Chapitre II

Chapitre II Formulation mathmatique et modlisation de la turbulence

Chapitre IIFormulation mathmatique et modlisation de la turbulenceII.1 Introduction

Nous avons utilis le code commercial "FLUENT" pour raliser lensemble des simulations numriques. Nous souhaitons raliser des simulations numriques dans le but de mieux comprendre le couplage des phnomnes de diffusion et de convection. Lobjectif de cette tude est de modliser les coulements dans une plaque plane en prsence dobstacle dcoll. Il sagit de montrer linfluence des paramtres thermiques.

II.2 Description du problmeLe code "FLUENT" a t utilis pour simuler lcoulement dair sur une plaque plane par ajout dlments perturbateurs (obstacles). La configuration gomtrique considre dans le prsent travail est illustre dans la figure II.1.On considre lcoulement dair incompressible sur une plaque constitue de deux parties, la partie froide (le bois), et la partie chaude (le verre), lcoulement se fait la direction (x), lobstacle est un profil rectangulaire de dimension 10 x 2 mm2, dispos une distance de 1377 mm, cart de la paroi une distance de 5 mm, et inclin par un angle de 30 par rapport au sens de lcoulement, une rgion rectangulaire de 2127 x 250 mm2 est choisie comme domaine de calcul.

II.3 Modle mathmatique

La modlisation est la reprsentation dun systme par un modle. Cest aussi la construction du modle. La simulation a pour but de faire vivre un systme. Cest une mthode qui consiste utiliser un modle comme substitut de la ralit [5]. Un modle mathmatique ou numrique dsigne un algorithme, et on peut parler de logiciel ou programme lorsquil sagit dun modle de simulation. lheure actuelle, le CFD est parmi le peu de moyens permettant de produire des solutions compltes des quations de bilan.II.4 Modles de turbulence

II.4.1 quations de bilanLa modlisation mathmatique dun coulement turbulent est fonde sur les lois de conservation de la masse, de la quantit de mouvement et dnergie. Dans le cas des fluides incompressibles et de densit constante, ces lois sexpriment en notation tensorielle de la faon suivante : quation de continuit (Conservation de la masse) :

(II.1)

: est la composante du vecteur vitesse selon laxe j. quations de Navier Stockes (Conservation de la quantit de mouvement) :

(II.2) quations dnergie (Conservation dnergie) :

(II.3)o: reprsente la dissipation visqueuse, et est lenthalpie massique, relie la temprature par la relation:

Devant la grande complexit de la turbulence, on a souvent recours au traitement des problmes par des mthodes statistiques. Ce recours au traitement statistiques est justifi par la difficult daccs aux nombreuses causes des instabilits. Ainsi, selon la "dcomposition de Reynolds", chaque grandeur g est dcompose en une valeur moyenne G et une fluctuation g' autour de cette valeur moyenne (quation II.4). Pour un coulement permanent en moyenne, la valeur G est gale la moyenne temporelle prise sur une seule exprience mais sur un temps trs long devant les chelles de temps de la turbulence.

(II.4) laide de moyennes temporelles sur les quations de bilan et en appliquant les rgles dites "rgles de Reynolds" o la moyenne de deux grandeurs vrifie :

(II.5)a tant une constante, il est possible dobtenir les quations rgissant le mouvement moyen.

A noter quil existe dautres types de dcomposition comme la moyenne pondre par la masse particulirement adapte aux coulements compressibles [11].

(II.6)II.5 Fermeture des quations de bilanPour calculer les tensions de Reynolds, deux possibilits sont envisageables. Dune part, les corrlations doubles peuvent tre calcules partir des valeurs moyennes de lcoulement en faisant appel au concept de viscosit turbulente. Cette premire approche est chronologiquement la plus ancienne. Dautre part, on peut obtenir des quations de transport des tensions de Reynolds mais, dans ces nouvelles quations, interviennent des termes de corrlations triples quil faut nouveau modliser. Lobjectif de la modlisation est dtablir des relations ou des quations permettant le calcul du tenseur de Reynolds partir des caractristiques de lcoulement moyen. Ces relations permettent de fermer le systme.Les modles de fermeture sont des quations qui viennent complter les quations bilans. Dans notre cas, il sagit de fermer le modle global en modlisant le terme de viscosit turbulente et le terme de tensions de Reynolds."FLUENT" fournit les choix suivants des modles de turbulence [14] : Spalart-Allmaras model. models. Standard model. Renormalization-groupe (RNG) model. Realizable model. models. Standard model. Shear-stress transport (SST) model. model. Reynolds stress model (RSM).

Detached eddy simulation (DES) model. Large eddy simulation (LES) model.Pour notre simulation nous avons utilis les modles Standard RNG Realizable, RNG et RSM.II.5.1 Modles de viscosit turbulenteLe concept de viscosit turbulente permet dexprimer les contraintes de Reynolds en fonction des gradients de vitesse moyenne de lcoulement. Cela revient confrer aux contraintes turbulentes, grandeurs ayant une origine convective non linaire, un caractre diffusif de type gradient donc de nature linaire. Lide de viscosit turbulente lve le problme de fermeture mais au prix dentorses la physique relle car cette ide ne peut se dmontrer [30]. Ce concept se traduit par lhypothse de Boussinesq qui, pour un fluide dont la masse volumique varie, scrit selon la relation suivante.

(II.7)

dsignant la viscosit dynamique turbulente, et dsigne lnergie cintique moyenne du champ fluctuant :

(II.8)Ainsi, la dfinition de la viscosit turbulente dtermine le modle de turbulence.II.5.1.a Modle StandardLe modle est le plus simple des modles complets dits deux quations.

Ce modle suppose que le rgime de turbulence est pleinement tabli dans tout le domaine et que les effets de la viscosit molculaire sont ngligeables par rapport ceux de la viscosit turbulente (loin des parois).

Il est bas sur lhypothse de Boussinesq, savoir quil existe une analogie entre laction des forces visqueuses et les contraintes de Reynolds dans lcoulement moyen, soit :

(II.9)Le modle calcule la viscosit turbulente en faisant intervenir lnergie cintique de turbulence et le taux de dissipation de lnergie cintique de turbulence comme suit :

(II.10)Deux quations de transport sont utilises : une pour lnergie cintique de turbulence et lautre pour le taux de dissipation de lnergie cintique

(II.11)

(II.12)Les rsultats de calcul dpendent fortement de la valeur des constantes empiriques . Cela constitue une faiblesse de ce modle, bien que les auteurs admettent le plus souvent les mmes valeurs.

Les valeurs utilises par dfaut dans le code "FLUENT" sont groupes dans le tableau suivant :Constants

Valeurs0,091,001,301,441,92

Tableau II.1: Valeurs des constantes empiriques du modle Standard [14]Le modle est trs largement utilis en ingnierie. Il est en effet robuste, conomique en temps de calcul et suffisamment prcis et valid pour une large gamme dcoulements turbulents.

Cependant, il donne de mauvais rsultats pour une catgorie importante de situations comme les coulements non confins, les coulements tourbillonnants et les coulements en rotation.Des modifications ont t apportes ce modle standard afin de lamliorer. Ainsi, ont t proposs le modle RNG bas sur la thorie du groupe de renormalisation [51] et le modle Realizable qui sappuie principalement sur une nouvelle quation en [39].II.5.1.b Modle

Dans ce modle, les constantes sont values par des calculs thoriques et non empiriquement. Ce modle est donc applicable beaucoup plus largement que En particulier les effets lis aux bas Reynolds sont pris en compte et des comportements de type laminaire peuvent galement tre prdits [14].Les coulements turbulent ont des tourbillons de taille varient entre lchelle intgrale L et des vortex de taille L/Re3/4 (chelles de Kolmogorov). Il existe dautres tourbillons de taille infrieure mais leur nergie est faible. La mthode RNG supprime une bande troite voisine des tourbillons les plus faible en les remplacent par dautre modes. Une fois dbarrass de cette bande troite, ce qui permet de rduire notablement les besoins de stockage, on dispose dun systme dquations de Navier Stokes avec une viscosit effective, des forces et un couplage non linaire modifis. En enlevant les tourbillons de petites chelles, le Reynolds effectif est diminu tandis que la viscosit est augmente. La thorie RNG conduit une relation utilise pour dterminer de manire plus prcise la viscosit effective et permet une meilleure description des variations des proprits de transport turbulent avec le Reynolds effectif.Par rapport au Standard, la dtermination de la viscosit effective est plus labore mais RNG utilise aussi les quations de Navier Stokes moyennes :

(II.13)Les quations de transport pour k et sont :

(II.14)

(II.15)o est linverse du nombre de Prandtl turbulent, tir de lexpression ci-dessous, qui permet dinclure les variations de ce nombre avec le nombre de Reynolds :

(II.16)Avec Ce rsultat issu de la thorie de RNG permet dappliquer les quations de transport dans les rgions bas Reynolds, sans avoir recours des fonctions de paroi. Puisque et varient continment avec le nombre de Reynolds turbulent des valeurs molculaires aux valeurs pleinement turbulentes, les quations de et incluent une attnuation naturelle dans les zones voisines des parois.

Le taux de dformation R est donn par la relation suivante :

(II.17)o Sij est le tenseur des dformations moyennes. Dans le modle RNG, le taux de dformation prend pour expression :

(II.18)o

La principale amlioration par rapport au Standard provient de R, qui permet une prise en compte plus exacte de certaines anisotropies lies aux variations du Reynolds local. Grce une base thorique plus solide que le modle classique qui conduit notamment des valeurs typiques un peu diffrente des coefficients empiriques, le modle RNG donne de meilleurs rsultats dans une grande varit de cas.

Constants

Valeurs1,421,680,08451,39

Tableau II.2: Valeurs des constantes empiriques du modle [14]II.5.1.c Modle RealizableLe dernier modle de la famille diffre du modle standard principalement par deux choses importantes : Une nouvelle formulation pour la viscosit turbulente, Une nouvelle quation pour le taux de dissipation

Le terme "Realizable" ou ralisable signifie que le modle satisfait certaines contraintes mathmatiques sur les contraintes de Reynolds, logiques avec la physique des coulements turbulents. Ainsi, ce modle prdit avec plus de prcision le taux de propagation des jets. Il procure aussi des performances suprieures dans les coulements impliquant la rotation, les couches limites sous de forts gradients de pression adverses, la sparation et les recirculations.

L aussi, la viscosit turbulente est calcule partir de lquation (II.10), sauf que nest plus constant. Il est fonction de la dformation moyenne, des taux de rotation, de la vitesse angulaire de la rotation du systme et des champs de la turbulence

Ces deux derniers modles de turbulence, (RNG et RNG Realizable), donnent de meilleurs rsultats compars au modle Standard, vu leurs perfectionnements cits plus haut. Alors que les coulements impliquant une forte anisotropie des contraintes turbulentes restent le point faible de la famille toute entire. II.5.2 Modle aux tensions de Reynolds ( : Reynolds Stress Model)Le modle des contraintes de Reynolds ou Reynolds Stress Model (RSM) est un modle de fermeture du second ordre. Des quations de transport sont alors tablies pour les contraintes cinmatiques de Reynolds,

Les quations exactes de transport pour chaque composante du tenseur de Reynolds, peut tre crit comme suit [25,26] :

(II.19)

(II.20)o: , et sont des constantes empiriques dont les valeurs sont : et , et

Le terme de dissipation est approch par le taux de dissipation isotropique :

(II.21) Le terme de diffusion turbulente est modlis de la mme manire que les corrlations doubles pour les modles de viscosit turbulente. Elles sont calcules en fonction du gradient des corrlations doubles :

(II.22)ola viscosit turbulente est calcule laide de la relation (II.10).Ce modle est potentiellement le plus gnral et le plus complet des modles de turbulence classique.

Les calculs sont satisfaisants pour beaucoup dcoulements simples et dautres plus complexes incluant les jets avec impact, les tunnels asymtriques, les coulements en conduit non circulaire et les coulements courbes. Mais, il est trs coteux en moyens informatiques.

Ces quatre modles de turbulence sont les plus utiliss pour la plupart des coulements turbulents industriels. Ils sont implants dans la plupart des codes de calculs commerciaux, dont "FLUENT". Mise part le modle les trois autres modles ont t dvelopps essentiellement pour des coulements turbulents nombre de Reynolds lev. Leur utilisation dans des rgions faible nombre de Reynolds turbulent, comme les rgions de proche paroi par exemple, ncessite alors lemploi de lois de paroi.

De faon plus gnrale, les modles statiques sont tous confronts au problme de non universalit de ce type de fermeture. Cest pourquoi un choix de modle de turbulence ne peut se faire a priori mais par confrontation avec des rsultats thoriques ou exprimentaux.

Tous ces modles sont amplement expliqus dans diffrents travaux de recherches comme Theodosiu [44], Schild [39], Yakhot [51], et Awbi [4]. On se contente dindiquer ici leurs points dintrts et leurs limites ventuelles afin de justifier le choix du modle de turbulence utilis pour les simulations CFD de cette tude.Lorsque les modles de turbulence exposs plus haut sont utiliss dans leur formulation initiale ( nombre de Reynolds lev), un traitement spcifique est ncessaire en proche paroi.II.6 Traitement de paroi

II.6.1 Dynamique

Cependant, proche des parois, les effets visqueux ne peuvent plus tre ngligs et la modlisation base sur un nombre de Reynolds turbulent nest plus valable. Pour palier cette difficult, on utilise des lois de paroi.

II.6.1.1 Lois de paroi

Le code "FLUENT" propose deux types de traitement de paroi : la loi de paroi standard (quilibre) et la loi de paroi non-quilibre.II.6.1.a Lois de paroi standard

Cest un modle dintgration connectant les conditions la paroi et prs de la paroi bas sur les profils universels de la couche limite turbulente (loi paritale et loi logarithmique), ces lois sont fondes sur lapproche propose par Launder et Spalding [24] :

(II.23)avec:

et constante de Von Krmn

constante empirique dfinissant la rugosit de paroi ( pour paroi lisse),

vitesse moyenne la premire cellule fluide

nergie cintique turbulente la premire cellule fluide

distance la paroi de la premire cellule fluide

viscosit dynamique du fluide,

contrainte de cisaillement la paroi

La loi logarithmique de la couche limite nest valide que pour des valeurs de ; dans le code "FLUENT", elle est utilise lorsque Dans le cas contraire, la loi paritale est utilise :

(II.24)Lnergie cintique turbulente est calcule dans tout le domaine. La condition la paroi impose pour k est alors: Le calcul de et de dans une cellule fluide adjacente la paroi est effectu avec lhypothse dquilibre local entre les taux production et de dissipation de lnergie cintique turbulente. Ainsi, lquation de transport de nest pas rsolue dans cette cellule, est obtenue par la relation :

(II.25)o: est lnergie cintique calcule dans la cellule considre.II.6.1.b Lois de paroi non-quilibre La particularit de cette loi de paroi rside dans le calcul de et dans les cellules adjacentes la paroi. Contrairement la loi de paroi standard, lhypothse dquilibre entre les taux de production et de dissipation de lnergie cintique turbulente nest pas effectue. Les termes de production et de dissipation de lnergie cintique turbulente sont reformuls de manire tenir compte de la sous-couche visqueuse en proche paroi. Ils sont respectivement donns par :

(II.26)

(II.27)o: est la hauteur de la cellule adjacente la paroi, et est la taille de la sous-couche visqueuse, approche par telle que :

(II.28)II.6.2 Thermique

Dans tous les cas, les lois paritale et logarithmique de la couche limite thermique sont utilises pour le calcul du champ de temprature dans les cellules adjacentes la paroi :

(II.29)avec:

et constante de Van Driest

densit de flux la paroi, chaleur spcifique du fluide,

temprature la premire cellule fluide

temprature la paroi.

De la mme manire que la loi de paroi standard dynamique, cette loi est utilise lorsque. Dans le cas contraire, la loi paritale est utilise :

(II.30)II.7 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons vu la formulation mathmatique, la description du problme et les modles de turbulence utiliss dans notre simulation numrique.Dans le chapitre suivant, nous allons tudier les mthodes numriques utilises dans le code de calcul, ainsi que le processus de calcul numrique en dynamique des fluides, Cette tape est ncessaire avant de passer la rsolution numrique du problme dans le dernier chapitre.

x

Figure II.1: Configuration numrique tudie

obstacle rectangulaire, de10 mm de longueur et de 2 mm d'paisseur.

plaque de Verre de 6 mm d'paisseur.

plaque de Bois de 6 mm d'paisseur.

300

250 mm

5 mm

1900 mm

Axe de symtrie

227 mm

y

PAGE 16

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