deV .Vc est une fonction potentiel.T est un paramètre appelé température qui contrôle la décroissance de la distributionπ.

Le but est donc de modéliser la densité de probabilité deP (Xs = xs|Xr = xr,r ∈ V (s)).Cette densité est locale et conditionnelle puisqu’elle dépend du voisinageV (s) défini autour dusites.

Le modèle le plus utilisé est le modèle de markov gaussien (GMRF: Gaussian Markov Ran-dom Field). Dans ce cas, nous avons d’une part:

x(s) = e(s) +∑r∈V

θrx(s− r) (2.50)

ou es est un bruit gaussien à moyenne nulle de varianceσ2.avec:xs =

∑r∈V θrx(s− r) et d’autre part:

P (Xs = xs|Xr = xr,r ∈ V (s)) =1√

2πσ2exp

(xs − xs

2σ2

)(2.51)

2. pour un sites ∈ S, V est un système de voisinage si:s /∈ V (s) ets ∈ V (t) ⇔ t ∈ V (s) avecV (s) voisinage du sites



Les paramètres du modèles sont doncσ et le vecteur desθ.Cependant l’estimation de ces paramètres est complexe. La méthode du maximum de vraisem-blance ne peut être appliquée directement [21] car leZ lié à la formulation par champs de Gibbsest inconnu (Equ. 2.48). Les GMRF sont généralement estimés par des algorithmes d’identifica-tion (moindres carrés, gradients conjugués) [1][23].

Il existe aussi un modèle binomial proposé par [6] qui utilise une loi binomiale avec commeprobabilité:λ (qui dépend du voisinage) et comme nombre de tirages:N −1 oùN est le nombrede niveaux de gris. La probabilité conditionnelle d’avoir un niveau de grisxs au sites s’écritdonc:

P (Xs = xs|Xr = xr,r ∈ V (s)) = CN−1xs

· λ · (1− λ)N−1−xs (2.52)

λ dépend du voisinageV (s):

λ =exp(Ψ)

1 + exp(Ψ)(2.53)

Oùψ est une fonction éventuellement non linéaire calculée sur les niveaux de gris des pixelsappartenant au voisinage. Par exemple pour un voisinage d’ordre 2:

A B CD s EF G H

Ψ = a + b1(B + G) + b2(D + E) + b3(A + H) + b4(F + C)La texture est alors caractérisée par le vecteur de paramètreω = [a,b1,b2,b3,b4]

T

Le paramètrea est lié au niveau de gris moyen de la texture et les paramètresbi sont liés auxhomogénéités directionnelles (horizontales, verticales et diagonales).

La modélisation binomiale bien qu’intéressante, car elle permet de prendre en compte l’inter-dépendance spatiale entre pixels [1], ne trouve des intérêts pratiques que dans le cadre de lasynthèse de texture.

2.3.3 Segmentation par Modèle de Markov

Maximum A Posteriori (MAP)

Le but recherché ici est de transformer une image contenant plusieurs textures en une imagesegmentée représentant chacune des régions de différentes textures. Le cadre est d’emblée celuide la segmentation supervisée puisque l’on sait ce que l’on cherche.

2 étapes sont nécessaires:– une estimation des paramètres texturaux des différentes régions,– une estimation des zones texturée (régions et frontières).Ces estimations sont réalisables par l’optimisation de critères obtenus directement à partir

des définitions des modèles stochastiques. Parmi différentes méthodes, celle du maximum àposteriori (MAP) est souvent utilisée.

Elle repose sur la relation suivante:

p(X = x|Y = y) =p(Y = y|X = x)p(X = x)

p(Y = y)(2.54)



Comme pour l’analyse de texture, l’image source (à segmenter) est considérée comme laréalisation d’un champ aléatoire dont la probabilité d’apparition est notée:p(Y = y).

Le champ des régions est modélisé sur le même principe par la probabilité:p(X = x). oùla valeur dexs (valeur dex au sites de l’image) est comprise entre0 et NT − 1 où NT est lenombre de textures.

L’imageY étant une constante du problème, (Equ. 2.54) devient:

p(X = x|Y = y) ∝ p(Y = y|X = x)p(X = x) (2.55)

L’estimation du champ des régions est alors donnée par:

xMAP = argmaxx(p(X = x|Y = y)) (2.56)

xMAP = argminx(− ln(p(X = x|Y = y))) (2.57)

xMAP = argminx(− ln(p(Y = y|X = x)p(X = x))) (2.58)

Dès lors, le champ des régions est supposé être un champ de Markov. Donc suivant les rela-tions définies en section 2.3.2. On peut donc écrire (par le théorème d’Hammersley-Clifford):

− ln(p(X = x)) = U(x) + ln(Z) (2.59)

Comme précisé en 2.3.2, l’énergieU(x) s’exprime en fonction des potentiels associés auxcliques. Un modèle simple de cette énergie est le modèle de Potts.

La fonction énergie du champ des régions est définie par:

U(x) =√

2λt1(x) + λt2(x) (2.60)

avect1(x): le nombre de voisins différents horizontalement et verticalement,et t2(x): le nombre de voisins différents diagonalement.λ est un paramètre de lissage de la seg-mentation.

Dans le cas particulier où le modèle pour une texturem choisi pour l’image source est unmodèle AR de paramètresPm = {σ2

m,{amr }r∈V }. L’équation du modèle AR s’écrit dès lors:

es = Ys −∑r∈V

θxsr Ys−r (2.61)

Or es est supposé être une gaussienne. La distribution conditionnelle deY connaissantX s’écritalors (pour un voisinageV causal):

p(Y = y|X = x) =∏s∈I

1√2πσ2

xs

exp

(e2

s

2σ2xs

)(2.62)

d’où:

− ln p(Y |X) =1

2

∑s∈I

(e2

s

σ2xs

+ ln(σ2xs

) + ln(2π)

)(2.63)

au final, on obtient:

xMAP = argminx(− ln(p(Y = y|X = x)) + U(x) + ln(Z)) (2.64)

xMAP = argminx(1

2

∑s∈I

(e2

s

σ2xs

+ ln(σ2xs

) + ln(2π)

)+√

2λt1(x) + λt2(x)) (2.65)

Le terme enZ a disparu car étant constant son calcul n’est pas nécéssaire dans l’estimation dexMAP .



Algorithme de Minimisation

Il existe deux types d’algorithmes pour réaliser l’opérationargmin de (Equ. 2.64). Il s’agitsoit d’algorithmes stochastiques soit d’algorithmes déterministes. La première catégorie com-prend nottament l’échantillonneur de Gibbs [11]. L’algorithme déterministe le plus connu de laseconde catégorie est l’ICM (Iterative Conditonal Modes) [3]. C’est un échantilloneur de Gibbsà température nulle [5]. Les différentes étapes sont les suivantes :

– Choisir une configuration initiale de l’image segmentée aussi proche que possible de laconfiguration optimale3

– Répéter pour chaque sites ∈ S

Chercher l’étiquetteXns qui minimise l’énergie globale

Affecter l’étiquette au site

– Jusqu’à la réalisation d’un critère d’arrêt

Fin

Cet algorithme converge rapidement vers un minimum local de l’énergie a posteriori. Il estparfaitement déterministe dans la mesure où il n’y a aucun tirage aléatoire, le seul paramètre quiinflue sur le résultat final, outre le nombre de balayages, est la configuration initiale. Cependantl’ICM permet une segmentation rapide sans avoir à gérer le paramètreT de température.

3. Généralement on prendxMAP = argminx( 12

∑s∈I(

e2s

σ2xs

+ ln(σ2xs

) + ln(2π)))


Chapitre 3

Réalisations

3.1 Images utilisées et objectif

Les IRM cardiaques de rats utilisées ont été réalisées par le Service Commun d’AnalysesSpectroscopiques d’Angers. Une série de 7 images a été utilisée. Celles-ci correspondent à 2différents dosages de produits de contrastes et sont obtenues 5 heures après infarctus du myo-carde. Elles sont de taille 128× 128 et codées sur 8 bits.

L’objectif est la caractérisation des différentes zones myocardiques (zone saine, zone né-crosée et périphérique ou de souffrance myocardique) qui font suite à un infarctus. Après unepremière tentative par une méthode de contours actifs (utilisée pour segmenter le myocarde), desméthodes d’analyses texturales ont été mises en œuvre. Concrètement, nous souhaitons obteniren chaque pixel ou en chaque zone de pixels connexes (3× 3, 5×5) une information texturalepouvant être donnée par un vecteur de paramètres texturaux.

Le principal problème lié aux images utilisées est celui de la taille de celles-ci. En effet, lazone du myocarde s’insère dans un carré de 30 à 40 pixels de côté au maximum. De plus, lesimages sont bruitées et peu contrastées (Fig. 3.1).

3.2 Discrimination des zones par contours actifs

Avant de se lancer vers la segmentation des zones par caractérisation texturale, il nous estapparu utile de tester si la méthode développée dans l’Unité de Traitement d’Images Médicalespour la segmentation du myocarde pouvait discriminer ne serait ce que partiellement les zones.

FIG. 3.1 –IRM cardiaque de rat

18

3.3 Analyse texturale 19

Cette méthode, totalement décrite en [22], repose sur l’utilisation d’un modèle de contour actifparamétrique basé sur celui de [27]. Ce modèle est associé à un champ de force appelé GradientVector Flow (GVF) [26] qui permet la détection de frontières concaves et à une force ballon [4]qui "oblige" le contour à croître. Cependant, cette méthode nécéssite de prendre en compte uneinformation sur les contours qui est donnée par l’image gradient.

FIG. 3.2 –Image gradient du myocarde

Il apparaît en pratique que les frontières entre les différentes zones myocardiques (nécrosées,saines et périphériques) ne sont pas visibles sur une image gradient (Fig. 3.2) et empêchent doncla discrimination de ces zones parcontours actifs.

3.3 Analyse texturale

3.3.1 Modélisation d’Histogramme des images détails obtenues par DWT

La première méthode testée fut la méthode de l’histogramme décrite en section 2.2.2. Elle aété implémentée sous Matlab.

L’algorithme a d’abord été testé sur des textures naturelles largement utilisées dans la litté-rature scientifique. Dans l’exemple qui suit, la texture eau (Fig. 3.3) est utilisée. L’histogrammecorrespondant est également représenté (Fig. 3.4).

FIG. 3.3 –Texture de Brodatz Eau256× 256

Comme le montre la figure 3.4, la modélisation de l’histogramme d’une des image détail estcorrecte. Les paramètresα, β et K tels que définis par les équations (Equ. 2.32) (Equ. 2.35)(Equ. 2.36) décrivent bien la distribution.Afin de répondre aux besoins de notre application, c’est à dire la caractérisation de zones de

CHAPITRE 3 Réalisations Xavier BATY


FIG. 3.4 –Histogramme réel (rouge) et modélisé (bleu) de l’image détail horizontale pour un niveau de décompo-sitionα = 3,2 β = 1,4 K = 0,17



petites tailles, l’image source a ensuite été réduite afin d’étudier des images de petites tailles.Il apparaît alors que les histogrammes ne contiennent plus assez d’informations pour pouvoirêtre modélisé par une gaussienne généralisée. Cela se constate facilement sur l’histogramme(Fig. 3.5) tiré d’une ROI de taille16× 16 (qui reste une taille encore importante pour permettreune caractérisation tissulaire du myocarde en IRM du petit animal). Pour les mêmes raisons, leparamètre Energie décrit en 2.2.1 ne peut être utilisé.

FIG. 3.5 –Histogramme réel (rouge) et modélisé (bleu) de l’image détail horizontale pour un niveau de décompo-sitionα = 13,2 β = 2,1 K = 0,042



3.3.2 Le logiciel MaZda

MaZda est un programme destiné au calcul de paramètres texturaux. Il est en développementdepuis 1998 et tente de répondre aux besoins définis par le groupe de recherche européen COSTB11: Analyse quantitative de texture issues d’images d’IRM. Ce logiciel est développé par deschercheurs polonais. MaZda permet la sélection sur l’image de 16 ROI de formes quelconques.Les paramètres texturaux calculés sont issus de nombreuses méthodes:

– méthode de l’histogramme– matrice de cooccurrence– matrice de longueur de plage– matrice de gradients– énergie des images DWTDe plus, ce logiciel permet une sélection des 10 paramètres les plus discriminants, et ce par le

coefficient de Fischer. Ensuite une discrimination peut être effectuée par une analyse linéaire dis-criminante ou une analyse en composante principale ou une analyse discriminante non-linéaire.

3.3.3 Analyses

Rappel de Statistiques

Coefficient d’information de Fisher:

Il est défini comme le rapportinter-classeintra-classe[17]:

F =1

1−∑Kk=1 P 2

k

∑Kk=1

∑Kj=1 PkPj(µk − µj)

2

∑Kk=1 PkVk

(3.1)

avecµi etVi les moyennes et variances des classesi,Pi la probabilité de la classei (rapport entre le nombre d’échantillon de la classe i sur le nombred’échantillon total).Une classe regroupe des ROI de même nature.

Analyse Linéaire Discriminante:

L’analyse discriminante linéaire part de la connaissance de la partition en classes des indivi-dus d’une population et cherche les combinaisons linéaires des variables décrivant les individusqui conduisent à la meilleure discrimination entre les classes.

Soit xki le k-ième vecteur d’une classei (i = [1..M ], k = [1..N ]). On définit les matrices de

covariance intra-classeCW , inter-classeCB et la matrice de covariance totaleCT :

CW =1

M

N∑

k=1

M∑i=1

(xki − µk)(xk

i − µk)T avecµk le vecteur moyenne de la classek (3.2)

CB =1

M

N∑

k=1

M(µk − µ)(µk − µ)T avecµ le vecteur moyenne des variables de description

(3.3)



CT =1

M

N∑

k=1

M∑i=1

(xki − µ)(xk

i − µ)T (3.4)

Le but de l’analyse discriminante linéaire [17] est de trouver une matrice de transformationlinéaireΦ telle que l’on maximise le rapport:

|ΦT CT Φ||ΦT CW Φ| (3.5)

Un coefficient de séparabilité linéaireLS est défini par la plus grande valeur propre deC−1T CB.

Ainsi plus ce coefficient est proche de 1 plus les classes sont linéairement séparables.

Discrimination des textures

A l’aide du logiciel MaZda, nous avons définis avec un expert radiologue, quatre ROI cor-respondant à la zone saine (zones verte: 2), la zone nécrosée (zone rouge: 1) et aux deux zonespériphériques de souffrance myocardiques (zone bleues: 3 et 4) sur la série d’IRM cardiaques derat (Fig. 3.6). MaZda calcule sur ces quatres ROI 122 paramètres texturaux issus des méthodesde l’histogramme, de la matrice de cooccurrence, de la matrice des gradients et de la matricedes longueurs de plages. Les dix paramètres les plus discriminants au sens de l’information liéeau coefficient de Fischer sont retenus (Tab. 3.1) pour réaliser une analyse discriminante linéaire.Celle-ci nous permet de savoir si les régions sont discriminées entres elles (Fig. 3.7).

FIG. 3.6 –IRM cardiaque de rat et les 4 ROI sélectionnées

Résultats:

Dans ces conditions, les résultats sont très satisfaisants. Le coefficient de séparabilité linéaire(LS) vaut 1,00 et la classification par les plus proches voisins donne 0% d’erreur. Comme lemontre la figure (Fig. 3.7), chaque classe 1,2,3,4 est bien séparée des autres classes. Par contreles 2 zones en souffrances myocardiques (zones 3 et 4) sont également dissociées bien qu’ellesreprésentent théoriquement le même type de pathologie et donc de texture.Cette première étude montre bien qu’en connaissant à priori les zones myocardiques, il est pos-sible de les discriminer entre elles.



Paramètre Coefficient de Fischer45dgrRLNonUni 14.9495VertlRLNonUni 14.7089HorzlRLNonUni 12.8499135drRLNonUni 10.5950

S(0,1)Entropy 8.0994S(1,0)Entropy 7.7558S(2,0)Entropy 7.2999

S(0,1)SumEntrp 6.5179S(1,1)Entropy 6.2829S(1,-1)Entropy 6.2545

TAB . 3.1 –Les 10 paramètres les plus informatifs selon le critère de Fisher

FIG. 3.7 –Résultat de l’Analyse Discriminante Linéaire

Caractérisation des textures

Notre but est de prendre le problème "à l’envers". C’est à dire en partant de toutes petiteszones dans le myocarde, nous voulons caractériser les différentes zones myocardiques. En re-partant des précédentes images, la même manipulation a été effectuée mais en utilisant quatresROI carrées de 4 pixels de coté (Fig. 3.8).

FIG. 3.8 –IRM cardiaque de rat et les 4 ROI de petites tailles sélectionnées

Résultats:

Les résultats sont alors beaucoup moins satisfaisants. En effet,LS vaut 0,99. La classification



par les plus proches voisins donne 12,5% d’erreur.

Paramètre Coefficient de FischerS(1,-1)DifEntrp 11.4265VertlGLevNonU 10.0268S(2,-2)Contrast 9.6428

135drGLevNonU 9.0390S(2,0)DifEntrp 5.9811

Perc.99 4.9308GrVariance 4.8830

S(2,-2)SumAverg 4.713845dgrGLevNonU 4.4609S(1,-1)SumAverg 4.0630



En utilisant des ROI de petites tailles la discrimination ne se fait pas de manière optimale(Fig. 3.9). De plus les paramètres texturaux les plus représentatifs au sens de Fischer ne sont pasles mêmes que dans le cas des ROI complètes comme le montre la comparaison des tableaux(Tab. 3.1) et (Tab. 3.2).

Aucun paramètre ne se dégage donc clairement pour caractériser les zones myocardiques.Afind’augmenter la taille des ROI, la même expérience a donc été menée sur des images interpoléespar 2 dans les 2 dimensions.

Dans ces conditions,LS vaut 1,00. La classification par les plus proches voisins donne 0%d’erreur.La discriminantion se fait bien (Fig. 3.10) mais les paramètres texturaux changent encore (Tab. 3.3).

Il apparaît donc au cours de ces expériences qu’en pratique il est toujours possible de dis-criminer les zones entre elles, mais que les paramètres texturaux caractéristiques ne sont plusles mêmes lorsque la taille des ROI change. Cela ne permet pas d’envisager une caractérisa-tion tissulaire du myocarde par les paramètres classiquement utilisés en analyse texturale d’IRM(histogramme, cooccurrence...).



Paramètre Coefficient de FischerS(0,2)InvDfMom 3.6410S(1,-1)InvDfMom 3.3889

S(2,2)Correlat 3.2516Perc.50 3.1545

S(1,0)SumAverg 3.1090S(2,2)SumAverg 3.0968S(1,1)SumAverg 3.0549

Perc.10 3.0093S(2,0)SumAverg 2.9839S(0,2)SumAverg 2.9839



Problème lié aux petites tailles

Afin de vérifier si ce problème était effectivement lié à la petitesse des zones, une nouvellemanipulation a été effectuée. Partant d’IRM cardiaques humaines un ensemble de 4 ROIS car-rées de 20 pixels de côté ont été sélectionnées (Fig. 3.11). Puis les images ont été réduites d’unfacteur 2 puis 4 par rapport à l’original. Les ROIS carrées résultantes, de respectivement 10 et 5pixels de côté, ont donc été analysées (Fig. 3.12) (Fig. 3.13).Les paramètres texturaux ont été calculés avec MaZda puis une analyse linéaire discriminante aété effectuée.

FIG. 3.11 –ROI Taille originale FIG. 3.12 –ROI Taille réduite 1 FIG. 3.13 –ROI Taille réduite 2



Résultats:

Paramètre Coefficient de FischerS(1,-1)AngScMom 2259.7848S(1,0)AngScMom 2051.1438S(1,1)AngScMom 1316.1748

S(2,2)Entropy 827.5567S(2,0)AngScMom 721.9887

S(1,-1)Entropy 667.7082S(2,2)AngScMom 627.6710

S(0,2)Entropy 584.9838S(2,0)Entropy 548.8693S(2,-2)Entropy 547.2033

TAB . 3.4 –Les 10 paramètres selon le critère de Fisher - taille originale

Paramètre Coefficient de FischerS(2,2)Entropy 1302.6873

S(2,2)SumEntrp 771.0749S(1,1)AngScMom 528.1478

S(1,1)Entropy 516.8561S(0,1)AngScMom 484.9652S(2,2)AngScMom 324.0765

S(0,1)Entropy 295.0329S(1,0)Entropy 279.3191S(2,0)Entropy 251.2882

S(1,0)AngScMom 245.3048

TAB . 3.5 –Les 10 paramètres selon le critère de Fisher - taille réduite (facteur 2)

Paramètre Coefficient de FischerS(2,2)SumEntrp 124.4012S(1,0)SumEntrp 120.988345dgrGLevNonU 99.6748S(2,-2)Entropy 76.1383

S(2,-2)AngScMom 76.0000S(1,-1)DifEntrp 66.5176S(2,2)DifEntrp 62.5277

S(2,-2)SumEntrp 60.0822S(2,0)SumEntrp 58.1198S(0,1)DifEntrp 57.4858

TAB . 3.6 –Les 10 paramètres selon le critère de Fisher - taille réduite (facteur 4)

Là encore, discrimination se passe bien (0% d’erreur dans les 3 cas) (Fig. 3.14) (Fig. 3.15)(Fig. 3.16) mais comme le montrent les paramètres sélectionnés par le coefficient de Fischer(Tab. 3.4) (Tab. 3.5) (Tab. 3.6), aucun paramètre n’apparaît simultanément pour les différentséchantillonnages. Aucun paramètre n’est donc suffisamment représentatif pour permettre unecaractérisation tissulaire du myocarde en IRM.

Les méthodes statistiques ne semblent donc pas adaptées à la caractérisation des zones myo-cardique en IRM du petit animal du fait de la taille des zones à localiser.



FIG. 3.14 –Taille originaleFIG. 3.15 – Taille réduite(facteur 2)

FIG. 3.16 – Taille réduite(facteur 4)

3.3.4 Analyse par modèle & Segmentation

Des programmes sont, à l’heure actuelle, en cours de développement pour implémenter lesméthodes présentées en 2.3. Pour l’instant des problèmes algorithmiques empêchent l’obtentionde résultats probants. En effet, les résultats données (Fig. 3.17) représentent la segmentationinitiale avant ICM et ne tiennent donc compte que de l’énergie interne de l’image 2.3.3. Ils necaractérisent qu’une partie de la zone nécrosée du myocarde.

FIG. 3.17 –segmentation du myocarde

3.3.5 Perspectives

Les méthodes statistiques ne donnent pas de résultats satisfaisant, je me suis donc tourné versles méthodes employées en imagerie satellitaire ou la discrimination entre des zones de forêts, demer ou de villes par exemple est largement discutée. La mise au point de ces méthodes demandeun peu de temps leur utilisation étant nouvelle pour le laboratoire.

Néanmoins, il semblerait intéressant de caractériser le bruit lié à l’IRM afin d’effectuer undécorrélation du bruit de l’image avant analyse. En effet les IRM cardiaques de rats sont trèsbruitées.


Chapitre 4

Conclusion

L’objectif de notre étude était la caractérisation des zones myocardiques dans le cadre d’uninfarctus. Cet objectif n’est que partiellement atteint puisque l’analyse statistique seule ne per-met que la confirmation d’une discrimination manuelle.L’apport des techniques issues de l’imagerie satellitaire ne donne pas, dans une version "simple"de résultats corrects. Les méthodes par modèles peuvent néanmoins êtres améliorées pour s’adap-ter à l’image étudiée: définition d’un modèle de bruit spécifique par exemple, définition d’unnouveau vecteur de paramètres texturaux...

L’hypothèse de l’absence de solution à notre problème ne doit pas être oubliée. L’informa-tion intrinsèque contenue dans les images ne peut pas être extrapolée suffisamment pour qu’untraitement simple puisse donner des résultats. En effet, les images traitées sont de faibles tailleset très bruitées, ce qui doit nous amener à regarder de façon critique nos résultats.

29

Annexe A

Décomposition en Ondelettes

A.1 Décomposition d’un signal

La décomposition en ondelettes est actuellement la technique phare de l’analyse multirésolu-tion. Cette annexe ce base sur les références: [9] [16] [25]Une ondeletteψ(t)est une fonction satisfaisant les conditions suivantes:

– ψ est une fonction régulière (avecr − 1 dérivées continues et une dérivée finie à l’ordrer)– ψ et ses dérivées d’ordre inférieur àr décroissent rapidement à l’infini.

– La familleψj,k(t) = 2j2 ψ(2jt− k) avecj,k ∈ Z, est une base orthonormale deL2(R).

Une analyse multi-résolution deL2(R) est une séquenceVj, j ∈ Z, de sous espaces deL2(R)ayantles propriétés suivantes:

–+∞⋂

j=−∞Vj = {∅} (A.1)

–+∞⋃

j=−∞Vj = L2 (A.2)

–Vj ⊂ Vj+1 (A.3)

– f(t) ∈ Vj si et seulement sif(2t) ∈ Vj+1

– Il existe une fonction régulièreφ(t) sur support compact telle que la familleφ(t−k),k ∈ Zsoit une base orthonormale deV0. φ est appelée fonction d’échelle.

Les mathématiques vérifient, dès lors, que la familleφj,k(t), définie par

φj,k(t) = 2j2 ψ(2jt− k),k ∈ Z (A.4)

est une base orthonormale deVj. On peut alors construire une base orthonormale d’ondelettesW0, complément deV0 dansV1. On a alors une ondelette mère en imposant que:ψ(t,k), k ∈ Z,soit une base deW0. En imposant de plus des conditions de régularité et de localisation, onobtient une ondelette mère définie de façon unique. Etant donné que la familleφj,k,j,k ∈ Z estune base orthonormale deL2(R), chaque fonctionf ∈ L2(R), on obtient la décomposition:

f =+∞∑

j=−∞

+∞∑

k=−∞wj,kψj,k (A.5)

30

A.2 Cas de signaux 2D 31

L’index i représente la dilation de l’ondelette et l’indexk la translation.

A la résolution2j, l’opérateur d’approximation def , notéA2jf est la projection1 de f surVj. De même, on noteD2jf la projection def surWj qui représente l’opérateur de détails def .On a donc:

A2jf(x) =+∞∑

k=−∞〈f(u),φj,k(u)〉φj,k(x) (A.6)

D2jf(x) =+∞∑

k=−∞〈f(u),ψj,k(u)〉ψj,k(x) (A.7)

Les produits scalaires pouvant s’interpreter comme des produits de convolution, les opéra-teursA et D peuvent être respectivement vus comme un filtre passe-bas et un filtre passe hauten quadrature (le signal non filtré par un filtre est totalement filtré par l’autre).

A.2 Cas de signaux 2D

L’analyse d’un signal 2D tel qu’une image ou d’un bloc de données 3D se déduit de la dé-composition d’un signal 1D. On utilise une hypothèse de séparabilité. Les signaux 2D (commeles images par exemple) sont ainsi décomposés suivant une dimension puis l’autre afin d’obtenirune image approximation et 3 images détails: Horizontaux, verticaux et diagonaux (toutes lesdirections sauf horizontales et verticales ).

FIG. A.1 – Image source

Filtrage Passe Bas Filtrage Passe Haut

Filtrage Passe Bas

Filtrage Passe Haut

TAB . A.1 – Décomposition d’une image

1. on note〈. . .〉 le produit scalaire dansL2

CHAPITRE A Décomposition en Ondelettes Xavier BATY

Bibliographie

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[2] J.-F. Aujol, G. Aubert, and L. Blanc-Féraud. Supervised classification for textured images.Rapport de Recherche INRIA, 2002.

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BIBLIOGRAPHIE Xavier BATY

RESUME –

L’utilisation de l’IRM, couplee a l’utilisation d’agents de contraste, permet une caracterisationde l’infarctus du myocarde chez le petit animal. Il est alors possible de distinguer visuellementles zones saines, necrosees et peripheriques (zones de souffrance myocardique) du muscle car-diaque.L’analyse de texture,par les methodes statistiques classiques, permet de discriminer ces zonesmoyennant une definition manuelle de celles-ci – ce qui est inenvisageable dans le cas d’etudessur de grandes bases de donnees – . La premiere partie du present rapport decrit doncdifferentes methodes d’analyses texturales utilisees pour caracteriser les zones myocardiquesainsi qu’une methode de segmentation par champ de Markov. Les resultats obtenus sontpresentes dans la seconde partie.Les analyses purement statistiques confirment la discrimination manuelle des zones. Les ana-lyses par modeles AR et modeles de Markov necessiteront de nouveaux developpements pouresperer donner des resultats.

MOTS-CLES : Analyse de texture, Segmentation, Methodes statistiques, Ondelettes, ModelesAR, Modeles de Markov.

classiﬂcation tissulaire par analyse texturale en irm...

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