Chapitre : Les Puissances 3ème

… /…

Une somme à répétition:

devient un produit :

Un produit à répétition:

devient une puissance :

3+3+3+3+3

5x3

3x3x3x3x3

35

Rappel :

… /…

La somme à répétition : devient un produit :

Le produit à répétition: devient une puissance :

2+2+2+2 4x2

2x2x2x2 24

Autre exemple :

Le produit à répétition: devient une puissance : 4x4 4²

… /…

« Trois exposant cinq »

« Trois fois cinq »

Façon de lire:

3x5 Se lit :

35 Se lit :

24 Se lit : « Deux exposant quatre »

… /…

Comment calculer une puissance ?

24

En rétablissant la multiplication à répétition

= 2x2x2x2 = 4x2x2 = 8x2 = 16

53 = 5x5x5 = 25x5 = 125

15 = 1x1x1x1x1 = 1x1x1x1 = 1x1x1 = 1x1 = 1

… /…

Pièges !

Si on va trop vite… on risque l’accident ! Exemple: Calculer 43 Réponse: 12 (car 4x3=12!!!!!!!) La bonne réponse est: 4x4x4 =16x4 =64

… /…

Pièges encore !

26 12 64 8

110

Combien vaut ?

Combien vaut ?

1 10 11

… /…

Pièges encore avec des décimaux !

Combien vaut 0,23 ?

0,8 0,008 0,08

Combien vaut 2,52 ?

6,25 5 62,5

… /…

Pièges encore à cause des signes !

Combien vaut (-2)3 ?

-6 - 8 8

Combien vaut (-1)4 ?

1 -1 4

… /…

Pièges toujours à cause des parenthèses !

Combien vaut - 22 ?

- 4 4 - (2 2)

Combien vaut - 1 6 ?

1 -1 ( - 1) 6

… /…

La puissance est plus prioritaire que la multiplication !

Combien vaut 2 x 52 ?

100 20 50

Combien vaut -1 x (- 2)3 ?

8 -8 -6

… /…

Incroyable mais vrai !

Parmi les puissances suivantes, quelle est celle dont la valeur est la plus facile à trouver de tête ?

36

46

56

66

106

26

76

86

… /…

Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.

10 3

10 2

10 4

10 5

100

1 000

10 000

100 000

Mille

Cent

Cent mille

Dix mille

… /…

Comment écrire plus vite ?

1 000 000

Dix millions

10 000 000 000

Mille milliards

10 6

10 7

10 10

10 12

… /…

10 n

Règle générale…

Le nombre 1 000….000

n zéros

S’écrit …

… /…

Un compte à rebours intéressant ! 5…4…3…2…1…0…

10 4

10 5

10 3

10 2

10 1

10 0

= 100 000 = 10 000 = 1 000 = 100 = 10 = 1

: 10

: 10 : 10 : 10 : 10

… /…

Le compte à rebours continue ! 2…1…0…-1…-2…-3

10 1

10 2

10 0

10 -1

10 -2

10 -3

= 100 = 10 = 1 = 0,1 = 0,01 = 0,001

: 10

: 10 : 10 : 10 : 10

… /…

Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.

10 -1

10 -2

10 -4

10 -6

0,01

0,1

0,000 1

0,000 001

Dixième

Centième

Millionième

Dix millième

… /…

Comment écrire plus vite ?

0,000 01

Dix millionièmes

0,000 000 000 1

Mille milliardièmes

10 -5

10 -7

10 -10

10 -12

… /…

10 -n

Règle générale…

Le nombre 0,00……00 1

n zéros

S’écrit …

… /…

Associons à chaque puissance son nom puis sa valeur.

10 -1

10 2

10 -4

10 6

100

0,1

0,000 1

1 000 000

Dixième

Centaine

Million

Dix millième

… /…

Associons à chaque nom sa puissance puis sa valeur.

Centaine

Mille

Millième

Centième

100 1 000 0,001 0,01

10 3

10 2

10 -3

10 -2

Cent millième 10 -5 0,000 04 0,000 01

… /…

Associons chaque expression en rouge à sa valeur en bleu.

10 -2 (-10)2 - 10 2

- 10 -2 (-2) 10

2 -10 0,01

100

-100

-0,01

1024

0,0009765625

… /…

Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??

Méthode 1:

10 2 = 10 x 10 = 100 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1 000 100 x 1 000 = 100 000 100 000 = 10 5

Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5

Tous ces zéros me donnent envie de mordre !

… /…

Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??

Méthode 2:

10 2 = 10 x 10 10 3 = 10 x 10 x 10 10 2 x 10 3 = 10 x 10 x 10 x10 x 10 10 x 10 x 10 x10 x 10 = 10 5

Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5

Tous ces dix me

donnent encore

envie de mordre !

… /…

Question: 10 2 x 10 3 = 10 ??

Méthode 3: 2 + 3 = 5

Réponse : 10 2 x 10 3 = 10 5 Enfin quelque chose

d’agréable !

… /…

Question: 10 5 x 10 7 = 10 ??

Méthode 1:10 000 x 10 000 000 = 100 000 000 000 = …

Réponse : 10 5 x 10 7 = 10 12

Méthode2:10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10 = …

Méthode3: 5 + 7 = …

… /…

Règle générale… 10 n x 10 p

10 n x 10 p =

n facteurs

10x10x…x10

p facteurs

10x10x…x10 x

10x 10 x …………….x10x10

n+p facteurs

10 n+p

… /…

Utilisons la règle 10 n x 10 p = 10 n+p

104 x 105 = 102 x 106 =

104 x 10 = 103 x 109 x 10 3=

102 x 10 x 10 2 = 1047 x 1051 =

109

108

1015

105

105

1098

Mais où sont les mille

milliards de mille sabords

?

… /…

Question: 10 -3 x 10 -2 = 10 ??

10 -3 = 0,001 10 -2 = 0,01 0,001 x 0,01 = 0,00001 0,00001 = 10 -5

Réponse : 10 -3 x 10 -2 = 10 –5

Ca marche encore avec les exposants négatifs

Tous ces zéros me donnent envie de mordre !

… /…

Utilisons la règle 10nx10p=10 n+p.

10 8 x 10 2 = 10 3 x 10 5 =

10 -4 x 10 = 10 -2 x 10 3=

10 -3 x10 -1 = 10 -21 x 10 -51 =

1010

108

101

10-3

10-4

10-72

Mais où sont les millièmes

?

… /…

Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??

Méthode 1:

10 5 = 10x10x10x10x10 = 100 000 10 3 = 10x10x10 =1 000 100 000 : 1 000 = 100 100 = 10 2

Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2

Tous ces zéros me donnent envie de mordre !

… /…

Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??

Méthode 2: 10 5 = 10x10x10x10x10 10 3 = 10x10x10

Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2

Tous ces dix me

donnent envie de mordre !

10x10x10x10x10

10x10x10

1

1

1

1

1

1

… /…

Question: 10 5 : 10 3 = 10 ??

Méthode 3: 5-3=2

Réponse : 10 5 : 10 3 = 10 2 Enfin quelque chose

d’agréable !

… /…

Règle générale… 10 n : 10 p

10 n : 10 p = 10 n-p

n facteurs

p facteurs

10x 10 x …x10 10x10….x10

= 10x …x10

n-p facteurs

Nous admettrons que cette règle s’applique aussi aux exposants négatifs.

… /…

Utilisons la règle 10n:10p=10 n-p.

10 8 : 10 2 = 10 3 : 10 5 =

10 -4 : 10 = 10 -2 : 10 3=

10 -3 :10 -1 = 10 -21 : 10 -51 =

106

10-2

10-5

10-5

10-2

1030

Mais où sont les

centièmes ?

… /…

Question: (10 2) 3 = 10 ??

Méthode 1:

10 2 = 10 x 10 = 100 100 3 = 100 x 100 x 100 =1 000 000 1 000 000 = 10 6

Réponse : (10 2) 3 = 10 6

Tous ces zéros me donnent envie de mordre !

Question: (10 2) 3 = 10 ??

Méthode 2:

10 2 = 10 x 10 (10x10)3 = (10x10)x(10x10)x(10x10)

(10x10)x(10x10)x(10x10)=10x10x10x10x10x10

10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 = 10 6

Réponse : (10 2) 3 = 10 6

Tous ces dix me

donnent encore

envie de mordre !

… /…

Question: (10 2) 3 = 10 ??

Méthode 3: 2 x 3 = 6

Réponse : (10 2 ) 3 = 10 6 Enfin quelque chose

d’agréable !

… /…

Règle générale… (10 n ) p

(10 n) p =

Nous admettrons que cette règle s’applique aussi aux exposants négatifs.

10x …x10

n facteurs

10x …x10

n facteurs

10x …x10

n facteurs

10x …x10

n facteurs

p fois

10 nxp

… /…

Utilisons la règle (10n)p=10 nxp.

(10 8) 2 = (10 3) 5 =

(10 - 4) -3 = (10 -2) 3=

(10 -3) -1 = (10 -21)-10 =

1016

1015

10-6

1012

103

10210

Mais où sont les

millionièmes ?

… /…

Utilisons les trois règles

10 8 : 10 2 = (10 8) 2 =

10 -4 x 10 3 = 10 8 x 10 2=

(10 -3) -5 = 105 :10-5 =

106

1016

1010

10-1

1015

1010

Mais où sont les dix

milliards ?

… /…

Nous admettrons que les trois règles sont valables sur d’autres nombres que 10.

7 8 : 7 2 = (4 8) 2 =

5 -4 x 5 3 = 3 8 x 3 2=

(8 -3) -5 = 25 :2 -5 =

7 6

416

310

5-1

815

210

Mais où est 0,2 ?

… /…

Inverse puissance opposé...

L’opposé de 10 s’écrit … - 10

Mais où est 0,1 ?

L’inverse de 10 s’écrit … 1

10

Le nombre 1 s’écrit 10 … 100

Le nombre 10 s’écrit 10 … 101

Donc 1/10 = 100/101= 10… 10 -1

… /…

L’inverse de 10 est écrit trois fois sous trois formes différentes. Lesquelles ?

Mais où est l’inverse de

10 ? - 10

1

10

0,1

(-10)1

10 -1

- 10 -1

… /…

Inverse puissance opposé...

Mais où est 0,125 ?

L’inverse de 23 s’écrit … 1

23

Le nombre 1 s’écrit 2 … 2 0

Le nombre 2 3 s’écrit 2 … 2 3

Donc 1/23 = 20/23= 2… 2 -3

… /…

L’inverse de 52 est écrit quatre fois sous quatre formes différentes. Lesquelles ?

Mais où est l’inverse de

52? - 25

1

52

0,04

2-5

5 -2

- 5 -2

1

25

… /…

Règle générale… « L’inverse de truc exposant machin » est « truc exposant opposé de machin »

1 23 = 2-3 1

105 = 10-5

1 46 = 4-6 1

an = a-n

… /…

Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 5 8 x 2 8 ?

Pour t’aider … 5 8 = 390 625 et 2 8 = 256 !!! Une autre aide: 5 8 = 5x5x5x5x5x5x5x5

et 2 8 = 2x2x2x2x2x2x2x2

Encore une aide:

( 5x5x5x5x5x5x5x5)x ( 2x2x2x2x2x2x2x2) =

(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)x(5x2)

En résumé, au lieu de calculer 5 8 x 2 8 il est plus simple de calculer … ( 5 x 2 ) 8

… /…

Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 0,5 4 x 2 4 ? Pour t’aider … 0,5 4 = 0,0625 et 2 4 = 16

Une autre aide: (0,5x0,5x 0,5x 0,5)x(2x2x2x2)=

(0,5x2)x(0,5x2)x(0,5x2)x(0,5x2)

En résumé: plutôt que de calculer 0,5 4 x 2 4

Il est préférable de calculer …. (0,5x2) 4

… /…

Règle générale !!! Au lieu de calculer 7 5 x 2 5

On peut calculer …. (7 x 2) 5

Au lieu de calculer 6 12 x 15 12

On peut calculer …. (6 x 15) 12

Au lieu de calculer a n x b n

On peut calculer …. (a x b) n

Règle générale a n x b n = ( a x b ) n

… /…

Soyons fainéant mais intelligent !!! Combien vaut « de tête » 30 5 : 3 5 ? Pour t’aider … 30 5 = 24 300 000 !!!!!

Une autre aide:

30x30x30x30x30 3x3x3x3x3 = 30

3 x 30

3 x 30

3 x 30

3 x 30

3

En résumé, pour calculer 30 5 : 3 5 il est plus simple de calculer … ( 30:3) 5

… /…

Règle générale !!! Au lieu de calculer 7 5 : 2 5

On peut calculer …. (7 : 2) 5

Au lieu de calculer 6 12 : 15 12

On peut calculer …. (6 : 15) 12

Au lieu de calculer a n : b n

On peut calculer …. (a : b) n

Règle générale a n : b n = ( a : b ) n

= a n

b n ( )n a b

… /…

Utilisation de toutes les règles…

52x5-5

5-3

5-2x5

5-1

32x52

(3x5)2

(54)-2

5-8

1:54

5-4

53:55

5-2

53:23

(5:2)3

… /…

… /…

FIN