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Sciences Industriellesde l’Ingénieur

CI 3 – CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES

SYSTÈMES

CHAPITRE 8 – ÉTUDE GRAPHIQUE DES MOUVEMENTS PLANS

Système EPAS Schématisation 3D Modélisation plane

On s’intéresse au déploiement de l’Échelle Pivotante Automatique à commande Séquentielle. Lors de cette phase, lestourelles sont bloquées. Le mouvement de l’échelle est réalisé grâce à la sortie de la tige du vérin.

Ce mouvement à la particularité d’être "plan". En effet, les liaisons qui constituent le mécanisme ne génèrent que desmouvements dans le plan

−→x ;−→y

. Dans ce cas, il est possible d’utiliser des outils graphiques pour déterminer les vitessesde déplacement des solides.

Problém

atique

Problématique :– Comment déterminer graphiquement les vitesses des solides dans les systèmes mécaniques ?

Savoir

Savoirs :Résoudre :– Rés-C1-S2 : Déterminer graphiquement le champ des vecteurs vitesses des points d’un solide dans le cas de

mouvements plan sur plan.

1 Cinématique plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.1 Forme du torseur cinématique pour des mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Représentation du vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Champ des vitesses pour un solide en translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.4 Champ des vitesses pour un solide en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Notion de point appartenant à deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Résolution des problèmes graphiques en utilisant l’équiprojectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Résolution des problèmes graphiques en utilisant les centres instantanés de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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2013 – 2014Xavier PESSOLES

1 CI 3 : CIN – CoursCh. 8 : Cinématique graphique


1 Cinématique plane

Définitio

n

Problème plan

Soient deux solides S1 et S2 en mouvement l’un par rapport à l’autre auxquels on associe les repères R0 et R1. Leproblème est dit plan lorsque

∀t ∈R+,−→z 1 ∧−→z 0 =−→0

Le mouvement est alors contenu dans le planP−→x1 ;−→y1

.

1.1 Forme du torseur cinématique pour des mouvements plans

Résultat

Torseur cinématique

Lorsqu’un mouvement a lieu dans le plan−→x ;−→y

, le torseur cinématique associé au mouvement est de la forme :

V (S2/S1)=

˜ ux

˜ u y

ωz ˜

O,R

Exem

ple

Donner les torseurs associés aux liaisons suivantes dans le plan−→x ;−→y

.

L (3/2) L (4/3)Sphère cylindre

de normale −→x

Sphère cylindre

de normale −→z

1.2 Représentation du vecteur vitesse

Définitio

n

Le vecteur vitesse est représenté par un glisseur. Ce glisseur est caractérisé par :– une direction ;– un sens ;– une norme ;– un point d’application.En cinématique graphique, déterminer le vecteur vitesse revient à déterminer les glisseurs de chacun des points.

Exem

ple

Représentation d’un glisseur




Exem

ple

1.3 Champ des vitesses pour un solide en translation

Résultat

Soit un solide S2 en translation par rapport à un solide S1. Connaissant−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1), on a :

∀M ∈S2,−−−−−−−−−→V (M ∈S2/S1) =

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1)

Exem

ple

Tracer−−−−−−−→V (B ∈ 3/4) et

−−−−−−−→V (D ∈ 4/3).

1.4 Champ des vitesses pour un solide en rotation

Résultat

Soit un solide S2 en rotation par rapport à un solide S1. Soit O le centre de la liaison. On a donc,−−−−−→Ω(S2/S1) =ω

−→z ,ω

étant une vitesse de rotation exprimée en r a d /s . Soit un point A appartenant au planP−→x0 ;−→y0

tel que−→OA = r−→x1

D’après la relation du champ de moment,

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1) =

−−−−−−−−→V (O ∈S2/S1)+

−→AO ∧

−−−−−→Ω(S2/S1) = rω−→y1




Exem

ple

Tracer−−−−−−−→V (B ∈ 1/0) Tracer

−−−−−−−→V (C ∈ 1/0)

Donner ||−−−→Ω(1/0)||

1.5 Notion de point appartenant à deux solides

Résultat

Soient deux solides S1 et S2. La liaisons entre les deux solides est de centre A et ne permet aucune translation dansP . Soit S0 le bâti. On a alors :

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S0) =

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1)︸︷︷︸

−→0

+−−−−−−−−→V (A ∈S1/S0)

Exem

ple

Déterminer−−−−−−−→V (D ∈ 5/3) et

−−−−−−−→V (D ∈ 5/2).




2 Résolution des problèmes graphiques en utilisant l’équiprojectivité

Résultat

Equiprojectivité

Soit un solide S1 en mouvement par rapport à un repère fixeR0. Soient deux points A et B appartenant au solide S1.On démontre qu’à chaque instant t :

−−−−−−−−−→V (A ∈S1/R0) ·

−→A B =

−−−−−−−−−→V (B ∈S1/R0) ·

−→A B

Exem

ple

Interprétation graphique

Démonstration

D’après la relation du champ de moment,

−−−−−−−−−→V (B ∈S1/R0) =

−−−−−−−−−→V (A ∈S1/R0)+

−→BA ∧

−−−−−−→Ω(S1/R0)

⇐⇒−−−−−−−−−→V (B ∈S1/R0) ·

−→A B =

−−−−−−−−−→V (A ∈S1/R0) ·

−→A B +

−→BA ∧

−−−−−−→Ω(S1/R0)

· −→A B︸︷︷︸

=−→

A B∧−→BA

·−−−−−→Ω(S1/R0)=0

CQFD

Métho

de

1. Identifier les données connues :– fréquence de rotation des moteurs ;– vitesse de déplacement des vérins ...

2. Tracer les vecteurs vitesses connus en respectant l’échelle

3. Identifier la direction du vecteur vitesse aux points caractéristiques du mécanisme

4. Utiliser la décomposition du vecteur vitesse si besoin

5. Tracer le vecteur vitesse final en utilisant l’équiprojectivité

6. Mesurer la norme du vecteur vitesse et comparer avec le cahier des charges.




3 Résolution des problèmes graphiques en utilisant les centres instantanésde rotation

Définitio

n

Glisseur

Soit le torseur suivant :

V (S2/S1)=

( −−−−−→Ω(S2/S1)−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1)

)

A

V est un glisseur si et seulement si :

–−−−−−→Ω(S2/S1) 6=

−→0 ;

–−−−−−→Ω(S2/S1) ·

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1) = 0.

Résultat

Centre instantané de rotation - CIR

Au vu de la forme des torseurs en cinématique plane, le torseur cinématique est un glisseur. Il existe donc un point

I tel−−−−−−−−→V (I ∈S2/S1) =

−→0 .

I est appelé le centre instantané de rotation du solide 1 par rapport au solide 2. On le note I21.

L’axe instantané est de même direction que−−−−−→Ω(S2/S1). Il est perpendiculaire au plan du mouvement.

Résultat Construction du CIR

−−−−−−−−→V (A ∈S2/S1) et

−−−−−−−−→V (B ∈S2/S1) étant connu, I12 est à l’intersection des perpendiculaires aux vecteurs vitesses en A et

en B .

Exem

ple

Interprétation graphique

Rem

arqu

e

– Pour un solide en translation, le CIR n’existe pas.– Pour un solide en rotation autour d’un point fixe, le CIR est au centre de la liaison.– Pour un mouvement plan quelconque, le CIR change à chaque instant.




Définitio

n Base et roulante

Soit un solide S1 en mouvement dans un solideR0. On appelle base la trajectoire du CIR par rapport àR . On appelleroulante la trajectoire du CIR par rapport à S1.

Théorèm

e

Soient 3 solides S1, S2 et S3 en mouvement plan. I12, I23 et I13 sont alignés

Résultat

L’alignement des CIR peut permettre de déterminer la direction d’un vecteur vitesse.

Exem

ple

Agitateur médical

Système à double excentrique (transformation d’un mouvement de rotation continue en rotation discontinue). Lessolides S1 et S3 sont en liaison pivot avec le bâti S0. La bielle S2 est en liaison pivot avec S1 et S3.

Mouvement de 1/0 rotation autour de l’axe (O1,−→z 0 ) : CIR I1/0 =O1. Liaison 2/1 pivot d’axe (A,−→z 0 ) : CIR I2/1 = A : CIR I2/0

est sur l’axe (O1A).

Mouvement de 3/0 rotation autour de l’axe (O3,−→z 0 ) : CIR I3/0 =O3. Liaison 3/2 pivot d’axe (B ,−→z 0 ) : CIR I3/2 = B : CIRI2/0 est sur l’axe (O3 B ).

On en déduit I2/0 intersection entre les droites (O3 B ) et (O1A).

On connaît le CIR I1/0 =O1 et le CIR I3/0 =O3 par conséquent le CIR I3/1 est sur l’axe (O1O3).

On connaît le CIR I3/2 = A et le CIR I2/1 = B par conséquent le CIR I3/1 est sur l’axe (A B ).

On en déduit I3/1 intersection entre les droites (O1O3) et (A B ).



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