circulation des charges sismiques

FSP 2011-2012Éléments de conception parasismique des bâtiments

NE PAS DIFFUSER – Formateur: Frédéric FUSO1/84 : Modélisation

Le mouvement sismique subi par le bâtiment



Circulation des charges sismiquesPendant et immédiatement après un séisme, l’ouvrage concerné va subir des mouvements dus aux forces du séisme et aux forces d’inertie.

Il va donc se créer des contraintes supplémentaires dans la structure soumise à une action sismique de direction quelconque, direction décomposable en deux directions orthogonales parallèles aux voiles du bâtiment si ceux-ci sont rectangulaires.

Dans la majorité des cas, l’action verticale du séisme sera négligé (voir EC8 pour plus de détails) ou estimée à un fractile de l’action horizontale.



Circulation des charges sismiquesLes planchers vont subir les forces d’inertie (cercle vert) liées à la masse sollicitée ;

Les voiles (ou dispositifs) de contreventement vont être sollicités en flexion alternée (cercle violet) ;

L’ensemble du bâtiment va subir des oscillations de torsion plus ou moins forte en fonction des positions relatives du centre de masse et du centre de rigidité (correspondant au centre de masse des palées de contreventement) de chaque étage.

Les charges étant alternées et dynamiques, des cycles de chargement se produisent qui peuvent alterner en temps réel les caractéristiques des matériaux (fissuration, palier plastique…)



Circulation des charges sismiques



Circulation des charges sismiquesLa figure ci-dessous montre comment les planchers transmettent la charge sismique aux palées de stabilité que sont notamment les voiles de contreventement (la charge sismique de direction quelconque y est décomposée en deux charges sismiques orthogonales, mettant en évidence les contributions des deux directions de contreventement concernées).



Circulation des charges sismiquesUne conception parasismique correcte tendra à limiter la distance entre le centre de cisaillement et le centre de gravité de façon à minimiser l’effet de la torsion sur les palées de contreventement qui sont déjà sollicitées par l’action sismique de flexion – compression.

En cas de non régularité des voiles de contreventement en élévation, une torsion supplémentaire pourra apparaître dans le plan vertical... Cet aspect ne sera pas abordé dans la présente formation par souci de concision.



Circulation des charges sismiquesOn prendra aussi soin pour le dimensionnement des éléments de ne pas manquer les analogies permettant de simplifier les calculs, dans la modélisation pour la répartition des charges.



Fréquence (ou période) fondamentaleToute structure peut être grossièrement assimilée à un oscillateur simple de fréquence et rigidité données (voir clause 4.3.3.2.2 de NF EN 1998-1 pour les différentes méthodes d’estimation autorisées).



Quelques plages de périodes



Modélisation du sol et de la structureOn va faire appel à des théories matricielles d’oscillateurs linéaires ou non linéaires, parfois à la modélisation par éléments finis….



Modélisation du sol et de la structureToute structure (sol compris) peut être plus finement assimilée à une succession d’oscillateurs (ou/et ressorts) multiples…



Modélisation du sol et de la structureOn estime la masse sismique par étage (voir NF EN 1998-1 clause 3.2.4)



Modélisation du sol et de la structureOn repère la forme du plancher et les caractéristiques des voiles de contreventement…



Modélisation du sol et de la structureEn cas de contreventement oblique on modélise…



Modélisation du sol et de la structureOn détermine la part de charges due à la torsion



Modélisation du sol et de la structurePour la prise en compte de la torsion, il faudra aussi tenir compte d’excentricités additionnelles dues aux incertitudes (NF EN 1998-1 clause 4.3.2)

Attention: torsion verticale additionnelle si répartition non uniforme des CDG de chaque étage



Modélisation du sol et de la structureOn simplifie le bâtiment comme étant une succession d’oscillateurs…



Oscillateur simple

Force de rappel du ressort : F1 = - k u Force de rappel de la poutre encastrée : F1 = -3 EI u / h3

(Ex : suspension de voiture) (Ex : château d’eau, si l’eau est gelée)



Oscillateur simpleOn considère qu'il ne peut se déplacer que dans une seule direction et le mouvement est, dans le cas général, amorti. On peut écrire l’équation de mouvement de cet oscillateur simple soumis à une force variable p(t).Soit u (t) le déplacement de la masse m par rapport à la position d'équilibre, u′(t) sa vitesse, u″(t) son accélération.Lors du mouvement, m est soumise à :

F1(t) = - ku(t) force de rappel du ressort

F2(t) = - c u′(t) résistance de l'amortisseur

p(t) force extérieure imposée



Oscillateur simpleLa loi fondamentale de la dynamique s'écrit :

F1(t) + F2(t) + p(t) = m u″(t)

ou

u″(t) + cu′(t) / m + ku(t) / m = p(t) / m



Oscillateur simple non amortiOscillation libre p(t) = 0 Amortissement nul c = 0=> u (t) = A sin (ω t +φ)Le mouvement est sinusoïdal de période T = 2π (m / k)1/2 = 2π / ω (en s)

La fréquence f du mouvement vaut :f = 1/T (en Hertz = s-1)On appelle ω = ( k / m)1/2 = 2π / T la pulsation du mouvement (en rad/sec)A fixe l'amplitude du mouvement et φ son déphasage. Ces deux paramètres dépendent des conditions initiales du problème (importance du déplacement imposé, décalage par rapport à l'origine du temps).

Le mouvement oscillant a lieu sans fin.



Oscillateur simple amorti



Oscillateur simple amortiOscillations libre p(t) =0 Amortissement c ≠0 => u″ (t) + c u′(t) / m + ku(t) / m = 0La solution dépend de la valeur de c.Si c >2 mω, le mouvement ne comporte pas d’oscillation et s'arrête sans repasser au-delà de la position d'équilibre statique.Si c < 2 mω, le mouvement est pseudo-périodique, avec des extréma décroissants avec le temps. On caractérise le degré d'efficacité c de l'amortisseur par le paramètre ξ = c / 2mω. Lorsque ξ = 1, on dit que l'amortissement est critique. Dans ce cas la structure, écartée de sa position d’équilibre, revient à celle-ci sans aucune oscillation. Pour les structures travaillant dans le domaine élastique, l'ordre de grandeur de ξ est de 1% pour les constructions en acier et 2% pour les constructions en béton.Toutefois, dans le contexte sismique, il existe des facteurs additionnels d’amortissement, tels que des fissurations, des déplacements avec frottement dans les assemblages, des frottements entre cloisons et structures. Pour cette raison, on admet une valeur unique de ξ égale à 0,05, soit 5 % de l'amortissementcritique.Pour cette valeur de ξ , la pseudo période T de l'oscillateur amorti vaut :T = 2π ( 1 – ξ2 ) / ω = 1.00 125 x 2π / ω ≈ 2π / ωElle peut donc en pratique être confondue avec la période de l'oscillateur libre.



Oscillateur simple forcé (harmonique)Soit p(t) = p0 sin αt. La résolution de l'équation du mouvement montre que le déplacement u comporte :

- un terme transitoire de période 2π / ω résultant du déplacement imposé initial u0 ; ce mouvement est amorti rapidement- un terme de mouvement permanent : u = (p0/k) x λ sin (αt – θ) On note que:- la période du mouvement permanent est celle de la force d'excitation Texcit = 2π/α et non la période Toscil = 2π/ω de l'oscillateur

p0 /k est le déplacement statique du ressort sous la force p0λ est un coefficient d'amplification dynamique dépendant de l'amortissement et du rapportβ=Toscil/Texcit=α/ωλ=[ (1- β²)2+(2β ξ)²]-1/2

+



Oscillateur simple forcé (harmonique)On constate que :- pour un oscillateur infiniment raide (T→0, ω→∞ , β=0) le mouvement est sinusoïdal d'amplitude p0 /k- pour un oscillateur très souple (T→∞, ω→0, β grand) le coefficient d'amplification du déplacement est très faible et le mouvement est sinusoïdal d'amplitude p0/mα²- lorsque la période propre de l'oscillateur est égale à la période de la force d'excitation, l'oscillateur entre en résonance et l'amplitude du mouvement vaut : λ=1/2ξ . Ainsi, pour ξ =0,05 , λ=10.

Pour éviter des problèmes de résonance, il faut que la période propre de l'oscillateur s'écarte au minimum d'environ 20 % de la période de la force d'excitation.



Oscillateur simple forcé (quelconque)

Pour p(t) quelconque, la solution de l'équation du mouvement est fournie par l'intégrale de Duhamel.Aucune remarque générale ne peut être faite.



Accélérogramme et oscillateurUn tremblement de terre impose au point A d'encastrement de la console verticale un déplacement dg(t) (indice g pour « ground », sol en anglais). Les déplacements dg(t) sont considérés dans un repère absolu. Pour connaître les effets du séisme dans la structure de l’oscillateur, on considère les déplacements relatifs u(t) par rapport au point A, car ils permettent le calcul des grandeurs liées à la déformation du solide "oscillateur" :

- la force de rappel F1 = - ku(t)- la force d'amortissement F2 = - cu′(t)

L'équation fondamentale de la dynamique s'écrit ici :F1 + F2 = md″(t) d'où md″(t)+cu′(t)+ku(t) = 0Or : d(t) =u(t)+ dg(t) et d″(t)=u″(t) + dg″(t)d'où mu″(t) + cu′(t) + ku(t) = - mdg″(t)



Accélérogramme et oscillateurL'étude de l'oscillateur simple soumis à un déplacement imposé du monde extérieur auquel il est fixé est un problème mathématique identique à celui de l'oscillateur simple considéré dans le repère relatif mobile fixé à sa liaison au monde extérieur et soumis à une force fictive p(t) = - m dg″(t)proportionnelle à l'accélération absolue dg″(t) de sa liaison au sol.Lorsque u(t) est calculé, on trouve F1(t) = - ku(t) = - EI u(t) / h3

Les efforts internes dans la console se déduisent de F1(t).

On dispose ainsi d'une méthode d'étude de toute l'histoire des efforts internes en fonction du temps dans l'oscillateur simple dont le déplacement d'appui suit une loi d'accélération a(t) = dg″(t) . Une telle étude est dite time-history ou analyse chronologique (linéaire ici). Compte tenu de la définition de la pulsation ω=(k/m)1/2, on peut écrire la relation précédente sous la forme F1(t) = - ku(t) = - mω²u(t) = - m β(t)et dire que le résultat est similaire à celui obtenu lorsque la masse m est soumise à une pseudo accélération β(t) = ω²u(t) = 4 π² u(t)/T²



Oscillateurs multiples


















Oscillateurs multiplesPour chaque oscillateur simple découplé, la base est excitée par une fonction quelconque temporelle du type p(t), et donc on peut calculer zi(t) par les intégrales de DUHAMEL (les ordinateurs le font très bien à notre place, d’ailleurs…)

Le changement de repère est effectué par la matrice des vecteurs propres A.

Les valeurs propres de cette matrice sont les périodes propres de vibration de la structure (celles qui peuvent créer un phénomène d’entrée en résonance…)

On passe donc facilement du vecteur z(t) au vecteur x(t) par cette analyse dite « modale ».






Utilisation des spectres de séismeUne fois ces modélisations faites pour les structures et les données précédentes connues, il faut pouvoir passer des déplacements aux forces.

Dans le cas d’un projet, l’accélérogramme du futur séisme est toujours inconnu. On utilise donc des outils permettant d’approcher dans une optique sécuritaire les accélérogrammesd’entrée de l’analyse time-history.Ces outils sont les spectres de séisme dont nous avons parlé plus tôt.

L’ordonnée du spectre de réponse élastique en accélération est de la forme Se/ag (sans dimension); l’abscisse est la période T en secondes (parfois la fréquence en Hz).



Utilisation des spectres de séisme



Utilisation des spectres de séismeagR accélération de référence du sol au rocher, est donnée par les cartes de zonage sismique. Elle correspond à une accélération au rocher (bedrock) pour un sol de classe A…

Le coefficient γI de catégorie d’importance dépend du type de bâtiment.



Utilisation des spectres de séismeag= γI agR à un endroit donné peut être engendrée par différents types de séisme : un fort séisme dont l'épicentre est éloigné ou un séisme plus faible dont l'épicentre est proche.Le séisme réel affectant une zone est fonction de la géologie, proche et lointaine. Mais les spectres de réponse correspondant aux deux types de séisme mentionnés sont différents, parce que des ondes propagées de loin ou de près produisent des effets différents.Dans l'Eurocode 8, cette possibilité est considérée et des formes de spectres de types 1 et 2 sont définies.

•Le type 1 correspond à des séismes lointains de magnitude suffisante (MS≥ 5,5) pour engendrer au site de construction des accélérations significatives dont la contribution est prépondérante dans le risque sismique

•Le type 2 est à considérer si des tremblements de terre de magnitude MS<5,5 constituent le facteur prépondérant de risque.

•Dans certaines régions, le spectre de calcul résulte d'une combinaison des spectres des types 1 et 2.



Utilisation des spectres de séismeLes couches de sol présentes entre le rocher sous-jacent et la fondation d'un bâtiment modifient la forme et les amplitudes du spectre de réponse élastique ou "alea", établies au niveau du rocher. Un paramètre de sol S prend en compte cette influence, de sorte que l'accélération maximale à la fondation est égale à Sag .

Les sites sont classifiés en types A, B, C, D et E selon des profils stratigraphiques et des valeurs de paramètres caractérisant les sols.

On voit que l'influence sur le mouvement en base de la structure est significatif, puisque S est compris entre 1 (sur le rocher) et 1,8 (sol très meuble). De plus, les valeurs des périodes "de coin" TB et TC, assez différentes selon les sites et sols (voir diapo 48), influencent significativement le spectre.



Utilisation des spectres de séismeVoir aussi diapo 54



Utilisation des spectres de séisme



Utilisation des spectres de séismeEn examinant la diapo 48, on constate que:- plus les couches sont meubles (origine du mot « meuble » : mobile…), plus l’amplification est élevée à période égale (penser au mouvement de l’eau dans un bassin agité, par comparaison au mouvement de la même eau, mais gelée, dans le même bassin).- l’amplification relative du site D par rapport au site A atteint pratiquement 3 pour des oscillateurs (bâtiments, château d’eau,etc.) de période égale à 1s- la période TC de « coin » du spectre se déplace vers la droite quand on passe de sol rocheux à sol meuble

Il apparaît clairement qu'ignorer les conditions de sol et site peut conduire à de grandes sous-estimations de

l'action sismique.Sag=SγIagR



Ductilité de la structureOn dit "ductile" une structure qui peut subir sans perte de résistance des déformations plastiques alternées.Comme expliqué plus en détail dans la suite, la ductilité peut avoir une influence positive sur l'économie d'un projet, car :

- la structure ductile est capable de subir avec succès le même déplacement qu'une structure qui répondrait de façon purement élastique, mais elle atteint ce résultat avec des éléments structuraux de section moindre ;

- les sollicitations à la fondation sont réduites.

Attention, la ductilité implique de respecter des dispositions constructives particulières dépendant du type de matériaux, et de plein d’autres paramètres. Pour certains ouvrages spécifiques, on refuse de prendre le risque d’une erreur d’analyse et on refuse la prise en compte de la ductilité.



Ductilité de la structureCette capacité à se déformer plastiquement sans perte de résistance est traduite par l'attribution d'un coefficient de comportement, q dans l'EC8, dont la valeur dépend du type de structure résistante. Le coefficient q intervient comme réducteur du spectre élastique Se(T) lors de la définition du spectre de calcul Sd(T). La réduction est comprise entre 1,5 pour les structures peu dissipatives et 6 pour les structures très dissipatives. Le facteur q permet de tenir compte de la capacité de déformation plastique d'une structure tout en effectuant une analyse purement élastique sous un spectre Sd(T).

Lorsqu'on tient compte de tous les facteurs définis aux paragraphes précédents, c'est toute une famille de spectres de calcul Sd(T) qui apparaît au départ d'un spectre de réponse élastique Se(T).Se(T) est fonction de agR , γI et T.Sd(T) est fonction de Se(T), q et des conditions de sol et site.



Exemples de spectres EC8Spectres de calcul correspondant à une zone sismique oùag = 2m/s², où le risque sismique correspond à un tremblement de terre de type 1,

pour des structures caractérisées parq = 1,5 construites sur des sols de type A et C

et pour des structures caractérisées par q = 4 construites sur un sol de type C.



Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples (principe)Compte tenu de la définition de la pulsation ω=(k/m)1/2, on peut écrire la force exercée sur la masse de l’oscillateur simple sous la forme

F(t) = - ku(t) = - mω²u(t) = - m β(t)

et dire que le résultat est similaire à celui obtenu lorsque la masse m est soumise à une pseudo accélérationβ(t) = ω²u(t) = 4 π² u(t)/T² (déjà présenté diapo 28)

Je peux donc imaginer un spectre en déplacement, déduit du spectre en pseudo accélération, par la relation SDe(T)=Se(T)/ω²



Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples (principe)Soit SDe(T)=Se(T)/ω²=Se(T)(T/2π)² ce qui donne une forme bien différente (le règlement précise tout ça)



Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples (principe)C’est de F(t) que sera déduit toutes les forces internes de la console (du voile de contreventement donc). Je cherche donc à calculer cette valeur. Sauf que je ne dispose pas de l’information temps !

Les spectres en pseudo accélération Se(T) donnent, pour une période donnée, la pseudo accélération maximale qu’on peut rencontrer (donnée décorrélée de la variable temps, car on ne sait pas quand cet extremum sera atteint). Si ces spectres sont appliqués aux oscillateurs découplés, Les valeurs des pseudo accélérations Se(T) données par le spectre de réponse sont des maxima dans chaque mode et il est peu probable que ces maxima surviennent au même instant t.



Illustration sur l’oscillateur à 5 massesSi on reprend l’oscillateur à 5 masses ayant servi d’exemple pour la définition des matrices de l’analyse modale et qu’on utilise un spectre de réponse élastique, on peut repérer les 5 périodes propres sur ce spectre.






Illustration sur l’oscillateur à 5 massesDans la diapositive suivante, on note Su(T) le spectre en déplacement auparavant noté SDe(T), et on conserve la notation Se(T) pour le spectre en pseudo accélération.

On a donc Su,n(ωn,ζ) qui représente la valeur du déplacement maximal de l’oscillateur de période fréquence propre ωn et d’amortissement ζ(correspondant au mode n), et Se,n(ωn,ζ) la pseudo accélération maximale du même oscillateur.



Illustration sur l’oscillateur à 5 masses






Illustration sur l’oscillateur à 5 massesDe la même manière, la réponse totale s’obtient en superposant les réponses des différents modes. Toutefois, la simple addition des réponses maximum conduit à des valeurs trop défavorables car les maximum ne coïncident généralement pas dans le temps. On utilise plutôt la règle de la racine de la somme des carrés (une des méthodes acceptées par la profession):

C’est à partir de là qu’on détermine la force grâce à K, et non grâce à la formule F=m*a(t) !!!!






Illustration sur bâtiment 3D



Domaine de validité de la MFLMFL pour méthode des forces latérales (ou encore méthode de la forcede remplacement, ou encore méthode pseudo-statique)



DémarcheLa démarche est la suivante:

Vérifier le domaine de validitéEstimer la masse concernée par l'action sismiqueCalculer le premier mode propre du bâtimentChoisir le spectre de dimensionnement et le coefficient d'amortissementEstimer l'effort tranchant à la base de la structureDistribuer les forces sismiques horizontales au niveau des planchersRepositionner le centre de gravité des planchersRépartir la force sismique sur les contreventementsPrendre en compte l'amplification des forcesProcéder enfin au dimensionnement



Masses engagées



Coefficients partiels



Mode propre d’un bâtiment régulier



Quotient de Rayleigh



Commentaires



Automatisation du calcul



Choix du spectreOn retiendra grâce à cespectre la valeur numérique deSd(T1) qu’on va utiliser dans lasuite pour le calcul de l’efforttranchant à la base de lastructure. Cette valeur intègredonc le coefficient decomportement q lié au type dela construction. L’annexenationale française pourramodifier les valeursrecommandées de q, et onprendra, pour des structures enbéton armé, une valeur de q=3dans la suite pour lesapplications numériques.



Effort tranchant à la base de la structure



Distribution des forces sismiques



Distribution des forces sismiques



Repositionnement CDG des planchers

On calcule ainsi (eaix, eaiy)à ajouter aux coordonnées de calcul nominales du centre de gravité du plancher. C’est en ce nouveau point que s’applique la force sismique de niveau.



Répartition force sur contreventements









Amplification des forces



Suite aux calculs...Les hypothèses prises en compte (utilisation d’un coefficient q, notamment), ont une implication sur le dimensionnement, à savoir le calcul ET les dispositions constructives des éléments.

Les données de sortie de la méthode sont donc pour chaque étage, les charges sismiques sollicitant chacun des planchers, et chacun des murs de contreventement. Ces charges, combinées avec les autres charges de calcul, seront prises en compte pour le dimensionnement des éléments. Le dimensionnement tiendra aussi compte des dispositions constructives nécessaires en cas de séisme aux liaisons et dans les zones ductiles.

Dans le cas d’un panneau de refends on explique diapo suivante comment il reprend les forces horizontales appliquées, ces dernières impliquant un moment à la base du panneau. Il existe donc une zone du panneau comprimée, et une zone tendue (ce phénomène pouvant agir dans les deux sens). Ainsi, on est amené à déterminer la longueur de la zone comprimée du panneau pour mener un calcul en fonction du matériau qui le constitue.



Zoom sur un refends

En pratique, la section des voiles reste la même du RDCau dernier étage : le dimensionnement se fait alorsprincipalement en fonction de l’effort normal decompression (en tenant compte de la compression induitepar les forces sismiques, voir plus bas). Pour ce qui est del’effort tranchant, le dimensionnement peut consister enune prise en compte de l’enveloppe des sollicitations,mais il peut s’effectuer de façon plus fine. Concernant lasection d’armatures sur l’ensemble de la hauteur dubâtiment, la prise en compte de la variation du momentfléchissant permet de diminuer progressivement laquantité d’acier au fur et à mesure que le voile prend del’altitude. Ces aspects ne dispensent pas de respecter uncertain nombre de dispositions constructives



Dispositions constructives







circulation des charges sismiques

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