chapitre iv : treillis isostatiques
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Résistance des matériaux - Sollicitations simples - Centre Universitaire N B - El Bayadh 30
Chapitre IV :
Treillis isostatiques
Chapitre IV : Treillis isostatiques
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IV.1. Définition
Les systèmes treillis, réticulés ou triangulées sont des systèmes de barres droites,
rigides et de masse négligeables articulées entre elles à leurs extrémités de façon à former
une structure portante stable, plane ou spatial. On appelle barres, les pièces du système et
nœuds leurs points d'assemblage.
IV.1.1. Nœuds
Le point de rencontre de deux ou plusieurs barres s’appelle un nœud (Fig.IV.1). Les
nœuds peuvent être fait de joint solide (assemblage par rivetage, soudage, ...) ou des
articulations (assemblage par rotule, axe, ...).
Fig.IV.1. Détail d’un nœud.
IV.1.2. Barres ou membrures
Les pièces d’une structure triangulée sont des barres. Elles sont faites d’acier, de bois ou autre.
On associe généralement les barres ou membrures des treillis à des barres articulées (Fig.IV.2).
Fig.IV.2. Terminologie d’un treillis.
Nœud
Barre
Charge Appui
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IV.1.3. Eléments du système réticulé
Un système réticulé est composé des éléments suivants (Fig.IV.3):
Fig.IV.3. Eléments du système réticulé.
avec :
Si : barres supérieures ;
Ii : barres inférieures ;
Vi : barres verticales ;
Di : barres diagonales.
IV.2. Hypothèses
Noms admettons que :
Les systèmes sont plans.
Les liaisons des barres sont des articulations parfaites.
Les forces extérieures sont contenues dans le même plan, et sont appliquées aux
systèmes uniquement en leurs nœuds.
Les poids propres des barres sont négligeables devant les forces appliquées aux
nœuds.
Les barres du système treillis ne sont soumises qu’à des efforts normaux
(compression ou traction).
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IV.3. Systèmes isostatiques
Un treillis ou système réticulé est extérieurement isostatique (Fig.IV.4) si les actions
d’appui peuvent être déterminées à partir des trois équations d’équilibre de la statique ;
dans le cas contraire, le treillis est extérieurement hyperstatique.
3 équations = 3 inconnues.
Fig.IV.4. Système isostatique.
Trois équations d’équilibre : ∑Fx = 0 ; ∑Fy = 0 ; ∑M = 0.
Trois inconnues d’appuis : RAx ; RAy ; RB.
Pour qu’un système soit isostatique extérieurement, au niveau des appuis il faut que le
nombre d’inconnues soit égal au nombre d’équations
Nbre inconnus = Nbre équations
La condition nécessaire pour que le treillis soit intérieurement isostatique est :
2n − b = 3
où :
b : nombre de membrures (barres)
n : nombre de nœuds.
Si 2n − b = 3 : Le système est intérieurement isostatique ;
Si 2n − b > 3 : Le système est instable ;
Si 2n − b < 3 : Le système est intérieurement hyperstatique.
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Dans ce cas le degré d’hyperstatique du treillis h est donné par : h = b + l – 2n
Où l c’est le nombre de réactions d’appuis. Si h = 0 le système est isostatique.
IV.4. Calcul des efforts dans les barres
Plusieurs méthodes permettent de calculer les efforts dans les membranes (les barres)
d’un treillis, parmi ces méthodes : la méthode analytique (Méthode des nœuds et méthode
des sections).
IV.4.1 Méthode analytique (Méthode des nœuds)
Mode opératoire :
1- On numérote les nœuds et les barres.
2- Déterminer les réactions d’appuis.
3- Choisir un nœud ayant seulement deux (02) efforts inconnus.
4- Ecrire les deux équations exprimant son équilibre, ΣFx = 0 ; ΣFy = 0, et on détermine
les valeurs des deux efforts inconnus.
5- Choisir un nouveau nœud toujours ayant deux (02) efforts inconnus, et refaire
l’étape (4).
IV.4.2 Méthode analytique (Méthode des sections -de Ritter-)
Il consiste à couper le système par une section quelconque qui ne coupe que trois (03)
barres et on écrit la résultante des forces situées à gauche (Forces appliquer + Réactions
d’appuis) font équilibre aux 03 forces élastiques produits dans les barres sectionnées.
Mode opératoire :
1- On numérote les nœuds.
2- Déterminer les réactions d’appuis.
3- Choisir une section qui coupe les trois (03) barres dont on veut calculer les efforts
inconnus.
4- Ecrire les trois (03) équations exprimant son équilibre, ΣFx = 0, ΣFy = 0 et ΣM = 0,
et on détermine les valeurs des trois efforts inconnus.
Chapitre IV : Treillis isostatiques
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IV.5. Application
Déterminer par la méthode des nœuds et la
méthode des sections les efforts dans les
barres CD, CA et BA et leurs natures de
sollicitation du système en treillis de la figure
ci-contre.
Solution :
Calcul des angles α et β :
==
==
200,680,1
5,2
036,595,1
5,2
Tg
Tg
1- Méthode des nœuds :
Nœud E :
KNN
PNNPF
EB
EBEBY
77,10
sinsin.0 2
2/
=
=+−=
KNN
NNNNF
EC
EBECEBECX
0,4
cos.cos.0/
−=
−=−−=
Nœuds B :
TractionKNN
NNNNF
BA
BEBABEBAX
0,4
cos.cos.0/
=
=+−=
KNN
NNNNF
BA
BEBCBEBCY
0,10
sin.sin.0/
−=
=+−=
Nœud C :
TractionKNN
NPNNNPF
CA
CB
CACACBY
986,34
sinsin.0 1
1/
=
−=++−=
nCompressio 0,22
cos.cos.0/
KNN
NNNNNNF
CD
CECACDCECACDX
−=
−=+−=
P1 = 20 KN
1,5 m
2,5 m
A B
C E
D
α β
P2 = 10 KN
1,0 m
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2- Méthode des sections :
TractionKNN
PPN
NPPF
CA
CA
CAY
986,34
sin
0sin0
21
21/
=
+=
=+−−=
nCompressioKNN
PPN
PPNM
CD
CA
CDA
0,22
5,2
5,2.5,1.
05,2.5,1.5,2.0
21
21/
−=
+−=
=−−−=
TractionKNN
NNN
NNNF
BA
CACDBA
CACDBAX
0,4
cos
0cos0/
=
−−=
=−−−=
Chapitre II Portiques Isostatiques
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III.1) DEFINITION
On appelle portique ou cadre toute système plans ou spatiaux rigides constitues par un
nombre d’élément en général rectiligne appelés travées dont les parties horizontales portent le
nom poutres ou traverses et les parties transversales transmettant les charges au sol sont
appelées poteaux ou montant.
Un portique admet donc trois types de chargement :
• Charge de traction, compression (appliquer le plus souvent aux poteaux)
• Charge de flexion (appliquer le plus souvent à la poutre)
• Moment de flexion
III.2) METHODE DE CALCUL DES EFFORTS ET DU MOMENT FLECHISSANT
On appliquant la méthode des sections le calcul des efforts normal, effort tranchant et le
moment fléchissant peut être déterminé par deux méthodes.
III.2.1) Méthode générale (section)
Cette méthode consiste à prendre l’ensemble du portique et faite des sections suivantes x et y
telle que :
= + +
Exercice 1 :
A l’aide de la méthode des sections. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des
efforts tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).
3 2
l/2
4 1
l
l/2
y
x
P
3 2
1 4
3 2
4 1
y
x
P P
Chapitre II Portiques Isostatiques
38
Solution
Cette méthode consiste à prendre l’ensemble du portique et faire des sections suivant x et y
telle que :
Calcul des réactions :
1 2
1 2
0 0
0 0
0 02
x x
y y y
y
F R
F R R
lM R l P
= → = = → + = = → − =
∑∑
∑
Donc :
2 2y
PR = et 1 2y
PR =
Section 1 :0 y l≤ ≤
1
1
1 1
02
0 0
0 0
y
x
s
PF N
F Q
M M
= → = − = → = = → =
∑
∑∑
Section 2 : 0 / 2x l≤ ≤
2
2
22 2 1
2
0 0
02
0 00
/ 2 / 4
x
y
s y
F N
PF Q
x MM M R x
x l M Pl
= → =
= → = = → =
= → = ⇒ = → =
∑
∑
∑
l
l/2
Rx
l/2
Ry1 Ry2
S1
S2S3
S4
P
Rx Ry1
S1
Q1
N1 M1
l
Rx Ry1
S2
N2 M2
Q2
x
Chapitre II Portiques Isostatiques
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Section 3 : / 2l x l≤ ≤
( )
3
3
33 3 1
3
0 0
02
/ 2 / 40 / 2
0
x
y
s y
F N
PF Q
x l M PlM M R x P x l
x l M
= → =
= → = − = → =
= → = − − ⇒ = → =
∑
∑
∑
Section 4 : 0 y l≤ ≤
4
4
4 4
0 0
02
0 0
x
y
s
F Q
PF N
M M
= → = = → = − = → =
∑
∑
∑
Diagrammes de sollicitation
III.2.2) méthode des travées
Cette méthode consiste à isolé chaque travée de telle façon qu’il reste toujours en équilibre,
les diagrammes de l’effort normal, tranchant et moment fléchissant et la superposition de
l’ensemble de chaque travée.
Exercice 2 :
A l’aide de la méthode des travées. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des
efforts tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).
l
Rx Ry1
S3N3
M3
Q3
x
P
S4
Ry2
N4
M4 Q4
3 2
l
4 1
h y
x
q
P/2
-P/2
N Q M f
Pl/4
-P/2 -P/2
Chapitre II Portiques Isostatiques
40
Solution
Calcul des réactions :
1 2
2
1 2
0 0
0
0 02
x x
y y y
y
F R
F R R ql
lM R l q
= → = = → + = = → − =
∑∑
∑
Donc :
2 2y
qlR = et 1 2y
qlR =
Le montant [1.2]
( )
1
1
11
02
0 0
0 0
y
x
qlF N
F Q
M M
= → = − = → = = → =
∑
∑∑
Traverse [2.3]
( )
2
2 2
2
2
2221
2
020 0
2 2
2
0 0
0 00
02 2
y
x
qlx Q
ql qlF qx Q Q qx
qlx l Q
F N
x Mql qM M x x
x l M
= → = = → − − = → = − ⇒ = → = −
= → = = → = = → = − ⇒ = → =
∑
∑
∑
Pour calculer la valeur maximale du moment fléchissant on calcule :
2 0 02 2 2
dM ql q lx x
dx= → − = ⇒ =
Donc : ( )2
max / 28
lM l q=
Ry2 Ry1
Rx
3 2
l
4 1
h
q
Rx Ry1
Q1
N1 M1
2
q ql/2
3
Q2
M2
N2
Chapitre II Portiques Isostatiques
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Montant [3.4]
3
3
3
0 0
02
0 0
x
y
s
F Q
qlF N
M M
= → = = → = − = → =
∑
∑
∑
Diagrammes de sollicitation
Exercice 3 :
On considère l’ossature [1.2-3.4] soumise à deux charges concentrées P1 sur la traverse [2.3]
et P2 sur le montant [1.2]. Avec P1>>P2
A l’aide de la méthode des sections. Tracer les diagrammes des efforts normaux (N), des
efforts tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).
Solution
Q N
-ql/2 -ql/2
M f
ql2/8 ql/2
-ql/2
Ry2
N3
M3 Q3
3 2
4 1
h
l
y
x
P1
b
a
P2
3 2
4 1
h
l
P1
b
a
P2
Ry2 Ry1
Rx
Chapitre II Portiques Isostatiques
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Calcul des réactions :
( )( )
( )
2
1 214
1 221
0
0
0
x x
y
y
F R P
P l a bPM R
laP bP
M Rl
= → =
− − = → = −
+ = → =
∑
∑
∑
Montant [1.2] :
� 0 y b≤ ≤
( )1 21
1
1
0
0
P l a bPN
lQ
M
− −= −
= =
� b y h≤ ≤
( )
( )
1 22
2 2
2 2
P l a bPN
lQ P
M P x b
− −= −
= − = − −
Montant [2.3] :
� 0 x a≤ ≤
( )
( )
3 2
1 23
13 2 21
N P
P l a bPQ
lP x
M x l a bP hPl l
= −
− − = = − + − −
� a x l≤ ≤
( ) ( )
4 2
1 24
14 2 2 11
N P
Pa bPQ
lP x
M x l a bP hP P x al l
= −
+ = − − = − + − − − −
Chapitre II Portiques Isostatiques
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Montant [3.4] :
( )
1 25
5 2
5 2
aP bPN
lQ P
M P h x
+ = −
= = − −
Diagrammes de sollicitation
N
( )1 2P l a bP
l
− −− 1 2aP bP
l
+−
-P2
-P2
Q
1 2Pa bP
l
+−
( )1 2P l a bP
l
− −P2
M f
( )2P x b− −
( )1
2 21
Pal a
la
bP hPl
− −
+ − −
2P h−
Centre Universitaire Nour Bachir El-Bayadh
Faculté des sciences
Département de
technologie
3 LGC / 6ème Semester
Module : Calcul des
structures
TD N°02 : Systèmes en treillis isostatiques
Exercice n°01 :
Déterminer par la méthode analytique les
efforts dans les barres du système en treillis de la
figure ci-contre.
Exercice n°02 :
Déterminer les efforts des barres CE, CD, et FE du
treillis d'une toiture en charpente métallique
schématisée sur la figure suivante.
Exercice n°04 :
Déterminer les efforts dans les barres des systèmes (a), (b) et (c) de la Fig. E12.5 par la méthode
analytique et graphique (Cremona).
AB=100 KN ; AD=141.4 kN ; BC=141.4 kN ; AE=0 ; BD=-100 kN ; DE=-200 kN ; CD=-100 kN.
FE=7.3 ; CE=13.8 ; DC=-20.4.
(a) AC = 600 ; BC = -4160 ; CD = -1835 ; DE=2240 ; EC=-2240 ; AE=3165.
Centre Universitaire Nour Bachir El-Bayadh
Faculté des sciences
Département de
technologie
3 LGC / 6ème Semester
Module : Calcul des
structures
TD N°02 : Portiques isostatiques
Exercice n°01 :
A l’aide de la méthode des sections. Tracer les
diagrammes des efforts normaux (N), des efforts
tranchants (T) et des moments fléchissant (Mf).
Exercice n°02 :
A l’aide de la méthode des travées. Tracer les
diagrammes des efforts normaux (N), des efforts
tranchants (T) et des moments fléchissant (Mf).
Exercice n°03 :
On considère l’ossature [1.2-3.4] soumise à
deux charges concentrées P1 sur la traverse [2.3]
et P2 sur le montant [1.2]. Avec P1>>P2.
A l’aide de la méthode des sections. Tracer les
diagrammes des efforts normaux (N), des efforts
tranchants (Q) et des moments fléchissant (Mf).