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Chapitre III

Representation de Donnees

Wail Gueaieb (Universite d’Ottawa) CEG2536: Architecture des Ordinateurs I Automne 2007 1 / 36

Types de Donnees Systemes Numeriques

Systemes Numeriques

Les quatre principaux systemes numeriques sont : binaire, octal, hexadecimal, et decimal(utilisee par les humains).

En general, un systeme numerique de base, ou de raison r est un systeme qui utilise dessymboles distincts pour r chiffres.

Un nombre x en base r , que l’on note (x)r , peut s’ecrire de maniere generale:

(x)r = xn xn−1 . . . x1 x0 . x−1 x−2 . . . x−m ,

ou xi ∈ {0, 1, . . . , r − 1} et i ∈ {n, n − 1, . . . ,−m}.Pour convertir un nombre dans la forme ci-dessus a la base decimale (dont la raison est 10),la formule suivante est utilisee:

(x)r = (xn × rn + xn−1 × rn−1 + · · · + x0 × r0 + x−1 × r−1 + · · · + x−m × r−m)10


Types de Donnees Systemes Numeriques

Example 1.

Convertissez le nombre (32.4)5 de la base 5 vers le systeme decimal.

(32.4)5 = (3× 52 + 2× 50 + 4× 5−1)10 = (15 + 2 + 4/5)10 = (17.8)10


Types de Donnees Systeme Binaire

Systeme Binaire

Le systeme binaire utilise 2 comme raison.

Par consequent, les chiffres du systeme binaire sont soit 0, soit 1.

Example 2.

Convertissez (101101)2 du systeme binaire vers le systeme decimal.

(101101)2 = (1× 25 + 0× 24 + 1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20)10

= (32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1)10

= (45)10


Types de Donnees Systeme Octal

Systeme Octal

Le systeme octal utilise 8 comme raison.

Par consequent, les chiffres du systeme octal se trouvent parmi {0, 1, 2, . . . , 7}.

Example 3.

Convertissez (736.4)8 de la base octale vers le systeme decimal.

(736.4)8 = (7× 82 + 3× 81 + 6× 80 + 4× 8−1)10

= (7× 64 + 3× 8 + 6 + 4/8)10

= (478.5)10


Types de Donnees Systeme hexadecimal

Systeme hexadecimal

Le systeme hexadecimal utilise 16 comme raison.

Les chiffres du systeme hexadecimal se trouvent parmi {0, 1, 2, . . . , 9, A, B, . . . , F}.Les lettres de A a F representent les nombres decimaux 10 a 15.



Conversion

La conversion d’un nombre decimal en son equivalent en base r est effectuee en separant lapartie entiere et la partie fractionnaire du nombre. Ensuite, on convertit chaque partieseparement.

La conversion de la partie entiere du nombre decimal en representation en base r se fait pardivision successive par r , avec accumulation du reste.

La conversion de la partie fractionnaire du nombre decimal en representation en base r estaccomplie par multiplications successives par r , avec accumulation des chiffres entiersobtenus



Example 4.

Convertissez (41.6875)10 du systeme decimal vers le systeme binaire.

Figure 1: Conversion of decimal 41.6875 into binary


Types de Donnees Nombres binaires, octaux, et hexadecimaux

Nombres binaires, octaux, et hexadecimaux

La conversion de la base binaire vers la base octale se fait aisement, en partitionnant lenombre binaire en groupes de 3 bits chacun.

Le chiffre octal correspondant est ensuite assigne a chaque groupe de bits.

La chaıne de chiffres octaux obtenue correspond a l’equivalent du nombre binaire.

La conversion de la base binaire vers la base hexadecimale est similaire, sauf que les bits sontpartitionnes en groupes de 4 bits chacun.

Example 5.

Figure 2: Conversion binaires, octaux, et hexadecimaux


Types de Donnees Codage binaire

Codage binaire

Le codage binaire consiste simplement a remplacer chacun des chiffres d’un certain nombrepar un code binaire.

Le “codage binaire” n’est pas la meme chose que la “conversion en binaire”



Example 6 (Nombres octaux et hexadecimaux codes en binaire).

Table 1: Nombres octaux codes en binaire Table 2: Nombres hexadecimaux codes en binaire



Nombres decimaux codes en binaire (BCD, ou binary-coded decimal)

Table 3: Nombres decimaux codes en binaire (BCD)



Code ASCII

Puisque toutes les operations sont converties en chaıne de 0 et 1 avant d’etre executees, chaquecaractere informatique possede un code binaire ASCII unique (ASCII=American Standard Codefor Information Exchange).

Table 4: Code ASCII


Complements

Complements

Dans les ordinateurs numeriques, les complements sont principalement utilises pourrepresenter les nombres negatifs.

Il y a deux types de complements pour chaque systeme de raison r :Le complement a (r − 1), etLe complement a r .

Par exemple, pour le systeme binaire (base 2), les deux types de complements sont lecomplement a 1 et le complement a 2.


Complements Complement a (r − 1)

Complement a (r − 1)

Pour un nombre N en base r avec n chiffres, le complement a (r − 1) s’ecrit

[(rn − 1)− N]r

Le complement a (r − 1) d’un nombre peut aussi s’obtenir en retranchant chaque chiffre de(r − 1).

Example 7.

Calculez le complement a 9 de (450)10.



Calculez le complement a 15 de (A7F0)16.


Complements Complement a r

Complement a r

Le complement a r d’un nombre N a n chiffres en base r est defini par{(rn − N)r si N 6= 0,

0 si N = 0

Le complement a r peut aussi est calcule en ajoutant 1 au complement a (r − 1).

On peut aussi calculer le complement a r en laissant tels quels les 0 les moins significatifs,puis en soustrayant a r le premier chiffre non-nul a partir de la droite, puis en soustrayanttous les autres chiffres plus significatifs a (r − 1).

Example 8.



Complements Complement a r

Remarque

Le complement du complement redonne le nombre original (a prouver!)

Si le nombre original N contient un point (virgule), il faut l’enlever temporairement pourformer le complement desire. Ensuite, on rajoute le point au nombre complemente a lameme position relative.

Example 9.

Calculez le complement a 2 de (110.1100)2.


Representation en Virgule Fixe Representations de nombres binaires

Representations de nombres binaires

Dans les systemes informatiques, les nombres binaires sont representes comme signes ounon-signes.

Les nombres non-signes sont des nombres que l’on suppose toujours etre non-negatifs (i.e.,≥ 0).

Les nombres signes sont des nombres qui peuvent etre soit negatifs, soit non-negatifs.

Le signe d’un nombre signe est determine par la valeur d’un bit specifie au prealable dans larepresentation du nombre. On appelle ce bit le bit de signe.

Habituellement, le bit de signe correspond au bit le plus a gauche dans la representation dunombre.

La convention pour un systeme binaire est que le bit de signe est 0 pour un nombrenon-negatif, et 1 pour un nombre negatif.



Example 10.

La valeur binaire non-signee de 8 bits (10001110)2 est equivalente a (142)10.

Cependant, la valeur signee de 8 bits (10001110)2 est un nombre negatif puisque la valeurdu bit de signe est 1. La valeur exacte de ce nombre depend de la convention utilisee pourrepresenter les nombres negatifs.



Nombres signes

Lorsqu’un nombre signe est negatif, le bit de signe prend la valeur 1, et le reste peut etrerepresente de trois facons:

1 Representation en magnitude signee2 Representation en complement a 1 signe3 Representation en complement a 2 signe

La representation en magnitude signee d’un nombre negatif consiste en un bit de signe suivipar la magnitude du nombre.

Pour les deux autres representations, le nombre est represente soit par le complement a 1,soit par le complement a 2, du nombre positif signe.



Example 11.

Considerez le nombre signe +14, range dans un registre de 8 bits. Il est range sous la forme:00001110.

Bien qu’il n’y ait qu’une seule facon de representer le nombre signe +14 dans un registre de8 bits, on peut representer, −14 de trois facons differentes:

En magnitude signee, −14 est represente par: 10001110.

En complement a 1 signe, −14 est represente par: 11110001.

En complement a 2 signe, −14 est represente par: 11110010.



Le systeme en magnitude signee n’est pas vraiment utilise pour l’arithmetique desordinateurs d’aujourd’hui.

Le complement a 1 prete a confusion car il y a deux representations differentes de 0 (+0 et−0), et donc on l’utilise rarement dans les systemes informatiques actuels.

La plupart des ordinateurs d’aujourd’hui utilisent la representation en complement a 2 signeepour les nombres negatifs.

Example 12.

Quels sont le nombre positif maximal et le nombre negatif minimal, represente en complement a2, que l’on peut ranger dans un registre de n bits?


Representation en Virgule Fixe Soustraction de nombres non-signes

Soustraction de nombres non-signes

Pour effectuer la soustraction M − N de deux nombres non-signes de n chiffres, ou N estdifferent de 0, en base r , on suit la procedure ci-dessous:

1 On ajoute M au complement a r de N. Ceci effectue M + (rn − N) = M − N + rn.2 Si M ≥ N, la somme va engendrer une retenue de sortie rn qui doit etre ignoree, et ce qui reste est

le resultat de M − N.3 Cependant, si M < N, alors la somme n’engendre pas de retenue de sortie et est egale a

rn − (N −M), qui est le complement a r de (N −M).

Dans ce dernier cas, pour obtenir la solution dans une forme plus familiere, on peut prendrele complement a r de la somme, et placer un signe negatif a l’avant.

Example 13.

Faites l’operation non-signee 72532− 13250 en base 10.

Example 14.

Faites l’operation non-signee 1010100− 1000011 en base 2.


Representation en Virgule Fixe Addition arithmetique

Addition arithmetique

Differentes operations arithmetiques peuvent etre adoptees pour differentes representationsde nombres negatifs signes.

Nous utiliserons la representation en complement a 2 pour representer les nombres negatifs,car c’est la plus utilisee dans les systemes informatiques d’aujourd’hui.

La procedure d’addition en complement a 2 signe peut se formuler ainsi:

Ajouter les deux nombres, en incluant leur bit de signe, et ignorer toute retenue endehors de la position du bit de signe.

Example 15.

Faites les operations signees suivantes, en 8 bits:

+6 + 13

−6 + 13

+6 + (−13)

−6 + (−13)


Representation en Virgule Fixe Soustraction arithmetique

Soustraction arithmetique

La soustraction de deux nombres binaires signes lorsqueles nombres negatifs sont representes en complement a 2 se fait suivant la procedure ci-dessous:

Prendre le complement a 2 du deuxieme operande, en incluant le bit de signe, puisl’ajouter au premier operande, en incluant le bit de signe. Une retenue en dehorsde la position du bit de signe est ignoree.

L’idee derriere cette technique est que:

(±A)− (+B) = (±A) + (−B)

(±A)− (−B) = (±A) + (+B)

Example 16.

Effectuez (−6)− (−13) en representation signee de 8 bits.


Representation en Virgule Fixe Debordement (overflow)

Debordement (overflow)

Si une operation sur deux nombres de n chiffres engendre un nombre de plus de n chiffres, ondit qu’un debordement a lieu (overflow).

Pour un systeme informatique qui utilise des registres de n bits, la signification pratique d’undebordement est que le resultat de l’operation ne peut pas etre range dans un registre (il y aplus de bits que ce qu’un registre peut contenir).

Lorsque l’on concoit des systemes informatiques, ou lorsqu’on ecrit des programmes de basniveau, il faut explicitement verifier qu’il n’y a pas eu debordement apres chaque operation.


Representation en Virgule Fixe Detection d’un debordement

Detection d’un debordement

Pour les nombres non-signes,un debordement dans une operation d’addition est detecte par la retenue de sortie d’un bit le plussignificatif. Une valeur de 1 veut dire qu’un debordement a eu lieu.un debordement dans une operation de soustraction ne peut pas exister.

Pour les nombres signes, un debordement dans une operation d’addition ou de soustractionpeut etre detecte en observant la retenue d’entree dans la position du bit de signe, et laretenue de sortie de la position du bit de signe. Si les deux retenues sont differentes, alors undebordement a eu lieu.

Dans ce dernier cas, si les deux retenues sont appliquees a une porte OU-EXCLUSIF (XOR),alors un debordement a eu lieu si la sortie de la porte est 1.

Example 17.

Effectuez (7 + 8) en representation non-signee de 4 bits.

Effectuez (3 + 5) en representation signee de 4 bits.

Effectuez (−3) + (−5) en representation signee de 4 bits.


Representation en Virgule Fixe Representation decimale en point fixe

Representation decimale en point fixe

La representation de nombres decimaux signes en BCD est similaire a celle de nombresbinaires:

Soit en magnitude signee, ouEn representation en complement signe.

Le signe d’un nombre signe en BCD est designe par 0000 pour un nombre non-negatif, et par1001 (i.e., la valeur BCD de 9) pour un nombre negatif.

Pour obtenir le complement a 10 d’un nombre BCD, on prend d’abord le complement a 9 dece nombre, et on y ajoute 1.

Le complement a 9 est calcule en soustrayant chaque chiffre a 9.

Example 18.

Calculez (+375) + (−240) dans le systeme BCD en utilisant une representation de 16 bits signee.


Representation en Virgule Fixe Representation decimale en point fixe

L’addition de nombres en BCD se fait avec des additionneurs BCD (qui sont differents desadditionneurs binaires).

La soustraction de nombres BCD, qu’ils soient non-signes ou en complement a 10 signes, sefait de la meme maniere que pour les nombres binaires:

1 D’abord, on prend le complement a 10 du deuxieme operande, represente en BCD2 Puis on lui ajoute le premier operande.


Representation en point flottant


La representation en point flottant (ou virgule flottante en Europe) d’un nombre comprenddeux parties:

Une mantisse (aussi appelee fraction), qui est un nombre signe en point fixe, etUn exposant, qui est un nombre signe en point fixe qui represente la position du point

Une mantisse en point fixe peut etre soit un entier, soit une fraction.

Example 19.

+6132.789 peut se representer en point flottant comme ceci:

Fraction Exposant+0.6132789 +04

En notation scientifique: 0.6132789× 10+4



Un point flottant est toujours interprete comme un nombre sous la forme suivant:

m × r e

Seule la mantisse m et l’exposant e sont physiquement ranges dans des registres (leur signeinclus).

La position du point et la raison r sont supposees etre connues (fixees pour un appareildonne).



Dans le systeme binaire, on peut representer le nombre +1001.00 avec une mantisse de 8bits et un exposant de 6 bits ainsi:

Fraction Exposant01001110 000100

Le bit le plus a gauche dans la mantisse et dans l’exposant denote le bit de signe.

Il est sous-entendu que le point binaire de la mantisse est a droite du bit de signe.

Le nombre en point flottant ci-dessus est equivalent a:

m × 2e = +(.1001110)2 × 2+4

Un nombre en point flottant est dit normalise si le chiffre le plus significatif (en excluant lebit de signe s’il existe) est non nul.



Example 20.

Un nombre signe en point flottant avec une mantisse de 01100011 est un nombre normalise.

Un nombre en point flottant non signe avec une mantisse de 01100011 n’est pas un nombrenormalise.

Example 21.

La version normalisee d’un nombre binaire en point flottant avec la mantisse signee etl’exposant signe suivants:

Fraction Exposant00011000 00000101

est

Fraction Exponent01100000 00000011


Codes detecteurs d’erreurs


L’information binaire transmise a travers un medium de communication est sujet a du bruitexterne qui peut changer des bits de 0 a 1 et vice versa.

Un code detecteur d’erreur est un code binaire qui detecte des erreurs numeriques lors de latransmission.

Le code detecteur d’erreur le plus courant est le code de parite.

Un code de parite est un bit supplementaire ajoute au message binaire pour rendre lenombre de 1 impair (code de parite impair) ou pair (code de parite pair).

Un message de 3 bits avec deux bits de parite possibles est montre ci-dessous:

Table 5: Generation de bit de parite



Au niveau du transmetteur, le message est applique a un generateur de parite pour genererle bit de parite requis.

Au niveau du recepteur, tous les bits arrivants (en incluant le bit de parite) sont appliques auverificateur de parite afin de detecter s’il y a une erreur

Figure 3: Detection d’erreur avec bit de parite impair


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