cinématique des fluidesephyz.fr/cours/pc/pc_meca/cinematique.pdf · 2019. 10. 27. · on dé nit...
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Cinématique
des uides
Descriptions
d'un uide
en
mouvement
Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Cinématique des uides
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Cinématique
des uides
Descriptions
d'un uide
en
mouvement
Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Expérimentations et Simulations
Objectif : Décrire le mouvement d'un uide, sans s'intéresseraux causes du mouvement.
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Cinématique
des uides
Descriptions
d'un uide
en
mouvement
Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
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Descriptions d'un uide en mouvement
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Cinématique
des uides
Descriptions
d'un uide
en
mouvement
Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Particule uide
Dans l'approximation des milieux continus, une particule uideest un volume mésoscopique renfermant un grand nombre demolécules mais de taille faible devant les dimensions macrosco-piques des phénomènes observés.
On associe à une particule uide un vecteur vitesse an decaractériser son évolution.
Il existe deux manières de décrire l'ensemble du uide :
I la description lagrangienne ;
I la description eulerienne.
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d'un uide
en
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Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Description lagrangienne
À t=0, on découpe le uide en un ensemble de particulesuides et on suit l'évolution des vecteurs vitesse de chacunedes particules uides au cours du temps. (on dit qu'on suitl'évolution du champ lagrangien de vitesse)
Le système étudié (la particule uide) étant un système fermé,on peut lui appliquer les lois de la dynamique.
Dans le cas d'une rivière, cette description revient à suivre latrajectoire et la vitesse de chaque goutte d'eau de la rivière enfonction du temps.
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Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Description eulerienne
À chaque instant t, on découpe le uide en particules uides
En chaque point M du uide on dénit le vecteur vitessecorrespondant à la particule uide qui passe en M à l'instant t.On obtient ainsi un champ eulerien de vecteurs vitesses −→v (M, t).
On dénit alors à chaque instant des lignes de courants cor-respondant aux lignes de champ de vitesse. Les lignes de courantssont tangentes en chaque point M au vecteur −→v (M, t)Dans le cas d'une rivière, cela revient à observer l'évolution ducourant en chaque point de la rivière au cours du temps.
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Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
La description eulerienne est donc plus adaptée à l'étude d'uneuide en mouvement (dans un référentiel d'étude donné). Onpourra de la même manière décrire le uide par des champseuleriens de pression p(M, t) ou de masse volumique µ(M, t).
Néanmoins, la particule uide présente en M change à chaqueinstant. Le vecteur −→v (M, t) en un point M quelconque ne décritdonc pas le mouvement d'une unique particule uide.
Cela implique quelques dicultés si on souhaite appliquer les loisde la dynamique pour étudier l'écoulement du uide.
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Premiers
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et courants
Accélération
d'une
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uide
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Premiers écoulements remarquables
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d'un uide
en
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Premiers
écoulements
remarquables
Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Écoulement stationnaire
Un écoulement est stationnaire si tous les champs euleriens quidécrivent le uide sont indépendants du temps.
Dans le cas d'un écoulement stationnaire les lignes de champ(description eulerienne) sont confondues avec les trajectoires desparticules uides (description lagrangiennes)
Le caractère stationnaire dépend du référentiel choisi.
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Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Écoulement incompressible
Soit dm la masse d'une particule uide occupant un volume dτ .La masse volumique de la particule uide est dénie par :
µ(M, t) =dm
dτ
On dit qu'un écoulement est incompressible si le volume (et doncla masse volumique) de chaque particule uide reste constanteau cours du temps.
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Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
écoulement incompressible 6= uide incompressible
uide incompressible = coecient de compressibilité isothermenul (χT = 0)
Un liquide est généralement un bon uide incompressible.L'écoulement d'un liquide peut généralement être modélisé parun écoulement incompressible.
De l'air s'écoule dans une conduite cylindrique en régime station-naire. Les particules uides ont un volume constant au cours dutemps. L'écoulement est incompressible alors que le uide (air)est un uide compressible.11
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Premiers
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remarquables
Conservation
de la masse
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Accélération
d'une
particule
uide
Dans le cas d'un écoulement compressible une particule uidepeut avoir sa masse volumique qui varie au cours du temps. Onconsidère une particule uide située en M à l'instant puis enM + dM à l'instant t + dt.Pour exprimer la variation de la masse volumique de la particuleuide on considère la grandeur :
Dµ
Dt= lim
dt→0
µ(M + dM, t + dt)− µ(M, t)
dt
où
µ(M, t) est le champ eulerien de masse volumique en M etDµ
Dtest appelée la dérivée particulaire de la masse volumique.
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Conservation
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Accélération
d'une
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uide
Écoulement compressible/ écoulementincompressible
Expression de la dérivée particulaire de la masse volumique :
Dµ
Dt= lim
dt→0
µ(x + dx , y + dy , z + dz , t + dt)− µ(x , y , z , t)
dt
Dµ
Dt=∂µ
∂x
dx
dt+∂µ
∂y
dy
dt+∂µ
∂z
dz
dt+∂µ
∂t
dt
dt
Dµ
Dt=∂µ
∂xvx +
∂µ
∂yvy +
∂µ
∂zvz +
∂µ
∂t
Expression intrinsèque de la dérivée particulaire de la masse vo-lumique :
Dµ
Dt= −→v ·
−−→gradµ+
∂µ
∂t
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Conservation
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Accélération
d'une
particule
uide
Le terme∂µ
∂trend compte de la variation temporelle en M
du champ eulerien de masse volumique. Il traduit localementl'inuence du temps. On l'appelle dérivée locale .
Le terme −→v ·−−→gradµ rend compte de l'inuence du déplacement
de la particule uide sur le champ eulerien de masse volumique .On l'appelle dérivée convective .
Un écoulement est incompressible siDµ
Dt= 0. Le caractère sta-
tionnaire d'un l'écoulement (∂µ
∂t= 0) ne sut pas à obtenir un
écoulement incompressible.
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Conservation de la masse et courants
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Conservation
de la masse
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Accélération
d'une
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Débit volumique
Un uide de masse volumique µ(M, t) est décrit localement parun champ de vitesse −→v (M, t) traversant une section élémentaire
caractérisée par−→dS = dS−→n .
Le débit volumique à travers la section S correspond au volumequi traverse la section S par unité de temps.Il correspond au uxde −→v (M, t) à travers S :
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Débit massique
Les particules uides ayant un volume à priori variable au cours deleur mouvement au sein du uide on s'intéresse plus souvent audébit massique qui correspond à la masse qui traverse la sectionS par unité de temps.
On note−→jm(M, t) = µ(M, t)−→v (M, t) le vecteur densité de
courant . Le débit massique à travers une section macroscopiqueS s'exprime donc comme le ux de
−→jm(M, t) :
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Équation locale de conservation de la masse
On considère le cas particulier de l'écoulement unidirectionneld'un uide de masse volumique µ(x , t) dans une conduite cylin-drique d'axe Ox et de section dS . La vitesse de l'écoulement vaut−→v (x , t) = v(x , t)−→ex . On réalise le bilan de matière traversant unélément de volume dτ situé entre les abscisses x et x +dx durantdt.
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Cas des écoulements stationnaires
Que devient l'équation locale de conservation de la masse dansle cas d'un écoulement stationnaire ?
À l'aide du théorème de Green Ostrogradski, justier que dansces conditions
−→jm est à ux conservatif.
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Accélération
d'une
particule
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En régime stationnaire,
au niveau d'une intersection :
dans une canalisation :
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Caractérisation des écoulements incompressibles
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Accélération
d'une
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uide
En écoulement incompressible,
au niveau d'une intersection :
dans une canalisation :
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Accélération
d'une
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uide
Illustration
Une particule uide cubique de coté a se déplace avec une vitesse−→v (M, t) =
v0Lx−→ex dans le référentiel d'étude.
On observe d'évolution de la particule entre deux instant t ett + dt inniment proches.
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Accélération
d'une
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uide
Exprimer div−→v . L'écoulement est-il compressible ?
Représenter la coupe de particule uide dans le plan xOy ent + dt (sur le schéma précédent)
Exprimer dV la variation de volume de la particule durant dt
En déduire une relation entre div−→v et dV . Commenter.
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Accélération d'une particule uide
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d'une
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Accélération d'une particule uide
Pour appliquer les lois de la dynamique à une particule uide,on souhaite exprimer l'accélération d'une particule au cours dutemps. À nouveau, comme pour la masse volumique, le champ devecteurs vitesse utilisé pour décrire le uide est un champ eule-rien, or l'accélération d'une particule correspond à une descriptionlagrangienne du uide. An d'exprimer l'accélération d'une par-ticule uide, à l'aide d'un champ de vecteurs eulerien, on utiliseà nouveau la notion de dérivée particulaire.
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d'une
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uide
D−→vDt
= limdt→0
−→v (M + dM, t + dt)− µ(M, t)
dt
où−→v (M, t) est le champ eulerien des vecteurs vitesse en M et tD−→vDt
est appelée la dérivée particulaire du vecteur vitesse.
Le champ considéré est cette fois-ci un champ vectoriel. On consi-dère alors une base cartésienne (0,x,y,z) telle que −→v (M, t) =vx(M, t)−→ex + vy (M, t)−→ey + vz(M, t)−→ezLes vecteurs unitaires étant constants, on a alors :
D−→vDt
=DvxDt−→ex +
DvyDt−→ey +
DvzDt−→ez
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Pour chaque composante on peut reprendre le résultat obtenuavec la masse volumique :
D−→vDt
=
−→v ·−−→grad vx +
∂vx∂t
−→v ·−−→grad vy +
∂vy∂t
−→v ·−−→grad vz +
∂vz∂t
Expression intrinsèque de la dérivée particulaire du champ devecteurs vitesse :
D−→vDt
= (−→v ·−−→grad)−→v +
∂−→v∂t
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d'une
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L'accélération d'une particule uide est donc la somme de deuxtermes :
I L'accélération locale ∂−→v∂t
qui traduit la variation tem-
porelle du vecteur vitesse (eulerien) en un point M du uide
I L'accélération convective (−→v ·−−→grad)−→v lié au déplace-
ment de la particule uide dans le uide.
L'accélération convective peut aussi s'écrire
(−→v ·−−→grad)−→v =
−−→grad
(v2
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)+−→rot −→v ∧ −→v
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d'une
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uide
Écoulement rotationnel, vecteur tourbillon
La seconde expression de la dérivée convective fait apparaitrel'opérateur rotationnel. Quel phénomène physique traduit cetopérateur ?
On considère à nouveau une particule uide cubique de coté a sedéplaçant dans avec une vitesse
−−→M, t = αy−→ex − αx−→ey
On observe d'évolution de la particule entre deux instant t ett + dt inniment proches.Exprimer div−→v . L'écoulement est-il compressible ?
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Conservation
de la masse
et courants
Accélération
d'une
particule
uide
Représenter la coupe de particule uide dans le plan xOy en t+dt.
On dénit le vecteur tourbillon par :
−→Ω =
12−→rot −→v
Justier ce choix de dénition32
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Conservation
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Accélération
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uide
À l'aide du théorème de Stokes, montrer que pour un écoulementirrotationnel en tout point, le champ de vecteurs vitesse est àcirculation conservative.
Montrer que pour un écoulement irrotationnel, le champ de vec-teurs vitesse s'exprime comme le gradient d'un potentiel des vi-tesses.
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