classe de troisième mathématiques

1

Classe de Troisième

Mathématiques

Fiches de révisions pour le Brevet

Version 2019 L. De Buyzer

2

Sommaire N° Titre page

0 Pour commencer, quelques conseils … 3

1 Nombres relatifs 4

2 Fractions 5

3 Puissances 6

4 Racines carrées 7

5 Arithmétique 8

6 Statistiques 9

7 Probabilités 10

8 Pourcentages 11

9 Vitesse 12

10 Calcul littéral 13

11 Equations 14

12 Inéquations 15-16

13 Fonctions, fonction linéaire, fonction affine 17-18

14 Utilisation du tableur 19

15 Pythagore 20

16 Thalès 21

17 Trigonométrie dans un triangle rectangle 22

18 Rappels de géométrie plane 23

19 Triangles égaux 24

20 Agrandissements-réductions, triangles semblables 25

21 symétries, translation, rotation, homothétie 26

22 Géométrie dans l’espace 27

23 Algorithmique 28

24 Formulaires : périmètres, aires, volumes 29

25 Formulaire : conversions 30

3

Tout au long de l’année Comprendre Apprendre S’entrainer Se corriger Retenir

➢ Ecouter,

être attentif

et participer

en classe

➢ Apprendre

régulièrement

ses leçons

➢ Faire ses

exercices

➢ Faire les DM

sérieusement

➢ Corriger ses

erreurs

(Exercices, interro,

DM, DS, DC, Brevet

Blanc)

➢ Faire des fiches de

révisions avec les

formules, les méthodes,

des exemples

Lors des révisions (tout le mois de juin minimum)

• Faire un planning de révisions pour bien répartir son temps entre les matières

• Acheter des annales de brevet et faire au moins un exercice par jour. Si tu as besoin de retourner dans

ton cahier de leçons à ce moment-là, écris en rouge dans ton exercice ce que tu ne dois pas oublier.

• Poser des questions sur les notions qu’on ne comprend pas encore tout à fait.

Début des épreuves …

1) Avant l’épreuve : Vérifier son sac la veille, arriver à l’avance pour éviter le stress…

2) Au début de l’épreuve :

• Remplir l’entête de la copie

• Parcourir tout le sujet pour repérer les thèmes abordés (mettre un titre à chaque exercice).

Les exercices étant indépendants, ils peuvent être traités dans le désordre. Commence par le plus facile

pour toi !

3) Pendant l’épreuve :

• Soigner sa copie : écriture, préciser le numéro des exercices et des questions traités, encadrer les

résultats

• Lire l’énoncé de l’exercice en entier : repérer les données numériques et les informations importantes (tu

peux mettre du fluo sur l’énoncé), faire un schéma si besoin.

• Résolution : justifier grâce à des calculs ou des propriétés puis répondre à l’aide de phrases

(sauf si aucune justification n’est demandée, ex : certains QCM)

Remarque : au moment de conclure, relire la question

• Rédaction :

- en algèbre : introduire les inconnues utilisées, aller à la ligne et aligner les signes "=" dans les calculs

- en géométrie : « Je sais que … Or … Donc … », penser à mettre les unités et à bien arrondir les résultats.

• Figures ou courbes demandés : propre, au crayon de papier peu appuyé, traits de construction apparents

• Calculatrice : penser aux parenthèses, touche "S D", arrondis

4) A la fin de l’épreuve :

• Numéroter les pages (par exemple si tu as rempli 5 pages il faut écrire 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 et 5/5)

• Vérifier que tu as rendu toutes tes copies, ainsi que la page annexe s’il y en a une.

• Vérifier les entêtes.

BON COURAGE ET BONNE CHANCE !

Pour commencer, quelques conseils …

4

Fiche de révisions : Nombres relatifs

1) Simplification d’écriture

• On supprime le signe + des nombres positifs.

• On supprime les parenthèses du premier nombre d’un calcul.

• On supprime les parenthèses autour des autres nombres en appliquant la règle des signes : + lorsque deux même signes se suivent – lorsque deux signes différents se suivent

mêmes signes : signes différents :

+ ( + … ) = + … −( + … ) = − …

−( − … ) = + … + (− … ) = − …

2) Les 4 opérations

𝑎 + 𝑏 Même signe :

On garde le signe commun et on ajoute les parties

numériques.

𝐴 = (+3) + (+7) = 3 + 7 = 10

𝐵 = (−4) + (−5) = −4 − 5 = −9

Signes différents : On garde le signe du nombre qui a la

plus grande partie numérique et on soustrait les parties

numériques.

𝐶 = (+5) + (−8) = 5 − 8 = −3

𝐷 = (−1,5) + (+6) = −1,5 + 6 = 4,5

𝑎 − 𝑏 On simplifie d’abord les écritures pour retrouver une

addition

𝐸 = (−10) − (−1) = −10 + 1 = −9

𝐹 = (+2) − (+7) = 2 − 7 = −5

𝑎 × 𝑏 On applique la règle des signes et on multiplie les parties

numériques.

(+⋯ ) × (+⋯ ) = +⋯ (+⋯ ) × (−⋯) = −⋯

(−⋯ ) × (−⋯ ) = +⋯ (−⋯ ) × (+⋯) = −⋯

𝐺 = 6 × 7 = 42

𝐻 = 9 × (−3) = −27

𝐼 = (−1) × (−11) = 11

𝐽 = (−5) × 10 = −50

𝑎: 𝑏 =𝑎

𝑏

On applique la règle des signes et on divise les parties

numériques.

+ …

+ …= +⋯

− …

− …= +⋯

+ …

− …= −⋯

− …

+ …= −⋯

𝐾 = 15: 5 = 3

𝐿 = (−8): 2 = −4

𝑀 = 147: (−10) = −14,7

𝑁 = (−90): (−9) = 10

𝑃 =16

−2= −8

3) Priorités opératoires

1. On commence par effectuer les calculs qui sont entre parenthèses.

2. On calcule les puissances s’il y en a.

3. On effectue les multiplications et les divisions : elles sont prioritaires !

4. On effectue les additions et les soustractions

Exemples :

𝐴 = (+14) + (−7) = 14 − 7

𝐵 = (−8) − (−5) = −8 + 5

𝐶 = (−20) + (+8) = −20 + 8

𝐷 = 12 − (+10) = 12 − 10

Exemple :

𝐴 = 3 + 2 × (10 − 4 × 52)

𝐴 = 3 + 2 × (10 − 4 × 25)

𝐴 = 3 + 2 × (10 − 100)

𝐴 = 3 + 2 × (−90)

𝐴 = 3 − 180

𝐴 = −177

5

Fiche de révisions : fractions

Addition, soustraction

Pour additionner (ou soustraire)

des fractions, elles doivent avoir le

même dénominateur.

Ensuite on additionne (ou on

soustrait) les numérateurs et on

garde le dénominateur commun.

exemple :

𝐶 = 3 −1

5

𝐶 =3

1−1

5

𝐶 = 3×5

1×5−1

5

𝐶 =15

5−1

5

𝐶 =15−1

5

𝐶 =14

5

Multiplication

Pour multiplier deux nombres

relatifs en écriture fractionnaire,

on multiplie les numérateurs entre

eux et les dénominateurs entre

eux.

exemple :

𝐵 = 15 ×8

9

𝐵 =15

1×8

9

𝐵 =15×8

1×9

𝐵 =5×3×8

1×3×3

𝐵 =5×8

1×3

𝐵 =40

3

Division

Pour diviser deux nombres relatifs

en écriture fractionnaire (le

deuxième doit être non nul),

on multiplie le premier nombre par

l’inverse du deuxième nombre (on

échange le numérateur et le

dénominateur).

exemple :

𝐴 =4

3∶−3

2

𝐴 =4

3×

2

−3

𝐴 =4×2

3×(−3)

𝐴 =8

−9

𝐴 = −8

9

Priorité dans les calculs

- On commence par effectuer les calculs

entre parenthèses

- La multiplication et la division sont prioritaires.

exemple :

𝐴 =1

7+4

7×3

8

𝐴 =1

7+4×3

7×8

𝐴 =1

7+

4×3

7×4×2

𝐴 =1

7+

3

7×2

𝐴 =1

7+

3

14

𝐴 =1×2

7×2+

3

14

𝐴 =2

14+

3

14

𝐴 =5

14

Résoudre un problème Enoncé :

C’est le goûter, trois enfants entament une tablette de

chocolat.

Le premier prend le tiers de la tablette et le deuxième

enfant prend le quart.

Le troisième prend les deux cinquièmes de ce qu’il reste

après que le premier et le deuxième se soient servis.

Quelle est la part du troisième enfant ?

• 1er enfant : 1

3

• 2ème enfant : 1

4

• part des deux premiers enfants :

1

3+1

4=1×4

3×4+1×3

4×3=

4

12+

3

12=

7

12

• reste après les deux premiers enfants : 12

12−

7

12=

5

12

• troisième enfant : 2

5 du reste c'est-à-dire

2

5 de

5

12.

On calcule 2

5×

5

12

2

5×

5

12=

2×5

5×12=

2

12=2×1

2×6=1

6

Conclusion : Le troisième enfant mange un sixième de la

tablette de chocolat.

on simplifie avant

d’effectuer le

produit

6

Fiche de révisions : puissances

• puissances d’un nombre

• puissances de 10

à savoir exemples 𝑎0 = 1 30 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

(−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛=

1

𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

7−2 =1

72=

1

7 × 7=1

49

𝑎𝑛 × 𝑎𝑝 = 𝑎𝑛+𝑝 : on ajoute les exposants

52 × 57 = 52+7 = 59

𝑎𝑛

𝑎𝑝= 𝑎𝑛−𝑝 : on soustrait les exposants

(−8)4

(−8)6= (−8)4−6 = (−8)−2

(𝑎𝑛)𝑝 = 𝑎𝑛×𝑝 : on multiplie les exposants. (35)2 = 35×2 = 310

𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 = (𝑎 × 𝑏)𝑛 53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 = 10 × 10 × 10 = 1 000

𝑎𝑛

𝑏𝑛= (

𝑎

𝑏)𝑛

12−2

3−2= (

12

3)−2= 4−2

nano-

n

micro- 𝝁

milli-

m

centi-

c

déci-

d

déca-

da

hecto-

h

kilo-

k

méga-

M

giga-

G

10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109

à savoir exemples 10𝑛 = 1 0…0⏟

𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠

107 = 10 000 000

10−𝑛 = 0,…0⏟ 1𝑛 𝑧é𝑟𝑜𝑠

10−4 = 0,0001

10𝑛 × 10𝑝 = 10𝑛+𝑝 : on ajoute les exposants

107 × 10−4 = 107+(−4) = 103

10𝑛

10𝑝= 10𝑛−𝑝 : on soustrait les exposants

105

10−6= 105−(−6) = 105+6 = 1011

(10𝑛)𝑝 = 10𝑛×𝑝 : on multiplie les exposants.

(10−3)8 = 10−3×8 = 10−24

multiplier un nombre par 10𝑛 revient à déplacer la

virgule de 𝑛 rang(s) vers la droite .

7,415 × 106 = 7 415 000

multiplier un nombre par 10−𝑛 revient à déplacer la

virgule de 𝑛 rang(s) vers la gauche

−18 025,48 × 10−3 = −18,02548

L’écriture (ou notation) scientifique d'un nombre

relatif est l'écriture de ce nombre sous la forme

𝑎 × 10𝑛 où 𝑛 est un nombre entier relatif et 𝑎 un

nombre relatif dont la distance à zéro est un nombre

entre 1 et 10, 10 exclu.

𝐴 = 26 000 = 2,6 × 104 𝐵 = 0,0089 = 8,9 × 10−3 𝐶 = 105 × 104 = 1,05 × 102 × 104 = 1,05 × 106

𝐷 =4×104×45×106

9×108 =

4×45

9×104×106

108

=4×9×5

9×1010

108

= 4 × 5 × 1010−8 = 20 × 102 = 2,0 × 101 × 102 = 2 × 103

7

Fiche de révisions : racines carrées

Carré :

𝑎2 = 𝑎 × 𝑎

Racine carré :

√𝑎

(𝑎 est un nombre positif)

02 = 0 √0 = 0

12 = 1 √1 = 1

22 = 4 √4 = 2

32 = 9 √9 = 3

42 = 16 √16 = 4

52 = 25 √25 = 5

62 = 36 √36 = 6

72 = 49 √49 = 7

82 = 64 √64 = 8

92 = 81 √81 = 9

102 = 100 √100 = 10

112 = 121 √121 = 11

122 = 144 √144 = 12

Propriétés sur les racines carrées Exemples

Sous le symbole √ il y a toujours un nombre positif

√3 existe

√−3 n’existe pas !

Le résultat d’une racine carrée est un nombre positif √3 ≈ 1,73 > 0

Pour trouver le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥2 = 𝑎,

on calcule la racine carrée de 𝑎 : 𝑥 = √𝑎

1) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥2 = 25 est :

𝑥 = √25 = 5


𝑥 = √81 = 9


𝑥 = √20 ≈ 4,5

4) Le nombre positif 𝑥 tel que 𝑥2 = 6,7 est :

𝑥 = √6,7 ≈ 2,6

Si 𝑎 est un nombre positif : (√𝑎)2= 𝑎 (√3)

2= 3

Si 𝑎 est un nombre positif : √ 𝑎2 = 𝑎 √ 32 = 3

8

méthode : 12 est-il un diviseur de 84 ?

84 ∶ 12 = 7

donc 12 est un diviseur de 84 et 7 est un autre

diviseur de 84.

Fiche de révisions : arithmétique

• Vocabulaire :

60 = 6 × 10. On dit alors que :

6 et 10 sont des diviseurs de 60

6 et 10 divisent 60

60 est un multiple de 6 et de 10

60 est divisible par 6 et par 10

• Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemple : 19 est-il un nombre premier ?

19 = 1 x 19 . Les diviseurs de 19 sont 1 et 19.

Le nombre 19 n’a que deux diviseurs donc 19 est un nombre premier.

Nombres premiers inférieurs à 20 : 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 - 17 – 19.

• Décomposition d’un nombre entier en facteurs premiers

Méthode : On divise le nombre par un nombre premier, puis le résultat obtenu par un nombre premier, et ainsi de

suite jusqu’à obtenir 1. On trouve la décomposition à partir de la liste des diviseurs premiers utilisés.

Exemples : Décomposer en facteurs premiers les nombres suivants

1) Le nombre 84

84 : 2 = 42

42 : 2 = 21

21 : 3 = 7

7 : 7 = 1

2) Le nombre 135

135 : 3 = 45

45 : 3 = 15

15 : 3 = 5

5 : 5 = 1

• Fraction irréductible

Méthode : Pour rendre une fraction irréductible, on décompose son numérateur et son dénominateur en un

produit de facteurs premiers puis on simplifie cette fraction par tous les facteurs communs.

Exemple : Rendre irréductible la fraction 𝟐𝟎𝟒

𝟕𝟐

nombre entier

Donc 84 = 2 x 2 x 3 x 7

84 = 2² x 3 x 7

Donc 135 = 3 x 3 x 3 x 5

135 = 33 x 5

204 : 2 = 102

102 : 2 = 51

51 : 3 = 17

17 : 17 = 1

Donc 204 = 2 x 2 x 3 x 17

72 : 2 = 36

36 : 2 = 18

18 : 2 = 9

9 : 3 = 3

3 : 3 = 1

Donc 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Ainsi :

204

72=

2×2×3×17

2×2×2×3×3=

17

2×3=

17

6

9

Fiche de révisions : statistiques

la série est donnée sous forme de liste la série est donnée sous forme de tableau

avec effectifs

Exemple :

Voici les notes obtenues par Julie en maths :

12 ; 5 ; 18 ; 10 ; 15 ; 9 ; 11

Exemple : Le tableau concerne le nombre de

sports pratiqués par les 28 élèves d’une classe.

Nombre de sports

pratiqués 0 1 2 3 4

Effectifs 2 12 8 5 1

étendue =

« Max - Min »

meilleure note : 18

moins bonne note : 5

donc l’étendue est e = 18 - 5 = 13

Interprétation : les notes sont dispersées.

plus grande valeur : 4

plus petite valeur : 0

donc l’étendue est e = 4 - 0 = 4

Interprétation : les valeurs sont dispersées.

moyenne on additionne toutes les valeurs et on divise

par l’effectif total

𝑚 = (12 + 5 + 18 + 10 + 15 + 9 + 11) ∶ 7 𝑚 = 80 ∶ 7 ≈ 11,4

La moyenne de maths de Julie est de 11,4

environ

pour chaque colonne du tableau, on multiplie la

valeur par l’effectif, on additionne les résultats

et on divise le tout par l’effectif total

𝑚 =0×2+1×12+2×8+3×5+4×1

28=47

28≈ 1,7

Ils pratiquent environ 1,7 sports en moyenne

médiane on range les valeurs dans l’ordre croissant.

- Si l’effectif total est impair la médiane est

la valeur centrale.

- Si l’effectif total est pair, la médiane est la

moyenne des deux valeurs centrales.

Pour trouver la position de la valeur centrale,

on divise l’effectif total par 2

valeurs dans l’ordre croissant :

5 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 15 ; 18

L’effectif total est 7.

7: 2 = 3,5 donc la médiane est la 4e valeur,

c'est-à-dire 𝑀𝑒 = 11

interprétation : Julie a autant de notes

inférieures ou égales à 11 que de notes

supérieures ou égales à 11.

on ajoute la ligne des effectifs cumulés

croissants (ECC).

- Si l’effectif total est impair la médiane est la

valeur centrale.

- Si l’effectif total est pair, la médiane est la

moyenne des deux valeurs centrales.

Pour trouver la position de la valeur centrale, on

divise l’effectif total par 2 puis on regarde dans

la ligne des ECC.

Nombre de

sports pratiqués 0 1 2 3 4 total

Effectifs 2 12 8 5 1 28

ECC 2 14 22 27 28

L’effectif total est 28.

28: 2 = 14 donc la médiane est la moyenne entre

la 14e valeur (1) et la 15e valeur (2), c'est-à-dire

𝑀𝑒 =1+2

2= 1,5

interprétation : il y a autant d’élèves qui

pratiquent moins de 1,5 sports que d’élèves qui

pratiquent plus de 1,5 sports.

10

Fiche de révisions : probabilités

mot de vocabulaire définition du mot exemple

expérience aléatoire expérience liée au hasard, on ne peut pas prévoir quel

sera le résultat

on lance un dé à 6 faces équilibré (non

pipé) et on regarde le nombre de points

inscrits sur sa face supérieure.

issues résultats possibles d’une expérience aléatoire il y a 6 issues :

« obtenir 1 » « obtenir 4 »



événement impossible événement qui ne peut pas se réaliser « obtenir 0 » est un événement

impossible

événement certain événement qui se réalise toujours « obtenir un nombre entier entre 1 et

6 » est un événement certain.

événement élémentaire événement qui n’a qu’une seule issue l’événement « obtenir un nombre pair

supérieur à 5 » est réalisé par une seule

issue « obtenir 6 ».

événements

incompatibles

événements qui ne peuvent pas se réaliser en même

temps

« obtenir 1 » et « obtenir 3 » sont deux

événements incompatibles.

événements contraires lorsque l’évenement A ne se réalise pas, l’événement

contraire de A (noté « non A ») se réalise

« obtenir un nombre pair » et « obtenir

un nombre impair » sont deux

événements contraires

Différence entre fréquence et probabilité :

Exemple : Un dé cubique a 6 faces peintes : une en bleue, une

en rouge, une en jaune, une en verte et deux en noir.

1) On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur

de la face obtenue.

Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs

obtenues lors de ces cent lancers.

Déterminer la fréquence d’apparition de la couleur jaune.

Lors de l’expérience on a obtenue 20 fois la couleur jaune sur

les 100 lancers donc la fréquence d’apparition de la couleur

jaune est 20

100= 0,2

2) On suppose que le dé est équilibré.

Quelle est la probabilité d’obtenir la couleur jaune ?

Il y a une face jaune sur les 6 faces du dé donc la probabilité

d’obtenir la couleur jaune est 1

6≈ 0,17

3) Expliquer l’écart entre la fréquence obtenue à la question 1

et la probabilité trouvée à la question 2.

D’après le cours, plus il y a de lancers plus la fréquence se

rapproche de la probabilité. Dans la question 1, on effectue

seulement 100 lancers, ce n’est pas assez important, ce qui

explique l’écart entre les fréquences et les probabilités.

Calculs de probabilités :

attention, une probabilité est un nombre entre 0 et 1

Exemple : Voici la composition de la classe de 25 élèves de 3e .

1) Compléter le tableau ci-dessous

Garçon Fille Total

Externes 2 3 5

Demi-pensionnaire 9 11 20

Total 11 14 25

2) On choisit un élève au hasard

a) Calculer la probabilité de l’événement F : « cet élève est une

fille ».

Il y a 14 filles sur 25 élèves donc 𝑝(𝐹) =14

25

b) Définir par une phrase l’événement (non F) et calculer sa

probabilité.

non F : « cet élève n’est pas une fille ».

autrement dit : non F : « cet élève est un garçon ».

𝑝(𝑛𝑜𝑛𝐹) = 1 − 𝑝(𝐹) = 1 −14

25=25

25−14

25=11

25

Expérience à deux épreuves, arbre de probabilités :

Exemple : On joue à Pile (P) ou Face (F) avec une

pièce bien équilibrée. Ensuite, on fait tourner la

roue bien équilibrée ci-dessous et on relève le

numéro du secteur qui s'arrête face au repère

il y a 6 issues : (P ;1) (P ;2) (P ;3) (F ;1) (F ;2) et (F ;3)

Par exemple la probabilité d’obtenir face puis le n°3 est 3

12=1

4

𝑝(𝑃; 1) =1

2×1

6=1

12

𝑝(𝑃; 2) =1

2×2

6=2

12

𝑝(𝑃; 3) =1

2×3

6=3

12

𝑝(𝐹; 1) =1

2×1

6=1

12

𝑝(𝐹; 2) =1

2×2

6=2

12

𝑝(𝐹; 3) =1

2×3

6=3

12

11

Fiche de révisions : pourcentages

• Appliquer un pourcentage

Méthode : Si on veut calculer 𝑎 % d’une quantité on effectue le calcul suivant 𝑎

100× 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é

Exemple : Une citerne ayant une capacité de 8 500 L est remplie d’eau à 60 %.

Quelle quantité d’eau contient cette citerne ? 60

100× 8500 = 0,6 × 8500 = 5 100. Il y a 5 100 L d’eau dans cette citerne.

• Calculer un pourcentage

Méthode : On effectue le calcul suivant 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é

𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡é 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 × 100

Exemple :

Le tableau ci-dessous présente les notes (sur 20) obtenues par une classe de 3e lors du dernier devoir surveillé

Note 1 3 5 6 8 9 10 11 12 14 18 19 20

Effectif 1 1 2 1 2 3 5 1 1 2 1 1 1

Déterminer le pourcentage d’élèves, arrondi à l’unité, ayant eu au plus 10/20 à ce devoir surveillé.

- Nombre d’élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 10 : 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 = 15

- Nombre d’élèves au total : 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 22

- Pourcentage : 15

22× 100 ≈ 68

Ainsi, environ 68 % des élèves de cette classe a eu au plus 10/20 à ce devoir surveillé.

• Augmentation et diminution en pourcentage

Augmenter un nombre de 𝑡 % revient à le multiplier par

(1 +𝑡

100)

Exemple :

L’effectif d’un club sportif de 350 membres augmente

de 4 %. Quel est le nouvel effectif de ce club sportif ?

350 × (1 +4

100) = 350 × (1 + 0,04) = 350 × 1,04 = 364

Il y a maintenant 364 membres dans ce club sportif.

Diminuer un nombre de 𝑡 % revient à le multiplier par

(1 −𝑡

100)

Exemple :

Un article qui coûtait 125 € est soldé et son prix

diminue de 35 %.

Quel est le prix de cet article lors des soldes ?

125 × (1 −35

100) = 125 × (1 − 0,35) = 125 × 0,65 = 81,25

Lors des soldes, cet article coûte 81,25 €.

Calculer la valeur initiale, avant augmentation ou diminution

On divise le résultat par (1 +𝑡

100) si c’est une

augmentation ou par (1 −𝑡

100) si c’est une diminution.

Exemple : La population d’un village a diminué de 15 %

en trente ans. Il compte aujourd’hui 289 habitants.

Quelle était sa population il y a trente ans ?

289: (1 −15

100) = 289: (1 − 0,15) = 289: 0,85 = 340 . Ainsi il

y avait 340 habitants dans ce village il y a 30 ans.

Calculer le pourcentage d’augmentation ou de diminution 𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒× 100

Exemple : Le réseau autoroutier français est passé de

4 862 km en 1980 à 10 843 km en 2006.

De quel pourcentage a-t-il augmenté entre 1980 et

2006 ? Arrondir à l’unité 10843−4862

4862=5981

4862× 100 ≈ 123 .

Le réseau autoroutier français a augmenté de 123 %

environ entre 1980 et 2006.

12

Fiche de révisions : vitesse

Rappel de conversions de durée : 1 an ≈ 365 jours ; 1 jour = 24 h ; 1 h = 60 min ; 1 min = 60 s

• Calculer une vitesse

𝑣 =𝑑

𝑡

Exemple : Lorsque Nicole part de Paris à 9h00, le compteur kilométrique de sa voiture indique 23 245 km.

Elle arrive au Havre à 11h30 et le compteur indique 23 425 km. A quelle vitesse moyenne a-t-elle roulé ?

- distance parcourue : 𝑑 = 23 425 − 23 245 = 180 𝑘𝑚

- durée du parcours : 𝑡 = 11ℎ30 − 9ℎ00 = 2ℎ30 = 2ℎ + 30𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ +1

2ℎ = 2ℎ + 0,5ℎ = 2,5ℎ

D’où 𝑣 =𝑑

𝑡=180

2,5= 72 𝑘𝑚/ℎ

Nicole a roulé à la vitesse moyenne de 72 km/h.

• Calculer une distance

Exemple : Un cycliste effectue un trajet de 48 min avec une vitesse moyenne de 23 km/h.

Quelle distance parcourt-il ?

La vitesse moyenne du cycliste étant de 23 km/h, le vélo parcourt 23 km en une heure,

autrement dit il parcours 23 km en 60 min.

On a le tableau de proportionnalité suivant :

D’après l’égalité des produits en croix 𝑑 =23×48

60=1104

60= 18,4. Le cycliste parcourt 18,4 km en 48 min.

• Calculer une durée

Exemple : Une girafe peut courir à la vitesse de 50 km/h.

Combien de temps, en s, met-elle pour parcourir 250 m à cette vitesse ?

La vitesse moyenne de la girafe étant de 50 km/h, elle parcourt 50 km en une heure, autrement dit elle parcourt

50 000 m en 60 min ou en 60 × 60 = 3600 𝑠

On a le tableau de proportionnalité suivant :

D’après l’égalité des produits en croix, 𝑡 =3600×250

50 000=900 000

50 000= 18. La girafe parcourt 250 m en 18 s.

• Changer d’unité de vitesse

Exemple 1 : Convertir 72 km/h en m/s

Donc 72𝑘𝑚/ℎ = 20𝑚/𝑠

Exemple 2 : Convertir 13 m/s en km/h

Donc 13𝑚/𝑠 = 46,8𝑘𝑚/ℎ

distance (en km) 23 𝑑

temps (en min) 60 48

distance (en m) 50 000 250

temps (en s) 3600 𝑡

distance 72 km 72 000 m 72 000 m 20 m

temps 1 h 1h 3600 s 1 s

distance 13 m 0,013 km 46,8 km 46,8 km

temps 1 s 1 s 3600 s 1 h

vitesse moyenne

distance parcourue

durée du parcours

13

Fiche de révisions : calcul littéral

Développer

• La simple distributivité :

𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘 × 𝑎 + 𝑘 × 𝑏 ex : 𝐴 = 5(𝑥 − 3) 𝐴 = 5 × 𝑥 − 5 × 3 𝐴 = 5𝑥 − 15

• La double distributivité :

(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎 × 𝑐 + 𝑎 × 𝑑 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑑

ex : 𝐵 = (3 + 𝑥)(𝑥 − 2)

𝐵 = 3 × 𝑥 + 3 × (−2) + 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 × (−2) 𝐵 = 3𝑥 − 6 + 𝑥² − 2𝑥 𝐵 = 𝑥² + 𝑥 − 6

• Les identités remarquables :

1 | (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² ex : 𝐶 = (𝑥 + 4)² 𝐶 = 𝑥² + 2 × 𝑥 × 4 + 4² 𝐶 = 𝑥² + 8𝑥 + 16 2 | (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏²

ex : 𝐷 = (2𝑥 − 3)² 𝐷 = (2𝑥)2 − 2 × 2𝑥 × 3 + 3² 𝐷 = 4𝑥² − 12𝑥 + 9 3 | (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏²

ex : 𝐸 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) 𝐸 = 𝑥² − 5² 𝐸 = 𝑥² − 25

Factoriser

• Avec un facteur commun :

exemple 1 :

𝐴 = 𝑥² − 3𝑥

𝐴 = 𝑥 × 𝑥 − 3 × 𝑥 𝐴 = 𝑥(𝑥 − 3)

exemple 2 : 𝐵 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) + (𝑥 + 2)(3𝑥 − 1)

𝐵 = (𝑥 + 2)[(𝑥 − 5) + (3𝑥 − 1)] 𝐵 = (𝑥 + 2)[𝑥 − 5 + 3𝑥 − 1] 𝐵 = (𝑥 + 2)(4𝑥 − 6)

• En utilisant une identité remarquable :

avec la 1ère identité remarquable : 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)2 ex : 𝐶 = 𝑥² + 2𝑥 + 1

𝐶 = 𝑥² + 2 × 𝑥 × 1 + 1² 𝐶 = (𝑥 + 1)2

avec la 2e identité remarquable : 𝑎² − 2𝑎𝑏 + 𝑏² = (𝑎 − 𝑏)2

ex : 𝐷 = 𝑥² − 6𝑥 + 9

𝐷 = 𝑥² − 2 × 𝑥 × 3 + 3² 𝐷 = (𝑥 − 3)² avec la 3e identité remarquable : 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) exemple 1 : 𝐸 = (𝑥 + 3)2 − 16 𝐸 = (𝑥 + 3)2 − 4² 𝐸 = [(𝑥 + 3) + 4] [(𝑥 + 3) − 4] 𝐸 = [𝑥 + 3 + 4][𝑥 + 3 − 4] 𝐸 = (𝑥 + 7)(𝑥 − 1)

exemple 2 : 𝐹 = (2𝑥 + 3)2 − (𝑥 + 1)² 𝐹 = [(2𝑥 + 3) + (𝑥 + 1)] [(2𝑥 + 3) − (𝑥 + 1)] 𝐹 = [2𝑥 + 3 + 𝑥 + 1][2𝑥 + 3 − 𝑥 − 1] 𝐹 = (3𝑥 + 4)(𝑥 + 2) Quand on supprime des parenthèses précédées d’un

signe « moins » alors on doit changer les signes !

14

Fiche de révisions : équations

• Solution d’une équation

exemple : le nombre 2,4 est-il solution de l’équation 10𝑥 − 7 = 5(𝑥 + 1) ?

D’une part pour 𝑥 = 2,4 on a 10𝑥 − 7 = 10 × 2,4 − 7 = 24 − 7 = 17

D’autre part pour 𝑥 = 2,4 on a 5(𝑥 + 1) = 5 × (2,4 + 1) = 5 × 3,4 = 17

Comme on obtient le même résultat, le nombre 2,4 est solution de l’équation 10𝑥 − 7 = 5(𝑥 + 1)

• Equations du premier degré

Règle : On peut ajouter ou soustraire un nombre,

multiplier ou diviser par un même nombre non nul,

les deux membres d’une égalité, cette égalité reste vraie.

Exemple : Résoudre l’équation 5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20

5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20

5𝑥 − 3𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 − 3𝑥

2𝑥 + 17 = 20

2𝑥 + 17 − 17 = 20 − 17

2𝑥 = 3

2𝑥

2=3

2

𝑥 = 1,5

L’équation 5𝑥 + 17 = 3𝑥 + 20 admet une solution : 𝑥 = 1,5.

• Equations produit nul

Exemple : Résoudre l’équation (2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0

(2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0

Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.

On a donc : ou

L’équation (2𝑥 − 8)(5𝑥 + 3) = 0 admet deux solutions : 𝑥 = 4 et 𝑥 = −3

5

• Mettre un problème en équation

Etapes pour résoudre un problème grâce à une équation :

1° Choix de l’inconnue

2° Mise en équation

3° Résolution de l’équation

4° Vérification

5° Conclusion

2𝑥 − 8 = 0

2𝑥 − 8 + 8 = 0 + 8

2𝑥 = 8 2𝑥

2=8

2

𝑥 = 4

5𝑥 + 3 = 0

5𝑥 + 3 − 3 = 0 − 3

5𝑥 = −3 5𝑥

5=−3

5

𝑥 = −3

5

• Equations du type 𝒙² = 𝒂

Si 𝑎 > 0 il y a

2 solutions :

𝑥 = √𝑎 et 𝑥 = −√𝑎

Exemple : 𝑥2 = 5

admet 2 solutions

𝑥 = √5 et 𝑥 = −√5

Si 𝑎 = 0 il y a

une solution :

𝑥 = 0

Exemple : 𝑥2 = 0

admet une solution

𝑥 = 0

Si 𝑎 < 0 il n’y a

pas de solution

Exemple : 𝑥2 = −3

n’admet pas de

solution (car un

carré est toujours

positif)

15

Fiche de révisions : inéquations

• Solutions d’une inéquation

Exemple : Le nombre −1 est-il solution de l’inéquation 3𝑥 + 12 > 1 − 2𝑥 ?

D’une part pour 𝑥 = −1 on a 3𝑥 + 12 = 3 × (−1) + 12 = −3 + 12 = 9

D’autre part pour 𝑥 = −1 on a 1 − 2𝑥 = 1 − 2 × (−1) = 1 + 2 = 3

Comme 9 > 3, le nombre −1 est solution de l’inéquation 3𝑥 + 12 > 1 − 2𝑥 .

• Résoudre une inéquation

Règle :

On ne change pas le sens d’une inégalité lorsqu’on :

• additionne ou soustrait un même nombre aux 2

membres de l’inégalité.

• multiplie ou divise par un même nombre

strictement positif les 2 membres de l’inégalité.

On change le sens d’une inégalité lorsqu’on :

• multiplie ou divise par un même nombre

strictement négatif les 2 membres de

l’inégalité

Exemple : Résoudre −8𝑥 + 6 ≤ −7𝑥 + 2

−8𝑥 + 6 − 6 ≤ −7𝑥 + 2 − 6

−8𝑥 ≤ −7𝑥 − 4 −8𝑥 + 7𝑥 ≤ −7𝑥 − 4 + 7𝑥

−1𝑥 ≤ −4

−1𝑥

−1≥−4

−1 on a divisé par un nombre négatif donc on doit changer le sens de l’inégalité.

𝑥 ≥ 4

• Représenter graphiquement les solutions d’une inéquation

Règle : Dans la représentation des solutions d’une inéquation sur une droite graduée :

• Si un nombre fait partie des solutions alors le crochet est tourné vers les solutions.

• Si un nombre ne fait pas partie des solutions alors le crochet n’est pas tourné vers les solutions.

Exemple : Résoudre l’inéquation 6𝑥 − 2 < −14 et représenter graphiquement les solutions.

6𝑥 − 2 < −14

6𝑥 − 2 + 2 < −14 + 2

6𝑥 < −12 6𝑥

6<−12

6

𝑥 < −2

𝒙 ≥ 𝟏

𝒙 ≤ 𝟏

𝒙 > 𝟏

𝒙 < 1

Représentation graphique :

16

Fiche de révisions : fonctions

• Définition

Une fonction est une « machine » mathématique qui à un nombre fait correspondre un seul autre nombre.

exemple : 𝑓 est la fonction qui, à un nombre, fait correspondre le carré de ce nombre augmenté de 1.

Si on choisit le nombre 𝑥 on obtient 𝑥2 + 1. On note : 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑥2 + 1 ou 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

• Image et antécédent (Un nombre n’a qu’une seule image mais il peut y avoir plusieurs antécédents)

𝑓: 3 ⟼ 10

𝑓(3) = 10

avec le calcul avec un tableau de valeur avec un graphique

On considère la fonction

ℎ: 𝑥 ⟼ 𝑥 + 5

Calcul de l’image de 3 :

-> On remplace 𝑥 par 3

ℎ(𝑥) = 𝑥 + 5 ℎ(3) = 3 + 5 ℎ(3) = 8 Donc l’image de 3 par la

fonction ℎ est 8.

Calcul de l’antécédent de 0 :

-> On résout l’équation

ℎ(𝑥) = 0 pour trouver 𝑥

ℎ(𝑥) = 0 𝑥 + 5 = 0 𝑥 + 5 − 5 = 0 − 5 𝑥 = −5 Donc l’antécédent de 0 par la

fonction ℎ est -5.

On considère la fonction 𝑔 dont un

tableau de valeurs est donné ci-

dessous :

𝑥 0 1 2 3 4

𝑔(𝑥) -3 0 4 1 0

- L’image de 1 par la fonction 𝑔 est 0

- Un antécédent de 0 par la fonction 𝑔

est 1.

On considère la fonction 𝑓 représentée ci-dessous

- L’image de 2 par la fonction 𝑓 est 3

- Un antécédent de 3 par la fonction 𝑓

est 2

Fiche de révisions : fonctions linéaires

Définition : Une fonction linéaire de coefficient 𝑎 est définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎 × 𝑥

Représentation graphique : C’est une droite qui passe par l’origine du repère.

Le nombre 𝑎 est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite.

Situation de proportionnalité : Une fonction linéaire représente une situation de

proportionnalité. Le nombre 𝑎 est le coefficient de proportionnalité.

Exemple : Représenter la fonction linéaire 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥.

𝑥 0 2 𝑓(𝑥) 0 3

nombre initial 𝑥

fonction 𝑓

nombre obtenu 𝑓(𝑥)

l’image de 3 par la fonction 𝑓 est 10. (ou 10 est l’image de 3 par 𝑓)

un antécédent de 10 par la fonction 𝑓 est 3 (ou 3 est un antécédent de 10 par 𝑓)

Un nombre qui a pour image 10 par 𝑓 est 3 (ou un nombre dont l’image est 10 par 𝑓 est 3)

Un nombre 𝑥 tel que 𝑓(𝑥) = 10 est 3.

𝑓(2) = 1,5 × 2 = 3

Le coefficient

de la fonction

linéaire est 1,5

17

Déterminer graphiquement une fonction linéaire : On place un point 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴) sur la droite et on calcule : 𝑎 =𝑦𝐴

𝑥𝐴

Exemple : Déterminer l’expression de la fonction linéaire 𝑓 représentée ci-contre

Le point 𝐴(3;−2) appartient à la droite représentant la fonction 𝑓 donc 𝑓(3) = −2.

𝑓 est une fonction linéaire donc 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 avec 𝑎 =𝑦𝐴

𝑥𝐴=−2

3

L’expression de 𝑓 est : 𝑓(𝑥) =−2

3𝑥

Fiche de révisions : fonctions affines

Définition : Une fonction affine est définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎 × 𝑥 + 𝑏

Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

Le nombre 𝑎 est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite.

Le nombre 𝑏 est l’ordonnée à l’origine.

Exemple : Tracer la courbe représentative de la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 0,5𝑥 + 2 et

préciser l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur.

𝑓: 𝑥 ⟼ 0,5𝑥 + 2 est une fonction affine.

Elle est donc représentée par une droite

de coefficient directeur 𝑎 = 0,5 et d’ordonnée à l’origine 𝑏 = 2

Déterminer graphiquement une fonction affine :

Exemple : Déterminer l’expression de la fonction affine 𝑓 représentée ci-dessous

𝑥 0 6

𝑓(𝑥) 2 5

ordonnée abscisse

𝑥𝐴 𝑦𝐴

𝑓(0) = 0,5 × 0 + 2 = 2

𝑓(6) = 0,5 × 6 + 2 = 3 + 2 = 5

• Les points A(1 ;1) et B(3 ; -3) appartiennent à (d)

Le coefficient directeur de la droite est :

𝑎 =𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

=−3 − 1

3 − 1=−4

2= −2

• La droite coupe l’axe des ordonnées au point D(0 ; 3)

donc l’ordonnée à l’origine est 𝑏 = 3

• Ainsi 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3

𝑥𝐴

𝑥𝐵

𝑦𝐴

𝑦𝐵

18

Fiche de révisions : utilisation du tableur

Rappel : une formule tableur commence par le signe =

• Programmes de calcul

On considère les deux programmes de calculs suivants :

On a utilisé un tableur pour calculer des résultats de ces deux programmes. Voici ce qu’on a obtenu :

Quelles formules a-t-on saisie dans les cellule B2 et C2 puis recopiée vers le bas ?

Dans la cellule B2 on a entré : = 3 ∗ 𝐴2 + 5

Dans la cellule C2 on a entré : = (𝐴2 + 3) ∗ 2 − 1 + 𝐴2

• Problèmes concrets

Quelle formule faut-il écrire dans la cellule B3 puis recopier à droite pour calculer l’IMC ?

Il faut écrire la formule = 𝐵2/(𝐵1^2)

Programme A

▪ Choisir un nombre

▪ Calculer le triple du nombre choisi

▪ Ajouter 5 au résultat

Programme B

▪ Choisir un nombre

▪ Ajouter 3 à ce nombre

▪ Calculer le double du résultat

▪ Soustraire 1

▪ Ajouter à ce nouveau résultat le nombre choisi au départ.

19

• Calcul littéral

On considère l’expression 𝐴 = (2𝑥 + 1)2 − 3(7 − 5𝑥). Stevens développe et réduit A.

Il obtient 𝐴 = 4𝑥2 − 11𝑥 − 20. Il réalise alors la feuille de calcul ci-dessous pour contrôler son résultat.

1) Quelle formule a-t-il écrite en cellule B2 et étendue à la cellule B10 ?

On a entré la formule = (2 ∗ 𝐴2 + 1)^2 − 3 ∗ (7 ∗ 5 ∗ 𝐴2)

2) Quelle formule a-t-il écrite en cellule C2 et étendue à la cellule C10 ?

On a entré la formule = 4 ∗ 𝐴2^2 − 11 ∗ 𝐴2 − 20

3) Observer cette feuille de calcul. Que penser de la réponse de Stevens ?

Stevens a dû se tromper en développant l’expression A, sinon on

obtiendrait les mêmes résultats dans les colonnes B et C

4) Développer et réduire l’expression initiale de 𝐴

𝐴 = (2𝑥 + 1)2 − 3(7 − 5𝑥)

𝐴 = (2𝑥)2 + 2 × 2𝑥 × 1 + 1² − 3 × 7 − 3 × (−5𝑥)

𝐴 = 4𝑥² + 2𝑥 + 1 − 21 + 15𝑥

𝐴 = 4𝑥² + 17𝑥 − 20

• Fonctions, équations

La copie d’écran ci-dessous montre le travail qu’a effectué Camille à l’aide d’un tableur à propos des fonctions

𝑔 et ℎ définies par 𝑔(𝑥) = 5𝑥² + 𝑥 − 7 et ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 7

1) Donner un nombre qui a pour image -1 par la fonction 𝑔

D’après le tableau (dans les cellules E1 et E2) 𝑔(1) = −1 donc le nombre 1 a pour image -1 par la fonction 𝑔

2) Quelles formules Camille a-t-elle saisie dans les cellules B2 et B3 puis recopiées vers la droite ?

Dans la cellule B2, Camille a saisi la formule = 5 ∗ 𝐵1^2 + 𝐵1 − 7

Dans la cellule B3, Camille a saisi la formule = 2 ∗ 𝐵1 − 7

3) Déduire du tableau, une solution de l’équation 5𝑥² + 𝑥 − 7 = 2𝑥 − 7

On voit dans la cellule D2 que lorsque 𝑥 = 0, 5𝑥² + 𝑥 − 7 = −7

On voit dans la cellule D3 que lorsque 𝑥 = 0, 2𝑥 − 7 = −7

Donc −7 est une solution de l’équation 5𝑥² + 𝑥 − 7 = 2𝑥 − 7

• Statistiques

Tom lance 50 fois deux dés à six faces parfaitement équilibrés. Il note dans une feuille de calcul les sommes

obtenues à chaque lancer. Il obtient le tableau suivant :

1) Quelle formule a-t-il saisie dans la cellule 𝑀2 pour vérifier qu’il a bien relevé 50 résultats ?

Il doit écrire = 𝑆𝑂𝑀𝑀𝐸(𝐵2: 𝐿2) On rappelle que le symbole : signifie « jusqu’à » sur le tableur.

2) Tom a saisi dans la cellule B3 la formule = 𝐵2/𝑀2. Il obtient un message d’erreur quand il étire la formule dans la

cellule C3. Pourquoi ? Il aurait dû écrire la formule = 𝐵2/$𝑀$2, le symbole $ permet de fixer la cellule. Sans ce

symbole en étirant la formule entrée dans B3, vers la droite, on obtient dans la cellule C3 la formule = 𝐶2/𝑁2

mais il n’y a rien dans la cellule N2, le tableur ne peut pas effectuer l’opération.

20

Je sais que le triangle ABC est rectangle en B

Or, d’après le théorème de Pythagore 𝐴𝐶² = 𝐴𝐵² + 𝐵𝐶²

Donc, en remplaçant par les longueurs données on a :

8² = 𝐴𝐵² + 5²

64 = 𝐴𝐵² + 25

𝐴𝐵² = 64 − 25

𝐴𝐵² = 39

𝐴𝐵 = √39 𝑐𝑚 valeur exacte

𝐴𝐵 ≈ 6,2 𝑐𝑚 valeur arrondie au mm.

Fiche de révisions : Pythagore

• Calculer une longueur dans un triangle rectangle

Ex 1 : On considère un triangle MNP rectangle en M tel que MN=4,2cm et MP=5,6cm. Calculer NP

Je sais que MNP est un triangle rectangle en M

Or, d’après le théorème de Pythagore, 𝑁𝑃2 = 𝑀𝑁2 +𝑀𝑃2

• Donc en remplaçant par les longueurs données on a :

• 𝑁𝑃2 = 4,22 + 5,62

• 𝑁𝑃2 = 17,64 + 31,36

• 𝑁𝑃2 = 49

𝑁𝑃 = √49

• 𝑁𝑃 = 7 𝑐𝑚

Ex 2 : On considère un triangle ABC rectangle en B tel que 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚 et 𝐵𝐶 = 5 𝑐𝑚.

Faire une figure à main levée et calculer la longueur AB arrondie au mm.

• Démontrer qu’un triangle est rectangle

Le triangle MNP est-il rectangle ? Le démontrer

Dans le triangle 𝑀𝑁𝑃, [𝑀𝑃] est le plus grand côté.

- D’une part 𝑀𝑃² = 132 = 169

- D’autre part 𝑀𝑁2 +𝑁𝑃2 = 122 + 52

= 144 + 25

= 169

Comme 𝑀𝑃2 = 𝑀𝑁2 + 𝑁𝑃2, alors le triangle 𝑀𝑁𝑃 est rectangle en 𝑁 d’après la réciproque du théorème de

Pythagore,

• Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

Le triangle RST est-il rectangle ? Le démontrer

Dans le triangle 𝑅𝑆𝑇, [𝑆𝑇] est le plus grand côté.

- D’une part 𝑆𝑇2 = 4,32 = 18,49

- D’autre part 𝑅𝑇2 + 𝑅𝑆2 = 2,52 + 3,52

= 6,25 + 12,25

= 18,5

Comme 𝑆𝑇2 ≠ 𝑅𝑇2 + 𝑅𝑆2, le triangle 𝑅𝑆𝑇 n’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pythagore.

On commence

toujours par

l’hypoténuse.

21

Fiche de révisions : Thalès

• Calculer une longueur quand des droites sont parallèles

Ex 1 :

• Je sais que :

- les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en E.

- les droites (IJ) et (FG) sont parallèles.

• Or, d’après le théorème de Thalès on a : 𝐸𝐼

𝐸𝐹=

𝐸𝐽

𝐸𝐺=

𝐼𝐽

𝐹𝐺

• Donc, en remplaçant par les longueurs données

on a : 2,4

6=

3

𝐸𝐺=

𝐼𝐽

𝐹𝐺

Comme 2,4

6=

3

𝐸𝐺 alors

𝐸𝐺 =6×3

2,4=

18

2,4= 7,5 𝑐𝑚

Ex 2 :

• Je sais que :

- les droites (VR) et (SU) sont sécantes

en T.

- les droites (RS) et (UV) sont parallèles.

• Or, d’après le théorème de Thalès on a : 𝑇𝑅

𝑇𝑉=

𝑇𝑆

𝑇𝑈=

𝑅𝑆

𝑉𝑈

• Donc, en remplaçant par les longueurs données

on a : 10,5

𝑇𝑉=

𝑇𝑆

𝑇𝑈=

9,8

7,6

Comme 10,5

𝑇𝑉=

9,8

7,6 alors

𝑇𝑉 =10,5×7,6

9,8=

79,8

9,8≈ 8,1 𝑐𝑚

• Démontrer que des droites sont parallèles

Démontrer que les droites (AB) et (FT) sont parallèles.

Je sais que les droites (FB) et (AT) sont sécantes en S.

D’une part 𝑆𝐴

𝑆𝑇=2

6=1×2

3×2=1

3

D’autre part 𝑆𝐵

𝑆𝐹=1,5

4,5=1,5×2

4,5×2=3

9=1×3

3×3=1

3

Comme

• 𝑆𝐴

𝑆𝑇=𝑆𝐵

𝑆𝐹

• et que les points A,S,T sont alignés dans le

même ordre que les points 𝐵, 𝑆, 𝐹

alors les droites (AB) et (TF) sont parallèles d’après la

réciproque du théorème de Thalès.

• Démontrer que des droites ne sont pas

parallèles

Les droites (IJ) et (FG) sont-elles parallèles ?

Je sais que les droites (FI) et (GJ) sont sécantes en

D’une part 𝐸𝐼

𝐸𝐹=5,3

6≈ 0,883

D’autre part 𝐸𝐽

𝐸𝐺=5,6

6,3≈ 0,889

Comme 𝐸𝐼

𝐸𝐹≠

𝐸𝐽

𝐸𝐺

alors les droites (IJ) et (FG) ne sont pas parallèles

d’après la contraposée du théorème de Thalès.

22

Fiche de révisions : Trigonométrie dans un triangle rectangle

• Calculer une longueur

méthode : on effectue un produit en croix

On considère un triangle EFG rectangle en F tel que

𝐸𝐹 = 6𝑚 et 𝐹𝐸�̂� = 27°. Calculer EG.

On donnera une valeur arrondie au cm près.

Dans le triangle EFG rectangle en F, on a

cos(𝐹𝐸�̂�) =𝐸𝐹

𝐸𝐺

cos(27°) =6

𝐸𝐺

cos(27°)

1=

6

𝐸𝐺

D’où 𝐸𝐺 =1×6

cos (27°)

𝐸𝐺 =6

cos (27°)

𝐸𝐺 ≈ 6,7339 𝑚

Donc 𝐸𝐺 ≈ 6,73𝑚

• Calculer un angle

méthode : on utilise arccos, arcsin, arctan

sur la calculatrice

On considère un triangle KIJ rectangle en K tel que

𝐾𝐼 = 3,2𝑐𝑚 et 𝐼𝐽 = 7𝑐𝑚. Calculer 𝑲𝑱�̂�.

On donnera une valeur arrondie au degré près.

Dans le triangle KIJ rectangle en K, on a

sin(𝐾𝐽�̂�) =𝐼𝐾

𝐼𝐽

sin(𝐾𝐽�̂�) =3,2

7

D’où 𝐾𝐽�̂� = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (3,2

7)

𝐾𝐽�̂� ≈ 27,2°

Donc 𝐾𝐽�̂� ≈ 27°

Cosinus =

𝐀djacent

𝐇ypoténuse

Sinus =

𝐎pposé

𝐇ypoténuse

Tangente =

𝐎pposé

𝐀djacent

23

Fiche de révisions : rappels de géométrie plane

• Démontrer que des droites sont parallèles en utilisant une propriété vue en 6e :

Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.

Données :

(𝑑1) ⊥ (𝑑3) (𝑑2) ⊥ (𝑑3)

Conclusion :

(𝑑1) // (𝑑2)

• Calculer la mesure d’un angle dans un triangle en utilisant une propriété vue en 5e :

Propriété : Dans un triangle la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

• Quadrilatères et triangles particuliers :

24

Fiche de révisions : triangles égaux

1) Qu’est-ce que des triangles égaux ?

Définition : Deux triangles sont égaux si leurs côtés sont respectivement de la même longueur.

Exemple : Comme 𝐴𝐵 = 𝐴’𝐵’, 𝐴𝐶 = 𝐴’𝐶’ et 𝐵𝐶 = 𝐵’𝐶’ alors les triangles ABC et A’B’C’ sont égaux.

Propriété : Des triangles égaux sont des triangles superposables : ils ont la même aire et leurs angles ont la même

mesure.

Exemple : Les triangles ABC et DEF ci-contre sont égaux donc :

• 𝒜(𝐴𝐵𝐶) = 𝒜(𝐷𝐸𝐹)

• 𝐵𝐴�̂� = 𝐷𝐹�̂�

• 𝐴𝐵�̂� = 𝐸𝐷�̂�

• 𝐴𝐶�̂� = 𝐷𝐸�̂�

2) Démontrer que deux triangles sont égaux

Propriété 1 : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même

longueur alors ils sont égaux.

Exemple : Démontrer que les triangles BAC et HJI ci-dessous sont égaux.

Je sais que 𝐶𝐴�̂� = 𝐻𝐽�̂� et que 𝐴𝐶 = 𝐽𝐼 et 𝐴𝐵 = 𝐽𝐻

Or Si deux triangles ont un angle de même mesure

compris entre deux côtés respectivement de même

longueur alors ils sont égaux.

Donc les triangles BAC et HJI sont égaux.

Propriété 2 : Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure

alors ils sont égaux.

Exemple : Démontrer que les triangles ACB et LMK ci-dessous sont égaux.

Je sais que 𝐴𝐵 = 𝐿𝐾 et que 𝐶𝐴�̂� = 𝑀𝐿�̂� et 𝐶𝐵�̂� = 𝐿𝐾�̂�

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris

entre deux angles de même mesure alors ils sont égaux.

Donc les triangles ACB et LMK sont égaux.

25

Fiche de révisions : Agrandissements-réductions, triangles semblables

• Agrandissements, réductions

- coefficient d’agrandissement : 𝑘 > 1

- coefficient de réduction : 0 < 𝑘 < 1

Pour trouver le coefficient d’agrandissement ou de réduction :

𝑘 =𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒=

ℓ ′

ℓ

Longueurs : En notant ℓ la longueur initiale et ℓ′ la longueur agrandie ou réduite, on a la relation : ℓ′ = ℓ × 𝑘

Aires : En notant 𝓐 l’aire initiale et 𝓐′ l’aire de la figure agrandie ou réduite, on a la relation : 𝓐′ =𝓐×𝒌²

• Triangles semblables

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont respectivement de la même mesure.

Exemple : Comme 𝐵𝐴�̂� = 𝐵′𝐴′𝐶′̂ , 𝐴𝐵�̂� = 𝐴′𝐵′𝐶′̂ et 𝐴𝐶�̂� = 𝐴′𝐶′𝐵′̂ alors les triangles ABC et A’B’C’ semblables.

Lorsque deux triangles sont semblables Démontrer que deux triangles sont

semblables

Propriété : Si deux triangles ABC et 𝐴′𝐵′𝐶′sont semblables alors

leurs côtés respectifs sont proportionnels :

𝐴′𝐵′

𝐴𝐵=𝐵′𝐶′

𝐵𝐶=𝐴′𝐶′

𝐴𝐶= 𝑘 où 𝑘 est le coefficient de proportionnalité.

Exemple : Déterminer les longueurs EF et DF.

Comme �̂� �̂� �̂�= = =�̂� �̂� �̂�

alors les triangles

DEF et ABC sont semblables

On a donc : 𝐸𝐷

𝐴𝐵=𝐷𝐹

𝐵𝐶=𝐸𝐹

𝐴𝐶

En remplaçant par les longueurs données on a : 3

2=𝐷𝐹

4=𝐸𝐹

3

Comme 3

2=𝐷𝐹

4 on a : 𝐷𝐹 = 3×4

2=12

2= 6 𝑐𝑚

Comme 3

2=𝐸𝐹

3 on a : 𝐸𝐹 = 3×3

2=

9

2= 4,5 𝑐𝑚

DEF est un agrandissement de ABC de coefficient 𝑘 =32= 1,5.

Propriété : Si deux triangles ont leurs côtés

respectifs proportionnels alors ils sont

semblables

Exemple : Démontrer que les triangles

HIK et MON sont semblables.

Les longueurs données sont en cm.

• 𝑀𝑁

𝐻𝐾=2,6

6,5= 0,4

• 𝑁𝑂

𝐾𝐼=1,4

3,5= 0,4

• 𝑀𝑂

𝐻𝐼=2

5= 0,4

Comme les quotients sont égaux,

les côtés respectifs des triangles sont

proportionnels donc les triangles HIK et

MNO sont semblables.

Remarque : Dans une configuration de Thalès, on a deux triangles semblables.

26

Fiche de révisions : symétries, translation, rotation, homothéties

Symétrie axiale

Le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par la

symétrie d’axe (d)

Symétrie centrale


symétrie de centre O.

Translation


translation de vecteur 𝑨𝑨′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

(ou qui transforme A en A’)

Rotation


rotation de centre O et d’angle 60° dans le sens

inverse des aiguilles d’une montre (sens anti-horaire)

Homothéties

Si 𝒌 > 𝟎 : 𝑶𝑨′ = 𝒌 × 𝑶𝑨

(si 𝟎 < 𝒌 < 𝟏 c’est une réduction,

si 𝒌 > 𝟏 c’est un agrandissement)

Le triangle A’B’C est l’image du triangle ABC par

l’homothétie de centre O et de rapport k=2

(c’est un agrandissement de coefficient 2)

Si 𝒌 < 𝟎 : 𝑶𝑨′ = −𝒌 × 𝑶𝑨

(si -1< 𝒌 < 𝟎 c’est une réduction,

si 𝒌 < −𝟏 c’est un agrandissement)

Le triangle A’B’C est l’image du triangle ABC par

l’homothétie de centre O et de rapport k=-0.5

(c’est une réduction de coefficient 0,5)

27

Fiche de révisions : Géométrie dans l’espace

• Sections de solides

• Sections de solides et agrandissements, réduction

Volumes : En notant 𝒱 le volume initial et 𝒱′ le volume du solide agrandi ou réduit, on a la relation : 𝓥′ = 𝓥×𝒌𝟑

Exemple :

Volume du grand cône : 𝒱 =𝜋×𝑟²×ℎ

3=𝜋×7²×𝑆𝐴

3=𝜋×49×12

3=𝜋×49×4×3

3= 𝜋 × 196 = 196 𝜋 𝑐𝑚3

Le coefficient de réduction est : 𝑘 =𝑆𝐴′

𝑆𝐴=

3

12=3×1

3×4=

1

4

Volume du petit cône :

𝒱′ = 𝒱 × 𝑘3 = 196 𝜋 × (1

4)3= 196 𝜋 ×

1

64=196𝜋

64= 3,0625 𝜋 𝑐𝑚3 (valeur exacte)

𝒱′ ≈ 10 𝑐𝑚3 (valeur arrondie au cm3)

• Se repérer dans l’espace

Sur un parallélépipède rectangle sur une sphère

Autres points :

B (2 ; 6 ; 0) E (2 ; 0 ; 3 )

F (2 ; 6 ; 3) G (0 ; 6 ; 3 )

Origine du repère :

D (0 ; 0 ; 0)

Point sur l’axe des

abscisses :

A (2 ; 0 ; 0)


ordonnées :

C (0 ; 6 ; 0)


cotes : H (0 ; 0 ; 3)

28

Fiche de révisions : Algorithmique

Variables Mouvement

« Si … alors …» et « si … alors … sinon … » Répéter

permet d’exécuter

certaines instructions

lorsqu’une condition est

vraie

permet d’exécuter deux

instructions : une si la

condition est vraie et

l’autre si la condition est

fausse.

Une boucle permet de répéter des instructions :

- soit un nombre de fois prévu à l’avance

- soit jusqu’à ce qu’une condition soit vraie.

Exemple : Brevet, France, juin 2017

On donne le programme suivant qui permet de tracer plusieurs triangles équilatéraux de tailles différentes.

Ce programme comporte une variable nommée « côté ». Les longueurs sont données en pixels.

1) Quelles sont les coordonnées du point de départ

du tracé ? (-200 ; -100)

2) Combien de triangles sont dessinés par le

script ? 5 triangles.

3) a) Quelle est la longueur (en pixels) du côté du

2e triangle tracé ? 100-20= 80 pixels

b) Tracer à main levée l’allure de la figure obtenue

quand on exécute le script.

4) On modifie le script initial pour obtenir la figure ci-contre.

Indiquer le numéro d’une instruction du script après laquelle

on peut placer l’instruction

Il faut la placer après l’instruction n°8

29

Formulaire de géométrie plane (périmètre et aire)

CERCLE / DISQUE RECTANGLE CARRE TRIANGLE PARALLELOGRAMME

aire : 𝒜 =𝑏×ℎ

2

POUR UN TRIANGLE

RECTANGLE :

aire : 𝒜 =𝐿×ℓ

2

périmètre du cercle : 𝒫 = 2 × 𝜋 × 𝑅

aire du disque :

𝒜 = 𝜋 × 𝑅²

périmètre : 𝒫 = 2 × 𝐿 + 2 × ℓ

aire :

𝒜 = 𝐿 × ℓ

périmètre : 𝒫 = 4 × 𝑐

aire :

𝒜 = 𝑐²

aire : 𝒜 = 𝑏 × ℎ

Formulaire de géométrie dans l’espace (volumes)

PAVE DROIT ET

CUBE

PRISME DROIT ET

CYLINDRE DE REVOLUTION

PYRAMIDE ET

CONE DE REVOLUTION

SPHERE / BOULE

parallélépipède rectangle (ou pavé droit) :

𝑉 = 𝐿 × 𝑙 × ℎ

cube :

𝑉 = 𝑐3

prisme droit : 𝑉 = ℬ × ℎ où ℬ est l’aire de la base

cylindre de révolution :

𝑉 = 𝜋 × 𝑟² × ℎ

pyramide : 𝑉 =ℬ×ℎ

3

où ℬ est l’aire de la base

cône de révolution :

𝑉 =𝜋 × 𝑟² × ℎ

3

aire d’une sphère :

𝒜 = 4 × 𝜋 × 𝑟² volume d’une boule :

𝑉 =4

3× 𝜋 × 𝑟3

30

Formulaire de conversions

• Masses

t

tonne

q

quintal

kg hg dag g dg cg mg

1 tonne = 1 000 kg

• Capacités

hL daL L dL cL mL

• Longueurs

km hm dam m dm cm mm

• Aires

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

• Volumes

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

hL daL L dL cL mL

• Conversions L/m3

1 𝐿 = 1 𝑑𝑚3

1 000 𝐿 = 1𝑚3

• Durées

1 𝑚𝑖𝑛 = 60 𝑠

1 ℎ = 60 𝑚𝑖𝑛 1 𝑗𝑜𝑢𝑟 = 24 ℎ

1 𝑎𝑛 ≈ 365 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠

classe de troisième mathématiques

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