chapitres 7-8-9-10

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  • CHAPITRE 7:

    Etat limite ultime de rsistance (ELUR)

    1. But

    Dterminer l'armature longitudinale selon le principe des justifications du BAEL 91

    (article A4.3)

    2. Hypothses de calcul (BAEL A 4.3.2)

    (H1) Le diagramme de dformation est linaire; les dformations normales (allongements

    ou raccourcissements) sont donc proportionnels en chaque point d'une section

    donne la distance de ce point l'axe neutre.

    (H2) La rsistance du bton la traction est suppose nulle.

    (H3) Chaque armature subit la mme dformation normale que la gaine de bton qui

    l'entoure; il n'y a pas de glissement relatif et l'adhrence est parfaite.

    (H4) Le raccourcissement ultime du bton est:

    5,3bu en flexion

    2bu en compression centre

    (H5) L'allongement ultime des armatures est limit 10su .

    (H6) Le diagramme des dformations limites d'une section passe par l'un des trois pivots A,

    B ou C; les dformations l'ELUR suivent "la rgle des trois pivots" .

  • 2

    Remarque:

    Les hypothses prcdentes sont de nature rglementaire. Il n'y a pas lieu de les justifier par

    des considrations thoriques ou mme des corrlations exprimentales.

    Si l'on veut maintenant comprendre ces hypothses, il faut savoir qu' l'ELUR. on limite

    volontairement la dformation en compression du bton et la dformation des armatures. Ce

    qui rend la scurit plus sr. En effet, les courbes de comportement rel prsentent des paliers

    de contrainte et il est moins sr de limiter cette dernire. D'autre part, la distinction entre un

    tat de flexion et de compression centr provient du fait que dans le premier le diagramme des

    dformations est linaire et tous les points de la section ne sont pas soumis la mme

    dformation ( il y' a donc une certaine rserve) alors que dans le deuxime cas tous les points

    de la section subissent la mme dformation normale (situation plus critique que la

    prcdente).

    L'hypothse (H3) est trs importante car le principe mme d'une structure en bton arm

    suppose l'existence d'un tat parfait d'adhrence entre le bton et les armatures. On verra plus

    loin que des dispositions spciales concernant l'ancrage des armatures doivent tre prises pour

    assurer la validit de cette hypothse.

    2. Rgles des trois pivots (BAEL A 4.3.3)

    Dans le calcul l'ELUR, les diverses positions que peut prendre le diagramme des

    dformations de la section passent par l'un des pivots A, B ou C; l'intrieur ou la frontire

    des domaines reprs (1), (2), (3) sur la figure 9.1.

    Les notations utilises sont:

    h: hauteur totale de la section

    d: hauteur utile de la section en flexion simple

    sA : section des aciers tendus

    Dans la suite, on dsignera par uY , la distance entre la fibre suprieure et la fibre neutre et on

    posera:

    d

    Yuu

  • 3

    Figure 6.1: Diagramme des trois pivots

    3. Analyse du diagramme des dformations limites d'une section

    3.1 Pivot A - domaine (1)

    Caractrisation

    ooo

    st /10 et ooo

    bc /5.30

    l'ELUR est atteint par les armatures

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    traction simple (tirant)

    section entirement tendue en flexion compose (tirant)

    section partiellement comprime en flexion simple ou compose (poutre ou tirant)

    C

    Section avant dformation

    (3)

    (2)

    (1)

    C'

    As

    B'

    B A'

    A

    d h

    4h / 7

    3h / 7

    Raccourcissement

    Compression Allongement

    Traction

  • 4

    On distingue trois sous domaines:

    (1a) - le diagramme de dformation concide avec la frontire AA', auquel cas le bton est

    entirement tendu sous la traction simple;

    (1b) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires AA' et OO' pour lequel la

    section est dans un tat de flexion compose et le bton est entirement tendu;

    (1c) - le diagramme de dformation est situ entre les frontires OO' et AB pour lequel la

    section est dans un tat de flexion simple et le bton est partiellement comprim.

    Il est utile de dterminer en fonction de *u la limite entre les domaines (1b) et (1c). Le

    thorme de Thals permet d'crire:

    10

    Yd

    5.3

    Y *u*

    u

    soit en divisant les deux membres par d et aprs rarrangement,

    2593.027

    7

    5.310

    5.3*u

    d2593.0Y*u

    b1

    A )/5.3(B ooo O

    O

    )/10(A ooo

    *

    uY

    d h a1

    1

  • 5

    Il vient alors la caractrisation des trois sous domaines prcdents sous la forme:

    u le domaine actif est le domaine (1a)

    0u le domaine actif est le domaine (1b)

    2593.00 *uu le domaine actif est le domaine (1c)

    Le pivot A correspond donc 2593.0u .

    3.2. Pivot B - domaine (2)

    Caractrisation

    Ce domaine correspond un diagramme de dformation qui satisfait simultanment

    5.3bu dans la fibre suprieure de la section et 10su dans les aciers tendus.

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    L'ELUR est atteint par le bton en flexion est la section est partiellement comprim en flexion

    simple ou en flexion compose (cas gnral des poutres)

    *

    uY

    2

    b2

    )/5.3(B ooo O

    O

    )/10(A ooo

    d h

    a2 c2

  • 6

    On distingue l aussi trois sous domaines remarquables:

    (2a) - la dformation dans les aciers tendus dpasse la dformation correspondant la limite

    d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la section est dans un tat de flexion

    simple ou compose;

    (2b) - la dformation dans les aciers tendus est un allongement qui reste infrieur la

    dformation correspondant la limite d'lasticit. Le bton est partiellement comprim et la

    section est dans un tat de flexion simple ou compose;

    (2c) - les aciers tendus subissent un raccourcissement. Les aciers ne jouent pas vraiment leur

    meilleur rle dans ce cas ou l'axe neutre passe dans l'enrobage (partie inutile d'un point de vue

    mcanique de la section).

    Comme dans le cas prcdent, on caractrise en termes de u ces trois domaines.

    La frontire entre le domaine (2a) et (2b) correspond un allongement des armatures tendues

    gal l'allongement )E(f sse qui est fonction de la nuance d'acier utilis et pour lequel

    u . se calcule par l'application encore une fois du thorme de Thals, sous la

    forme

    5.3

    5.3

    L'autre frontire correspond la limite d'une section entirement comprime du bton, pour

    laquelle la dformation de la fibre infrieure est nulle. Dans ce cas d

    hcu .

    D'o la caractrisation suivante des trois domaines:

    u*

    u 2593.0 le domaine actif est le domaine (2a)

    1u le domaine actif est le domaine (2b)

    dh1 u le domaine actif est le domaine (2c)

  • 7

    3.3. Pivot C - domaine (3)

    Caractrisation

    Dans ce domaine la dformation de compression du bton au point C doit toujours vrifier

    2bub .

    Modes de sollicitations et type d'lments concerns

    L'ELUR est atteint par compression du bton et la section est entirement comprime.

    C'est le cas de la compression simple ou de la flexion compose avec section entirement

    comprime (cas gnral des poteaux et des poutres).

    La position du point C est localise par l'application du thorme de Thals et on a:

    2

    Yh

    25.3

    Y cc

    h7

    3Yc

    On distingue pour ce pivot, le cas de la compression simple correspondant la frontire CC'

    et le cas de la flexion compose avec une section entirement comprime qui correspond au

    domaine (3). La caractrisation en termes de u est immdiate et on obtient:

    udh le domaine actif est le domaine (3)

    u le domaine actif est la frontire CC'

    )/2(C ooo

    C

    h7

    4

    h7

    3

    )/5.3(B ooo

    O

    O

    h

    3

  • 8

    4. Diagramme des contraintes

    Pour le calcul l'ELUR, on adoptera pour le bton le diagramme contraintes-dformations en

    parabole-rectangle. La dformation augmentant linairement vers le haut partir de l'axe

    neutre, la contrainte augmente galement mais en suivant la courbe parabole rectangle.

    En flexion simple, le diagramme parabole-rectangle est remplace par le diagramme

    rectangulaire simplifi.

    5. Recommandations du BAEL

    e

    28t

    f

    fdb23.0;

    1000

    BmaxAs o B est la section de bton.

    La section d'armatures tendues As est au moins gale la valeur minimale fixe par la rgle

    du millime et la condition de non fragilit

    La contrainte s dans les armatures tendues ne doit pas tre infrieure s

    ef

    (sinon les

    armatures sont mal utilises) la dformation st des armatures tendues doit vrifier

    oo

    o

    sust

    ss

    e /10E

    f

    la part du moment de flexion quilibr par les aciers comprims doit tre infrieure 40%

    du moment total, soit: Mu4.0)dd(A ss

    pour empcher le flambement des armatures comprimes, celles-ci doivent tre entoures

    de cadres tous les 15 diamtres au maximum

    6. Diagramme contraintes-dformations simplifi du bton

    6.1 Diagramme rectangulaire simplifi (Pivot B)

    Pour le calcul l'ELUR en flexion simple lorsque le pivot est en B, le diagramme parabole-

    rectangle peut tre remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.

  • 9

    Le diagramme parabole-rectangle est complet dans ce cas.

    Figure 6.2.

    bF : rsultante des contraintes de compression dans le bton;

    sF : rsultante des contraintes de traction dans les armatures ( ssuss sifAF );

    Rappelons, car nous en aurons besoin dans la suite, le rsultat utile suivant qui donne la

    position du centre de gravit dans le cas d'un secteur dlimit par un arc de parabole et

    admettant une tangente verticale comme l'indique la figure 6.3:

    Figure 6.3.

    La surface de ce secteur est: ba3

    2Sp .

    Le diagramme parabole-rectangle est dcompos en sa partie parabolique et sa partie

    rectangulaire comme le montre la figure 6.4

    Point neutre

    Mu

    Diagramme des contraintes

    rectangulaire simplifi Diagramme des contraintes

    parabole rectangle Diagramme des dformations

    xx

    bubc f bubc f ooo

    bubc /5.3

    *

    uZ

    *

    uY

    uZ

    *

    bF

    sF

    bF

    sF

    uY

    h

    d

    st

    G a

    b

    b5

    3 b

    5

    2

    a8

    5

    a8

    3

  • 10

    Figure 6.4.

    La rgle de Thals applique au diagramme des dformations permet de montrer que:

    uY5.3

    2a uu Y5714.0Y

    7

    4a

    L'expression de l'quilibre des forces permet d'crire:

    *

    bb FF *

    21 SSS

    Sachant que:

    buubuubu1 fY3810.0fY21

    8fa

    3

    2S

    buubuubuu2 fY4286.0fY7

    3f)aY(S

    Il vient:

    buubuubuubuu21

    * fY8.0fY81.0fY8096.0fY21

    17SSS

    D'o

    uu

    *

    u Y8.0Y21

    17Y

    Diagramme rectangulaire simplifi Diagramme parabole rectangle

    *

    uY

    buf

    a

    uY

    buf

    1S

    2S *S

  • 11

    L'expression de l'quilibre des moments entrane

    21

    2211u

    *

    uSS

    ZSZSZZ

    Sachant que

    uuu1 Y6429.0dY14

    9da

    8

    5YdZ

    uuu

    2 Y2143.0dY14

    3d

    2

    aYdZ

    il vient

    uuuu

    *

    u Y4.0dY416.0dY238

    99dZZ

    C'est ce dernier rsultat qui fait que le diagramme rectangulaire simplifi marche de manire

    cohrente et qui justifie son usage.

    Ainsi pour le calcul l'ELUR en flexion simple le diagramme parabole-rectangle peut tre

    remplac par le diagramme rectangulaire simplifi.

    Mais ce diagramme n'est justifi que lorsque le diagramme des dformations passe par le

    pivot B. Autrement dit lorsque 2593.027/7u .

    6.2 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot B)

    C'est le cas o le diagramme parabole-rectangle est tronqu par le haut. Soit b la

    dformation de la fibre la plus comprim du bton bub . Suivant le cas, on obtient l'un des

    deux diagrammes suivants.

  • 12

    Premier cas: uYa et ooo

    b /2

    Deuxime cas: uYa et ooo

    b /2

    On veut calculer:

    - la surface quivalente du rectangle, c'est--dire appel coefficient de remplissage;

    - le bras de levier par rapport aux armatures tendues, c'est--dire

    Soit a la distance entre l'axe neutre et le point de la section o la dformation est gale

    oo

    o /2 , alors l'application du thorme de Thals permet d'crire

    u

    b

    Y2

    a

    bub f bub f

    a

    bub

    Mu

    Diagramme des contraintes

    Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des dformations

    xx uYd

    uY

    uZ

    bF

    sF

    bF

    sss AF

    uY

    h

    d

    s

    bub f bub f

    Diagramme des contraintes

    Rectangulaire Diagramme des contraintes Diagramme des dformations

    a uY

    bub

    Mu xx

    uYd

    uY

    uZ

    bF

    sF

    bF

    sss AF

    h

    d

    s

  • 13

    Premier cas: uYa et ooo

    b /2

    On montre par dcomposition de la surface en une partie rectangulaire et une partie

    parabolique que:

    buu

    b

    1 fY3

    4S

    buuu

    b

    u

    b

    1 fYY4

    5Yd

    3

    4H

    buu

    b

    2 fY2

    1S

    buu

    b

    uu

    b

    2 fYY

    2

    Yd

    21H

    buub21 fY)(SSS ub21

    21u Y)(d

    SS

    HHZ

    avec

    b

    b

    b3

    23)(

    et

    b

    2

    b

    b

    2

    bb

    46

    243)(

    Deuxime cas: uYa et ooo

    b /2

    On montre dans ce cas par intgration de l'quation de la parabole tronque:

    yY

    fy

    Y4

    f)y(

    u

    bbu2

    2

    u

    2

    bbu

    que buub fY)(S et ubu Y)(dZ

    avec

    12

    6)(

    2

    bbb

    et

    b

    b

    b424

    8)(

    6.3 Diagramme rectangulaire simplifi faisant intervenir le coefficient de remplissage (pivot C)

    cf. Chapitre 9

  • 14

    CHAPITRE 8:

    Section rectangulaire l'ELUR en flexion simple

    1. Position du problme

    Le problme qui se pose dans la pratique est celui du calcul de la section. Ce problme revt

    les trois aspects suivants.

    - on connat dj le coffrage et les armatures et on cherche simplement vrifier que la

    section passe l'ELUR;

    - on connat le coffrage est on cherche calculer les sections des armatures afin de vrifier

    l'ELUR;

    - on cherche dimensionner de manire conomique le coffrage et les armatures.

    Le premier problme est un problme de vrification dont l'issue est soit l'ELUR est vrifie

    ou l'ELUR n'es pas vrifie. Le deuxime problme est un petit peu plus compliqu que le

    premier car il s'agit de trouver le dimensionnement des armatures. Son issue normale est le

    calcul des sections des armatures disposer afin de vrifier l'ELUR.

    Le troisime problme est le problme le plus utile en pratique car il s'agit d'un problme de

    conception. Mais, en plus du fait qu'il faut savoir exercer ses talents de concepteur, il faut le

    rsoudre de manire conomique. L'conomie a ici un double sens: il faut trouver la solution

    le plus rapidement possible et cette solution doit tre quasi optimale quand on considre le

    cot.

    Entre un Homme du Mtier qui sait projeter a priori des solutions dites de pr

    dimensionnement qu'il cherchera amliorer par des mthodes simples et efficaces et

    l'Homme de Science qui lui dfinira le problme dans le cadre de la thorie de l'optimisation

    sous contrainte, il existe une marge que les dbrouillards exploitent leur profit! Cette

    troisime voie s'est rvle la plus intressante dans la pratique.

    Signalons aussi l'existence de logiciels de calcul automatique qui sont souvent prsents sous

    forme de feuille de calcul Excel ou des fentres Visual. Ces logiciels facilitent bien sr la

    rsolution du problme de dimensionnement conomique comme on l'entend ici sans toutefois

    dissiper toutes les zones d'ombre. L'exploitant, doit donc tre capable d'interprter les rsultats

    et savoir les exploiter de manire utile. Pour atteindre cet objectif, il n'y a pas mieux que de

    commencer par pratiquer le calcul manuel en s'aidant d'organigrammes prcis!

  • 15

    2. Dimensionnement l'ELUR sans armatures comprimes

    2.1 Rcapitulation des rsultats obtenus l'ELUR

    La rgle des trois pivots et les diagrammes de calcul du bton et de l'acier l'ELUR

    permettent d'crire:

    buubuubb fYbfYb)(F

    sss AF

    uub YdY)(dZ

    avec

    6/10 u 27/76/1 u u27/7 d/hu d/hu

    ooo

    b /2 ooo

    booo /5.3/2 oo

    ob /5.3 oo

    ob /5.3

    2u

    2uu

    )1(3

    4015

    u

    u

    15

    116

    21

    17

    21

    17

    u

    u

    3212

    94

    u2u

    u2u

    20320

    122171

    238

    99

    238

    99

    ooo

    s /10 ooo

    s /10 ooo

    b /10 b

    sus f sus f sus f sus f

    Remarquons enfin que lorsque le pivot est en A

    u

    u

    b1

    10

    et lorsqu'il est en B

    u

    u

    s2

    )1(7

    Pivot C Pivot B Pivot A

    Fle

    xio

    n c

    om

    pos

    e

  • 16

    2.2 Equations de base

    Equilibre des forces

    ssbuusb AfbYFF (1)

    Equilibre des moments

    )Yd(fbYZFMu ubuub (2)

    Compatibilit des dformations

    b

    u

    u

    s

    1

    ooo

    bu

    us

    u

    uboo

    os

    /5.3et2

    )1(7

    ou

    1

    10et/10

    (3)

    Condition de bonne utilisation des armatures

    s ( sus f ) (4)

    Les inconnues principales du problme sont: uY , sA ou bien u , sA . Les quations sont (1)

    et (2).

    2.3 Mthode de calcul

    Posons: bu

    2 fdb

    Mu , appel moment rduit. bu

    2 fdb reprsente deux fois le moment

    maximal que peut reprendre le bton seul.

    L'application de l'quation (2) entrane:

    )1( uu (5)

    o u est la seule inconnue du problme.

  • 17

    On effectuera dans la suite la rsolution par domaine.

    Premier cas: pivot B u27

    7

    Le diagramme parabole rectangle simplifi peut tre utilis. Dans ce cas 8.0 et 4.0 .

    L'quation (5) devient:

    08.032.0 u2

    u (6)

    D'o

    0)25.1(64.0d

    du

    Donc est une fonction croissante de u .

    u27

    7 )4.01(8.01859.0

    Le tableau suivant donne les valeurs de et en fonction de la nuance de l'acier et de s .

    15.1s 1s

    FeE215 0.789 0.429 0.765 0.422

    FeE235 0.774 0.425 0.749 0.418

    FeE400 0.668 0.391 0.636 0.379

    FeE500 0.617 0.371 0.583 0.358

    Le discriminant de l'quation (6) est: 0)21(16.0

    D'o les deux racines:

  • 18

    )211(25.11u

    )211(25.12u carter car ;27/72u

    Donc la seule racine qui a un sens physique est:

    )211(25.1u (7)

    L'quation (1) permet maintenant d'crire:

    su

    buu

    susf

    fdbAA

    avec

    uu 8.0

    Deuxime cas: pivot A 27

    7

    6

    1u

    Les expressions de et en fonction de u et l'quation (1) permettent d'crire:

    2

    uu100

    57

    50

    57

    100

    7 (8)

    D'o

    0)1(50

    57

    d

    du

    Donc

    27/76/1 u 1859.01042.048/5

    La rsolution de l'quation (8) conduit la racine utile

  • 19

    219366.01)21(57

    501u

    D'o

    su

    buu

    susf

    fdbAA

    avec

    15

    116 uu

    Troisime cas: pivot A 6

    10 u

    Dans ce cas les expressions de et ainsi que l'quation (1) conduisent

    12

    4123

    4

    5

    u

    2

    u

    2

    u

    3

    u

    4

    u

    (9)

    On vrifie aprs un long calcul (mais facile) que

    0d

    d

    u

    Donc

    6/10 u 1042.048/50

    L'quation (9) se rcrit aussi sous la forme

    048)420(6015 u2

    u

    3

    u

    4

    u (10)

  • 20

    L'quation (10) qui est de quatrime degr admet une solution unique dans l'intervalle

    6/1;0 . Une fois cette solution u est calcule, l'quation (1) permet de trouver la section

    d'armature suivante

    su

    buu

    susf

    fdbAA

    (11)

    avec

    2

    u

    3

    u

    2

    uu

    )1(3

    4015

    Quatrime cas: d/hu

    Ce cas est identique au premier cas si 486.0594/289 et 2.199/119d/h .

    On peut adopter comme solution

    289

    59411

    99

    119u

    ou

    21125.1u

    Mais la condition d'utilisation conomique des aciers n'est pas vrifie

    u

    u

    s2

    )1(7

    et mme dans le cas o d/h1 u , on a: 01h

    d

    2

    7s

    !

    Le calcul de la section d'armature donne dans ce cas

    su

    buu

    sf

    fdbA

  • 21

    avec

    )1(147

    34

    E21

    f17

    u

    2

    u

    ss

    suuu

    Ainsi 0As si 1u ( 472.0294/139 ), mais sA quand 1u .

    Remarques:

    Dans le quatrime cas. On a soit la solution qui n'est pas physiquement acceptable, soit

    lorsqu'elle est possible elle n'est pas conomique. Il faut donc faire quelque chose pour rduire

    . On procde en gnral suivant les cas par effectuer:

    - une augmentation de d ou ce qui revient au mme h;

    - une augmentation de b;

    - une augmentation de buf ;

    - une introduction d'une section en "T";

    - une introduction des aciers comprims.

    Lorsque 1042.0 le bton est mal utilis. Il faut rduire la section de bton. Mais ceci

    n'est pas toujours possible dans le cas des dalles par exemple ou lorsque les conditions

    d'isolation thermique et acoustique imposent d'utiliser de fortes paisseurs.

    Lorsque les aciers sont mal utiliss. Il faut modifier la section ou introduire des

    armatures comprimes.

    3. Pr dimensionnement de la section de bton

    Mu est donn, 28cf et ef sont choisis, on cherche dans le domaine 21 lorsque la

    largeur b est suppose connue. On supposera aussi que: h9.0d .

    2

    bu

    21 fbd

    Mu

    12

    475.1h

    475.1

    D'o le tableau de pr dimensionnement suivant

  • 22

    FeE400 FeE500

    pivot B avec aciers comprims 2360;1829h 2423;1877h

    pivot B sans aciers comprims 3423;2360h 3423;2423h

    pivot A 104.0 4572;3423h 4571;3423h

    Dans ce tableau les units utilises sont les suivantes: Mu est en MN.m, 28cf en MPa et b en

    cm. On trouvera h en cm.

    4. Dimensionnement l'ELUR avec des armatures comprimes

    Ce cas n'est envisag que lorsque: 472.0 correspondant au pivot en B (le bton est

    insuffisant).

    On pose dans ce cas

    d

    d

    4.1 Equations de base

    Equilibre des forces

    ssb FFF ssssbuu AAbfY8.0 (12)

    bF

    sF

    sF

    yY4.0 d

    d

  • 23

    Equilibre des moments

    )dd(A)Y4.0d(bfY8.0Mu ssubuu (13)

    Compatibilit des dformations

    oo

    o

    b /5.3 u

    u

    s2

    )1(7

    u

    u

    s2

    )(7

    Utilisation conomique des aciers

    s s

    Ce qui se traduit par

    27

    7u et

    27

    27

    Recommandation du BAEL

    Mu4.0)dd(A ss (3)

    4.2 Mthode de calcul

    La solution n'est pas unique. Celle qui est couramment utilise et qui conduit une section

    totale d'armatures ss AA trs proche du minimum consiste prendre u .

    Dans ce cas si la mme nuance d'acier est utilise pour les armatures tendues et comprimes,

    on a:

    suss f si

    27

    27; qui est facile vrifier lorsqu'on effectue un choix de d .

    L'quation (2) permet d'crire

  • 24

    su

    bu

    2

    sf)dd(

    fbd)(A

    puis l'quation (1) donne

    su

    bu

    ssf

    fdb8.0AA

    Enfin l'quation (3) impose

    3

    5

    Remarques:

    On a intrt choisir le plus petit possible mais avec un enrobage suffisant, en gnral

    11.0 convient

    On montre que 0)AA(

    u

    ss

    si ; donc si l'on ne tient pas compte des armatures

    de ceinturage ncessaire en cas de prsence d'armatures comprimes la solution ci-dessus est

    optimale pour u

    La condition

    27

    27 correspond :

    33.0 pour FeE400 et 23.0 pour FeE500. Donc vrifie en particulier si 11.0 .

  • 25

  • 26

    CHAPITRE 9:

    Section en forme de "T" l'ELUR en flexion simple

    1. Introduction

    Lorsque la rsistance d'une section rectangulaire est insuffisante on peut recourir quand cela

    est possible une section en "T", figure 8.1.

    Cette forme de section est rencontre souvent dans les planchers (poutre avec table de

    compression, ponts,...)

    Figure 8.1.

    La partie (1) s'appelle la table de compression;

    la partie (2) s'appelle la nervure;

    la partie (3) s'appelle les ailes de la table de compression.

    Cette forme permet de rduire la masse de bton tendu qui est inutile et d'augmenter la masse

    de bton comprim.

    Les dimensions de la table de compression ne peuvent pas tre quelconques. La largeur

    considrer de part et d'autre des nus de la section ne doit pas dpasser la plus petite des

    valeurs suivantes, figure 8.2:

    a) la moiti de la distance entre les faces voisines de deux nervures conscutives;

    b) le 1/10 de la porte de la trave;

    c) les 2/3 de la distance de la section considre l'axe de l'appui de bout le plus poche;

    0b

    b

    0h

    d h

    1

    2

    0b

    b

    0h 3 3

  • 27

    d) le 1/40 de la somme des portes encadrant l'appui intermdiaire le plus proche plus les 2/3

    de la distance de la section l'appui.

    Figure 8.2.

    Deux cas sont distinguer dans l'tude d'une section en "T" selon que la zone comprime de

    hauteur uY est situe uniquement dans la table o s'tend la nervure.

    2. Moment de comparaison

    Par dfinition le moment de comparaison 0M est calcule pour 00

    u h25.18.0

    hY . Donc

    )2/hd(bfh)Y4.0d(bfY8.0M 0bu0ubuu0

    Premier cas: 0MMu

    La compression n'intresse qu'une partie de la table. On calcule la section comme une section

    rectangulaire de hauteur utile d et de largeur b (celle de la table). Les aciers sont donc calculs

    comme dans le chapitre 7.

    Appui de bout Appui intermdiaire

    3/x2 x

    40/)LL( 21

    40/)LL( 21

    10/L1

    10/L1

    10

    L 2

    10

    L 2

    2L 1L

  • 28

    Deuxime cas: 0MMu (vraie section en T)

    La compression intresse la table et une partie de la nervure. On dcompose la section en T en

    deux parties, figure 8.3:

    Figure 8.3.

    Soit 1F la rsultante des efforts de compression dans les ailes de la table, 1M le moment d

    1F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.

    Soit 2F la rsultante des efforts de compression dans la nervure avec son prolongement, 2M

    le moment d 2F et rduit au centre de gravit des aciers tendus.

    On a:

    )bb(hfF 00bu1

    )2/hd)(bb(hf)2/hd(FM 000bu011

    bu0u2 fbY8.0F

    )Y4.0d(fbY8.0)Y4.0d(FM ubu0uu22

    sss AF

    d

    sA

    uY

    0b

    b

    0h

    2

    1

  • 29

    L'quilibre de la section s'crit:

    0fbY8.0)bb(hfA bu0u00buss (1)

    0)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ubu0u000bu (2)

    On avait obtenu pour une section rectangulaire:

    0fbY8.0A bu0uss

    0)Y4.0d(fbY8.0Mu ubu0u

    Posons alors dans (1) et (2):

    M)2/hd)(bb(hfMu 000bu

    ss00buss A)bb(hfA

    Formellement, on se ramne au cas d'une section rectangulaire sous le moment de flexion M

    o l'on calcule sA . Une fois le calcul est effectu, on a:

    s

    ss00bus

    A)bb(hfA

    (3)

    si , on a recours des aciers comprims. Attention, ici on a pos:

    bu

    2

    0 fdb

    M (attention 0b au dnominateur)

    3. Section en T avec des armatures comprimes

    L'introduction des armatures comprimes entrane les quations d'quilibre suivantes:

  • 30

    0fbY8.0)bb(hfAA bu0u00bussss (4)

    0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0)2/hd)(bb(hfMu ssubu0u000bu (5)

    On avait dans le cas d'une section rectangulaire avec armatures comprimes:

    0fbY8.0AA bu0ussss

    0)dd(A)Y4.0d(fbY8.0Mu ssubu0u

    Posons alors dans (4) et (5):

    M)2/hd)(bb(hfMu 000bu

    ss00buss A)bb(hfA

    Une fois les sections sA et sA sont calcules conformment l'organigramme du chapitre 7.

    sA est la section d'aciers comprims disposer et

    su

    bu

    00ssf

    f)bb(hAA (6)

    il faut bien sr s'assurer comme dans le chapitre 7 que:

    Mu4.0)'dd(Af ssu

  • 31

    CHAPITRE 10:

    Section rectangulaire l'ELUR en flexion compose

    1. But

    Dterminer dans le cas de la flexion compose l'ELUR les armatures longitudinales

    disposer dans la section conformment aux principes de justification du BAEL 91.

    2. Noyau central d'une section homogne

    2.1 Dfinition

    Le noyau central d'une section soumise l'action (N, M) est la zone de la section telle que si

    l'effort normal quivalent y passe, il existe dans toute la section soit un tat de traction ou bien

    un tat de compression.

    2.2 Effort normal quivalent (N, M)

    L'effort normal quivalent est l'effort appliqu au centre de pression C situ une distance

    algbrique N/Me du centre de gravit de la section G.

    2.3 Noyau central

    La dtermination du noyau central se fait plus ou moins facilement en fonction de la

    gomtrie de la section et des sollicitations prsentes en effectuant l'analyse des contraintes

    dans les fibres extrmes. Dans le cas des poutres planes plan moyen et charges dans ce

    plan, on a:

    G G e

    N

    N

    M

  • 32

    I

    My

    S

    N

    D'o

    I

    Mv

    S

    Ns

    I

    Mw

    S

    Ni

    v

    r;

    w

    re0.

    22is

    avec S/Ir rayon de giration.

    Le domaine trouv ne dpend que de la gomtrie de la section.

    si

    v

    r;

    w

    re

    22

    , alors 0.is et la section est partiellement comprime.

    Exemple: Section rectangulaire de largeur b et de hauteur h.

    On montre que

    12

    hr

    22 ,

    2

    hwv

    Le noyau central est donc: y 6/h;6/h .

    b

    h

    6/h

    6/h

    y s

    i

    w

    v h

    G

    G

  • 33

    Remarque

    La notion de noyau central telle qu'elle a t introduite ci-dessus n'et pas adapte une section

    en bton arm car les contraintes ne sont pas linaires et le comportement en traction diffre

    du comportement en compression. Dans la suite des dfinitions "empiriques" vont servir

    caractriser l'tat de la section en BA lorsqu'elle est soumise la flexion compose.

    3. Section entirement tendue en flexion compose

    Une section en BA est entirement tendue si l'effort normal Nu est une effort de traction

    dont le centre de pression C est compris entre les armatures thoriques 1A et 2A .

    0e car 0Mu .

    d2

    hed

    2

    h 21 A;AC

    Nu

    Mu

    2

    hde

    2

    hda 0a

    L'quilibre des forces et des moments permet d'crire:

    0AANuFFNu 221121

    0)dd(AaNu)dd(FaNu 222

    Mu h d

    d

    e

    a Nu

    2F

    1F 1A

    2A

  • 34

    En pratique (pour des raisons d'conomie), on choisit:

    su21 f

    D'o

    )dd(f

    aNuA

    su

    2

    2

    su

    1 Af

    NuA

    On montre que

    0A2 dda ( ce qui est toujours vraie)

    Le critre de la section entirement tendue s'exprime en fonctions des sollicitations sous la

    forme:

    2

    hda0 )d2/h(NuM;0Mu 1

    Remarque

    Dans le cas de la section entirement tendue, le bton ne participe pas la rsistance. Seules

    les armatures reprennent l'effort de traction Nu. Les deux nappes d'armatures (infrieures et

    suprieures) sont ncessaires sauf dans le cas thorique a = 0 ( dda si 0Mu )

    4. Section partiellement comprime en flexion compose

    Une section est partiellement comprime lorsqu'on se trouve dans l'un des deux cas:

    a) le centre de pression C est situ l'extrieur de l'intervalle limit par les aciers thoriques

    1A et 2A , l'effort Nu peut tre une compression ou une traction;

  • 35

    b) le centre de pression C est situ l'intrieur de l'intervalle prcdent avec Nu un effort de

    compression vrifiant la condition suivante:

    03 N)d81.0h337.0(d2/hNuMMu

    Remarque

    Dans le cas de la section partiellement comprime, l'quivalence du diagramme parabole-

    rectangle avec le diagramme rectangulaire simplifi reste valable.

    NueMu .

    a: bras de levier de Nu par rapport au cdg. des aciers 1A .

    e2

    hda , donc 0a si et seulement si 0Nu .

    L'quilibre des forces et des moments permet d'crire:

    0AF)ANu(FFFNu 22b112b1 (1)

    0)dd(A)Y4.0d(FaNu)Y4.0d(F)dd(FaNu 22bb2 (2)

    Posons:

    1111 AANu

    sA

    axe neutre

    bF

    2F

    1F

    0.4 Y

    Nu

    a Y

    d

    0.8

    Y

    d h

    sA

  • 36

    2222 AA

    0MaNu

    Les quations prcdentes se rcrivent:

    0AFA 22b11

    0)Y4.0d(F)dd(AM b22

    Ces quations sont celles que l'on obtiendrait en considrant la mme section soumise la

    flexion simple sous l'action du moment M et pour laquelle les aciers calculs sont: 1A et 2A .

    Il suffit donc de calculer la mme section rectangulaire en supposant qu'elle est soumise

    aNuM ; de dterminer 1A et 2A et de prendre comme armatures relles pour la section

    soumise la flexion compose les sections suivantes:

    22 AA

    su

    11f

    NuAA

    5. Section entirement comprime en flexion compose

    Ce qui caractrise le cas de la section entirement comprime des autres cas dj tudis c'est

    le fait que la rgle d'quivalence du diagramme parabole-rectangle avec le diagramme

    rectangulaire simplifi n'est plus valable car le premier diagramme est tronqu dans sa partie

    parabolique.

    On tiendra compte de cette troncature par l'introduction d'un coefficient dit coefficient de

    remplissage.

    A l'ELUR dans le cas de la section comprime, c'est le pivot C qui est actif.

    Les deux remarques prcdentes font que le cas de la section entirement comprime se

    distingue clairement des cas prcdents.

    La section est entirement comprime si et seulement si:

  • 37

    - Nu est un effort de compression;

    - le centre de pression C est situ entre 1A et 2A ;

    - 03 N)d81.0h337.0(d2/hNuMMu avec bu0 bhfN .

    )Mu,Nu( )Mu,Nu( * ( )2/hd(NuMuMu*

    5.1 Expression des efforts de compression dans le bton

    bu1 f7

    h3S bu

    1

    b fbh7

    3F

    Un long calcul montre que

    bu2

    22

    b hbf)37(21

    )1126147(4F

    o

    h

    Y

    b

    14/h3

    2f

    1F

    C

    7/h4

    7/h3

    ooo /2

    1b

    1s

    2s

    2b

    axe neutre fictif

    2F

    Nu

    Y

    d

    d h

    1

    bF

    2

    bF sA

    sA

    *Mu

  • 38

    D'o

    bu

    2

    b

    1

    bb hbfFFF

    avec

    2

    2

    )37(21

    1258821029

    3)37(3

    128

    d

    d

    donc 0

    d

    d

    si

    7

    3 (ce qui est toujours vrai car hY )

    1 )(lim1)1(21

    17

    h14

    3dZ1

    22 fh7

    3dZ

    Un autre long calcul montre que

    37

    1321h

    7

    1f 2

    hdF

    ZFZFZ

    b

    2

    2

    b1

    1

    b

    avec

    1258821029

    18520582401

    14

    3

    14

    5122

    2

  • 39

    0d

    d

    si

    7

    3 (ce qui est toujours vraie car 1 )

    1 )(lim2

    14160.0

    238

    99)1(

    5.2 Calcul des armatures

    Les quations d'quilibre sont:

    0bhfAANu bu2211 (3)

    0)dd(A)hd(bhfMu 22bu* (4)

    La compatibilit des dformations s'exprime par:

    37

    )h/d(14

    7/3

    h/d21s

    )(1

    37

    )h/d(14

    7/3

    h/d22s

    )(2

    37

    )1(14

    7/3

    121b

    37

    14

    7/322b

    On remarque en particulier que: 2s

    1

    s et ( 101

    b ).

    Il y a au total trois inconnues principales ),A,A( 21 pour deux quations. Il y a donc une

    infinit de solutions possibles.

    Peut-on alors faire travailler les aciers de manire conomique? c'est--dire pouvons nous

    nous arranger pour avoir 1

    s .

    Supposons que h9.0d , h1.0d , 15.1s (hypothses qui sont malgr tout trs

    gnrales et non restrictives). On trouve alors pour que 1

    s les conditions suivantes:

  • 40

    FeE500 FeE400 FeE235 FeE215

    jamais car 1

    s 04.4 39.1 31.1

    et mme 2

    s dans le cas de la nuance FeE500 que lorsque 2.4 .

    La rponse est donc non.

    On cherche alors une solution approximativement optimale. D'aprs les quations (3) et (4), il

    vient:

    )dd(

    )hd(NMuA

    2

    0

    *

    2

    2

    1

    0

    1 ANNu

    A

    Supposons que .021 Les quations (3) et (4) entranent alors

    0

    0

    0

    21 NNu0NNu

    AA

    21 AA est minimale si et seulement 1 , soit Y et ooo2

    s

    1

    s /2 (tat de

    compression simple).

    Dans ce cas, on a:

    2/1

    21su0 f si la nuance de l'acier est diffrente du FeE500

    21oo

    o

    s0 /2EMPa400 pour la FeE500

    La solution thorique s'crit alors:

  • 41

    )dd(

    Mu)h5.0d)(NNu(

    )dd(

    )h5.0d(NMuA

    0

    0

    0

    0

    *

    2

    )dd(

    Mu)dh5.0)(NNu(A

    NNuA

    0

    0

    2

    0

    0

    1

    Cette solution thorique est pratique si et seulement si: 0A1 et 0A2 .

    Soit

    )dh5.0)(NNu(MMu0

    0NNu

    02

    0 (5)

    Si cette condition (5) n'est pas satisfaite, cherchons la solution correspondant 0A1 . Les

    quations (3) et (4) deviennent

    0NANu 022

    0)dd(A)hd(N)h5.0d(NuMu 220

    Dans ce systme les inconnues principales sont et 2A ( 2 se calcule en fonction de 2

    s

    donc de ).

    Exprimons en fonction de et liminons 1A entre les deux quations, on obtient:

    dh8571.0

    Mu)dh5.0(NuhN3574.0 0

    Cette solution thorique est pratique si et seulement si:

    0NNu0A

    18095.0

    02

  • 42

    Soit

    )NuN(h3571.0MMuh/Mu8.2NNNu

    N)d810.0h337.0()dh5.0(NuMMu

    0401

    03 (6)

    Dans ce cas, on montre que

    1)h/d019.8437.3(2h4

    h8121)d7h3(2s

    En gnral on a 2

    s et su2 f , sinon

    2

    ss2 E .

    Les armatures sont alors

    0A1

    2

    0

    2

    NNuA

    Si la condition (6) n'est pas satisfaite, on rcupre soit le cas de la section partiellement

    comprime 8095.0 soit le cas 0A2 (qui peut lui aussi tre considr comme faisant

    partie du cas de la section partiellement comprime).

    6. Mthode de calcul pratique d'une section rectangulaire l'ELUR en flexion compose

    On suppose 0Mu (sinon il suffit de permuter les armatures aprs avoir effectu le calcul

    avec -Mu).

    On supposera aussi que: 0dh5.0 et 0h5.0d .

    L'analyse des diffrents cas dj vus permet d'envisager la mthode de calcul suivante:

    (D1): 0Nu et 1MMu (section entirement tendue)

    (D2): 0Nu et 1MMu (section partiellement comprime)

  • 43

    (D3): 0NNu et 2MMu (section entirement comprime et le calcul se fait sous

    l'hypothse d'un tat de compression simple)

    (D4): 0NNu et 2MMu (section entirement comprime avec 18091.0 )

    (D5): 01 NNuN et 3MMu (section entirement comprime avec 18091.0 )

    (D6): 1NNu0 (section partiellement comprime)

    (D7): 01 NNuN et 3MMu (section partiellement comprime)