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CHAPITRE -III. ANALYSE DE LA STABILIT1

III.1. Dfinition de la StabilitOn dira qu'un systme linaire est stable si, aprs avoir soumis son entre une brusque variation (consigne ou perturbation) : Le mouvement amorc par sa sortie reste born en amplitude (c'est dire que la sortie garde une valeur finie)Ce mouvement s'amortit plus ou moins vite et la sortie tend vers un tat d'quilibre.Les rponses indicielles des figures III.1 et III.2 correspondent celles de systmes stables. Nous retrouvons les critres cits ci-dessus.Fig III.1: Systme oscillatoire amorti (stable) Fig III.2 : Systme non oscillatoire amorti (s2able)

La figure III.3 est un cas de systme instable. Les oscillations sont de plus en plus importantes et le systme ne retrouve pas son tat d'quilibre.Fig III.3: Systme oscillatoire divergent (instable)III.1.1. Conditions de stabilitUn systme est stable si et seulement si tous les ples de sa fonction de transfert sont partie relle ngative. Ils se situent tous strictement gauche de l'axe imaginaire du plan complexe.3

La figure III.4 rcapitule les cas possibles suivant le signe et la nature des racines.Fig. III.4. Rcapitulatif des comportements des systmes selon la position et le signe des ples(selon les rponses indicielles).

Remarque propos des systmes instables :Quand on a affaire un systme instable, sa sortie tend thoriquement vers l'infini si on soumet son entre une brusque variation. En ralit, sa sortie ne tend pas vers l'infini, mais vers une valeur qui correspond la saturation. Cette valeur peut tre trs grande et conduire la destruction du systme. En tout tat de cause, dans le cas o la fonction de transfert a des ples parties relles positives, le systme sort rapidement de son domaine de linarit et ses quations ne sont plus valables.III.1.2. Etude de la stabilit d'un systme bouclLe systme asservi boucl de la figure III.5 a pour fonction de Transfert :S(P) _ A(p)E(p) 1 + A(p).B(p)Fig. III.6 : Schma fonctionnel d'un systme asservi boucl5Sa stabilit est conditionne par le signe des parties relles des racines du dnominateur. Il suffira, donc, d'tudier l'quation : 1 + A(p).B(p) = 0, et de chercher le signe de ses racines. Plusieurs moyens sont possibles pour y arriver :a) 1er moyen : Calculer les racines de 1+ A(p).B(p) = 0Cette mthode est bonne puisqu'elle nous donne galement les valeurs des racines en plus de leurs signes. Mais elle est pratiquement inapplicable cause de la grande difficult qu'elle prsente si le degr du polynme est important. L'usage d'un ordinateur peut simplifier le travail, car il peut aussi tracer le lieu des racines quand on fait varier les paramtres. C'est une mthode trs puissante.b) 2me moyen : Discuter le signe des racines sans les calculer, partir des coefficients du dnominateur (critre de Routh-Hurwitz )Malheureusement, si le systme trouv est instable, on ne sait pas sur quel paramtre il faut agir pour le rendre stable. Il faut en plus connatre la fonction sous sa forme mathmatique.c) 3me moyen : Utiliser le critre de Nyquist (mthode graphique).Cette mthode est intressante car elle n'a pas les inconvnients du critre de Routh. A savoir, on peut utiliser directement les rsultats exprimentaux sans connatre les quations du systme et elle montre graphiquement sur quels paramtres on peut agir pour rendre le systme stable.6III.2. Critre de Routh - HurwitzIII. 2.1. Enonc du critreSoit P(p) le dnominateur de la fonction de transfert en boucle ferme. P(p) peut tre crit sous la forme :P(p) = 1 + A(p).B(p) = a0pn + a1 pn' +..............+ an1p + an(quation caractristique de la fonction de transfert en boucle ferme)Pour que le systme soit stable, il faut et il suffit que les racines de P(p) n'aient pas de parties relles positives.111.2.1.1. Critre d'HurwitzCe critre (ncessaire mais pas suffisant) indique que le systme est instable si les ai sont de signes diffrents ou certains sont nuls.111.2.1.1. Critre de Routh-HurwitzLa condition ncessaire et suffisante de stabilit est alors que tous les termes de la 1re colonne du tableau de Routh soient de mme signe.7

On construit le tableau de Routh de la manire suivante :Avec*G-riP^ + anipu + . . . + a\p H- ciq = 08Critre : Le critre de Routh-Hurwitz dit que le nombre de ples instables (c'est dire partie relle positive) est gal au nombre de changements de signe dans la premire colonne du tableau construit ci-dessus. Par consquent, si tous les lments de la premire colonne du tableau sont de mme signe, le systme est stable.Remarques :Cette mthode a l'avantage d'tre rapide est exacte, mais elle ne donne pas une mesure de la stabilit comme les autres critres ; car elle se borne dire si le systme est stable ou non. De plus, elle est inapplicable si on ne connat pas l'expression mathmatique de la fonction de transfert.9Exemple 1lSoit : 0(p) p4_7p3+i7p2H_i7pH_6P41P377.17-1.17Pp-f{1.177.6PLUj37p617 617 00p4117 6p3717 0p214, 576 0p114,120p66Tous les termes de la premire colonne sont positifs, le systme de fonction de transfert G(p) est donc stable.10

Exemple 2SoitP413 5p324 0p12.3-1.4 i 2 12V-5 0p11.4-2.5 a 1 0-6.5-1.0 et 6 J0Tous les termes de la premire colonne ne sont pas de mme signe donc le systme est instable. De plus, il y a deux changements de signe (de 1 -6 et de -6 5), par consquent on peut affirmer que le systme possde deux ples instables.11

Exemple 3Soit : =[:= p: - 3p~ + 3:; + 1 -