Chapitr e I

Int egration Numerique

Poursescalculsen physiqueet en astronomie,Newton est le premiera utiliser desformulesdequadrature,suivi en celapar sessuccesseursanglais(Cotes1711,Simpson1743). Euler, danssongigantesquetraite (Inst. Calculi Integralis 1768,1769,1770,OperaXI-XIii), met toutesoningeniosite a rechercherdesprimitivesanalytiques.Cependant,denombreusesintegralesresistentencoreet toujoursa l’envahisseur(exemples

���� ��� , � ���� � ); denombreuxcalculsenastronomie(perturbationsdesorbitesplanetaires)contraignentGauss(1814)a intensifierla theoriedesfor-mulesdequadrature.Lesprogrammesqui ont tournesurlespremiersordinateursfurentengrandepartielescalculsd’integrales:cesproblemessontlesplusfacilesa programmer. Pourcettememeraison,nouscommenc¸onsparcesujet.

Probleme. Etantdonneunefonctioncontinuesurun intervalleborne �������������� � ���(0.1)

on chercheacalculerl’int egrale �� ! �#"�����$ (0.2)

Bibliographie sur cechapitre

P.J.Davis & P. Rabinowitz (1975):Methodsof NumericalIntegration.AcademicPress,New York.

G. Evans(1993):PracticalNumericalIntegration.JohnWiley & Sons.[MA 65/336]

V.I. Krylov (1959):PriblizhennoeVychislenieIntegralov. Goz. Izd. Fiz.-Mat. Lit., Moscow. Tra-ductionanglaise:Approximatecalculationof integrals. Macmillan,1962.[MA 65/185]

R. Piessens,E. de Doncker-Kapenga,C.W. Uberhuber& D.K. Kahaner(1983): QUADPACK.A SubroutinePackage for AutomaticIntegration. SpringerSeriesin Comput.Math.,vol. 1. [MA 65/210]

A.H. Stroud(1974):NumericalquadratureandSolutionofOrdinaryDifferentialEquations.Springer.[MA 65/89]

I.1 Formulesdequadratur eet leur ordr e

La plupart desalgorithmesnumeriquesprocedentcommesuit: on subdivise�%�������

en plusieurssous-intervalles(

�'& ��(*)+�-,.)/��0*)1$�$�$2)3�54 &1�) et onutilise le fait que�

� ! �#"���� &4768,9;: (

�=<?>A@�=< ! �#"�����$

(1.1)

2 IntegrationNumerique

�B& ��( �-, ��0 CDCDC � 9 � 9;E , CDCDC �54 &F�

! �#"

FIG. I.1: Unedivisiond’un intervalle ensous-intervalles

De cettemaniere,on estramene au calcul de plusieursintegralespour lesquellesla longueurdel’intervalled’integrationestrelativementpetite.Prenonsunedecesintegralesetnotonsla longueurdel’intervallepar G 9 �H& � 9;E ,JIK� 9 . Un changementdevariablenousdonnealors

�=<L>M@�=< ! �#"���� & G 9

,( ! � 9ONQP G 9 "�� P $

Notonsenfin R P " �H&F ! � 9�NQP G 9 " . Il restealorsa calculeruneapproximationde,( R P "�� P $ (1.2)

Exemples.1. La formuledupoint milieu,( R P "�� PTS R �UWVYX ";$

0 1 22. La formuledu trapeze,

( R P "�� PTS[Z\ R L] " N R ^U " $0 1 2

Cesdeuxformules(pointmilieu et trapeze)sontexactessi R P " estunpolynomededegre _ U.

3. On obtientla formuledeSimpsonsi l’on passeuneparabole(polynomededegreX) par les

troispoints `]A� R L] "�" , ^UWVYXA� R ^UWVYX "^" , �UW� R ^U "�" et si l’on approche

l’int egrale(1.2)parl’aire sousla parabole:,( R P "�� PaSbZc R L] " N/d R �UWVYX " N R ^U " $

0 1 24. La “pulcherrimaet utilissimaregula” deNewton(degre e ) :,

( R P "�� PTS Zf R L] " N eWR ^UWV e " N eWR `XMV e " N R �U " $0 1 2

5. En generalisantcetteidee(passerun polynomededegre g I Upar les g pointsequidistants ih;V8 g I U " � R jh�V8 g I U "�"^" , h.&1]A� $W$�$ � g I U ), onobtientlesformulesdeNewton-Cotes(Newton1676,

Cotes1711). Pour gk_ml lescoefficientsdecesformulessontdonneesdansle tableauI.1. LeurdessinenfigureI.2 montrequelespoids“explosent”au-dela de g &nU=]

. Si on veutaugmenterlaprecision,il vautmieuxraffiner lessubdivisionsen(1.1)qu’augmenterle degre g .Definition 1.1 Uneformuledequadrature a g etagesestdonneepar,

( R P "�� PaS op?: ,� p R rq p ";$ (1.3)

Lesq p sontlesnœudsdela formuledequadratureet les

� p ensontlespoids.

IntegrationNumerique 3

TAB. I.1: FormulesdeNewton-Cotes

g ordre poids� p nom

2 2 Z\ Z\ trapeze

3 4 Zc sc Zc Simpson

4 4 Zf tf tf Zf Newton

5 6 uvxw t \vxw Z \v=w t \v=w uvxw Boole

6 6 Z v\xfxf u�y\=fxf y w\=fxf y w\xf=f u�y\xf=f Z v\xfxf —

7 8 s Zf s w\ Z cf s w

\ uf s w\ u \f s w

\ uf s w\ Z cf s w s Zf s w Weddle

−1 0 10

s = 3

−1 0 10

s = 4

−1 0 10

s = 5

−1 0 10

s = 6

−1 0 10

s = 7

−1 0 1

−1

0

1

2s = 9

−1 0 1

−1

0

1

2s =11

−1 0 1

−1

0

1

2s =13

−1 0 1

−1

0

1

2s =15

−1 0 1

−1

0

1

2s =17

FIG. I.2: DessindespoidsdesformulesdeNewton-Cotes

If therearefour ordinatesat equalintervals, let z bethesumof thefirst andthefourth, { thesumof thesecondandthird, and | the interval betweenthefirst andthe fourth ; then... theareabetweenthefirst andthefourthordinateswill be }�z�~��D{���|��D� .

(I. Newton,Methodus, publ.1711,cite d’apresH.H. Goldstine,p. 76)

Definition 1.2 On dit quel’ordre dela formuledequadrature (1.3)est � , si la formuleestexactepour touslespolynomesdedegre _�� I U

, c.-a-d.,,( R P "�� P & op?: ,

� p R `q p " pour �2�W�'R�_�� I U $(1.4)

On voit quelesformulesdu point milieu et du trapezesontd’ordreX. La formuledeNewton-

Cotesa g etagesaunordre �k��g (pardefinition).

4 IntegrationNumerique

Theoreme1.3 La formuledequadrature(1.3)a un ordre � si et seulementsi

op�: ,� p q^� 68,p & U

� pour � &�UW�WXA� $�$�$ � � $ (1.5)

Demonstration. La necessite de (1.5) estuneconsequencede (1.4) si l’on poseR P " & P � 68, .Pourenmontrerla suffisance,on utilise le fait qu’un polynomededegre � I U

estunecombinai-sonlineairede

UW� P � $�$W$ � P�� 68, et quel’int egrale,( R P "�� P ainsi quel’expression op?: , � p R `q p " sont

lineairesen R .

En fixant lesnœudsq , � $�$W$ ��q

o (distincts),la condition(1.5)avec � & g estun systemelineairepour

� , � $�$�$ �W�o U U $W$�$ U

q , q 0 $W$�$ qo...

......q o

68,, q o68,0 $W$�$ q o

68,o

� ,� 0...�o

&UUWVYX...U=V g

$(1.6)

Commela matricedans(1.6)estinversible(matricedeVandermonde),la resolutiondecesystemenousdonneuneformuledequadratured’ordre �k��g .

Si l’on verifie lesconditions(1.5)pourla formuledeSimpson,on fait uneobservationinteres-sante.Par definition, il estevidentquela condition(1.5) estsatisfaite pour � &�UW�WXA� e , maisonremarquequ’elle satisfait aussi(1.5)pour � & d :

Zc C ]�� N sc C Z\ � N�Zc C U^��& ZsZc C ]�� N sc C Z\ � N Zc C U^��& y\ s

�& Zy$

Elle estdoncd’ordre d . Par consequent,elle n’est passeulementexactepour despolynomesdedegre 2 maisaussipourdespolynomesdedegre e . Ceciestunepropriete generaled’uneformulesymetrique.

] q , q 0 q � q � q�� Umeme

� p

FIG. I.3: Coefficientsetnœudsd’uneformuledequadraturesymetrique

Theoreme1.4 Uneformuledequadrature symetrique(c.-a-d.q p &�U I q

oE ,�6 p , � p &��

oE ,�6 p pour

touth; voir la fig. I.3) a toujours un ordre pair. C.-a-d., si elle estexactepour lespolynomesde

degre _ X=� I X, elle estautomatiquementexactepour lespolynomesdedegre

XW� I U.

Demonstration. ChaquepolynomededegreX=� I U

peutetreecrit sousla forme

R P " &1  C P I UWVYX " 0�¡a68, N R , P "ou R , P " est de degre _ XW� I X

. Il suffit alors de montrerqu’uneformulesymetriqueestexactepour

P I UWVYX " 0�¡a68,. A

causedela symetriedecettefonction,la valeurexactevaut,( P I UWVYX " 0�¡a68, � P &¢] $

q p qoE ,�6 p£D¤j¥ P

P I UWVYX " 0�¡a68,

Pouruneformuledequadraturesymetriqueona� p rq p I UWVYX " 0�¡a68, N �

oE ,�6 p rq

oE ,�6 p I UWVYX " 0�¡a68, &F] .

Donc,l’approximationnumeriquede,( P I UWVYX " 0�¡a68, � P estegalementzero.

IntegrationNumerique 5

I.2 Etude de l’err eur

Afin d’etudierl’erreurcommiseenapprochantl’int egraleparuneformuledequadrature,commen-consparuneexperiencenumerique:

Prenonsunefonction ! �#"

, definiesur�%�������

, divisonsl’intervalle enplusieurssous-intervallesequidistants( G &b `� I � " V�¦

) et appliquonsuneformuledequadraturedu paragrapheprecedent.Ensuite,etudionsl’erreur (enechellelogarithmique)

§�¨©¨ &�� ª �#"����kI

4768,9;: ( G op�: ,

� p ! � 9-N q p G " (2.1)

en fonction de fe (nombred’evaluationsde la fonction ! �#"

; on a fe&«¦ C g I U " N U

pourNewton-Cotes).Le nombre fe representeunemesurepour le travail (proportionnelau tempsdecalculsurun ordinateur).La fig. I.4 montrelesresultats(pour

¦�&bUW�=XA� d �W¬M�AU=­A� e XA� $�$�$ ) obtenusparlesformulesdeNewton-Cotespourlesdeuxintegrales:

�(/®W¯M° �#" ��±³² °^´Hµ �#"�"���� et

0(¶®=¯M° �#"�����$

10−12

10−9

10−6

10−3

100

101 102 10310−12

10−9

10−6

10−3

100

101 102 103

fe

erreur

fe

erreur

trapeze(ordreX)

Simpson(ordre d )Newton (ordre d )

Boole(ordre­)g &F­ (ordre­)

Weddle(ordre¬)

FIG. I.4: L’erreurenfonctiondu travail fepourlesformulesdeNewton-Cotes

En etudiantlesresultatsdela fig. I.4, nousconstatonsque:

· le nombredechiffresexacts,donneparIQ¸ ¯ � ,¹( §�¨º¨ " , dependlineairementde

¸ ¯ � ,¹( fe" ;· la pentedechaquedroiteestI � (ou � estl’ordre dela formule);· pourun travail equivalent,lesformulesavecun ordreeleveontunemeilleureprecision.

Explication desr esultatsde la fig. I.4.Etudionsd’abordl’erreur faitesurun sous-intervalledelongueurG

» ` ¼� ��( � G " &��½ EM¾� ½ ! �#"�����I G op?: ,

� p ! ��( N q p G "& G

,( ª ��( NQP G "�� P I op?: ,

� p ! ��( N q p G " $(2.2)

6 IntegrationNumerique

En supposant

suffisammentdifferentiable,on peutremplacer ! ��( N¿P G " et

! ��( N q p G " par lesseriesdeTaylor (developpeesautourde

��(), eton obtientainsi

» ` ¼� ��( � G " & ��À (G � E

,�ÂÁ

,( P � � P I op?: ,

� p q �p Jà ��Ä ��(�"

& G � E,

� ÁU

� N UI op?: ,

� p q �p Jà � Ä ��(D" N�Å G � E0 " (2.3)

(ici, on a bien suppose que la formule de quadratureait l’ordre � maispasl’ordre � N U). La

constante  F& U� Á

U� N U

I op?: ,� p q �p (2.4)

s’appelleconstantedel’erreur. Supposonsque G soit petit demanierea cequele terme Å G � E0 "

dans(2.3)soit negligeableparrapportauterme  G � E

, à � Ä ��(D" , alorson obtient

§�¨©¨ &4768,9;: (

» ` ¼� � 9 � G " S   G �4768,9;: ( G

à � Ä � 9 " S   G ��� à � Ä �#"���� &1  G � à �

68, Ä r� "#I Ã � 68, Ä `� " $

Cetteformulenouspermetdemieuxcomprendrelesresultatsdela fig. I.4. Comme§�¨©¨ S   , C G �et fe S   0 V G , nousavons

¸ ¯ � ,¹( §�¨º¨ " S ¸ ¯ � ,¹( r  ,^" N � C ¸ ¯ � ,¹( G " S  ÇÆ�È g P I � C ¸ ¯ � ,¹( fe";$Cecimontrela dependancelineaireentrelesquantites

¸ ¯ � ,¹( §�¨©¨ " et¸ ¯ � ,¹( fe" , et aussile fait que

la pentesoitdeI � .

Estimation rigour eusede l’err eur.Notrebut suivantestdetrouver uneformuleexactedel’erreur d’uneformuledequadrature.Unetelleestimationnouspermettradedemontrerdestheoremesdeconvergenceetassureraunecertaineprecisiondu resultatnumerique.

Theoreme2.1 Consideronsuneformuledequadratured’ordre � etunentier É satisfaisantÉk_¶� .Si Ê��� ��( � ��( N G ��� � �

est É fois continumentdifferentiable, l’erreur (2.2)verifie

» r ¼� ��( � G " & G�Ë E, ,( ¦ Ë

iÌ " Ã Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì (2.5)

ou¦Ë iÌ "

, le noyaudePeano,estdonnepar

¦Ë jÌ " & ^U I Ì " Ë

É ÁI op?: ,

� p `q p I Ì " Ë68,E É I U " Á ou

rÍ " Ë68,E �H& rÍ " Ë

68,siÍÏÎ1]

,]siÍ _ ] .

Demonstration. Nousintroduisonsla seriedeTaylor avecreste1

! ��( NÐP G " & Ë68,9;: (

P G " 9Ñ Á Òà 9 Ä ��(D" N G ËÓ( P I Ì " Ë

68, É I U " Á JÃ Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì (2.6)

dansla formule(2.2)pour» r Ô� ��( � G " . En utilisantÓ( P I Ì " Ë

68,R jÌ "�� ÌÏ&

,( P I Ì " Ë

68,E R iÌ "�� Ì1voir le paragrapheIII.7 du livre deE. Hairer& G. Wanner(1995),Analysisby Its History. UndergraduateTexts

in Mathematics,Springer.

IntegrationNumerique 7

et le fait quela partiepolynomialede (2.6) ne donnepasde contribution a l’erreur (a causede����É ), nousobtenons

» ` ¼� ��( � G " & G�Ë E, ,(

,( P I Ì " Ë

68,E É I U " Á � P I op?: ,� p rq p I Ì " Ë

68,E É I U " Á Ã Ë Ä ��( N Ì G "�� Ì $

Uneevaluationdel’int egraleinterieuredonnele resultat.

Theoreme2.2(Propri etesdu noyaudePeano) Consideronsuneformuledequadratured’ordre� et unnombre É satisfaisant

U _�ÉÕ_¶� . Alors,ona:

a)¦kÖË iÌ " & I ¦

Ë68, iÌ "

pour ÉÕ� X (pourÌ¿�&�q p si É &1X );

b)¦Ë �U " &F]

pour É×� Usiq p _ U

(h.&ØUW� $�$W$ � g );

c)¦Ë `] " &¢]

pour ÉÕ� X siq p � ] (

h.&�UW� $W$�$ � g );d)

,( ¦ � jÌ "�� ÌÊ& ZÙAÚ ZÙaÛ Z

I op�: ,� p q �p &� 

(constantedel’erreur (2.4));

e)¦ , iÌ "

estlineaire par morceaux,depenteI U

et avecdessautsdehauteur� p auxpoints

q p(hT&�UW� $�$�$ � g ).

0 1

q , q 0 q � q �� ,I � 0 � � � �

FIG. I.5: Le noyaudePeanoÜ , }¹Ý5� d’uneformuledequadrature

LesnoyauxdePeanopourla formuledu point milieu sont

¦ , iÌ " & I ÌsiÌ ) UWVºX

U I ÌsiÌ � UWVYX ¦ 0 iÌ " & Ì 0 VYX

siÌ _ UWVºX

^U I Ì " 0 VYXsiÌ � UWVºX

(voir la fig. I.6). Pourla formuledeNewton-Cotes( g &FÞ ), ils sontdessinesdansla fig. I.7.

¦ , iÌ " ¦ 0 jÌ "

FIG. I.6: NoyauxdePeanopourla formuledu pointmilieu

Graceauresultatdu theoremeprecedent,on peutfacilementestimerl’erreur pour l’intervalleentier

�%�ß�W�à�. Pourunedivisionarbitraire(equidistanteounon; G 9 & � 9;E ,8I�� 9 ), notonsl’erreurpar

§�¨©¨ &�� ! �#"�����I

4768,9;: ( G 9+op?: ,

� p ! � 9ON q p G 9 "�$ (2.7)

8 IntegrationNumerique

¦ , iÌ " ¦ 0 jÌ " ¦ � iÌ "

¦ � iÌ " ¦á�� jÌ " ¦ãâ� iÌ "

FIG. I.7: NoyauxdePeanopourla formuledeNewton-Cotesavec äaå ¥

Theoreme2.3 Soit Ð�7�%��������� � � É fois continumentdifferentiableet soit l’ordre de la formule

dequadrature egala � (����É ). Alors, l’erreur (2.7)admetl’estimation

æ §�¨º¨ æ _çG Ë C r� I � " C,( æ ¦

Ë iÌ " æ � Ì C!èÕé ±�Âêºë �Wì ��í æ JÃ Ë Ä �#" æ (2.8)

ou G & èÕé ± 9 G 9 .Demonstration. La formule(2.5)donne

æ » ` ¼� ��( � G " æ _�G�Ë E, ,( æ ¦

Ë jÌ " æ C æ Ã Ë Ä ��( N Ì G " æ � Ì

_�G Ë E, ,( æ ¦

Ë jÌ " æ � Ì C è×é ±�Âê©ë ��½�ì ��½ EM¾ í æ ÒÃ Ë Ä �#" æ $

Commel’erreur (2.7)estla sommedeserreurssurlessous-intervallesdela division,on obtient

æ §�¨©¨ æ _4768,9;: (

æ » ` ¼� � 9 � G 9 " æ _4a68,9;: ( G�Ë E

,9_�G�Ë C G 9

C ,( æ ¦

Ë iÌ " æ � Ì C è×é ±�Âêºë �=<�ì �=<?>A@ í æ Ã Ë Ä �#" æ

_ è×é ±�Âê©ë ��ì ��í æ ÒÃ Ë Ä �#" æ

cequi montrel’assertion(2.8),car4a68,9�: ( G 9 &F� I � .

Exemples.Pourla formuledupoint milieu, on a

æ §�¨©¨ æ _�G0 C r� I � " C Z\ s

Cîè×é ±�Âêºë �Wì ��í æ Ö Ö �#" æ%ï

pourla formuledu trapeze

æ §�¨©¨ æ _�G0 C r� I � " C ZZ \

Cîè×é ±�Âêºë �Wì ��í æ Ö Ö �#" æ%ï

pourla formuledeSimpson

æ §�¨º¨ æ _�G � C `� I � " C Z\xf=fxw C!è×é ±�Âê©ë �Wì ��í æ Jà � Ä �#" æï

IntegrationNumerique 9

pourla formuledeNewton-Cotes( g &1Þ )æ §�¨©¨ æ _�G

â C r� I � " C ZZ v t y t cxwC!è×é ±�Âê©ë ��ì ��í æ ÒÃ

â Ä �#" æ $

Le calculde,( æ ¦ � iÌ " æ � Ì pourcesformulesn’estpasdifficile. Consideronsparexemplela for-

mule de Newton-Cotes( g &«Þ). On constateque

¦áâß iÌ "ne changepasde signesur

�%]A�MU=�(voir

fig. I.7) et onutilise la propriete (d) du theoreme2.2.Cecidonne,( æ ¦áâ� jÌ " æ � ÌÏ& ,

( ¦áâA iÌ "�� Ì & Zc Ú ZuI t \v=w Z

sâN Z \vxw Z\

âN t \vxw ts

âN uv=w U

â & ZZ v t y t cxw$

I.3 Formulesd’un ordr esuperieur

Aber Gausshat in den Gottinger Commentariengezeigt,dassman durch schicklicheWahlder Abscissen,fur welchedie Ordinatenberechnetwerden,denGradder Naherungauf dasDoppeltetreibenkann ; ... Die grosseEinfachheitund Eleganzder GaussischenResultate,lassteineneinfachenWeg vermuten. (Jacobi1826,CrelleJ. 1, p. 302)

Si l’on fixe les nœudsq , � $�$�$ ��q

o (distincts), il existe une formule de quadrature r� p �Wq p " unique,

ayantun ordre �ð�Øg . On obtientlespoids� p soit par la resolutiondu systemelineaire(1.6),soit

parla formuledel’exercice1.

Question.Y a-t-il unchoix desq p permettantd’avoir un ordresuperieur?

Theoreme3.1 Soit r� p ��q p " op?: , uneformuledequadratured’ordre �k�çg etsoit

ñ P " &� P I q ,^" C $W$�$ C P I qo"�$

(3.1)

Alors, l’ordreest ��g N � si et seulementsi,( ñ P " R P "�� P &F] pour toutpolynomeR P " dedegre _ � I U

. (3.2)

Demonstration. Soit ! P " unpolynomededegre _�g N � I U

. L’id ee,dueaJacobi(1826),estdediviser

! P " parñ P " et d’ecrire

ª P " sousla forme

! P " & ñ P " R P " N ¨ P "

ou deg ¨ _òg I Uet deg R1_ � I U

. Alors, l’int egraleexacteet l’approximationnumeriquesatisfont ,

( ! P "�� P &,( ñ P " R P "�� P-N

,( ¨ P "�� P

op?: ,� p ª rq p " & op?: ,

� p ñ rq p "&1] R rq p " N op�: ,

� p ¨ `q p ";$

Commela formule de quadratureest exactepour ¨ P " (l’ordre est �òg par hypothese),elle estexactepour

! P " si et seulementsi,( ñ P " R P "�� P &F] .

10 IntegrationNumerique

Exemple3.2 Pourqu’uneformuledequadraturea g & e etagesait un ordre � d , il fautque

]B& ,( P I q ,�" P I q 0�" P I q � "�� P & Z

sI `q , N q 0 N q � " Z

tN rq , q 0 N q , q � N q 0 q � " Z\ I q , q 0 q � �

cequi estequivalenta q � &UWV d I rq , N q 0�" V e N q , q 0 VYXU=V e I rq , N q 0D" VYX N q , q 0 $

Exemple3.3 Continuonsl’ etudedeformulesdequadraturea g & e etageset essayonsdedeter-minerles

q , ��q 0 ��q � pourquel’ordre soit � &F­ . Par le theoreme3.1,il fautque

q , q 0 q � I Z\ `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " NØZt rq , N q 0 N q � " & Z

sZ\ q , q 0 q � I Zt `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " NØZ

s rq , N q 0 N q � " & Z

yZtq , q 0 q � I Z

s `q , q 0 N q , q � N q 0 q � " N Z

y rq , N q 0 N q � " & Zc

(3.3)

Cesystemeestnon lineaireenq , ��q 0 ��q � et paraıt difficile a resoudre.Par contre,il estlineaireenÍ , &1q , N q 0 N q � , Í 0 &Fq , q 0 N q , q � N q 0 q � et

Í � &Fq , q 0 q � , qui sontlescoefficientsdupolynome

ñ P " & P I q ,�" P I q 0�" P I q � " & P � I Í , P 0 N Í 0 P I Í � $Enresolvantle systeme(3.3)pour

Í , ��Í 0 ��Í � , onobtientÍ , & e VYX , Í 0 & e VYÞ et

Í � &ØUWVYXY], etdonc

ñ P " & P � I t\ P0 N ty

P I Z\xw & P I Z\ P I yîóô Z yZ w P I y Û

ô Z yZ w$

Parchance,le polynomeñ P " nepossedequedesracinesreelles.Ellessonttoutesdansl’intervalle `]M�AU "

, cequenousconvient. Aveclespoids� p , obtenuespar le systemelineaire(1.6),nousavons

donctrouveuneformuledequadratured’ordre � &1­ avecseulementg & e etages:,( R P "�� PKS yZ f R yîó

ô Z yZ w N fZ f R Z\ N yZ f R y Û

ô Z yZ w$

Theoreme3.4 Si � estl’ordred’uneformuledequadrature a g etages,alors

�õ_ X g $ (3.4)

Demonstration. Supposons,par l’absurde,quel’ordre satisfasse�K� X g N U. Alors, l’int egrale

dans(3.2)estnullepourtoutpolynomeR P " dedegre _�g . Cecicontreditle fait que,( ñ P " ñ P "�� P &

,( P I q ,�" 0 C $�$�$ C P I q o

" 0 � P Î1] $

I.4 Polynomesorthogonauxde Legendre

Pourconstruireuneformuledequadratured’ordreX g avec g & d �WÞA� $�$W$ , on peutenprincipefaire

le memecalcul quedansl’exemple3.3. Toutefois,l’approcheavec les polynomesde Legendresimplifielescalculs,fournit desformulessimplespour

ñ P " etdonnebeaucoupdecomprehensionpourlesformulesdequadratured’un ordreoptimal.

IntegrationNumerique 11

Pourrendrelesformulesplussimples(etsymetriques),nousfaisonsle changementdevariableÌÊ&FX P I Uqui transformel’intervalle

�%]A�MU=�pour P enl’intervalle

� I U=�AU=�pour

Ì.

Probleme.Trouver, pourchaqueentierpositif É , unpolynome ö Ë jÌ "

dedegre É tel que,68, ö Ë

jÌ " R jÌ "�� ÌÊ&1] si deg R�_�É I U $(4.1)

On sait que les fonctions ÷Çø et ùYø , introduitesdansl’analysepar Legendre,sontd’un tres-grandsecoursdansplusieurstheoriesimportantes,enparticulierdansla theoriedel’attractiondesspheroıdesetdanscelledela figuredesplanetes; ...

(O. Bonnet,J.d.math.vol. 17,1852,p. 265)

Cespolynomesont ete introduitsen 1785par Legendreet sontd’une importancedepassantlargementles formulesde quadrature(voir citation). On lesappellepolynomesorthogonauxcarú ö Ë

� ö 9àû &¢] pour É �& Ñ , ou ú ¼� R û &,68, ! iÌ " R iÌ "�� Ì

est un produit scalairesur l’espacevectoriel despolynomesa coefficients reels. Le polynomeö o `X P I U "

jouerale role deñ P " dansles theoreme3.1 pour les formulesdequadratured’ordre

� &1X g .Theoreme4.1(formule de Rodrigues) Lepolynomesö Ë

jÌ ", definipar

ö Ë jÌ " & U

X Ë C É Á� Ë� Ì Ë

iÌ 0 I U " Ë � (4.2)

satisfaitla condition(4.1). La constante(demormalisation)estchoisiepour avoir ö Ë ^U " &�U

.

Demonstration. Soit R jÌ " un polynomededegre _�É I U. Il suffit demontrerquele polynome,

defini par(4.2),satisfaitú ö Ë� R û &1] . Plusieursintegrationsparpartiesdonnent

ú ö Ë� R û &ü 

Ë,68,

� Ë� Ì Ë jÌ 0 I U " Ë C R jÌ "�� Ì

&� Ë� Ë68,

� Ì Ë68, iÌ 0 I U " Ë C R iÌ "

,68,

&F]I  

Ë,68,

� Ë68,

� Ì Ë68, jÌ 0 I U " Ë C R Ö iÌ "�� Ì

& $�$�$ & I U " Ë C   Ë,68, iÌ 0 I U " Ë C R Ã Ë Ä jÌ "�� ÌÊ&F]A�

car R Ã Ë Ä jÌ " &F] , cequi demontrel’affirmation(4.1).En considerant la serie de Taylor de

ª iÌ " & jÌ I U " Ë R jÌ " autourdeÌý& U

, on voit que Ã Ë Ä �U " V É Á & R ^U " . Cecinouspermetd’evaluerla deriveedans(4.2)aupointÌÊ&ØU

.

Lespremiersdecespolynomessont

ö ( jÌ " &ØUW� ö , jÌ " &/Ì2� ö 0 iÌ " & t\ Ì0 I Z\ � ö � iÌ " & y\ Ì � I t\ Ì

ö � jÌ " & t yf Ì � I t wf Ì0 N t f � ö �A iÌ " & c tf Ì

� I u wf Ì � NØZ yf Ì $ (4.3)

Ils sontdessinesdansla fig. I.8 et sontalternativementdesfonctionspaireset impaires:

ö Ë iÌ " & ö Ë

I Ì "si É estpair

ö Ë iÌ " & I ö Ë

I Ì "si É estimpair.

(4.4)

12 IntegrationNumerique

ö , iÌ "

ö 0 jÌ "

ö � iÌ " ö � jÌ " ö �� iÌ "

ö , jÌ " � ö 0 iÌ " � $�$W$ � ö � ( jÌ "

FIG. I.8: PolynomesdeLegendre

Theoreme4.2 Touteslesracinesde ö Ë iÌ "

sontreelles,simplesetdansl’intervalle ouvert I U=�AU "

.

I U Ì , Ì 0 Uö Ë iÌ " R iÌ "

Demonstration. NotonsparÌ , � $�$�$ �^ÌWþ

les racinesde ö Ë

jÌ "qui sontreelles,dans

I UW�AU "et ou ö Ë

iÌ "changedesigne.Le but estdemontrer

& É . Sup-posons,parl’absurde,que

) É . Avecle polynomeR iÌ " &Ø iÌ I Ì ,�" C $�$�$ C iÌ I ÌWþ "

dedegre ¨ ) É , on a

]õ�& ,68, ö Ë

jÌ " R jÌ "nechangepas

designesur }�ÿ������D�

� ÌÏ& ú ö Ë� R û &1]A�

d’ou la contradiction.

Theoreme4.3(formule de r ecurrence) LespolynomesdeLegendresatisfontpour ÉÕ� U É N U " ö Ë E

, iÌ " & LX É N U " Ì ö Ë jÌ "�I É ö Ë

68, iÌ "�$(4.5)

Demonstration. Si onmultiplie ö Ë iÌ "

parÌ

, onobtientunpolynomededegre É N U qui possedelesmemespuissancesde

Ìque ö Ë E

, iÌ ". On peutdoncsoustraire,avecun facteur

�bienchoisi,pour

fairedisparaıtre le termeÌ Ë E

,. Le prochainterme,

Ì Ë68,

, estelimineparunmultiplede ö Ë68, iÌ "

; letermesuivant

Ì Ë6 �

parunmultiplede ö Ë6 � jÌ " etc.Doncon peutecrire

Ì ö Ë iÌ " &ü� C ö Ë E

, jÌ " N � C ö Ë68, iÌ " N q C ö Ë

6 � iÌ " N � C ö Ë6 �� iÌ " N $�$W$a$ (4.6)

Grandesurprise: tousles coefficientsq,� � $W$�$

sontnuls ! Pourvoir cela,multiplions l’ equation(4.6)par ö Ë

6 � iÌ " et integronsle tout deI U

aU. Par orthogonalite, touslestermesvont s’annuler,

p.ex., ,68, Ì ö Ë

jÌ " C ö Ë6 � iÌ "�� Ì�&

,68, ö Ë

jÌ " C Ì C ö Ë6 � iÌ "

R iÌ "� ÌÊ&F]A�

sauf le terme,68, ö Ë

6 � iÌ "�" 0 � ÌÊÎ1] , etq

doit etrezero.La memechoses’appliquea�, § etc.

En comparantdans(4.6) le coefficientdeÌ Ë E

,avecle termedominantde(4.2),on trouve

�Ç& � Û Z\ � Û Z et enposantP &�U, on trouve

�a&ØU I �'& �\ � Û Z$

IntegrationNumerique 13

I.5 Formulesdequadratur edeGauss

Dansceparagraphe,nousconstruisonsdesformulesdequadratureayantunordre� &FX g . Avec

ñ P " &F  C ö o LX P I U " �

(5.1)

ou ö o jÌ "

estle polynomedeLegendrededegre g , nousavons,( ö o

`X P I U " R LX P I U "�� P & Z\,68, ö o

iÌ " R iÌ "�� ÌÏ&1] si �¼�W�'Rõ_�g I U $

Touteslesracinesde ö o `X P I U " sontreellesetsitueesdansl’intervalleouvert

`]A�MU "(theoreme4.2).

Alors, le theoreme3.1nousdonnele resultatsuivant.

Theoreme5.1(Gauss1814) Pour chaqueentier positif g , il existe une formule de quadratureuniquea g etagesd’ordre � &¢X g . Elle estdonneepar:q , � $�$�$ ��q

o sontlesracinesde ö o `X P I U "

;� , � $�$W$ ���o sontdonnespar (1.6).

Pourdepetitesvaleursde g , lesformulesdeGausssontfacilesaobtenir:il suffit decalculerlesracinesde(4.3)et deresoudrele systeme(1.6) tout enexploitant la symetriedela formule. Pourg�_ Þ , on obtientainsi:

g &ØU7� ,( R P "�� P¿S R Z\ (formuledu pointmilieu)

g &FX �,( R P "�� P¿S Z\ R Z\ I

ôtc N Z\ R Z\ N

ôtc

g & e �,( R P "�� P¿S yZ f R Z\ I

ô Z yZ w N fZ f R Z\ N yZ f R Z\ N

ô Z yZ wg & d �

,( R P "�� P¿S�� R Z\ I� N� Ö R Z\ I�� Ö N� Ö R Z\ N � Ö N� R Z\ N �

g &FÞ �,( R P "�� P¿S � R Z\ I� N�� Ö R Z\ I� Ö N c s\x\ y R

Z\ N�� Ö R Z\ N Ö N�� R Z\ N

� & Z\ Z y Û \ôt wt y� � Ö & Z\ Z yîó \

ôt wt y� � & Z

sI ô

t wu \� � Ö & Z

sN ô

t wu \�

& Z\ t y Û \ôu wc t� Ö & Z\ t yîó \

ôu wc t� � & t \=\ ó Z t

ôu wZ fxw=w� � Ö & t \x\ Û Z t

ôu wZ f=wxw$

Experience numerique. Apres avoir trouve de formules optimales,nous sommesinteressesrefairelescalculspourlesintegrales

�( ®W¯M° �#" ��±³² °�´ µ �#"�"���� et0( ®=¯M° �#"��D� dela figureI.4. Les

resultatscorrespondantspeuventetreadmiresenfigureI.9 ; ils montrentuneclaireamelioration.

Calcul descoeffcientspour � grandSi g estgrand(disonsg*� U=]

), le calculexactdesracinesde ö o iÌ "

n’estpastoujourspossibleet laresolutionexactedu systeme(1.6)peutposerdesproblemes.Decrivonsalorsleurcalculpratique.

Calcul denœuds.En utilisantla formulederecurrence(4.5),on peutfacilementcalculerla valeurde ö o

jÌ "pour un

Ìdonne. Le calcul desracines� , � $W$�$ � � o du polynome ö o

iÌ "peutalors etre

fait par bissection(voir exercice12), et on obtientles nœudsde la formulede Gaussa l’aide deq p &� �U N � p " VYX .

14 IntegrationNumerique

10−12

10−9

10−6

10−3

100

101 102 10310−12

10−9

10−6

10−3

100

101 102 103

fe

erreur

fe

erreur

Gauss( g &�U, � &1X )

Gauss( g &1X , � & d )Gauss( g & e , � &1­ )

Gauss( g & d , � &¢¬ )Gauss( g &¢Þ , � &�U=]

)Weddle( g & l , � &F¬ )

FIG. I.9: L’erreurenfonctiondutravail fepourlesformulesdeGauss(entraitill essontrepeteslesresultatspourWeddledela figureI.4)

Calcul depoids.Au lieu deresoudrele systeme(1.6),onpeutaussiutiliser la formuleexplicite

� p & U �U I �

0p " ö Öo � p "^"

0 & U I �0p

g 0 ö o68, � p "^"

0 � (5.2)

qui estdonneesansdemonstration(voir M. Abramowitz & I.A. Stegun,Handbookof MathematicalFunctions,page887).La deuxiemeidentitede(5.2)estuneconsequencedel’exercice11.

Formules deLobattoUn avantagede la formule de Simpsonest le fait que

q , & ]etqo& U

. Le nœudpourqo&òU

coıncideavecle nœudpourq , &F]

du passuivant. En mettantcesvaleursensemble,on peutainsifaireunepetiteeconomie.

Probleme.Trouverdesformulesdequadratured’ordremaximala conditionqueq , &1]

etqo&ØU

.

La reponse,duea R. Lobatto(1852),et redecouverteparR. Radau(1880),est: onposeñ P " & ö o `X P I U "#I ö o

6Y0 LX P I U " �(5.3)

et on prend pourq , � $�$W$ ��q

o les racinesde ce polynome. Commeñ P " est orthogonala tout

polynomede degre g I e , nousobtenonsune formule de quadratured’ordreX g I X

. A causede ö o

^U " & Uet de ö o

I U " & I U " o , on auratoujoursñ `] " & ñ �U " &�]

. Lesracinesrestantsdeñ P " sontreelles,simpleset a l’int erieurde `]M�AU "

. Pourprouverceci,on adaptela demonstrationdu theoreme4.2.Nousavonsalors:

Theoreme5.2 Pour chaqueentier g×� Xil existeuneformuledequadrature a g noeudsd’ordreX g I X satisfaisant

q , &1]etqo&�U

.

Descasparticulierssontla formuledu trapeze( g &¢X ) et la formuledeSimpson( g & e ). Pourg & d et g &FÞ , on obtient,

( R P "�� P¿S ZZ \ R `] " N yZ \ R Z\ I

ôyZ w N yZ \ R Z\ N

ôyZ w N ZZ \ R

�U "(ordre

­),

( R P "�� P¿S Z\xw R `] " N s vZ fxw R Z\ Iô \ ZZ s

N Z cs y R

Z\ N s vZ f=w R Z\ Nô \ ZZ s

N Z\=w R �U " (ordre¬)$

UnecomparaisondesformulesdeGaussetdeLobatto(dumemeordre)montreunelegeresuperio-rite desformulesdeGauss.

IntegrationNumerique 15

I.6 Un programmeadaptatif – TEGRAL

Posons-nousle problemed’ecrireun programmeFUNCTIONTEGRAL ( FCN,A, B, TOL )

qui, pour unefonction 1� �%��������� � �

donnee,calculela valeurde�� ª �#"���� a uneprecision

relativedeTOL. Si l’on fixe la formuledequadrature(parexemplela formuledeGaussd’ordre e ]avec g & U=Þ

), il faut trouver unedivision � &��A��& ��(�)ç�-,B)m$W$�$ª) �54 &m���de l’intervalle r����� "

afin quel’approximationnumerique���

satisfasse

��� I �� ! �#"���� _ TOL

C �� æ ! �#" æ ����$ (6.1)

Pourunefonction

nechangeantpasde signesur r����� "

, la condition(6.1) signifie que l’erreurrelativeestborneeparTOL. On a mis la valeurabsoluesousl’int egralededroitepour eviterdesennuisdansle casou

�� ! �#"���� esttrespetit ou nul.

Pourecrireun tel programme,on estconfronteauxdeuxproblemessuivants:· choixdela divisionpourque(6.1)soit satisfait;· estimationdel’erreur��� I �� ! �#"��D� .

Determination de la divisionPourun sous-intervalle

��( � ��( N G " de r����� "

, on saitcalculerlesvaleurs

res ��( � ��( N G " & G op?: ,

� p ! ��( N q p G " � (6.2)

resabs ��( � ��( N G " & G op?: ,

� p æ ! ��( N q p G " æ $ (6.3)

Supposons,pourle moment,qu’on connaisseaussiuneestimationdel’erreur

err ��( � ��( N G " S res

��( � ��( N G "#I��½ EM¾��½ ! �#"��D��$

(6.4)

L’algorithmepourtrouverunedivisionconvenableestle suivant:

i) on calculeres r����� "

, resabs r����� "

et err `����� "

. Siæerr

`����� " æ _ TOLCresabs

r����� " �onaccepteres

r����� "commeapproximationde

�� ª �#"���� et onarretele calcul;sinonii) on subdivise

`��W� "endeuxsous-intervalles

� , &� r���A r� N � " VYX " et� 0 &� ^ r� N � " VYXA�W� " et on

calculeres r� ,^"

, resabs r� ,�"

, err `� ,^"

et res `� 0�"

, resabs `� 0D"

, err r� 0W"

. On pose¦ &ýX

et onregardesi 4

9;: ,æerr

r� 9 " æ _ TOLC 49;: , resabs

r� 9 " $ (6.5)

Si (6.5)estverifie,onaccepteres `� ,^" N res

`� 0�"commeapproximationde

�� ! �#"���� ; sinoniii) onpose

¦�� &�¦ N U etonsubdivisel’intervalle ou l’erreurestmaximale(disons�Ë ) endeux

sous-intervallesequidistantsqu’on denotepar�Ë et

� 4 E , . Ensuite,on calculeres, resabseterr pourcesdeuxintervalles.Si (6.5)estverifie,onarretele calculeton accepte4

9;: , res r� 9 " S

�� ! �#"���� (6.6)

commeapproximationdel’int egrale;sinonon repetela partie(iii) decetalgorithme.

16 IntegrationNumerique

Estimation de l’err eur (6.4)Malheureusement,les formulespour l’erreur, obtenuesdansle paragrapheI.2, ne sontpastresutiles pour un programmegeneral, car on ne connaıt que tres rarementla � eme derivee de lafonction

! �#"(dansnotresituation� & e ] ).

L’id eeestd’appliquerunedeuxiemeformuledequadrature � p � q p " op?: , etd’utiliser la difference

dedeuxapproximationsnumeriquescommeestimationdel’erreurdumoinsbonresultat.Pourquele travail supplementairesoit negligeable,on supposeg _Øg et on reprendlesmemesevaluationsde

, c.-a-d.,on supposeq p &�q p pour tous

h. Une telle formulede quadratures’appelleformule

emboıtee, si pouraumoinsun indiceh

ona� p �&1� p .

Remarque. Si r� p ��q p " op?: , est une formule de quadratured’ordre � � g , l’ordre d’une formule

emboıteeest � _Øg I U. Ceresultatdecouledu fait que,pouruneformuledequadratured’ordre

��g , lespoids� p sontuniquementdeterminesparsesnœuds

q p .Pourla formuledeGauss( g &�U=ÞA� � & e ] ), onobtientuneformuleemboıtee

� p �Wq p " op?: , d’ordreU d en enlevant le point milieuq��Ð& UWVYX

(voir fig. I.10), c.-a-d., on pose���Q&�]

. L’expressioncalculable

ERR1� & G op?: ,

� p ! ��( N q p G "#I G op?: ,� p ! ��( N q p G " S   , G

, �(6.7)

estuneapproximationdel’erreur dela formuleemboıtee,car

ERR1& G op?: ,

� p ª ��( N q p G "#I��½ EM¾� ½ ! �#"��D�

&F  G �, N¶Å G �

0 "N ��½ EM¾

� ½ ! �#"��D��I G op?: ,� p ! ��( N q p G "

&F  G, � N�Å G

, â "$

Pour le programmeTEGRAL, on considere encoreune deuxiemeformule emboıteequi a pournœuds

�Aq 0 ��q � ��q�âD��q ,¹( ��q ,¹0 ��q , � � etunordre­

(voir la fig. I.10). Ondenotelespoidsdecetteformule

dequadraturepar� p eton definit

ERR2� & G op?: ,

� p ª ��( N q p G "#I G op?: ,� p ! ��( N q p G " S   0 G�� $ (6.8)

0 1.5

formuledeGauss,ordre e ]formuleemboıtee,ordre

U dformuleemboıtee,ordre

­

FIG. I.10: FormuledeGausset sesformulesemboıtees

Il y a plusieurspossibilitespourdefinir err ��( � ��( N G " :

· err ��( � ��( N G " �H& ERR1; cetteestimationest trop pessimiste.En general, la formule de

Gaussdonneunresultatlargementmeilleurquela formuleemboıteed’ordreU d .· dansle programmeTEGRAL, onachoisi l’approximation

err ��( � ��( N G " �H& ERR1

C ERR1

ERR2

0 � S G, � C G

, �G �

0S G �

,

cequi donnedebonsresultats.

IntegrationNumerique 17

FIG. I.11: DivisionchoisieparTEGRAL pour �8} � �Jå"!.~$#&% '5}��)(+*�#�} £D¤j£D£ !D} �Oÿ-, £ � 0 ��� sur }�� £ ����� £ �

Exemples1) Si l’on appliquele programmeTEGRAL avecTOL

&�U=] 68,¹(a la fonctiondela fig. I.1, onobtient

le resultatavecuneerreurdeX $ ] C U=] 68, �

. La divisionchoisieestdonneedansla fig. I.11.

2) Appliquonsle memeprogrammea la fonction

! �#" &/. � C ¸ ¯ � � sur L]A�AU " �

(6.9)

qui a une singularite au point]

dansla derivee. Les divisions successives de l’intervalle parl’algorithme sontpresenteesdansla fig. I.12. On voit que l’intervalle ou l’erreur estmaximaleesttoujourscelui qui esttout a gauche.Leserreurssontdonneesdansle tableauI.2. La conver-genceesttreslenteet on sedemandes’il n’y a pasdepossibilited’accelererla convergencedelasuite

�10 4 �.

TAB. I.2: ResultatdeTEGRAL pour(6.9)

¦ 0 4 §�¨©¨ 4 &20 4 I ,( ª �#"���� §�¨©¨ 4 V §�¨º¨ 4a68,U I ] $ dYdMd ­MXM]Y]�U=­ d43 ÞM­M] d ] I ] $ U l ­ C U=]

6Y( �—X I ] $ dYdMd Þ�U eYe ] 3 XMÞ 3 X d ­ e I ] $ ­M¬ 3 C U=] 6Y( � ] $ e 3 X

e I ] $ dYdMdMd l UYU 3 X l UxÞMÞM¬M] 3 I ] $ XM­ l C U=]6Y( � ] $ e ¬M¬d I ] $ dYdMdMd Þ d l ÞM]MXMXY­ d4343 ¬ I ] $ U=] e C U=]6Y( � ] $ e ¬MÞÞ I ] $ dYdMdMdMd ¬ e ¬M¬�U 3 ¬ 3 X 3 X I ] $ e 3Md C U=]6Y( � ] $ e ¬ e­ I ] $ dYdMdMdMd Þ 3MdMd ¬ lYl XMX l ] I ] $ U=ÞM] C U=] 6Y( � ] $ e ¬M]C CDCDC CDCDC CDCDC

X�U I ] $ dYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYd43 ­MÞ l I ] $ ÞMX�U C U=] 68,¹0 ] $ e ­M­XMX I ] $ dYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYd ­ e ÞM] I ] $ U 3 U C U=] 68,¹0 ] $ e ­M­

FIG. I.12: DivisionchoisieparTEGRAL pour(6.9)

18 IntegrationNumerique

I.7 L’epsilon-algorithme

Etantdonneeunesuite�10 ( �50 , �50 0 � $�$�$ �

qui converge lentementvers la valeur0

. Le but estdetrouveruneautresuiteavecla memelimite, maisqui convergeplusrapidement.

Souvent,on peutobserverquela suitesatisfait

0 ø E ,JI 0 S�6 C 70 ø I 0 " �(7.1)

ou defacon equivalente 0 ø S 0 N   C 6 ø $ (7.2)

Parexemple,la suite0 ø du tableauI.2 satisfait approximativement(7.1)avec 6 &F] $ e ­M­ . Un autre

exemplefrequentestdonne par la methodedesapproximationssuccessives0 ø E , & R 70 ø " pour

calculerun pointfixede R �#" , c.-a-d.un0

satisfaisant0Ð& R 70 " . Si R estdifferentiable,

0 ø E ,#I 0Ð& R 70 ø "#I R 70 " S R Ö 80 " C 70 ø I 0 "�$Ceciest(7.1)avec 6 & R Ö� 80 " .Le procede 9 \

d’Aitk en (1926)L’id eeestderemplacer“ S ” par“

&” dans(7.2)etdecalculer6 �W  et

0detroisformulesconsecutives.

Avecla notation� 0 ø � &/0 ø E ,#I 0 ø (differencefinie)

�(7.3)

on obtientalors

� 0 ø &F  6 ø 6 I U " � � 0 ø E , &F  6 ø E , 6 I U " � �0 0 ø &F  6 ø 6 I U " 0 �

ou �0 0 ø & � � 0 ø " & � 0 ø E ,³I � 0 ø &/0 ø E 0ªI X10 ø E , N 0 ø estla deuxiemedifferencefinie. On

endeduitque 0Q&/0 ø E ,JI   6 ø E , &20 ø E ,#I � 0 ø C � 0 ø E ,�0 0 ø

$(7.4)

Si (7.2)n’estpassatisfait exactement,la valeurde0

dans(7.4)vadependredeÈ

. Onobtientainsiuneautresuite

�10JÖø � definiepar(procede �0

d’Aitk en)

0 Öø &/0 ø E ,JI � 0 ø C � 0 ø E ,�0 0 ø

�(7.5)

qui, engeneral,convergeplusrapidementvers0

quela suiteoriginale�10 ø � .

Exemple.Pourla suite�10 ø � du tableauI.2, le resultatestdonnedansle tableauI.3.

TAB. I.3: Accelerationdela convergencepour�10 ø � du tableauI.2

È 0 ø 0 Öø 0 Ö ÖøU I ] $ dYdMd ­MXM]Y]�U=­ d43 ÞM­M] d ] I ] $ dMdMdMdMd eMlMe ]MÞY] d XM¬ l d I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdX I ] $ dYdMd Þ�U eYe ] 3 XMÞ 3 X d ­ e I ] $ dMdMdMdMdYd X�U 343 XM¬ d e 3 l I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMde I ] $ dYdMdMd l UYU 3 X l UxÞMÞM¬M] 3 I ] $ dMdMdMdMdYd eMl X 3 ­M­M­�U e 3 I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdd I ] $ dYdMdMd Þ d l ÞM]MXMXY­ d4343 ¬ I ] $ dMdMdMdMdYdMd X�U d ­M] l ¬ l ¬ I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdÞ I ] $ dYdMdMdMd ¬ e ¬M¬�U 3 ¬ 3 X 3 X I ] $ dMdMdMdMdYdMd e ­ 3:3 e ]M]MÞYX I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMd­ I ] $ dYdMdMdMd Þ 3MdMd ¬ lYl XMX l ] I ] $ dMdMdMdMdYdMdMd XM]8UMU=¬M¬MXYÞ I ] $ dMdMdYdMdMdMdMdYdMdMdMdMdYdMdMd

IntegrationNumerique 19

L’epsilon-algorithmePourgeneraliserl’id eed’Aitk en,onconsidereunesuite

�10 ø � pourlaquelleonsuppose,aulieu de(7.2), 0 ø S 0 N   , C 6 ø , N   0 C 6 ø0 $ (7.6)

Cettefois, on aÞ

parametresa determiner. Alors, on prendÞ

formulesconsecutivesde (7.6),on supposeegalite, et on calcule

0J��  , � 6 , ��  0 � 6 0 . La valeurde0

ainsi obtenueestdenoteepar0 Ö Öø . Shanks(1955)a fait cecalculet il a trouve la formule(nousajoutonsuneformulesemblablepour

0 Öø )

0 Öø &�2��;

0 ø 0 ø E ,0 ø E , 0 ø E 0�0 0 ø

� 0 Ö Öø &�2��;

0 ø 0 ø E , 0 ø E 00 ø E , 0 ø E 0 0 ø E �0 ø E 0 0 ø E � 0 ø E ��¼��; �

0 0 ø �0 0 ø E ,

�0 0 ø E , �

0 0 ø E 0

(sansdemonstration).Mais, pour un calcul numerique,cesformulesne sontpastrespratiques.Wynn(1956)a trouveuneformulebeaucoupplussimple:

Theoreme7.1( -algorithme) Etantdonneela suite

�10 ( �50 , �50 0 � $�$�$ �. Si l’on definit

à ø ÄË par

à ø Ä68, &¢]A� à ø Ä( &/0 ø � à ø ÄË E, & à ø E , Ä

Ë68, N U

à ø E , ÄË

I à ø ÄË� Ék� ]M��È � ]A� (7.7)

alors, à ø Ä0 &20 Öø , à ø Ä� &<0 Ö Öø , à ø Äâ &/0 Ö Ö Öø � $�$�$ .

La demonstrationde à ø Ä0 &/0 Öø sefait parun simplecalculde

à ø Ä,et de

à ø Ä0:

à ø Ä, &¢] N U0 ø E ,JI 0 ø

& U� 0 ø

� Ã ø Ä0 &20 ø E , N

UU� 0 ø E ,

I U� 0 ø

&/0 ø E , N � 0 ø C � 0 ø E ,� 0 ø I � 0 ø E ,

&/0 Öø $

Le casgeneralestmoinsevidentet estdonnesansdemonstration.Touslesdetails(demonstrationet autresproprietes)sontdonnesdansun livredeBrezinski2.

Exemple. Pourla suite0 ø &

øp?: ,

I U " p?E ,h �

(7.8)

qui converge vers¸ ¯ � `X " , les erreursde

à ø ÄË� É & ]A�WXA� d �W­A� $W$�$ sont donneesdansla fig. I.13.

L’ameliorationdela convergenceparl’ -algorithmesevoit clairement.

2C. Brezinski (1977): Acceleration de la Convergenceen AnalyseNumerique. LectureNotesin Mathematics,Nr. 584,Springer-Verlag.[MA 00.04/3584]

20 IntegrationNumerique

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1210−15

10−12

10−9

10−6

10−3

100

É &1]

É &1X

É & dÉ &¢­

É &¢¬É &ØU=]

É &�U=XÉ &�U d

FIG. I.13: Erreurde = Ã ø ÄË enfonctionde > pourla suite(7.8); les lignespointilleesindiquentquele memenombredes ? 9 estutilise.

I.8 Exercices

1. Soit }�@ p ��A p � op?: , uneformuledequadratured’ordre B3ä . Montrerque

@ p å,(DC p } �Ò�1E�� ou C p } � ��å o9�: ,9GF:Mp

} �'ÿDA 9 �}�A p ÿDA 9 �

¤

2. Si lesnœudsd’uneformuledequadraturesatisfontA p å"�JÿHA oE ,�6 p (pourtousI ) etsi la formuleaun

ordreJKB3ä , alorson anecessairement@ p å"@ oE ,�6 p , c’est-a-direla formuleestsymetrique.

3. Soient une paraboleet une droite se coupantcommesur lepetit dessin. Utiliser la regle de Simpsonpour montrerque(Archimede,283–212av. J.-C.)

aire} parabole�Jå st aire} triangle� ¤ L � E �0 @4. CalculerlesformulesdeNewton-Cotespour

}�A p �#å3} £ ���D�D����!D�D�����D��� }�A p �#å+} £ ���D�G,M��!D�G,M���D�G,M���Â�etdeterminerl’ordre decesformulesdequadrature.Indication.Lescalculssesimplifientenutilisantl’exercice2.

5. Calculerla constanted’erreurpourla formuledeSimpsonetdeNewton. Expliquerpourquoi,malgrele fait quela methodedeNewton possedeuneconstanted’erreurpluspetite,la methodedeSimpsonestmeilleuresi on comparel’erreur avecle travail fe (voir la fig. I.4).

6. CalculerlesnoyauxdePeanoÜ Ë }¹Ý5� ( NkåO����! ) pour la regledu trapezeet lesdessiner. RemarquerunerelationaveclespolynomesdeBernoulli et la formuled’Euler-Maclaurin.3

7. Montrerque,pouruneformuledequadraturesymetrique,lesnoyauxdePeanosatisfont

Ü Ë }��îÿõÝ5�Jå3}�ÿP�D� Ë Ü Ë }¹Ý5� ¤3Hairer& Wanner, Analysisby Its History, UndergraduateTexts in Mathematics,Springer, 2ndprinting 1997.

IntegrationNumerique 21

8. CalculerlesnoyauxdePeanoÜ Ë }¹Ý5� ( N åQ����!������+, ) pourla formuledeSimpson.Lesdessiner. Est-ceque Ü � }¹Ý5� changedesignesurl’intervalle R £ ���GS ?

9. Soit J l’ordre d’uneformuledequadratureetsupposonsquele noyaudePeanoÜ � }¹Ý5� nechangepasdesignesur R £ ���GS . Montrerqu’avecun TVUÏ} � ( �+� ( ~DWß�

��½ EM¾� ½ �8} � �1EX� ÿDW op?: , @ p �8} �

( ~YA p WÔ�#å W � E,

J[Z�

J*~Y� ÿ op�: , @ p A �p � à � Ä } T�� ¤

10. (FormuledeRadau).DeterminerA 0 ��@ , ��@ 0 dansla formuledequadrature,(\ } ];�1EX]_^"@ , \ } £ �5~D@ 0 \ }�A 0 �

afinquesonordresoitmaximal.Resultat. A 0 å`!D�D� , @ , å"�D�G, , @ 0 å+�D�G, et JBå+� .

11. PourlespolynomesdeLegendre demontrerla formule

}��îÿõÝ0��a ÖË }¹Ý5�#å3ÿ�NWÝ�a Ë }¹Ý5�5~DN1a Ë

68, }¹Ý5� ¤ (8.1)

Indication. Ecrirele polynome }�� ÿ'Ý 0 ��a ÖË }¹Ý5�M~bNWÝ�a Ë }¹Ý5� sousformed’unecombinaisonlineairedea Ë E

, }¹Ý5����a Ë68, }¹Ý5��� ¤�¤�¤ commedansla demonstrationdu theoreme4.3.

12. Calculerlesracinesdu polynomedeLegendrea , � }¹Ý5� enutilisantla methodedebissection.

(a) Localiserlesracinesencalculanta , � } I^�G>�� pour IOå £ ����� ¤�¤�¤ �+> et avecun > grand;(b) Si R L ��@7S estun intervalle avec a¼øß} L �dcea¼øß}�@;�gf £

alors

10 CENTR=(A+B)/2.D0PC=P(N,CENTR)IF (CENTR.EQ.A.OR.CENTR.EQ.B) GOTO 40IF (PA*PC.LT.0.D0) THEN

B=CENTRPB=PC

ELSEA=CENTRPA=PC

END IFGOTO 10

40 CONTINUE

Pourecrirela FUNCTION P(N,X) qui calculela valeurdela fonction a Ë }¹Ý5� , utiliser la for-mulederecurrence(4.5)et a ( }¹Ý5�#åQ� , a , }¹Ý5��å Ý .

13. Calculerla constanted’erreur h o pourla formuledeGaussavec ä nœudsd’ordre !Dä .Indication. h o estl’erreur de la formulequandelle estappliqueea un polynomededegre !Dä de laforme ]

0o �D}�!DäW��Z�~ ¤�¤�¤ . Essayerijc�}�a o }�!G]Aÿk�D��� 0 , etutiliser la formulederecurrencedel’exercice11

pourevaluer,68, a o }¹Ý5�

0E�Ý . Le resultatest

h o å}�älZj� �

}�!Däª~D�D��}�!DälZj� �¤

14. MontrerquepourlesformulesdequadraturedeGauss(ordre J å�!Dä ) le noyaudePeanoÜ 0 o }¹Ý5� nechangepasdesigne.Indication.Faireunedemonstrationparl’absurdeet utiliser le theoremedeRolle.

22 IntegrationNumerique

15. SoientA à o Ä, ��A à o Ä0 � ¤�¤�¤ ��A à o Äo lesnœudsdela formuledequadraturedeGaussd’ordre !Dä et A à oE , Ä, ��A à o

E , Ä0,¤�¤�¤

, A à oE , ÄoE , ceuxdela formuled’ordre !Däª~D! . Montrerqu’onaalors

£ fQA Ã oE , Ä, f"A Ã o Ä, fQA Ã o

E , Ä0 f"A à o Ä0 f ¤�¤�¤ f"A à o Äo f"A à oE , ÄoE , f"� ¤

Indication. Procederpar recurrenceenutilisant le fait quesi a o }¹Ý5��å£, alors a o

68, }¹Ý5� et a oE , }¹Ý5�

sontdesigneoppose (voir formule(4.6)).

16. (Formulesde Radau). Montrer qu’il existe uneuniqueformule de quadratured’ordre !Dä ÿ�� quisatisfait A o å"� .Indication.Utiliser m¶} ]��#å"hPn�>�ä�]ocÂ}�a o } �Ò��ÿDa o

68, } � ��� .17. Consideronsuneformule de quadratured’ordre JpBq� satisfaisant

£sr A p r � . Montrer que,pourtoutefonction �st�R L ��@7Souwv | integrableausensdeRiemann,on a�

� �8} �Ò�1E�� ÿ49;: ( W 9 op?: , @ p �8} � 9 ~A p W 9 � ÿ�u £

lorsqueWBåQxVyGz 9 W 9 tendverszero.Indication.Pourun I fixe, l’expression

49;: ( W 9 �8} � 9 ~DA p W 9 � estunesommedeRiemann.

18. Soit �st{v |`u|v | , donnepar

�8} �Ò�#å L ( ~¡

Ë :, } L Ë (+*�#W}�Nl�Ò��~D@ Ë #&% ' }�Nl� ����� L Ë ��@ Ë Ubv | ¤

(a) Quelleestla valeurexactede

0�}( �8} � �1E�� ?(b) Appliquerla regledutrapezea

0�}( �8} � �1EX� avec W'å"!G~���Ü . A partirdequellevaleurde Ü , leresultatestexacte?

(c) Appliqueruneformuledequadratured’ordrepluseleve (parexemplecelledeGaussd’ordre6,voir exemple3.3)et repondeza la memequestionquesous(b).

(d) Quelleformuledequadratureproposez-vouspourl’int egrationnumeriqued’unefonctionper-iodique?

19. Consideronsla suite �G�¼ø[� donneepar �2ø E , å��2øã~D�îÿb�0ø ��!��o� ( å £ .

(a) Quelleestsalimite?(b) Appliquerl’algorithme �

0d’Aitk enpouraccelererla convergence.

(c) En utilisant � ( �+� , � ¤�¤�¤ �+� �comparerl’erreur dessuitesobtenuesavecou sans�

0d’Aitk en.

20. Consideronsunesuite ��?�ø[� qui satisfait

}�?�ø E , ÿD?#�#å��Møß}�?�øáÿD?#� avec �YøBÿdu�� et �b�åQ� ¤a) Montrer quela suite ��? Öø � , donneepar le procede �

0d’Aitk en converge plus vite vers ? quela

suiteoriginale,c.-a-d.,

? Öø ÿ??�ø ÿ? ÿ�u £

pour >Ïÿdu�� ¤

b) Donnerunesuitedivergente��?ßøM� pourlaquellela suite ��? Öø � converge.Indication.Noussavonsque �V?�ø å+} �Yø*ÿD�D��}�?�ø*ÿD?#� , trouver uneformulesimilairepour �

0?�ø .