chapitre iv : la simulation numériquecsidoc.insa-lyon.fr/these/1999/roussel/simuln1.pdfchapitre iv...
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Chapitre IV : La simulation numérique
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IV La Simulation Numérique
Chapitre IV : La simulation numérique
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Chapitre IV : La simulation numérique
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La conception d'une sonde implantable de mesure de conductivité thermique tissulaire re-
quiert la maîtrise de nombreux paramètres physiques.
Avant tout, la sonde doit être aussi mini-invasive que possible, ce qui demande un effort de
miniaturisation important et l'utilisation de matériaux biocompatibles. La taille de l'objet
final doit être de l'ordre du millimètre dans la partie implantable.
La présence sur le même dispositif de capteurs (température) et d'un actuateur (résistance de
chauffage) implique une étude exhaustive des interactions:
- Electriques
- Mécaniques
- Thermiques
entre ces différents éléments constitutifs.
La technologie employée pour la réalisation de la sonde est du type silicium CMOS avec
l'introduction d'un nouveau matériau: le silicium mesoporeux.
Les interactions électriques dans ce type de technologie sont bien maîtrisées par l'utilisation
de couches isolantes ou couches de passivation constituées de silice (SiO2) ou de nitrure de
silicium (Si3N4). L'étude du silicium poreux a montré que ce matériau était compatible avec
les process de dépôt de couches minces.
Les couches de passivation seront utilisées pour l'isolation électrique entre les différents élé-
ments actifs et entre les différents dépôts de couches minces, mais également comme couche
d'encapsulation de la sonde pour assurer la biocompatibilité de l'ensemble.
D'un point de vue mécanique, la sonde est constituée d'un matériau monolithique: le sili-
cium monocrystallin et de ses matériaux dérivés: le silicium polycristallin, le silicium poreux,
SiO2 et Si3N4. L'ensemble de ces matériaux influence la robustesse et la solidité de la sonde.
IV.1 Introduction
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Les problèmes mécaniques les plus couramment rencontrés dans ce type de technologie sont
liés aux contraintes thermoélastiques qui apparaissent lors du dépôt ou du recuit de couches
hétérogènes.
Aucun logiciel de simulation ne calcule efficacement ces contraintes compte tenu du nombre
important de paramètres mis en jeu dans cette technologie (température de dépôt, pression,
type de substrat, dopage, temps de process, etc….). Seule l'expérimentation répondra aux
questions de tenue mécanique.
La simulation des interactions thermiques est indispensable dans une optique de miniatu-
risation.
En effet, l'utilisation dans une structure complexe de plusieurs types de matériaux intégrant
chacun des caractéristiques thermiques hétérogènes rend très difficile la création d'un
modèle analytique suffisamment précis pour décrire toutes les interactions thermiques.
De plus, la miniaturisation du dispositif n'autorise pas la mesure des paramètres thermiques
par des capteurs extérieurs qui seraient beaucoup trop grossiers en terme de résolution spa-
tiale.
La simulation thermique par éléments finis à travers le logiciel ANSYS®5.4 offre la possibi-
lité de décrire entièrement la structure de la sonde d'un point de vue géométrique et d'as-
socier à chacun des éléments ses caractéristiques thermiques. Le moteur de calcul se charge
ensuite de fournir des résultats de simulations statiques ou dynamiques sur des structures en
2D ou 3D.
Ce chapitre décrit les différentes étapes de simulation qui ont été nécessaires pour appréhen-
der tous les phénomènes thermiques au sein de la structure de la sonde.
Une approche "descendante" du microsystème est proposée depuis une structure simple en
deux dimensions d'un bi-couche silicium / silicium poreux en régime statique jusqu'à une
structure complexe, intégrant la plupart des éléments constitutifs, en trois dimensions, en ré-
gime transitoire.
Cette campagne de simulation nous a permis de:
- Confirmer l'utilisation de caissons épais de silicium poreux comme isolant thermique
suffisamment efficace pour réaliser une mesure différentielle de température.
- Optimiser le rapport: épaisseur de silicium / épaisseur de silicium poreux en tenant
compte de la solidité mécanique de l'ensemble du dispositif.
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- Appréhender les éventuelles fuites thermiques et tenter de les corriger.
- Tester les caractéristiques de la sonde dans un milieu de conductivité thermique donné
et sa réponse à divers stimulis transitoires.
L'ensemble de ces résultats nous conduit à la description géométrique d'une sonde intégrant
toutes les fonctions nécessaires à la réalisation d'une mesure de conductivité thermique du
milieu dans lequel elle est plongée.
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La méthode de résolution par éléments finis permet de calculer, par des équations de propa-
gation d'énergie, des grandeurs physiques pour tous les points d'une structure donnée.
Pour obtenir un résultat sur un domaine continu, il est nécessaire de discrétiser le volume ou
la surface d'étude par maillage, en la subdivisant en sous éléments: les éléments finis [91].
Tous ces éléments sont interconnectés entre eux par des points particuliers appelés des
nœuds.
Les solutions sont calculées uniquement pour chaque nœud, et l'approximation de la solution
finale est interpolée dans chaque élément en partant des résultats obtenus pour les nœuds les
délimitants.
On ramène ainsi le problème d'un milieu continu à un ensemble de problèmes discrets conte-
nant un nombre fini d'inconnues qui sont dictées par les lois de conservation de l'énergie.
Le problème est alors exprimé sous forme matriciel et est résolu en triangularisant cette ma-
trice.
ANSYS® 5.4 utilise la loi générale de la conservation de l'énergie thermique sous la forme:
[ ] [ ] [ ] [ ]...
TT qqLTLvt
Tc =+
+
∂∂ρ (Eq. 28)
avec:
ρ: la densité en Kg/m3
c: la chaleur spécifique en J/Kg.°C
T: la température, T(x,y,z,t) en °C ou K
t: le temps en seconde
[ ]
∂∂∂∂∂∂
=
z
y
x
L = Opérateur gradient
IV.2 Les éléments finis d'ANSYS®5.4
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[ ]
=
z
y
x
v
v
v
v = vecteur vitesse de transport de la chaleur en m/s
[ ]
=
z
y
x
q
q
q
q = vecteur de densité de flux de chaleur en W/m2
...
q , la puissance volumique en W/m3
En régime statique, le calcul se résume à la loi de Fourier:
[ ] [ ][ ]TLDq −= (Eq. 29)
où:
[ ]
=
zz
yy
xx
k00
0k0
00k
D = matrice de conductivité thermique en W/m.°C
Le formalisme utilisé par ANSYS® pour résoudre les problèmes thermiques est détaillé en
annexe.
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IV.3.1 Description du modèle
Le premier modèle conçu est un modèle en deux dimensions d'une structure de type aiguille
de longueur 2 cm et de hauteur 350µm, soit l'épaisseur d'un wafer de silicium.
La structure est composée de 2 couches superposées: une couche de silicium poreux de 175
µm au dessus d'un couche de silicium de 175 µm. Cette structure représente assez fidèlement
la morphologie obtenue en coupe d'un wafer de silicium ayant subit une attaque anodique.
Les conductivités thermiques sont fixées respectivement à 150 W/m.°C et 1,5 W/m.°C pour le
silicium [92] et le silicium poreux. Ces valeurs sont volontairement choisies parmi les plus
pessimistes des valeurs obtenues lors des mesures (le silicium y est très conducteur et le
silicium poreux n'est pas doté de sa plus faible valeur de conductivité thermique).
L'ensemble de l'aiguille est placé dans un milieu rectangulaire 3 cm x 1 cm, de conductivité
thermique 0,75 W/m.°C (7,5 mW/cm.°C) ce qui représente les caractéristiques moyennes d'un
tissu vivant perfusé convenablement.
La température du périmètre du rectangle est maintenu à 37°C et agit comme un puit
thermique. Cette considération est issue des travaux et des expérimentations menées par Ditt-
mar et al [9].
Cette structure est ensuite maillée par ANSYS®, puis on applique la contrainte thermique sous
la forme d'une température de 39°C à l'extrémité de l'aiguille pour simuler le point de chauf-
fage.
DimensionsConductivité thermique
en W/m.°Ccontraintes
Silicium 2 cm x 175 µm 150
Si Poreux 2 cm x 175 µm 1,5T=39°C à l'extrémité
Milieu 3 cm x 1 cm 0,75 T=37°C sur le périmètre
Tableau 6 : Conditions de simulation du modèle 2D
On étudie ensuite les résultats graphiques sous forme d'isothermes (°C ou K), de gradient de
température (∆T/∆L) ou de densité de flux de chaleur (W/m2).
IV.3 Le modèle 2D statique
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IV.3.2 Analyse des isothermes
La représentation complète du modèle et des isothermes est donnée Figure 38.
Figure 38 : Graphique des isothermes en °C du modèle 2D
On observe la présence d'un champ thermique confiné autour de l'élément chauffant, de
forme quasi circulaire avec pourtant un léger écrasement des isothermes sur le bord du mi-
lieu, dû à la forme rectangulaire de celui-ci.
Figure 39 : Détail des isothermes à proximité du point de chauffage
1mm
200 µm
Si Poreux (175 µm, k=1,5 W/m.°C)
Silicium (175 µm, k=150 W/m.°C)
Temperature (°c)
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La Figure 39 nous donne des détails sur la morphologie du champs thermique généré autour
du point de chauffe. Cette zone est particulièrement intéressante puisque la plupart des échan-
ges thermiques avec le milieu vont s'y dérouler.
On observe des isothermes légèrement étirés le long de la structure. En effet, la forte con-
ductivité thermique du substrat en silicium court circuite faiblement l'écoulement de l'énergie
thermique.
Ce phénomène est massivement révélé par le graphique du flux thermique.
IV.3.3 Analyse des gradients de température
La Figure 40 représente la répartition du gradient de température en °C/m au voisinage de
l'élément chauffant.
Il app
zone
ratur
La so
200 µm
araît
où le
e aprè
nde d
Gradient de température (°C/m)
Figure 40 : Détail des gradients de température au point de chauffage
nettement que le champ thermique reste localisé autour de la résistance chauffante,
gradient est le plus important. Il ne subsiste pratiquement aucun gradient de tempé-
s un rayon de 400µm.
issipe donc correctement son énergie thermique à proximité de la zone active.
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On note que le substrat de silicium, fortement conducteur, n'est le siège d'aucun gradient de
température.
IV.3.4 Analyse de la densité du flux de chaleur
La densité du flux de chaleur nous renseigne sur la répartition spatiale de l'énergie thermique
(ou calories).
Le graphique de la densité du flux de chaleur (Figure 41) nous révèle une importante fuite
de l'énergie thermique par le substrat de silicium.
Figure 41 : Répartition de la densité du flux de chaleur en W/m2 dans le modèle 2D. Une im-portante fuite thermique est décelée dans le substrat en silicium.
La plupart des calories sont effectivement dissipées au niveau de l'élément chauffant dans le
milieu, pourtant une part importante de celles-ci est redirigée vers le substrat et n'atteint pas le
milieu de mesure.
Il y a une perte d'efficacité au niveau du rendement thermique du dispositif.
Du fait de sa conductivité thermique élevée (k=150 W/m.°C), il n'y a pas ou très peu d'élé-
vation de température dans le substrat de silicium malgré le passage important de densité
d'énergie thermique.
200µm
Densité de flux de chaleur (W/m2)
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IV.3.5 Conclusion pour le modèle 2D
Le modèle en deux dimensions nous permet d'appréhender qualitativement les phénomènes
thermiques qui ont lieu dans la structure de la sonde.
Il révèle ainsi un défaut inhérent à la structure Si / Si poreux, deux matériaux de conductivité
thermique très éloignée: il y a une perte de rendement thermique dans le capteur due à une
fuite des calories par le substrat de silicium fortement conducteur.
La présence du substrat en silicium massif agit comme un court-circuit thermique et inter-
vient de façon négative sur les caractéristiques thermiques de la sonde en étirant les iso-
thermes le long de la structure. Ce comportement favorise les effets de co-chauffage entre
l'élément chauffant et le capteur de température de référence.
Il est nécessaire d'optimiser le rapport d'épaisseur entre le silicium poreux et le silicium
afin d'aboutir à un compromis acceptable entre caractéristiques thermiques, contraintes
technologiques et solidité mécanique de la sonde.
Le moteur de calcul d'ANSYS®5.4 pour le modèle 2D n'autorise pas l'analyse en puissance
injectée mais seulement en température imposée. Ainsi, aucune valeur quantitative liée à
la puissance de chauffage ne peut être aisément déduite ou discutée à travers ce modèle.
Un modèle de la structure en trois dimensions doit être conçu pour confirmer l'analyse
qualitative et permettre une analyse quantitative des échanges thermiques dans la sonde
grâce à l'introduction de puissance injectée au niveau de l'élément chauffant.
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Un modèle en trois dimensions a été conçu autorisant l'utilisation de puissance injectée sous
la forme de puissance surfacique (W/m2) ou volumique (W/m3) et non plus seulement de tem-
pérature.
En dehors de l'aspect tridimensionnel, le modèle est conforme à l'architecture souhaitée pour
la sonde thermique. Le modèle intègre en effet un volume représentant ce qui doit être l'élé-
ment chauffant.
Le milieu de mesure du modèle 2D souffre de sa géométrie rectangulaire qui engendre l'écra-
sement des isothermes à la périphérie (§ IV.3.2). Le modèle 3D intègre un milieu sphérique
dans lequel est plongée la sonde. Cette configuration est beaucoup plus proche de la réalité et
correspond à une approche plus rationnelle du problème.
Le modèle est entièrement paramétrable et les épaisseurs respectives de silicium poreux et
de silicium sont variables.
IV.4.1 Description du modèle
La sonde est constituée de trois éléments: une couche de silicium, une couche de silicium
poreux et un élément chauffant en polysilicium à son extrémité.
L'épaisseur totale de la sonde est de 300µm, répartie entre l'épaisseur de la couche de silicium
et l'épaisseur de la couche de silicium poreux.
Les dimensions latérales de la sonde sont une largeur de 1 mm et une longueur totale de 4,7
mm afin de ne pas limiter l'étude à la partie active de la sonde.
L'élément chauffant représente une résistance couche mince de polysilicium. Ses dimensions
sont 1 mm pour la largeur, 100 à 350 µm pour la longueur pour une épaisseur de 0,5 µm.
L'épaisseur correspond à l'épaisseur standard d'un dépôt de polysilicium par LPCVD. La lon-
gueur est calculée selon le dopage du polysilicium pour obtenir une valeur de résistance parti-
culière. Le détail des ces calculs est développé au chapitre suivant.
Les conductivités thermiques du silicium et silicium poreux sont les mêmes que pour le mo-
dèle 2D. Le polysilicium est moins conducteur que le silicium monocrystallin, et sa conducti-
vité thermique a été fixée à 75 W/m.°C (valeur moyenne rencontrée dans la littérature).
IV.4 Le modèle 3D statique
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Le milieu de mesure est représenté par une sphère de rayon 5 mm, centrée sur l'extrémité de
l'aiguille (Figure 42, Figure 43). Sa conductivité thermique est variable dans la gamme 0,5 à 1
W/m.°C, ce qui couvre l'étendue des valeurs rencontrées pour un tissu perfusé.
L'ensemble de la structure sonde + milieu est maillé et environ 12 000 éléments sont créés.
Pour les études statiques, la surface de la sphère est maintenue à 37°C (310 K) car l'expéri-
mentation sur des tissus a montré que la température de référence (température basale) est
atteinte entre 3 et 5 mm autour de l'élément chauffant: le champs thermique généré par l'élé-
ment chauffant n'influence pas la température du milieu au delà de 5mm.
Une puissance thermique généralement comprise entre 0 et 50 mW est générée sur l'élément
chauffant pour créer le gradient de température.
L'ensemble des conditions de simulation est résumé Tableau 7.
Dimensions(Long. x Larg. x Epaiss.)
Conductivitéthermique en
W/m.°Ccontraintes
Silicium 4,7 mm x 1mm x (0-300µm) 150 -
Si Poreux 4,7 mm x 1mm x (0-300µm) 1,5 -
Elément chauffant(Poly-Si)
100-350µm x 1mm x 0,5µm 75Puissance thermiquevariable 0 - 50 mW
Milieu R = 5 mm 0,5 - 1 T=37°C sur la surface
Tableau 7: Conditions de simulation du modèle 2D
Différentes combinaisons d'épaisseurs de silicium poreux et de silicium sont analysées pour
tester le bien fondé de l'utilisation du silicium poreux comme matériau isolant pour la sonde
thermique. Une épaisseur optimale de silicium poreux est alors choisie.
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Figure 42 : Vue générale du modèle 3D
Figure 43 : Vue en coupe du modèle 3D
Silicium
Siliciumporeux Elément
chauffant
Milieu
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IV.4.2 Comparaison de plusieurs architectures
IV.4.2.1 Silicium & Silicium poreux sur silicium
L'influence de l'adjonction d'une couche de silicium poreux sur un structure en silicium à tout
d'abord été analysée.
Deux modèle ont été créés:
- Un structure entièrement en silicium d'épaisseur 300 µm.
- Une structure mixte silicium poreux (80 µm) sur silicium (220 µm).
La simulation consiste à injecter une puissance de chauffage constante sur l'élément chauf-
fant (longueur 100µm) pour générer une élévation locale de 2°C ( pour atteindre 312 K) par
rapport à la température de référence (310 K).
La répartition des isothermes en régime statique (à t=∝) au sein de la sonde est représentée
pour les trois premiers millimètres Figure 44.
Figure 44 : Comparaison de l'évolution des isothermes (en K) pour une sonde silicium et unesonde silicium / silicium poreux.
Le silicium poreux agit comme une barrière thermique et permet au champ thermique de
rester confiné autour de l'élément chauffant. La température chute brusquement le long de
1 mm
Si (300 µm)
SSii ll iicciiuumm
K
1 mm
Si (220 µm)
Si Poreux (80µm)
K
SSii ppoorr eeuuxx //SSii
Chapitre IV : La simulation numérique
121
la sonde pour atteindre une valeur proche de la température de référence 37°C (310 K) après 3
mm.
La sonde en silicium confirme son caractère de court-circuit thermique . Le gradient de
température est très faible le long de la sonde, et au bout de 3mm, la température atteint en-
core 38,5°C (311,5 K). Cette configuration exclut toute tentative de réaliser un mesure diffé-
rentielle de température le long de la structure qui souffre d'un important phénomène de co-
chauffage. Les calories dissipées par l'élément chauffant le sont majoritairement dans la sonde
et non pas dans le milieu.
IV.4.2.2 Membrane fine de silicium & Silicium poreux sur silicium
Dans le but de contrecarrer la forte conductivité thermique du silicium, de nombreuses réali-
sations en microtechnologie silicium utilisent de fines membranes suspendues ou des pou-
tres de faible épaisseur pour "casser" le chemin thermique en diminuant la section des ob-
jets.
Ainsi, la microstructuration du silicium permet d'isoler thermiquement un dispositif de l'en-
semble de la structure.
Bien que cette logique ne soit pas applicable à la réalisation d'un sonde implantable pour des
raisons d'extrême fragilité mécanique, il est intéressant de comparer les deux modes d'isola-
tion thermique: par silicium poreux et par membrane fine.
Deux modèle ont été créés:
- Une membrane fine en silicium d'épaisseur 10 µm.
- Une structure mixte silicium poreux (80 µm) sur silicium (220 µm).
La méthodologie de simulation reste la même, et les résultats sont présentés Figure 45.
La membrane fine de silicium présente d'excellentes caractéristiques thermiques. Le gra-
dient thermique est important le long de la structure et la température après 3mm atteint
environ 37,5°C (310,5 K). La faible épaisseur de la membrane joue effectivement son rôle de
barrière thermique en empêchant l'écoulement des calories.
Néanmoins, une membrane de 80µm de silicium poreux au dessus de 220µm de silicium
présente des caractéristiques thermiques encore supérieures à celles de la membrane fine
avec un important gradient de température autour de l'élément chauffant.
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Figure 45 : Comparaison de l'évolution des isothermes (en K) pour une membrane fine ensilicium et une sonde silicium / silicium poreux.
IV.4.2.3 Comparaison globale
Finalement, il est intéressant d'obtenir le graphe de l'évolution de la température le long de
l'aiguille depuis l'élément de chauffage jusqu'à la surface de la sphère représentant le milieu.
Plusieurs solutions technologiques sont ainsi analysées.
En faisant varier l'épaisseur de silicium poreux depuis 0µm (tout silicium) jusqu'à 300µm
(tout silicium poreux), on obtient les caractéristiques du comportement thermique de la
sonde en fonction de l'épaisseur de silicium poreux.
Ces données seront confrontées aux exigences technologiques pour la réalisation des couches
de silicium poreux et aux impératifs de tenue mécanique de la sonde.
Un compromis sur le choix de l'épaisseur de la couche de silicium poreux est trouvé.
Pour ces simulations, ce n'est pas la température qui est imposée sur l'élément chauffant,
mais une puissance thermique.
Toutes les structures recevront ainsi 10mW au niveau de la résistance chauffante. Cette mé-
thode permet d'apprécier non seulement l'évolution de température le long de la structure,
1 mm
MM eemmbbrr aannee SSii ll iicciiuumm 1100µµmm
1 mm
Si (250 µm)
Si Poreux (100µm)
K
SSii ppoorr eeuuxx //SSii
Chapitre IV : La simulation numérique
123
mais également l'efficacité thermique (caractérisée par la température au point de chauffe
par mW injecté) des différentes architectures.
7 architectures sont réalisées:
1. Une sonde virtuelle dont la conductivité thermique est égale à celle du milieu
(k=0,75W/m.°C). Cette sonde "imaginaire" représente le capteur idéal, sans support, qui
ne perturberai pas le milieu de mesure. Seules les dimensions et la géométrie de l'élément
chauffant interviennent sur la forme des isothermes générés
2. Une sonde en silicium poreux de 300µm d'épaisseur
3. Une sonde 250µm de silicium poreux sur 50µm de silicium
4. Une sonde 150µm de silicium poreux sur 150µm de silicium
5. Une sonde 80µm de silicium poreux sur 220µm de silicium
6. Une sonde 40µm de silicium poreux sur 220µm de silicium
7. Une sonde en silicium de 300µm d'épaisseur
Toutes les architectures ont les mêmes dimensions (4,7mm x 1mm x 300µm). La tempéra-
ture est calculée le long de la couche de silicium poreux sur la ligne médiane depuis le
bord intérieure de l'élément chauffant (350µm en retrait de l'extrémité de la sonde) jusqu'à
l'autre extrémité de la sonde (Longueur d'analyse=4,7 mm–350µm=4,35mm). En effet, l'ana-
lyse de l'évolution de la température le long de l'élément chauffant n'apporte aucune informa-
tion car la valeur de la température y est constante.
Les résultats sont donnés Figure 46.
Chapitre IV : La simulation numérique
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Figure 46 : Evolution de la température en °C le long de différentes structures. Une puis-sance de 10mW est injectée au niveau de la résistance chauffante.
La sonde virtuelle représente le capteur idéal doté de caractéristiques thermiques opti-
male. Elle ne perturbe pas le milieu de mesure. Elle est considérée comme la référence par
rapport à laquelle toutes les autres architectures peuvent être comparées. Son efficacité ther-
mique est maximum et la différence de température atteint +4°C au niveau du point de
chauffage pour 10mW injecté.
Une sonde entièrement en silicium poreux (300µm) présente naturellement un profil ther-
mique proche de l'idéal (sa conductivité thermique est proche de celle du milieu
K=1,5W/m.°C). L'efficacité thermique est excellente puisque 10mW produisent une élévation
de température de plus de 3,2°C. Le gradient thermique le long de la sonde permet de perdre
rapidement de la température pour atteindre quasiment la température de référence (37°C)
après trois millimètres.
37
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Distance depuis l'extrémité de l'élément chauffant (mm)
Tem
péra
ture
(°C
)
Sonde Virtuelle
SiP 300µm
SiP 250µm Si 50µm
SiP 150µm Si 150µm
SiP 80µm Si 220µm
SiP 40µm Si 220µm
Si 300µm
Température de référence
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La solution "tout silicium" montre encore ici ses limites; avec une efficacité thermique mé-
diocre (La température au point de chauffe ne s'élève que de 1°C à peine) et un gradient ther-
mique quasi inexistant le long de la sonde.
Les solutions intermédiaires silicium poreux sur silicium montrent un excellent gradient de
température dans les premières centaines de µm accompagné d'une chute de température si-
gnificative (plus de 1,5°C pour 150µm de silicium poreux). Le gradient s'affaiblit ensuite le
long de la sonde.
Les sondes ne sont pas uniquement caractérisées par leurs profils d'évolution de température
mais également par le co-chauffage qu'elles engendrent entre le point de chauffage et le cap-
teur de température de référence. Considérant une température de référence mesurée 3mm
en retrait du point de chauffage, il est possible de calculer le pourcentage de co-chauffage.
Cette valeur est calculée ainsi: 100TT
TT
Refmax
Refmm3 ×−−
avec T3mm; la température mesurée à 3mm de
l'élément chauffant, Tmax, la température maximum atteinte au niveau de l'élément chauffant
(0 mm) et TRef ; la température de référence (ici 37°C).
La sonde virtuelle est prise comme référence et la valeur de la température à 3mm est uni-
quement due aux transferts thermiques par le milieu de mesure et non pas par la sonde (Figure
47).
Figure 47 : Pourcentage de co-chauffage à 3mm pour différentes architectures de sonde.
10,017,4
31,5
53,1
34,7
3,72,90,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
Sonde
Virtu
elle
SiP 30
0µm
SiP 25
0µm S
i 50µ
m
SiP 15
0µm S
i 150
µm
SiP 80
µm Si 2
20µm
SiP 40
µm Si 2
60µm
Si 300
µm
% d
e co
-cha
uffa
ge à
3m
m
Chapitre IV : La simulation numérique
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La valeur du pourcentage de co-chauffage permet d'apprécier la qualité des sondes.
Un faible co-chauffage par la sonde est synonyme de qualité et de respect du principe de la
mesure. A l'inverse une trop grande valeur du pourcentage de co-chauffage rend difficile la
mise en œuvre de la sonde et de son électronique de régulation et de mesure. En particulier, le
co-chauffage augmente la constante de temps de l'ensemble du dispositif.
Une sonde entièrement en silicium poreux est très séduisante non seulement par son im-
portante efficacité thermique, mais également par sa faible disposition au co-chauffage (<
4%).
Pour les solutions intermédiaires, le pourcentage de co-chauffage augmente avec l'épais-
seur de la couche de silicium jusqu'à atteindre 50% pour une sonde en silicium monolithi-
que. Dans ce cas la moitié de la valeur de la différence de température atteinte sur l'élément
chauffant est obtenue à 3mm, ce qui est rédhibitoire pour obtenir une mesure satisfaisante.
IV.4.2.4 Interprétation des profils thermiques des architectures SiP / Si
Un modèle simplifié du fonctionnement de la sonde est présenté permettant d'expliquer en
partie la brusque chute de température observée dans les premières centaines de microns suivi
d'un plateau où la température diminue très lentement.
Ce modèle permet de donner un ordre de grandeur de la longueur efficace de l'isolant,
dimension caractérisant la distance depuis l'élément chauffant après laquelle le gradient ther-
mique devient minimum. Cette longueur efficace est liée à l'épaisseur de la couche iso-
lante en silicium poreux. On considère que le silicium mesoporeux oxydé présente une con-
ductivité thermique isotrope et homogène.
Il est important de prendre en compte les dimensions de l'élément chauffant pour appréhen-
der plus judicieusement les phénomènes thermiques qui opèrent dans la structure.
Deux cas sont à distinguer:
1) L'élément chauffant possède une dimension latérale d plus faible que l'épaisseur e de
la couche de silicium poreux.
Dans ce cas, les isothermes générés sont hémisphériques dans le silicium poreux, mais le
rayon efficace de la sonde est très faible (Dittmar et al. considère que le rayon efficace est
d'environ d/2 [12]). Le champ thermique est généré très localement et n'atteint que très
faiblement la couche profonde constituée de silicium (Figure 48). Le silicium n'agit pas en
tant que court-circuit thermique mais le champ thermique généré est trop confiné pour pro-
Chapitre IV : La simulation numérique
127
duire une élévation de température suffisante au niveau des jonctions chaudes de la thermo-
pile. De plus, la zone explorée dans le milieu par la sonde est considérablement réduite.
Figure 48 : "Lorsque les dimensions latérales d de l'élément chauffant sont inférieures àl'épaisseur de la couche de silicium poreux e, le champ thermique est généré très localement
et n'atteint que très faiblement la couche de silicium".
2) L'élément chauffant possède une dimension latérale d supérieure à l'épaisseur e de la
couche de silicium poreux.
Dans ce cas, le rayon d'action de la sonde est beaucoup plus important et les isothermes par-
viennent dans la couche de silicium (Figure 49).
Figure 49 : "Lorsque les dimensions latérales d de l'élément chauffant sont supérieures àl'épaisseur de la couche de silicium poreux e, le champ thermique atteint la couche de sili-
cium".
Le silicium présente une valeur de conductivité thermique très élevée (k=150 W/m.°C), ap-
proximativement 100 fois celle du silicium poreux, et présente en son sein un gradient de
température quasi nul. La valeur de la température générée sous l'élément chauffant à l'in-
terface silicium poreux/silicium se retrouvera à l'identique tout au long de la couche de sili-
cium. Le silicium agit alors comme un court circuit thermique.
Les flux thermiques s'écoulent par les trajets présentant la moindre résistance thermi-
que. Dans notre cas, lorsque l'on s'éloigne latéralement de l'élément chauffant d'une distance
supérieure à deux fois l'épaisseur e de silicium poreux, il devient plus rentable pour le flux
thermique de franchir l'épaisseur de silicium poreux, de parcourir le silicium (thermiquement
SiP
Silicium
e
d<<e
SiPe
d>e
Silicium
Chapitre IV : La simulation numérique
128
"transparent") puis de franchir une nouvelle fois le silicium poreux. Le silicium agit alors
comme un pont thermique.
Le modèle explique ainsi en partie pourquoi le gradient thermique est très important dans les
premières centaines de microns jusqu'à une distance d'approximativement deux fois
l'épaisseur de silicium poreux. Cette distance représente la longueur efficace de la couche
isolante en silicium poreux après laquelle le gradient est minimum.
Chapitre IV : La simulation numérique
129
Il est nécessaire de connaître la réponse indicielle et impulsionnelle pour juger des caracté-
ristiques dynamiques de la sonde. La réactivité de la sonde doit être importante, en particulier
dans une optique d'un fonctionnement impultionnel.
La sonde doit répondre par une montée rapide en température lors de l'injection d'un puis-
sance thermique dans l'élément chauffant.
Le régime stationnaire doit s'établir le plus rapidement possible lorsqu'un échelon de puis-
sance est soumis à la sonde (réponse indicielle).
Une analyse par transformée de Fourier permet d'obtenir la réponse en fréquence de la
sonde et de la comparer aux données temporelles physiologiques.
L'architecture type vers laquelle nous nous dirigeons est celle d'une structure constituée d'une
couche de 80µm de silicium poreux pour 220µm de silicium (L'argumentation de ce choix est
développé par la suite). C'est donc cette architecture qui est testée d'un point de vue temporel.
L'analyse dynamique nécessite la connaissance de deux paramètres supplémentaires pour les
matériaux constitutifs:
- La densité ρ en Kg/m3
- La chaleur spécifique ou capacité calorifique c en J/Kg.°C
Les valeurs choisies [93] sont résumé Tableau 8.
Densité en Kg/m3Chaleur spécifique
en J/Kg.°C
Silicium 2400 716
Si Poreux 1200 716
Elément chauffant(Poly-Si)
2400 716
Milieu 1000 4180
Tableau 8 : Densité et chaleur spécifique des différents éléments constitutifs de la sonde
IV.5 Le modèle 3D dynamique
Chapitre IV : La simulation numérique
130
Le silicium poreux considéré est du silicium mesoporeux contenant 50% de porosité. Sa den-
sité est approximativement la moitié de celle du silicium monocrystallin, soit 1200 Kg/m3.
On admettra que le polysilicium présente les mêmes constantes thermiques que le silicium
monocrystallin.
Le milieu de mesure est assimilé à de l'eau.
On considère que la chaleur spécifique du Si poreux est la même que celle du silicium mono-
crystallin.
A t=0, la température de l'ensemble sonde + milieu est fixée à 37°C.
La réponse indicielle et la réponse impulsionnelle ont été calculées pour la sonde plongée
dans un milieu de conductivité thermique moyenne (0,75 W/m.°C).
IV.5.1 Réponse indicielle
Un échelon de puissance P=10mW est appliqué à l'élément chauffant au temps t=0.
On observe l'évolution de la température de l'élément chauffant et également d'un point
situé à 3 mm en retrait de celui-ci censé représenter la mesure de la température de réfé-
rence (Figure 50).
On trace également la valeur de la différence de température ∆T entre ces 2 points de me-
sure. L'expérience se déroule pendant t=2 secondes.
Figure 50: Réponse indicielle à un échelon de puissance de 10mW
37
37.5
38
38.5
39
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Temps (sec.)
Tem
pera
ture
(°C
)
Elément chauffantRéférence
∆T
00.5
11.5
22.5
0.0 1.0 2.0Temps (sec)
Tem
p. (
°C)
Chapitre IV : La simulation numérique
131
La réponse de l'élément chauffant est rapide, et en moins de 600 ms, la température atteinte
est supérieure de 2°C à la température de départ (37°C).
La température de référence n'est pas insensible à l'évolution de la température de l'élé-
ment chauffant. Sa valeur croit également légèrement et augmente ainsi de 0.2°C pendant les
2 secondes de l'expérience: Il y a un phénomène de co-chauffage.
Le système étant en boucle ouverte, la température ne cesse d'augmenter pour atteindre le
régime stationnaire à t=∝.
Pourtant, le calcul de ∆T nous montre que la différence de température reste constante et
égale à 2°C au cours de la simulation. Il est donc envisageable de palier le co-chauffage en
travaillant en boucle fermée, avec l'aide d'une régulation de type PID. Cette régulation offre
la possibilité de maintenir la différence de température constante en régulant la puissance in-
jectée.
Une telle sonde est susceptible de travailler en fonctionnement continu.
L'hypothèse empirique du placement du point de mesure de la température de référence
à 3mm en retrait de l'élément chauffant s'avère être réaliste et exploitable.
IV.5.2 Réponse impulsionnelle
Dans ce cas, une impulsion de puissance de 10mW se rapprochant le plus possible d'un di-
rac est injectée au temps t=0 dans l'élément chauffant.
L'impulsion de puissance a une largeur temporelle de 10ms.
On enregistre l'évolution des températures des deux points identiques à ceux de la réponse
indicielle pendant 300ms (Figure 51).
La réactivité de l'élément chauffant est importante: sa température varie de 37°C à 37,8°C
en 10ms. On peut en déduire un temps de montée en température de l'ordre de 0,08°C/ms
pour P=10mW.
Cette valeur est à comparer aux valeurs expérimentales mesurées par Delhomme A.[8] sur
une sonde hybride à base d'une thermistance, sans enveloppe externe. La valeur typique du
temps de montée en température est 0.13°C/ms pour un puissance injecté de 40mW. En ad-
mettant une relation linéaire entre le temps de montée et la puissance injectée, on en déduit un
temps de montée d'environ 0.03°C/ms pour 10mW.
La sonde à base de silicium poreux est environ 2,5 fois plus réactive qu'une sonde hybride.
Les faibles dimensions de la sonde en silicium poreux favorise ce rapport.
Chapitre IV : La simulation numérique
132
Lorsque la puissance de chauffage n'est plus appliquée, après 10ms, 45ms sont nécessaires
pour que la température au niveau de l'élément chauffant s'atténue de 90% (T=37,08°C).
Après 150ms, la température n'évolue quasiment plus et sa valeur atteint 37,01°C.
On en déduit un cycle chauffage – refroidissement d'une durée d'environ 150ms pour une
impulsion de 10mW pendant 10ms. Cette valeur permet d'approcher une valeur de la ré-
ponse en fréquence du dispositif: Une impulsion de 10mW peut être injectée toutes les
150ms. La fréquence maximum de répétition est donc environ 1/150.10-3 = 6,7 Hz. Cette
valeur sera affinée par la transformée de Fourier.
Figure 51 : Réponse impulsionnelle à un pic de puissance de 10 mW pendant 10 ms.
Un autre aspect pertinent de cette simulation est le constat de la valeur figée de la tempéra-
ture de référence à 37°C. La valeur de la température de référence est insensible au champ
thermique généré par la résistance chauffante: Il n'y a pas de phénomène de co-chauffage.
Un capteur de température situé à 3mm du point de chauffage mesurera effectivement la
température de référence.
Cette qualité est de bonne augure pour la réalisation d'un sonde en fonctionnement impultion-
nel.
37.00
37.10
37.20
37.30
37.40
37.50
37.60
37.70
37.80
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Temps (sec.)
Tem
pera
ture
(°C
)
Elément chauffant
Référence
Chapitre IV : La simulation numérique
133
La transformée de Fourier nous permet de passer du domaine temporel au domaine fré-
quentiel depuis le graphe de la réponse impulsionnelle.
Cette représentation fréquentielle permet à son tour de déterminer la fréquence de coupure
du système composé de la sonde SiP / Si et du milieu.
La transformée de Fourier est effectuée par le logiciel Origin®4.1 d'après les points de simu-
lation calculés par ANSYS®.
Le résultat de la transformée de Fourier normalisée depuis 0dB est donné Figure 52.
Figure 52 : Réponse en fréquence de la sonde SiP (100µm) + Si (250µm) dans un milieu deconductivité moyen k=0,75 W/m.°C.
La sonde se comporte comme un filtre passe-bas non-linéaire.
La fréquence de coupure à –3dB est située à environ 15Hz.
L'efficacité du filtre est très importante avec une atténuation de l'ordre de 30dB/octave
dans la partie abrupte entre 50Hz et 100Hz. Pourtant cette portion de courbe n'est pas linéaire
et il est donc impossible d'appliquer les lois et règles de calculs des filtres linéaires.
La non-linéarité du système peut s'expliquer par la présence de matériaux très hétérogènes,
présentant des caractéristiques thermiques disparates, mais également par la méthode de si-
mulation elle-même qui ne permet pas de générer une impulsion de puissance dans les condi-
tions formelles de Dirac.
1 10 100-39
-36
-33
-30
-27
-24
-21
-18
-15
-12
-9
-6
-3
0
Am
plitu
de (
db)
Freq (Hz)
Chapitre IV : La simulation numérique
134
La valeur de la fréquence de coupure qui est supérieure à 10Hz est très pertinente puisqu'elle
nous permet d'affirmer que la sonde réagira à tout changement de son environnement
thermique à concurrence d'un événement par 100ms.
Les changements de conductivité thermique tissulaire les plus rapides décelables sont liés au
battement du cœur qui accélère, à intervalles réguliers, le sang dans les vaisseaux et les capil-
laires changeant ainsi la valeur de l'irrigation sanguine tissulaire. Or la fréquence typique des
battements du cœur est de 60 battements par minute, soit 1Hz au repos et peut atteindre envi-
ron 180 battements par minute en plein effort, soit 3Hz.
La sonde, telle qu'elle est constituée, est susceptible de suivre sans difficulté cette fréquence
et, si sa sensibilité l'autorise, peut mesurer l'influence des battements cardiaques sur la valeur
de l'irrigation sanguine tissulaire.
Chapitre IV : La simulation numérique
135
La simulation numérique par éléments finis permet d'apprécier et de quantifier le compor-
tement thermique des sondes constituées de silicium mesoporeux sur du silicium.
Le modèle en deux dimensions a révélé un défaut inhérent à l'utilisation d'un matériaux iso-
lant (le silicium poreux) au dessus d'un matériaux très conducteur (le silicium) sous la forme
d'une fuite thermique par le substrat de silicium. L'efficacité thermique est alors dimi-
nuée car une partie non négligeable des calories parcourt le substrat et n'est pas injectée dans
le milieu de mesure.
Le modèle de simulation numérique permet d'effectuer une comparaison entre plusieurs
architectures. Il en ressort que l'architecture idéale est une sonde entièrement constituée
de silicium poreux.
Cette solution n'est pas envisageable technologiquement. En effet il est très difficile de réali-
ser des couches de silicium poreux sur la totalité de l'épaisseur d'un wafer. De plus, le dispo-
sitif final serait beaucoup trop fragile pour être utilisé comme sonde implantable.
L'apport d'une couche de silicium poreux sur une structure en silicium crée un important
gradient thermique autour de l'élément chauffant.
Néanmoins, le gradient s'atténue sensiblement après une distance égale à environ 2 fois
l'épaisseur de la couche de silicium poreux. Cette distance caractérise la longueur efficace
de l'isolant.
Le capteur de température actif doit être placé dans cette région sous peine de délivrer
une mesure erronée de la température au point de chauffage. De plus, il est primordial de con-
naître la température au voisinage de l'élément chauffant pour détecter une éventuelle élé-
vation anormale de sa valeur (T>42°C) qui serait dommageable pour les tissus explorés.
Le phénomène de co-chauffage entre l'élément chauffant et le capteur de température de réfé-
rence est présent quelque soit la structure envisagée. En effet, la valeur de la conductivité
thermique du matériau le plus isolant (le silicium poreux, k=1,5W/m.°C) demeure 2 fois plus
IV.6 Conclusion
Chapitre IV : La simulation numérique
136
élevée que celle du milieu (kmoyen=0,75W/m.°C). L'introduction du silicium fortement
conducteur (k=150W/m.°C) comme substrat amplifie le phénomène de co-chauffage.
La simulation dynamique a montré la bonne réactivité de la sonde à un stimulus de puis-
sance indiciel ou impulsionnel avec un temps de montée type d'environ 0,08°C/ms pour
10mW injecté.
Le phénomène de co-chauffage est apparu en régime permanent et peut perturber la qualité
de la mesure. Néanmoins, ce phénomène n'est plus présent en régime transitoire, et lors
de l'utilisation de la sonde en mode impulsionnel, la mesure de la température de référence
située 3mm en retrait de l'élément chauffant est insensible à l'échauffement de celui-ci.
La valeur de cette distance de retrait de 3mm a été choisie, à l'origine, de manière empirique
au travers des travaux et expériences de Dittmar et al. sur des sondes hybrides de dimensions
comparables. Ce choix se révèle être conforme aux résultats de simulation et sera pris comme
hypothèse de travail lors de la réalisation de la sonde.
La sonde présente une fréquence coupure supérieure à 10Hz. Elle est ainsi susceptible de
répondre à un changement des caractéristiques thermiques du milieu (injection de puissance,
variation de la conductivité thermique du tissu, …) à concurrence d'un événement toutes les
100ms, ce qui est tout à fait compatible avec les valeurs temporelles des phénomènes
physiologiques les plus rapides.
Plusieurs critiques peuvent être apportées au modèle de simulation utilisé:
- L'ensemble des phénomènes thermiques physiologiques n'est pas simulé. En particu-
lier, la convection thermique n'est pas prise en compte et le milieu est uniquement caracté-
risé par une valeur de conduction thermique sensée représenter l'ensemble des caractéris-
tiques thermiques.
- Le milieu est fini: Ses dimensions sont limitées à 5mm autour de l'élément chauffant.
Aucun échange thermique ne se fait au delà de cette limite. Ceci représente une vue sim-
plifié du mécanisme complexe de thermorégulation des tissus vivants.
- La sonde est étudiée uniquement autour de sa partie active (3mm). La sonde réelle
sera plus longue et la présence d'un connecteur extérieur au milieu, relié à la sonde, peut
changer les caractéristiques thermique de l'ensemble.
Chapitre IV : La simulation numérique
137
- L'ensemble de la structure est maillé: L'ensemble du dispositif n'est pas vu de manière
continue et les discontinuités des éléments peuvent engendrer des erreurs de calcul lors
des transitions de matériaux (typiquement lors du passage du silicium poreux au silicium).
La simulation aide à ajuster les différents paramètres pour parvenir à un compromis entre
caractéristiques thermiques, robustesse et contraintes technologiques de réalisation de
caisson épais de silicium poreux afin de réaliser un démonstrateur de la sonde.
Les paramètres décisionnels sont illustrés Figure 53.
Figure 53 : Paramètres décisionnels pour le choix d'un compromis pour la réalisation d'undémonstrateur de sonde de mesure de conductivité thermique.
Nous avons choisi de réaliser un démonstrateur pour une sonde constituée du rapport
80µm de silicium poreux sur 220µm de silicium.
Cette configuration n'offre pas les meilleurs caractéristiques thermiques mais est compati-
ble avec la technologie universitaire dont nous disposons. Elle permet de valider les prin-
cipales étapes technologiques de réalisation et d'effectuer des tests électriques et thermiques
sur une structure relativement robuste. Elle permet également de valider et de corriger si
nécessaire le modèle de simulation numérique.
Sonde
Efficacitéthermique
TenueMécanique
Co-Chauffage
Temps de ré-ponse en mode
impulsionnelEpaisseur des
caissons de siliciumporeux réalisable
ContraintesTechnologiques
Chapitre IV : La simulation numérique
138
91 Imbert, J.F.(Ed) Analyse des structures par éléments finis, Toulouse, Cépaduès, 1991,506p.
92 Lide, D.R. (Ed) Handbook of chemistry and physics. Boca Raton: CRC Press, 1993, Pagi-nation multiple.
93 Perry, R.H. (Ed) Perry's chemical engineer's handbook, New York, Mc Graw Hill BookCompany, 1988, 2336p.