chapitres 3-charpente mtalliques v2

CHAPITRE III (Calcul des éléments de charpentes métalliques) Bensalah M.D.

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Calcul des éléments de charpentes métalliques

III.1 Eléments Soumis à la Traction Simple

Soumise à une traction suivant sa section, une barre en acier s’allonge uniformément jusqu’à une certaine limite, appelée limite d’élasticité. Il y a réversibilité du phénomène : si la charge est supprimée, la barre d’acier reprend sa dimension initiale (loi de Hooke).

Un élément soumis à la traction simple est dimensionné à la résistance.

Il faut vérifier que :

Nmax : effort normal pondéré le plus défavorable [ kg] σe : limite élastique [kg/ mm2] Anette : section nette [mm2]

La section nette « Anette » est la section qui présente la plus courte ligne de rupture, elle est inférieure à la section brute « Abrute » et dépend du nombre de trous qu’elle traverse et de leur disposition.

a/ Cas des trous régulièrement distribués :

nette

maxpmax

Np A

N=σ ≤ σe

Abrute/une plaque= b.e

Anette/une plaque = Abrute/brute/une plaque- 2.dtr.e

Anette = Abrute- n.dtr.e

An

F Fb

Ligne de rupture

probable

e e

dtr


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b/ Cas où les trous ne sont pas régulièrement distribués :

Où di : représente la distance diagonale entre boulon. L’expression donnant les valeurs de chemin de rupture est :

Le diamètre des trous est calculé en fonction du diamètre des boulons : dtr = dbl + 1 mm pour d ≤ 14 mm

dtr = dbl + 2 mm pour d ≤ 24 mm

dtr = dbl + 3 mm pour d ≥ 27 mm

III.2 Eléments Soumis à la Compression Simple

Les déformations dues à la compression ne jouent pas toujours un rôle déterminant sur les éléments de structure verticaux. En revanche, un phénomène d’instabilité appelé « flambement » apparait à partir d’une certaine charge et en fonction du rapport existant entre la section et la hauteur de l’élément considéré. Le flambement est une forme d’instabilité propre aux éléments comprimés élancés tels que les poteaux, colonnes et barres comprimées.

- Ligne A-B-C-D :

An,1 = b.e- 2.dtr.e

- Ligne A-B-F-G :

An,2 = b.e- 2.e.dtr – e.t1 + e.d1

- Ligne A-B-F-C-D :

An,3 = b.e-3.e.dtr–e.(t1+t2) +e.(d1+d2)

- Ligne H-I-F-J-K :

An,4 = b.e-3.e.dtr–e.(t1+t2) +e.(d3+d4)

NB : Les sections nettes sont calculées pour une plaque.

Anette = Abrute- n.e.dtr - eΣ ti + eΣ di

F Fb

l1 l2 l3

t1

t2

d1

d2

d3

d4

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K


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Rappel théorique :

Le flambement simple affecte les pièces soumises à la compression simple. Son étude est due à EULER. Sa théorie est fondée sur une poutre bi-articulée à ses extrémités, soumise à un effort normal de compression N appliqué dans l’axe OZ.

Lorsque N croit, à partir de 0, l’état d’équilibre rectiligne initial évolue vers un état curviligne fléchi. D’après la loi fondamentale de la flexion, issue de la résistance des matériaux, le moment fléchissant s’écrit :

Equilibre différentielle de second ordre, dont la solution générale est :

Lorsque N (effort de compression) croît, l’état d’équilibre de l’élément comprimé (en particulier les éléments élancés) évolue vers un état curviligne fléchi (c’est une flexion latérale) appelé « flambement »

y

x

z

z

l0 x

y

y l0

N

N


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La résolution de l’équation selon les conditions aux limites

- Pour z=0, y(0)=0, B=0 - Pour z=l0, y(l0)=0, A sinα l0=0,

Sinα l0=0, α l0=kπ

Alors :

D’où

Si k=0 alors N=0 donc pas de déformation et la poutre reste rectiligne, donc au minimum K=1 ce qui conduit a une valeur minimale de Nk :

En introduisant la longueur de flambement lk, elle s’écrit alors :

Avec

Pour m=1 → Elément articulé dans les deux (02) extrémités ;

m=2 → Elément articulé dans une extrémité et encastré dans l’autre ;

m=4 → Elément encastré dans les deux (02) extrémités ;

m=1/4 → Elément encastré dans une extrémité et libre dans l’autre.

A la force critique d’Euler Nk, correspond une contrainte critiqueA

Nkk =σ , A étant la section droite de la

poutre.


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Avec i : rayon de giration minimal

Avec λ : Élancement maximale de la pièce et lf : longueur de flambement lf = α.l0

σ (MPa)

235e =σ

²

²k λ

πσ E=

93=kλ λ

Lorsque : eσσ >k aucun risque de flambement et la ruine est atteinte pour eσσ = ;

eσσ <k Il y’a ruine par flambement lorsque kσσ = .

Calcul sous l’effort de compression :

Le dimensionnement des éléments comprimés se fait à la stabilité et non à la résistance. ⇒ Vérification à la stabilité : K max

pcσ ≤ σe

⇒ Vérification à la résistance : maxpcσ ≤ σe

Avec : A

N=σ

maxpcmax

pc maxpcσ : Contrainte maximale pondérée à la compression

maxpcN : Effort de compression maximal pondéré à la compression

A : section transversale K : coefficient de flambement, il dépend de l’élancement de la pièce et de la nuance d’acier : K = f ( λ, nuance).


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Les règles CM66 proposent des tableaux donnant K en fonction de λ (voir tableau)

λ : Élancement de la pièce avec : lf = α.l0

i : rayon de giration

Imin : moment d’inertie minimum de l’élément A : Section transversale

α = 1 ⇒ Elément articulé dans les deux (02) extrémités α = 2 ⇒ Elément encastré dans une extrémité et libre dans l’autre α = 0.7 ⇒ Elément articulé dans une extrémité et encastré dans l’autre α = 0.5 ⇒ Elément encastré dans les deux (02) extrémités

Cas particulier : Pour les barres à treillis, la longueur de flambement est égale a :

• Montants et diagonales : lf = 0.8 l0 • Membrures supérieures et inférieures : lf = 0.9 l0

Remarque : Le dimensionnement des éléments comprimés s’effectue par tâtonnement (vérification à la résistance et à la stabilité).

ifl

=λ

A

I=i min

min

α = 2

l0

α = 1 α =0.7 α =0.5


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II.3 Eléments Soumis à la flexion Simple

Les poutres sont des éléments de charpente qui travaillent essentiellement en flexion sous l’action de charges verticales.

Elles sont utilisées en construction métallique comme : solives pour soutenir un plancher, poutres principales de ponts, limons d’escalier, tablier d’un pont, etc. On utilise le plus souvent deux (02) sortes de poutres : des poutres à âmes pleines ( IPE, IPN, HEA, P.R.S, …) et des poutres à treillis ( composées).

DIMENSIONNEMENT DES ELEMENTS COMPRIMEES

Etape de dimensionnement 1. Descente de charge (évaluation)

2. Combinaison de charge

3. Détermination de l x et ly

4. Prendre un élancement moyen λ = 90

5. Détermination du coefficient de flambement K0

6. Calculer « (Abrute)nec » avec (Abrute)nec ≥ eσ

NK

maxpc

0

7. Choisir une section brute « (Abrute)ch » avec (Abrute)ch ≥ (Abrute)nec

8. Détermination de λ = max ( λx et λy ) correspondant à (Abrute)ch et à K1

9. Vérification Si : chbrute

maxpc

1 (AN

K)

≤ σe

Si : chbrute

maxpc

1 (A

NK

)> σe ⇒ Il faut redimensionner la section


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- Le dimensionnement des éléments soumis à la flexion simple se fait à la résistance.

a- Vérification à la résistance

Il faut vérifier que : maxpf

σ ≤ σe Avec :x

W

M= σ

maxpfmax

pfet V

xxI

=xW

maxpf

M : Moment fléchissant pondéré par rapport à l’axe x-x

xW : Moment de résistance par rapport à l’axe x-x

xxI : Moment d’inertie par rapport à l’axe x-x

V : Distance entre l’axe neutre et la fibre la plus éloignée


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b- Vérification à la flèche

Il faut vérifier que : f ≤ f=adm

f

Avec : 200L

=adm

f éléments de couverture (pannes, lisses, etc...)

300L

=adm

f Poutres principales, solives,…

fadm : flèche admissible L : portée

Flèches de quelques poutres avec différents Chargement et différents modes d’appui

Remarque : La vérification de la condition de flèche doit se faire sans pondération des charges et surcharges.


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ORGANIGRAMME DE CALCUL POUR LES TROIS CAS DE SOLLICITATION (TRACTION, COMPRESSION ET FLEXION SIMPLE)

1. Calcul Sous un Effort de Traction Selon les règles CM66 & Additif 80

Avec :

2. Calcul Sous un Effort de Compression Selon les règles CM66

Avec :

Effort Axial de Compression Npc = A.σ

k. σ ≤ σe

Effort Axial de Traction Npt

Type de Section

Brute Nette

N≤A.σe N≤An.σe


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3. Calcul Sous moment de flexion Selon les règles CM66

Moment de flexion maximal Mmax

xf W

M maxmax =σ ≤ σe

f ≤ f=adm

f

Vérification à la résistance

Vérification de la flèche

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