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Propagation de la lumière dans un milieu diélectrique

anisotrope

Chapitre II

1

L'objet de ce chapitre est d’étudier la propagation de la lumière dans des milieux

homogènes (les propriétés du milieu sont les mêmes en tout point) anisotropes, c'est

a dire tels que l'indice de réfraction dépend de la direction de propagation.

1. Introduction

2. Rappels

- Homogène : les propriétés du milieu sont les mêmes en tout point de l'espace.

isotrope et homogène Isotrope mais pas homogène

- Milieu anisotrope : les directions ne sont pas équivalentes. La permittivité

diélectrique ou la perméabilité magnétique est un tenseurs (matrice).

(a) La maille élémentaire de NaCl est cubique. La structure de

NaCl ne présente pas d'anisotropie optique.

(b) la maille élémentaire de la calcite CaCo3 est rhomboédrique.

La structure de CaCo3 représente l’anisotropie optique

1. Introduction

2.1. Définitions

- Isotrope : les propriétés du milieu sont les mêmes dans toutes les directions. La

permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique sont des scalaires

2

2. Rappels

- Milieu transparent : toute onde incidente est au moins partiellement transmise

- Milieu non magnétique : c’est un milieu dont la perméabilité magnétique est µ0

- Diélectrique parfait : est un milieu qui ne porte aucune charge (en dehors des

charges de polarisation), donc ρ = 0 , et n’est le siège d’aucun courant électrique

(en dehors des courants de polarisation), donc j = 0.

2.2. Rappels sur les milieux diélectriques non magnétique

0Ddiv 0Bdivt

BErot

t

DHrot

* Polarisation : Quand elle traverse un milieu matériel, l’onde EM induit une

polarisation qui vient s’ajouter à celle du vide

EP 0

0 EP 0

1 EEED r 00 )1(

Les champs électrique et magnétique dans le matériau satisfont

* Les équations de Maxwell dans le milieu

* Loi de conservation d‘énergie: 0 Rdivdt

dw

me www DEwe

2

1

HBwm

2

1

Tel que : est la densité d‘énergie électromagnétique, ou

, et le vecteur de Poynting HER 3

* Tenseur de permittivité diélectrique [r]

De la loi de conservation, et du fait que le milieu considère est non magnétique

et parfaitement transparent, il découle que le tenseur [r] est symétrique réel

La matrice 3 x 3 représentant le tenseur [r] est donc

diagonalisable dans une base orthogonale d‘états propres.

Dans cette base, nous notons :

2

3

2

2

2

1

00

00

00

n

n

n

r

ou les ni sont les ‘ indices propres’ du milieu. On utilisera également par la suite les

vitesses de phases propres : si bien que la relation devient: EDr

0

i

in

cv

i

i

i

i

iiiriiE

vE

v

cEnED

2

0

2

2

0

2

00

1

3 cas de figure peuvent se produire:

A- : tous les directions sont équivalentes et le milieu est isotrope 321

nnn

B- : le milieu est dit Uniaxe (milieu anisotrope) 321nnn

C- : le milieu est dit biaxe (milieu anisotrope) 321nnn

2. Rappels

4

3. Structure de l’onde lumineuse

3. Structure de l’onde plane lumineuse

Une onde lumineuse est une onde électromagnétique.

Elle est définie par :

son vecteur déplacement électrique (polarisation électrique):

son vecteur déplacement magnétique (excitation magnétique):

son vecteur d’onde:

son champ électrique:

son champ magnétique:

, et forment un trièdre direct et sont intrinsèques à l’onde.

et sont générés par et : ils dépendent du milieu de propagation.

k est orthogonal au plan (B; D ) qui forme donc le plan d'onde,

Le plan (E;B) est appelé plan de vibration

et forment le plan de polarisation 5

Les équations de Maxwell s’écrivent :

))rki(ω(exp(EE 0

0Dk 0Bk BEk DHk

• Le vecteur de Poynting est parallèle à k

• Le plan d’onde (B; D) est perpendiculaire à la direction de propagation k


3.1. Structure de l’onde dans des milieux isotropes

ED r0

un milieu est isotrope → la permittivité diélectrique est un scalaire

E et D sont parallèles et transverses

Soit une onde plane de champ électrique :

• Le plan de vibration (B;E) parallèle au plan d’onde (B; D) et perpendiculaires à k

• B et H sont orthogonaux à E et D , et transverses

6

- Relation de dispersion:

EkEkkHkD 2

2

0

2

0

1)(

11

• D’après l’équation de Maxwell et on obtient: DHk BEk

• D’autre part, ED r0

- Toutes les polarisations transverses sont possibles

- Relation de dispersion:

• En général, on travaille avec l’indice :

• On obtient :

• Vitesse de phase :


7

Les équations de Maxwell s’écrivent :

))rki(ω(exp(EE 0

Le vecteur de Poynting n’est pas parallèle à k

3.1. Structure de l’onde dans des milieux anisotropes

ED r0

un milieu est anisotrope → la permittivité diélectrique est un tenseur

Pour une onde plane de champ électrique :

D n’est plus parallèle à E

0Dk

0Bk

D et B sont toujours orthogonaux à k

DHk D et H sont orthogonaux

BEk E et B sont orthogonaux


8

plan de

polarisation

direction de propagation de

l’onde

vecteur de Poynting (propagation de la lumière)

et sont colinéaires (quand le milieu n’est pas magnétique)

et forment le plan de polarisation

le plan est le plan d’onde

direction de propagation

du rayon lumineux


9

D

H

k

E

B

R

La disposition relative de D et E dépend du milieu de propagation et de la direction prise par k dans ce

milieu.

D et E sont en effet liés par le tenseur des permittivités diélectriques du

milieu :

où est un tenseur de rang 2

On a donc :

Ainsi, dans un repère quelconque , on a par exemple :


10

D’un point de vue mathématique, plutôt que de choisir un repère quelconque,

il est préférable de choisir un repère (une autre base) dans lequel on puisse

exprimer :

dans la base

1, 2 et 3 sont alors appelées « permittivités diélectriques principales ».

est appelée « base principale ».

Remarque :

• Typiquement, les directions de la base principale correspondent

aux axes de symétrie du cristal dans lequel l’onde lumineuse se

propage.

• Si le milieu est non-absorbant, le tenseur de permittivité est

symétrique


11

Remarque :

Si on considère le cas particulier d’un

milieu isotrope (par ex. le verre), toutes

les directions de l’espace sont

équivalentes, donc :

et sont colinéaires

et sont aussi colinéaires

Dans un milieu isotrope, l’on de et son

rayon lumineux se propagent dans la

même direction.


12

13

4. Modes propres de propagation


4.1. Vitesse de phase et vitesse radiale 4.1.1. Définitions

Vitesse de phase : vitesse à laquelle se déplace le plan d’onde.

Vitesse radiale : vitesse de propagation du rayon lumineux.

instant t instant t’ Vitesse de phase :

Vitesse radiale :

14

4.1.2. Equation des vitesses de phase (équation de Fresnel)


* Nous allons chercher quelles sont les ondes planes qui sont susceptibles de se

propager dans le milieu anisotrope selon une direction donnée de la normale a leur

plan d'onde. Plus précisément, nous cherchons avec quelle vitesse de phase vφ de

telles ondes peuvent se propager dans ce milieu.

* On choisit comme repère de l’espace la base principale

* Si une onde présente une direction de

propagation donnée par ,il est possible de

décomposer ce vecteur suivant ses 3

composantes dans la base principale :

* Cherchons donc l’équation donnant la

vitesse de propagation v suivant la

direction

15


• D’après l’équation de Maxwell et on obtient : DHk BEk

)(11

2

0

EkkHkD

]).(.[1 2

2

0

EkkEk

),,( 321 eee

k

ku

• Introduisons le vecteur unitaire ‘u’ de la normale au plan d'onde :

1²²²

)].(.[2

0

2

uEuEk

D

)].(.[1

2

0

uEuEv

Avec, est la vitesse de phase dans la

direction de propagation du plan d'onde.

kv

ED r0Or le un milieu est anisotrope

)].(.[1

2

00

uEuEv

Er

)].(.[²2

uEuEv

c

16

)].(.[²2

uEuEv

cEr

Ecrivant la relation : dans la base

)].([²

00

00

00

3

2

1

2

3

2

1

3

2

1

uE

E

E

E

v

c

E

E

E

).((²

).((²

).((²

3233

2222

1211

uEEv

cE

uEEv

cE

uEEv

cE

2

3

2

33

2

2

2

22

2

1

2

11

²

²

²

v

cn

v

cn

v

cn


avec

).(

).(

).(

22

3

2

33

22

2

2

22

22

1

2

11

uEvv

vE

uEvv

vE

uEvv

vE

17

).(

).(

).(

22

3

2

33

22

2

2

22

22

1

2

11

uEvv

vE

uEvv

vE

uEvv

vE

On somme les trois équations

On en déduit alors :

1²²²

0²²²

22

3

22

2

22

1

vvvvvvEquation de Fresnel

il s’agit d’une équation

du second degré en v2…

Apres simplification par , on retranche 1 aux deux membres en remarquant

que

).( uE


18


0²²²

22

3

22

2

22

1

vvvvvv

Réduction au même dénominateur :

Equation vérifiée si le numérateur est nul, soit :

En développant, on a :

L’équation est alors de la forme :

19


avec

Il existe donc 2 vitesses

de phase possibles dans une même


Remarque : Prenons le cas particulier d’une propagation suivant 3e

on a alors :

dans la direction

l’onde peut se propager à la

vitesse v1 et à la vitesse v2

20

Remarque : cas trivial d’un milieu isotrope

Dans un milieu isotrope, la vitesse de phase (et la vitesse radiale) est la même

dans toutes les directions de l’espace.

4.1.3. Equation des vitesses radiales

L’énergie lumineuse (le rayon) se propage dans la direction du vecteur de

Poynting à la vitesse vr.

De la même façon que l’on a décomposé le vecteur d’onde, on peut

décomposer le vecteur de Poynting dans la base principale…


21

Le rayon lumineux, suivant la

direction

se propage à la vitesse vr, devant vérifier

l’équation :

équation des vitesses radiales

Il s’agit encore d’une équation du second degré en vr2.

Sa résolution conduit donc au résultat suivant :

Dans une même direction , l’énergie lumineuse se propage

avec 2 vitesses radiales différentes.


22

4 .2. Directions privilégiées

L’analyse de la structure de l’onde nous

a permis de voir que :

Mais (et a fortiori ) peut prendre a

priori n’importe quelle orientation dans

le plan d’onde.

, et forment un trièdre direct

le plan d’onde est à

Les lois de l’électromagnétisme lèvent

l’indétermination de la façon suivante :

« pour une vitesse de phase donnée, dans une direction de

donnée, une seule orientation de est possible »


23

Les conséquences sont les suivantes :

Selon une direction , on a vu qu’il existe 2 vitesses de phase

possibles : v’ et v’’

A chacune de ces 2 vitesses doit être associée une seule

orientation possible du vecteur dans le plan d’onde :

où l’on doit toujours vérifier que ''' DD

Les 2 directions prises par et sont appelées « directions privilégiées »

Le vecteur se propage donc suivant à la vitesse v’, alors que le

vecteur se propage aussi suivant mais à la vitesse v’’.


milieu anisotrope

24

La vitesse de propagation est c ; donc la longueur d’onde vaut :

air

Dans l’air, avant l’entrée dans le matériau anisotrope, le vecteur

vibre suivant une direction constante : on dit que la « polarisation est rectiligne ».


25

Dans le matériau anisotrope, se décompose en et .

se propage à la vitesse v’

se propage à la vitesse v’’

La différence de longueur

d’onde génère un

déphasage

des 2 composantes

milieu anisotrope air


26

Bilan :

Dans un plan d’onde, la somme des 2 composantes

est un vecteur qui tourne et décrit une ellipse :

on dit alors que la polarisation est « elliptique ».

Au cours de la propagation, cette ellipse se déforme et tourne.

A la sortie du matériau anisotrope, l’onde conserve la

polarisation qu’elle a dans le plan de sortie.

Remarque :

Comme appartient au plan de polarisation défini par , il s’en suit que

tourne de la même façon que .


27

plan de

polarisation


du rayon lumineux

direction de

propagation

de l’onde


28

5.1. Différentes surfaces caractéristiques

• Ellipsoïde des indices:

On porte dans la direction de D (direction de polarisation pouvant se propager

dans le milieu) la valeur d’indice associée.

C’est la surface la plus simple (une seule nappe par plan) pour représenter les

caractéristiques diélectriques du milieu

• Surface d’onde (surface des vitesses (radiales):

On porte dans la direction d’un rayon (direction de propagation de l’énergie,

direction du vecteur de Poynting) les deux valeurs de vitesse de propagation

correspondant aux deux polarisations propres pouvant se propager le long de ce

rayon.

C’est une surface plus complexe, à deux nappes, utile pour construire la

réfraction ou la réflexion des rayons dans un matériau anisotrope

• Surface des indices:

On porte dans la direction d’un vecteur d’onde (perpendiculaire à la surface

d’onde) les deux valeurs d’indice correspondant aux deux polarisations propres

pouvant se propager dans cette direction.

C’est aussi une surface à deux nappes, utile pour calculer les différences de

marche dans un milieu anisotrope

5 . Représentations géométriques 5 . Représentations géométriques

29

5.2. Ellipsoïde des indices :

2

1 1 2 2 3 32

0

1( . . . )E D E D E D D

v

Il est possible de construire géométriquement les deux vecteurs propres de

polarisations linéaires D’ et D’’, en introduisant la notion d'ellipsoïde des indices.

Considérons le produit scalaire de l‘équation par D2

0

1[ .( . )]D E u E u

v

. 0k

u D u Dk

Or 2

2

0

1. .D D E D D

v

Dans la base l’équation s’écrit:

Or 2

0 0

1 1i i i

i i

E D Dn

2

1 1 2 2 3 32 2 2 2

0 0 1 0 2 0 3

1 1 1 1( )D D D D D D D

v n n n

5 . Représentations géométriques

a. Equation

On considère l’ indice pour une direction de propagation k donnée ( )( )

cn k

v k

30

22 22

31 2

2 2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 1 1( ) 1

DD DC

v n D n D n D

22 2

2 31 2

2 2 2 2 2 2

1 2 3

1 1 1( ) 1

DD Dn

n D n D n D

Posons 31 21 2 3; ;

nDnD nDx x x

D D D

22 2

31 2

2 2 2

1 2 3

1xx x

n n n C'est l'équation d'une ellipsoïde d'axes principaux n1,

n2, n3 : l'ellipsoïde des indices.

Ou, x1,x2 et x3 représentent les coordonnées d’un point M dans la base

tel que :

D

OM nD

2

2 2 2 2

1 2 3OM x x x n


31

Dans le plan x3 =0

2 2

1 2

2 2

1 2

1x x

n n équation d’un ellipse

de demie-axes

1 1suivant n e

2 2suivant n e

Dans le plan x2 =0

22

31

2 2

1 3

1xx


de demie-axes

1 1suivant n e

3 3suivant n e

Dans le plan x1 =0

2 2

3 2

2 2

3 2

1x x


de demie-axes

3 3suivant n e

2 2suivant n e

* On trace les ellipses par plan, en utilisant l’équation d’ellipsoïdes des indices:

M

O

* Pour construire les ellipsoïdes des indices , On porte sur la droite colinéaire à D,

une distance n à partir de l'origine telle que OM n


b. Construction

32

Dans le plan x3 =0

2 2

1 2

2 21

e o

x x

n n

équation d’un ellipse

de demie-axes

1suivant en e

2suivant on e

Dans le plan x2 =0

22

31

2 21

e o

xx

n n

équation d’un cercle de rayon

1suivant en e

3suivant on e

Dans le plan x1 =0

2 2 2

3 2 ox x n


de demie-axes

on

O

c. cas d’un milieu uniaxe

Un milieu uniaxe (n2 = n3= no : indice ordinaire et n1 = ne : indice extraordinaire)

33

Le plan (H ,R ) est tangent à la surface de l'ellipsoïde en M.


d. Propriétés

Pour une direction D fixée par un point M sur l’ellipsoïde:

E est normal à l’ellipsoïde au point M

H est tangent à l’ellipsoïde en M

l’ellipsoïde des indices permet de déterminer

l’orientation relative de et .

34

Les deux seules directions de polarisation linéaires D’et D’’ physiquement

possibles, sont données par les demi axes de l'ellipse, définie par l'intersection de

l'ellipsoïde des indices et du plan d'onde associe a la direction de propagation k

considérée.

E

H

On utilise aussi l'ellipsoïde des indice pour déterminer les directions propres de

vibrations D’ et D’’.

Pour simplifier le

raisonnement (et le schéma ),

on se place dans le cas

particulier d'un milieu uniaxe

35

5.3. Surface d’onde ( surface des vitesses radiales):

A partir d’une source lumineuse ponctuelle qui émet dans toutes les directions de

l’espace, tous les points atteints par les rayons lumineux au même instant

définissent la surface d’onde.

M à t=3

La détermination de la surface d’onde nécessite donc

la connaissance de la vitesse radiale dans toutes les

directions de l’espace.

Tout point M(x1,x2,x3) appartenant à la surface d’onde

doit alors vérifier l’équation des vitesses radiales :

M à t=2 M à t=1

Remarque 1:

On a vu qu’il existe 2 vitesses radiales possibles dans une même direction.

Il existe 2 surfaces d’onde.

Remarque 2:

Si le milieu est isotrope, la vitesse vaut vr = vi dans toutes les directions de l’espace.

La surface d’onde est unique et sphérique.

a. définition


36

* Surface d’onde d’un milieu uniaxe

Dans un milieu anisotrope quelconque, l’équation de la surface d’onde

s’écrit :

Ce qui, après réduction au même dénominateur, se résume à :

On suppose alors le milieu uniaxe, tel que :

D’où :

b. construction

37

On a donc 2 solutions possibles :

Dans toutes les direction de l’espace, la vitesse radiale vaut v2.

La surface d’onde correspondante est une sphère de rayon v2.

soit encore :

La surface d’onde correspondante est un ellipsoïde de révolution

de dimensions : v2 suivant

v1 suivant et


38

Dans le plan x3 =0

2 2

1 2

2 2

2 1

1x x

v v


de demie-axes

1 1suivant v e

2 2suivant v e

Dans le plan x2 =0

22

31

2 2

2 1

1xx

v v

Disque de rayon

2 1suivant v e

1 3suivant v e

Dans le plan x1 =0

2 2 2

3 2 1x x v


de demie-axes

1v

disque de rayon 2v

disque de rayon 2v

disque de rayon 2v

39

Il existe donc 2 surfaces d’onde :

une sphère + un ellipsoïde

Un rayon lumineux de direction

coupe alors les surfaces d’onde en 2

points qui donnent les vitesses de

propagations possibles pour ce rayon.


40

On peut remarquer que si un rayon se

propage dans la direction , alors il n’a

qu’une seule vitesse de propagation

possible : v2.

Cette direction est donc particulière et est

appelée « axe optique ».

L’axe optique d’un milieu uniaxe est la

direction dans laquelle il n’existe

qu’une seule vitesse de propagation

possible.

La surface d’onde sphérique est appelée « nappe ordinaire »

La surface d’onde ellipsoïdale est appelée « nappe extraordinaire »

Quelle que soit la direction de l’onde, elle coupe la nappe ordinaire en un point qui

donne toujours la même vitesse : la « vitesse ordinaire ».

L’onde qui se propage à la vitesse ordinaire est appelée « onde ordinaire ».


41

Dans un milieu uniaxe, pour une direction de propagation quelconque, il se crée :

En revanche, suivant la direction de l’onde, l’intersection avec la nappe

extraordinaire donne lieu à différentes valeurs possibles pour la vitesse (allant de

v2 à v1) : cette onde est appelée « onde extraordinaire ».

Dans le cas étudié ici, la vitesse maximum v1 est appelée « vitesse extraordinaire ».

une onde ordinaire dont la vitesse ne dépend pas de l’orientation et vaut vo.

une onde extraordinaire dont la vitesse dépend de l’orientation et est

comprise entre vo et ve.

Remarque :

L’axe optique peut également être défini comme la direction suivant laquelle les

nappes ordinaire et extraordinaire coïncident.

42

Quartz

(SiO2)

Calcite

(CaCO3)

Remarque :

Un milieu uniaxe peut être soit positif soit négatif.

le milieu est positif si

vo>ve ou no<ne

le milieu est négatif si

vo<ve ou no>ne


43

* Surface d’onde d’un milieu biaxe


s’écrit :


On suppose alors le milieu biaxe, tel que :

Dans le plan x3 =0

Dans le plan x2 =0

Dans le plan x1 =0


44

Dans le plan x3 =0

2 2

1 2

2 2

2 1

1x x

v v


de demie-axes

2 1suivant v e

1 2suivant v e

Dans le plan x2 =0

22

31

2 2

3 1

1xx

v v


de demie-axes

3 1suivant v e

1 3suivant v e

Dans le plan x1 =0

2 2

3 2

2 2

2 3

1x x

v v


de demie-axes

disque de rayon 3v

disque de rayon 2v

disque de rayon 1v3 2suivant v e

2 3suivant v e


45

De même qu’un milieu uniaxe , un milieu biaxe présente

2 surfaces d’onde :

*Une surface d’onde sphérique « nappe ordinaire »

* Une surface d’onde ellipsoïdale « nappe extraordinaire »

Un rayon lumineux de direction coupe

alors les surfaces d’onde en 2 points qui

donnent les vitesses de propagations

possibles pour ce rayon.


46

On peut remarquer que si un rayon se propage

dans les deux directions et ’ , alors il n’a

qu’une seule vitesse de propagation possible : v2.

On remarque aussi que ces deux directions

appartenant au même plan Or par définition , l’axe optique d’un

milieu anisotrope est la direction dans

laquelle il n’existe qu’une seule vitesse de

propagation possible.

•Un milieu biaxe peut également être

défini comme un milieu anisotrope qui

possède deux axes optique et ’

• Un milieu uniaxe est un milieu

anisotrope qui ne possède qu’un seul

axe optique.

’

’


47

O

M

5.4. Surface des indices :

La surface des indices est l’équivalent de la surface d’onde pour

représenter la vitesse de phase suivant la direction prise par .

Mais, plutôt que de raisonner en terme de vitesse de phase, on préfère utiliser

la notion d’indice :

A chaque direction prise par est associée une

vitesse de phase v. On peut alors également y

associer une valeur de l’indice :

Donc, si on définit le point M(x1,x2,x3) tel que :

et

Alors la surface des indices est constituée par

l’ensemble des points M vérifiant :

a. définition


48

Remarque :

Puisque suivant une même direction il existe 2 vitesses de phase

possibles, on en déduit qu’il existe aussi 2 valeurs possible de l’indice

Il existe 2 surfaces des indices.

Remarque :

Dans un milieu isotrope, vitesse de phase et vitesse radiale sont

identiques :

la surface des indices est unique et sphérique,

de rayon


49

* Surface des indices d’un milieu uniaxe


s’écrit :


On suppose alors le milieu uniaxe, tel que :

Par un raisonnement simulable à ce lui effectué pour la détermination du

surface d’onde on obtient 2 solutions possibles :

b. construction

Dans toutes les direction de l’espace, l’indice vaut n2.

La surface des indices correspondante est une sphère de rayon n2.


50

La surface des indices correspondante est un

ellipsoïde de révolution de dimensions :

n2 suivant

n1 suivant et

Pour une même direction il existe 2

vitesses de phase possibles

k ; sauf dans

une direction particulière qui présente

la direction de l’axe optique.

* Surface des indices d’un milieu biaxe (voir TD)


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